Utilisateur:Marvoir

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      <text bytes="23005" sha1="r4pm98szyl7fib6t6txobmrnsatygpo" xml:space="preserve">== Mes contributions ==
Je contribue au cours de [[Théorie des groupes]]. On peut discuter avec moi si on pense trouver des erreurs ou des lourdeurs inutiles dans ce cours. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 14 mai 2020 à 13:58 (UTC)

Voir aussi la page [[Recherche:Affaire Skripal]] que j'ai créée. Cette page est encore embryonnaire. Si Dieu me prête vie, j'essaierai de la développer. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 26 août 2021 à 15:49 (UTC)

== Dégradations de Wikipédia en mon absence ==

1) Une IP a ajouté le 31 janvier 2021 un titre de section &quot;Une autre interprétation est d'ordre musical&quot; à l'article &quot;Au temps pour moi&quot; de Wikipédia. Ce qui correspond à ce titre est un travail inédit sans aucune source. Qu'en pense [[Utilisateur:JLM|JLM]], qui semble suivre l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 24 septembre 2021 à 08:23 (UTC)
:Pas de réaction ? Alors, qu'en pense [[w:Utilisateur:Asmoth|Asmoth]], qui est intervenu dans l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 28 septembre 2021 à 08:34 (UTC)
::Pas de réaction ? Alors qu'en pense [[Utilisateur:Schlum|Schlum]], qui est intervenu plusieurs fois dans l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 28 janvier 2022 à 08:58 (UTC)

2) Le 22 septembre 2021, dans l'article &quot;Rasoir d'Ockham&quot; de Wikipédia, une IP a remplacé &quot;mots&quot; par &quot;maux&quot; dans la phrase de Valéry « Entre deux mots, il faut choisir le moindre. » Qu'en pense [[Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST|Jean-Christophe BENOIST]], qui semble suivre l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 24 septembre 2021 à 08:23 (UTC)
:Réverté. Merci pour ta vigilance. --[[Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST|Jean-Christophe BENOIST]] ([[Discussion utilisateur:Jean-Christophe BENOIST|discussion]]) 24 septembre 2021 à 08:45 (UTC)
::Merci. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 24 septembre 2021 à 10:39 (UTC)

3) Le 24 février 2020, [[w:Utilisateur:Llouest|Llouest]] a gâté une référence à la fin de la section &quot;Son travail de journaliste&quot; dans l'article &quot;Arturo Pérez-Reverte&quot;. Plus tard, une IP a corrigé imparfaitement. Il serait souhaitable de rétablir la forme correcte de la référence. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 28 septembre 2021 à 08:34 (UTC)

4) Dans l'article Vivekananda, j'avais écrit : &quot;de même que la nature répugne à ce que des Blancs mêlent leur sang ...&quot;. [[Utilisateur:Asterix757|Asterix757]] a remplacé ça par &quot;de même que la nature ne permet pas, selon lui, à ce que des Blancs mêlent leur sang ...&quot; &quot;Permettre à ce que&quot; n'est pas français. [[Utilisateur:Asterix757|Asterix757]] aura peut-être à cœur de corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 novembre 2021 à 11:36 (UTC)

5) Le 5 juin 2021, dans la bibliographie de l'article Nostradamus, une IP a ajouté &quot;Nostradamus et la fin des temps&quot;, d'un certain Chaulveron. Le même jour, [[Utilisateur:JLM|JLM]] a réverté, mais l'IP est revenue à la charge et JLM, apparemment, s'est découragé. Pour avoir une idée du livre de Chaulveron, il suffit de lire la description que son auteur en donne sur [https://fr.scribd.com/book/448962949/Nostradamus-et-la-fin-des-temps-Deuxieme-version-augmentee Scribd] : &quot;Il prédit avec moult détails la fuite de Louis XVI et de Marie-Antoinette à Varennes (1791)&quot;. En fait, le fameux &quot;quatrain de Varennes&quot;, que les dévots de Nostradamus ont laborieusement rapproché de la fuite de Louis XVI, a visiblement été fabriqué à l'aide d'un guide de voyages publié à l'époque de Nostradamus, comme l'universitaire Chantal Liaroutzos l'a surabondamment prouvé. (Voir la section &quot;Quelques quatrains qui semblent avoir été copiés&quot;.) [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 16 décembre 2021 à 17:43 (UTC) Merci à la personne qui a réverté sur Wikipédia. (Je suis privé de la possibilité de remercier moi-même sur Wikipédia.) [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 17 décembre 2021 à 08:29 (UTC)
:L'IP revient à la charge, en alléguant que dans le même texte où il a signalé que Nostradamus &quot;trichait parfois&quot; (en l'occurrence en copiant le récit de l'inauguration du roi Numa dans Tite-Live), Dumézil considère que Nostradamus, dans le &quot;quatrain de Varennes&quot;, a bel et bien prévu la fuite de Louis XVI. (Dumézil ne faisait là que reprendre une interprétation devenue traditionnelle chez les nostradamistes.) Il me semble qu'on peut répondre que Dumézil parlait selon sa documentation de l'époque et que les découvertes de Chantal Liaroutzos ont rendu ses idées périmées. L'IP trouve que la façon dont le texte de Dumézil est commenté dans la bibliographie de l'article est tendancieuse. On pourrait peut-être dire de façon plus sobre que les découvertes de Chantal Liaroutzos jetteront un tout autre éclairage sur le quatrain de Varennes. Quant à &quot;Chaulveron&quot;, que l'IP veut absolument ajouter à la bibliographie, quels sont ses titres à y figurer? Sans parler d'une recension universitaire, qui n'existe sûrement pas, a-t-il apporté quelque chose d'appréciable ? Signalé à toutes fins utiles à [[Utilisateur:JLM|JLM]] et à [[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]], qui sont intervenus dans cet article. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 19 février 2022 à 08:27 (UTC) Merci à la personne qui a transmis. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 19 février 2022 à 19:24 (UTC)
::Voici un argument de l'IP qui défend le livre de Chaulveron :
::&quot;Le quatrain IX-20 n'a pas été fabriqué postérieurement. Cela est chronologiquement impossible. Un peu de méthode dans votre critique. Le premier livre connu de Nostradamus qui évoque ce quatrain date de 1558 (édition Pierre Rigaud) disponible sur le site Gallica. Le mot &quot;Varennes&quot; apparaît à la page 176. Les Prophéties de M. Michel Nostradamus, dont il y en a trois cens qui n'ont encore jamais esté imprimées, adjoustées de nouveau par ledict autheur | Gallica (bnf.fr) Or la fuite de Varennes, s'est déroulé en 1791. (...) L'argument me semble très léger et à la limite du ridicule pour justifier le rejet du référencement.&quot;
::Visiblement, l'IP n'a pas compris. Personne ici ne prétend que le quatrain de Varennes a été écrit après la fuite de Louis XVI, ce qu'on dit, c'est que ce quatrain ressemble beaucoup moins à la fuite de Louis XVI qu'à un passage d'un guide de voyages qui avait été publié en 1553, et donc au moins cinq ans avant la publication du quatrain de Nostradamus. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 février 2022 à 09:45 (UTC)
:::L'IP dit aussi : &quot;Pour continuer sur Chaulveron, dans son livre &quot;Nostradamus et l'astrologie mondiale&quot;, il montre que Nostradamus, c'est inspiré de la Pythie de Delphes et de l'hydromancie. Il reprend presque mot pour mot dans les deux premiers quatrains de la première centurie la description des mystères de Jamblique (pour la Pythie) et la cité de Dieu de Saint-Augustin (pour l'hydromancie). Il montre également que Nostradamus a repris les travaux de deux astrologues de son époque (sans les citer), Richard Roussat et Pierre Turell. Il est à mon sens le premier à avoir fait ses rapprochements de manière aussi complète.&quot;
:::Ces choses-là sont depuis des années dans l'article de Wikipédia. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 février 2022 à 09:56 (UTC)
6) Aujourd'hui, [[w:Cordi-Allemand]] a mis l'article [[w:Jean-Marie Vianney]] en ce qu'il appelle du bon français. Voici quelques exemples de ce qu'il entend par là.

:1° Forme originale : &quot;Il semble que le père ait tenu grief à Jean-Marie de sa conduite en cette affaire.&quot; Nouvelle forme : &quot;Il semble que le père n'ait pardonné à Jean-Marie Vianney sa conduite en cette affaire.&quot;
:Google Livres trouve de nombreuses attestation de &quot;tenir grief&quot; depuis le dix-neuvième siècle, [https://books.google.be/books?id=kspYDwAAQBAJ&amp;pg=PT58&amp;dq=%22tenir+grief%22&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwjwgpaioe30AhUFtaQKHU0aDn0Q6AF6BAgQEAI#v=onepage&amp;q=%22tenir%20grief%22&amp;f=false notamment] chez [[w:Yves Gandon|Yves Gandon]], qui ne passe pas pour avoir écrit un mauvais français. Parmi les occurrences de &quot;tenir grief&quot; que j'ai trouvées par Google, je n'ai pas remarqué de condamnation de l'expression. La nouvelle forme, avec sa négation privée de la particule &quot;pas&quot; (sans doute pour éviter la cacophonie &quot;pas pardonné&quot;) a quelque chose d'affecté. Et pourquoi ajouter &quot;Vianney&quot; alors que tous les personnages dont il est question appartiennent à la famille Vianney ?
:2° Forme originale : &quot;N'étant plus déserteur&quot;. Nouvelle forme : &quot;N'étant plus considéré comme déserteur&quot;.
:Il n'était réellement plus déserteur, puisqu'il s'était fait remplacer.
:3° Forme originale : &quot;Il est très faible en [[philosophie]], bien qu'on lui donne des leçons particulières de cette branche en français, alors qu'elle s'enseigne normalement en latin.&quot; Nouvelle forme : &quot;Il est très mauvais en philosophie, bien qu'on lui donne des leçons particulières en français, alors qu'elle s'enseigne normalement en latin&quot;
:&quot;Il est mauvais&quot; n'est certainement pas meilleur que &quot;il est faible&quot;. Et pourquoi supprimer &quot;de cette branche&quot; dans &quot;des leçons particulières de cette branche&quot; ? Dans un livre du dix-neuvième siècle qui me semble écrit dans un français irréprochable, [https://books.google.be/books?id=Q-I6AAAAcAAJ&amp;pg=PA32&amp;lpg=PA32&amp;dq=%22des+le%C3%A7ons+de+ces+branches%22&amp;source=bl&amp;ots=YJI1EmeLqr&amp;sig=ACfU3U36TGROdS8jrBr6mMqq3mDUbihSCA&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwjR0cv9qe30AhVOgP0HHQlIAhUQ6AF6BAgCEAM#v=onepage&amp;q=%22des%20le%C3%A7ons%20de%20ces%20branches%22&amp;f=false on trouve] : &quot;qui veut se préparer à donner des leçons de ces branches&quot; (August Hermann Niemeyer, Principes d'éducation, Volume 3, 1841, traduction française par J.J. Lochmann, p. 32). De plus, dans la nouvelle forme, il faut remonter bien loin pour trouver l'antécédent de &quot;elle&quot;.
:4° Forme originale : &quot;Ses fidèles l'appellent leur curé&quot;. Nouvelle forme : « Ses fidèles l'appellent 'curé' ».
:La nouvelle forme donne l'impression que les fidèles ne lui disent pas &quot;Monsieur le curé&quot;, mais l'interpellent par le seul mot &quot;curé&quot;.  Je ne vois pas ce qu'il y a à reprocher à la formule &quot;Ses fidèles l'appellent leur curé&quot; (sans guillemets). Google Livres trouve &quot;Je l'appelais mon père&quot; et &quot;il l'appelait son père&quot; sans guillemets dans des sources de bon aloi.
:5° Forme originale : &quot;À la « Providence », le curé d'Ars prend sa part des plus humbles besognes. Par exemple, il tient à participer à la vidange des fosses d'aisance, tantôt comme spectateur et tantôt comme acteur.&quot; Nouvelle forme : &quot;À la « Providence », le curé d'Ars prend sa part des plus humbles besognes, notamment la vidange des fosses d'aisance, tantôt comme spectateur et tantôt comme acteur.&quot;
:La nouvelle forme, où les mots &quot;notamment la vidange des fosses d'aisance&quot; sont entre deux virgules, donne l'impression qu'il faut comprendre &quot;le curé d'Ars prend sa part des plus humbles besognes, tantôt comme spectateur et tantôt comme acteur.&quot; Or son rôle de spectateur n'est mentionné par la source qu'à propos de la vidange des fosses d'aisance, donc la forme originale est plus précise. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 décembre 2021 à 13:35 (UTC)
:J'ai aussi le devoir de signaler que [[w:Cordi-Allemand]] vient d'employer incorrectement le mot &quot;éponyme&quot; dans l'article [[w:Vianney]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 décembre 2021 à 15:35 (UTC)

7) Le 25 août 2020, une IP a introduit dans l'article [[w:Module sur un anneau|Module sur un anneau]] une définition incorrecte d'un module sur un anneau (comme si un module sur un anneau pouvait n'être ni un module à gauche ni un module à droite). [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 24 décembre 2021 à 09:36 (UTC)

8) Le 2 mai 2021, [[w:Utilisateur:Leparc|Leparc]] a introduit dans l'article [[w:Robert Bollack]] la faute d'orthographe « Charles Maurras les confirm'''ent''' ». Je suppose que Leparc me saura gré de lui avoir donné l'occasion de corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 26 décembre 2021 à 10:10 (UTC)

9) Le 4 février 2022, une IP a remplacé, dans l'article [[w:Nostradamus]], &quot;p. 28 et 30&quot; par &quot;p. 28 et 31&quot; dans une référence au livre de Mireille Huchon. C'est un vandalisme, c'est bien  &quot;p. 28 et 30&quot; qui est la référence correcte (j'ai le livre de Mireille Huchon sous les yeux). Ensuite, la même IP a remplacé une date &quot;c. 1614&quot; par &quot;c. 1613&quot; dans la légende d'un portrait de Nostradamus par son fils César, en se contentant de donner comme justification &quot;encore une faute&quot;. J'imagine que c'est encore un vandalisme. Peut-être [[Utilisateur:JLM|JLM]], qui est déjà intervenu dans l'article, jugera-t-il opportun de corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 21 février 2022 à 10:28 (UTC)
: {{done}} [[Utilisateur:JLM|JLM]] ([[Discussion utilisateur:JLM|discuter]]) 21 février 2022 à 10:53 (UTC)
::Merci beaucoup [[Utilisateur:JLM|JLM]], mais il me semble qu'à la fin de vos opérations, c'est le numéro de page erroné (31 au lieu de 30) qui subsiste. Vous pouvez peut-être vérifier que ce numéro est bien erroné en suivant un lien vers un téléchargement (illégal ?) du ivre de Mireille Huchon que quelqu'un a mis dans l'article Nostradamus. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 21 février 2022 à 16:22 (UTC)
::: {{désespoir}} [[Utilisateur:JLM|JLM]] ([[Discussion utilisateur:JLM|discuter]]) 21 février 2022 à 16:34 (UTC)

10) L'article [[w:Louis Pasteur]] dit : &quot;il accepte pour la science expérimentale l'épithète « positiviste », en ce sens qu'elle a pour domaine les causes secondes et s'abstient donc de spéculer sur les causes premières et sur l'essence des choses, mais il reproche à Auguste Comte et à Émile Littré d'avoir voulu imposer cette abstention à toute la pensée humaine.&quot; [[Utilisateur:Msbbb|Msbbb]] a mis un modèle selon lequel &quot;abstention à toute la pensée humaine&quot; n'est pas clair. Il ne s'agit pas d'une &quot;abstention à&quot;, il s'agit d'imposer à toute la pensée humaine une abstention qui, selon Pasteur, ne doit être imposée qu'à la pensée scientifique. Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 11 mars 2022 à 09:40 (UTC)
:[[Utilisateur:Msbbb|Msbbb]], vous avez été connecté à Wkikpédia le 12, donc vous avez sûrement reçu notification de mon message. Ne pourriez-vous vraiment pas enlever ce modèle absurde de l'article Louis Pasteur ? D'autres contributeurs ont accepté de bonne grâce de réverter des modifications malheureuses que je leur signalais, vous devriez montrer le même dévouement à la maintenance de Wikipédia. Cela me fait de la peine de voir des articles se dégrader en mon absence. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 13 mars 2022 à 09:34 (UTC) Merci à la personne qui a corrigé. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 15 mars 2022 à 17:08 (UTC)

11) Le 6 avril, [[w:Utilisatrice:Cymbella]] a ajouté à l'article [[w:Élie Fréron]] la catégorie Personnalité masculine utilisant un pseudonyme féminin. Peut-être Cymbella pourrait-elle préciser quel est ce pseudonyme féminin, dont, pour ma part, je n'ai jamais entendu parler. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 8 avril 2026 à 08:37 (UTC)&lt;/br&gt;
[[w:Utilisatrice:Cymbella]] est passée hier soir sur Wikipédia, donc elle devrait normalement avoir été avertie du message que j'ai posté ici hier matin à son intention, mais elle n'a pas donné signe de vie et elle a laissé la catégorie &quot;Personnalité masculine utilisant un pseudonyme féminin&quot;, sans dire dans l'article quel est le pseudonyme féminin que Fréron aurait utilisé. En attendant que Cymbella daigne s'expliquer, [[w:Utilisateur:Justelipse]], qui est intervenu dans l'article, pourrait peut-être supprimer la catégorie litigieuse ? Il se rachèterait ainsi d'avoir remplacé ([https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89lie_Fr%C3%A9ron&amp;diff=prev&amp;oldid=49184801 ici]) dans la forme correcte de l'épigramme de Voltaire (&quot;Un serpent mordit Jean Fréron&quot;), le mot &quot;mordit&quot; par la leçon incorrecte &quot;piqua&quot;. La forme &quot;mordit&quot; est bien la forme correcte, d'après [https://satires18.univ-st-etienne.fr/texte/voltaire-fr%C3%A9ron/sans-titre cette page de l'université Jean Monnet Saint-Étienne]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 9 avril 2026 à 07:49 (UTC)&lt;/br&gt;
Eh bien, semble-t-îl, [[w:Utilisatrice:Cymbella|Cymbella]] ne donnera aucune source autre que l'infobox sur le(s) pseudonyme(s) féminin(s) que, paraît-il, Fréron utilisa et [[w:Utilisateur:Justelipse|Justelipse]] n'entend pas revenir su sa &quot;correction&quot; fautive. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 avril 2026 à 06:19 (UTC)

== Varia ==
:1° Sur la question de savoir si la Marseillaise a été composée par Viotti, une bonne mise au point dans [https://www.alliancefranco-italienne.com/curiosita-la-marseillaise-composee-par-un-italien/ andiamo], le journal d'information de l'Alliance franco-italienne de Midi-Pyrénes : « Curiosità: l’hymne français a-t-il été composé par un Italien ? » [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 29 octobre 2021 à 18:49 (UTC)
:2° &quot;Franck Lavier, acquitté d’Outreau, renvoyé devant les assises pour le viol de l’une de ses filles&quot; ([https://www.lemonde.fr/societe/article/2021/11/13/franck-lavier-acquitte-d-outreau-renvoye-devant-les-assises-pour-le-viol-de-l-une-de-ses-filles_6101920_3224.html Le Monde, 13 novembre 2021]. Cela intéressera peut-être [[w:Utilisateur:JuanManuel Ascari|JuanManuel Ascari]], qui vient de travailler à l'article [[w:Affaire d'Outreau|Affaire d'Outreau]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 décembre 2021 à 14:43 (UTC)
:3° Aujourd'hui, [[w:Utilisateur:Theolichtenberg|Theolichtenberg]] a fait disparaître de l'article [[w:Claude Lanzmann|Claude Lanzmann]] le fait que Lanzmann a écrit au sujet du massacre de Katyn : &quot;que la propagande nazie attribua à Staline&quot;. Theolichtenberg affirme que le texte de Lanzmann est objectif. Pourtant, les mots &quot;que la propagande nazie attribua à Staline&quot; semblent dûment attestés. Peut-être Theolichtenberg pourrait-il faire des citations précises montrant l'objectivité de Lanzmann dans le texte en question ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 décembre 2021 à 15:42 (UTC)
:4° Dans l'article [[w:Robert Joly]], en note, il est question d'une lettre de Polycarpe aux &quot;Philippins&quot;. Il faut évidemment &quot;Philippiens&quot;. Un de ceux qui ont contribué à l'article, par exemple [[w:Utilisateur:Viator|Viator]], ou encore [[w:Utilisateur:Bruxellensis|Bruxellensis]], qui connaît bien ce qui concerne les personnalités bruxelloises, souhaitera peut-être corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 21 janvier 2022 à 11:36 (UTC)
:5° L'article [[w:Madame de La Fayette]], sous la rubrique &quot;Jugement&quot; (au singulier ?) comporte ceci :
:« Mme de La Fayette est la femme qui écrit le mieux et qui a le plus d'esprit. Elle se démarque brillamment par son caractère courtois ainsi que sa vigilance. » Boileau
:La seconde phrase (&quot;Elle se démarque brillamment par son caractère courtois ainsi que sa vigilance.&quot; a été ajoutée par un [[w:Wencker Matthieu]], dont la contribution sur [[w:Adrien]] montre clairement que c'était un vandale. Je doute fort que la seconde phrase soit de Boileau, entre autres parce que &quot;se démarquer&quot; dans le sens de &quot;se distinguer (de)&quot; ne semble pas attesté avant Barrès. Voyez [http://stella.atilf.fr/Dendien/scripts/tlfiv5/affart.exe?19;s=33452940;?b=0; le CNRTL] ou peut–être plutôt [http://atilf.atilf.fr/tlf.htm par ici], article &quot;démarquer&quot;, rubrique &quot;Étymol. et Hist.&quot;, vers la fin de l'article. [[Utilisateur:JLM|JLM]], qui est intervenu sur l'article [[w:Madame de La Fayette]], trouvera peut–être bon de supprimer la phrase en question ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 6 février 2022 à 16:25 (UTC)
:: fait [[Utilisateur:JLM|JLM]] ([[Discussion utilisateur:JLM|discuter]]) 6 février 2022 à 22:09 (UTC)
::Merci à [[Utilisateur:JLM|JLM]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 7 février 2022 à 07:41 (UTC)
:6° Le 14 février 2008, une IP a ajouté à l'article [[w:Claude Pouteau]] : &quot;Il a été le premier à décrire la fracture de l'extrémité inférieure du radius avec bascule posterieure avant que n'existe la radiographie et lui donnera son nom après qu'Abraham Colles en ai complété sa description: la fracture de pouteau-colles.&quot; C'est toujours dans l'article (sous une forme plus correcte).
:En fait, selon P. Liverneaux, « Les fractures dites de 'Pouteau-Colles' n’ont jamais été décrites par Pouteau. » Voir P. Liverneaux, &quot;What wrist fracture did Pouteau actually describe?&quot;, Chirurgie de la main, 2004 , 23, 6, p. 298-304, [https://www.infona.pl/resource/bwmeta1.element.elsevier-8c2aa46a-c9bd-35c6-ad82-efd8ef97c632 sommaire en ligne].
:[[w:Utilisateur:Olivia.Pullman|Olivia.Pullman]], qui a travaillé à l'article, trouvera peut-être utile de nuancer ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 8 février 2022 à 16:16 (UTC)
::Pas de réaction ? Peut-être [[Utilisateur:A VIE SAINE|A VIE SAINE]], qui a travaillé au passage en question, voudra-t-il nuancer ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 février 2022 à 13:28 (UTC)
:7° L'article [[w:Ignace d'Antioche]] lui aussi contient un mot &quot;Philippins&quot; qui devrait être remplacé par &quot;Philippiens&quot;. Peut-être [[w:Utilisateur:Viator|Viator]] ou [[w:Utilisateur:Bruxellensis|Bruxellensis]] voudra-t-il s'en charger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 février 2022 à 13:21 (UTC)</text>
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      <text bytes="23006" sha1="m6jqq3og1sgu62hz010jwy1m7scg1x9" xml:space="preserve">== Mes contributions ==
Je contribue au cours de [[Théorie des groupes]]. On peut discuter avec moi si on pense trouver des erreurs ou des lourdeurs inutiles dans ce cours. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 14 mai 2020 à 13:58 (UTC)

Voir aussi la page [[Recherche:Affaire Skripal]] que j'ai créée. Cette page est encore embryonnaire. Si Dieu me prête vie, j'essaierai de la développer. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 26 août 2021 à 15:49 (UTC)

== Dégradations de Wikipédia en mon absence ==

1) Une IP a ajouté le 31 janvier 2021 un titre de section &quot;Une autre interprétation est d'ordre musical&quot; à l'article &quot;Au temps pour moi&quot; de Wikipédia. Ce qui correspond à ce titre est un travail inédit sans aucune source. Qu'en pense [[Utilisateur:JLM|JLM]], qui semble suivre l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 24 septembre 2021 à 08:23 (UTC)
:Pas de réaction ? Alors, qu'en pense [[w:Utilisateur:Asmoth|Asmoth]], qui est intervenu dans l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 28 septembre 2021 à 08:34 (UTC)
::Pas de réaction ? Alors qu'en pense [[Utilisateur:Schlum|Schlum]], qui est intervenu plusieurs fois dans l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 28 janvier 2022 à 08:58 (UTC)

2) Le 22 septembre 2021, dans l'article &quot;Rasoir d'Ockham&quot; de Wikipédia, une IP a remplacé &quot;mots&quot; par &quot;maux&quot; dans la phrase de Valéry « Entre deux mots, il faut choisir le moindre. » Qu'en pense [[Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST|Jean-Christophe BENOIST]], qui semble suivre l'article ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 24 septembre 2021 à 08:23 (UTC)
:Réverté. Merci pour ta vigilance. --[[Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST|Jean-Christophe BENOIST]] ([[Discussion utilisateur:Jean-Christophe BENOIST|discussion]]) 24 septembre 2021 à 08:45 (UTC)
::Merci. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 24 septembre 2021 à 10:39 (UTC)

3) Le 24 février 2020, [[w:Utilisateur:Llouest|Llouest]] a gâté une référence à la fin de la section &quot;Son travail de journaliste&quot; dans l'article &quot;Arturo Pérez-Reverte&quot;. Plus tard, une IP a corrigé imparfaitement. Il serait souhaitable de rétablir la forme correcte de la référence. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 28 septembre 2021 à 08:34 (UTC)

4) Dans l'article Vivekananda, j'avais écrit : &quot;de même que la nature répugne à ce que des Blancs mêlent leur sang ...&quot;. [[Utilisateur:Asterix757|Asterix757]] a remplacé ça par &quot;de même que la nature ne permet pas, selon lui, à ce que des Blancs mêlent leur sang ...&quot; &quot;Permettre à ce que&quot; n'est pas français. [[Utilisateur:Asterix757|Asterix757]] aura peut-être à cœur de corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 novembre 2021 à 11:36 (UTC)

5) Le 5 juin 2021, dans la bibliographie de l'article Nostradamus, une IP a ajouté &quot;Nostradamus et la fin des temps&quot;, d'un certain Chaulveron. Le même jour, [[Utilisateur:JLM|JLM]] a réverté, mais l'IP est revenue à la charge et JLM, apparemment, s'est découragé. Pour avoir une idée du livre de Chaulveron, il suffit de lire la description que son auteur en donne sur [https://fr.scribd.com/book/448962949/Nostradamus-et-la-fin-des-temps-Deuxieme-version-augmentee Scribd] : &quot;Il prédit avec moult détails la fuite de Louis XVI et de Marie-Antoinette à Varennes (1791)&quot;. En fait, le fameux &quot;quatrain de Varennes&quot;, que les dévots de Nostradamus ont laborieusement rapproché de la fuite de Louis XVI, a visiblement été fabriqué à l'aide d'un guide de voyages publié à l'époque de Nostradamus, comme l'universitaire Chantal Liaroutzos l'a surabondamment prouvé. (Voir la section &quot;Quelques quatrains qui semblent avoir été copiés&quot;.) [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 16 décembre 2021 à 17:43 (UTC) Merci à la personne qui a réverté sur Wikipédia. (Je suis privé de la possibilité de remercier moi-même sur Wikipédia.) [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 17 décembre 2021 à 08:29 (UTC)
:L'IP revient à la charge, en alléguant que dans le même texte où il a signalé que Nostradamus &quot;trichait parfois&quot; (en l'occurrence en copiant le récit de l'inauguration du roi Numa dans Tite-Live), Dumézil considère que Nostradamus, dans le &quot;quatrain de Varennes&quot;, a bel et bien prévu la fuite de Louis XVI. (Dumézil ne faisait là que reprendre une interprétation devenue traditionnelle chez les nostradamistes.) Il me semble qu'on peut répondre que Dumézil parlait selon sa documentation de l'époque et que les découvertes de Chantal Liaroutzos ont rendu ses idées périmées. L'IP trouve que la façon dont le texte de Dumézil est commenté dans la bibliographie de l'article est tendancieuse. On pourrait peut-être dire de façon plus sobre que les découvertes de Chantal Liaroutzos jetteront un tout autre éclairage sur le quatrain de Varennes. Quant à &quot;Chaulveron&quot;, que l'IP veut absolument ajouter à la bibliographie, quels sont ses titres à y figurer? Sans parler d'une recension universitaire, qui n'existe sûrement pas, a-t-il apporté quelque chose d'appréciable ? Signalé à toutes fins utiles à [[Utilisateur:JLM|JLM]] et à [[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]], qui sont intervenus dans cet article. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 19 février 2022 à 08:27 (UTC) Merci à la personne qui a transmis. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 19 février 2022 à 19:24 (UTC)
::Voici un argument de l'IP qui défend le livre de Chaulveron :
::&quot;Le quatrain IX-20 n'a pas été fabriqué postérieurement. Cela est chronologiquement impossible. Un peu de méthode dans votre critique. Le premier livre connu de Nostradamus qui évoque ce quatrain date de 1558 (édition Pierre Rigaud) disponible sur le site Gallica. Le mot &quot;Varennes&quot; apparaît à la page 176. Les Prophéties de M. Michel Nostradamus, dont il y en a trois cens qui n'ont encore jamais esté imprimées, adjoustées de nouveau par ledict autheur | Gallica (bnf.fr) Or la fuite de Varennes, s'est déroulé en 1791. (...) L'argument me semble très léger et à la limite du ridicule pour justifier le rejet du référencement.&quot;
::Visiblement, l'IP n'a pas compris. Personne ici ne prétend que le quatrain de Varennes a été écrit après la fuite de Louis XVI, ce qu'on dit, c'est que ce quatrain ressemble beaucoup moins à la fuite de Louis XVI qu'à un passage d'un guide de voyages qui avait été publié en 1553, et donc au moins cinq ans avant la publication du quatrain de Nostradamus. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 février 2022 à 09:45 (UTC)
:::L'IP dit aussi : &quot;Pour continuer sur Chaulveron, dans son livre &quot;Nostradamus et l'astrologie mondiale&quot;, il montre que Nostradamus, c'est inspiré de la Pythie de Delphes et de l'hydromancie. Il reprend presque mot pour mot dans les deux premiers quatrains de la première centurie la description des mystères de Jamblique (pour la Pythie) et la cité de Dieu de Saint-Augustin (pour l'hydromancie). Il montre également que Nostradamus a repris les travaux de deux astrologues de son époque (sans les citer), Richard Roussat et Pierre Turell. Il est à mon sens le premier à avoir fait ses rapprochements de manière aussi complète.&quot;
:::Ces choses-là sont depuis des années dans l'article de Wikipédia. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 février 2022 à 09:56 (UTC)
6) Aujourd'hui, [[w:Cordi-Allemand]] a mis l'article [[w:Jean-Marie Vianney]] en ce qu'il appelle du bon français. Voici quelques exemples de ce qu'il entend par là.

:1° Forme originale : &quot;Il semble que le père ait tenu grief à Jean-Marie de sa conduite en cette affaire.&quot; Nouvelle forme : &quot;Il semble que le père n'ait pardonné à Jean-Marie Vianney sa conduite en cette affaire.&quot;
:Google Livres trouve de nombreuses attestation de &quot;tenir grief&quot; depuis le dix-neuvième siècle, [https://books.google.be/books?id=kspYDwAAQBAJ&amp;pg=PT58&amp;dq=%22tenir+grief%22&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwjwgpaioe30AhUFtaQKHU0aDn0Q6AF6BAgQEAI#v=onepage&amp;q=%22tenir%20grief%22&amp;f=false notamment] chez [[w:Yves Gandon|Yves Gandon]], qui ne passe pas pour avoir écrit un mauvais français. Parmi les occurrences de &quot;tenir grief&quot; que j'ai trouvées par Google, je n'ai pas remarqué de condamnation de l'expression. La nouvelle forme, avec sa négation privée de la particule &quot;pas&quot; (sans doute pour éviter la cacophonie &quot;pas pardonné&quot;) a quelque chose d'affecté. Et pourquoi ajouter &quot;Vianney&quot; alors que tous les personnages dont il est question appartiennent à la famille Vianney ?
:2° Forme originale : &quot;N'étant plus déserteur&quot;. Nouvelle forme : &quot;N'étant plus considéré comme déserteur&quot;.
:Il n'était réellement plus déserteur, puisqu'il s'était fait remplacer.
:3° Forme originale : &quot;Il est très faible en [[philosophie]], bien qu'on lui donne des leçons particulières de cette branche en français, alors qu'elle s'enseigne normalement en latin.&quot; Nouvelle forme : &quot;Il est très mauvais en philosophie, bien qu'on lui donne des leçons particulières en français, alors qu'elle s'enseigne normalement en latin&quot;
:&quot;Il est mauvais&quot; n'est certainement pas meilleur que &quot;il est faible&quot;. Et pourquoi supprimer &quot;de cette branche&quot; dans &quot;des leçons particulières de cette branche&quot; ? Dans un livre du dix-neuvième siècle qui me semble écrit dans un français irréprochable, [https://books.google.be/books?id=Q-I6AAAAcAAJ&amp;pg=PA32&amp;lpg=PA32&amp;dq=%22des+le%C3%A7ons+de+ces+branches%22&amp;source=bl&amp;ots=YJI1EmeLqr&amp;sig=ACfU3U36TGROdS8jrBr6mMqq3mDUbihSCA&amp;hl=fr&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwjR0cv9qe30AhVOgP0HHQlIAhUQ6AF6BAgCEAM#v=onepage&amp;q=%22des%20le%C3%A7ons%20de%20ces%20branches%22&amp;f=false on trouve] : &quot;qui veut se préparer à donner des leçons de ces branches&quot; (August Hermann Niemeyer, Principes d'éducation, Volume 3, 1841, traduction française par J.J. Lochmann, p. 32). De plus, dans la nouvelle forme, il faut remonter bien loin pour trouver l'antécédent de &quot;elle&quot;.
:4° Forme originale : &quot;Ses fidèles l'appellent leur curé&quot;. Nouvelle forme : « Ses fidèles l'appellent 'curé' ».
:La nouvelle forme donne l'impression que les fidèles ne lui disent pas &quot;Monsieur le curé&quot;, mais l'interpellent par le seul mot &quot;curé&quot;.  Je ne vois pas ce qu'il y a à reprocher à la formule &quot;Ses fidèles l'appellent leur curé&quot; (sans guillemets). Google Livres trouve &quot;Je l'appelais mon père&quot; et &quot;il l'appelait son père&quot; sans guillemets dans des sources de bon aloi.
:5° Forme originale : &quot;À la « Providence », le curé d'Ars prend sa part des plus humbles besognes. Par exemple, il tient à participer à la vidange des fosses d'aisance, tantôt comme spectateur et tantôt comme acteur.&quot; Nouvelle forme : &quot;À la « Providence », le curé d'Ars prend sa part des plus humbles besognes, notamment la vidange des fosses d'aisance, tantôt comme spectateur et tantôt comme acteur.&quot;
:La nouvelle forme, où les mots &quot;notamment la vidange des fosses d'aisance&quot; sont entre deux virgules, donne l'impression qu'il faut comprendre &quot;le curé d'Ars prend sa part des plus humbles besognes, tantôt comme spectateur et tantôt comme acteur.&quot; Or son rôle de spectateur n'est mentionné par la source qu'à propos de la vidange des fosses d'aisance, donc la forme originale est plus précise. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 décembre 2021 à 13:35 (UTC)
:J'ai aussi le devoir de signaler que [[w:Cordi-Allemand]] vient d'employer incorrectement le mot &quot;éponyme&quot; dans l'article [[w:Vianney]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 18 décembre 2021 à 15:35 (UTC)

7) Le 25 août 2020, une IP a introduit dans l'article [[w:Module sur un anneau|Module sur un anneau]] une définition incorrecte d'un module sur un anneau (comme si un module sur un anneau pouvait n'être ni un module à gauche ni un module à droite). [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 24 décembre 2021 à 09:36 (UTC)

8) Le 2 mai 2021, [[w:Utilisateur:Leparc|Leparc]] a introduit dans l'article [[w:Robert Bollack]] la faute d'orthographe « Charles Maurras les confirm'''ent''' ». Je suppose que Leparc me saura gré de lui avoir donné l'occasion de corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 26 décembre 2021 à 10:10 (UTC)

9) Le 4 février 2022, une IP a remplacé, dans l'article [[w:Nostradamus]], &quot;p. 28 et 30&quot; par &quot;p. 28 et 31&quot; dans une référence au livre de Mireille Huchon. C'est un vandalisme, c'est bien  &quot;p. 28 et 30&quot; qui est la référence correcte (j'ai le livre de Mireille Huchon sous les yeux). Ensuite, la même IP a remplacé une date &quot;c. 1614&quot; par &quot;c. 1613&quot; dans la légende d'un portrait de Nostradamus par son fils César, en se contentant de donner comme justification &quot;encore une faute&quot;. J'imagine que c'est encore un vandalisme. Peut-être [[Utilisateur:JLM|JLM]], qui est déjà intervenu dans l'article, jugera-t-il opportun de corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 21 février 2022 à 10:28 (UTC)
: {{done}} [[Utilisateur:JLM|JLM]] ([[Discussion utilisateur:JLM|discuter]]) 21 février 2022 à 10:53 (UTC)
::Merci beaucoup [[Utilisateur:JLM|JLM]], mais il me semble qu'à la fin de vos opérations, c'est le numéro de page erroné (31 au lieu de 30) qui subsiste. Vous pouvez peut-être vérifier que ce numéro est bien erroné en suivant un lien vers un téléchargement (illégal ?) du ivre de Mireille Huchon que quelqu'un a mis dans l'article Nostradamus. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 21 février 2022 à 16:22 (UTC)
::: {{désespoir}} [[Utilisateur:JLM|JLM]] ([[Discussion utilisateur:JLM|discuter]]) 21 février 2022 à 16:34 (UTC)

10) L'article [[w:Louis Pasteur]] dit : &quot;il accepte pour la science expérimentale l'épithète « positiviste », en ce sens qu'elle a pour domaine les causes secondes et s'abstient donc de spéculer sur les causes premières et sur l'essence des choses, mais il reproche à Auguste Comte et à Émile Littré d'avoir voulu imposer cette abstention à toute la pensée humaine.&quot; [[Utilisateur:Msbbb|Msbbb]] a mis un modèle selon lequel &quot;abstention à toute la pensée humaine&quot; n'est pas clair. Il ne s'agit pas d'une &quot;abstention à&quot;, il s'agit d'imposer à toute la pensée humaine une abstention qui, selon Pasteur, ne doit être imposée qu'à la pensée scientifique. Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 11 mars 2022 à 09:40 (UTC)
:[[Utilisateur:Msbbb|Msbbb]], vous avez été connecté à Wkikpédia le 12, donc vous avez sûrement reçu notification de mon message. Ne pourriez-vous vraiment pas enlever ce modèle absurde de l'article Louis Pasteur ? D'autres contributeurs ont accepté de bonne grâce de réverter des modifications malheureuses que je leur signalais, vous devriez montrer le même dévouement à la maintenance de Wikipédia. Cela me fait de la peine de voir des articles se dégrader en mon absence. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 13 mars 2022 à 09:34 (UTC) Merci à la personne qui a corrigé. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 15 mars 2022 à 17:08 (UTC)

11) Le 6 avril, [[w:Utilisatrice:Cymbella]] a ajouté à l'article [[w:Élie Fréron]] la catégorie Personnalité masculine utilisant un pseudonyme féminin. Peut-être Cymbella pourrait-elle préciser quel est ce pseudonyme féminin, dont, pour ma part, je n'ai jamais entendu parler. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 8 avril 2026 à 08:37 (UTC)&lt;/br&gt;
[[w:Utilisatrice:Cymbella]] est passée hier soir sur Wikipédia, donc elle devrait normalement avoir été avertie du message que j'ai posté ici hier matin à son intention, mais elle n'a pas donné signe de vie et elle a laissé la catégorie &quot;Personnalité masculine utilisant un pseudonyme féminin&quot;, sans dire dans l'article quel est le pseudonyme féminin que Fréron aurait utilisé. En attendant que Cymbella daigne s'expliquer, [[w:Utilisateur:Justelipse]], qui est intervenu dans l'article, pourrait peut-être supprimer la catégorie litigieuse ? Il se rachèterait ainsi d'avoir remplacé ([https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%89lie_Fr%C3%A9ron&amp;diff=prev&amp;oldid=49184801 ici]) dans la forme correcte de l'épigramme de Voltaire (&quot;Un serpent mordit Jean Fréron&quot;), le mot &quot;mordit&quot; par la leçon incorrecte &quot;piqua&quot;. La forme &quot;mordit&quot; est bien la forme correcte, d'après [https://satires18.univ-st-etienne.fr/texte/voltaire-fr%C3%A9ron/sans-titre cette page de l'université Jean Monnet Saint-Étienne]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 9 avril 2026 à 07:49 (UTC)&lt;/br&gt;
Eh bien, semble-t-îl, [[w:Utilisatrice:Cymbella|Cymbella]] ne donnera aucune source autre que l'infobox sur le(s) pseudonyme(s) féminin(s) que, paraît-il, Fréron utilisa et [[w:Utilisateur:Justelipse|Justelipse]] n'entend pas revenir sur sa &quot;correction&quot; fautive. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 avril 2026 à 06:19 (UTC)

== Varia ==
:1° Sur la question de savoir si la Marseillaise a été composée par Viotti, une bonne mise au point dans [https://www.alliancefranco-italienne.com/curiosita-la-marseillaise-composee-par-un-italien/ andiamo], le journal d'information de l'Alliance franco-italienne de Midi-Pyrénes : « Curiosità: l’hymne français a-t-il été composé par un Italien ? » [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 29 octobre 2021 à 18:49 (UTC)
:2° &quot;Franck Lavier, acquitté d’Outreau, renvoyé devant les assises pour le viol de l’une de ses filles&quot; ([https://www.lemonde.fr/societe/article/2021/11/13/franck-lavier-acquitte-d-outreau-renvoye-devant-les-assises-pour-le-viol-de-l-une-de-ses-filles_6101920_3224.html Le Monde, 13 novembre 2021]. Cela intéressera peut-être [[w:Utilisateur:JuanManuel Ascari|JuanManuel Ascari]], qui vient de travailler à l'article [[w:Affaire d'Outreau|Affaire d'Outreau]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 décembre 2021 à 14:43 (UTC)
:3° Aujourd'hui, [[w:Utilisateur:Theolichtenberg|Theolichtenberg]] a fait disparaître de l'article [[w:Claude Lanzmann|Claude Lanzmann]] le fait que Lanzmann a écrit au sujet du massacre de Katyn : &quot;que la propagande nazie attribua à Staline&quot;. Theolichtenberg affirme que le texte de Lanzmann est objectif. Pourtant, les mots &quot;que la propagande nazie attribua à Staline&quot; semblent dûment attestés. Peut-être Theolichtenberg pourrait-il faire des citations précises montrant l'objectivité de Lanzmann dans le texte en question ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 20 décembre 2021 à 15:42 (UTC)
:4° Dans l'article [[w:Robert Joly]], en note, il est question d'une lettre de Polycarpe aux &quot;Philippins&quot;. Il faut évidemment &quot;Philippiens&quot;. Un de ceux qui ont contribué à l'article, par exemple [[w:Utilisateur:Viator|Viator]], ou encore [[w:Utilisateur:Bruxellensis|Bruxellensis]], qui connaît bien ce qui concerne les personnalités bruxelloises, souhaitera peut-être corriger. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 21 janvier 2022 à 11:36 (UTC)
:5° L'article [[w:Madame de La Fayette]], sous la rubrique &quot;Jugement&quot; (au singulier ?) comporte ceci :
:« Mme de La Fayette est la femme qui écrit le mieux et qui a le plus d'esprit. Elle se démarque brillamment par son caractère courtois ainsi que sa vigilance. » Boileau
:La seconde phrase (&quot;Elle se démarque brillamment par son caractère courtois ainsi que sa vigilance.&quot; a été ajoutée par un [[w:Wencker Matthieu]], dont la contribution sur [[w:Adrien]] montre clairement que c'était un vandale. Je doute fort que la seconde phrase soit de Boileau, entre autres parce que &quot;se démarquer&quot; dans le sens de &quot;se distinguer (de)&quot; ne semble pas attesté avant Barrès. Voyez [http://stella.atilf.fr/Dendien/scripts/tlfiv5/affart.exe?19;s=33452940;?b=0; le CNRTL] ou peut–être plutôt [http://atilf.atilf.fr/tlf.htm par ici], article &quot;démarquer&quot;, rubrique &quot;Étymol. et Hist.&quot;, vers la fin de l'article. [[Utilisateur:JLM|JLM]], qui est intervenu sur l'article [[w:Madame de La Fayette]], trouvera peut–être bon de supprimer la phrase en question ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 6 février 2022 à 16:25 (UTC)
:: fait [[Utilisateur:JLM|JLM]] ([[Discussion utilisateur:JLM|discuter]]) 6 février 2022 à 22:09 (UTC)
::Merci à [[Utilisateur:JLM|JLM]]. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 7 février 2022 à 07:41 (UTC)
:6° Le 14 février 2008, une IP a ajouté à l'article [[w:Claude Pouteau]] : &quot;Il a été le premier à décrire la fracture de l'extrémité inférieure du radius avec bascule posterieure avant que n'existe la radiographie et lui donnera son nom après qu'Abraham Colles en ai complété sa description: la fracture de pouteau-colles.&quot; C'est toujours dans l'article (sous une forme plus correcte).
:En fait, selon P. Liverneaux, « Les fractures dites de 'Pouteau-Colles' n’ont jamais été décrites par Pouteau. » Voir P. Liverneaux, &quot;What wrist fracture did Pouteau actually describe?&quot;, Chirurgie de la main, 2004 , 23, 6, p. 298-304, [https://www.infona.pl/resource/bwmeta1.element.elsevier-8c2aa46a-c9bd-35c6-ad82-efd8ef97c632 sommaire en ligne].
:[[w:Utilisateur:Olivia.Pullman|Olivia.Pullman]], qui a travaillé à l'article, trouvera peut-être utile de nuancer ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 8 février 2022 à 16:16 (UTC)
::Pas de réaction ? Peut-être [[Utilisateur:A VIE SAINE|A VIE SAINE]], qui a travaillé au passage en question, voudra-t-il nuancer ? [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 10 février 2022 à 13:28 (UTC)
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    <title>Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur</title>
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    <id>17153</id>
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      <contributor>
        <username>Marvoir</username>
        <id>1746</id>
      </contributor>
      <comment>/* Problème 15 */ détails</comment>
      <origin>981495</origin>
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      <text bytes="48029" sha1="nkqcgk422ql9thpowzruya067l2fq3b" xml:space="preserve">{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 7
  | chapitre  = [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]]
  | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]]
  | suivant   = [[../Action de groupe/]]
  | niveau    = 13
}}

== Problème 1 ==
Soient ''G'' un groupe et ''A'', ''B'' deux sous-groupes conjugués. Montrer que si ''AB'' = ''G'', alors ''A'' et ''B'' sont égaux à ''G''&lt;ref&gt;H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.&lt;/ref&gt;.

{{Solution
  | contenu =
Puisque ''A'' et ''B'' sont conjugués, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que &lt;math&gt;B = gAg^{-1}&lt;/math&gt;. Puisque ''G'' = ''AB'', tout élément ''x'' de ''G'' peut donc s'écrire &lt;math&gt;x = a_{1}ga_{2}g^{-1}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;a_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;a_{2}&lt;/math&gt; dans ''A''. C'est vrai en particulier pour &lt;math&gt;x = g^{-1}&lt;/math&gt;, donc il existe &lt;math&gt;a_{1}, a_{2}&lt;/math&gt; dans ''A'' tels que &lt;math&gt;g^{-1} = a_{1}ga_{2}g^{-1}&lt;/math&gt;. En simplifiant à droite par &lt;math&gt;g^{-1}&lt;/math&gt; (ou, si on préfère, en multipliant à droite par &lt;math&gt;g&lt;/math&gt;), nous trouvons &lt;math&gt;1 = a_{1}ga_{2}&lt;/math&gt;. En multipliant à gauche par &lt;math&gt;a_{1}^{-1}&lt;/math&gt; et à droite par &lt;math&gt;a_{2}^{-1}&lt;/math&gt;, nous obtenons &lt;math&gt;g = a_{1}^{-1}a_{2}^{-1}&lt;/math&gt;, donc ''g'' appartient à ''A'', donc ''B'' est le conjugué de ''A'' par un élément de ''A'', donc ''B'' est égal à ''A'', donc ''A'' = ''B'' = ''AB'', d'où, puisque ''AB'' est supposé égal à ''G'', ''A'' = ''B'' = ''G''.
}}
(Généralisation) Soient ''K'' et ''H'' deux sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''x'', ''y'' deux éléments de ''G''. Montrer que
:si ''G = HK'' alors ''G = H{{exp|x}}K{{exp|y}}''
où, pour tout élément ''g'' et toute partie ''A'' de ''G'', ''A{{exp|g}}'' désigne la partie conjuguée ''g''{{exp|-1}}''Ag'' de ''A''.
{{Solution|contenu=
Soient ''h'' ∈ ''H'' et ''k'' ∈ ''K'' tels que ''xy''{{exp|-1}} = ''hk''. Alors, ''H{{exp|x}}K{{exp|y}} = H{{exp|hky}}K{{exp|y}} = H{{exp|ky}}K{{exp|ky}}'' = (''HK'')''{{exp|ky}} = G{{exp|ky}} = G''.
}}

== Problème 2 ==
Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''&lt;sup&gt;g&lt;/sup&gt; le conjugué &lt;math&gt;g^{-1}Ag&lt;/math&gt; de ''A'', de sorte que (''A''&lt;sup&gt;g&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;h&lt;/sup&gt; = ''A''&lt;sup&gt;gh&lt;/sup&gt;. On suppose que &lt;math&gt;A \not= 1&lt;/math&gt; et que &lt;math&gt;A \cap A^{g} = 1&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;g \in G\setminus A&lt;/math&gt;. Prouver que
:&lt;math&gt;\vert \bigcup _{g \in G} A^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.&lt;/ref&gt;.

{{Solution
  | contenu =
Soient ''g'' et ''h'' des éléments de ''G'' tels que
&lt;math&gt;A^{g} \cap A^{h} \not= 1&lt;/math&gt;.
En passant aux images par la bijection &lt;math&gt;x \mapsto x^{g^{-1}}&lt;/math&gt;, nous trouvons
&lt;math&gt;A \cap A^{hg^{-1}} \not= 1&lt;/math&gt;,
d'où, d’après nos hypothèses, &lt;math&gt;hg^{-1} \in A&lt;/math&gt;, ce qui revient à dire que g et h appartiennent à la même classe à droite suivant ''A''.

Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' qui n'appartiennent pas à la même classe à droite suivant ''A'', alors
&lt;math&gt;A^{g} \cap A^{h} = 1&lt;/math&gt;.
Soit ''r'' l'indice de ''A'' dans ''G''; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système &lt;math&gt;g_{1}, ... g_{r}&lt;/math&gt;
d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel &lt;math&gt;g_{i}&lt;/math&gt; appartienne à cette classe.

D'après ce qui précède, les ''r'' parties de ''G''
&lt;math&gt;A^{g_{1}} \setminus \{1\}, ..., A^{g_{r}} \setminus \{1\}&lt;/math&gt;
sont deux à deux disjointes, donc
&lt;math&gt; \bigcup _{g \in G} (A^{g} \setminus \{1\})&lt;/math&gt; compte au moins &lt;math&gt;r(\vert A \vert - 1)&lt;/math&gt; éléments, donc

&lt;math&gt; \bigcup _{g \in G} A^{g}&lt;/math&gt; compte au moins &lt;math&gt;1 + r(\vert A \vert - 1)&lt;/math&gt; éléments.

Puisque &lt;math&gt;r = \vert G:A \vert = \vert G \vert / \vert A \vert&lt;/math&gt;, cela revient à dire que 
&lt;math&gt; \bigcup _{g \in G} A^{g}&lt;/math&gt; compte au moins &lt;math&gt;1 + \vert G \vert - \vert G \vert / \vert A \vert&lt;/math&gt; éléments.

Par hypothèse, &lt;math&gt;\vert A \vert \geq 2&lt;/math&gt;, donc 
&lt;math&gt;\vert G \vert / \vert A \leq \vert G \vert / 2&lt;/math&gt;, d'où l'énoncé.
}}

== Problème 3 ==
Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''&lt;sup&gt;g&lt;/sup&gt; le conjugué &lt;math&gt;g^{-1}Ag&lt;/math&gt; de ''A'', de sorte que (''A''&lt;sup&gt;g&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;h&lt;/sup&gt; = ''A''&lt;sup&gt;gh&lt;/sup&gt;. Prouver que si &lt;math&gt;A \not= G&lt;/math&gt;, alors
&lt;math&gt;G \not= \bigcup _{g \in G} A^{g}&lt;/math&gt;,
autrement dit ''G'' n’est pas la réunion des conjugués de A&lt;ref&gt;Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, ''Groupes finis'', révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, [https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL2937151343298039815_1___Groupes_finis.pdf en ligne].&lt;/ref&gt;.

{{Solution
  | contenu =
(Remarque préliminaire : au chapitre suivant, on montrera que le nombre des conjugués de ''A'' dans ''G'' est égal à l'indice dans ''G'' du normalisateur de ''A'' et est donc inférieur ou égal à &lt;math&gt;\vert G\vert / \vert A \vert&lt;/math&gt;, ce qui permet de rédiger la démonstration plus simplement.)

Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', c'est-à-dire s'il existe &lt;math&gt;a \in A&lt;/math&gt; tel que h = ag, alors
&lt;math&gt;A^{h} = A^{(ag)} = (A^{a})^{g}&lt;/math&gt;
d'où, puisque &lt;math&gt;A^{a} = A&lt;/math&gt;,
&lt;math&gt;A^{h} = A^{g}&lt;/math&gt;.
Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', alors &lt;math&gt;A^{h} = A^{g}&lt;/math&gt;. (On l'a déjà noté dans la solution de l'exercice précédent.)

Soit &lt;math&gt;r = \vert G:A \vert&lt;/math&gt;; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système &lt;math&gt;g_{1}, ... g_{r}&lt;/math&gt;
d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel &lt;math&gt;g_{i}&lt;/math&gt; appartienne à cette classe.

D'après ce qui précède,
&lt;math&gt;\bigcup_{g \in G}A^{g} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}A^{g_{i}}&lt;/math&gt;,
d'où
&lt;math&gt;\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}(A^{g_{i}} - \{1\})&lt;/math&gt; et donc

&lt;math&gt;\mathrm{Card}\left(\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\}\right) \leq \sum_{1 \leq i \leq r}\mathrm{Card}(A^{g_{i}} - \{1\})&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
&lt;math&gt;\mathrm{Card}\left(\bigcup_{g \in G}A^{g}\right) \leq 1 + r(\vert A \vert - 1)&lt;/math&gt;.

Comme &lt;math&gt;r\vert A \vert = \vert G \vert&lt;/math&gt;, ceci peut s'écrire
&lt;math&gt;\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) \leq \vert G \vert + 1 - r&lt;/math&gt;.
Puisque A est supposé distinct de G, r est &gt; 1, donc
&lt;math&gt;\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) &lt; \vert G \vert&lt;/math&gt;,
d'où l'énoncé.
}}
Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini.

== Problème 4 ==
Soit G un groupe fini &gt; 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G&lt;ref&gt;Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/71/18/PDF/crs_gr_nilpotent_DEA_96_97.pdf en ligne], lemme 4.2, p. 17.&lt;/ref&gt;. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.) 

{{Solution
  | contenu =
Supposons que, par absurde,
:&lt;math&gt;\ (1)&lt;/math&gt; aucun sous-groupe maximal de G ne soit normal dans G.
Soit M un sous-groupe maximal de G. Puisque M est contenu dans &lt;math&gt;\ N_{G}(M)&lt;/math&gt; et que M est maximal, &lt;math&gt;\ N_{G}(M)&lt;/math&gt; est égal à G ou à M. Puisque nous avons supposé en (1) qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal dans G, &lt;math&gt;\ N_{G}(M) \not= G,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\ N_{G}(M) = M.&lt;/math&gt; Ceci revient à dire que
:&lt;math&gt;\ (2)&lt;/math&gt; pour tout sous-groupe maximal M de G et pour tout &lt;math&gt;g \in G \setminus M, M^{g} \not= M&lt;/math&gt;
(où &lt;math&gt;\ M^{g}&lt;/math&gt; désigne &lt;math&gt;\ g^{-1}Mg&lt;/math&gt;).

D'autre part, il est clair (par exemple parce que M n’est pas normal dans G) que &lt;math&gt;M \not= 1.&lt;/math&gt;
Compte tenu de ceci, de (2) et d'un des problèmes ci-dessus, on a donc
:&lt;math&gt;(3) \qquad \vert \bigcup _{g \in G} M^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1.&lt;/math&gt;
Puisque G est un groupe fini &gt; 1, il admet au moins un sous-groupe maximal. Choisissons un sous-groupe maximal P de G.

D'après un des problèmes ci-dessus, &lt;math&gt;\bigcup_{g \in G}P^{g}&lt;/math&gt; n’est pas égal à G tout entier. Nous pouvons donc choisir un élément ''x'' de G qui n'appartient pas à &lt;math&gt;\bigcup_{g \in G}P^{g}&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;
D'après l'hypothèse (1) (et le fait que G admet au moins un sous-groupe maximal), G n’est pas commutatif (puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal). En particulier, G n’est pas cyclique, donc le sous-groupe &lt;x&gt; de G n’est pas G tout entier, donc &lt;x&gt; est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G, soit Q. Alors ''x'' appartient à Q.&lt;br /&gt;
Puisque ''x'' a été choisi hors de &lt;math&gt;\bigcup_{g \in G}P^{g}&lt;/math&gt;, Q est distinct de tous les conjugués de P. On en tire facilement que
:&lt;math&gt;\ (4) &lt;/math&gt; chaque conjugué de Q est distinct de chaque conjugué de P.
On vérifie facilement que tout conjugué d'un sous-groupe maximal est un sous-groupe maximal. Donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, il résulte de (4) que
:&lt;math&gt;(5) \qquad (\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cap (\bigcup _{g \in G} Q^{g}) = \{1\}.&lt;/math&gt;
D'après (3), &lt;math&gt; \vert \bigcup _{g \in G} P^{g} \vert&lt;/math&gt; et &lt;math&gt; \vert \bigcup _{g \in G} Q^{g} \vert&lt;/math&gt; sont tous deux &lt;math&gt;\geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1,&lt;/math&gt; donc, d’après (5), &lt;math&gt;(\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cup (\bigcup _{g \in G} Q^{g})&lt;/math&gt; est une partie de G de cardinal &lt;math&gt;\geq \vert G \vert + 1,&lt;/math&gt; ce qui est absurde. Cette contradiction démontre l'énoncé.
}}

== Problème 5 (facile) ==
Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Soit ''K'' le ''cœur'' de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de ''H'' dans ''G'' (y compris ''H''). Prouver que ''K'' est un sous-groupe distingué de ''G''.

{{Solution
  | contenu =
Soient ''x'' un élément de ''K'' et ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''K'', autrement dit appartient à tout conjugué de ''H''. Soit ''L'' un conjugué de ''H''; il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''L'', autrement dit que ''x'' appartient à ''g{{exp|-1}}Lg''. Or, puisque ''L'' est un conjugué de ''H'', ''g{{exp|-1}}Lg'' en est un aussi (transitivité de la relation de conjugaison), donc ''x'', qui est supposé appartenir à ''K'', autrement dit appartenir à tout conjugué de ''H'', appartient bien à ''g{{exp|-1}}Lg'' comme annoncé.

Remarques. 1°. L'énoncé revient à dire que, pour tout élément ''g'' de ''G'',
&lt;math&gt;g(\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A)g^{-1} = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A&lt;/math&gt;,
ce qui s'écrit encore
&lt;math&gt;\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}(gAg^{-1}) = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A&lt;/math&gt;.
Ceci résulte immédiatement du fait que
&lt;math&gt;A \mapsto gAg^{-1}&lt;/math&gt;
définit une permutation de l’ensemble Conj(H).&lt;br /&gt;
2°. Comme nous le verrons plus loin, K est le noyau d'un homomorphisme de G dans le groupe des permutations de l’ensemble des classes à gauche modulo H, ce qui fournit une autre démonstration.
}}

== Problème 6 (facile) ==
Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X (défini au chapitre [[Théorie_des_groupes/Sous-groupe_distingué_et_groupe_quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]) est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X. 

{{Solution
  | contenu =
Désignons par Conj(X) l’ensemble des conjugués des éléments de X et par &lt;Conj(X)&gt; le sous-groupe de G engendré par Conj(X). Il s'agit de prouver que &lt;Conj(X)&gt; est le sous-groupe distingué de G engendré par X.

Prouvons tout d’abord que &lt;Conj(X)&gt; est un sous-groupe distingué de G. Soit ''f'' un automorphisme intérieur de G; il s'agit de prouver que f(&lt;Conj(X)&gt;) = &lt;Conj(X)&gt;. Or f(&lt;Conj(X)&gt;) = &lt;f(Conj(X))&gt; et, puisque ''f'' est un automorphisme intérieur, il est clair que f(Conj(X)) = Conj(X), d'où notre argument.

Donc &lt;Conj(X)&gt; est un sous-groupe distingué de G contenant X. Il reste à prouver que c’est le plus petit. Soit H un sous-groupe distingué de G contenant X. Il s'agit de prouver que &lt;Conj(X)&gt; est contenu dans H. Puisque H contient X et est distingué dans G, il contient Conj(X). Puisque H est un sous-groupe de G, il contient donc &lt;Conj(X)&gt;, ce qui achève la démonstration.

(Le lecteur qui préférerait une démonstration plus « concrète » peut utiliser la « description constructive » du sous-groupe de G engendré par ''U''.) 
}}

== Problème 7 (facile) ==
Soient ''G'' un groupe fini et ''H'' un sous-groupe normal d'ordre 2 de ''G''. Prouver que ''H'' est contenu dans le centre de ''G''.

{{Solution
  | contenu =
Nous avons ''H'' = {1,''a''} pour un certain élément ''a'' de &lt;math&gt;G \setminus \{1\}&lt;/math&gt;. Puisque ''H'' est normal dans ''G'', nous avons &lt;math&gt;gag^{-1} \in H&lt;/math&gt; pour tout élément ''g'' de ''G''. Donc, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gag{{exp|-1}}'' est égal à 1 ou à ''a''. Puisque ''a'' n’est pas lui-même égal à 1, il est clair que ''gag{{exp|-1}}'' n’est pas égal à 1, donc ''gag{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''a'' commute avec ''g''. Ceci étant vrai pour tout ''g'' dans ''G'', ''a'' appartient au centre de ''G'', donc ''H'' est bien contenu dans le centre de ''G''.
}}

== Problème 8 (facile) ==

Soient a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; est l’ensemble des éléments de la forme
&lt;math&gt;\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},&lt;/math&gt;
où r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; parcourent les entiers rationnels&lt;ref&gt;Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 127.&lt;/ref&gt;.

'''Attention''' : il faudrait voir si on ne peut pas simplifier considérablement la démonstration en notant que le sous-groupe H de G engendré par a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; (sous-groupe abélien d'après le chapitre théorique) est le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes &lt;a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&gt;, ..., &lt;a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&gt; de G. Puisque H est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux, et en particulier ses sous-groupes &lt;a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&gt;, ..., &lt;a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;&gt; sont normaux, donc, d'après le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], le sous-groupe H de G est l'ensemble &lt;math&gt;&lt;a_1&gt;\ ...\ &lt;a_n&gt;&lt;/math&gt;. Il faudrait peut-être aussi noter que si X est une partie génératrice (non forcément finie) d'un groupa abélien G, tout élément de G est de la forme &lt;math&gt;x_{1}^{r_{1}} \ldots x_{n}^{r_{n}},&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;x_{1}&lt;/math&gt;, ... , &lt;math&gt;x_{n}&lt;/math&gt;, sont des éléments de X '''deux à deux distincts''' et où r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; sont des entiers relatifs.

{{Solution
  | contenu =
Prouvons que les éléments de la forme
&lt;math&gt;\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},&lt;/math&gt;
forment un sous-groupe de G.

Prouvons d’abord que le produit de deux éléments de cette forme est lui-même de cette forme. Plus précisément, prouvons que si r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, s&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , s&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; sont des entiers rationnels,
&lt;math&gt;\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}} a_{1}^{s_{1}} \ldots a_{n}^{s_{n}} = a_{1}^{r_{1} + s_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n} + s_{n}}.&lt;/math&gt;
On le prouve facilement par récurrence sur ''n''. Voici une preuve qui se rattache plus directement au théorème de commutativité.

Soient i, j deux indices. Puisque a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; commute avec a&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;, chaque élément de &lt;a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;&gt; commute avec chaque élément de &lt;a&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;&gt; (voir théorie), donc &lt;math&gt;\ a_{i}^{r_{i}} &lt;/math&gt; commute avec &lt;math&gt;\ a_{j}^{r_{j}} &lt;/math&gt;. Il nous suffit donc de prouver que si b&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , b&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;, c&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , c&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; sont des éléments de G qui commutent entre eux, alors
&lt;math&gt;(1) \quad b_{1} ... b_{n} c_{1} ... c_{n} = b_{1} c_{1} ... b_{n} c_{n}.&lt;/math&gt;
Le premier membre est le produit de la famille
&lt;math&gt;\ (x_{i})_{1 \leq i \leq 2n}&lt;/math&gt;,
où
&lt;math&gt;\ x_{i} = b_{i}&lt;/math&gt; si 1 ≤ i ≤ n
et
&lt;math&gt;\ x_{i} = c_{i} - n&lt;/math&gt; si n + 1 ≤ i ≤ 2n.
Le second membre de notre thèse (1) est le produit de la famille
&lt;math&gt;\ (y_{i})_{1 \leq i \leq 2n}&lt;/math&gt;,
où
&lt;math&gt;y_{i} = b_{\frac{i+1}{2}}&lt;/math&gt; si ''i'' est impair
et
&lt;math&gt;y_{i} = c_{\frac{i}{2}}&lt;/math&gt; si ''i'' est pair, pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ 2''n''.
Il s'agit de prouver que 
:(2) &lt;math&gt;\prod _{1 \leq i \leq 2n} x_{i} = \prod _{1 \leq i \leq 2n} y_{i}.&lt;/math&gt;
Soit σ la permutation de {1, 2, ... , 2n} définie par
&lt;math&gt;\ \sigma (i) = \frac {i + 1}{2}&lt;/math&gt; si ''i'' est impair,
&lt;math&gt;\ \sigma (i) = n + \frac {i}{2}&lt;/math&gt; si ''i'' est pair.
Alors &lt;math&gt;\ y_{i} = x_{\sigma(i)}&lt;/math&gt;, donc notre thèse (2) est vraie d’après le théorème de commutativité.
 
Il est clair que l'élément neutre est de la forme
&lt;math&gt;\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},&lt;/math&gt;
avec r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = ... = r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = 0.

Enfin, on prouvera facilement, par récurrence sur ''n'' ou en considérant la permutation i ↦ n + 1 - i de l’ensemble {1, 2, ... n} des indices, que l'inverse
&lt;math&gt;\ a_{n}^{-r_{n}} \ldots a_{1}^{-r_{1}}&lt;/math&gt;
de
&lt;math&gt;\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}}&lt;/math&gt;
est égal à
&lt;math&gt;\ a_{1}^{-r_{1}} \ldots a_{n}^{-r_{n}}&lt;/math&gt;.
Donc l’ensemble des éléments de G de la forme
&lt;math&gt;\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},&lt;/math&gt;
avec r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , r&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; entiers rationnels, est un sous-groupe de G. Il est clair que ce sous-groupe comprend les éléments a&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; et est contenu dans tout groupe qui les comprend, donc c’est le sous-groupe de G engendré par ces éléments.
}}

== Problème 9 (facile) ==
Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :&lt;br /&gt;
1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;&lt;br /&gt;
2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe.

