Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.45.0-wmf.5 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Sujet 4 127 965716 962807 2025-06-16T11:48:28Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un guide touristique */ 965716 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés : toute fiche de vocabulaire sur une thématique est plus pertinente parmi les [[voy:Guides linguistiques|guides linguistiques de Wikivoyage]]. Par contre, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] 1marzkhv4n3g8ymevnhzsqmtr4j2v0n 965717 965716 2025-06-16T11:49:36Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un guide touristique */ 965717 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». Un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] gxqwur1ssyeb2txu03mhc85bdrr5hwd 965718 965717 2025-06-16T11:50:13Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un guide touristique */ 965718 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». Un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] kekzg462fwsde09adhvzdn609dlwnpl 965719 965718 2025-06-16T11:50:52Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un guide touristique */ 965719 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». Cependant, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] ieu2m5bjl82kiijgou5aut31hrsrxrs 965720 965719 2025-06-16T11:52:00Z Fourmidable 50100 965720 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être une '''communauté pédagogique''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». Cependant, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] fz8vijcjwnfdyz8h1o7nbybsj9pmga2 965721 965720 2025-06-16T11:52:26Z Fourmidable 50100 965721 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques''' dont le but est de fournir un espace virtuel libre<ref group=note>C'est-à-dire, à la fois « ouverte à tou(te)s » et « dont le contenu peut être partagé plus librement que s'il était sous copyright ».</ref> d'apprentissage et de recherche. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». Cependant, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. == Note == <references group=note/> [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] 0itzpsf9ebeft4l6h62y5wqjrozhnb0 965722 965721 2025-06-16T11:52:46Z Fourmidable 50100 965722 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques'''. == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. Les cours de Wikiversité peuvent toutefois présenter des [[w:Hyperlien|hyperliens]] vers des articles de [[w:|Wikipédia]]. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. Par contre, le contenu de Wikiversité peut faire référence au contenu de Wikilivres. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. Des liens hypertextes vers Wiktionnaire peuvent cependant être pertinents, à condition d'en insérer avec beaucoup de parcimonie. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. En revanche, il est tout à fait permis (et même encouragé) d'insérer des liens hypertextes vers le texte complet sur Wikisource. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». Cependant, un guide linguistique de Wikivoyage peut tout à fait faire l'objet d'un lien interne sur une page de Wikiversité concernant une langue, ''a fortiori'' quand il s'agit d'une page de vocabulaire. == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] rcoae2fqjo1d4olr4a0smdm426y7378 965723 965722 2025-06-16T11:54:50Z Fourmidable 50100 965723 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques'''. Des liens pertinents vers des pages d'autres projets Wikimédia sont néanmoins tolérés, dans certains espaces, et à condition de donner la priorité aux liens internes (vers des pages de Wikiversité). == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation - donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] pa5n9si9cf4chaq9lyisrob9yppiwo2 965724 965723 2025-06-16T11:55:43Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un dictionnaire */ 965724 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques'''. Des liens pertinents vers des pages d'autres projets Wikimédia sont néanmoins tolérés, dans certains espaces, et à condition de donner la priorité aux liens internes (vers des pages de Wikiversité). == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation — donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] p11n7l60xv7x8gkyapagrf2e6496tu6 965725 965724 2025-06-16T11:55:56Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un dictionnaire */ 965725 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques'''. Des liens pertinents vers des pages d'autres projets Wikimédia sont néanmoins tolérés, dans certains espaces, et à condition de donner la priorité aux liens internes (vers des pages de Wikiversité). == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation — donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes —, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] hfncrcocecz1x617wlhaxeux5mwf202 965726 965725 2025-06-16T11:57:44Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un guide touristique */ 965726 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques'''. Des liens pertinents vers des pages d'autres projets Wikimédia sont néanmoins tolérés, dans certains espaces, et à condition de donner la priorité aux liens internes (vers des pages de Wikiversité). == Wikiversité n'est pas une université en ligne == Wikiversité étant un '''site collaboratif''', la plupart des cours qu'elle propose sont inachevés et ne garantissent pas à eux seuls une préparation complète ou de qualité aux examens et concours existant dans les pays francophones. En particulier : * Wikiversité ne délivre aucun diplôme ; * Wikiversité ne propose aucune [[w:Système européen de transfert et d'accumulation de crédits|unité de valeur (UV/ECTS)]]. Par ailleurs, Wikiversité n'a pas vocation à héberger uniquement du contenu correspondant aux études supérieures. Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation — donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes —, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est (idéalement) une activité actionnelle qui s'appuie sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] ga4y6xdp3l8d0yh40ye1c8ymwh64s43 965727 965726 2025-06-16T11:58:21Z Fourmidable 50100 /* Wikiversité n'est pas un guide touristique */ 965727 wikitext text/x-wiki {{Règle|raccourci=WV:NOT}} Chaque projet Wikimédia a ses spécificités et ses objectifs propres. La spécificité de Wikiversité est d'être un '''portail de ressources pédagogiques'''. 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Par exemple, du contenu de niveau collège ou lycée est le bienvenu sur Wikiversité. == Wikiversité n'est pas une encyclopédie == {{Raccourci|WV:ENCYCL}} {{Wikipédia|Wikipédia:Wikipédia est une encyclopédie}} Wikiversité n'a pas pour but de faire un simple exposé de connaissances, mais de permettre d'apprendre, de manipuler et d'assimiler un ensemble de notions techniques, culturelles et scientifiques. Ainsi, il y existe normalement des activités, des exercices, des tâches à faire soi-même pour intégrer les connaissances et acquérir les compétences décrites. Wikiversité héberge aussi un [[Recherche:Accueil|laboratoire de recherche]]. Les travaux inédits y sont donc évidemment acceptés, contrairement à Wikipédia où de telles pages ne sont pas tolérées par la communauté. == Wikiversité n'est pas un manuel pratique == {{Raccourci|WV:GUIDE|WV:MANUEL}} {{Wikilivres|Wikilivres}} À l'origine, Wikiversité était hébergée sur [[b:|Wikilivres]]. Cependant, Wikiversité n'a jamais eu vocation à remplacer ou copier le contenu de Wikilivres. Wikilivres propose des manuels pratiques, des tutoriels et des recettes de cuisine ; Wikiversité met l'accent sur le contenu strictement éducatif et pédagogique. En outre, Wikiversité a davantage vocation à présenter des actvités interactives, notamment des [[AIde:Quiz|quiz]]. Les leçons de loisirs (par exemple [[Photographie : éléments de base]]) sont acceptées sur Wikiversité à condition que ces dernières puissent s'inscrire dans le cadre d'une activité [[wikt:périscolaire|périscolaire]] commune. == Wikiversité n'est pas un dictionnaire == {{Wiktionnaire|Wiktionnaire:À propos}} Les pages de Wikiversité, strictement dédiées à l'éducation — donc à l'assimilation pas à pas de notions complexes —, ne peuvent se limiter à une simple définition d'une notion. == Wikiversité n'est pas une bibliothèque == {{Wikisource|Wikisource:Qu’est-ce que Wikisource ?}} Sur Wikiversité, les extraits d'œuvres littéraires ou de documents historiques tombés dans le domaine public ne sont acceptés que si ceux-ci sont les supports d'une leçon ou d'un exercice (un commentaire littéraire, par exemple). Toute mise en ligne de textes littéraires ou historiques sans explication connexe sera annulée. == Wikiversité n'est pas un guide touristique == {{Wikivoyage|Wikivoyage : Présentation de Wikivoyage}} Les leçons de Wikiversité doivent être obligatoirement construites à partir d'un programme éducatif officiel dans au moins un pays francophone. Ainsi, Wikiversité ne saurait héberger du contenu à simple vocation touristique. En particulier, une leçon de langue sur Wikiversité est (idéalement) un ensemble d'activités actionnelles qui s'appuient sur des documents authentiques ou adaptés ; toute fiche de vocabulaire sur une thématique touristique est destinée à être transférée sur [[voy:|Wikivoyage]] comme « [[voy:Guides linguistiques|guide linguistique]] ». == Ou encore… == Wikiversité n'est pas non plus : * un site publicitaire, même pour des outils pédagogiques ; * un annuaire d'associations ou de toute autre sorte d'organismes, même d'établissements scolaires ; * un site hébergeant des pages personnelles sans lien avec l'éducation (y compris dans l'espace utilisateur) ; * un [[w:Blog|blog]] personnel. L'[[Recherche:Accueil|espace recherche]] est strictement réservé aux travaux universitaires, dont la partie théorique est dûment sourcée. [[Catégorie:Wikiversité:Racine]] [[Catégorie:Documentation Wikiversité]] [[ar:ويكي الجامعة:ويكي الجامعة ليست]] [[de:Wikiversity:Was Wikiversity nicht ist]] [[en:Wikiversity:What Wikiversity is not]] [[es:Wikiversidad:Lo que la Wikiversidad no es]] [[ja:Wikiversity:ウィキバーシティとは何でないか]] [[pt:Wikiversidade:O que a Wikiversidade não é]] [[ru:Викиверситет:Чем не является Викиверситет]] [[sv:Wikiversity:Vad Wikiversity inte är]] n05xyba4qniz6qwhf0uhef29kgwvoti 4 1555 965678 965563 2025-06-15T17:06:40Z Fourmidable 50100 965678 wikitext text/x-wiki {{Nobots}} __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;"> {{Archive box non-auto|[[/Archives|2007-2016]]&nbsp;·&nbsp;[[/2018|2018]]}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux bureaucrates}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Vous avez besoin d'un [[Wikiversité:Bureaucrate|bureaucrate]] ?</strong> Les bureaucrates peuvent notamment : * '''donner''' (et uniquement donner) '''le statut d'[[Wikiversité:Administrateur|administrateur]]''' en application d'une décision communautaire ; * '''donner''' (et uniquement donner) '''le statut de bureaucrate''' en application d'une décision communautaire ; * '''donner et retirer le statut de [[Wikiversité:Bot|bot]]''' en application d'une décision communautaire. <strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Important :</strong> les bureaucrates ne peuvent retirer ni le statut d'administrateur ni le statut de bureaucrate ; une telle requête doit être effectuée aux stewards sur [[m:Requests for permissions#Removal of access|cette page du site Meta-Wiki]]. {{Centrer|<big>[{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Raccourci|WV:RB|align=right}} == changement nom d'utilisateur == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, je souhaite que mon nom d'utilisateur soit modifié : Thib04789234 Merci d’effectuer ce changement au plus vite, je vous remercie. :Il faut faire la demande pour le renommer sur tous les sites de Wikimédia : [[meta:Changing_username]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 13 octobre 2020 à 19:43 (UTC) }} == Demande de renommage de mon nom d'utilisateur EclairEnZ en Claude Mariotti == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, je souhaite renommer mon compte d'utilisateur comme indiqué dans le titre ci-dessus. Je souhaiterais aussi que toutes mes contributions précédentes soient attribuées à ce nouveau compte d'utilisateur, Claude Mariotti. Merci d'avance ! {{sourire}} --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 1 juillet 2021 à 05:11 (UTC) :{{Notif|EclairEnZ}}La demande se fait [[meta:Changing_username/fr|ici]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 juillet 2021 à 17:39 (UTC) ::Merci David. Suis allé voir, bien compliqué tout ça (le faire en anglais). Finalement je laisse comme ça, quelle importance après tout, on n'est pas à l'Académie ! Surtout que je ne cache pas mon identité. Et Zorro ça me plaît bien. Bonne soirée, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 4 juillet 2021 à 20:48 (UTC) }} == Botflag LD AWBot == {{Cadre|{{Requête en cours}} '''En traitement''' Bonjour, Suite à l'appel lancé par {{U-|Fourmidable}} sur le [[:w:Wikipédia:Le_Bistro/19_janvier_2022#Appel_à_contribution_sur_Wikiversité|Bistro de Wikipédia en français]], je soumets la candidature de {{U-|LD AWBot}} en tant que robot, déjà opérant sur Wikipédia en français, pour tenter d'apporter mon aide à [[Wikiversité:Requêtes_aux_bots#Mise_à_jour_des_listes_de_référents|cette RBOT]]. Par la même occasion, je souhaiterais présenter mon robot sur le JSON d'AWB ([[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON]] qui devra être créé par au moins un admin), sans quoi il ne pourra pas opérer. J'ai ou il a déjà ce statut sur [[:w:Wikipédia:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Wikipédia en français]], [[:wikiquote:fr:Wikiquote:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Wikiquote en français]] et [[:commons:Commons:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Commons]]. Bien à vous, [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 19 janvier 2022 à 17:08 (UTC) :P.S. : Pour le JSON, j'ai oublié de préciser qu'il faudrait mieux appliquer une protection (sysop) après la création, cf. tâche phabricator [[:phabricator:T241196|n°T241196]] de {{U-|Reedy (WMF)}}. [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) :# {{Pour}} évidemment {{Sourire}} [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 19 janvier 2022 à 17:17 (UTC) :{{notif|LD}} je t’ai mis une [[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|burette d'huile]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 janvier 2022 à 19:08 (UTC) ::Merci pour tout @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], il manque une dernière chose (désolé) : transformer le format de la page [[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON]] en JSON ; ::Pour ce faire, il faut le modifier via [[Spécial:ChangeContentModel]] en sélectionnant le nouveau modèle de contenu "json". Bien à toi, [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 19 janvier 2022 à 19:49 (UTC) :::{{notif|LD}} Ok, je te retire la burette d'huile et je te donne une pompe à graisse à la place . [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 janvier 2022 à 20:36 (UTC) ::::Merci encore @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], tout est en ordre désormais :-) [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 20 janvier 2022 à 00:13 (UTC) }} == Retrait du statut d'admin pour inactivité == {{Cadre|{{Requête refus}} '''Refusée''' Bonjour {{Mention|Crochet.david}}, Je te suggère de retirer le statut d'administrateur à {{U|Grondin}}, puisqu'il n'a pas contribué depuis le 3 mai 2021 (sans compter ses pages perso). Bien à toi, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 juin 2025 à 09:40 (UTC) :Bonjour. Ce n'est pas parce que je suis bureaucrate que je peux retirer des droits que je peux attribuer. C'est le cas ici, je ne peux pas retirer des droits d'administrateurs. De plus il contribue, les règles de la fondation sont de lui demander s'il souhaite voir ses droits retirés, sans son accord, il ne le sont pas. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 13 juin 2025 à 10:44 (UTC) ::Ah oui c'est vrai, je n'avais pas relu l'en-tête de cette page… Le retrait des droits d'admin après deux ans d'inactivité est une [[meta:Requests for comment/Activity levels of advanced administrative rights holders/Summary/fr|règle de la communauté Wikimédia]] (pas de la fondation) : [[Sujet:Wnhazmp7p1ww5esu|exemple]]. Je pense que les deux ans sont largement dépassés car ses deux contributions dans son espace principal ne témoignent pas d'une activité sur le wiki. Mais de toute façon un steward enverra un message deux ans après une inactivité totale, soit le 16 septembre 2025 s'il ne revient pas. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 juin 2025 à 12:54 (UTC) }} [[Catégorie:Wikiversité:Bureaucrate]] [[Catégorie:Requêtes à une catégorie d'utilisateurs]] d3i55wazpr49meodzjejqrwd6xwesdj 965679 965678 2025-06-15T17:07:06Z Fourmidable 50100 /* Botflag LD AWBot */ 965679 wikitext text/x-wiki {{Nobots}} __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;"> {{Archive box non-auto|[[/Archives|2007-2016]]&nbsp;·&nbsp;[[/2018|2018]]}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux bureaucrates}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Vous avez besoin d'un [[Wikiversité:Bureaucrate|bureaucrate]] ?</strong> Les bureaucrates peuvent notamment : * '''donner''' (et uniquement donner) '''le statut d'[[Wikiversité:Administrateur|administrateur]]''' en application d'une décision communautaire ; * '''donner''' (et uniquement donner) '''le statut de bureaucrate''' en application d'une décision communautaire ; * '''donner et retirer le statut de [[Wikiversité:Bot|bot]]''' en application d'une décision communautaire. <strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Important :</strong> les bureaucrates ne peuvent retirer ni le statut d'administrateur ni le statut de bureaucrate ; une telle requête doit être effectuée aux stewards sur [[m:Requests for permissions#Removal of access|cette page du site Meta-Wiki]]. {{Centrer|<big>[{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Raccourci|WV:RB|align=right}} == changement nom d'utilisateur == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, je souhaite que mon nom d'utilisateur soit modifié : Thib04789234 Merci d’effectuer ce changement au plus vite, je vous remercie. :Il faut faire la demande pour le renommer sur tous les sites de Wikimédia : [[meta:Changing_username]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 13 octobre 2020 à 19:43 (UTC) }} == Demande de renommage de mon nom d'utilisateur EclairEnZ en Claude Mariotti == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, je souhaite renommer mon compte d'utilisateur comme indiqué dans le titre ci-dessus. Je souhaiterais aussi que toutes mes contributions précédentes soient attribuées à ce nouveau compte d'utilisateur, Claude Mariotti. Merci d'avance ! {{sourire}} --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 1 juillet 2021 à 05:11 (UTC) :{{Notif|EclairEnZ}}La demande se fait [[meta:Changing_username/fr|ici]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 juillet 2021 à 17:39 (UTC) ::Merci David. Suis allé voir, bien compliqué tout ça (le faire en anglais). Finalement je laisse comme ça, quelle importance après tout, on n'est pas à l'Académie ! Surtout que je ne cache pas mon identité. Et Zorro ça me plaît bien. Bonne soirée, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 4 juillet 2021 à 20:48 (UTC) }} == Botflag LD AWBot == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, Suite à l'appel lancé par {{U-|Fourmidable}} sur le [[:w:Wikipédia:Le_Bistro/19_janvier_2022#Appel_à_contribution_sur_Wikiversité|Bistro de Wikipédia en français]], je soumets la candidature de {{U-|LD AWBot}} en tant que robot, déjà opérant sur Wikipédia en français, pour tenter d'apporter mon aide à [[Wikiversité:Requêtes_aux_bots#Mise_à_jour_des_listes_de_référents|cette RBOT]]. Par la même occasion, je souhaiterais présenter mon robot sur le JSON d'AWB ([[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON]] qui devra être créé par au moins un admin), sans quoi il ne pourra pas opérer. J'ai ou il a déjà ce statut sur [[:w:Wikipédia:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Wikipédia en français]], [[:wikiquote:fr:Wikiquote:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Wikiquote en français]] et [[:commons:Commons:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Commons]]. Bien à vous, [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 19 janvier 2022 à 17:08 (UTC) :P.S. : Pour le JSON, j'ai oublié de préciser qu'il faudrait mieux appliquer une protection (sysop) après la création, cf. tâche phabricator [[:phabricator:T241196|n°T241196]] de {{U-|Reedy (WMF)}}. [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) :# {{Pour}} évidemment {{Sourire}} [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 19 janvier 2022 à 17:17 (UTC) :{{notif|LD}} je t’ai mis une [[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|burette d'huile]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 janvier 2022 à 19:08 (UTC) ::Merci pour tout @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], il manque une dernière chose (désolé) : transformer le format de la page [[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON]] en JSON ; ::Pour ce faire, il faut le modifier via [[Spécial:ChangeContentModel]] en sélectionnant le nouveau modèle de contenu "json". Bien à toi, [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 19 janvier 2022 à 19:49 (UTC) :::{{notif|LD}} Ok, je te retire la burette d'huile et je te donne une pompe à graisse à la place . [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 janvier 2022 à 20:36 (UTC) ::::Merci encore @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], tout est en ordre désormais :-) [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 20 janvier 2022 à 00:13 (UTC) }} == Retrait du statut d'admin pour inactivité == {{Cadre|{{Requête refus}} '''Refusée''' Bonjour {{Mention|Crochet.david}}, Je te suggère de retirer le statut d'administrateur à {{U|Grondin}}, puisqu'il n'a pas contribué depuis le 3 mai 2021 (sans compter ses pages perso). Bien à toi, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 juin 2025 à 09:40 (UTC) :Bonjour. Ce n'est pas parce que je suis bureaucrate que je peux retirer des droits que je peux attribuer. C'est le cas ici, je ne peux pas retirer des droits d'administrateurs. De plus il contribue, les règles de la fondation sont de lui demander s'il souhaite voir ses droits retirés, sans son accord, il ne le sont pas. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 13 juin 2025 à 10:44 (UTC) ::Ah oui c'est vrai, je n'avais pas relu l'en-tête de cette page… Le retrait des droits d'admin après deux ans d'inactivité est une [[meta:Requests for comment/Activity levels of advanced administrative rights holders/Summary/fr|règle de la communauté Wikimédia]] (pas de la fondation) : [[Sujet:Wnhazmp7p1ww5esu|exemple]]. Je pense que les deux ans sont largement dépassés car ses deux contributions dans son espace principal ne témoignent pas d'une activité sur le wiki. Mais de toute façon un steward enverra un message deux ans après une inactivité totale, soit le 16 septembre 2025 s'il ne revient pas. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 juin 2025 à 12:54 (UTC) }} [[Catégorie:Wikiversité:Bureaucrate]] [[Catégorie:Requêtes à une catégorie d'utilisateurs]] 0xqru5ztncbxs3ik8gholdvcy5rs9t7 965686 965679 2025-06-15T17:12:31Z Fourmidable 50100 965686 wikitext text/x-wiki {{Nobots}} __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;"> {{Archive box non-auto|[[/Archives|2007-2016]]&nbsp;·&nbsp;[[/2018|2018]]}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux bureaucrates}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Besoin d'un [[Wikiversité:Bureaucrate|bureaucrate]] ?</strong> Les bureaucrates peuvent notamment : * '''donner''' (et uniquement donner) '''le statut d'[[Wikiversité:Administrateur|administrateur]]''' en application d'une décision communautaire ; * '''donner''' (et uniquement donner) '''le statut de bureaucrate''' en application d'une décision communautaire ; * '''donner et retirer le statut de [[Wikiversité:Bot|bot]]''' en application d'une décision communautaire. <strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Important :</strong> les bureaucrates ne peuvent retirer ni le statut d'administrateur ni le statut de bureaucrate ; une telle requête doit être effectuée aux stewards sur [[m:Requests for permissions#Removal of access|cette page du site Meta-Wiki]]. {{Centrer|<big>[{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Raccourci|WV:RB|align=right}} == changement nom d'utilisateur == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, je souhaite que mon nom d'utilisateur soit modifié : Thib04789234 Merci d’effectuer ce changement au plus vite, je vous remercie. :Il faut faire la demande pour le renommer sur tous les sites de Wikimédia : [[meta:Changing_username]]. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 13 octobre 2020 à 19:43 (UTC) }} == Demande de renommage de mon nom d'utilisateur EclairEnZ en Claude Mariotti == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, je souhaite renommer mon compte d'utilisateur comme indiqué dans le titre ci-dessus. Je souhaiterais aussi que toutes mes contributions précédentes soient attribuées à ce nouveau compte d'utilisateur, Claude Mariotti. Merci d'avance ! {{sourire}} --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 1 juillet 2021 à 05:11 (UTC) :{{Notif|EclairEnZ}}La demande se fait [[meta:Changing_username/fr|ici]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discussion]]) 4 juillet 2021 à 17:39 (UTC) ::Merci David. Suis allé voir, bien compliqué tout ça (le faire en anglais). Finalement je laisse comme ça, quelle importance après tout, on n'est pas à l'Académie ! Surtout que je ne cache pas mon identité. Et Zorro ça me plaît bien. Bonne soirée, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discussion]]) 4 juillet 2021 à 20:48 (UTC) }} == Botflag LD AWBot == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, Suite à l'appel lancé par {{U-|Fourmidable}} sur le [[:w:Wikipédia:Le_Bistro/19_janvier_2022#Appel_à_contribution_sur_Wikiversité|Bistro de Wikipédia en français]], je soumets la candidature de {{U-|LD AWBot}} en tant que robot, déjà opérant sur Wikipédia en français, pour tenter d'apporter mon aide à [[Wikiversité:Requêtes_aux_bots#Mise_à_jour_des_listes_de_référents|cette RBOT]]. Par la même occasion, je souhaiterais présenter mon robot sur le JSON d'AWB ([[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON]] qui devra être créé par au moins un admin), sans quoi il ne pourra pas opérer. J'ai ou il a déjà ce statut sur [[:w:Wikipédia:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Wikipédia en français]], [[:wikiquote:fr:Wikiquote:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Wikiquote en français]] et [[:commons:Commons:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|Commons]]. Bien à vous, [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 19 janvier 2022 à 17:08 (UTC) :P.S. : Pour le JSON, j'ai oublié de préciser qu'il faudrait mieux appliquer une protection (sysop) après la création, cf. tâche phabricator [[:phabricator:T241196|n°T241196]] de {{U-|Reedy (WMF)}}. [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) :# {{Pour}} évidemment {{Sourire}} [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 19 janvier 2022 à 17:17 (UTC) :{{notif|LD}} je t’ai mis une [[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON|burette d'huile]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 janvier 2022 à 19:08 (UTC) ::Merci pour tout @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], il manque une dernière chose (désolé) : transformer le format de la page [[Wikiversité:AutoWikiBrowser/CheckPageJSON]] en JSON ; ::Pour ce faire, il faut le modifier via [[Spécial:ChangeContentModel]] en sélectionnant le nouveau modèle de contenu "json". Bien à toi, [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 19 janvier 2022 à 19:49 (UTC) :::{{notif|LD}} Ok, je te retire la burette d'huile et je te donne une pompe à graisse à la place . [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 19 janvier 2022 à 20:36 (UTC) ::::Merci encore @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], tout est en ordre désormais :-) [[Utilisateur:LD|LD]] ([[Discussion utilisateur:LD|discuter]]) 20 janvier 2022 à 00:13 (UTC) }} == Retrait du statut d'admin pour inactivité == {{Cadre|{{Requête refus}} '''Refusée''' Bonjour {{Mention|Crochet.david}}, Je te suggère de retirer le statut d'administrateur à {{U|Grondin}}, puisqu'il n'a pas contribué depuis le 3 mai 2021 (sans compter ses pages perso). Bien à toi, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 juin 2025 à 09:40 (UTC) :Bonjour. Ce n'est pas parce que je suis bureaucrate que je peux retirer des droits que je peux attribuer. C'est le cas ici, je ne peux pas retirer des droits d'administrateurs. De plus il contribue, les règles de la fondation sont de lui demander s'il souhaite voir ses droits retirés, sans son accord, il ne le sont pas. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 13 juin 2025 à 10:44 (UTC) ::Ah oui c'est vrai, je n'avais pas relu l'en-tête de cette page… Le retrait des droits d'admin après deux ans d'inactivité est une [[meta:Requests for comment/Activity levels of advanced administrative rights holders/Summary/fr|règle de la communauté Wikimédia]] (pas de la fondation) : [[Sujet:Wnhazmp7p1ww5esu|exemple]]. Je pense que les deux ans sont largement dépassés car ses deux contributions dans son espace principal ne témoignent pas d'une activité sur le wiki. Mais de toute façon un steward enverra un message deux ans après une inactivité totale, soit le 16 septembre 2025 s'il ne revient pas. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 juin 2025 à 12:54 (UTC) }} [[Catégorie:Wikiversité:Bureaucrate]] [[Catégorie:Requêtes à une catégorie d'utilisateurs]] cwxw2fcef8lexdba9l2enros2rn54xq 0 9088 965656 911872 2025-06-15T16:15:27Z Crochet.david 317 . 965656 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre_leçon = [[../|Conjugaison anglaise]] | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison en anglais]] | numéro = 5 | niveau = 2 | précédent = [[../Prétérit/]] | suivant = [[../Formation du participe passé/]] }} == L'expression du futur == === Généralités === Le futur en tant que temps grammatical à proprement parler n'existe pas en anglais ! On parlera plutôt d'''expression du futur''. Le futur s'exprime à l'aide de divers outils grammaticaux, principalement : * l'auxiliaire modal '''WILL''' * le présent continu (ou présent '''BE + ING''') * le présent simple * différentes structures telles que ''be going to'', ''be about to'', ''be to'' ou ''be likely to'' {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en|Tomorrow, I will go to the beach.|Demain, j'irai à la plage. (Simple information ou expression de la volonté de celui qui parle.)}} {{Traduction|langue1=en|Tomorrow, I am going to the beach.|Demain, je vais à la plage. (Celui qui parle s'y voit déjà un peu...)}} {{Traduction|langue1=en|I am going to have a baby !|Je vais avoir un bébé !}} {{Traduction|langue1=en|When I'm old|Quand je serai vieux}} {{Traduction|langue1=en|She won't do that|Elle ne voudra jamais faire ça, ou Elle ne veut (absolument) pas faire ça.}}}} L'expression du futur est une expression de la façon de voir les choses de la personne qui parle (l'énonciateur) à propos du sujet grammatical. Le sujet va utiliser la formule grammaticale la plus proche de sa représentation mentale du futur. Ainsi, avec WILL on est dans la volonté, avec BE + ING on "s'y voit déjà", avec le présent on est dans une simple logique verbale. === WILL ''ou shall'' === ==== Forme ==== * Forme affirmative: '''will''' (ou''''ll''') + base verbale {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en| They '''will''' (''''ll''') arrive before tea-time|Ils arriveront avant l'heure du thé}}}} * Forme négative: '''will not''' (ou '''won't''') + base verbale {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en| They '''will not''' ('''won't''') arrive before tea-time|Ils n'arriveront pas avant l'heure du thé}}}} * Forme interrogative: '''will''' + sujet + base verbale {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en| '''Will''' they arrive before tea-time?|Arriveront-ils avant l'heure du thé ?}}}} ==== Emploi ==== '''Will''' s'emploie dans les cas suivants: * Lorsqu'une décision est prise dans l'instant {{exemple | contenu = {{traduction | langue1 = en | I think '''I'll take''' a cup of tea. | Je pense que '''je vais prendre''' une tasse de thé. }} }} * Quand la réalisation de l'action dépend de circonstances extérieures {{exemple | contenu = {{traductions | langue1 = en | Do you think it '''will rain''' tomorrow? | Penses-tu qu''''il pleuvra''' demain?'' | Petrol '''will be''' very expensive in a few years. | Le pétrole '''sera''' très cher dans quelques années. }} }} * Pour exprimer une simple prédiction {{exemple | contenu = {{traduction | langue1 = en | One day, you''''ll understand'''. | Un jour tu '''comprendras'''. }} }} === Le futur continu (Will be + ing) === ==== Forme ==== '''Will be''' + verbe en '''ing''' {{Exemple | contenu = I ''''ll be''' ly'''ing''' on the beach. ''forme affirmative''<br /> I '''won't be''' ly'''ing''' on the beach. ''forme négative''<br /> '''Will''' I '''be''' ly'''ing''' on the beach? ''forme interrogative''}} ==== Emploi ==== La forme verbale '''will be + -ing''' implique une action en cours de déroulement dans l'avenir, qui durera un certain temps {{Exemple | contenu = Next month, I '''won't be''' writ'''ing''' letters and answer'''ing''' the telephone. I ''''ll be''' ly'''ing''' on the beach. }} === Le futur perfect (Will have + participe passé) === ==== Forme ==== '''Will have + participe passé''' du verbe {{Exemple | contenu = We''''ll have''' finish'''ed''' our work by ten. ''forme affirmative''<br /> We '''won't have''' finish'''ed''' our work by ten. ''forme négative''<br /> '''Will''' we '''have''' finish'''ed''' our work by ten? ''forme interrogative''}} ==== Emploi ==== La forme verbale '''will have + participe passé''' (le futur perfect) sert à envisager une action qui est accomplie dans le futur. Elle correspond au futur antérieur français. {{exemple | contenu = {{traductions | langue1 = en | He '''won't have read''' the article. | Il '''n'aura pas lu''' l'article | '''Will''' you '''have''' finish'''ed''' painting the door ? | '''Aurez vous fini''' de peindre la porte? }} }} ===== Le futur perfect continu ===== La forme continue de ce temps existe mais est très peu usitée: <br /> By eight o'clock, '''I'll have been digging''' the garden for more than two hours. === La projection dans l'avenir avec le présent continu (présent be + ing) === === La projection dans l'avenir avec le présent simple === === Les autre expressions du futur === ==== Le futur d'intention et le futur avec "be going to" ==== Tout comme son équivalent en français, l’expression "be going to" est relativement utilisée, c’est pourquoi il convient d’en connaitre les emplois et la formation grammaticale. ===== Forme ===== '''Be''' (conjugué) + '''going to''' + base verbale {{Exemple | contenu = It '''is ('s) going to''' rain. ''forme affirmative''<br /> It '''is not (isn't) going to''' rain. ''forme négative''<br /> '''Is''' it '''going to''' rain? ''forme interrogative''}} ===== Emplois ===== ====== Futur d'intention ====== Lorsqu'une décision est déjà prise, on parle de "futur d'intention", on a déjà décidé d'accomplir l'action (dans le futur) au moment ou l’on parle. Le futur d'intention est généralement traduit en français par "je vais...". {{Exemple | contenu = She''''s going to study''' computer-science. ''Elle va étudier l'informatique''<br /> What '''are''' you '''going to''' do? I''''m going to clean''' my room. ''Que vas-tu faire/qu'as tu prévu de faire? Je vais nettoyer ma chambre.''}} ====== Prévision basée sur des éléments présents ====== Lorsque, grâce à des éléments tangibles (indices dans le présent) le locuteur pense pouvoir prévoir un évènement à venir, il utilisera le "futur proche". {{Exemple | contenu = The sky is very cloudy. '''It's going to rain.''' ''C'est parce que le ciel est très nuageux que je prédit qu’il va pleuvoir''}} ==== futur immédiat (be about to) ==== ===== Forme ===== '''Be''' (conjugué) '''about to''' + base verbale ===== Emploi ===== Le futur immédiat ('''be about to''') s'emploie lorsque la réalisation de l'action est imminente. Elle se traduit généralement en français par l’expression "être sur le point de". {{Exemple | contenu = Hurry up! The train '''is about to leave'''. ''Le train est sur le point de partir''}} ==== be to ==== '''Be to''' s'emploi surtout dans la langue écrite, et sert à exprimer ce qui a été officiellement prévu de faire dans le futur, ou bien indiquer qu'un engagement est pris, que la date et l’heure en sont même éventuellement fixées. En français, on traduit le plus souvent par le verbe "devoir". {{Exemple | contenu = Prince Charles '''is to visit''' France next week. ''Le Prince Charles doit effectuer une visite en France la semaine prochaine''.<br /> The new president '''is to be elected''' in May. ''le nouveau président doit être élu en mai''}} ==== be likely to ==== {{...}} ==== be sure to ==== {{...}} ==== be bound to ==== {{...}} == Le futur dans les subordonnées de temps == L'expression du futur dans les subordonnées circonstancielles de temps pose un problème grammatical particulier, dans la mesure où l'emploi des auxiliaires privilégiés du futur y est souvent impossible. === La traduction du futur simple français === On ne peut ''jamais'' employer '''will''' dans une subordonnée circonstancielle de temps introduite avec '''when''' Exemple : '' Quand j'aurai vingt-cinq ans, je me marierai avec mon meilleur ami'' : When I'm twenty five, I'll marry my best friend et en aucun cas : <s>When I will be twenty five</s>... === La traduction du futur antérieur français === {{...}} {{manque d'exercices}} {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison en anglais]] | précédent = [[../Prétérit/]] | suivant = [[../Formation du participe passé/]] }} 604h3irywovde142uxr9jzi1108eo4l 4 13707 965687 965309 2025-06-15T17:16:07Z Fourmidable 50100 965687 wikitext text/x-wiki __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;">{{Archives|an|Wikiversité:Pages à fusionner|2007|2021|en-tête=1|background=transparent|séparateur=&nbsp;·&nbsp;}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #853d60; border-radius: 0; background-color: #d6c2d1; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:#be9baf; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Pages à fusionner}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[File:Merge-arrows.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page permet de proposer la [[Aide:Fusion|fusion]] de plusieurs pages.</strong>{{clr}} <strong style="font-size:1.0em">Proposer la fusion de plusieurs pages</strong> #Ajoutez le modèle {{m|À fusionner}} correctement renseigné sur les pages à fusionner (au maximum 6). #Effectuez une requête en cliquant sur le bouton ci-après avec comme titre : <code>titrepage1 et titrepage2</code> (ici, dans le cadre d'une fusion de deux pages) et donnez vos arguments. #Les autres contributeurs pourront donner leur avis et un administrateur effectuera les actions nécessaires. *N'oubliez pas de signer vos messages avec quatre tildes <code><nowiki>~~~~</nowiki></code> ou en cliquant directement sur <code>[[Image:OOjs UI icon signature-ltr.svg|link=]]</code>. *Toutes les pages proposées à la fusion sont répertoriées ici : [[:Catégorie:Pages à fusionner]]. *En savoir plus sur la procédure de fusion : [[Aide:Fusion]]. {{Centrer|<big>[{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> [[Catégorie:Discussions communautaires]] [[Catégorie:Pages à fusionner|*]] == [[Bases de la photographie]], [[Photographie : éléments de base]] et [[Rudiments sur l'appareil photographique]] == --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 25 septembre 2022 à 07:57 (UTC) # {{pour}} Je ne suis pas spécialiste mais cela me semble complémentaire en termes de contenu et de niveau. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 10 février 2023 à 14:58 (UTC) # {{pour}} fusionner [[Bases de la photographie]] et [[Photographie : éléments de base]] mais ::{{contre}} fusionner [[Rudiments sur l'appareil photographique]] car fait partie d'un cours [[Physique des arts appliqués]] , niveau 11. [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 11 février 2023 à 19:23 (UTC) == [[Modèle:À formater]] et [[Modèle:À wikifier]] == [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 janvier 2023 à 17:22 (UTC) # {{pour}} Totalement d'accord que le premier est un alias du second, second bien connu sur les projets frères. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 10 février 2023 à 15:01 (UTC) # {{pour}} [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 11 février 2023 à 19:23 (UTC) :{{fait}}[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 3 mars 2023 à 17:47 (UTC) == [[Modèle:Utilisateur Enseignant]] et [[Modèle:Utilisateur Professeur]] == [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 10 février 2023 à 14:17 (UTC) # {{plutôt pour}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 10 février 2023 à 15:02 (UTC) # {{pour}} mais avec le nom Utilisateur Enseignant, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 11 février 2023 à 19:23 (UTC) #:{{Notif|Geoleplubo}} je suis d'accord. "Enseignant" est valable pour tous les âges. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 12 février 2023 à 17:32 (UTC) == [[Préparation au CEP camerounais]] et [[Scolarité au Cameroun/CEP]] == [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 3 mars 2023 à 10:26 (UTC) # <s>{{pour}} Effectivement. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 mars 2023 à 10:58 (UTC)</s> #: Plus besoin après la modif décrite ci-dessous. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 3 mars 2023 à 15:53 (UTC) # {{contre}} Il ne faut pas confondre les structures avec les cours. C’est comme si l’on confondait une classe en tant que bâtiment et le cours qui s’y déroule. C’est vrais que cela fait bizarre de trouver un seul cours dans une structure donnée, mais il faut faire les choses proprement sinon les contributeurs ne vont plus s’y reconnaitre. En fait, il faudrait, sans doute, changer le titre de la structure mais je ne connaissais pas le nom précis de la structure dans la quelle est enseigné le CAP au Cameroun. C’était pas évident, à l’époque, de communiquer avec les personnes qui ont fait ces contributions. Peut-être qu’un titre du style "Classe du certificat d’étude primaire" serait plus approprié en attendant que des contributeurs camerounais fassent les choses correctement (je vais faire la modification) (çà y est, c’est fait!).-[[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisatrice:Lydie Noria|discuter]]) 3 mars 2023 à 13:23 (UTC) # {{contre}} finalement, après avoir voté ''pour'' dans un premier temps, je me rallie à présent aux arguments de Lydie Noria. [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 3 mars 2023 à 15:36 (UTC) #: Bonsoir {{Notif|Lydie Noria|Geoleplubo}} toute "structure" doit être nommée de la manière suivante : <code>Scolarité en [pays]/[Diplôme préparé]</code> selon la convention de nommage. Sur Wikiversité, j'ai toujours compris le mot "structure" comme une formation sur plusieurs années qui aboutit à l'obtention d'un diplôme (sur examen, concours ou contrôle continu). Le CEP camerounais est un diplôme (A) qui se prépare en plus d'un an (B), c'est donc une structure et non un cours. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 5 mars 2023 à 19:59 (UTC) #:: Bonjour {{Mention|Fourmidable}}. Je suis désolée de te l’apprendre, mais, sur Wikiversité, le mot "structure" ne désigne pas une formation sur plusieurs années qui aboutit à l'obtention d'un diplôme. C’est moi-même qui est créée le [[Modèle:Structure]] et défini sa signification et son utilisation dans [[Modèle:Structure/Documentation]]. Donc je vois mal comment il pourrait signifier autre chose que la définition que je lui ai donné. Le modèle structure sert à reproduire la structure éducative d’un pays sous forme arborescente. Par exemple [[Cinquième (France)]] représente la classe de cinquième qui est une sous structure de la structure de [[Scolarité en France/Collège]] qui est une sous structure de la [[Scolarité en France]]. En fait, je n’ai fait que concrétiser, à l’aide d’un modèle, la prise de décision [[Wikiversité:Prise de décision/Regroupement des cours par scolarité]]. Donc si tu veux changer la façon d’organiser la Wikiversité, il faut que tu refasses une prise de décision. --[[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisatrice:Lydie Noria|discuter]]) 6 mars 2023 à 13:32 (UTC) #:::{{Notif|Lydie Noria}} je vois. Je me suis emmêlé les pinceaux dans mon explication… En fait, cette configuration pose problème au niveau de la définition des "cours". Normalement, les cours correspondent à un programme annuel dans une discipline particulière. Exemples : [[Mathématiques en terminale générale]], [[Français en CM1]]… Or, ici, [[Préparation au CEP camerounais]] est une page de cours dont le titre englobe plusieurs années d'étude et plusieurs disciplines. Exactement comme la page de structure. :::::Normalement, on s'attendrait à : :::::* une page de <u>structure</u> ([[Scolarité au Cameroun/CEP]]), qui affiche la liste des <u>cours</u> préparant au CEP, par discipline et par année ; :::::* et donc, plusieurs pages de cours (une par discipline et par année). L'école primaire camerounaise compte [http://www.minedub.cm/index.php?id=33 6 classes] donc voici quelques exemples de titres de pages de cours : ''Mathématiques en CIL'', ''Histoire en CP (Cameroun)''... :::::Par ailleurs, je suis favorable au renommage de [[Scolarité au Cameroun/CEP]] en [[Scolarité au Cameroun/Primaire]] pour simplifier les choses (on a créé [[Scolarité en France/Lycée]], pas [[Scolarité en France/Baccalauréat]]...). Je notifie {{Mention|JackPotte}} et {{Mention|Geoleplubo}} afin qu'ils donnent leur avis sur ce nouveau sujet. :::::--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 6 mars 2023 à 14:12 (UTC) ::::::{{Notif|Fourmidable}} OK pour le renommage de [[Scolarité au Cameroun/CEP]] en [[Scolarité au Cameroun/Primaire]]. Si je ne l’ai pas appelé ainsi, c’est parce que je ne sais pas si ce nom est correct au Cameroun. Pour le reste, dans ma vision des choses, un cours est un ensemble de leçons regroupées dans un certain but, pas forcément toute sur la même discipline (voir [[Art martial]] par exemple). Je ne dirais pas que tu as tord en voulant faire un cours par matière enseignée dans le but de passer le CEP au Cameroun, mais vu comme les choses se sont passé à l’époque, je pense qu’il y a peu d’espoir de voir tous ces cours complétés un jour et on va se retrouver avec au moins 8 cours contenant chacun 1 ou 2 sujets d’examen sans leçons. C’est pour cela que j’ai tout regroupé dans un seul cours, quitte à le scinder en plusieurs cours par la suite si les Camerounais venaient en masse contribuer. Mais bon, tu peux scinder en plusieurs cours par matière si tu penses que c’est mieux ! --[[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisatrice:Lydie Noria|discuter]]) 6 mars 2023 à 16:21 (UTC) :::::::OK ! On parle bien d'"école primaire" au Cameroun d'après le site du ministère. De toute façon, ne vous inquiétez pas, je ne compte pas créer des coquilles vides. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 7 mars 2023 à 08:31 (UTC) == [[Recherche:Département:Linguistique]] et [[Faculté:Langues construites/Travaux de recherche]] et [[Faculté:Langues/Travaux de recherche]] == Suite à [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/2023#id Faculté:Linguistique ?|discussion]] (et, pour le cas de "Langues construites", suite à suppression de la faculté). [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 mai 2023 à 11:00 (UTC) :[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], il me semble que [[Recherche:Département:Linguistique]] devrait fusionner avec [[Faculté:Sciences cognitives/Travaux de recherche]] puisque la Linguistique est dans cette faculté et, d'autre part, [[Faculté:Langues construites/Travaux de recherche]] dans [[Faculté:Langues/Travaux de recherche]], [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 22 mai 2023 à 12:25 (UTC) ::OK. C'est vrai que la linguistique est, à proprement parler, une discipline des sciences cognitives (la [[Faculté:Langues]] fonctionnant sur le principe : "un département par langue"). [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 mai 2023 à 13:04 (UTC) == [[Psychologie des violences conjugales]] == * [[Comprendre les violences conjugales]] dans [[Psychologie des violences conjugales/Comprendre]] * [[Prévenir les violences conjugales]] dans [[Psychologie des violences conjugales/Prévenir]] * [[Introduction]] dans [[Psychologie des violences conjugales/Présentation de la leçon]] [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 19 mai 2025 à 09:09 (UTC) == [[Le français en classe de cinquième]] dans [[Français en cinquième]] == Cordialement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 21 mai 2025 à 15:05 (UTC) == fusion entre [ [[Intervalles]] ], [ [[Intervalle, accord]] ] et [ [[Accord]] ].== # {{pour}}, oui pour la fusion de [[Intervalle, accord]] dans les leçons [[Intervalles]] d'une part et dans [[Accord]] d'autre part. [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 juin 2025 à 22:27 (UTC). ax7jdoqx888rixx9v4pghyc2iavnrim 0 24062 965704 913187 2025-06-16T04:39:12Z 2A01:CB18:1150:4600:C5FF:3372:4F9:EE19 /* Propriétés */Correction erreur de français 965704 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | niveau = 16 | précédent = [[../Introduction et rappels/]] | suivant = [[../Méthode de la transformée inverse/]] }} == Générateurs pseudo-aléatoires == === Principe : comment simuler le hasard ? === L'objectif principal de ce chapitre est d'apprendre comment on peut simuler une variable aléatoire par ordinateur. Ou en d'autres mots : comment faire en sorte qu'un ordinateur donne des chiffres au hasard ? La réponse est claire : c’est '''impossible'''. Une machine a besoin d'un algorithme pour fonctionner, et ne peut donc pas générer de lui-même des nombres sans instruction. Néanmoins, on peut lui donner un code qui permettrait de générer des chiffres de sorte qu'on puisse avoir des nombres '''approchant''' un tirage hasardeux. Il suffirait que les nombres obtenus donnent des résultats satisfaisants à divers tests statistiques pour qu'on puisse supposer qu’ils sont aléatoires. On parle dans ce cas de générateurs '''pseudo-aléatoires''', puisque malgré tout, un algorithme, forcément déterministe, est utilisé. === Propriétés === ;Périodicité: La plupart des générateurs présentent un biais majeur : à cause de l'état déterministe d'un tel algorithme et des ressources limitées de la machine, le générateur sera forcément '''périodique''', c'est-à-dire que toute séquence qu’il engendrera atteindra le même état au moins deux fois. On peut néanmoins pallier ce problème en utilisant pour le même algorithme, différentes ''graines'' (le premier terme) ou utiliser des défauts techniques (imprécision de la machine,...) ;Biais: Du fait de l'état déterministe, un test statistique, du moment qu’il a suffisamment de données, devrait en théorie montrer justement que les tirages obtenus par un générateur pseudo-aléatoire n'ont justement rien d'aléatoire. Seulement, les crypto-analystes considèrent qu'actuellement, aucune machine n'offre assez de puissance et de mémoire pour y parvenir. Cependant, un test statistique peut mettre en lumière des défauts tels que : * période plus courte avec certaines graines * qualité du générateur qui varie fortement selon la graine * distribution imparfaite, manque d'uniformité * mauvaise distribution dans un espace de dimension supérieure à 1 * ou au contraire : distribution trop idéale, uniformité trop parfaite * valeurs successives qui ne sont pas indépendantes (ce qui est toujours le cas, sauf si on injecte des données, issues de sources aléatoires, dans une étape de la génération) * certains bits dans les sorties sont moins aléatoires (par exemple, le bit n^o8 reste souvent à 1) {{Attention|Avant utilisation d'un générateur, il convient toujours de lui faire subir un test statistique avalisant son caractère pseudo-aléatoire.}} == Exemples == === Générateur de Von Neumann === Cette méthode, connue également connue sous le nom de ''middle-square'', est une des premières utilisées comme générateur pseudo-aléatoire. L'algorithme utilisé est simple : # Prendre un nombre de ''n'' chiffres # L'élever au carré # Prendre les ''n'' chiffres du milieu et ainsi de suite. Simple, il présente un grand défaut : il est de période très faible, quelle que soit la graine. Il montra donc ses limites lors des applications dans la méthode de Monte-Carlo. === Méthode de Fibonacci === Cette méthode est basée sur la construction de la suite de Fibonacci. Elle utilise l'algorithme : <math>X_n \equiv X_{n-1} + X_{n-2} [M]</math> avec <math>X_0, X_1</math> donnés. On peut généraliser en écrivant : <math>X_n \equiv X_{n-1} + X_{n-k} [M]</math> avec <math>X_0,\ldots, X_{k-1}</math> donnés. Simple d'implémentation, la qualité de ce générateur dépend de ''k'' et des graines utilisées. === Générateurs congruentiels === {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Introduction et rappels/]] | suivant = [[../Méthode de la transformée inverse/]] }} jkzrmrx03jk8vtg7cvn12ocjk9g0f0k 4 31899 965689 957992 2025-06-15T17:18:58Z Fourmidable 50100 965689 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {| cellspacing="0" cellpadding="5" style="width: 100%;" | [[Image:Nuvola apps edu languages.svg|55px|link=:Catégorie:Langues|Catégorie:Langues]] | ; Langues [[Faculté:Langues|Langues]] • [[Faculté:Français|Français]] |- | [[Image:Crystal_Clear_app_Community_Help.png|55px|link=:Catégorie:Sciences humaines et sociales|Catégorie:Sciences humaines et sociales]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sciences humaines et sociales [[Faculté:Droit|Droit]] • [[Faculté:Économie|Économie]] • [[Faculté:Géographie|Géographie]] • [[Faculté:Gestion|Gestion]] • [[Faculté:Histoire|Histoire]] • [[Faculté:Pédagogie|Pédagogie]] • [[Faculté:Philosophie|Philosophie]] • [[Faculté:Politique|Politique]] • [[Faculté:Socio-anthropologie|Socio-anthropologie]] • [[Faculté:Théologie|Théologie]] |- | [[Image:Science-symbol-2.svg|55px|link=:Catégorie:Sciences exactes et naturelles|Catégorie:Sciences exactes et naturelles]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sciences exactes et naturelles [[Faculté:Astronomie|Astronomie]] • [[Faculté:Chimie|Chimie]] • [[Faculté:Environnement|Environnement]] • [[Faculté:Géologie|Géologie]] • [[Faculté:Mathématiques|Mathématiques]] • [[Faculté:Physique|Physique]] |- | [[Image:Caduceus color.svg|55px|link=:Catégorie:Sciences de la vie et de la santé|Catégorie:Sciences de la vie et de la santé]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sciences de la vie et de la santé [[Faculté:Biologie|Biologie]] • [[Faculté:Médecine|Médecine]] • [[Faculté:Psychologie|Psychologie]] • [[Faculté:Sciences cognitives|Sciences cognitives]] |- | [[Image:Nuvola apps konqueror.png|55px|link=:Catégorie:Technologie et sciences appliquées|Catégorie:Technologie et sciences appliquées]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Technologie et sciences appliquées [[Faculté:Informatique|Informatique]] • [[Faculté:Sciences de l'ingénieur|Sciences de l'ingénieur]] • [[Faculté:Transport|Transport]] • [[Faculté:Urbanisme|Urbanisme]] |- | [[Image:Musical note nicu bucule 01.svg|55px|link=:Catégorie:Études artistiques|Catégorie:Études artistiques]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Études artistiques [[Faculté:Arts plastiques|Arts plastiques]] • [[Faculté:Infographie|Infographie]] • [[Faculté:Littérature|Littérature]] • [[Faculté:Musique|Musique]] |- | [[Fichier:Applications-games.svg|55px|link=:Catégorie:Sports et loisirs|Catégorie:Sports et loisirs]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sports et loisirs [[Faculté:Jeux|Jeux]] • [[Faculté:Sports|Sports]] • [[Faculté:Tourisme|Tourisme]] |} <div style="text-align: center; font-weight: bold;">Pour la liste complète des disciplines (départements), [[Wikiversité:Départements|cliquez ici]].</div> <noinclude> [[Catégorie:Université:Racine]] </noinclude> o2aadri3g37kopotsckbl6f36d90yo6 965690 965689 2025-06-15T17:20:25Z Fourmidable 50100 965690 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {| cellspacing="0" cellpadding="5" style="width: 100%;" | [[Image:Nuvola apps edu languages.svg|55px|link=:Catégorie:Langues|Catégorie:Langues]] | ; Langues [[Faculté:Langues|Langues]] • [[Faculté:Français|Français]] |- | [[Image:Crystal_Clear_app_Community_Help.png|55px|link=:Catégorie:Sciences humaines et sociales|Catégorie:Sciences humaines et sociales]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sciences humaines et sociales [[Faculté:Droit|Droit]] • [[Faculté:Économie|Économie]] • [[Faculté:Géographie|Géographie]] • [[Faculté:Gestion|Gestion]] • [[Faculté:Histoire|Histoire]] • [[Faculté:Pédagogie|Pédagogie]] • [[Faculté:Philosophie|Philosophie]] • [[Faculté:Politique|Politique]] • [[Faculté:Socio-anthropologie|Socio-anthropologie]] • [[Faculté:Théologie|Théologie]] |- | [[Image:Science-symbol-2.svg|55px|link=:Catégorie:Sciences exactes et naturelles|Catégorie:Sciences exactes et naturelles]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sciences exactes et naturelles [[Faculté:Astronomie|Astronomie]] • [[Faculté:Chimie|Chimie]] • [[Faculté:Environnement|Environnement]] • [[Faculté:Géologie|Géologie]] • [[Faculté:Mathématiques|Mathématiques]] • [[Faculté:Physique|Physique]] |- | [[Image:Caduceus color.svg|55px|link=:Catégorie:Sciences de la vie et de la santé|Catégorie:Sciences de la vie et de la santé]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sciences de la vie et de la santé [[Faculté:Biologie|Biologie]] • [[Faculté:Médecine|Médecine]] • [[Faculté:Psychologie|Psychologie]] • [[Faculté:Sciences cognitives|Sciences cognitives]] |- | [[Image:Nuvola apps konqueror.png|55px|link=:Catégorie:Technologie et sciences appliquées|Catégorie:Technologie et sciences appliquées]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Technologie et sciences appliquées [[Faculté:Informatique|Informatique]] • [[Faculté:Sciences de l'ingénieur|Sciences de l'ingénieur]] • [[Faculté:Transport|Transport]] • [[Faculté:Urbanisme|Urbanisme]] |- | [[Image:Musical note nicu bucule 01.svg|55px|link=:Catégorie:Études artistiques|Catégorie:Études artistiques]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Études artistiques [[Faculté:Arts plastiques|Arts plastiques]] • [[Faculté:Infographie|Infographie]] • [[Faculté:Littérature|Littérature]] • [[Faculté:Musique|Musique]] |- | [[Fichier:Applications-games.svg|55px|link=:Catégorie:Sports et loisirs|Catégorie:Sports et loisirs]] | style="border-top: 2px dotted #DDDDF7;" | ; Sports et loisirs [[Faculté:Jeux|Jeux]] • [[Faculté:Sports|Sports]] • [[Faculté:Tourisme|Tourisme]] |} <div style="text-align: center; font-weight: bold;">[[Wikiversité:Départements|⇒ Liste complète des disciplines (départements) ⇐]]</div> <noinclude> [[Catégorie:Université:Racine]] </noinclude> 4nqd01zuzvghhdjavx1i73yto9nq0vc 4 33560 965683 964386 2025-06-15T17:10:55Z Fourmidable 50100 965683 wikitext text/x-wiki {{nobots}} __NEWSECTIONLINK__ <includeonly>[[Catégorie:Wikiversité:Administrateur]]</includeonly> <noinclude>[[Catégorie:En-têtes de la Wikiversité]]</noinclude> {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;">{{archives|an|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs|2006|en-tête=1|background=transparent|séparateur=&nbsp;·&nbsp;}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux administrateurs}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Vous avez besoin d'un [[Wikiversité:Administrateur|administrateur]] ?