Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 1 744 981397 981386 2026-04-02T07:09:57Z Marvoir 1746 créé section "Problèmes de structuration" 981397 wikitext text/x-wiki {{Évaluation|idfaculté=mathématiques|avancement=4}} == Questions de niveau == Bonjour, juste un mot pour plusieurs choses : * mes encouragements aux gens qui vont participer à ces cours, on ne peut plus intéressants de mon point de vue. * une question : les définitions indiquées, je me souviens les avoir vues en Sup … est-ce que le niveau est L3 ou un peu plus bas ? Est-il possible d’établir une graduation selon les chapitres ? * une remarque : le terme "Théorie des groupes" est aussi utilisé en chimie, et, bien que relevant d’une approche très mathématico-quantique de la matière, ne considère pas vraiment les mêmes applications. Pourrait-on indiquer un avertissement quelque part ? Merci. Cordialement, [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 décembre 2006 à 08:09 (UTC) :Effectivement, j’ai rajouté un avertissement en haut du premier chapitre comme quoi les définitions peuvent être vues avant, mais je pense que c’est à peu près le seul chapitre dans ce cas, bien que je ne connaisse pas le programme exact des prépas. D'ailleurs, il faudrait mettre des liens vers les programmes officiels dans [[Aide:Niveau de difficulté]]. : Argh, une homonymie :-) Je ne savais pas que le terme 'Théorie des groupes' était utilisé en chimie, mais ce terme est-il officiel ou juste dérivé du terme mathématique. Sinon on peut faire une page d'homonymie. :~ [[User:Seb35|Seb35]] 15 décembre 2006 à 08:33 (UTC) :: On ne peut plus officiel ^^, d’après mes souvenirs. Cela concerne la decription des groupes de symétries d'objets pour en déduire des propriétés. Particulièrement utilisé en spectroscopie (cela s'inscrit dans le cadre de la chimie quantique). Encore une fois, bon courage :) [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 décembre 2006 à 18:56 (UTC) :J’ai vu la théorie des groupes en L2 (cursus maths), jusqu'à la diagonalisation et son application au calcul des exponentielles de matrices. --[[Utilisateur:Xinos|Xinos]] 11 janvier 2007 à 11:54 (UTC) salut. En fait, on aborde la théorie abstraite des groupes dès la deuxième année. D'autre part se situant à un niveau élémentaire elle n'as pour seul prérequis qu'une certaine habitude au formalisme mathématique.[[Utilisateur:Biajojo|Biajojo]] 10 mars 2007 à 11:00 (UTC) == Encore la question du niveau == J’aimerais continuer les exposés en parlant maintenant du groupe des permutations d’un ensemble fini : cycles, parité d’une permutation, groupe alterné, peut-être simplicité des groupes alternés, mais je vois qu’il est question de niveau (niveau 13) et, ne connaissant pas le système universitaire français, je ne sais pas trop de quel niveau est le théorème sur la simplicité des groupes alternés. De même, qu'en est-il pour le produit semi-direct, les suites de composition (théorème de Jordan-Hölder), les groupes résolubles et nilpotents, la structure des groupes abéliens de type fini, les groupes libres et les présentations de groupes ? Cela entre-t-il dans le cadre de cette leçon ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 14 juin 2008 à 12:33 (UTC) :Je vous conseille d'aller voir la page d'[[Aide:Niveaux|aide sur les niveaux ]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 14 juin 2008 à 12:49 (UTC) ::Merci, mais, sincèrement, je ne suis pas plus au courant des niveaux belge, suisse et québecquois que français. Je suis un mathématicien amateur et j'étudie dans des livres qui ne sont pas explicitement en rapport avec des programmes. Quelqu'un qui connaît les niveaux universitaires pourrait-il préciser quelles sont les matières qui relèvent de cette leçon ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 14 juin 2008 à 13:05 (UTC) :::Je me souviens avoir vu les notions de signature, parité, groupe alterné en sup, par contre le théorème sur la simplicité des A_n n'est intervenue que lors d’un module sur la théorie de Galois (résolubilité…), et lors d’une introduction à la classification "exhaustive" des groupes en préparant l'agreg. De même les notions de produit semi-direct, suites exactes, scindées… ne sont intervenues que pendant cette même préparation et à des fins géométriques. Le théorème de structure des groupes abéliens de type fini s'inscrit traditionnellement dans un cours sur les A-modules. Groupes libres et présentations aperçus en topologie algébrique…{{non signé|83.152.34.34}} == Référents == J’ai ajouté mon nom comme référent sur la page Groupe (mathématiques)/Référents mais il n'apparaît pas sur la page Groupe (mathématiques) elle-même. C’est normal ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 1 février 2009 à 19:33 (UTC) :C'est juste un problème de cache. Purge le cache de ton navigateur (ou juste la page en cliquant sur l'onglet « Purger ») et ça apparaîtra. Ne t'en fais pas, ta modification a bien été prise en compte {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 1 février 2009 à 19:49 (UTC) ::Merci. Maintenant la page est à jour, en effet. J'avais essayé "Affichage/Actualiser", mais ça n'allait pas. ::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 1 février 2009 à 19:53 (UTC) == Le lien vers une nouvelle page d'exercices ne fonctionne pas == Bonjour. Je viens de créer une page d'exercices dont voici l'url, copiée dans la fenêtre d'adresses : http://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(mathématiques)/Exercices/Groupes_diédraux C'est la 16e page d'exercices de la présente leçon Groupe (mathématiques). J’ai mis un lien vers cette nouvelle page dans la page Groupe (mathématiques), mais ce lien ne fonctionne pas. C’est sans doute encore quelque chose de très bête, mais je ne suis pas fort pour ce genre de casse-têtes.<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 9 mai 2009 à 08:56 (UTC) :{{fait}} : le modèle était prévu pour 15 exercice maximum, il a été passé à 20.