{{Solution
  | contenu =
Ces deux conditions sont équivalentes. Prouvons par exemple que 1° entraîne 2°. Si 1° est satisfaite, il existe un sous-groupe H de G et un élément a de G tel que X = aH. Alors X = Ka, où K est le sous-groupe aHa{{exp|-1}} de G. 
}}

== Problème 10 ==

Soit G un groupe. Pour deux éléments ''a'' et ''b'' de G, on posera &lt;math&gt;\ a^{b} = b^{-1}ab&lt;/math&gt;, de sorte que, pour ''a'', ''b'' et ''c'' dans G, &lt;math&gt;\ (ac)^{b} = a^{b}c^{b}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ a^{bc} = (a^{b})^{c}&lt;/math&gt;. Pour une partie X de G et un élément ''g'' de G, on désignera par &lt;math&gt;\ X^{g}&lt;/math&gt; l’ensemble des &lt;math&gt;\ x^{g}&lt;/math&gt;, ''x'' parcourant X.

a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que
: &lt;math&gt;(1) \quad X^{g} \subseteq X &lt;/math&gt; pour tout élément ''g'' de G.
Supposons que ''X'' soit la réunion de ''n'' parties ''X''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ''X''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; de ''G'' :
:&lt;math&gt;\ X = X_{1} \cup \dotsb \cup X_{n}.&lt;/math&gt;
Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme
:&lt;math&gt;(2) \quad x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \dotsm x_{2, r_{2}} \dotsm x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}&lt;/math&gt;
avec
:&lt;math&gt;\ x_{i,j} \in X_{i}&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\ i&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\ 1 \leq i \leq n&lt;/math&gt;) et tout &lt;math&gt;\ j&lt;/math&gt;,
en admettant que &lt;math&gt;\ r_{i}&lt;/math&gt; puisse être nul, auquel cas &lt;math&gt;\ x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}}&lt;/math&gt; est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1.

{{Solution
  | contenu =
Notons d’abord que si ''x'' et ''y'' sont deux éléments de X, alors
:&lt;math&gt;(3) \quad xy&lt;/math&gt; est de la forme &lt;math&gt;\ yx'&lt;/math&gt; avec x' dans X.
En effet, &lt;math&gt;\ xy = y(y^{-1}xy)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ y^{-1}xy&lt;/math&gt; appartient à X d’après l'hypothèse (1).

De (3), le lecteur tirera facilement que
:(4) pour tout nombre naturel ''s'', le produit de ''s'' éléments de X parmi lesquels figure un élément ''a'' peut s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont le premier est ''a''.

Prouvons maintenant la thèse (2). Nous allons prouver plus précisément que si ''s'' est un nombre naturel, si &lt;math&gt;\ a_{1}, \dotsc , a_{s}&lt;/math&gt; sont des éléments de X, alors &lt;math&gt;\ a_{1} \dotsm a_{s}&lt;/math&gt; est de la forme
:&lt;math&gt;(5) \quad a_{1} \ldots a_{s} = x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \ldots x_{2, r_{2}} \ldots x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}&lt;/math&gt;
avec
:&lt;math&gt;\ x_{i,j} \in X_{i}&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\ i&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\ 1 \leq i \leq n&lt;/math&gt;) et tout &lt;math&gt;\ j&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\ r_{1} + \dotsb + r_{n} = s,&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\ r_{i}&lt;/math&gt; pouvant être nul comme convenu plus haut.

Nous raisonnons par récurrence sur ''s''. Si s = 0, l'énoncé est banal, donc nous pouvons supposer s &gt; 0. Nous pouvons alors considérer le plus petit indice &lt;math&gt;\ i&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\ 1 \leq i \leq n&lt;/math&gt;) tel que &lt;math&gt;\ a_{1} \dotsm a_{s}&lt;/math&gt; puisse s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont un au moins appartienne à &lt;math&gt;\ X_{i}&lt;/math&gt;.
D'après (4), &lt;math&gt;\ a_{1} \dotsm a_{s}&lt;/math&gt; peut donc s'écrire
:&lt;math&gt;(6) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} \dotsm a'_{s}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\ a'_{1}, \dotsc , a'_{s}&lt;/math&gt; dans X et &lt;math&gt;\ a'_{1}&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;X_{i}&lt;/math&gt;.
Par hypothèse de récurrence sur ''s'', &lt;math&gt;\ a'_{2} \dotsm a'_{s}&lt;/math&gt; est de la forme
:&lt;math&gt;\ a'_{2} \dotsm a'_{s} = y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},&lt;/math&gt;
où &lt;math&gt;\ y_{j,k}&lt;/math&gt; appartient à &lt;math&gt;\ X_{j}&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\ j&lt;/math&gt; et tout &lt;math&gt;\ k&lt;/math&gt; et où
:&lt;math&gt;(7) \quad r_{1} + \dotsb + r_{n} = s-1.&lt;/math&gt;
On a alors
:&lt;math&gt;(8) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}}.&lt;/math&gt;
Par minimalité de ''i'', aucun des &lt;math&gt;\ y_{j,k}&lt;/math&gt; ne peut appartenir à un &lt;math&gt;\ X_{t}&lt;/math&gt; avec t &lt; i, donc les &lt;math&gt;\ r_{t}&lt;/math&gt; pour t &lt; i sont nuls et (7) et (8) donnent
:&lt;math&gt;\ a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{i, 1} \dotsm y_{i, r_{i}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},&lt;/math&gt;
avec &lt;math&gt;\ (1 + r_{i}) + \dotsb + r_{n} = s,&lt;/math&gt;
ce qui démontre notre thèse (5) par récurrence sur ''s''.

Remarque. Voici une façon plus « algorithmique » de démontrer la thèse (5). Si ''x'' est un élément de G et &lt;math&gt;\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})&lt;/math&gt; un s-uplet d'éléments de l'intervalle naturel [1, n], convenons de dire que &lt;math&gt;\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})&lt;/math&gt; est un s-uplet d'appartenances de ''x'' si ''x'' peut s'écrire sous la forme
:&lt;math&gt;x = a_{1} \dotsm a_{s},&lt;/math&gt;
avec &lt;math&gt;\ a_{i} \in X_{j_{i}}&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\ i (1 \leq s).&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Pour démontrer la thèse (5), il s'agit de prouver que tout élément de G qui est produit de ''s'' éléments de X admet un s-uplet d'appartenances croissant (au sens large).

Soit donc
:&lt;math&gt;(9) \quad x = a_{1} \dotsm a_{s},&lt;/math&gt;
tous les &lt;math&gt;\ a_{i}&lt;/math&gt; appartenant à X. Nous pouvons choisir un s-uplet d'appartenances de ''x'', soit &lt;math&gt;\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})&lt;/math&gt;, tel que &lt;math&gt;\ a_{i} \in X_{j_{i}}&lt;/math&gt; pour tout &lt;math&gt;\ i (1 \leq s).&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;
Si ce s-uplet n’est pas croissant, il existe un indice &lt;math&gt;\ k &lt; s&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\ j_{k} &gt; j_{k+1}.&lt;/math&gt; D'après (3), nous pouvons remplacer, dans l’expression (9) de ''x'', le produit partiel &lt;math&gt;\ a_{k} a_{k+1}&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\ a_{k+1} a'&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\ a'&lt;/math&gt; est un élément de X et donc d'un certain &lt;math&gt;\ X_{r}.&lt;/math&gt; Alors &lt;math&gt;\ (j_{1}, \dotsc , j_{k-1}, j_{k+1}, r, j_{k+2}, \dotsc, j_{s})&lt;/math&gt; est un s-uplet d'appartenances de ''x'' et est strictement plus petit que le s-uplet d'appartenances &lt;math&gt;\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})&lt;/math&gt; selon l’ordre lexicographique. Puisque l’ensemble &lt;math&gt;\ [1, n]^{s}&lt;/math&gt; est fini, on aboutira, en répétant les opérations au besoin, à un s-uplet d'appartenances croissant, comme annoncé.
}}

b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient &lt;math&gt;A_{1}, \dotsc, A_{n}&lt;/math&gt; ces conjugués. Alors
:&lt;math&gt;\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = A_{1} \dotsm A_{n}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.&lt;/ref&gt;. (Appliquer le point a).)

{{Solution
  | contenu =
Dans l'énoncé du point a), faisons
:&lt;math&gt;\ X = A_{1} \cup \dotsb \cup A_{n},&lt;/math&gt;
de sorte que
&lt;math&gt;\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = \langle X \rangle.&lt;/math&gt;
Comme les &lt;math&gt;\ A_{i}&lt;/math&gt; sont des groupes, &lt;math&gt;\ X = X^{-1}&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;\langle X \rangle&lt;/math&gt; est l’ensemble des produits d'éléments de X, donc, d’après le point a), tout élément de &lt;math&gt;\langle X \rangle&lt;/math&gt; est de la forme &lt;math&gt;\ p_{1} \dotsm p_{n}&lt;/math&gt;, où, pour chaque ''i'', &lt;math&gt;\ p_{i}&lt;/math&gt; est un produit d'éléments de &lt;math&gt;\ A_{i}.&lt;/math&gt; Comme chaque &lt;math&gt;\ A_{i}&lt;/math&gt; est un groupe, &lt;math&gt;\ p_{i}&lt;/math&gt; appartient à &lt;math&gt;\ A_{i}&lt;/math&gt;, donc
:&lt;math&gt;\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle \subseteq A_{1} \dotsm A_{n}.&lt;/math&gt;
L'inclusion réciproque est évidente.
}}

c) Soient G un groupe, ''x'' un élément de G et &lt;math&gt;\ A_{1}, A_{2}&lt;/math&gt; deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble &lt;math&gt;\ \{x^{g} \vert g \in G \}&lt;/math&gt; des conjugués de ''x'' dans G. Supposons que &lt;math&gt;\ \langle C \rangle = G&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ C \subseteq A_{1} \cup A_{2}&lt;/math&gt;. Prouver que &lt;math&gt;\ A_{1} = G&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\ A_{2} = G&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.&lt;/ref&gt;. (Appliquer le point a).)

{{Solution
  | contenu =
Posons &lt;math&gt;\ X = C \cup C^{-1}.&lt;/math&gt; Il est clair que &lt;math&gt;\ X^{g} \subseteq X&lt;/math&gt; pour tout g dans G. Nous pouvons donc appliquer le point a) à &lt;math&gt;\ X = C \cup C^{-1},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\ n = 2,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\ X_{1} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ X_{2} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}&lt;/math&gt;. Nous trouvons ainsi que tout produit d'éléments de &lt;math&gt;\ C \cup C^{-1}&lt;/math&gt; est de la forme &lt;math&gt;\ p_{1} p_{2}&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;\ p_{1}&lt;/math&gt; est un produit d'éléments de &lt;math&gt;\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ p_{2}&lt;/math&gt; un produit déléments de &lt;math&gt;\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}&lt;/math&gt;. Mais, d’après l'hypothèse &lt;C&gt; = G, tout élément de G est produit d'éléments de &lt;math&gt;\ C \cup C^{-1}&lt;/math&gt; et, d’autre part, &lt;math&gt;\ p_{1}&lt;/math&gt; appartient évidemment à &lt;math&gt;\ A_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ p_{2}&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\ A_{2}&lt;/math&gt;. Donc
:&lt;math&gt;(1) \quad G = A_{1} A_{2}.&lt;/math&gt;

Prouvons maintenant que G est égal à &lt;math&gt;\ A_{1}&lt;/math&gt; ou à &lt;math&gt;\ A_{2}&lt;/math&gt;. Puisque G = &lt;C&gt;, il suffit de prouver que C est contenu dans &lt;math&gt;\ A_{1}&lt;/math&gt; ou dans &lt;math&gt;\ A_{2}&lt;/math&gt;.

Supposons que C ne soit pas contenu dans &lt;math&gt;\ A_{1}&lt;/math&gt;. Il existe alors un élément ''y'' de C qui n'appartient pas à &lt;math&gt;\ A_{1}&lt;/math&gt;. Soit ''g'' un élément de G. D'après (1), ''g'' est de la forme &lt;math&gt;\ a_{1}a_{2}&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\ a_{1}\in A_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\ a_{2}\in A_{2}&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;\ y^{a_{1}} \notin A_{1}&lt;/math&gt;, sinon on aurait
:&lt;math&gt;\ y \in A_{1}^{a_{1}^{-1}} = A_{1}.&lt;/math&gt;
Puisque &lt;math&gt;\ y^{a_{1}} \in C \subseteq A_{1} \cup A_{2},&lt;/math&gt; on a donc
:&lt;math&gt;\ y^{a_{1}} \in A_{2},&lt;/math&gt;
d'où &lt;math&gt;\ y^{a_{1}a_{2}} \in A_{2},&lt;/math&gt; c'est-à-dire &lt;math&gt;\ y^{g} \in A_{2}.&lt;/math&gt; Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G et l’ensemble &lt;math&gt;\ \{y^{g} \vert g \in G \}&lt;/math&gt; étant égal à C (puisque ''y'' est un conjugué de ''x''), nous avons donc &lt;math&gt;\ C \subseteq A_{2}.&lt;/math&gt;

Nous avons donc prouvé que si C n’est pas contenu dans &lt;math&gt;\ A_{1},&lt;/math&gt; il est contenu dans &lt;math&gt;\ A_{2}&lt;/math&gt;, ce qui revient à dire que C est contenu dans &lt;math&gt;\ A_{1}&lt;/math&gt; ou dans &lt;math&gt;\ A_{2}&lt;/math&gt;. Comme nous l'avons noté, l'énoncé en résulte.
}}

== Problème 11 (facile) ==

a) Soient A, B deux groupes, &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que
&lt;math&gt;\sigma(C_{A}(H)) = C_{B}(\sigma (H)).&lt;/math&gt;

{{Solution
  | contenu =
Pour tout élément ''y'' de B,

&lt;math&gt;\begin{align}
y \in C_{B}(\sigma(H)) &amp; \Leftrightarrow \forall h \in H, \ y^{-1}\sigma(h)y = \sigma(h)\\
                       &amp; \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(h)y) = h\\
                       &amp; \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y)^{-1}h\sigma^{-1}(y) = h\\
                       &amp; \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in C_{A}(H)\\
                       &amp; \Leftrightarrow y \in \sigma(C_{A}(H)).
\end{align}&lt;/math&gt;
}}

b) Soient A, B deux groupes, &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que
&lt;math&gt;\sigma(N_{A}(H)) = N_{B}(\sigma (H)).&lt;/math&gt;

{{Solution
  | contenu =
Pour tout élément ''y'' de B,

&lt;math&gt;\begin{align}
y \in N_{B}(\sigma(H)) &amp; \Leftrightarrow y^{-1}\sigma(H)y = \sigma(H)\\
                       &amp; \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(H)y) = H\\
                       &amp; \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y)^{-1}H\sigma^{-1}(y) = H\\
                       &amp; \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in N_{A}(H)\\
                       &amp; \Leftrightarrow y \in \sigma(N_{A}(H)).
\end{align}
&lt;/math&gt;
}}

c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et ''a'' un élément de G. Prouver que
:&lt;math&gt;\qquad a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha)&lt;/math&gt;
et
:&lt;math&gt;\qquad a^{-1}N_{G}(H)a = N_{G}(a^{-1}Ha).&lt;/math&gt;

(Il en résulte que si deux sous-groupes sont conjugués, leurs centralisateurs sont conjugués et leurs normalisateurs sont conjugués.)

{{Solution
  | contenu =
Appliquer les points a) et b) au cas où A = B = G et où &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; est l'automorphisme &lt;math&gt;x \mapsto a^{-1}xa&lt;/math&gt; de G.
}}

d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G.

{{Solution
  | contenu =
Soit ''a'' un élément de G. D'après le point c), 
:&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha).&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
Puisque H est normal dans G, on peut remplacer &lt;math&gt;a^{-1}Ha&lt;/math&gt; par H, donc
:&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;math&gt;a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(H),&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;
ce qui prouve que &lt;math&gt;C_{G}(H)&lt;/math&gt; est normal dans G.
}}

== Problème 12 ==
(Le présent problème fait intervenir les groupes symétriques finis, qui seront étudiés dans le chapitre [[../../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]].)

Soient &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; un groupe et &lt;math&gt;x\in G&lt;/math&gt; un élément d'ordre &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. On note :
*&lt;math&gt;H=\langle x\rangle&lt;/math&gt; le sous-groupe engendré par &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ;
*&lt;math&gt;C=\{y\in G\mid xy=yx\}&lt;/math&gt; le centralisateur de &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ;
*&lt;math&gt;N=\{y\in G\mid Hy=yH\}&lt;/math&gt; le normalisateur de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;.
Remarquons que l'on a toujours &lt;math&gt;H\subset C\subset N&lt;/math&gt;.
#
##Expliciter &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; dans le cas &lt;math&gt;G=S_4&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x=(123)&lt;/math&gt;.
##Même question, toujours dans le cas &lt;math&gt;G=S_4&lt;/math&gt;, avec &lt;math&gt;x=(12)&lt;/math&gt;.
#On revient au cas général. Montrer que pour tout &lt;math&gt;y\in N&lt;/math&gt;, il existe un entier &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; premier avec &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;yxy^{-1}=x^k&lt;/math&gt;. Cet entier &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est-il unique ? Montrer que si &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est premier, &lt;math&gt;y^{k-1}\in C&lt;/math&gt;.
#Montrer que l'on peut définir une application &lt;math&gt;\varphi:N\to(\Z/n\Z)^\times&lt;/math&gt; en posant &lt;math&gt;\varphi(y)=\bar k&lt;/math&gt; (où &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes.
#Calculer le noyau de &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;. 
#On suppose dans cette dernière question que &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; est un groupe symétrique &lt;math&gt;S_m&lt;/math&gt; (où &lt;math&gt;m\ge2&lt;/math&gt;).
##Montrer que les générateurs du groupe &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; sont deux à deux conjugués dans &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;.
##En déduire que les groupes &lt;math&gt;N/C&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(\Z/n\Z)^\times&lt;/math&gt; sont isomorphes.
{{Solution|contenu=
#
##&lt;math&gt;H=\{\mathrm{id},(123),(132)\}&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}=(123)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))=(123)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\Leftrightarrow\sigma\in\{\mathrm{id},(123),(132)\}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;C=H&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}\in\{(123),(132)\}\Leftrightarrow&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\sigma\in H&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\}&lt;/math&gt; donc&lt;br /&gt;&lt;math&gt;N=\{\mathrm{id},(123),(132),(23),(13),(12)\}&lt;/math&gt;.
##&lt;math&gt;H=\{\mathrm{id},(12)\}&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2))=(12)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2))\in\{(1,2),(2,1)\}&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;C=\{\mathrm{id},(34),(12),(12)(34)\}&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;N=C&lt;/math&gt;.
#Pour tout &lt;math&gt;y\in N&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\langle x\rangle=y\langle x\rangle y^{-1}=\langle yxy^{-1}\rangle&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;yxy^{-1}&lt;/math&gt; est un générateur de &lt;math&gt;\langle x\rangle&lt;/math&gt;, c'est-à-dire un élément de la forme &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; premier à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.&lt;br /&gt;On a &lt;math&gt;x^k=x^{k'}\Leftrightarrow x^{k-k'}=e\Leftrightarrow n\mid k-k'&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; n'est pas unique.&lt;br /&gt;&lt;math&gt;y^nxy^{-n}=x^{(k^n)}&lt;/math&gt; et ([[Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire|petit théorème de Fermat]], &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; étant ici supposé premier) &lt;math&gt;k^n\equiv k\bmod n&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;y^nxy^{-n}=x^k=yxy^{-1}&lt;/math&gt;, d'où &lt;math&gt;y^{n-1}x=xy^{n-1}&lt;/math&gt;.
#&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est bien défini car le &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; associé à &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; n'est pas unique mais sa classe modulo &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; l'est. &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est un morphisme car si &lt;math&gt;\varphi(y)=\bar k&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\varphi(z)=\bar\ell&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;(yz)x(yz)^{-1}=y(zxz^{-1})y^{-1}=y(x^\ell)y^{-1}=(yxy^{-1})^\ell=(x^k)^\ell&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\varphi(yz)=\overline{k\ell}=\varphi(y)\varphi(z)&lt;/math&gt;.
#&lt;math&gt;\varphi(y)=\bar1\Leftrightarrow yxy^{-1}=x&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\ker\varphi=C&lt;/math&gt;.
#
##Si &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; est un produit de cycles disjoints c&lt;math&gt;_1,\dots,c_m&lt;/math&gt; d'ordres respectifs &lt;math&gt;n_1,\ldots,n_m&lt;/math&gt; alors son ordre &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; est le ppcm des &lt;math&gt;n_i&lt;/math&gt;. Tout générateur de &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; est de la forme &lt;math&gt;x^k=c_1^k\ldots c_m^k&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; est premier avec &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; donc avec chaque &lt;math&gt;n_i&lt;/math&gt;, donc chaque &lt;math&gt;c_i^k&lt;/math&gt; est encore un cycle d'ordre &lt;math&gt;n_i&lt;/math&gt;, si bien que &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; est, comme &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, un produit de cycles disjoints d'ordres &lt;math&gt;n_1,\ldots,n_m&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; sont conjugués dans &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt;.
##D'après le théorème de factorisation et les questions 3 et 4, la seule chose qui reste à vérifier est la surjectivité de &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;. Soit &lt;math&gt;\bar k\in(\Z/n\Z)^\times&lt;/math&gt;. D'après 5.1, &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; sont conjugués dans &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; donc il existe &lt;math&gt;y\in G&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;yxy^{-1}=x^k&lt;/math&gt;. Cette équation assure de plus que &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; est non seulement dans &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mais dans &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, et que &lt;math&gt;\bar k=\varphi(y)\in\operatorname{im}\varphi&lt;/math&gt;.
}}

== Problème 13 ==

L'objet de ce problème est de prouver que si &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est un homomorphisme d'un groupe &lt;math&gt;G_0&lt;/math&gt; dans un groupe G, alors &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes &lt;math&gt;f, g&lt;/math&gt; de G dans L, l'égalité &lt;math&gt;f \circ \varphi = g \circ \varphi &lt;/math&gt; entraîne &lt;math&gt;f = g .&lt;/math&gt;

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G.  Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons &lt;math&gt;\infty .&lt;/math&gt; Notons X l'ensemble &lt;math&gt;(G/H) \cup \{ \infty \}&lt;/math&gt; et notons K le groupe &lt;math&gt;S_{X}&lt;/math&gt; des permutations de X.

Pour tout élément &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de G, notons &lt;math&gt;\tilde{a}&lt;/math&gt; la transformation de X qui applique &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt; sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; de G, &lt;math&gt;\tilde{a} (bH) = (ab) H .&lt;/math&gt; Prouver que pour tout élément &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de G, &lt;math&gt;\tilde{a}&lt;/math&gt; est une permutation de X, que l'application &lt;math&gt;f : G \to S_X : a \mapsto \tilde{a}&lt;/math&gt; est un homomorphisme de G dans &lt;math&gt;K = S_X &lt;/math&gt; et que si &lt;math&gt;a\in H&lt;/math&gt; alors la permutation &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; fixe l'élément H de X.

{{Solution|contenu=
Pour tout élément &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de G, la transformation &lt;math&gt;C \mapsto aC&lt;/math&gt; de G/H est une permutation de G/H, par exemple parce qu'elle admet la transformation &lt;math&gt;C \mapsto a^{-1}C&lt;/math&gt; pour réciproque. D'autre part, l'unique transformation de &lt;math&gt;\{ \infty \}&lt;/math&gt; est évidemment une permutation de  &lt;math&gt;\{ \infty \} .&lt;/math&gt; Comme les ensembles G/H et &lt;math&gt;\{ \infty \}&lt;/math&gt; sont disjoints, il en résulte que la transformation &lt;math&gt;\tilde{a}&lt;/math&gt; de X qui applique &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt; sur lui-même et qui, pour tout élément C de G/H, applique C sur aH est une permutation de X.

Prouvons que l'application
:&lt;math&gt;f : G \to S_{X} : a \mapsto \tilde{a}&lt;/math&gt;
est un homomorphisme de G dans &lt;math&gt;K = S_{X}.&lt;/math&gt;
Soient &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; des éléments de G. Alors
:&lt;math&gt;\tilde{b}(C) =  bC&lt;/math&gt; pour tout élément C de G/H
et
:&lt;math&gt;\tilde{b}(\infty) = \infty .&lt;/math&gt;
Donc, d'après la définition de &lt;math&gt;\tilde{a}&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\tilde{a} (\tilde{b}(C)) =  abC&lt;/math&gt; pour tout élément C de G/H
et
:&lt;math&gt;\tilde{a} (\tilde{b}(\infty)) =  \infty .&lt;/math&gt;
Cela montre que &lt;math&gt;\tilde{a} \circ \tilde{b} = \widetilde{ab}&lt;/math&gt;, autrement dit &lt;math&gt;f(a) \circ f(b) = f(ab)&lt;/math&gt;, donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est bien un homomorphisme de G dans &lt;math&gt;K = S_{X}.&lt;/math&gt;

Si &lt;math&gt;a\in H&lt;/math&gt; alors
:&lt;math&gt;f(a)(H)= aH = H&lt;/math&gt;.&lt;!-- mais pas aC=C pour les autres éléments C de G/H--&gt;
}}

b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H.

Indications. De façon générale, si T est un ensemble et &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; deux différents éléments de T, on note &lt;math&gt;(x \  y)&lt;/math&gt; la permutation de T qui applique &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T.

Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; de G dans &lt;math&gt;K = S_X&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;g = \gamma \circ f&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est l'homomorphisme de G dans &lt;math&gt;K = S_X&lt;/math&gt; considéré au point a) et où &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; est l'automorphisme intérieur &lt;math&gt;\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)&lt;/math&gt; du groupe &lt;math&gt;S_X .&lt;/math&gt;

Prouver que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; sont deux différents homomorphismes de G dans K et que &lt;math&gt;f \vert H = g \vert H,&lt;/math&gt; ce qui prouve le point b).

{{Solution|contenu=
Puisque, d'après le point a), &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; est un homomorphisme de G dans &lt;math&gt;K = S_X&lt;/math&gt; et que &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; est par définition l'automorphisme intérieur &lt;math&gt;\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)&lt;/math&gt; du groupe &lt;math&gt;S_X = K&lt;/math&gt;, le composé &lt;math&gt;g = \gamma \circ f&lt;/math&gt; est un homomorphisme de G dans &lt;math&gt;K = S_X .&lt;/math&gt;

La permutation &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; fixe toujours &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt; par construction, et l'on a vu au point a) que si &lt;math&gt;a\in H&lt;/math&gt;, elle fixe aussi H. Dans ce cas, la conjugaison par la transposition &lt;math&gt;(H \ \infty)&lt;/math&gt; n'est d'aucun effet sur &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt;. Donc
:(1)&lt;math&gt;\qquad f \vert H = g \vert H .&lt;/math&gt;
Prouvons que &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; sont distincts. Puisque H est supposé être un sous-groupe propre de G, nous pouvons choisir un élément &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; de G qui n'appartient pas à H. Alors
:(2)&lt;math&gt;\qquad \tilde{a}&lt;/math&gt; applique l'élément H de G/H sur aH
et
:(3)&lt;math&gt;\qquad (H \ \infty) \circ \tilde{a} \circ (H \ \infty)&lt;/math&gt; applique l'élément H de G/H sur H.
Puisque nous avons choisi &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; hors de H, les deux classes aH et H sont distinctes, donc il résulte de (2) et (3) que &lt;math&gt;\tilde{a}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;(H \ \infty) \circ \tilde{a}\circ(H \ \infty)&lt;/math&gt; sont distincts, autrement dit &lt;math&gt;f(a)&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g(a)&lt;/math&gt; sont distincts, donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; sont distincts. Joint à (1), cela prouve l'énoncé du point b) (avec L = K).
}}
c) Soit &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; un homomorphisme d'un groupe &lt;math&gt;G_0&lt;/math&gt; dans un groupe &lt;math&gt;G .&lt;/math&gt; Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
:(i)&lt;math&gt;\qquad \varphi&lt;/math&gt; est surjectif ;
:(ii) &lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;pour tout groupe L et pour tous homomorphismes &lt;math&gt;f, g&lt;/math&gt; de G dans L, l'égalité &lt;math&gt;f \circ \varphi = g \circ \varphi &lt;/math&gt; entraîne &lt;math&gt;f = g .&lt;/math&gt;
Indication : utiliser le point b).

{{Solution|contenu=
L'implication (i) est vraie même si on se contente de supposer que &lt;math&gt;G_0&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; sont des ensembles et &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; une application de &lt;math&gt;G_0&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;G .&lt;/math&gt; (Voir une remarque dans la solution du problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].)

Pour prouver l'implication (ii) &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; (i), prouvons l'implication contraposée. Supposons donc que
:(hyp. 1)&lt;math&gt;\qquad \varphi&lt;/math&gt; n'est pas surjectif
et prouvons
:(thèse 2)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;qu'il existe un groupe L et deux différents homomorphismes &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; de G dans L tels que &lt;math&gt;f \circ \varphi = g \circ \varphi .&lt;/math&gt;
Puisque &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; n'est pas surjectif, &lt;math&gt;\varphi (G_0)&lt;/math&gt; est un sous-groupe propre de G, donc, d'après le point b),  il existe un groupe L et deux différents homomorphismes &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; de G dans L qui coïncident en tout élément de &lt;math&gt;\varphi (G_0)&lt;/math&gt;. Alors &lt;math&gt;f \circ \varphi = g \circ \varphi&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;f \not= g&lt;/math&gt;, ce qui prouve notre thèse (2).
}}
Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les {{w|épimorphisme}}s sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].

==Problème 14==
Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe S{{ind|X}} des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y :
:&lt;math&gt;A:=\{\sigma\in S_X\mid\forall y\in Y\quad\sigma(y)=y\}&lt;/math&gt;.
Soit M le sous-monoïde de S{{ind|X}} formé des éléments &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; tels que &lt;math&gt;sAs^{-1}\subset A.&lt;/math&gt;

L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de S{{ind|X}} si et seulement si Y ou X\Y est fini&lt;ref&gt;Bourbaki, ''Algèbre'', 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.&lt;/ref&gt;.

On pose pour cela :
:&lt;math&gt;N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}&lt;/math&gt;.
#Vérifier que N ⊂ M.
#Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M.
#Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N.
#Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de S{{ind|X}}.
#Démontrer la réciproque.
#Conclure.
{{Solution|contenu=
#Si &lt;math&gt;s\in N&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sigma\in A&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;sAs^{-1}\in A&lt;/math&gt; car &lt;math&gt;\forall y\in Y\quad s^{-1}(y)\in Y&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\sigma(s^{-1}(y))=s^{-1}(y)&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;s(\sigma(s^{-1}(y)))=y&lt;/math&gt;.
#Si X\Y est un singleton, A = { id{{ind|X}} } donc M = S{{ind|X}}.
#Supposons que X\Y n'est pas un singleton et que s est une permutation de X n'appartenant pas à N et montrons qu'alors, s n'appartient pas non plus à M. Par hypothèse, il existe &lt;math&gt;y\in Y&lt;/math&gt; tel que l'élément &lt;math&gt;u:=s^{-1}(y)&lt;/math&gt; appartienne à X\Y, et X\Y contient un autre élément v. La transposition &lt;math&gt;\sigma:=(u v)&lt;/math&gt; appartient alors à A, mais &lt;math&gt;s\sigma s^{-1}\notin A&lt;/math&gt; (donc &lt;math&gt;s\notin M&lt;/math&gt;) car &lt;math&gt;s\sigma s^{-1}(y)=s\sigma(u)=s(v)\ne s(u)=y&lt;/math&gt;.
#Si Y est fini alors &lt;math&gt;N=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)=Y\}&lt;/math&gt; donc N{{exp|–1}} = N.&lt;br /&gt;Dualement, puisque N s'écrit aussi &lt;math&gt;N=\{s\in S_X\mid s(X\setminus Y)\subset X\setminus Y\}&lt;/math&gt;, si X\Y est fini alors N{{exp|–1}} = N.
#Supposons que Y et X\Y sont infinis et montrons qu'alors, il existe dans N une permutation s dont l'inverse n'appartient pas à N. Fixons un élément z de X\Y. Puisque [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-4|Y est équipotent à Y∪{z} et X\Y est équipotent à X\(Y∪{z})]], il existe une permutation s de X telle que s(Y) = Y∪{z}. Cette permutation s appartient à N (car &lt;math&gt;s^{-1}(Y)\subset s^{-1}(Y\cup\{z\})=Y&lt;/math&gt;) mais pas son inverse (car &lt;math&gt;s(Y)=Y\cup\{z\}\not\subset Y&lt;/math&gt;).
#Si Y ou X\Y est fini alors M est un sous-groupe de S{{ind|X}} d'après les questions 1, 2, 3 et 4. Réciproquement, si M est un sous-groupe de S{{ind|X}} alors Y ou X\Y est fini  d'après les questions 1, 3 et 5.
}}

==Problème 15==
Soit G un groupe.
#Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien.
#En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien.
{{Solution|contenu=
#Soient H un tel sous-groupe et g un élément de G dont la classe modulo H engendre G/H. Alors, pour tous éléments x et y de G, x = g{{exp|m}} h et y = g{{exp|n}} k avec m, n entiers et h, k éléments de H, donc&lt;br /&gt;xy = g{{exp|m}} h g{{exp|n}} k = g{{exp|m+n}} hk = g{{exp|m+n}} kh = g{{exp|n}} k g{{exp|m}} h = yx. On peut dire aussi, plus élégamment, que G est engendré par {g} ∪ Z(G) ; comme deux éléments de {g} ∪ Z(G) commutent toujours et qu'un groupe engendré par une partie dont tous les éléments commutent entre eux est commutatif (voir chapitre théorique), il en résulte que G est commutatif.)
#Si le groupe Aut(G) est monogène alors le sous-groupe Int(G) l'est aussi, or (chapitre théorique) Int(G) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est monogène. On conclut grâce à la question précédente.
}}

== Références ==
&lt;references/&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]]
  | suivant   = [[../Action de groupe/]]
}}</text>
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    <title>Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow</title>
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      <timestamp>2026-04-10T07:38:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Marvoir</username>
        <id>1746</id>
      </contributor>
      <comment>/* Problème 14 (exposant d'un groupe fini) */ points sur les i</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="61414" sha1="k0ybml5uw7rdlb7anysqh1p30af22ah" xml:space="preserve">{{Exercice
  | idfaculté = mathématiques
  | numéro    = 14
  | chapitre  = [[../../Théorèmes de Sylow/]]
  | précédent = [[../Groupes linéaires/]]
  | suivant   = [[../Théorème de Jordan-Hölder/]]
  | niveau    = 16
}}

== Problème 1 (Autre démonstration des théorèmes de Sylow) ==
Le but de cet exercice est de donner une démonstration des théorèmes de Sylow qui ne dépend pas de la théorie des espaces vectoriels.

a) Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Soit E un ensemble non vide de p-sous-groupes de G possédant les deux propriétés suivantes :

1° si H est un sous-groupe de G appartenant à E, tous les conjugués de H dans G appartiennent à E ;

2° si H et K appartiennent à E, si H normalise K, alors H = K.

Montrer qu'alors, tous les éléments de E sont des sous-groupes de G conjugués entre eux dans G (de sorte que E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G) et leur nombre est congru à 1 modulo ''p''.

(Indication. Choisir un élément V de E, le faire opérer par conjugaison sur l’ensemble F de ses conjugués dans G et obtenir un renseignement sur le cardinal de F. Ensuite, supposer que, par absurde, il y ait un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G ; faire opérer W par conjugaison sur l’ensemble F déjà considéré (l'ensemble des conjugués de V) et obtenir sur le cardinal de F un renseignement qui contredit le précédent.)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Puisque l’ensemble E est supposé non vide, nous pouvons choisir un élément V de E. Désignons par F l’ensemble des conjugués V&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , V&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt; de V dans G. Par hypothèse sur E, ces conjugués appartiennent tous à E. Faisons opérer V sur F par conjugaison, ce qui est clairement possible, puisque l’ensemble F est stable par conjugaison par tout élément de G et ''a fortiori'' par tout élément de V. Si un V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; est point fixe, alors V normalise V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donc, par hypothèse sur E, V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; est égal à E. Cela montre que V est le seul point fixe de l'opération. [[../../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|Un lemme du chapitre théorique]] dit que si un p-groupe fini opère sur un ensemble fini X, le nombre de points fixes de cette opération est congru modulo ''p'' au cardinal de X. Il résulte donc de ce qui précède que le cardinal ''r'' de l’ensemble F des conjugués de V dans G est congru à 1 modulo ''p''.

Supposons maintenant que, par absurde, il existe un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G. Nous avons déjà noté que l’ensemble F est stable par conjugaison par tout élément de G, donc nous pouvons faire opérer W sur F par conjugaison. Si un élément V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; de F était point fixe pour cette opération, W normaliserait V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donc, par hypothèse sur E, W et V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; seraient égaux, ce qui contredit notre hypothèse selon laquelle W n’est pas un conjugué de V. L'opération de W sur F n'a donc pas d'orbite ponctuelle. D'après le lemme rappelé plus haut, le cardinal ''r'' de F est divisible par ''p''. Cela contredit notre précédent résultat, selon lequel ''r'' est congru à 1 modulo ''p''.

Nous avons donc prouvé que E est égal à l’ensemble F des conjugués de V et que le cardinal de F, autrement dit de E, est congru à 1 modulo ''p''. Cela démontre l'énoncé.
}}

b) Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Appelons p-sous-groupe maximal de G tout élément maximal de l’ensemble des p-sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (On verra plus loin que les p-sous-groupes maximaux de G sont ses p-sous-groupes de Sylow, définis comme les sous-groupes de G dont l’ordre est la plus grande puissance de ''p'' divisant &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt;.) Prouver que si P est un p-sous-groupe maximal de G, si ''x'' est un élément de G dont l’ordre est une puissance de ''p'', si ''x'' normalise P, alors ''x'' appartient à P.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Puisque ''x'' normalise P, le sous-groupe &lt;x&gt; normalise P, donc &lt;x&gt; P est un sous-groupe de G. D'après la formule du produit, le nombre d'éléments de &lt;x&gt; P divise le produit des ordres de &lt;x&gt; et de P, donc est une puissance de ''p'', donc &lt;x&gt; P est un p-sous-groupe de G. Par maximalité de P, on doit avoir &lt;x&gt; P = P, donc ''x'' appartient à P, comme annoncé.
}}

c) Montrer que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo ''p''. (Indication : montrer que l’ensemble des p-sous-groupes maximaux de G satisfait aux hypothèses sur E du point a.)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Désignons par E l’ensemble des p-sous-groupes maximaux de G et montrons que les hypothèses sur E du point a) sont satisfaites. L'ensemble des p-sous-groupes de G n’est pas vide (il comprend 1), donc, comme tout ensemble ordonné fini non vide, il a au moins un élément maximal. (Il suffit d'ailleurs de considérer un p-sous-groupe de G dont l’ordre est le plus grand possible.) Donc E n’est pas vide.

Montrons que E satisfait à la condition 1° du point a), c'est-à-dire que si E comprend un sous-groupe de G, il comprend tout conjugué de ce sous-groupe dans G. Soient P un p-sous-groupe maximal de G et ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg est un p-sous-groupe maximal de G. Tout groupe isomorphe à un p-groupe est un p-groupe, donc g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg est un p-sous-groupe de G. Prouvons que c’est un p-sous-groupe maximal de G. Soit Q un p-sous-groupe de G contenant g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg; il s'agit de prouver que Q = g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg. Du fait que Q contient g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg, il résulte que gQg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; contient P. Mais gQg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; est un p-sous-groupe de G, donc, par maximalité de P, gQg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = P, d'où Q = g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg, ce qui, comme on l'a vu, prouve que tout conjugué d'un p-sous-groupe maximal de G est lui aussi un p-sous-groupe maximal de G, autrement dit tout conjugué d'un élément de E appartient à E. Cela prouve que E satisfait à la condition 1° du point a).

Prouvons maintenant que E satisfait à la condition 2° de l'énoncé a). Soient H et K deux p-sous-groupes maximaux de G tels que H normalise K; il s'agit de prouver que H = K. Dire que H normalise K revient à dire que tout élément de H normalise K. Comme l’ordre de tout élément de H est une puissance de ''p'', il résulte du point b) que H est contenu dans K. Par maximalité de H, on a donc H = K, comme annoncé.

Ainsi, E satisfait aux hypothèses du point a). Il résulte donc du point a) que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo ''p''.
}}

d) Soient G un groupe fini et ''p'' un diviseur premier de l’ordre de G. Prouver le [[../../Théorèmes de Sylow#Premier théorème de Sylow|théorème de Cauchy]], à savoir que G comprend au moins un élément d'ordre ''p''. (Indication. On peut utiliser la démonstration de McKay : faire opérer le groupe '''Z'''/p'''Z''' par « rotation » sur l’ensemble des p-uplets (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;) d'éléments de G tels que x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; = 1.)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Désignons par A l’ensemble des p-uplets (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;) d'éléments de G tels que x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; = 1. Si (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;) est un tel p-uplet, le p-uplet (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) en est un aussi. En effet, en multipliant à gauche les deux membres de l'égalité x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; = 1 par l'inverse de x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; puis à droite par x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, nous trouvons x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = 1.

On en tire qu’il existe une et une seule application de '''Z'''/p'''Z''' × A (produit cartésien) dans A qui, pour tout nombre naturel ''n'' et tout élément x = (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;) de A, applique le couple (n + p '''Z''', x) sur (x&lt;sub&gt;r(0 + n)&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;r(p-1+n)&lt;/sub&gt;), où r(s) désigne le reste de ''s'' par ''p''. On vérifie que cette application est une opération du groupe '''Z'''/p'''Z''' sur l’ensemble A. D'après le lemme rappelé dans la solution de la question a, le nombre des points fixes de cette opération est congru modulo ''p'' au cardinal de A. Il est clair que le cardinal de A est la (p-1)-ième puissance de l’ordre de G : à chaque (p-1)-uplet (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-2&lt;/sub&gt;) d'éléments de G correspond un seul élément de A de la forme (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-2&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;), x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; étant défini de manière unique par la condition  x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; = 1. Puisque l’ordre de G est supposé divisible par ''p'', le cardinal de A est donc divisible par ''p''. Dès lors, il résulte de ce qui précède que le nombre des points fixes est divisible par ''p''. Mais les points fixes sont clairement les p-uplets de la forme (x, x, ... , x) avec x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; = 1, donc le nombre des points fixes est le nombre des éléments ''x'' de G tels que x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; = 1. Nous avons ainsi montré que le nombre de ces éléments est divisible par ''p''. Puisque 1 est un de ces éléments, leur nombre n’est pas nul et est donc au moins égal à ''p''. En particulier, il y a au moins un de ces éléments qui est distinct de 1, c'est-à-dire que G a au moins un élément d'ordre ''p''.
;Remarques
:*Cette démonstration prouve même que le nombre d'éléments d'ordre ''p'' est congru à –1 modulo ''p''.
:*On trouve une autre preuve de ce fait plus précis (à partir du théorème de Cauchy proprement dit) au début de {{Article|lang=en|auteur=Marcel Herzog|titre=Counting group elements of order &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;p^2&lt;/math&gt;|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|vol=66|date=1977|page=247-250|doi=10.1090/S0002-9939-1977-0466316-5}}
}}

e) Prouver que les p-sous-groupes maximaux de G sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G, c'est-à-dire les sous-groupes de G dont l'ordre est la plus grande puissance de ''p'' divisant &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt;. (Indication : à l'aide des points b) et d), montrer que si P est un p-sous-groupe maximal de G, alors l'indice de P dans N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P) n'est pas divisible par ''p''.)
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Posons &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt; = p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;m, où ''m'' n’est pas divisible par ''p''. Prouvons d’abord que tout p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe maximal de G. Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G contenu dans un p-sous-groupe Q de G. Il s'agit de prouver que P = Q. Par définition des p-sous-groupes de Sylow, P est d'ordre p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;, donc, puisque P est contenu dans Q, l’ordre p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt; de P divise l’ordre de Q. Puisque Q est un p-groupe, Q est donc d'ordre p&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;, avec a ≤ b. D'après le théorème de Lagrange, p&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt; divise &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt; = p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;m, donc b ≤ a. On a donc a = b, donc P et Q ont le même ordre. Puisqu’ils sont en relation d'inclusion, on a donc P = Q. Comme on l'a vu, cela prouve que tout p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe maximal de G.

Prouvons maintenant que tout p-sous-groupe maximal H de G est un p-sous-groupe de Sylow de G. Cela revient clairement à prouver que l'indice de H dans G n’est pas divisible par ''p''. D'après le point c), le nombre des conjugués de H dans G est congru à 1 modulo ''p'' et n'est donc pas divisible par ''p''. D'après un théorème démontré dans le chapitre  [[../../Action de groupe|Action de groupe]], le nombre des conjugués de H dans G est égal à l'indice dans G du normalisateur N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H) de H dans G, donc l'indice [G:N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)] n’est pas divisible par ''p''. D'après la formule des indices,
:[G:H] = [G:N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)] [N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H):H],
donc, pour prouver que l'indice de H dans G n’est pas divisible par ''p'', il suffit de prouver que [N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H):H] n’est pas divisible par ''p''. Comme H est normal dans N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H), nous pouvons considérer le groupe quotient N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)/H et il s'agit de prouver que l’ordre de ce groupe n’est pas divisible par ''p''. Supposons que, par absurde, il le soit. Alors, d’après le théorème de Cauchy démontré au point d), il y a dans ce groupe un élément d'ordre ''p''. Cela signifie qu’il y a un élément ''x'' de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H) n'appartenant pas à H mais tel que x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; appartienne à H. Puisque H est un p-groupe, le fait que x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; appartient à H entraîne que l’ordre de ''x'' est une puissance de ''p''. D'autre part, puisque ''x'' appartient à N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H), ''x'' normalise H. D'après le point b), ces deux faits entraînent que ''x'' appartient à H, contradiction. Cette contradiction prouve que l’ordre de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)/H n’est pas divisible par ''p'' et, comme nous l'avons vu, cela achève de prouver l'énoncé.
}}
Remarques.
# Les théorèmes de Sylow, démontrés dans le chapitre théorique, résultent du point e) et de ce qui précède. On s'est ainsi passé de la théorie des espaces vectoriels.
# Certains énoncés démontrés ici serviront à prouver que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes.

== Problème 2 (Groupe p-clos)  ==
Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :&lt;br /&gt;
a) tout p-sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G;&lt;br /&gt;
b) il existe un p-sous-groupe de Sylow de G qui est distingué dans G;&lt;br /&gt;
c) G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Si la condition a) est satisfaite, la condition b) l'est, car G admet au moins un p-sous-groupe de Sylow.&lt;br /&gt;
Supposons la condition b) satisfaite et prouvons c). Il existe donc un p-sous-groupe de Sylow P de G qui est distingué dans G. D'après la théorie, tout p-sous-groupe de Sylow de G est conjugué de P. Puisque P est distingué, il est son seul conjugué, donc il est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, donc la condition c) est satisfaite.&lt;br /&gt;
Supposons enfin la condition c) satisfaite et prouvons a). soit P l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Tout conjugué de P est un p-sous-groupe de Sylow de G, donc, vu l'hypothèse c), est égal à P. Donc P est distingué. Puisque, par hypothèse, c’est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, la condition a) est satisfaite. 
}}
Remarque. Dans la littérature mathématique de langue anglaise&lt;ref&gt;Voir par exemple H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, p. 64.&lt;/ref&gt;, un groupe fini G est dit '''p-closed''', pour un nombre premier ''p'' donné, si les conditions équivalentes a), b) et c) sont satisfaites. On trouve dans la littérature de langue française&lt;ref&gt;Voir Félix Ulmer, ''Théorie des groupes'', Paris, éd. Ellipses, 2012, p. 86.&lt;/ref&gt; l'expression « p-sous-groupe p-clos » d'un groupe fini G pour désigner un p-sous-groupe de G qui comprend tous les éléments dont l'ordre est puissance de ''p''. Si un tel sous-groupe de G existe, il est unique et est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Dire que G admet un p-sous-groupe p-clos dans le second sens de « p-clos » revient donc à dire que G est p-clos dans le premier sens. Dans le présent cours, on utilisera l'expression dans son premier sens.

== Problème 3  (Sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe et d'un groupe quotient) ==
Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, ''p'' un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G.

a) Dans le chapitre théorique, on a prouvé à l'aide de l'équation aux classes (chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]) qu'il existe un conjugué P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de P dans G tel que P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⋂ H soit un p-sous-groupe de Sylow de H. Donner une démonstration qui ne repose pas sur l'équation aux classes, mais qui repose sur le fait que H a au moins un p-sous-groupe de Sylow. (On a démontré ce dernier fait au problème 1, sans utiliser l'énoncé à démontrer ici.) 
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
D'après les théorèmes de Sylow, démontrés au problème 1, nous pouvons choisir un p-sous-groupe de Sylow de H, soit Q. Alors Q est un p-sous-groupe de G, donc, toujours d'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de G. Alors Q est contenu dans P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⋂ H, qui est un p-sous-groupe de H. Comme un p-sous-groupe de Sylow de H est maximal parmi les p-sous-groupes de H, on a donc P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⋂ H = Q. Toujours d'après les théorèmes de Sylow, P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; est un conjugué de P dans G, d'où l'énoncé.
}}
b) On ajoute aux hypothèses que P ou H est normal dans G. Prouver que H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Si P est normal dans G, alors tout conjugué de P dans G est égal à P et la thèse résulte immédiatement du point a). Cessons de supposer P normal dans G, mais supposons H normal dans G. D'après le point a), il existe un élément ''g'' de G tel que (gPg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)⋂ H soit un p-sous-groupe de Sylow de H. Puisque H est normal dans G, x ↦ ''g''&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; x ''g'' définit un automorphisme de H; d'autre part, l'image d'un p-sous-groupe de Sylow de H par un automorphisme de H est clairement un p-sous-groupe de Sylow de H. Donc l'image de (gPg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)⋂ H par x ↦ ''g''&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; x ''g'', c'est-à dire P ⋂ ''g''&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; H ''g'' = P ⋂ H, est un p-sous-groupe de Sylow de H.

Voici une autre démonstration dans le cas où H est normal dans G. D'après la [[../../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]], nous avons l'égalité entre indices
:(1) [H: H ⋂ P] = [HP:P].
Comme H est normal dans G, HP est un sous-groupe de G, donc le second membre de (1) divise [G:P] et n'est donc pas divisible par ''p''. Il en est donc de même du premier membre de (1) :
:(2) [H: H ⋂ P], n’est pas divisible par ''p''.
D'autre part, H ⋂ P, étant sous-groupe de P, est un p-groupe et donc un p-sous-groupe de H. Joint à (2), cela prouve que  H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H.
}}
c) On ajoute aux hypothèses générales que H est normal dans G. Prouver que PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H et que tout p-sous-groupe de Sylow de G/H est de la forme QH/H pour un p-sous-groupe de Sylow Q de G.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
D'après la formule du produit (ou le second théorème d'isomorphisme), l’ordre de PH/H est égal à l’ordre de P/ (H ⋂ P), donc divise l’ordre de P, donc PH/H est un p-groupe. D'autre part (par exemple d’après le troisième théorème d'isomorphisme, ou encore simplement d’après la relation [A:B] = &lt;nowiki&gt;|A|/|B|&lt;/nowiki&gt;, vraie pour tout groupe fini A et tout sous-groupe B de A), l'indice de PH/H dans G/H est égal à [G:PH]. D'après la formule des indices, l'indice [G:PH] divise [G:P] et n'est donc pas divisible par ''p''. Nous avons donc prouvé que PH/H est un p-sous-groupe de G/H dont l'indice dans G/H n’est pas divisible par ''p'', autrement dit PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.&lt;br /&gt;
Prouvons la seconde assertion de l'énoncé. Soit Q' un p-sous-groupe de Sylow de G/H; il s'agit de prouver la
:(thèse 1) : il existe un p-sous-groupe de Sylow Q de G tel que Q' soit l'image QH/H de Q par l'homomorphisme canonique &lt;math&gt;\varphi : G \rightarrow G/H.&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Choisissons un p-sous-groupe de Sylow de G, par exemple le P de l'énoncé. D'après la première partie de l'énoncé, PH/H, autrement dit &lt;math&gt;\varphi(P),&lt;/math&gt; est un p-sous-groupe de Sylow de G/H, donc Q' et &lt;math&gt;\varphi(P)&lt;/math&gt; sont conjugués dans G/H, donc il existe un élément ''g'' de G tel que
:&lt;math&gt;Q' = \varphi(g) \varphi(P) \varphi(g)^{-1}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;Q' = \varphi(g P g^{-1}).&lt;/math&gt;
Comme &lt;math&gt;g P g^{-1}&lt;/math&gt; est un p-sous-groupe de Sylow de G, cela prouve notre thèse (1) avec &lt;math&gt;Q = g P g^{-1}.&lt;/math&gt;
}}

== Problème 4  ==
Soient ''p'' et ''q'' deux nombres premiers distincts et G un groupe d'ordre ''pq''. Prouver que G n'est pas simple.
{{Solution
  | contenu =
Soit par exemple p &lt; q. D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo ''q'' et divise ''p''. Ce nombre ne peut pas être égal à ''p'', car ''p'', étant &lt; q, n'est pas congru à 1 modulo ''q''. Donc le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1. Comme noté dans le [[#Problème 2 (Groupe p-clos)|problème 2 ci-dessus]], cela entraîne que G a un sous-groupe normal d'ordre ''q'' et n'est donc pas simple.
}}

== Problème 5. (Assez difficile.)  ==
Soient ''G'' un groupe fini, ''p'' un diviseur premier de l’ordre de ''G'' et ''P'' un p-sous-groupe de Sylow de ''G''. Soient ''U'' et ''W'' des sous-groupes distingués de ''P''. Prouver que ''U'' et ''W'' sont conjugués dans ''G'' si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur ''N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P)''. (Burnside&lt;ref&gt;D. Gorenstein, ''Finite Groups'', 2{{e}} éd., 1980, {{p.|240}}.&lt;/ref&gt;)
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Solution. Supposons que ''U'' et ''W'' sont conjugués dans ''G'' et prouvons qu’ils le sont dans ''N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P)'', ce qui est évidemment l'essentiel.
Il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''gUg{{exp|-1}}'' = ''W''. Puisque ''U'' est normal dans ''P'', il en résulte que ''W'' est sous-groupe normal de ''gPg{{exp|-1}}''. (Un isomorphisme d'un groupe sur un autre transforme les sous-groupes normaux du premier en les sous-groupes normaux du second. Appliquer cela à l'isomorphisme &lt;math&gt;x \mapsto gxg^{-1}&lt;/math&gt; de ''P'' sur ''gPg{{exp|-1}}''.) Ainsi, ''W'' est normal dans ''P'' et dans ''gPg{{exp|-1}}'', donc dans le sous-groupe de ''G'' qu’ils engendrent, soit ''H''. Il est clair que ''P'' et ''gPg{{exp|-1}}'' sont des sous-groupes de Sylow de ''H'', donc ils sont conjugués dans ''H'', autrement dit il existe un élément ''h'' de ''H'' tel que ''hgPg{{exp|-1}}h{{exp|-1}}'' = ''P''. Alors &lt;math&gt;hg \in N_{G}(P)&lt;/math&gt; et ''hgUg{{exp|-1}}h{{exp|-1}}'' = ''hWh{{exp|-1}}'' = ''W'' (cette dernière relation provenant de ce que ''W'' est normal dans ''H''). Ainsi, ''W'' est conjugué de ''U'' par l'élément ''hg'' de ''N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P)''.
}}
Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira à prouver que tous les groupes simples d'ordre 168 sont isomorphes.

== Problème 6  (Congruence de Sylow à module renforcé) ==

a) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et P un ''p''-sous-groupe de Sylow de G. Montrer que si un élément ''x'' de G dont l’ordre est une puissance de ''p'' normalise P, ''x'' appartient à P.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Cela résulte d'un des problèmes qui précèdent. Pour rendre le présent problème autonome, on va redonner une démonstration. Le sous-groupe &lt;x&gt; de G engendré par ''x'' normalise P, donc le sous-groupe de G engendré par P et par ''x'' est l’ensemble &lt;x&gt; P. Le cardinal de cet ensemble divise &lt;math&gt;\vert &lt;x&gt; \vert \cdot \vert P \vert &lt;/math&gt; (voir la ''formule du produit'' démontrée dans le chapitre [[../../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]]) et est donc une puissance de ''p''. Par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de G comme sous-groupes de G dont l’ordre est une puissance de ''p'', &lt;x&gt; P est donc égal à P, donc ''x'' appartient à P.&lt;br /&gt;
On aurait pu dire aussi que &lt;x&gt; est un p-sous-groupe de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P) et est donc contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P). Or P est évidemment un p-sous-groupe de Sylow de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P) et c’est le seul, puisqu’il est sous-groupe distingué de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P). Donc ''x'' appartient à P.
}}

b) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et P un ''p''-sous-groupe de Sylow de G. Désignons par Syl(p, G) l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et faisons opérer P sur Syl(p, G) par conjugaison. Prouver que pour tout élément Q de Syl(p, G), le stabilisateur de Q est P ⋂ Q.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soit Q un élément de Syl(P, G). Il est clair que tout élément de P ⋂ Q stabilise Q pour l'opération considérée. Réciproquement, soit ''x'' un élément de P qui stabilise Q, prouvons que ''x'' appartient à Q (et donc à P ⋂ Q). Dire que ''x'' stabilise Q signifie que xQx{{exp|-1}} = Q, autrement dit que ''x'' normalise Q. Comme ''x'' a pour ordre une puissance de ''p'' (parce qu’il appartient à P), il appartient à Q d’après le point a).
}}

c) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et ''m'' le plus grand entier naturel tel que p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; divise l’ordre de G. (Donc p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que, pour un certain entier naturel i ≤ m, l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours d'ordre ≤ p&lt;sup&gt;m-i&lt;/sup&gt;. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;. (Indication : utiliser le point b) et l'équation aux classes, démontrée au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]].)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =

Soit ''r'' le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G. Il s'agit de prouver que ''r'' est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;. Comme au point b), choisissons arbitrairement un ''p''-sous-groupe de Sylow P de G et faisons-le opérer sur Syl(p, G) par conjugaison. Si Q est un point fixe pour cette opération, son stabilisateur est P tout entier, donc, d’après le point b), P ⋂ Q = P, d'où P ⊆ Q. Comme P et Q ont le même ordre fini p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;, Q est donc égal à P. Ceci montre que P est le seul point fixe pour l'opération considérée. (On a d'ailleurs prouvé ce fait dans la théorie.)&lt;br /&gt;
Posons Q&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = P et choisissons un système Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; de représentants des orbites non ponctuelles. D'après l'équation aux classes (chapitre [[../../Action de groupe]]),
:r = 1 + [P:Stab(Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)] + ... + [P:Stab(Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt;)].
D'après le point b), cela peut s'écrire
:(1) r = 1 + [P : P ⋂ Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)] + ... + [P : P ⋂ Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt;)].
Puisque Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; sont tous distincts de P, il résulte des hypothèses de l'énoncé que, pour tout i ≥ 2, l’ordre de P ⋂ Q&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; divise p&lt;sup&gt;m-i&lt;/sup&gt;, donc [P : P ⋂ Q&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;], égal à &lt;math&gt;\ \vert P \vert / \vert P \cap Q_{i} \vert &lt;/math&gt;, est multiple de p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;. La relation (1) montre donc que ''r'' est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;, ce qui démontre l'énoncé.

Remarque : si ''p'' ne divise pas l’ordre de ''G'', on ne peut pas trouver deux p-sous-groupes de Sylow de ''G'' distincts, car ''G'' a alors un unique ''p''-sous-groupe de Sylow, à savoir son sous-groupe trivial. Il en résulte que n'importe quel entier ''i'' tel que &lt;math&gt;0 \leq i \leq m&lt;/math&gt; convient. Les congruences obtenues dans ce cas pour chaque valeur possible de ''i'' ne sont pas intéressantes, puisqu'on connaît alors précisément le nombre de ''p''-sous-groupes de Sylow de ''G'', mais elles n'en sont pas moins correctes.
}}

d) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et ''m'' le plus grand entier naturel tel que p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; divise l’ordre de G. (Donc p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que les p-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux, c'est-à-dire que l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours réduite à l'élément neutre. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Faire i = m dans l'énoncé du point c).
}}

== Problème 7 (Intersection des p-sous-groupes de Sylow et intersection de leurs normalisateurs) ==
Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Prouver que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. [Il faudrait peut-être réunir les problèmes 7 et 7bis en un seul. On verra ça plus tard.]

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Alors l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des conjugués de P dans G, autrement dit le cœur de P dans G, et est donc un sous-groupe normal de G (voir un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). D'autre part, les normalisateurs (dans G) des p-sous-groupes de Sylow de G sont les conjugués de &lt;math&gt;N_{G}(P)&lt;/math&gt; (voir un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]), donc l'intersection des normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow de G est le cœur de &lt;math&gt;N_{G}(P)&lt;/math&gt; et est donc elle aussi un sous-groupe normal de G.
}}
Remarque. Le problème suivant montre que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont en fait des sous-groupes caractéristiques de G, ce qui est plus fort que l'énoncé du présent problème.

== Problème 7bis ==
Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. D'après le problème qui précède, l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; un automorphisme de G. L'image par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; de l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des images de ces sous-groupes par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; :
:(1) &lt;math&gt;\qquad \sigma (\bigcap_{P}P) = \bigcap_{P} \sigma(P),&lt;/math&gt;
où P parcourt les p-sous-groupes de Sylow de G.&lt;br /&gt;
Puisque les p-sous-groupes de Sylow de G sont les sous-groupes de G d'un certain ordre, les images de ces sous-groupes par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; sont ces mêmes sous-groupes, donc (1) peut s'écrire
:&lt;math&gt;\qquad \sigma (\bigcap_{P}P) = \bigcap_{P} P,&lt;/math&gt;
ce qui montre que &lt;math&gt;\bigcap_{P}P&lt;/math&gt; est un sous-groupe caractéristique de G.&lt;br /&gt;
D'après un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], &lt;math&gt;\sigma(N_{G}(P)) = N_{G}(\sigma(P))&lt;/math&gt;. On vient de voir que les images des  p-sous-groupes de Sylow de G par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; sont ces mêmes sous-groupes de Sylow, donc, si on fait parcourir à P les p-sous-groupes de Sylow de G,
:&lt;math&gt;\sigma (\bigcap_{P} N_{G}(P)) = \bigcap_{P} \sigma(N_{G}(P)) = \bigcap_{P} N_{G}(\sigma(P)) = \bigcap_{P} N_{G}(P),&lt;/math&gt;
ce qui montre que &lt;math&gt;\bigcap_{P} N_{G}(P)&lt;/math&gt; est un sous-groupe caractéristique de G.
}}

== Problème 8  ==
Soit ''p'' un nombre premier, soit G un groupe fini, soit ''m'' le plus grand nombre naturel tel que p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; divise &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt;, soit ''a'' le nombre des ''p''-sous-groupes de Sylow de G, soient P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , P&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; les ''p''-sous-groupes de Sylow de G.&lt;br /&gt;
Posons b = &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt; / (p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;a). (D'après les théorèmes de Sylow, ''b'' est un nombre naturel.)&lt;br /&gt;
Prouver&lt;ref&gt;Voir N. Bourbaki, ''Algèbre I, Chapitres 1 à 3'', Paris, 1970, ch. 1, § 6, exerc. 39, a, p. I, 142.&lt;/ref&gt; que &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt; est l'unique p-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; et que les ordres de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; et de Z(G) divisent &lt;math&gt;b \ \vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt;.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Pour prouver que &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt; est l'unique p-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt;, il suffit de prouver que tout élément ''x'' de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; dont l’ordre est une puissance de ''p'' est contenu dans &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt;. (Si un p-sous-groupe S d'un groupe K comprend tous les éléments de K dont les ordres sont des puissances de ''p'', ce p-sous-groupe S contient tous les p-sous-groupes de Sylow de K, donc, par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de K parmi les p-sous-groupes de K, S est égal à tous les p-sous-groupes de Sylow de K.) Pour chaque ''i'' (''i'' = 1, ..., a), ''x'' est un élément dont l’ordre est une puissance de ''p'' et qui normalise le p-sous-groupe de Sylow P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donc, d’après un précédent exercice, ''x'' appartient à P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Ceci étant vrai pour chaque ''i'', ''x'' appartient à &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt;. Nous avons donc bien prouvé que &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt; est l'unique p-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt;. Donc
:(1) ''p'' figure à la même puissance dans &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt; et dans &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt;.
D'autre part, puisque les p-sous-groupes de Sylow de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que le cardinal de cette classe est ''a'', l'indice de chaque N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) dans G est ''a'', autrement dit
:(2) chaque N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) est d'ordre bp&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.
Puisque &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; est contenu dans N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;), &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt; divise &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt;N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt;, c'est-à-dire, d’après (2), que
:&lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt; divise bp&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.
Comme ''b'' est premier avec ''p'', ceci et (1) montrent que
:&lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt; divise b &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt;.
Il est clair que Z(G) est contenu dans &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; (le centre normalise tout sous-groupe), donc l’ordre de Z(G) divise lui aussi b &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt;.
}}
Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira à résoudre un exercice du chapitre Groupes alternés, qui nous permettra à son tour de prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;.

== Problème 9  (Nombre des p-sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe) ==
a) Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier, soient P et Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que le sous-groupe &lt;P,Q&gt; de G engendré par P et Q n'est pas un p-groupe.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Par exemple, P n'est pas contenu dans Q, donc le sous-groupe &lt;P,Q&gt; de G contient Q strictement. Puisque Q est un p-sous-groupe de Sylow de G et que tout p-sous-groupe de Sylow de G est maximal parmi les p-sous-groupes de G, &lt;P,Q&gt; n'est donc pas un p-sous-groupe de G.
}}
b) Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, ''p'' un nombre premier. Notons Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G) (resp. Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)) l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G (resp. de H). Prouver qu'il existe une injection ''f'' de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)) dans Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G)) telle que, pour tout élément S de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)), f(S) contienne S (ce qui, en particulier, entraîne que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de H est inférieur ou égal au nombre des p-sous-groupes de Sylow de G). (Indication : appliquer le point a) au groupe H.)
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Notons Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G) (resp. Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)) l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G (resp. de H). Tout p-sous-groupe de Sylow de H est un p-sous-groupe de G, donc est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G. Nous pouvons donc définir une application ''f'' de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H) dans Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G) telle que, pour tout élément P de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H), f(P) soit un p-sous-groupe de Sylow de G contenant P. Une telle application ''f'' est forcément injective. En effet, si P et Q sont deux différents p-sous-groupes de Sylow de H, alors, d'après le point a), &lt;P,Q&gt; n'est pas un p-groupe, donc P et Q ne sont pas contenus dans un même p-sous-groupe de Sylow de G, donc f(P) et f(Q) sont distincts, ce qui prouve que ''f'' est injective. L'énoncé en résulte.
}}
Remarque. On se servira du point b) dans un exercice sur le chapitre des groupes simples d'ordre 168.