</strong> Les administrateurs peuvent notamment : * '''bloquer''' en écriture d'autres utilisateurs ; * '''supprimer''' et '''restaurer''' une page supprimée ; * '''protéger''' une page contre les modifications des visiteurs non enregistrés ; * modifier les '''pages protégées''', les '''messages système''' et (de manière limitée) le '''design du site'''. [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|27px|link=|alt=Attention]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Si votre requête concerne :</strong> * une page problématique → apposez le modèle {{m|Suppression immédiate}} sur la page concernée ; * une page dont l'admissibilité peut être débattue → consultez la procédure sur [[Wikiversité:Débat d'admissibilité]] ; * une demande d'import → déposez-la sur [[Wikiversité:Requêtes import]] ; * une demande de fusion → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages à fusionner]] ; * une violation du droit d'auteur → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]. <br> {{Centrer|<big>[{{fullurl:Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/{{CURRENTYEAR}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Clr}} {{Raccourci|WV:RA|WV:Svp Admin|align=right}} __TOC__ mq7by6mynzzwsnmxij74nd9okqnat3h 965684 965683 2025-06-15T17:11:58Z Fourmidable 50100 965684 wikitext text/x-wiki {{nobots}} __NEWSECTIONLINK__ <includeonly>[[Catégorie:Wikiversité:Administrateur]]</includeonly> <noinclude>[[Catégorie:En-têtes de la Wikiversité]]</noinclude> {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;">{{archives|an|Wikiversité:Requêtes aux administrateurs|2006|en-tête=1|background=transparent|séparateur=&nbsp;·&nbsp;}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux administrateurs}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Besoin d'un [[Wikiversité:Administrateur|administrateur]] ?</strong> Les administrateurs peuvent notamment : * '''bloquer''' en écriture d'autres utilisateurs ; * '''supprimer''' et '''restaurer''' une page supprimée ; * '''protéger''' une page contre les modifications des visiteurs non enregistrés ; * modifier les '''pages protégées''', les '''messages système''' et (de manière limitée) le '''design du site'''. [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|27px|link=|alt=Attention]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Si votre requête concerne :</strong> * une page problématique → apposez le modèle {{m|Suppression immédiate}} sur la page concernée ; * une page dont l'admissibilité peut être débattue → consultez la procédure sur [[Wikiversité:Débat d'admissibilité]] ; * une demande d'import → déposez-la sur [[Wikiversité:Requêtes import]] ; * une demande de fusion → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages à fusionner]] ; * une violation du droit d'auteur → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]. <br> {{Centrer|<big>[{{fullurl:Wikiversité:Requêtes aux administrateurs/{{CURRENTYEAR}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Clr}} {{Raccourci|WV:RA|WV:Svp Admin|align=right}} __TOC__ 2ryyfn069iz8iba3hbp11gk2h4bcb5j 14 45361 965692 957783 2025-06-15T17:41:24Z Fourmidable 50100 965692 wikitext text/x-wiki Cette catégorie regroupe les '''contributeurs prêts à vous aider'''. Pour contacter l'un d'eux, cliquez sur son pseudo (Utilisateur:Pseudo) puis sur "Discussion" (en haut à gauche, sous le pseudo) et enfin sur "Ajouter un sujet" (en haut à droite). {{Boîte déroulante|titre=Vous inscrire|contenu=Pour apparaître sur cette liste, ajoutez <code><nowiki>{{Utilisateur Aide}}</nowiki></code> sur votre page personnelle.}} ''Note aux contributeurs prêts à aider :'' '''Pensez à vous désinscrire''' (retirer le bout de code de votre page personnelle) '''si vous n'êtes plus en mesure de répondre en quelques jours aux questions posées sur votre page de discussion.''' Cette catégorie a été mise à jour pour la dernière fois le 6 février 2024. {{Clr}} [[Catégorie:Utilisateurs par profil]] ory6qqqkyh3ed1a64qd9acrqr11ey4r 965693 965692 2025-06-15T17:42:25Z Fourmidable 50100 965693 wikitext text/x-wiki Cette catégorie regroupe les '''contributeurs prêts à vous aider'''. Pour contacter l'un d'eux, cliquez sur son pseudo (Utilisateur:Pseudo) puis sur "Discussion" (en haut à gauche, sous le pseudo) et enfin sur "Ajouter un sujet" (en haut à droite). {{Boîte déroulante|titre=Vous inscrire|contenu=Pour apparaître sur cette liste, ajoutez <code><nowiki>{{Utilisateur Aide}}</nowiki></code> sur [[Spécial:MaPage|votre page personnelle]].}} ''Note aux contributeurs prêts à aider :'' '''Pensez à vous désinscrire''' (retirer le bout de code de [[Spécial:MaPage|votre page personnelle]]) '''si vous n'êtes plus en mesure de répondre en quelques jours aux questions posées sur votre page de discussion.''' Cette catégorie a été mise à jour pour la dernière fois le 6 février 2024. {{Clr}} [[Catégorie:Utilisateurs par profil]] hsnc2q3fh0ks6ipljyxiw5h6y0psr4y 12 48978 965659 964801 2025-06-15T16:37:46Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965659 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] Ce peut être l'ensemble des leçons utiles à la préparation d'un concours de recrutement : * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> 62j554c3zwhbzjpvgyhssfdhab052u3 965660 965659 2025-06-15T16:39:37Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965660 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] Ce peut être l'ensemble des leçons utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL]] Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> o3dw85ki11vlemkpif5ckr5gp1wi4yd 965661 965660 2025-06-15T16:39:55Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965661 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante, ou utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL]] Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> j6htzhz7qgldpprjba3s4hz3defiqzq 965662 965661 2025-06-15T16:40:47Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965662 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). === Cours d'enseignement primaire ou secondaire === Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] === Cours d'enseignement supérieur === Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante, ou utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL]] Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> sixgpi18pfutmsmsgvmt70bf4jm34ca 965663 965662 2025-06-15T16:41:10Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965663 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). === Cours d'enseignement primaire ou secondaire === Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] === Cours d'enseignement supérieur === Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante, ou utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL|Classe préparatoire A/L]] === Autres cours === Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> e1wxryd8z9etcpz83ikerymdnvd23k7 965664 965663 2025-06-15T16:41:29Z Fourmidable 50100 /* Cours d'enseignement supérieur */ 965664 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). === Cours d'enseignement primaire ou secondaire === Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] === Cours d'enseignement supérieur === Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante, ou utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL|Classe préparatoire littéraire A/L]] === Autres cours === Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> 8w52na30qij3ed1tg8ds5e19cax7q9l 965665 965664 2025-06-15T16:44:29Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965665 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). → C'est-à-dire, à un programme. === Cours d'enseignement primaire ou secondaire === Ce peut être l'ensemble des leçons données durant une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] === Cours d'enseignement supérieur === Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante, ou utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL|Classe préparatoire littéraire A/L]] === Autres cours === Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. Par conséquent, en dehors de la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Nous devons nous efforcer de ne faire apparaître aucune allusion au cours auquel la leçon est rattachée de façon à ce que cette leçon puisse, dans l'avenir, être choisie pour d'autres cours. Cela est nécessaire pour économiser les leçons. Une même leçon doit pouvoir être réutilisée dans tous les pays francophones, pour divers cours, ce qui permettra d’éviter de la réécrire en plusieurs exemplaires à quelques détails près. == À propos de Wikidata == Sur Wikidata, nous ne pouvons rentrer qu'une page pour un thème donné. Or Wikiversité peut être amené à faire plusieurs leçons sur un même thème et nous ne savons pas alors laquelle de ces leçons rentrer dans Wikidata. Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> 3gx72pzrheh9mfpypvtyllo2suat5a9 965666 965665 2025-06-15T16:45:29Z Fourmidable 50100 /* Qu'est-ce qu'un cours ? */ 965666 wikitext text/x-wiki {{Palette comment créer}} == Qu'est-ce qu'un cours ? == Un cours est un ensemble de [[Aide:Comment créer une leçon|leçons]] qui correspondent : * à une même discipline, voire une même thématique ; * ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). → C'est-à-dire, à un programme. === Cours d'enseignement primaire ou secondaire === Ce peut être l'ensemble des leçons d'une année scolaire pour une matière particulière : * [[Humanités, littérature et philosophie en terminale générale]] * [[Histoire-géographie en première générale]] * [[Mathématiques en seconde générale et technologique]] === Cours d'enseignement supérieur === Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'un module universitaire (certificat) données durant un semestre dans une université : * [[Système d'Information pour Stratégie et Pilotage d'Entreprise]] * [[Mécanique des fluides]] * [[Outils mathématiques pour la physique]] Ce peut être l'ensemble des leçons (UV) d'une formation professionnelle diplômante, ou utiles à la préparation d'un concours ou d'un examen : * [[CQP Chargé de clientèle assurance]] * [[CAPES éducation musicale et chant choral]] * [[Agrégation de mathématiques]] * [[Hypokhâgne AL|Classe préparatoire littéraire A/L]] === Autres cours === Ce peut être un cours quelconque enseignant une discipline particulière décomposable en plusieurs leçons et difficilement condensable en une seule leçon : * [[Jeu d'échecs]] * [[Art martial]] * [[Jazz]] == Différence entre un cours et un département == {{Loupe|Wikiversité:Organisation des enseignements}} Certains se demandent quelle est la différence entre un cours et un département. Un département est quelque chose de bien plus général qu'un cours. Il est censé contenir un très grand nombre de leçons plus d'autres documents entrant dans le thème du département. Un cours est beaucoup plus spécialisé et peut se limiter à peu de leçons (moins d'une vingtaine, voire trois ou quatre). Il est donc très important de bien réfléchir si vous hésitez entre créer un cours et créer un département. * Si vous pensez qu'il peut contenir potentiellement plus de 100 leçons, c'est très certainement un département. * Si vous pensez qu'il peut difficilement contenir plus de 20 leçons, c'est probablement un cours. * Entre 20 et 100 leçons, faire entrer en considération le degré de spécialisation en question. Exemples : [[Département:Algèbre]] est un département, car l'algèbre est vaste et englobe beaucoup de cours ou leçons possibles. [[Mathématiques en terminale générale]] est un cours, car les leçons répondent à un programme précis enseigné dans le cadre d'une année scolaire et leur nombre ne peut pas être très élevé, car le programme de « spécialité de terminale générale » est limité à ce que peuvent assimiler les élèves en une année. == Créer un cours == Pour créer un nouveau cours, entrez le nom du cours dans la boîte suivante et lisez la suite de cette aide pour bien remplir la page qui s'affichera. <div style="text-align: center;">Entrez ici le titre du cours :</div> <inputbox> bgcolor=#EEFFEE preload=Modèle:Patron cours editintro=Modèle:Patron cours/editintro type=create buttonlabel=Créer un cours </inputbox> == La page de présentation == === Le modèle {{m|Cours}} === Pour créer la page de présentation d'un cours, il suffit d’utiliser le modèle {{m|Cours}}. <syntaxhighlight lang="text"> {{Cours | idfaculté = | département = | scolarité = | niveau = | titre = | leçons = | chapitres = | fiches = | option = | option2 = | option3 = | option4 = | option5 = | quiz = | feuilles-exercices = | devoirs = | dissertations = | TP = | sujets-examen = | compléments = | annexes = }} </syntaxhighlight> ==== Paramètres du modèle ==== * '''idfaculté''' : l'idfaculté est propre à chaque faculté. Il permet de définir son nom, ses couleurs et son logo. Pour plus d'informations concernant l'idfaculté, voir [[Aide:Idfaculté]]. ''Ce paramètre est obligatoire''. * '''département''' : ce paramètre permet de définir le département dont dépend le cours. ''Ce paramètre est facultatif''. * '''scolarité''' : Les cours peuvent faire partie de la scolarité d'un pays francophone. Ce paramètre permet de préciser à quelle scolarité (structure) appartient le cours. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''niveau''' : Le cours est enseigné à un certain niveau. On indiquera donc ici le niveau du cours. Pour plus de détail sur les niveau, voir la page : [[Aide:Niveau]]. * '''titre''' : S'utilise si l’on souhaite mettre un titre différent du titre de la page. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''leçons''' : S'utilise si l’on souhaite désigner les leçons par un autre terme comme « Séquences », « Unités de valeur », ou autres selon le contexte. ''Ce paramètre est facultatif'' * '''chapitres''' : Certains cours n'ont pas pu être décomposés en leçons et préfèrent lister directement des chapitres. En mettant ''oui'' à ce paramètre, on remplacera l'encadré ''leçons'' par un encadré ''chapitres''. Bien sur, cela suppose que le nombre de chapitres et d'exercices soit très élevé sinon on aurait choisi de créer une simple leçon plutôt qu'un cours. Voir par exemple le cours : [[Théorie des groupes]]. * '''fiches''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des fiches. * '''option''' : On peut faire apparaître un encadré dans lequel on mettra quelque chose qui n'a pas été prévu de façon standard comme les fiches. On mettra ici le nom de l'option. Ce sera par exemple des parties commentées comme dans le cours : [[Jeu d'échecs]] ou des cartes comme dans le cours : [[Histoire-géographie en première générale]]. * '''option2''' : Idem * '''option3''' : Idem * '''option4''' : Idem * '''option5''' : Idem * '''quiz''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des quiz. * '''feuilles-exercices''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des feuilles d'exercices * '''devoirs''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des devoirs. * '''dissertations''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des dissertations. * '''TP''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des Travaux pratiques. * '''sujets-examen''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des sujets d'examen. * '''compléments''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des compléments en rapport avec le cours. * '''annexes''' : En mettant ''oui'' à ce paramètre, on fera apparaître un encadré dans lequel on pourra mettre des annexes. == Où trouver des leçons ? == Vous pouvez puiser parmi les {{Leçon/Compte}} leçons que Wikiversité possède actuellement. Pour accéder facilement aux leçons qui pourraient convenir à votre cours, vous pouvez consulter la [[:Catégorie:Accès direct aux leçons par niveau]] et choisir la page susceptible de contenir la leçon qui vous intéresse. Pour faciliter la recherche, chaque page vous donne toutes les leçons, de la faculté correspondante, classées par niveau. Si vous ne trouvez aucune leçon qui convienne (même à peu près), vous vous retrouvez devant une alternative : * Vous pouvez attendre que quelqu'un crée une leçon qui convienne à votre cours (cela peut prendre plusieurs années). * Vous vous armez de courage et vous créez vous-même la leçon que vous souhaitez (voir : [[Aide :Comment créer une leçon]]). Supposons que vous ayez réussi à trouver une leçon qui convienne (à peu près) à votre cours. Vous pouvez ajouter la leçon dans la page "Nom du cours/Leçons" pour que la leçon apparaisse dans l'encadré réservé aux leçons. N'oubliez pas ensuite de rajouter, dans le sommaire de la leçon, le nouveau cours auquel appartient la leçon de façon à pouvoir, à partir du sommaire de la leçon, retrouver facilement le sommaire du cours. Pour cela, dans le sommaire de la leçon, remplissez la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours"]] </syntaxhighlight> Il se peut que la leçon que vous avez choisie appartienne déjà à d'autres cours. Dans ce cas, vous pouvez ajouter votre cours aux cours déjà présents en le séparant à l'aide de la commande <nowiki><br /></nowiki>. Par exemple, si la leçon appartient à trois cours différents, on aura dans le sommaire de la leçon : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [["nom du cours1"]]<br />[["nom du cours2"]]<br />[["nom du cours3"]] </syntaxhighlight> Voir, par exemple, la leçon : [[Équations et fonctions du second degré]] qui appartient simultanément aux deux cours : * [[Équation polynomiale]] * [[Mathématiques en première générale]] Dans le sommaire de cette leçon, on trouve la ligne : <syntaxhighlight lang="text"> | cours = [[Équation polynomiale]]<br />[[Cours de mathématiques de première S]] </syntaxhighlight> == Choix de la leçon == Compte tenu du nombre restreint de contributeurs de Wikiversité dans chaque matière, il n’est pas possible aujourd’hui d’avoir un choix de leçons couvrant scrupuleusement les programmes officiels de tous les pays francophones et encore moins de mettre à jour chaque leçon en fonction des changements de programme s'opérant dans chaque pays francophone. Il peut donc être difficile de trouver pour chaque cours la leçon qui suivra de façon parfaite le programme officiel auquel est censé se référer le cours. Le choix de la leçon sera donc la plupart du temps approximatif. On veillera malgré tout à choisir des leçons dont le niveau de difficulté correspond parfaitement à celui exigé pour le cours. En principe, le sommaire de chaque leçon est censé donner une bonne idée du profil de l'étudiant auquel s'adresse la leçon. On évitera donc de choisir des leçons trop complexes ou trop simples pour le cours considéré. Si aucune leçon ne correspond au besoin du cours, la seule option qui reste sera de créer la leçon souhaitée. '''Il est bien sûr totalement proscrit de détourner une leçon déjà existante de ses objectifs initiaux pour la transformer en leçon pouvant être choisie pour le cours que l’on crée.''' On ne va pas, par exemple, compliquer une leçon destinée à des élèves de niveau modeste pour l'adapter à un cours destiné à des élèves chevronnés. Si la leçon que l’on choisit est incomplète, il est possible de la compléter en respectant le niveau de la leçon, l'approche pédagogique souhaitée par le créateur de la leçon et le public initial pour lequel la leçon a été prévue. Par public, on sous-entend une certaine maturité, une certaine aptitude et non une appartenance, par exemple, à un pays francophone particulier. == Remarque == Nous avons vu, ci-dessus, que nous pouvons, pour les besoins de notre cours, être amené à créer une nouvelle leçon. Nous devons toutefois garder à l'esprit qu’il est souhaitable que les leçons soient indépendantes des cours. Cela afin qu'une même leçon puisse être utilisée dans différents cours. 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Une solution simple à ce problème est alors de créer un cours rassemblant toutes les leçons de Wikiversité sur le thème en question et c'est ce cours qui sera rentré dans Wikidata. Voir, par exemple, le cours [[Acoustique]] qui regroupe toutes les leçons sur l'acoustique de Wikiversité et qui a été rentré dans Wikidata dans la page [[d:Q82811]]. <noinclude> [[Catégorie:Premiers pas|Lecon]] </noinclude> 6tszc1e62375ghvwouiqgkfyamf4m74 15 49143 965653 422413 2025-06-15T12:23:27Z Wladek92 32615 /* quelle est la différence avec la catégorie des "cours de niveau zéro" ? */ nouvelle section 965653 wikitext text/x-wiki {{Catégorie renommée|Leçon de niveau 0|contributeurs={{U|Cynddl}}, {{U|Crochet.david.bot}}, {{U|H'arnet}}, {{U|Karl1263}}, {{U|Crochet.david}}, {{U|RM77}}, {{U|Julien1311}}}} == quelle est la différence avec la catégorie des "cours de niveau zéro" ? == {{question}} leçons ou cours ?? Fusionner [[:Catégorie:Leçons_de_niveau_0]] et [[:Catégorie:Cours_de_niveau_0]] si c'est la même chose, sinon on passe à côté de certains sujets. Merci --[[Utilisateur:Wladek92|Wladek92]] ([[Discussion utilisateur:Wladek92|discuter]]) 15 juin 2025 à 12:23 (UTC) rknkvbuw1xk2sorhkyc4z2f512qicq9 965658 965653 2025-06-15T16:37:06Z Fourmidable 50100 /* quelle est la différence avec la catégorie des "cours de niveau zéro" ? */ Réponse 965658 wikitext text/x-wiki {{Catégorie renommée|Leçon de niveau 0|contributeurs={{U|Cynddl}}, {{U|Crochet.david.bot}}, {{U|H'arnet}}, {{U|Karl1263}}, {{U|Crochet.david}}, {{U|RM77}}, {{U|Julien1311}}}} == quelle est la différence avec la catégorie des "cours de niveau zéro" ? == {{question}} leçons ou cours ?? Fusionner [[:Catégorie:Leçons_de_niveau_0]] et [[:Catégorie:Cours_de_niveau_0]] si c'est la même chose, sinon on passe à côté de certains sujets. Merci --[[Utilisateur:Wladek92|Wladek92]] ([[Discussion utilisateur:Wladek92|discuter]]) 15 juin 2025 à 12:23 (UTC) :Bonjour {{Mention|Wladek92}} et bienvenue sur Wikiversité ! Les cours et les leçons sont deux choses différentes : une leçon permet de développer une compétence spécifique dans un domaine précis, avec un niveau déterminé. Un cours est un ensemble de leçons qui correspondent à une même discipline (voire une même thématique) ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). Tu peux consulter [[Aide:Comment créer un cours]] pour une explication détaillée. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 16:37 (UTC) 7wj7bvqqal5595ac1tx7fuammivg3po 965691 965658 2025-06-15T17:32:33Z Wladek92 32615 /* quelle est la différence avec la catégorie des "cours de niveau zéro" ? */ Réponse 965691 wikitext text/x-wiki {{Catégorie renommée|Leçon de niveau 0|contributeurs={{U|Cynddl}}, {{U|Crochet.david.bot}}, {{U|H'arnet}}, {{U|Karl1263}}, {{U|Crochet.david}}, {{U|RM77}}, {{U|Julien1311}}}} == quelle est la différence avec la catégorie des "cours de niveau zéro" ? == {{question}} leçons ou cours ?? Fusionner [[:Catégorie:Leçons_de_niveau_0]] et [[:Catégorie:Cours_de_niveau_0]] si c'est la même chose, sinon on passe à côté de certains sujets. Merci --[[Utilisateur:Wladek92|Wladek92]] ([[Discussion utilisateur:Wladek92|discuter]]) 15 juin 2025 à 12:23 (UTC) :Bonjour {{Mention|Wladek92}} et bienvenue sur Wikiversité ! Les cours et les leçons sont deux choses différentes : une leçon permet de développer une compétence spécifique dans un domaine précis, avec un niveau déterminé. Un cours est un ensemble de leçons qui correspondent à une même discipline (voire une même thématique) ET à un même niveau (ou cursus d'enseignement supérieur). Tu peux consulter [[Aide:Comment créer un cours]] pour une explication détaillée. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 16:37 (UTC) ::ok on ne fusionne pas; Je fais un cross-reading sur les différents wiki qui traitent de LUA à des fins de traduction EN->FR (et aussi pour me former) et ce qui m'a surpris c'est que la première leçon de LUA sur fr.ikiversity.org/wiki/Lua est ici au niveau 10 dans Initiation_au_Lua_avec_Scribunto ... je m'attendais à 0 ou 1 puisqu'on commence et j'ai dû rater 9 niveaux (à priori pas, mais ça trompe). Pour les leçons on peut comprendre la numérotation dans l'ordre logique de progression. Mais pour les niveaux de cours j'en sais pas plus. La page d'aide a ete supprimee -> v: Aide:Niveau en rouge sur v: Aide:Comment_cr%C3%A9er_un_cours et il faudrait presenter clairement une grille du style cours niveau zero : débutant, initiation, // niveau2 : CE1 // niv3: etc.... -- [[Utilisateur:Wladek92|Wladek92]] ([[Discussion utilisateur:Wladek92|discuter]]) 15 juin 2025 à 17:32 (UTC) 5m9qnplhk5gsmif4yn8zk5ngq5n5fg4 4 59029 965671 957848 2025-06-15T16:57:54Z Fourmidable 50100 965671 wikitext text/x-wiki {{nobots}} __NEWSECTIONLINK__ <includeonly>[[Catégorie:Requêtes à une catégorie d'utilisateurs]]</includeonly> <noinclude>[[Catégorie:En-têtes de la Wikiversité]]</noinclude> {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;">{{archives|an|Wikiversité:Requêtes aux contributeurs|2007|en-tête=1|background=transparent|séparateur=&nbsp;·&nbsp;}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux contributeurs}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Vous avez besoin d'un contributeur ?</strong>{{clr}} Il est possible de proposer des travaux sur des leçons déjà existantes. '''Toute demande de leçon y est ignorée.''' Les autres contributeurs peuvent aussi vous aider concernant la rédaction des pages, leur mise en forme, le recyclage et la traduction du contenu. [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|27px|link=|alt=Attention]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Si votre requête concerne :</strong> * un utilisateur problématique → effectuez une [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs|requête aux administrateurs]] * une page problématique → apposez le modèle {{m|Suppression immédiate}} sur la page concernée * une page dont l'admissibilité peut être débattue → consultez la procédure sur [[Wikiversité:Débat d'admissibilité]] * une demande d'import → déposez-la sur [[Wikiversité:Requêtes import]] * une demande de fusion → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages à fusionner]] * une violation du droit d'auteur → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]] <br> {{Centrer|<big>[{{fullurl:Wikiversité:Requêtes aux contributeurs/{{CURRENTYEAR}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Clr}} {{Raccourci|WV:RC|align=right}} __TOC__ 38nakwxjlhck4wpz3p5ta6r47arrjds 965685 965671 2025-06-15T17:12:26Z Fourmidable 50100 965685 wikitext text/x-wiki {{nobots}} __NEWSECTIONLINK__ <includeonly>[[Catégorie:Requêtes à une catégorie d'utilisateurs]]</includeonly> <noinclude>[[Catégorie:En-têtes de la Wikiversité]]</noinclude> {{Boîte de requêtes}}<div class="boite-grise {{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||boite-a-droite}} liste-simple" style="{{#ifeq:{{{flottant|}}}|non||width: 20em;}} margin-bottom: 0; margin-top:0; font-size:{{{font-size|89%}}}; text-align:center; border:solid #aaaaaa 1px;border-radius:5px;">{{archives|an|Wikiversité:Requêtes aux contributeurs|2007|en-tête=1|background=transparent|séparateur=&nbsp;·&nbsp;}}</div> <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #006eaa; border-radius: 0; background-color: #eaf2f8; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color:rgba(0, 110, 170, 0.5); margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Requêtes aux contributeurs}}</div> <strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Besoin d'un contributeur ?</strong>{{clr}} Il est possible de proposer des travaux sur des leçons déjà existantes. '''Toute demande de leçon y est ignorée.''' Les autres contributeurs peuvent aussi vous aider concernant la rédaction des pages, leur mise en forme, le recyclage et la traduction du contenu. [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|27px|link=|alt=Attention]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Si votre requête concerne :</strong> * un utilisateur problématique → effectuez une [[Wikiversité:Requêtes aux administrateurs|requête aux administrateurs]] * une page problématique → apposez le modèle {{m|Suppression immédiate}} sur la page concernée * une page dont l'admissibilité peut être débattue → consultez la procédure sur [[Wikiversité:Débat d'admissibilité]] * une demande d'import → déposez-la sur [[Wikiversité:Requêtes import]] * une demande de fusion → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages à fusionner]] * une violation du droit d'auteur → déposez-la sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]] <br> {{Centrer|<big>[{{fullurl:Wikiversité:Requêtes aux contributeurs/{{CURRENTYEAR}}|action=edit&section=new}} {{Bouton cliquable|Effectuer une requête|couleur=bleu}}]</big>}}</div> <br/> {{Clr}} {{Raccourci|WV:RC|align=right}} __TOC__ qmdu3t97k96i60hme0utoz0cmxj5i0c 0 73682 965702 961856 2025-06-16T04:38:02Z Phl7605 31541 965702 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Les matrices carrées, leur inversion sous conditions/]] | suivant = [[../Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels/]] }} == Introduction des « tenseurs » en mathématiques == {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tous ces éléments pris individuellement forment un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension finie et, avec pour corps de construction <math>\;\mathbb{R}</math>, les 1^ers exemples sont : ::* l'ensemble des scalaires formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathbb{R}\;</math> lui-même de dimension <math>\;1</math>, <center>un scalaire étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre zéro</u>,</center> ::* l'ensemble des vecteurs formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> de dimension <math>\;n</math>, chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_j\\ \vdots\\ x_n\end{array} \right] \in M_{n,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <center>un vecteur d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre un</u> <ref name="autre tenseur d'ordre un"> Comme nous le voyons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Divers_types_de_tenseurs_d'ordre_un,_définitions_et_propriétés|divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre un que les vecteurs.</ref>,</center> ::* l'ensemble des familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^p</math>, chaque famille ordonnée de <math>\;p\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,p}\\ & & \vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,p}\\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,p}\end{array} \right] \in M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)</math> <math>\Bigg\{</math>en particulier l'ensemble des familles ordonnées de <math>\;n\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> est le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^n</math>, chaque famille ordonnée de <math>\;n\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,n}\\ & & \vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,n}\\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,n}\end{array} \right] \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\Bigg\}</math>, <center>une famille ordonnée de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux</u> <math>\;\big(</math>avec <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\!\big)\;</math><ref name="autre tenseur d'ordre deux"> Comme nous le voyons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Divers_types_de_tenseurs_d'ordre_deux,_définitions_et_propriétés|divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux que les familles de vecteurs.</ref> et</center> ::* l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^p \right\rbrace^q</math>, chaque collection ordonnée de <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par un tableau parallélépipédique constitué de <math>\;q\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] placées en « couches » <ref name="couche"> Le terme « couche » pour un tableau parallélépipédique n'est pas codifié car la représentation en perspective d'un tel tableau parallélépipédique n'est guère utilisée, on préfère représenter chaque « couche » par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> fixée, chacune à la suite des précédentes comme si on faisait des coupes successives du tableau parallélépipédique au niveau de chaque « couche » <math>\;\ldots</math></ref> successives, de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( n\,,\, p \right)</math>, <center>une famille ordonnée de <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre trois</u> <math>\;\Big[</math>à condition que <math>\;\left( p\,,\, q \right)\,\in\, \big\{\mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\!\big\}^2\Big]\;</math><ref name="autre tenseur d'ordre trois"> Comme cela est évoqué au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Tenseurs_d'ordre_strctement_supérieur_à_deux|tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre trois que les collections de familles de vecteurs.</ref>,</center> ::* <math>\;\ldots\;</math> [[File:Tenseurs - exemples.png|thumb|center|600px|Exemples de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre zéro <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre un <math>\;\big(</math>vecteur de l'espace physique<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre deux <math>\;\big(</math>famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'espace physique<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre trois <math>\;\big(</math>collection de <math>\;3\;</math> familles de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'espace physique<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;\in \mathbb{N}\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> forment donc un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^{\,p}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> }}on définit en effet <math>\bullet\;</math>l'addition de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] de même ordre <math>\;p</math> <math>\;\Big(</math>par loi de composition interne <math>\;T_p \times T_p\; \overset{+}{\rightarrow}\; T_p\;</math> où <math>\;T_p\;</math> est l'ensemble des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;</math><ref name="addition de deux tensions d'ordre p"> Soient deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> représentables, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\,b_2\,,\,b_3 \right\rbrace</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & x_{1,\,2} & x_{1,\,3}\\ x_{2,\,1} & x_{2,\,2} & x_{2,\,3}\\ x_{3,\,1} & x_{3,\,2} & x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et par un autre [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1,\,1} & {x'}_{\!1,\,2} & {x'}_{\!1,\,3}\\ {x'}_{\!2,\,1} & {x'}_{\!2,\,2} & {x'}_{\!2,\,3}\\ {x'}_{\!3,\,1} & {x'}_{\!3,\,2} & {x'}_{\!3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, la somme de ces deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> peut être définie par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] la représentant, à l'aide de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} + {x'}_{\!1,\,1} & x_{1,\,2} + {x'}_{\!1,\,2} & x_{1,\,3} + {x'}_{\!1,\,3}\\ x_{2,\,1} + {x'}_{\!2,\,1} & x_{2,\,2} + {x'}_{\!2,\,2} & x_{2,\,3} + {x'}_{\!2,\,3}\\ x_{3,\,1} + {x'}_{\!3,\,1} & x_{3,\,2} + {x'}_{\!3,\,2} & x_{3,\,3} + {x'}_{\!3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math> ; <br>{{Al|3}}on prolonge de la même façon la définition de l'addition de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> à celle de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre quelconque <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}\;</math> de cet espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref><math>\Big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> on définit en effet }}<math>\bullet\;</math>la multiplication d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;p\;</math> par un scalaire <math>\;\Big(</math>loi de composition externe <math>\;\mathbb{R} \times T_p\; \overset{\cdot}{\rightarrow}\; T_p\;</math><ref name="multiplication d'un tenseur d'ordre p par un scalaire"> Soient un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\,b_2\,,\,b_3 \right\rbrace</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & x_{1,\,2} & x_{1,\,3}\\ x_{2,\,1} & x_{2,\,2} & x_{2,\,3}\\ x_{3,\,1} & x_{3,\,2} & x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et un scalaire <math>\;\lambda\;\in\;\mathbb{R}</math>, le produit de ce [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> par ce scalaire peut être définie par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] le représentant, à l'aide de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} \lambda\;x_{1,\,1} & \lambda\;x_{1,\,2} & \lambda\;x_{1,\,3}\\ \lambda\;x_{2,\,1} & \lambda\;x_{2,\,2} & \lambda\;x_{2,\,3}\\ \lambda\;x_{3,\,1} & \lambda\;x_{3,\,2} & \lambda\;x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math> ; <br>{{Al|3}}on prolonge de la même façon la définition de la multiplication d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> par un scalaire à celle d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre quelconque <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}\;</math> de cet espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref><math>\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> on définit en effet }}<math>\bullet\;</math>ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble <math>\;T_p\;</math> des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;</math> d'être un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : <math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre un, leurs représentations en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] dépendent de la base, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre deux, leurs représentations en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] rectangulaires dépendent de la base, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre trois, leurs représentations en tableaux parallélépipédiques dépendent de la base ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre <math>\;>\;</math> à trois, leurs représentations en tableaux hyperparallélépipédiques <ref name="hyperparallélépipédique"> Un parallélépipède est une expansion tridimensionnelle particulière de l'espace physique à trois dimensions, <br>{{Al|3}}un hyperparallélépipède dans un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] à quatre dimensions est une expansion tétradimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède, <br>{{Al|3}}un hyperparallélépipède dans un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] à cinq dimensions est une expansion pentadimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède, <br>{{Al|3}}{{Transparent|un hyperparallélépipède }}cette appellation restant valable pour tout [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] de dimension <math>\;> 3</math>.</ref> dépendent de la base. == 1^ères définitions de tenseurs == {{Al|5}}<u>Préliminaires</u> : Comme nous l'avons vu au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Introduction_des_«_tenseurs_»_en_mathématiques|introduction des tenseurs en mathématiques]] » plus haut dans ce chapitre, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] nécessite de préciser l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de travail, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}il s'agit d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^{\,p}</math>, <math>\;p\;\in \mathbb{N}</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 0</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] est <math>\;\mathbb{R}\;</math> de dimension <math>\;1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 1</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3\;</math> est, quand c'est utile, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, l'espace vectoriel }}choisi [[w:Espace_vectoriel_euclidien|euclidien]] <ref name="espace vectoriel euclidien"> C.-à-d. muni d'une [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de vecteurs, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_scalaire_de_deux_vecteurs|produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et dans ce cas, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, }}l'espace vectoriel est la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine"> C.-à-d. l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]].</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, l'espace vectoriel est la direction de l'}}tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 2</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] est de dimension <math>\;9</math>, par exemple, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 2}</math>, }}l'ensemble des familles de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 2}</math>, l'ensemble des familles de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> vecteurs de l’}}tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math><math>\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : }}Une grandeur est qualifiée de « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] » lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] d'étude <ref name="exemple de grandeur covariante"> Soit un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel_euclidien|espace vectoriel euclidien]] <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de dimension <math>\;3\;</math> et ses composantes selon la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> choisie dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> à savoir <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right)\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> où «<math>\;\cdot\;</math> est la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] définie sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Soit }}une autre base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans laquelle les composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> sont <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>, <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & X_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>» telle que la j^ème [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] est la décomposition de <math>\;\vec{b'}_{\!j}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ce qui se traduit par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i\\ \vec{b'}_{\!2} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \\ \vec{b'}_{\!3} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,3}\; \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]</math> <math>\;\big[</math>voir, dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités##Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}par report des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> dans les composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> exprimées selon <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\;\left( \mathfrak{b}' \right)</math>, «<math>\;\left( \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,3}\; \vec{b}_i \right\rbrace \right) =</math> <math>\left( \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,3}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace \right)\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|par report des relations <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math> dans les composantes de <math>\;\color{transparent}{\vec{x}}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> exprimées }}selon <math>\;\left[ \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur écrites sous forme de [[w:Produit_scalaire|produits scalaires]] avec la base utilisée est une grandeur [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] <math>\;\big\{</math>on parle de « composantes [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] du vecteur », « le triplet étant représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Une grandeur est }}qualifiée de « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle des vecteurs de base du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] d'étude <ref name="exemple de grandeur contravariante"> Soit le triplet de scalaires réels <math>\;\left( x_1\,,\, x_2\,,\, x_3 \right)\;</math> défini comme composantes d'un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;</math> au <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de dimension <math>\;3</math>, composantes selon la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> choisie dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, c.-à-d. telles que «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 x_i\;\vec{b}_i\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» et <br>{{Al|19}}{{Transparent|Soit }}une autre base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon laquelle le vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> a pour composantes le triplet de scalaires réels <math>\;\left( {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right)\;</math> telles que «<math>\;\vec{x} =</math> <math>\sum\limits_{i = 1}^3 {x'}_{\!i}\;\vec{b'}_{\!i}\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>», <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>» telle que la j^ème [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] est la décomposition de <math>\;\vec{b'}_{\!j}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ce qui se traduit par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i\\ \vec{b'}_{\!2} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \\ \vec{b'}_{\!3} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,3}\; \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]</math> <math>\;\big[</math>voir, dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}par report des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)</math>, «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 {x'}_{\!i}\,\left( \sum\limits_{j = 1}^3 a_{j,\,i}\; \vec{b}_j \right) = \sum\limits_{j = 1}^3 \left( \sum\limits_{i = 1}^3 a_{j,\,i}\;{x'}_{\!i} \right)\,\vec{b}_j\;</math>» par distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à une addition vectorielle et par factorisation par un vecteur dans cette addition vectorielle ou, en permutant le nom des indices «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 \left( \sum\limits_{j = 1}^3 a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j} \right)\,\vec{b}_i\;</math>» soit, en identifiant à <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 x_i\;\vec{b}_i\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_i =</math> <math>\sum\limits_{j = 1}^3 a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j},\;\;\forall\;i\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_1 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,j}\; {x'}_{\!j}\\ x_2 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{2,\,j}\; {x'}_{\!j} \\ x_3 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{3,\,j}\; {x'}_{\!j} \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right]</math> ; <br>{{Al|3}}dans la mesure où tout changement de bases peut être inverser, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» est [[w:Matrice_inersible|inversible]], son [[w:Matrice_inversible|inverse]] est notée «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math>» et les composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> sont modifiées selon <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\;</math> prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur est une grandeur [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] <math>\;\big\{</math>on parle de « composantes [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] du vecteur », « le triplet étant représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] »<math>\big\}</math>.</ref>. === Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro === {{Définition|titre=Définition d'un tenseur d'ordre zéro|contenu={{Al|5}}« Tout scalaire <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout élément de <math>\;\mathbb{R}\big)\;</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un scalaire ne dépendant d'aucune base, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> est évidemment indépendant du choix d'une telle base <ref name="scalaire défini comme produit scalaire de deux vecteurs"> Le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction d'un espace affine]] est l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}\;</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}étant un scalaire et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> étant }}invariant par changement de bases de <math>\;W</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}nous vérifions bien le caractère inchangé <math>\;\big(</math>on dit invariant<math>\big)\;</math> d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Comme un scalaire ne dépend d'aucune base <ref> Ou s'il est défini comme le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction d'un espace affine]] est l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>, le scalaire obtenu ne dépend pas d'un éventuel changement de bases de <math>\;W</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#cite_note-scalaire_défini_comme_produit_scalaire_de_deux_vecteurs-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>, « un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> est dit <u>invariant</u> », il n'est ni [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] ni [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <math>\;\ldots</math> == Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés == === Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un === {{Définition|titre=Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre un|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout vecteur de cet [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> n'est pas un vecteur de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur"> Pour définir les composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] d'un vecteur il n'est pas utile que l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de définition soit [[w:Espace_euclidien|euclidien]] par contre <br>{{Al|41}}pour définir les composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] du même vecteur, son [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de définition doit être [[w:Espace_euclidien|euclidien]].</ref><math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="exemple de grandeur contravariante" />, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>tout vecteur de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout vecteur de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref> ». === Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un === {{Définition|titre=Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{*}\;</math> de dimension <math>\;3</math> <math>\;\big(W^{*}\;</math> étant l'[[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W\;</math><ref name="autre notation d'un dual"> Le [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\;</math> étant l'ensemble des [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> est encore noté <math>\;L(W,\,\mathbb{R})\;</math> ou <math>\;L_{\mathbb{R}}(W,\,\mathbb{R})\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W,\,\mathbb{R})\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;W^{*}</math>.</ref> [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. toute [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{*}}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type associé au vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> est la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;f := \vec{a} \cdot\;</math>» telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}</math>, <math>\;\big[</math>la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> est un élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" />, chaque élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> étant encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » <ref name="justification de covecteur"> La justification de cette appellation venant du fait que ses composantes dans une base de <math>\;W\;</math> sont « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] ».</ref><math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 2^ème type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="covariance des composantes de covecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> écrites sous forme de [[w:Produit_scalaire|produits scalaires]] ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_covariante-10|¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, nous allons l'expliciter en terme de vecteur de <math>\;W^{*}</math> <math>\;\big(W^{*}\;</math> étant le [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\big)\;</math> <math>\big\{</math>encore appelé [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}</math> <math>\big(</math>ou de [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] sur <math>\;W\big)\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}soit <math>\;\vec{a}\;</math> un vecteur de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <math>\;\vec{a} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_i \right) b_i\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]</math>, on en a déduit, <br>{{Al|3}}le vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> se décomposant dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\vec{a} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!i} \right) \vec{b'}_{\!i}</math>, l'influence du changement de bases de <math>\;W\;</math> sur les somposantes de <math>\;\vec{a}\;</math> écrites en terme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right] = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, d'où une 1^ère justification du qualificatif « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » données aux composantes du vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> exprimées sous forme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] avec les vecteurs de base de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> associée à <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> «<math>\;f := \vec{a} \cdot\;</math> telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\;</math>» <math>\;\big[f\;\in\;W^{*}\;</math> est encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}\;</math>»<math>\big]</math>, l'image de <math>\;\vec{x}\;</math> par <math>\;f\;</math> s'écrivant encore, dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, «<math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \sum\limits_{k = 1}^3 x_k\;\vec{b}_k = \sum\limits_{k = 1}^3 \vec{a} \cdot \vec{b}_k\; x_k\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, sous forme [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] «<math>\;f(\vec{x}) = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ X \right]\;</math>» où <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] des composantes de <math>\vec{x}\;</math> sur cette base, on déduit, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}du caractère invariant par changement de bases du scalaire <math>\;f(x)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}de celui [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> représentées par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> de celui }}<math>\big(</math>caractère [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}le caractère [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes de <math>\;\vec{a}\;</math> exprimées sous forme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] avec les vecteurs de base et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> le caractère covariant }}représentées par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right]</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}<math>\big\{</math>ceci constituant la 2^ème justification du qualificatif « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » données à ces composantes<math>\big\}</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique » est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]].</ref> » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« tout [[w:Covecteur|covecteur]] de l'espace [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique » est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> ». === Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /> étant un vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W</math>, ses composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]]<math>\big)\;</math> <math>\left( a_1\,,\,a_2\,,\,a_3 \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Un tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariant étant un vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}</math>, ses composantes }}ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\Big\{</math>«<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant sa [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] »<math>\Big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> }}les composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]]<math>\big)\;</math> du vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>contravariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> du vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {a'}_{\!1}\\ {a'}_{\!2}\\ {a'}_{\!3}\end{array}\right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\;</math>». {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> associé au vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> étant la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;f := a \cdot\;</math>» telle que <math>\;\forall\;x\;\in\;W</math> <math>\;f(x) = a \cdot x</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant associé au vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> étant }}la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » de <math>\;W^{*}\big)\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant associé au vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> étant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}«<math>\;f := a \cdot\;</math>» étant un élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> l'[[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant }}ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant ses composantes dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur"> Pour simplifier l'écriture on dira que « le [[w:Covecteur|covecteur]] associé au vecteur <math>\;a\;\in\;W\;</math>» est représenté, « dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right]\;</math> au lieu de <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right]\;</math>», idem pour la représentation dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> }}les composantes de <math>\;\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\left[ {a'}_{\!1}\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne }}<math>\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace C \right\rbrace} \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Propriété</u> : « Le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] <ref name="définition intrinsèque du produit scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> des vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2\;</math>» s'identifiant à « l'image de <math>\;\vec{x}\;\in\;W\;</math> par la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\;</math>» <ref name="autre notation d'un dual" /> à savoir «<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = f(\vec{x})\;\in\;\mathbb{R}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» }}est invariant par changement de base choisie dans <math>\;W\;</math> en effet <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant }}évalué, dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =\left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W</math>, par «<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,3} a_k\;x_k\;</math><ref name="définition du produit scalaire par les composantes des vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math><ref name="abus usuel pour covecteur" /> », <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant }}on vérifie que le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}conduit à l'évaluation dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right]\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur" /> où «<math>\;\left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times</math> <math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où « }}<math>\big\{</math>caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] » de “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\big\}\;</math> et <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right] =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où « }}<math>\big\{</math>caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] » de “<math>\;\vec{x}\;</math>” <math>\;\in\;W\big\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right]\;</math><ref name="abus usuel pour covecteur" /> <math>= \left\lbrace \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \right\rbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x}}</math> }}<math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times \cancel{\bigg\{ \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \bigg\}} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible.</ref>{{,}} <ref name="propriété de matrices inverses l'une de l'autre"> <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\,</math> on a <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} = \left[ I_3 \right] \\ \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ I_3 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left[ I_3 \right]\;</math> est la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] de <math>\;M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> laquelle est l'élément neutre de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] quand celle-ci est possible <math>\;\big\{</math>voir le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (4^ème propriété, élément neutre) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big\}</math>.</ref> » soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}« l'invariance de <math>\;\vec{a} \cdot \vec{x}\;</math> par changement de bases » C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x}\;</math> étant un scalaire est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> d'où son invariance par changement de bases <ref name="caractère invariant d'un tenseur d'ordre 0"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_tenseur_d'ordre_zéro|définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> » <ref> Autre justification.</ref>. == Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés == {{Al|5}}Parmi les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle fait intervenir des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parmi les tenseurs d'ordre deux }}nous écartons tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> à représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle avec au moins une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] rectangulaire dont une dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> est <math>\;3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont }}l'autre étant un entier <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1\,,\,3 \right\rbrace</math>. === Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^2 = 9\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. toute famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel<math>\big)</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{3^2 = 9}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> n'est pas une famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="contravariance des composantes de famille de 3 vecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes d'un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous, les principaux résultats : <br>{{Al|3}}soit <math>\;\vec{x}\;</math> un vecteur quelconque de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} x_i\; b_i\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|soit }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>», on en a déduit, <br>{{Al|3}}la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] du vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right]\;</math> dans laquelle le triplet <math>\;\left\lbrace {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> sont les composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> sur <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} telles que <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} {x'}_{\!i}\; \vec{b'}_{\!i}\;</math> soit «<math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ X \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>», <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}considérant maintenant une famille de <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;\in\;W^3</math>, de composantes sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x}\,:\, \left( x_1\,,\, x_2\,,\, x_3 \right)\\ \vec{v}\,:\, \left( v_1\,,\, v_2\,,\, v_3 \right)\\ \vec{w}\,:\, \left( w_1\,,\, w_2\,,\, w_3 \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> et représentées [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\;\left\lbrace \vec{x}\,:\, \left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;;\;\vec{v}\,:\, \left[ V \right] = \left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array} \right]\;;\; \vec{w}\,:\, \left[ W \right] = \left[ \begin{array}{c} w_1\\ w_2\\ w_3\end{array} \right] \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> précédemment défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\!</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}les composantes des trois vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x}\,:\, \left( {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right)\\ \vec{v}\,:\, \left( {v'}_{\!1}\,,\, {v'}_{\!2}\,,\, {v'}_{\!3} \right)\\ \vec{w}\,:\, \left( {w'}_{\!1}\,,\, {w'}_{\!2}\,,\, {w'}_{\!3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> respectivement représentées [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] suivantes <math>\;\left\lbrace \vec{x}\,:\, \left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right]\;;\;\vec{v}\,:\, \left[ V' \right] = \left[ \begin{array}{c} {v'}_{\!1}\\ {v'}_{\!2}\\ {v'}_{\!3}\end{array} \right]\;;\; \vec{w}\,:\, \left[ W' \right] = \left[ \begin{array}{c} {w'}_{\!1}\\ {w'}_{\!2}\\ {w'}_{\!3}\end{array} \right] \right\rbrace</math>, liées aux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\left[ X' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ X \right] \\ \left[ V' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ V \right] \\ \left[ W' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ W \right]\end{array}\right\rbrace</math>, <math>\;\Big\{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> <br>étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\Big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de chaque vecteur selon <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3 \end{array} \right]\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} & {v'}_{\!1} & {w'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2} & {v'}_{\!2} & {w'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3} & {v'}_{\!3} & {w'}_{\!3} \end{array} \right]\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la j^ème colonne de <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;</math> résultant de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> de la j^ème colonne de <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\!\bigg\}</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute famille de</u><math>\;3\;</math><u>vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. toute famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que « toute famille de<math>\;\color{transparent}{3}\;</math>vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel }}est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" /> n'apportent guère plus que les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" />, mis à part le regroupement de <math>\;3\;</math> vecteurs dans une même famille c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariants, mis à part }}le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariants, mis à part le regroupement }}en un seul [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="par abus" />. === Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Toute famille de <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> <math>\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel<math>\big)</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}toute famille de <math>\;3\;</math> éléments du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{*}</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /><math>\big)\;</math> <math>\;\big\{</math>ou encore toute famille de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] de <math>\;W^{*}\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Toute famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> formes linéaires du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> n'est pas une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type associé au triplet de vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\, \vec{a'}\,,\,\vec{a''} \right)\;\in\;W^3\;</math> est la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,f' := \vec{a'} \cdot\,,\,f'' := \vec{a''} \cdot \right)\;</math>» telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;\left\lbrace f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\,,\,f'(\vec{x}) = \vec{a'} \cdot \vec{x}\,,\,f''(\vec{x}) = \vec{a''} \cdot \vec{x} \right\rbrace</math>, <math>\;\big[</math>les [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> dont chaque élément étant encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » <ref name="justification de covecteur" /><math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 2^nd type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="covariance des composantes de famille de 3 covecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes d'un vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_covariante-10|¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, on sait, en considérant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> que les composantes de <math>\;\vec{a}\;</math> écrites selon <math>\;\left\lbrace \vec{a} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{a} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] et on en a déduit <br>{{Al|3}}le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] de la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Covecteur|covecteur]]<math>\big)\;</math> “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\big)\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}soit, en considérant sa représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\;</math>» ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit, en considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, on en a déduit, dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit, }}la représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Covecteur|covecteur]]<math>\big)\;</math> “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\;</math> en fonction de celle dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ {a'}_{\!1}\;\; {a'}_{\!2}\;\; {a'}_{\!3} \right] \times = \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;:\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-abus_usuel_pour_covecteur-23|²³]] pour la simplification d'écriture des composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] d'un vecteur » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, la relation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> traduisant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] du triplet de [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] <math>\;\left\lbrace a_1\;(\vec{b}_1\;\cdot)\;,\;a_2\;(\vec{b}_2\;\cdot)\;,\;a_3\;(\vec{b}_3\;\cdot) \right\rbrace\;</math> appelé, par abus, « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math> du [[w:Covecteur|covecteur]] <math>\;(\vec{a}\;\cdot)\;\in\;W^{*}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}considérant une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3</math>, de « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( a_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; a_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; a_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( r_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; r_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; r_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( s_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; s_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; s_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}représentées opérationnellement par la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ a_1 \;\; a_2 \;\; a_3 \right]\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ r_1 \;\; r_2 \;\; r_3 \right]\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ s_1 \;\; s_2 \;\; s_3 \right]\;\times \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, }}de « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace</math> <math>\left\lbrace\!\! \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( {a'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {a'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {a'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( {r'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {r'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {r'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( {s'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {s'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {s'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\end{array} \!\!\right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}représentées opérationnellement par la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {a'}_{\!1} \;\; {a'}_{\!2} \;\; {a'}_{\!3} \right]\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {r'}_{\!1} \;\; {r'}_{\!2} \;\; {r'}_{\!3} \right]\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {s'}_{\!1} \;\; {s'}_{\!2} \;\; {s'}_{\!3} \right]\;\times \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> précédemment défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\!</math>, nous déduisons <br>{{Al|3}}les « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> des trois [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;</math> en fonction de celles sur <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon leur représentation opérationnelle correspondant à une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {a'}_{\!1} \;\; {a'}_{\!2} \;\; {a'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ a_1 \;\; a_2 \;\; a_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ A \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {r'}_{\!1} \;\; {r'}_{\!2} \;\; {r'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ r_1 \;\; r_2 \;\; r_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ R \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {s'}_{\!1} \;\; {s'}_{\!2} \;\; {s'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ s_1 \;\; s_2 \;\; s_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ S \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}la représentation opérationnelle de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> étant la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en empilant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] associées à chaque [[w:Covecteur|covecteur]] selon <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_1 & a_2 & a_3\\ r_1 & r_2 & r_3\\ s_1 & s_2 & s_3 \end{array} \right]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|a représentation opérationnelle de la famille des <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> {{Transparent|étant }}la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en empilant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] associées à chaque [[w:Covecteur|covecteur]] selon <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} {a'}_{\!1} & {a'}_{\!2} & {a'}_{\!3}\\ {r'}_{\!1} & {r'}_{\!2} & {r'}_{\!3}\\ {s'}_{\!1} & {s'}_{\!2} & {s'}_{\!3} \end{array} \right]</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la i^ème ligne de <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;</math> résultant de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de la i^ème ligne de <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\!\bigg\}\;</math> soit finalement, <br>{{Al|3}}{{Transparent|le lien entre ces dernières lors du changement de bases, }}en représentation opérationnelle, «<math>\;\left( \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;\times \right) = \left( \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>», la relation <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute famille de</u><math>\underline{\;3\;}</math><u>[[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> n'apportent guère plus que les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> mis à part le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] dans une même famille c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariants mis à part }}le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariants mis à part le regroupement }}en un seul [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <ref name="par abus - bis" />. === Définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Toute [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel <math>\;\Big\{</math>c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}toute [[w:Application_linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> vérifiant “<math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\overset{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)}{\rightarrow}\; \left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;\in\;\mathbb{R}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|« toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W^2}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> vérifiant “<math>\;\color{transparent}{\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2}</math>, }}<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> soit linéaire relativement à <math>\;\vec{x}\;</math> et <math>\;\vec{y}\;</math>”<math>\Big\}\;</math><ref name="forme bilinéaire"> C.-à-d. telle que «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \vec{y} \right) = \alpha_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y} \right) + \alpha_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y} \right) \\ \left( \vec{x}\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \beta_1\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \beta_2\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y}_2 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ce qui aurait pour conséquence * «<math>\;\left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \alpha_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) + \alpha_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right)\;</math>» en développant par rapport à la 1^ère variable puis * «<math>\;\left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \alpha_1\;\beta_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \alpha_1\;\beta_2\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y}_2 \right) + \alpha_2\;\beta_1\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \alpha_2\;\beta_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y}_2 \right)\;</math>» en développant par rapport à la 2^ème variable.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Toute forme bilinéaire du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type associé à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit scalaire" /> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math><ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel"> L'ensemble des [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] de <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] noté <math>\;L_{\mathbb{R}}(W)\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W)\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;L(W)</math>.</ref> est l'application composée «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>» <ref name="autre notation d'un dual" />{{,}} <ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel" /><math>\Big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 3^ème type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont partiellement [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="caractère covariant et contravariant d'un tenseur mixte"> Les composantes de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> dans laquelle <math>\;\varphi\;\in\;L_{\mathbb{R}}\!\left( W \right)\;</math> est un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] de <math>\;W\;</math> sont, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W</math>, effectivement « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] à droite » et « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] à gauche » en effet, <br>{{Al|3}}considérant deux vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\;</math> de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right) \vec{b}_i\\ \vec{y} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_i \right) \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;W\;</math> représenté, dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, par sa matrice <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ \begin{array}{c} \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_1 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_1 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_1\\ \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_2 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_2 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_2\\ \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_3 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_3 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_3 \end{array} \right]</math> obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de <math>\;\varphi(\vec{b}_j),\;j\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]\;</math> dans la base des <math>\;\left\lbrace \vec{b}_i \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace de dimension n de base B dans un autre espace de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)]] (1^ère propriété) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans le cas où les espaces définition et image de dimension commune <math>\;m = n = 3\;</math> sont confondus avec choix d'une même base <math>\;C = B\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> vers la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>s'obtenant en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\big]\;</math> selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\;, \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir,}} dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, conduisant aux modifications <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur la [[w:Forme_linéaire|forme linéaire]] « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] par le vecteur <math>\;\vec{x}\;</math>» «<math>\;\vec{x} \cdot\;</math>» de représentation opérationnelle « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times = \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» selon le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés]] (2^ème sous-paragraphe) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le vecteur <math>\;\vec{y}\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> dans laquelle <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> est la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> selon la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans le chapitre ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur l'endomorphisme <math>\;\varphi\;</math> représenté[[w:Matrice_(mathématiques)| matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ \begin{array}{c c c} \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1}\\ \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2}\\ \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \end{array} \right]</math> <math>= \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_s ur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le vecteur <math>\;\varphi(\vec{y})\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right] = </math> <math>\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right] \right\rbrace =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \cancel{\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big]\;</math> soit enfin <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le scalaire <math>\;\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par le [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit matriciel]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur le scalaire <math>\;\color{transparent}{\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})}\;</math> représenté }}<math>\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur le scalaire <math>\;\color{transparent}{\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})}\;</math> représenté }}<math>\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> soit, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en y reportant les relations de changement de bases ci-dessus, <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right]</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>= \left\lbrace \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right] \right\rbrace</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>= \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \cancel{\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace \times} \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> le caractère invariant du scalaire <math>\;\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})</math> ; <br>{{Al|3}}de la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'image de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W\;</math> appliquée à <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\;</math> soit <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation matricielle de l'image de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> appliquée à <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)}\;</math> }}représentant <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}{{Transparent|de }}la représentation opérationnelle de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche et à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> selon une « }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> “<math>\;\times\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\; \times\;</math>” » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche et à droite du produit de <math>\;3\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> selon une « }}“<math>\;\times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>” <math>\big\{</math>chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> selon une « }}étant de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\big\}\;</math>» d'où <br>{{Al|3}}le caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] à droite » et « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] à gauche » de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout élément de <math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math><ref name="autre notation d'un dual" />{{,}} <ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel" /><math>\big]\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>“mixte”</u> <ref name="mixte"> Appellation personnelle pour traduire que le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] n'est ni [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] ni [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] mais un mélange des deux, plus exactement <br>{{Al|27}}{{Transparent|Appellation personnelle }}un torseur d'ordre <math>\;p\;</math> « mixte » est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre partiel <math>\;l\; \in\; \left[\left[ 1\,,\, p \right[\right[\;</math> et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] d'ordre partiel <math>\;m = p - l\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="mixte d'ordre 2"> Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> « mixte » est donc [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre partiel <math>\;1\;</math> et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] d'ordre partiel <math>\;1\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="par abus - ter"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont partiellement [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]].</ref> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> « mixtes » <ref name="mixte" />{{,}} <ref name="mixte d'ordre 2" />{{,}} <ref name="par abus - ter" /> apportent quelque chose de nouveau par rapport aux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> ou [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" /> car <br>{{Al|20}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> « mixtes » }}ils ne peuvent pas se réduire à une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1</math> <math>\;\ldots</math> === Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux === <center>Parmi les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux nous nous sommes limités à ceux dont la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle fait intervenir des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3</math>, <br>nous avons donc écarté tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> à représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle avec au moins une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] rectangulaire dont une dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> est <math>\;3</math>,{{Al|24}} <br>{{Transparent|nous avons donc écarté tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont }}l'autre étant un entier <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1\,,\,3 \right\rbrace</math>.{{Al|10}}</center> * « Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /> étant une « famille de <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \;\in\;W^3\;</math> où <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] » <ref name="tenseur d'ordre 2 contravariant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> à savoir <math>\;\left\lbrace \vec{x}\;\left( x_1\,,\,x_2\,,\,x_3 \right)\,;\, \vec{v}\;\left( v_1\,,\,v_2\,,\,v_3 \right)\,;\, \vec{w}\;\left( w_1\,,\,w_2\,,\,w_3 \right) \right\rbrace\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3\end{array}\right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» résultant de la juxtaposition des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] représentant chaque vecteur <math>\;\big(</math>ou [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /><math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] correspondante <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases" />, les composantes de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \;\in\;W^3\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} & {v'}_{\!1} & {w'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} & {v'}_{\!2} & {w'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3} & {v'}_{\!3} & {w'}_{\!3}\end{array}\right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3\end{array}\right]\;</math><ref name="matrice de passage inverse"> <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> et traduisant le changement de la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> vers la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>.</ref>» <ref name="contravariance des composantes de famille de 3 vecteurs" /> <br><math>\big\{</math>les composantes des <math>\;3\;</math> vecteurs dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\vec{x}\,:\,\left( {x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3} \right)\,;\, \vec{v}\,:\,\left( {v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3} \right)\,;\, \vec{w}\,:\,\left( {w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3} \right) \big\}</math>. * « Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> associé à la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{r}\,,\,\vec{s} \right) \;\in\;W^3\;</math> étant la « famille des <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> définie selon <math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,g := \vec{r} \cdot\,,\,h := \vec{s} \cdot \right)\;</math>» <ref name="tenseur d'ordre 2 covariant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_2ème_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;\left\lbrace f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\,,\,g(\vec{x}) = \vec{r} \cdot \vec{x}\,,\,h(\vec{x}) = \vec{s} \cdot \vec{x} \right\rbrace</math>, <math>\;\big[</math>les [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> étant des éléments de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> [[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W</math>, c.-à-d. des « [[w:Covecteur|covecteurs]] » <ref name="justification de covecteur" /> de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /><math>\big]\;</math>, ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\; \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur - bis"> Par abus on dira que la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] «<math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,g := \vec{r} \cdot\,,\,h := \vec{s} \cdot \right)\;</math>» est représentée par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array} \right]</math> <math>\;\big\{</math>obtenue en mettant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] représentant chaque [[w:Covecteur|covecteur]] en couches les unes au-dessous des autres<math>\big\}</math>, c'est aussi la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\;</math> représentant la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{r}\,,\,\vec{s} \right)\, \in W^3</math> <math>\;\big\{</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] représentant chaque vecteur les unes à côté des autres<math>\big\}</math>, chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] correspondante</ref> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] correspondante <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, les composantes de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left( \vec{a}\, \cdot\,,\,\vec{r}\, \cdot\,,\,\vec{s}\, \cdot \right) \in\;\left\lbrace W^{*} \right\rbrace^3\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array}\right] \times</math> <math>= \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\! \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» <ref name="covariance des composantes de famille de 3 covecteurs" /> dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> <math>\;\Bigg\langle</math>les composantes des <math>\;3\;</math> vecteurs dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{a}\,:\,\left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \vec{r}\,:\,\left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \vec{s}\,:\,\left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array}\right\rbrace \Bigg\rangle</math>. * « Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> “ mixte ” <ref name="mixte" />{{,}} <ref name="mixte d'ordre 2" />{{,}} <ref name="par abus - ter" /> » étant une « [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math>», c.-à-d. une « [[w:Application_linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>l'image d'un élément <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> par <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est donc un scalaire<math>\Big\}\;</math><ref name="tenseur d'ordre 2 mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_3ème_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, sa représentation opérationnelle <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]]<math>\big)</math>, après choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W</math>, doit contenir <math>\;3^2 = 9\;</math> cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> c.-à-d. une matrice de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)</math>, ce qui nécessite <br>{{Transparent|« }}<math>\succ\;</math>une représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]]<math>\big)\;</math> pour le 1^er vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> et <br>{{Transparent|« }}<math>\succ\;</math>{{Transparent|une représentation matricielle }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3\,,\, 1 \right)\;</math><math>\big(</math>c.-à-d. une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<math>\big)\;</math> pour le 2^ème vecteur <math>\;\vec{y}\;</math> <br>soit la représentation opérationnelle <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]]<math>\big)\;</math> de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> par «<math>\;\times \left[ A \right] \times\;</math>» dans laquelle <math>\;\left[ A \right]\;\in\;M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|taille<math>\big)</math>}} <math>\;\left( 3\,,\, 3 \right)\;</math> et «<math>\;\times\;</math>» la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\Big\{</math>on vérifie que la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)</math>, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math>» est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] à gauche et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] à droite <ref name="vérification du caractère mixte"> En effet l'image <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> du couple de vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;</math> par la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> étant un scalaire c.-à-d. un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> invariant, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}son évaluation nécessitant l'intervention à gauche d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] représentant un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]], <math>\Rightarrow</math> le côté gauche du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] représentant <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] et <br>{{Al|2}}{{Transparent|En effet son évaluation nécessitant l'interve }}celle à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <math>\Rightarrow</math> le côté droit du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] représentant <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]].</ref><math>\Big\}</math> ; <br>{{Transparent|« }}<math>\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> étant un scalaire, est invariant par changement de bases de <math>\;W\;</math> et se calcule, en utilisant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace</math>, par évaluation du [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit matriciel]] «<math>\;\left[ x_1\;\;x_2\;\;x_3 \right] \times \left[ A \right] \times \left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\\ y_3\end{array} \right]\;</math>» dans laquelle <math>\;\left[ x_1\;\;x_2\;\;x_3 \right]\;</math> et <math>\;\left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\\ y_3\end{array} \right]\;</math> sont la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] représentant <math>\;\vec{x}\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{y}\;</math> et <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right]\;</math> dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math><ref name="matrice carrée utilisée dans une forme bilinéaire"> On justifie la forme de la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> en évaluant <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right)\;</math> par calcul matriciel <math>\;\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ A \right] \times \left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,j}\\\delta_{2,\,j}\\ \delta_{3,\,j}\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,j}\\\delta_{2,\,j}\\ \delta_{3,\,j}\end{array} \right]\;</math> effectivement égal à <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right)\;</math> compte-tenu de <math>\;\delta_{k,\,l} = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\text{si }\;k \neq l\\ 1\;\text{si }\;k = l\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big(</math>symbole de Kronecker<math>\big)</math>, en effet : <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 1</math> : <math>\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 2</math> : <math>\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2\right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 3</math> : <math>\;\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3\right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace\! \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref>{{,}} <ref name="forme bilinéaire associée à la multiplication scalaire et l'endomorphisme varphi"> On vérifie l'accord sur la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] particulière du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> associée à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math> c.-à-d. l'application composée {{Nobr|«<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) =</math>}} <math>\text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<math>\Big]\;</math> la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> étant {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-caractère_covariant_et_contravariant_d'un_tenseur_mixte-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \\ \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \\ \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \end{array} \right]\;</math> avec <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right) = \vec{b}_i \cdot \varphi(\vec{b}_j)\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, la représentation opérationnelle de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> est la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite et à gauche de la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> exprimée dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math>» soit <center>«<math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] \times\;=\;\times \left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] \times\;</math>» <ref name="matrice carrée utilisée dans une forme bilinéaire" />{{,}} <ref name="forme bilinéaire associée à la multiplication scalaire et l'endomorphisme varphi" />{{,}} <ref> Obtenue en remplaçant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> par la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#cite_note-forme_bilinéaire_associée_à_la_multiplication_scalaire_et_l'endomorphisme_varphi-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br> <math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> ou encore <br><math>\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_2}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> soit finalement <br>«<math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] \times\;=\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> ou encore <br><math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] \times\;=\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_2}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times\;</math>» <ref name="matrice de passage inverse" />{{,}} <ref name="caractère covariant et contravariant d'un tenseur mixte" />{{,}} <ref> On vérifie l'accord avec le résultat de la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-caractère_covariant_et_contravariant_d'un_tenseur_mixte-37|³⁷]] » exposée dans le cadre de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] particulière du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> associée à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math> c.-à-d. l'application composée «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>on rappelle que les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<math>\Big]\;\ldots</math></ref>.</center> == Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux == {{Al|5}}Nous pourrions poursuivre la construction des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;3\;</math> comme celle exposée pour les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;\leqslant\;</math> à <math>\;2\;</math> mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] après l'introduction de deux opérations sur les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] : * la [[w:Produit_tensoriel|multiplication tensorielle]] <ref name="multiplication tensorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels_de_dimension_finie|produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> d'une part et * la [[w:Contraction_tensorielle|contraction tensorielle]] <ref name="contraction tensorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#Contraction_tensorielle|contraction tensorielle]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> d'autre part, {{Al|5}}leur introduction conduisant à une définition de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] nettement plus concise <ref name="2ème définition de tenseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_de_tenseurs_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref><math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les matrices carrées, leur inversion sous conditions/]] | suivant = [[../Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels/]] }} 7qcgy6511plf81y4p3bbw368jtuumve 965703 965702 2025-06-16T04:39:07Z Phl7605 31541 /* Introduction des « tenseurs » en mathématiques */ 965703 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 6 | niveau = 14 | précédent = [[../Les matrices carrées, leur inversion sous conditions/]] | suivant = [[../Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels/]] }} == Introduction des « tenseurs » en mathématiques == {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tous ces éléments pris individuellement forment un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension finie et, avec pour corps de construction <math>\;\mathbb{R}</math>, les 1^ers exemples sont : ::* l'ensemble des scalaires formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\mathbb{R}\;</math> lui-même de dimension <math>\;1</math>, <center>un scalaire étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre zéro</u>,</center> ::* l'ensemble des vecteurs formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> de dimension <math>\;n</math>, chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_j\\ \vdots\\ x_n\end{array} \right] \in M_{n,\,1}\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <center>un vecteur d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre un</u> <ref name="autre tenseur d'ordre un"> Comme nous le voyons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Divers_types_de_tenseurs_d'ordre_un,_définitions_et_propriétés|divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre un que les vecteurs.</ref>,</center> ::* l'ensemble des familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^p</math>, chaque famille ordonnée de <math>\;p\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,p}\\ & & \vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,p}\\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,p}\end{array} \right] \in M_{n,\,p}\!\left( \mathbb{R} \right)</math> {{Nobr|<math>\Bigg\{</math>en}} particulier l'ensemble des familles ordonnées de <math>\;n\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> est le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^n</math>, chaque famille ordonnée de <math>\;n\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & \cdots & x_{1,\,j} & \cdots & x_{1,\,n}\\ & & \vdots & & \\ x_{i,\,1} & \cdots & x_{i,\,j} & \cdots & x_{i,\,n}\\ & & \vdots & & \\ x_{n,\,1} & \cdots & x_{n,\,j} & \cdots & x_{n,\,n}\end{array} \right] \in M_n\!\left( \mathbb{R} \right)\Bigg\}</math>, <center>une famille ordonnée de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre deux</u> <math>\;\big(</math>avec <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\!\big)\;</math><ref name="autre tenseur d'ordre deux"> Comme nous le voyons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Divers_types_de_tenseurs_d'ordre_deux,_définitions_et_propriétés|divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux que les familles de vecteurs.</ref> et</center> ::* l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\mathbb{R}^n\;</math> formant le <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Isomorphisme#Algèbre|isomorphe]] à <math>\;\left\lbrace \left\lbrace \mathbb{R}^n \right\rbrace^p \right\rbrace^q</math>, chaque collection ordonnée de <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs étant représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace b_1\,,\, \cdots\,,\, b_i\,,\, \cdots\,,\, b_n \right\rbrace_{1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,n}</math>, par un tableau parallélépipédique constitué de <math>\;q\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] placées en « couches » <ref name="couche"> Le terme « couche » pour un tableau parallélépipédique n'est pas codifié car la représentation en perspective d'un tel tableau parallélépipédique n'est guère utilisée, on préfère représenter chaque « couche » par une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> fixée, chacune à la suite des précédentes comme si on faisait des coupes successives du tableau parallélépipédique au niveau de chaque « couche » <math>\;\ldots</math></ref> successives, de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( n\,,\, p \right)</math>, <center>une famille ordonnée de <math>\;q\;</math> familles ordonnées de <math>\;p\;</math> vecteurs du même <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;n\;</math> étant un <u>[[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre trois</u> <math>\;\Big[</math>à condition que <math>\;\left( p\,,\, q \right)\,\in\, \big\{\mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\!\big\}^2\Big]\;</math><ref name="autre tenseur d'ordre trois"> Comme cela est évoqué au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Tenseurs_d'ordre_strctement_supérieur_à_deux|tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux]] » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre trois que les collections de familles de vecteurs.</ref>,</center> ::* <math>\;\ldots\;</math> [[File:Tenseurs - exemples.png|thumb|center|600px|Exemples de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre zéro <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre un <math>\;\big(</math>vecteur de l'espace physique<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre deux <math>\;\big(</math>famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'espace physique<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|Exemples de tenseurs }}d'ordre trois <math>\;\big(</math>collection de <math>\;3\;</math> familles de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'espace physique<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;\in \mathbb{N}\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> forment donc un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^{\,p}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> }}on définit en effet <math>\bullet\;</math>l'addition de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] de même ordre <math>\;p</math> <math>\;\Big(</math>par loi de composition interne <math>\;T_p \times T_p\; \overset{+}{\rightarrow}\; T_p\;</math> où <math>\;T_p\;</math> est l'ensemble des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;</math><ref name="addition de deux tensions d'ordre p"> Soient deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> représentables, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\,b_2\,,\,b_3 \right\rbrace</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & x_{1,\,2} & x_{1,\,3}\\ x_{2,\,1} & x_{2,\,2} & x_{2,\,3}\\ x_{3,\,1} & x_{3,\,2} & x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et par un autre [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1,\,1} & {x'}_{\!1,\,2} & {x'}_{\!1,\,3}\\ {x'}_{\!2,\,1} & {x'}_{\!2,\,2} & {x'}_{\!2,\,3}\\ {x'}_{\!3,\,1} & {x'}_{\!3,\,2} & {x'}_{\!3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, la somme de ces deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> peut être définie par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] la représentant, à l'aide de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} + {x'}_{\!1,\,1} & x_{1,\,2} + {x'}_{\!1,\,2} & x_{1,\,3} + {x'}_{\!1,\,3}\\ x_{2,\,1} + {x'}_{\!2,\,1} & x_{2,\,2} + {x'}_{\!2,\,2} & x_{2,\,3} + {x'}_{\!2,\,3}\\ x_{3,\,1} + {x'}_{\!3,\,1} & x_{3,\,2} + {x'}_{\!3,\,2} & x_{3,\,3} + {x'}_{\!3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math> ; <br>{{Al|3}}on prolonge de la même façon la définition de l'addition de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> à celle de deux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre quelconque <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}\;</math> de cet espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref><math>\Big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> on définit en effet }}<math>\bullet\;</math>la multiplication d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;p\;</math> par un scalaire <math>\;\Big(</math>loi de composition externe <math>\;\mathbb{R} \times T_p\; \overset{\cdot}{\rightarrow}\; T_p\;</math><ref name="multiplication d'un tenseur d'ordre p par un scalaire"> Soient un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> représentable, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace b_1\,,\,b_2\,,\,b_3 \right\rbrace</math>, par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_{1,\,1} & x_{1,\,2} & x_{1,\,3}\\ x_{2,\,1} & x_{2,\,2} & x_{2,\,3}\\ x_{3,\,1} & x_{3,\,2} & x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> et un scalaire <math>\;\lambda\;\in\;\mathbb{R}</math>, le produit de ce [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> par ce scalaire peut être définie par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] le représentant, à l'aide de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, c.-à-d. <math>\;\left[ \begin{array}{c} \lambda\;x_{1,\,1} & \lambda\;x_{1,\,2} & \lambda\;x_{1,\,3}\\ \lambda\;x_{2,\,1} & \lambda\;x_{2,\,2} & \lambda\;x_{2,\,3}\\ \lambda\;x_{3,\,1} & \lambda\;x_{3,\,2} & \lambda\;x_{3,\,3}\end{array} \right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math> ; <br>{{Al|3}}on prolonge de la même façon la définition de la multiplication d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> par un scalaire à celle d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre quelconque <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}\;</math> de cet espace physique <math>\;\mathcal{E}_3\;</math> construit sur <math>\;\mathbb{R}</math>.</ref><math>\Big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{p\;\in \mathbb{N}}\;</math> on définit en effet }}<math>\bullet\;</math>ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble <math>\;T_p\;</math> des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;p\;</math> d'être un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : <math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre un, leurs représentations en [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] dépendent de la base, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre deux, leurs représentations en [[w:Matrice_(mathématiques)|matrices]] rectangulaires dépendent de la base, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre trois, leurs représentations en tableaux parallélépipédiques dépendent de la base ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : }}<math>\bullet\;</math>s'ils sont d'ordre <math>\;>\;</math> à trois, leurs représentations en tableaux hyperparallélépipédiques <ref name="hyperparallélépipédique"> Un parallélépipède est une expansion tridimensionnelle particulière de l'espace physique à trois dimensions, <br>{{Al|3}}un hyperparallélépipède dans un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] à quatre dimensions est une expansion tétradimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède, <br>{{Al|3}}un hyperparallélépipède dans un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] à cinq dimensions est une expansion pentadimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède, <br>{{Al|3}}{{Transparent|un hyperparallélépipède }}cette appellation restant valable pour tout [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] de dimension <math>\;> 3</math>.</ref> dépendent de la base. == 1^ères définitions de tenseurs == {{Al|5}}<u>Préliminaires</u> : Comme nous l'avons vu au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Introduction_des_«_tenseurs_»_en_mathématiques|introduction des tenseurs en mathématiques]] » plus haut dans ce chapitre, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] nécessite de préciser l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de travail, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}il s'agit d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^{\,p}</math>, <math>\;p\;\in \mathbb{N}</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 0</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] est <math>\;\mathbb{R}\;</math> de dimension <math>\;1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 1</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3\;</math> est, quand c'est utile, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, l'espace vectoriel }}choisi [[w:Espace_vectoriel_euclidien|euclidien]] <ref name="espace vectoriel euclidien"> C.-à-d. muni d'une [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de vecteurs, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_scalaire_de_deux_vecteurs|produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et dans ce cas, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, }}l'espace vectoriel est la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine"> C.-à-d. l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]].</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 1}</math>, l'espace vectoriel est la direction de l'}}tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math>si <math>\;p = 2</math>, l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] est de dimension <math>\;9</math>, par exemple, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 2}</math>, }}l'ensemble des familles de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\;\color{transparent}{p = 2}</math>, l'ensemble des familles de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> vecteurs de l’}}tridimensionnel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, }}<math>\bullet\;</math><math>\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : }}Une grandeur est qualifiée de « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] » lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] d'étude <ref name="exemple de grandeur covariante"> Soit un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel_euclidien|espace vectoriel euclidien]] <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de dimension <math>\;3\;</math> et ses composantes selon la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> choisie dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> à savoir <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right)\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> où «<math>\;\cdot\;</math> est la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] définie sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Soit }}une autre base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans laquelle les composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> sont <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>, <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & X_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>» telle que la j^ème [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] est la décomposition de <math>\;\vec{b'}_{\!j}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ce qui se traduit par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i\\ \vec{b'}_{\!2} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \\ \vec{b'}_{\!3} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,3}\; \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]</math> <math>\;\big[</math>voir, dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités##Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}par report des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> dans les composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> exprimées selon <math>\;\left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\;\left( \mathfrak{b}' \right)</math>, «<math>\;\left( \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \vec{x} \cdot \left\lbrace \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,3}\; \vec{b}_i \right\rbrace \right) =</math> <math>\left( \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace\,,\, \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,3}\, \left\lbrace \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right\rbrace \right)\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|par report des relations <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{b} \right)}\;</math> dans les composantes de <math>\;\color{transparent}{\vec{x}}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> exprimées }}selon <math>\;\left[ \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> ou encore <math>\;\left[ \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{x} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur écrites sous forme de [[w:Produit_scalaire|produits scalaires]] avec la base utilisée est une grandeur [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] <math>\;\big\{</math>on parle de « composantes [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] du vecteur », « le triplet étant représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaires : Une grandeur est }}qualifiée de « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle des vecteurs de base du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] d'étude <ref name="exemple de grandeur contravariante"> Soit le triplet de scalaires réels <math>\;\left( x_1\,,\, x_2\,,\, x_3 \right)\;</math> défini comme composantes d'un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;</math> au <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de dimension <math>\;3</math>, composantes selon la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> choisie dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, c.