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 9 mai 2009 à 09:11 (UTC) Merci. Il me semble normal de faire une page d'exercices par chapitre théorique, donc il serait peut-être souhaitable que le nombre possible d'exercices soit le même que le nombre possible de chapitres théoriques…<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 9 mai 2009 à 09:50 (UTC) == À propos de l’introduction == Peut être que c’est du chipotage mais introduire les groupes parce qu’ils servent de structure de base aux autres me parait inadéquat : - d’abord parce que pour les anneaux, les modules et les ev, le groupe en question est abélien (sauf si on veut insister sur les unités d’un anneau) - la plupart des trucs marrants avec les groupes arrivent précisément dans le cas non abélien, et on peut même dire que l'étude des groupes abéliens relève davantage de celle des modules sur un anneau principal (je pense au résultat sur ceux de type fini) - la plupart des exemples de groupes sont donnés par certaines bijections d’un ensemble respectant la nature algébrique (Galois…), géométrique (O(n)…), topologique (automorphisme d’un revêtement) de l'espace. Si bien même qu'un bon outil pour étudier les groupes abstraits consiste justement a les faire agir sur un ev par exemple pour les voir comme des fonctions, et donc on aurait pu insister sur ça plutôt (leur nature géométrique est facile d'accès (isométries de l'espace respectant le cube ou autre exemple)) voilà bon courage pour la suite. [[Utilisateur:Alex|Alex]] 21 juin 2009 à 08:35 (UTC) :Je crois que celui qui avait rédigé cette introduction a déserté depuis longtemps. Il y a déjà quelques mois que je suis le seul à travailler sur cette leçon et je dois dire que les considérations introductives ne m'intéressent pas beaucoup. Si tu as le goût d’en mettre d’autres, je te laisse faire. Mais il est tout de même vrai, et pas sans intérêt, que la notion de groupe intervient dans les notions d'anneau etc. :D'accord que le cadre naturel pour certaines propriétés fondamentales des groupes commutatifs est celui des modules sur les anneaux principaux. C’est d'ailleurs pour ça que je n'ai pas encore abordé ces questions, par exemple le fait que tout groupe commutatif fini est produit direct de groupes cycliques : je ne sais pas trop ce qu’il faut supposer connu du lecteur. La théorie des espaces vectoriels est également le cadre naturel de l'étude des groupes commutatifs d'exposant p (premier). En fait, celui de mes prédécesseurs qui a rédigé la démonstration des théorèmes de Sylow n'avait pas ces scrupules : il a donné une démonstration qui repose sur des résultats non triviaux de la théorie des espaces vectoriels. (Je crois que je vais ajouter une ou deux démonstrations plus purement "group-theoretic", peut-être en exercice.) :Seulement, je ne trouve pas très stimulant de travailler ainsi constamment tout seul… :[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 22 juin 2009 à 16:16 (UTC) == Nombre maximum de pages d'exercices == Pour l'instant, la leçon Groupe (mathématiques) compte 19 chapitres et, pour chaque chapitre, une page d'exercices. Je compte ajouter quelques chapitres, et tout d’abord deux chapitres sur la structure des groupes commutatifs finis. (Il faudra deux chapitres, je suppose, parce que la partie que j’ai déjà rédigée fait 33403 caractères et que je suis peut-être à la moitié de ce qu’il y a à dire sur le sujet.)<br /> Si je ne me trompe, il ne peut y avoir, dans l'état actuel des choses, que 20 pages d'exercices par leçon. Alors, que fait-on ? Deux leçons, en renommant l'actuelle ? Ou permet-on qu'une leçon ait plus de vingt pages d'exercices ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 15 août 2009 à 06:56 (UTC) :Salut Marvoir, s'il n'y a pas lieu de créer une nouvelle leçon pour poursuivre le sujet, la meilleure solution est en effet de permettre qu'une leçon ait plus de vingt pages d'exercices ; ce que je m'en vais faire de ce pas. [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]}</small> 16 août 2009 à 12:42 (UTC) ::Merci beaucoup ! Je publierai sans doute un ou deux nouveaux chapitres le week-end prochain. ::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 16 août 2009 à 13:15 (UTC) :::Je viens de créer une vingt-et-unième page d'exercices, mais elle ne s'affiche pas dans la liste… :::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 2 septembre 2009 à 12:30 (UTC) ::::{{Fait}} Je t'ai mis une rallonge jusqu'à l'exercice 25. [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 2 septembre 2009 à 12:50 (UTC) :::::Merci ! :::::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 2 septembre 2009 à 14:13 (UTC) == Retour sur les niveaux == Le niveau de cette leçon me parait un peu / largement sous-évalué. Actuellement en deuxième année de prépa, niveau 14 donc, certains chapitres et exercices classés niveau 13 sont clairement hors programme ! Il faudrait penser à réévaluer les niveaux. Plusieurs chapitres devraient passer en niveau 15 voir plus. [[Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">Cynddl</span>]] ^{<small>&#91;[[Discussion Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">discussion</span>]]&#93;</small>} 8 février 2011 à 22:14 :Idem. [[Discussion utilisateur:Anne Bauval|Anne]] 10/4/17 ::Je dois avouer que je suis tout à fait ignorant des questions de niveau. Tu peux modifier les niveaux comme tu veux, je n'y objecterai rien. Quand je crée un nouveau chapitre, je copie le code du chapitre précédent pour m'en servir comme moule et je ne touche pas au niveau. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 10 avril 2017 à 19:11 (UTC) == Théorèmes d'isomorphisme et unicité == Bonjour, J'ai un peu de mal avec la remarque "et un seul" concernant l'existence d'un isomorphisme entre deux groupes. Dans le premier théorème d'isomorphisme, on dit : "il en existe un seul qui vérifie…" et on finit par le définir entièrement ! Donc il est forcément unique… Dans le second théorème d'isomorphisme, on dit qu'il en existe un seul. Pourtant, lorsqu'il existe un automorphisme entre deux groupes, disons f(x) alors h_g(x)=g.f(x).g^{-1} est un autre automorphisme… --[[Utilisateur:Fabrej0|Fabrej0]] ([[Discussion utilisateur:Fabrej0|discussion]]) 12 octobre 2016 à 20:04 (UTC) :Il n'en existe qu'un qui possède la propriété en question. L'unicité est en effet évidente, c'est pour cela que je l'ai énoncée entre parenthèses. Pour moi, ce n'est pas mauvais comme c'est. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 13 octobre 2016 à 14:30 (UTC) == Redirect [[Théorie des groupes]] == {{Notif|JackPotte|Lydie Noria}} excusez-moi tous les deux pour le dérangement : JackPotte vient de supprimer ce redirect à ma demande, et c'est seulement en cliquant sur le lien devenu rouge que je vois qu'il avait déjà été supprimé en 2007, mais restauré par Lydie en 2013 comme « redirection qui peut être utile pour la recherche sur google ». Promis, je n'y touche plus. [[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discussion]]) 6 juillet 2017 à 19:33 (UTC) :{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 juillet 2017 à 19:35 (UTC) :: {{Notif|Anne Bauval|JackPotte}} En fait, c'est une question que je me pose de plus en plus. Sur quoi Google se base pour répondre à une requête ? J'ai constaté dernièrement que la formulation du nom jouait un rôle. Mais il y a d'autres critères. Le plus important semblant être le nombre d’Accès à la page par des utilisateurs différents. Lorsqu'on tape le titre exact d'une leçon, elle est plus facilement trouvée par google. Personnellement, si je recherche un cours sur la théorie des groupes, je vais taper dans Google « Théorie des groupes » et pas « Groupe (mathématiques) », c'est pour cela que je pense que ce cours aurait eut plus de succès s'il s'était appelé « Théorie des groupes ». Et c'est pour cela que j'ai maintenu une redirection vers ce cours portant le nom de « Théorie des groupes ». Malheureusement, j'ai bien peur que Google essaye de déjouer toutes les astuces que l'on peut imaginer pour augmenter artificiellement la visibilité d'une page par un moteur de recherche et il semblerait qu'il ne tienne pas compte des redirections. Si je tape « Théorie des groupes » dans Google, je ne vois pas apparaître cette redirection (bien qu'elle soit là depuis longtemps). Par conséquent, il est fort possible que cette redirection ne serve à rien du point de vu de la recherche sur Google. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2017 à 07:52 (UTC) :::Alors peut-être serait-il plus efficace, plutôt que de rétablir le redirect, de renommer ce cours ?[[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discussion]]) 7 juillet 2017 à 08:05 (UTC) :::: {{Notif|Anne Bauval}}Ça, c'est une autre question que je me pose. Lorsque je tape « Théorie des groupes » dans google, ce cours s'affiche en dixième position. Si l'on renomme ce cours, au bout de combien de temps, le cours avec son nouveau nom atteindra t'il au moins la dixième position dans Google en tapant « Théorie des groupes » ? Je suis curieuse de connaître la réponse et je serais donc favorable au renommage du cours, entre autres, pour avoir la réponse à cette question. Mais le principal contributeur de ce cours est {{Notif|Marvoir}}, il serait sans doute plus convenable d'avoir son avis. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2017 à 08:43 (UTC) :::::Merci de penser à moi. Je ne connais pas grand-chose au fonctionnement de Google, donc je préfère vous laisser les mains libres. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 8 juillet 2017 à 07:07 (UTC) ::::::Merci pour la réponse, sauf objection dans les jours qui suivent, je vais donc essayer d'améliorer la visibilité de ce cours en le renommant « Théorie des groupes ». Avec l'outil statistiques de la colonne de gauche, je suivrai l'affaire de près pour voir si le nombre d'accès augmente grâce à ce renommage. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 juillet 2017 à 07:43 (UTC) == Pas très pédagogique ? == Les groupes diédraux ne sont définis qu'après le chapitre sur le produit semi-direct (c'est moi le responsable) et donc, dans l'état actuel du cours, au chapitre 25. C'est fort tard, si on admet qu'il est souhaitable que le lecteur dispose le plus tôt possible de nombreux exemples de groupes (non isomorphes). On peut d'ailleurs définir un groupe diédral, sans faire appel au produit semi-direct, comme un certain groupe d'isométries ou même, sans faire appel à la géométrie, comme un certain groupe de permutations d'un ensemble fini. D'ailleurs, Rotman, Robinson et Calais définissent tous trois les groupes diédraux bien avant le produit semi-direct. Donc on pourrait peut-être faire de même dans le présent cours. Je note ça ici comme un aide-mémoire, mais si je fais un jour le travail, ce ne sera pas tout de suite. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 9 novembre 2025 à 09:10 (UTC) == Aide-mémoire == Il me semble qu'il faudrait encore ajouter au cours : :un chapitre sur les présentations de groupes; :des compléments tout à fait classiques sur les opérations primitives et les opérations plusieurs fois transitives; :le produit libre amalgamé; :le sous-groupe de Fitting; :peut-être les groupes abéliens divisibles; :peut-être le critère de p-nilpotence de Frobenius; :peut-être les groupes de Frobenius; :peut-être la classification des groupes dont l'ordre est le cube d'un nombre premier; :peut-être la classification des groupes d'ordre 16; :peut-être la description des automorphismes d'un groupe alterné (en complément de celle des automorphismes d'un groupe symétrique fini, déjà donnée dans un exercice sur le chapitre ''Groupes symétriques finis''); :peut-être les sous-groupes sous-normaux; :peut-être les théorèmes "à la Remak". [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 23 mars 2026 à 07:54 (UTC) == Problèmes de structuration == Les [[Théorie des groupes/Sous-groupe distingué et groupe quotient|sous-groupes normaux]] (actuellement chapitre 4) sont définis avant les [[Théorie des groupes/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|conjugués d'un sous-groupe]] (actuellement chapitre 7), ce qui ne me semble pas très heureux, car il est naturel de définir un sous-groupe normal comme un sous-groupe qui est son seul conjugué. Mais enfin, ce n'est pas bien grave. (Je ne critique d'ailleurs que moi, car c'est moi qui ai créé la plupart des chapitres du cours.) fwzlz54rmca4wzl5g3n66hx6nv23d3j 981401 981397 2026-04-02T08:38:20Z Marvoir 1746 supprimé une section, le problème signalé ayant cessé d'exister 981401 wikitext text/x-wiki {{Évaluation|idfaculté=mathématiques|avancement=4}} == Questions de niveau == Bonjour, juste un mot pour plusieurs choses : * mes encouragements aux gens qui vont participer à ces cours, on ne peut plus intéressants de mon point de vue. * une question : les définitions indiquées, je me souviens les avoir vues en Sup … est-ce que le niveau est L3 ou un peu plus bas ? Est-il possible d’établir une graduation selon les chapitres ? * une remarque : le terme "Théorie des groupes" est aussi utilisé en chimie, et, bien que relevant d’une approche très mathématico-quantique de la matière, ne considère pas vraiment les mêmes applications. Pourrait-on indiquer un avertissement quelque part ? Merci. Cordialement, [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 décembre 2006 à 08:09 (UTC) :Effectivement, j’ai rajouté un avertissement en haut du premier chapitre comme quoi les définitions peuvent être vues avant, mais je pense que c’est à peu près le seul chapitre dans ce cas, bien que je ne connaisse pas le programme exact des prépas. D'ailleurs, il faudrait mettre des liens vers les programmes officiels dans [[Aide:Niveau de difficulté]]. : Argh, une homonymie :-) Je ne savais pas que le terme 'Théorie des groupes' était utilisé en chimie, mais ce terme est-il officiel ou juste dérivé du terme mathématique. Sinon on peut faire une page d'homonymie. :~ [[User:Seb35|Seb35]] 15 décembre 2006 à 08:33 (UTC) :: On ne peut plus officiel ^^, d’après mes souvenirs. Cela concerne la decription des groupes de symétries d'objets pour en déduire des propriétés. Particulièrement utilisé en spectroscopie (cela s'inscrit dans le cadre de la chimie quantique). Encore une fois, bon courage :) [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 décembre 2006 à 18:56 (UTC) :J’ai vu la théorie des groupes en L2 (cursus maths), jusqu'à la diagonalisation et son application au calcul des exponentielles de matrices. --[[Utilisateur:Xinos|Xinos]] 11 janvier 2007 à 11:54 (UTC) salut. En fait, on aborde la théorie abstraite des groupes dès la deuxième année. D'autre part se situant à un niveau élémentaire elle n'as pour seul prérequis qu'une certaine habitude au formalisme mathématique.