== Problème 10 (p-sous-groupes normaux) ==
Soient G un groupe fini et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier.

a) Soient Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G et P un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que Q normalise P ou P normalise Q. Prouver que P contient Q.
{{Solution
  | contenu =
On va refaire un raisonnement déjà fait dans certains des problèmes ci-dessus.&lt;br /&gt;
Puisque, par hypothèse, un des deux sous-groupes P et Q normalise l'autre, le sous-groupe &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle&lt;/math&gt; de G est égal à PQ. Par exemple d'après la formule du produit, il en résulte que l'ordre de &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle&lt;/math&gt; est une puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, autrement dit &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G. Puisque ce sous-groupe contient P, il résulte de la maximalité des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow dans l'ensemble des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes que &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle = P&lt;/math&gt;, donc P contient Q.
}}
b) Soit R un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe '''normal''' de G. On a vu dans le chapitre théorique que R est contenu dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Prouver ce fait à l'aide du point a).
{{Solution
  | contenu =
Soit P un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Puisque, par hypothèse, R est normal dans G, P normalise R, donc, d'après le point a), P contient R, ce qui démontre l'énoncé. 
}}

== Problème 11 ==
Soit G un groupe fini, soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G. On suppose que Q est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G qui contient Q.

a) Notons H le sous-groupe de G engendré par les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q. Prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de H.&lt;br /&gt;
Indication : on peut utiliser le problème 10.
{{Solution
  | contenu =
Soient &lt;math&gt;P_{1}, \ldots , P_{r}&lt;/math&gt; les différents &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q. D'après le chapitre théorique, Q est contenu dans au moins un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G, donc &lt;math&gt;r \geq 1&lt;/math&gt;, donc nous pouvons parler de &lt;math&gt;P_{1} .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Par définition, H est le sous-groupe &lt;math&gt;\langle P_{1}, \ldots , P_{r} \rangle&lt;/math&gt; de G engendré par &lt;math&gt;P_{1} \cup \ldots \cup P_{r} .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Puisque Q est contenu dans &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt;,
:(1)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;Q est contenu dans H.
Chaque &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; est contenu dans H. Puisque &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, il en résulte que &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H. Cela montre que tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H. Il reste à prouver la réciproque, à savoir que
:(thèse 2)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
Puisque H contient &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\vert H \vert&lt;/math&gt; est divisible par &lt;math&gt;\vert P_{1} \vert&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, cela revient à dire que &lt;math&gt;\vert H \vert&lt;/math&gt; est divisible par la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; qui divise &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt;, donc
:tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G.
Pour prouver la thèse (2), il reste donc à prouver que
:(thèse 3)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt; tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H contient Q.
D'après les hypothèses générales du problème, chaque &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; normalise Q, donc &lt;math&gt;\langle P_{1}, \ldots , P_{r} \rangle&lt;/math&gt; normalise Q (rappel : normaliser revient à être contenu dans le normalisateur), ce qui, d'après (1), revient à dire que
:(4)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;Q est normal dans H.
Dès lors, puisque Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-groupe, il résulte du problème 10, point b), que Q est contenu dans tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H, ce qui prouve la thèse (3). Comme nous l'avons vu, la thèse (2) en résulte, d'où l'énoncé du point a).
}}
b) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; et divise le plus grand facteur de &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt; non divisible par &lt;math&gt;p .&lt;/math&gt;
{{Solution
  | contenu =
D'après le point a), il existe un sous-groupe H de G tel que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de H. Alors
:(1)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est égal au nombre &lt;math&gt;n_{p}(H)&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de H.
D'après les thérèmes de Sylow,
:(2)&lt;math&gt;\qquad n_{p}(H)&lt;/math&gt; est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;
et
:(3)&lt;math&gt;\qquad n_{p}(H)&lt;/math&gt; divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert H \vert .&lt;/math&gt;
Puisque H est un sous-groupe de G, &lt;math&gt;\vert H \vert &lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt;, donc le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert H \vert &lt;/math&gt; divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt;, donc d'après (3)
:&lt;math&gt;\qquad n_{p}(H)&lt;/math&gt;divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert .&lt;/math&gt;
Joint aux résultats (1) et (2), cela démontre l'énoncé du point b).
}}
c) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
(Comme au point b), on peut en déduire que le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; et divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert .&lt;/math&gt;)
{{Solution
  | contenu =
La démonstration est presque identique à celle du point a). Par hypothèse, tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q normalise Q, autrement dit  tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est contenu dans &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt; Un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenu dans &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; est évidemment un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt;, donc
:(1)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
Il reste à prouver que
:(thèse 2)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans au moins un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, donc il résulte de (1) que la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert N_{G}(Q) \vert&lt;/math&gt; est égale à la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt;, donc chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; contient Q. Or Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe normal de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt;, donc, d'après le problème 10, point b), il est contenu dans tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
}}
Remarque. Si G est un groupe fini, &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier et Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans [[../Intermède : groupes simples d'ordre 168/|les exercices sur les groupes simples d'ordre 168]].

== Problème 12 ==
Soit G un groupe fini, soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier. On suppose que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G sont ''abéliens''.&lt;br /&gt;
Soit Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G.

a) Prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt;. Prouver que leur nombre est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; et divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Indication : on peut utiliser le problème 11.
{{Solution
  | contenu =
Tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est abélien par hypothèse et normalise donc Q. Dès lors, l'énoncé résulte du problème 11.
}}
b) Prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
{{Solution
  | contenu =
On va calquer la démonstration sur celle du problème 11, point c).&lt;br /&gt;
Soit P un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q. D'après les hypothèses générales, P est abélien, donc, puisque Q est contenu dans P, P centralise Q, autrement dit P est contenu dans &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt; Ainsi, P est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenu dans &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;, ce qui entraîne clairement que P est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt; Nous avons donc prouvé que
:(1)&lt;math&gt;\quad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
Il reste à prouver la réciproque, à savoir que
:(thèse 2)&lt;math&gt;\quad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow &lt;math&gt;P_{0}&lt;/math&gt; de G. D'après (1), &lt;math&gt;P_{0}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;P_{0}&lt;/math&gt; est à la fois un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G et un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;, donc la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt; et la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert C_{G}(Q) \vert&lt;/math&gt; sont égales, donc
:(3)&lt;math&gt;\quad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G.
Donc pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt; contient Q. Puisque Q est normal dans &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;, cela résulte du problème 10, point b).
}}
c) Toujours dans l'hypothèse où les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G sont ''abéliens'', soient &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de G (non forcément distincts). Prouver que les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
:1° &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G;
:2° &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; se centralisent;
:3° &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;;
:4° &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt;
{{Solution
  | contenu =
Si &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, soit P, alors, d'après les hypothèses générales, P est abélien, donc &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même sous-groupe abélien de G, donc ils se centralisent. Cela prouve que 1° entraîne 2°.&lt;br /&gt;
Si &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; se centralisent, alors &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;. Cela prouve que 2° entraîne 3°.&lt;br /&gt;
Si &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;, alors le sous-groupe &lt;math&gt;\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle &lt;/math&gt; de G engendré par &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; est égal à &lt;math&gt;Q_{1} Q_{2}&lt;/math&gt;, donc, d'après la formule du produit, &lt;math&gt;\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle &lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G, donc, d'après les théorèmes de Sylow, &lt;math&gt;\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle &lt;/math&gt; est contenu dans un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, ce qui revient à dire que &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Cela montre que 3° entraîne 1°.&lt;br /&gt;
Donc (dans l'hypothèse où les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G sont abéliens) les conditions 1°, 2° et 3° sont équivalentes. En échangeant &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;, on voit que les conditions 1°, 2° et 4° sont équivalentes, donc les conditions 1° à 4° sont équivalentes.
}}

== Problème 13 ==
a) Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit G un groupe, fini ou infini. On suppose qu'il existe un sous-groupe normal H de G tel que H et G/H soient des p-groupes. Prouver que G est un p-groupe.
{{Solution
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; un élément de G. Puisque G/H est un p-groupe, il existe un nombre naturel &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; tel que la &lt;math&gt;p^{n}&lt;/math&gt;-ième puissance de l'élément xH de G/H soit l'élément neutre de G/H. Cela revient à dire que &lt;math&gt;x^{p^{n}}&lt;/math&gt; appartient à H. Puisque H est supposé être un p-groupe, il existe donc un nombre naturel &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; tel que la &lt;math&gt;p^{r}&lt;/math&gt;-ième puissance de &lt;math&gt;x^{p^{n}}&lt;/math&gt; soit l'élément 1 de H. Cela revient à dire que &lt;math&gt;x^{p^{n+r}}&lt;/math&gt; est l'élément 1 de G, donc G est un p-groupe.
}}

b) Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit G un groupe fini. On suppose qu'il existe deux p-sous-groupes H et K de G tels que G = HK. (On ne suppose pas qu'un de ces deux sous-groupes soit normal dans G.) Prouver que G est un p-groupe.
{{Solution
  | contenu =
D'après la [[../../Classes modulo un sous-groupe|formule du produit]],
:&lt;math&gt;\vert HK \vert \cdot \vert H \cap K \vert = \vert H \vert \cdot \vert K \vert &lt;/math&gt;,
donc
:&lt;math&gt;\vert HK \vert &lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;\vert H \vert \cdot \vert K \vert &lt;/math&gt;,
autrement dit &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;\vert H \vert \cdot \vert K \vert .&lt;/math&gt; Puisque &lt;math&gt;\vert H \vert &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\vert K \vert &lt;/math&gt; sont des puissances de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt; est donc une puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, donc G est un p-groupe.
}}

c) Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit G un groupe (fini ou infini). On suppose qu'il existe un p-sous-groupe H de G et un p-sous-groupe normal K de G tels que G = HK. Prouver que G est un p-groupe.

{{Solution
  | contenu =
Puisque G = HK et que K est normal dans G, nous pouvons écrire
:(1)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;G/K = HK/K.
(Rappelons que, par convention sur la précédence des opérateurs, le membre droit de (1) désigne (HK)/K.)&lt;br /&gt;
D'après le [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|second théorème d'isomorphisme]], il résulte de (1) que
:(2)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt; G/K est isomorphe à &lt;math&gt;H / H \cap K &lt;/math&gt;.
Tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe, donc &lt;math&gt;H / H \cap K &lt;/math&gt; est un p-groupe, donc, d'après (2), G/K est un p-groupe. Puisque K est lui aussi un p-groupe, il résulte du point a) que G est un p-groupe.
}}
Remarque. L'énoncé du point c) nous servira dans [[../Produit semi-direct/|un exercice sur les produits semi-directs]].

== Problème 14 (exposant d'un groupe fini) ==
Soit G un groupe fini d'ordre n et pour chaque facteur premier p de n, soit e{{ind|p}} l'[[../../Groupes commutatifs finis, 1#Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels|exposant]] de n'importe quel p-Sylow de G (tous ont même exposant puisqu'ils sont conjugués donc isomorphes).

Démontrer que l'exposant de G est égal au produit des e{{ind|p}}.
{{Solution|contenu=
*L'exposant e de G est évidemment un multiple de chaque e{{ind|p}} donc (puisque e{{ind|p}} est une puissance de p) e est un multiple du produit des e{{ind|p}}.
*Réciproquement, soient x un élément de G et m = p{{ind|1}}{{exp|k{{ind|1}}}}…p{{ind|r}}{{exp|k{{ind|r}}}} son ordre (où les p{{ind|j}} sont des nombres premiers distincts). On sait [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément#Problème 10 (Ordre d'une puissance)|décomposer x en un produit x{{ind|1}}…x{{ind|r}} d'éléments de G d'ordres respectifs p{{ind|1}}{{exp|k{{ind|1}}}}, … , p{{ind|r}}{{exp|k{{ind|r}}}}]] donc tels que chaque x{{ind|k}} appartienne à un p{{ind|k}}-Sylow. Ceci prouve que m divise le produit des e{{ind|p}}, et ce pour tout ordre m d'un élément de G. Donc e lui-même (le ppcm de ces ordres) divise ce produit.
}}

== Problème 15 ==
Soit G un groupe fini, noté multiplicativement. On vérifie facilement que les éléments d'ordre impair de G se partitionnent en l'ensemble {1} et en des ensembles de la forme {x, x{{exp|-1}}}, où &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; sont deux différents éléments d'ordre impair. Il en résulte que les éléments d'ordre impair de G sont en nombre impair. On va prouver plus généralement que si p est un nombre premier, les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p sont en nombre non divisible par p. (La démonstration qu'on a donnée dans le cas particulier p = 2 ne s'étend pas au cas général.)

a) Pour tout groupe fini G et pour tout nombre premier p, on désignera ici par &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; l'ensemble des éléments p-réguliers de G, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p. (On a déjà défini les éléments p-réguliers à l'exercice ''Ordre d'une puissance'' de la série [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]].) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. On vérifie facilement que
:&lt;math&gt;P\times R_{p}(G) \rightarrow R_{p}(G) : (u, t) \mapsto u t u^{-1}&lt;/math&gt;
définit une opération (à gauche) de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; (dite opération de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; par conjugaison). En raisonnant sur les orbites de cette opération, prouver que
:&lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert \equiv \vert R_{p}(C_{G}(P)) \vert \pmod{p}&lt;/math&gt;. 
{{Solution|contenu=
D'après le chapitre [[../../Action de groupe#Relations entre orbite et stabilisateur|Action de groupe, section Relations entre orbite et stabilisateur]], les orbites de l'action considérée de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; ont pour cardinaux des diviseurs de &lt;nowiki&gt;|P|&lt;/nowiki&gt;. Puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, les orbites de l'action considérée de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; ont donc pour cardinaux des puissances de p. L'orbite d'un élément t de &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; est ponctuelle si et seulement t appartient à &lt;math&gt;R_{p}(G) \cap C_{G}(P) = R_{p}(C_{G}(P))&lt;/math&gt;. Les orbites non ponctuelles ont pour cardinaux des puissances de p autres que p{{exp|0}}, donc les cardinaux de ces orbites sont divisibles par p. Nous avons donc bien
:&lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert \equiv \vert  R_{p}(C_{G}(P)) \vert \pmod{p}&lt;/math&gt;,
ce qui prouve le point a).
}}
b) Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On suppose que G a un p-sous-groupe de Sylow P central. (Alors P est normal dans G et est donc l'unique p-sous-groupe de Sylow de G.) Prouver que dans ce cas particulier, le théorème à démontrer est vrai (à savoir que les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p sont en nombre non divisible par p). (Indication : on peut utiliser le point c) de [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément#Ordre d'une puissance|l'exercice ''Ordre d'une puissance'' dans la série ''Groupes monogènes, ordre d'un élément'']].)
{{Solution|contenu=
Au point c) de [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément#Ordre d'une puissance|l'exercice ''Ordre d'une puissance'' dans la série ''Groupes monogènes, ordre d'un élément'']], on a défini les éléments p-unipotents de G comme les éléments de G ayant pour ordre une puissance de p. De plus, il résulte de cet exercice que
:(1) tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme u t, où u est p-unipotent, où t est p-régulier et où u et t commutent.
Puisque, comme noté, P est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G,
:(2) les éléments p-unipotents de G sont exactement les éléments de P.
De (1) et (2), il résulte que
:(3) tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme u t, où &lt;math&gt;u \in P&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;t \in R_{p}(G)&lt;/math&gt; et où u et t commutent.
Puisque P est central dans G, le résultat (3) revient à dire que
:tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme u t, où &lt;math&gt;u \in P&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;t \in R_{p}(G)&lt;/math&gt;.
On a donc une bijection de G sur &lt;math&gt;P \times R_{p}(G)&lt;/math&gt;. donc
:(4) &lt;math&gt;\vert G \vert = \vert P \vert \cdot \vert R_{p}(G) \vert &lt;/math&gt;.
Puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, &lt;math&gt;\vert P \vert&lt;/math&gt; est la plus grande puissance de p divisant &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt;, donc il résulte de (4) que &lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert&lt;/math&gt; n'est pas divisible par p, ce qui démontre l'énoncé du présent point b).
}}
c) Terminer la démonstration de l'énoncé général de la façon suivante. Soit p un nombre premier. Supposer que, par absurde, il existe au moins un groupe fini dont les éléments d'ordre non divisible par p (autrement dit les éléments p-réguliers) soient en nombre divisible par p. Parmi les groupes de cette sorte, en considérer un, soit G, dont l'ordre soit le plus petit possible. À l'aide des points a) et b), aboutir à une contradiction.
{{Solution|contenu=
Comme dans l'indication, soit G un groupe fini dont les éléments p-réguliers soient en nombre divisible par p et dont l'ordre &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt; soit le plus petit possible. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G.&lt;/br&gt;
D'après le point a), nous avons
:&lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert \equiv \vert  R_{p}(C_{G}(P)) \vert \pmod{p}&lt;/math&gt;.
Dans les présentes hypothèses sur G, le premier membre de cette congruence est divisible par p, donc le second l'est aussi, c'est-à-dire que
:&lt;math&gt;\vert  R_{p}(C_{G}(P)) \vert&lt;/math&gt; est divisible par p.
Par minimalité de l'ordre de G, il en résulte que &lt;math&gt;C_{G}(P)&lt;/math&gt; est G tout entier, ce qui revient à dire que P est central dans G. Dès lors, d'après le point b), les éléments p-réguliers de G sont en nombre non divisible par p, ce qui contredit notre choix de G. L'énoncé général en résulte.
}}

== Problème 16 ==
Soit ''p'' un nombre premier, soit G un p-groupe (fini ou infini), soit H un sous-groupe d'indice fini de G. Prouver que cet indice est une puissance de ''p''. (Indication : on peut supposer d'abord que H est normal dans G, puis se ramener à ce cas en considérant le cœur de H dans G, qui a été défini dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].)
{{Solution|contenu=
Supposons d'abord H normal dans G. Alors nous pouvons considérer le groupe G/H. Puisque G est un p-groupe, c'est-à-dire que tout élément de G a pour ordre une puissance de ''p'', il en est clairement de même du groupe G/H : tout élément du groupe G/H a pour ordre une puissance de ''p''. Puisque le groupe G/H est fini, il en résulte (voir chapitre théorique) que son ordre [G:H] est une puissance de ''p'', donc l'énoncé à démontrer est vrai si H est normal dans G.&lt;/br&gt;
Cessons maintenant de supposer H normal dans G. Puisque H est d'indice fini dans G, le cœur &lt;math&gt;H_G&lt;/math&gt; de H dans G (étudié dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]] est lui aussi d'indice fini dans G. Puisque &lt;math&gt;H_G&lt;/math&gt; est normal dans G, il résulte donc de la première partie de la démonstration que
:(1) &lt;math&gt;[G:H_G]&lt;/math&gt; est une puissance de ''p''.
D'autre part, puisque &lt;math&gt;H_G \leq H \leq G&lt;/math&gt;, il résulte de la formule des indices (chapitre [[../../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]] que
:&lt;math&gt;[G:H_G] = [G:H] \ [H:H_G]&lt;/math&gt;.
Donc &lt;math&gt;[G:H]&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;[G:H_G]&lt;/math&gt;, donc, d'après (1), &lt;math&gt;[G:H]&lt;/math&gt; est une puissance de ''p'', ce qui achève de prouver l'énoncé.
}}

== Références ==
&lt;references/&gt;

==Lien externe==
{{Lien web|auteur=Frédéric Touzet|titre=Théorie des groupes, Feuille de TD {{numéro|11}}|url=https://perso.univ-rennes1.fr/frederic.touzet/F11THG.pdf|site=perso.univ-rennes1.fr}} (six exercices corrigés)

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Groupes linéaires/]]
  | suivant   = [[../Théorème de Jordan-Hölder/]]
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        <username>Marvoir</username>
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      <comment>/* Problème 14 (exposant d'un groupe fini) */ ai dit explicitement que l'exposant d'un groupe fini sera défini dans un chapitre ultérieur</comment>
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  | idfaculté = mathématiques
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== Problème 1 (Autre démonstration des théorèmes de Sylow) ==
Le but de cet exercice est de donner une démonstration des théorèmes de Sylow qui ne dépend pas de la théorie des espaces vectoriels.

a) Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Soit E un ensemble non vide de p-sous-groupes de G possédant les deux propriétés suivantes :

1° si H est un sous-groupe de G appartenant à E, tous les conjugués de H dans G appartiennent à E ;

2° si H et K appartiennent à E, si H normalise K, alors H = K.

Montrer qu'alors, tous les éléments de E sont des sous-groupes de G conjugués entre eux dans G (de sorte que E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G) et leur nombre est congru à 1 modulo ''p''.

(Indication. Choisir un élément V de E, le faire opérer par conjugaison sur l’ensemble F de ses conjugués dans G et obtenir un renseignement sur le cardinal de F. Ensuite, supposer que, par absurde, il y ait un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G ; faire opérer W par conjugaison sur l’ensemble F déjà considéré (l'ensemble des conjugués de V) et obtenir sur le cardinal de F un renseignement qui contredit le précédent.)

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{{Solution
  | contenu =
Puisque l’ensemble E est supposé non vide, nous pouvons choisir un élément V de E. Désignons par F l’ensemble des conjugués V&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , V&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt; de V dans G. Par hypothèse sur E, ces conjugués appartiennent tous à E. Faisons opérer V sur F par conjugaison, ce qui est clairement possible, puisque l’ensemble F est stable par conjugaison par tout élément de G et ''a fortiori'' par tout élément de V. Si un V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; est point fixe, alors V normalise V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donc, par hypothèse sur E, V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; est égal à E. Cela montre que V est le seul point fixe de l'opération. [[../../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|Un lemme du chapitre théorique]] dit que si un p-groupe fini opère sur un ensemble fini X, le nombre de points fixes de cette opération est congru modulo ''p'' au cardinal de X. Il résulte donc de ce qui précède que le cardinal ''r'' de l’ensemble F des conjugués de V dans G est congru à 1 modulo ''p''.

Supposons maintenant que, par absurde, il existe un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G. Nous avons déjà noté que l’ensemble F est stable par conjugaison par tout élément de G, donc nous pouvons faire opérer W sur F par conjugaison. Si un élément V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; de F était point fixe pour cette opération, W normaliserait V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donc, par hypothèse sur E, W et V&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; seraient égaux, ce qui contredit notre hypothèse selon laquelle W n’est pas un conjugué de V. L'opération de W sur F n'a donc pas d'orbite ponctuelle. D'après le lemme rappelé plus haut, le cardinal ''r'' de F est divisible par ''p''. Cela contredit notre précédent résultat, selon lequel ''r'' est congru à 1 modulo ''p''.

Nous avons donc prouvé que E est égal à l’ensemble F des conjugués de V et que le cardinal de F, autrement dit de E, est congru à 1 modulo ''p''. Cela démontre l'énoncé.
}}

b) Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Appelons p-sous-groupe maximal de G tout élément maximal de l’ensemble des p-sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (On verra plus loin que les p-sous-groupes maximaux de G sont ses p-sous-groupes de Sylow, définis comme les sous-groupes de G dont l’ordre est la plus grande puissance de ''p'' divisant &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt;.) Prouver que si P est un p-sous-groupe maximal de G, si ''x'' est un élément de G dont l’ordre est une puissance de ''p'', si ''x'' normalise P, alors ''x'' appartient à P.

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{{Solution
  | contenu =
Puisque ''x'' normalise P, le sous-groupe &lt;x&gt; normalise P, donc &lt;x&gt; P est un sous-groupe de G. D'après la formule du produit, le nombre d'éléments de &lt;x&gt; P divise le produit des ordres de &lt;x&gt; et de P, donc est une puissance de ''p'', donc &lt;x&gt; P est un p-sous-groupe de G. Par maximalité de P, on doit avoir &lt;x&gt; P = P, donc ''x'' appartient à P, comme annoncé.
}}

c) Montrer que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo ''p''. (Indication : montrer que l’ensemble des p-sous-groupes maximaux de G satisfait aux hypothèses sur E du point a.)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Désignons par E l’ensemble des p-sous-groupes maximaux de G et montrons que les hypothèses sur E du point a) sont satisfaites. L'ensemble des p-sous-groupes de G n’est pas vide (il comprend 1), donc, comme tout ensemble ordonné fini non vide, il a au moins un élément maximal. (Il suffit d'ailleurs de considérer un p-sous-groupe de G dont l’ordre est le plus grand possible.) Donc E n’est pas vide.

Montrons que E satisfait à la condition 1° du point a), c'est-à-dire que si E comprend un sous-groupe de G, il comprend tout conjugué de ce sous-groupe dans G. Soient P un p-sous-groupe maximal de G et ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg est un p-sous-groupe maximal de G. Tout groupe isomorphe à un p-groupe est un p-groupe, donc g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg est un p-sous-groupe de G. Prouvons que c’est un p-sous-groupe maximal de G. Soit Q un p-sous-groupe de G contenant g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg; il s'agit de prouver que Q = g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg. Du fait que Q contient g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg, il résulte que gQg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; contient P. Mais gQg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; est un p-sous-groupe de G, donc, par maximalité de P, gQg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; = P, d'où Q = g&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;Pg, ce qui, comme on l'a vu, prouve que tout conjugué d'un p-sous-groupe maximal de G est lui aussi un p-sous-groupe maximal de G, autrement dit tout conjugué d'un élément de E appartient à E. Cela prouve que E satisfait à la condition 1° du point a).

Prouvons maintenant que E satisfait à la condition 2° de l'énoncé a). Soient H et K deux p-sous-groupes maximaux de G tels que H normalise K; il s'agit de prouver que H = K. Dire que H normalise K revient à dire que tout élément de H normalise K. Comme l’ordre de tout élément de H est une puissance de ''p'', il résulte du point b) que H est contenu dans K. Par maximalité de H, on a donc H = K, comme annoncé.

Ainsi, E satisfait aux hypothèses du point a). Il résulte donc du point a) que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo ''p''.
}}

d) Soient G un groupe fini et ''p'' un diviseur premier de l’ordre de G. Prouver le [[../../Théorèmes de Sylow#Premier théorème de Sylow|théorème de Cauchy]], à savoir que G comprend au moins un élément d'ordre ''p''. (Indication. On peut utiliser la démonstration de McKay : faire opérer le groupe '''Z'''/p'''Z''' par « rotation » sur l’ensemble des p-uplets (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;) d'éléments de G tels que x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; = 1.)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Désignons par A l’ensemble des p-uplets (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;) d'éléments de G tels que x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; = 1. Si (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;) est un tel p-uplet, le p-uplet (x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) en est un aussi. En effet, en multipliant à gauche les deux membres de l'égalité x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; = 1 par l'inverse de x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; puis à droite par x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, nous trouvons x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = 1.

On en tire qu’il existe une et une seule application de '''Z'''/p'''Z''' × A (produit cartésien) dans A qui, pour tout nombre naturel ''n'' et tout élément x = (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;) de A, applique le couple (n + p '''Z''', x) sur (x&lt;sub&gt;r(0 + n)&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;r(p-1+n)&lt;/sub&gt;), où r(s) désigne le reste de ''s'' par ''p''. On vérifie que cette application est une opération du groupe '''Z'''/p'''Z''' sur l’ensemble A. D'après le lemme rappelé dans la solution de la question a, le nombre des points fixes de cette opération est congru modulo ''p'' au cardinal de A. Il est clair que le cardinal de A est la (p-1)-ième puissance de l’ordre de G : à chaque (p-1)-uplet (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-2&lt;/sub&gt;) d'éléments de G correspond un seul élément de A de la forme (x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;, ... , x&lt;sub&gt;p-2&lt;/sub&gt;, x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt;), x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; étant défini de manière unique par la condition  x&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ... x&lt;sub&gt;p-1&lt;/sub&gt; = 1. Puisque l’ordre de G est supposé divisible par ''p'', le cardinal de A est donc divisible par ''p''. Dès lors, il résulte de ce qui précède que le nombre des points fixes est divisible par ''p''. Mais les points fixes sont clairement les p-uplets de la forme (x, x, ... , x) avec x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; = 1, donc le nombre des points fixes est le nombre des éléments ''x'' de G tels que x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; = 1. Nous avons ainsi montré que le nombre de ces éléments est divisible par ''p''. Puisque 1 est un de ces éléments, leur nombre n’est pas nul et est donc au moins égal à ''p''. En particulier, il y a au moins un de ces éléments qui est distinct de 1, c'est-à-dire que G a au moins un élément d'ordre ''p''.
;Remarques
:*Cette démonstration prouve même que le nombre d'éléments d'ordre ''p'' est congru à –1 modulo ''p''.
:*On trouve une autre preuve de ce fait plus précis (à partir du théorème de Cauchy proprement dit) au début de {{Article|lang=en|auteur=Marcel Herzog|titre=Counting group elements of order &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;p^2&lt;/math&gt;|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|vol=66|date=1977|page=247-250|doi=10.1090/S0002-9939-1977-0466316-5}}
}}

e) Prouver que les p-sous-groupes maximaux de G sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G, c'est-à-dire les sous-groupes de G dont l'ordre est la plus grande puissance de ''p'' divisant &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt;. (Indication : à l'aide des points b) et d), montrer que si P est un p-sous-groupe maximal de G, alors l'indice de P dans N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P) n'est pas divisible par ''p''.)
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Posons &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt; = p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;m, où ''m'' n’est pas divisible par ''p''. Prouvons d’abord que tout p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe maximal de G. Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G contenu dans un p-sous-groupe Q de G. Il s'agit de prouver que P = Q. Par définition des p-sous-groupes de Sylow, P est d'ordre p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;, donc, puisque P est contenu dans Q, l’ordre p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt; de P divise l’ordre de Q. Puisque Q est un p-groupe, Q est donc d'ordre p&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt;, avec a ≤ b. D'après le théorème de Lagrange, p&lt;sup&gt;b&lt;/sup&gt; divise &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt; = p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;m, donc b ≤ a. On a donc a = b, donc P et Q ont le même ordre. Puisqu’ils sont en relation d'inclusion, on a donc P = Q. Comme on l'a vu, cela prouve que tout p-sous-groupe de Sylow de G est un p-sous-groupe maximal de G.

Prouvons maintenant que tout p-sous-groupe maximal H de G est un p-sous-groupe de Sylow de G. Cela revient clairement à prouver que l'indice de H dans G n’est pas divisible par ''p''. D'après le point c), le nombre des conjugués de H dans G est congru à 1 modulo ''p'' et n'est donc pas divisible par ''p''. D'après un théorème démontré dans le chapitre  [[../../Action de groupe|Action de groupe]], le nombre des conjugués de H dans G est égal à l'indice dans G du normalisateur N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H) de H dans G, donc l'indice [G:N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)] n’est pas divisible par ''p''. D'après la formule des indices,
:[G:H] = [G:N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)] [N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H):H],
donc, pour prouver que l'indice de H dans G n’est pas divisible par ''p'', il suffit de prouver que [N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H):H] n’est pas divisible par ''p''. Comme H est normal dans N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H), nous pouvons considérer le groupe quotient N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)/H et il s'agit de prouver que l’ordre de ce groupe n’est pas divisible par ''p''. Supposons que, par absurde, il le soit. Alors, d’après le théorème de Cauchy démontré au point d), il y a dans ce groupe un élément d'ordre ''p''. Cela signifie qu’il y a un élément ''x'' de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H) n'appartenant pas à H mais tel que x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; appartienne à H. Puisque H est un p-groupe, le fait que x&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt; appartient à H entraîne que l’ordre de ''x'' est une puissance de ''p''. D'autre part, puisque ''x'' appartient à N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H), ''x'' normalise H. D'après le point b), ces deux faits entraînent que ''x'' appartient à H, contradiction. Cette contradiction prouve que l’ordre de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(H)/H n’est pas divisible par ''p'' et, comme nous l'avons vu, cela achève de prouver l'énoncé.
}}
Remarques.
# Les théorèmes de Sylow, démontrés dans le chapitre théorique, résultent du point e) et de ce qui précède. On s'est ainsi passé de la théorie des espaces vectoriels.
# Certains énoncés démontrés ici serviront à prouver que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes.

== Problème 2 (Groupe p-clos)  ==
Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :&lt;br /&gt;
a) tout p-sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G;&lt;br /&gt;
b) il existe un p-sous-groupe de Sylow de G qui est distingué dans G;&lt;br /&gt;
c) G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Si la condition a) est satisfaite, la condition b) l'est, car G admet au moins un p-sous-groupe de Sylow.&lt;br /&gt;
Supposons la condition b) satisfaite et prouvons c). Il existe donc un p-sous-groupe de Sylow P de G qui est distingué dans G. D'après la théorie, tout p-sous-groupe de Sylow de G est conjugué de P. Puisque P est distingué, il est son seul conjugué, donc il est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, donc la condition c) est satisfaite.&lt;br /&gt;
Supposons enfin la condition c) satisfaite et prouvons a). soit P l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Tout conjugué de P est un p-sous-groupe de Sylow de G, donc, vu l'hypothèse c), est égal à P. Donc P est distingué. Puisque, par hypothèse, c’est le seul p-sous-groupe de Sylow de G, la condition a) est satisfaite. 
}}
Remarque. Dans la littérature mathématique de langue anglaise&lt;ref&gt;Voir par exemple H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of Finite Groups, An Introduction'', Springer, 2004, p. 64.&lt;/ref&gt;, un groupe fini G est dit '''p-closed''', pour un nombre premier ''p'' donné, si les conditions équivalentes a), b) et c) sont satisfaites. On trouve dans la littérature de langue française&lt;ref&gt;Voir Félix Ulmer, ''Théorie des groupes'', Paris, éd. Ellipses, 2012, p. 86.&lt;/ref&gt; l'expression « p-sous-groupe p-clos » d'un groupe fini G pour désigner un p-sous-groupe de G qui comprend tous les éléments dont l'ordre est puissance de ''p''. Si un tel sous-groupe de G existe, il est unique et est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Dire que G admet un p-sous-groupe p-clos dans le second sens de « p-clos » revient donc à dire que G est p-clos dans le premier sens. Dans le présent cours, on utilisera l'expression dans son premier sens.

== Problème 3  (Sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe et d'un groupe quotient) ==
Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, ''p'' un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G.

a) Dans le chapitre théorique, on a prouvé à l'aide de l'équation aux classes (chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]]) qu'il existe un conjugué P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de P dans G tel que P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⋂ H soit un p-sous-groupe de Sylow de H. Donner une démonstration qui ne repose pas sur l'équation aux classes, mais qui repose sur le fait que H a au moins un p-sous-groupe de Sylow. (On a démontré ce dernier fait au problème 1, sans utiliser l'énoncé à démontrer ici.) 
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
D'après les théorèmes de Sylow, démontrés au problème 1, nous pouvons choisir un p-sous-groupe de Sylow de H, soit Q. Alors Q est un p-sous-groupe de G, donc, toujours d'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; de G. Alors Q est contenu dans P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⋂ H, qui est un p-sous-groupe de H. Comme un p-sous-groupe de Sylow de H est maximal parmi les p-sous-groupes de H, on a donc P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ⋂ H = Q. Toujours d'après les théorèmes de Sylow, P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; est un conjugué de P dans G, d'où l'énoncé.
}}
b) On ajoute aux hypothèses que P ou H est normal dans G. Prouver que H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H.
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{{Solution
  | contenu =
Si P est normal dans G, alors tout conjugué de P dans G est égal à P et la thèse résulte immédiatement du point a). Cessons de supposer P normal dans G, mais supposons H normal dans G. D'après le point a), il existe un élément ''g'' de G tel que (gPg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)⋂ H soit un p-sous-groupe de Sylow de H. Puisque H est normal dans G, x ↦ ''g''&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; x ''g'' définit un automorphisme de H; d'autre part, l'image d'un p-sous-groupe de Sylow de H par un automorphisme de H est clairement un p-sous-groupe de Sylow de H. Donc l'image de (gPg&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt;)⋂ H par x ↦ ''g''&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; x ''g'', c'est-à dire P ⋂ ''g''&lt;sup&gt;-1&lt;/sup&gt; H ''g'' = P ⋂ H, est un p-sous-groupe de Sylow de H.

Voici une autre démonstration dans le cas où H est normal dans G. D'après la [[../../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]], nous avons l'égalité entre indices
:(1) [H: H ⋂ P] = [HP:P].
Comme H est normal dans G, HP est un sous-groupe de G, donc le second membre de (1) divise [G:P] et n'est donc pas divisible par ''p''. Il en est donc de même du premier membre de (1) :
:(2) [H: H ⋂ P], n’est pas divisible par ''p''.
D'autre part, H ⋂ P, étant sous-groupe de P, est un p-groupe et donc un p-sous-groupe de H. Joint à (2), cela prouve que  H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H.
}}
c) On ajoute aux hypothèses générales que H est normal dans G. Prouver que PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H et que tout p-sous-groupe de Sylow de G/H est de la forme QH/H pour un p-sous-groupe de Sylow Q de G.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
D'après la formule du produit (ou le second théorème d'isomorphisme), l’ordre de PH/H est égal à l’ordre de P/ (H ⋂ P), donc divise l’ordre de P, donc PH/H est un p-groupe. D'autre part (par exemple d’après le troisième théorème d'isomorphisme, ou encore simplement d’après la relation [A:B] = &lt;nowiki&gt;|A|/|B|&lt;/nowiki&gt;, vraie pour tout groupe fini A et tout sous-groupe B de A), l'indice de PH/H dans G/H est égal à [G:PH]. D'après la formule des indices, l'indice [G:PH] divise [G:P] et n'est donc pas divisible par ''p''. Nous avons donc prouvé que PH/H est un p-sous-groupe de G/H dont l'indice dans G/H n’est pas divisible par ''p'', autrement dit PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H, ce qui démontre la première assertion de l'énoncé.&lt;br /&gt;
Prouvons la seconde assertion de l'énoncé. Soit Q' un p-sous-groupe de Sylow de G/H; il s'agit de prouver la
:(thèse 1) : il existe un p-sous-groupe de Sylow Q de G tel que Q' soit l'image QH/H de Q par l'homomorphisme canonique &lt;math&gt;\varphi : G \rightarrow G/H.&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Choisissons un p-sous-groupe de Sylow de G, par exemple le P de l'énoncé. D'après la première partie de l'énoncé, PH/H, autrement dit &lt;math&gt;\varphi(P),&lt;/math&gt; est un p-sous-groupe de Sylow de G/H, donc Q' et &lt;math&gt;\varphi(P)&lt;/math&gt; sont conjugués dans G/H, donc il existe un élément ''g'' de G tel que
:&lt;math&gt;Q' = \varphi(g) \varphi(P) \varphi(g)^{-1}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;Q' = \varphi(g P g^{-1}).&lt;/math&gt;
Comme &lt;math&gt;g P g^{-1}&lt;/math&gt; est un p-sous-groupe de Sylow de G, cela prouve notre thèse (1) avec &lt;math&gt;Q = g P g^{-1}.&lt;/math&gt;
}}

== Problème 4  ==
Soient ''p'' et ''q'' deux nombres premiers distincts et G un groupe d'ordre ''pq''. Prouver que G n'est pas simple.
{{Solution
  | contenu =
Soit par exemple p &lt; q. D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo ''q'' et divise ''p''. Ce nombre ne peut pas être égal à ''p'', car ''p'', étant &lt; q, n'est pas congru à 1 modulo ''q''. Donc le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1. Comme noté dans le [[#Problème 2 (Groupe p-clos)|problème 2 ci-dessus]], cela entraîne que G a un sous-groupe normal d'ordre ''q'' et n'est donc pas simple.
}}

== Problème 5. (Assez difficile.)  ==
Soient ''G'' un groupe fini, ''p'' un diviseur premier de l’ordre de ''G'' et ''P'' un p-sous-groupe de Sylow de ''G''. Soient ''U'' et ''W'' des sous-groupes distingués de ''P''. Prouver que ''U'' et ''W'' sont conjugués dans ''G'' si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur ''N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P)''. (Burnside&lt;ref&gt;D. Gorenstein, ''Finite Groups'', 2{{e}} éd., 1980, {{p.|240}}.&lt;/ref&gt;)
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Solution. Supposons que ''U'' et ''W'' sont conjugués dans ''G'' et prouvons qu’ils le sont dans ''N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P)'', ce qui est évidemment l'essentiel.
Il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''gUg{{exp|-1}}'' = ''W''. Puisque ''U'' est normal dans ''P'', il en résulte que ''W'' est sous-groupe normal de ''gPg{{exp|-1}}''. (Un isomorphisme d'un groupe sur un autre transforme les sous-groupes normaux du premier en les sous-groupes normaux du second. Appliquer cela à l'isomorphisme &lt;math&gt;x \mapsto gxg^{-1}&lt;/math&gt; de ''P'' sur ''gPg{{exp|-1}}''.) Ainsi, ''W'' est normal dans ''P'' et dans ''gPg{{exp|-1}}'', donc dans le sous-groupe de ''G'' qu’ils engendrent, soit ''H''. Il est clair que ''P'' et ''gPg{{exp|-1}}'' sont des sous-groupes de Sylow de ''H'', donc ils sont conjugués dans ''H'', autrement dit il existe un élément ''h'' de ''H'' tel que ''hgPg{{exp|-1}}h{{exp|-1}}'' = ''P''. Alors &lt;math&gt;hg \in N_{G}(P)&lt;/math&gt; et ''hgUg{{exp|-1}}h{{exp|-1}}'' = ''hWh{{exp|-1}}'' = ''W'' (cette dernière relation provenant de ce que ''W'' est normal dans ''H''). Ainsi, ''W'' est conjugué de ''U'' par l'élément ''hg'' de ''N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P)''.
}}
Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira à prouver que tous les groupes simples d'ordre 168 sont isomorphes.

== Problème 6  (Congruence de Sylow à module renforcé) ==

a) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et P un ''p''-sous-groupe de Sylow de G. Montrer que si un élément ''x'' de G dont l’ordre est une puissance de ''p'' normalise P, ''x'' appartient à P.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Cela résulte d'un des problèmes qui précèdent. Pour rendre le présent problème autonome, on va redonner une démonstration. Le sous-groupe &lt;x&gt; de G engendré par ''x'' normalise P, donc le sous-groupe de G engendré par P et par ''x'' est l’ensemble &lt;x&gt; P. Le cardinal de cet ensemble divise &lt;math&gt;\vert &lt;x&gt; \vert \cdot \vert P \vert &lt;/math&gt; (voir la ''formule du produit'' démontrée dans le chapitre [[../../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]]) et est donc une puissance de ''p''. Par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de G comme sous-groupes de G dont l’ordre est une puissance de ''p'', &lt;x&gt; P est donc égal à P, donc ''x'' appartient à P.&lt;br /&gt;
On aurait pu dire aussi que &lt;x&gt; est un p-sous-groupe de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P) et est donc contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P). Or P est évidemment un p-sous-groupe de Sylow de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P) et c’est le seul, puisqu’il est sous-groupe distingué de N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P). Donc ''x'' appartient à P.
}}

b) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et P un ''p''-sous-groupe de Sylow de G. Désignons par Syl(p, G) l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et faisons opérer P sur Syl(p, G) par conjugaison. Prouver que pour tout élément Q de Syl(p, G), le stabilisateur de Q est P ⋂ Q.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soit Q un élément de Syl(P, G). Il est clair que tout élément de P ⋂ Q stabilise Q pour l'opération considérée. Réciproquement, soit ''x'' un élément de P qui stabilise Q, prouvons que ''x'' appartient à Q (et donc à P ⋂ Q). Dire que ''x'' stabilise Q signifie que xQx{{exp|-1}} = Q, autrement dit que ''x'' normalise Q. Comme ''x'' a pour ordre une puissance de ''p'' (parce qu’il appartient à P), il appartient à Q d’après le point a).
}}

c) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et ''m'' le plus grand entier naturel tel que p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; divise l’ordre de G. (Donc p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que, pour un certain entier naturel i ≤ m, l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours d'ordre ≤ p&lt;sup&gt;m-i&lt;/sup&gt;. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;. (Indication : utiliser le point b) et l'équation aux classes, démontrée au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]].)

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =

Soit ''r'' le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G. Il s'agit de prouver que ''r'' est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;. Comme au point b), choisissons arbitrairement un ''p''-sous-groupe de Sylow P de G et faisons-le opérer sur Syl(p, G) par conjugaison. Si Q est un point fixe pour cette opération, son stabilisateur est P tout entier, donc, d’après le point b), P ⋂ Q = P, d'où P ⊆ Q. Comme P et Q ont le même ordre fini p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;, Q est donc égal à P. Ceci montre que P est le seul point fixe pour l'opération considérée. (On a d'ailleurs prouvé ce fait dans la théorie.)&lt;br /&gt;
Posons Q&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = P et choisissons un système Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; de représentants des orbites non ponctuelles. D'après l'équation aux classes (chapitre [[../../Action de groupe]]),
:r = 1 + [P:Stab(Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)] + ... + [P:Stab(Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt;)].
D'après le point b), cela peut s'écrire
:(1) r = 1 + [P : P ⋂ Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)] + ... + [P : P ⋂ Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt;)].
Puisque Q&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , Q&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; sont tous distincts de P, il résulte des hypothèses de l'énoncé que, pour tout i ≥ 2, l’ordre de P ⋂ Q&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; divise p&lt;sup&gt;m-i&lt;/sup&gt;, donc [P : P ⋂ Q&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;], égal à &lt;math&gt;\ \vert P \vert / \vert P \cap Q_{i} \vert &lt;/math&gt;, est multiple de p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;. La relation (1) montre donc que ''r'' est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;i&lt;/sup&gt;, ce qui démontre l'énoncé.

Remarque : si ''p'' ne divise pas l’ordre de ''G'', on ne peut pas trouver deux p-sous-groupes de Sylow de ''G'' distincts, car ''G'' a alors un unique ''p''-sous-groupe de Sylow, à savoir son sous-groupe trivial. Il en résulte que n'importe quel entier ''i'' tel que &lt;math&gt;0 \leq i \leq m&lt;/math&gt; convient. Les congruences obtenues dans ce cas pour chaque valeur possible de ''i'' ne sont pas intéressantes, puisqu'on connaît alors précisément le nombre de ''p''-sous-groupes de Sylow de ''G'', mais elles n'en sont pas moins correctes.
}}

d) Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et ''m'' le plus grand entier naturel tel que p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; divise l’ordre de G. (Donc p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que les p-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux, c'est-à-dire que l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours réduite à l'élément neutre. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Faire i = m dans l'énoncé du point c).
}}

== Problème 7 (Intersection des p-sous-groupes de Sylow et intersection de leurs normalisateurs) ==
Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. Prouver que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. [Il faudrait peut-être réunir les problèmes 7 et 7bis en un seul. On verra ça plus tard.]

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Alors l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des conjugués de P dans G, autrement dit le cœur de P dans G, et est donc un sous-groupe normal de G (voir un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). D'autre part, les normalisateurs (dans G) des p-sous-groupes de Sylow de G sont les conjugués de &lt;math&gt;N_{G}(P)&lt;/math&gt; (voir un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]), donc l'intersection des normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow de G est le cœur de &lt;math&gt;N_{G}(P)&lt;/math&gt; et est donc elle aussi un sous-groupe normal de G.
}}
Remarque. Le problème suivant montre que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont en fait des sous-groupes caractéristiques de G, ce qui est plus fort que l'énoncé du présent problème.

== Problème 7bis ==
Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier. D'après le problème qui précède, l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Prouver que ce sont des sous-groupes caractéristiques de G.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; un automorphisme de G. L'image par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; de l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des images de ces sous-groupes par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; :
:(1) &lt;math&gt;\qquad \sigma (\bigcap_{P}P) = \bigcap_{P} \sigma(P),&lt;/math&gt;
où P parcourt les p-sous-groupes de Sylow de G.&lt;br /&gt;
Puisque les p-sous-groupes de Sylow de G sont les sous-groupes de G d'un certain ordre, les images de ces sous-groupes par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; sont ces mêmes sous-groupes, donc (1) peut s'écrire
:&lt;math&gt;\qquad \sigma (\bigcap_{P}P) = \bigcap_{P} P,&lt;/math&gt;
ce qui montre que &lt;math&gt;\bigcap_{P}P&lt;/math&gt; est un sous-groupe caractéristique de G.&lt;br /&gt;
D'après un exercice de la série [[Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], &lt;math&gt;\sigma(N_{G}(P)) = N_{G}(\sigma(P))&lt;/math&gt;. On vient de voir que les images des  p-sous-groupes de Sylow de G par &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; sont ces mêmes sous-groupes de Sylow, donc, si on fait parcourir à P les p-sous-groupes de Sylow de G,
:&lt;math&gt;\sigma (\bigcap_{P} N_{G}(P)) = \bigcap_{P} \sigma(N_{G}(P)) = \bigcap_{P} N_{G}(\sigma(P)) = \bigcap_{P} N_{G}(P),&lt;/math&gt;
ce qui montre que &lt;math&gt;\bigcap_{P} N_{G}(P)&lt;/math&gt; est un sous-groupe caractéristique de G.
}}

== Problème 8  ==
Soit ''p'' un nombre premier, soit G un groupe fini, soit ''m'' le plus grand nombre naturel tel que p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt; divise &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt;, soit ''a'' le nombre des ''p''-sous-groupes de Sylow de G, soient P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ... , P&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt; les ''p''-sous-groupes de Sylow de G.&lt;br /&gt;
Posons b = &lt;nowiki&gt;|G|&lt;/nowiki&gt; / (p&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;a). (D'après les théorèmes de Sylow, ''b'' est un nombre naturel.)&lt;br /&gt;
Prouver&lt;ref&gt;Voir N. Bourbaki, ''Algèbre I, Chapitres 1 à 3'', Paris, 1970, ch. 1, § 6, exerc. 39, a, p. I, 142.&lt;/ref&gt; que &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt; est l'unique p-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; et que les ordres de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; et de Z(G) divisent &lt;math&gt;b \ \vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt;.

{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Pour prouver que &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt; est l'unique p-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt;, il suffit de prouver que tout élément ''x'' de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; dont l’ordre est une puissance de ''p'' est contenu dans &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt;. (Si un p-sous-groupe S d'un groupe K comprend tous les éléments de K dont les ordres sont des puissances de ''p'', ce p-sous-groupe S contient tous les p-sous-groupes de Sylow de K, donc, par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de K parmi les p-sous-groupes de K, S est égal à tous les p-sous-groupes de Sylow de K.) Pour chaque ''i'' (''i'' = 1, ..., a), ''x'' est un élément dont l’ordre est une puissance de ''p'' et qui normalise le p-sous-groupe de Sylow P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, donc, d’après un précédent exercice, ''x'' appartient à P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;. Ceci étant vrai pour chaque ''i'', ''x'' appartient à &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt;. Nous avons donc bien prouvé que &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}P_{i}&lt;/math&gt; est l'unique p-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt;. Donc
:(1) ''p'' figure à la même puissance dans &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt; et dans &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt;.
D'autre part, puisque les p-sous-groupes de Sylow de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que le cardinal de cette classe est ''a'', l'indice de chaque N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) dans G est ''a'', autrement dit
:(2) chaque N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) est d'ordre bp&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.
Puisque &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; est contenu dans N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;), &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt; divise &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt;N&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;(P&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;)&lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt;, c'est-à-dire, d’après (2), que
:&lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt; divise bp&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.
Comme ''b'' est premier avec ''p'', ceci et (1) montrent que
:&lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i}) \vert &lt;/math&gt; divise b &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt;.
Il est clair que Z(G) est contenu dans &lt;math&gt;\bigcap_{i=1}^{a}N_{G}(P_{i})&lt;/math&gt; (le centre normalise tout sous-groupe), donc l’ordre de Z(G) divise lui aussi b &lt;math&gt;\vert \bigcap_{i=1}^{a}P_{i} \vert &lt;/math&gt;.
}}
Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira à résoudre un exercice du chapitre Groupes alternés, qui nous permettra à son tour de prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;.

== Problème 9  (Nombre des p-sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe) ==
a) Soient G un groupe fini et ''p'' un nombre premier, soient P et Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que le sous-groupe &lt;P,Q&gt; de G engendré par P et Q n'est pas un p-groupe.
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Par exemple, P n'est pas contenu dans Q, donc le sous-groupe &lt;P,Q&gt; de G contient Q strictement. Puisque Q est un p-sous-groupe de Sylow de G et que tout p-sous-groupe de Sylow de G est maximal parmi les p-sous-groupes de G, &lt;P,Q&gt; n'est donc pas un p-sous-groupe de G.
}}
b) Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, ''p'' un nombre premier. Notons Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G) (resp. Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)) l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G (resp. de H). Prouver qu'il existe une injection ''f'' de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)) dans Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G)) telle que, pour tout élément S de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)), f(S) contienne S (ce qui, en particulier, entraîne que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de H est inférieur ou égal au nombre des p-sous-groupes de Sylow de G). (Indication : appliquer le point a) au groupe H.)
{{clr}}
{{Solution
  | contenu =
Notons Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G) (resp. Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H)) l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G (resp. de H). Tout p-sous-groupe de Sylow de H est un p-sous-groupe de G, donc est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G. Nous pouvons donc définir une application ''f'' de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H) dans Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(G) telle que, pour tout élément P de Syl&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;(H), f(P) soit un p-sous-groupe de Sylow de G contenant P. Une telle application ''f'' est forcément injective. En effet, si P et Q sont deux différents p-sous-groupes de Sylow de H, alors, d'après le point a), &lt;P,Q&gt; n'est pas un p-groupe, donc P et Q ne sont pas contenus dans un même p-sous-groupe de Sylow de G, donc f(P) et f(Q) sont distincts, ce qui prouve que ''f'' est injective. L'énoncé en résulte.
}}
Remarque. On se servira du point b) dans un exercice sur le chapitre des groupes simples d'ordre 168.

== Problème 10 (p-sous-groupes normaux) ==
Soient G un groupe fini et &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier.

a) Soient Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G et P un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que Q normalise P ou P normalise Q. Prouver que P contient Q.
{{Solution
  | contenu =
On va refaire un raisonnement déjà fait dans certains des problèmes ci-dessus.&lt;br /&gt;
Puisque, par hypothèse, un des deux sous-groupes P et Q normalise l'autre, le sous-groupe &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle&lt;/math&gt; de G est égal à PQ. Par exemple d'après la formule du produit, il en résulte que l'ordre de &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle&lt;/math&gt; est une puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, autrement dit &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G. Puisque ce sous-groupe contient P, il résulte de la maximalité des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow dans l'ensemble des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes que &lt;math&gt;\langle P, Q \rangle = P&lt;/math&gt;, donc P contient Q.
}}
b) Soit R un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe '''normal''' de G. On a vu dans le chapitre théorique que R est contenu dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Prouver ce fait à l'aide du point a).
{{Solution
  | contenu =
Soit P un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Puisque, par hypothèse, R est normal dans G, P normalise R, donc, d'après le point a), P contient R, ce qui démontre l'énoncé. 
}}

== Problème 11 ==
Soit G un groupe fini, soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G. On suppose que Q est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G qui contient Q.

a) Notons H le sous-groupe de G engendré par les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q. Prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de H.&lt;br /&gt;
Indication : on peut utiliser le problème 10.
{{Solution
  | contenu =
Soient &lt;math&gt;P_{1}, \ldots , P_{r}&lt;/math&gt; les différents &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q. D'après le chapitre théorique, Q est contenu dans au moins un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G, donc &lt;math&gt;r \geq 1&lt;/math&gt;, donc nous pouvons parler de &lt;math&gt;P_{1} .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Par définition, H est le sous-groupe &lt;math&gt;\langle P_{1}, \ldots , P_{r} \rangle&lt;/math&gt; de G engendré par &lt;math&gt;P_{1} \cup \ldots \cup P_{r} .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Puisque Q est contenu dans &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt;,
:(1)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;Q est contenu dans H.
Chaque &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; est contenu dans H. Puisque &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, il en résulte que &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H. Cela montre que tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H. Il reste à prouver la réciproque, à savoir que
:(thèse 2)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
Puisque H contient &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\vert H \vert&lt;/math&gt; est divisible par &lt;math&gt;\vert P_{1} \vert&lt;/math&gt;. Puisque &lt;math&gt;P_{1}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, cela revient à dire que &lt;math&gt;\vert H \vert&lt;/math&gt; est divisible par la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; qui divise &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt;, donc
:tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G.
Pour prouver la thèse (2), il reste donc à prouver que
:(thèse 3)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt; tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H contient Q.
D'après les hypothèses générales du problème, chaque &lt;math&gt;P_{i}&lt;/math&gt; normalise Q, donc &lt;math&gt;\langle P_{1}, \ldots , P_{r} \rangle&lt;/math&gt; normalise Q (rappel : normaliser revient à être contenu dans le normalisateur), ce qui, d'après (1), revient à dire que
:(4)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;Q est normal dans H.
Dès lors, puisque Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-groupe, il résulte du problème 10, point b), que Q est contenu dans tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de H, ce qui prouve la thèse (3). Comme nous l'avons vu, la thèse (2) en résulte, d'où l'énoncé du point a).
}}
b) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; et divise le plus grand facteur de &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt; non divisible par &lt;math&gt;p .&lt;/math&gt;
{{Solution
  | contenu =
D'après le point a), il existe un sous-groupe H de G tel que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de H. Alors
:(1)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est égal au nombre &lt;math&gt;n_{p}(H)&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de H.
D'après les thérèmes de Sylow,
:(2)&lt;math&gt;\qquad n_{p}(H)&lt;/math&gt; est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;
et
:(3)&lt;math&gt;\qquad n_{p}(H)&lt;/math&gt; divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert H \vert .&lt;/math&gt;
Puisque H est un sous-groupe de G, &lt;math&gt;\vert H \vert &lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt;, donc le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert H \vert &lt;/math&gt; divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt;, donc d'après (3)
:&lt;math&gt;\qquad n_{p}(H)&lt;/math&gt;divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert .&lt;/math&gt;
Joint aux résultats (1) et (2), cela démontre l'énoncé du point b).
}}
c) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
(Comme au point b), on peut en déduire que le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; et divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert .&lt;/math&gt;)
{{Solution
  | contenu =
La démonstration est presque identique à celle du point a). Par hypothèse, tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q normalise Q, autrement dit  tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est contenu dans &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt; Un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenu dans &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; est évidemment un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt;, donc
:(1)&lt;math&gt;\qquad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
Il reste à prouver que
:(thèse 2)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans au moins un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, donc il résulte de (1) que la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert N_{G}(Q) \vert&lt;/math&gt; est égale à la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt;, donc chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt; contient Q. Or Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe normal de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt;, donc, d'après le problème 10, point b), il est contenu dans tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
}}
Remarque. Si G est un groupe fini, &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier et Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans [[../Intermède : groupes simples d'ordre 168/|les exercices sur les groupes simples d'ordre 168]].

== Problème 12 ==
Soit G un groupe fini, soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier. On suppose que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G sont ''abéliens''.&lt;br /&gt;
Soit Q un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G.

a) Prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de &lt;math&gt;N_{G}(Q)&lt;/math&gt;. Prouver que leur nombre est congru à 1 modulo &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; et divise le plus grand facteur non divisible par &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\vert G \vert .&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
Indication : on peut utiliser le problème 11.
{{Solution
  | contenu =
Tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est abélien par hypothèse et normalise donc Q. Dès lors, l'énoncé résulte du problème 11.
}}
b) Prouver que les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
{{Solution
  | contenu =
On va calquer la démonstration sur celle du problème 11, point c).&lt;br /&gt;
Soit P un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q. D'après les hypothèses générales, P est abélien, donc, puisque Q est contenu dans P, P centralise Q, autrement dit P est contenu dans &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt; Ainsi, P est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenu dans &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;, ce qui entraîne clairement que P est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt; Nous avons donc prouvé que
:(1)&lt;math&gt;\quad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q) .&lt;/math&gt;
Il reste à prouver la réciproque, à savoir que
:(thèse 2)&lt;math&gt;\quad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow &lt;math&gt;P_{0}&lt;/math&gt; de G. D'après (1), &lt;math&gt;P_{0}&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;. Donc &lt;math&gt;P_{0}&lt;/math&gt; est à la fois un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G et un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;, donc la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt; et la plus grande puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; divisant &lt;math&gt;\vert C_{G}(Q) \vert&lt;/math&gt; sont égales, donc
:(3)&lt;math&gt;\quad &lt;/math&gt;tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G.
Donc pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt; contient Q. Puisque Q est normal dans &lt;math&gt;C_{G}(Q)&lt;/math&gt;, cela résulte du problème 10, point b).
}}
c) Toujours dans l'hypothèse où les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G sont ''abéliens'', soient &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de G (non forcément distincts). Prouver que les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
:1° &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G;
:2° &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; se centralisent;
:3° &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;;
:4° &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt;
{{Solution
  | contenu =
Si &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, soit P, alors, d'après les hypothèses générales, P est abélien, donc &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même sous-groupe abélien de G, donc ils se centralisent. Cela prouve que 1° entraîne 2°.&lt;br /&gt;
Si &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; se centralisent, alors &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;. Cela prouve que 2° entraîne 3°.&lt;br /&gt;
Si &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; normalise &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;, alors le sous-groupe &lt;math&gt;\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle &lt;/math&gt; de G engendré par &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; est égal à &lt;math&gt;Q_{1} Q_{2}&lt;/math&gt;, donc, d'après la formule du produit, &lt;math&gt;\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle &lt;/math&gt; est un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de G, donc, d'après les théorèmes de Sylow, &lt;math&gt;\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle &lt;/math&gt; est contenu dans un &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G, ce qui revient à dire que &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt; sont contenus dans un même &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupe de Sylow de G. Cela montre que 3° entraîne 1°.&lt;br /&gt;
Donc (dans l'hypothèse où les &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-sous-groupes de Sylow de G sont abéliens) les conditions 1°, 2° et 3° sont équivalentes. En échangeant &lt;math&gt;Q_{1}&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;Q_{2}&lt;/math&gt;, on voit que les conditions 1°, 2° et 4° sont équivalentes, donc les conditions 1° à 4° sont équivalentes.
}}

== Problème 13 ==
a) Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit G un groupe, fini ou infini. On suppose qu'il existe un sous-groupe normal H de G tel que H et G/H soient des p-groupes. Prouver que G est un p-groupe.
{{Solution
  | contenu =
Soit &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; un élément de G. Puisque G/H est un p-groupe, il existe un nombre naturel &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; tel que la &lt;math&gt;p^{n}&lt;/math&gt;-ième puissance de l'élément xH de G/H soit l'élément neutre de G/H. Cela revient à dire que &lt;math&gt;x^{p^{n}}&lt;/math&gt; appartient à H. Puisque H est supposé être un p-groupe, il existe donc un nombre naturel &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; tel que la &lt;math&gt;p^{r}&lt;/math&gt;-ième puissance de &lt;math&gt;x^{p^{n}}&lt;/math&gt; soit l'élément 1 de H. Cela revient à dire que &lt;math&gt;x^{p^{n+r}}&lt;/math&gt; est l'élément 1 de G, donc G est un p-groupe.
}}

b) Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit G un groupe fini. On suppose qu'il existe deux p-sous-groupes H et K de G tels que G = HK. (On ne suppose pas qu'un de ces deux sous-groupes soit normal dans G.) Prouver que G est un p-groupe.
{{Solution
  | contenu =
D'après la [[../../Classes modulo un sous-groupe|formule du produit]],
:&lt;math&gt;\vert HK \vert \cdot \vert H \cap K \vert = \vert H \vert \cdot \vert K \vert &lt;/math&gt;,
donc
:&lt;math&gt;\vert HK \vert &lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;\vert H \vert \cdot \vert K \vert &lt;/math&gt;,
autrement dit &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;\vert H \vert \cdot \vert K \vert .&lt;/math&gt; Puisque &lt;math&gt;\vert H \vert &lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\vert K \vert &lt;/math&gt; sont des puissances de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt; est donc une puissance de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;, donc G est un p-groupe.
}}

c) Soit &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; un nombre premier, soit G un groupe (fini ou infini). On suppose qu'il existe un p-sous-groupe H de G et un p-sous-groupe normal K de G tels que G = HK. Prouver que G est un p-groupe.

{{Solution
  | contenu =
Puisque G = HK et que K est normal dans G, nous pouvons écrire
:(1)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt;G/K = HK/K.
(Rappelons que, par convention sur la précédence des opérateurs, le membre droit de (1) désigne (HK)/K.)&lt;br /&gt;
D'après le [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|second théorème d'isomorphisme]], il résulte de (1) que
:(2)&lt;math&gt;\qquad&lt;/math&gt; G/K est isomorphe à &lt;math&gt;H / H \cap K &lt;/math&gt;.
Tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe, donc &lt;math&gt;H / H \cap K &lt;/math&gt; est un p-groupe, donc, d'après (2), G/K est un p-groupe. Puisque K est lui aussi un p-groupe, il résulte du point a) que G est un p-groupe.
}}
Remarque. L'énoncé du point c) nous servira dans [[../Produit semi-direct/|un exercice sur les produits semi-directs]].

== Problème 14 (exposant d'un groupe fini) ==
Soit G un groupe fini. Nous verrons dans le chapitre [[../../Groupes commutatifs finis, 1#Les groupes commutatifs d'exposant premier comme espaces vectoriels|Groupes commutatifs finis, 1]] que le plus petit nombre naturel ''n'' tel que ''x&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;'' = 1 pour tout élément ''x'' de G (autrement dit tel que G soit d'exposant ''n'') est appelé l'exposant minimal de G, ou encore '''l'exposant de''' G.
Soit G un groupe fini d'ordre n et pour chaque facteur premier p de n, soit e{{ind|p}} l'exposant de n'importe quel p-Sylow de G (tous ont même exposant puisqu'ils sont conjugués donc isomorphes).