-à-d. telles que «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 x_i\;\vec{b}_i\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» et <br>{{Al|19}}{{Transparent|Soit }}une autre base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon laquelle le vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> a pour composantes le triplet de scalaires réels <math>\;\left( {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right)\;</math> telles que «<math>\;\vec{x} =</math> <math>\sum\limits_{i = 1}^3 {x'}_{\!i}\;\vec{b'}_{\!i}\;\left( \mathfrak{a}' \right)\;</math>», <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>» telle que la j^ème [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] est la décomposition de <math>\;\vec{b'}_{\!j}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ce qui se traduit par «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,1}\; \vec{b}_i\\ \vec{b'}_{\!2} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{i,\,2}\; \vec{b}_i \\ \vec{b'}_{\!3} = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,3}\; \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right]</math> <math>\;\big[</math>voir, dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] quelconque ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}par report des relations <math>\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a}' \right)</math>, «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 {x'}_{\!i}\,\left( \sum\limits_{j = 1}^3 a_{j,\,i}\; \vec{b}_j \right) = \sum\limits_{j = 1}^3 \left( \sum\limits_{i = 1}^3 a_{j,\,i}\;{x'}_{\!i} \right)\,\vec{b}_j\;</math>» par distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à une addition vectorielle et par factorisation par un vecteur dans cette addition vectorielle ou, en permutant le nom des indices «<math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 \left( \sum\limits_{j = 1}^3 a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j} \right)\,\vec{b}_i\;</math>» soit, en identifiant à <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i = 1}^3 x_i\;\vec{b}_i\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;x_i =</math> <math>\sum\limits_{j = 1}^3 a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j},\;\;\forall\;i\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x_1 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{1,\,j}\; {x'}_{\!j}\\ x_2 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{2,\,j}\; {x'}_{\!j} \\ x_3 = \sum\limits_{i = 1}^3 a_{3,\,j}\; {x'}_{\!j} \end{array}\right\rbrace\;\left( \mathfrak{b}' \right)\;</math>» ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] selon <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_{1,\,1} & a_{1,\,2} & a_{1,\,3} \\ a_{2,\,1} & a_{2,\,2} & a_{2,\,3} \\ a_{3,\,1} & a_{3,\,2} & a_{3,\,3} \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right]</math> ; <br>{{Al|3}}dans la mesure où tout changement de bases peut être inverser, la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> à la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» est [[w:Matrice_inersible|inversible]], son [[w:Matrice_inversible|inverse]] est notée «<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math>» et les composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> sont modifiées selon <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} \\ {x'}_{\!3} \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\;</math> prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur est une grandeur [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] <math>\;\big\{</math>on parle de « composantes [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] du vecteur », « le triplet étant représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] »<math>\big\}</math>.</ref>. === Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro === {{Définition|titre=Définition d'un tenseur d'ordre zéro|contenu={{Al|5}}« Tout scalaire <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout élément de <math>\;\mathbb{R}\big)\;</math> est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un scalaire ne dépendant d'aucune base, un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> est évidemment indépendant du choix d'une telle base <ref name="scalaire défini comme produit scalaire de deux vecteurs"> Le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction d'un espace affine]] est l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}\;</math> <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}étant un scalaire et <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> étant }}invariant par changement de bases de <math>\;W</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}nous vérifions bien le caractère inchangé <math>\;\big(</math>on dit invariant<math>\big)\;</math> d'un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Comme un scalaire ne dépend d'aucune base <ref> Ou s'il est défini comme le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] de deux vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction d'un espace affine]] est l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]]<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>, le scalaire obtenu ne dépend pas d'un éventuel changement de bases de <math>\;W</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#cite_note-scalaire_défini_comme_produit_scalaire_de_deux_vecteurs-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>, « un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> est dit <u>invariant</u> », il n'est ni [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] ni [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <math>\;\ldots</math> == Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés == === Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un === {{Définition|titre=Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre un|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout vecteur de cet [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> n'est pas un vecteur de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur"> Pour définir les composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] d'un vecteur il n'est pas utile que l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de définition soit [[w:Espace_euclidien|euclidien]] par contre <br>{{Al|41}}pour définir les composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] du même vecteur, son [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de définition doit être [[w:Espace_euclidien|euclidien]].</ref><math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="exemple de grandeur contravariante" />, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>tout vecteur de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout vecteur de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref> ». === Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un === {{Définition|titre=Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{*}\;</math> de dimension <math>\;3</math> <math>\;\big(W^{*}\;</math> étant l'[[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W\;</math><ref name="autre notation d'un dual"> Le [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\;</math> étant l'ensemble des [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> est encore noté <math>\;L(W,\,\mathbb{R})\;</math> ou <math>\;L_{\mathbb{R}}(W,\,\mathbb{R})\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W,\,\mathbb{R})\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;W^{*}</math>.</ref> [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. toute [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\big]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W^{*}}\;</math> de dimension <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type associé au vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> est la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;f := \vec{a} \cdot\;</math>» telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}</math>, <math>\;\big[</math>la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> est un élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" />, chaque élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> étant encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » <ref name="justification de covecteur"> La justification de cette appellation venant du fait que ses composantes dans une base de <math>\;W\;</math> sont « [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] ».</ref><math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" /> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 2^ème type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="covariance des composantes de covecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes du vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> écrites sous forme de [[w:Produit_scalaire|produits scalaires]] ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_covariante-10|¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, nous allons l'expliciter en terme de vecteur de <math>\;W^{*}</math> <math>\;\big(W^{*}\;</math> étant le [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\big)\;</math> <math>\big\{</math>encore appelé [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}</math> <math>\big(</math>ou de [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] sur <math>\;W\big)\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}soit <math>\;\vec{a}\;</math> un vecteur de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <math>\;\vec{a} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_i \right) b_i\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]</math>, on en a déduit, <br>{{Al|3}}le vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> se décomposant dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\vec{a} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!i} \right) \vec{b'}_{\!i}</math>, l'influence du changement de bases de <math>\;W\;</math> sur les somposantes de <math>\;\vec{a}\;</math> écrites en terme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right] = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, d'où une 1^ère justification du qualificatif « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » données aux composantes du vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> exprimées sous forme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] avec les vecteurs de base de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> ; <br>{{Al|3}}considérant la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> associée à <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> «<math>\;f := \vec{a} \cdot\;</math> telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\;</math>» <math>\;\big[f\;\in\;W^{*}\;</math> est encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] de <math>\;W^{*}\;</math>»<math>\big]</math>, l'image de <math>\;\vec{x}\;</math> par <math>\;f\;</math> s'écrivant encore, dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, «<math>\;f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \sum\limits_{k = 1}^3 x_k\;\vec{b}_k = \sum\limits_{k = 1}^3 \vec{a} \cdot \vec{b}_k\; x_k\;</math>» par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, sous forme [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] «<math>\;f(\vec{x}) = \left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right] \times \left[ X \right]\;</math>» où <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]\;</math> est la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] des composantes de <math>\vec{x}\;</math> sur cette base, on déduit, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}du caractère invariant par changement de bases du scalaire <math>\;f(x)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}de celui [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> représentées par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X \right]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> de celui }}<math>\big(</math>caractère [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}le caractère [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes de <math>\;\vec{a}\;</math> exprimées sous forme de [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] avec les vecteurs de base et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> le caractère covariant }}représentées par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right]</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> associée à <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{f := \vec{a} \cdot}\;</math> }}<math>\big\{</math>ceci constituant la 2^ème justification du qualificatif « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » données à ces composantes<math>\big\}</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique » est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]].</ref> » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« tout [[w:Covecteur|covecteur]] de l'espace [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique » est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> ». === Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /> étant un vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W</math>, ses composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]]<math>\big)\;</math> <math>\left( a_1\,,\,a_2\,,\,a_3 \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Un tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariant étant un vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}</math>, ses composantes }}ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\Big\{</math>«<math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant sa [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] »<math>\Big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> }}les composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]]<math>\big)\;</math> du vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>contravariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> du vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}\;\in\;W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {a'}_{\!1}\\ {a'}_{\!2}\\ {a'}_{\!3}\end{array}\right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\;</math>». {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> associé au vecteur <math>\;\vec{a}\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> étant la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;f := a \cdot\;</math>» telle que <math>\;\forall\;x\;\in\;W</math> <math>\;f(x) = a \cdot x</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant associé au vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> étant }}la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] de <math>\;W</math> <math>\;\big(</math>encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » de <math>\;W^{*}\big)\;</math> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant associé au vecteur <math>\;\color{transparent}{\vec{a}}\;</math> du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> étant la forme linéaire de <math>\;\color{transparent}{W}</math> }}«<math>\;f := a \cdot\;</math>» étant un élément de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> l'[[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W</math>, <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant }}ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Le tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariant ses composantes dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur"> Pour simplifier l'écriture on dira que « le [[w:Covecteur|covecteur]] associé au vecteur <math>\;a\;\in\;W\;</math>» est représenté, « dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right]\;</math> au lieu de <math>\;\left[ \vec{a} \cdot \vec{b}_1\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_2\;\; \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right]\;</math>», idem pour la représentation dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> }}les composantes de <math>\;\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont }}la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\left[ {a'}_{\!1}\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> les composantes de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{a}\; \cdot \right\rbrace \in\;W^{*}}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne }}<math>\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace C \right\rbrace} \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Propriété</u> : « Le [[w:Produit_scalaire|produit scalaire]] <ref name="définition intrinsèque du produit scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> des vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2\;</math>» s'identifiant à « l'image de <math>\;\vec{x}\;\in\;W\;</math> par la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\;</math>» <ref name="autre notation d'un dual" /> à savoir «<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = f(\vec{x})\;\in\;\mathbb{R}\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» }}est invariant par changement de base choisie dans <math>\;W\;</math> en effet <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant }}évalué, dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =\left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W</math>, par «<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \sum\limits_{k\,=\,1\,..\,3} a_k\;x_k\;</math><ref name="définition du produit scalaire par les composantes des vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_scalaire_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math><ref name="abus usuel pour covecteur" /> », <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant }}on vérifie que le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases" /> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}conduit à l'évaluation dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right]\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur" /> où «<math>\;\left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times</math> <math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur" /> <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où « }}<math>\big\{</math>caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] » de “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\big\}\;</math> et <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où }}«<math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right] =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math>» <br>{{Al|19}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1 \end{array}\right]}\;</math>» où « }}<math>\big\{</math>caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] » de “<math>\;\vec{x}\;</math>” <math>\;\in\;W\big\}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x} = \left[ {a'}_1\;\; {a'}_2\;\; {a'}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} {x'}_1\\ {x'}_2\\ {x'}_3\end{array}\right]\;</math><ref name="abus usuel pour covecteur" /> <math>= \left\lbrace \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \right\rbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que «<math>\;\color{transparent}{\vec{a} \cdot \vec{x}}</math> }}<math>= \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times \cancel{\bigg\{ \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \bigg\}} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible.</ref>{{,}} <ref name="propriété de matrices inverses l'une de l'autre"> <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\,</math> on a <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} = \left[ I_3 \right] \\ \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ I_3 \right] \end{array} \right\rbrace\;</math> où <math>\;\left[ I_3 \right]\;</math> est la [[w:Matrice_identité|matrice identité]] de <math>\;M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> laquelle est l'élément neutre de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] quand celle-ci est possible <math>\;\big\{</math>voir le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (4^ème propriété, élément neutre) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big\}</math>.</ref> » soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}« l'invariance de <math>\;\vec{a} \cdot \vec{x}\;</math> par changement de bases » C.Q.F.V. <ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref> ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>>Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{a}\,,\,\vec{x} \right)\;\in\;W^2}\;</math>» est invariant on vérifie que }}«<math>\;\vec{a} \cdot \vec{x}\;</math> étant un scalaire est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> d'où son invariance par changement de bases <ref name="caractère invariant d'un tenseur d'ordre 0"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_tenseur_d'ordre_zéro|définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre.</ref> » <ref> Autre justification.</ref>. == Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés == {{Al|5}}Parmi les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle fait intervenir des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parmi les tenseurs d'ordre deux }}nous écartons tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> à représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle avec au moins une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] rectangulaire dont une dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> est <math>\;3</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont }}l'autre étant un entier <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1\,,\,3 \right\rbrace</math>. === Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Tout élément du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] de dimension <math>\;3^2 = 9\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. toute famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel<math>\big)</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|« Tout élément du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel de dimension <math>\;\color{transparent}{3^2 = 9}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> n'est pas une famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel c.-à-d. de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="contravariance des composantes de famille de 3 vecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes d'un vecteur <math>\;\vec{x}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous, les principaux résultats : <br>{{Al|3}}soit <math>\;\vec{x}\;</math> un vecteur quelconque de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> selon <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} x_i\; b_i\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|soit }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math>», on en a déduit, <br>{{Al|3}}la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] du vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right]\;</math> dans laquelle le triplet <math>\;\left\lbrace {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> sont les composantes de <math>\;\vec{x}\;</math> sur <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} telles que <math>\;\vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} {x'}_{\!i}\; \vec{b'}_{\!i}\;</math> soit «<math>\;\left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ X \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>», <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{1})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de <math>\;x</math> ; <br>{{Al|3}}considérant maintenant une famille de <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;\in\;W^3</math>, de composantes sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x}\,:\, \left( x_1\,,\, x_2\,,\, x_3 \right)\\ \vec{v}\,:\, \left( v_1\,,\, v_2\,,\, v_3 \right)\\ \vec{w}\,:\, \left( w_1\,,\, w_2\,,\, w_3 \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> et représentées [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] <math>\;\left\lbrace \vec{x}\,:\, \left[ X \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array} \right]\;;\;\vec{v}\,:\, \left[ V \right] = \left[ \begin{array}{c} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array} \right]\;;\; \vec{w}\,:\, \left[ W \right] = \left[ \begin{array}{c} w_1\\ w_2\\ w_3\end{array} \right] \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> précédemment défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\!</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}les composantes des trois vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans la nouvelle base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x}\,:\, \left( {x'}_{\!1}\,,\, {x'}_{\!2}\,,\, {x'}_{\!3} \right)\\ \vec{v}\,:\, \left( {v'}_{\!1}\,,\, {v'}_{\!2}\,,\, {v'}_{\!3} \right)\\ \vec{w}\,:\, \left( {w'}_{\!1}\,,\, {w'}_{\!2}\,,\, {w'}_{\!3} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> respectivement représentées [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] suivantes <math>\;\left\lbrace \vec{x}\,:\, \left[ X' \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3}\end{array} \right]\;;\;\vec{v}\,:\, \left[ V' \right] = \left[ \begin{array}{c} {v'}_{\!1}\\ {v'}_{\!2}\\ {v'}_{\!3}\end{array} \right]\;;\; \vec{w}\,:\, \left[ W' \right] = \left[ \begin{array}{c} {w'}_{\!1}\\ {w'}_{\!2}\\ {w'}_{\!3}\end{array} \right] \right\rbrace</math>, liées aux [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\left[ X' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ X \right] \\ \left[ V' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ V \right] \\ \left[ W' \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ W \right]\end{array}\right\rbrace</math>, <math>\;\Big\{\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> <br>étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\Big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de chaque vecteur selon <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3 \end{array} \right]\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} & {v'}_{\!1} & {w'}_{\!1}\\ {x'}_{\!2} & {v'}_{\!2} & {w'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3} & {v'}_{\!3} & {w'}_{\!3} \end{array} \right]\;</math> dans <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la j^ème colonne de <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;</math> résultant de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> de la j^ème colonne de <math>\;\left[ \mathcal{F}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\!\bigg\}</math>, la relation <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] des composantes de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{v}\,,\, \vec{w} \right)</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute famille de</u><math>\;3\;</math><u>vecteurs de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. toute famille de <math>\;3\;</math> vecteurs de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que « toute famille de<math>\;\color{transparent}{3}\;</math>vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel }}est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" /> n'apportent guère plus que les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" />, mis à part le regroupement de <math>\;3\;</math> vecteurs dans une même famille c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariants, mis à part }}le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> contravariants, mis à part le regroupement }}en un seul [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="par abus" />. === Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Toute famille de <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> <math>\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel<math>\big)</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}toute famille de <math>\;3\;</math> éléments du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W^{*}</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /><math>\big)\;</math> <math>\;\big\{</math>ou encore toute famille de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] de <math>\;W^{*}\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Toute famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> formes linéaires du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>» <ref> Mais tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> n'est pas une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] [[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de la [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] physique.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type associé au triplet de vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\, \vec{a'}\,,\,\vec{a''} \right)\;\in\;W^3\;</math> est la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> «<math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,f' := \vec{a'} \cdot\,,\,f'' := \vec{a''} \cdot \right)\;</math>» telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;\left\lbrace f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\,,\,f'(\vec{x}) = \vec{a'} \cdot \vec{x}\,,\,f''(\vec{x}) = \vec{a''} \cdot \vec{x} \right\rbrace</math>, <math>\;\big[</math>les [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> dont chaque élément étant encore appelé « [[w:Covecteur|covecteur]] » <ref name="justification de covecteur" /><math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 2^nd type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="covariance des composantes de famille de 3 covecteurs"> Le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des composantes d'un vecteur <math>\;\vec{a}\;\in\;W</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel<math>\big)\;</math> écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_covariante-10|¹⁰]] » plus haut dans ce chapitre, on sait, en considérant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> que les composantes de <math>\;\vec{a}\;</math> écrites selon <math>\;\left\lbrace \vec{a} \cdot \vec{b}_1\,,\, \vec{a} \cdot \vec{b}_2\,,\, \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] et on en a déduit <br>{{Al|3}}le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] de la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Covecteur|covecteur]]<math>\big)\;</math> “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}</math> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_dual#Définitions|dual]] de <math>\;W\big)\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}soit, en considérant sa représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> c.-à-d. la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\;</math>» ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit, en considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\;</math> <math>\Big(</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\!\Big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\; \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}</math>, on en a déduit, dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant]] (propriété) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|soit, }}la représentation opérationnelle dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de la [[w:Forme_linéaire#Définition|forme linéaire]] <math>\;\big(</math>ou [[w:Covecteur|covecteur]]<math>\big)\;</math> “<math>\;f := \vec{a}\;\cdot\;</math>” <math>\;\in\;W^{*}\;</math> en fonction de celle dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ {a'}_{\!1}\;\; {a'}_{\!2}\;\; {a'}_{\!3} \right] \times = \left[ a_1\;\; a_2\;\; a_3 \right] \times\; \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;:\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-abus_usuel_pour_covecteur-23|²³]] pour la simplification d'écriture des composantes [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] d'un vecteur » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, la relation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> traduisant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] du triplet de [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] <math>\;\left\lbrace a_1\;(\vec{b}_1\;\cdot)\;,\;a_2\;(\vec{b}_2\;\cdot)\;,\;a_3\;(\vec{b}_3\;\cdot) \right\rbrace\;</math> appelé, par abus, « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math> du [[w:Covecteur|covecteur]] <math>\;(\vec{a}\;\cdot)\;\in\;W^{*}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}considérant une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3</math>, de « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( a_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; a_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; a_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( r_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; r_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; r_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( s_1\,\vec{b_1}\,\cdot\;,\; s_2\,\vec{b_2}\,\cdot\;,\; s_3\,\vec{b_3}\,\cdot \right)\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}représentées opérationnellement par la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ a_1 \;\; a_2 \;\; a_3 \right]\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ r_1 \;\; r_2 \;\; r_3 \right]\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ s_1 \;\; s_2 \;\; s_3 \right]\;\times \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, }}de « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace</math> <math>\left\lbrace\!\! \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( {a'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {a'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {a'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( {r'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {r'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {r'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( {s'}_{\!1}\,\vec{b'}_{\!1}\,\cdot\;,\; {s'}_{\!2}\,\vec{b'}_{\!2}\,\cdot\;,\; {s'}_{\!3}\,\vec{b'}_{\!3}\,\cdot \right)\end{array} \!\!\right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}représentées opérationnellement par la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant une famille de <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;\in\;\left( W^{*} \right)^3}</math>, de « composantes <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>covariantes<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>» }}[[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {a'}_{\!1} \;\; {a'}_{\!2} \;\; {a'}_{\!3} \right]\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {r'}_{\!1} \;\; {r'}_{\!2} \;\; {r'}_{\!3} \right]\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {s'}_{\!1} \;\; {s'}_{\!2} \;\; {s'}_{\!3} \right]\;\times \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» avec <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> précédemment défini par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]\!</math>, nous déduisons <br>{{Al|3}}les « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» sur <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> des trois [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;</math> en fonction de celles sur <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon leur représentation opérationnelle correspondant à une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{a}\,\cdot\,:\, \left( \left[ A' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {a'}_{\!1} \;\; {a'}_{\!2} \;\; {a'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ a_1 \;\; a_2 \;\; a_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ A \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\\ \vec{r}\,\cdot\,:\, \left( \left[ R' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {r'}_{\!1} \;\; {r'}_{\!2} \;\; {r'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ r_1 \;\; r_2 \;\; r_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ R \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\\ \vec{s}\,\cdot\,:\, \left( \left[ S' \right]\;\times \right)\; =\; \left( \left[ {s'}_{\!1} \;\; {s'}_{\!2} \;\; {s'}_{\!3} \right]\;\times \right)\;=\; \left( \left[ s_1 \;\; s_2 \;\; s_3 \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;=\; \left( \left[ S \right]\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right) \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|3}}la représentation opérationnelle de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> étant la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en empilant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] associées à chaque [[w:Covecteur|covecteur]] selon <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} a_1 & a_2 & a_3\\ r_1 & r_2 & r_3\\ s_1 & s_2 & s_3 \end{array} \right]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|a représentation opérationnelle de la famille des <math>\;\color{transparent}{3}\;</math> covecteurs <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> {{Transparent|étant }}la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> obtenue en empilant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] associées à chaque [[w:Covecteur|covecteur]] selon <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \begin{array}{c} {a'}_{\!1} & {a'}_{\!2} & {a'}_{\!3}\\ {r'}_{\!1} & {r'}_{\!2} & {r'}_{\!3}\\ {s'}_{\!1} & {s'}_{\!2} & {s'}_{\!3} \end{array} \right]</math>, nous en déduisons <br>{{Al|3}}le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right] = \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la i^ème ligne de <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;</math> résultant de la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite par <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de la i^ème ligne de <math>\;\left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right]\!\bigg\}\;</math> soit finalement, <br>{{Al|3}}{{Transparent|le lien entre ces dernières lors du changement de bases, }}en représentation opérationnelle, «<math>\;\left( \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B' \right\rbrace} \right]\;\times \right) = \left( \left[ \mathcal{G}_{\left\lbrace B \right\rbrace} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times \right)\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>», la relation <math>\;(\mathfrak{2})\;</math> établissant le caractère [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] des « composantes <math>\;\big(</math>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]]<math>\big)\;</math>» de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left\lbrace (\vec{a}\;\cdot)\,,\, (\vec{r}\;\cdot)\,,\, (\vec{s}\;\cdot) \right\rbrace</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute famille de</u><math>\underline{\;3\;}</math><u>[[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>[[w:Espace_affine|direction de l'espace affine]] physique<math>\big)\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>[[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]]</u> <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> n'apportent guère plus que les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> mis à part le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] dans une même famille c.-à-d. <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariants mis à part }}le regroupement de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{1}\;</math> covariants mis à part le regroupement }}en un seul [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] <ref name="par abus - bis" />. === Définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux === {{Définition|titre=Définition d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux|contenu={{Al|5}}« Toute [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> [[w:Espace_affine#Première_définition|direction de l'espace affine]] <ref name="direction d'un espace affine" /> tridimensionnel <math>\;\Big\{</math>c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|« }}toute [[w:Application_linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math> vérifiant “<math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\overset{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)}{\rightarrow}\; \left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;\in\;\mathbb{R}\;</math> telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|« toute application linéaire <math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{W^2}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}\;</math> vérifiant “<math>\;\color{transparent}{\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2}</math>, }}<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> soit linéaire relativement à <math>\;\vec{x}\;</math> et <math>\;\vec{y}\;</math>”<math>\Big\}\;</math><ref name="forme bilinéaire"> C.-à-d. telle que «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \vec{y} \right) = \alpha_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y} \right) + \alpha_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y} \right) \\ \left( \vec{x}\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \beta_1\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \beta_2\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y}_2 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» ce qui aurait pour conséquence * «<math>\;\left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \alpha_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) + \alpha_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right)\;</math>» en développant par rapport à la 1^ère variable puis * «<math>\;\left( \alpha_1\;\vec{x}_1 + \alpha_2\;\vec{x}_2\,\vert\, \beta_1\;\vec{y}_1 + \beta_2\;\vec{y}_2 \right) = \alpha_1\;\beta_1\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \alpha_1\;\beta_2\;\left( \vec{x}_1\,\vert\, \vec{y}_2 \right) + \alpha_2\;\beta_1\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y}_1 \right) + \alpha_2\;\beta_2\;\left( \vec{x}_2\,\vert\, \vec{y}_2 \right)\;</math>» en développant par rapport à la 2^ème variable.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Toute forme bilinéaire du <math>\;\color{transparent}{\mathbb{R}}</math>-espace vectoriel <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}est un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarques 1</u> : Un exemple de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type associé à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit scalaire" /> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math><ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel"> L'ensemble des [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphismes]] de <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] noté <math>\;L_{\mathbb{R}}(W)\;</math> ou encore <math>\;\mathrm{End}_{\mathbb{R}}(W)\;</math> mais le plus souvent on se contente de <math>\;L(W)</math>.</ref> est l'application composée «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>» <ref name="autre notation d'un dual" />{{,}} <ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel" /><math>\Big]\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques 1 : }}un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'[[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci <ref name="espace vectoriel dans lequel on peut définir des composantes contravariantes ou covariantes d'un vecteur" />. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Vérifiant que « les composantes de ce 3^ème type de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> sont partiellement [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="caractère covariant et contravariant d'un tenseur mixte"> Les composantes de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> dans laquelle <math>\;\varphi\;\in\;L_{\mathbb{R}}\!\left( W \right)\;</math> est un [[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] de <math>\;W\;</math> sont, avec choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\,\vec{b}_2\,,\,\vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W</math>, effectivement « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariantes]] à droite » et « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]] à gauche » en effet, <br>{{Al|3}}considérant deux vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\;</math> de <math>\;W\;</math> se décomposant dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{x} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_i \right) \vec{b}_i\\ \vec{y} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,3} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_i \right) \vec{b}_i \end{array}\right\rbrace</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;W\;</math> représenté, dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, par sa matrice <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ \begin{array}{c} \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_1 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_1 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_1\\ \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_2 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_2 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_2\\ \varphi(\vec{b}_1) \cdot \vec{b}_3 & \varphi(\vec{b}_2) \cdot \vec{b}_3 & \varphi(\vec{b}_3) \cdot \vec{b}_3 \end{array} \right]</math> obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de <math>\;\varphi(\vec{b}_j),\;j\;\in\;\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]\;</math> dans la base des <math>\;\left\lbrace \vec{b}_i \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, 3 \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#2ème_interprétation_linéaire_d'une_matrice_de_dimension_(ou_taille)_(m_,_n),_matrice_d'une_application_linéaire_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_n_de_base_B_dans_un_autre_espace_vectoriel_de_dimension_m_de_base_C_dans_le_couple_de_bases_(B,_C)|2^ème interprétation d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace de dimension n de base B dans un autre espace de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C)]] (1^ère propriété) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » dans le cas où les espaces définition et image de dimension commune <math>\;m = n = 3\;</math> sont confondus avec choix d'une même base <math>\;C = B\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> défini [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> de la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> vers la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> <math>\;\big[</math>s'obtenant en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] de décomposition des vecteurs de <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\big]\;</math> selon <math>\;\left[ \vec{b'}_{\!1}\;\;, \vec{b'}_{\!2}\;\; \vec{b'}_{\!3} \right] = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace\,\rightarrow\,\left\lbrace B' \right\rbrace} = \left[ \vec{b}_1\;\; \vec{b}_2\;\; \vec{b}_3 \right] \times \left[ \begin{array}{c} \alpha_{1,\,1} & \alpha_{1,\,2} & \alpha_{1,\,3} \\ \alpha_{2,\,1} & \alpha_{2,\,2} & \alpha_{2,\,3} \\ \alpha_{3,\,1} & \alpha_{3,\,2} & \alpha_{3,\,3} \end{array} \right]</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir,}} dans le chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Matrice_de_passage_entre_deux_bases_de_Rm,_réécriture_de_la_matrice_coordonnée_d'un_«_m-uplet_»_par_changement_de_base_de_Rm|matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m]] » appliqué à <math>\;m = 3\;</math> et prolongé au cas d'un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] »<math>\big]</math>, conduisant aux modifications <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur la [[w:Forme_linéaire|forme linéaire]] « [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] par le vecteur <math>\;\vec{x}\;</math>» «<math>\;\vec{x} \cdot\;</math>» de représentation opérationnelle « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times = \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» selon le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Lien_entre_tenseurs_d'ordre_un_contravariant_et_covariant_associés|lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés]] (2^ème sous-paragraphe) » plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le vecteur <math>\;\vec{y}\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> dans laquelle <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> est la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> selon la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-exemple_de_grandeur_contravariante-11|¹¹]] » plus haut dans le chapitre ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur l'endomorphisme <math>\;\varphi\;</math> représenté[[w:Matrice_(mathématiques)| matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) = \left[ \begin{array}{c c c} \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!1}\\ \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!2}\\ \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!2}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \!&\! \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \!\cdot\! \vec{b'}_{\!3} \end{array} \right]</math> <math>= \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_s ur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et par suite <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le vecteur <math>\;\varphi(\vec{y})\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace,\,\left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right] = </math> <math>\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right] \right\rbrace =</math> <math>\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \cancel{\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace} \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big]\;</math> soit enfin <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> }}<math>\succ\;</math>sur le scalaire <math>\;\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})\;</math> représenté [[w:Matrice_(mathématiques)|matriciellement]] par le [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit matriciel]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur le scalaire <math>\;\color{transparent}{\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})}\;</math> représenté }}<math>\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>sur le scalaire <math>\;\color{transparent}{\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})}\;</math> représenté }}<math>\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right]\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> soit, <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en y reportant les relations de changement de bases ci-dessus, <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right) \end{array} \right]</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>= \left\lbrace \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \right\rbrace \times \left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right] \right\rbrace</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|considérant le changement de base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>= \left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \cancel{\left\lbrace \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \right\rbrace \times} \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace,\,\left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Particularité_de_la_multiplication_matricielle_définie_sur_l'ensemble_des_matrices_carrées_de_dimension_(ou_taille)_fixée|particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée]] (1^ère propriété, associativité) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », propriété prolongée à tous les cas où la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] est possible<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> le caractère invariant du scalaire <math>\;\vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})</math> ; <br>{{Al|3}}de la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de l'image de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W\;</math> appliquée à <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)\;</math> soit <math>\;\left[ \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_1 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_2 \right) \; \left( \vec{x} \cdot \vec{b}_3 \right) \right] \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{y} \cdot \vec{b}_3 \right) \end{array} \right]\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation matricielle de l'image de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> appliquée à <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{x}\,,\,\vec{y} \right)}\;</math> }}représentant <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot\,\varphi(\vec{y})\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>, on en déduit <br>{{Al|3}}{{Transparent|de }}la représentation opérationnelle de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> selon une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche et à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B \right\rbrace}\;</math> selon une « }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math> “<math>\;\times\;\mathrm{mat}_{\left\lbrace B \right\rbrace, \left\lbrace B \right\rbrace}\!\left( \varphi \right)\; \times\;</math>” » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> }}dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> selon une « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à gauche et à droite du produit de <math>\;3\;</math> [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> selon une « }}“<math>\;\times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \mathrm{mat}_{\left\lbrace B' \right\rbrace, \left\lbrace B' \right\rbrace}\!\left( \varphi \right) \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>” <math>\big\{</math>chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <br>{{Al|3}}{{Transparent|de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire «<math>\;\color{transparent}{\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{W}\;</math> dans la base <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> selon une « }}étant de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\big\}\;</math>» d'où <br>{{Al|3}}le caractère « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] à droite » et « [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] à gauche » de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» de <math>\;W</math>.</ref>, on affirmera que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : Vérifiant que }}« <u>toute [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] de l'[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] tridimensionnel</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout élément de <math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math><ref name="autre notation d'un dual" />{{,}} <ref name="autre notation de l'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel" /><math>\big]\;</math>» est un « [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> <u>“mixte”</u> <ref name="mixte"> Appellation personnelle pour traduire que le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] n'est ni [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] ni [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] mais un mélange des deux, plus exactement <br>{{Al|27}}{{Transparent|Appellation personnelle }}un torseur d'ordre <math>\;p\;</math> « mixte » est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre partiel <math>\;l\; \in\; \left[\left[ 1\,,\, p \right[\right[\;</math> et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] d'ordre partiel <math>\;m = p - l\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="mixte d'ordre 2"> Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> « mixte » est donc [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre partiel <math>\;1\;</math> et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] d'ordre partiel <math>\;1\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="par abus - ter"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont partiellement [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]].</ref> ». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;2\;</math> « mixtes » <ref name="mixte" />{{,}} <ref name="mixte d'ordre 2" />{{,}} <ref name="par abus - ter" /> apportent quelque chose de nouveau par rapport aux [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariants]] <ref name="par abus - bis" /> ou [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariants]] <ref name="par abus" /> car <br>{{Al|20}}{{Transparent|Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> « mixtes » }}ils ne peuvent pas se réduire à une famille de <math>\;3\;</math> [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;1</math> <math>\;\ldots</math> === Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux === <center>Parmi les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre deux nous nous sommes limités à ceux dont la représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle fait intervenir des [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrices carrées]] de même dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3</math>, <br>nous avons donc écarté tout [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> à représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] ou opérationnelle avec au moins une [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] rectangulaire dont une dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> est <math>\;3</math>,{{Al|24}} <br>{{Transparent|nous avons donc écarté tout tenseur d'ordre <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont }}l'autre étant un entier <math>\;p\;\in\;\mathbb{N}^{*} \backslash \left\lbrace 1\,,\,3 \right\rbrace</math>.{{Al|10}}</center> * « Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /> étant une « famille de <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \;\in\;W^3\;</math> où <math>\;W\;</math> est un <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] » <ref name="tenseur d'ordre 2 contravariant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> à savoir <math>\;\left\lbrace \vec{x}\;\left( x_1\,,\,x_2\,,\,x_3 \right)\,;\, \vec{v}\;\left( v_1\,,\,v_2\,,\,v_3 \right)\,;\, \vec{w}\;\left( w_1\,,\,w_2\,,\,w_3 \right) \right\rbrace\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans cette base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3\end{array}\right] \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math>» résultant de la juxtaposition des [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] représentant chaque vecteur <math>\;\big(</math>ou [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus" /><math>\big)</math> ; <br>{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] correspondante <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math><ref name="matrice de passage entre deux bases" />, les composantes de la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w} \right) \;\in\;W^3\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> la « [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} {x'}_{\!1} & {v'}_{\!1} & {w'}_{\!1} \\ {x'}_{\!2} & {v'}_{\!2} & {w'}_{\!2}\\ {x'}_{\!3} & {v'}_{\!3} & {w'}_{\!3}\end{array}\right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 & v_1 & w_1\\ x_2 & v_2 & w_2\\ x_3 & v_3 & w_3\end{array}\right]\;</math><ref name="matrice de passage inverse"> <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}^{\,-1}\;</math> étant la [[w:Matrice_inversible|matrice inverse]] de <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math> et traduisant le changement de la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> vers la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace</math>.