Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.22 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 819 981444 981438 2026-04-07T06:08:44Z Marvoir 1746 /* Cœur d'un sous-groupe */ petite remarque 981444 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, ceci est aussi vrai pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Cœur d'un sous-groupe == Si K est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe normal de G contenant K, à savoir le sous-groupe de G engendré par K, que nous avons étudié plus haut. Nous allons voir qu'il y a un phénomène «dual» de celui-là, à savoir que si H est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Le cœur de H dans G (noté cœur_G(H) ou encore <math>H_{G}</math>) est par définition l'intersection des G-conjugués de H. Donc :<math>H_{G} = \bigcap _{x \in G} x H x^{-1}</math> }} {{Théorème |contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H (« plus grand » s'entendant au sens de l'inclusion). Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H, le groupe quotient <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. (Rappelons que, H n'étant pas supposé normal dans G, on ne munit pas G/H d'une structure de groupe.) En particulier, si H est d'indice fini ''n'' dans G, l'indice de <math>H_{G}</math> dans G est lui aussi fini et divise n!. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>H_{G}</math> est l'intersection d'une famille de sous-groupes de G et est donc un sous-groupe de G. Puisque H est évidemment un de ses propres conjugués dans G,<math>H_{G}</math> est donc un sous-groupe de G contenu dans H (autrement dit est un sous-groupe de H).</br> Prouvons que :<math>H_{G}</math> est normal dans G. (En fait, nous verrons plus loin que <math>H_{G}</math> peut être défini comme le noyau d'un certain homomorphisme de groupes partant de G, ce qui suffirait à prouver qu'il est normal dans G.)</br> Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que :(thèse 1) <math>g H_{G}g^{-1} = H_{G}.</math> Par définition de <math>H_{G}</math>, :(2) <math>g H_{G}g^{-1} = g (\bigcap _{x \in G} x H x^{-1}) g^{-1}.</math> On vérifie facilement que si <math>(K_{i})_{i \in I}</math> est une famille non vide de sous-groupes d'un groupe G, alors, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g (\bigcap _{i \in I} K_{i}) g^{-1} = \bigcap _{i \in I} (g K_{i} g^{-1})</math>, donc (2) peut s'écrire : <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} (g x H x^{-1} g^{-1})</math> ou encore :(3) <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} ( (g x) H (g x)^{-1})</math>. Pour un élément ''g'' donné de G, <math>x \mapsto gx</math> définit une permutation de l'ensemble G, donc (3) peut s'écrire :<math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{y \in G} (y H y^{-1})</math>, autrement dit <math>g H_{G} g^{-1} = H_{G},</math> ce qui prouve la thèse (1), donc :<math>H_{G}</math> est normal dans G. }} La suite pour bientôt. == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} dncypdzl5c7jpmlpq0n65wsabousqo3 981445 981444 2026-04-07T06:41:17Z Marvoir 1746 /* Cœur d'un sous-groupe */ Terminé la seconde partie de la démonstration. La suite pour bientôt. 981445 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, ceci est aussi vrai pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Cœur d'un sous-groupe == Si K est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe normal de G contenant K, à savoir le sous-groupe de G engendré par K, que nous avons étudié plus haut. Nous allons voir qu'il y a un phénomène «dual» de celui-là, à savoir que si H est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Le cœur de H dans G (noté cœur_G(H) ou encore <math>H_{G}</math>) est par définition l'intersection des G-conjugués de H. Donc :<math>H_{G} = \bigcap _{x \in G} x H x^{-1}</math> }} {{Théorème |contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H (« plus grand » s'entendant au sens de l'inclusion). Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H, le groupe quotient <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. (Rappelons que, H n'étant pas supposé normal dans G, on ne munit pas G/H d'une structure de groupe.) En particulier, si H est d'indice fini ''n'' dans G, l'indice de <math>H_{G}</math> dans G est lui aussi fini et divise n!. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>H_{G}</math> est l'intersection d'une famille de sous-groupes de G et est donc un sous-groupe de G. Puisque H est évidemment un de ses propres conjugués dans G,<math>H_{G}</math> est donc un sous-groupe de G contenu dans H (autrement dit est un sous-groupe de H).</br> Prouvons que :<math>H_{G}</math> est normal dans G. (En fait, nous verrons plus loin que <math>H_{G}</math> peut être défini comme le noyau d'un certain homomorphisme de groupes partant de G, ce qui suffirait à prouver qu'il est normal dans G.)