Démontrer que l'exposant de G est égal au produit des e{{ind|p}}.
{{Solution|contenu=
*L'exposant e de G est évidemment un multiple de chaque e{{ind|p}} donc (puisque e{{ind|p}} est une puissance de p) e est un multiple du produit des e{{ind|p}}.
*Réciproquement, soient x un élément de G et m = p{{ind|1}}{{exp|k{{ind|1}}}}…p{{ind|r}}{{exp|k{{ind|r}}}} son ordre (où les p{{ind|j}} sont des nombres premiers distincts). On sait [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément#Problème 10 (Ordre d'une puissance)|décomposer x en un produit x{{ind|1}}…x{{ind|r}} d'éléments de G d'ordres respectifs p{{ind|1}}{{exp|k{{ind|1}}}}, … , p{{ind|r}}{{exp|k{{ind|r}}}}]] donc tels que chaque x{{ind|k}} appartienne à un p{{ind|k}}-Sylow. Ceci prouve que m divise le produit des e{{ind|p}}, et ce pour tout ordre m d'un élément de G. Donc e lui-même (le ppcm de ces ordres) divise ce produit.
}}

== Problème 15 ==
Soit G un groupe fini, noté multiplicativement. On vérifie facilement que les éléments d'ordre impair de G se partitionnent en l'ensemble {1} et en des ensembles de la forme {x, x{{exp|-1}}}, où &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; sont deux différents éléments d'ordre impair. Il en résulte que les éléments d'ordre impair de G sont en nombre impair. On va prouver plus généralement que si p est un nombre premier, les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p sont en nombre non divisible par p. (La démonstration qu'on a donnée dans le cas particulier p = 2 ne s'étend pas au cas général.)

a) Pour tout groupe fini G et pour tout nombre premier p, on désignera ici par &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; l'ensemble des éléments p-réguliers de G, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p. (On a déjà défini les éléments p-réguliers à l'exercice ''Ordre d'une puissance'' de la série [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]].) Soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. On vérifie facilement que
:&lt;math&gt;P\times R_{p}(G) \rightarrow R_{p}(G) : (u, t) \mapsto u t u^{-1}&lt;/math&gt;
définit une opération (à gauche) de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; (dite opération de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; par conjugaison). En raisonnant sur les orbites de cette opération, prouver que
:&lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert \equiv \vert R_{p}(C_{G}(P)) \vert \pmod{p}&lt;/math&gt;. 
{{Solution|contenu=
D'après le chapitre [[../../Action de groupe#Relations entre orbite et stabilisateur|Action de groupe, section Relations entre orbite et stabilisateur]], les orbites de l'action considérée de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; ont pour cardinaux des diviseurs de &lt;nowiki&gt;|P|&lt;/nowiki&gt;. Puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, les orbites de l'action considérée de P sur &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; ont donc pour cardinaux des puissances de p. L'orbite d'un élément t de &lt;math&gt;R_{p}(G)&lt;/math&gt; est ponctuelle si et seulement t appartient à &lt;math&gt;R_{p}(G) \cap C_{G}(P) = R_{p}(C_{G}(P))&lt;/math&gt;. Les orbites non ponctuelles ont pour cardinaux des puissances de p autres que p{{exp|0}}, donc les cardinaux de ces orbites sont divisibles par p. Nous avons donc bien
:&lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert \equiv \vert  R_{p}(C_{G}(P)) \vert \pmod{p}&lt;/math&gt;,
ce qui prouve le point a).
}}
b) Soient G un groupe fini et p un nombre premier. On suppose que G a un p-sous-groupe de Sylow P central. (Alors P est normal dans G et est donc l'unique p-sous-groupe de Sylow de G.) Prouver que dans ce cas particulier, le théorème à démontrer est vrai (à savoir que les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p sont en nombre non divisible par p). (Indication : on peut utiliser le point c) de [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément#Ordre d'une puissance|l'exercice ''Ordre d'une puissance'' dans la série ''Groupes monogènes, ordre d'un élément'']].)
{{Solution|contenu=
Au point c) de [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément#Ordre d'une puissance|l'exercice ''Ordre d'une puissance'' dans la série ''Groupes monogènes, ordre d'un élément'']], on a défini les éléments p-unipotents de G comme les éléments de G ayant pour ordre une puissance de p. De plus, il résulte de cet exercice que
:(1) tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme u t, où u est p-unipotent, où t est p-régulier et où u et t commutent.
Puisque, comme noté, P est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G,
:(2) les éléments p-unipotents de G sont exactement les éléments de P.
De (1) et (2), il résulte que
:(3) tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme u t, où &lt;math&gt;u \in P&lt;/math&gt;, où &lt;math&gt;t \in R_{p}(G)&lt;/math&gt; et où u et t commutent.
Puisque P est central dans G, le résultat (3) revient à dire que
:tout élément de G s'écrit d'une et une seule façon sous la forme u t, où &lt;math&gt;u \in P&lt;/math&gt; et où &lt;math&gt;t \in R_{p}(G)&lt;/math&gt;.
On a donc une bijection de G sur &lt;math&gt;P \times R_{p}(G)&lt;/math&gt;. donc
:(4) &lt;math&gt;\vert G \vert = \vert P \vert \cdot \vert R_{p}(G) \vert &lt;/math&gt;.
Puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G, &lt;math&gt;\vert P \vert&lt;/math&gt; est la plus grande puissance de p divisant &lt;math&gt;\vert G \vert &lt;/math&gt;, donc il résulte de (4) que &lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert&lt;/math&gt; n'est pas divisible par p, ce qui démontre l'énoncé du présent point b).
}}
c) Terminer la démonstration de l'énoncé général de la façon suivante. Soit p un nombre premier. Supposer que, par absurde, il existe au moins un groupe fini dont les éléments d'ordre non divisible par p (autrement dit les éléments p-réguliers) soient en nombre divisible par p. Parmi les groupes de cette sorte, en considérer un, soit G, dont l'ordre soit le plus petit possible. À l'aide des points a) et b), aboutir à une contradiction.
{{Solution|contenu=
Comme dans l'indication, soit G un groupe fini dont les éléments p-réguliers soient en nombre divisible par p et dont l'ordre &lt;math&gt;\vert G \vert&lt;/math&gt; soit le plus petit possible. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G.&lt;/br&gt;
D'après le point a), nous avons
:&lt;math&gt;\vert R_{p}(G) \vert \equiv \vert  R_{p}(C_{G}(P)) \vert \pmod{p}&lt;/math&gt;.
Dans les présentes hypothèses sur G, le premier membre de cette congruence est divisible par p, donc le second l'est aussi, c'est-à-dire que
:&lt;math&gt;\vert  R_{p}(C_{G}(P)) \vert&lt;/math&gt; est divisible par p.
Par minimalité de l'ordre de G, il en résulte que &lt;math&gt;C_{G}(P)&lt;/math&gt; est G tout entier, ce qui revient à dire que P est central dans G. Dès lors, d'après le point b), les éléments p-réguliers de G sont en nombre non divisible par p, ce qui contredit notre choix de G. L'énoncé général en résulte.
}}

== Problème 16 ==
Soit ''p'' un nombre premier, soit G un p-groupe (fini ou infini), soit H un sous-groupe d'indice fini de G. Prouver que cet indice est une puissance de ''p''. (Indication : on peut supposer d'abord que H est normal dans G, puis se ramener à ce cas en considérant le cœur de H dans G, qui a été défini dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].)
{{Solution|contenu=
Supposons d'abord H normal dans G. Alors nous pouvons considérer le groupe G/H. Puisque G est un p-groupe, c'est-à-dire que tout élément de G a pour ordre une puissance de ''p'', il en est clairement de même du groupe G/H : tout élément du groupe G/H a pour ordre une puissance de ''p''. Puisque le groupe G/H est fini, il en résulte (voir chapitre théorique) que son ordre [G:H] est une puissance de ''p'', donc l'énoncé à démontrer est vrai si H est normal dans G.&lt;/br&gt;
Cessons maintenant de supposer H normal dans G. Puisque H est d'indice fini dans G, le cœur &lt;math&gt;H_G&lt;/math&gt; de H dans G (étudié dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]] est lui aussi d'indice fini dans G. Puisque &lt;math&gt;H_G&lt;/math&gt; est normal dans G, il résulte donc de la première partie de la démonstration que
:(1) &lt;math&gt;[G:H_G]&lt;/math&gt; est une puissance de ''p''.
D'autre part, puisque &lt;math&gt;H_G \leq H \leq G&lt;/math&gt;, il résulte de la formule des indices (chapitre [[../../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]] que
:&lt;math&gt;[G:H_G] = [G:H] \ [H:H_G]&lt;/math&gt;.
Donc &lt;math&gt;[G:H]&lt;/math&gt; divise &lt;math&gt;[G:H_G]&lt;/math&gt;, donc, d'après (1), &lt;math&gt;[G:H]&lt;/math&gt; est une puissance de ''p'', ce qui achève de prouver l'énoncé.
}}

== Références ==
&lt;references/&gt;

==Lien externe==
{{Lien web|auteur=Frédéric Touzet|titre=Théorie des groupes, Feuille de TD {{numéro|11}}|url=https://perso.univ-rennes1.fr/frederic.touzet/F11THG.pdf|site=perso.univ-rennes1.fr}} (six exercices corrigés)

{{Bas de page
  | idfaculté = mathématiques
  | précédent = [[../Groupes linéaires/]]
  | suivant   = [[../Théorème de Jordan-Hölder/]]
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    <title>Introduction à la science des matériaux/Les céramiques</title>
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  | idfaculté   = sciences de l'ingénieur
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  | niveau      = 15
}}

== Introduction ==

[[Fichier:CMOC Treasures of Ancient China exhibit - pottery ding.jpg|thumb|Poterie datant du Néolithique (entre -5000 et -3000), Chine]]

Les céramistes disent par autodérision qu’ils pratiquent le plus vieux métier du monde : les poteries font partie des plus anciennes traces d'activité humaine&lt;ref&gt;voir ''[[Néolithique/Mutations techniques]]''&lt;/ref&gt;. Historiquement, les céramiques, terres cuites, ont été utilisées :
* pour la facilité de mise en œuvre : façonnage de la terre glaise (poterie) et cuisson ;
* pour leur dureté, leur résistance à l'abrasion : carrelage et mosaïques de sol ;
* pour leur résistance mécanique en compression : briques ;
* pour leur résistance aux températures élevées : fours, pots de cuisson ;
* pour leur couleur : émaux ;
* pour leur résistance chimique : tuiles.
Leur usage a été limité par leur fragilité, leur faible résistance aux chocs (faible résilience, faible ténacité).

Dans l’industrie moderne, les céramiques prennent de plus en plus d'importance, soit pour des applications spécifiques, soit en remplacement d'autres matériaux. On a vu un engouement pour les céramiques à usage mécanique au début des années 1980 avec le projet de « moteur céramique », qui n'a jamais abouti et a débouché au contraire sur un scepticisme. L'effort de recherche sur ce projet a toutefois permis un grand développement des applications mécaniques des céramiques.

== Définition et classement  ==

On peut définir les céramiques comme étant des matériaux inorganiques, non métalliques, nécessitant de hautes températures lors de leur fabrication. Il s'agit en général d'oxydes métalliques, et plus généralement de métaux oxydés&lt;ref&gt;c'est-à-dire que le métal est sous forme de cations, les anions de la structure pouvant être de l'oxygène mais aussi par exemple de l'azote (AlN)&lt;/ref&gt;, mais pas uniquement&lt;ref&gt;par exemple le nitrure de bore (BN), le bore n'étant pas un métal&lt;/ref&gt;. Les céramiques ont en général une structure cristalline, parfois associée à une phase amorphe. Lorsque la majorité est amorphe, on parle de vitrocéramique ; lorsque la totalité est amorphe, on parle de verre.

On peut classer les céramiques selon leur application :
* céramiques traditionnelles, à usage alimentaire, pour le bâtiment ou l'ornementation : poterie, vaisselle, faïence, porcelaine, carrelage, briques, tuiles ;
* céramiques techniques ou industrielles :
** céramiques électroniques (faibles courants), ou céramiques fonctionnelles :
*** céramiques diélectriques (isolantes),
*** céramiques piézoélectriques,
*** céramiques conductrices,
*** céramiques magnétiques,
*** céramiques supraconductrices,
** pour applications électrotechniques (fortes puissances),
** céramiques réfractaires, pour applications thermiques,
** pour les applications mécaniques :
*** céramiques structurales,
*** pour l'usinage : abrasif (polissage), outils de coupe (plaquette de carbure),
** supports de catalyseur, pour l’industrie chimique et les pots catalytiques,
** pour les applications optiques : transparence, émission de lumière,
** pour le nucléaire : combustible nucléaire.
On peut aussi classer les céramiques selon leur mode d'élaboration et la forme finale :
* produits façonnés : pièce livrée sous sa forme définitive,
** pièces fritée sous pression atmosphérique,
** pièce frittée sous pression (HIP, ''hot isostatic pressing''),
** pièce électrofondue ;
* produits non façonnés (PNF) :
** produit livré sous la forme de mortier destiné à être coulé ou projeté puis « cuit » sur place,
** projection thermique de céramique pour revêtir un pièce.
On peut enfin les classer selon leur composition chimique :
* monolithiques :
** oxydes :
*** produits siliceux (SiO&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;),
*** produits alumineux, avec 30 à {{unité|100|%}} d'alumine (Al&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) :
**** aluminosilicates (argile, mullite),
**** alumine-zircone-silice (AZS),
**** alumine-oxyde de chrome-silice (ACS),
**** alumine-oxyde de chrome-zircone-silice (ACZS),
**** haute teneur en alumine,
*** produits basiques, à base de magnésie (MgO),
*** produits spéciaux : zircone (ZrO&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;), Y-TZP ''(yttrium stabilized tetragonal zirconia polycristals)'' ;
** non-oxydes :
*** carbures,
*** nitrures,
*** borures ;
* composites : matrice céramique à renfort céramique, par exemple par de la zircone (ZTA, ''zirconia toughened alumina'', Mg-PSZ, ''magnesia partially stabilized zirconia''), ou matrice céramique à renfort métallique (cermet).

Les principales céramiques industrielles sont :
* alumine Al&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;O&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; ;
* zircone ZrO&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; (ne pas confondre avec le zircon ZrSiO&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;, un minéral) ;
* carbure de silicium SiC ;
* nitrure d'aluminium AlN.

== Modes de fabrication  ==

La fabrication des céramiques part d'une poudre. Pour les céramiques traditionnelles, il s'agit de matières premières naturelles (terre glaise, argile, kaolin). Pour les céramiques techniques, ce sont des poudres micrométriques obtenues par synthèse chimique ; on parle souvent de « céramiques fines ».

Dans la plupart des cas, on met en forme cette poudre avant de la « cuire » :
* soit on travaille la poudre sous forme de pâte, en y ajoutant un peu d'eau ou un liant organique qui sera éliminé lors de la cuisson ; cette pâte peut être travaillée à la main (poterie traditionnelle) ou injectée dans un moule ;
* soit on la travaille sous forme de barbotine, c'est-à-dire d'une suspension dans l'eau, en ajoutant beaucoup d'eau et un défloculant (silicate  de sodium) ; ce liquide est versé dans un moule absorbant l'eau (par exemple en plâtre) et forme une couche mince sur les parois que l’on peut démouler près séchage ;
* soit on remplit un moule de poudre sèche.
Cet objet est appelé « ébauche ».

[[Fichier:Empilement compact plan.svg|thumb|Empilement compact de grains sphériques, laissant environ {{unité|26|%}} d'espace vide (porosité)]]

[[Fichier:Frittage 2 grains.svg|thumb|Soudure de deux grains lors du frittage]]

La cuisson est appelée frittage ''(sintering)''. Au cours de cette opération, les grains se soudent entre eux, sans qu’il y ait un passage par une phase fondue. Le frittage « simple » laisse un grande porosité : on conserve les espaces entre les grains.

Le frittage sous pression (HIP, ''hot isostatic pressing'') consiste à mettre la poudre sous pression (environ {{unité|1000|bar}}, {{Unité|100|{{Abréviation|MPa|mégapascal}}}}) pour que la porosité se referme. On utilise un gaz inerte, en général de l'argon. On a une diminution des dimensions de 10 à {{unité|15|%}} linéaires (25 à {{unité|40|%}} volumique). Lorsque l’on a un mélange de poudres de compositions différentes, on a parfois des réactions chimiques lors du frittage (frittage réactif).

{{clr}}

Les produits non façonnés (PNF) sont des céramiques à usage essentiellement réfractaire, utilisés pour protéger des pièces contre la chaleur, par exemple des parois de four. Ils sont fournis aux clients en sac, prêt à l'emploi. Le client en fait un mortier en le mélangeant avec de l'eau. Le mortier est coulé ou projeté puis on le laisse sécher. La mise en route du four doit se faire de manière très précise car elle réalise le frittage ''in situ'', et donc conditionne la solidité du revêtement.

Sur des pièces métalliques, on peut recourir à la projection thermique pour créer un revêtement de quelques dizaines de micromètres à plusieurs millimètres. La poudre est injectée dans une flamme ou un plasma (gaz traversé par un arc électrique), le gaz de la flamme ou du plasma projetant les gouttelettes sur la pièce à recouvrir. Les gouttelettes s'écrasent et forment des plaquettes qui s'empilent. Grâce au refroidissement à l'air comprimé, la température de la pièce reste modérée (de l’ordre de {{unité|100|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}). Du fait de la structure obtenue, poreux et sous forme de plaquettes, le revêtement a une faible résistance mécanique, mais présente une excellente isolation thermique et une bonne résistance aux chocs thermiques.

Dans certains cas, la poudre est fondue et moulée. On utilise la fusion électrique : la chaleur est obtenue en faisant passer du courant dans des électrodes de carbone, on parle de céramiques électrofondues. La fusion à l'arc électrique est aussi utilisée pour l'acier de recyclage (acier électrique) et l'aluminium, mais on atteint ici des températures beaucoup plus élevées, entre {{formatnum:1800}} et {{unité|2500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. La céramique est coulée dans un moule en sable (usage unique), en graphite (réutilisable plusieurs fois) ou en acier refroidit à l'eau (moule permanent). On fait un refroidissement très lent en four, de 1 à {{unité|18|jours}}, appelé « recuisson ». À l'instar de la fonderie de métal, on a un retrait important, de l’ordre de {{unité|15|%}} en volume ({{unité|5|%}} linéaire), donnant des retassures.

L'assemblage des céramique est problématique. On procède souvent par brasage : « collage » par un métal fondu, sans qu’il y ait fusion des matériaux pièces à assembler. On peut ainsi assembler deux céramiques ou bien une céramique et un métal, et avoir une étanchéité. La différence de coefficient de dilatation entre les matériaux (pièces et brasure) génère des contraintes lors du refroidissement, contraintes qu’il faut maîtriser. Dans le cas d'un garnissage réfractaire, on peut assembler les briques avec un mortier de jointoiement. Les assemblages vissés sont possibles, mais la déformation élastique des pièces ainsi que l'adhérence de l'écrou ou de la tête de vis sur la pièce sont importants pour assurer le serrage ; or, les céramiques se déforment peu (module de Young E élevé) et ont en général un faible coefficient d'adhérence avec les autres matériaux.

== Développement de nouvelles applications  ==

Le développement de nouvelles applications demande des investissements importants. En effet, du fait des spécificités des céramiques, il faut résoudre les problèmes :
* de fabrication des poudres initiales : composition, taille des grains ;
* frittage, en particulier réactions entre grains de composition différentes, et taille finale des grains, qui conditionne de manière importante les propriétés mécaniques (en particulier résistance à la propagation d'une fissure et fluage) ;
* mise en œuvre, et en particulier la mise en forme de pièces de formes complexes ainsi que le problème d'assemblage des pièces entre elles ;
* stabilité chimique : malgré leur réputation, les céramiques peuvent réagir avec leur environnement à haute température, en particulier les métaux.
On a fréquemment plus de dix ans entre le début des recherches et la mise en œuvre concrète à l'échelle industrielle.

== Notes ==

&lt;references /&gt;

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    <title>Recherche:Arthur Constantin KREBS (1850-1935) - Pionnier de l'aéronautique, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, de l'automobile et gestionnaire de grands projets technologiques</title>
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! colspan=&quot;2&quot;|Biographie intellectuelle
|-
!style=&quot;background: #C0C0C0;&quot; colspan=&quot;2&quot;| '''&lt;big&gt;Arthur Constantin Krebs &lt;/big&gt;'''(1850-1935)
|-
|style=&quot;border:none;&quot; colspan=&quot;2&quot;|[[File:Arthur Constantin Krebs.png]]
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|style=&quot;border:none;&quot; colspan=&quot;2&quot;|'''Officier et industriel français, pionnier de la navigation aérienne et sous-marine et de l'ingénierie automobile'''&lt;br&gt;
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Naissance''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| 16 novembre 1850 à Vesoul
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Décès''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| 21 mars 1935 à Quimperlé
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|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Nationalité''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Française
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Domiciles''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Parc aérostatique de Chalais-Meudon&lt;br&gt;État-major des Pompiers (9 Bd du Palais, Paris)&lt;br&gt;Usine Panhard &amp; Levassor (19 av. d'Ivry, Paris)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Formation''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| École spéciale militaire de Saint-Cyr (1872-1873)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Activités''' || style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Inventeur, ingénieur militaire, aviateur, ingénieur aéronautique, ingénieur en construction automobile, industriel, motorboat racer, pompier
|-
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Œuvres notables''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Les [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#A._C._KREBS_pilote_les_premiers_vols_pleinement_contr%C3%B4l%C3%A9s premiers vols aériens contrôlés] avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_dirigeable_%22La_France%22_avec_Charles_RENARD_et_Henri_DUPUY-de-L%C3%94ME le dirigeable '''''La France''''']&lt;br&gt;Le premier sous-marin pleinement fonctionnel avec [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_sous-marin_%22Gymnote%22_avec_Gustave_ZEDE le sous-marin expérimental '''''Gymnote''''']&lt;br&gt;Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_%22carburateur_Krebs%22 premier '''''carburateur automatique''''']&lt;br&gt;Le [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Le_joint_%C3%A9lastique_FLECTOR joint élastique '''''FLECTOR''''']
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Distinctions'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 '''''prix Ponti'''''] de l'[[W:Académie des sciences (France)|académie des sciences]] (avec [[W:Charles_Renard|C. Renard]])&lt;br&gt;Commandeur de la Légion d'honneur
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Employé par''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Armée de terre française&lt;br&gt;Brigade de sapeurs-pompiers de Paris&lt;br&gt;Panhard &amp; Levassor
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;|'''Conjoint'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Marie de Fréminville (1858-1938)
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Enfants''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| Antoine, Hervé, [[W:Louis Krebs|'''Louis''']], Anne-Marie, Arthur, [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Jean_Krebs_(1896-1916)_et_Georges_GUYNEMER_(1894-1917) '''Jean'''], Alain, [[W:Petit Navire|'''Marguerite''']]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Parentèle''' ||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) '''Commandant Léonce Krebs''']&lt;small&gt;(frère aîné)&lt;/small&gt;&lt;br&gt;[[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Charles de Fréminville''']] &lt;small&gt;(beau-frère)&lt;/small&gt;
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;|'''Signature'''||style=&quot;border:none;|[[File:1902 - Panhard &amp; Levassor - signature A. C. KREBS.png|250px]]
|- 
|style=&quot;border:none; text-align:right; vertical-align:top;&quot;| '''Site Web'''||style=&quot;border:none; text-align:left;&quot;| [http://rbmn.free.fr ''rbmn.free.fr'']
|-
|}
[[File:La france vd66w081t 0 h702q745p.tiff |thumb|right|250px|Artist's depiction of ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'', 1884]]
[[Image:Gymnote1889.jpg|thumb|250px|Le sous-marin ''[[w:Gymnote|Gymnote]]'' en 1888. Arthur Krebs tient le mât d'aération. Le périscope est visible]]
'''Arthur Constantin Krebs''' (16 November 1850 à [[w:Vesoul|Vesoul]] ([[w:Haute-Saône|Haute-Saône]]), [[w:France|France]] – 22 mars [[w:1935|1935]] à [[w:Quimperlé|Quimperlé]] ([[w:Finistère|Finistère]]), [[w:France|France]]) est un officier et industriel français, pionnier de l'aéronautique, des moteurs électriques, de la navigation sous-marine, des services d'incendie, des bateaux à moteur, de l'ingénierie automobile et gestionnaire de grands projets technologiques.&lt;br&gt;
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Arthur Constantin Krebs|'''''Arthur Constantin Krebs''''']]

== Enfance et jeunesse ==
'''Voir aussi''' : [[w:Philosophie naturelle|Philosophie naturelle]], [[w:Géométrie descriptive|Géométrie descriptive]], [[w:Dessin technique|Dessin technique]]
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&quot;''Mon cher cousin, vous me demandez, dans votre aimable lettre du 25 mai ''[1924]'', de vous expliquer comment, simple officier d'infanterie, j'ai été amené à remplir les rôles et effectuer des travaux peu en rapport avec la carrière où j'étais entré.''

''Ceci m’oblige à faire remonter mes souvenirs et à me rappeler que dès l’âge où je commençais à apprécier les jouets mécaniques, ma plus grande distraction consistait à réparer et mettre en état tous ceux qui me tombaient entre les mains''. 

'''1861''' - ''Plus tard mes lectures portaient toujours sur des livres décrivant des mécaniques, si bien qu’à 11 ans, la Physique de [[w:Adolphe_Ganot|Ganot]] m’étant tombée sous la main, je l’étudiai avec le plus grand intérêt, m’initiant à tous les mystères de la machine à vapeur et de ses applications.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&quot;''Etant enfant, le jeune Krebs avait fait une machine à vapeur qui faisait marcher toute une scierie mécanique installée dans une vieille machine à coudre.''&quot; &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;
&lt;gallery&gt;
1850 Arthur Constantin KREBS=acte de naissance.pdf|'''1850''' -  [https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta7633bbf978e35653/daogrp/0#id:527817281?gallery=true&amp;center=1435.927,-2845.150&amp;zoom=9&amp;rotation=0.000&amp;brightness=100.00&amp;contrast=100.00 Acte de naissance] de Arthur Constantin KREBS.

1862~Famille-Constantin-KREBS=Léonce+Arthur+Marie.jpg|'''1862 ~''' Les enfants de Constantin &amp; Elodie KREBS : Léonce-Vital (~14), Arthur (~12), Marie (~10). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1868_Ganot-Adolphe='Traité_élémentaire_de_physique_expérimentale_et_appliquée_et_de_météorologie'.jpg |'''1860''' - [[w:Adolphe_Ganot |'''Adolphe Ganot''']] : [https://archive.org/details/introductorycou00unkngoog/page/n8/mode/2up ''Introductory course of natural philosophy: for the use of high schools and academies, edited from GANOT'S POPULAR PHYSICS.'']
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Cette aptitude particulière ne fut pas sans nuire, un peu, à mes études classiques, car mon esprit, plus préoccupé de ce qu’il avait appris par lui-même, cherchait à les réaliser pratiquement.

''Ceci me conduisit naturellement, à dessiner avec précision ce qui, par la suite, me rendit les plus grands services. Un croquis bien fait traduit mieux, pour les autres, la pensée de l’auteur, que toutes les descriptions ou explications qui peuvent être données quand il s’agit d’une construction ou d’une machine quelconque.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1875 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Palais(Belle-île) dessin de machine à coudre les voiles.jpg|'''1875''' - '''Dessin d'imitation''' d'une machine à coudre les voiles des thoniers de ''Belle-île'' par  A. C. KREBS qui a eu '''20/20 à St Cyr'''.&lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la machine à éprouver les cordages de Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''machine à éprouver les cordages''' de Renard, signé &quot;Krebs&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1878-00-00 MAE A-C-KREBS=Plan de la soupape Renard.jpg|'''1878''' - Plan de la '''soupape de ballon Renard''', signé &quot;Krebs&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
&quot;''En '''1867''' j'ai vu pour la première fois le véhicule automobile de M. [[W:Brissonneau_et_Lotz|Lotz]]. ''[...]'' Le véhicule de Lotz consistait essentiellement en une chaudière à vapeur portée par un avant-train avec une cinquième roue &lt;ref&gt;'''Le concept de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.image.r=locomotive &quot;cinquième roue&quot;]''' semble dû, en France, à M. Lotz de Nantes qui a développé des &quot;locomotives routières&quot; dans les années '''1860'''. Il définit ce concept comme &quot; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4717339t/f2.item.r=locomotive ''une cinquième roue, roue directrice, au moyen de laquelle le cocher pourra tourner ou obliquer à discrétion'']&quot;. Confronté aux problèmes de direction de ses engins, il dépose le 03/01/'''1865''' un brevet ([https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf '''FR'''65729]) pour l’ &quot;[https://archives.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=65729&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=25&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=1033&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 ''application de la roue hélicoïdale à la direction des locomotives pour routes ordinaires'']&quot;. Dans ce brevet Lotz expose très précisément son souhait de rendre la direction irréversible face aux cahots de la route. Il s’agit d’un &quot;[[w:Volant directionnel|volant]] de manœuvre&quot; vertical, comme la [[w:Barre (bateau)|barre à roue]] d’un navire. A. C. Krebs reprendra ce concept d’irréversibilité avec son système de direction à secteur denté et vis sans fin en '''1898'''. Il faut noter que le concept de cinquième roue n’est pas le même en Amérique. Le &quot;[https://en.wikipedia.org/wiki/Fifth-wheel_coupling fifth wheel coupling]&quot; était un système de plateforme pour l’attelage d’une calèche avec un chariot à quatre roues, apparu dès '''1850'''. Ce système est aujourd’hui le standard de liaison entre une semi-remorque et son tracteur routier. Il est désigné en français par le terme &quot;[[w:Sellette (transport)|Sellette]]&quot;. Dans son [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/002617903/publication/US549160A?q=pn%3DUS549160 brevet], [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden Selden] utilise l’expression &quot;fifth-wheel&quot; pour décrire la plateforme horizontale munie d’un engrenage à vis sans fin entraîné par le volant de direction ([https://en.wikipedia.org/wiki/Steering_wheel steering wheel]) et permettant d’orienter les roues directrices. A. C. Krebs utilise ici la notion de cinquième roue dans le même sens que Selden. Noter que, pour désigner cette plateforme mécanique, dans son brevet Lotz utilise le terme de &quot;cercle&quot;, et que A. C. Krebs utilise le terme de &quot;rond&quot; dans son brevet de '''1896''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344].&lt;/ref&gt; d'accouplement à pivot central &lt;ref&gt;Le système de direction d’un véhicule où le train-avant complet tourne est dit à &quot;[[w:Direction_(automobile)#Historique|cheville ouvrière]]&quot;. A. C. Krebs conservera ce système issu de la traction hippomobile sur sa voiture de '''1896''', et en '''1898''' sur la voiture [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#La_%22Voiture_Cl%C3%A9ment-Panhard_(VCP)%22_et_Adolphe_CLEMENT Clément-Panhard (VCP)] qui en est la version commerciale. De son côté, sur sa voiture à vapeur, Bollée utilisera le système de l’ &quot;essieu brisé&quot;.&lt;/ref&gt; et une remorque composée d'un arbre et de deux roues. L'une d'elles pouvant être connectée ou déconnectée de l'arbre de façon à permettre à une vis sans fin de s'engrener avec une roue dentée munie de chaînes aux extrémités de l'arbre avant. J'ai vu ce véhicule rouler à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]], en vue d'un essai réalisé avec cette machine sous la direction de M. Lotz, lors d'un voyage effectué à des fins publicitaires en 1867.''&quot;  &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1868''' - &quot;''Cette habitude à traduire ma pensée par un dessin avait développé en moi la faculté de bien voir dans l'espace, et je me souviens qu'en Math-spé, mon professeur m’envoyait toujours au tableau pour l’exécution des épures de descriptive dans lesquelles il s’embrouillait souvent.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1864-1867 Locomotive routière LOTZ=vue par Krebs.png|La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53749599/f118.item.r=lotz locomotive routière] de [[W:Brissonneau_et_Lotz|M. LOTZ]] que A. C. KREBS vit à [[W:Lons-le-Saunier|Lons le Saulnier]] en '''1867'''.

1868 Arthur Constantin Krebs=projet de voiture automobile.jpg|'''1868''' - A. C. KREBS :'' &quot;'''Projet de voiture automobile'''&quot; : ''sans doute pour un cours de math-spé. La colonne de direction très inclinée suggère une réelle intention de vitesse'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
== La guerre franco-allemande de '''1870''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Guerre franco-allemande de 1870|'''''Guerre franco-allemande de 1870''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Guerre franco-allemande de 1870|Guerre franco-allemande de 1870]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1870''', je me présentais aux examens de [[w:École_Polytechnique|Polytechnique]], et à ceux de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]. Mais la [[w:Guerre franco-allemande de 1870|guerre]] survenue avant que les examens oraux d’admissibilité pour l’[[w:École_Polytechnique|X]] furent passés à [[w:Besançon|Besançon]], où je terminais mes études, je ne pus les subir et suivis le sort des admissibles à St-Cyr''&quot;. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1871-01 Sous-lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Villefranche-sur-mer près de Nice.png|'''1871-01''' - '''Le sous-lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[W:Villefranche-sur-Mer|Villefranche-sur-mer]] près de  [[W:Nice|Nice]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
1871-01-04 Aquarelle d'A-C KREBS=Baie de Villefranche vue de la route de la corniche.pdf|'''1871-01-04''' - '''Aquarelle''' de A. C. KREBS : ''&quot;'''Baie de Villefranche vue de la route de la corniche'''&quot;''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
== '''Ingénieur Militaire''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:École spéciale militaire de Saint-Cyr|'''''École spéciale militaire de Saint-Cyr''''']], 
[[commons:Category:Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest|'''''Viaduc de la grue revolver du port militaire de Brest''''']], 
[[commons:Category:Plateau des Capucins|'''''Plateau des Capucins''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:École spéciale militaire de Saint-Cyr|École spéciale militaire de Saint-Cyr]], [[w:Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan|Académie militaire de Saint-Cyr Coëtquidan]], [[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]
&lt;br&gt;'''1873''' - &quot;''Après la guerre et le temps passé à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]], je vins en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]]. Comme officier, l’[[w:arsenal|arsenal]] m’était ouvert. J’en profitais largement pour approfondir mes connaissances en mécanique et continuer mes études techniques.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Brest, vue des ateliers des Capucins num-2006-5-11-a-2.jpg|L' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k314587/f87.item.r=brest '''arsenal militaire de Brest''']: Les ateliers des Capucins, l'atelier de la mâture et le viaduc.

File:1873-1874 carnet de dessins=Brest et Nantes.pdf|page 3|'''1873-1874''' - A. C. KREBS : '''carnets de dessins''' de [[w:Brest,_France|Brest]] et [[W:Nantes|Nantes]]: La '''grue revolver''' de l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:Btv1b531186107 port militaire de Brest.jpg|'''1900''' - La  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Num-2009-2-51-a-0313-4.jpg '''grue  revolver'''] de  l'[[w:Arsenal de Brest|Arsenal de Brest]]. 

File:Viaduc de la grue revolver-Capucins-BREST.jpg|'''2011''' - Le Viaduc de la '''grue revolver''' du [[W:Ateliers_du_Plateau_des_Capucins_(Brest)|Plateau des Capucins]].

File:1875 le Lieutenant Arthur Constantin KREBS en garnison à Brest.png|'''1875''' - Le '''Lieutenant A. C. KREBS''' en garnison à [[w:Brest,_France|Brest]] après sa formation à [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]].

File:Chantiers Goün, Prairie-au-Duc.jpg|'''1875''' - Le   [[W:Ernest_Go%C3%BCin_et_Cie|chantier Ernest Goüin]] à Nantes sur l'[[W:%C3%8Ele_de_la_Prairie-au-Duc|&quot;Île de la Prairie-au-Duc&quot;]] sur la [[W:Histoire_de_la_construction_navale_dans_l%27estuaire_de_la_Loire|Loire]].

File:1878 - Exposition Universelle de Paris - Chantiers Jollet et Babin.png|'''1878''' - Exposition Universelle de Paris : Le '''chantier Jollet and Babin''' à Nantes. &lt;ref&gt;'''1878''' - '''Les chantiers Jollet et Babin''' : &quot;''P. D. JOLLET et L. BABIN, Constructeurs-Mécaniciens à Nantes. Navires en Bois et en Fer - Armements complets de navires. La maison P. D. Jollet et Babin (ancienne maison Jollet et Fils) remonte à plus d'un siècle. Mais depuis 20 ans la nouvelle maison s'est progressivement développée en prévision de la construction de grands bâtiments de mer, en bois et en fer, de la construction de machines à vapeur, marines et autres, et de tous les travaux métallurgiques. Aujourd'hui, son matériel, son personnel, ses ateliers de forge, de chaudronnerie, d'ajustage, de menuiserie, de pouliage et de gréement, lui permettent d'entreprendre la construction et la livraison complète, barre en main, des bâtiments en fer et en bois du plus grand tonnage. Elle peut livrer des machins à vapeur marines et des machines de terre (système Corliss ou autres), jusqu'à une puissance de huit cent chevaux, indiqués. Enfin, grâce à un outillage très-complet, elle entreprend les gros travaux de chaudronnerie, les ponts, les charpentes, les travaux d'artillerie, tous les travaux de chaudronnerie en cuivre pour les raffineries et les autres usines. Elle possède, en outre, un atelier de galvanisage, une fabrication de chaînes spéciales pour la marine, les chemins de fer, les fonderies, etc., etc. MM. Jollet et Babin ont une succursale pour les réparations à Saint-Nazaire et sont fermiers du bassin de carénage de Paimboeuf. En temps de travail ordinaire ils occupent 800 ouvriers.''&quot;&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1881''' - À la fin du roman de '''Jules Verne'''  &quot;[[w:La_Jangada|La Jangada]]&quot;, son frère Paul Verne décrit son bateau le  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6513563v/f339.item.r=jollet Saint-Michel III], construit par le chantier '''[[W:Louis_Mathurin_Babin-Chevaye|Jollet et Babin]]'''. &lt;/ref&gt; 

File:1885~St-CYR=uniforme.png|'''1885''' - Uniforme d'un '''élève de l'école spéciale militaire de [[w:École_spéciale_militaire_de_Saint-Cyr|St-Cyr]]'''.

File:1875 Ecole Militaire de Saint-Cyr.jpg |'''1893''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1412878r/f1.item &quot;''Exercices gradués de dessin topographique à l'usage des candidats à l'Ecole spéciale militaire de Saint-Cyr''.&quot;]
&lt;/gallery&gt;
=== Cartes de Brest ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Maps of Brest, France by Arthur Constantin Krebs|'''''Cartes de Brest par A. C. KREBS''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:cartographie|cartographie]], [[w:Hachures#Cartographie|Hachures]], [[w:Carte|Carte]]
&lt;br&gt;'''1873''' - &quot;''Pendant mon séjour à Brest, j'ai relevé des plans de Brest et
de ses environs, et j'eus l'autorisation de fabriquer, avec l'aide d'ouvriers du régiment, une presse &lt;ref&gt;'''1860''' - '''Dictionnaire français illustré et encyclopédie universelle''' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58175678/f314.image.r=lithographie Litographie] : &quot;''Le tirage lithographique exige des précautions très-minutieuses; en outre, ses résultats sont  entièrement subordonnés à l'habileté de l'ouvrier. Ainsi, par ex., en ce qui concerne le nombre des épreuves, le bon ouvrier réussit à en obtenir 4 à 5000 avec la même pierre, tandis qu'un autre peut à peine arriver à 5 ou 600''.&quot;&lt;/ref&gt; avec laquelle je pus tirer à quelques milliers d'exemplaires la carte que j'avais établie et qui servit pendant de nombreuses années.''&quot; &lt;ref name=&quot;1935_Dépêche_de_Brest /&gt;
&lt;gallery&gt;
1873 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=carte de Brest (centre).jpg |'''1873''' - '''Carte du centre de [[w:Brest,_France|Brest]]''' gravée et imprimée par A. C. KREBS. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

1873 Arthur Constantin KREBS=Carte topographique de Brest.jpg|'''1873''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84439718.r '''''Carte topographique des environs de Brest'''''] gravée par A. C. KREBS quand il était au 19ème Regiment d'infanterie (signée A. Krebs). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Dessin de carènes ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Construction navale|'''''Construction navale''''']], [[commons:Category:Architecture navale|'''''Architecture navale''''']], [[commons:Category:Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement|'''''Ingénieur du corps des ingénieurs de l'armement''''']], [[commons:Category:Vehicle hulls|'''''Coques de véhicules''''']], [[commons:Category:Cross sections of ships|'''''Sections transversales de navires''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carène (bateau)|Carène (bateau)]], [[w:Coque (bateau)|Coque (bateau)]], [[w:Proue|Proue]], [[w:Étrave|Étrave]], [[w:Construction navale|Construction navale]], [[w:Génie maritime|Génie maritime]], [[w:Corps des ingénieurs de l'armement|Corps des ingénieurs de l'armement]]
&lt;br&gt;'''1875''' - &quot;''Mon futur beau-père ''[[w:Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|Antoine de Fréminville]]'', camarade d’enfance de mon père, m’avait donné des ouvrages sur les '''Machines à vapeur marines''' &lt;ref&gt;'''1861''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f9.item Cours pratique de machines à vapeur marines] : professé à l'École d'application du génie maritime / par M. A. de Fréminville.
'''1870''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k146769f.r= Cours de machines à vapeur : année 1870-1871] par M. de Fréminville, professeur à l'École centrale des arts et manufactures.&lt;/ref&gt; et la '''construction des navires''' &lt;ref&gt;
'''1863''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97347690.r Guide du marin] : résumé des connaissances les plus utiles aux marins. '''1864''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p.r=  Traité pratique de construction navale] ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858754f.r ATLAS]) par Mr. A. de Fréminville.&lt;/ref&gt; qu’il professait à l’École du Génie Maritime à [[w:Brest|Brest]].

''J’en fit mon profit et plus tard, en garnison à [[w:Nantes|Nantes]], en ''[[w:1875|1875]]'', je rédigeai les plans d’un navire qui fut construit par un industriel avec lequel j’avais fait connaissance.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

''Une difficulté s'étant présentée un jour dans la construction d'un nouveau modèle, ce fut le lieutenant Krebs qui se chargea de la résoudre. Il fit à lui seul les plans du navire, et son projet fut exécuté de point en point.''&quot; &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1883-ALBUM-16 SHD-DE-2014-PA-40 Carène du canot l'Ampère.jpg|'''1883''' - '''La coque à bulbe du canot électrique &quot;L'Ampère&quot;''' : Ce canot est conçu et construit par A. C. KREBS '''pour tirer dans l'eau les maquettes du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - L'enveloppe du dirigeable &quot;La France&quot; gonflée à l'air.jpg|'''1884''' - '''L'enveloppe du dirigeable &quot;La France&quot;''' gonflée à l'air, dont '''les fuseaux ont été tracés par A. C. KREBS'''.

File:1888-04-17 - Sous-marin Gymnote - le canot électrique d'essai préalable.pdf|'''17/04/1888''' - '''Sous-marin Gymnote''' - le '''canot électrique d'essai''' préalable : '''Spécifications rédigées par A. C. KREBS'''.

File:1889 Le-bateau-L'Etincelle=dessiné par A.C.KREBS.pdf|'''1889''' - Le bateau à vapeur &quot;L'Etincelle&quot;''' dessiné par A. C. KREBS''', propulsé avec un moteur à vapeur '''Durenne &amp; Krebs'''.

File:1899-06-03 Le Yacht=KREBS dessine les plans du canot PHOENIX.jpg|'''1899-12-16''' - &quot;Le '''''PHOENIX - Canot à essence de pétrole'''''&quot; : &quot;''L'auteur de ces plans, ainsi que de ceux du moteur est'' '''''M. le commandant Krebs''''' [...]&quot; &lt;ref&gt;'''1899-12-16''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7123311z/f4.image.r=krebs '''Le Yacht''']: &quot;''Le PHOENIX - Canot à essence de pétrole à la société des anciens établissements Panhard and Levassor''&quot; : &quot;Il évolue facilement, grâce aux formes spéciales que l'auteur des plans a donné à sa carène, le gratifiant ainsi d'une vitesse, d'une stabilité et d'une facilité d'évolution parfaites.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1903-1911 Les-bateaux à essence L'Etincelle=dessinés par A.C.KREBS.pdf|'''1903-1911''' - '''Les bateaux à pétrole''' &quot;''L'Etincelle&quot; I et II''&quot;  '''dessinés par A. C. KREBS''', qui a également conçu les moteurs alors qu'il est directeur de '''Panhard &amp; Levassor'''.

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - le bateau &quot;Parcifal&quot; dessiné par A. C. KREBS et construit par les chantiers KRAFF à Quimper.jpg|'''1913''' - '''Le bateau''' &quot;Parcifal&quot; '''de 14 mètres dessiné par A. C. KREBS''' et construit par les [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t557169x/f7.image.r=kraff chantiers Kraff] de Quimper.
&lt;/gallery&gt;
== '''Le parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''' avec '''[[w:Charles_Renard|Charles RENARD]]''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Parc aérostatique de Chalais-Meudon|'''''Parc aérostatique de Chalais-Meudon''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Chalais-Meudon|Chalais-Meudon]], [[w:Aérostation|Aérostation]], [[w:Dirigeable militaire|Dirigeable militaire]], [[w:Aérostat|Aérostat]], [[w:Dirigeable à enveloppe souple|Dirigeable à enveloppe souple]], [[w:Flottabilité|Flottabilité]], [[w:Portance|Portance]], [[w:Ballonnet|Ballonnet]], [[w:Hangar Y|Hangar Y]], [[w:Histoire de l'aérostation|Histoire de l'aérostation]], [[w:Histoire de l'aviation|Histoire de l'aviation]], [[w:Chronologie de l'aéronautique|Chronologie de l'aéronautique]]
:::[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55364253/f6.item.r=krebs 1884-10-01 - Les aérostats dirigeables]

'''1876''' - &quot;''À la fin de [[w:1876|1876]], mon bataillon vint à [[w:Paris|Paris]]. Mis en rapport par un ami commun, avec le [[w:Charles_Renard|Capitaine Renard]], j’entrai en relation avec lui et il me mit au courant des travaux qu’il avait entrepris à la Commission des Communications Aériennes et me demanda ma collaboration.''

''Le [[w:Aimé_Laussedat|Colonel Laussedat]], qui présidait cette commission, m’y fit nommer par le ministre, et je fus détaché à la Direction du Génie, de laquelle dépendaient les Ateliers de Chalais-Meudon. Mes vœux les plus chers étaient ainsi comblés, mais pour donner confiance et obtenir des crédits, il fallait réussir et ne promettre que ce que l’on était sûr de pouvoir réaliser.''

''Renard avait déjà construit un [[w:Ballon captif|ballon captif]], seule la partie mécanique permettant d’effectuer des ascensions, n’était qu’à l’état embryonnaire. Je me chargeai de la réaliser, et grâce à l’[[w:Exposition universelle de 1878|Exposition de 1878]], je réunis rapidement tous les éléments nécessaires à l’établissement d’un treuil à vapeur'' [fixe] ''qui fonctionna à notre plus grande satisfaction dès le mois d’août.''&quot;  &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
=== Train de ballons captifs ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Type ou modèle d'aérostat|'''''Type ou modèle d'aérostat''''']], [[commons:Category:Aerostation|'''''Aérostation''''']], [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']], [[commons:Category:Aerostats|'''''Aérostats''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Aérostat|Ballon captif]]
&lt;br&gt;&quot;''Les expériences et les démonstrations se succédèrent alors brillamment en toute sécurité et nous permirent d’y intéresser des membres de la Commission du budget, car il fallait obtenir des crédits pour pouvoir continuer les études et réaliser les projets faisant l’objet de la Commission des Communications Aériennes''.

''[[w:Léon_Gambetta | Gambetta]], puis [[w:Georges_Clemenceau | Clémenceau]], vinrent successivement assister aux expériences et promirent leur appuis''.&quot;

'''1880''' - '''Rapport de la Commission du budget''' de la Chambre des députés &quot;''Sur le budget des dépenses extraordinaires sur ressources extraordinaires de l'exercice 1880''&quot; : &quot;''Pour le ministère de la Guerre, reconstitution du matériel militaire'' [...] ''Votre Commission estime que l'oeuvre entreprise doit être complétée. C'est dans cet esprit qu'elle a examiné les diverses demandes présentées s'efforçant de maintenir les crédits dans les limites absolument nécessaires pour arriver à ce complet achèvement.'' [...] '''''Télégraphie militaire et communications aériennes''''' [...]  ''Nous avons visité, Messieurs, l'école d'aérostation militaire du parc de Chalais. Nous avons constaté avec le plus vif intérêt les progrès accomplis, les résultats obtenus, dus aux constantes études de '''''deux jeunes officiers, aussi modestes que distingués et capables'''''. Vous ne sauriez faire des fonds de l'État un emploi plus judicieux qu'en encourageant, par l'adoption du crédit demandé, des efforts qui permettent d'espérer encore dans l'avenir des résultats précieux pour la science et pour l'art de la guerre''.&quot;

&quot;''Deux buts étaient à poursuivre :

:''1/ Étude et construction d’un matériel de ballon captif transportable en campagne ;

:''2/ Étude et construction d’un ballon dirigeable.

''Le premier me parut facile à réaliser. Il se réduisit à la construction d’un treuil à vapeur sur roues pour les manœuvres de ballons, et à celle de deux autres voitures pour le transport des agrès et des accessoires de la machine à vapeur (eau et charbon), puis d’un appareil, également sur roues, pour la production du gaz hydrogène. Renard s’occupa de cette dernière question et je pris la première.''&quot;  &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Charles Renard.jpg|'''1876''' - '''Charles Renard''' (1847-1905) directeur de l'établissement aérostatique de Chalais-meudon.

File:1879 - LA NATURE (1884) - expériences de [[w:Victor Tatin|Victor TATIN] (1843-1913)] à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs.png|thumb|1879 - LA NATURE (1884) : expériences de Victor TATIN à Chalais-Meudon en présence de Renard et Krebs]]|'''1879''' - Expériences de '''Victor TATIN''' à Chalais-Meudon ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.23/333/100/432/8/420 en présence de Renard et Krebs]'''.

File:1880~Aimé-Laussédat (1819-1907) par A. Gerschel.jpg|'''1880''' ~ '''Aimé Laussédat''' (1819-1907) directeur de la commission des communications aériennes.

File:Gambetta par Étienne Carjat (photo recadrée).jpg|'''1881''' - [[w:Léon_Gambetta |'''Léon Gambetta''']] (1838-1882) vient assister aux expériences de Krebs &amp; Renard et promet son soutien financier.

File:Georges Clemenceau Nadar.jpg|'''1881''' - [[w:Georges_Clemenceau | '''Georges Clémenceau''']] (1841-1929) vient assister aux expériences de Krebs &amp; Renard et promet son soutien financier.

File:1882-ALBUM-14 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Chaudière Krebs.jpg | '''1882''' - '''Chaudière à vapeur système KREBS''' pour la manœuvre du treuil de campagne pour ballons captifs. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-07 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=treuil à vapeur.jpg | '''1882''' - '''Voiture treuil de A. C. KREBS''' pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. Le treuil met en oeuvre, pour la première fois en aérostation, le principe du touage à 2 tambours parallèles. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1883-ALBUM-08 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Fourgon.jpg |  '''1883''' - '''Voiture fourgon''' conçue par A.C. KREBS pour la manœuvre des ballons captifs en campagne. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1883-ALBUM-09 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=voiture aux agrais.jpg | '''1883''' - '''Voiture d'agrés''' designed by A.C. KREBS for the captive balloon train in the field. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1906~Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 en opération.jpg|'''1906''' - Treuil d'aérostation à vapeur modèle '''1882''' de KREBS en opération.'''.

File:1916 - The A. C. KREBS Aerostation Steam Winch System of 1882 practical mechanics course.png|'''1916''' - Le système KREBS de treuil à vapeur d'aérostation modèle 1882 : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1916_-_The_1882_A._C._KREBS_steam_winch_system.pdf&amp;page=2 '''''Cours de mécanique pratique''''']. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1914GDOC 01418B - SERIE SPECIALE (SUITE)=treuil à vapeur système Krebs (modèle 1882).webm|'''1914-1918''' - '''Vidéo''' : ''Le '''treuil d'aérostation à vapeur système A. C. Krebs''' (modèle '''1882''') en action''. '''Vitesse du câble''' : 10 m/s.
&lt;/gallery&gt;
=== Générateur d'hydrogène ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Hydrogen production|'''''Production d'hydrogène''''']], [[commons:Category:Mobile engine-generators|'''''Groupe électrogène''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de la production d'hydrogène|Histoire de la production d'hydrogène]], [[w:Technologie de l'hydrogène|Technologie de l'hydrogène]], [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]], [[w:Groupe électrogène|Groupe électrogène]]
&lt;br&gt;'''1879-1880''' - Ch. RENARD conçoit des générateurs d'hydrogène stationnaires ou mobiles, et A. C. KREBS conçoit les machines à vapeur qui les animent.
&lt;gallery&gt;
1878 A-C Krebs=machine électrique à lumière.jpg|'''1878''' - '''Groupe électrogène mobile à vapeur de A. C. KREBS''' : &quot;''Machine électrique à lumière''&quot; destinée en particulier à l' '''électrolyse de l'eau''' (signé Krebs). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1879-11-00 MAE Lettre-Rapport-Hydrogène.jpg | '''1879-11''' - '''Ch. RENARD : Générateur d'hydrogène stationnaire''' à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur qui l'anime. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1880-10 MAE cahiers-Krebs Hydrogène moteur-vapeur.pdf | '''1880-10''' - '''A. C. KREBS''' conçoit la '''machine à vapeur''' qui anime le générateur d'hydrogène conçu par Ch. RENARD à Chalais-Meudon pour le gonflement des ballons. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882 C.RENARD et A.C.KREBS = voiture générateur d'hydrogène.jpg | '''1882''' - '''Voiture à hydrogène de Ch. RENARD &amp; A. C.KREBS''' pour le gonflement des ballons en campagne. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-13 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Production de gaz.jpg | '''1882''' - '''Production de gaz hydrogène en campagne''' avec le train de ballons captifs de A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD. Le treuil à vapeur de A. C. KREBS est visible en arrière-plan. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Pour mener à bien et rapidement ces travaux, nous fûmes conduits à établir '''un laboratoire''' et à installer '''un atelier mécanique''' pourvus l’un et l’autre des outils et outillages nécessaires. Nous avions comme ouvriers des Sapeurs du Génie provenant du Régiment de Versailles. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

'''1906''' - &quot;''Tous les travaux de mécanique ont fait l'objet d'une étude particulière de ma part, et pour y parvenir j'ai construit et organisé un atelier situé dans [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Parc_a%C3%A9rostatique_de_Chalais-Meudon  le parc de Chalais-Meudon], atelier qui existe toujours''&quot;. &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1879-1880''' - &quot;''L’année suivante ('''juin 1879'''), un premier parc était réalisé et permit de faire des expériences de transport de ballons et d’ascensions sur le plateau qui domine [[w:Meudon|Meudon]] au sud. À la suite de ces essais, le ministre décida que ce parc assisterait aux Grandes Manœuvres qui devaient se dérouler aux environs de Silliers-le-Guillaume ('''22 et 23 septembre 1880'''). Pendant ces manœuvres, les renseignements donnés par le ballon sur la marche des opérations, contrôlé par un officier d’État-major'' [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Commandant_L%C3%A9once_Krebs_(1849-1922) [Léonce Krebs]] ''qui avait été adjoint au parc, furent si probants que la construction de 4 parcs semblables fut décidée et nous fut confiée.''&quot;

&quot;''Les crédits alloués nous permirent d’agrandir les ateliers, de perfectionner l’outillage et d’établir une fabrication qui a servi de modèle aux 25 parcs de ballons captifs qui se trouvaient dans les différents Corps d’Armée et places fortes en 1914.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
=== Ascensions libres ===
&lt;gallery&gt;
1878-06 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=le ballon captif à Chalais-Meudon.jpg |'''1878-06''' - Album photo de A. C. KREBS : &quot;''Le ballon captif à Chalais-Meudon''&quot;. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1868 L'AERONAUTE=page de garde.jpg |'''1879-08-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699161r/f22.image.r=krebs '''Ascension  libre''' de C. RENARD et A. C. KREBS].

File:1882 Aéronaute-article-Renard&amp;Krebs-KREBS signature.jpg |'''1882''' - L'Aéronaute : &quot;'''''Considérations générales sur les ascensions de longue durée'''''&quot;. &lt;ref&gt;&quot;'''''Mr Poitevin a signé cet article pour moi''''' ''qui, n'ayant pas deandé d'autorisation au ministre de la Guerre ne pouvait faire paraître mon nom'' (signé KREBS.)&lt;/ref&gt;  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58276296/f1.item#]  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827634h/f5.item.r=]  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5827635x/f4.item]
&lt;/gallery&gt;
=== Mariage ===
'''1881''' - A. C. KREBS se marie avec Marie de Fréminville, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]].
&lt;gallery&gt;
File:1881-A-C-KREBS=portrait de mariage.jpg|'''1881''' - '''A. C. KREBS''' portrait de mariage. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1881 portrait Marie de Fréminville.jpg|'''1881''' - '''Melle Marie de Fréminville''' portrait de mariage, soeur de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]]. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1881 - A. C. KREBS - &quot;mon habitation à Chalais-Meudon&quot;.jpg|'''1881''' - A. C. KREBS: &quot;'''''Mon habitation à Chalais-Meudon'''''&quot; dans le parc de recherche aérostatique. &lt;ref&gt;Il faut souligner que A. C. KREBS a toujours habité sur son lieu de travail : dans le parc de Chalais-meudon, à l'état-major des pompiers au 9 Bd du Palais sur l'île de la cité à Paris, et dans la maison de Levassor agrandie, dans l'usine Panhard, avenue d'Ivry.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== Le dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; avec [[w:Charles_Renard|Charles RENARD]] et [[w:Henri_Dupuy_de_Lôme|'''Henri DUPUY-de-LÔME''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:La France (airship)|'''''Le dirigeable &quot;La France&quot;''''']], [[commons:Category:Balloon history|'''''Histoire des ballons''''']], [[commons:Category:Airship technology|'''''Technologie aérostatique''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ballon dirigeable|Ballon dirigeable]], [[w:Base aérienne 107 Villacoublay|Base aérienne 107 Villacoublay]]
&lt;br&gt;'''1884''' - Collaborant avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], il pilote [[w:XIXe siècle en aéronautique|le premier vol pleinement contrôlé]] en 1884, effectué à bord du [[w:dirigeable|dirigeable]] militaire français &quot;''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''&quot;, qu'ils ont conçu. Le vol &lt;ref&gt;[http://rbmn.free.fr/Ballon_photos_10.html Plans, croquis et photos du dirigeable &quot;La France&quot;].&lt;/ref&gt; a parcouru 8 km en 23 minutes. Ce fut   &lt;ref&gt;'''XIX° siècle en aéronautique''' : [[w:XIXe_siècle_en_aéronautique|le 9 août 1884]], le dirigeable &quot;La France&quot; réalise [http://rbmn.free.fr/Dirigeable_LA_FRANCE_1884.HTML Le premier vol pleinement dirigé].&lt;/ref&gt; le premier vol mécanisé avec retour au point de départ. Sur sept vols, le dirigeable &quot;''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''&quot; reviendra cinq fois à son point de départ.

&quot;''Entre temps, se poursuivaient les études et expériences pour la construction du ballon dirigeable. Sa réalisation était pour nous le comble de nos aspirations et faisait l’objet de nos plus profondes méditations. La forme du ballon, la disposition de la nacelle et la détermination de l’espèce d’énergie à employer pour constituer la force motrice nécessaire à sa propulsion, firent l'objet d'un long examen et de discussions approfondies.''&quot;
==== Recherche d'un moteur léger : vapeur, hydrogène, électricité ====
'''Voir aussi''' : [[w:Machine à vapeur|Machine à vapeur]], [[w:Histoire de la machine à vapeur|Histoire de la machine à vapeur]], [[w:Chaudière à tubes de fumées|Chaudière à tubes de fumées]], [[w:Chaudière à tubes d'eau|Chaudière à tubes d'eau]], [[w:Locomotive compoundLocomotive compound]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à hydrogène|Moteur à hydrogène]], [[w:Machine électrique|Machine électrique]]
&lt;gallery&gt;
File:1876 - moteur à gaz Otto construit par Périn-Panhard.png|'''1876''' - '''[https://www.youtube.com/watch?v=5F6q-i_nuYs Moteur à gaz Otto]''' acheté par A.C. KREBS et construit par '''Périn-Panhard'''.

File:1878-04-25 MAE A-C-KREBS=Brevet-FR124.078 Générateur de vapeur à circulation directe dit générateur RENHAYE Renard+Krebs+Delahaye.pdf|'''25-04-1878''' - A. C. KREBS : Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=124078&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''124078] &quot;''Générateur de vapeur à circulation directe, dit'' [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs '''''générateur RENHAYE''''']''&quot; de de la Haye, Renard et Krebs.

File:1882-SHD-DE-2014-PA-40=moteur à hydrogène de A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - Le '''moteur à hydrogène''' conçu par A. C. KREBS.

1883-12 Arthur Constantin KREBS=Cahier de recherche 'Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'.pdf|'''1883-12''' - A. C. KREBS : Cahier de recherche &quot;'''Moteurs électriques à électro-aimants - Théorie de fonctionnement'''&quot; pour le moteur électrique du dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; de '''1884'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - A. C. KREBS electric motor for the 'La France' airship.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS : Le '''moteur électrique''' pour le dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1878''' - &quot;''Avant l'Exposition de 1878, alors que j'étais au parc aéronautique, j'ai acheté et accepté, aux ateliers [[w:Panhard &amp; Levassor|Panhard &amp; Levassor]], un moteur à quatre temps Otto de deux chevaux ''[au gaz de ville]'' pour l'installer dans l'atelier de couture des ballons.''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1879''' - &quot;''Ainsi, MM. Renard et Krebs ont obtenu'' '''''une machine de trois chevaux qui contient à peine trois litres d'eau''''', ce qui leur donne '''''une chaudière légère et non à faible surface'''''. ''Des organes d'une grande sensibilité règlent et assurent le jeu de la machine, bien que peu d'eau soit employée''. '''''La pompe alimentaire a été étudiée avec soin par M. Krebs''''' ; ''le thermo-régulateur actuel s'appuie sur le même principe que celui indiqué au brevet ; mais il emploie la dilatation du mercure''&quot;. &lt;ref&gt;'''01/06/1879''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5699151c/f21.image.r=krebs L'Aéronaute].&lt;/ref&gt;

'''1881''' - &quot;''À cette époque, l’industrie électrique se développait. Le  [[w:Exposition internationale d'Électricité | Congrès International de l’Électricité]] de '''1881''' venait de déterminer les unités de mesure nécessaires à l’étude et aux applications de cette branche nouvelle d’énergie. Les moteurs à essence, si répandus maintenant, n’étaient pas encore connus, nous décidâmes l’emploi de l’électricité pour constituer la force motrice du ballon.''&quot;

&quot;''Renard se consacra à la recherche de la source électrique capable de développer dans un poids très faible l’énergie nécessaire au fonctionnement pendant 2 heures environ, d’un moteur de 10 CV. Moi, '''''je me chargeai de l’établissement du moteur et de tous les organes mécaniques faisant manœuvrer l’hélice'''''. C’est ainsi que je fus conduit à étudier l’électricité au moment où cette science se développait industriellement.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

'''1882''' - &quot;''En 1882, dans le but de propulser un ballon dirigeable, qui était alors étudié par le ministère de la Guerre'', '''''j'entrepris la mise au point d'un moteur à combustion interne qui devait utiliser comme combustible l'hydrogène qui gonflait le ballon'''''. ''C'est à cette occasion que j'abordai pour la première fois de manière approfondie une étude complète des moteurs à combustion interne.''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;

'''1884''' - &quot;''C'est donc vers 1884 que j'ai suivi avec grand intérêt la construction des petits moteurs à essence de Mr [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''&quot; &lt;ref name=1906_Krebs_Selden/&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1878'''
|| [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=610115&amp;positionResult=32&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B0%5D=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bq%5D%5B1%5D=haye&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409ada8d6374%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afba49a2c3d/arko_default_63f47e41d68c8/image/591913|0|5 '''FR'''124078] 
|| De la Haye, Renard et Krebs: ''Générateur de vapeur à circulation directe, dit générateur RENHAYE''
|-
|}
==== Recherches aérodynamiques : la forme du ballon ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Aerodynamics diagrams|'''''Diagrammes d'aérodynamique''''']], [[commons:Category:Fluid_dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']], [[commons:Category:Aircraft_wake_turbulence |'''''Turbulences de sillage d'aéronefs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Bulbe d'étrave|Bulbe d'étrave]], [[w:Aérodynamique|Aérodynamique]], [[w:Maquette|Maquette]], [[w:Modèle|Modèle]], [[w:Aérodynamique de la pointe avant|Aérodynamique de la pointe avant]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]], [[w:Corps de moindre traînée|Corps de moindre traînée]], [[w:Empennage|Empennage]], [[w:Dérive (empennage)|Dérive (empennage)]], [[w:Aérostatique|Aérostatique]]
&lt;br&gt;'''1883''' - &quot;''Ce ne fut pas sans peine que M. Renard consentit à abandonner le ballon tubulaire, dont la forme le séduisait à cause de ses avantages théoriques. Pour décider son collègue, '''''M. Krebs fit faire des modèles en bois de diverses formes''''', que l'on essaya successivement dans l'étang de Chalais : ces essais prouvèrent que pour obtenir de la régularité dans la marche,'' '''''il est nécessaire de donner au mobile une forme dissymétrique'''''. ''C'est ainsi que la forme ovoïde, proposée par le capitaine Krebs, fut définitivement adoptée pour l'aéronef de Chalais''&quot; [...] &quot;L'aéronef doit nager dans l'air, comme poisson dans l'eau&quot;'', dit le capitaine Krebs. La nature nous démontre que nous avons choisi pour notre aérostat une forme rationnelle''&quot;. &lt;ref&gt;[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 1884-de-Grilleau]: ''Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir. Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''.&lt;/ref&gt;

'''1884''' - &quot;''L'évaluation du travail nécessaire pour imprimer à l'aérostat une vitesse donnée a été faite de deux manières :&lt;br&gt;

:&quot;''1° En partant des données posées par [[w:Henri Dupuy de Lôme|Dupuy de Lôme]] et sensiblement vérifiées dans [[w:Aérostat dirigeable Dupuy de Lôme|ses expériences de février 1872]] ;&lt;br&gt;

:&quot;''2° En appliquant [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k316149k/f53.image.r=carene la formule admise dans la marine] pour passer d'un navire connu à un autre de formes très peu différentes et en admettant que, dans le cas du ballon, les travaux sont dans le rapport des densités des deux fluides.''&quot; &lt;ref name=1884_ACAD-Krebs /&gt; &lt;ref&gt;'''1864''' - [[Antoine-Joseph_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Antoine de Fréminville''']],  (beau-père de A. C. KREBS) : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k858752p/f84.image.r=carene ''Traité pratique de construction navale'']&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1883-ALBUM-17 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=L'Ampère sur l'étang.jpg|'''1883''' - &quot;''L'Ampère sur l'étang ''&quot;. Ce canot électrique est conçu et construit par A. C. KREBS pour tirer des modèles en bois du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] et déterminer sa forme aérodynamique (voir supra). &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882-ALBUM-26 SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS=Modèle en bois de La France.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS: ''Modèle en bois du ballon [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''. Ce modèle est conçu et construit par A. C. KREBS pour être tiré par le canot l'Ampère, et déterminer sa forme aérodynamique. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1882 - Machine à découper les fuseaux des ballons conçues par A. C. KREBS.jpg|'''1882''' - '''Machine à découper les fuseaux des ballons''' conçue par A. C. KREBS.

File:1883 - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon La France gonflé à l'air.jpg|'''1883''' - A. C. KREBS prend une photo de l'intérieur du ballon '''''La France''''' gonflé à l'air, et dont il a tracé les fuseaux'''.

File:1883-SHD-DE-2014-PA-40 A-C-KREBS-to-do book='Boat test in front of Mr. Dupuy de Lôme and Zédé'.pdf|'''1883-03-24''' - '''Carnet''' de A. C. KREBS : ''&quot;Essai du bateau devant MM. '''[[w:Henri_Dupuy_de_Lôme| Dupuy-de-Lôme]]''' et '''[[w:Gustave_Zédé|Zédé]]'''&quot;''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:Henri Dupuy de Lôme.png|'''1883''' - '''Henri Dupuy de Lôme''' (1816-1885) :  Architecte naval. &lt;ref&gt;'''1872''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3046138b/f9.image.r=dupuy%20de%20lome Les Ballons dirigeables], par Gaston Tissandier.&lt;/ref&gt; 

File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur, gendre de M. Dupuy de Lôme.
&lt;/gallery&gt;
==== La poutre nacelle et l'hélice ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Hélice|'''''Hélice''''']], [[commons:Category:Propellers|'''''Hélices''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Nacelles|Nacelles]], [[w:Hélice|Hélice]], [[w:Hélice (aéronautique)|Hélice (aéronautique)]]
&lt;gallery&gt;
File:1884-design of La-France dirigible of Renard &amp; Krebs-first fully controlled airtrip.pdf|'''1884''' - La conception du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' de Ch. RENARD &amp; A. C. KREBS. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884-ALBUM-29 SHD-DE-2014-PA-40 = A-C-KREBS pose devant l'hélice du dirigeable La France.jpg|'''1884''' - A. C. KREBS pose devant l'hélice du dirigeable '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''', qu'il a conçue et construite lui-même. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;

File:1884 - Dirigeable &quot;La France&quot; - Plan de la nacelle de A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;: '''Plans de la nacelle par A. C. KREBS'''.

File:1884 - Dirigeable &quot;La France&quot; - La nacelle conçue par A. C. KREBS.jpg|'''1884''' - Dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;: '''La nacelle conçue par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
==== '''A. C. KREBS pilote les [https://archive.org/details/americanengineer67newy/page/472/mode/2up?q=krebs premiers vols pleinement contrôlés]''' ====
'''Voir aussi''' : [[w:Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air|Société d'encouragement de la locomotion aérienne au moyen du plus lourd que l'air]]
&lt;br&gt;'''1884''' - &quot;''La première ascension du ballon &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot;, qui eut lieu le 9 août 1884, et dans laquelle'' '''''un aérostat décrivit pour la première fois par ses propres moyens une courbe fermée en revenant à son point de départ''''', ''fut le couronnement de nos travaux. On ne pouvait alors prétendre obtenir une durée de fonctionnement dépassant 2 h à cause du poids des moteurs. Ce ne fut donc qu’une expérience intéressante mais sans lendemain''.

&quot;''En effet, 15 ans devaient s’écouler avant que, grâce aux perfectionnements apportés par l’automobile aux moteurs à essence, on put doter un ballon semblable à &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; d’un moteur assez léger'' [[w:Lebaudy_Frères|[voir Ballons Lebaudy]]] ''pour lui permettre de tenir l’air pendant 10 heures''.&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
1884 Arthur Constantin KREBS=portrait.jpg|'''1884''' - Arthur Constantin KREBS.

File:The 1884 Krebs &amp; Renard first fully controllable free-flights with the LA FRANCE dirigible near Paris (Krebs arch.).jpg |Les '''premiers vols pleinement contrôlés de Krebs &amp; Renard de 1884''' avec le dirigeable électrique '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' près de Paris (Krebs arch.).

File:1884-09-27 Scientific-American=Renard &amp; Krebs first fully controlled free-flight (from l'Illustration).pdf |'''1884-09-27''' - Scientific-American: Renard &amp; Krebs '''first fully controlled free-flight''' (from l'Illustration).

File:Popular science monthly (1872) (14763679411).jpg |'''1884''' - THE POPULAR SCIENCE MONTHLY: &quot;''the balloon returning each time to its point of departure, and attaining a speed of nearly fifteen miles an hour''&quot;.

1884-de-Grilleau=Les aérostats dirigeables leur passé, leur présent, leur avenir. Le ballon de Meudon.gif|'''1884''' - de Grilleau: &quot;'''''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, un contraste frappant''''' [...] &lt;ref name=1884_de-Grilleau /&gt;

File:Commemorative portrait of balloonists Charles Renard, Dupuy de Lôme, and Arthur Krebs, inventors and military officers who were charged with developing a navigable balloon during the Siege of Paris LCCN2002724814.tif|'''Portait commémoratif''' des aéronautes '''Ch. Renard''', '''H. Dupuy de Lôme''' et '''A. C. Krebs''', inventeurs et officiers qui ont collaboré au premier vol pleinement contrôlé le '''9 août 1884''' à Chalais-Meudon près de Paris.