</ref>» <ref name="contravariance des composantes de famille de 3 vecteurs" /> <br><math>\big\{</math>les composantes des <math>\;3\;</math> vecteurs dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\vec{x}\,:\,\left( {x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3} \right)\,;\, \vec{v}\,:\,\left( {v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3} \right)\,;\, \vec{w}\,:\,\left( {w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3} \right) \big\}</math>. * « Le [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]] » <ref name="covariant ou contravariant" />{{,}} <ref name="par abus - bis" /> associé à la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{r}\,,\,\vec{s} \right) \;\in\;W^3\;</math> étant la « famille des <math>\;3\;</math> [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> définie selon <math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,g := \vec{r} \cdot\,,\,h := \vec{s} \cdot \right)\;</math>» <ref name="tenseur d'ordre 2 covariant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_2ème_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> telle que <math>\;\forall\;\vec{x}\;\in\;W</math>, <math>\;\left\lbrace f(\vec{x}) = \vec{a} \cdot \vec{x}\,,\,g(\vec{x}) = \vec{r} \cdot \vec{x}\,,\,h(\vec{x}) = \vec{s} \cdot \vec{x} \right\rbrace</math>, <math>\;\big[</math>les [[w:Forme_linéaire#Définition|formes linéaires]] de <math>\;W\;</math> étant des éléments de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /> [[w:Espace_dual|espace dual]] de <math>\;W</math>, c.-à-d. des « [[w:Covecteur|covecteurs]] » <ref name="justification de covecteur" /> de <math>\;W^{*}\;</math><ref name="autre notation d'un dual" /><math>\big]\;</math>, ses composantes dans la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\; \times\;</math>» <ref name="abus usuel pour covecteur - bis"> Par abus on dira que la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] «<math>\;\left( f := \vec{a}\, \cdot\,,\,g := \vec{r} \cdot\,,\,h := \vec{s} \cdot \right)\;</math>» est représentée par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array} \right]</math> <math>\;\big\{</math>obtenue en mettant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices lignes]] représentant chaque [[w:Covecteur|covecteur]] en couches les unes au-dessous des autres<math>\big\}</math>, c'est aussi la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right)\\ \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right)\\ \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\;</math> représentant la famille des <math>\;3\;</math> vecteurs <math>\;\left( \vec{a}\,,\,\vec{r}\,,\,\vec{s} \right)\, \in W^3</math> <math>\;\big\{</math>obtenue en juxtaposant les [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrices colonnes]] représentant chaque vecteur les unes à côté des autres<math>\big\}</math>, chaque [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] étant la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|transposée]] de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] correspondante</ref> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] correspondante <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, les composantes de la famille des <math>\;3\;</math> [[w:Covecteur|covecteurs]] <math>\;\left( \vec{a}\, \cdot\,,\,\vec{r}\, \cdot\,,\,\vec{s}\, \cdot \right) \in\;\left\lbrace W^{*} \right\rbrace^3\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> ont pour représentation opérationnelle la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite de la [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice]] <math>\left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!1} \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!2} \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array}\right] \times</math> <math>= \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{a} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{r} \cdot \vec{b}_3 \right)\\ \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_1 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_2 \right) & \left( \vec{s} \cdot \vec{b}_3 \right)\end{array}\right]\! \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \times\;</math>» <ref name="covariance des composantes de famille de 3 covecteurs" /> dans cette base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace</math> <math>\;\Bigg\langle</math>les composantes des <math>\;3\;</math> vecteurs dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{a}\,:\,\left( \vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{a} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \vec{r}\,:\,\left( \vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{r} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\\ \vec{s}\,:\,\left( \vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!1}\,,\,\vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!2}\,,\,\vec{s} \cdot \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array}\right\rbrace \Bigg\rangle</math>. * « Un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> “ mixte ” <ref name="mixte" />{{,}} <ref name="mixte d'ordre 2" />{{,}} <ref name="par abus - ter" /> » étant une « [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math>», c.-à-d. une « [[w:Application_linéaire#Définitions|application linéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> dans <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <math>\;\Big\{</math>l'image d'un élément <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;</math> de <math>\;W^2\;</math> par <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est donc un scalaire<math>\Big\}\;</math><ref name="tenseur d'ordre 2 mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Définition_et_propriété_d'un_3ème_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, sa représentation opérationnelle <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]]<math>\big)</math>, après choix d'une base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace =</math> <math>\left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W</math>, doit contenir <math>\;3^2 = 9\;</math> cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> c.-à-d. une matrice de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 1 \right)</math>, ce qui nécessite <br>{{Transparent|« }}<math>\succ\;</math>une représentation [[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 1\,,\, 3 \right)\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]]<math>\big)\;</math> pour le 1^er vecteur <math>\;\vec{x}\;</math> et <br>{{Transparent|« }}<math>\succ\;</math>{{Transparent|une représentation matricielle }}de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;\left( 3\,,\, 1 \right)\;</math><math>\big(</math>c.-à-d. une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]]<math>\big)\;</math> pour le 2^ème vecteur <math>\;\vec{y}\;</math> <br>soit la représentation opérationnelle <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_(mathématiques)|matricielle]]<math>\big)\;</math> de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> par «<math>\;\times \left[ A \right] \times\;</math>» dans laquelle <math>\;\left[ A \right]\;\in\;M_3\!\left( \mathbb{R} \right)\;</math> est une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|taille<math>\big)</math>}} <math>\;\left( 3\,,\, 3 \right)\;</math> et «<math>\;\times\;</math>» la [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] <math>\;\Big\{</math>on vérifie que la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)</math>, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math> de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] de dimension <math>\;\big(</math>ou taille<math>\big)</math> <math>\;3\;</math>» est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] à gauche et [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] à droite <ref name="vérification du caractère mixte"> En effet l'image <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> du couple de vecteurs <math>\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;</math> par la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> étant un scalaire c.-à-d. un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;0\;</math> invariant, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}son évaluation nécessitant l'intervention à gauche d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] représentant un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]], <math>\Rightarrow</math> le côté gauche du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] représentant <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] et <br>{{Al|2}}{{Transparent|En effet son évaluation nécessitant l'interve }}celle à droite d'une [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant un [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;1\;</math> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <math>\Rightarrow</math> le côté droit du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] représentant <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> est [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariant]].</ref><math>\Big\}</math> ; <br>{{Transparent|« }}<math>\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right)\;</math> étant un scalaire, est invariant par changement de bases de <math>\;W\;</math> et se calcule, en utilisant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b}_1\,,\, \vec{b}_2\,,\, \vec{b}_3 \right\rbrace</math>, par évaluation du [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|produit matriciel]] «<math>\;\left[ x_1\;\;x_2\;\;x_3 \right] \times \left[ A \right] \times \left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\\ y_3\end{array} \right]\;</math>» dans laquelle <math>\;\left[ x_1\;\;x_2\;\;x_3 \right]\;</math> et <math>\;\left[ \begin{array}{c} y_1\\y_2\\ y_3\end{array} \right]\;</math> sont la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice ligne]] représentant <math>\;\vec{x}\;</math> et la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] représentant <math>\;\vec{y}\;</math> et <math>\;\left[ A \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right]\;</math> dans la même base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math><ref name="matrice carrée utilisée dans une forme bilinéaire"> On justifie la forme de la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> en évaluant <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right)\;</math> par calcul matriciel <math>\;\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ A \right] \times \left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,j}\\\delta_{2,\,j}\\ \delta_{3,\,j}\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \delta_{1,\,j}\\\delta_{2,\,j}\\ \delta_{3,\,j}\end{array} \right]\;</math> effectivement égal à <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right)\;</math> compte-tenu de <math>\;\delta_{k,\,l} = \left\lbrace \begin{array}{l} 0\;\text{si }\;k \neq l\\ 1\;\text{si }\;k = l\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\big(</math>symbole de Kronecker<math>\big)</math>, en effet : <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 1</math> : <math>\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 2</math> : <math>\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2\right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\succ\;</math>si <math>\;j = 3</math> : <math>\;\left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!\!&\!\! \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array} \right] = \left[ \delta_{1,\,i}\;\;\delta_{2,\,i}\;\;\delta_{3,\,i} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3\right) \end{array} \right]</math> <math>= \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{1,\,i} + \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{2,\,i} + \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\;\delta_{3,\,i}</math> <math>= \left\lbrace\! \begin{array}{c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 1\\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 2\\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\text{ si }i = 3\end{array}\right.</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leopold_Kronecker|Leopold Kronecker]] (1823 - 1891)''' mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en <math>\;1850\;</math> la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'[[w:Équation_quintique|équation quintique]] en utilisant la [[w:Théorie_des_groupes|théorie des groupes]].</ref>{{,}} <ref name="forme bilinéaire associée à la multiplication scalaire et l'endomorphisme varphi"> On vérifie l'accord sur la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] particulière du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> associée à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math> c.-à-d. l'application composée {{Nobr|«<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) =</math>}} <math>\text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<math>\Big]\;</math> la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> étant {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-caractère_covariant_et_contravariant_d'un_tenseur_mixte-47|⁴⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> <math>\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_1 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \\ \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_2 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \\ \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_1) \!&\! \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_2) \!&\! \vec{b}_3 \cdot \varphi(\vec{b}_3) \end{array} \right]\;</math> avec <math>\;\left( \vec{b}_i\,\vert\, \vec{b}_j \right) = \vec{b}_i \cdot \varphi(\vec{b}_j)\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Transparent|« }}le changement de base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace = \left\lbrace \vec{b'}_{\!1}\,,\, \vec{b'}_{\!2}\,,\, \vec{b'}_{\!3} \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> étant caractérisé par la [[w:Matrice_(mathématiques)#Coordonnées|matrice de passage]] <math>\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace} \in M_3\!\left( \mathbb{R} \right)</math>, la représentation opérationnelle de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] <math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right)\;</math> du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> de <math>\;W\;</math> est la « [[w:Produit_matriciel#Produit_matriciel_ordinaire|multiplication matricielle]] à droite et à gauche de la matrice <math>\;\left[ A \right]\;</math> exprimée dans la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math>» soit <center>«<math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] \times\;=\;\times \left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] \times\;</math>» <ref name="matrice carrée utilisée dans une forme bilinéaire" />{{,}} <ref name="forme bilinéaire associée à la multiplication scalaire et l'endomorphisme varphi" />{{,}} <ref> Obtenue en remplaçant la base <math>\;\left\lbrace B \right\rbrace\;</math> par la base <math>\;\left\lbrace B' \right\rbrace\;</math> dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#cite_note-forme_bilinéaire_associée_à_la_multiplication_scalaire_et_l'endomorphisme_varphi-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br> <math>\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> ou encore <br><math>\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] = \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_2}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> soit finalement <br>«<math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!1}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!2}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right) \\ \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!1} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!2} \right) \!& \left( \vec{b'}_{\!3}\,\vert\, \vec{b'}_{\!3} \right)\end{array} \right] \times\;=\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c c c} \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_1\,\vert\,\vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b_2} \right) \!& \left( \vec{b}_2\,\vert\, \vec{b}_3 \right) \\ \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_1 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_2 \right) \!& \left( \vec{b}_3\,\vert\, \vec{b}_3 \right)\end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times\;</math><ref name="matrice de passage inverse" /> ou encore <br><math>\;\times\;\left[ \begin{array}{c} \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!1} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!2} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \\ \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!1}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi( \vec{b'}_{\!2}) \!&\! \vec{b'}_{\!3} \cdot \varphi(\vec{b'}_{\!3}) \end{array} \right] \times\;=\;\times\;\left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b' \right\rbrace}^{\,-1} \times \left[ \begin{array}{c} \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_1} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi( \vec{b_2}) \!&\! \vec{b_2} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \\ \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_1}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_2}) \!&\! \vec{b_3} \cdot \varphi(\vec{b_3}) \end{array} \right] \times \left[ P \right]_{\left\lbrace B \right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B' \right\rbrace}\;\times\;</math>» <ref name="matrice de passage inverse" />{{,}} <ref name="caractère covariant et contravariant d'un tenseur mixte" />{{,}} <ref> On vérifie l'accord avec le résultat de la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#cite_note-caractère_covariant_et_contravariant_d'un_tenseur_mixte-37|³⁷]] » exposée dans le cadre de la [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|forme bilinéaire]] particulière du <math>\;\mathbb{R}</math>-[[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]] <math>\;W\;</math> associée à la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] de <math>\;W\;</math> et à l'[[w:Endomorphisme_linéaire|endomorphisme]] <math>\;\varphi\;\in\;L(W)\;</math> c.-à-d. l'application composée «<math>\;\left( \text{?}\,\vert\, \text{?} \right) = \text{?} \cdot\,\varphi(\text{?})\;</math>» définie sur <math>\;W^2\;</math> telle que <math>\;\forall\;\left( \vec{x}\,,\, \vec{y} \right)\;\in\;W^2</math>, <math>\;\left( \vec{x}\,\vert\, \vec{y} \right) = \vec{x} \cdot \varphi(\vec{y})</math> <math>\;\Big[</math>on rappelle que les [[w:Forme_bilinéaire#Définitions_générales|formes bilinéaires]] de <math>\;W\;</math> sont des éléments de «<math>\;W^{*}\! \times L(W)\;</math>»<math>\Big]\;\ldots</math></ref>.</center> == Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux == {{Al|5}}Nous pourrions poursuivre la construction des [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;3\;</math> comme celle exposée pour les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] d'ordre <math>\;\leqslant\;</math> à <math>\;2\;</math> mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] après l'introduction de deux opérations sur les [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseurs]] : * la [[w:Produit_tensoriel|multiplication tensorielle]] <ref name="multiplication tensorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels_de_dimension_finie|produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> d'une part et * la [[w:Contraction_tensorielle|contraction tensorielle]] <ref name="contraction tensorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs_et_leurs_composantes,_notion_de_contraction_tensorielle_et_notation_d'Einstein#Contraction_tensorielle|contraction tensorielle]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> d'autre part, {{Al|5}}leur introduction conduisant à une définition de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] nettement plus concise <ref name="2ème définition de tenseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_définition_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels#Définition_de_tenseurs_à_l'aide_de_la_notion_de_produit_tensoriel_d'espaces_vectoriels_tridimensionnels|définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref><math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Les matrices carrées, leur inversion sous conditions/]] | suivant = [[../Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels/]] }} r8wyyomb8vxr8n5u24fp60hcaac28d9 0 74033 965698 965607 2025-06-16T03:43:04Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965698 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant nécessairement un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \matcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, il est donc possible de lui associer un <u>tenseur d'inertie</u> selon la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de tenseur [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} m25m746i0jeeyyqht9ti1p21nm2g9zn 965699 965698 2025-06-16T03:45:22Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965699 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant nécessairement un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \matcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, il est donc possible de lui associer un <u>tenseur d'inertie</u> selon la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de tenseur [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} nwf4ovssqfal0ooblu8k15g55gwidid 965700 965699 2025-06-16T03:46:29Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965700 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide</u> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant nécessairement un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, il est donc possible de lui associer un <u>tenseur d'inertie</u> selon la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de tenseur [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce tenseur d'inertie peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} 2f1vhnfww8noo5odqpdjdkfrd55gpu3 965701 965700 2025-06-16T04:03:01Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965701 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>il est donc possible de lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de tenseur [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs#Construction_de_tenseurs_d'ordre_deux|construction de tenseurs d'ordre deux]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} hkg9twzbrmhgemykypfn9ffkoe01j3e 965705 965701 2025-06-16T04:49:54Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965705 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}il est donc possible de lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_trois#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} gv4d9vq9n82ln9bm0g0sygc0d4iqf0u 965706 965705 2025-06-16T04:53:57Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965706 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}il est donc possible de lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}ce [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] peut être représenté par une matrice <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>matrice d'inertie du solide</u> comme cela a été précisé dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} 2onkio285a8cpak6j7l8b2uvrl2kzdu 965708 965706 2025-06-16T09:19:11Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965708 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}il est donc possible de lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : il est donc possible de lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, la matrice d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <center>«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} hppadjc38rorxu5nq4ajldo4acf2byg 965709 965708 2025-06-16T09:32:45Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965709 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="matrice d'inertie d'un solide" />{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide ci-dessus on distingue : * les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», * l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} 45g9ufe5jvplhlq71s11r0ijn17wkoz 965710 965709 2025-06-16T09:42:22Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965710 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="matrice d'inertie d'un solide" />{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide ci-dessus on distingue : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Ox} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} 4fn4qg2dy0rrfa11kn5kbt422s3t6mt 965711 965710 2025-06-16T09:43:55Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965711 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="matrice d'inertie d'un solide" />{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide ci-dessus on distingue : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Ox} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oy} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oz} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} kilvi9kwjz996s3cvne8tb1bl8e56xy 965712 965711 2025-06-16T09:48:36Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965712 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="matrice d'inertie d'un solide" />{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide ci-dessus on distingue : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Ox} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oy} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oz} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}d'où la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} fp658j6iyuqpn35nmt6vatlllm9cj4v 965713 965712 2025-06-16T09:54:24Z Phl7605 31541 /* Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ */ 965713 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force/]] }} <center>La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.</center> == Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d'inertie et (vecteur) résultante cinétique == === Introduction === {{Al|5}}Les problèmes de mécanique à base de système discret <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de points matériels <u>ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas</u> «<math>\;2\;</math>», {{Al|5}}au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » <ref name="modéré"> C.-à-d. ne dépassant pas une centaine <math>\;\big(</math>on réalise des simulations par logiciel de calcul avec une centaine de points<math>\big)</math>.</ref>, le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ; {{Al|5}}mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » <ref name="entités élémentaires"> C.-à-d. les « briques élémentaires » simplement juxtaposées ou liées entre elles dans l'ensemble formant le système, ce sont des atomes, des molécules ou des ions <math>\;\ldots</math></ref> assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand <ref name="beaucoup trop grand"> Par exemple <math>\;1\;g\;</math> d'eau contient <math>\;\simeq 3\;10^{22}\;</math> molécules.</ref> et il est nécessaire de réaliser des schématisations : * soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques <ref name="mésoscopique"> C.-à-d. dont les dimensions sont « faibles voire très faibles à l'échelle macroscopique », mais « très grandes à l'échelle microscopique ».</ref> ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref name="simulation par logiciel de calcul"> Méthode de simulation que nous n'utiliserons pas <math>\;\ldots</math></ref>, * soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » <ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Approximation_des_milieux_continus|approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] ».</ref> : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies <math>\;\Big\{</math>par exemple lors de la définition de la masse «<math>\;dm\;</math>» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires <ref name="entités élémentaires" /> occupant un volume <math>\;d\mathcal{V}</math>, on remplace «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>» par «<math>\;dm = \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» où «<math>\;\mu(M)\;</math><ref name="unité de μ"> <math>\;\mu(M)\;</math> en <math>\;kg \cdot m^{-3}</math>.</ref> est la masse volumique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» correspondant à une « modélisation volumique » <ref name="modélisation surfacique"> Ou, si une des dimensions de l'extension spatiale est petite par rapport aux deux autres, en faisant une « modélisation surfacique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur une surface d'aire <math>\;dS</math>, par «<math>\;dm = \sigma(M)\; dS\;</math>» où «<math>\;\sigma(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-2}\big)\;</math> est la masse surfacique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_surfacique|modélisation en distribution continue surfacique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique"> Ou encore, si deux des dimensions de l’extension spatiale sont petites par rapport à la troisième, en faisant une « modélisation linéique » c.-à-d. en remplaçant «<math>\;\sum\limits_{k\,=\,1\,..\,dN} m_k\;</math>», masse d’un échantillon mésoscopique fermé de système centré en <math>\;M\;</math> et contenant <math>\;dN\;</math> entités élémentaires réparties sur un arc de courbe de longueur <math>\;d\mathit{l}</math>, par «<math>\;dm = \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» où «<math>\;\lambda(M)</math> <math>\;\big(</math>en <math>\;kg \cdot m^{-1}\big)\;</math> est la masse linéique en <math>\;M\;</math>» supposée « variant continûment avec <math>\;M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir exemple dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Force_de_Lorentz#Modélisation_en_distribution_continue_linéique|modélisation en distribution continue linéique]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant charge par masse<math>\big]</math>.</ref><math>\Big\}</math> {{Al|5}}Ainsi pour passer d’un système discret de <math>\;N\;</math> points matériels, <math>\;\big(N\;</math> dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul <ref> Ou non car nous n'utiliserons jamais cette méthode de simulation par logiciel de calcul <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}à un système continu d’expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. faire une « modélisation volumique »<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer }}on remplace la somme discrète «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ainsi pour passer on remplace }}par l'intégrale volumique {{Nobr|«<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\; g(M)\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="modélisation surfacique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation surfacique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de surface <math>\;\left( S \right)</math>, on remplace la somme discrète {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>»}} dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale surfacique «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\; g(M)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="modélisation linéique - bis"> Ou, pour faire une « modélisation linéique » consistant à remplacer le système discret de <math>\;N\;</math> points matériels par un système continu de courbe <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, on remplace la somme discrète «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;g_i\;</math>» dans laquelle <math>\;g_i\;</math> est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque chaque point matériel par l'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;g(M)\;</math>».</ref>.}} === Masse d'un système continu de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de « masse volumique <math>\;\mu(M),\;M \in \left( \mathcal{V} \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iiint\limits_{\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; d\mathcal{V}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence : la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si le volume <math>\;\mathcal{V}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si le volume <math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\mu(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de « masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M \in \left( S \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\iint\limits_{\left( S \right)} \sigma(M)\; dS\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( S \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si l'aire <math>\;\mathcal{A}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\sigma(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> d'un système continu de matière, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de « masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)\;</math>», est définie par <center>«<math>\;m_{\text{syst}} = \displaystyle\int\limits_{\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\; d\mathit{l}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante <center>c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. fermé}} = cste\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}si la longueur <math>\;\mathcal{L}_{\text{syst}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne <math>\;\dfrac{m_{\text{syst}}}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de ce dernier reste constante <math>\Leftarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>si la longueur <math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{\text{syst}}}\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, }}le plus vraisemblablement par <math>\;\lambda(M)\;</math> ne variant pas par rapport au temps <math>\;t</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », }}la masse du système <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant <math>\;t\;</math> considéré c.-à-d. «<math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t)\;</math>» : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière sort de l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait d'entrée <math>\;\big(</math>il y a donc fuite de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \searrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> sans qu'il y ait de sortie <math>\;\big(</math>il y a donc apport de matière<math>\big)</math>, <math>\;m_{\text{syst. ouv.}}(t) \nearrow\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;(\Sigma)\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique <math>\big(</math>cela correspond à un régime stationnaire de matière<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique }}<math>m_{\text{syst. ouv.}}(t) = cste\;</math> quand <math>\;t \nearrow</math>. === Centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse"> Ou centre de masse <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_expansion_tridimensionnelle_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_volumique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une expansion tridimensionnelle continue en chacun desquels est affectée une densité volumique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> où <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire défini au point générique dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque"> <math>\;O\;</math> étant un point quelconque n'est pas nécessairement fixe, s'il l'était <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math> serait le vecteur position de <math>\;G\;</math> mais on ne peut pas lui donner ce nom dans le cas où il n'est pas fixe <math>\;\ldots</math></ref> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M} = \dfrac{\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathcal{V}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \displaystyle\iiint_{M \in \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( S \right)\;</math> ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une surface"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_surface_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_surfacique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une surface continue en chacun desquels est affectée une densité surfacique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{GM}\;d S_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> où <math>\;d S_M\;</math> est l'aire élémentaire définie au point générique dans <math>\;\left( S \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M} = \dfrac{\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d S_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}\;d S_M = \left[ \displaystyle\iint_{M \in \left( S \right)} \sigma(M)\;d S_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;</math><ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » <ref name="définition du barycentre d'un système continu de points d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Barycentre_d'un_système_de_points#Barycentre_d'un_système_continu_de_points_décrivant_une_courbe_continue_en_chacun_desquels_est_affectée_une_densité_linéique_de_cœfficient_continue_par_morceaux|barycentre d'un système continu de points décrivant une courbe continue en chacun desquels est affectée une densité linéique de cœfficient continue par morceaux]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. <center>le point <math>\;G\;</math> tel que «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{GM}\;d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> où <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans <math>\;\left( \Gamma \right)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}avec <math>\;O\;</math> point quelconque de l'espace, le vecteur <math>\;\overrightarrow{OG}\;</math><ref name="O quelconque" /> suit la relation «<math>\;\overrightarrow{OG} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M} = \dfrac{\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M}{m_{\text{syst}}}\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> <math>\;\Bigg\{</math>la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> <math>\;\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M) \left[ \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OG} \right] d \mathit{l}_M = \vec{0}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}\;d \mathit{l}_M = \left[ \displaystyle\int_{M \in \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right] \overrightarrow{OG}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}\;</math> et par suite l'une ou l'autre des expressions de <math>\;\overrightarrow{OG}\Bigg\}</math>. === « Vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne) === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne"> Ou newtonien(ne).</ref> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système"> Déjà introduit au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_de_la_résultante_cinétique_d'un_système_de_points_matériels,_1ère_grandeur_cinétique_associée_au_système|définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1^ère grandeur cinétique associée au système]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle</u><math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="démonstration"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] du lien entre la résultante cinétique du système et le mouvement de son C.D.I. » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|21}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> à l'intérieur de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d S_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion surfacique</u><math>\;\left( S \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - bis"> Ce lien nécessite que le système continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, pourvu qu'il soit en translation {{Nobr|<math>\;\big\{</math>les}} points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, est la grandeur vectorielle <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter"> Cette définition est encore applicable à un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, seuls les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> sont à comptabiliser <math>\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<u>en cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>et «<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu continu en <math>\;M\;</math>» <ref> En effet <math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = d \vec{p}_M(t) = dm\;\vec{V}_M(t) = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>en cinétique classique }}<u>lien avec le mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système continu fermé de matière d'expansion linéique</u> <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G - ter"> Ce lien nécessite que le système de continu de matière soit fermé <math>\;\big(</math>revoir la « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Démonstration|démonstration]] »<math>\big)\;</math> en restant néanmoins applicable pour <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ce lien nécessite que}}un système continu de matière ouvert défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;( \Gamma )</math>, pourvu qu'il soit en translation <math>\;\big\{</math>les points entrant <math>\;\big(</math>ou sortant<math>\big)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> étant de vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;\ldots\big\}</math>.</ref> avec <br>«<math>\;\vec{V}_{G}(t)\;</math> le vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> === Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) =</math> <math>\gamma_M(t)\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\;\big[</math>en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en <math>\;1905\;</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>\;1892\;</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>\;1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''Pieter Zeeman''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>\;1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>\;1896\;</math> puis suisse en <math>\;1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>\;1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>\;1916\;</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1921\;</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique de la matière en <math>\;M\;</math>», </center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale"> La permutation entre la dérivation temporelle et l’intégration spatiale est applicable car l’expansion spatiale ne se déforme pas avec le temps <math>\;\big(</math>ceci étant l'adaptation de la permutation entre la dérivée temporelle et la somme discrète sur les points<math>\big)\;\ldots</math></ref> pour un système fermé <ref name="système ouvert"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur résultante cinétique relativiste du système selon «<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation volumique, défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert-37|³⁷]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( S \right)\;</math> égal au contenu de <math>\;(\mathcal{C})\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math><ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation surfacique, défini comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal{C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;( S )</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_bis-40|⁴⁰]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrivant <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <br>dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, a pour expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, <br>«<math>\;d \vec{p}_{\!M,\,\text{relativ}}(t) = \gamma_M(t)\;dm\;\vec{V}_M(t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;d \mathit{l}_M\;\vec{V}_M(t)\;</math>» où <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm\,</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» et <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique de la matière en <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on en déduit l'expression relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en fonction de la vitesse des points dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du milieu en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t)\;</math><br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>en fonction du vecteur vitesse du C.D.I.</u> <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /><math>\;G\;</math><u>du système</u> en effet, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter"> Si le système est ouvert, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, il convient, avant de dériver par rapport au temps, de figer le système ouvert dont le contenu diffère entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>la masse du système fermé en question étant une constante, celle du système ouvert pour la définition de <math>\;G\;</math> est aussi considérée comme constante<math>\big)</math>, le vecteur vitesse du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant alors aussi celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant et par suite la relation <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math> avec <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> égal au contenu situé entre <math>\;B\;</math> et <math>\;C\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est rendue applicable aux systèmes ouverts <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}on n'en déduit rien sur <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_M(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> dans la mesure où <math>\;\gamma_M(t)\;</math> dépend effectivement de <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}pouvant factoriser par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> dans l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{syst., relativ.}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\gamma_{M}(t)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> du système continu de matière <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> en translation, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}celui-ci est lié au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système par la relation <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le pouvant factoriser par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> dans l'expression de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst. en transl., relativ.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter"> Encore applicable à un système continu de matière ouvert, en modélisation linéique, défini comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma)</math>, le C.D.I. <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini comme celui du système fermé coïncidant avec le système ouvert au même instant <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_-_ter-42|⁴²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;\ldots</math></ref>. == Vecteur moment cinétique d'un système continu de matière par rapport à un point « A » == === Définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéiqua connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse surfacique σ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\, \in\, \left( S \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - bis"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d S}(M,\, t)\;</math> <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref> Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Définition|titre= Moment cinétique (vectoriel) d'un système continu (fermé) de matière de masse linéique λ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à A|contenu = {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M \in \left( \Gamma \right)</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point <math>\;A\;</math><ref name="moment cinétique vectoriel d'un système - ter"> Ou « moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en <math>\;A\;</math>» en absence d'ambiguïté, le qualificatif « vectoriel » pouvant être omis.</ref> est la grandeur vectorielle, définie à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point - ter"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », la fonction vectorielle à intégrer étant le vecteur moment cinétique de l'élément de matière centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm</math>, de vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_M(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math> soit <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) = \overrightarrow{AM} \wedge d \vec{p}_M(t)\;</math> ou encore <math>\;d \vec{\sigma}_{\!A}(M,\, t) =</math> <math>\overrightarrow{AM} \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathit{l}}(M,\, t)\;</math> <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit, en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math><ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : <math>\;A</math>, le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile <math>\;\ldots</math> === Cas d'un système continu de matière en translation dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse volumique <math>\;\mu(M),\;M\,\in\,(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque"> C.-à-d. fermé ou « ouvert en translation ».</ref> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G"> On rappelle que cette relation nécessite a priori, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, que le système soit fermé mais qu'elle reste applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref>, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse surfacique <math>\;\sigma(M),\;M\,\in\,( S )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\color{transparent}{\left( S \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \sigma(M)\;d S_M\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_G(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d S_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une courbe de contrôle <math>\;(\mathcal {C})\;</math> fermée, indéformable et fixe, tracée sur <math>\;(S)</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-56|⁵⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - bis - 2" />.</center> {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de masse linéique <math>\;\lambda(M),\;M\,\in\,( \Gamma )</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}tous les points <math>\;M\;</math> ont même vecteur vitesse à un instant <math>\;t</math>, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation tous les points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> ont même }}vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé <math>\;\vec{V}_G(t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation }}« chaque élément de matière, centré en <math>\;M</math>, de masse <math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, a donc, <u>dans le cadre de la</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « }}<u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_G(t)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique <math>\;\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\;</math> en translation « cinétique classique, pour vecteur quantité de mouvement <math>\;\color{transparent}{d \vec{p}_{M}(t)}\,</math> }}<math>= \lambda(M)\;d \mathit{l}_M\; \vec{V}_G(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque s'écrivant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}pour un système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_G(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" />, on « factorise <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}vectoriellement par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> à droite » <ref name="factorisation vectorielle" /> ce qui donne «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}le 1^er facteur du 2^nd membre «<math>\; \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math> s'identifiant à <math>\;m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t)\;</math>» on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <br>{{Al|135}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}<math>m_{\text{syst}}\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \left[ m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{G}(t) \right]\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter"> Sous cette forme l'expression du vecteur moment cinétique du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> est encore applicable quand le système est ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu situé entre les bornes de contrôle <math>\;B\;</math> et <math>\;C</math>, fixes, positionnées sur <math>\;(\Gamma )</math>, <math>\;\big[</math>voir condition nécessaire et suffisante pour qu'un système ouvert soit en translation dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière »<math>\big]\;</math> en effet <br>{{Al|3}}tous les points présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse égal à <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t</math>, on définit le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> comme le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> l'application de cette méthode conduisant à <br>{{Al|3}}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) =</math> <math>\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\;\left( \begin{array}{c}\text{en régime}\\ \text{stationnaire}\end{array} \right) =</math> <math>\left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» soit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant pour terme principal <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}</math> <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur moment cinétique « }}du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2"> Également applicable sous cette forme, dans le cadre de la cinétique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)</math>, à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-58|⁵⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu }}le vecteur résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière étant lié à sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}au vecteur vitesse de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> d’un système continu « quasi-quelconque » de matière étant lié }}par la relation «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="condition de lien entre résultante cinétique et vitesse de G" />, on peut écrire, <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un système continu le vecteur résultante cinétique <math>\;\color{transparent}{\vec{P}_{\text{syst}}(t)}\;</math> }}pour un <u>système continu « quasi-quelconque » <ref name="quasi-quelconque" /> de matière en translation dans le cadre de la cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" /> et <br>son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - ter - 2" />.</center> === Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A === {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale volumique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion tridimensionnelle <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathcal{V}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis"> On peut alors définir la « masse apparente du système fermé en translation » par «<math>\;m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;</math>» et réécrire le vecteur moment cinétique relativiste du système évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{app.},\, \text{syst. en transl.}}(t)\;\vec{V}_G(t)\;</math>».</center></ref>{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}\; - \displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathcal{V}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; + \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\; - \!\!\!\!\displaystyle\iiint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \Sigma \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\Sigma)} \mu(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathcal{V}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation-62|⁶²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G_-_bis-31|³¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation_-_bis-41|⁴¹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - tetra" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{surfac},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité surfacique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - bis" /> avec <br>«<math>\;\sigma(M)\;</math> la masse surfacique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - bis" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale surfacique" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} \sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale surfacique" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion surfacique <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d S_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale surfacique" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - bis" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math>», on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S\; - \displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d S</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; + \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\; - \!\!\!\!\displaystyle\iint\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \mathcal{C} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit finalement «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\iint\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\mathcal{C})} \sigma(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d S\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_bis-67|⁶⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - penta" />. {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>Le vecteur moment cinétique relativiste au point origine <math>\,A</math>, <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\,</math> du système continu <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, s'écrivant <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> dans laquelle <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité linéique de quantité de mouvement"> Avec <math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz du point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.</ref> est <br>la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert - ter" /> avec <br>«<math>\;\lambda(M)\;</math> la masse linéique du milieu en <math>\;M</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<u>Remarques</u> : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> quelconque, <u>pas d'expression de</u><math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math><u>en fonction des grandeurs</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}<u>cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /></u><math>\;G\;</math><u>du système continu fermé</u> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un mouvement du système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> quelconque, }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t)\end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour }}en effet, si <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> s'établit en dérivant <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{OM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{OG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> par rapport à <math>\;t\;</math><ref name="permutation entre dérivée temporelle et intégration spatiale" /> pour un système fermé <ref name="système ouvert - ter" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si <math>\;\color{transparent}{\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)}\;</math> }}pouvant se réécrire <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math><ref name="intégrale curviligne" />, que la cinétique soit classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si }}il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> des expressions <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour en effet, si il n'est pas possible, dans le cas général, de déduire }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t) \\ \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> » <math>\;\big(</math>valables en cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}si le système continu de matière <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est <u>en translation</u>, tous ses points <math>\,M\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> ayant un même vecteur vitesse égal à }}<math>\vec{V}_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> d'expansion linéique <math>\,\color{transparent}{\left( \Gamma \right)}\,</math> est en translation, tous ses points <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}ont même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> et par suite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}factorisant par <math>\,\gamma_{G}(t)\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math><ref name="factorisation vectorielle" />, dans l'expression de «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> nous en déduisons <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le factorisant par <math>\,\color{transparent}{\gamma_{G}(t)}\,</math> et vectoriellement à droite par <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_G(t)}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t) \;d \mathit{l}_M \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le }}par propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système fermé «<math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)\;</math>» <ref name="intégrale curviligne" />, l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> en fonction des grandeurs <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}cinématiques caractérisant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé <br>{{Al|36}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le par propriété du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système fermé «<math>\;\color{transparent}{ \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}_M = m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{AG}(t)}\;</math>» }}à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{AG}(t)\\ \vec{V}_G(t) \\ \gamma_G(t) \end{array}\right\rbrace</math>, au même instant, dans le même référentiel, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_{G}(t) \left[ \overrightarrow{AG}(t) \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) \right]\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation - bis" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation - ter" />{{,}} <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - ter"> Dans un système continu de matière, ouvert, en translation, tous les éléments de matière présents à l'instant <math>\;t\;</math> ainsi que ceux entrant ou sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ayant même vecteur vitesse relativiste ont aussi même facteur de Lorentz égal à «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math>» où «<math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> est le vecteur vitesse du centre d'inertie du système fermé coïncidant avec le système ouvert à l'instant {{Nobr|<math>\;t\;</math>»,}} on définit <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> c.