</br> Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que :(thèse 1) <math>g H_{G}g^{-1} = H_{G}.</math> Par définition de <math>H_{G}</math>, :(2) <math>g H_{G}g^{-1} = g (\bigcap _{x \in G} x H x^{-1}) g^{-1}.</math> On vérifie facilement que si <math>(K_{i})_{i \in I}</math> est une famille non vide de sous-groupes d'un groupe G, alors, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g (\bigcap _{i \in I} K_{i}) g^{-1} = \bigcap _{i \in I} (g K_{i} g^{-1})</math>, donc (2) peut s'écrire : <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} (g x H x^{-1} g^{-1})</math> ou encore :(3) <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} ( (g x) H (g x)^{-1})</math>. Pour un élément ''g'' donné de G, <math>x \mapsto gx</math> définit une permutation de l'ensemble G, donc (3) peut s'écrire :<math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{y \in G} (y H y^{-1})</math>, autrement dit <math>g H_{G} g^{-1} = H_{G},</math> ce qui prouve la thèse (1), donc :<math>H_{G}</math> est normal dans G. Prouvons maintenant que <math>H_{G}</math> est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.</br> Soit K un sous-groupe normal de G contenu dans H; il s'agit de prouver que :(thèse 4) <math>K \leq H_{G}</math>. Puisque K est normal dans G, nous avons, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g K g^{-1} = K</math>. Par hypothèse sur K, le membre droit est contenu dans H, donc, pour tout élément ''g'' de G, nous avons :<math>g K g^{-1} \leq H</math>, d'où :<math>K \leq g^{-1} H g</math>. Cela étant vrai pour tout élément ''g'' de G, nous avons donc :(5) <math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g^{-1} H g</math>. Puisque <math>g \mapsto g^{-1}</math> définit une permutation de l'ensemble G, la relation (5) peut s'écrire :<math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g H g^{-1}</math>, c'est-à-dire :<math>K \leq H_{G}</math>, ce qui prouve la thèse (4). Donc :<math>H_{G}</math> est bien le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. }} La suite pour bientôt. == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} fxwei4ifua161wjmcavjt2qwxrjeyu8 0 13933 981441 840734 2026-04-06T15:20:09Z ~2026-21197-08 80099 981441 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = français | numéro = 4 | précédent = [[../L'impératif/]] | suivant = [[../Le subjonctif/]] | niveau = 6 }} == Le conditionnel == Rappelons que le conditionnel se forme de la racine du verbe au futur et de la terminaison à l'imparfait : {{Exemple | contenu = manger(je)=> futur : je '''manger'''ai+ imparfait : je mang'''e'''''ais'' = conditionnel : je '''manger''' ''ais'' }} == Etre au conditionnel présent == {| class="wikitable" !Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué |- |j'(je)||aurais |- |tu||aurais |- |il/elle/on||aurait |- |nous||aurions |- |vous||auriez |- |ils/elles||auraient |} == Avoir au conditionnel passé {{1re}} forme == {| class="wikitable" !Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé |- |j'(je)||aurais||eu |- |tu||aurais||eu |- |il/elle/on||aurait||eu |- |nous||aurions||eu |- |vous||auriez||eu |- |ils/elles||auraient||eu |} == Avoir au conditionnel passé 2^ème forme == {| class="wikitable" !Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé |- |j'(je)||eusse||eu |- |tu||eusses||eu |- |il/elle/on||eût||eu |- |nous||eussions||eu |- |vous||eussiez||eu |- |ils/elles||eussent||eu |} Voilà pour le conditionnel ! {{Bas de page | idfaculté = français | précédent = [[../L'impératif/]] | suivant = [[../Le subjonctif/]] }} [[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]] mfmn89vqmg2cf7j1u6lqk4v9vybbf84 981442 981441 2026-04-06T16:03:07Z Crochet.david 317 Révocation d’une modification de [[Special:Contributions/~2026-21197-08|~2026-21197-08]] ([[User talk:~2026-21197-08|discussion]]) vers la dernière version de [[User:Fourmidable|Fourmidable]] 840734 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = français | numéro = 4 | précédent = [[../L'impératif/]] | suivant = [[../Le subjonctif/]] | niveau = 6 }} == Le conditionnel == Rappelons que le conditionnel se forme de la racine du verbe au futur et de la terminaison à l'imparfait : {{Exemple | contenu = manger(je)=> futur : je '''manger'''ai+ imparfait : je mang'''e'''''ais'' = conditionnel : je '''manger''' ''ais'' }} == Avoir au conditionnel présent == {| class="wikitable" !Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué |- |j'(je)||aurais |- |tu||aurais |- |il/elle/on||aurait |- |nous||aurions |- |vous||auriez |- |ils/elles||auraient |} == Avoir au conditionnel passé {{1re}} forme == {| class="wikitable" !Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé |- |j'(je)||aurais||eu |- |tu||aurais||eu |- |il/elle/on||aurait||eu |- |nous||aurions||eu |- |vous||auriez||eu |- |ils/elles||auraient||eu |} == Avoir au conditionnel passé 2^ème forme == {| class="wikitable" !Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé |- |j'(je)||eusse||eu |- |tu||eusses||eu |- |il/elle/on||eût||eu |- |nous||eussions||eu |- |vous||eussiez||eu |- |ils/elles||eussent||eu |} Voilà pour le conditionnel ! {{Bas de page | idfaculté = français | précédent = [[../L'impératif/]] | suivant = [[../Le subjonctif/]] }} [[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]] 4e0ufsya3fqu19seicmr2hwwmzapvoz 4 86055 981443 981421 2026-04-06T16:19:19Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-15 */ nouvelle section 981443 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|04}}{{Clr}}</noinclude> == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 3 avril 2026 à 17:11 (UTC) <!-- Message envoyé par User:ZI Jony@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Actualités techniques n° 2026-15 == <section begin="technews-2026-W15"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents|extension CampaignEvents]] comprend désormais une nouvelle fonctionnalité de définition d’objectifs de groupe, permettant aux organisateurs de définir et de suivre les objectifs de l’événement, tels que le nombre d’articles créés et de contributeurs participants en temps réel. De même, les participants peuvent travailler vers des cibles communes et voir leur impact collectif au fur et à mesure que l’événement se déroule. Cette fonctionnalité est désormais disponible sur tous les wikis Wikimedia. Pour en savoir plus, consultez [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Collaborative contributions#Goal setting|la documentation]]. * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] La nouvelle fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist labels|étiquettes de liste de suivi]] (annoncée dans les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Actualités techniques 2026-07 ]]) est désormais disponible via l'ÉditeurVisuel, l'éditeur de code et l'«étoile de suivi»(ou le lien de suivi, pour les habillages qui n'ont pas d'icône d'étoile). Auparavant, il n'était possible d'attribuer des étiquettes que via [[Special:EditWatchlist|Modifier la liste de suivi]]. Dans ces trois emplacements, il s'agit d'un nouveau champ situé après le champ d'expiration. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:23|la tâche soumise|les {{formatnum:23}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:23||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème où les pages de discussion sur mobile avec Parsoid sont inutilisables après les en-têtes de section vides, a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|fonctionnalité de sous-référencement]], qui permet aux contributeurs d'ajouter des détails à une référence existante sans la dupliquer, sera progressivement déployée sur [[phab:T414094|davantage de wikis]] plus tard cette année. Les wikis utilisant le gadget [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Reference Tooltips]] sont encouragés à mettre à jour leur version (généralement sur [[m:MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js|MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js]] comme indiqué [https://en.wikipedia.org/w/index.php?diff=1344408362 ici]) pour assurer la compatibilité. D'autres gadgets liés aux références pourraient également être affectés. [https://phabricator.wikimedia.org/T416304] * Toutes les éditions de Wikinews seront fermées et passeront en mode lecture seule le 4 mai 2026. Le contenu restera accessible, mais aucune nouvelle modification ni aucun nouvel article ne pourra être ajouté. Cette fermeture a été approuvée par le Conseil d'administration de la Fondation Wikimedia à la suite de discussions prolongées. [[m:Wikimedia Foundation Board noticeboard#Board of Trustees Approves Closure of Wikinews|En savoir plus]]. * L'[[:mw:Special:MyLanguage/API:Action API|API d'action]] a proposé plusieurs formats pour les résultats demandés. L'un d'entre eux, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>format=php</nowiki></code></bdi>, sera bientôt supprimé. Veuillez vous assurer que vos scripts ou robots utilisent le [[mw:Special:MyLanguage/API:Data formats#Output|format JSON]]. Cette suppression devrait affecter très peu de scripts et de robots. [https://phabricator.wikimedia.org/T118538] * La page [[Special:NamespaceInfo|Special:NamespaceInfo]] inclut désormais les alias d'espace de noms. Par exemple «WP» pour l'espace de noms ''Projet'' (''Wikipédia'') sur la Wikipédia en allemand. [https://phabricator.wikimedia.org/T381455] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.23|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W15"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 6 avril 2026 à 16:19 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30362761 --> t410wm5q8kigk1r64yxirkdtlkeveaa