File:1884 A-C-KREBS=portrait en gravure.jpg|'''1886''' - '''A. C. KREBS &amp; Ch. RENARD''' reçoivent le ''' Prix Ponti''' de '''l'Académie des sciences''' : &quot;''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1886''' - '''A. C. KREBS &amp; C. RENARD''' reçoivent [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3059r/f1395 le '''Prix Ponti'''] de '''l'Académie des sciences''' : &quot;''pour les progrès accomplis par eux dans la navigation aérienne.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:Gill Hugo.jpg | '''23-08-1884''' - [[w:Victor Hugo|'''Victor Hugo''']] - La direction des ballons :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7540223d/f1.item.r=%22victor%20hugo%22.zoom &quot;''Est-ce l'aimant qui s'est fait aider par l'éclair Pour bâtir un esquif céleste avec de l'air ?''&quot;]

File:'Robur the Conqueror' by Léon Benett 48.jpg|'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''', dans son roman '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : &quot;[...] ''même après les expériences retentissantes des '''capitaines Krebs et Renard''' '' [...]&quot; &lt;ref&gt;'''1886''' - '''[[w:Jules_Verne|Jules VERNE]]''' dans  '''[[w:Robur-le-Conquérant|Robur-le-Conquérant]]''' : &quot;''Il était donc constant que, même après les expériences retentissantes des  [https://fr.wikisource.org/wiki/Robur_le_conqu%C3%A9rant/2 '''capitaines Krebs et Renard'''], si les aérostats dirigeables avaient gagné un peu de vitesse, c’était juste ce qu’il fallait pour se maintenir contre une simple brise. D’où  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t51169574w/f98.image.r=krebs l’impossibilité d’user pratiquement jusqu’alors de ce mode de locomotion aérienne].''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1886 - Catalogue plantes John-Saul - Géranium 'capitaine Krebs'.png|'''1886''' - [https://archive.org/details/johnsaulscatalog18john_12/page/4/mode/2up?q=capitaine+krebs '''Geranium &quot;''capitaine Krebs''&quot;''']: &quot;''Fine, large, well-shaped trusses, cinnabar-crimson, white centre, extra''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
== Le sous-marin &quot;'''''[[w:Gymnote (1888)|Gymnote]]'''''&quot; avec [[w:Gustave_Zédé|'''Gustave ZEDE''']] ==
'''Catégories''' : [[commons:Category:Gymnote (submarine, 1888)|'''''Gymnote (1888)''''']], [[commons:Category:Gustave Zédé|'''''Gustave Zédé''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Gymnote (1888)|Gymnote (1888)]], [[w:Histoire des sous-marins|Histoire des sous-marins]], [[w:Coque_(bateau)#Sous-marins|Coque de sous-marins]]
&lt;br&gt;'''1884''' - &quot;''L’expérience du dirigeable était révolue sans laisser l’espoir de pouvoir mieux faire à courte échéance. C’est alors que le général Zédé, frère de [[w:Gustave_Zédé | M. Zédé]], directeur des Constructions Navales, dont j’avais fait la connaissance par mon beau-père, me proposa de quitter la Direction du Génie, où je n’avais aucun avenir à espérer, et de me nommer au Régiment des Sapeurs-Pompiers dont on voulait modifier et perfectionner les moyens d’action pour les mettre à la hauteur de ce qui existait à l’étranger.''&quot; 

'''1885''' - &quot;''M. Gustave Zédé, ancien Directeur des Constructions Navales et Administrateur à la [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]], avait entrepris'', en 1885, '''''l’étude d’un sous-marin''''' ''pour le compte de la Marine militaire''. '''''Ce navire devait être propulsé par un moteur électrique alimenté par des [[w:Camille_Desmazures#L’inventeur_d’un_nouveau_type_d’accumulateur_électrique|accumulateurs]]'''''. ''Toute cette partie mécanique était à étudier et à exécuter. Il me fit part de son projet et me demanda de collaborer avec lui.''&quot;

&quot;''La coque était construite par l’Arsenal de Toulon, et toute la partie mécanique et électrique devait être exécutée dans les Ateliers des [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Forges et Chantiers]] au Havre.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot;/&gt;

=== Le moteur électrique du sous-marin ''Gymnote'' ===
&quot;''J’acceptai l’offre avec plaisir bien que'' '''''les conditions de construction d’une machine électrique de 50 CV à 200 tours''''' [exigé par Zédé] ''''' présentât de sérieuses difficultés'''''. ''Il y avait, en réalité, à réaliser des dispositions tout à fait nouvelles pour arriver à disposer, dans un espace très restreint : machine, accumulateurs et appareils de manœuvres. Sur la demande du Ministre de la Marine, je fus autorisé par le Ministre de la Guerre à prêter mon concours à la Marine tout en conservant mes fonctions au Régiment des Sapeurs-Pompiers.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot;/&gt; &lt;ref&gt;Noter que les règlements actuels sur le personnel militaire n'autoriseraient plus ce type de mise à disposition interarmées.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1886-01-12 Brevet A-C-KREBS FR173487=Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires.pdf|page 6|'''1886-01-12''' - Brevet A. C. KREBS [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487] : &quot;'''''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires'''''&quot;.

File:1888 - Plans du moteur électrique multipolaire KREBS du Sous-marin GYMNOTE.pdf|'''1888''' - Plans du '''moteur électrique multipôlaire de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1880-1889-ALBUM-41 SHD-DE-2014-PA-40 (moteur Gymnote).jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique à 16 pôles et 2 balais de A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1888-04 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Plans de l'atelier d'essai''' du moteur électrique multipôlaire pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France).

File:1888-04 - SHD-DE-2014-PA-40 - Essais du moteur électrique multipolaire du Sous-marin GYMNOTE au Havre (France).pdf|'''1888''' - '''Essais du moteur électrique multipôlaire A. C. KREBS''' pour le '''sous-marin GYMNOTE''', au Havre (France).

File:1886-1889 - Moteur électrique de A. C. KREBS en place dans le sous-marin Gymnote.jpg|'''1888''' - Le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place dans le  '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:1889 - &quot;Gymnote&quot; submarine plan - cutaway view.png|thumb|'''1889''' - Vue en coupe du '''sous-marin GYMNOTE''' avec le '''moteur électrique de A. C. KREBS''' en place.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1886'''
|| [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1886-01-12_Brevet_A-C-KREBS_FR173487%3DCollecteur_%C3%A0_deux_balais_pour_machines_%C3%A9lectriques_multip%C3%B4laires.pdf '''FR'''173487A] 
|| ''Collecteur à deux balais pour machines électriques multipôlaires''
|-
|}

=== [[w:Canot|Le canot électrique d'essai]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Launch (boat)|'''''Canot''''']]
&lt;br&gt;'''1887''' - &quot;''Une première expérience, consistant à propulser un'' [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1887-12-10_24_623/page/9954/mode/2up?q=krebs '''''canot de la Marine'''''] ''au moyen d’une dynamo et d’accumulateurs, dut d’abord être préparée pour convaincre le Ministre de la Marine de la possibilité du fonctionnement. Cette première expérience (1887) eut lieu au Havre et réussit pleinement. Les travaux pour le sous-marin purent alors être entrepris.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;br&gt;'''1888''' - &quot;'''''Note sur un canot de 7 mètres avec machine électrique et accumulateurs''''' : ''[...] La réussite en pareille matière dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis''.&quot;

&lt;gallery&gt;
File:1887-10-15 LA-NATURE-n°750 Canot de la marine p309.jpg|'''1887''' -  '''[https://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?4KY28.29/313/100/432/5/420 Le canot électrique de la marine]'''. La coque (métallique) et '''le moteur électrique conçu par A. C. KREBS''' ont servi de test avant le sous-marin '''[[w:Gymnote (1888)|''Gymnote'']]'''. &lt;ref&gt;'''1887''' - L'Année scientifique et industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201116k/f174.item.r=krebs &quot;''Le canot électrique''&quot;]. '''Le Génie civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64825793/f9.image.r=krebs &quot;''Canot électrique de 8m85''&quot;].&lt;/ref&gt;

File:M. Gustave Zédé (1825-1891) - Ingénieur (Atelier Nadar).png|'''1890''' - M. '''Gustave Zédé''' (1825-1891) : Ingénieur (Atelier Nadar).
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le premier sous-marin pleinement fonctionnel''' ===
&quot;''Les années '''1887''' et '''1888''' furent employées à leur exécution. Le montage des machines, essayées préalablement au Havre où elles donnèrent entière satisfaction, eut lieu à Toulon sous la direction de [[w:Gaston_Romazzotti | M. Romazzotti]], ingénieur de la Marine chargé de la construction du sous-marin 'Le Gymnote'.''&quot;

&quot;''En '''décembre 1888''', je fus envoyé à Toulon pour assister aux essais. L’année '''1889''', fut employée à doter le sous-marin de dispositions particulières pour '''améliorer la vision''', et d‘un '''gyroscope électrique''' dont je fournit les plans, pour remplacer la boussole qui se trouve indifférente quand elle est à l’intérieur d’une coque en fer. 

&quot;''En '''décembre 1889''' j’assistai de nouveaux à différents essais, tout à fait concluants, à la suite desquels on mit en chantier un navire plus grand, étudié et construit directement par les Constructions Navales.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Gymnote1889.jpg|'''1888''' - 1ère version du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4774644w/f1.image.r=submarine '''sous-marin GYMNOTE''']. '''A. C. KREBS tient le mât d'aération'''. Il est peint au minium pour être mieux aperçu en plongée. &lt;ref&gt;'''1888-02-23''' - Scientific American: &quot;[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1889-02-23_27_686/page/10952/mode/2up '''''The torpedoe boat Gymnotus''''']&quot;&lt;/ref&gt;

File:1889 Arthur Krebs &amp; Jean Rey periscope for the french Gymnote submarine.jpg|'''1889''' - Le périscope de A. C.  KREBS &amp; [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.image.r=gymnote| Jean REY] '''à lentille torique''' pour le sous-marin GYMNOTE.

File:1889 Gymnote Gyroscope.jpg|'''1889''' - A. C. KREBS ajoute un moteur électrique de sa conception sur le [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n112/mode/2up?q=gyroscope '''gyroscope'''] de marine manuel  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&amp;page=428 Dumoulin] pour doter d'un  [https://archive.org/details/lesbateauxsousm01noalgoog/page/n108/mode/2up?q=gyroscope gyrocompas] le '''sous-marin GYMNOTE'''.

File:Gaston ROMAZZOTTI (1855-1915).jpg|'''Gaston ROMAZZOTTI''' (1855-1915) : ingénieur du génie maritime.

File:1880-1889 - Essais du sous-marin Gymnote en rade de Toulon.pdf|'''1888-1889''' - Essais du '''sous-marin Gymnote en rade de Toulon'''. &lt;ref&gt;'''1890-02-02''' - The Daily Colonist: &quot;[https://archive.org/details/dailycolonist18900202uvic/page/n3/mode/2up?q=gunboat '''''A Submarine Gunboat''''']&quot;&lt;/ref&gt;

File:1890 - Sous-marin Gymnote - Forçage d'un blocus en rade de Toulon.tif|'''1890''' - Sous-marin Gymnote : '''Succès d'un forçage de blocus naval''' en rade de Toulon, '''grâce au gyroscope électrique conçu par A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1894-09-08''' - Scientific American: &quot;'''''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up The problem of submarine navigation] [...] is in the hands of electrical engineers'''''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''', le grand [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|'''''Gustave Zédé''''']] est construit par la marine : ici côte-à-côte dans le bassin de Toulon. &lt;ref&gt;'''1894-09-08''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1894-09-08_71_10/page/156/mode/2up &quot;'''''French submarine torpedo boats (Gymnote &amp; Gustave Zédé)'''''&quot;].&lt;/ref&gt;

File:Verne-face.jpg|'''1896''' - [[w:Jules Verne|Jules VERNE]] -  &quot;[https://fr.wikisource.org/wiki/Face_au_drapeau/Chapitre_X '''''Face au drapeau''''']&quot;: &quot;''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:%27Facing_the_Flag%27_by_L%C3%A9on_Benett_22.jpg  il dépassait, et de beaucoup, les successeurs] des [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Goubet_submarine Goubet], [[w:Gymnote (1888)|Gymnote]], [[w:Gustave Zédé (sous-marin)|Zédé]]''&quot;.

File:1899-11-04 - Le Rire - le député veut faire un tour sur le sous-marin Gymnote mais il est trop gros.png|'''1899''' - '''Le Rire''' : Le député veut faire '''un tour sur le sous-marin Gymnote''' mais '''il est trop gros'''.

File:FMIB 47799 Sous-Marin Gymnote, construit en 1888, sur les plans de l'ingenieur Zede.jpeg|'''1902''' - Le sous-marin GYMNOTE '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-11-01_87_18/page/292/mode/2up?q=gymnote  torpille avec succès] le [[w:Jauréguiberry (cuirassé)|cuirassé &quot;Jaureguiberry&quot;]] et le [[w:Amiral Charner (croiseur cuirassé)|croiseur &quot;Amiral Charner&quot;]]'''.
&lt;/gallery&gt;
=== Le moteur électrique transportable ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Canet artillery|'''''Artillerie Canet''''']], [[commons:Category:Arme militaire fabriquée en France|'''''Arme militaire fabriquée en France''''']]

'''1885-1890''' - &quot;''C’est pendant cette période que j’étudiai un moteur électrique portatif pour actionner les perceuses employées sur les navires en construction à percer les trous dans les tôles qui doivent être ensuite réunies par des rivets. De même, des moteurs électriques actionnant les ventilateurs faisant circuler l’air dans toutes les parties des navires etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1885-03-18 - Moteur électrique transportable 60kgm - plans de A. C .KREBS.pdf|'''1885-03-18''' - '''Moteur électrique transportable''' de 60 kgm : Plans de A. C.KREBS.

File:1886-03-21 Brevet A-C-KREBS FR175023=Moteurs dynamo-électriques légers transportables.pdf|page 6|'''1886-03-21''' - Brevet A. C. KREBS '''FR'''175023 : '''Moteurs dynamo-électriques légers transportables'''.

File:1890-10-18 Génie-Civil canon-CANET moteur-électrique-Krebs.png|'''1890''' - Génie-Civil : Le [[w:Canon Canet|'''canon de marine CANET''']] de 15 cm à tir rapide avec '''les moteurs de pointage électriques''' conçus par A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1890''' - Le Génie civil : '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6473131x/f1.item.r=krebs ''Application de l'électricité au pointage des canons''.]'''&lt;/ref&gt;

File:1893-05-20 - Moteur électrique transportable pour perceuses de A. C .KREBS.pdf|'''1893-05-20''' - Moteur électrique transportable '''pour perceuses''' de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''07/01/1893''' - La revue industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98228384/f114.item Les perceuses électriques]. &lt;/ref&gt;

File:1896 - Ventilateur électrique de A. C. KREBS sur les navires de guerre.jpg|'''1896''' - '''Ventilateur électrique''' de A. C. KREBS '''sur les navires de guerre'''. &lt;ref&gt;'''1896''' - Les applications mécaniques de l'énergie électrique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k124730z/f278.item &quot;'''Ventilateur électrique''' à bord du croiseur ''Dupuy-de-Lôme''&quot;]&lt;/ref&gt;

&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1886'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1886-03-21_Brevet_A-C-KREBS_FR175023%3DMoteurs_dynamo-%C3%A9lectriques_l%C3%A9gers_transportables.pdf '''FR'''175023A] 
|| ''Moteurs dynamo-électriques légers transportables''
|-
|}
== [[w:Exposition universelle de 1889|'''L'Exposition Universelle de Paris - 1889''']] ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1889)|'''''Exposition Universelle (1889)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de 1889]]
&lt;gallery&gt;
File:1888-09-17 - Pelurier de KREBS - dynamo de l'Exposition Universelle de 1889.pdf|page 2|'''1888''' - Pelurier de A. C. KREBS: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f266.image.r=krebs '''dynamo de l'Exposition universelle de 1889'''].

File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - La chaudière à vapeur DURENNE &amp; KREBS de l'Exposition de 1889.jpg|'''1888''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f287.image.r= '''La chaudière DURENNE &amp; KREBS'''] de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']].

File:1890-01-04 - Revue-Industrielle - Machine à vapeur compound et dynamo électrique de A. C. KREBS.jpg|'''1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97674385/f306.item.r=krebs&amp;durenne '''Le moteur à vapeur compound et la dynamo'''] de A. C. KREBS de l'[[w:Exposition universelle de 1889|Exposition universelle de '''1889''']].

File:Béroud - Le dôme central de la galerie des machines à l'exposition universelle de 1889 - P2314 - Musée Carnavalet.jpg |'''1889''' - A. C. KREBS conçoit la machine à vapeur et la dynamo qui ont produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''].

File:Exposition Universelle, Paris, France, 1889 (2852571017).jpg|'''1889''' - Exposition Universelle de Paris : '''Le dôme central du Palais de l'industrie''' et de la Galerie des Machines.

File:Alexandre-Georges Roux - Fête de nuit à l'Exposition universelle de 1889, sous la tour Eiffel - P1994 - Musée Carnavalet.jpg | Fête de nuit à l' [https://archive.org/details/cu31924107177093/page/n7/mode/2up?q=krebs Exposition universelle de '''1889'''] sous la Tour Eiffel.

File:Panorama du Champ de Mars, Paris Exposition, 1889 (illuminated) (14197259007).jpg|'''Panorama du Champ de Mars''', [https://www.loc.gov/pictures/search/?q=exposition+1889&amp;sp=1&amp;sg=true&amp;st=gallery Exposition Universelle de Paris, '''1889'''] avec la Tour Eiffel illuminée.

File:Eiffel Tower and Exposition Universelle at night, Paris, 1889.jpg|'''1889''' -  Vue de la Tour Eiffel et du terrain de l'Exposition Universelle du Champ de Mars la nuit.

File:Georges Garen embrasement tour Eiffel.jpg|'''1889''' - &quot;'''''Embrasement de la Tour Eiffel pendant l’Exposition universelle de 1889'''''&quot;: tableau de Georges Garen.

File:L'Exposition universelle de 1889 - grand ouvrage illustré, historique, encyclopédique, descriptif (IA lexpositionunive02mono).pdf|page 36|'''1889''' - Exposition de '''l'établissement central d'aérostation militaire''' de Chalais-Meudon avec '''le dirigeable de Renard et Krebs'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1889''' - Lors de l'Exposition Universelle , A. C. KREBS :

* Est membre du [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6476583z/f15.image.r=krebs   &quot;Comité Technique des Machines&quot;].

* Organise [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5656967z/f436.image.r=pompiers  la sécurité incendie dans toute l'Exposition] et saisit cette occasion pour tester son nouvel avertisseur d'incendie.

* Est nommé membre du comité d'organisation du [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?8XAE331.24/5/100/38/0/0 Congrès International des pompiers officiers et sous-officiers].

* Conçoit le '''moteur à vapeur compound''' DURENNE &amp; KREBS et la '''dynamo électrique''' construite par la  [[w:Forges et chantiers de la Méditerranée|Société des Forges et Chantiers]] dont [[w:Gustave Zédé|Gustave Zédé]] est administrateur, qui produit l'éclairage du dôme central de la [https://www.bie-paris.org/site/fr/1889-paris '''Galerie des Machines'''] de l'Exposition Universelle de Paris en '''1889''', exposition qui inaugure la tour de l'ingénieur [[w:Tour Eiffel|'''Gustave EIFFEL''']].
== La réorganisation du service incendie de la &quot;'''''Ville de Paris'''''&quot; ==
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|'''''Brigade de sapeurs-pompiers de Paris''''']], [[commons:Category:History of firefighting|'''''Histoire de la lutte contre l'incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|Brigade de sapeurs-pompiers de Paris]], [[w:Lutte contre l'incendie|Lutte contre l'incendie]]
&lt;br&gt;'''1884-1897''' - &quot;''Il serait trop long de m’étendre sur les travaux réalisés pendant les 12 années (1885-1897) que j’ai passées dans ce corps. Après  [https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques#Voyages_d'%C3%A9tudes_en_Europe_et_en_Am%C3%A9rique plusieurs voyages d’études aux États-Unis d’Amérique] ''['''1885''' and '''1895''']'' et en Europe ''['''1884''', '''1885''' et '''1891''']'', je fus conduit à faire des propositions : mais cette fois, la tâche n’était plus la même.''&quot;

&quot;''Les propositions étaient discutées dans des commissions et, avant d’arriver à l’exécution, il fallait les faire triompher. Je réussit à les faire accepter et le résultat fut'' ''''' de transformer complètement l’organisation du Service Incendie ainsi que son matériel'''''.&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;  &lt;ref&gt;'''1901''' - Revue municipale : &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61398922/f1.item.r=%22sapeurs-pompiers%22 Sapeurs-pompiers de la ville de Paris]&quot;, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k54352216/f2.item.r=casque suite.] .&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;'''2023''' - '''Damien Grenèche''' (thèse) : &quot;[https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1 ''Sapeurs-Pompiers de Paris, '''1811-1967''' : construction d'une élite et d'une identité singulière].&quot; &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1891-A-C-KREBS=portrait en uniforme de pompier.jpg |'''1891''' - '''A. C. KREBS''' : portrait en uniforme de pompier à l'occasion de ses 10 ans de mariage et de sa nomination de '''Major Ingénieur''' au Régiment de sapeurs-pompiers de Paris.

File:1900~Pompiers=sauvetage-1.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Sauvetage'''&quot; dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=la grande échelle-2.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris :  &quot;'''La grande échelle'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=manoeuvre d'ensemble-3.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''manœuvres d'ensemble'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=poste central-4.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Poste central, appel au feu'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS.

File:1900~Pompiers=le gymnase-6.jpg|'''1900''' ~ Sapeurs-pompiers de Paris : &quot;'''Le gymnase'''&quot;  dans le cadre de la réorganisation de A. C. KREBS. &lt;ref&gt;Depuis '''1895''' réussir le test de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96376025/f89.image la planche à rétablissement] est devenu [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k940510p/f365.item.r=planche obligatoire chaque matin] pour [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5422697h/f5.item.r=%22planche%20a%20retablissement%22 les pompiers parisiens], jusqu'à [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BSPP_-_Test_de_la_planche_%C3%A0_r%C3%A9tablissement.webp aujourd'hui].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== La pompe d'incendie à vapeur  '''[https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/130621 DURENNE] &amp; KREBS''' ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Durenne &amp; Krebs fire engine|'''''Pompe d'incendie Durenne &amp; Krebs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]]
&lt;gallery&gt;
File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-1.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-2.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-3.jpg|'''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:Pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs, modèle 1888-4.jpg| '''1888''' - Pompe à vapeur d'incendie DURENNE &amp; KREBS.

File:1892 Portefeuille-économique=Pompe Durenne &amp; Krebs 1888.pdf|'''1892''' - &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f243.item.r Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle de '''1888''')]'' de '''MM. Durenne &amp; Krebs'''.&quot;

File:Jean-François Durenne Durenne Constructeur 1897.jpg|'''1897''' - '''Jean-François DURENNE''' (1821-1909) près du moteur à vapeur DURENNE &amp; KREBS

File:La voiture Pompe à vapeur Durenne et Krebs.jpg|'''1900''' ~ La voiture Pompe à vapeur DURENNE &amp; KREBS '''attelée'''.

File:1903 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS.pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris utilise la chaudière à vapeur '''DURENNE &amp; KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1904''' - The Engineering Magazine - The International Automobile Exposition at Paris : '''''[https://archive.org/details/factoryindustria27newy/page/76/mode/2up?view=theater Automobile Fire Engine of the Paris Fire Department]'''''.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1904''' - The Engineer: &quot;''The boiler is of the type invented by [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/130/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 M. Durenne and Commandant Krebs] and improved by M.M. [https://archive.org/details/sim_engineer_january-1-june-24-1904_97/page/n3/mode/2up?q=weyher Weyher et Richemond] to facilitate the cleaning of the tubes''&quot;.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1904''' - La Nature: ''' [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.62/238/70/536/5/420 Les pompes à incendie automobiles]'''.&lt;/ref&gt;

File:1904 - AUTOMOBILE FIRE STEAM PUMP OF THE PARIS FIREFIGHTERS (schemas).pdf|'''1903''' - '''La pompe d'incendie automobile''' des pompiers de Paris ('''schemas''') qui utilise la chaudière DURENNE &amp; KREBS.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
|-
| '''1888'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf '''FR'''189962] 
|| ''Chaudière multitubulaire à tubes curvilignes dilatables à circulation automatique et rapide''
|-
| '''1889'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-21_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] 
|| 
|-
| 
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-04-14_Brevet-Durenne%26Krebs_FR189962-certificat-1889-08-29_chaudi%C3%A8re-tubulaire-tubes-curvilignes.pdf Certificat d'addition] 
|-
|  '''1890'''
|| [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?arko_default_63f395e1547dd--ficheFocus=&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bq%5D%5B%5D=208718&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653 '''FR'''208718]
|| [https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n104/mode/2up?q=durenne ''M. DURENNE, pour une pompe à vapeur, système Durenne &amp; Krebs''] ([https://archive.org/details/descriptiondesm14commgoog/page/n182/mode/2up?q=durenne Dessins]).
|-
|}
=== [https://archive.org/details/BSG_8VSUP2176 Voyages d'études en Europe et en Amérique] ===
'''1885-11-26''' - '''New York Times''' : &quot;''Parmi les passagers du paquebot français  [[w:La_Normandie_(paquebot_de_1883)|'''Normandie''']], qui ont embarqué hier pour le Havre, on comptait le Contre-amiral Baldwin, de la marine américaine ; [[w:Auguste Bartholdi|'''A. Bartholdi''']], le scuplteur ; le baron Hulot, le '''Capt. Krebs''', l'Abbé Gaudin, le Capt. Garcin, M. Martin Clerc, M. [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']].''&quot;

'''1895-09-10''' - '''New York Times''' : &quot;''Trois Français qui étudieront les méthodes utilisées dans ce pays: le [https://fr.wikipedia.org/wiki/Brigade_de_sapeurs-pompiers_de_Paris#Liste_des_chefs_de_corps_commandant_le_r%C3%A9giment_de_sapeurs_pompiers_de_Paris_(de_1866_%C3%A0_1967) Col. Varigault], le '''Commandant Krebs''', et le   [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/90324#show Capt. Cordier], officiers du [[w:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris|corps des sapeurs-pompiers de Paris]], arrivés dans cette ville samedi dernier avec le paquebot [[w:La Touraine (paquebot)|'''La Touraine''']] pour commencer une tournée des principales villes des États-Unis dans le but d'enquêter sur les méthodes adoptées dans divers services d'incendie.''&quot;

'''1895-11-06'''- '''Quebec Morning Chronicle''' : &quot;Le ''Colonel Varigault, le '''Commandant Krebs''' et le   [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Capitaine Cordier], du Service des sapeurs-pompiers de Paris, sont revenus hier à New York après une tournée de deux mois aux États-Unis et au Canada dans le but d’inspecter les services d’incendie des grandes villes. Le colonel Varigault a été vu ce matin. Il a déclaré : « Nous avons visité New York, Boston, Montréal, Cleveland, Chicago, Saint-Louis, la Nouvelle-Orléans, Cincinnati, Pittsburg et Washington. Nous avons été reçus partout avec la plus grande gentillesse et notre voyage a été un succès complet. Le Service des sapeurs-pompiers de New York est bien en avance sur tous ceux que nous avons vus dans ce pays, tant en termes d’équipement que de discipline. Ensuite, je devrais nommer Boston, bien que Montréal ne soit pas loin derrière. Chicago et San Francisco sont également bons. Mais je ne vois pas comment le Service des sapeurs-pompiers de Chicago pourrait lutter contre un incendie dans l’un de ses hauts immeubles. »''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1885-10-03=1885-11-25 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1885''' - Trajet du voyage en Amérique du Colonel Couston, du capitaine-ingénieur A. C. Krebs des pompiers de Paris, et de son beau-frère [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Charles de Fréminville]], '''du 3 octobre au 18 novembre 1885'''.

File:1895 Pompiers de Paris=voyages en Amérique d'Arthur Constantin KREBS - EN.png | '''1895''' -  Trajet du voyage en Amérique du Colonel Varigault, du Commandant A. C. Krebs et du capitaine-ingénieur Cordier des pompiers de Paris, '''d'août à octobre 1895'''.

File:1895-10-31-Evening-Star=voyage des pompiers de Paris en Amérique=Varigault+Krebs+Cordier 'amis-des-cubains'.png |'''1895-10-31''' - Evening-Star (Washington) : Col. Varigault, Commandant Krebs and Capitan Cordier &quot;'''''leaders among the friends of Cuban freedom in the south'''''&quot;.

File:1895-11-18 The New York herald-Paris='Changes for Paris firemen'.png |'''1895-11-18''' - The_New-York herald Paris: &quot;'''''Changers for Paris firemen'''''&quot; (Colonel Varigault, Commander Arthur Constantin Krebs and Captain Cordier).
&lt;/gallery&gt;
==== L'avertisseur d'incendie ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Fire alarms|'''''Alarmes incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Alarme incendie|Alarme incendie]], [[w:Téléphone|Téléphone]], [[w:Louis_Lépine|Louis_Lépine]]
&lt;gallery&gt;
File:1888 A-C-KREBS=système Krebs de téléphone pour les avertisseurs du service incendie de la ville de Paris.jpg|'''1888''' - [https://archive.org/details/electricalengin05unkngoog/page/n14/mode/2up?q=krebs Le '''téléphone système A. C. KREBS'''] pour les bornes d'appel incendie de la ville de Paris, sert aussi de &quot;'''ronfleur'''&quot; pour prévenir les passants de son utilisation.

File:1888-07-27 Brevet A-C-KREBS FR192070=Système de téléphone.pdf|page=7|'''1888-07-27''' - A. C. KREBS Brevet '''FR'''192070: &quot;''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques, concentriques égales''&quot;.

File:1892-05-28 Génie-Civil Pompiers=avertisseur-Digeon+téléphone-Krebs.jpg|'''1892''' - '''Col. Varigault''' :&quot;''A Paris, chacun de [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6474130t/f2.item.r=krebs '''nos avertisseurs publics d'incendie'''] est relié à un centre de secours qui, en même temps que l'alarme est donnée, reçoit, grâce à un téléphone ''[A. C. KREBS]'' installé dans l'avertisseur lui-même, des informations sur la nature du sinistre et le lieu où il s'est déclaré.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-03-19''' -  Procès verbal du '''Comité de perfectionnement''' du régiment de sapeurs-pompiers de Paris : [http://rytmo.net/ACK/1896-03-19_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf Rapport du voyage du colonel Varigault, du commandant Krebs et du capitaine Cordier en Amérique pour les pompiers de Paris en '''1895'''].&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;'''1893-11-25''' - Scientific American: [https://archive.org/details/scientific-american-1893-11-25/page/n3/mode/2up?q=alarms  '''New Fire Alarm'''].&lt;/ref&gt;

File:1894-12-27 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=plan de la répartition des avertisseurs.jpg|'''1894-12-27''' - Comité de perfectionnement des sapeurs-pompiers de Paris : plan de la '''répartition des avertisseurs d'incendie conçus par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1888'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1888-07-27_Brevet_A-C-KREBS_FR192070%3DSyst%C3%A8me_de_t%C3%A9l%C3%A9phone.pdf '''FR'''192070A] 
|| ''Système de téléphone à champ magnétique fermé avec plaques à section cylindriques concentriques égales''
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|}
==== Le compresseur d'air hydraulique ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Trompes|'''''Trompes hydrauliques''''']], [[commons:Category:Venturi effect|'''''Effet Venturit''''']], [[commons:Category:Bernoulli's principle|'''''Théorème de Bernoulli''''']], [[commons:Category:Fluid dynamics|'''''Dynamique des fluides''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Trompe hydraulique|Trompe hydraulique]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Dynamique des fluides|Dynamique des fluides]]
&lt;gallery&gt;
File:1889-02-16 Brevet A-C-KREBS FR196134=Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels.pdf|page 10|'''1889''' - Pompiers de Paris : Le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS (Brevet [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] ).

File:1893 - Pompiers de Paris - casque respiratoire.png|'''1893''' - Pompiers de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k323907b/f244.image.r=casque%20respiratoire '''le casque respiratoire'''] alimenté avec le '''compresseur d'air hydraulique''' conçu par A. C. KREBS.

File:1900 ~ Pompiers de Paris - Le compresseur d'air pour 'un feu de cave'.jpg|'''1900''' ~ Paris Fire Brigade - Le '''compresseur d'air''' pour &quot;'''un feu de cave'''&quot; conçu par A. C. KREBS'''.

File:1900_-_Le_mat%C3%A9riel_des_Pompiers_%C3%A0_l%27Exposition_Universelle.jpg|'''1900''' - La lampe électrique, '''le compresseur d'air et le ventilateur hydrauliques conçus par A. C. KREBS''', le casque respiratoire.

File:St. Nicholas (serial) (IA stnicholasserial402dodg).pdf|page 552|'''1913''' - Coups-d'œil sur les services incendies à l'étranger : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASt._Nicholas_(serial)_(IA_stnicholasserial402dodg).pdf&amp;page=551 &quot;'''''Un casque respiratoire à Paris'''''&quot;].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1889'''
|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1889-02-16_Brevet_A-C-KREBS_FR196134%3DAppareil_producteur_d%27air_comprim%C3%A9_pour_fournir_de_l%27air_aux_personnes_situ%C3%A9es_dans_un_milieu_irrespirable_et_pour_tous_usages_industriels.pdf '''FR'''196134A] 
|| ''Appareil producteur d'air comprimé pour fournir de l'air aux personnes situées dans un milieu irrespirable et pour tous usages industriels''
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|}
==== Théorie de la pompe [à piston creux] à un seul clapet ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Pumps|'''''Pompes''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Pompe|Pompe]]
&lt;gallery&gt;
File:1888-11-03 Revue-Industrielle=Pompe mono-clapet.jpg |'''1886-01''' - Alors qu'il est major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9788785q/f449.image.r=krebs A. C. KREBS décrit  '''la théorie complète de la pompe à un seul clapet''']

File:1886 LA-NATURE=Théorie de Arthur Constantin KREBS de la pompe à un seul clapet.png |'''1886''' - A. C. KREBS, major ingénieur au régiment de sapeurs-pompiers de la ville de Paris décrit '''la théorie de  [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/265/100/432/5/420 la pompe à piston creux à un seul clapet]'''. &lt;ref&gt;'''1885''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.24/115/100/432/8/420 La pompe sans piston] ou pompe chinoise. '''1886''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.27/179/100/432/5/420 La pompe sans piston].&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
==== Autres appareils d'incendie ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brigade de sapeurs-pompiers de Paris equipment|'''''Équipement de la Brigade de sapeurs-pompiers de Paris ''''']], [[commons:Category:Équipement anti-incendie|'''''Équipement anti-incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Hydrant|Hydrant]], [[w:Tuyau d'incendie|Tuyau d'incendie]]
&lt;gallery&gt;
File:1900 - Exposition Universelle - La chèvre de levage des Pompiers de Paris.png|'''1900''' - La '''chèvre de levage''' et le  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.item.r=krebs matériel d'incendie exposé lors de l'Exposition universelle] de Paris.

File:La voiture Grande échelle.jpg|'''1900''' ~ La voiture Grande échelle.

File:Grande échelle Gugumus en action.jpg|'''1900''' ~ La grande échelle en action.

File:Lances à l'exercice.jpg|'''1900''' ~ Lances à l'exercice.

File:Le départ attelé réglementaire.jpg|'''1900''' ~ Le départ attelé réglementaire.

File:Le dévidoir.jpg|'''1900''' ~ Le dévidoir.

File:10 Entretien des tuyaux.jpg|'''1900''' ~ Entretien des tuyaux.

File:1900~Pompiers=Le ventilateur hydraulique inventé par A-C KREBS.jpg| '''1895''' ~ Le '''ventilateur hydraulique''' conçu par A. C. KREBS restera utilisé jusqu'en '''1935'''.
&lt;/gallery&gt;
=== La réorganisation des périmètres d'incendie ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Firefighting|'''''La lutte contre l’incendie''''']], [[commons:Category:Pompier|'''''Pompier''''']], [[commons:Category:Service de secours en France|'''''Service de secours en France''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Service départemental d'incendie et de secours|Service départemental d'incendie et de secours]], [[w:Lutte contre l’incendie|Lutte contre l’incendie]], [[w:Pompier|Pompier]], [[w:Sapeur (pompier)|Sapeur (pompier)]]
'''2015''' - &quot;''La réponse que Krebs propose pour résoudre l’équation porteuse de toutes les variables qu’il a identifiées se nomme « vitesse ». Ce n’est plus la position de proximité physique du pompier près du sinistre qui va lui assurer son efficacité maximum, c’est la vitesse avec laquelle l’organisation globale du service saura faire parvenir sur les lieux du sinistre la juste quantité de matériel et de personnel, d’où que proviennent ce matériel et ce personnel. Si la proximité fige l’organisation et limite les possibilités d’adaptation, les capacités de la vitesse sont, quant à elles, potentiellement illimitées.''.&quot; &lt;ref&gt;'''2015''' - Philippe Krebs, &quot;'''''L’ingénieur Krebs (1850-1935) ou comment traduire le fluide électrique'''''&quot;, Artefact [En ligne], HS 01 | 2015, mis en ligne le 30 avril 2021, consulté le 09 avril 2026. URL : http://journals.openedition.org/artefact/7663 ; DOI : https://doi.org/10.4000/artefact.7663&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;'''1889''' - '''Comité de perfectionnement du régiment de sapeurs-pompiers de Paris''' : &quot;''Les surfaces des périmètres défendus chacun par un poste sont proportionnelles au carré des vitesses avec lesquelles ces postes peuvent se transporter et, comme conséquence immédiate et très importante, le nombre des postes à placer sur une surface donnée est inversement proportionnel au carré de ces mêmes vitesses de déplacement. Ainsi, un système de transport qui permettrait d'aller deux fois plus vite qu'un autre exigera quatre fois moins de postes pour arriver dans le même temps.''&quot; &lt;ref name=1889_Comité /&gt;

'''1896-05-20''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7510386f/f2.item.zoom '''L'accident de l'Opéra'''] - Le câble d'un contre-poids de 625 kg du lustre de l' [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|Opéra de Paris]] se rompt au milieu d'une représentation et fait une chute de 12m en traversant plusieurs niveaux et en tuant une personne : &quot;''La version du major Krebs, du régiment des sapeurs-pompiers, paraît toutefois des plus vraisemblable : sous l'action d'un contact de courant, les fils supportant le contrepoids de l'appareil de ventilation se sont échauffés, sont devenus élastiques et, chaque fil, n'ayant plus que la consistance de macaroni cuit, s'est rempu sous le poids qu'il était chargé de supporter. Les fils du câble n'ont pas été chauffés jusqu'à la fusion, mais ils sont étirés et les sections sont inégalement placées.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1896-05-22''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4683851/f2.item.r=krebs Journal des débats politiques et littéraires]: &quot;''Accident à l'Opéra''&quot;.&lt;/ref&gt; &quot;''Par une coïncidence bizarre, [[w:Charles Garnier (architecte)|M. Garnier]], l'architecte de l'Opéra, est rentré à Paris ce matin. Il a assisté aux délibérations de la commission.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-05-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k548084f/f4.image.r=garnier La Presse]: &quot;''L'accident de l'Opéra''&quot;.&lt;/ref&gt; 
&lt;br&gt;&lt;br&gt;'''2023''' - Le plan Krebs de réorganisation des secours est toujours en application à Paris : &quot;'''Couverture opérationnelle''' - ''Stratégie mise en place dès '''1885''' avec l’adoption d’un plan de modernisation matérielle et organisationnelle. Le découpage de la capitale en 24 secteurs, le maillage formé par les bornes avertisseurs et les bouches incendie, la mise en place du départ attelé et la construction des nouveaux postes de secours ont contribué à élever ce plan de défense contre les incendies''.&quot; &lt;ref&gt;'''Damien Grenèche'''. ''Sapeurs-Pompiers de Paris, 1811-1967 : construction d’une élite et d’une identité singulière''. Thèse d'Histoire. Université de Lorraine, 2023. Français. NNT : 2023LORR0323. tel-04661041 : https://hal.univ-lorraine.fr/tel-04661041v1&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
1881 'Le Feu à Paris et en Amérique' par le colonel Paris commandant le régiment des sapeurs-pompiers de Paris-.png|'''1881''' - &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63812464/f237.item.r=%22Le%20Feu%20%C3%A0%20Paris%20et%20en%20Am%C3%A9rique%22 '''''Le Feu à Paris et en Amérique''''']&quot; par le colonel Paris commandant le régiment des Sapeurs-pompuiers de Paris - carte de la répartition des secours incendie à Paris avant la réorganisation de A. C. KREBS : &quot;''Les parties teintées sont celles qui sont incomplètement protégées aujourd'hui''&quot;.

1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''.

File:1903 Larousse=Pompiers.png |'''1903''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris.

File:1923 Larousse=Pompiers.jpg |'''1923''' - Encyclopédie Larousse : Arthur Constantin KREBS a entièrement réformé le matériel et l'organisation des sapeurs-pompiers de la ville de Paris (suite).

File:1894-04-28 Pompiers tableau-Detaille 'Victimes-du-devoir' esquisse-couleur RMN.png |'''1894-04-28''' [http://www2.culture.gouv.fr/Wave/image/archim/0007/dafanch99_76630603_2.jpg  &quot;''Victimes-du-devoir''&quot;] esquisse du  [https://archive.org/details/douarddetaille00detauoft/page/n25/mode/2up tableau] de [[W:%C3%89douard_Detaille|Edouard Detaille]] qui représente une intervention des sapeurs-pompiers de Paris à l'époque de la réorganisation de A. C. KREBS. La pompe Durenne &amp; Krebs est visible en arrière-plan. &lt;ref&gt;''Les victimes du devoir'' - [https://www.photo.rmn.fr/CS.aspx?VP3=SearchResult&amp;VBID=2CMFCI7M9AE4D&amp;SMLS=1&amp;RW=1600&amp;RH=789 Detaille Jean-Baptiste-Edouard (1848-1912)] - Réunion des musées nationaux - Grand-Palais (Paris)&lt;/ref&gt;

File:The Opera House, Paris, France ca. 1890-1900.jpg |'''1896-05-20''' - Un contrepoids de  625 kg counterweight du [[W:Le_Fant%C3%B4me_de_l%27Op%C3%A9ra#/media/Fichier:Palais_Garnier_auditorium_chandelier_-_Nuitter_1875_p147.jpg|chandelier]] de [[W:Op%C3%A9ra_national_de_Paris|l'Opéra de Paris]] chute en pleine représentation et tue une personne. [[W:Gaston_Leroux|Gaston Leroux]] reprendra cet événement dans son roman [https://en.wikipedia.org/wiki/The_Phantom_of_the_Opera  &quot;'''Le fantôme de l'Opéra'''&quot;].

File:Le Petit Journal - Bazar de la Charité.jpg | '''1897-05-04''' - '''[[w:Bazar de la Charité|L'incendie du Bazar de la Charité]]''' : &quot;''Les sapeurs-pompiers de Paris arrivent sur les lieux en à peine dix minutes pendant que des grappes humaines surgissent du bazar transformé en brasier, par les deux seules portes d'accès dont l'une, celle de gauche, sera rapidement bloquée par des corps.''&quot;

File:Btv1b8433337w-p014.jpg |'''1900-03-08''' - &quot;''L'incendie du Théâtre-Français''&quot;: La pompe d'incendie [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Durenne_%26_Krebs_fire_engine '''&quot;Durenne &amp; Krebs&quot;'''] (fabriquée par [https://data.bnf.fr/14536469/societe_des_etablissements_weyher_et_richemond/ Weyher &amp; Richemond]) en opération.

File:Btv1b8433337w-p015.jpg |'''1900-03-08''' - &quot;''L'incendie du Théâtre-Français''&quot;: La '''grande échelle &quot;[[W:Gugumus|Gugumus]] &amp; Krebs&quot;''' en opération.
&lt;/gallery&gt;
=== La '''voiture système KREBS''' et [[w:Émile_Levassor|'''Émile LEVASSOR''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Voiture système Krebs|'''''Voiture système Krebs''''']]
&lt;br&gt;'''1894''' - [[w:Paris-Rouen (automobile)|'''La course Paris-Rouen''']] : &quot;''J'étais présent le 18 juillet 1894, le matin, au départ des véhicules automobiles engagés dans la course du Petit Journal. Le départ a eu lieu à la Porte Maillot. Au moins 20 véhicules se sont présentés au départ.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

Le 28 novembre '''1894''', le Conseil municipal de Paris accepte la proposition de A. C. KREBS d’étudier l’application des moteurs à pétrole à la traction des voitures d’incendie, en remplacement des chevaux. Le Conseil alloue les crédits et ajoute : &quot;''Il ne faut pas craindre de demander largement le nécessaire''.&quot; &lt;ref&gt;
'''28/11/1894''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1894-11-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des sapeurs pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;

'''1895''' - A. C. KREBS est '''présent lors du retour de Levassor''' pour la '''course Paris-Bordeaux-Paris'''. &lt;ref&gt;'''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=30 '''Témoignage d'A. C. KREBS'''] lors du '''procès Selden à New-York''' :'' '''Q35'''. Were you at one or more automobile races in 1895? '''A35'''. Yes, I recall well in the Paris-Bordeaux-Paris race the return of the two passenger vehicle  which was driven by Monsieur Levassor.  That vehicle and its driver had made the trip there and return, 1175 kilometers, without stops other than those necessary to replenish with fuel, in about 48 hours. Unfortunately the first prize for the performance could not be given to it because it could not be awarded a vehicle with two passengers. Nevertheless the performance of this vehicle was considered most successful''.&lt;/ref&gt;

'''1896''' - &quot;''Vers 1894 parurent les premières voitures automobiles mues par des moteurs à essence. La locomotion automobile ayant déjà frappé mon imagination au point de vue de son application au Service Incendie, je me procurai un petit moteur auprès de la maison Panhard &amp; Levassor pour en bien étudier le fonctionnement et construisis dans l’atelier des Sapeurs-Pompiers une petite voiture d’expérience dont les changements de vitesse étaient obtenus par des embrayages magnétiques'' [brevetée en 1896]. ''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1896-05-02 A.C.KREBS automobile-patent=FR256344.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : Dessin du '''brevet d'automobile'''.

File:1896-05-13 A.C.KREBS=Brevet FR256344-'voiture-automobile'.pdf|page=10|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet d'automobile''' ('''FR'''256344).

File:Krebs Electromagnetic-Gear 1896.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Boîte de vitesse électromagnétique''' du brevet d'automobile ('''GB'''189619774A).

File:1896-11-09 BE124538=brevet belge de la voiture de A. C. KREBS.pdf|'''1896''' - A. C. KREBS : '''Brevet belge''' ('''BE'''124538).

File:Voiture système Krebs 1896.jpg |'''1896''' - '''A. C. KREBS est au guidon''' de sa voiture au Bois de Boulogne à Paris.

File:1900~Grde-Encycl=Velocipede-Angle-de-chasse.jpg|'''1896''' - A. C. KREBS introduit '''l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]]''' dans la technologie de '''la direction automobile'''.

File:1882-1898 – A. C. KREBS metallic wheel hubs.pdf|'''1882-1898''' – A. C. KREBS introduit  '''le moyeu métallique d'artillerie français''' dans la '''technologie automobile mondiale'''. &lt;ref&gt;'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n298/mode/2up '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]]: &quot;'''Raisons d'adopter des roues en bois''' : ''Le public, cependant, finit par apprendre et, une fois informé, ses préférences sont généralement judicieuses ; ainsi, en quelques années, la roue à fil de fer fut condamnée, non pas parce qu'elle était impossible à fabriquer de façon satisfaisante, mais parce qu'elle ne l'était pas, et la roue en bois devint la forme acceptée. En se tournant vers la roue en bois, cependant, les fabricants tombèrent dans l'autre extrême et adoptèrent généralement la roue désormais universelle [https://en.wikipedia.org/wiki/Artillery_wheel du type artillerie]'''''. Cette roue est utilisée pour sa robustesse, plutôt que pour sa légèreté ou son faible coût, et '''''a été largement adoptée en raison de son utilisation à l'étranger.'''''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1899 - Panhard-Levassor - roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''. &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:1899 - Panhard-Levassor - artillery wheel axle stub of C. S. Rolls' car.jpg|'''1899''' - Panhard-Levassor: '''Arbre de la Roue d'artillerie de la voiture de C. S. Rolls conçue par A. C. KREBS'''.  &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:Roue.jpg|'''1900''' ~ '''Roue d'artillerie''' de type français sur un essieu d'automobile.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 72|'''1913''' - La stabilité de route : &quot;'''''L'angle de chasse'''''&quot;.

File:Émile Levassor peu avant sa mort.jpg|'''1896-09-03''' - '''Émile Levassor''' (1843-1897) achète la licence du '''brevet d'automobile système Krebs'''.

File:WP-Rene Panhard.jpg|'''René Panhard''' (1841-1908).
&lt;/gallery&gt;
==== Sept innovations dans la technologie automobile ====
:Brevets de la voiture système Krebs : '''FR'''256344, '''GB'''189619774A, '''BE'''124538

* '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' : (voir infra)

:	&quot;''Puisque l'on sait que 3 points suffisent pour déterminer un plan.''&quot; &lt;ref name=1896_voiturette_Krebs/&gt;

:	&quot;''Suspension de bâti du mécanisme au châssis de la voiture par 3 points munis d'articulations, à l'effet de soustraire le mécanisme aux déformations que le châssis de la voiture peut avoir à supporter pendant le roulement du véhicule.''&quot;

* '''La boîte de vitesse électromagnétique avec les engrenages toujours en prise''' :

:	&quot;''J’avais imaginé cette disposition pour éviter les chocs brutaux que subissent les engrenages dans les changements de vitesse, solution qui me paraissait barbare.''&quot;

* '''Le changement de vitesses au volant''' :

:	&quot;''Le régulateur de vitesse comprend un commutateur électrique disposé sur un disque fixé au-dessous du guidon de direction sur un tube fixe renfermant la tige de direction. Un plateau mobile, muni d'un bourrelet à sa circonférence, recouvre le commutateur et établit suivant 5 positions, les communications et embrayages suivants : 1° - position de repos, circuit coupé, aucun embrayage ; 2° - 1er cran à droite, petite vitesse ; 3° - 2ème cran à droite, vitesse moyenne ; 4° - 3ème cran à droite, grande vitesse ; 5° - cran à gauche de la position de repos, marche en arrière.''&quot;

* '''La direction à crémaillère amortie''' :
:	&quot;''La direction est obtenue au moyen d'un pignon denté monté sur le rond supérieur engrenant avec un secteur denté fixé au rond inférieur. L'axe du pignon porte une roue à dents logée dans une boîte cylindrique reliée par deux tubes à la caisse de la voiture. Une seconde roue à dents, montée sur la tige de direction située à la portée du conducteur, est reliée à la première au moyen d'une chaîne sans fin passant dans les deux tubes indiqués plus haut. Dans la partie rectiligne des tubes, la chaîne est remplacée par deux tiges élestiques formées de tubes contenant des ressorts à boudin. Cette disposition a pour but de maintenir constamment la chaîne tendue et de créer un amortisseur entre les vibrations transmises à la chaîne par le roulement des roues d'avant sur un sol inégal et la tige de direction placée dans les mains du conducteur.''&quot;

* '''L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur le train avant''' :

:	&quot;''L'avant-train est formé du rond inférieur, de deux armons, de 3 ressorts et d'un essieu situé en arrière de la projection de l'axe de la cheville ouvrière d'une quantité qui peut varier du 1/7 au 1/20 de la distance qui sépare les points de contact des 2 roues d'avant avec le sol. Cette disposition a pour objet d'assurer la stabilité de route, c'est-à-dire de ramener automatiquement, en marche, le parallélisme des deux essieux, lorqu'aucune force ne tend à les maintenir dans une autre position ou qu'un effort momentané les en a écartés.''([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538]) 

* '''La roue d'artillerie française à moyeu métallique''' : voir supra.
**'''1896''' - '''Émile LEVASSOR''' à '''A. C KREBS''' : &quot;''Vous nous autoriseriez gracieusement à employer '''votre système de moyeux de roues''' &lt;ref&gt;'''1890''' - Brevet [https://bases-brevets19e.inpi.fr/brevets?detail=706217&amp;positionResult=19&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bmode%5D=simple&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_6409f820a64d8%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bop%5D=AND&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bq%5D%5B0%5D=durenne&amp;arko_default_63f395e1547dd--filtreGroupes%5Bgroupes%5D%5B0%5D%5Barko_default_698c4792c3dc7%5D%5Bextras%5D%5Bmode%5D=input&amp;arko_default_63f395e1547dd--from=0&amp;arko_default_63f395e1547dd--resultSize=50&amp;arko_default_63f395e1547dd--contenuIds%5B0%5D=838591&amp;arko_default_63f395e1547dd--modeRestit=arko_default_63f397c19a653#visionneuse-manual|/_recherche-api/visionneuse-infos/arko_default_63f395e1547dd/arko_fiche_64afd8be44c19/arko_default_63f47e41d68c8/image/687860|0|8 '''FR2'''00439] - &quot;'''Pompe, à incendie à vapeur, système Durenne et Krebs'''&quot; : &quot;''Le moyeu est en bronze, il porte deux tourteaux tournés sur le périmètre desquels sont percés des trous taraudés pour recevoir les rais. L'extrémité du moyeu du côté intérieur porte une gorge formant réservoir d'huile, entre cette extrémité et la rondelle d'essieu on interpose un cuir d'étanchéité destiné à retenir l'huile et à empêcher la rentrée des sables. L'autre extrémité porte une fraisure et un filetage dans lequel on visse un écrou complètement étanche à l'huile dans laquelle frotte la fusée d'essieu. Les rais sont en acier filetés à un bout s'implantant dans le moyeu, l'autre bout est terminé par une tête tournée, noyée sur le pourtour de la jante en fer profilé. La jante entre librement dans le bandage en fer laminé, l'embattage se faisant à froid. La jante et le bandage sont reliés par autant de boulons à têtes fraisées qu'il y a de rais, l'écrou étant à l'intérieur du bandage''&quot;.
&lt;/ref&gt; pour lequel, puisque vous dites qu'il est très bon, il pourrait être intéressant de prendre un brevet.''&quot;  &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt;
** '''1897''' - '''Levassor''' introduit le moyeu métallique de A. C. KREBS  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf&amp;page=4 dans son catalogue], et la roue d'artillerie sur sa [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-07_-_Panhard_et_Levassor_-_voiture_de_la_course_Paris-Dieppe_6cv,_2cyl_et_roues_d%27artillerie.jpg voiture de course Paris-Dieppe] en juillet.
** '''1898''' - '''A. C. KREBS''' introduit son propre système de [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898_A.C.KREBS_Album-Courses%3D8cv-4cyl_-_Paris-Amsterdam.jpg?uselang=fr roue d'artillerie pour sa voiture de course Paris-Amsterdam].
** '''1900''' - '''La controverse au sujet des roulements à billes'''
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rolling element bearings|'''''Roulements à billes''''']]
&lt;br&gt;::&quot;''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes ne donnaient aucun gain [...] Sans aucun doute, les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes défectueuses de roulements à billes.''&quot; &lt;ref&gt;
'''1900''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/349/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F349%2FstTxt%2F%26&amp;catsel1=stTxt&amp;mot_cat1=krebs&amp;ope5=AND&amp;catsel5=id&amp;mot_cat5=8XAE505&amp;var_solr_qs=2#l-349 '''Congrès International d'automobilisme''']: &quot;''M. le commandant Krebs prétend qu’il a fait monter en course 5 voitures dont deux étaient munies d’essieux patents et trois d’essieux à billes et qu’il n’a trouvé aucune espèce de différence. Les essieux à billes ne présenteraient d’avantages que dans les petites vitesses, ce qui est original''&quot;. '''1900''' - [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/794/mode/2up?q=panhard '''Automobile Magazine''']: &quot;''Panhard et Levassor, les célèbres constructeurs automobiles français, ont fait des expériences élaborées avec des roulements à billes dans des conditions de travail réel et sont arrivés à la conclusion que les roulements à billes n'apportaient aucun gain à basse vitesse, et ont également annoncé en termes généraux que la résistance de frottement des roulements de voiture ne constituait qu'une très petite partie de la résistance totale à la propulsion des voitures et que les roulements à billes pour les pièces de voiture, de moteur et de transmission sont presque universellement considérés comme inadaptés à toute utilisation dans les voitures, sauf dans les véhicules les plus légers. Il est certain qu'aucun cycliste n'utiliserait une bicyclette sans roulements à billes, et nos voitures légères américaines à vapeur, qui peuvent être considérées comme ayant atteint une forme standard plus que tout autre véhicule à propulsion mécanique, utilisent des roulements à billes dans les roues, pour le régulateur, pour le vilebrequin et pour les extrémités des manivelles des bielles. Il ne fait aucun doute que les expériences de Panhard et Levassor ont été faites avec des formes de roulements défectueuses''&quot;. '''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9815623n/f49.item.r=l '''OMNIA'''] - &quot;[...] ''Or l'on s'accorde à juger que l'amélioration d'une friction par les billes est de 10 pour 100. Par conséquent le bénéfice procuré par les billes dans ce cas ne pouvait s'appliquer qu'à 500 grammes sur 15000, c'est-à-dire faire descendre l'effort de 15 kilogrammes à 14.950 ''[?!?]''. Le résultat est donc assez pitoyable. Mais la bille ne vaut pas seulement par cette amélioration illusoire du rendement. Son mérite principal consiste dans la commodité de son emploi ; elle rend le roulement pratique. Non seulement elle permet le raccourcissement de la fusée, diminue par conséquent l'encombrement et les chances d'accrochage, mais elle n'exige plus (dans la forme &quot;annulaire&quot; tout au moins) aucun réglage ni pour l'ouvrier qui monte le roulement, ni pour le client qui l'emploie. Son entretien est à peu près nul puisque, si la fusée Brevet demande une nouvelle charge d'huile tous les 150 à 200 kilomètres environ, une fusée à billes roule parfaitement 2 à 3000 kilomètres sans qu'on ait à se soucier d'elle.''&quot;&lt;/ref&gt;
* '''L'abaissement du centre de gravité du châssis'''
: '''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne &amp; Krebs''' : &quot;''Rapprocher le plus possible, du centre de gravité de la voiture, les masses qui la composent, afin de diminuer le moment d'inertie du véhicule dans le plan horizontal. Il en résulte pendant la traction, et, surtout dans les tournants aux grandes allures, une moindre fatigue des essieux et des roues.'''.''&quot; &lt;ref name=portefeuille/&gt;
'''1896-09-03''' - '''Emile LEVASSOR''' achète la licence du brevet d'automobile ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538]) de A. C. KREBS avec la boîte de vitesses électromagnétique, la suspension par 3 points, l'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] et d'autres innovations. &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt;
'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : &quot;''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique'' [...] ''en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''&quot; &lt;ref&gt;'''1896-12-22''' - '''Emile Levassor''' à '''Gottlieb Daimler''' : &quot;''Pour la voiture avec changement de vitesses électrique, je vous assure que c'est une chose à examiner. Et il est bien fâcheux qu'à votre dernier voyage vous n'ayez pu avoir le temps nécessaire pour cet examen. Nous pensons que vous pourriez traiter avec l'inventeur en donnant une somme fixe et en payant une Royalty par voiture. C'est ainsi que nous avons traité. J'espère que vous trouverez occasion de venir à Paris pour établir votre jugement et en voyant cette seule voiture vous pouvez être certain que vous en verrez bien plus que ce que vous avez pu voir en Angleterre dans vos différents voyages.''&quot; ([https://recherche-anmt.culture.gouv.fr/archives/archives/fonds/FRANMT_IR_186_AQ_2006_47/view:fonds/n:3 Archives Nationales du monde du Travail])&lt;/ref&gt;

==== La suspension par trois points ====
*'''1888''' - '''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris (modèle 1888) par MM. Durenne &amp; Krebs''' : &quot;''Le mécanisme est relié au châssis par trois points avec interposition d'une matière élastique permettant la déformation des châssis sans fausser les pièces de l'ensemble. La chaudière est aussi fixée par '''trois points seulement'''.''&quot; &lt;ref name=portefeuille/&gt;

*'''1896''' - '''La généralisation du système de suspension par 3 points (moteur et chassis)''' sur la ''voiture système Krebs'' (voir supra).

*'''1898''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) (voir infra).

*'''1901''' - Brevet de la boîte de vitesses suspendue par trois points (voir infra).
==== Les systèmes de direction des véhicules ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Steering|'''''Direction (automobile)'''''&quot;]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Direction (automobile)|Direction (automobile)]]
&lt;br&gt;En '''1898''' A. C. KREBS remplace '''la queue de vache de Levassor''' par '''un volant incliné''' dans les voitures de course qu'il conçoit pour la course  [[W:Paris-Amsterdam-Paris|'''Paris-Amsterdam-Paris''']] qui se déroule du 7 au 13 juillet 1898. Fernand Charron gagne cette course sur une 4 cylindres Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1915''' - [https://archive.org/details/automobilebooka00homagoog/page/n18/mode/2up?q=lever+steering '''The Automobile Book''' : A Practical Treatise on the Construction, Operation and Care of Motor Cars] by [[w:Duryea_Motor_Wagon_Company|Charles E. Duryea]] : '''''Direction au volant et à levier''''' — &quot;''La direction au volant est la forme la plus répandue et la plus adaptée à la vitesse ou au service en ligne droite, mais pour une utilisation en ville ou sur de courts trajets, le levier, utilisé sur pratiquement tous les véhicules électriques, est le plus pratique. L'impression que la direction à levier ne convient pas, sauf pour les véhicules les plus légers, est fausse, comme le prouve cette utilisation électrique. La maniabilité avec laquelle on peut accélérer avec un levier le place loin devant le volant, tandis que son action est plus rapide et plus sûre en ville et en conduite rapprochée. Qu'il ne faille pas le craindre pour les travaux rapides est prouvé par le fait que la voiture à vapeur Stanley qui a fait le mile le plus rapide en ligne droite il y a quelques années, à Ormond Beach, était une voiture à direction par levier.''&quot;&lt;/ref&gt;

A cette occasion  A. C. KREBS introduit  [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard '''la direction irréversible'''] dans la technologie automobile.
&lt;gallery&gt;
File:1896 - A. C. KREBS Steering-Systems - the electromagnetic gearbox.pdf| '''1896-1903'''  - Les systèmes de direction de A. C. KREBS : La boîte de vitesse électromagnétique et  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=US757815A%20panhard le contrôle des vitesses au volant].

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 77|'''1913''' - La &quot;'''''direction irréversible à vis'''''&quot; de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le fourgon électrique d'incendie''' ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Véhicule de lutte contre l'incendie|'''''Véhicule de lutte contre l'incendie''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fourgon d'incendie|Fourgon d'incendie]], [https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_fire_engine Camion de pompier électrique]
Dès le 5 juillet '''1895''' A. C. KREBS annonce au Conseil de Paris : &quot;''L’industrie ne construit actuellement que des moteurs de 2 à 3 chevaux. Or, c’est d‘une force de 12 à 15 chevaux qu’il faut au Corps''.&quot; &lt;ref&gt;
'''05/07/1895''' - Comptes-rendus du [https://rytmo.net/ACK/1895-07-05_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des sapeurs pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;
En conséquuence il conçoit le '''fourgon électrique d'incendie des sapeurs-pompiers de Paris''' qui entrera en service en '''1899''', date de la fin du contrat avec le loueur de chevaux.
&lt;gallery&gt;
File:Le fourgon électrique (face avant).jpg|'''1899''' - [https://cnum.cnam.fr/pgi/fpage.php?4KY28.53/0321/100/532/5/416 Le fourgon électrique] (face avant) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:Le fourgon électrique (face arrière).jpg|'''1899''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k55325271/f21.item Le fourgon électrique] (face arrière) des pompiers de Paris '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:1899 - Pompiers de Paris - Le fourgon d'incendie électrique en reconnaissance avec des lampes à arcs.jpg|'''1899''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62201848/f14.image.r=sapeurs%20pompiers '''fourgon d'incendie électrique'''] conçu par A. C. KREBS '''en reconnaissance avec des lampes à arcs'''.

File:1899-The Automobile MAGAZINE The Horseless Fire Engine By Captain Cordier-French Electric Fire Department Wagon.pdf |'''1899''' - &quot;'''The Horseless Fire Engine''' By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier] - '''''French Electric Fire Department Wagon'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1899''' - [https://archive.org/details/automobilemaga1189919newy/page/234 The Automobile MAGAZINE]: &quot;''The Horseless Fire Engine By [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b53004798j.r=%22colonel%20cordier%22?rk=21459;2 Captain Cordier]'' - French Electric Fire Department Wagon: '''French Electric Fire Department Wagon''' : &quot;''Paris firemen have also lately been out making successful experiments with the automotor constructed especially for the fire service, after the plans of Colonel Krebs.''&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
== L'ingénierie automobile chez '''[[w:Panhard|Panhard &amp; Levassor]]''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor|'''''Panhard &amp; Levassor''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Panhard|Panhard]], [[w:Paris-Rouen (automobile)|Paris-Rouen (automobile)]], [[w:Transmission non synchronisée|Transmission non synchronisée]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]], [[w:Chronologie de l'automobile|Chronologie de l'automobile]]
&lt;br&gt;'''A. C. KREBS succède à Emile LEVASSOR''' à la direction générale de  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t5333384b/f474.image.r=krebs Panhard &amp; Levassor].
De '''1897''' à '''1916''' il transforme la société Panhard &amp; Levassor en fabricant d'automobile le plus profitable avant la 1ère guerre mondiale.

&quot;''Au début de '''1897''' ''[en fait le '''03/09/1896'''] &lt;ref name=&quot;1896_Krebs_Levassor&quot; /&gt;'', je montrai ma voiture terminée et fonctionnant à M. Levassor. Il en fut vivement frappé et me demanda de lui permettre d’en mettre plusieurs en construction dans ses ateliers et de bien vouloir en suivre la fabrication. &lt;ref name=1896_Krebs_Levassor /&gt; Deux mois plus tard ''[le 14/03/1897],'' M. Levassor mourait subitement. Son associé, M. Panhard, transforma son association en Société Anonyme et me demanda d’en prendre la direction.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

Le jour même de cette entrevue [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf '''Emile LEVASSOR achète la licence'''] de la boîte de vitesses électromagnétique du brevet de A. C. KREBS. Cette boîte de vitesses sera construite au moins jusqu'en '''1903'''.