-à-d. le vecteur moment cinétique du système ouvert en translation comme <br>{{Al|3}}le moment cinétique du système fermé coïncidant à l'instant <math>\;t\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière qui vont entrer entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math>, système fermé s'identifiant, à l'instant <math>\;t + dt\;</math> avec le contenu du système ouvert au même instant auquel on adjoint les éléments de matière sortis entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\;\big[</math>voir la méthode d'étude dans le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_1ers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Méthode_d'étude_s'un_système_ouvert|méthode d'étude d'un système ouvert]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la mise en œuvre de cette méthode conduisant à l'explicitation de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}\; - \displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_{\!M}(t)\;d \mathit{l}</math>, le régime étant stationnaire d'où, après factorisations scalaire par <math>\;\gamma_{G}(t)\;</math> et vectorielle à droite par <math>\;\vec{V}_G(t)</math> <math>\;\big[</math>l'inverse de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la réécriture de l'expression de <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \gamma_G(t) \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; + \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{entr. ds }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\; - \!\!\!\!\displaystyle\int\limits^{M\,\text{sort. de }\left( \overset{\frown}{BC} \right)}_{\text{sur }\left[\,t\,,\,t + dt\,\right]} \!\!\!\lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l} \right] \wedge \vec{V}_G(t)\;</math> soit au final «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t)</math> <math>= \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{V}_{G}(t)\;</math>», le facteur entre crochets ayant le 1^er terme <math>\;\displaystyle\int\limits^{M\,\in\,\text{int.}}_{\text{de}\,(\overset{\frown}{BC})} \lambda(M)\;\overrightarrow{AM}(t)\;d \mathit{l}\;</math> pour terme principal <math>\;\big(</math>les deux autres tendant vers <math>\;0\;</math> quand <math>\;dt \rightarrow 0\big)\;</math> lequel caractérise le centre d'inertie <math>\;G\;</math> du système ouvert à l'instant <math>\;t\;</math> d'où le terme entre crochets égal à <math>\;m_{\text{syst}}(t)\; \overrightarrow{AG}(t)\;\ldots</math></ref> dans laquelle «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> est le facteur <br>{{Al|170}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}« en choisissant le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant <math>\;t</math>, du vecteur moment cinétique <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : si le système continu de matière <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> « }}relativiste du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}</math>, on en déduit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa"> Applicable sous cette forme à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_relativiste_d'un_système_ouvert_en_translation_-_ter-71|⁷¹]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : }}pour un système continu « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. fermé ou ouvert et a priori non nécessairement en translation <math>\;\big(</math>sauf si c'est précisé plus loin<math>\big)\;\ldots</math></ref> de matière en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation s'exprimant selon <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref> On rappelle que cette relation nécessite a priori que le système fermé ou ouvert soit en translation <math>\;\big(</math>revoir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-lien_en_classique_entre_la_résultante_cinétique_et_la_vitesse_de_G-28|²⁸]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-système_ouvert_en_translation-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> pour ce <u>système en translation</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \overrightarrow{AG}(t) \wedge \vec{P}_{\text{relativ.}\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Remarques : pour un système continu « quelconque » de matière en translation dans le référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}son cas particulier «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ.}}(\text{syst. en transl.},\, t) = \vec{0}\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - hexa" />. == Changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière == {{Al|5}}Compte-tenu de la similitude de traitement pour les systèmes continus de matière dans le cas d'une modélisation volumique, surfacique ou linéique, la seule différence étant la nature des intégrales, laquelle est respectivement volumique, surfacique ou curviligne, nous n'aborderons le changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel d'un système continu de matière que dans le cas d'une <u>modélisation volumique</u>, les autres modélisations surfacique ou linéique s'en déduisant sans difficulté <math>\;\ldots</math> === Formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude === {{Al|5}}Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}</math>, par rapport au point origine <math>\;A\;</math> étant défini selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="définition du vecteur moment cinétique d'un système fermé d'expansion tridimensionnelle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Définition_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéiqua_connu_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|définition du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}}{d \mathcal{V}}(M,\, t)\;</math> la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>», ou encore, selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> c.-à-d. « la somme continue » <ref name="somme continue"> Par intégrale volumique <math>\;\ldots</math></ref> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>», son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) =</math> <math>\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A\;</math> «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le changement d'origine du vecteur moment cinétique de chaque pseudo-point <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> s’écrivant, avec <math>\;A'\;</math> nouvelle origine <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}d'évaluation des moments vectoriels, selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine du moment cinétique d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_point_matériel_dans_le_référentiel_d’étude|formule de changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on obtient, en <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant « la somme continue » <ref name="somme continue" />, <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{A'}\!\left( M,\, t \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_A\!\left( M,\, t \right) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{A'A} \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en faisant une « factorisation vectorielle par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math> à gauche » <ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^nd membre, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er terme du 2^nd membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}le 1^er membre s'identifiant au vecteur moment cinétique <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\,</math> du système par rapport à <math>\,A'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \vec{p}_{M}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}en reconnaissant le vecteur résultante cinétique «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» dans le 2^ème facteur du produit vectoriel du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, du système continu <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermé<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de matière, }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="changement d'origine d'évaluation du vecteur moment cinétique d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;(S)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surf}}(M,\,t)\; d S_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)</math> <math>= \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu fermé d'expansion linéique <math>\;(\Gamma)</math>, <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, le changement d'origine, avec <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}(\text{syst},\,t)</math> <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{A'M}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M</math>, s'écrit «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>»</ref>{{,}} <ref name="validité du changement d'origine"> Le changement d’origine écrit sous cette forme est applicable en cinétique classique <math>\;\big(</math>newtonienne<math>\big)\;</math> ou relativiste, il est encore applicable pour un système continu de matière {{Nobr|<math>\;\big(</math>non}} nécessairement en translation<math>\big)\;</math> « ouvert » <math>\;\ldots</math></ref>. === Changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « fermé » de matière en cinétique newtonienne === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine }}suivant, dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> ou relativiste, la formule «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, }}dans laquelle «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sont le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système par rapport à <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}A'\\A \end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique ou relativiste, dans laquelle }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> la résultante cinétique du système » ; {{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, }}dans le cadre de la cinétique classique <ref name="newtonienne" /> la résultante cinétique <math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t)\;</math> du système étant liée au vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_G(t)\;</math> de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique la résultante cinétique }}«<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="lien en classique entre la résultante cinétique et la vitesse de G" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}son report dans la formule de changement d'origine du calcul du moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> du système donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le changement d'origine suivant, dans le cadre de la cinétique classique }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A'}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - 2" />. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : Avec le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}le vecteur moment cinétique du système évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> suivra la relation <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!G}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{AG} \wedge m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif"> Également applicable à un système ouvert en translation <math>\;\big[</math>voir les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-système_ouvert_en_translation-20|²⁰]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans laquelle il faut remplacer « système discret » par « système continu de matière » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-moment_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-52|⁵²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>, dans ce cas <math>\;G\;</math> est le C.D.I. du système ouvert en translation et <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> la masse de ce dernier <math>\;\big(</math>dépendant a priori de <math>\;t\;</math> mais correspondant en pratique à un régime stationnaire et donc n'en dépendant pas<math>\big)\;\ldots</math></ref>, somme de deux termes dont <br>{{Al|18}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de quantité <br>{{Al|31}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de mouvement <math>\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{syst}}(t)\big]\;</math> <br>{{Al|32}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « le 2^ème est le vecteur moment cinétique du C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}</math> }}à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Cas particulier : Avec le C.D.I. <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul « }}et le 1^er terme le vecteur moment cinétique du système au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;G</math>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : }}<u>Conclusion</u> : « le vecteur moment cinétique d'un système continu fermé de matière <ref name="moment cinétique d'un système ouvert en translation - modif" /> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système }}la somme du vecteur moment cinétique du système par rapport à <math>\;G</math> <math>\;\big(</math>C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du système<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier : Conclusion : « le vecteur moment cinétique d'un système la somme }}du vecteur moment cinétique de <math>\;G\,\left( m_{\text{syst}} \right)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>». === Complément : changement d'origine du calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu « quelconque » de matière « en translation » en cinétique relativiste === {{Al|5}}Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, }}reste applicable en cinétique relativiste <ref name="changement d'origine de calcul du moment cinétique vectoriel relativiste"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Formule_de_changement_d'origine_du_calcul_du_vecteur_moment_cinétique_d'un_système_continu_(fermé)_de_matière_dans_le_référentiel_d'étude|formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de matière dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math>» <ref name="validité du changement d'origine" />, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}«<math>\;\left\lbrace\! \begin{array}{c}\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right)\\ \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) \!\end{array}\right\rbrace</math> les moments cinétiques <ref name="vectoriel"> Vectoriel(s).</ref> relativistes du système par rapport à <math>\left\lbrace\! \begin{array}{c}A'\\A \end{array} \!\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|1}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}et «<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> la densité volumique <br>{{Al|6}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref name="autres expansions d'un système continu"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d S}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, de ce système continu dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit de la même façon en utilisant «<math>\;\vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathit{l}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math> la densité linéique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}« le vecteur résultante cinétique relativiste du système <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> étant «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste « }}<math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique"> Pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{P}_{\text{surf},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d S_M = \!\!\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\,</math>» ; <br> {{Al|3}}pour un système continu « quelconque » <math>\;\big(</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-quelconque-64|⁶⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big(</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-autres_expansions_d'un_système_continu-83|⁸³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, « le vecteur résultante cinétique relativiste de ce système se calcule selon «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{P}_{\text{lin},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \!\!\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\,</math>».</ref> mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste }}si le mouvement du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière <u>n'est pas une translation</u>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique, reste applicable en cinétique relativiste si }}a priori, <u>aucune simplification</u> de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <ref> Ou aucune simplification de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \gamma_M(t)\;\sigma(M)\;\vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ou aucune simplification }}de «<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \gamma_M(t)\;\lambda(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d'étude</u><math>\;\mathcal{R}</math> : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}« tous les pseudo-points <math>\;M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ayant même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)\;</math> <math>\big\{</math>vecteur vitesse du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ayant même vecteur vitesse <math>\;\color{transparent}{\vec{V}_{\!M}(t) = \vec{V}_G(t)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>vecteur vitesse }}du système fermé<math>\big\}\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}ont aussi « même facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> <math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}</math> <br>{{Al|22}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> ont aussi « même facteur de Lorentz <math>\;\color{transparent}{\gamma_{M}(t)}</math> }}<math>= \gamma_{G}(t),\;\;\forall\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» d'où <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}l'expression simplifiée de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst}}(t)\;</math> obtenue précédemment <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu fermé - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément,_expression_«_relativiste_»_du_«_vecteur_résultante_cinétique_»_d'un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique,_surfacique_ou_linéique_connu_dans_le_référentiel_d'étude|complément, expression relativiste du vecteur résultante cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique, surfacique ou linéique connu dans le référentiel d'étude]] (2^ème sous paragraphe des remarques) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> l'expression simplifiée de }}«<math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="masse apparente d'un système en translation" />{{,}} <ref name="système ouvert en translation" />{{,}} <ref name="résultante cinétique d'un système ouvert en translation"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#cite_note-résultante_cinétique_d'un_système_ouvert_en_translation-21|²¹]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant « système discret » par « système continu » et « somme discrète » par « intégrale volumique ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation « tous les pseudo-points <math>\;\color{transparent}{M\;\left( d \mathcal{V}_M \right)}\;</math> }}avec «<math>\;\gamma_{G}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!G}(t)}{c^2}}}\;</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation » <ref name="vecteur résultante cinétique relativiste d'un système continu d'expansion surfacique ou linéique en translation"> Pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d S_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d S_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\sigma(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales surfaciques ; <br> {{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, les pseudo-points à considérer sont <math>\;M\;\left( d \mathit{l}_M \right)\;</math> <math>\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#cite_note-pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-76|⁷⁶]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> doit être remplacé par <math>\;d \mathit{l}_M\;</math> et <math>\;\mu(M)\;</math> par <math>\;\lambda(M)\big]</math>, la suite étant inchangée mis à part le remplacement des intégrales volumiques par des intégrales curvilignes.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}le report de l'expression de <math>\;\vec{P}_{\text{relativ},\,\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> dans la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}relativiste, à l'instant <math>\;t</math>, du système continu « quelconque » <ref name="quelconque" /> de matière en translation dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A',\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) = \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst},\, t \right) + \overrightarrow{A'A} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />. {{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation }}<u>Cas particulier</u> : Si on choisit le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du système comme 1^er point origine de calcul du vecteur moment cinétique <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}relativiste d’un système continu <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> de matière en translation, le vecteur moment cinétique relativiste du système <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}évalué relativement à un 2^ème point origine <math>\;A\;</math> s'obtient par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) = \;\cancel{\overrightarrow{\sigma}_{\!G,\,\text{relativ}}\left( \text{syst. en transl.},\, t \right) +}\; \overrightarrow{AG} \wedge \gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique relativiste d'un système ouvert en translation - bis" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}le 2^ème membre étant le vecteur moment cinétique relativiste du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\,G\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : }}par rapport à <math>\,A</math>, <math>\;\big[</math>avec <math>\;G\;</math> point fictif de masse <math>\;m_{\text{syst}}\;</math> et de vecteur quantité de mouvement relativiste <br>{{Al|11}}{{Transparent|Cas d'un système continu « quelconque » de matière en translation Cas particulier : par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}</math>, <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>avec <math>\;\color{transparent}{G}\;</math> point fictif de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{syst}}}\;</math> et de }}<math>\;\gamma_{G}(t)\;m_{\text{syst}}\;\vec{V}_G(t) = \vec{P}_{\text{relativ.},\,\text{syst. en transl.}}(t)\big]</math>. == Vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière » en rotation autour d’un axe == === Expression du vecteur moment cinétique d’un « système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe » dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ === [[File:Système en rotation - moment cinétique - bis.png|thumb|300px|Système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe, vecteur moment cinétique du système par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)</math>]] {{Al|5}}Le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut, en <u>cinétique classique</u> <ref name="newtonienne" />, écrire « le vecteur moment cinétique du pseudo-point centré en <math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center><math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = dm\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - dm\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_vecteur_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_de_l’axe_de_rotation,_différent_du_centre_C_du_cercle|évaluation du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de l'axe de rotation, différent du centre C du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, avec <br>«<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»,</center> {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> par rapport à <math>\;A</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}étant la « somme continue » <ref name="somme continue" /> des vecteurs moment cinétique de chaque pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right] \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ou, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}après distribution de la « somme continue » <ref name="somme continue" /> sur chaque terme de l'expression entre crochets puis <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système après }}factorisation par <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> ou <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans le 1^er ou 2^ème terme, <br>{{Al|6}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ; {{Al|5}}définissant le <u>moment d'inertie</u><math>\;J_\Delta\;</math><u>du système relativement à l'axe de rotation</u><math>\;\left( \Delta \right)\;</math> comme la grandeur scalaire «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2</math> <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» <ref name="moment d'inertie d'un pseudo-point"> «<math>\;dJ_{\Delta}(M) = dm\;r^2\;</math> étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math>» c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>.</ref>{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> exprimée en <math>\;kg \cdot m^2</math> <math>\;\big[</math>il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse <math>\;m_{\text{syst}}\big]\;</math> et {{Al|5}}repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>» de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="orientation de l'axe"> Le sens de <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant a priori arbitraire sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci ne change pas et est connu.</ref>, <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_{\theta}\,,\,\vec{u}_\Delta \right)\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base"> Cette base est choisie directe dans le cas quasi-général où l'espace est orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », cette dernière suivant la règle de la main droite dont sa description et celle d'autres règles identiques sont explicitées dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|29}}elle est choisie indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans le cas quasi-inexistant où l'espace est orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big(</math>la signification du caractère indirect « au sens de la physique » étant exposée dans le « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|préliminaire du paragraphe précédent]] »<math>\big)</math>, cette base suivant la règle de la main gauche dont sa description est explicitée dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-14|¹⁴]] » de ce même chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="extension à un système ouvert en rotation"> Applicable à un système fermé en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)</math>, applicabilité pouvant être étendue à un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe avec un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> mais pour associer un tel vecteur rotation instantanée à un système ouvert cela nécessite d'adjoindre à ce dernier des conditions contraignantes <math>\;\ldots</math><br>{{Al|3}}La condition nécessaire et suffisante pour qu'un système continu de matière ouvert, défini, à l'instant <math>\;t</math>, comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle <math>\;(\Sigma)\;</math> fermée, indéformable et fixe, soit en rotation autour d'un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe étant * premièrement que le contenu à l'instant <math>\;t\;</math> le soit c.-à-d. que tous les points présents à cet instant aient même vecteur vecteur rotation instantanée et * deuxièmement que le voisinage extérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> le soit aussi en étant identique à celui de son contenu c.-à-d. que les points entrant à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> aient le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y sont déjà présents <math>\;\big[</math>l'uniformité des vecteurs rotation instantanée des points à l'intérieur de <math>\;(\Sigma)\;</math> impliquant que les points en sortant entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> ont évidemment le même vecteur rotation instantanée que ceux qui y restent présents ou qui y entrent<math>\big]</math>, {{Al|3}}on en déduit que, pratiquement, un système ouvert ne peut être en rotation autour d'un axe fixe que dans les conditions contraignantes d'une diffusion stationnaire orthoradiale de fluide à travers deux portions planes se coupant sur le même axe <math>\;\left( \Delta \right)</math> <math>\;\big\{</math>c'est l'uniformité du vecteur rotation instantanée qui est très difficile à réaliser dans un fluide et qui rend ces conditions contraignantes, ce qui fait que nous ne considérerons plus <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> de système continu ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\big[</math>toutefois on définit, pour un système ouvert en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)</math>, une 2^ème grandeur d'inertie, son moment d'inertie par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, lequel dépend a priori de <math>\;t\;</math> mais puisque, en pratique, le régime d'évolution du système est stationnaire, le moment d'inertie n'en dépend {{Nobr|pas<math>\big]\big\}\;\ldots</math>}}</ref> ; {{Al|5}}le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}évalué au même instant <math>\;t\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}est donc la somme de deux termes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 1^er «<math>\;J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» porté par l'axe de rotation en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation }}<math>\bullet\;</math>le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;z\;r\;\vec{u}_r\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en étant <math>\;\propto\;</math> à la vitesse angulaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur moment cinétique du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)}\;</math> en rotation <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}tournant à la même vitesse angulaire que le système continu de matière <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilisation de la notion de [[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]] d'un solide</u> <ref name="tenseur d'inertie"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Définition_du_tenseur_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)|définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> : un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\,\left( \Delta \right)\,</math> étant à coup sûr un solide <ref name="solide au sens de la mécanique"> Au sens de la mécanique un solide constitué d'un système continu fermé de matière est « <u>indéformable</u> ».</ref>{{,}} <ref name="indéformable"> Chaque pseudo-point <math>\;M\,(d \mathcal{V}_M)\;</math> décrivant un cercle d'axe <math>\;( \Delta )\;</math> reste donc à une distance constante de <math>\;( \Delta )</math>, ce système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> ne serait pas indéformable si les pseudo-points tournaient à des vitesses angulaires différentes ce qui n'est pas le cas d'où le caractère indéformable du système.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut lui associer un <u>[[w:Moment_d'inertie#Mise_en_évidence_et_définition_du_tenseur_d'inertie|tenseur d'inertie]]</u> <ref name="tenseur d'inertie" />, [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] d'ordre <math>\;2\;</math><ref name="tenseurs d'ordre deux"> Cette définition utilise la notion de [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] d'ordre <math>\;2\;</math> introduit dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_tenseurs,_1ères_définitions_et_divers_types_de_tenseurs_d'ordre_inférieur_à_3#Définition_et_propriété_d'un_1er_type_de_tenseur_d'ordre_deux|définition et propruété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariant]] <ref name="covariant ou contravariant"> Une grandeur est dite [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|covariante]] lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et [[w:Covariant_ou_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariante]] quand elle varie de façon contraire.</ref>{{,}} <ref name="par abus"> C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du [[w:Tenseur_(mathématiques)|tenseur]] sont [[w:Covariant_et_contravariant_(algèbre_linéaire)|contravariantes]].</ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, }}représenté par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3\;\text{x}\;3\;</math><ref name="matrice"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> appelée <u>[[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide</u> <ref name="matrice d'inertie d'un solide"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_de_matière_d'expansion_finie#Matrice_d'inertie_d'un_solide_(système_continu_de_matière_indéformable)_ainsi_que_les_moments_et_produits_d'inertie_de_ce_dernier|matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer un tenseur d'inertie, représenté par }}la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie <math>\;\big(</math>[[w:Matrice_symétrique|symétrique]]<math>\big)\;</math> étant rappelée ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : on peut lui associer }}«<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\\ -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M & -\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M & \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\end{array} \right]</math>» <ref name="matrice d'inertie d'un solide" />{{,}} <ref name="intégrale volumique" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}parmi les cœfficients de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide ci-dessus on distingue : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>les éléments diagonaux définissant les <u>moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Ox} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( y^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Ox\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oy} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + z^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>les éléments diagonaux }}<math>\succ\;J_{Oz} = \!\!\!\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;Oz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}<math>\bullet\;</math>l'opposé des éléments non diagonaux définissant les <u>produits d'inertie du solide dans un plan privilégié</u> plus précisément <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{xy} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;y\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOy\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{xz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;xOz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'opposé des éléments non }}<math>\;\succ\;I_{yz} = \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M\;</math><ref name="intégrale volumique" /> « produit d'inertie du solide dans le plan <math>\;yOz\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : parmi les cœfficients }}d'où la réécriture de la [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] d'inertie du solide selon «<math>\;\left[ J \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_{Oz}\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du moment cinétique vectoriel du solide comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, la matrice d'inertie du solide se réécrit «<math>\;\left[ J \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on peut alors vérifier que « la matrice colonne <math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right]\;</math> représentant le vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» avec « un vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> représenté par la matrice colonne <math>\;\left[ \Omega(t) \right] =</math> <math>\left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» s'évalue en formant la multiplication matricielle suivante «<math>\;\left[ \sigma_{\!A}(\text{syst},\,t) \right] = \left[ J \right] \times \left[ \Omega(t) \right]\;</math>» <ref name="multiplication matricielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;\left[ \begin{array}{c} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t)\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t)\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c} J_{Ox} & -I_{xy} & -I_{xz}\\ -I_{xy} & J_{Oy} & -I_{yz}\\ -I_{xz} & -I_{yz} & J_\Delta\end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \overline{\Omega}(t)\end{array} \right]\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\begin{array}{l c l} \overline{\sigma}_{\!A,\,x}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{xz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,y}(\text{syst},\,t) \!\!&= -I_{yz}\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= -\overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\\ \overline{\sigma}_{\!A,\,\Delta}(\text{syst},\,t) \!\!&= J_\Delta\;\overline{\Omega}(t) \!\!&= \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace\end{array}\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Utilisation de la notion de tenseur d'inertie d'un solide : }}on retrouve effectivement les deux termes du vecteur moment cinétique <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A}(\text{syst},\,t)\;</math> précédemment déterminés directement à savoir * «<math>\;J_\Delta\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left( x^2 + y^2 \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; r^2\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overrightarrow{\Omega}(t) = J_\Delta\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> porté par l'axe de rotation et * «<math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = -\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;x\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;y\;z\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z \left( x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y \right) d \mathcal{V}_M \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\big[</math>obtenu après factorisation par <math>\;\overline{\Omega}(t)\big]</math> soit finalement <math>\;-I_{xz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_x - I_{yz}\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_y = - \overline{\Omega}(t) \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\; z\; r\;\vec{u}_r\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation. === Complément : vecteur moment cinétique d’un système continu de matière en rotation autour d’un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ dans le cadre de la cinétique relativiste === {{Al|5}}Comme cela a été établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Complément_:_expression_«_relativiste_»_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_origine_A|complément, expression relativiste du vecteur moment cinétique d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A]] » plus haut dans ce chapitre, le vecteur moment cinétique relativiste du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, évalué par rapport au point origine <math>\;A</math>, se détermine selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\vec{P}_{\text{volum},\,\text{relativ}}(M,\,t) = \dfrac{d \vec{p}_{\text{relativ}}}{d \mathcal{V}}(M,\, t) = \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;</math><ref name="description des facteurs de la densité volumique de quantité de mouvement" /> <br>la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» ; <br>soit encore, «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ.}}(\text{syst},\, t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \gamma_M(t)\;\mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="résultante ou moment cinétique d'un système ouvert" /> avec <br>«<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du milieu en <math>\;M\;</math>», <br><math>\;\vec{V}_{M}(t)\;</math> « le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans <math>\;(\mathcal{R})\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}^{\,2}_{\!M}(t)}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> {{Al|5}}le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant <u>en rotation</u> autour d'un axe <math>\left( \Delta \right)\;</math> fixe du référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, on peut écrire le moment cinétique <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> relativiste de tout pseudo-point centré en {{Nobr|<math>\;M\, \in\, \left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />}} dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> selon <center>«<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{newton}}(M,\,t) = \gamma_{M}(t)\;d m\;r^2\;\overrightarrow{\Omega}(t) - \gamma_{M}(t)\;d m\;\overline{\Omega}(t)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;</math>» <ref name="moment cinétique vectoriel d'un point en rotation avec point origine quelconque sur l'axe" />,<br> avec «<math>\;H\;</math> centre de rotation de <math>\;M\;</math> autour de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>», «<math>\;r\;</math> le rayon du cercle décrit par <math>\;M\;</math>» et <br>«<math>\;\gamma_{M}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}en déduire le vecteur moment cinétique relativiste <math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t)\;</math> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe, <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} d \overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(M,\,t) = \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t) \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <br>ou «<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> ;</center> {{Al|5}}comme en cinétique classique <ref name="newtonienne" />, le vecteur moment cinétique <u>relativiste</u> du système continu fermé <u>en rotation</u> autour de l'axe fixe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> évalué par rapport au point origine <math>\;A\;</math> quelconque sur l'axe est la somme de deux termes * le 1^er «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref name="moment d'inertie apparent"> On pourrait appeler <math>\;\big(</math>mais usuellement cela n'est pas fait<math>\big)\;</math> la grandeur «<math>\;\left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;dm\;r^2 \right] = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» « moment d'inertie apparent du système en rotation relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et la noter «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;</math>», d'où le 1^er terme «<math>\;J_{\Delta,\, \text{app}}\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> porté par l'axe de rotation et * le 2^ème «<math>\;- \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \gamma_{M}(t)\;\mu(M)\;\overline{AH}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right] = - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;\overline{AH}}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\overrightarrow{HM}(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> <math>\;\perp\;</math> à l'axe de rotation <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Choisissant le point origine <math>\;A\;</math> de calcul du vecteur moment cinétique relativiste du système comme origine du repère et l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> comme axe <math>\;\overrightarrow{Az}</math>, les axes <math>\;\overrightarrow{Ax}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Ay}\;</math> respectivement orientés par <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <math>\;\vec{u}_y\;</math> étant choisis <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> tels que la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\,\vec{u}_y\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> soit de même orientation que la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="caractère direct ou indirect de la base" />, le point <math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées cylindro-polaires de pôle <math>\;A\;</math> et d'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, «<math>\; \left( r,\, \theta,\, z \right)\;</math>», l'expression <u>relativiste</u> du vecteur moment cinétique du système <u>en rotation</u> autour de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, de vecteur rotation instantanée <math>\;\overrightarrow{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée" /> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, calculé par rapport à <math>\;A\;</math> point quelconque de <math>\;\left( \Delta \right)</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{relativ}}(\text{syst. en rot.},\,t) = \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;r^2}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;d \mathcal{V}_M \right] \overrightarrow{\Omega}(t) - \overline{\Omega}(t) \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \dfrac{\mu(M)\;z\;r}{\sqrt{1 - \dfrac{r^2\;\Big\Vert \overrightarrow{\Omega}(t) \Big\Vert^{\,2}}{c^2}}}\;\vec{u}_r(t)\;d \mathcal{V}_M \right]\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />.</center> === Complément : notion d’axes principaux d'inertie d’un « système continu de matière » === {{Al|5}}Cette notion introduite pour un système discret de points matériels au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Définition_des_axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_et_des_moments_principaux_d'inertie_de_ce_dernier|définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] » est applicable à un système continu de matière, que l'expansion soit tridimensionnelle, surfacique ou linéique, à condition de remplacer « point matériel » par « pseudo-point » <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d S_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\; d S_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> ^ou <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, son vecteur vitesse à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>,<math>\;\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;d \vec{p}_{M}(t) = \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\; d \mathit{l}_M\;</math> et son vecteur moment cinétique au même instant <math>\;t\;</math> dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\;A</math>, <math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t)\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> === Complément : « moments principaux d’inertie » de quelques solides homogènes === {{Al|5}}Déjà introduits dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Tenseur_d'inertie_d'un_solide#Axes_principaux_d'inertie_d'un_solide_modélisé_par_un_milieu_continu_d'expansion_spatiale_finie|axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », seuls les résultats sont rappelés ci-dessous, les établissements étant à voir dans le paragraphe précité : ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique <math>\;\mu_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère"> On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».</ref> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule"> Le volume d'une boule de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\dfrac{4}{3}\;\pi\;R^3</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) = \dfrac{2}{5}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique"> En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.</ref> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre"> Le volume d'un cylindre de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_de_volume_d'expansion_tridimensionnelle_classique|exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique]] (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique <math>\;\sigma_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère"> L'aire de la surface d'une sphère de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;4\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, « tout axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_G}\!\left( S \right) = \dfrac{2}{3}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités et de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique"> L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon <math>\;R\;</math> et de longueur <math>\;H\;</math> étant <math>\;2\;\pi\;R\;H</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de révolution est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution est aussi <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2\;</math>». * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle"> On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.</ref> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque"> L'aire de la surface d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> étant <math>\;\pi\;R^2</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du disque est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du disque <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) = \dfrac{1}{4}\;m\;R^2\;</math>». ==== Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie ==== <center>Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique <math>\;\lambda_0\;</math> et <br>leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :</center> * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>», <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe du cercle est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe du cercle <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de diamètre<math>\big)\;</math> est aussi <u>axe principal d'inertie</u>, le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) = \dfrac{1}{2}\;m\;R^2\;</math>». * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G\;</math> et de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>», <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> passant par son centre d'inertie <math>\;G\;</math> et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme <u>axe principal d'inertie</u> si toutefois le moment principal d'inertie correspondant était non nul » mais «<math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur nulle de <math>\;J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right)\;</math> fait qu'en pratique l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de <math>\;\mathcal{T}\big]\;</math> et <br>{{Transparent|« Tige rectiligne <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>« tout axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> passant par son centre <math>\;G\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige <math>\;\big(</math>c.-à-d. tout support de médiatrice<math>\big)\;</math> est <u>axe principal d'inertie</u> », « le moment principal d'inertie correspondant étant <math>\;J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>». === Complément : « théorème de Huygens » === {{Al|5}}Le « [[w:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème de Huygens-Steiner)|théorème de Huygens]] <ref name="Huygens"> '''[[w:Christain|Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.</ref> » <math>\;\big[</math>encore appelé « théorème de Steiner <ref name="Steiner"> '''[[w:Jakob_Steiner|Jakob Steiner]] (1796 - 1863)''' mathématicien suisse dont le travail fut essentiellement géométrique, ses recherches furent empreintes d'une grande rigueur dans leur preuve à tel point qu'il était considéré à son époque comme le plus grand génie dans le domaine de la géométrie depuis '''[[w:Apollonios_de_Perga|Apollonius de Perge]]''' <math>\;\big[</math>géomètre et astronome grec, né dans la 2^nde moitié du III^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>vers <math>\;-240\big)\;</math> à [[w:Pergé|Perge]] <math>\;\big(</math>actuellement en Turquie<math>\big)</math>, disparu au début du II^ème siècle avant J.C. <math>\;\big(</math>non connu avec précision cela pourrait être de <math>\;-190\;</math> à <math>\;-170\;\ldots\big)</math>, ayant vécu à [[w:Alexandrie|Alexandrie]] <math>\;\big(</math>actuellement en Égypte<math>\big)</math>, surtout célèbre pour ses écrits sur les [[w:Conique|sections coniques]] <math>\;\big(</math>intersection d'un cône par un plan<math>\big)\big]</math>.</ref> » <ref> Parfois nommé « théorème de Huygens-Steiner » pour le distinguer des autres théorèmes de Steiner <math>\;\ldots</math></ref> ou « théorème des axes parallèles »<math>\big]\;</math> permet d'évaluer le moment d'inertie d'un solide relativement à un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> connaissant celui relativement à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G</math>, C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> du solide<math>\big]</math>, la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> ainsi que la masse du solide. {{Théorème|titre= Théorème de Huygens|contenu= {{Al|5}}Soit un solide <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis"> Sans autre précision il s'agit d'un système discret fermé indéformable de points matériels ou d'un système continu fermé de matière d'expansion volumique, surfacique ou linéique <math>\;\ldots</math></ref>, de masse <math>\;m_{(\mathcal{S})}</math>, de C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> et un axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> quelconque, « le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta \right)</math>, à savoir <math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref> Simplement noté <math>\;J_{\Delta}\;</math> en absence d'ambiguïté.</ref>, est égal à <center><math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{S} \right) = J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right) + m_{(\mathcal{S})}\;d^2\;</math>» dans laquelle <br>«<math>\;J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;(\mathcal{S})\;</math><ref name="solide - bis" /> par rapport à <math>\;\left( \Delta_G \right)</math> <math>\;\big[</math>axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par <math>\;G\big]\;</math>» <br>et «<math>\;d\;</math> la distance orthogonale entre <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Démonstration</u> <math>\;\big[</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\big]</math> : « le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> étant défini par <math>\;J_{\Delta} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta \right)\;</math>» et «<math>\;\mu(M)\;</math> la masse volumique du solide », <br>{{Al|9}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : « le moment d'inertie }}« celui par rapport à l'axe <math>\;\left( \Delta_G \right)\; \parallel\;</math> à <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide, par <math>\;J_{\Delta_G} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" /> avec «<math>\;K\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : }}on passe de l'un à l'autre en utilisant la relation de Chasles <ref name="Chasles" /> «<math>\;\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{HK} + \overrightarrow{KM}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HM}^2</math> <math>= \overrightarrow{HK}^2 + \overrightarrow{KM}^2 + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KM}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en multipliant chaque membre par «<math>\;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>faite sur un solide fermé constitué d'un milieu continu d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{V} \right)\big]}</math> : on passe de l'un à l'autre }}en intégrant membre à membre, «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;HM^2\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>HK^2 \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;KM^2\;d \mathcal{V}_M + 2\;\overrightarrow{HK} \cdot \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique" />{{,}} <ref> <math>\;HK^2\;</math> ne dépendant pas de <math>\;M\;</math> peut être sorti de la 1^ère intégrale du 2^ème membre, il en est de même de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> pour la 3^ème intégrale du 2^ème membre car, si <math>\;H\;</math> et <math>\;K\;</math> dépendent de <math>\;M</math>, la direction, le sens et la norme de <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> n'en dépendent pas <math>\;\ldots</math></ref> d'où, en reconnaissant «<math>\;J_{\Delta}\;</math> dans le 1^er membre », «<math>\;J_{\Delta_G}\;</math> dans la 2^ème intégrale du 2^ème membre », {{Nobr|«<math>\;m_{\text{syst}}\;d^2\;</math>}} dans le 1^er terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;HK</math> <math>= d\;</math> et <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;d \mathcal{V}_M = m_{\text{syst}}\bigg\}\;</math><ref name="intégrale volumique" /> et «<math>\;2\;\overrightarrow{HK} \cdot m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math> dans le 3^ème terme du 2^ème membre » <math>\;\bigg\{</math>en effet, selon une propriété du C.D.I. <ref name="C.D.I." />{{,}} <ref name="centre de masse" /> <math>\;G\;</math> du solide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Centre_d’inertie_(ou_centre_de_masse)_d’un_système_continu_(fermé)_de_masse_volumique_µ(M)|centre d'inertie (ou centre de masse) d'un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant <math>\;O\;</math> par <math>\;K\;\ldots</math></ref> <math>\;\displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;\overrightarrow{KM}\;d \mathcal{V}_M =</math> <math>m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{KG}\;</math><ref name="intégrale volumique" /><math>\bigg\}</math>, la simplification suivante <center>«<math>\;J_{\Delta} = m_{\text{syst}}\;d^2 + J_{\Delta_G}\; \cancel{+\; 2\;m_{\text{syst}}\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG}}\;</math>» <ref> D'une part <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune de <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part <math>\;K\;</math> ainsi que <math>\;G\;</math> appartiennent tous deux à <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> est <math>\;\left( \Delta_G \right)\;</math> <br>{{Al|3}}d'où <math>\;\overrightarrow{HK}\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{KG}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{HK} \cdot \overrightarrow{KG} = 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>C.Q.F.D.