[[Utilisateur:Biajojo|Biajojo]] 10 mars 2007 à 11:00 (UTC) == Encore la question du niveau == J’aimerais continuer les exposés en parlant maintenant du groupe des permutations d’un ensemble fini : cycles, parité d’une permutation, groupe alterné, peut-être simplicité des groupes alternés, mais je vois qu’il est question de niveau (niveau 13) et, ne connaissant pas le système universitaire français, je ne sais pas trop de quel niveau est le théorème sur la simplicité des groupes alternés. De même, qu'en est-il pour le produit semi-direct, les suites de composition (théorème de Jordan-Hölder), les groupes résolubles et nilpotents, la structure des groupes abéliens de type fini, les groupes libres et les présentations de groupes ? Cela entre-t-il dans le cadre de cette leçon ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 14 juin 2008 à 12:33 (UTC) :Je vous conseille d'aller voir la page d'[[Aide:Niveaux|aide sur les niveaux ]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 14 juin 2008 à 12:49 (UTC) ::Merci, mais, sincèrement, je ne suis pas plus au courant des niveaux belge, suisse et québecquois que français. Je suis un mathématicien amateur et j'étudie dans des livres qui ne sont pas explicitement en rapport avec des programmes. Quelqu'un qui connaît les niveaux universitaires pourrait-il préciser quelles sont les matières qui relèvent de cette leçon ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 14 juin 2008 à 13:05 (UTC) :::Je me souviens avoir vu les notions de signature, parité, groupe alterné en sup, par contre le théorème sur la simplicité des A_n n'est intervenue que lors d’un module sur la théorie de Galois (résolubilité…), et lors d’une introduction à la classification "exhaustive" des groupes en préparant l'agreg. De même les notions de produit semi-direct, suites exactes, scindées… ne sont intervenues que pendant cette même préparation et à des fins géométriques. Le théorème de structure des groupes abéliens de type fini s'inscrit traditionnellement dans un cours sur les A-modules. Groupes libres et présentations aperçus en topologie algébrique…{{non signé|83.152.34.34}} == Référents == J’ai ajouté mon nom comme référent sur la page Groupe (mathématiques)/Référents mais il n'apparaît pas sur la page Groupe (mathématiques) elle-même. C’est normal ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 1 février 2009 à 19:33 (UTC) :C'est juste un problème de cache. Purge le cache de ton navigateur (ou juste la page en cliquant sur l'onglet « Purger ») et ça apparaîtra. Ne t'en fais pas, ta modification a bien été prise en compte {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 1 février 2009 à 19:49 (UTC) ::Merci. Maintenant la page est à jour, en effet. J'avais essayé "Affichage/Actualiser", mais ça n'allait pas. ::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 1 février 2009 à 19:53 (UTC) == Le lien vers une nouvelle page d'exercices ne fonctionne pas == Bonjour. Je viens de créer une page d'exercices dont voici l'url, copiée dans la fenêtre d'adresses : http://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(mathématiques)/Exercices/Groupes_diédraux C'est la 16e page d'exercices de la présente leçon Groupe (mathématiques). J’ai mis un lien vers cette nouvelle page dans la page Groupe (mathématiques), mais ce lien ne fonctionne pas. C’est sans doute encore quelque chose de très bête, mais je ne suis pas fort pour ce genre de casse-têtes.<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 9 mai 2009 à 08:56 (UTC) :{{fait}} : le modèle était prévu pour 15 exercice maximum, il a été passé à 20.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 9 mai 2009 à 09:11 (UTC) Merci. Il me semble normal de faire une page d'exercices par chapitre théorique, donc il serait peut-être souhaitable que le nombre possible d'exercices soit le même que le nombre possible de chapitres théoriques…<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 9 mai 2009 à 09:50 (UTC) == À propos de l’introduction == Peut être que c’est du chipotage mais introduire les groupes parce qu’ils servent de structure de base aux autres me parait inadéquat : - d’abord parce que pour les anneaux, les modules et les ev, le groupe en question est abélien (sauf si on veut insister sur les unités d’un anneau) - la plupart des trucs marrants avec les groupes arrivent précisément dans le cas non abélien, et on peut même dire que l'étude des groupes abéliens relève davantage de celle des modules sur un anneau principal (je pense au résultat sur ceux de type fini) - la plupart des exemples de groupes sont donnés par certaines bijections d’un ensemble respectant la nature algébrique (Galois…), géométrique (O(n)…), topologique (automorphisme d’un revêtement) de l'espace. Si bien même qu'un bon outil pour étudier les groupes abstraits consiste justement a les faire agir sur un ev par exemple pour les voir comme des fonctions, et donc on aurait pu insister sur ça plutôt (leur nature géométrique est facile d'accès (isométries de l'espace respectant le cube ou autre exemple)) voilà bon courage pour la suite. [[Utilisateur:Alex|Alex]] 21 juin 2009 à 08:35 (UTC) :Je crois que celui qui avait rédigé cette introduction a déserté depuis longtemps. Il y a déjà quelques mois que je suis le seul à travailler sur cette leçon et je dois dire que les considérations introductives ne m'intéressent pas beaucoup. Si tu as le goût d’en mettre d’autres, je te laisse faire. Mais il est tout de même vrai, et pas sans intérêt, que la notion de groupe intervient dans les notions d'anneau etc. :D'accord que le cadre naturel pour certaines propriétés fondamentales des groupes commutatifs est celui des modules sur les anneaux principaux. C’est d'ailleurs pour ça que je n'ai pas encore abordé ces questions, par exemple le fait que tout groupe commutatif fini est produit direct de groupes cycliques : je ne sais pas trop ce qu’il faut supposer connu du lecteur. La théorie des espaces vectoriels est également le cadre naturel de l'étude des groupes commutatifs d'exposant p (premier). En fait, celui de mes prédécesseurs qui a rédigé la démonstration des théorèmes de Sylow n'avait pas ces scrupules : il a donné une démonstration qui repose sur des résultats non triviaux de la théorie des espaces vectoriels. (Je crois que je vais ajouter une ou deux démonstrations plus purement "group-theoretic", peut-être en exercice.) :Seulement, je ne trouve pas très stimulant de travailler ainsi constamment tout seul… :[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 22 juin 2009 à 16:16 (UTC) == Nombre maximum de pages d'exercices == Pour l'instant, la leçon Groupe (mathématiques) compte 19 chapitres et, pour chaque chapitre, une page d'exercices. Je compte ajouter quelques chapitres, et tout d’abord deux chapitres sur la structure des groupes commutatifs finis. (Il faudra deux chapitres, je suppose, parce que la partie que j’ai déjà rédigée fait 33403 caractères et que je suis peut-être à la moitié de ce qu’il y a à dire sur le sujet.)