&quot;''L’industrie automobile était à ses débuts, son avenir n’était pas douteux et la Maison Panhard &amp; Levassor tenait la tête. Encouragé par la réussite de mes travaux antérieurs et mes goûts personnels'', '''je n’hésitai pas à accepter et à abandonner la carrière militaire pour entrer dans l’industrie'''&quot;. &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt; &lt;ref&gt; '''1897''' - '''Les dernières appréciations hiérarchiques''' sur A. C. KREBS lors de l'inspection générale des pompiers de Paris. '''Le chef de corps''' : &quot;''Officier supérieur d’une grande valeur qui, sans négliger en rien son instruction militaire, continue à faire bénéficier le régiment de sapeurs-pompiers de ses connaissances scientifiques variées et très étendues en apportant au matériel d’incendie tous les perfectionnements dont il est susceptible. M. le Commandant Krebs est, en somme, un très bon militaire doublé d’un ingénieur distingué''&quot;. '''Le général de brigade''' : &quot;''Intelligence vive. Connaissances scientifiques très étendues. Possède, au point de vue de leur application, des aptitudes remarquables. Vigoureux, actif, décidé, et très bien doué aussi, sous le rapport de l’aptitude au commandement, des qualités militaires et des connaissances professionnelles. En résumé c’est un officier d’un mérite supérieur qu’il y a intérêt à faire avancer rapidement.''&quot;&lt;/ref&gt;

&quot;''J'ai connu '''M. [[w:Gottlieb Daimler|Daimler]] en 1897, lorsque je suis allé lui rendre visite à Cannstadt, en Allemagne''', en octobre. Dans la maison où il habitait, il m'a montré le laboratoire et l'atelier où il avait étudié et construit son premier petit moteur, puis le premier véhicule sur lequel il a fait ses premiers essais.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

=== '''Voitures de course''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor racing automobiles|'''''Voitures de course Panhard &amp; Levassor''''']], [[commons:Category:Compétition automobile|'''''Compétition automobile''''']], [[commons:Category:Sport automobile en France|'''''Sport automobile en France''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Compétition_automobile#Histoire|Histoire de la compétition_automobile]], [[w:Compétition automobile avant 1906|Compétition automobile avant 1906]]
&lt;br&gt;&quot;''Les débuts ne furent pas sans difficulté. Il fallut d’abord acquérir la sympathie d’un personnel technique très fermé et jaloux de son expérience. Quelques perfectionnements que j’introduisais de suite dans certains organes mécaniques et l’année suivante le succès des 4 voitures de la Maison dans la course &quot;[[w:Paris-Amsterdam-Paris|Paris-Amsterdam]]&quot; (les voitures arrivant premières à toutes les étapes), me gagnèrent la confiance du personnel.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&lt;gallery&gt;
File:1898 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl - Paris-Amsterdam.jpg|'''1898''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl - Paris-Amsterdam'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=12cv Paris-Bordeaux.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''12cv Paris-Bordeaux'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1899 A.C.KREBS Album-Courses=8cv-4cyl-80x120-1000rpm.jpg|'''1899''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''8cv 4cyl 80x120 1000rpm'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=16cv Tour de France.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''16cv Tour de France'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1900 A.C.KREBS Album-Courses=20cv Paris-Toulouse.jpg|'''1900''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''20cv Paris-Toulouse'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère Paris-Bordeaux.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère - Paris-Bordeaux'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-1.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1901 A.C.KREBS Album-Courses=40cv Paris-Berlin-2.jpg|'''1901''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv Paris-Berlin'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=10cv-légère.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''10cv légère'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1902 A.C.KREBS Album-Courses=60cv-avec ressort AV transversal.jpg|'''1902''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''60cv with transverse front spring'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=70cv Paris-Madrid.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903 A.C.KREBS Album-Courses=vue du moteur.jpg|'''1903''' - Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''70cv Paris-Madrid - view of the engine'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
File:1903~A.C.KREBS Album-Courses=40cv.jpg|'''1903''' ~ Album de voitures de course de A. C. KREBS : '''40cv'''. &lt;ref name=Krebs-archives /&gt;
&lt;/gallery&gt;
'''Catégories''' : [[commons:Category:1898_Paris-Amsterdam-Paris_race|'''''1898 course Paris-Amsterdam-Paris''''']], [[commons:Category:1904 Vanderbilt Cup|'''''1904 Coupe Vanderbilt''''']], [[commons:Category:1906 French Grand Prix (photographs)|'''''1906 Grand Prix''''']], [[commons:Category:1907 French Grand Prix|'''''1907 Grand Prix''''']], [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor type 120CV (1908)|'''''Panhard &amp; Levassor type 120CV (1908)''''']]
==== '''1898''' - [[w:Paris-Amsterdam-Paris|Course '''Paris-Amsterdam-Paris''']] ====
Premiers perfectionnements :

* Le volant de direction

* La direction irréversible à vis sans fin et secteur denté

* L'[[w:Géométrie_de_suspension#La_chasse|angle de chasse]] positif sur l'essieu directeur 

* Les pneus

* L'abaissement du centre de gravité

==== '''1904''' - 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] ====
L'américain [[w:George Heath|George Heath]] gagne la 1ère [[w:Coupe Vanderbilt|'''Coupe Vanderbilt''']] à New York sur une  [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/search/catch_all_fields_mt%3A%28vanderbilt%201904%29%20OR%20catch_all_fields_et%3A%28vanderbilt%201904%29 voiture Panhard &amp; Levassor] à cardan conçue par A. C. KREBS.
&lt;gallery&gt;
File:Maurice Farman, vainqueur du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur Panhard.jpg|'''1901''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du Grand Prix du Sud-Ouest en février 1901 sur une Panhard.

File:Maurice Farman, vainqueur du circuit du Nord en mai 1902 (sur Panhard).jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], gagnant du  'Circuit du Nord' en mai 1902 sur une Panhard.

File:Maurice Farman sur Panhard, cinquième au Paris-Vienne 1902.jpg|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Maurice_Farman Maurice Farman], 5° sur la [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Paris-Vienna_race course Paris-Vienne] sur une Panhard.

File:Pierre de Crawhez, vainqueur du Circuit des Ardennes en juin 1903.jpg|'''1903''' - Pierre de Crawhez, vainqueur du [[w:Circuit_automobile_des_Ardennes|'''Circuit des Ardennes''']] sur voiture Panhard &amp; Levassor.

File:Henri Farman, sur Panhard 100 hp en 1904.jpg|'''1904''' - La [[w:Coupe_automobile_Gordon_Bennett|'''coupe Gordon Bennett''']] : Henri Farman sur Panhard 100 hp.

File:George Heath, vainqueur de la première Coupe Vanderbilt 1904 sur Panhard, au circuit de Manhattan (La Vie au Grand Air du 27 octobre 1904).jpg|'''1904''' - '''[[w:George Heath|George Heath]] (N°7), gagnant''' de la première [[w:https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_Vanderbilt|'''coupe Vanderbilt]] sur une Panhard à cardan''', à Manhattan.&lt;ref&gt;'''1904''' - The Automobile MAGAZINE : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1904-11_6_11/page/n5/mode/2up ''&quot;Winning of the Vanderbilt Cup&quot;''].&lt;/ref&gt;

File:1904 Vanderbilt-Cup=Heath winner on n°7.png|'''1904''' - '''Video''' : [https://www.loc.gov/item/00564552/ Automobile race for the '''Vanderbilt Cup'''] in New-York.

File:1905-01-07 - La Vie Parisienne - caricature Heath sur Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1905''' - Caricature du '''conducteur de voitures américain, [[w:George Heath|George Heath]]''' sur Panhard &amp; Levassor.

File:1905-01 - The AUTOMOTOR JOURNAL - The 120-h.p. Four-cylinder engine of the Panhard-Levassor Gordon-Bennett race car.pdf|'''1905''' - La voiture '''120hp Panhard-Levassor avec transmission à cardan''' de la course Gordon-Bennett.

File:Principales victoires Panhard de 1894 à 1905.jpg |'''1894-1905''' - '''Histoire de l'automobile''' ([[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]]) : ''&quot;'''Principales victoires Panhard &amp; Levassor'''&quot;''. &lt;ref&gt;'''1907''' - [[w:Pierre_Souvestre|Pierre Souvestre]] : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5495467j/f784.item.r ''Histoire de l'automobile'']&lt;/ref&gt;

File:Henry Farman, George Heath and Henri Cissac at the 1908 French Grand Prix at Dieppe.jpg|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Farman Henry Farman], [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:George_Heath_(racing_driver) George Heath] et [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Cissac Henri Cissac] au  '''Grand Prix de Dieppe''' de 1908 sur voitures de course Panhard de 120cv.

File:Panhard &amp; Levassor &quot;Biplace Course&quot; - 1908.jpg|'''1908''' - '''Video''' : Le moteur de [https://www.youtube.com/watch?v=JBDunOxO8IY  la voiture de course Panhard du Grand Prix] '''conçu par A. C. KREBS'''.

File:Paris - Retromobile 2012 - Grand Prix Panhard – Levassor 12.5 Litres - 1908 - 005.jpg|'''1908''' - '''Video''' : [https://www.youtube.com/watch?v=1CmYKxIhJU8  la voiture de course Panhard &amp; Levassor du Grand Prix] '''conçue par A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
&quot;''Pendant mes 18 années de Direction, je n’ai eu qu’à me louer du concours dévoué de tous mes collaborateurs, que j’ai toujours trouvés disposés à me seconder pour mener à bien les modifications ou dispositions nouvelles introduites dans les organes mécaniques des voitures.

''Il est inutile de les rappeler ici en détail. Celles que je signale volontiers parce qu’elles m’ont procuré de grandes satisfactions personnelles sont :

* ''L' '''équilibrage des moteurs''';

* ''Le '''carburateur automatique''' permettant de faire varier la vitesse du moteur et de lui donner une souplesse que le réglage par tout ou rien ne permettait pas ;

* ''Le '''frein dynamométrique''' pour l’essai des moteurs à grande vitesse de rotation, donnant la mesure du travail sur l’arbre suivant la formule de [[w:Frein de Prony|Prony]], en récupérant sous forme électrique 90% environ de l’énergie produite, etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

=== Equilibrage des moteurs ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Mechanical vibrations|'''''Vibrations méchaniques''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Vilebrequin (moteur)|Vilebrequin (moteur)]], [[w:Vibration|Vibration]], [[w:Système bielle-manivelle|Système bielle-manivelle]], [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1901'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-08_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR306968_-_%27Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9quilibrage_des_moteurs_%C3%A0_deux_cylindres%27.pdf '''FR'''306968A] 

|| ''Système d'équilibrage des moteurs à deux cylindres''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423830/publication/GB190114881A?q=GB190114881A '''GB'''190114881A] 

|| ''A System of Equilibrium for Motors Having Two Cylinders''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513025/publication/AT13992B?q=AT13992B '''AT'''13992B] 

|| ''Device for balancing masses in engines with two adjacent cylinders''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002847027/publication/US778542A?q=US778542A '''US'''778542A] 

|| ''System of Equilibrium For Motors''

|-

|}

=== Le &quot;'''''carburateur Krebs'''''&quot; ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']], [[commons:Category:Engine fuel system technology|'''''Systèmes d'alimentation des moteurs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]]
&lt;br&gt;Le carburateur Krebs peut être considéré comme '''le premier [[w:Carburateur|carburateur automatique]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A brevet 1902]) et '''le premier  [[W:Carburateur#Carburateur_%C3%A0_d%C3%A9pression|carburateur à membrane]]''' ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A brevet 1908]).

'''1906''' - &quot;''A l'heure actuelle nous ne maîtrisons pas suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il est possible de transformer en travail seulement une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''&quot; &lt;ref&gt;'''1906''' - Le :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=61 témoignade de A. C. KREBS au procès Selden à New York] : &quot;''XQ96. Vous n'avez cité que le nom de Beau de Rochas. Connaissez-vous d'autres autorités ? R96. Tous ceux qui étudient ce sujet en vue d'en établir la théorie sont intéressants, mais nous ne possédons pas encore suffisamment les facteurs qui nous permettraient de comprendre pleinement les raisons pour lesquelles il n'est possible de transformer en travail qu'une très petite partie de la chaleur développée dans la combustion, à partir de laquelle nous cherchons à réaliser du travail.''&quot; &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1902-11-24 – Académie des sciences - la théorie du carburateur KREBS.jpg|'''1902-11-24''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&amp;page=900 '''La théorie du carburateur Krebs''']: En permettant au moteur à combustion de développer sa puissance en fonction du nombre de tours, le carburateur Krebs lui permet en 1902 '''de gagner la bataille contre les moteurs électriques et à vapeur'''. &lt;ref&gt;Nous pourrions également dire que le carburateur KREBS introduit &quot;'''l'épure de la Tour Eiffel dans la carburation automobile'''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1902-10-11 Krebs Automatic Carburetor (FR325241, GB190222655, US734421A).png|'''1902''' - Le &quot;'''carburateur Krebs'''&quot; est le premier carburateur à dépression constante automatique.

File:1903-02-14. scientific-american-v88-n07=Krebs carburetor.pdf |'''1903-02-14''' - '''Scientific-American''' : &quot;The Krebs '''automatic carbureter''' for gasoline engines&quot;.

File:1910-11-24 motor-age 1910-11-24 18 21=le carburateur Krebs de 1908 est en vogue aux US.png|'''1910''' - '''Motor Age''' : Le [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A '''carburateur Krebs de 1908'''] avec '''&quot;metering pin&quot;''' est &quot;'''''en vogue'''''&quot; en Amérique.  &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sim_motor-age_1910-11-24_18_21/mode/2up?q=krebs '''1910'''-11-24 - '''Motor-Age'''] : &quot;''Le carburateur de type Krebs est en vogue ; il est conçu pour réguler le débit d'essence au moyen d'un pointeau relié à une soupape à membrane.''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1915-09-02 motor-age 1915-09-02 28 10=pub carburateur Longuemare aux US 'En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile' - Copie.png|'''1915''' - '''Motor-Age''' - Publicité [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65121561/f66.image.r=Longuemare Longuemare] : '''En 1903 Krebs a joué une farce à l'industrie automobile'''&quot;''.

File:1912 - Brevet Panhard &amp; Levassor FR458736A - Carburateur Krebs sans pièce mobile.pdf|page 3|'''1912''' - Brevet A. C. Krebs de '''carburateur sans pièce mobile''' : [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A].

File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manoeuvre=le carburateur double-corps.pdf|'''1913''' - Le '''carburateur double-corps''' de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
'''1903''' - '''The automobile''' : &quot;''Le but visé est '''un degré constant de carburation à toutes les vitesses''', chaque coup de piston développant la même quantité de puissance, et '''la puissance totale du moteur étant par conséquent directement proportionnelle à sa vitesse'''. De plus, la carburation peut être maintenue à ses limites les plus basses possibles, et elle est parfaitement automatique et indépendante des variations de la température atmosphérique. La carburation est toujours bonne. Le réglage habituel du tableau de bord pour l'air supplémentaire et une alimentation spéciale en air chaud ne sont pas nécessaires : le réchauffement de la chambre de mélange avec l'eau de la chemise du moteur maintient une température constante. '''Le moteur peut fonctionner à une très faible vitesse sans diminuer son efficacité'''. Par exemple, comme le rapporte le ''Automotor Journal'', si le levier de changement de vitesse est placé sur la troisième vitesse, ce qui pourrait normalement donner une vitesse de 50 km à l'heure, et que l'on souhaite tourner à seulement un cinquième de cette vitesse, la vitesse du moteur est réduite à un cinquième, disons de 1 000 à 200 tours par minute ; Bien sûr, la puissance totale est diminuée, mais '''la puissance de chaque coup reste la même'''. '''Le nouveau carburateur Krebs répond donc largement à l'un des principaux besoins du moteur à essence : la flexibilité'''.''&quot;  &lt;ref&gt;'''1903''' - '''The automobile''' : [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/140/mode/2up?q=krebs ''The Krebs carburetter''.]&lt;/ref&gt;

'''1913-05-26''' - Comité de direction Panhard &amp; Levassor : &quot;'' '''Les États-Unis demandent à acheter notre brevet de carburateur 1903''', brevet qui a encore une  validité de 5 ans. Nous adressons 2 propositions : 1° Vente du brevet pour 10.000 $, 
2° licence pour cash 2000 $, plus 1 $ par carburateur''.&quot; &lt;ref&gt;'''1913-05-26''' - [http://rytmo.net/ACK/1913-1915_P&amp;L_CR.html Comité de direction Panhard &amp; Levassor]&lt;/ref&gt;

'''1919''' - &quot;''Au début du XXe siècle, l'ingénieur français '''Krebs''' inventa ce que l'on peut appeler '''le premier carburateur automatique''' dans lequel le mélange était réglé automatiquement par la vitesse du moteur ; '''une souplesse''' jusqu'alors insoupçonnée était ainsi obtenue. Cette invention a ouvert la voie et inspiré un grand nombre d'autres inventions plus ou moins méritantes'' [...] '''Le type Krebs peut aujourd'hui être considéré comme la forme la plus simple de carburateur qui fonctionne de manière satisfaisante''' et il existe aujourd'hui plusieurs modèles différents fabriqués sur la base du seul principe de la soupape d'air auxiliaire. Dans ces modèles, le problème est résolu de différentes manières.'' [...] ''Bien qu'ils diffèrent tous dans les détails de la conception, ils sont néanmoins '''basés sur le principe de la soupape d'air auxiliaire telle qu'elle a été élaborée à l'origine par Krebs'''. &lt;ref&gt;'''1919''' - '''Motor truck and automobile motors and mechanism''' : &quot;[https://archive.org/details/motortruckandau01rathgoog/page/n90/mode/2up?q=krebs  ''A practical illustrated treatise on the power plant and motive parts of the modern vehicle, for owners, operators and repairmen''].&quot;&lt;/ref&gt;

voir infra: [[w:Arthur_Constantin_Krebs#Carburateurs|Tous les brevets de carburateurs de A. C. KREBS]].
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1902'''
|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] 
|| '''Le carburateur Krebs ''' ([https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 voir supra]) : ''Un carburateur à réglage automatique''
|-
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A]
|| ''Improvements in Oil Engines''
|- 
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C]
|| ''A carburator for internal combustion engines''
|-
| 
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A]
|| ''Fuel-governor for oil-engines''
|-
|
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''778542A + '''CA'''83889A] 
|| ''Oil Machine''
|-
|}
=== Frein dynamométrique ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Dynamometers|'''''Dynamomètres''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Dynamomètre|Dynamomètre]], [[w:Frein de Prony|Frein de Prony]]
&lt;br&gt;'''1905-11-13''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&amp;page=757 '''Académie des sciences''']: &quot;''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé.''&quot;.
&lt;gallery&gt;
File:1905-12-09 La-Revue-Industrielle=le dynamo-dynamomètre de Krebs.jpg|'''1905''' - La Revue Industrielle : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9774687p/f572.image.r=krebs '''Le dynamo-dynamomètre de A. C. KREBS''' chez Panhard &amp; Levassor].

File:1907-1908 - Cashier's Magazine - the A. C. KREBS dynamo-dynamometer at Panhard &amp; Levassor.png|'''1907''' - Le '''dynamo-dynamomètre''' de A. C. KREBS : &quot;''Le moteur Panhard &amp; Levassor 24 CV 4 cylindres  [https://archive.org/details/cassiersmagazi331907newy/page/272/mode/2up?q=panhard ''connecté au frein et à la dynamo dans la salle d'essai'']&quot;. &lt;ref&gt;'''1906-12''' - '''The Electrician''' Vol 58 : [https://archive.org/details/the-electrician-vol-58/page/302/mode/2up?q=%22commander+krebs%22 &quot;'''UN DYNAMOMETRE ELECTRIQUE'''&quot;]. &lt;/ref&gt;

File:1909-09-02 MOTOR-AGE=SKETCH OF ELECTRIC CRADLE DYNAMOMETER.pdf|'''1909''' - '''MOTOR-AGE''' :  [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs Schéma d'un dynamomètre à berceau électrique]: &quot;Le '''''commandant Krebs''''' ''semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau.''&quot;.  &lt;ref&gt;'''1909-08-26''' - '''Motor Age''' : [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-08-26_16_9/page/30/mode/2up?q=krebs SCHÉMA D'UN DYNAMOMÈTRE ÉLECTRIQUE À BERCEAU] [https://archive.org/details/sim_motor-age_1909-09-02_16_10/page/30/mode/2up?q=dynamometer suite] : &quot;''Le commandant Krebs, de la société Panhard &amp; Levassor, semble avoir été l'un des premiers utilisateurs du dynamomètre à berceau pour tester les moteurs à essence de voitures, et plusieurs membres de cette société l'ont utilisé avec succès pendant de nombreuses années.''&quot;. &lt;/ref&gt;

File:ITALTEC=5180=dynamomètre.jpg|'''Aujourd'hui''' - De nombreux  [http://www.italtec.it/enemm07.htm '''freins et &amp; couplemètres'''] utilisent les principes du frein dynamométrique de A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
=== La &quot;'''''Voiture Clément-Panhard (VCP)'''''&quot; et [[w:Adolphe_Clément-Bayard|'''Adolphe CLEMENT''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Clément-Panhard vehicles|'''''Véhicules Clément-Panhard''''']],
[[commons:Category:Adolphe Clément-Bayard|'''''Adolphe Clément-Bayard''''']]

'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f516 ''La voiturette Krebs (Panhard &amp; Levassor)''].

'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333426/f16.item 2 VCP au stand Clément] du salon de l'auto à Paris.

'''1902-05''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f103.item une VCP exposée au Salon de l'alcool] sur le stand P&amp;L.
&lt;gallery&gt;
File:Adolphe Clément au Tour de France auto 1899 (cropped).jpg|'''1899''' - '''Adolphe Clément-Bayard''' (1855-1928).

File:1899-05-06 THE-AUTOCAR='The light Panhard car' la VCP de P&amp;L.pdf |'''1899-05-06''' - THE-AUTOCAR: &quot;''The light Panhard car''&quot;. La ''Voiture Clément-Panhard'' (VCP) est la version mécanique de la voiture système A. C. KREBS à boîte de vitesses électromagnétique.

File:1900 VCP=Voiturette Clément créée par le commandant Krebs (Ferrus et Genty=photo du bloc-moteur.jpg |'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v/f177.image.r=krebs Photo du bloc-moteur de la VCP] : &quot;''La Voiturette Clément-Panhard créée par le Commandant Krebs possède les mêmes qualités de fond que les grosses voitures construites dans l'usine dirigée par ce savant ingénieur.''&quot;

File:1900~Clément-Panhard-on-1900~the-web=Herbert Farthing collected his Clément-Panhard from the docks at Southampton.jpg |'''1900''' - M. Herbert Farthing a récupéré sa Clément-Panhard (VCP) sur les quais de Southampton. &lt;ref name=VCP /&gt;

File:1901 Cycles Automobiles Clément=pub VCP.jpg |'''1901''' - &quot;''Cycles Automobiles Clément''&quot; - Catalogue des voitures '''Clément-Panhard''' (Brevets Panhard &amp; Levassor) conçues par A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b52503781s/f1.item.zoom '''Cycles Automobiles Clément'''] - Publicité pour les voitures '''Clément-Panhard (VCP)''' conçues par A. C. KREBS.&lt;/ref&gt;

File:1901 - Voiture Clément-Panhard (VCP) - manuel complet et nouvelle carrosserie.pdf|'''1901''' - Voiture Clément-Panhard (VCP) : '''Manuel d'utilisation complet et nouvelle carrosserie'''.

File:1901 Panhard &amp; Levassor - advertising postcards for the Voiture Clément-Panhard (VCP).png |'''1901''' - Cartes postales publicitaires pour la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) : &quot;''Qu'attendent-ils ? Ah ! ça ne peut être qu'une ... voiture Clément-Panhard''&quot;.

File:1899 Panhard et Levassor - la Voiture Clement-Panhard 'The mechanical nightmare'.webm |'''2004''' -  Panhard &amp; Levassor '''1899''' - la '''Voiture Clément-Panhard''' (VCP) de A. C. KREBS :  &quot;'''''Un cauchemard mécanique !'''''&quot;.&lt;ref name=VCP /&gt;

File:Clement-Panhard Phaeton VGP (1900) jm63708.jpg|'''1898-1902''' - La Voiture Clément-Panhard (VCP) : [http://rbmn.free.fr/TheVoitureClement-Panhard.pdf '''''Article détaillé'''''].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] 

|| '''L'embrayage Krebs à friction''' : ''Perfectionnements aux embrayages''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] 

|| ''Improvements in Friction Couplings''

|-

| '''1897''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375]

|| '''La boîte de vitesses mécanique Krebs à engrenages toujours en prise''' : ''Perfectionnements aux transmissions avec changement de vitesse''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars''

|-

| '''1898''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf  '''FR'''284596] 

|| '''Le brevet de Voiture Clément-Panhard avec la régulation du moteur sur l'admission''' : ''Un système de voiture légère à moteur à pétrole''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960  '''GB'''189902960A] 

|| ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

|}

=== La &quot;''stabilité de route''&quot; ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Steering|Direction]], [[commons:Category:Direction_(automobile)|'''''Direction (automobile)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Direction_(automobile)|Direction_(automobile)]], [[w:Sécurité active|Sécurité active]], [[w:Tenue de route|Tenue de route]]
&lt;br&gt;&quot;''La question de la direction est une de celles que j'ai abordées vers la fin de 1897, dès que j'eus acquis une connaissance suffisante du fonctionnement et de l'organisation de la maison Panhard &amp; Levassor. Ce nouveau dispositif de direction [[w:Panhard|P&amp;L]] n'était autre chose qu'une adaptation de moyens déjà connus et utilisés depuis fort longtemps pour le même objet.''&quot; &lt;ref name=&quot;1906_Krebs_Selden&quot; /&gt;

En ce qui concerne la direction automobile '''A. C. KREBS préconise''' :
* La [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f389 '''direction irreversible''']
* Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f382 '''quadrilatère Jeantaud extérieur'''] de Panhard &amp; Levassor
* '''1898''' - A. C. KREBS implémente ses solutions sur ses voitures de la  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6230266z/f662.item.r=panhard '''course Paris-Amsterdam-Paris'''] (cf. infra).

=== '''L'Exposition Universelle de Paris - 1900''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Exposition Universelle (1900)|'''''Exposition Universelle (1900)''''']], [[commons:Category:Moving sidewalk, Exposition Universelle (1900)|'''''Trottoir roulant, Exposition Universelle (1900)''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Exposition universelle de 1900|Exposition universelle de 1900]]
&lt;gallery&gt;
File:S03 06 01 015 image 1918.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : Vue aérienne, Paris, France.

File:Historical images of Place de la Concorde.jpg|'''1900''' - '''Exposition Universelle de Paris''' : '''Place de la Concorde'''.

File:Paris Exposition rolling platform, Paris, France, 1900.jpg|'''1900''' - '''Le trottoir roulant''' à 7 mètres de hauteur, doublé par un chemin de fer électrique circulant en sens inverse.

File:Plateforme_mobile,_station_du_pont_des_Invalides.jpg|'''1900''' - '''Plateforme mobile, station du pont des Invalides''' : Les deux trottoirs ne se déplacent pas à la même vitesse.

File:1900 - The Paris Exposition Universelle.webm|'''1900''' - '''Video''' :  Compilation de séquences de l' '''Exposition universelle de Paris''' constituées de bobines subsistantes.

File:Exposition Universelle internationale de 1900 (11Fi 1289).jpg|'''1900''' - '''Hall des Machines''' : La section française.

File:1900 - Pompiers de Paris - Les fourgons électriques.jpg|'''1900''' - Sapeurs-pompiers de Paris - '''Les fourgons électriques''' conçus par A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1901''' - [https://archive.org/details/reportofcommissi05unit_0/page/n285/mode/2up Report of the Commissioner-General for the United States] to the '''International universal exposition, Paris, 1900''' : &quot;''Les véhicules de pompiers exposés en France étaient très nombreux, mais en règle générale, ils n'étaient pas à la hauteur des normes établies par d'autres nations. La seule exception était l'exposition de la ville de Paris, qui contenait plusieurs '''bonnes machines fabriquées dans les ateliers des pompiers'''. Une nouveauté dans cette exposition était '''le véhicule de pompiers électrique'''. La pompe était entraînée électriquement et sur le fourgon se trouvait une batterie de stockage capable de fournir un courant suffisant pour faire fonctionner la pompe pendant dix minutes, après quoi on espère pouvoir établir une connexion avec des fils électriques à proximité de l'incendie et conserver un courant approprié. L'appareil fonctionnait de manière très satisfaisante et il semble à l'auteur '''que de telles pompes électriques devraient trouver un usage étendu dans les villes où les fils électriques se trouvent presque partout'''. La ville de Paris a également exposé une échelle à incendie de fabrication française qui était un modèle à bien des égards.''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:S03 06 01 015 image 9903.jpg|'''1900''' -  '''La Tour Eiffel''' illuminée.

File:Les courses de ballons à Vincennes.jpg|'''1900''' - Les '''courses de ballons''' à Vincennes.

File:1908 - Pierre Bonnard et Octave Mirbeau - La-628-E8.jpg|'''1905''' - '''[[w:La 628-E8|La 628-E8]]''' : Premiers raids automobiles.
&lt;/gallery&gt;
==== Pendant l'Exposition A. C. KREBS est ... ====
* Membre de la  [https://archive.org/details/reportofcommissi06unit_0/page/346/mode/2up?q=krebs '''Commission scientifique d'aérostation'''] (Classe 34, Groupe VI)
* Membre du comité d'études des [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6584731t/f367.image.r=krebs '''mesures de sécurité contre l'incendie''']
* Membre des [https://digital.la84.org/digital/collection/p17103coll8/id/6432 Concours Internationaux d'exercices physiques et de sports]: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k322174v.r=%22%20%20Les%20Automobiles%20%C3%A0%20l%27Exposition%20de%201900%22?rk=64378;0# '''Automobilisme'''] (Section VII)
* Membre de la '''Commission Internationale de courses Automobiles'''
* Secretaire du '''Jury de la commission de mécanique générale, des matériaux et procédés''' (Classe 20, group IV) : Panhard &amp; Levassor standout
* Membre du '''Jury des compétitions nautiques'''
* Licencié du brevet de voiture  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9395781/f113.item.r=lohner '''pétrole-electrique Lohner-Porsche'''] pour Panhard &amp; Levassor.
* Membre du [https://cnum.cnam.fr/pgi/sresrech.php?8XAE505/7/stTxt/valeur_argument_url=8XAE505%2F6%2FstTxt%2F%26&amp;catsel1=stTxt&amp;mot_cat1=krebs&amp;ope5=AND&amp;catsel5=id&amp;mot_cat5=8XAE505&amp;var_solr_qs=2#l-7 '''Congrès international d'automobilisme''' de 1900] et [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f10.image.r=krebs 1903]
* Nommé '''officier de la Légion d'honneur'''.
==== La rumeur sur le moteur extra-léger du commandant Krebs ====
* '''22/07/1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96060679/f3.image.r=krebs '''La Vie au grand air'''] : &quot;''Il paraît que le commandant Krebs vient de mettre la dernière main à un moteur fort curieux, basé sur des principes tout à fait originaux. Le moteur qui pèseerait à peine le poids d'un douze chevaux ordinaire ferait cinquante bons chevaux''.[...]&quot;
* '''27/07/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k560406z/f4.item '''Le Petit parisien'''] : &quot;[...] ''Laissant aujourd'hui de côté le ballon gonflé de gaz et, partant, plus léger que l'air, le commandant Krebs adopte la théorie du plus lourd que l'air. L'aéroplane c'est tout ce que nous avons pu savoir sera composé de plans inclinés et d'hélices mues par un moteur à pétrole de grande puissance. Et, c'est la que réside la difficulté, et qui, nous assure-t-on serait résolue ce moteur extra-léger, ne pèsera que cinq kilos par cheval de force. Disons enfin que l'appareil une fois construit sera probablement piloté par Maurice Farman, bien connu déjà pour ses nombreuses ascensions en hallons libres et ses tentatives de records aéronautiques. Est-ce cette fois que l'atmosphère définitivement vaincue devra, comme les autres éléments, se plier à la volonté du génie humain ? Souhaitons-le, en attendant les expériences du nouveau navire aérien !''&quot;
* '''07/08/1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5381135s/f2.item '''L'Express du Midi'''] : &quot;[...] ''En l'absence de M. Krebs, un de ses intimes [Ch. de Fréminville] a déclaré à notre confrère [le Figaro] que le commandant a complètement cessé de s'occuper de navigation aérienne, qu'il ne se soucie donc pas de prendre part à la lutte ouverte par les différentes personnalités qui travaillaient à découvrir la direction des ballons. Enfin, que le moteur dont a parlé le Figaro fonctionne déjà, mais n'est pas autre chose qu'un moteur de voiture que les aéronautes évidemment pourront, s'ils le veulent, employer''.&quot;
==== La polémique entre les ballons de Santos-Dumont et de Renard &amp; Krebs ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Alberto Santos-Dumont|'''''Alberto Santos-Dumont''''']]
* '''11/06/1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6508500m/f13.item '''Le Génie civil'''] - &quot;[...] ''Laissons à chacun son mérite : à [[w:Alberto_Santos-Dumont|M. Santos-Dumont]], le sang-froid, l'agilité qui le font sortir indemne de tous les périls, et que surexite sans doute un certain amour de la renommée ; à MM. Renard et Krebs, la science réfléchie qui n'accepte que les solutions mûries sagement et ne sacrifie pas à la vaine réclame. On aura beau faire et dire, ce n'est pas ce qui leur enlèvera l'honneur d'être, et pour toujours, les véritables créateurs du ballon automobile'' [...].&quot;
* '''1905''' - [https://archive.org/details/standardlibraryo00unse/page/36/mode/2up?q=krebs '''Standard libray of knowledge'''] : &quot;''Not only M. Santos-Dumont, but the whole body of airship inventors through¬ out the world are profoundly interested in the subject. France is the leading country in practical aerial navigation, but Germany,England and other countries are giving much attention to the subject. One of the most notable air vehicles is the balloon “ La France,” the invention of the brothers Colonel and Major Renard and of Major Krebs, of the French army. '''It is claimed that this machine in 1884 fulfilled the conditions established for the Deutsch prize, which Santos-Dumont won in Paris'''. Motors were at that time only in a rudimentary stage of develop¬ ment. Many Frenchmen declare that if “La France”could have taken part in this competition it would incontestably have won the prize of twenty thousand dollars. Colonel Renard was occupied with his military duties and was absolutely prevented from taking part''.&quot;
=== Recherches métallurgiques avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de FREMINVILLE''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Fractography|'''''Fractographie''''']], [[commons:Category:Material cracks|'''''Rupture des matériaux''''']], [[commons:Category:Vanadium|'''''Vanadium''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Fragilité|Fragilité]], [[w:Faciès de rupture|Faciès de rupture]], [[w:Fatigue (matériau)|Fatigue (matériau)]], [[w:Rupture (matériau)|Rupture (matériau)]], [[w:Vanadium|Vanadium]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1898''',  je pris auprès de moi, pour me seconder, mon beau-frère M. [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|Charles de Fréminville]], ingénieur des Arts et Manufactures, qui s’occupa plus spécialement de la partie administrative des ateliers, de l’organisation du travail, du choix et traitement des métaux employés dans la fabrication, etc.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

&quot;''Il lui fallut faire son choix parmi des métaux alors nouveaux et dont les qualités et les défauts étaient peu connus et souvent mal compris. La construction et le fonctionnement de l'automobile firent naître une nouvelle conception de la résistance des matériaux.''.&quot; &lt;ref&gt; '''1926''' - '''Mechanical engineering''' : [https://archive.org/details/mechanicalengine42amer/page/72/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 CHARLES DE FREMINVILLE ÉLU MEMBRE HONORAIRE DE LA  A.S.M.E.]&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1909 FORD-T=publicité avec l'acier au vanadium.png|'''1905''' - '''Henry FORD''' : ''&quot;'''Il me semblait que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que ce que nous pensions.'''. Après l'accident ''['''d'une voiture de course Panhard''']'' J'ai récupéré une petite tige de soupape ''['''fabriquée avec du vanadium''']''. C'était très léger et très solide.''&quot; &lt;ref name=vanadium /&gt;

File:1906-12-06 Motor-Age=analyse des métaux utilisés dans les voitures P&amp;L.png|'''1906''' - '''TEST OF A PANHARD GEAR''' : &quot;''Il arriva bientôt que les ingénieurs automobiles américains commencèrent à se demander pourquoi, dans une voiture étrangère, une pièce donnée fonctionnait parfaitement alors que dans une voiture américaine, la même pièce de même taille, effectuant un travail identique, se déformait.''&quot; [&lt;small&gt;...&lt;/small&gt;] &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-06_10_23/page/n113/mode/2up?q=panhard '''1906'''-12-06 - '''Motor-Age'''], [https://archive.org/details/sim_motor-age_1906-12-13_10_24/page/16/mode/2up (Suite)] : &quot;''Produits sidérurgiques étrangers pour moteurs''&quot;.&lt;/ref&gt; 

File:1913-03-20 Ch-de-Fréminville=croquis de la vue de sa chambre du 12° étage de l'hôtel Belmont à New York.jpg|'''1913''' - While in the United States to study the Taylor method, '''Ch. de Fréminville''' to his wife:&quot;'''''All these people''''' [the Packard factory in Detroit] '''''slavishly copied the parts that Arthur ''[KREBS]'' designed, and executed them with the metals that I chose'''''&quot;. [&lt;small&gt;...&lt;/small&gt;]   &lt;ref name=Fréminville /&gt;

File:1919 - Charles de Fréminville=Portrait.jpg|'''1919''' - '''Charles de Fréminville''' (1856-1936) : Ce portrait a été exécuté par un photographe américain pendant son séjour aux USA dans le cadre de ses recherches sur la méthode Taylor, peu après son départ des usines '''Panhard &amp; Levassor''' où il travaillait depuis '''1899''' avec son beau-frère '''A. C. KREBS'''.

[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''].

File:2009 G. Quinn='A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS'=chronology with Charles de Fréminville.jpg|'''2009''' - [https://www.scientific.net/KEM.409.1 'A HISTORY OF THE FRACTOGRAPHY OF BRITTLE MATERIALS' (G. Quinn)]: Chronologie avec '''Charles de Fréminville''' quand il travaillait chez '''Panhard &amp; Levassor''' avec son beau-frère
 '''A. C. KREBS'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1904''' - '''The brittleness of steel''' ([[w:Henry_Le_Chatelier|H. Le Chatelier]]) : &quot;''M. '''de Fréminville''' a découvert cette particularité qu'après avoir été soumis à un certain traitement thermique, certains aciers spéciaux nécessitaient pour être rompus transversalement au choc, une quantité d'énergie bien supérieure à celle requise dans les essais de traction ordinaires''.&quot; &lt;ref&gt;'''1904''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k61950g/f9.item.r=freminville '''The brittleness of steel'''] (H. Le Chatelier)&lt;/ref&gt;

'''1913-04-04''' - '''Ch. de Fréminville à sa femme''' : &quot;J'ai réalisé ''' le projet que j'avais fait de mouler le trou fait par une balle dans la glace du [https://carriagemuseumlibrary.org/wp-content/uploads/2014/06/heal16.jpg building du Général Healey] [à New York]'''. Le  [https://carriagemuseumlibrary.org/home/library-archives/carriage-manufacturers/healey-company-of-new-york/ General Healey] m'a du reste fait remarquer qu'il y en avait autant sur presque toutes les glaces de son building. Il y a un grand choix. J'avais été hier faire ma provision de plâtre chez un italien. Quel quartier ! C'est pourtant à deux pas du quartier chic et ce n'est pas un quartier mal réputé. Mon moulage a  admirablement réussi. J'ai cru qu'il allait y avoir un attroupement considérable derrière la glace pendant que j'opérais en manches de chemise - comme un bon Américain. '''Et tous ces gens là ne savaient pas ce qu'ils regardaient et n'auraient jamais regardé une cassure'''. Heureusement que deux pompes à vapeur [d'incendie] ont passé coup sur coup. Tous ces admirateurs m'ont abandonné.&quot; &lt;ref name=Fréminville /&gt;

'''1915''' - C. DE FREMINVILLE quitte Panhard &amp; Levassor &lt;ref name=CdF/&gt;

Chevalier légion d'honneur

* 1899: Laboratoire de mécanique et laboratoire de chimie

* 1900: Essais de résistance des aciers durs aux chocs

* 1901-06-03 - L'acier au nickel

* 1902: cylindres en acier forgé

* L'acier au vanadium

* L'acier au cobalt (stellite)
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Review !! Article

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| '''1903'''

|| Association internationale des Méthodes d'essais des matériaux de construction

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6475620g/f15.image.r=FREl%20IINVILLE L'essai au choc ou choix des métaux] 

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| '''1906'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/07/metal19060307p423/metal19060307p423.html Essai d'une scie sans dents pour le sectionnement d'aciers durs ordinaires et d'aciers à outils] 

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| '''1906'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1906/03/metal19060303p109/metal19060303p109.html Influence des vibrations dans les phénomènes de fragilité] 

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| '''1907'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1907/09/metal19070409p833/metal19070409p833.html Caractères des vibrations accompagnant le choc déduits de l'examen des cassures] 

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| '''1908'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1908/06/metal19080506p329/metal19080506p329.html Remarques sur les rebondissements d’une bille et les renseignements qu’ils peuvent donner sur la dureté et l’élasticité des corps] 

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| '''1914'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1914/09/metal19141109p971/metal19141109p971.html Recherches sur la fragilité — L’Éclatement] 

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| '''1918'''

|| Scientific American Supplement

|| [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-19_86_2233/page/248/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—I - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] 

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|| [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1918-10-26_86_2234/page/264/mode/2up?q=freminville ''How Things Break—II - A Study of the Mechanism of Fractures in Materials By Charles Fréminville''] 

|}
=== Bateaux à moteur et bateaux de course avec [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_aéronautique)|'''Alphonse TELLIER''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Motorboats|'''''Bateaux à moteur''''']], [[commons:Category:Hull speed|'''''Vitesse de coque''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Bateau à moteur|Bateau à moteur]], [[w:Motonautisme (sport)|Motonautisme (sport)]], [[w:Coque_(bateau)|Coque_(bateau)]], [[w:Vitesse de coque|Vitesse de coque]], [[w:Hélice#Hélice_marine|Hélice_marine]], [[w:Hélice à pas variable (marine)|Hélice à pas variable (marine)]]
&lt;br&gt;'''1895''' - A. C. KREBS fut le principal promoteur de la navigation automobile en Europe dès '''1895'''. &lt;ref&gt;'''1902''' -  [https://archive.org/details/lemondemoderne15pari/page/344/mode/2up?q=krebs '''Le Monde moderne''', p345]: &quot;''Il faut attendre '''1895''' pour assister à l'entrée en scène sensationnelle d'un canot automobile dans les concours. '''Le commandant Krebs fut l'un des promoteurs les plus hardis de la navigation mécanique''' : ce fut en effet grâce à ses études et à ses encouragements que la société Panhard et Levassor construisit un moteur de 16 chevaux, capable de donner une vitesse de 18 kilomètres au canot sur lequel il était monté ; le jour où on le vit à Meulan, aux régates du &quot;[https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_la_voile_de_Paris Cercle de la Voile]&quot;, fut une date importante dans l'histoire de ce sport.''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1903-12''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''Là où la vitesse prime : Prenons comme excellent exemple ce nouveau type de bateau de course, le '''Lutece'''''&quot;.&lt;ref&gt;'''1903-12''' - Automobile Magazine : &quot; [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1903-12_5_12/page/1128/mode/2up?q=panhard ''Là où la vitesse prime''].&quot;&lt;/ref&gt;

1904-02-27_10_The-Automobile='Auto Boats at the Sportsmen’s Show.' :

The Panhard boat furnishes the same tune in its engines as in automobiles. When running, the four-cylinder motor throbs with that rythmic sound so soothing to the motorist.
&lt;gallery&gt;
File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - le canot PHENIX à moteur Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1900''' - Industrial '''uses of alcohol''' : the '''''PHENIX launch''''' with Panhard &amp; Levassor motor '''designed by A. C. KREBS'''.

File:1901-11-08 - Yachting-gazette - le canot automobile &quot;Rolla V&quot; à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1901''' - Yachting-gazette: the motorboat &quot;'''''Rolla V'''''&quot; with '''Panhard &amp; Levassor engine''' designed by A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1902-03-01''' -  Scientific American -  [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard '''THE MARINE AUTOMOBILE''']: ''LA RÉCENTE INVENTION FRANÇAISE DU CANOT AUTOMOBILE''.&lt;/ref&gt;

File:Btv1b84333441-p094.jpg |'''1902-05-20''' - A. C. KREBS est à la barre du canot de course '''''Centaure''''' à moteur Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1902''' - [[w:Jules_Beau|Jules Beau]] - Photographie sportive : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f93.item '''LUTECE'''] 60cv (Panhard &amp; Levassor), &quot;[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b84333441/f92.item ''La course des bateaux automobiles.] Sont présents : MM. Rives, [[W:Louis_Pierron|Pierron]], venus en automobile avec le '''Commandant Krebs''', Famechon, [[W:Charles_Renard|Colonel Renard]] ''[en chapeau clair]'', [[W:Auguste_Trillat|Trillat]], Amiot, [[W:Gaston_Menier|Gaston Menier]] venu avec son Yacht, [[W:Henri_Paillard|Paillard]], [[W:Pierre_Lafitte|Lafitte]], [[W:Alfred_Morel-Fatio|Morel-Fatio]], etc.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1902 A. C. KREBS=Hélice réversible (FR306968).jpg|'''1902''' - Le système Krebs d' '''[https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1907-12-28_64_1669/page/404/mode/2up?q=krebs hélice à pas variable] : [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A].


File:1902-03-01 - Scientific American (v86-n09) - canot Rollo à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1902''' - Scientific American : Le canot &quot;'''Rollo'''&quot; à moteur Panhard &amp; Levassor. &lt;ref&gt;'''1902-03-01''' - '''Scientific American''' : [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1902-03-01_86_9/page/142/mode/2up?q=panhard The Marine Automobile] : &quot;''Il est tout à fait naturel que le sport des courses de vedettes ait été baptisé en France, berceau de l'automobile pour les Français, même si, en tant que nation, ils ne sont pas très doués en voile, mais jouissent d'une réputation bien méritée dans le domaine des embarcations légères de plaisance''.&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1903-11 - Panhard &amp; Levassor - Motorboat 'Vingt et Un'.jpg|'''1903''' - Four views of the motorboat '''''Vingt et Un Ist''''' in '''New-York''' while A. C. KREBS was managing the '''Panhard &amp; Levassor''' Co. &lt;ref&gt;'''1903-11''' -  '''''Vingt-et-un I''''' motorboat : 4 cyl. '''Panhard &amp; Levassor''' conçu par A. C. KREBS - '''42 km à l'heure'''. Architecte : [https://hydroplanehistory.com/other/clinton_cranes_yachting_memories_1952.html#1 Clinton CRANE]. Propriétaire : [https://digitalcollections.detroitpubliclibrary.org/islandora/object/islandora%3A226649 Smith &amp; Mabley].&lt;/ref&gt;

File:1904 the PANHARD II motor-boat plans.jpg |'''1904''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-03-12_90_11/page/212/mode/2up?q=panhard '''''PANHARD II''''' : &quot;''A complete French auto boat equipment in an American hull.''&quot;] &lt;ref&gt;[[W:Mystic_Seaport|'''Mystic Seaport Museum''']] : &quot;''Le [https://store.mysticseaport.org/products/panhard-i-racing-launch canot de course Panhard de 1904] est un bateau en bois construit à la main, dont '''la coque en forme de nacelle, parfaitement arrondie, semble d'une modernité incroyable pour une construction de cette époque'''. Il illustre comment les formes nécessaires à la vitesse, fruit naturel de l'ingénierie hydrodynamique, sont devenues aussi belles que fonctionnelles. Utiliser les bateaux de la collection pour montrer l'évolution de ces formes et leur influence sur les innovations dans la conception des avions, des bus, des trains et des automobiles est une excellente façon de relier la collection au monde extérieur. Le Panhard vaut à lui seul le détour lors de cette exposition. D'une beauté à couper le souffle, il est unique en son genre parmi les vestiges de 1904. Il m'a fait reconsidérer complètement ma conception du démodé''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1904 Jules-Beau - La Rapée III aux courses de canots automobiles à Juvisy.jpg|'''1904''' - The '''''Rapée III''''' with '''Panhard &amp; Levassor engines''' at the motorboat races in Juvisy.

File:1904 'Auto boat race on the Hudson'.jpg |'''1905''' - Video: The motor-boat '''''PANHARD II''''' participating in '''nautical races in America'''. &lt;ref&gt;'''1905''' - &quot;[https://www.loc.gov/item/00563586/ ''Auto boat race on the hudson''].&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - AUTOMOTOR - The new 6-cylinder Panhard-Levassor petrol marine engine 150HP.png|'''1905''' - The '''6-cylinder''' Panhard-Levassor petrol '''marine engine 150HP''' for racingboats.

File:1905-04-20 - La Vie Au Grand Ai - les canots &quot;Panhard &amp; Levassor&quot; et &quot;Rapière I&quot; à Monaco.jpg|'''1905''' - La Vie Au Grand Air - The launchs &quot;'''Panhard &amp; Levassor'''&quot; and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96066073.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=21459;2# &quot;'''Rapière I'''&quot;] in Monaco.

File:1906-01-05 - La Locomotion Automobile - le bateau de course &quot;La Rapière I&quot;.jpg|'''1906''' - Automobile Locomotion: the racing boat [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bd6t53730474/f240.image.r=rapiere “'''La Rapière I'''”].

File:1907-01-01 Le Monde Illustré - le bateau de course Panhard-Tellier I et La Rapière II à Monaco.jpg|'''1907''' - Le Monde Illustré: the racing boats [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4220111z/f280.image.r=rapiere '''''Panhard-Tellier I'''''] and [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96395619.r=%22la%20rapi%C3%A8re%22monacoracer%20monaco%20racer?rk=171674;4 '''''La Rapière II'''''] in Monaco with '''Panhard &amp; Levassor engines'''.

File:1907-1908 - The Alphonse Tellier glider « La Rapière III » with 1 Panhard &amp; Levassor engine.pdf|'''1907-1908''' - The Alphonse Tellier glider '''''La Rapière III''''' with a '''Panhard &amp; Levassor engine''' designed by A. C KREBS.

File:1908-04-09 - 1er tour du Panhard-Tellier (la-Rapière III) à Monaco.jpg|'''1908''' - 1st lap of the Panhard-Tellier '''''la Rapière III''''' glider in Monaco.

File:1909-04-02 - Pall Mall illustration - Le Panhard &amp; Levassor 56,250 kmh.jpg|'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4522079j/f1.item.r=rapiere Pall Mall illustration]: The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98156242/f257.image.r=panhard &quot;'''Panhard &amp; Levassor'''&quot;] (35 mi/h) in Monaco.

File:Meeting de Reims - le constructeur Tellier - btv1b9019310s.jpg|'''1910''' - '''Alphonse Tellier''' (1879-1929).

File:1913 - Monaco - l'hydroplane 'MOTOCRATIC' avec 2x8cyl. 75kmh Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1913''' - Monaco: the hydroplane '''''MOTOCRATIC''''' with '''2x8cyl. 75kmh Panhard &amp; Levassor''' designed by A. C. KREBS.

File:1914-04-18 - La Vi e Au Grand Air - Le canot Panhard-Tellier II à moteur 24cyl.pdf|'''1914''' - La Vie Au Grand Air : The '''''Panhard-Tellier II''''' racer. 2 Panhard &amp; Levassor 12cyl. engines: '''24cyl''', '''1400hp'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1902''' - L' '''hélice à pas variable''' system A. C. KREBS :
{| class=&quot;wikitable&quot;
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! Date !! Brevet !! Intitulé
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| '''1903'''
|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382609/publication/FR332993A?q=FR332993A '''FR'''306968A] 
|| The Krebs variable pitch propeller: ''Variable -to -step propeller''
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|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032624046/publication/GB190316555A?q=GB190316555A '''GB'''190316555A] 
|| ''Improvements in and relating to Screw Propellers''
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|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002835439/publication/US766953A?q=US766953A '''US'''766953A] 
|| ''Screw-Propeller''
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|}
=== La voiture hybride avec [[w:Ferdinand_Porsche|'''Ferdinand PORSCHE''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Hybrid-powered vehicles|'''''Véhicules hybrides''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Véhicule hybride|Véhicule hybride]], [[w:Automobile hybride électrique|Automobile hybride électrique]], [[w:Liste d'automobiles hybrides électriques|Liste d'automobiles hybrides électriques]]
&lt;br&gt;'''07-07-1900''' - A. C. KREBS dépose le brevt [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] : &quot;''Système de régulateur électromagnétique agissant sur les soupapes d'admission pour moteurs à hydrocarbure''&quot; ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638 '''US'''691638], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149303/publication/GB190016291A?q=GB190016291 '''GB'''190016291]).

'''10-1900''' -  A l' '''Exposition Universelle de Paris''' A. C. KREBS remarque la voiture hybride &quot;''Semper vivus''&quot; de [https://en.wikipedia.org/wiki/Lohner%E2%80%93Porsche Lohner-Porsche] et achète la license du brevet de moteur électrique dans les roues [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149816/publication/GB190018099A?q=pn%3DGB190018099A ('''GB'''190018099)] pour Panhard &amp; Levassor, pour la France, la Grande-Bretagne et l'Italie. &lt;ref&gt;'''1903''' - Le congrès international de l'automobile de Paris : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1092624r/f368 Rapport de M. Louis Lohner sur les voitures pétroléo-électriques].&lt;/ref&gt;

'''24/01/1903''' Scientific-american - '''La Panhard et Levassor système Lohner-Porsche''' : &quot;''... La plus novatrice de toutes est une voiture-tonneau '''Lohner-Porsche''', de 28 chevaux, à essence et électrique, avec des moteurs électriques dans les moyeux des roues avant, qui dirigent également la machine. Un moteur à essence directement relié à une dynamo fournit l'énergie nécessaire à la production d'électricité pour faire fonctionner la voiture, tout courant superflu étant envoyé dans une batterie de stockage, qui fournit l'énergie supplémentaire en fonction des besoins. La voiture aurait 14 vitesses différentes, dont la vitesse maximale est de 77 km par heure. Ce système a connu un tel succès que la '''société Panhard''' a acheté les brevets et fabrique des machines''&quot;.  &lt;ref&gt;'''1903-01-24''' - [https://archive.org/details/sim_scientific-american_1903-01-24_88_4/page/62/mode/2up?q=lohner Scientific American] : &quot;''[...] La voiture posséderait 14 vitesses différentes, la vitesse maximale étant de 77 km à l'heure''.&quot;&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Ferdinand Porsche.jpg|'''Ferdinand porsche''' (1875-1951).

File:1903 Lohner-Porsche=Krebs achète la licence du brevet Lohner-Porsche.pdf |'''1900''' - The  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:GenevaMotorShow2011.jpg &quot;''Semper Vivus''&quot; hybrid car] seen by A. C. KREBS during the Paris Exposition Universelle. Krebs acquired the Brevet licence for Panhard &amp; Levassor.

File:1903-01 AUTOMOTOR-JOURNAL= &quot;A 15-HP LOHNER-PORSCHE PETROL-ELECTRIC CAR&quot; with Panhard &amp; Levassor engine.jpg |'''1903-01''' - &quot;''A 15-HP Lohner-Porsche petrol-electric car''&quot; with Panhard &amp; Levassor engine and [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638  the KREBS &quot;''Electromagnetic regulator for admission-valves''&quot;  (Brevet '''US'''691638)]. &lt;ref&gt;'''1904''' - YEARBOOK OF THE AUTOMOTIVE AND MOTORBOAT INDUSTRY (Berlin) :  [https://archive.org/details/bub_gb_aTpNAAAAMAAJ/page/285/mode/2up?q=panhard '''Automobiles à transmission électrique de Lohner-Porsche et Panhard &amp; Levassor''']&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
=== [https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/442/mode/2up?q=panhard La '''technologie automobile'''] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:History of technology|'''''History of technology''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Histoire de l'automobile|Histoire de l'automobile]] et [https://en.wikipedia.org/wiki/Brass_Era_car Brass Era car]
==== Recherches sur la régulation des moteurs à essence ====
* '''1898''' - La régulation sur l'admission : '''FR'''284596
: À son moteur de la Voiture Clément-Panhard A. C. KREBS ajoute sur la soupape d'admission automatique un étranglement commandé par un régulateur à boule.
* '''1899''' - Le carburateur à niveau constant : '''FR'''295792
* '''1900''' - La régulation électromagnétique des soupapes d'admission : '''FR'''301991
* '''1900''' - Le carburateur Centaure à étranglement : '''GB'''190016467A
* '''1902''' - Les soupapes à cames extensibles : '''FR'''322489A
* '''1902''' - Le carburateur automatique : '''FR'''325241A
* '''1902''' - L'avance à l'allumage au volant : 	'''FR'''327527A
* '''1903''' - Perfectionnements au carburateur automatique : '''FR'''333127A
* '''1906''' - Le régulateur hydraulique sur le carburateur
* '''1908''' - Le carburateur automatique à aiguille : '''FR'''401546A
* '''1909''' - Les soupapes concentriques pour l'aviation : 	'''FR'''414413A
* '''1912''' - Le système de sans-soupapes à boisseaux : '''FR'''440438A
* '''1913''' - Le carburateur automatique sans pièce mobile : '''FR'''458736A
* '''1913''' - Le carburateur double-corps : cf. infra

==== [https://fra.wiki/wiki/Categoria:Motori_Panhard Moteurs] ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']], [[commons:Category:Internal combustion engine|'''''Internal combustion engine''''']], [[commons:Category:Automotive engine technologies|'''''Automotive engine technologies''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Moteur à combustion et explosion|Moteur à combustion et explosion]], [[w:Moteur à quatre temps|Moteur à quatre temps]]
&lt;br&gt;In '''1900''', A. C. KREBS designed the '''''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure Centaure engine]''''' with the aim of freeing itself from the royalties owed to Mme Levassor on the Daimler engine.

'''1902''' - À la demande d'une commission parlementaire, A. C. KREBS fait [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64676929/f871.image.r=krebs '''une étude sur l'utilisation de l'alcool dans l'automobile''']. Suite à ce rapport il est décoré [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k286013f/f3.image.r=krebs chevalier du Mérite agricole].

In '''1909''', he became interested in the '''Knight Brevet''' ([[w:Soupape_(moteur)#Système_Charles_Yale_Knight|moteur sans-soupape]] engine) and was first in France to build that type of engine which Panhard et Levassor would produce during the thirty years leading up to World War II.
&lt;gallery&gt;
File:1900 - Manuel théorique et pratique de l'automobile (Lavergne) - moteur Phenix.jpg|'''1895''' - The Daimler-Maybach [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&amp;page=164 '''Panhard-Phenix''' engine]. &lt;ref&gt;'''1897''' - Scientific American: [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1897-01-30_43_1100/page/17588/mode/2up?q=panhard Some '''New Horseless Carriages''' - &quot;''Le Phénix de MM. Panhard &amp; Levassor, qui, de l'avis des experts en la matière, peut être considéré comme approchant la perfection''&quot;]. '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/306/mode/2up?q=phenix Self-propelled vehicles].&lt;/ref&gt;

File:1900 - Les automobiles à l'Exposition - Le moteur KREBS.jpg|'''1898''' -  &quot;'''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9780698h/f613.image.r=krebs The KREBS engine]&quot; with intake regulation''' before the appearance of the butterfly valve.

File:1900-07-21 - Brevet du moteur &quot;Centaure&quot; Panhard &amp; Levassor (FR302402, GB190200673A).png|'''1900''' - Panhard &amp; Levassor &quot;[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/214/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']&quot; motor Brevet ([https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''FR'''302402] , [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] ) designed par A. C. KREBS.

File:1901 - Moteur Centaure de Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1901''' - &quot; [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=panhard '''Centaure''']&quot; engine from Panhard &amp; Levassor '''designed by A. C. KREBS'''.&lt;ref&gt;'''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=centaure Self-propelled vehicles]: &quot;''La demande de voitures rapides et puissantes a très vite conduit à la production de moteurs à quatre cylindres, parmi lesquels https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/320/mode/2up?q=centaure '''''le Centaure de Panhard-Levassor est le type]'''''.&quot; &lt;/ref&gt;

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 57|'''1901''' - The A. C. KREBS &quot;'''''engine three points suspension system'''''&quot;.

File:1903-1916 - Cours complet d'automobilisme - le moteur 3 cyl. Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1903''' - The [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5863731g/f22.item.r=panhard# Panhard &amp; Levassor '''3 cyl. engine'''] designed by A. C. KREBS. &lt;ref&gt;'''1904'''-01-30- Scientific American: &quot;''Les avantages du moteur à trois cylindres sont depuis longtemps mis en avant dans ce pays par M. '''Charles E. Duryea''', qui utilise ce type de moteur avec succès depuis sept ans ; tandis qu’en France,[https://archive.org/details/sim_scientific-american_1904-01-30_90_5/page/80/mode/2up?q=panhard '''Panhard &amp; Levassor''' a lancé l’année dernière une voiture à trois cylindres], et '''la déclaration en faveur du moteur à trois cylindres par cette firme renommée a largement contribué à attirer l’attention des automobilistes sur ses atouts'''''.&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - Les Sports Modernes - le moteur Panhard &amp; Levassor Centaure allégé.jpg|'''1905''' - The Panhard &amp; Levassor '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_Panhard_Centaure_all%C3%A9g%C3%A9 lightweight Centaure engine]''' designed by A. C. KREBS.

File:1910-07-15 - La Locomotion - Le moteur Sans-soupapes Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1910''' - [https://it.wikipedia.org/wiki/Motore_avalve_Panhard_a_4_cilindri The Panhard &amp; Levassor '''valveless engine''']  chain driven designed by A. C. KREBS from the Knight Brevet.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 36|'''1910''' - Panhard &amp; Levassor valveless engine &quot;'''''distribution plan'''''&quot;.

File:1911 - FR440438A - A. C. KREBS valveless engine patent.pdf|'''1911''' - [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A]: The '''valveless engine Brevet of A. C. KREBS''' for Panhard &amp; Levassor.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 53|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor valveless engine &quot;'''''splash lubrication'''''&quot;.

File:1912-07 - Omnia - 18 HP 6-cyl Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98059257/f42.image.r=panhard 18 HP 6-cyl.] Panhard &amp; Levassor.

File:1912-07 - Omnia - 10 HP (X19) Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1912''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805926n/f246.item.r=panhard 12 HP] the first A. C. KREBS &quot;'''Motor block'''&quot;.

File:Panhard &amp; Levassor 6 Zyl. Motor um 1913 2.pdf|'''1913''' - [https://bibliotheques-specialisees.paris.fr/ark:/73873/pf0002119031/v0053 28-35 HP 6-cyl.] Panhard &amp; Levassor.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Brevet !! Intitulé

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| '''1897''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375]

|| ''Improvements to transmissions with speed change ''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791 '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

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|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''A new transmission system, particularly applicable to automatic cars''

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| '''1898''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf '''FR'''284596] 

|| '''The VCP Brevet''' (voir supra) : ''A petroleum-powered light car system''

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|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960 '''GB'''189902960A] 

|| ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

| '''1900''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-07-07_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR301991_-_%27Syst%C3%A8me_de_r%C3%A9gulateur_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique_agissant_sur_les_soupapes_d%27admission_pour_moteurs_%C3%A0_hydrocarbure%27.pdf '''FR'''301991] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f389.image.r=panhard '''Electromagnetic intake valves''']: ''Electromagnetic regulator system acting on the intake valves for hydrocarbon engines'' (voir supra)

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003503578/publication/AT9519B?q=AT9519B '''AT'''9519B] 

|| ''Electromagnetic control device for hydrocarbon engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002760177/publication/US691638A?q=US691638A '''US'''691638A] 

|| ''ELECTROMAGNETIC REGULATOR FOR ADMISSION-VALVES OF HYDROCARBON-MOTORS''

|-

| '''1900'''

|| [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1900-07-21_Brevet_P%26L_FR302402_du_moteur_CENTAURE_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''FR'''302402] 

|| '''The Krebs Centaure engine''' : ''New internal combustion engine consuming gas, petroleum gasoline or ordinary petroleum''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k17077f/f819.item.r=panhard '''The CENTAURE carburetor''']: ''voir supra''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516552/publication/AT15838B?q=AT15838B '''AT'''15838B] 

|| ''Valve control for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032149365/publication/GB190016627A?q=GB190016627A '''GB'''190016627A] 

|| ''Improvements in Gas or Oil Motors''

|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003506585/publication/AT11006B?q=AT11006B '''AT'''11006B] 

|| '''Suspension of the gearbox by three points''' : ''Suspension of the housing enclosing the change and reversing gear of motor vehicles'' (voir supra)

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426573/publication/GB190200673A?q=GB190200673A '''GB'''190200673A] 

|| '''Centaure engine lightened &amp; Water-jackets''' : ''Improvements in Internal Combustion Engines''

|-

| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001372844/publication/FR322489A?q=FR322489A '''FR'''322489A] 

|| '''Stretch cams''' :''Improvement in the construction of internal combustion engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513981/publication/AT14430B?q=AT14430B '''AT'''14430B] 

|| ''Controllable valve control for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032621397/publication/GB190224250A?q=GB190224250A '''GB'''190224250A] 

|| ''Improvement in the Construction of Explosion Motors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002801728/publication/US733220A?q=US733220A '''US'''733220A] 

|| ''VALVE-GEAR FOR EXPLOSIVE-ENGINES''

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| '''1902''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001376300/publication/FR326199A?q=pn%3DFR326199A '''FR'''326199A] 

|| '''Engine cooling''' : ''A device for cooling internal combustion engines''

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| '''1909''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001453744/publication/FR409630A?q=pn%3DFR409630A '''FR'''409630A] 

|| '''Valve cooling''' : ''Improvement in internal combustion engines''

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|  '''1909''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001458114/publication/FR414413A?q=FR414413A '''FR'''414413A] 

|| '''Krebs concentric valves''' : ''Device for suction and exhaust valves and their control for internal combustion engines operating on combustible gases or liquids''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004290136/publication/CH52317A?q=pn%3DCH52317A '''CH'''52317A] 

|| ''Arrangement and control of the inflow and outflow valves on explosion or internal combustion engines''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008686590/publication/AT51827B?q=AT51827B '''AT'''51827B] 

|| ''Control for combined intake and exhaust valves of internal combustion engines''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525746/publication/GB191014278A?q=GB191014278A '''GB'''191014278A] 

|| ''Improvements in or relating to Valves and Valve-gear for Internal-combustion Engines''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003087787/publication/US1019488A?q=US1019488A '''US'''1019488A] 

|| ''VALVE FOR EXPLOSION-ENGINES''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481791/publication/FR440438A?q=FR440438A '''FR'''440438A] 

|| '''Krebs valveless engine''' : ''Internal combustion engine distribution''

|-

| '''1912''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001500505/publication/FR461176A?q=FR461176A '''FR'''461176A] 

|| '''Helical gear transmission''' : ''Internal combustion engine transmission''

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| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001517855/publication/FR480650A?q=FR480650A '''FR'''480650A] 

|| ''Connection device between connecting rod and piston''

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| '''1916'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001520866/publication/FR484035A?q=FR484035A '''FR'''484035A]

|| ''Valve train''

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|}
==== Carburateurs ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Carburetors|'''''Carburateurs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Carburateur|Carburateur]], [[w:Papillon (mécanique)|Papillon (mécanique)]], [[w:Boîtier papillon|Boîtier papillon]], [[w:Théorème de Bernoulli|Théorème de Bernoulli]], [[w:Effet Venturi|Effet Venturi]]
&lt;br&gt;Voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 ''Krebs carburetor''].

'''1866-1890''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k39790g/f376.item.r=carburateur# Dictionnaire Larousse du XIX° siècle] : &quot;'''Carburateur, trice adj.''' Se dit des appareils destinés à carburer certains corps et particulièrement le gaz d'éclairage.&quot;

'''1900''' - Automobile Magazine: '''Alcohol in Automobile Practice''' : &quot;''In December, at the instance of the Society for the Industrial Utilization of Alcohol, M. '''Krebs''', of the '''Panhard et Levassor''' Company, experimented with a three horse-power Phoenix auto mobile, the only alteration being the widening of the opening to the carbureter. With the Dusart alcohol 4.2 horse-power was developed, and with ordinary 95 per cent. alcohol 3.6 horse- power; with benzine at full speed, 4.4 horse-power. According to Araschaquene it would be sufficient to abolish the tax on alcohol in order to cause it to replace benzine''&quot;. &lt;ref&gt;'''1900-05''' - Automobile Magazine: [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1900-05_2_2/page/178/mode/2up?q=krebs ''L'alcool dans la pratique automobile''].&lt;/ref&gt;

'''1916''' – Panhard &amp; Levassor catalog: &quot;''We have adopted on all our engines a carburetor based on '''an entirely new principle of automaticity''', which rigorously doses the mixture at all speeds and offers the advantage of no longer having any intake additional air, no moving parts. The rubber membrane of our old models is thereby eliminated. In our '''20 HP''' and '''35 HP''' engines, '''the carburetor is double''' and controlled by two accelerator pedals. The ordinary accelerator pedal ensures walking in town and at medium speeds, while the second pedal, actuated with the left foot, brings into play the second carburetor which is added to the first to provide very high speeds, and at this time to provide additional lubrication.''&quot;
{| class=&quot;wikitable&quot;

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! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1899'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-12-30_Brevet_KREBS_pour_Panhard_%26_Levassor_-_%22Carburateur_%C3%A0_niveau_constant%22.pdf '''FR'''295792] 

|| ''A constant level carburettor for petrol engines''

|-

| '''1900'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''FR'''325241A] 

|| '''The CENTAURE carburetor''' : ''A self-adjusting carburetor''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/035248186/publication/GB190000471A?q=GB190000471A '''GB'''190000471A] 

|| ''An Improved in Air Carburators for Petroleum Motors''

|-

| 

||

|| voir infra: '''Alcohol in Automobile Practice'''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032420366/publication/GB190016467A?q=GB190016467A '''GB'''190016467A] 

|| ''A Regulating Charging Valve for Gas or Oil Motors''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003500824/publication/AT8337B?q=AT8337B '''AT'''8337B] 

|| ''Adjustable input device for explosion power machines from the controller''

|-

| '''1902'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001375413/publication/FR325241A?q=FR325241A '''FR'''325241A] 

|| '''The Krebs automatic carburetor''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/322/mode/2up?q=panhard ''A self-adjusting carburetor''] (voir supra: The [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche:Arthur_Constantin_KREBS_(1850-1935)_-_Pionnier_de_l%27a%C3%A9ronautique,_de_la_navigation_sous-marine,_des_services_d%27incendie,_de_l%27automobile_et_gestionnaire_de_grands_projets_technologiques&amp;action=submit#Le_%22carburateur_Krebs%22 Krebs carburetor].)