<math>\big)\;</math><ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples d'application</u>, ci-dessous liste non exhaustive : * « <u>Boule</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( \mathcal{B} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \dfrac{4}{3}\;\pi\;\mu_0\;R^3\;</math>» <ref name="volume d'une boule" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent en <math>\;A\;</math> à la sphère limitant <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{B} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{B} \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( \mathcal{B} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG"> On choisit l'axe <math>\;\Delta_G\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{2}{5}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{7}{5}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cylindre de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\mu_0\;R^2\;H\;</math>» <ref name="volume d'un cylindre" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du cylindre, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice du tuyau cylindrique limitant le cylindre et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\;m\;R^2</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Cylindre de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'une des bases limitant <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math>}} <math>= J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G"> <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{H}{2}</math>.</ref> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Sphère</u> <ref name="boule ou sphère" /> <math>\;\left( S \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 4\;\pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'une sphère" /> et un « axe <math>\;\Delta\;</math> tangent à la sphère en <math>\;A\;</math>», le moment d'inertie de <math>\;\left( S \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( S \right) =</math> <math>J_{\Delta_G}\!\left( S \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de DeltaG" /> <math>\;= \dfrac{2}{3}\;m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{5}{3}\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tuyau cylindrique de révolution</u> <ref name="Cylindre ou tuyau cylindrique" /> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de longueur <math>\;H</math>, de centre <math>\;G</math>, ouvert aux deux extrémités, de « masse <math>\;m =</math> <math>2\;\pi\;\sigma_0\;R\;H\;</math>» <ref name="aire latérale d'un tuyau cylindrique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> confondu avec une génératrice du tuyau cylindrique », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_{\Delta}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]^2\;</math><ref> <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> étant l'axe de révolution du tuyau cylindrique, donc effectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> génératrice de ce dernier et <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;R</math>.</ref> <math>\;= m\;R^2 + m\;R^2 = 2\;m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Tuyau cylindrique de révolution <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{T} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> passant par le centre d'un des cercles limitant <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe de révolution », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{T} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;\left[ d \left( \Delta'\,,\,{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz} \right) \right]^2\;</math><ref name="choix de Delta'G" /> <math>\;= \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{12}\;m\;H^2 \right] + m\;\dfrac{H^2}{4}\;</math>» d'où finalement «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right)</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + \dfrac{1}{3}\;m\;H^2\;</math>» <math>\;\big(</math>très peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Disque</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{D} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \pi\;\sigma_0\;R^2\;</math>» <ref name="aire d'un disque" /> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> du disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>\dfrac{1}{2}\; m\;R^2 + m\;R^2 = \dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Disque <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{D} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle limitant le disque », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> est «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{D} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{D} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G"> L'axe <math>\;{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> est choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'\;</math> passant par <math>\;G</math>, c'est donc aussi le support du diamètre <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta'</math>.</ref> <math>\;= \dfrac{1}{4}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{5}{4}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Cercle</u> <ref name="disque ou cercle" /> <math>\;\left( \mathcal{C} \right)</math>, homogène », de rayon <math>\;R</math>, de centre <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = 2\;\pi\;\lambda_0\;R\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par un point <math>\;A\;</math> du cercle et <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{Gz}\;</math> de ce dernier », le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{C} \right) = J_{\Delta_{Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2 =</math> <math>m\;R^2 + m\;R^2 = 2\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|7}}{{Transparent|« Cercle <math>\;\color{transparent}{\left( \mathcal{C} \right)}</math>, homogène », }}<math>\succ\;</math>un « axe <math>\;\Delta'\;</math> tangent en un point <math>\;A\;</math> du cercle », le moment d'inertie du cercle <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta'\;</math> se calcule par «<math>\;J_{\Delta'}\!\left( \mathcal{C} \right) =</math> <math>J_{{\Delta'}_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{C} \right) + m\;AG^2\;</math><ref name="choix de Delta' passant par G" /> <math>\;=</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;R^2 + m\;R^2 =</math> <math>\dfrac{3}{2}\; m\;R^2\;</math>» <math>\;\big(</math>peu utilisé<math>\big)</math>. * « <u>Tige rectiligne</u> <math>\;\left( \mathcal{T} \right)</math>, homogène », de longueur <math>\;\mathit{l}</math>, de centre d'inertie <math>\;G</math>, de « masse <math>\;m = \lambda_0\;\mathit{l}\;</math>» et un « axe <math>\;\Delta\;</math> passant par <math>\;A</math>, une extrémité de la tige et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Gz\;</math> de cette dernière », le moment d'inertie <math>\;\left( \mathcal{T} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = J_{\Delta_{G,\,\perp\,Gz}}\!\left( \mathcal{T} \right) + m\;AG^2\;</math><ref> L'axe <math>\;\Delta_{G,\,\perp\,Gz}\;</math> étant l'axe passant par <math>\;G</math>, <math>\;\perp\;</math> à l'axe de la tige et choisi <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>c'est aussi le support de médiatrice de la tige <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\big)</math>, <math>\;\left[ d \left( \Delta\,,\,\Delta_{Gz} \right) \right]\;</math> est la distance orthogonale séparant les deux axes, distance égale à <math>\;\dfrac{\mathit{l}}{2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{12}\;m\;\mathit{l}^{\,2} + m\;\dfrac{\mathit{l}^{\,2}}{4}\;</math>» soit finalement «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{T} \right) = \dfrac{1}{3}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>assez fréquemment utilisé<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un syst. discret de points mat.]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Moments de force|Loi du moment cinét. : Moments de force]] }} qp860ba4anjc93i57ekbtupa5enmv52 108 74508 965688 777110 2025-06-15T17:18:10Z Fourmidable 50100 965688 wikitext text/x-wiki {{Département | idfaculté = sciences cognitives | nom = Mentalogie | niveau = 18 | logo = Grille ennéanaire.png }} g19ndeqgc3cxa7ulassbr26kg1mp4ah 104 76304 965715 964452 2025-06-16T10:09:14Z Fourmidable 50100 /* Logiciel propriétaire ? Libre ? Open-Source ? */ 965715 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ == Liste non exhaustive de logiciels privatifs et libres == === Logiciel propriétaire ? Libre ? Open-Source ? === Avant de dresser une liste de logiciels privatifs et leur(s) alternatives, nous devons nous attarder sur le début des licences. Une licence en un contrat régit par des règles qui autorise ou non le partage, la vente ainsi que la modification. Il existe donc tout un tas de licences différentes. En 1790 aux États-Unis nait le copyright, qui est tout d'abord un moyen d'attribuer l'œuvre à son détenteur. Il assure plusieurs règles de base :   - Le droit de paternité   - Le droit au respect de l'œuvre   - L'œuvre et sa détention peut être héritée   - La paternité de l'œuvre, si elle n'est pas héritée, disparait dans le temps   - L'auteur peut renoncer à l'œuvre     L'auteur a donc le droit, avec ses droits de paternité, d'exercer les actes suivants:   - La reproduction de l'œuvre   - La création d’œuvres dérivées de l'œuvre originale   - La distribution de copies de l'œuvre au public (vente, location, prêt, cession), sous quelque forme que ce soit   - La représentation publique de l'œuvre, avec quelque procédé que ce soit     Par la suite, pour faire opposition au copyright, a été créé le copyleft... 200 ans plus tard ! Le copyleft, est l'autorisation donnée par l'auteur d'un travail soumis au droit d'auteur (œuvre d'art, texte, programme informatique ou autre) d'utiliser, d'étudier, de modifier et de diffuser son œuvre, dans la mesure où cette même autorisation reste préservée. On distingue alors 2 types de copyleft : le copyleft fort et le faible. Le premier permet tous les droits cités précédemment uniquement sous la licence initiale, alors que le faible (ou standard), permet l'ajout d'éléments provenant d'autres licences. À noter que le copyright et le copyleft ne sont pas des licences, mais un ensemble d'autorisations/restrictions accordées à une œuvre. Du coup, du copyleft naissent tout un tas de licences accordant plus ou moins de droits aux œuvres. Les licences sont aussi inhérentes au domaine appliqué, comme la Licence Art Libre appliquée dans le domaine artistique. Nous allons nous intéresser à deux types de licences : La GNU GPL (General Public License) et les Creative Commons. Parlons d'abord des Creative Commons. Les Creative Commons font partie des licences les plus utilisées dans le monde. Elles consistent en une série de lettres, commençant toujours par CC (Creative Commons) pour désigner le type d'autorisation. Elles seront suivies par les abréviations suivantes : BY (Accréditation obligatoire), NC (Pas d'utilisation commerciale), ND (Pas de travaux dérivés) et SA (Droit de partage uniquement sous la même licence). Voici un tableau repris directement du site <nowiki>https://pitt.libguides.com/copyright/licenses</nowiki>, qui s'est lui-même inspiré du site Creative Commons : <nowiki>https://pitt.libguides.com/ld.php?content_id=18024633</nowiki> La GNU GPL est un type de licence délivré par Richard Stallman, un hacker talentueux, qui est un des plus gros militants et initiateur du mouvement des logiciels libres. Son but est de passer d'un logiciel dit propriétaire à un logiciel qui ne l'est pas et qui peut être utilisé, modifié, revendu et partagé par tout le monde (attention, cela ne veut pas dire que le logiciel est gratuit, la dénomination free software en anglais peut porter à confusion). Sa licence se démarque par deux choses : si le projet est sous la licence GNU GPL, il peut être redistribué, modifié ou partagé seulement si le code source est dévoilé et modifiable, et le projet devra rester sous la licence GNU GPL. Du logiciel libre est donc né l'open source. L'open source est rétrograde du logiciel libre, pas le contraire. De tout cela est donc né le mouvement du logiciel libre, merci Stallman !   === Liste des logiciels privatifs, leur(s) alternatives et les avantages et désavantages (par section) === '''-Réseaux sociaux:''' ''Facebook:''        Avantages : L'adoption par le grand publique, Une campagne marketing à moindre coût,        Désavantages: Atteinte à la vie privée, Limites juridiques, Pub Invasives, Vente d'informations → ''Diaspora'' (Free Open Source), ''Minds'' (Freemium), ''VK'' (Free)        Avantages: Axée securité, Confidentialité, Sans censure        Désavantages: Peu de développeurs     '''-Montage vidéo:''' ''Adobe After Effects:''        Avantages: Très bien documenté, communauté active, S.A.V.        Désavantages: Payant, Cher → ''Natron'' (Free Open Source), ''Blackmagic Design Fusion'' ( Freemium) , ''Blender'' (Open Source), ''VSDC'' (Open Source)        Avantages: Gratuit, Complet        Désavantages: Mal documenté, difficulté pour les neophytes         '''-Montage photo:''' ''Adobe Photoshop:''        Avantages: Très bien documenté, communauté active, S.A.V.        Désavantages: Payant → Gimp (Open Source), Paint.NET (Freemium), Photopea (Free)       Avantages: Gratuit, Libre, Multiplateforme       Désavantages: Interface peu attrayante       '''-Montage audio:'''  ''Adobe Audition:''        Avantages: Très bien documenté, communauté active, S.A.V.        Désavantages: Payant → ''Audacity'' (Open Source), ''DaVinci Resolve'' (Freemium), ''Ocenaudio'' (Free)        Avantages: Gratuit, Libre,        Désavantages: Interface peu attrayante         '''-Cloud:''' ''Google Drive:''    Avantages : Synchronisé avec tous les outils google, Bonne centralisation des informations    Désavantages : Récolte d'informations, Revente d'informations, Demande des ressources hardware, Force les mises à jour  → Nextcloud (Open Source), Syncthing (Open Source), MEGA (Freemium)    Avantages : Sécurité, Gratuit pour la majorité    Désavantages: Mauvaise centralisation, ne permet pas le partage de groupe '''-Outils de communications:''' ''Skype:''    Avantages: Facile d'utilisation    Désavantages: Écoute téléphonique    → T''elegram'' (Free), ''Tox'' (Free Open Source), ''Discord'' (Freemium), ''Jitsi meet'' (Free Open Source)    Avantages: Les messages sont chiffrés, anonymat possible    Désavatanges: Sans foi ni loi '''-Streaming:''' ''Youtube:''    Avantages: Populaire    Désavantages: Pub, beaucoup de pubs.    → ''PeerTube'' (Free Open Source), ''Dailymotion'' (Free)  , ''Vimeo'' (Freemium)    Avantages: Plus libre au niveau de la censure / creation de contenu    Désavantages: Moins de monde présent.     '''-Mailing:''' ''Microsoft Outlook:''    Avantages: Ergonomique    Désavantages: Pub    → ''Thunderbird'' (Free Open Source), ''eM Client'' (Freemium)    Avantages: Addons plus vaste    Désavantages: ?         '''-OS:''' ''Windows:''     Avantages : mises à jour récurrentes, service complet     Désavantages : Récolte d'informations, Revente d'informations, Demande des ressources hardware, Force les mises à jours → ''Linux'' (Open Source):     Avantages : Pas de récolte d'infos, pas de revente, pas de surcharge de logiciels espions, demande peu de ressources     Désavantages : Demande des connaissances pour l'installation de l'OS, certaines versions de Linux (Ubuntu) sont très compliqués à prendre en main et les commandes se font uniquement avec le clavier           '''-Navigateur:''' ''Google Chrome :''   Avantage : Très bon référencement   Désavantages : Récolte d'informations, Revente d'informations, Demande beaucoup de RAM, Installe des extenstions indésirables, les Pubs → ''Mozilla Firefox'' (Free Open Source), ''Opera'' (Free)   Avantages : Pas de récolte d'informations, Demande peu de RAM, Personnalisable à souhait, Pas de pubs   Désavantages : Référencement moindre, Firefox demande quand même de la RAM, moins de fonctionnalités   '''-Bureautique:''' ''Microsoft Word :''    Avantages: Beaucoup de tuto et d'aide    Désavantages: Payant → ''LibreOffice - Writer'' (Free Open Source), ''Google Docs'' (Free),  ''WPS Writer'' (Freemium)    Avantages: Gratuit, libre, multiplateforme    Désavantages:  Moins de doc, <br /> === En conclusion, quels sont les avantages et les désavantages du logiciel libre ? === '''Avantages :'''    - Apprentissage en profondeur de la technologie, on passe de consommateurs à producteur    - Travail sans cesse sur le projet, pas de concept de produit fini, donc peut largement dépasser le concurrent    - Liberté de partage, diffusion et modifications    - Pas ou peu de récoltes d'informations    - Pas de vente de données    - Souvent gratuit ou peu cher    - Demande généralement moins de ressources que les logiciels concurrents    - Souvent plus personnalisable que les concurrents    - Pas ou peu de pubs    - Communauté active    - Liberté de reprise d'un projet s'il a été abandonné    - Moins de censure    - Pas d'espionnage    - Souvent compatible multiplateforme        '''Désavantages :'''    - Tendance à l'abandon du projet car pas toujours de rénumération    - Ne compte souvent que sur la communauté pour faire avancer le projet    - Logiciels parfois moins performants que les concurrents    - Prise en main parfois plus compliquée de certains logiciels    - Demande une certaine connaissance de l'informatique pour manipuler certains logiciels libres (système d'exploitation Linux par exemple)    - Pas de service complet pour remédier à des problèmes => Ne compte que sur les forums    - Visuel pas toujours au rendez-vous 5hder4f8tpslfnu0lqzm5eim93emupg 4 83400 965673 946658 2025-06-15T16:59:25Z Fourmidable 50100 965673 wikitext text/x-wiki == valeur de la Constante cosmologique d'Einstein == Chers contributeurs, bonjour. il me semble important de l'intégrer à nouveau dans Wikipédia et la remettre à nouveau sous les projecteurs. en effet une nouvelle école de cosmologie quantique déterministe semble émerger : cf : mon blog accessible à l'adresse URL : '''''constantecosmologique(dot)fr''''' :La révolution cosmologique ou la cosmologie de l’Univers éternel et Consorts. – La constante cosmologique. Problèmes et solutions à la fin de cet article je donne le lien vers une publication à faible impact qui propose une valeur '''''numérique''''' de la constante cosmologique '''exactement égale à la valeur de la Constante cosmologique d'Einstein''', mais dans le cadre de cette nouvelle école de la cosmologie d'une des déclinaisons de ces approches. une démonstration de la formule de Tatum et al. de 2105 a été démontrée par Haug et Wojnow en 2023 et acceptée dans une revue Springer (cf appendix par exemple ou la ref 15) : '''''CMB, Hawking, Planck, and Hubble Scale Relations Consistent with Recent Quantization of General Relativity Theory | International Journal of Theoretical Physics (springer(dot)com)''''' bien évidemment je ne souhaite pas rédiger l'article que je suggère en raison du conflit d'intérêt évident et du risque de manque d'objectivité. vous pouvez néanmoins me contacter si vous souhaitez que je jette un œil sur le, les, éventuels article(s) en espérant ne pas vous avoir dérangé inutilement. bien cordialement. stéphane wojnow [[Spécial:Contributions/2001:861:52C2:99D0:7D20:4E5D:C797:79C2|2001:861:52C2:99D0:7D20:4E5D:C797:79C2]] 25 février 2024 à 04:08 (UTC) == Accessibilité numérique == L'espace dédié a l'acessibilité numérique est en erreur "Mise en œuvre de l accessibilite numerique" Erreur : URL du menu introuvable [[Spécial:Contributions/160.53.248.14|160.53.248.14]] 25 juillet 2024 à 12:32 (UTC) fxa4xc4dpa3cacoscs2rg0lohdnlg9x 965680 965673 2025-06-15T17:09:14Z Fourmidable 50100 965680 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{Wikiversité:Requêtes aux contributeurs/En-tête}}</noinclude> == valeur de la Constante cosmologique d'Einstein == Chers contributeurs, bonjour. il me semble important de l'intégrer à nouveau dans Wikipédia et la remettre à nouveau sous les projecteurs. en effet une nouvelle école de cosmologie quantique déterministe semble émerger : cf : mon blog accessible à l'adresse URL : '''''constantecosmologique(dot)fr''''' :La révolution cosmologique ou la cosmologie de l’Univers éternel et Consorts. – La constante cosmologique. Problèmes et solutions à la fin de cet article je donne le lien vers une publication à faible impact qui propose une valeur '''''numérique''''' de la constante cosmologique '''exactement égale à la valeur de la Constante cosmologique d'Einstein''', mais dans le cadre de cette nouvelle école de la cosmologie d'une des déclinaisons de ces approches. une démonstration de la formule de Tatum et al. de 2105 a été démontrée par Haug et Wojnow en 2023 et acceptée dans une revue Springer (cf appendix par exemple ou la ref 15) : '''''CMB, Hawking, Planck, and Hubble Scale Relations Consistent with Recent Quantization of General Relativity Theory | International Journal of Theoretical Physics (springer(dot)com)''''' bien évidemment je ne souhaite pas rédiger l'article que je suggère en raison du conflit d'intérêt évident et du risque de manque d'objectivité. vous pouvez néanmoins me contacter si vous souhaitez que je jette un œil sur le, les, éventuels article(s) en espérant ne pas vous avoir dérangé inutilement. bien cordialement. stéphane wojnow [[Spécial:Contributions/2001:861:52C2:99D0:7D20:4E5D:C797:79C2|2001:861:52C2:99D0:7D20:4E5D:C797:79C2]] 25 février 2024 à 04:08 (UTC) == Accessibilité numérique == L'espace dédié a l'acessibilité numérique est en erreur "Mise en œuvre de l accessibilite numerique" Erreur : URL du menu introuvable [[Spécial:Contributions/160.53.248.14|160.53.248.14]] 25 juillet 2024 à 12:32 (UTC) rekc5s2vwx3lkmv956pskkmffid8hbu 0 83652 965674 928528 2025-06-15T17:00:00Z Fourmidable 50100 965674 wikitext text/x-wiki {{Admissibilité à vérifier}} Les [[w:Macromolécule|macromolécules]] sont de grandes molécules [[w:Organique|organiques]] essentielles à la vie. Elles se trouvent dans tous les êtres vivants et jouent des rôles cruciaux dans divers processus biologiques. Les principales catégories de macromolécules comprennent les glucides, les lipides, les protéines et les acides nucléiques (ADN et ARN). # [[Glucides et leur métabolisme/Catabolisme|Glucides]]: Ils sont principalement utilisés comme source d'énergie et pour le stockage d'énergie. Ils comprennent des molécules telles que les sucres simples (monosaccharides), les sucres doubles (disaccharides) et les polysaccharides (comme l'amidon et le glycogène). # [[Lipides]]: Ces molécules sont importantes pour le stockage d'énergie, l'isolation thermique, la structure cellulaire et la signalisation cellulaire. Les lipides comprennent les graisses, les huiles, les phospholipides et les stéroïdes, comme le cholestérol. # [[Protéine|Protéines]]: Elles sont essentielles pour de nombreuses fonctions biologiques, y compris la structure cellulaire, le transport de substances, les réactions enzymatiques et la régulation hormonale. Les protéines sont constituées d'une chaîne d'acides aminés, dont la séquence détermine leur structure et leur fonction. # [[w:Acide_nucléique|Acides nucléiques]]: Ils contiennent les informations génétiques nécessaires à la synthèse des protéines. L'[[ADN, une molécule universelle et variable/La structure universelle de la molécule d'ADN|ADN]] (acide désoxyribonucléique) stocke l'information génétique, tandis que l'[[w:Acide_ribonucléique|ARN]] (acide ribonucléique) joue un rôle central dans la traduction de l'information génétique en protéines. Ensemble, ces macromolécules constituent les éléments de base de la structure cellulaire et des processus [[w:Biochimie|biochimiques]] qui maintiennent la vie. oyt178gfnmeo1yicsnjj08k13w2jys6 965675 965674 2025-06-15T17:00:14Z Fourmidable 50100 965675 wikitext text/x-wiki {{Admissibilité à vérifier|date=juin 2025}} Les [[w:Macromolécule|macromolécules]] sont de grandes molécules [[w:Organique|organiques]] essentielles à la vie. Elles se trouvent dans tous les êtres vivants et jouent des rôles cruciaux dans divers processus biologiques. Les principales catégories de macromolécules comprennent les glucides, les lipides, les protéines et les acides nucléiques (ADN et ARN). # [[Glucides et leur métabolisme/Catabolisme|Glucides]]: Ils sont principalement utilisés comme source d'énergie et pour le stockage d'énergie. Ils comprennent des molécules telles que les sucres simples (monosaccharides), les sucres doubles (disaccharides) et les polysaccharides (comme l'amidon et le glycogène). # [[Lipides]]: Ces molécules sont importantes pour le stockage d'énergie, l'isolation thermique, la structure cellulaire et la signalisation cellulaire. Les lipides comprennent les graisses, les huiles, les phospholipides et les stéroïdes, comme le cholestérol. # [[Protéine|Protéines]]: Elles sont essentielles pour de nombreuses fonctions biologiques, y compris la structure cellulaire, le transport de substances, les réactions enzymatiques et la régulation hormonale. Les protéines sont constituées d'une chaîne d'acides aminés, dont la séquence détermine leur structure et leur fonction. # [[w:Acide_nucléique|Acides nucléiques]]: Ils contiennent les informations génétiques nécessaires à la synthèse des protéines. L'[[ADN, une molécule universelle et variable/La structure universelle de la molécule d'ADN|ADN]] (acide désoxyribonucléique) stocke l'information génétique, tandis que l'[[w:Acide_ribonucléique|ARN]] (acide ribonucléique) joue un rôle central dans la traduction de l'information génétique en protéines. Ensemble, ces macromolécules constituent les éléments de base de la structure cellulaire et des processus [[w:Biochimie|biochimiques]] qui maintiennent la vie. 2i6zp7s3v7m48pjfaarynl4o6igqevu 104 84027 965707 965202 2025-06-16T08:36:33Z Psychoslave 2753 965707 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré concerne ''agace-pissette''<ref>{{Lien web|nom1=Europe 1|titre=Cyril Hanouna "Je suis un agace-pissette"|url=https://www.youtube.com/watch?v=armBu4C9DCI|date=2014-10-20|consulté le=2025-05-11}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Un scoop !?|url=https://lhsdb.forumactif.com/t7925-un-scoop|site=lhsdb.forumactif.com|consulté le=2025-05-11}}</ref><ref>{{Lien web|titre=Amoureux(gay) de mon beau frere?|url=https://lgbr.societe.narkive.fr/AjH4DUWA/amoureux-gay-de-mon-beau-frere|site=lgbr.societe.narkive.fr|consulté le=2025-05-11}}</ref>'','' ''adjudante-cheffe'' et ''adjudant-chef, aide-animalier''<ref group="N">L'alternance avec ''aide-animalière'' en ce sens semble dénué d'emploi, le terme ''aide-animalière'' étant par contre employé pour désigner une subvention financière pour les personnes qui adopte un animal du fait d'un handicape.</ref>'', aide-bibliothécaire, aide-comptable, aide-écuyère''<ref>{{Lien web|nom1=Canada|prénom1=Emploi et Développement social|titre=Aide-écuyer/aide-écuyère dans la Région de Thompson–Okanagan {{!}} Description de tâches - Guichet-Emplois|url=https://www.guichetemplois.gc.ca/rapportmarche/profession/14251/geo29301;jsessionid=10E564223A80B4C4D6A61EA2E4442B4C.jobsearch77|site=www.guichetemplois.gc.ca|consulté le=2025-05-11}}</ref><ref>{{Lien web|nom1=Gouvernement du Canada|prénom1=Statistique Canada|titre=Variante de la Classification nationale des professions (CNP) 2021 version 1.0 avec agrégats pour l'analyse de la population active|url=https://www23.statcan.gc.ca/imdb/p3VD_f.pl?Function=getAllExample&TVD=1516662&CVD=1516701&CPV=65220&CST=01052021&CLV=6&MLV=6&V=403285&VST=01052021&wbdisable=true|site=www23.statcan.gc.ca|date=2023-04-25|consulté le=2025-05-11}}</ref> et ''aide-écuyer, aide-éducatrice et aide-éducateur, aide-gardienne''<ref>{{Lien web|titre=Candidature aide-gardienne hiver/printemps 2024-2025 - Forum de www.refuges.info|url=https://www.refuges.info/forum/viewtopic.php?t=14327|site=www.refuges.info|consulté le=2025-05-11}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=L'équipe|url=https://www.refuge-des-cosmiques.com/l-equipe|site=Refuge des Cosmiques|consulté le=2025-05-11}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr-FR|titre=VIDEO. Brut a suivi Elora, aide-gardienne dans un refuge de montagne|url=https://www.francetvinfo.fr/economie/emploi/metiers/video-brut-a-suivi-elora-aide-gardienne-dans-un-refuge-de-montagne_6680838.html|site=Franceinfo|date=2024-07-22|consulté le=2025-05-11}}</ref> et ''aide-gardien, aide-hôtelière'' et ''aide-hôtelier, aide-maçon, aide-soignante'' et ''aide-soignant, aide-soigneuse''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Formation Soigneur Animalier à Distance - Skill&You|url=https://www.skillandyou.com/fr/formations/animaux/soigneur-animalier|site=www.skillandyou.com|consulté le=2025-05-11}}</ref> et ''aide-soigneur,'' ''attrape-minette, attrape-minon, boit-sans-soif, boit-tout, enseignante-chercheuse'' et ''enseignant-chercheur, casse-aiguille, casse-assiettes, casse-bélier, casse-bonbon, casse-bonbons, casse-bouteille, casse-burne, casse-burnes, casse-cailloux, casse-carreaux, casse-cœur, casse-couille, casse-couilles, casse-cou, casse-cou, casse-croutier''<ref group="N">La flexion triviale en ''casse-croutière'' n'a pas été trouvé en emploi après succincte recherche.</ref>'', casse-cul, casse-noisette, casse-noisettes, casse-noix, casse-olives, casse-pacane, casse-pied, casse-pieds, chasse-chien, chasse-coquin''<ref group="N">Si le terme ''chasse coquine'' est abondamment employé pour désigner des chasses aux trésors érotiques, le terme ''chasse-coquine'' comme flexion de ''chasse-coquin'' ne semble pas en usage.</ref>'', chasse-derrière, chasse-gueux''<ref group="N">La flexion triviale en ''chasse-gueuse'' n'a pas été trouvé en emploi après succincte recherche.</ref>'', chasse-mulet, chauffe-la-couche, chauffe-cire, chauffe-la-couche, cherche-midi, chie-maigre, cire-pompe, cloche-pied, cogne-mou, couche-tard, couche-tôt, coupe-tête, coupe-tif, crève-faim, crève-la-dalle, crève-la-faim, croque-lardon, croque-mitaine''<ref>{{Lien web|langue=fr-FR|nom1=club|prénom1=CécileCo-créatrice de la communautéBidouilleuse de codeCréatrice de bugs / featuresBoulette officielleMon ancien pseudo était WahaMon but dans la vie : conquérir le monde à dos de drosophileMes animés préférés : host|nom2=Lagoon|prénom2=Black|titre=[Mythologie] Croque-mitaine|url=https://www.geek-otaku-news.com/2024/10/20/mythologie-croque-mitaine/|site=Geek et Otaku News !|date=2024-10-20|consulté le=2025-06-03}}</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Aïsha Kandisha|titre ouvrage=Wikipédia|date=2025-05-16|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=A%C3%AFsha_Kandisha&oldid=225715206|consulté le=2025-06-03}}</ref>'', écoute-s’il-pleut, faire-valoir''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les Noces vénitiennes|url=https://www.dvdclassik.com/critique/les-noces-venitiennes-cavalcanti|site=DVDClassik.com|consulté le=2025-06-03}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=MAGNERON|prénom1=Philippe|titre=Genesis (Mori) 3. Tome 3|url=https://www.bdgest.com/chronique-11377-BD-Genesis-Mori-Tome-3.html|site=www.bdgest.com|consulté le=2025-06-03}}</ref>'', fend-la-bise'', ''fouette-cul'', ''fouille-merde, fouille-terre, frotte-muraille, gâche-métier, gagne-petit, garde-barrière, garde-bœuf, garde-cercle, garde-champêtre, garde-chasse, garde-chiourme, garde-côte, garde-étalon,garde-forestière'' et ''garde-forestier, garde-fourneau, garde-frein, garde-frontière, garde-ligne, garde-magasin, garde-malade, garde-malades, garde-marteau, garde-ménagerie, garde-mite, garde-mites, garde-moulin, garde-nationale'' et ''garde-national, garde-pêche, garde-plage, garde-port, garde-robière'' et ''garde-robier, garde-rôle, garde-sacs, garde-salle, garde-scel, garde-scellés, garde-vaisselle, garde-vente, garde-verges, garde-voie, gâte-ménage, gâte-métier, gâte-papier, gâte-sauce, gobe-dieu, gobe-goujons, gobe-mouche, gobe-mouches, lieutenante-colonelle'' et ''lieutenant-colonel'', ''m’as-tu-vue'' et ''m’as-tu-vu''<ref group="N">Connaît aussi un emploi épicène sous cette forme.</ref>, ''meurt-de-faim, meurt-de-soif, meurt-la-faim, va-t-en-guerre, vient-ensuite''. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Les termes étant construit sur une forme ⟨verbe d'action⟩-⟨complément d'objet⟩, le verbe ne portant généralement pas de marque du geste, ils seront de fait épicène et aucune forme isonèphe spécifique n'est pas nécessaire. À la limite le participe présent peut être fléchie vers un nom ambigu via le paradigme qui lie [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ante, -ant, -änte|''-ante'']] [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/-ante, -ant, -änte|''à -ant'']]. Il paraît donc nécessaire de distinguer ici les cas ou le second composant n'est pas un complément d'objet mais ce rapporte directement au sujet. Ce dernier cas comprend ''adjudante-cheffe<ref group="N">Tout au moins en diachronie, ''adjudante'' venant ici du latin ''adjutare'', fréquentatif de ''<code>adjuvare</code>''&nbsp;:''aider''.</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=adjudant|titre ouvrage=Wiktionnaire, le dictionnaire libre|date=2025-04-13|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/wiki/adjudant#fr|consulté le=2025-05-11}}</ref>, enseignante-chercheuse, lieutenante-colonelle''<ref group="N">Comme participe présent de ''tenir'', où ''tenir lieu'' à le sens de ''faisant fonction''.</ref><ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=lieutenant|titre ouvrage=Wiktionnaire, le dictionnaire libre|date=2025-05-10|lire en ligne=https://fr.wiktionary.org/wiki/lieutenant#fr|consulté le=2025-05-11}}</ref><ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Thomas|nom1=Linard|titre=Les féminins conjugaux en français, ou la langue fonctionnant sans entrave|périodique=GLAD!. Revue sur le langage, le genre, les sexualités|numéro=16|date=2024-07-01|issn=2551-0819|doi=10.4000/120h7|lire en ligne=https://journals.openedition.org/glad/8380|consulté le=2025-05-11}}</ref>. Dans tous ces cas, le sujet étant ellipsé, c'est donc le verbe indiquant l’action qui est retenu comme porteur des alternances qui restent à fournir pour les gestes ostentatoires. Parmi les formes de verbe, se distingue * -a ** va-* * -aire ** faire * -e comme morphe marque la troisième personne du singulier de l’indicatif présent des verbes du premier groupe ** agace-*&nbsp;; ** ''aide-*''<ref group="N">Pour lequel le nom peut être fléchie ce qui devrait cependant être dépendant de la personne qui est aidée et non du sujet du verbe qui est de la personne aidante.</ref>&nbsp;; **''attrape-*&nbsp;;'' **''casse-*&nbsp;;'' **''chasse-*'' **''chauffe-*'' **''cherche-*'' **''chie-*'' **''cire-*'' **cloche-* **cogne-* **couche-* **coupe-* **crève-* **croque-* **écoute-* **fouette-* **fouille-* **frotte-* **gâche-* **gagne-* **garde-*<ref group="N">Dans la mesure où il peut synchroniquement rapporté à ''garder'', et qu'il dérive de toute manière diachroniquement d'une forme verbale.</ref> **gâte-* **gobe-* * ''-ez'' comme morphe marquant la deuxième personne du pluriel, bien que dans le corpus considéré il n'en est fait usage que dans des termes qui ne désigne pas directement des personnes&nbsp;; * -eurt, notamment avec meurt-*&nbsp;; * -ient notamment avec ''vient-*''&nbsp;; * -ise nottamment avec ''frise-*'', du verbe frire&nbsp;; * -oit notamment avec ''boit-''&nbsp;; Dans le cas de ''fend-la-bise'', un ensemble de suffixe en -*re peut ici se rattacher d'abord à certaines flexion du verbe ''fendre'' et d'autres verbes de morphologie proche. Ainsi, outre le classique ''fendirent'' se trouve l'emploi de extra-académique de ''fendèrent''<ref>{{Ouvrage|titre=Fevrier + Bigash – En attendant ESVO|lire en ligne=https://genius.com/Fevrier-bigash-en-attendant-esvo-lyrics|consulté le=2024-06-13}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Les Diables Noirs surpris à Salta|url=https://www.sportkipik.be/les-diables-noirs-surpris-a-salta|site=Sportkipik|date=2008-07-20|consulté le=2024-06-13}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=La Lumière et les Ténèbres - Chapitre 17 - Wattpad|url=https://www.wattpad.com/968638167-la-lumi%C3%A8re-et-les-t%C3%A9n%C3%A8bres-chapitre-17|site=www.wattpad.com|consulté le=2024-06-13}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Rédaction combat chevaleresque {{!}} digiSchool devoirs|url=https://www.devoirs.fr/5eme/francais/redaction-combat-chevaleresque-338229.html|site=www.devoirs.fr|consulté le=2024-06-13}}</ref>, possiblement influencé par ''défendèrent''<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pierre Ducros|nom1=s. 19|titre=Esquisse sur la Lombardie consideration, moeurs du Lombard, son caractère distinctif, hommes celebres, statistique de la Lombardie. La scala et la societe milanaise. etc. etc. par Pierre Ducros de Granoble|éditeur=Paolo Fumagalli|date=1846|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=sOSNMTld17sC&pg=PA17&lpg=PA17&dq=+%22fend%C3%A8rent%22&source=bl&ots=EB6gzvEuj2&sig=ACfU3U07mFPjUmiYFyRHm3PJDOmKHiwEVA&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwicuq6_3deGAxX1TqQEHYPCB9sQ6AF6BAghEAM#v=onepage&q&f=false|consulté le=2024-06-13}}</ref> qui peut lui s'appuyer sur l'origine latine ''defendere''. À quoi s'ajoute des flexions comme ''fondèrent'' pour ''fonder'' et ''endurent pour'' ''endurer''. De plus le terme ''fendard'', s'il crée une homophonie cocasse pour ''fendāre'', n'en conforte pas moins sa légitimité morphologique. Enfin l'épicénie de termes aussi courant que ''barbare, congénère, manucure, omnivore'' et ''vampire'' suffit à démontrer que des suffixes homophones n'ont pas tendance à suggérer une assignation sexuelle prépondérante. Aussi le verbe composé anglais ''binge-watch'' et son dérivé ''binge-watcher'' sont emprunté pour donner en français le verbe ''binger'', et les nom ''binge-watcher'', ''binge-watcheur'' et ''binge-watcheuse''. ====== Métonymies et métaphores haplogestes ====== ''Un amuse-bouche'' et ''un amuse-gueule'', petit mets salé qui accompagne l’apéritif, et par suite toute personne dont la mise en défaite est considéré comme une simple formalité. ''Un laissez-passer'', permis de circulation pour les personnes et pour les choses, peut désigner une personne dont l'autorité ouvre une possibilité à quelque une de ses connivences. Un rendez-vous, rencontre convenue avec une personne, et par suite cette personne même. Un revenez-y, retour vers une personne aimée par le passée, et par suite cette personne même. Un suivez-moi-jeune-homme, ruban qui pend au derrière du chapeau ou de la robe d'une personne, et par suite personne qui le porte. Un écrase-merde, par référence à une chaussure grossière, de mauvaise qualité, peu élégante. ====== Biotiques haplogestes ====== * une agasse-tambourinette, oiseau&nbsp;; * un aimez-moi, plante&nbsp;; * un arrête-bœuf, plante&nbsp;; * un attrape-mouche, plante&nbsp;; * une bêche-de-mer<ref group="N">Tout au moins dans l'hypothèse étymologique qui le rapproche du verbe ''bicher''.</ref>, échinoderme&nbsp;; * un casse-lunette, plante&nbsp;; * un casse-noyaux, oiseau&nbsp;; * un casse-pierre ou un casse-pierres, plante&nbsp;; * un casse-pot, arbre&nbsp;; * un chasse-crapaud, oiseau&nbsp;; * un chasse-fièvre, plante&nbsp;; * une chasse-punaise, plante&nbsp;; * un chauche-branche, oiseau&nbsp;; * un chauche-poule, oiseau&nbsp;; * un choche-pierre, oiseau&nbsp;; * un choche-poule, oiseau&nbsp;; * un coule-sang, serpent&nbsp;; * un coure-vite, oiseau&nbsp;; * un crève-chassis, oiseau&nbsp;; * un crève-chien, plante&nbsp;; * un croque-abeilles, oiseau&nbsp;; * un dompte-venin, plante&nbsp;; * un enfle-bœuf, insecte&nbsp;; * une fouette-queue, reptile&nbsp;; * un fouille-merde, insecte&nbsp;; * un foule-crapaud, oiseau&nbsp;; * ''un frappe-abord, un frappe-à-bord, un frappe-à-mort, un frappe-babord'' ou ''un frappe-d’abord'', insecte&nbsp;; * un garde-bœuf ou un garde-bœufs, oiseau&nbsp;; * un garde-boutique, oiseau&nbsp;; * un gâte-bois, insecte&nbsp;; * un gobe-mouche ou un gobe-mouches, oiseau&nbsp;; * un gobe-mouche ou un gobe-mouches, insecte&nbsp;; * un gobe-moucherons, oiseau&nbsp;; * étrangle-chien, plante&nbsp;; *un étrangle-loup, plante&nbsp;; *un ne-m’oubliez-pas, plante&nbsp;; *un regardez-moi, plante&nbsp;; * un pisse-z-yeux, insecte&nbsp;; * un souvenez-vous-de-moi, plante&nbsp;; ====== Notes ====== <references group="N" /> ====== Références ====== pw8nhv64zyvvgiyuiipuymxkf1edxcm 1 85423 965654 963214 2025-06-15T14:33:03Z Crochet.david.bot 1005 sur les détections lettre J 965654 wikitext text/x-wiki == Lancement du chapitre == J'ouvre cette page pour entammer les discussions. La structure du chapitre prend tout doucement forme. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 12 mars 2025 à 10:00 (UTC) :Ok, super @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], j'allais justement le faire. N'oublie pas d'ajouter la page dans ta liste de suivi en cliquant sur l'étoile à cinq branches en haut à droite. :Ensuite vérifie dans tes préférences globales et au niveau de la rubrique « Informations personnelles » que l'option « M’avertir par courriel lorsqu’une page ou un fichier de ma liste de suivi est modifié » et « M’avertir par courriel également lors des modifications mineures des pages ou des fichiers » est bien cochée. :Pour la suite, je continue à jeter un œil sur ce qui se passe dans ce chapitre et j'interviens quand j'en sens le besoin. :Autre chose. :Le thème de l'avatar fut aussi choisi par @[[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]] que je notifie ici. Je me demande donc s'il ne serait pas intéressant que vous travaillez conjointement au sein d'un même chapitre consacré à l'avatar ? :C'est ce que vont faire @[[Utilisateur:Sam Cel-inedion|Sam Cel-inedion]] et @[[Utilisateur:Thomas Wauters|Thomas Wauters]] dans [[Anthropologie des jeux vidéo/Les personnages joueurs et non joueurs|un chapitre sur le thème du personnage]]. D'ailleurs, avatar et personnage sont deux thèmes contigus qui vont vous demander de garder un œil sur les deux chapitres pour chercher la complémentarité et éviter les répétitions. :Comme Léonie avait peur de manquer d'objectivité en abordant la thématique du genre, je me dis que vous pourriez faire un bon binôme. Avec Léonie pour ramener Geffroy à un discours plus terre à terre et compréhensible par le commun des mortels et Goeffroy pour aider Léonie à développer un discours qui n'est pas trop influencé par ses perceptions personnelles. :Je pense aussi que vos intérêts peuvent s'enrichir mutuellement puisque la question du genre est intrinsèque toute incarcération dans un avatar et qu'en même temps, il serait réducteur et orienté de parler de la question du genre sans aborder plus largement les questions d'identité, de réciprocités et d'interaction, joueur/avatar. :Car il faut bien garder à l'esprit qu'une personne de genre féminin peut incarner un avatar masculin, voir non genré ou même non humain et que cette liberté de changer de genre existe aussi chez les joueurs masculins. La question du genre et de l'identité en général doit donc être considérée au niveau des personnes qui jouent, mais aussi au niveau des avatars. :Dis-moi ici, tous les deux, si vous êtes partant pour la rédaction d'un chapitre en binôme ? À bientôt. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 12 mars 2025 à 14:29 (UTC) ::Hello @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] @[[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]]. Personnellement, je ne suis pas partant pour réaliser un travail commun. La raison est que j'ai déjà pas mal travaillé sur mon chapitre (beaucoup de lectures et d'annotations pour la structure) et qu'intégrer le travail de Léonie va demander toute une réorganisation et toute une logistique. En revanche, je suis tout à fait partant pour que Léonie ait un regard critique sur mon chapitre afin d'identifier d'éventuels biais genrés et apporter certaines nuances (je peux également garder un œil sur son travail pour amener quelques compléments si cela était nécessaire). Je pense aussi que la question du genre en lien avec l'avatar est un sujet et soi qui mérite probablement un chapitre à lui seul. Tel est donc mon avis sur la question, mais je reste ouvert aux vôtres 😉 [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 12 mars 2025 à 17:47 (UTC) :::Ok @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], on ne fera pas évidemment pas de binôme sans l'accord des deux parties peu importe les justifications dans un sens ou dans l'autre. Je te laisse donc poursuivre ton travail d'édition de ce chapitre seul en précisant que le processus de relecture et de critique constructive entre les participants au séminaire est prévu dans les prochaines tâches à réaliser avant notre prochaine et dernière rencontre en présentiel du 9 mai. Je retourne donc sur la page de discussion concernant l'organisation du séminaire pour voir la suite avec @[[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]]. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 12 mars 2025 à 18:43 (UTC) == Après lecture des deux premières sections en travaux == Salut @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], j'en ai profité pour corriger les fautes détectées par [https://languagetool.org/fr language tool] et puis j'ai aéré un peu les paragraphes, n'hésite pas à défaire les choses si ça ne te plait pas. Ça m'a l'air bien parti. Je t'envoie un super mémoire de master anthropo au sujet du jeu et réseau social VRChat. C'est très intéressant sur le sujet de l'Avatar. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 18 mars 2025 à 02:26 (UTC) :Salut @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. OK super, merci ! L'espacement des paragraphes que tu as fait se prête en effet bien mieux au format wiki, je vais donc continuer sur cette voie. Merci aussi pour l'envoi du document. Je comptais également lire le mémoire de Christophe aka @[[Utilisateur:Master UCL|Master UCL]]. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 18 mars 2025 à 07:01 (UTC) ::Je t'ai envoyé le TFE de Christophe. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 18 mars 2025 à 12:18 (UTC) == Avatar et personage == J'ouvre ce poste pour partager un questionnement avec les personnes concernées dans leurs travaux. Je pense à @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], mais aussi @[[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]], @[[Utilisateur:Sam Cel-inedion|Sam Cel-inedion]] et @[[Utilisateur:Sam Cel-inedion|Sam Cel-inedion]] La question est de savoir comment pourrions-nous distinguer clairement ces deux concepts que sont l'avatar et le personnage joueur. On est d'accord que ces deux notions sont très proches, mais je ne pense pas que l'on puisse parler de synonyme pour autant. Il faudrait donc mettre au clair les différences pour les exposer dans vos chapitres, en début de préférence, pour pouvoir rediriger le lecteur vers les autres chapitres afin qu'il puisse trouver plus d'infos. Mais donc, êtes-vous d'accord avec moi que l'on parle de personnage en faisant référence à une histoire, un roman, un bd et qu'il existe des personnages non-joueurs, mais pas d'avatar non-joueur ? Et donc avatar est un personnage, mais un personnage, pas forcément un avatar, même si c'est un personnage joueur. On trouve sur Wikipédia l'article [[w:Avatar_(informatique)|Avatar (informatique)]] connexe de [[w:Personnage_joueur|personnage joueur]]. Dans le premier on peut lire : ''Au sens d'une représentation numérique d'un usager en ligne, le terme « avatar » est attribué à [[w:Richard_Garriott|Richard Garriott]], qui en a fait usage pour la première fois dans le jeu d'ordinateur [[w:Ultima_IV|Ultima IV: Quest of the Avatar]] (1985). Garriott souhaitait que l'avatar représente un [[w:Alter_ego_(psychologie)|alter ego]] du joueur dans le [[w:Monde_virtuel|monde virtuel]] du jeu.'' Ce qui contredit quelque part ce qui est dit dans ce présent chapitre où l'origine du terme attribué au roman de [[w:fr:Neal_Stephenson|Neal Stephenson]] intitulé ''[[w:fr:Le_Samouraï_virtuel|Le Samouraï virtuel]]'' en 1992. Il y a donc déjà quelque chose à éclaircir à ce niveau. Voici déjà une chose qui explique pourquoi je vous invite à lire tout ce qui existe sur votre sujet et thématique dans l'encyclopédie avant ou pendant votre travail d'écriture. Cela permet plusieurs choses : (1) d'éviter certaines erreurs ou lacune grâce au travail collectif réalisé sur Wikipédia, surveillé, lu et relu, par des milliers d'utilisateurs susceptibles de détecter ce qui est faux ou manquant. (2) de savoir ce qui a déjà été dit là-bas, afin de ne pas répéter les choses inutilement dans Wikiversité, mais juste garder l'essentiel pour ensuite placer un lien qui pointe vers Wikipédia pour plus d'information, (3) repérer dans les articles Wikipédia certaines références que l'on peut consulter pour approfondir un sujet tout en récupérant le formatage bibliopraphique sur Wikipédia grâce à un copié collé du chiffre en exposant dans le texte qui renvoie vers la référence en bas de page. Par exemple : on trouve dans l'article Avatar de Wikipédia, cette phrase qui pourrait être recyclée dans l'article de cette page de discussion : « C'est l'''alter ego'' du cyberjoueur, un autre lui-même »<ref name=":2">{{Article|langue=fr|prénom1=Michel|nom1=Nachez|titre=Cyberimages, réalités alternatives. Un paradigme en formation|périodique=Revue des Sciences Sociales|volume=34|numéro=1|date=2005|doi=10.3406/revss.2005.2818|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/revss_1623-6572_2005_num_34_1_2818|consulté le=2024-10-17|format=pdf|pages=146–152|accès doi=libre|accès url=libre}}</ref>. Le concept d'alter ego me semble effectivement intéressant concernant l'avatar informatique. On y retrouve ensuite une longue citation de [https://laurent.di-filippo.fr/ Laurent Di Filippo] qui préfère, dans le cadre du jeu vidéo, se cantonner à l'expression personnage joueur pour éviter un abus de langage par recyclage de terme religieux. Une option que je ne partage pas personnellement. La métaphore est en effet permise car si le joueur ne peut être apparenté à un dieu qui incarne un personnage, il peut pour le moins être reconnu comme l'esprit qui l'habite. Un peu comme le démon qui prend possession d'un corps humain ou un esprit lors de certaines transes. Je me pose ensuite la question de savoir si on ne devrait pas utiliser l'expression de personnage joueur de manière générique pour désigner les personnages qui sont manipulés, dirigé, commander, par un joueur et réserver le terme avatar uniquement pour les personnages sont configurables, ou au moins, choisi parmi une offre suffisamment large pour que le joueur puisse décider lui-même de l'apparence du personnage qu'il va incarner. Qu'en pensez-vous ? En ce sens, Super Mario ne serait pas un Avatar, contrairement au personnage d'un joueur dans Sky où l'on peut clairement modifier son apparence. Reste ensuite à situer un personnage tel que Link dans Zelda, qui ne peut être physiquement modifié, mais dont l'équipement et les habits sont choisis pas le joueur. Car peut-on réellement parler d'alter égo au niveau de Mario ? Peut-être que certains enfants pourrait s'identifier pleinement au personnage, je ne sais pas. Peut-on ensuite parler d'alter ego chez Link ? Car c'est sûr que l'on ne pourra pas modifier son genre, ni sa taille ou ses caractéristiques physiques, mais par contre, il est clair que ce personnage joueur aura une tout autre personnalité en fonction du joueur, d'autres habits, mais surtout, d'autres comportements. Je dirais donc qu'il n'y a pas de frontière précise entre le concept d'avatar et de personnage joueur, mais que plus le personnage est configurable par le joueur, plus il sera permis voir nécessaire de parler d'Avatar, alors qu'un personnage joueur qui ne peut absolument pas être choisi ou modifier, s'éloigne au plus du concept d'avatar, même si son comportement, et donc quelque part sa personnalité, est déterminée par les choix du joueur. Dites-moi ce que vous pensez de tout cela et si vous avez dans vos lectures des choses qui pourrait nourrir ce débat. @ toute ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 18 mars 2025 à 12:18 (UTC) :Merci pour ces remarques judicieuses @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Je n'étais en effet pas super à l'aise avec la définition de l'avatar-marionnette qui donnait F. Georges. D'après ce que je lis, il est préférable de le subsumer sous le terme de personnage joueur. J'ai modifié le texte en conséquence. J'ai également tenu compte de toutes tes autres remarques. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 19 mars 2025 à 10:47 (UTC) ::Dans la communauté des éditeurs de Wikipédia, on parle de neutralité de point de vue, elle n'est pas applicable ici dans wikiversité, mais le concept est intéressant, car il consiste à rassembler tous les points de vue sur un sujet tout en leur donnant une place proportionnel à leur popularité. Je pense que sur Wikiversité comme dans ton chapitre, il faut être exhaustif sur ces différents points de vue, mais avec cette liberté de les situer selon la thématique abordée dans le chapitre et puis sans se privé de certaines analyses basées sur la logique ou parfois simplement le bon sens. Ce qui est interdit dans Wikipédia, où les travaux d'analyse sont interdits et où le respect de la neutralité de point de vue interdit aux auteurs de situé eux-mêmes la pertinence des points de vue, mais les oblige à toujours se référer à des sources externes aux projets. ::Ne tient compte de mes remarques que si tu les trouves pertinentes. Tu restes le coordinateur de ce chapitre jusqu'à la fin du séminaire. N'hésite pas non plus débattre sur mes propositions. Pas de hiérarchie statutaire entre nous, juste de l'intelligence collective dans laquelle les meilleures idées ou les raisonnements les plus justes peuvent apparaître chez chacun d'entre nous. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 mars 2025 à 14:40 (UTC) :::Je viens de parcourir en vitesse tes améliorations, c'est cool l'écriture collaborative. Chacun améliore les améliorations précédentes =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 19 mars 2025 à 23:37 (UTC) ::::Salut @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Merci pour ces infos éclairantes sur le fonctionnement Wiki. Vu que tu parles d'exhaustivité, je me suis justement posé une question hier. Je remarque que mon chapitre ne parle que des avatars dans WoW. En fait, je me suis rendu compte que c'était dans le cadre des MMORPG, et plus particulièrment dans WoW (sur lequel la littérature est abondante), que les thèmes qui m'intéressaient (identification, incorporation, etc.) déployaient tout leur potientiel. Je pense donc trouver un nom beaucoup plus circoncscrit pour mon chapitre, par exemple "la virtualisation du corps dans WoW". Qu'est-ce que tu en penses ? ::::Aussi, si je décrypte bien, Le codage ASCII en usage sur Wikiversité utilise un octet par caractère (les espaces étant compris comme des caractères). Puisque mon texte actuel se compose de 21 232 caractères (espaces compris), puis-je en déduire que mon texte contient le même nombre d'octets ? C'est juste pour avoir un repère quant à la longueur du chapitre (les consignes mentionnent une taille supérieure à 10 000 octets). ::::Et pour en revenir à l'écriture collaborative, je suis d'accord à 100%. Je t'avoue que c'est pas toujours évident pour moi de suivre un cours en ligne car la communication par écrans et textes interposés génère chez moi quelque chose d'assez impersonnel, sans compter le fait que je me sens parfois submergé d'infos avec les commentaires qui apparaissent à différents endroits et qui comportent pas mal d'informations qu'il faut parfois recouper avant de les traiter. Je n'ai pas l'habitude et surtout, je détester bosser pour rien, ce qui pourrait arriver par exemple si, à la suite de mon texte, on me disait qu'il fallait tout revoir. Heureusement, grâce à l'écriture collaborative, ce n'est pas le cas. Et ça me rassure. Ensemble, on voit comment on peut modifier/réaménager certains élements du texte. Tu l'auras compris, j'ai déjà pas mal bossé pour ce cours (car l'avantage, comme tu l'as dit explicitement lors du premier cours, c'est qu'on peut prendre de l'avance), et ce dans le but de me ménager du temps pour le reste (ma thèse de doctorat par exemple qui réapparait soudainement :-D ). Bref, heureux qu'on puisse travailler de manière justement collaborative et avec une hiérarchie horizontale. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 20 mars 2025 à 11:04 (UTC) :::::Très bonne idée de prendre WoW comme exemple dans ton travail. En anthropo, on fonctionne par induction et donc en partant d'une situation particulière, dans le cadre d'une ethnographie, même si ce n'est pas le cas ici, pour ensuite partir sur des généralisations et extrapolations. Et plus les ethnographies s'accumulent sur un sujet, mais toujours dans des contextes bien précis, plus les analyse ethnologiques deviennent pertinentes. :::::Concernant tes questions techniques de codage ASCII, il faudrait que je prenne du temps pour me renseigner. Cela dit, je ne pense pas que ce soit nécessaire, car la barre de 10 000 octed et dix références est très basse. Difficile d'écrire un chapitre qui tien la route sans la dépasser. D'ailleurs, je me demande si ce n'est pas déjà le cas pour toi. :::::Mais quelle bonne nouvelle que tu retrouves de la motivation pour terminer ta thèse ! Tu qui écrit ci-dessus « je déteste bosser pour rien », imagine un peu tout ce temps perdu si tu ne la termines pas. :::::Content aussi de voir que l'écriture collaborative soit quelque chose de confortable pour toi. J'ai aussi beaucoup de plaisir à organiser ce séminaire, même si ça me prend énormément de temps. :::::@ bientôt @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 mars 2025 à 16:54 (UTC) ::::::@[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] Ça devient vachement bien ton Chapitre ! Et ça tient bien la route en matière de raisonnement. J'ai fait quelques retouches et je me suis permis de référencer une de mes idées dans ton texte qui est apparue dans cette page de discussion. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 28 mars 2025 à 20:56 (UTC) :::::::Salut @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Merci pour tes appréciations. J'ai tenté de changer le nom de mon chapitre mais je ne sais pas si j'ai accès à ce type de modification. En tout cas je n'arrive pas à modifier l'en-tête de ma page et la table des matières du cours signale désormais une page non créée (oups). Et je remarque aussi que ce n'est pas le bon titre (titre qui changera peut-être encore par la suite en fait). Bref, est-ce qu'il faut nécessairement passer par toi pour ce faire ? Si oui, alors on fera ça dans un mois après le peer reviewing 😉 [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 31 mars 2025 à 16:59 (UTC) ::::::::@[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]]. Voilà qui est fait. Tu peux renommer une page toi même comme tu l'as fait au niveau du titre qui apparait dans l'encadré, mais en faisant cela, tu ne changes pas le titre de la page et donc de son URL. Raison pour laquelle ton changement au niveau de la liste des chapitres de la page de présentation de la leçon d'anthropologie des jeux vidéo est resté affiché en rouge. Pour changer l'adresse d'une page, tu dois aller dans le menu « page » et choisir renommer la page. Mais ce n'est pas plus mal que je le fasse moi-même, car tu peux renommer une page, mais pas supprimer l'ancienne. Moi oui, parce que j'ai les outils d'administrateur. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 31 mars 2025 à 20:32 (UTC) <references /> == Waw pour WoW =) == Salut @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], je viens de relire ton chapitre et c'est vachement bien. Mieux que ce que je pourrais espérer pour un seul participant dans le cadre de ce séminaire. J'en ai profité pour faire quelques retouches. N'hésite pas à revenir sur ce que j'ai fait. Et voici pour moi l'occasion de donner un exemple d'un retour que l'on peut faire suite à la lecture du chapitre d'un autre participant du séminaire. Tout d'abord, je me dis qu'il serait bien de réfléchir au titre. Beaucoup de littératures d'anthropologie concerne Wow et tu en mobilises pas mal, mais c'est pas pour autant que cela doit apparaitre dans le titre. En anthropologie qui est une science ou l'on pratique l'induction, il est courant d'aborder un sujet et un thème qui dépasse largement les sources mobilisées. Ensuite, il m'est venu une pensée avant même que je relise ton texte qui serait intéressant de formuler dans ton texte. Je l'exprime ici sous forme de question : Et si l'on considérait notre corps biologique humain comme un avatar lui aussi ? Je trouve que cette question a une portée très anthropologique, car elle renvoie à de nombreuses croyances. Je pense bien sûr à la réincarnation, Sans compter que toutes les croyances religieuses repose sur un dualisme corps esprit et qu'il serait tout à fait logique de concevoir les corps humains comme les avatars d'esprits en attente d'un au-delà. Chez les Achuars, et probablement d'autres peuples sud américain, il y a une inversion entre le rêve et la réalité par rapport à la perception occidentale qui considère que le rêve n'est pas la réalité. Cette croyance est notamment décrite dans ''Les lances du crépuscule'' de Philipe Descolat. Un auteur qui s'est aussi fait connaitre par l'ouvrage Au-delà de Nature et Culture, écrit dans un style insupportable comme savent le faire certains intellectuels français formés dans le moule des écoles parisiennes. Dans ce dernier ouvrage, Descolat développe une sorte de typologie des ontologies observables dans les cultures humaines. Je me dis donc, que vu tes compétences en philosophie, tu pourrais peut-être, pour ta version définitive, développer un chapitre qui mettrait en lien certaines théories anthropologiques avec ce que tu nous livres déjà dans ton chapitre actuellement. C'est ce que je m'apprête à faire à l'instant dans mon propre chapitre. J'espère que tu avances bien au niveau de ta thèse. Une belle fin de journée ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 16 avril 2025 à 19:46 (UTC) :Salut Lionel, :Merci pour ces retours très positifs, je te réponds dans l'ordre. :Concernant le titre, en effet, c'est toujours à la fin qu'on lui donne sa forme définitive. J'y réfléchirai lorsque tous les participant.e.s auront commenté mon texte. À mon avis, je devrai peut-être y faire figurer les notions de virtualisation ou d'incorporation (quelque chose de plus technique en somme) et plancher sur quelque chose de plus généraliste qui dépasse le cadre de WoW (bien que la quasi totalité de mes recherches sont basées sur ce jeu vidéo). Ce sera plus sexy pour les futur.e.s lecteurices. :Concernant la possibilité que notre corps biologique puisse être considéré comme un avatar, il faudrait bien réfléchir à comment conceptualiser ce type d'idée (on se rapproche de la philosophie). Je verrai ce que je peux faire, mais il ne faudrait pas que ça m'emmène trop loin. En revanche, je pourrai présenter une brève analogie dans une optique pédagogique. À ce sujet, je me rends compte que je ne t'avais jamais parlé de cette distinction conceptuelle cruciale pour comprendre les débats (philosophiques) relatifs au problème corps-esprit : celle qui distingue le ''dualisme des substances'' (propre à certaines religions et à Descartes) du ''dualisme des propriétés'' (qui reste inscrit dans une conception physicaliste du monde). Le premier considère qu'il existe fondamentalement deux types de choses dans le monde : les choses physiques (comme les tables, les chaises, les ondes ou les corps) et les choses mentales (les pensées, la conscience, l'âme, etc.). Le problème avec ce dualisme "cartésien", c'est que l'interaction entre les choses physiques et mentales reste en quelque sorte mystérieuse (comment deux choses de nature différente peuvent-elles interagir si ce n'est en invoquant l'existence de Dieu ou de lois de l'univers incompatibles avec les principes fondamentaux de la physique ?). La majorité des philosophes actuels souscrivent par conséquent à l'idée d'un dualisme des propriétés selon lequel il n'existe qu'un seul type de chose dans le monde, les choses physiques, dont certaines possèdent des propriétés mentales. Par exemple, un cerveau est une chose physique (plus précisément un ensemble de propriétés physiques qui constituent un système physique complexe) qui possède néanmoins des propriétés mentales (comme les états conscients et intentionnels) ''irréductibles'' aux propriétés physiques qui les sous-tendent. D'un point de vue ''épistémique'', cela signifie que les lois physiques, à elles seules, ne permettent pas d'expliquer les phénomènes mentaux. Il faut donc recourir aux concepts de la psychologie pour offrir une description complète de la vie psychique. D'un point de vue ''ontologique'', cela signfie qu'il existe deux types de propriétés dans le monde, les propriétés physiques et les propriétés mentales, mais que les secondes ne sont pas totalement indépendantes des premières. C'est un peu hors sujet, mais je ne pouvais pas ne pas t'en parler après tout ce que j'ai pu te raconter à ce sujet =) :Enfin, en ce qui concerne les quatre ontologies de Descola, il se trouve que j'ai lu la quasi totalité de ''Par-delà nature et culture'' dans le cadre de mes recherches doctorales (le style d'écriture qui peut paraître abscon provient probablement du fait que Descola a d'abord été philosophe avant d'être anthropologue, comme Latour d'ailleurs ^^). Je connais donc relativement bien le sujet et vais réfléchir à la manière dont je pourrais éventuellement relier mon travail à la pensée descolienne. :En résumé, je vais attendre que toutes les remarques m'aient été adressées avant de choisir quelles modifications effectuer. Je ne pourrai pas tout faire car on ne sait jamais être exhaustif, puis je trouve que je me suis déjà bien donné ;-) :Merci et à bientôt. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 22 avril 2025 à 09:50 (UTC) ::Content de lire ce retour @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]]. Et super pour les explications. CZ nourit. Il faudrait que l'on en reparle dorées avoir écouté le de Balancier sur le Matériel et l'idéel. ::Pour le reste 100 % d'accord avec toi. Le titre en Werner lieu, attendre les autres remarques, ne pas tout chambouler dans un travail qui dépasse déjà largement ce que l'on peut attendre d'un cours de 5 ECTS. Belle journée ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 avril 2025 à 12:05 (UTC) :::Salut @[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]. Concernant le titre de mon chapitre, j'ai pensé au titre suivant : ''L'avatarisation : la virtualisation du corps biologique''. Qu'en penses-tu ? [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 7 mai 2025 à 10:06 (UTC) ::::@[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], perso, je n'aime pas l'usage du terme virtuel dans le cadre du numérique. Je ne suis pas le seul d'ailleurs. L'avatarisation, [https://duckduckgo.com/?t=lm&q=avatarisation&ia=web semble en revanche un terme déjà bien discuté], ce qui ne permet pas de sortir du lot. L'idée d'incorporation me parait ensuite bien présente dans ton texte qui est aussi très axé sur les jeux vidéo de type RPG. Du coup, moi, je partirai plutôt vers un truc du genre : ''L'incorporation numérique au sein des jeux vidéo.'' Si ça peut t'inspirer... [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 7 mai 2025 à 17:21 (UTC) :::::En fait l'incorporation numérique, selon moi, c'est l'exact synonyme de la virtualisation du corps biologique 😅 Mais c'est vrai que je n'ai pas encore pris l'habitude de distinguer "virtuel" et "numérique". En tout cas on avait la même idée en tête. Va pour ''L'incorporation numérique dans les jeux vidéos'', alors. Merci ! [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 7 mai 2025 à 19:17 (UTC) ::::::En fait @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], maintenant que je pense bien au sens des termes, je me dis aussi que ce n'est pas le corps biologique qui s'incorpore dans le numérique ou qui se « virtualise », mais bien la pensée. Le corps biologique lui, reste sur la chaise et bien souvent, lorsque l'on est en état de flow, est carrément oublié. En tout cas, ce fut mon ressenti personnelle durant mes sessions de jeu dont certaines pouvait aller jusqu'à 12 heures non-stop. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 7 mai 2025 à 21:23 (UTC) :::::::Oui, c'est pour ça qu'initialement je parlais de virtualisation du corps biologique : le corps biologique (actuel) sur la chaise devient le corps biologique (virtuel) de l'avatar. Le présupposé là derrière, c'est qu'il faut un corps (actuel ou virtuel) pour ressentir (le ressenti est toujours actuel selon moi). [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 8 mai 2025 à 07:58 (UTC) ::::::::Ah ! OK @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] Dans ce cas, c'est le mot biologique qui me pose problème. Car le corps de l'avatar dans un jeu vidée n'est pas biologique, ni physiologique. Il peut neamoins être considéré comme un corps à part entière et même sur ses aspect physique. On en reparle demain plus confortablement si tu veux. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 8 mai 2025 à 11:37 (UTC) :::::::::Oui, très bien, on en parlera peut-être avec le groupe après mon exposé. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 8 mai 2025 à 12:08 (UTC) ::::::::::Salut @[[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]], je viens de renomer la page du chapitre avec ce titre : ''L'avatar comme incorporation numérique dans les jeux vidéos.'' J'ai ajouté le terme avatar en début de titre. Dans nos discussions on en est arrivé à oublier que c'est finalement le sujet de ton chapitre ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 mai 2025 à 09:22 (UTC) :::::::::::Ça peut encore changer si tu le veux et pourra en discuter en groupe après ta présentation. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 mai 2025 à 09:32 (UTC) == Parfait + Appartenance == Un chapitre qui se lit tout seul! C'est sympa de retrouver certains des concepts que j'ai moi-même mis en avant pour également parler du personnage joueur, (d'autant plus que je n'ai pas utilisé les mêmes sources). On voit que le principe de l'avatar peut-être profondément développé (quand la personnalisation le permet) et susciter un large panel d'émotion, notamment l'attachement. Justement à ce sujet, quand tu parles du corps virtuel qui est suscité au point de presque devenir le corps "principal", je me demande si le sentiment d'appartenance à la guilde n'est pas un point intéressant à explorer davantage. Je ne suis pas joueur de MMO moi-même, mais j'en ai quelques-uns autour de moi qui ont cette "pression" sociale de répondre aux exigences du groupe de leur guilde, surtout quand il est question d'event. Donc je trouve que cette idée du jeu qui nous fixe des obligations d'ordre purement virtuelles et sociales assez intéressante. :) [[Utilisateur:Sam Cel-inedion|Sam Cel-inedion]] ([[Discussion utilisateur:Sam Cel-inedion|discuter]]) 23 avril 2025 à 16:08 (UTC) :Salut @[[Utilisateur:Sam Cel-inedion|Sam Cel-inedion]]. Merci pour ton retour. En effet, il y a des connivences entre nos deux chapitres et avec des sources différentes, c'est généralement ça qui regroupe les chercheurs et fait avancer la science :-p :La question de l'appartenance à la guilde est un thème super intéressant en effet. On pourrait même faire l'ethnographie d'une guilde particulière prise comme un groupe social. Peut-être que la lecture de ce chapitre introductif générera des vocations ;-) [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 7 mai 2025 à 09:27 (UTC) == Commentaire suite à la lecture == Le chapitre est facile à lire et informe très bien sur l'importance de l'avatar dans WoW ainsi que sur les tensions résidant dans la relation entre le joueur et son avatar ! Pas grand chose à relever, sauf une petite question sur le lien entre avatar et discrimination, où même plus généralement sur les dangers cachés de l'avatar dans les guildes. Je pense notamment à l'exemple de la relation amoureuse naissant entre joueurs se rencontrant via leurs avatars. N'y a-t-il pas des risques de [[w:fr:Catfishing|Catfishing]] ? [[Utilisateur:Maximmer|Maximmer]] ([[Discussion utilisateur:Maximmer|discuter]]) 23 avril 2025 à 20:06 (UTC) :Salut @[[Utilisateur:Maximmer|Maximmer]]. Merci pour ce retour. Je n'ai jamais entendu parler de cas de catfishing dans ''WoW'' mais je suis loin d'être à jour concernant l'évolution des pratiques sociales ''online''. C'est un sujet qui mériterait certainement d'être creusé pour montrer, s'il en fallait encore la preuve, à quel point les cyberimposteurs regorgent de créativité pour pratiquer leurs escroqueries en ligne. Cela fait directement écho au travail de @[[Utilisateur:LolilolLalolita|LolilolLalolita]] et au commentaire que j'ai laissé. [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 7 mai 2025 à 09:33 (UTC) == clair et concis ! == bravo pour ce chapitre vraiment clair et concis, l'explication est claire, complète et bien sourcée ! Merci de m'avoir appris l'origine religieuse du concept d'avatar (comment ça ça vient pas des bonhommes bleus ou du gamin avec une flèche sur le front ??? ahahah) Est-ce que je peux te citer dans ma page également ? Etant donné que je parle du phénomène d'avatarisation, il serait plus pertinent de renvoyer le lecteur vers ton travail déjà bien clair plutôt que de tenter de faire quelque chose qui sera quand même moins complet que toi ahaha encore bravo ! [[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]] ([[Discussion utilisateur:Rhododendrove|discuter]]) 29 avril 2025 à 00:04 (UTC) :Ce n'est pas de coutume de demander l'autorisation de citer quelqu'un dans l'univers wiki et c'est gentil de le faire @[[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]]. Sur les Wikis, c'est plutôt un réflexe de mettre un lien bleu vers une page qui en dit plus sur un sujet. Je le fais d'ailleurs à plusieurs reprises dans mon propre chapitre pour donner l'opportunité aux lecteurs de s'orienter vers d'autres chapitres du cours dont certains sont produits par les étudiants de l'année passée. On peut aussi le faire entre participant de cette année. Pas besoin de faire une citation de la référence complète en bas de page, juste un hyperlien suffit normalement. Mais tu peux innover =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 29 avril 2025 à 00:20 (UTC) ::oki ça va alors super ! c'est vrai que j'ai pas demandé à chaque créateur de chaque page de mes liens cliquable si je pouvais les citer ahah ! [[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]] ([[Discussion utilisateur:Rhododendrove|discuter]]) 29 avril 2025 à 10:50 (UTC) :Salut @[[Utilisateur:Rhododendrove|Rhododendrove]]. Merci beaucoup pour ton retour et ravi que ça t'ait plus :-) [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 7 mai 2025 à 09:37 (UTC) == Efficace == Ton travail est efficace et donne beaucoup à penser sur les avatars et leur signification. Comme tu l'explique le terme avatar désigne les incarnations de dieux. Cependant dans le monde virtuelle on sort complètement de cette aspect divin. Sauf si peut-être inconsciemment on se considère comme des dieux qui incarne un être dans un monde différent. Mais du coup ce coté serait plus similaire à l'avatar marionnette que tu as évoqué sans entrer plus en profondeur. Ta description de l'avatar masque est vraiment bien et donne vraiment envie de découvrir les autres formes d'avatarisation à travers les jeux vidéos. [[Utilisateur:Thomas Wauters|Thomas Wauters]] ([[Discussion utilisateur:Thomas Wauters|discuter]]) 8 mai 2025 à 15:24 (UTC) == Un sacré chapitre == Je suis impressionné par le travail que tu as fourni, j'ai beaucoup appris sur le concept de l'avatar que j'imaginais auparavant comme une "simple" partie d'un jeu, un personnage qu'on modifie pour le plaisir, par amusement. Je me demande si les développeurs de jeux-vidéos comme WOW aurait pu imaginer tout ce qui se joue derrière ce concept en développement les menus de personnalisation des personnages. [[Utilisateur:Goelou|Goelou]] ([[Discussion utilisateur:Goelou|discuter]]) 9 mai 2025 à 11:10 (UTC) == Sujet intéressant == Ton chapitre est chouette à lire. Il est clair et agréable. Je trouve que c'est un sujet super intéressant de parler des avatars des jeux vidéos. J'aime beaucoup le fait que tu retraces l'évolution historique de l'avatar. Je ne me rendais pas compte de l'importance que pouvait avoir l'avatar dans certains jeux pour certains joueurs. Alors que pourtant, c'est vrai que l'avatar est dans certains jeux d'une certaine façon une partie du joueur. Lorsque je joue à certains jeux, je prends beaucoup de plaisir à créer un avatar un peu badass et stylé mais je n'avais jamais vu cela comme étant une sorte de double. Merci pour ton chapitre ;)) [[Utilisateur:LolilolLalolita|LolilolLalolita]] ([[Discussion utilisateur:LolilolLalolita|discuter]]) 9 mai 2025 à 11:19 (UTC) == super chapitre == voir note de bas de page ^^ [[Utilisateur:Sumathi De Medts|Sumathi De Medts]] ([[Discussion utilisateur:Sumathi De Medts|discuter]]) 9 mai 2025 à 14:59 (UTC) :(y) [[Utilisateur:Geoffroy De Brabanter|Geoffroy De Brabanter]] ([[Discussion utilisateur:Geoffroy De Brabanter|discuter]]) 9 mai 2025 à 15:00 (UTC) c2frx0ff7d3dnzfk0mwg0892kxmmfnx 4 85547 965676 965317 2025-06-15T17:02:53Z Fourmidable 50100 965676 wikitext text/x-wiki == Test de la page == {{Cadre|{{Requête en cours}} '''En traitement''' Bonjour. Juste un petit message pour voir si cette page fonctionne ou si elle beuge comme la salle café. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 1 avril 2025 à 13:27 (UTC) :Il semble qu'elle fonctionne correctement. Belle fin de journée à tous ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 1 avril 2025 à 13:28 (UTC) ::Coucou {{Mention|Lionel Scheepmans}} ! La salle café bugue ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 5 avril 2025 à 09:01 (UTC) :::Oui @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], elle bug, mais apparemment pas pour tout le monde, puisque @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ne semble pas avoir de problème. C'est très bizarre et ça ne parait pas venir des préférences. Ça continue sans gadget. Et quand je suis déconnecté, l'éditeur en Wikicode fonctionne correctement, mais aucune option au niveau de l'éditeur visuel. Pas de lien « répondre » en fin de message non plus. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 avril 2025 à 21:25 (UTC) ::::Là, je suis déconnecté et je peux utiliser le lien répondre ainsi que l'éditeur visuel. Or, sur la salle café, impossible... Peu importe que je sois sur Firefox ou Chromium. Je suis sur Linux Mint dernière version. [[Spécial:Contributions/94.109.191.102|94.109.191.102]] 6 avril 2025 à 21:30 (UTC) :::::Je pense que @[[Utilisateur:Solstag|Solstag]] a le même problème que moi et peut-être @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] aussi. Mais pas sûr. Est-ce que la page café vous apparaît aussi avec un fond verdâtre et très moche ? Ne pourrions-nous pas la configurer à l'image d'autres projets pour qu'elle soit plus esthétique et fonctionnelle ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 avril 2025 à 21:44 (UTC) ::::::Je crois que j'ai su un jour pourquoi il y avait ce fond vert, mais si c'était le cas, alors j'ai oublié... Peut-être la conséquence du paramétrage de cette page en page de discussion ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 7 avril 2025 à 11:07 (UTC) :::::::Bonjour. [[special:diff/40463|diff]], [[spécial:diff/54574|diff]], [[spécial:diff/54706|diff]], [[spécial:diff/239080|diff]] et [[spécial:diff/239081|diff]] qui ont mis en place cela. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 7 avril 2025 à 15:58 (UTC) ::::::::Merci @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Tout cela date d'avant 2011. C'est tellement triste d'être si peu nombreux en dehors de Wikipédia. Les choses stagnent... Et pourtant, ce n'est pas sur Wikipédia que l'on peut rédiger des choses aussi intéressantes qu'un cours, un travail de recherche, un livre, ect. ::::::::Tout ce que j'ai fait sur Wikiversité et Wikilivres, je n'aurais jamais pu le faire ailleurs. Et puis Wikipédia, c'est tellement limité comme moyen de partage de l'information. On est complètement bridés par les médias main stream. ::::::::En fait, il faudrait organiser des sessions de travail pour mettre les petits projets à jour. On devrait peut-être se fédérer en fait ? Parce que là chaque petit projet galère dans son coin. Sauf Wiktionnaire et Wikisource peut-être, où se sont rassemblé un peu plus de gens. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 7 avril 2025 à 20:47 (UTC) :::::::::Je suis également favorable au retrait du fond vert ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 8 avril 2025 à 09:14 (UTC) ::::::::::Moi aussi. Mais qui va se lancer dans un tel chantier ? Tout seul, je n'en ai ni les capacités ni la motivation... [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 avril 2025 à 22:59 (UTC) }} == Page à double == {{Cadre|{{Requête traitée}} '''Traitée''' Bonjour, grâce à un débat d'admissibilité sur Wikipédia, j'ai découvert l'article [[Romanche grison/Grammaire]] avait été copié sur la page [[Franc-comtois/Grammaire]] alors que ce ne sont absolument pas les mêmes langues. Je présume que c'est ici qu'on peut demander pour supprimer la page [[Franc-comtois/Grammaire]] (qui du coup ne correspond pas à son intitulé et est vide sans le contenu hors sujet). Merci d'avance [[Utilisateur:ValietSun|ValietSun]] ([[Discussion utilisateur:ValietSun|discuter]]) 7 juin 2025 à 11:11 (UTC) :Bonjour @[[Utilisateur:ValietSun|ValietSun]], voilà qui est fait. Merci pour ta participation au projet et belle fin de Journée à toi ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 7 juin 2025 à 12:45 (UTC) }} he5ra9wg3u8wdj4qahfo0mslrevz486 965677 965676 2025-06-15T17:03:22Z Fourmidable 50100 965677 wikitext text/x-wiki == Test de la page == {{Cadre|{{Requête en cours}} '''En traitement''' Bonjour. Juste un petit message pour voir si cette page fonctionne ou si elle beuge comme la salle café. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 1 avril 2025 à 13:27 (UTC) :Il semble qu'elle fonctionne correctement. Belle fin de journée à tous ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 1 avril 2025 à 13:28 (UTC) ::Coucou {{Mention|Lionel Scheepmans}} ! La salle café bugue ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 5 avril 2025 à 09:01 (UTC) :::Oui @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], elle bug, mais apparemment pas pour tout le monde, puisque @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ne semble pas avoir de problème. C'est très bizarre et ça ne parait pas venir des préférences. Ça continue sans gadget. Et quand je suis déconnecté, l'éditeur en Wikicode fonctionne correctement, mais aucune option au niveau de l'éditeur visuel. Pas de lien « répondre » en fin de message non plus. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 avril 2025 à 21:25 (UTC) ::::Là, je suis déconnecté et je peux utiliser le lien répondre ainsi que l'éditeur visuel. Or, sur la salle café, impossible... Peu importe que je sois sur Firefox ou Chromium. Je suis sur Linux Mint dernière version. [[Spécial:Contributions/94.109.191.102|94.109.191.102]] 6 avril 2025 à 21:30 (UTC) :::::Je pense que @[[Utilisateur:Solstag|Solstag]] a le même problème que moi et peut-être @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] aussi. Mais pas sûr. Est-ce que la page café vous apparaît aussi avec un fond verdâtre et très moche ? Ne pourrions-nous pas la configurer à l'image d'autres projets pour qu'elle soit plus esthétique et fonctionnelle ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 avril 2025 à 21:44 (UTC) ::::::Je crois que j'ai su un jour pourquoi il y avait ce fond vert, mais si c'était le cas, alors j'ai oublié... Peut-être la conséquence du paramétrage de cette page en page de discussion ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 7 avril 2025 à 11:07 (UTC) :::::::Bonjour. [[special:diff/40463|diff]], [[spécial:diff/54574|diff]], [[spécial:diff/54706|diff]], [[spécial:diff/239080|diff]] et [[spécial:diff/239081|diff]] qui ont mis en place cela. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 7 avril 2025 à 15:58 (UTC) ::::::::Merci @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]]. Tout cela date d'avant 2011. C'est tellement triste d'être si peu nombreux en dehors de Wikipédia. Les choses stagnent... Et pourtant, ce n'est pas sur Wikipédia que l'on peut rédiger des choses aussi intéressantes qu'un cours, un travail de recherche, un livre, ect. ::::::::Tout ce que j'ai fait sur Wikiversité et Wikilivres, je n'aurais jamais pu le faire ailleurs. Et puis Wikipédia, c'est tellement limité comme moyen de partage de l'information. On est complètement bridés par les médias main stream. ::::::::En fait, il faudrait organiser des sessions de travail pour mettre les petits projets à jour. On devrait peut-être se fédérer en fait ? Parce que là chaque petit projet galère dans son coin. Sauf Wiktionnaire et Wikisource peut-être, où se sont rassemblé un peu plus de gens. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 7 avril 2025 à 20:47 (UTC) :::::::::Je suis également favorable au retrait du fond vert ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 8 avril 2025 à 09:14 (UTC) ::::::::::Moi aussi. Mais qui va se lancer dans un tel chantier ? Tout seul, je n'en ai ni les capacités ni la motivation... [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 9 avril 2025 à 22:59 (UTC) }} == Page à double == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, grâce à un débat d'admissibilité sur Wikipédia, j'ai découvert l'article [[Romanche grison/Grammaire]] avait été copié sur la page [[Franc-comtois/Grammaire]] alors que ce ne sont absolument pas les mêmes langues. Je présume que c'est ici qu'on peut demander pour supprimer la page [[Franc-comtois/Grammaire]] (qui du coup ne correspond pas à son intitulé et est vide sans le contenu hors sujet). Merci d'avance [[Utilisateur:ValietSun|ValietSun]] ([[Discussion utilisateur:ValietSun|discuter]]) 7 juin 2025 à 11:11 (UTC) :Bonjour @[[Utilisateur:ValietSun|ValietSun]], voilà qui est fait. Merci pour ta participation au projet et belle fin de Journée à toi ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 7 juin 2025 à 12:45 (UTC) }} d1xqq59jatgige54aaijjaxz4x4ekfc 4 85612 965672 965606 2025-06-15T16:58:23Z Fourmidable 50100 965672 wikitext text/x-wiki == Erreurs Lua == Bonjour, est-ce que quelqu'un comprend l'erreur Lua dans les chapitres [[Psychologie des violences conjugales/Comprendre]] et [[Psychologie des violences conjugales/Prévenir]] ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 mai 2025 à 09:51 (UTC) :{{fait}}[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 15 mai 2025 à 16:19 (UTC) ::Merci d'avoir réglé ce problème ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 18 mai 2025 à 19:49 (UTC) :::Autre erreur sur [[Vocabulaire de base de la géométrie/Droites sécantes, droites perpendiculaires et droites parallèles]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 mai 2025 à 15:51 (UTC) ::::{{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 mai 2025 à 17:04 (UTC) :::::Merci encore ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 mai 2025 à 10:33 (UTC) == friend C++ == bonjour es-que il serait possible que vous ajoutier le mot clef friend au cour mercie [[Spécial:Contributions/2A01:E0A:4C5:A6C0:D9DF:75DF:86C5:37|2A01:E0A:4C5:A6C0:D9DF:75DF:86C5:37]] 24 mai 2025 à 11:18 (UTC) :Bonjour, il y est déjà : [[Langage C++/Mots clés#F]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 27 mai 2025 à 08:36 (UTC) == Encore des erreurs Lua == Bonjour, quelqu'un sait ce qui est à l'origine de l'erreur "Le temps alloué pour l’exécution des scripts a expiré." dans la leçon [[Sexisme en santé: Manifestations, Causes et Conséquences]] ? Nota : cette erreur a causé [[Le temps alloué pour l’exécution des scripts a expiré.|ce mauvais nommage]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 5 juin 2025 à 16:55 (UTC) :Trop d'erreur présent dans la page, le script n'as pas eu le temps de tout faire. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 juin 2025 à 05:57 (UTC) 6mspdl5zskfmw8mri0raj7fv7oa81o4 965681 965672 2025-06-15T17:09:23Z Fourmidable 50100 965681 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{Wikiversité:Requêtes aux contributeurs/En-tête}}</noinclude> == Erreurs Lua == Bonjour, est-ce que quelqu'un comprend l'erreur Lua dans les chapitres [[Psychologie des violences conjugales/Comprendre]] et [[Psychologie des violences conjugales/Prévenir]] ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 mai 2025 à 09:51 (UTC) :{{fait}}[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 15 mai 2025 à 16:19 (UTC) ::Merci d'avoir réglé ce problème ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 18 mai 2025 à 19:49 (UTC) :::Autre erreur sur [[Vocabulaire de base de la géométrie/Droites sécantes, droites perpendiculaires et droites parallèles]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 mai 2025 à 15:51 (UTC) ::::{{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 mai 2025 à 17:04 (UTC) :::::Merci encore ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 mai 2025 à 10:33 (UTC) == friend C++ == bonjour es-que il serait possible que vous ajoutier le mot clef friend au cour mercie [[Spécial:Contributions/2A01:E0A:4C5:A6C0:D9DF:75DF:86C5:37|2A01:E0A:4C5:A6C0:D9DF:75DF:86C5:37]] 24 mai 2025 à 11:18 (UTC) :Bonjour, il y est déjà : [[Langage C++/Mots clés#F]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 27 mai 2025 à 08:36 (UTC) == Encore des erreurs Lua == Bonjour, quelqu'un sait ce qui est à l'origine de l'erreur "Le temps alloué pour l’exécution des scripts a expiré." dans la leçon [[Sexisme en santé: Manifestations, Causes et Conséquences]] ? Nota : cette erreur a causé [[Le temps alloué pour l’exécution des scripts a expiré.|ce mauvais nommage]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 5 juin 2025 à 16:55 (UTC) :Trop d'erreur présent dans la page, le script n'as pas eu le temps de tout faire. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 juin 2025 à 05:57 (UTC) ocaj4vvrpoo3c6p2o6vugdq8chf9boj 965682 965681 2025-06-15T17:10:18Z Fourmidable 50100 965682 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{Wikiversité:Requêtes aux contributeurs/En-tête}}</noinclude> == Erreurs Lua == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' Bonjour, est-ce que quelqu'un comprend l'erreur Lua dans les chapitres [[Psychologie des violences conjugales/Comprendre]] et [[Psychologie des violences conjugales/Prévenir]] ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 mai 2025 à 09:51 (UTC) :{{fait}}[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 15 mai 2025 à 16:19 (UTC) ::Merci d'avoir réglé ce problème ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 18 mai 2025 à 19:49 (UTC) :::Autre erreur sur [[Vocabulaire de base de la géométrie/Droites sécantes, droites perpendiculaires et droites parallèles]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 20 mai 2025 à 15:51 (UTC) ::::{{fait}} [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 mai 2025 à 17:04 (UTC) :::::Merci encore ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 22 mai 2025 à 10:33 (UTC) }} == friend C++ == {{Cadre|{{Requête fait}} '''Traitée''' bonjour es-que il serait possible que vous ajoutier le mot clef friend au cour mercie [[Spécial:Contributions/2A01:E0A:4C5:A6C0:D9DF:75DF:86C5:37|2A01:E0A:4C5:A6C0:D9DF:75DF:86C5:37]] 24 mai 2025 à 11:18 (UTC) :Bonjour, il y est déjà : [[Langage C++/Mots clés#F]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 27 mai 2025 à 08:36 (UTC) }} == Encore des erreurs Lua == {{Cadre|{{Requête en cours}} '''En traitement''' Bonjour, quelqu'un sait ce qui est à l'origine de l'erreur "Le temps alloué pour l’exécution des scripts a expiré." dans la leçon [[Sexisme en santé: Manifestations, Causes et Conséquences]] ? Nota : cette erreur a causé [[Le temps alloué pour l’exécution des scripts a expiré.|ce mauvais nommage]]. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 5 juin 2025 à 16:55 (UTC) :Trop d'erreur présent dans la page, le script n'as pas eu le temps de tout faire. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 juin 2025 à 05:57 (UTC) }} heow6crhqt1f81nn39kxqufingkshus 3 85872 965714 964457 2025-06-16T10:08:36Z Fourmidable 50100 /* Relectures */ nouvelle section 965714 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue IP|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 27 mai 2025 à 08:27 (UTC)}} == Relectures == Merci pour vos corrections orthographiques ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 juin 2025 à 10:08 (UTC) 1oo6nsohk0k5ukmx4jeq4ijehf5ff2p 4 85898 965655 965616 2025-06-15T15:55:39Z JackPotte 2411 Révocation de 2 modifications réalisées par [[Special:Contributions/143.105.133.233|143.105.133.233]] ([[User talk:143.105.133.233|discussion]]) et restauration de la dernière version réalisée par [[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 965581 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2025|06}}{{Clr}}</noinclude> == Actualités techniques n° 2025-23 == <section begin="technews-2025-W23"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2025/23|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L'[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] est maintenant disponible sur tous les wikis Wikimedia. Les éditeurs peuvent utiliser cette nouvelle extension pour créer des visualisations de données interactives comme des diagrammes à barres, à lignes, avec des zones, et circulaires. Chart a été créée pour remplacer la plupart des utilisations de l'ancienne [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Graph|extension Graph]]. '''Actualités pour la contribution''' * Il est maintenant plus simple de configurer les citations automatiques pour votre wiki dans le [[mw:Special:MyLanguage/Citoid/Enabling Citoid on your wiki|générateur de citations]] de l'éditeur visuel. Les administrateurs peuvent maintenant définir un modèle par défaut en utilisant la clé <code dir=ltr>_default</code> dans la page locale <bdi lang="en" dir="ltr">[[MediaWiki:Citoid-template-type-map.json]]</bdi> ([[mw:Special:Diff/6969653/7646386|exemple de modification]]). Définir ce réglage par défaut permettra aussi de pérenniser vos configurations existantes lorsque de [[phab:T347823|nouveaux types d'objets]] seront ajoutés à l'avenir. Vous pouvez toujours définir des modèles pour des types d'objets individuels et ils seront prioritaires par rapport au modèle par défaut. [https://phabricator.wikimedia.org/T384709] * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:20|la tâche soumise|les {{formatnum:20}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:20||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir de la semaine du 2 juin, les robots qui utilisent <code dir=ltr>action=login</code> ou <code dir=ltr>action=clientlogin</code> pour s'authentifier auront un taux d'échec plus fréquent. Cela est dû à des protections plus fortes contre les connexions suspectes. Les robots qui utilisent des [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Bot passwords|mots de passe de robots]] ou une authentification sans connexion telle que [[mw:Special:MyLanguage/OAuth/Owner-only consumers|OAuth]] ne seront pas affectés. Si votre bot n'utilise aucun des deux, vous devriez le mettre à jour ; utiliser <code dir=ltr>action=login</code> sans un mot de passe de robot a été rendu désuet [[listarchive:list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/message/3EEMN7VQX5G7WMQI5K2GP5JC2336DPTD/|en 2016]]. Pour la plupart des robots, cela nécessite seulement de changer quel mot de passe ce dernier utilise. [https://phabricator.wikimedia.org/T395205] * À partir de cette semaine, les wikis Wikimedia permettront des fonctionnalités ES2017 dans le code JavaScript pour le code officiel, les gadgets et les scripts utilisateurs. La fonctionnalité la plus visible d'ES2017 est la syntaxe <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code>async</code>/<code>await</code></bdi>, ce qui permet un code plus facile à lire. Jusqu'à cette semaine, la plateforme ne permettait que jusqu'à ES2016, et quelques mois plus tôt, jusqu'à ES2015. [https://phabricator.wikimedia.org/T381537] * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.45/wmf.4|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Les demandes de bourse d'études pour participer à la [[m:Special:MyLanguage/GLAM Wiki 2025|conférence GLAM 2025]] sont maintenant ouvertes. La conférence aura lieu du 30 octobre au 1er novembre, à Lisbonne, au Portugal. Les contributeurs GLAM qui n'ont pas les moyens de financer leur participation peuvent [[m:Special:MyLanguage/GLAM Wiki 2025/Scholarships|faire une demande ici]]. La date limite de candidature est le 7 juin. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2025/23|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2025-W23"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 2 juin 2025 à 23:55 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=28819186 --> == Message "Cherchez une ébauche à étoffer grâce à la barre ci-dessus !" == Depuis [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=MediaWiki%3ASitenotice&diff=944355&oldid=943496 le 19 septemble 2024] une annonce est mise en place de manière permanente (bien qu’il soit possible de la cacher par opt-in) indiquant "Cherchez une ébauche à étoffer grâce à la barre ci-dessus !". Enfin le message tout du moins à été réduit à cela depuis lors. La version initiale donnait plus de détails, bien qu’elle manquait aussi de contexte sur la prise de décision ayant mené à sa mise en place. Je n'ai pas trouvé de discussions afférente contenant le message dans l'espace de discussion de la Wikiviversité. Un lien serait le bienvenu. 🙏 Avons-nous des données sur les effets de la mise en place de ce message ? Y-a-t-il eu une recrudescence d’ébauche étoffée ? J’en serais agréablement surpris, mais si ça n’est pas le cas il paraît plus pertinent de le retirer, quitte à méditer d’autres approches pour aboutir à l'objectif escompté. --[[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ([[Discussion utilisateur:Psychoslave|discuter]]) 3 juin 2025 à 00:36 (UTC) :Bonjour Psychoslave, c'est moi qui ai introduit cette [[MediaWiki:Sitenotice|Sitenotice]], sans avoir lancé de discussion particulière. Bien malheureusement cette campagne n'a, semble-t-il, eu absolument aucun effet (contrairement à la campagne de "recrutement" de référents en 2023) ; je retire donc le message. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 3 juin 2025 à 08:09 (UTC) == Actualités techniques n° 2025-24 == <section begin="technews-2025-W24"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2025/24|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product|équipe produits Confiance et sûreté]] finalise les travaux nécessaires au déploiement des [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts|comptes temporaires]] sur les grandes Wikipédias plus tard ce mois-ci. L’équipe a collaboré avec les stewards et d’autres utilisateurs disposant de droits étendus afin d’anticiper et de traiter de nombreux cas d’usage qui pourraient se présenter sur les wikis de grande taille, afin que les membres des communautés puissent continuer à modérer et à patrouiller efficacement les comptes temporaires. Il s’agira de la deuxième des trois phases de déploiement ; la dernière aura lieu en septembre au plus tôt. Pour plus d’informations sur les développements récents du projet, [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts/Updates|voir cette mise à jour]]. Si vous avez des commentaires ou des questions, écrivez sur la [[mw:Talk:Trust and Safety Product/Temporary Accounts|page de discussion]] et [[m:Event:CEE Catch up Nr. 10 (June 2025)|rejoignez un « CEE Catch Up »]] ce mardi. '''Actualités pour la contribution''' * [[File:Octicons-gift.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist expiry|« expiration de la liste de suivi »]] permet aux contributeurs de suivre des pages pendant une durée limitée. Une fois ce délai écoulé, la page est automatiquement retirée de votre liste de suivi. À partir de cette semaine, vous pouvez définir une préférence pour la durée par défaut pendant laquelle vous souhaitez suivre les pages. Les [[Special:Preferences#mw-prefsection-watchlist-pageswatchlist|préférences]] permettent également de définir différentes durées par défaut selon que vous modifiez une page existante, que vous en créez une nouvelle ou que vous utilisez l’annulation rapide (''rollback''). [https://phabricator.wikimedia.org/T265716] [[File:Talk pages default look (April 2023).jpg|thumb|alt=Capture d'écran des améliorations visuelles apportées aux pages de discussion|Exemple d'une page de discussion avec les améliorations, en français.]] * L’apparence des pages de discussion va changer sur la quasi-totalité des Wikipédias ([[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2024/19|certaines]] ont déjà reçu ce nouveau design, [[phab:T379264|quelques-unes]] le recevront plus tard). Vous pouvez lire les détails concernant ces changements [[diffblog:2024/05/02/making-talk-pages-better-for-everyone/|sur ''Diff'']]. Il est possible de désactiver ces modifications [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing-discussion|dans les préférences utilisateur]] (« {{int:discussiontools-preference-visualenhancements}} »). [https://phabricator.wikimedia.org/T319146][https://phabricator.wikimedia.org/T392121] * Les utilisateurs disposant de certains droits étendus (y compris les administrateurs, bureaucrates, vérificateurs, masqueurs et stewards) peuvent désormais voir les adresses IP de tous les comptes temporaires [[phab:T358853|révélées automatiquement]] pendant des périodes limitées, lorsqu’ils doivent lutter contre du vandalisme rapide impliquant des changements fréquents de compte. Cette fonctionnalité a été demandée par les stewards. [https://phabricator.wikimedia.org/T386492] * Cette semaine, les équipes des outils de modération et d’apprentissage automatique poursuivent le déploiement [[mw:Special:MyLanguage/2025 RecentChanges Language Agnostic Revert Risk Filtering|d’un nouveau filtre dans les Modifications récentes]], en l’étendant à plusieurs autres Wikipédias. Ce filtre utilise le modèle « Revert Risk », développé par l’équipe de recherche, pour mettre en évidence les modifications susceptibles d’être annulées et aider les patrouilleurs à repérer les contributions potentiellement problématiques. La fonctionnalité sera déployée sur les Wikipédias suivantes : {{int:project-localized-name-afwiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-bewiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-bnwiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-cywiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-hawwiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-iswiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-kkwiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-simplewiki/fr}}{{int:comma-separator/fr}}{{int:project-localized-name-trwiki/fr}}. Le déploiement se poursuivra dans les semaines à venir pour inclure [[mw:Special:MyLanguage/2025 RecentChanges Language Agnostic Revert Risk Filtering|le reste des Wikipédias concernées par ce projet]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T391964] * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:27|la tâche soumise|les {{formatnum:27}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:27||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * Les éditeurs de filtres anti-abus actifs sur Meta-Wiki et les grandes Wikipédias sont priés de mettre à jour les filtres pour les rendre compatibles avec les comptes temporaires. Un lien vers les instructions ainsi que vers les listes privées des filtres à vérifier est [[phab:T369611|disponible sur Phabricator]]. * Les modules Lua ont désormais accès au nom de l’image miniature associée à une page, et sur [https://gerrit.wikimedia.org/g/operations/mediawiki-config/+/2e4ab14aa15bb95568f9c07dd777065901eb2126/wmf-config/InitialiseSettings.php#10849 certains wikis], aux informations d’évaluation des WikiProjets. Cela est possible grâce à deux nouvelles propriétés des objets [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual#added-by-extensions|mw.title]], nommées <code dir=ltr>pageImage</code> et <code dir=ltr>pageAssessments</code>. [https://phabricator.wikimedia.org/T131911][https://phabricator.wikimedia.org/T380122] * [[File:Octicons-sync.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.45/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2025/24|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2025-W24"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 10 juin 2025 à 01:16 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Quiddity (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=28846858 --> == Pourquoi pas un MOOC sur le fonctionnement de Wikiversité ? == Bonjour tout le monde, Je découvre que les contributeurs du Wiktionnaire francophone ont [[wikt:Projet:MOOC/2018/Contenu|commencé un projet de MOOC sur le fonctionnement de leur wiki]]. Je vois aussi un tout récent [[:pt:WikiConecta/A Wikiversidade|MOOC sur la Wikiversité lusophone]]. Je pense qu'on devrait s'en inspirer, d'autant plus que : # nous avons une pénurie de contributeurs (créateurs de contenu, référents) ; # la plupart des créateurs de leçons abandonnent et nous laissent une leçon inachevée dans 90 % des cas ; # on a beaucoup de pages d'aide rébarbatives que visiblement personne ne lit. Je serais d'avis de convertir les pages d'aide textuelles au format vidéo, idéalement avec une voix humaine et même un visage humain. Nous fêterons les 20 ans de Wikiversity le 15 août 2026, ce serait bien d'avoir terminé avant cette échéance importante. Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 7 mai 2025 à 08:09 (UTC) == Modification bloquée == J'ai modifié la page [[Apprentissage par renforcement]] en voulant la structurer comme la page [[Apprentissage supervisé]] et intégrer le contenu de la page actuelle dans la catégorie chapitre, qui fait lien vers une autre page où le contenu de la page avant modification. Ma modification rend la page de présentation du reinforcment learning plus concise et claire en laissant l'accès au contenu présent avant. Mais le système a juste détecté un changement majeure ne voyant plus de tout l'ancien contenu et a donc entièrement bloqué la modification. Merci de votre compréhension [[Utilisateur:Gideon Offnir|Gideon Offnir]] ([[Discussion utilisateur:Gideon Offnir|discuter]]) 10 juin 2025 à 15:13 (UTC) :Bonjour {{Mention|Gideon Offnir}} et merci pour votre inscription. Je me permets de vous rappeler que, pour transformer une page en leçon, il ne suffit pas de la reformater en copiant-collant les sections dans des sous-pages de chapitres. Toute leçon doit comporter au moins une activité interactive (quiz, exercice). Sinon, le contenu peut être transféré sur [[b:|Wikilivres]], ou, s'il est très bien sourcé, sur [[w:|Wikipédia]]. D'où le [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement|débat d'admissibilité en cours]] (un autre pourrait également être lancé pour [[Apprentissage supervisé]]). Cordialement, --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 11 juin 2025 à 10:17 (UTC) == Vote now in the 2025 U4C Election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{Int:Please-translate}} Eligible voters are asked to participate in the 2025 [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] election. More information–including an eligibility check, voting process information, candidate information, and a link to the vote–are available on Meta at the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2025|2025 Election information page]]. The vote closes on 17 June 2025 at [https://zonestamp.toolforge.org/1750161600 12:00 UTC]. Please vote if your account is eligible. Results will be available by 1 July 2025. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 13 juin 2025 à 23:01 (UTC) </div> <!-- Message envoyé par User:Keegan (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=28848819 --> 5afsildi38e8kp8pv3pam5gv8zxmi8l 3 85957 965657 2025-06-15T16:32:05Z Fourmidable 50100 Page créée avec « == Masters en Suisse == Bonjour, quel(s) master(s) voulez-vous ajouter ? --~~~~ » 965657 wikitext text/x-wiki == Masters en Suisse == Bonjour, quel(s) master(s) voulez-vous ajouter ? --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 16:32 (UTC) dtrxqsahz8j8rdzl20d3ltoxr51x70n 0 85958 965667 2025-06-15T16:46:17Z CorraleH 77711 Création de l’édition en français de la page de l’initiative pour une écoute sécurisée Make Listening Safe Workstream (Forum Mondial de l’Audition) 965667 wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}} <div style="top:0em; margin:0px auto; position:relative; overflow:hidden; height:11em; width:100%; background:#FFF;"> <div style="position:absolute; top:0px; bottom:0px; left:0px; right:-150px; z-index:0;"> [[File:MakeListeningSafeWHOsmall.png|120px]] </div> <div style="position:absolute; top:0px; bottom:0px; left:180px; right:-150px; z-index:0;"> [[File:World-Hearing-Forum-logo.jpg|120px]] </div> {{clear}} <div style="position:absolute; top:0; bottom:0; left:0; right:0; z-index:1; padding: 0 0 0 2em;"> <div style="display: inline-block;text-align: center;"> </div> <div style="position: absolute; bottom: 7em; right: 5px; width: 35%;"> <div style="position: absolute; bottom: -20px; right: 46px;> [[File:Instagram Glyph Gradient RGB logo.svg|30px|link=https://www.instagram.com/makelisteningsafe.whf/|target=_blank]] [[File:Wbseries linkdin.png|30px|link=https://www.linkedin.com/groups/13903493/|target=_blank]] </div> {{clear}} <div style="position: absolute; bottom: 0px; right: 1px;>[[File:CC-BY-SA.png|35px|link=File:Global Audiology ogo.png]]</div></div> <div style="text-shadow: 0ex 0ex 1ex #000;color: #eee;"></div> </div></div> <div style="position:relative; top:0em;> <div style="position:relative; top:0px;> </div> <div style="margin:5px"><span style="font-size:190%;font-family:system-ui; letter-spacing: -1px;">Groupe de travail Make Listening Safe</span></div><br> <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Introduction == Pour répondre aux risques de dommages auditifs causés par des pratiques d'écoute dangereuses, l'Organisation mondiale de la Santé (OMS) a lancé l'initiative "Make Listening Safe" en 2015. Cette initiative vise à créer un monde où les personnes de tous âges peuvent profiter de l'écoute récréative sans mettre leur audition en danger. Pour atteindre cet objectif global, le Forum mondial de l'audition a été créé afin de favoriser un partenariat solide et cohérent entre les membres de la communauté au sens large.<ref>{{Cite journal|last=Curhan|first=Sharon G.|date=2019-01|title=WHO World Hearing Forum: Guest Editorial: Ear and Hearing Care: A Global Public Health Priority|url=https://journals.lww.com/00003446-201901000-00001|journal=Ear & Hearing|language=en|volume=40|issue=1|pages=1–2|doi=10.1097/AUD.0000000000000687|issn=0196-0202}}</ref> Le Forum mondial de l'audition fonctionne à travers cinq principaux groupes de travail, chacun contribuant à la promotion de soins auditifs de qualité pour tous. Ces groupes sont : Make Listening Safe, Journée mondiale de l'audition, Relations extérieures, Engagement des membres, et Acteurs du changement. L'objectif principal du groupe de travail Make Listening Safe est d'"assurer que l'audition de personne ne soit mise en danger par une écoute dangereuse". Pour y parvenir, le groupe est structuré autour de quatre objectifs principaux, neuf sous-groupes et 15 coordinateurs, œuvrant ensemble pour promouvoir des habitudes d'écoute sûres dans le monde entier. <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Initiative Make Listening Safe == L' '''Organisation mondiale de la Santé''' (OMS) a lancé l'initiative '''Make Listening Safe''' (MLS) dans le cadre des célébrations de la Journée mondiale de l'audition le 3 mars 2015. L'objectif principal de cette initiative est de garantir que les personnes de tous âges puissent profiter de la musique et d'autres médias audio sans risquer leur audition. Les activités de partenariat MLS entre les membres du Forum mondial de l'audition sont coordonnées par le '''groupe de travail Make Listening Safe''', présidé par Katya Freire et Lidia Best. <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Objectifs == Les quatre objectifs principaux de l'initiative sont : # Sensibiliser aux risques liés à l'exposition à des niveaux sonores élevés dans des contextes récréatifs et à l'utilisation d'appareils audio personnels. # Élaborer et mettre en œuvre des politiques de santé publique soulignant l'importance d'une écoute sûre. # Renforcer les partenariats entre les gouvernements, la société civile et l'industrie pour promouvoir des pratiques d'écoute sécurisées. # Donner aux utilisateurs et aux professionnels de la santé les connaissances sur les risques liés à l'exposition au son et les stratégies pour prévenir la perte auditive. <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Matériel et Bulletin == [[File:1st Make Listening Safe Workstream Newsletter.pdf|thumb|1er Bulletin du Groupe de travail Make Listening Safe|left|100px]] Les documents relatifs à cette initiative et à ses objectifs, y compris une présentation, sont accessibles via Wikimedia Commons. Ces ressources sont disponibles sur la page suivante [[commons:Category:Make_Listening_Safe_Workstream|Groupe de travail Make Listening Safe]]. Le Bulletin du Groupe de travail Make Listening Safe est désormais disponible sur [[commons:1st Make Listening Safe Workstream Newsletter.pdf | Wikimedia Commons]]. Vous souhaitez figurer dans les prochains bulletins ? Envoyez vos actions à mlsworkstream@gmail.com. <br><div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; margin-top:130px;"></div> == Liens externes == * [[wikipedia:Safe_listening|Écoute sécurisée]] * [https://www.who.int/activities/promoting-world-hearing-forum Forum mondial de l'audition] * [https://worldhearingforum.org/ Acteurs du changement, Forum mondial de l'audition] * [https://meta.wikimedia.org/wiki/WikiProject_Hearing_Health WikiProjet Santé Auditive] == Références == <references /> </div> 27wz40n7wf194qqaa7ytldkgquun2y7 965668 965667 2025-06-15T16:50:28Z CorraleH 77711 CorraleH a déplacé la page [[Utilisateur:CorraleH/Make Listening Safe Workstream]] vers [[Make Listening Safe Workstream]] : Déplacement de la page Make Listening Safe Workstream vers le domaine principal de la Wikiversité 965667 wikitext text/x-wiki <onlyinclude>{{DISPLAYTITLE:<span style="position: absolute; clip: rect(1px 1px 1px 1px); clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px);">{{FULLPAGENAME}}</span>}} <div style="top:0em; margin:0px auto; position:relative; overflow:hidden; height:11em; width:100%; background:#FFF;"> <div style="position:absolute; top:0px; bottom:0px; left:0px; right:-150px; z-index:0;"> [[File:MakeListeningSafeWHOsmall.png|120px]] </div> <div style="position:absolute; top:0px; bottom:0px; left:180px; right:-150px; z-index:0;"> [[File:World-Hearing-Forum-logo.jpg|120px]] </div> {{clear}} <div style="position:absolute; top:0; bottom:0; left:0; right:0; z-index:1; padding: 0 0 0 2em;"> <div style="display: inline-block;text-align: center;"> </div> <div style="position: absolute; bottom: 7em; right: 5px; width: 35%;"> <div style="position: absolute; bottom: -20px; right: 46px;> [[File:Instagram Glyph Gradient RGB logo.svg|30px|link=https://www.instagram.com/makelisteningsafe.whf/|target=_blank]] [[File:Wbseries linkdin.png|30px|link=https://www.linkedin.com/groups/13903493/|target=_blank]] </div> {{clear}} <div style="position: absolute; bottom: 0px; right: 1px;>[[File:CC-BY-SA.png|35px|link=File:Global Audiology ogo.png]]</div></div> <div style="text-shadow: 0ex 0ex 1ex #000;color: #eee;"></div> </div></div> <div style="position:relative; top:0em;> <div style="position:relative; top:0px;> </div> <div style="margin:5px"><span style="font-size:190%;font-family:system-ui; letter-spacing: -1px;">Groupe de travail Make Listening Safe</span></div><br> <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Introduction == Pour répondre aux risques de dommages auditifs causés par des pratiques d'écoute dangereuses, l'Organisation mondiale de la Santé (OMS) a lancé l'initiative "Make Listening Safe" en 2015. Cette initiative vise à créer un monde où les personnes de tous âges peuvent profiter de l'écoute récréative sans mettre leur audition en danger. Pour atteindre cet objectif global, le Forum mondial de l'audition a été créé afin de favoriser un partenariat solide et cohérent entre les membres de la communauté au sens large.<ref>{{Cite journal|last=Curhan|first=Sharon G.|date=2019-01|title=WHO World Hearing Forum: Guest Editorial: Ear and Hearing Care: A Global Public Health Priority|url=https://journals.lww.com/00003446-201901000-00001|journal=Ear & Hearing|language=en|volume=40|issue=1|pages=1–2|doi=10.1097/AUD.0000000000000687|issn=0196-0202}}</ref> Le Forum mondial de l'audition fonctionne à travers cinq principaux groupes de travail, chacun contribuant à la promotion de soins auditifs de qualité pour tous. Ces groupes sont : Make Listening Safe, Journée mondiale de l'audition, Relations extérieures, Engagement des membres, et Acteurs du changement. L'objectif principal du groupe de travail Make Listening Safe est d'"assurer que l'audition de personne ne soit mise en danger par une écoute dangereuse". Pour y parvenir, le groupe est structuré autour de quatre objectifs principaux, neuf sous-groupes et 15 coordinateurs, œuvrant ensemble pour promouvoir des habitudes d'écoute sûres dans le monde entier. <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Initiative Make Listening Safe == L' '''Organisation mondiale de la Santé''' (OMS) a lancé l'initiative '''Make Listening Safe''' (MLS) dans le cadre des célébrations de la Journée mondiale de l'audition le 3 mars 2015. L'objectif principal de cette initiative est de garantir que les personnes de tous âges puissent profiter de la musique et d'autres médias audio sans risquer leur audition. Les activités de partenariat MLS entre les membres du Forum mondial de l'audition sont coordonnées par le '''groupe de travail Make Listening Safe''', présidé par Katya Freire et Lidia Best. <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Objectifs == Les quatre objectifs principaux de l'initiative sont : # Sensibiliser aux risques liés à l'exposition à des niveaux sonores élevés dans des contextes récréatifs et à l'utilisation d'appareils audio personnels. # Élaborer et mettre en œuvre des politiques de santé publique soulignant l'importance d'une écoute sûre. # Renforcer les partenariats entre les gouvernements, la société civile et l'industrie pour promouvoir des pratiques d'écoute sécurisées. # Donner aux utilisateurs et aux professionnels de la santé les connaissances sur les risques liés à l'exposition au son et les stratégies pour prévenir la perte auditive. <div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; "></div> == Matériel et Bulletin == [[File:1st Make Listening Safe Workstream Newsletter.pdf|thumb|1er Bulletin du Groupe de travail Make Listening Safe|left|100px]] Les documents relatifs à cette initiative et à ses objectifs, y compris une présentation, sont accessibles via Wikimedia Commons. Ces ressources sont disponibles sur la page suivante [[commons:Category:Make_Listening_Safe_Workstream|Groupe de travail Make Listening Safe]]. Le Bulletin du Groupe de travail Make Listening Safe est désormais disponible sur [[commons:1st Make Listening Safe Workstream Newsletter.pdf | Wikimedia Commons]]. Vous souhaitez figurer dans les prochains bulletins ? Envoyez vos actions à mlsworkstream@gmail.com. <br><div style="width=100%;border-top:5px solid #44a5d5; margin-top:130px;"></div> == Liens externes == * [[wikipedia:Safe_listening|Écoute sécurisée]] * [https://www.who.int/activities/promoting-world-hearing-forum Forum mondial de l'audition] * [https://worldhearingforum.org/ Acteurs du changement, Forum mondial de l'audition] * [https://meta.wikimedia.org/wiki/WikiProject_Hearing_Health WikiProjet Santé Auditive] == Références == <references /> </div> 27wz40n7wf194qqaa7ytldkgquun2y7 2 85959 965669 2025-06-15T16:50:28Z CorraleH 77711 CorraleH a déplacé la page [[Utilisateur:CorraleH/Make Listening Safe Workstream]] vers [[Make Listening Safe Workstream]] : Déplacement de la page Make Listening Safe Workstream vers le domaine principal de la Wikiversité 965669 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Make Listening Safe Workstream]] 94gbv1g2jcu8vju67jg91k3hjqdyz7g 3 85960 965670 2025-06-15T16:57:17Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 965670 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 16:57 (UTC)}} m2cv1ehr36zvutf1votgjzix7vcrxow 3 85961 965694 2025-06-15T17:44:53Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 965694 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 17:44 (UTC)}} 74j7j3qr4bj90oq7z8leckl4w4rifum 965695 965694 2025-06-15T19:10:00Z Fourmidable 50100 /* Make Listening Safe Workstream */ nouvelle section 965695 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 17:44 (UTC)}} == [[Make Listening Safe Workstream]] == Bonsoir. Qu'est-ce que vous avez créé ? Ce n'est pas une leçon. Cordialement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juin 2025 à 19:10 (UTC) 3wkmzxqjzfuu9wueoynrkgqat8r81hr