<br /> Si je ne me trompe, il ne peut y avoir, dans l'état actuel des choses, que 20 pages d'exercices par leçon. Alors, que fait-on ? Deux leçons, en renommant l'actuelle ? Ou permet-on qu'une leçon ait plus de vingt pages d'exercices ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 15 août 2009 à 06:56 (UTC) :Salut Marvoir, s'il n'y a pas lieu de créer une nouvelle leçon pour poursuivre le sujet, la meilleure solution est en effet de permettre qu'une leçon ait plus de vingt pages d'exercices ; ce que je m'en vais faire de ce pas. [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]}</small> 16 août 2009 à 12:42 (UTC) ::Merci beaucoup ! Je publierai sans doute un ou deux nouveaux chapitres le week-end prochain. ::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 16 août 2009 à 13:15 (UTC) :::Je viens de créer une vingt-et-unième page d'exercices, mais elle ne s'affiche pas dans la liste… :::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 2 septembre 2009 à 12:30 (UTC) ::::{{Fait}} Je t'ai mis une rallonge jusqu'à l'exercice 25. [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 2 septembre 2009 à 12:50 (UTC) :::::Merci ! :::::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 2 septembre 2009 à 14:13 (UTC) == Retour sur les niveaux == Le niveau de cette leçon me parait un peu / largement sous-évalué. Actuellement en deuxième année de prépa, niveau 14 donc, certains chapitres et exercices classés niveau 13 sont clairement hors programme ! Il faudrait penser à réévaluer les niveaux. Plusieurs chapitres devraient passer en niveau 15 voir plus. [[Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">Cynddl</span>]] ^{<small>&#91;[[Discussion Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">discussion</span>]]&#93;</small>} 8 février 2011 à 22:14 :Idem. [[Discussion utilisateur:Anne Bauval|Anne]] 10/4/17 ::Je dois avouer que je suis tout à fait ignorant des questions de niveau. Tu peux modifier les niveaux comme tu veux, je n'y objecterai rien. Quand je crée un nouveau chapitre, je copie le code du chapitre précédent pour m'en servir comme moule et je ne touche pas au niveau. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 10 avril 2017 à 19:11 (UTC) == Théorèmes d'isomorphisme et unicité == Bonjour, J'ai un peu de mal avec la remarque "et un seul" concernant l'existence d'un isomorphisme entre deux groupes. Dans le premier théorème d'isomorphisme, on dit : "il en existe un seul qui vérifie…" et on finit par le définir entièrement ! Donc il est forcément unique… Dans le second théorème d'isomorphisme, on dit qu'il en existe un seul. Pourtant, lorsqu'il existe un automorphisme entre deux groupes, disons f(x) alors h_g(x)=g.f(x).g^{-1} est un autre automorphisme… --[[Utilisateur:Fabrej0|Fabrej0]] ([[Discussion utilisateur:Fabrej0|discussion]]) 12 octobre 2016 à 20:04 (UTC) :Il n'en existe qu'un qui possède la propriété en question. L'unicité est en effet évidente, c'est pour cela que je l'ai énoncée entre parenthèses. Pour moi, ce n'est pas mauvais comme c'est. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 13 octobre 2016 à 14:30 (UTC) == Redirect [[Théorie des groupes]] == {{Notif|JackPotte|Lydie Noria}} excusez-moi tous les deux pour le dérangement : JackPotte vient de supprimer ce redirect à ma demande, et c'est seulement en cliquant sur le lien devenu rouge que je vois qu'il avait déjà été supprimé en 2007, mais restauré par Lydie en 2013 comme « redirection qui peut être utile pour la recherche sur google ». Promis, je n'y touche plus. [[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discussion]]) 6 juillet 2017 à 19:33 (UTC) :{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 juillet 2017 à 19:35 (UTC) :: {{Notif|Anne Bauval|JackPotte}} En fait, c'est une question que je me pose de plus en plus. Sur quoi Google se base pour répondre à une requête ? J'ai constaté dernièrement que la formulation du nom jouait un rôle. Mais il y a d'autres critères. Le plus important semblant être le nombre d’Accès à la page par des utilisateurs différents. Lorsqu'on tape le titre exact d'une leçon, elle est plus facilement trouvée par google. Personnellement, si je recherche un cours sur la théorie des groupes, je vais taper dans Google « Théorie des groupes » et pas « Groupe (mathématiques) », c'est pour cela que je pense que ce cours aurait eut plus de succès s'il s'était appelé « Théorie des groupes ». Et c'est pour cela que j'ai maintenu une redirection vers ce cours portant le nom de « Théorie des groupes ». Malheureusement, j'ai bien peur que Google essaye de déjouer toutes les astuces que l'on peut imaginer pour augmenter artificiellement la visibilité d'une page par un moteur de recherche et il semblerait qu'il ne tienne pas compte des redirections. Si je tape « Théorie des groupes » dans Google, je ne vois pas apparaître cette redirection (bien qu'elle soit là depuis longtemps). Par conséquent, il est fort possible que cette redirection ne serve à rien du point de vu de la recherche sur Google. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2017 à 07:52 (UTC) :::Alors peut-être serait-il plus efficace, plutôt que de rétablir le redirect, de renommer ce cours ?[[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discussion]]) 7 juillet 2017 à 08:05 (UTC) :::: {{Notif|Anne Bauval}}Ça, c'est une autre question que je me pose. Lorsque je tape « Théorie des groupes » dans google, ce cours s'affiche en dixième position. Si l'on renomme ce cours, au bout de combien de temps, le cours avec son nouveau nom atteindra t'il au moins la dixième position dans Google en tapant « Théorie des groupes » ? Je suis curieuse de connaître la réponse et je serais donc favorable au renommage du cours, entre autres, pour avoir la réponse à cette question. Mais le principal contributeur de ce cours est {{Notif|Marvoir}}, il serait sans doute plus convenable d'avoir son avis. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2017 à 08:43 (UTC) :::::Merci de penser à moi. Je ne connais pas grand-chose au fonctionnement de Google, donc je préfère vous laisser les mains libres. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 8 juillet 2017 à 07:07 (UTC) ::::::Merci pour la réponse, sauf objection dans les jours qui suivent, je vais donc essayer d'améliorer la visibilité de ce cours en le renommant « Théorie des groupes ». Avec l'outil statistiques de la colonne de gauche, je suivrai l'affaire de près pour voir si le nombre d'accès augmente grâce à ce renommage. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 juillet 2017 à 07:43 (UTC) == Pas très pédagogique ? == Les groupes diédraux ne sont définis qu'après le chapitre sur le produit semi-direct (c'est moi le responsable) et donc, dans l'état actuel du cours, au chapitre 25. C'est fort tard, si on admet qu'il est souhaitable que le lecteur dispose le plus tôt possible de nombreux exemples de groupes (non isomorphes). On peut d'ailleurs définir un groupe diédral, sans faire appel au produit semi-direct, comme un certain groupe d'isométries ou même, sans faire appel à la géométrie, comme un certain groupe de permutations d'un ensemble fini. D'ailleurs, Rotman, Robinson et Calais définissent tous trois les groupes diédraux bien avant le produit semi-direct. Donc on pourrait peut-être faire de même dans le présent cours. Je note ça ici comme un aide-mémoire, mais si je fais un jour le travail, ce ne sera pas tout de suite. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 9 novembre 2025 à 09:10 (UTC) == Aide-mémoire == Il me semble qu'il faudrait encore ajouter au cours : :un chapitre sur les présentations de groupes; :des compléments tout à fait classiques sur les opérations primitives et les opérations plusieurs fois transitives; :le produit libre amalgamé; :le sous-groupe de Fitting; :peut-être les groupes abéliens divisibles; :peut-être le critère de p-nilpotence de Frobenius; :peut-être les groupes de Frobenius; :peut-être la classification des groupes dont l'ordre est le cube d'un nombre premier; :peut-être la classification des groupes d'ordre 16; :peut-être la description des automorphismes d'un groupe alterné (en complément de celle des automorphismes d'un groupe symétrique fini, déjà donnée dans un exercice sur le chapitre ''Groupes symétriques finis''); :peut-être les sous-groupes sous-normaux; :peut-être les théorèmes "à la Remak". [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 23 mars 2026 à 07:54 (UTC) 2k4ogtbv8ovfle0ua2rvfqw0srxjoth 0 819 981395 976501 2026-04-02T06:24:42Z Marvoir 1746 /* Sous-groupe distingué */ ajouté lien interne 981395 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, ceci est aussi vrai pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Nous verrons qu'un sous-groupe de ''G'' de la forme <math> gHg^{-1}</math> avec <math>g \in G</math> est appelé un conjugué de ''H''. La définition revient donc à dire qu'un sous-groupe est distingué si et seulement s'il est son seul conjugué. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. {{Exemples | contenu = * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. }} {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} 390ndkj3tmdpp8o1mwso7yz2kag5er2 981396 981395 2026-04-02T06:28:24Z Marvoir 1746 /* Sous-groupe distingué */ Tiens, le modèle "exemple" ne fonctionne qu'avec "exemple" au singulier. 981396 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, ceci est aussi vrai pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Nous verrons qu'un sous-groupe de ''G'' de la forme <math> gHg^{-1}</math> avec <math>g \in G</math> est appelé un conjugué de ''H''. La définition revient donc à dire qu'un sous-groupe est distingué si et seulement s'il est son seul conjugué. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} r5u8uwxncenuz4gjhhjrddc0a6ijv4f 981399 981396 2026-04-02T08:20:33Z Marvoir 1746 /* Sous-groupe distingué */ ai défini ici les conjugués d'un sous-groupe 981399 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, ceci est aussi vrai pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} krxpubasifz4lijmp2uuwql8183xdml 106 4557 981389 898882 2026-04-01T18:04:28Z Fourmidable 50100 981389 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ [[Fichier:Lang-fr.gif|50px|right]] Le français est une langue romane, descendante du latin. C'est une langue principalement parlée en [[Scolarité en France|France]] et dans les régions frontalières de la [[Scolarité en Belgique|Belgique]] et de la [[Scolarité en Suisse|Suisse]], ainsi que dans des pays africains et au [[Scolarité au Canada|Canada]] (principalement au [[Scolarité au Québec|Québec]], au Nouveau-Brunswick et en Ontario). Elle est aussi présente au Liban, en [[Scolarité en Haïti|Haïti]] et dans certaines Antilles, soit au total dans 51 pays. Cette « faculté » a vocation à présenter des ressources de français langue maternelle (FLM) et de français langue étrangère (FLE). {{AutoCat}} ohwnpza373o0re6jwl7r1altqv7w5nk 102 5774 981390 498343 2026-04-01T18:04:57Z Fourmidable 50100 981390 wikitext text/x-wiki {{Projet faculté/Présentation | idfaculté = français | nom projet = Français | sujet = les ressources de FLM et de FLE }} {{AutoCat}} s2ixmbwa6903sixlhd7hr3nmpcrsg97 981391 981390 2026-04-01T18:05:10Z Fourmidable 50100 981391 wikitext text/x-wiki {{Projet faculté/Présentation | idfaculté = français | nom projet = Français | sujet = les cours de FLM et de FLE }} {{AutoCat}} gdwui1gtaz1nz2a92kmkq28nvon0qs3 981392 981391 2026-04-01T18:05:19Z Fourmidable 50100 981392 wikitext text/x-wiki {{Projet faculté/Présentation | idfaculté = français | nom projet = Français | sujet = les supports de FLM et de FLE }} {{AutoCat}} 2zakmtiiwbwuhygj3c2kab1rcxgrelw 0 8800 981398 980023 2026-04-02T07:21:23Z Marvoir 1746 /* Définition d'une action */ questions de langage 981398 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre''' lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe. G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. On en verra un exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} fipvtkyicl9b5culqot331wumazqcq4 0 17123 981400 981049 2026-04-02T08:31:46Z Marvoir 1746 /* Conjugaison */ rappelé qu'on a déjà rencontré les sous-groupes conjugués d'un sous-groupe 981400 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | page_liée = Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur }} == Centre d'un groupe == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centre d'un groupe}} On appelle centre d'un groupe ''G'' et on note <math>Z(G)</math> l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec tout élément de ''G''. }} {{Proposition |contenu= <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de ''G''. Tout sous-groupe de <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de G. }} Démonstration. Prouvons d'abord que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Il est clair que l'élément neutre de G appartient à <math>Z(G)</math>. Soient ''a'' et ''b'' des éléments de <math>Z(G)</math>; prouvons que ''ab'' est un élément de <math>Z(G)</math>. Pour tout élément ''x'' de G, nous avons ''x(ab) = (xa)b = (ax)b = a(xb) = a(bx) = (ab)x'', donc ''ab'' commute avec tout élément de G, autrement dit appartient à <math>Z(G)</math>. Ainsi, le produit de deux éléments de <math>Z(G)</math> appartient toujours à <math>Z(G)</math>. Prouvons maintenant que si ''c'' est un élément de <math>Z(G)</math>, alors ''c{{exp|-1}}'' en est un lui aussi. Pour tout élément ''c'' de G, nous avons ''cx = xc'', d'où (en multipliant à gauche par ''c{{exp|-1}}'') ''x = c{{exp|-1}} x c'', d'où (en multipliant à droite par ''c{{exp|-1}}'') ''x c{{exp|-1}}'' = ''c{{exp|-1}}'' x , ce qui prouve bien que ''c{{exp|-1}}'' appartient à <math>Z(G)</math>. Ce qui précède prouve que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Prouvons que ''Z(G)'' est un sous-groupe distingué de ''G'' : si ''a'' est un élément de ''Z(G)'', alors, pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g a g{{exp|-1}}'' = ''a g g{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''g a g{{exp|-1}}'' appartient à ''Z(G)'', ce qui montre bien que ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. En fait, le même raisonnement prouve que tout sous-groupe de ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. Remarque. Pour un groupe G, on définira plus loin dans le présent chapitre le centralisateur (dans G) d'un sous-groupe de G et on verra que ce centralisateur est un sous-groupe de G. Selon la définition du centralisateur, <math>Z(G)</math> est le centralisateur de G dans G, ce qui fournit une autre démonstration du fait que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. On pourrait donc postposer la définition du centre à celle du centralisateur d'un sous-groupe et se dispenser ainsi de prouver que le centre d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe. {{Définition | contenu = Soit G un groupe. Un sous-groupe de G contenu dans <math>Z(G)</math> (autrement dit, un sous-groupe de <math>Z(G)</math>) est appelé un sous-groupe central de G. }} D'après ce qui précède, tout sous-groupe central d'un groupe G est un sous-groupe normal de G. == Conjugaison == {{Wikipédia|Automorphisme intérieur}} Soient G un groupe et g un élément de G. L'application <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de G dans lui-même est appelée la conjugaison par g (dans G). Nous la noterons Int(g). On a déjà noté au chapitre « [[../Groupes, premières notions/]] » que c’est un automorphisme de G, admettant pour réciproque la conjugaison :<math>x \mapsto g^{-1}xg</math>. Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme ''f'' de ''G'' est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g. L'ensemble Int(''G'') des automorphismes intérieurs de ''G'' est un sous-groupe du groupe Aut(''G'') des automorphismes de ''G'' ; plus précisément, l’application Int : <math>g \mapsto Int(g)</math> est un homomorphisme de ''G'' dans Aut(''G'') et Int(''G'') est l'image de cet homomorphisme. Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que Int(''g'') soit l'automorphisme identité de ''G'', autrement dit ker Int est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' pour tout élément ''x'' de ''G'' ; la condition ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' revient à ''gx = xg'', donc le noyau considéré est le centre ''Z(G)'' de ''G''. (Ceci montre de nouveau que ''Z(G)'' est un sous-groupe normal de ''G''.) Le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|premier théorème d'isomophisme]] permet donc d'énoncer : {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(G) est isomorphe à G/Z(G). }} On peut aussi montrer que {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). }} Démonstration. Soient ''g'' un élément de ''G'' et <math>\alpha</math> un endomorphisme de ''G''. Alors : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) \circ \alpha = \alpha \circ \mathrm{Int}(g)</math> (car les deux membres appliquent ''x'' sur <math>\alpha (g) \alpha (x) \alpha (g)^{-1}</math>). Si <math>\alpha</math> est un automorphisme, cela peut s'écrire : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) = \alpha \circ \mathrm{Int}(g) \circ \alpha^{-1}</math>, ce qui montre bien que Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). Soient ''x'', ''y'' et ''g'' des éléments de G tels que y = gxg⁻¹. Nous dirons alors que ''y'' est le conjugué de ''x'' par ''g''. Si un élément ''y'' de G est image d'un élément ''x'' de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément ''g'' de G tel que ''y'' soit le conjugué de ''x'' par ''g'', on dit que ''y'' est (un) conjugué de ''x'' (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « ''y'' est un conjugué de ''x'' » est une relation d'équivalence dans ''G''. En effet : :x = 1x1{{exp|-1}} (réflexivité) :si y = gxg{{exp|-1}}, alors x = (g{{exp|-1}})yg = (g{{exp|-1}})y(g{{exp|-1}}){{exp|-1}} (symétrie) :si y = gxg{{exp|-1}} et z = hyh{{exp|-1}}, alors z = hgxg{{exp|-1}}h{{exp|-1}} = (hg)x(hg){{exp|-1}} (transitivité). {{Définition | contenu = Les classes selon cette relation d'équivalence sont appelées les classes de conjugaison (dans G). Si deux éléments de ''G'' sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu’ils sont conjugués (dans ''G''). }} (On verra dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]] que le cardinal de la classe de conjugaison d'un élément d'un groupe divise toujours l'ordre de ce groupe.) Si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que <math>A = gBg^{-1}</math>, on dit que A est conjugué de B (dans G), ou, plus précisément, est le conjugué de B (dans G) par g. Ici encore, on vérifie que cela définit une relation d'équivalence entre sous-ensembles de ''G''. Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H. On a déjà rencontré les sous-groupes conjugués d'un sous-groupe dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Si H est un sous-groupe de G, le conjugué de H (dans G) par un élément h de H est égal à H. (En effet, puisque h et h⁻¹ appartiennent à H, la classe à gauche hH et la classe à droite Hh⁻¹ sont égales à H, donc hHh⁻¹ = (hH)h⁻¹ = Hh⁻¹ = H.) En particulier, le conjugué de G (dans G) par n’importe quel élément de G est G lui-même. Notons que certains auteurs<ref>Notre définition est conforme à J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, exer. 1.47, p. 18, ou encore p. 44. H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, adoptent l'autre définition.</ref> définissent le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg. Ce qui suit montre un avantage de cette définition. On note souvent x^g (resp. H^g) le conjugué d'un élément x (resp. d'un sous-groupe H) par un élément g<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, p. 44, qui pose H^g = gHg⁻¹ ; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, qui définissent le conjugué de x par g comme égal à g⁻¹xg et posent x^g = gxg⁻¹.</ref>. Si, comme nous l'avons fait, on définit le conjugué de x par g comme étant gxg⁻¹, on a alors :(x^g)^h = x^hg ; si, au contraire, on définit le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg, on a :(x^g)^h = x^gh, ce qui est évidemment plus agréable. Nous retrouverons cette problématique dans le cadre plus général des opérations à gauche et à droite d'un groupe sur un ensemble. Deux éléments conjugués dans le groupe ''G'' sont images l'un de l'autre par des automorphismes de ''G'' et on montre facilement que l'image d'un élément ''x'' par un automorphisme de ''G'' a le même ordre que ''x''. Donc deux éléments conjugués ont toujours le même ordre. Soient ''x'' et ''y'' deux éléments du groupe ''G''. Nous avons <math> xy = y^{-1}(yx)y</math>, donc xy et yx sont conjugués. En particulier, ils ont le même ordre. (Nous l'avons démontré plus lourdement dans un exercice.) Un élément de G est point fixe de la conjugaison par g si et seulement s'il commute avec g. Il est point fixe de tous les automorphismes intérieurs si et seulement s'il commute avec tout élément de G, autrement dit s'il appartient au centre de G. == Centralisateur == {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. On appelle centralisateur de ''x'' (dans ''G'') et l'on note C_''G''(''x'') l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec ''x''. }} Il est clair que C_''G''(''x'') est l’ensemble des points fixes de la conjugaison par ''x'' ; comme l’ensemble des points fixes d'un automorphisme est un sous-groupe, C_''G''(''x'') est un sous-groupe de G. C_''G''(''x'') est aussi l’ensemble des <math>g \in G</math> tels que ''x'' soit point fixe de la conjugaison par ''g''. Ce dernier point sera développé dans le chapitre sur les [[../Action de groupe|actions de groupe]]. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centralisateur}} Si A est une partie de G, on appelle ''centralisateur de A (dans G)'' et l'on note C{{ind|G}}(A) l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tout élément de A. }} Le centralisateur de A est donc l'intersection des centralisateurs des éléments de A. Puisqu'une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G, le centralisateur de A est un sous-groupe de G. (Si A est vide, on ne peut théoriquement pas parler de l'intersection des centralisateurs d'éléments de A, car l'intersection d'une famille vide d'ensembles n’est pas définie, mais il est clair que si A est vide, le centralisateur de A est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.) Le centralisateur (dans G) de G lui-même est le centre de G. Le centre de G est contenu dans le centralisateur de toute partie de G. {{Proposition | contenu = Soient X et Y deux parties d'un groupe G. Si tout élément de X commute avec tout élément de Y, alors tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Puisque tout élément de X commute avec tout élément de Y, X est contenu dans le centralisateur de Y. Puisque le centralisateur de Y est un groupe, il en résulte, par minimalité de ⟨X⟩, que ⟨X⟩ est contenu dans le centralisateur de Y. Ceci revient à dire que tout élément de Y commute avec tout élément de ⟨X⟩, donc Y est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩. Par minimalité de ⟨Y⟩, il en résulte que ⟨Y⟩ est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩, ce qui revient à dire que tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Si tous les éléments de X commutent entre eux, G est commutatif. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Faire Y = X dans la proposition qui précède. }} On se convainc facilement (voir exercices) que si ''a''₁, ... , ''a_n'' sont des éléments d'un groupe ''G'' qui commutent entre eux, le sous-groupe de ''G'' engendré par ''a''₁, ... , ''a_n'' est l’ensemble des éléments de la forme :<math>a_1^{r_1}\ldots a_n^{r_n},</math> où ''r''₁, ... , ''r_n'' parcourent les entiers relatifs. == Normalisateur == [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Rappelons]] la définition : {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' tels que <math>gHg^{-1} = H</math>, est appelé le normalisateur de ''H'' (dans ''G'') et noté N_''G''(''H''). }} Comme on l'a vu, N_''G''(''H'') est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dont ''H'' soit sous-groupe normal. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, autrement dit si ''g'' appartient à N_''G''(''H''). On dit qu'un sous-groupe ''K'' de ''G'' normalise ''H'' si tout élément de ''K'' normalise ''H'', autrement dit si ''K'' est contenu dans le normalisateur N_''G''(''H'') de ''H''. Il est clair que N_''G''(''H'') contient à la fois ''H'' et le centralisateur de ''H'' (dans ''G''). On a vu que Z(''G'') est contenu dans C_''G''(''H'') ; ''a fortiori'', il est contenu dans N_''G''(''H''). {{Lemme | titre = Observation | contenu = Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H''. Un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si et seulement si {{nobr|''g''^-1''Xg''}} et ''gXg''^-1 sont tous deux contenus dans ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Soit ''g'' un élément de G tel que g^-1Xg et gXg^-1 soient tous deux contenus dans H. Désignons par f_g l'automorphisme intérieur <math>\ x \mapsto g^{-1}xg</math> de G. L'hypothèse selon laquelle g^-1Xg est contenu dans H revient à dire que :<math>f_g(X)\subseteq H.</math> Puisque le second membre est un sous-groupe de G, on a donc :<math>\langle f_g(X)\rangle\subseteq H.</math> Cela peut s'écrire :<math>f_g(\langle X\rangle)\subseteq H,</math> autrement dit :<math>f_g(H)\subseteq H,</math> ou encore :<math>g^{-1}Hg\subseteq H.</math> Les hypothèses sur ''g'' sont également satisfaites par g^-1, donc on a aussi :<math>gHg^{-1}\subseteq H.</math> Ces deux résultats montrent que ''g'' normalise H. }} En particulier, si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H'', alors, pour prouver que ''K'' normalise ''H'', il suffit, puisque ''K'' est une partie symétrique de ''G'' (c'est-à-dire que ''K''^-1 = ''K''), de prouver que pour tout élément ''g'' de ''K'', ''g''^-1''Xg'' est contenu dans ''H''. {{Lemme | titre = Lemme N/C | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' est un sous-groupe distingué du normalisateur N_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' et le quotient N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} {{Démonstration | contenu = Soit ''g'' un élément du normalisateur N_''G''(''H'') d'un sous-groupe ''H'' de ''G''. Puisque ''g'' normalise ''H'', l'automorphisme intérieur <math>\mathrm{Int}(g) : x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'' induit un automorphisme (non forcément intérieur) de ''H''. En faisant correspondre à chaque élément ''g'' de N_''G''(''H'') l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''H'', nous définissons un homomorphisme de N_''G''(''H'') dans Aut(''H''), et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G''. Cela montre que C_''G''(''H'') est un sous-groupe distingué de N_''G''(''H''). De plus, d’après le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Les trois théorèmes d.27isomorphisme|premier théorème d'isomorphisme]], N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} '''Remarque.''' Selon W. R. Scott, « ''ce théorème presque trivial est d'une grande importance en théorie des groupes''<ref>W. R. Scott, ''Group theory'', 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 50.</ref>. » == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} gq4jjmjagxrz765zib0fqdn2r0e4j1w 14 45359 981393 385154 2026-04-01T23:00:48Z ~2026-20319-03 80077 a{{Langue|xx|texte=}} 981393 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:Utilisateurs par profil]] á 6yeofecozz1s5t2f6al5rbzno1pyacc 4 80727 981387 981191 2026-04-01T12:28:00Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 981387 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. 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