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000413614/publication/DE146328C?q=DE146328 '''DE'''146328C]

|| ''A carburator for internal combustion engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064172006/publication/ES30512A1?q=ES30512A1 '''ES'''30512A1]

|| ''A graduation and automatic action carburetor''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032155422/publication/GB190222655A?q=GB190222655A '''GB'''190222655A]

|| ''Improvements in Oil Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002802929/publication/US734421A?q=US734421A '''US'''734421A]

|| ''Fuel-governor for oil-engines''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/045200425/publication/CA83889A?q=CA83889A '''CA'''83889A] 

|| ''Oil Machine''

|-

| '''1903'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001382733/publication/FR333127A?q=FR333127A '''FR'''333127A] 

|| '''Improvements to the Krebs carburetor''' : ''Improvements to carburettors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/000424916/publication/DE158769C?q=DE158769C  '''DE'''158769C] 

|| ''Device for automatic regulation of secondary air in mixing devices for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516141/publication/AT15655B?q=AT15655B '''AT'''15655B] 

|| ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003516518/publication/AT15822B?q=AT15822B  '''AT'''15822B] 

|| ''Device for the automatic regulation of the secondary air supply in mixing devices for explosive engines''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002854050/publication/US785558A?q=US785558A  '''US'''785558A] 

|| ''Oil-engine''

|-

|  '''1908'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001446345/publication/FR401546A?q=FR401546A  '''FR'''401546A] 

|| '''The Krebs metering pin carburetor''' : ''Improvements to carburettors for motors''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064221871/publication/ES45533A1?q=ES45533A1  '''ES'''45533A1] 

|| ''Engine Carburetor Improvements''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525523/publication/GB190912043A?q=GB190912043A  '''GB'''190912043A] 

|| ''Improvements in Carburettors for Explosion Motors''

|-

|  '''1912'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/001498296/publication/FR458736A?q=pn%3DFR458736A '''FR'''458736A] 

|| '''The Krebs carburetor with no moving parts''' : ''Improvement brought to carburettors for internal combustion engines''

|-

|  '''1913'''

|| 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_Artillerie_St-Chamond_R%C3%A8glement_de_manoeuvre%3Dle_carburateur_double-corps.pdf '''The double barrel Krebs carburetor'''] (voir infra : 1916–Panhard &amp; Levassor catalog)

|-

|  '''1916'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008906792/publication/FR502997A?q=num%20%3D%20%22FR502997A%22%20AND%20ia%20%3D%20%22PANHARD%22  '''FR'''502997A] 

|| '''The Krebs carburetor for airships and aiplanes''' : ''Automatic carburetion corrector for internal combustion engine operating at different altitudes.''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001522872/publication/FR486245A?q=FR486245A '''FR'''486245A ]

|| ''Improvement brought to the constant level of the carburettors''

|-

|}
==== Allumage ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Ignition|Ignition]], [[commons:Category:Ignition systems|Ignition systems]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Allumage (moteur)|Allumage (moteur)]]
&lt;br&gt;'''1903''' - &quot;''[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/216/mode/2up?q=panhard Panhard &amp; Levassor firm has a new method of distributing] or directing the current successively to the induction coils of a multicylinder motor''.&quot;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

|| 

|| '''The Krebs electric ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426473/publication/GB190200452A?q=GB190200452A '''GB'''190200452A] 

|| ''An Improvement in Electrical Ignition Apparatus for Internal Combustion Engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003514525/publication/AT14673B?q=AT14673B '''AT'''14673B] 

|| ''Switching device for the primary current in electric ignition devices for explosive engines''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002776582/publication/US708053A?q=US708053A '''US'''708053A] 

|| ''Apparatus for distributing the primary current for electric ignition by coils and igniters in explosive-engines''

|-

| '''1904'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/043348598/publication/FR343448A?q=FR343448A '''FR'''343448A] 

|| '''The Krebs magneto ignition''' : ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348105/publication/FR4936E?q=FR4936E '''FR'''4936E] 

|| Addition: ''Mixed electrical ignition for explosion motors''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032626177/publication/GB190412741A?q=GB190412741A '''GB'''190412741A] 

|| ''Improvements in Electric Ignition Apparatus for Internal Combustion Motors''

|-

|}
==== Embrayages ==== 
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Clutches|Embrayages]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Embrayage|Embrayage]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273374_%27Perfectionnements_aux_embrayages%27.pdf '''FR'''273374] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57007322/f446.image.r=panhard '''The Krebs friction clutch''']:  ''Improvements in clutches''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139006/publication/GB189730790A?q=GB189730790A '''GB'''189730790A] 

|| ''	Improvements in Friction Couplings''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002762089/publication/US693551A?q=US693551A '''US'''693551A] 
|| ''Cone clutch''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003497343/publication/AT6940B?q=AT6940B '''AT'''6940B] 

|| ''Friction clutch, especially for motor vehicles''

|-

| '''1900'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A] 

|| ''An Improvement in Cone Clutches''

|-

|'''1902'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032426525/publication/GB190200574A?q=GB190200574A '''GB'''190200574A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9782584r/f469.image.r=krebs ''Improvements in Cone Clutches'']

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002803400/publication/US734893A?q=pn%3DUS734893A '''US'''734893A] 

|| ''CONE-CLUTCH''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003513026/publication/AT13993B?q=AT13993B '''AT'''734893A] 

|| ''cone friction clutch''

|-

|'''1904'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389315/publication/FR340185A?q=FR340185A '''FR'''340185A] 

|| '''Multidisk clutch''' : ''Friction washer clutch''

|-

|'''1906'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] 

|| '''The Krebs ''Panhard type'' gearbox''' : ''Improvements to claw clutches''

|-

|'''1907'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] 

|| '''Multidisk coupling''' : ''Clutch connecting two shafts, one of which rotates at a variable speed and the other at a constant speed''

|-

|'''1911'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485567/publication/FR444601A?q=FR444601A '''FR'''444601A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f57.image.r=panhard '''Multidisk clutches''']: ''Improvements to disc clutches''

|-

|'''1912'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001490629/publication/FR450180A?q=FR450180A '''FR'''450180A] 

|| ''Improvement brought to the construction of the clutches''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526219/publication/GB191226137A?q=GB191226137A '''GB'''191226137A] 

|| ''Improvements in or relating to Clutches''

|-

|}
==== Boîtes de vitesses et transmission ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Transmission|Transmission]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Transmission (mécanique)|Transmission (mécanique)]], [[w:Boîte de vitesses|Boîte de vitesses]]
&lt;br&gt;The '''Panhard Type''' of Gearbox is enhanced by A. C. KREBS.
&lt;gallery&gt;
File:1901-07 - Automobile-Magazine - boite de vitesse Panhard &amp; Levassor 'The Panhard system'.jpg| '''1901-07''' - Automobile Magazine: &quot;''Transmission gears of some European cars - [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1901-07_3_7/page/612/mode/2up?q=panhard the Panhard system]''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 61|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor &quot;'''''single-plate clutch and gearbox'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 67|'''1913''' - The 35HP Panhard &amp; Levassor &quot;'''''double disc clutch'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 81|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor   &quot;'''''differential with bevel satellites and conical couple'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 83|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor   &quot;'''''differential with straight satellites and conical couple'''''&quot;.

File:1917 The original Panhard transmission.png|'''1917''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Study_and_test_to_confirm_automobile_drivetrain_components_to_improve_fuel_economy_-_interim_report_(IA_studytesttoconfi00hurt).pdf&amp;page=12 The Original '''Panhard transmission''']: &quot;''It came into nearly '''universal use''' in the United States by the '''1920's for cars, trucks and buses'''.''&quot;
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1897'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1897-12-21_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR273375_%27Perfectionnements_aux_transmissions_avec_changement_de_vitesse%27.pdf '''FR'''273375] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f235.image.r=panhard '''The mechanical constant-mesh Krebs gearbox''']: ''Improvements to transmissions with speed change''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032139007/publication/GB189730791A?q=GB189730791A '''GB'''189730791A] 

|| ''Improvements in Speed Changing Transmission Gear''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/064173906/publication/ES22155A1?q=ES22155A1 '''ES'''22155A1] 

|| ''Un nuevo sistema de transmisión, particularmente aplicable a los coches automáticos''

|-

| '''1898''' 

|| 

[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960  '''GB'''189902960] 

|| '''VCP''' : ''Improvements in Light Motor Road Vehicles''

|-

| '''1899''' 

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1899-11-11_Brevet_KREBS_pour_P%26L_FR294232_-_%27Syst%C3%A8me_combin%C3%A9_de_changement_de_marche_et_changement_de_vitesse_pour_voiture_automobile%27.pdf '''FR'''294232]

|| ''Combined shifting and gear shifting system for motor car'' &lt;ref&gt;'''1900''' - Revue de mécanique : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5700759q/f661.item.r=PANHARD La transmission Panhard &amp; Levassor].&lt;/ref&gt;

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032537942/publication/GB189923564A?q=GB189923564A '''GB'''189923564A]

|| ''Improvements in Driving Gear for Motor Cars''&lt;ref&gt;'''1902''' - The automobile: &quot;[https://archive.org/details/automobileaprac00haslgoog/page/386/mode/2up?q=panhard  ''The Panhard type'']&quot;. '''1904''' - Self-propelled vehicles: &quot;[https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/354/mode/2up?q=panhard ''Détails du changement de vitesse Panhard-Levassor'']&quot;.&lt;/ref&gt;

|-

| '''1900''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032150677/publication/GB190022975A?q=GB190022975A '''GB'''190022975A]

|| ''An Improvement in Cone Clutches''


|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032423811/publication/GB190114824A?q=GB190114824A  '''GB'''190114824A] 

|| ''Improvements in connection with the Mechanism for Change of Speed and Direction of Motion of Motor Cars''

|-

| '''1901''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950A '''US'''700950A ]

|| '''Change speed box''' : ''MOTOR-VEHICLE''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR351743A '''FR'''351743A] 

|| ''Automatic locking system''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003534007/publication/AT24197B?q=AT24197B '''AT'''24197B] 

|| ''Coupling device''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032188031/publication/GB190515737A?q=GB190515737A  '''GB'''190515737A] 

|| ''Improvements in Interlocking Mechanism for Change Speed Gears and the like''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002890537/publication/US822057A?q=US822057A  '''US'''822057A] 

|| ''SYSTEM OF LOCKING''

|-

|

|| [[w:Engrenage|'''''Harmonic gears''''']]

|| &quot;''In certain cars, particularly '''Panhards''', [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:California_Digital_Library_(IA_completemotorist00youn).pdf&amp;page=334 '''''the musical note caused by the gear wheels'''''] is itself a very fair guide to the changing of speed''.&quot;

|-
|'''1906'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001410298/publication/FR362841A?q=FR362841A '''FR'''362841A] 

|| [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98043305/f300.image.r=panhard '''The Krebs Panhard type gearbox''']: ''Improvements to claw clutches''

|-

| '''1910''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001472555/publication/FR430298A?q=pn%3DFR430298A '''FR'''430298A]

|| ''Automobile tipping dumper with front-wheel drive and steering''

|-

|  

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525843/publication/GB191113942A?q=pn%3DGB191113942A '''GB'''191113942A]

|| ''Improvements in and relating to Tip Wagons and the like''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480297/publication/FR438815A?q=FR438815A '''FR'''438815A]

|| ''Device for shifting and declutching using a single lever''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/008695767/publication/AT62323B?q=AT62323B '''AT'''62323B]

|| ''Speed change gear''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032339729/publication/GB191200983A?q=GB191200983A '''GB'''191200983A]

|| ''Improvements in and relating to Variable Speed Transmission Mechanism''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003180995/publication/US1112810A?q=US1112810A '''US'''1112810A]

|| ''Clutch and Gear Shifter''

|-

| '''1911''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001480878/publication/FR439445A?q=FR439445A '''FR'''439445A]

|| ''Direct drive device applicable to fluid gear shifting devices''

|-

| '''1913''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001511415/publication/FR473344A?q=FR473344A '''FR'''473344A]

|| ''Improvement in motion transmissions in motor cars''

|-

| '''1914''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513323/publication/FR475432A?q=FR475432A '''FR'''475432A ]

|| ''Transmission system for driving and steering vehicle wheels''

|-

| '''1915''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519384/publication/FR482374A?q=FR482374A '''FR'''482374A ]

|| ''Cardan joint lubrication device by oil circulation''

|-

| 

|| 

|| ''The globoïd worm gear rear axle differential''

|-

|}

==== Freins ==== 
'''Catégories''' : [[commons:Category:Brakes|Brakes]], [[commons:Category:Automobile drum brakes|Automobile drum brakes]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Frein à tambour|Frein à tambour]], [[w:Frein moteur|Frein moteur]]
&lt;gallery&gt;
File:1900 Lavergne- Gérard Manuel théorique et pratique de l'automobile sur route='the double-acting krebs brake'p433.png|''The '''1898'''  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AThe_automobile%2C_its_construction_and_management%3B_(IA_automobileitscon00lave).pdf&amp;page=381 '''Krebs double-acting brake on the differential axle.''']

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 91|'''1913''' - The Panhard &amp; Levassor  &quot;'''''double brake on rear wheels'''''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1898'''

||[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1898-12-16_-_Panhard_%26_Levassor_brevet_FR284596_%27Un_syst%C3%A8me_de_voiture_l%C3%A9g%C3%A8re_%C3%A0_moteur_%C3%A0_p%C3%A9trole%27.pdf&amp;page=1 '''FR'''284596] 

|| '''The Krebs double-acting brake on the differential axle''' : &quot;''A two-pronged clamp fixed to the frame, which clamps a pulley mounted on the differential shaft''&quot;

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032144519/publication/GB189902960A?q=GB189902960A '''GB'''189902960A] 

|| ''A two armed clamp fixed to the frame which grips the periphery of a disc mounted on the shaft of the differential coupling''

|-

| '''1900'''

|| 

|| [https://archive.org/details/automobilemaga2151900newy/page/172/mode/2up?q=panhard &quot;'''The water-cooled Krebs brake'''&quot;]

|-

| '''1901'''

||[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-01-14_Brevet_A.C.KREBS_FR307114%3Dsuspension_par_3_points_%2B_frein_sur_le_diff%C3%A9rentiel.pdf '''FR'''30714]

|| '''Three point suspension gearbox''' : &quot;Improvements in shifting and running mechanisms'' (voir supra)

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002769481/publication/US700950A?q=US700950 '''US'''700950A]

|| ''MOTOR-VEHICLE''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369586/publication/FR318975A?q=FR318975 '''FR'''318975]

|| '''Cam brake''' : ''Brake for automobile or other car wheels''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032116936/publication/GB190304167A?q=GB190304167A '''GB'''190304167A]

|| ''Improvements in Brakes for Vehicles''

|-

| '''1904'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001389316/publication/FR340186A?q=FR340186 '''FR'''340186] 

|| '''Expansion brake''' : ''Brake on rear wheels''

|-

| 

|| 

|| [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/148/mode/2up?q=panhard Slack adjuster brake.]

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422561/publication/FR376040A?q=FR376040 '''FR'''376040]

|| '''Krebs motor brake''' : ''Device for obtaining the braking of a motor vehicle by the engine''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003548691/publication/AT33177B?q=AT33177B '''AT'''33177B] 

|| ''Method and device for braking motor vehicles by means of the prime mover''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] 

|| ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117222/publication/GB190802328A?q=GB190802328A '''GB'''190802328A] 

|| ''Improvements in and relating to Braking Means for Automobile Vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003002970/publication/US934547A?q=US934547A '''US'''934547A] 

|| ''Braking means for automobile vehicles''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001430057/publication/FR384090A?q=FR384090 '''FR'''384090A]

|| ''Brake lever''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003553988/publication/AT36868B?q=AT36868B '''AT'''36868B]

|| ''Device for the simultaneous activation of two brakes for all types of vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525450/publication/GB190818853A?q=GB190818853 '''GB'''190818853]

|| ''Improvements in or relating to Braking Mechanism''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004275048/publication/CH43817A?q=CH43817A '''CH'''43817A] 

|| ''Device on four-stroke explosion engines for exerting a braking effect through the engine''

|-

| '''1911'''

||

|| [https://archive.org/details/TheAutomotorJournal2ndHalf1904/page/n643/mode/2up &quot;''Rear-brake drums with a second pair of shoes in their interior.''&quot;]

|-

|}
==== Graissage ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:lubrication|lubrication]], [[commons:Category:Internal combustion piston engine lubrication systems|Internal combustion piston engine lubrication systems]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Lubrification|Lubrification]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001369628/publication/FR319026A?q=FR319026A '''FR'''319026A] 

|| ''Engine lubrication system by a pump driven by exhaust gases''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606192/publication/GB190304379A?q=GB190304379A '''GB'''190304379A] 

|| ''Improved Method of Lubricating Motors and Apparatus therefor''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002821059/publication/US752566A?q=US752566A '''US'''752566A] 

|| ''Device for Lubricating Motors and Machinery Driven Thereby''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377157/publication/FR327150A?q=FR327150A '''FR'''327150A] 

|| ''Lubrication system for engines and components''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001422632/publication/FR376118A?q=FR376118A '''FR'''376118A] 

|| ''Lubricator with adjustable flow for internal combustion engine proportioning the oil flow to the developed power''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003549848/publication/AT33929B?q=AT33929B '''AT'''33929B] 

|| ''Device for controlling the supply of lubricant for internal combustion engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032117223/publication/GB190802334A?q=GB190802334A '''GB'''190802334A] 

|| ''Improvements in and relating to the Lubrication of Internal Combustion Engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002995978/publication/US927552A?q=US927552A '''US'''927552A] 

|| ''Engine-Lubricating Device''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=CH42771A '''CH'''42771A] 

|| ''Lubricator for internal combustion engine''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429283/publication/FR383261A?q=FR383261A '''FR'''383261A] 

|| ''Engine lubricating oil cooling system''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525449/publication/GB190818852A?q=GB190818852 '''GB'''190818852A] 

|| ''Improvements in or relating to the Lubrication of Moving Parts of Engines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/004277622/publication/CH45206A?q=CH45206A '''CH'''45206A] 

|| ''Device for cooling the lubricating oil contained in the crankcase of an engine''

|-

| '''1912'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001494995/publication/FR455065A?q=FR455065A '''FR'''455065A] 

|| ''Improvements to engine lubrication''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032526351/publication/GB191305951A?q=GB191305951A '''GB'''191305951A] 

|| ''Improvements in or relating to the Lubrication of Engines''

|-

| '''1915'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519141/publication/FR482110A?q=FR482110A '''FR'''482110A] 

|| ''Automatic lubricating device by oil circulation of wheel hubs''

|-

| '''1915'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519143/publication/FR482112A?q=FR482112A '''FR'''482112A] 

|| ''Device for lubricating the bearings of a heat engine, by oil circulation at an equal flow rate for all the bearings and at variable pressure''

|-

|}
==== Direction et Suspension ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Automotive suspension technologies|Automotive suspension technologies]], [[commons:Category:Shock absorbers|Shock absorbers]], [[commons:Category:Vehicle dynamics|Vehicle dynamics]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' :  [[w:Suspension de véhicule|Suspension de véhicule]], [[w:Dynamique du véhicule|Dynamique du véhicule]]
&lt;br&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001370512/publication/FR319975A?q=FR319975A '''FR'''319975A] 

|| '''Transversal spring suspension''' : ''Axle system and fore-carriage spring for motor vehicles''

|-

| '''1902'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001377508/publication/FR327527A?q=FR327527A4 '''FR'''327527A] 

|| '''Steering wheel controls''' : [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/288/mode/2up?q=panhard ''A maneuvering device for the control of the motor car engines'']

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002826307/publication/US757815A?q=pn%3DUS757815A '''US'''757815A] 

|| ''APPARATUS FOR CONTROLLING THE SPEED OF MOTOR-CAR ENGINES''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032525118/publication/GB190309077A?q=GB190309077A '''GB'''190309077A] 

|| ''Improvements in Apparatus for Controlling the Speed of Motor Car Engines''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404739/publication/FR356801A?q=FR356801A '''FR'''356801A] 

|| '''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804444j/f52.item Multidisk friction shock absorber]''' : ''Suspension brake for vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001348928/publication/FR5900E?q=FR5900E '''FR'''5900E] 

|| Addition: ''Suspension brake for vehicles''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032198455/publication/GB190516354A?q=GB190516354A '''GB'''190516354A] 

|| ''Improvements in the Method of Checking the Vibrations Imparted to Vehicles Suspended by Springs and in Apparatus therefor''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002928275/publication/US859822A?q=pn%3DUS859822A '''US'''859822A] 

|| ''SHOCK-ABSORBER''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002941272/publication/US872825A?q=US872825A '''US'''872825A] 

|| ''APPARATUS FOR CHECKING OR DEADENING THE VIBRATIONS IMPARTED TO SUSPENDED VEHICLES''

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001481137/publication/FR439730A?q=FR439730A '''FR'''439730A]

|| ''Screw and nut steering for motor vehicles''

|-

| '''1914''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513700/publication/FR475854A?q=FR475854A '''FR'''475854A] 

|| ''Suspension system for four-wheel motor cars''

|-

|

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001513396/publication/FR475517A?q=FR475517A '''FR'''475517A] 

|| ''Improvement in the construction of automobile steering axles''

|-

| '''1915''' 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001519144/publication/FR482114A?q=FR482114A '''FR'''482114A] 

|| '''Disk hub''' : ''Driving device for driving wheels of motor vehicles''

|-

|}

==== '''Accouplements flexibles''' ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Accouplement (mécanique)|Accouplements]], [[commons:Category:Rotating shaft couplers|Accouplements d'arbres]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement (mécanique)|Accouplement (mécanique)]], [[w:Joint de transmission|Joint de transmission]]
===== Premières recherches =====
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1900'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1900-04-09_Brevet_KREBS-P%26L_FR299088_-_%27Palier_%C3%A0_rotule%27.pdf '''FR'''299088] 

|| ''Palier à rotule''

|-

| '''1905'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001399995/publication/FR351702A?q=pn%3DFR351702A '''FR'''351702A] 

|| ''Palier de butée à billes et à rotule''

|-

| 

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003533722/publication/AT24046B?q=AT24046B '''AT'''24046B] 

|| ''Thrust bearing''

|-

|'''1907'''

|| [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001429214/publication/FR383188A?q=FR383188A '''FR'''383188A] 

|| ''Embrayage reliant deux arbres dont l'un tourne à une vitesse variable et l'autre à une vitesse constante''

|-

|}

===== Le joint monodisque =====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Disc couplings|Accouplements à disque]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Accouplement_(mécanique)#Accouplement_à_disque|Accouplement_à_disque]]
&lt;br&gt;'''1909''' - '''The single disc coupling''' : &quot;''The device in question is substantially as follows: The ends of the shafts to be joined, facing each other, are provided with circular or cylindrical extended portions to which is secured alternately a membrane of suitable shape, '''of strong and flexible material such as leather, flexible fiber, suitably woven and prepared canvas''' or any other similar material. The dimensions of the said widened portions and the number of the points at which the material used for effecting the connection indicated is secured to them are in proportion to the strain to be transmitted.''&quot;
&lt;gallery&gt;
File:1910-11-22 US976187A=device for coupling two transmission shafts=first FLECTOR invented by A.C. KREBS.png | [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=US976187A '''1909''' - first FLECTOR Brevet '''US'''976187A &quot;'''''Device for coupling two transmission-shafts'''''&quot;.]

File:1933-10-01 La Dépêche de Brest=PEUGEOT 'le joint FLECTOR de direction'.jpg | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348891q/f8 '''1933''' PEUGEOT advertising: &quot;'''''the steering FLECTOR joint'''''&quot; invented by A. C. KREBS (Brevet 1910-11-22 US976187A).]

File:1937-1938 Cours d'automobile=disc coupling+FLECTOR.jpg |'''1937''' - Automobile course'' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9758588f/f124.item.r=%22Cours%20d'automobile%22 &quot;'''Deformation joints are the Flectors''']. They consist of a stack of discs made of thin sheet steel, rubberized canvas or leather, on which are bolted forks with two or three branches carried by the shafts.''&quot;

File:Single Disk Coupling (with metal disc), invented by A.C. KREBS (patent 1910-11-22 US976187A).webm|Video: '''The single Disk Coupling''' (with metal disc) invented by A.C. KREBS '''is universally used today'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1909'''

|| [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-01-04_Brevet_KREBS-P%26L_FR407594_-_%27Dispositif_de_connexion_de_deux_arbres_de_transmission%27.pdf '''FR'''407594] 

|| '''Disc coupling''' : ''Device for connecting two transmission shafts''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032407241/publication/GB190926602A?q=GB190926602 '''GB'''190926602] 

|| ''Improvements in or relating to Shaft Couplings''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003044565/publication/US976187A?q=pd%20%3D%20%221910-11-22%22%20AND%20ctxt%20%3D%20%22KREBS%22 '''US'''976187A] 

|| ''Device for coupling two transmission-shafts''

|-

|}

===== Le joint élastique '''FLECTOR''' =====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Rag joints|Rag joints]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Joint_de_transmission#Joints_à_axes_concourants|Joints_à_axes_concourants]]
&lt;br&gt;'''1911''' - '''Le joint FLECTOR''' : &quot;''Dans nos modèles 10, 12 et 16 HP Tourisme, ce joint universel est constitué par l'organe élastique que nous nommons &quot;Flector&quot; et qui, formé de toile et de caoutchouc, permet le déplacement relatif des arbres '''sans frottement, sans usure et sans bruit'''. Son adoption donne à la voiture qui en est munie une grande douceur d'entraînement, et il ne réclame aucun  entretien''.&quot;&lt;ref&gt;'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Catalogue Panhard &amp; Levassor'''].&lt;/ref&gt;

&lt;gallery&gt;
File:1911-09-04 Flector joint invented by A. C. KREBS (patents FR445.494, GB17.174, US1.107.315).jpg|'''1911''' - '''FLECTOR Brevet'''  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''.
 |'''1911''' - '''FLECTOR Brevet'''  [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] ''Flexible joint for coupling two transmission shafts''.

File:1913-02-25 La Revue Commerciale=le joint FLECTOR inventé par A. C. KREBS.pdf | [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9805914f/f6.item '''1913''' - The '''FLECTOR joint''' on the 10hp Panhard &amp; Levassor]: &quot;'''''no friction, no wear, no noise, no lubrication'''''&quot;

File:Tyre-coupling.jpg |'''The flexible FLECTOR joint''' invented by A. C. KREBS (Brevet [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A]) '''is universally used today under the name of ''' [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FLECTOR_-_Tyre-Couplings.ogg '''Tire coupling (Video)'''].
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001486381/publication/FR445494A?q=FR445494A '''FR'''445494A] 

|| '''Tire coupling''' : ''Flexible joint for connecting two drive shafts''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032606753/publication/GB191217174A?q=GB191217174 '''GB'''191217174A] 

|| ''Improvements in or relating to Shaft Couplings''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003175507/publication/US1107315A?q=US1107315 '''US'''1107315A] 

|| ''Flexible joint for coupling two transmission-shafts''

|-

|}
==== Camions et moteurs industriels ====
&lt;gallery&gt;
File:1903 - Les usages industriels de l'alcool - camion Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1903''' - Industrial '''uses of alcohol''' : '''Panhard &amp; Levassor truck'''.

File:1904 - Panhard &amp; Levassor - moteur fixe 3cyl.jpg|'''1904''' - Panhard &amp; Levassor: '''3cyl stationary engine designed by A. C. KREBS'''.

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Groupe moto-pompe industriel.jpg|'''1906''' - Panhard &amp; Levassor - '''Industrial motor-pump unit'''.

File:1907-01-05 Omnia - camion Panhard &amp; Levassor au concours de véhicules industriels.jpg|'''1907''' - '''Panhard &amp; Levassor truck''' at the industrial vehicle competition.

File:1908 - Panhard &amp; Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard &amp; Levassor '''trucks catalog'''].

File:1910 - Groupe moteur Panhard &amp; Levassor - &quot;Force motrice et lumière&quot;.jpg|'''1910''' - Groupe moteur Panhard &amp; Levassor: &quot;'''''Force motrice et lumière'''''&quot;. &lt;ref&gt;'''1910''' - '''Groupe moteur''' Panhard &amp; Levassor : &quot;'''''Force motrice et lumière'''''&quot;. &quot;''Ville - Campagne - Atelier : MAXIMUM Rendement, Simplicité, Solidité - MINIMUM Consommation, Usure, Encombrement - FONCTIONNE SANS SURVEILLANCE au gaz de ville, à l'alcool, benzol, à l'essence de pétrole, gaz pauvre''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1910-07-10 - La Revue Commerciale - Le groupe électrogène et le moteur industriel Panhard &amp; Levassor.jpg|'''1910''' - The Panhard &amp; Levassor [https://archive.org/details/Theautomobile22/theautomobile16/page/n583/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''generator'''] and the '''industrial engine'''.

File:Chatillon-Panhard heavy artillery tractor prototype 1911.jpg|'''1911''' - '''Prototype of the  Châtillon-Panhard heavy artillery tractor''', all wheel drive and all wheel steering.

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - voiture de Livraison.jpg|'''1913''' - Panhard &amp; Levassor: '''Delivery van'''.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 88|'''1913''' - The 16HP van chassis  Panhard &amp; Levassor:   &quot;'''''engine block and swing axle'''''&quot;.

File:1914-1918 - Panhard &amp; Levassor - camion K16.jpg|'''1914-1918''' - Panhard &amp; Levassor: '''K15 truck'''.

File:1919 - Panhard Motors Co - the Panhard-truck.pdf|'''1918''' - Motor-age: The [https://archive.org/details/sim_motor-age_1918-11-28_34_22/page/34/mode/2up?q=%22panhard+truck%22 '''Panhard Truck Built for Durability.'''] &lt;ref&gt;'''1919''' - '''Apex''' ([https://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton_(automobile_company) Hamilton Motors Company])  - [https://archive.org/details/saturdayeveningp1922unse/page/384/mode/2up?q=%22Panhard+Motors+Co%22 The twin-frame truck]: ''&quot;At the request of the Panhard-Levassor Co., of Paris, France, we have relinquished the name &quot;Panhard&quot;, and since September 1, '''1919''', our truck has been known as the &quot;Apex&quot;. Hamilton Motors Co., formerly '''Panhard Motors Co.'''&quot;''&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
==== Machines à bois ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Scierie|Scierie]], [[commons:Category:Sciage|Sciage]], [[commons:Category:Scie pour le bois et l'ameublement|Scie pour le bois et l'ameublement]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Scierie|Scierie]], [[w:Sciage|Sciage]], [[w:Débit (bois)|Débit (bois)]], [[w:Usine Municipale Pavage de Bois|Usine Municipale Pavage de Bois]]
&lt;gallery&gt;
File:1889 - Panhard &amp; Levassor Large band saw for metal cutting.pdf|'''1889''' - Panhard &amp; Levassor:  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Reports_of_the_United_States_Commissioners_to_the_Universal_Exposition_of_1889_at_Paris_(IA_cu31924107177085).pdf&amp;page=364 &quot;'''Large band saw for metal cutting'''&quot;] at the Paris universal exposition.

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (cartes postales) - machines à bois.pdf|page=7|'''1905''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1905_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_anniversaire-50-ans_usine_(cartes_postales)_-_machines_%C3%A0_bois.pdf&amp;page=1 '''Wood working machine tools''' and '''Band Saws'''].

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C. KREBS - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf&amp;page=1 '''Catalog of woodworking machine-tools for car wheels'''].

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines-à-bois - scies à ruban.pdf|'''1906''' - '''Panhard &amp; Levassor''' managed by A. C KREBS: Catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines-%C3%A0-bois_-_scies_%C3%A0_ruban.pdf '''woodworking machine-tools - band saws'''].

File:1915 - Publicité en Amérique pour les scies à ruban Périn fabriquées à Paris par les usines Panhard &amp; Levassor dirigées par A. C. KREBS.pdf|'''1915''' - Advertisement in America for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1915_-_Publicit%C3%A9_en_Am%C3%A9rique_pour_les_scies_%C3%A0_ruban_P%C3%A9rin_fabriqu%C3%A9es_%C3%A0_Paris_par_les_usines_Panhard_%26_Levassor_dirig%C3%A9es_par_A._C._KREBS.pdf '''Périn band-saws'''] manufactured in Paris by the '''Panhard &amp; Levassor works''' managed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1899'''

||[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57012688/f243.image.r=panhard '''FR'''288849A] 

|| ''Sharpener''

|-

| '''1905'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR359604A '''FR'''359604A] 

|| ''Automatic circuit breaker''

|-

| '''1906'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR362842A '''FR'''362842A] 

|| ''Locking system for tool trolleys and others''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DFR365473A '''FR'''365473A] 

|| ''Automatic tool release system in trolley machines''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003539644/publication/AT27469B?q=AT27469B '''AT'''27469B] 

|| ''Device for automatically removing the tool from the workpiece in machine tools with a reciprocating carriage''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/027826630/publication/DK10576C?q=DK10576C '''DK'''10576C] 

|| ''Self-propelled device for putting the tool out of business in machine tools with reciprocating carriage''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DCH40671A '''CH'''40671A] 

|| ''Machine tool carriage with device for automatically disengaging tool and work piece''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search?q=pn%3DGB190707906A '''GB'''190707906A] 

|| ''Improvements in or relating to Machine Tools with Sliding Tables or Carriages''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002961283/publication/US892854A?q=US892854A '''US'''892854A] 

|| ''SLIDING TABLE OR CARRIAGE FOR METAL-CUTTING MACHINES''

|-

| '''1908'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001449977/publication/FR405501A?q=pn%3DFR405501A '''FR'''405501A] 

|| ''Protective finger for sawing machines for wood or any other material''

|-

| '''1911'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001485566/publication/FR444600A?q=pn%3DFR444600A '''FR'''444600A] 

|| ''Gear Profile Checking Machine''

|-

| '''1912'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032242055/publication/FR451001A?q=pn%3DFR451001A '''FR'''451001A] 

|| ''Log sawing machine, automatic''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191214154A?q=GB191214154A '''GB'''191214154A] 

|| ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber''

|-

| '''1913'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032299533/publication/FR19438E?q=FR19438E '''FR'''19438E] 

|| Addition: ''Log sawing machine, automatic''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032799883/publication/GB191324475A?q=GB191324475A '''GB'''191324475A] 

|| ''Automatically Acting Machine for Cutting Up Timber''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001512578/publication/FR474617A?q=pn%3DFR474617A '''FR'''474617A] 

|| ''Apparatus for grinding the teeth of band saw blades''

|-

|}


==== Autres brevets ====
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Date !! Brevet !! Intitulé

|-

| '''1903'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001379309/publication/FR329471A?q=FR329471A '''FR'''329471A] 

|| ''Silent exhaust tank''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002815022/publication/US746527A?q=US746527A '''US'''746527A] 

|| ''EXHAUST-BOX OR SILENCER FOR EXPLOSION-ENGINES''

|-

| 

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032541423/publication/GB190306365A?q=GB190306365A '''GB'''190306365A] 

|| ''Improvements in Exhaust Boxes or Silencers for Explosion Engines''

|-

| '''1907'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001423213/publication/FR376739A?q=pn%3DFR376739A '''FR'''376739A]

|| ''Detachable tire rim''

|-

|

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032633977/publication/GB190715724A?q=GB190715724A '''GB'''190715724A]

|| ''An Improved Fitting or Attachment for the Wheels of Motor Cars and similar Vehicles''

|-

| '''1913'''

||[https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001498438/publication/FR458896A?q=FR458896A '''FR'''458896A]

|| ''Removable wheel fixing device''

|-

|}
=== '''Aviation''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Aéronautique|Aéronautique]], [[commons:Category:Activité aérienne|Activité aérienne]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Aéronautique|Aéronautique]], [[w:Aviation|Aviation]]
&lt;br&gt;'''1910''' - [https://archive.org/details/aircraft219111912newy/page/200/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Aircraft''']: &quot;''On June 14th. among the visitors to the Farman School at Buc, was '''Commandant Krebs''', the director of the Panhard-Levassor firm. He was taken for a lenthy trip by Mr. '''Maurice Farman''', who afterwards carried M. Defly, an engineer of the Panhard firm.''&quot;

==== Le moteur du monoplan Tellier ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Alphonse Tellier|Alphonse Tellier]], [[commons:Category:Tellier 1910 monoplane|Tellier 1910 monoplane]], [[commons:Category:Tellier aircraft|Tellier aircraft]], [[commons:Category:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Émile Dubonnet|Émile Dubonnet]]
:[[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Alphonse Tellier (constructeur aéronautique)]]
&lt;gallery&gt;
File:1909 - Le moteur d'aviation Panhard &amp; Levassor à soupapes concentriques de A. C. KREBS.pdf|'''1909''' - The Panhard &amp; Levassor '''aviation engine with concentric valves''' designed by A. C. KREBS.

File:1910-04-23 - Dubonnet survole Paris sur avion Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor.png|'''1910''' - '''Dubonnet flies over Paris''' on a Tellier plane with a Panhard &amp; Levassor engine designed by A. C. KREBS.

File:1910-04-26 - Théodore-Roosevelt regardant voler Dubonnet à Issy.jpg|'''1910''' - '''Theodore Roosevelt watching Dubonnet fly''' to Issy on '''Tellier plane''' with '''Panhard &amp; Levassor''' engine.

File:1910-04-23 - A. C. Krebs et Emile Dubonnet à Bagatelle après la traversée de Paris sur avion Tellier.png|'''1910''' - '''A. C. KREBS''' (left) and '''Emile DUBONNET''' (1882-1950) '''after crossing Paris on a Tellier plane''' with the Panhard &amp; Levassor engine designed by KREBS.

File:1910-05-25 - Avion Tellier modifié - le moteur Panhard &amp; Levassor de A. C. KREBS.png|'''1910''' - '''Modified Tellier aircraft''' : the Panhard &amp; Levassor engine with concentric valves designed by A. C. KREBS.

File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - '''''Dubonnet wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a Tellier monoplane powered by Panhard &amp; Levassor''''', whose engine is designed by A. C. KREBS (by GAMY).

File:1911 - Monoplanes and biplanes - The Tellier monoplane.pdf|'''1911''' - '''Monoplanes and biplanes''' : The '''Tellier monoplane''' powered with the Panhard &amp; Levassor concentric valves engine designed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
==== Moteurs d'avions ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:'''''Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Propulsion des aéronefs|Propulsion des aéronefs]]
&lt;br&gt;'''1902''' - '''Wilbur Wright''' to '''Octave Chanute''' : &quot;''I also enclose a letter from France which I take to be from '''Capt. Krebs''', though my acquaintance with foreign customs of signing names leaves me in some doubt as to who it is from. Can you enlighten me?''&quot; &lt;ref&gt; [https://www.loc.gov/item/wright002807/ '''1902'''-04-12 - W. Wright to O. Chanute letter]&lt;/ref&gt;
'''O. Chanute''' to '''W. Wright''' : &quot;''I return the French letter, which is from '''Commandant Krebs''', formerly associated with  [[w:Charles_Renard|Colonel  Renard]].''&quot; &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/correspondenceo00chan '''1902'''-05-05 - O Chanute to W. Wright letter]&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1909-08-13 - Biplan Obre à moteur Panhard &amp; Levassor 60cv.png|'''1909''' - Obre biplane with '''Panhard &amp; Levassor 60hp engine''' designed by A. C. KREBS.

File:1909 - Moteur Panhard &amp; Levassor 100cv pour l'avion Voisin-Bolotoff.png|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor 100hp engine designed by A. C. KREBS for the '''Voisin-Bolotoff aircraft'''.

File:1909 - Moteur Panhard &amp; Levassor 120cv sur le Biplan-Henry FARMAN.png|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor 120hp engine designed by A. C. KREBS on the '''Henry FARMAN biplane'''.

File:1909-09-25 - 1ère Exposition de Locomotion Aérienne - le stand Panhard &amp; Levassor.png|'''1909''' - '''1st Air Locomotion Exhibition''' : the '''concentric valve engine''' designed by A. C. KREBS on the Panhard &amp; Levassor stand.

File:1910-11-01 - La Revue de l'Aviation à Paris.jpg|'''1910-11-01''' - The '''Revue de l'Aviation in Paris''' - Exhibition of aircraft manufacturers.

File:1912 - Moteur d'aviation Panhard &amp; Levassor V8 100HP.jpg|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor '''V8 100HP aviation engine''' designed by A. C. KREBS.

File:1917 - Panhard &amp; Levassor - Moteur V12J du Glisseur Tellier.jpg|'''1915''' - Panhard &amp; Levassor [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k98100943/f220.image.r=panhard '''V12J aviation engine'''] of the '''Glisseur Tellier''' designed by A. C. KREBS.
&lt;/gallery&gt;
==== Hélicoptères avec [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/300955 Gustave PLAISANT] ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Helicopters|'''''Helicopters''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Hélicoptère|Hélicoptère]]
&lt;br&gt;'''1912''' - Gustave PLAISANT: &quot;''During fixed-point tensile tests that I recently carried out on a cycloidal thruster '''at the Laboratoire des Etablissements Panhard et Levassor''' with the gracious authorization of '''Commander Krebs''', I was led to study different combinations of propellers [...]''&quot; &lt;ref&gt; '''1912-01-01''' - L'Aérophile: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6552332d/f276.image.r=krebs ''Vers l'hélicoptère''].&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, tome 155, 1912.djvu|page 1608|'''1912''' - Académie des Sciences - '''Aeronautics''' : &quot;''On a cycloidal air attack mode by M. '''Gustave PLAISANT'''.''&quot;

File:1913-01-01 L'Aérophile=essais d'hélicoptères à l'usine P&amp;L avec Gustave PLAISANT.jpg|'''1912''' -  L'Aérophile: '''helicopter tests in the laboratory of the Panhard &amp; Levassor factory''' by Gustave PLAISANT with the help of Arthur Constantin KREBS
&lt;/gallery&gt;
=== '''Le procès [https://en.wikipedia.org/wiki/George_B._Selden SELDEN]''' avec [[w:Henry_Ford|'''Henry FORD''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:US549160|'''''US549160''''']], [[commons:Category:Association of licenced Automobile Manufacturers|'''''Association of licenced Automobile Manufacturers''''']], [[commons:Category:Henry Ford|'''''Henry Ford''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:George_Brayton#Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden|Du_procès_Brayton_au_brevet_de_Selden]]
&lt;br&gt;En '''1906''' A. C. Krebs s'est rendu aux États-Unis pour témoigner dans l'affaire Selden, dans laquelle Panhard &amp; Levassor était associé à Henry Ford en tant que partie adverse. Il a probablement rencontré Henry Ford lors de la présentation des preuves pour le brevet Selden ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/002617903/publication/US549160A?q=US549160 '''US'''549160]) les 29-30 octobre 1906 dans un garage de New York. &lt;ref&gt;'''1906''' [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf&amp;page=192 témoignage de A. C. Krebs au procès Selden]: &quot;''XQ426. Vous n'aviez jamais vu les moteurs Selden, ni le moteur à trois cylindres ni le moteur à un cylindre que vous avez inspecté au garage de New York les 29 et 30 octobre, en fonctionnement, n'est-ce pas ?''&quot; &lt;/ref&gt;

Il convient de noter les nombreuses similitudes de principe entre la '''voiture Clément-Panhard''' de '''1898''' et la [[W:Ford_T|'''Ford model T''']] of '''1908''' (voir supra).
&lt;gallery&gt;
File:1877 Brevet-Rosenwald FR116871'=système de locomotion par le gaz'.pdf|'''1877''' - '''Brevet Rosenwald''' ('''FR'''116871) : &quot;'''''Système de locomotion par le gaz'''''&quot; est cité dans l'affaire Selden.

File:1882-1884 - Delamare Deboutteville Malandin car.pdf|'''1882-1884''' - [[w:Édouard_Delamare-Deboutteville|Édouard Delamare-Deboutteville &amp; Malandin]]: '''La première voiture à 4 roues avec un moteur à 4 temps brevetée''' :  [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Delamare-Debouttevile-et-Malandrin_vehicles Brevet '''FR'''160267 du 12-02-1884] – ( [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9803886z/f152.image.r=deboutteville '''8cv - 10km/h avec allumage électrique et volant''']).

File:1906 Arthur Constantin KREBS testimony during the Selden case (annotated transcript).pdf|'''1906''' - '''Témoignage de A. C.  KREBS à New-York''' lors de l'affaire Selden ('''transcription annotée''').

File:Portrait of Henry Ford.jpg|'''1913''' - Portrait de '''Henry Ford''' (1863-1947).
&lt;/gallery&gt;
=== L'Organisation scientifique du travail avec [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|Ch. de Fréminville]] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]]
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Scientific management|'''''Scientific management]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Organisation scientifique du travail|Organisation scientifique du travail]]
&lt;br&gt;'''1904''' - '''Ways to combat or prevent dust''' : [https://archive.org/details/mmoiresetcompte04unkngoog/page/716/mode/2up?q=%22commandant+krebs%22 '''Commandant Krebs''' requests the tarring of the street of the establishments on Avenue d'Ivry.].
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Date !! Review !! Article
|-
| '''1911'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1911/10/metal19110810p786/metal19110810p786.html Le jeune ingénieur] 
|-
| '''1914'''
|| Société d'économie sociale (in ''La Réforme Sociale'')
|| [https://archive.org/details/etudessociales6719unse/page/316/mode/2up?q=fr%C3%A9minville+panhard Le  Système  Taylor  et  l'orqanisation  scientifique  du  travail  dans  les  ateliers] 
|-

|-

| '''1915'''

|| Revue de métallurgie

|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1915/09/metal19151209p729/metal19151209p729.html James Hartness: Le facteur humain dans l’organisation du travail (Translation and introduction by charles de Fréminville)] 
|-
|-
| '''1917'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1917/07/metal19171407p586/metal19171407p586.html L’utilisation des mutilés pour l’organisation du travail] 
|-
|-
| '''1926'''
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/04/metal19262304p199/metal19262304p199.html 1-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)] 
|-
|-
|
|| Revue de métallurgie
|| [https://www.metallurgical-research.org/articles/metal/abs/1926/05/metal19262305p269/metal19262305p269.html 2-Évolution de l’organisation scientifique du travail à propos du Congrès International de Bruxelles (Octobre 1925)]  
|-
|}

=== Les innovations avec le  [[w:Arsène d'Arsonval|'''Pr Arsène d'ARSONVAL''']] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Arsène d'Arsonval|Arsène d'Arsonval]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS et [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Pr Arsène d'ARSONVAL]], médecin, physicien et académicien, sont amis de longue date.
&lt;gallery&gt;
File:1889~Album Course 01 'première voiture de course'.jpg | '''1891''' - '''D'Arsonval''' : &quot;''Nous décidâmes, un beau jour de 1891, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile'''&quot;[...] &lt;ref&gt;'''1937''' - [https://archive.org/details/d-arsonval-soixante-cinq-ans-a-travers-la-science/page/232/mode/2up?q=panhard &quot;D'Arsonval - 65 ans à travers la science&quot;], Louis Chauvois, Paris.: &quot;''Dans les ateliers ''[[W:Panhard|Panhard &amp; Levassor]]'' un moteur à essence '''[[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]]''' de 2CV  établi sur un bâti fixe, faisait fonctionner la scie débitant les pièces de bois. Qu'à cela ne tienne ! &quot;Nous décidâmes, un beau jour de 1891 [plutôt 1890], nous dit M. d'Arsonval, Levassor et moi, avec le chef d'atelier [[W:%C3%89mile_Mayade|MAYADE]], de disposer ce moteur '''sur un chariot mobile''' et nous construisîmes ainsi l'un des premiers engins à rouler sur le sol&quot;.&quot;&lt;/ref&gt;

File:Collège de France. M. le professeur d'Arsonval, membre de l'Institut.jpg| '''1902''' - ''A. D'Arsonval (1851-1940) prète son laboratoire au Collège de France à A. C. KREBS pour lui permettre de développer sa théorie sur le carburateur automatique pour automobiles''.

File:Panhard &amp; Levassor Break 1898 (CNAM-IMG 0624).jpg |[[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|Arsène d'ARSONVAL]] commande cette voiture à son ami A. C. KREBS, directeur des usines '''Panhard &amp; Levassor''' le [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AGetty_Research_Institute_(IA_laretrospectived00expo).pdf&amp;page=56 '''07-09-1897'''], en demandant qu'une dynamo soit ajoutée pour permettre de générer de l'électricité pour ses expériences. &lt;ref&gt;'''1898''' Panhard-M2F d'Arsène d'ARSONVAL presentée au [https://collections.arts-et-metiers.net/?queryId=28f7ab4d-a8b2-45e9-82f1-785523e4f7c6 musée du Cnam (Paris)].&lt;/ref&gt;

File:1905 LA-NATURE=Voiture-radiologique-Gaiffe-d'Arsonval-Panhard.jpg |'''1904''' - A. C. KREBS construit la '''voiture radiologique''' GAIFFE et d'ARSONVAL qui produit le courant alternatif et le courant continu pour 
les appareils médicaux. &lt;ref&gt;'''1905''' - [http://cnum.cnam.fr/CGI/sresrech.cgi?4KY28.64/104 La voiture radiologique Gaiffe-Panhard], ''[[W:La_Nature|LA NATURE]]'', p100, Paris]. &lt;/ref&gt;

File:1909 Institut général psychologique - Section des recherches psychiques et physiologiques = Documents sur Eusapia Palladino avec d'Arsonval Krebs (1905) Curie.pdf|page 11|'''1905''' - A. C. Krebs participe à des '''séances de spiritisme scientifique''' organisées par [[W:Ars%C3%A8ne_d%27Arsonval|A. d'Arsonval]], aux côtés de personnalités scientifique comme [[W:Marie_Curie|Mme Curie]]. &lt;ref&gt;'''1909''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k57730276/f82.image.r=krebs Institut général psychologique]: Section des recherches psychiques et physiologiques : documents sur [[w:Eusapia Palladino|Eusapia Palladino]] : &quot;''[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf&amp;page=83 J'ai senti une pression faite sur mon bras gauche, comme avec une boule de coton]''&quot;.&lt;/ref&gt;
&lt;/gallery&gt;
'''1891''' : Pr s'Arsonval aide Levassor pour son brevet '''FR'''215695 du 21-08-'''1891''' : &quot;'''Perfectionnements aux moteurs à gaz'''&quot;.

'''1894''' - [https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=arsonval '''Société Française de Physique''']: Pr d'Arsonval demonstrates that the Panhard &amp; Levassor petroleum engine is &quot;''the real engine applicable to road traction''&quot;. &lt;ref&gt;[https://archive.org/details/sancesdelasocit19physgoog/page/n104/mode/2up?q=panhard '''1894-03-02''' - '''Société française de physique''']: &quot;''M. d'Arsonval operates in front of the Company a petroleum engine built by the Panhard and Levassor Cy on the data of M. [[W:Gottlieb_Daimler|Daimler]].''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade|submarines] (voir infra).

'''1902''' - A. d'ARSONVAL lends his laboratory at '''the Collège de France''' to A. C. KREBS for his preliminary experiments on his '''automatic carburetor'''.

'''1905''' - A. d'ARSONVAL presents to the Academy of Sciences the note of A. C. KREBS on his '''electric dynamometric brake''' (voir supra) allowing to precisely measure the power of petroleum engines. &lt;ref&gt;'''1905-11-13'''  - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3095m/f757.item.r=krebs Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences]: ''Applied mechanics. On a dynamometric brake intended for measuring the power of motors, which allows the use, in electrical form, of most of the work developed. Note by M. A. Krebs, presented by M. A. d'Arsonval.'' &lt;/ref&gt;

'''1905''' - A. C. KREBS participated in '''scientific spiritualism sessions''' organized by academician A. d'ARSONVAL within the framework of the General Psychological Institute. &lt;ref&gt;'''1909''' - Spiritualism sessions organized by academician Arsène d'Arsonval within the framework of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_Institut_g%C3%A9n%C3%A9ral_psychologique_-_Section_des_recherches_psychiques_et_physiologiques_%3D_Documents_sur_Eusapia_Palladino_avec_d%27Arsonval_Krebs_(1905)_Curie.pdf the '''General Psychological Institute''']&lt;/ref&gt;

=== Le '''Rhéomètre''' de A. C. KREBS ===
'''Voir aussi''' : [[w:Rhéomètre|Rhéomètre]], [[w:Viscosimètre|Viscosimètre]], [[w:Rhéologie|Rhéologie]], [[w:Fluide (matière)|Fluide (matière)]]
&lt;gallery&gt;
File:1907-04-20 Génie-Civil - le rhéomètre de A. C. KREBS.jpg|''''1907''' - '''Le Génie Civil''' : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6488843c/f12.image.r=krebs &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;] (rhéomètre).
File:1909-01-15 La Technique Automobile - le voluliquimètre (rhéomètre) de Krebs.jpg|'''1909''' - '''La technique Automobile''' : &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''&quot; (rhéomètre).
&lt;/gallery&gt;
'''1907''' – '''Communication à l'académie des Sciences''' de A. C. KREBS (cf. infra) : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&amp;page=747 &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;].

'''1909''' - '''La Technique automobile''' : &quot;''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9804447s/f77.image.r=krebs Le voluliquimètre de Krebs]''&quot;.
=== A. C. KREBS et [[w:Ettore Bugatti|'''Ettore BUGATTI''']] ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Ettore Bugatti|'''''Ettore Bugatti''''']], [[commons:Category:Bugatti|'''''Bugatti''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ettore Bugatti|Ettore Bugatti]]
&lt;br&gt;'''1913-01-24''' : '''Panhard &amp; Levassor board''' - &quot;Mr. Director [A. C. KREBS] reports '''on the visit he made to Mr. Bugatti in his factory''' in Molsheim [Alsace] where he was able to test the cars built by Mr. Bugatti and engines on dynamometric break. Mr. Director noticed different '''very interesting construction processes'''; However, he thinks that Mr. Bugatti, to achieve this result, '''makes the material work at its greatest limit of resistance''', which is contrary to the ways of proceeding in our company which always tend to keep a fairly large margin in the resistance of the metal&quot;.

=== Les '''véhicules militaires''' ===
Krebs utilized his former military membership to supply the French Army with engines and vehicles including the '''1904''' Genty [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]], the '''1911''' Châtillon-Panhard 4x4 truck, the [[w:Saint-Chamond (char)|'''1916''' char Saint-Chamond]], and others.

==== Les automobiles à Madagascar pour le '''Général Galliéni''' ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Joseph Gallieni|'''''Joseph Gallieni''''']], [[commons:Category:French Madagascar|'''''French Madagascar''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Joseph Gallieni|Joseph Gallieni]]
&lt;br&gt;'''1899''' - General Gallieni, governor of Madagascar, brought three Panhard &amp; Levassor cars from Paris, two 12hp cars and one 6hp car. &lt;ref&gt;'''1908''' - Neuf ans à Madagascar (General Galliéni) : &quot;''[https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/170/mode/2up?q=panhard Le premier essai d'automobilisme en pays malgache] [...] Une voiturette six-chevaux et deux voitures douze-chevaux Panhard-Levassor, essayées sur les deux routes de Tamatave et de Majunga, donnèrent [https://archive.org/details/neufansmadagas00gall/page/n371/mode/2up?q=panhard des résultats aussi satisfaisants que je pouvais l'espérer].''&quot;. &lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:Gallieni.jpg|'''1897''' - '''Gallieni''' (1849-1916) (seated) and his staff in Madagascar: Hubert '''Lyautey''' (left) and Jean-Noël '''Savelli''' (center).

File:1900 - Panhard &amp; Levassor - Construction d'une route avec une rampe à 15% à Madagascar.jpg|'''1900''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5687124k/f2.item '''Construction of a road'''] with a 15% ramp in Madagascar.

File:1900 - Panhard &amp; Levassor - Arrivée des officiels à Tananarive.jpg|'''1900''' - Arrival of General Galliéni in Tananarive with the '''6cv Panhard &amp; Levassor'''.

File:1901 - Panhard &amp; Levassor sur la route de l'est.jpg|'''1901''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k104768j/f80.image.r=panhard '''Panhard &amp; Levassor 12hp car'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni on the eastern route.

File:1902 - Panhard &amp; Levassor - Personnel et matériel à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://archive.org/details/sim_industrial-management-1916_engineering-magazine_1905-03_28_6/page/910/mode/2up?q=panhard '''Panhard &amp; Levassor vehicles'''] supplied by A. C. KREBS to General Galliéni in Madagascar.

File:1902 - Panhard &amp; Levassor - Service de la Poste à Madagascar.jpg|'''1902''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5737277x/f119.image.r=panhard Postal service in Madagascar] with a '''Panhard &amp; Levassor break 15hp adapted to high temperatures'''.
&lt;/gallery&gt;
==== Les moteurs pour '''les dirigeables [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy]]''' &amp; [[w:Société Astra|Astra]] ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Lebaudy airships|'''''Lebaudy airships''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Lebaudy Frères|Lebaudy Frères]]
A. C. KREBS built all the '''engines for Lebaudy military airships'''.
&lt;gallery&gt;

File:Lebaudy airship RAE-O426.jpg|'''1910''' - The Lebaudy airship [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65639070/f565.image &quot;'''''Morning Post '''''&quot;], with '''2 Panhard &amp; Levassor engines''', in flight.

File:1968 Chitty-Chitty-Bang-Bang dirigible inspired by the French Lebaudy dirigible.pdf|'''1968''' - '''A. C. KREBS''' will provide all the '''Panhard &amp; Levassor engines''' for the '''Lebaudy-type french military airships'''.
&lt;/gallery&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;

|-

! Year       !! Airship !! Comments

|- 

| '''1905''' || '''Jaune III''' || '''Lebaudy''', 2950m3, '''50HP Panhard &amp; Levassor''', 33km/h

|- 

| '''1906''' || '''Jaune IV''' || '''Lebaudy''', 3300m3, '''50HP Panhard &amp; Levassor''', 36km/h

|- 

| '''1906''' || [[w:Patrie (dirigeable)|'''Patrie''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m30 diam., 3250m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor''', 41km/h

|- 

| '''1908''' || [[w:République (dirigeable)|'''République''']] || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor''', 42km/h

|- 

| '''1909''' || '''Russie''' || '''Lebaudy''', 61m, 10m80 diam., 3700m3, '''70HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 

| '''1909''' || '''Liberté''' || '''Lebaudy''', 65m80, 11m45 diam., 4600m3, '''120HP Panhard &amp; Levassor''', 41km/h

|- 

| '''1909''' || '''Colonel Renard''' || '''Astra''', 65m50, 10m80 diam., 4200m3, '''120HP  Panhard &amp; Levassor''', 38km/h

|- 

| '''1909''' || '''España''' || '''Astra''', 65m50, 12m66 diam., 4200m3, '''120HP Panhard &amp; Levassor''', 40km/h

|- 

| '''1910''' || [[w:Lebaudy Morning Post|'''Morning Post''']] || '''Lebaudy''', 103m, 12m diam., 10000m3, '''2x135HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 

| '''1910''' || '''Lebedi''' || '''Lebaudy''', 61m, 11m diam., 3700m3, '''2x70HP Panhard &amp; Levassor'''

|- 
| '''1911''' || '''Capitaine Marchal''' || '''Lebaudy''', 85m, 12m80 diam., 7200m3, '''2x70HP Panhard &amp; Levassor''', 45km/h

|- 

| '''1911''' || '''Lieutenant Selle de Beauchamp''' || '''Lebaudy''', 89m, 14m60 diam., 10000m3, '''2x80HP Panhard &amp; Levassor''', 45km/h

|- 

| '''1912''' || '''Adjudant Réau''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard &amp; Levassor''', 50km/h

|- 

| '''1912''' || '''Lieutenant Chauré''' || '''Astra''', 80m, 14m diam., 88500m3, '''2x110HP Panhard &amp; Levassor''', 50km/h

|-

|}

==== Les moteurs pour '''sous-marins''' au benzol ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Naiade class submarine (1903)|Naiade class submarine (1903)]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Classe Naïade|Classe Naïade]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS built all the engines for the '''Naïade class submarines'''.
&lt;gallery&gt;
File:Sous-marin Thon.JPG|'''1908''' - Naïade-class submarine '''Thon'''.
&lt;/gallery&gt;
'''1901-1905''' - A. d'ARSONVAL having proved that [[w:benzol|benzol]] presented no risk of explosion in a confined environment, the French navy ordered '''benzol engines''' from A. C. KREBS for its [[w:Classe Naïade||sous-marins].
{| class=&quot;wikitable nowraplinks&quot;
|+ '''''Naïade''-class submarines equiped with Panhard &amp; Levassor benzol engines'''
! Name !! Pennant number !! Namesake !! Builder !! Launched !! Comments
|-
| [[w:Alose (sous-marin)|Alose]] || Q33 || &quot;[[w:Shad]]&quot; || [[w:Arsenal de Toulon]] || 12 October 1904 || [[w:Navy List|Stricken]] May 1914; preserved as museum ship
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Anguille_(1904) Anguille] || Q32 || &quot;[[w:Eel]]&quot; || Arsenal de Toulon || 8 August 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Bonite_(1904) Bonite] || Q19 || &quot;[[w:Bonito]]&quot; || Arsenal de Toulon || 6 February 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Castor_(1903) Castor] || Q26 || &quot;[[w:Castor (genus)|Beaver]]&quot; || [[w:Arsenal de Rochefort]] || 5 November 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Dorade_(1903) Dorade] || Q22 || &quot;[[w:Dolphinfish|Dorado]]&quot; || Arsenal de Toulon || 5 November 1903 || Stricken May 1914 
|-
|  [https://pl.wikipedia.org/wiki/Esturgeon_(1904) Esturgeon] || Q18 || &quot;[[w:Sturgeon]]&quot; || Arsenal de Toulon || 8 January 1904 || Stricken 1912 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Grondin_(1904) Grondin] || Q31 || &quot;[[w:Sea robin|Gurnard]]&quot; || Arsenal de Toulon || 15 July 1904 || Stricken 1913  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Loutre_(1903) Loutre] || Q25 || &quot;[[w:Otter]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 25 August 1903 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludion_(1904) Ludion] || Q24 || &quot;[[w:Cartesian diver|Diver]]&quot; || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Lynx_(1903) Lynx] || Q23 || &quot;[[w:Lynx]]&quot; || [[w:Arsenal de Cherbourg]] || 24 November 1903 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9duse_(1904) Méduse] || Q29 || &quot;[[w:Medusa (biology)|Jellyfish]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 15 June 1904 || Stricken May 1914  
|-
| [[w:Naïade (1904)|Naïade]] || Q15 || &quot;[[w:Naiad]]&quot; || Arsenal de Cherbourg || 20 February 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Otarie_(1904) Otarie] || Q28 || &quot;[[w:Sea lion|Sealion]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 16 April 1904 || Stricken May 1914  
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Oursin_(1904) Oursin] || Q30 || &quot;[[w:Sea urchin|Urchin]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 26 September 1904 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Perle_(1903) Perle]|| Q17 || &quot;[[w:Pearl]]&quot; || Arsenal de Toulon || 1 November 1903 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Phoque_(1904) Phoque] || Q27 || &quot;[[w:Pinniped|Seal]]&quot; || Arsenal de Rochefort || 16 March 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Prot%C3%A9e_(1903) Protée] || Q16 || &quot;[[w:Proteus]]&quot; || Arsenal de Cherbourg || 8 October 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Souffleur_(1903) Souffleur] || Q21 || &quot;[[Common bottlenose dolphin|Dolphin]]&quot; (lit. &quot;Blower&quot;) || Arsenal de Toulon || 20 April 1903 || Stricken May 1914   
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Thon_(1904) Thon] || Q20 || &quot;[[w:Tuna]]&quot; || Arsenal de Toulon || 18 March 1904 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/Truite_(1905) Truite] || Q34 || &quot;[[w:Trout]]&quot; || Arsenal de Toulon || 14 April 1905 || Stricken May 1914 
|-
| [https://pl.wikipedia.org/wiki/X_(1904) X (Dauphin)]|| Q35 || &quot;[[w:Dolphin]]&quot; || Arsenal de Toulon || 15 November 1904 || '''First french submarine equipped with two propellers'''. Stricken May 1914 
|-
|}

==== L'automitrailleuse '''Genty''' pour le '''Général Lyautey''' au Maroc ====
'''Catégories''' : [[commons:Category:Panhard-Genty 24 HP|Panhard-Genty 24 HP]], [[commons:Category:Henri Genty|Henri Genty]], [[commons:Category:Automitrailleuse|Automitrailleuse]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Automitrailleuse|Automitrailleuse]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS construit les automitrailleuses Genty.
&lt;gallery&gt;
File:De la Touloubre (au volant d'une Bayard-Clément) - btv1b53225700r.jpg|'''1906''' - '''Henri Genty De la Touloubre''' racing driver on Bayard-Clément.

File:Иллюстрация к статье «Автомобиль». Фиг. № 8. Военная энциклопедия Сытина. Том 1 (СПб., 1911—1915).jpg|'''1906''' - [[W:Panhard-Genty_24_HP|The Panhard 24 HP Automitrailleuse]] '''built by A. C. KREBS''' at the Panhard &amp; Levassor factory '''as a former officer'''.

File:1907-12-21 - La Vie Au Grand Air - auto-mitrailleuse Panhard &amp; Levassor du Cap. Genty.jpg| '''1907''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97968382/f9.image.r=genty La Vie Au Grand Air] - '''Panhard &amp; Levassor Automitrailleuse of Cap. Genty''' in operation '''in Morocco'''.

File:1907 - Général Lyautey - Commandant général d'Algérie.png|'''1907''' - '''[[w:Hubert Lyautey|General Lyautey]]''' (1854-1934) : General Commander of [[w:Algérie française|Algerie]].

File:Photos-General-Dalbiez-Boite-4-008.jpg|'''1912-07''' - Appointed Resident General of Morocco  '''General Lyautey''' visited Fez and Meknes with the '''Genty automobile'''.

File:Lyautey reaches Marrakesh in armored car (1912, Le Petit Journal).jpg|'''1912-10''' - &quot;'''General Lyautey''' went to Marrakech in '''an auto-machine gun'''&quot;.
&lt;/gallery&gt;
'''1913''' - [https://armoredcars-ww-one.blogspot.com/2012/04/panhard-genty-machine-gun-car.html L'automitrailleuse Panhard-Genty]: &quot;''Modification de '''1912''' sur le modèle Panhard 24 HP '''1907'''.''&quot;

Une [[W:Panhard-Genty_24_HP|Panhard 24 HP]] fut acquise par le ministère de la Guerre en '''1904''' afin d'expérimenter les capacités militaires des automobiles, notamment pour la reconnaissance. Suite aux manœuvres militaires de septembre '''1905''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] fut autorisé à installer des affûts de mitrailleuses sur la Panhard 24 HP, dont il était le pilote. Après transformation en '''1906''', la Panhard 24 HP fut envoyée en décembre '''1907''' au Maroc et mise en service à la frontière algéro-marocaine. Le général Maurice Bailloud, du 19e corps d'armée algérien, réclama de nouveaux véhicules. Des voitures [[w:Adolphe_Clément-Bayard|Clément-Bayard]] furent expédiées en '''1908''' et '''1910''', mais se révélèrent inadaptées. '''Trois Panhard 24 HP''' furent alors livrées à nouveau en '''1912'''.

En '''1903''', Le [https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Genty Capitaine Genty] proposa, conjointement avec A. C. KREBS, de modifier un châssis Panhard &amp; Levassor pour en faire '''une automitrailleuse opérationnelle'''.

Il surélève la garde au sol du châssis de 32 cm grâce à des ressorts de 0,90 m à l'avant et de 1,30 m à l'arrière. L'essence est répartie dans deux réservoirs cylindriques indépendants de 45 litres formant les sièges, offrant une autonomie de 400 km sur route en bon état et de 250 km sur route en mauvais état.

Le moteur de 35 ch permet au véhicule d'atteindre 65 km/h en vitesse de pointe. Il est équipé d'un carburateur automatique Krebs, d'un double allumage (batterie et magnéto), d'une lubrification automatique, d'un refroidissement par pompe et radiateur avec réservoir isolé, d'un échappement libre &quot;à la demande&quot;, d'un embrayage à cône de cuir, d'une boîte de vitesses à baladeur et d'une transmission par chaîne.

La direction est irréversible, avec un angle de braquage de 25°. Le freinage est assuré par des freins à mâchoires sur le différentiel et des freins à ruban sur les roues arrière. Les roues sont équipées de jantes démontables, système Michelin, permettant un changement de pneu en 4 minutes maximum. Le risque de crevaison est réduit grâce au choix de pneus 920 x 120 à semelle renforcée, résistants aux pierres et aux épines. Deux roues de secours sont fixées à droite du véhicule.

L'armement du véhicule comprenait '''2 mitrailleuses Hotchkiss''' : une sur son affût et une de rechange sur ses supports, à droite du véhicule. La mitrailleuse utilisée pouvait être placée sur l'un des deux supports situés à l'arrière et au centre du véhicule. Les munitions étaient réparties dans neuf caisses d'une capacité totale de '''20.000 cartouches''', dont 3.600 dans les coffres du véhicule.
==== Le tracteur d'artillerie '''Châtillon-Panhard''' ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Tracteur Panhard-Châtillon|'''''Tracteur Châtillon-Panhard''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Châtillon-Panhard|Châtillon-Panhard]]
&lt;br&gt;En '''1911''' - A. C. KREBS conçoit, conjointement avec la Sté Chatillon, un '''véhicule tout terrain''' à quatre roues motrices et directrices &quot;'''''à adhérence totale'''''&quot;, '''avec un seul différentiel'''. Ce camion destiné à des fins militaires et civiles, a été utilisé pendant la Première Guerre mondiale comme '''tracteur d'artillerie'''.

&lt;gallery&gt;
File:1913 Tracteur-Chatillon-Panhard=plans.jpg|'''1911''' - Le [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6470719m/f282.image '''tracteur  4X4 Châtillon-Panhard''' à &quot;adhérence totale&quot;]. &lt;ref&gt;'''1914''' - '''The Field Artillery Journal''' : [https://archive.org/details/sim_field-artillery_october-december-1914_4_4/page/526/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 &quot;The Châtillon-Panhard traction-motor of total adhesion&quot;], par le Commandant L. Ferrus.&lt;/ref&gt;

File:Artillery Tractor Chatillon-Panhard 1914.jpg|Le  [[w:Châtillon-Panhard|'''tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' à quatre roues motrices et directrices]].

File:1914-1918 Tracteur-Chatillon-Panhard - Artillerie lourde, un groupe de 120 long.ogg|'''Video''' : '''1916''' - Tracteur Châtillon-Panhard : [https://imagesdefense.gouv.fr/fr/artillerie-lourde-un-groupe-de-120-long-a-tracteur.html# &quot;'''''Artillerie lourde, un groupe de 120 long'''''&quot;].

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 16|'''1917''' - Tracteur Châtillon-Panhard : &quot;'''''Transmission par vis sans fin et engrenages coniques'''''&quot;.

File:1917 Automobiles, Camions, Tracteurs - Principes et utilisation.pdf|page 109|'''1913''' - La &quot;'''''transmission à vis'''''&quot; du Châtillon-Panhard.

File:WWI French army Panhard truck.jpg|'''1916''' - '''Tracteur d'artillerie Châtillon-Panhard''' : 35HP K11.
&lt;/gallery&gt;

==== Le char '''Saint-Chamond''' ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Saint_Chamond_tank|'''''Char Saint-Chamond''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]]
&lt;br&gt;A. C. KREBS construit les moteurs sans soupapes des chars Saint-Chamond.
&lt;gallery&gt;
File:1916 Artillerie St-Chamond Règlement de manœuvre - gravure.jpg|'''1916''' - Le '''Char Saint-Chamond''' à [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k65523451/f13.item.r=Artillerie%20St-Chamond  '''moteur Panhard &amp; Levassor sans-soupape'''].

File:1914-1918 - P&amp;L- Char-Saint-Chamond.pdf|'''1916-1918''' - Le [[w:Saint-Chamond (char)|'''Char Saint-Chamond''']] à [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:1914-1918_-_P%26L-_Char-Saint-Chamond.pdf moteur '''Panhard &amp; Levassor'''].

File:St. Chamond.jpg|'''1917''' ~ '''chars St. Chamond''' à l'exercice.
&lt;/gallery&gt;

==== Les treuils de ballons captifs à moteurs à essence ====
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Tethered balloons|'''''Ballons captifs''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ballon captif|Ballon captif]]
&lt;br&gt;'''1916''' - A. C. Krebs transpose son treuil à vapeur hippomobile de '''1882''' sur ses camions militaires Panhard &amp; Levassor, en ajoutant un moteur et un poste de travail dédié aux manœuvres du ballon afin de permettre au dispositif de rester opérationnel au cours du déplacement. &lt;ref&gt;'''1921''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6555734j/f22.item.r=panhard# '''Treuils de ballons captifs'''] : toutes les variantes de treuils basées sur le système Krebs.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1916 - Poste d'aérostation=Treuil A. C.KREBS à vapeur modèle 1882.jpg|'''1916''' - Poste d'aérostation : [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_%C3%A0_vapeur.pdf '''Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882 en opération'''] en France (voir supra).

File:Aérostation - la voiture-treuil permettant de monter et descendre le ballon captif, avec le générateur d'hydrogène pour le gonfler - Marasesti - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - AP62T122957.jpg|'''1917''' - Le '''treuil à vapeur système KREBS 1882''' (voir supra) '''en opération en Roumanie'''.

File:1916-07-24 Près de La Neuville-au-Pont=un camion treuil Panhard K19 SS camouflé de l'aérostation sort de son abri=treuil Krebs.jpg|'''1916''' - Près de La Neuville-au-Pont, un '''camion treuil''' d'aérostation ('''treuil système KREBS''') '''PANHARD K19 SS''' camouflé, sort de son abri.

File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&amp;L.jpg|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914-1918_-_A.C.KREBS_-_Treuil_Panhard_%26_Levassor.pdf '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence adapté  par lui-même] sur son camion T4 RKV '''Panhard &amp; Levassor'''.

File:1916 Treuil d'aérostation KREBS modèle 1882 sur camion T4 RKV de P&amp;L en opération.png|'''1916''' - '''Treuil d'aérostation''' KREBS modèle 1882 à essence '''sur son camion T4 RKV Panhard &amp; Levassor''' en operation.

&lt;/gallery&gt;

== '''Gestionnaire de grands projets technologiques (1876-1916)''' ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Panhard &amp; Levassor|'''''Panhard &amp; Levassor''''']]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [https://de.wikipedia.org/wiki/Panhard_%26_Levassor Panhard &amp; Levassor] (Deutsch),  [https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Panhard%26Levassor-Pkw liste des types].
&lt;br&gt;'''1871''' - &quot;''Après la guerre, j'ai été détaché à l'école de Saint-Cyr, où je suis resté un an ''[18 mois]'' pour compléter mon éducation militaire. Depuis lors, je me suis continuellement occupé de questions mécaniques et '''je me suis consacré à des études me permettant de me former en tant qu'ingénieur, par mes propres efforts, en me tenant au courant des nouveaux développements dans les arts mécaniques'''.''&quot; &lt;ref&gt; '''1906''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf&amp;page=11 Témoignage de A. C. KREBS au procès Selden] : &quot;''After the war I was transferred to St. Cyr School, where I remained for one year in order to complete my military education.  Since then I have continually been occupied with mechanical matters, and I applied myself to studies to equip myself as engineer,  by my own efforts, keeping myself in close touch with new developments in the mechanical arts''.&quot;&lt;/ref&gt;

'''1877''' - '''A. C. KREBS (27 ans)''' à '''Ch. Renard (30 ans)''' : &quot;''Il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'' [...]&quot;. &lt;ref&gt;'''Fin 1877''' - '''A. C. KREBS''' à '''Ch. Renard''' : &quot;''Mon cher capitaine, Venez demain à Poissy ''[où stationne le régiment de A. C. KREBS]'' dans la soirée dîner avec moi, parce qu'il faut que nous causions absolument au sujet du moteur. '''Il y a plusieurs difficultés pratiques déjà tentées par des prédécesseurs et auxquelles il ne faut pas perdre notre temps'''. C’est pourquoi, si vous pouviez venir demain, nous arrêterions définitivement la forme du moteur à exécuter immédiatement, puis les études seront poursuivies ensuite. J’ai complètement fini la chaudière. Je vous ferai voir les tentatives et les résultats des derniers essais, soit de distribution, soit de dispositifs de machines, et '''les avantages et inconvénients''' qui en résultent. Ceci est très important à savoir '''pour ne pas recommencer inutilement des choses déjà faites'''. C’est surtout comme distribution par robinet que l’on est exposé à des consommations de vapeur énormes ou à des usures prématurées. Pour moi, en ce moment, l’idéal comme machine est celle fonctionnant avec une vapeur légèrement surchauffée pour éviter à l’intérieur du cylindre toute espèce de condensation et obtenir ainsi une économie de combustible. Il ne faudrait pas dépasser, comme température, 200°. On aurait à craindre aucun grippement, et '''en équilibrant par des ressorts les masses en mouvement on pourrait atteindre de grandes vitesses de rotation, en faisant vibrer pour ainsi dire à l’unissons toutes les pièces en mouvement'''. Enfin, à demain. Tout à vous. Venez avec de la Haye.''&quot;&lt;/ref&gt;

'''1888-04-17''' - '''A. C. KREBS:''' : &quot;''La réussite en pareille matière
dépend en grande partie des rapports qui existent entre toutes les dimensions et grandeurs des éléments qui sont réunis.''&quot;

'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''L'attitude du constructeur britannique a en effet été bien décrite comme celle d'un '''marché aux portes de Panhard''', une position également avantageuse pour le constructeur américain.''. &lt;ref&gt;'''1902-02''' - '''Automobile Magazine''' : ''Indeed the attitude of the British maker has been well described as [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-02_4_2/page/n3/mode/2up?q=panhard 'sitting on '''Panhard''''s doorstep'], a good place also for the American maker''&quot;.&lt;/ref&gt;

'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : &quot;''L'automobile française est le fruit d'une longue expérimentation et d'une réflexion approfondie consacrée à chaque pièce, de l'axe, du boulon de blocage et de la rondelle, jusqu'au moulage du cylindre et aux segments de piston.''&quot;. &lt;ref&gt;'''1902-04''' - '''Automobile Magazine''' : [https://archive.org/details/sim_automobile-magazine_1902-04_4_4/page/320/mode/2up?q=panhard &quot;''Le soin du travail français''&quot;] By C. R. Mabley.&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;

File:1886 Renard &amp; Krebs plan du parc aérostatique de Chalais-Meudon.jpg |'''1886''' - Renard &amp; Krebs : plan du [W:Chalais-Meudon|'''Parc de recherche aérostatique de Chalais-Meudon''']].

1889-02-28 Pompiers PP-DB273 Comite-Perfectionnement=carte des 24 périmètres d'intervention prévus dans le plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris.png|'''1889''' - Comité de perfectionnement des Pompiers de Paris : carte des '''24 périmètres d'intervention''' prévus dans le '''plan KREBS de réorganisation des secours contre l'incendie à Paris'''.

File:1900~Pompiers depart-attele.jpg| '''1895''' - '''Pompiers de Paris''' : Le départ attelé de la réorganisation de A. C. KREBS avec la '''pompe à vapeur Durenne &amp; Krebs''' (modèle 1888) visible e, arrière plan.

File:1895 - Les sous-marins Gymnote et Gustave Zédé en cale sèche à Toulon (France).jpg|'''1895''' - Après le succès du sous-marin expérimental '''''Gymnote''''' (à gauche), le grand sous-marin '''''Gustave Zédé''''' (à droite) est construit par la Marine française.

File:1895 - Panhard &amp; Levassor - 'The first Petrol car introduced into England' by Hon. Evelyn Ellis.png|'''1895''' - Panhard &amp; Levassor - &quot;'''''La première voiture à essence introduite en Angleterre'''''&quot; par l'honorable Evelyn Ellis. &lt;ref&gt;'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AMotors_and_motor-driving_(IA_motorsmotordrivi00nortiala).pdf&amp;page=45 Motors and motor-driving]:  &quot;'''''The first Petrol car introduced into England&quot;, the Hon. Evelyn Ellis's 4HP Panhard &amp; Levassor Car'''''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1896-09-03 rencontre Levassor-Krebs=prise de licence sur le brevet Krebs.pdf |'''1896-09-03''' - Lettre de prise de license de '''Émile LEVASSOR''' adressée à Arthur C. KREBS pour son brevet d'automobile '''FR'''256344.

File:Panhard &amp; Levassor catalogue 1896-7.pdf|'''1897''' - catalog of [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1896-7.pdf '''Panhard &amp; Levassor''' cars].

File:Automotive diagrams 01 En.png|'''1898''' - A. C. KREBS improves '''the [[W:Moteur_%C3%A0_l%27avant_et_roues_arri%C3%A8re_motrices|&quot;système panhard&quot;''']].

File:1898-04-16 - La France Automobile - 'The first car in Japan'.pdf|'''1898''' - La France Automobile: '''''[https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%B8%E3%81%AE%E8%87%AA%E5%8B%95%E8%BB%8A%E3%81%AE%E6%B8%A1%E6%9D%A5 The first car in Japan]''''', a Panhard &amp; Levassor type M2E, n°941, delivered on '''1897'''-11-08.

File:Panhard &amp; Levassor catalogue 1898.pdf|'''1898''' - catalog of [[Fichier:Panhard_%26_Levassor_catalogue_1898.pdf '''Panhard &amp; Levassor''' cars] while A.C. KREBS was managing the Co.

File:1898-Panhard race car=The first car in Britain fitted with wheel steering.png |'''1898''' Panhard &amp; Levassor 6HP '''Paris-Amsterdam-Paris racing car''' imported from France by Henry Rolls: &quot;'''''First car in Britain fitted with wheel steering'''''&quot;. &lt;ref name=Rolls /&gt;

File:1899-10 - Horseless age - Steinway Daimler-Panhard Phenix advertisement.png|'''1899''' - [https://en.wikipedia.org/wiki/William_Steinway#Daimler_cars '''Steinway'''] '''Daimler-Panhard Phenix''' advertisement: &quot;'''''The standard automobile system of the world'''''&quot;.

File:Les usines Panhard d'Ivry en 1900.jpg |'''1900-05-27''' - La Vie au Grand Air: &quot;'''the Panhard works'''&quot;.

File:1900 VCP=1° en Espagne (PM-1 + PM-2 + PM-5).jpg|'''1900''' - The [[w:Clément-Panhard|'''Voiture Clément-Panhard (VCP)''']] is the first petrol car in [[Fichier:1900_VCP%3D1%C2%B0_en_Espagne_(PM-1_%2B_PM-2_%2B_PM-5).jpg Palma de Mallorca], [[Fichier:Santa_Casa_de_Miseric%C3%B3rdia_Salvador_Bahia_VCP_Voiture_Cl%C3%A9ment_Panhard_1898-0553.jpg Brazil], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_P%26L_VCP_Capitaine_Fjodorovi_1%C2%B0-Tallin_Estonie.jpg Estonia] etc.

File:1904 - Self-propelled vehicles - Panhard &amp; Levassor - &quot;the foremost in the automobile world&quot;.jpg|'''1901''' -  [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1901-02-16_51_1311/page/21014/mode/2up?q=panhard Scientific American]: &quot;'''''The Panhard &amp; Levassor automobile'''''&quot; - '''1904''' - [https://archive.org/details/propelledselfveh00homarich/page/350/mode/2up?q=panhard  Self-propelled vehicles]: &quot;'''''The foremost in the automobile world'''''&quot;.

1901-04-13 The Autocar='A visit to the Panhard works'.pdf |'''1901-04-13''' - The Autocar: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1901-04-13_The_Autocar%3D%27A_visit_to_the_Panhard_works%27.pdf &quot;'''A visit to the Panhard works''']: ''It must not be imagined that we despair in the English industry ; far from it, as there are firms at home turning out work which is at least equal to that of '''Panhard and Levassor''', but '''there is no firm comparable with it for magnitude'''.''&quot;

File:1902 Fiat 12-16 HP Museo Nazionale dell'Automobile di Torino 01.jpg|'''1901-06-21''' - [[W:Fiat|'''FIAT''']] prend la décision '''de copier la voiture légère Panhard &amp; Levassor''', ainsi l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Giovanni Enrico] conçoit la [[W:Fiat|'''FIAT 12HP''']]. &lt;ref&gt;'''1901-06-21''' -  [https://www.byterfly.eu/islandora/object/librib%3A632795#mode/2up '''FIAT''' (1899-1915)] : &quot;Télégramme au Conseil : ''[[W:Giovanni_Agnelli_(1866-1945)|'''Giovanni Agnelli''']] raconte que, se trouvant seul à Paris avec l'ingénieur [https://it.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Enrico Enrico], envoyé par l'usine sur ordre du Président, ils examinèrent '''une nouvelle voiture légère, fabriquée par l'une des meilleures usines parisiennes''' (Panhard &amp; Levassor). '''Très simple''', '''économique et pratique''', et '''facile à construire''', cette voiture les incita à la proposer à la vente. L'objectif était de mettre fin à des études interminables et coûteuses, et de pouvoir entreprendre une production sérieuse, tant en nombre qu'en qualité.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1902 Catalogue Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1902''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1902_Catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf Panhard &amp; Levassor '''catalog'''].

File:1902-03-01 - Scientific American supplement - &quot;THE NEW LIGHT PANHARD &amp; LEVASSOR AUTOMOBILE&quot;.pdf|'''1902''' - Scientific American : [https://archive.org/details/sim_scientific-american-supplement_1902-03-01_53_1365/page/21873/mode/1up?q=panhard &quot;'''THE NEW LIGHT PANHARD &amp; LEVASSOR AUTOMOBILE'''&quot;].

File:1902 - The Panhard &amp; Levassor car of Dr-LEHWESS for his word tour.png|'''1902''' - The Panhard &amp; Levassor car of Dr-LEHWESS for his '''word tour''' : &quot;[https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:The_Enterprise_1902-10-04_(IA_cssf_000378).pdf&amp;page=2 '''''The car must be a good hill climber to surmount the Rockies!'''']&quot;.

File:1903-04-09 - Counterfeiting by Mercedes of the Panhard &amp; Levassor Centaure carburetor transaction between the parties.pdf|'''1903''' - '''Counterfeiting by Mercedes''' of the Panhard &amp; Levassor '''Centaure carburetor''' (transaction).

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - usine de Reims.jpg|'''1904''' - A. C KREBS founds '''the [[W:Usine_Panhard-Levassor_de_Reims|usine_Panhard de Reims]]'''.

File:1909 NYPL=P&amp;L agence-New-York american-branch-Broadway+62°rue-NW US-01.jpg|'''1904''' - A. C. KREBS created '''''The American Branch''''' located '''on Broadway in New York'''.

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - Manuel de conduite et d'entretien Phénix, Centaure, modèle 1904.pdf|'''1905''' - Operation and maintenance manual ''Phénix'', ''Centaure'', ''model 1904''.

File:1905-08-04 The-Engineer=The Panhard &amp; Levassor Motor Car Works.jpg|'''1905''' - The Engineer : [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up &quot;'''''Quelques usines automobiles françaises'''''&quot;] - PANHARD AND LEVASSOR. &lt;ref&gt;'''1905-08-04''' - [https://archive.org/details/sim_engineer_july-7-december-29-1905_100/page/108/mode/2up?q=panhard '''The Engineer'''] : &quot;''L'industrie automobile s'est donc développée très lentement jusqu'à ce qu'il soit constaté que le '''type Panhard original''' de '''moteur vertical''' et de '''boîte de vitesses''' représentait véritablement '''une norme de conception permanente'''.''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - Panhard &amp; Levassor - catalogue anniversaire-50-ans usine (EN).pdf|'''1905''' - Panhard &amp; Levassor - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf '''factory 50th anniversary catalog'''] managed by A. C. KREBS.  &lt;ref&gt;'''1905''' -  [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/The_Engineering_and_Mining_Journal_1905-05-25-_Vol_79_Iss_21_%28IA_sim_engineering-and-mining-journal_1905-05-25_79_21%29.pdf The Engineering and Mining Journal]: &quot;''La machine à vapeur a été utilisée pour le transport de marchandises sur les vastes plaines du Sud-Ouest, notamment pour le commerce du borax. Plus récemment, l'automobile a été mise en service au Nevada, et l'un de nos confrères nous a confié effectuer le trajet de 160 kilomètres (100 miles) entre Tonopah et Bullfrog en sept heures. Cela nous rappelle les voyages d'inspection de plusieurs centaines de kilomètres (plusieurs centaines de miles) que MM. H. C. Hoover et J. H. Curie ont effectués l'an dernier '''à bord d'une Panhard, sur le plateau désertique d'Australie-Occidentale'''. L'idée même d'un tel confort de déplacement adoucira les mauvais souvenirs de ceux qui ont dû chevaucher le chameau à bascule ou la mule récalcitrante sur le sable et les spinifex d'Australie-Occidentale, ou encore sur les terres alcalines et les armoises du Grand Bassin.''&quot;.&lt;/ref&gt;

File:1905 P&amp;L catalogue anniversaire-50-ans usine.pdf|page 23|'''1905''' - A. C. KREBS introduit '''l'entrée latérale dans la carrosserie automobile'''. &lt;ref&gt;'''1906''' – [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1906-01-06_-_OMNIA_-_Standardisation_des_carrosseries_%C3%A0_entr%C3%A9e_lat%C3%A9rale_demand%C3%A9e_par_A._C._KREBS_en_1904.pdf&amp;page=4 OMNIA] : &quot;''À l’heure actuelle, on peut dire que toute carrosserie, de route ou de ville, couverte ou découverte, doit être à entrée latérale. Cette disposition présente de tels agréments pour le voyageur, que l’on se demande comment on a pu s’en passer si longtemps ! ''&quot;. '''01/1933''' - '''Le carrossier Labourdette''' :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3067216z/f38.image.r=krebs &quot;''L'entrée latérale fut réalisée sur l'insistance de plusieurs constructeurs. Je me souviens des conversations que mon père eut alors, sur ce sujet, avec le commandant Krebs de la maison Panhard''&quot;]. Notons qu'au XXI° siècle l'entrée latérale avec échancrure sur le passage de roues arrière reste le standard de la carrosserie automobile.&lt;/ref&gt;

File:1905 - Palais de l'Automobile - catalogue Panhard &amp; Levassor (New-York).pdf|thumb|'''1905''' - '''Palais de l'Automobile''' : catalogue Panhard &amp; Levassor ('''New-York''')

File:1905-11-18 – The AUTOMOTOR JOURNAL - The 50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine.pdf|'''1905''' – The AUTOMOTOR JOURNAL: [https://archive.org/details/AutomotorJournalSecondHalf1905/page/n665/mode/2up?q=panhard The ([ annotated transcript])50-h.p. Panhard-Levassor car with a Six-cylinder engine].

File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case.pdf|page 2|'''1906''' - A. C. KREBS came '''in New York''' to give his expert testimony in the Selden case opposing the '''Selden Brevet''' owners and both the '''Ford''' and the '''Panhard &amp; Levassor''' companies ([https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_Arthur_Constantin_KREBS_testimony_during_the_Selden_case_(annotated_transcript).pdf?uselang=fr transcripotion annotée]).

File:1910 Le jeune premier de l'Europe=caricature du roi Alphonse XIII d'Espagne qui vient de visiter les usines P&amp;L avec KREBS.jpg|'''1905-11''' - Caricature of young [https://en.wikipedia.org/wiki/Alfonso_XIII '''King Alphonse XIII of Spain'''] which has just visited the '''Panhard &amp; Levassor factory''' guided by '''A. C. KREBS'''. &lt;ref&gt;'''1905-11-22''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k46271521/f1.image.r=krebs '''L'Auto-vélo''']: &quot;''Le '''nouvel amortisseur progressif''' que la maison Panhard adapte sur ses véhicules de '''1906''' intéresse particulièrement le Roi'' ['''[[W:Alphonse_XIII|Alfonse XIII]] d'Espagne''']. ''À deux reprises il sollicite du commandant Krebs le nom de l'inventeur de cet ingénieux dispositif, mais le commandant - dont la modestie bien connue a durci l'oreille - néglige de répondre...''&quot;&lt;/ref&gt;

File:1905 - P&amp;L catalogue-Harvey-du-Cros GB - 'HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS'.pdf|'''1905''' - Panhard &amp; Levassor catalog by '''Harvey-du-Cros - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1905_-_P%26L_catalogue-Harvey-du-Cros_GB_-_%27HINTS_and_Advice_for_Owners_of_PANHARD_CARS%27.pdf &quot;''HINTS and Advice for Owners of PANHARD CARS''&quot;] in GB''' when A. C. KREBS was managing the firm.

File:1906 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue des machines à bois pour les roues de voitures.pdf|'''1906''' - Panhard &amp; Levassor [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1906_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_des_machines_%C3%A0_bois_pour_les_roues_de_voitures.pdf '''woodworking machine-tools catalog for car wheels'''].

File:1906-04-22 La Stampa Sportiva=leçon d'automobilisme chez P&amp;L.jpg|'''1906''' - &quot;''The [https://www.byterfly.eu/islandora/object/libria%3A37036#mode/2up '''modern school of motorists''']: A practical lesson given to the students of '''the school of mechanics and automobile drivers of Paris''', visiting the '''Panhard and Levassor factory''' managed by '''A. C. KREBS'''.''&quot;

File:1907 - Panhard &amp; Levassor catalogue in New-York.pdf|'''1907''' - The range of '''Panhard &amp; Levassor cars''' offered by A. C. Krebs '''in New York'''.

File:1907 The Highland Association Bazaar - Panhard advertisement.pdf|'''1907''' - [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ASouvenir_and_handbook_of_Feill_a%27_Chomuinn_Ghaidhealaich_(The_Highland_Association_Bazaar)_1907_(IA_souvenirhandbook00comu).pdf&amp;page=12 Advertisement in Glasgow]: &quot;'''PANHARD—Best French Car. Runs well after 120,000 miles'''&quot;.

File:1908 - Panhard &amp; Levassor- catalogue.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor-_catalogue.pdf Panhard &amp; Levassor '''catalog'''].

File:1908 - Panhard &amp; Levassor - catalogue poids lourds.pdf|'''1908''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1908_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_poids_lourds.pdf Panhard &amp; Levassor '''trucks catalog'''].

File:1909 - Panhard &amp; Levassor - catalogue.pdf|'''1909''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue.pdf Panhard &amp; Levassor '''catalog'''].

File:1909-Panhard &amp; Levassor automobile catalogue for the 'American Branch' in Broadway in NewYork.pdf|'''1909''' - Panhard &amp; Levassor [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1909-Panhard_%26_Levassor_automobile_catalogue_for_the_%27American_Branch%27_in_Broadway_in_NewYork.pdf '''American Branch catalog'''].

File:1910 Salon-de-l'Automobile-de-Paris=le nouveau moteur sans-soupapes au stand Panhard&amp;Levassor.jpg|'''1910''' - '''Paris Motor Show''' : presentation of '''the new valveless engine''' at the Panhard &amp; Levassor stand. This engine is '''designed by A. C. KREBS under the Knight licence'''.

File:1910 Panhard-Levassor - Dubonnet gagne le prix de LA NATURE sur monoplan Tellier à moteur Panhard &amp; Levassor (GAMY).jpg|'''1910''' - [[w:Émile Dubonne|Émile Dubonnet]] wins the [[W:La_Nature|LA NATURE]] prize on a [[W:Alphonse_Tellier_(constructeur_a%C3%A9ronautique)|Tellier]] monoplane powered by Panhard &amp; Levassor managed by A. C. KREBS (GAMY).

File:1910 - Usine Panhard &amp; Levassor vue depuis un ballon à 700m d'altitude.png|'''1910''' - Panhard &amp; Levassor factory seen from a balloon at 700m altitude.

File:1910 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue de pièces de rechange.pdf|'''1910''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1910_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_pi%C3%A8ces_de_rechange.pdf Panhard &amp; Levassor '''spare parts catalog'''].

File:1911 - Life Magazine - The Silent-Knight.pdf|'''1911''' - '''A. C. KREBS''' developed the Panhard &amp; Levassor version of the '''Knight Brevet ([https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/001404174/publication/FR356196A?q=FR356196 '''FR'''356196], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/032197949/publication/GB190514729A?q=GB190514729 '''GB'''190514729], [https://worldwide.espacenet.com/Brevet/search/family/003159208/publication/US1090991A?q=pn%3DUS1090991A '''US'''1090991A])'''.

File:1911 - Exposition de Turin - catalogue Panhard &amp; Levassor.pdf|'''1911''' - '''Panhard &amp; Levassor catalog''' for [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1911_-_Exposition_de_Turin_-_catalogue_Panhard_%26_Levassor.pdf the '''Turin Exposition'''].

File:Dassault Marcel.jpg|'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' (1892-1986) decide de faire un stage dans l'usine '''Panhard &amp; Levassor ''' &lt;ref&gt;'''1911''' - '''[[w:Marcel_Dassault|Marcel DASSAULT]]''' decide de faire un stage chez '''Panhard''', et note : &quot;''Pendant les grandes vacances suivantes, je fis un stage comme ouvrier chez Panhard. Après être passé par les différents ateliers, j'arrivai au stade de la mise au point des voitures 24CV sans soupapes. Ce travail consistait, après réglage du moteur, à faire un essai sur route du châssis, le siège étant composé d'une simple caisse à outils. J'ai ainsi appris à connaître l'organisation d'une grande usine de mécanique. J'ai aussi apprécié le travail des ouvriers, leur esprit d'équipe, leur joie quand la firme gagnait une course ou battait un record, ou lors de la sortie d'un nouveau type de voiture particulièrement réussi.''&quot; ([https://archive.org/details/talismanautobiog0000dass/page/n3/mode/2up 'Le Talisman'],  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1970_Marcel-DASSAULT%3D%27Le_Talisman%27_(ed._J%27ai_Lu).jpg Paris, 1970, ed. J'ai Lu])&lt;/ref&gt;

1912 Panhard &amp; Levassor - Arthur Constantin KREBS entouré de Charles de Fréminville de Paul Panhard et de ses directeurs.jpg|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor: '''A. C. KREBS''' surrounded by [[W:Charles_de_La_Poix_de_Fr%C3%A9minville|'''Charles de Fréminville''']] (at his wright), by '''Paul Panhard''' (at his left) and other directors. &lt;ref&gt;[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''1912''' - '''Panhard &amp; Levassor factory''' managed by A. C. KREBS]: Paris workshops and staff (Paris: 2000 people) (Reims factory: 800 people).&lt;/ref&gt;

File:1912 Usine-Panhard et Levassor - les ateliers et le personnel de Paris.pdf|'''1912''' - Panhard &amp; Levassor factory managed by A. C. KREBS: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_Usine-Panhard_et_Levassor_-_les_ateliers_et_le_personnel_de_Paris.pdf '''Paris workshops and staff'''] (Paris: 2000 people) (Reims factory: 800 people).

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue couleur.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_couleur.pdf '''Panhard &amp; Levassor catalog'''].

File:1912 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue-luxe.pdf|'''1912''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1912_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue-luxe.pdf '''Panhard &amp; Levassor de luxe catalog'''].

File:1913 - Panhard &amp; Levassor - catalogue de luxe.pdf|'''1913''' - Panhard &amp; Levassor de luxe catalog: [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1913_-_Panhard_%26_Levassor_-_catalogue_de_luxe.pdf '''&quot;''If they had had the automobile!''&quot;'''].

File:1914 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue de luxe.pdf|'''1914''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1914_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue_de_luxe.pdf '''Panhard &amp; Levassor de luxe catalog'''].

File:Gazette du Bon Ton, 1914 - No. 7, Le Péché d'Envie ou La Panhard Convoitée (titel op object), RP-P-2009-1940-12.jpg|'''1914''' - Panhard &amp; Levassor advertisement: &quot;''The Sin of Envy or The Coveted Panhard''&quot;.

File:1914 - Panhard &amp; Levassor - Tracteur d'artillerie (aquarelle Gamy).jpg|'''1914''' - '''Châtillon-Panhard Artillery tractor''' (Gamy watercolor) designed by A. C. KREBS.

File:Panhard Oil-Motoring Magazine-1915-031.jpg|'''1915''' - '''The Panhard automobile cylinder Oil'''&quot; advertisement: &quot;'''''The logic of a good cylinder oil'''''&quot;.

File:1916 - Panhard &amp; Levassor - Catalogue.pdf|'''1916''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1916_-_Panhard_%26_Levassor_-_Catalogue.pdf '''Panhard &amp; Levassor catalog'''].

File:Panhard Levassor rail motor no. 14.tif|'''1918''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:StateLibQld_2_78638_Viscount_Chelmsford_joins_the_Automobile_Club%27s_day_out,_9_May_1908.jpg  A '''1908''' Panhard &amp; Levassor 24HP car] is converted into a '''rail vehicle''' for the transport of people and goods on [https://collections.qm.qld.gov.au/objects/RM11530/panhard-railmotor-rm-14 the Normanton-Croydon line in northern Queensland] ('''[[w:Australie|Australie]]''') until '''1929'''.

File:1915-1917 - Panhard &amp; Levassor - usine en guerre.pdf|'''1914-1918''' - '''WWI''' :  Panhard &amp; Levassor: [[Fichier:1915-1917_-_Panhard_%26_Levassor_-_usine_en_guerre.pdf '''War factory managed by A. C. Krebs'''].

File:1917-05-17 - Automotive-industries - The Chatillon-Panhard truck in Italy.jpg|'''1917''' - Automotive-industries - '''The [https://archive.org/details/sim_country-life_1915-06-26_37_964/page/n293/mode/2up?q=%22chatillon-panhard%22 Châtillon-Panhard truck] in Italy'''.

File:1914-1918 - WWI - voiture Panhard &amp; Levassor.webm|Video: '''1918''' - '''WWI''' : a '''Panhard &amp; Levassor car is starting'''.

File:Ant-pen-map-Danco.PNG|'''1960''' - [[w:Krebs Glacier|'''Krebs Glacier''']]: flowing into [[w:Charlotte Bay|Charlotte Bay]], named for [[w:Arthur Constantin Krebs|Arthur Constantin Krebs]], &quot;''who constructed and flew the first dirigible [[w:airship|airship]] capable of steady flight under control, in '''1884'''&quot;''.

File:Alose french submarine 1907 02.jpg|'''1975''' - [[w:Alose (sous-marin)|'''Alose''']], french submarine built in 1904, '''raised and restored''' (France).

File:Saint-Chamond.Saumur.0004fq2z.jpg|'''2006''' - '''Saint-Chamond tank''' on display at the ''[[w:Musée des Blindés de Saumur|Musée des Blindés de Saumur]]'' in [[w:Saumur|Saumur]] (France).

File:Panhard &amp; Levassor Type E im Museum Valencay.JPG|'''2011''' - '''Panhard &amp; Levassor Type E''' in the [[w:Valençay|Valençay]]’s '''Car Museum''' (France).

File:Panhard &amp; Levassor Type X 25 1914.JPG|'''2011''' - '''fire-fighting Panhard &amp; Levassor Type X 25''' (1914) in the [http://www.musee-sapeurs-pompiers.org/ '''Musée des Sapeurs-Pompiers'''], Montville (France).

File:1901 Panhard &amp; Levassor type B2 in Toyota Automobile Museum (6817203419).jpg|'''2012''' - '''Panhard &amp; Levassor  type B2''' (1901) in the [https://toyota-automobile-museum.jp/en/ '''Toyota Automobile Museum'''], Nagakute, Aichi Prefecture (Japan).

File:Panhard &amp; Levassor Type X19 at Den Haag Louwman Museum 061.jpg|'''2015''' - '''Panhard &amp; Levassor X19''' (1912) Labourdette Skiff-Torpedo in the [https://www.louwmanmuseum.nl/en/ '''Louwman Museum'''] (Netherland).

File:1900 Clement-Panhard Phaeton VCP, 765cc 3,5cv 35kmh (inv 1901) photo 2.jpg|'''2016''' - '''Clement-Panhard (VCP)''' Phaeton (1900) in the [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France).

File:Panhard &amp; Levassor Type U2 1907 at Monaco Top Cars Collection 2016-537.jpg|'''2016''' - '''Panhard &amp; Levassor Type U2''' (1907) in the [https://www.mtcc.mc/galerie-automobile/#* '''Monaco Top Cars Collection.''']

File:2017 - Durenne &amp; Krebs 1888 lightweight fire steam pump at the fire headquarters in Paris.png|'''2017''' - '''Durenne &amp; Krebs lightweight fire steam pump''' (1888) exposed at the '''fire headquarters in Paris''' (France).

File:Panhard-Levassor Biplace Course (1908) jm64358.jpg|'''2018''' - '''Panhard-Levassor Biplace Course''' (1908) in the [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse  (France).

File:Panhard &amp; Levassor Landaulet Type A1 (1898) jm63748.jpg|'''2018''' - '''Panhard &amp; Levassor type A2''' (1899) tonneau fermé in the [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France).

File:Panhard &amp; Levassor Coupé Chauffeur Type X8 (1912) jm63952.jpg|'''2018''' - '''Panhard &amp; Levassor type X8 coupé chauffeur''' (1911) in the [https://www.musee-automobile.fr/ '''Musée National de l'Automobile'''], Mulhouse (France).

File:1899 - Panhard-Levassor owned by C. S. Rolls restored.jpg|'''2019''' The '''Panhard-Levassor''' (1899) '''owned by C. S. Rolls''' in the [https://www.museums.norfolk.gov.uk/gressenhall-farm-and-workhouse '''Gressenhall Farm and Workhouse Museum''']. &lt;ref name=Rolls-1899/&gt;

File:Hangar Y mai 2023 (27).jpg|'''2023''' - The [[w:Hangar Y|'''Hangar Y''']] of the airship '''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''''' is '''restored and open to the public''' near Paris (France).

File:Balloon winch vehicule, Musee de l'Air et de l'Espace, Le Bourget, Paris. (8127530854).jpg|'''2024''' - '''WW1 Balloon winch vehicle''' ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum[Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace]], Le Bourget, Paris) using '''the 2-drum towing system from A. C. KREBS''' (France).
&lt;/gallery&gt;

==  Communications à '''l'Académie des sciences''' ==

*	1884-08-18 – A. C. KREBS  &amp; Ch. RENARD : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=316 &quot;''On an airship''&quot;]. Au sujet du dirigeable &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot; .

*	1884-08-25 - M. DUPUY de LÖME :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_099,_1884.djvu&amp;page=341 &quot;''Note sur les aérostats dirigeables''&quot;].

*	1884-08-31 - M. A. LAUSSEDAT : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=413 &quot;''Sur les tentatives effectuées à diverses époques pour la direction des aérostats''&quot;].

*	1884-11-10 - M. Hervé MANGON : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_099%2C_1884.djvu&amp;page=772 &quot;''Note sur l'aérostat dirigeable de MM. Renard et Krebs''&quot;].

*	1886 - Prix PONTI : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_103%2C_1886.djvu&amp;page=1395 &quot;''pour les progrès accomplis dans la navigation aérienne.''&quot;]

*	1886-04-05 - M. ZEDE : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_102%2C_1886.djvu&amp;page=808 &quot;''Sur les navires sous-marins''&quot;].

*	1888-07-30 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_107%2C_1888.djvu&amp;page=325 &quot;''Sur un téléphone à champ magnétique fermé, avec plaque à sections cylindriques, concentriques égales''&quot;].

*	1888-03-26 – A. C. KREBS :  [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_106%2C_1888.djvu&amp;page=932 &quot;''Essai d'un moteur électrique alimenté par des accumulateurs destinés à un bateau sous-marin''&quot;].

*	1890-09-15 – MM. Dumoulin-Froment and Dubois: [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_111%2C_1890.djvu&amp;page=428 Sur le premier gyrocompas électrique pour le sous-marin Gymnote conçu par A. C. KREBS].

*	1902-11-24 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Comptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences,_tome_135,_1902.djvu&amp;page=900 &quot;''Sur un carburateur automatique pour moteurs à explosions''&quot;].

*	1905-11-13 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_141%2C_1905.djvu&amp;page=757 &quot;''Sur un frein dynamométrique destiné à la mesure de la puissance des moteurs, qui permet l'utilisation, sous forme électrique, de la majeure partie du travail développé''&quot;].

*	1906-01-15 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_142%2C_1906.djvu&amp;page=143 &quot;''Conditions d'établissement d'un amortisseur progressif à la suspension des véhicules sur route''&quot;].

*	1907-04-08 – A. C. KREBS : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3AComptes_rendus_hebdomadaires_des_s%C3%A9ances_de_l%E2%80%99Acad%C3%A9mie_des_sciences%2C_tome_144%2C_1907.djvu&amp;page=747 &quot;''Appareil pour la mesure de l'écoulement des liquides''&quot;].

*	1931-12-07 - M. Jean Rey : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3146s/f1142.item# &quot;'''''De l'invention du périscope'''''], au sujet du périscope commandé par A. C. KREBS pour le sous-marin '''''Gymnote'''''.
== Retraite ==
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Retirement by country|Retraite par pays]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Retraite|Retraite]]
&lt;br&gt;&quot;''En '''1916''', arrivé à l’âge où le besoin de repos commence à se faire sentir et où on ne peut plus développer la même activité physique, je résiliai mes fonctions de Directeur en conservant celles d’ingénieur conseil.

''L’année précédente M. de Fréminville devait quitter la Maison Panhard &amp; Levassor pour entrer au Creusot.''&quot; &lt;ref name=&quot;Krebs_1924&quot; /&gt;

=== A. C. KREBS et [[w:André Citroën|André CITROËN] ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:André Citroën|André Citroën]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:André Citroën|André Citroën]]
&lt;br&gt;A la demande des banques, A. C. KREBS établit un rapport sur le projet de première automobile construite à la chaîne par André Citroën après la Première Guerre mondiale. A. C. KREBS établit un rapport favorable et André Citroën a pu lancer la fabrication de son '''Type A'''.
&lt;gallery&gt;

File:Citroen1921typeA.jpg|'''1921''' - André Citroën construit sa '''type A''' avec l'aide de A. C. KREBS.

File:André Citroën 1932.jpg|'''1932''' - '''André CITROËN''' (1878-1935).
&lt;/gallery&gt;
=== Administrateur de la société '''Savary-Rivière''' ===
Dans les années 1920, A. C. KREBS est administrateur de la société Savary-Rivière, dont il est actionnaire, et qui est un fabricant de machines agricoles à Quimperlé, où il prend sa retraite.

Sous sa direction, la compagnie diversifie ses activités vers la fabrication de mobilier scolaire, de matériel ferroviaire, de matériel militaire, de postes et télégraphes.&lt;ref&gt;'''1935-03-26''' - Lettre de '''Georges Rivière''' à Marie Krebs veuve de A. C. Krebs : &quot;''Le colonel Krebs avait accepté de présider aux destinées des Ets Savary-Rivière pendant plusieurs années et j'ai eu l'honneur de pouvoir apprécier '''ses exceptionnelles qualités d'intelligence'''. Sa vie restera l'exemple parfait de droiture et de dignité dans toutes leurs manifestations.''&quot;&lt;/ref&gt;
&lt;gallery&gt;
File:1901 Savary Gautier=Machines agricoles (Quimperlé).jpg|'''1901''' - Savary et Gautier - '''Machines Agricoles''' (Quimperlé).

File:1925~Sté Savary et Rivière.pdf|'''1925''' ~ '''A. C. KREBS''' dirige la société '''Savary-Rivière''' pendant plusieurs années pendant sa retraite à  '''Quimperlé'''.

File:1928 Savary-Rivière=catalogue mobilier scolaire.pdf|'''1928''' - Savary et Rivière - '''Catalogue de mobiliers scolaires''' (Quimperlé).
&lt;/gallery&gt;
=== La commémoration des '''50 ans du dirigeable &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|'''''La France''''']]&quot;''' ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Legion of Honour|Légion d'honneur]], [[commons:Category:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Ordre national de la Légion d'honneur]]
&lt;br&gt;'''1934''' - À 83 ans, A. C. KREBS voyage de Quimperlé (Bretagne) à Paris pour assister à la commémoration du 50ème anniversaire du dirigeable [[w:La France (ballon dirigeable)|La France]] en '''1884'''. Il est le seul survivant de cette épopée technologique historique.
&lt;gallery&gt;
File:1934 - 50 ans du dirigeable La France en présence de A. C. KREBS à Meudon.jpg|'''1934''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4610494z/f1.image.r=krebs Les 50 ans du dirigeable ''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]''] en présence de '''A. C. KREBS, à Meudon'''.

File:Chevalier légion d'honneur 2.png | '''1935''' - A. C. KREBS est  [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201840 '''décoré Commandeur de la Légion d'honneur'''].

File:1935~Arthur-Constantin-KREBS=portrait à Quimperlé.jpg|'''1935''' ~ Arthur Constantin KREBS: '''Portrait à Quimperlé'''.
&lt;/gallery&gt;

'''1935''' - Deux mois avant son décès, A. C. KREBS est nommé '''Commandeur de la  [[w:Ordre national de la Légion d'honneur|Légion d'honneur]]''' : &quot;''Pour son travail en Aéronautique et pour sa contribution à l'industrie automobile''&quot;.
=== Le glacier Krebs ===
'''Catégories''' : [[commons:Category:Antarctica|Antarctique]], [[commons:Category:Peninsulas of Antarctica|Péninsule Antarctique]]
&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : UK Antarctic Place-Names Committee||Côte de Danco]]
[https://archive.org/details/GeographicNamesOfTheAntarctic2ndEdition/page/n405/mode/2up?q=%22krebs+glacier%22 Geographic Names of the Antarctic][https://en.wikipedia.org/wiki/UK_Antarctic_Place-Names_Committee UK |Légion d'honneurAntarctic Place-Names Committee][https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay Charlotte Bay]
&lt;br&gt;'''1960''' - Le '''United Kingdom Antarctic Place-Names Committee''' (UK-APC) nomme &quot;[https://en.wikipedia.org/wiki/Krebs_Glacier glacier Krebs]&quot; un glacier s'écoulant vers l'ouest, à la tête de la '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Charlotte_Bay baie de Charlotte]''' sur la côte ouest de la '''Terre de Graham''' sur le continent '''Antarctique''', d'après le nom de '''Arthur C. Krebs qui a construit et piloté, avec [[w:Charles Renard|Charles Renard]], le premier dirigeable capable d'un vol stable et contrôlé, en 1884'''.
== Famille ==
&lt;gallery&gt;
File:Konstantinpaulowrussland(crop).jpg|'''1812''' - '''Nicolas Krebs''' (grand-père de A. C. KREBS) est précepteur des enfants du '''[[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie Grand|Duc Constantin de Russie]]''' à '''Saint Pétersbourg'''.

File:1894-07-07 Cmdt-Léonce-Krebs chalet-Bellevue St-Gervais-les-bains Haute-Savoie Paul-Lancrenon.jpg |'''1894-07-07''' Silhouette du '''Commandant Léonce KREBS''' (1849-1922), frère aîné de A. C. KREBS, au chalet de Bellevue à Saint-Gervais-les-Bains (Haute-Savoie)  [https://www.pop.culture.gouv.fr/notice/memoire/APLCR03619?auteur=%5B%22Lancrenon%2C%20Paul%20%281857-1922%29%22%5D&amp;mainSearch=%22krebs%22&amp;last_view=%22list%22&amp;idQuery=%22c46e1b2-f281-ddf4-f145-3300fbc003%22 par Paul LANCRENON]

File:1915-1916 Jean-KREBS+Georges GUYNEMER EN.pdf |'''1914-1916''' - '''Jean KREBS''' et '''[[W:Georges_GuynemerGeorges|GUYNEMER]]''' amis de collège : [https://archive.org/details/cu31924027834732/page/n47/mode/2up?q=krebs &quot;''Jean Krebs a cristallisé la vocation de Georges GUYNEMER''&quot;].

File:1918-05-30 Motor-Age='France's Greatest Aviator Georges Guynemer'+Jean-KREBS.jpg|'''1918-05-30''' - Motor-Age: &quot;France's Greatest Aviator '''Georges GUYNEMER'''&quot; and '''Jean KREBS, son of A. C. KREBS'''.

File:1939-04 - Revue générale du froid - La chambre froide Krebs &amp; Alliot (1931) pour la conservation du poisson sur les thoniers.jpg|'''1939-04''' - Revue générale du froid - La '''chambre froide Krebs &amp; Alliot (1931)''' pour la conservation du poisson sur les thoniers.

File:Marie Chamming's.jpg|'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, résistante et autrice.

File:Thon Germon.jpg|Le logo de la boîte [[W:Petit_Navire|'''Petit Navire''']], d'après l'aquarelle de '''Marguerite Paulet''', fille de A. C. Krebs.

File:Manureva StMalo 1978-11 2.jpeg|'''Dominique Paulet''' dirige les CAP du '''chantier naval La Perrière''' de 1960 à 1971, qui conçoit et construit les '''Pen Duick''' d''''Eric Tabarly'''.
&lt;/gallery&gt;
=== '''Nicolas Krebs''' (1786-1839) ===
[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3050419f/f462.image.r=krebs Nicolas KREBS] est un grand-père de A. C. KREBS. Né à [[W:Boppard|Boppard]] sur la rive gauche du [[W:Rhin|Rhin]] en '''1786''', il s'engage dans la garde impériale de [[W:Napoléon Ier|Napoléon]] et prend part à ses [[W:Guerres napoléoniennes|campagnes]] militaires. Blessé à [[W:Vilnius|Wilna]] en '''1812''', il est recueilli et retenu prisonnier par le [[W:Constantin_Pavlovitch_de_Russie|Grand Duc Constantin de Russie]], et devient le précepteur de ses enfants pendant 2 ans à [[W:Saint-Pétersbourg|Saint-Pétersbourg]]. De retour en France [[W:France|France]] en '''1814''' il se marie avec Elisa Marie [[W:Liste_des_maires_d%27%C3%89vreux#XIXe_si%C3%A8cle|Dureau de la Buffardière]]. Il a été décoré de la [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201850#show  ''Legion d'honneur''] le 05/06/'''1809'''.
=== [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13204050f '''Commandant Léonce Krebs'''] (1849-1922) ===
* '''1878''' -  Officier d'état-major
* '''1891''' -  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9608718v.r=%22l%C3%A9once%20krebs%22?rk=21459;2 '''Campagnes dans les Alpes pendant la Révolution'''], d'après les archives des états-majors français et austro-sarde, avec Henri Moris. &lt;ref&gt;[[w:Armée d'Italie|Armée d'Italie]].&lt;/ref&gt;

* '''1898''' -  [https://bmvr.nice.fr/Default/search.aspx?SC=DEFAULT&amp;QUERY=Authority_id_idx%3a72405&amp;QUERY_LABEL=Krebs%2c+Leonce.+Auteur#/Search/(query:(InitialSearch:!t,Page:0,PageRange:3,QueryString:'Authority_id_idx:72405',ResultSize:-1,ScenarioCode:DEFAULT,SearchContext:0,SearchLabel:'Krebs,%20Leonce.%20Auteur')) Archiviste de la ville de Nice]

* '''1909''' -  [https://www.leonore.archives-nationales.culture.gouv.fr/ui/notice/201854 Commandeur de la Légion d'honneur].
=== '''Jean Krebs''' (1896-1916) et [[w:Georges_Guynemer|'''Georges GUYNEMER''']] (1894-1917) ===
'''Catégorie''' : [[commons:Category:Georges Guynemer|Georges Guynemer]]
'''1918''' - '''Henry Bordeaux''' : “'''''Jean Krebs''''' ''a orienté la vocation de  [[W:Georges_Guynemer|'''Georges Guynemer''']]. Il a précisé et développé le goût de celui-ci  pour la mécanique. Il l'a sorti des vagues abstractions pour le précipiter vers les réalisations matérielles, pour lui faire désirer l'élargissement de vie qu'elles procurent. Il méritait d'être cité dans une biographie de Guynemer. Avant de le quitter, ne convient-il pas de déplorer sa perte prématurée ? Aviateur estimé au cours de la guerre, il trouva dans l'observation l'emploi de ses facultés solides et sûres. La chasse ne l'attirait pas, mais il savait regarder. Il fut tué d'un accident d'atterrissage presque dans le même temps que disparaissait Guynemer. Un de ses compagnons d'escadrille le juge ainsi : — D'une intelligence remarquable, d'un caractère toujours égal, il avait su s'imposer à ses chefs par son sang-froid, son coup d'oeil, la connaissance exacte des services qu'il pouvait rendre. Toutes les fois qu'on lui confiait une mission, on était sûr qu'il revenait l'ayant remplie, quelles que fussent les conditions dans lesquelles il la fallait accomplir. Il avait eu souvent à tenir tête à des avions ennemis mieux armés que lui, et avait même été blessé au cours d'un vol par éclat d'obus à la cuisse. Il n'en avait pas moins continué à voler et n'était rentré que longtemps après et seulement sa tâche terminée. Sa mort a fait un grand vide dans cette escadrille. Des hommes comme celui-là sont difficiles à remplacer...''&quot; &lt;ref&gt;'''1918''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9807613m/f50.image.r=krebs# '''Henry Bordeaux''']: &quot;''Jean Krebs a orienté la vocation de Georges Guynemer''&quot;.&lt;/ref&gt;

=== [[W:Louis_Krebs|'''Louis Krebs''']] (1886-1944) : le chantier naval à Concarneau ===
'''Voir aussi''' : [[w:Construction navale|Construction navale]]
&lt;br&gt;'''1911''' - Louis krebs presente une thèse en droit pour laquelle il est aidé par son oncle, Charles de Fréminville, intitulée  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5521697f/f6.item.r=KREBS &quot;Le rendement du travail dans les arsenaux&quot;].

In '''1933''', Louis Krebs rachète le chantier ''Le Roy Frères'' à Concarneau, qu'il nomme[https://studiolemerdy-collection.com/?s=krebs&amp;post_type=product &quot;Chantier Krebs&quot;].

Nous lui devons [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k97160383/f123.image.r=krebs en '''1931''' avec le spécialiste de la réfrigération Henri Alliot], l'idée et la conception [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k348885w/f7.image.r=KREBS de la chambre froide des thoniers], de même que la création du concept de  chalutiers-thoniers, ces &quot;bateaux mixtes&quot; qui pratiquaient la pêche au chalut pendant l'hiver et la pêche au thon en été. &lt;ref&gt; ['''1933'''-08-02 - L'Ouest-Éclair : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k659358k/f10.image.r=KREBS &quot;A propos de la conservation du thon à bord&quot;]. ''1936''-11-07 - Le Génie civil : [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k64923180/f3.image.r=krebs &quot;Installation d'une chambre froide sur un bateau thonier&quot;].&lt;/ref&gt;

Il sera élu maire de [[W:Lanriec|Lanriec]] (1943-'''1945'''). &lt;ref&gt;'''1945'''-04-01 - Le Yacht :  [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k83719510/f12.image.r=krebs &quot;La mort tragique de Mr. Louis krebs&quot;]&lt;/ref&gt;

=== [[w:Marie Chamming's|'''Marie Krebs-Chamming's''']] (1923-2022) : résistante et autrice ===
'''Marie Krebs-Chamming's''', fille de Louis Krebs, décrit ses années au service de la  [[w:Résistance intérieure française|Résistance intérieure française]] pendant la [[w:Seconde Guerre mondiale|Seconde Guerre mondiale]] dans son livre [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3384299k.r=%22louis%20krebs%22?rk=1502153;2 &quot;J'ai choisi la tempête&quot;] qui recevra le prix Vérité en '''1964'''.

=== [http://mp.forumfamilia.net/Biographie-de-Marguerite-Paulet-b1.html '''Marguerite Paulet''', née Krebs (1900-1979)] : les œuvres remarquables ===

* [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-jeunesse-jusqu-en-1920-p1.html Jeunesse, jusqu'en 1920]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-port-de-bouc-sous-le-soleil-mediterranee-p2.html 	Port de Bouc, sous le soleil méditerranéen, 1920/1922]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-quimperle-et-un-peu-nantes-23-30-p3.html Quimperlé (et un peu Nantes), 1923/1930]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-douarnenez-essentiellement-les-beaux-bat-p4.html Douarnenez essentiellement, les beaux bateaux, 1930/1940]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-l-apres-guerre-40-55-p5.html L'après-guerre 1940/1955]
*  [http://mp.forumfamilia.net/Les-oeuvres-de-Marguerite-Paulet-periode-fleurs-et-arbres-56-79-p6.html Fleurs et arbres ... 1956/1979]
=== [https://www.ouest-france.fr/bretagne/lorient-56100/d-paulet-architecte-naval-et-humaniste-5174463 '''Dominique Paulet''' (1931-2017)] : architecte naval pour '''Éric Tabarly''' ===
Petit-fils d'Arthur Constantin KREBS, Dominique Paulet est un architecte naval et ingénieur de formation. Il a été responsable de la conception de navires au sein de plusieurs chantiers navals dont [[w:Chantiers_et_ateliers_de_la_Perrière|La Perriere]] à [[w:Lorient|Lorient]] et [[W:Chantiers_Dubigeon|Dubigeon-Normandie]]. Il a enseigné à l'Ecole centrale de Nantes et à l'Ecole nationale supérieure des techniques avancées de Paris.

Il a notamment travaillé pour la marine et les [[w:Pen_Duick_III|'''Pen Duick III''']] (aluminium), [[w:Pen_Duick_IV|'''Pen Duick IV''']] (multicoque en aluminium) et [[w:Pen_Duick_V|'''Pen Duick V''']] (avec ballasts) d'[[W:Éric_Tabarly|'''Éric Tabarly''']. &lt;ref&gt;Dominique Paulet :  [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2007_-_Dominique_PAULET_-_%22Tabarly_et_Lorient%22_aux_chantiers_La_Perri%C3%A8re.pdf#%7B%7Bint%3Afiledesc%7D%7D '''Tabarly et Lorient'''] &lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;La cité de la voile à Lorient :  [https://www.citevoile-tabarly.com/fr/pen-duick &quot;''Trois des Pen Duick furent construits aux Chantiers de la Perrière à Lorient''&quot;]&lt;/ref&gt;

Il a développé une méthode universelle de calcul des navires à partir d'un ensemble restreint de variables : 

'''''Architecture navale - Connaissance et pratique''''' &lt;ref&gt;'''2023''' - Dunod : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 &quot;''C’est la bible de l’architecture navale. Un ouvrage complet, pointu, écrit par des architectes aussi reconnus pour leur talent que pour leur pédagogie''&quot;].&lt;/ref&gt;
* '''1998''' : [https://www.eyrolles.com/Sciences/Livre/architecture-navale-9782903539467/ 1ère édition chez Eyrolles]
* '''2023''' : [https://www.dunod.com/sciences-techniques/architecture-navale-connaissance-et-pratique-1 2nde édition chez Dunod]

&lt;br&gt;'''Voir aussi''' : 
* '''1971''' - '''Dominique Paulet''' :  [https://03c7d5f4-b82d-47fb-af48-cbbdfcd3d2e9.filesusr.com/ugd/4f0a4d_aca70bb3be0f4a6fb05f5edcb49ba7ba.pdf l'architecte naval aux chantiers La perrière]
* '''Dominique Paulet''' :  [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?search=%22dominique+paulet%22&amp;title=Sp%C3%A9cial:Recherche&amp;profile=advanced&amp;fulltext=1&amp;ns0=1 dans Wikipedia]
== Voir aussi ==

* [[w:Dirigeable fantôme|Dirigeable fantôme]]

* [[w:Blimp|Blimp]]

* [[w:Charles Renard|Charles Renard]]

* [[w:Pierre Jules César Janssen|Pierre Jules César Janssen]]

* [[w:XIXe siècle en aéronautique|XIXe siècle en aéronautique]]

* [[w:Panhard|Panhard et Levassor]]

* [[w:Saint-Chamond (char)|Saint-Chamond (char)]]

* [[w:Chronologie des technologies de l'hydrogène|Chronologie des technologies de l'hydrogène]]

== References ==

&lt;ref name=Krebs-archives&gt;Archives de la famille Krebs déposées au  [https://www.servicehistorique.sga.defense.gouv.fr/ark/1643327 Service historique de la Défense (DE 2014 PA 40 1)].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1884_ACAD-Krebs&gt;

'''1884-08''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3055h/f316  '''Académie des sciences'''] : NAVIGATION AÉRIENNE. ''Sur un aérostat dirigeable''. Note de MM. CH. RENARD and A. C. KREBS, presentée par M. Hervé Mangon.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=portefeuille&gt;

'''1892''' - '''Portefeuille économique des machines''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1892_Portefeuille-%C3%A9conomique%3DPompe_Durenne_%26_Krebs_1888.pdf &quot;''Pompe à incendie à vapeur de la ville de Paris ('''modèle de 1888''')''] - ''Chaudière à vapeur multitubulaire à tubes curvilignes à circulation automatique et dilatation libre de MM. Durenne &amp; Krebs''&quot;.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1889_Comité&gt;
'''28/02/1889''' - Comptes-rendus du [http://rytmo.net/ACK/1889-02-28_Pompiers_PP-DB273_Comite-Perfectionnement.pdf &quot;''Comité de perfectionnement''&quot;] des Pompiers de Paris.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1896_Krebs_Levassor&gt;
'''1896-09-03''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1896-09-03_rencontre_Levassor-Krebs%3Dprise_de_licence_sur_le_brevet_Krebs.pdf Lettre de prise de license d''''Émile LEVASSOR'''] adressée à Arthur C. KREBS pour son '''Brevet d'automobile''' : [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:1896-05-13_A.C.KREBS%3DBrevet_FR256344-%27voiture-automobile%27.pdf&amp;page=10 '''FR'''256344], [https://worldwide.espacenet.com/patent/search/family/032536216/publication/GB189619774A?q=GB189619774A '''GB'''189619774A], [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3A1896-11-09_BE124538%3Dbrevet_belge_de_la_voiture_de_A._C._KREBS.pdf&amp;page=1 '''BE'''124538].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1896_voiturette_Krebs&gt;
&quot;'''LA VOITURETTE KREBS'''&quot; par Louis Lockaert, ingénieur École Centrale de Paris, LA FRANCE AUTOMOBILE, p.305, Paris, '''1896'''.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Rolls&gt;
Site: [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&amp;screenwidth=1600&amp;pixperpage=50&amp;searchtxtkeys=Panhard&amp;lastsearchtxtkeys=&amp;withinresults=&amp;searchphotographer=&amp;wwwflag=&amp;lstformats=&amp;lstorients=All+Orientations&amp;captions= '''Science &amp; Society''' - Picture Library:] ''C. S. ROLLS et ses voitures de course Panhard &amp; Levassor''.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Rolls-1899&gt;Photos de 1900 de la voiture de C. S. Rolls de 1899 conçue par A. C. KREBS sur [https://www.scienceandsociety.co.uk/results.asp?search=1&amp;screenwidth=1600&amp;pixperpage=50&amp;searchtxtkeys=Panhard&amp;lastsearchtxtkeys=&amp;withinresults=&amp;searchphotographer=&amp;wwwflag=&amp;lstformats=&amp;lstorients=All+Orientations&amp;captions science and society].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1906_Krebs_Selden&gt;
'''1906''' - [https://hal.science/hal-05527435 Témoignage  d'Arthur Constantin KREBS] lors du procès Selden à New-York. &lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1884_de-Grilleau&gt;
'''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot;: &quot;''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''&quot;&lt;/ref&gt;
'''1884''' - [https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:De_Grilleau_-_btv1b531494061.jpg '''De Grilleau'''] - ''[http://cnum.cnam.fr/CGI/fpage.cgi?12CA313/1/100/218/0004/0217 Les aérostats dirigeables : leur passé, leur présent, leur avenir] - Le [[w:La France (ballon dirigeable)|ballon de Meudon]] et les progrès les plus récents de l'aéronautique''. Un regard critique sur &quot;[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]&quot;: &quot;''Le capitaine Krebs forme, avec le capitaine Renard, '''un contraste frappant'''. Il est aussi blond que son collègue est brun, aussi froid que l'autre est enthousiaste. Le capitaine Krebs a plutôt la tournure d'un officier que celle d'un savant. [...] '''La qualité prédominante du capitaine Krebs est le sens pratique. Il ne fait exécuter une machine qu'après en avoir étudié à fond chaque organe. [...] Contrairement à son collègue Mr. Renard, '''il se défend d'être inventeur'''. Dans les travaux dont il est chargé, le capitaine Krebs ne donne aucune part à l'imagination, et base tous ses calculs sur des chiffres certains, et vérifiés par l'expérience'''.''&quot;&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Fréminville&gt;'''2001''' - Voyages de Charles de Fréminville aux Etats-Unis: 1885-1898-1913-1919 (Yves Le Quesne).&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=vanadium&gt;[https://archive.org/details/mylifeandwork00crowgoog/page/n78/mode/2up?q=vanadium '''1923''' - '''Henry Ford''' &quot;''Ma vie et mon œuvre&quot;]: &quot;''En '''1905''', j'assistais à une course automobile à Palm Beach. Un grave carambolage se produisit et une voiture française [une voiture de course Panhard] fut détruite. Nous avions engagé notre &quot;[https://fr.wikipedia.org/wiki/Ford_Model_K Modèle K]&quot; — la six cylindres à grande puissance. Je pensais que les voitures étrangères avaient des pièces plus petites et de meilleure qualité que celles que nous connaissions. Après l'accident, je ramassai une petite tige de soupape. Elle était très légère et très résistante. Je demandai de quoi elle était faite. Personne ne le savait. Je confiai la tige à mon assistant. 'Renseignez-vous sur ce matériau', lui dis-je. 'C'est le genre de matériau que nous devrions utiliser dans nos voitures.' Il finit par découvrir qu'il s'agissait d'un acier français contenant du vanadium. Nous avons contacté tous les aciéristes américains — aucun n'était capable de produire de l'acier au vanadium. J'ai fait venir d'Angleterre un homme qui savait comment fabriquer cet acier à l'échelle industrielle. L'étape suivante consistait à trouver une usine'' ['''la [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_kr%C3%B3m-van%C3%A1diumac%C3%A9l_sz%C3%BClet%C3%A9se.jpg United Alloy Steel de Canton, Ohio'''] ]'' pour le produire.''&quot;&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=Krebs_1924&gt;
'''1924-06''' - [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1924-06_SHD-DE-2014-PA-40_Lettre-Arthur-KREBS_au_G%C3%A9n%C3%A9ral_de_Montluisant.pdf Lettre autobiographique] d'Arthur Constantin KREBS à son cousin le Général de Montluisant (SHD-DE-2014-PA-40) lui demandant d'expliquer sa carrière, suite à l'article de Paul Renard dans la &quot;Revue Aéronautique&quot; à l'occasion des 40 ans du dirigeable &quot;'''''[[w:La France (ballon dirigeable)|La France]]'''''&quot; (Arch. Krebs).&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=1935_Dépêche_de_Brest&gt;
'''1935-02-03''' - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3478635/f3.image.r=krebs ''La Dépêche de Brest'']: &quot;Une visite à M. Arthur Krebs, qui vient d'être promu commandeur de la Légion d'honneur&quot;.&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=VCP&gt;
Site: [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web].&lt;/ref&gt;

&lt;ref name=CdF&gt;'''1915-11-11''' - Lettre de [[w:Charles_de_La_Poix_de_Fréminville|'''Ch. de Fréminville''']] à [[w:René_de_Knyff|René_de_Knyff]] (administrateur de Panhard &amp; Levassor).&lt;/ref&gt;


== Liens externes ==
* Charles Renard and Arthur Krebs in the [https://web.archive.org/web/20100528024835/http://www.centennialofflight.gov/essay/Lighter_than_air/Beginning_of_the_Dirigible/LTA6.htm US Centennial of Flight Commission]

* [http://rbmn.free.fr/Krebs_EN.html The site dedicated to Arthur KREBS (in English)]

* [https://oldauto.wixsite.com/clement-panhard Clément-Panhard on the web]

* Hydroplane History: [http://www.lesliefield.com/other_history/development_of_the_high.htm The Development of the High-Speed Launch or Automobile Boat – 1904]

* Jules Verne: [http://www.gutenberg.org/ebooks/3808 ''Robur The Conqueror'']

* ([[w:Musée_de_l%27air_et_de_l%27espace|Air and Space Museum]], Le Bourget, Paris) : [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/328-dirigeable-renard-et-kreps-la-france museum reserves-1], [http://www.pyperpote.tonsite.biz/listinmae/index.php/les-appareils-exposes/halls-1-et-2-la-grande-galerie/53-equipements-d-aerostation-militaire-renard museum reserves-2]

== Autres categories ==
[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Births_in_Vesoul Births_in_Vesoul]
[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Deaths_in_Quimperlé Deaths_in_Quimperlé]
[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr Alumni_of_the_Special_military_school_of_Saint-Cyr]
[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Knights_of_the_Legion_of_Honour_Knights_of_the_Legion_of_Honour]
[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Henri_Dupuy_de_L%C3%B4me Henri Dupuy de Lôme]
[https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Gustave_Z%C3%A9d%C3%A9 Gustave zédé]
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