Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 1 744 981503 981401 2026-04-11T06:57:51Z Marvoir 1746 /* Aide-mémoire */ ajouté les groupes de Mathieu 981503 wikitext text/x-wiki {{Évaluation|idfaculté=mathématiques|avancement=4}} == Questions de niveau == Bonjour, juste un mot pour plusieurs choses : * mes encouragements aux gens qui vont participer à ces cours, on ne peut plus intéressants de mon point de vue. * une question : les définitions indiquées, je me souviens les avoir vues en Sup … est-ce que le niveau est L3 ou un peu plus bas ? Est-il possible d’établir une graduation selon les chapitres ? * une remarque : le terme "Théorie des groupes" est aussi utilisé en chimie, et, bien que relevant d’une approche très mathématico-quantique de la matière, ne considère pas vraiment les mêmes applications. Pourrait-on indiquer un avertissement quelque part ? Merci. Cordialement, [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 décembre 2006 à 08:09 (UTC) :Effectivement, j’ai rajouté un avertissement en haut du premier chapitre comme quoi les définitions peuvent être vues avant, mais je pense que c’est à peu près le seul chapitre dans ce cas, bien que je ne connaisse pas le programme exact des prépas. D'ailleurs, il faudrait mettre des liens vers les programmes officiels dans [[Aide:Niveau de difficulté]]. : Argh, une homonymie :-) Je ne savais pas que le terme 'Théorie des groupes' était utilisé en chimie, mais ce terme est-il officiel ou juste dérivé du terme mathématique. Sinon on peut faire une page d'homonymie. :~ [[User:Seb35|Seb35]] 15 décembre 2006 à 08:33 (UTC) :: On ne peut plus officiel ^^, d’après mes souvenirs. Cela concerne la decription des groupes de symétries d'objets pour en déduire des propriétés. Particulièrement utilisé en spectroscopie (cela s'inscrit dans le cadre de la chimie quantique). Encore une fois, bon courage :) [[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 15 décembre 2006 à 18:56 (UTC) :J’ai vu la théorie des groupes en L2 (cursus maths), jusqu'à la diagonalisation et son application au calcul des exponentielles de matrices. --[[Utilisateur:Xinos|Xinos]] 11 janvier 2007 à 11:54 (UTC) salut. En fait, on aborde la théorie abstraite des groupes dès la deuxième année. D'autre part se situant à un niveau élémentaire elle n'as pour seul prérequis qu'une certaine habitude au formalisme mathématique.[[Utilisateur:Biajojo|Biajojo]] 10 mars 2007 à 11:00 (UTC) == Encore la question du niveau == J’aimerais continuer les exposés en parlant maintenant du groupe des permutations d’un ensemble fini : cycles, parité d’une permutation, groupe alterné, peut-être simplicité des groupes alternés, mais je vois qu’il est question de niveau (niveau 13) et, ne connaissant pas le système universitaire français, je ne sais pas trop de quel niveau est le théorème sur la simplicité des groupes alternés. De même, qu'en est-il pour le produit semi-direct, les suites de composition (théorème de Jordan-Hölder), les groupes résolubles et nilpotents, la structure des groupes abéliens de type fini, les groupes libres et les présentations de groupes ? Cela entre-t-il dans le cadre de cette leçon ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 14 juin 2008 à 12:33 (UTC) :Je vous conseille d'aller voir la page d'[[Aide:Niveaux|aide sur les niveaux ]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 14 juin 2008 à 12:49 (UTC) ::Merci, mais, sincèrement, je ne suis pas plus au courant des niveaux belge, suisse et québecquois que français. Je suis un mathématicien amateur et j'étudie dans des livres qui ne sont pas explicitement en rapport avec des programmes. Quelqu'un qui connaît les niveaux universitaires pourrait-il préciser quelles sont les matières qui relèvent de cette leçon ? Merci d'avance. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 14 juin 2008 à 13:05 (UTC) :::Je me souviens avoir vu les notions de signature, parité, groupe alterné en sup, par contre le théorème sur la simplicité des A_n n'est intervenue que lors d’un module sur la théorie de Galois (résolubilité…), et lors d’une introduction à la classification "exhaustive" des groupes en préparant l'agreg. De même les notions de produit semi-direct, suites exactes, scindées… ne sont intervenues que pendant cette même préparation et à des fins géométriques. Le théorème de structure des groupes abéliens de type fini s'inscrit traditionnellement dans un cours sur les A-modules. Groupes libres et présentations aperçus en topologie algébrique…{{non signé|83.152.34.34}} == Référents == J’ai ajouté mon nom comme référent sur la page Groupe (mathématiques)/Référents mais il n'apparaît pas sur la page Groupe (mathématiques) elle-même. C’est normal ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 1 février 2009 à 19:33 (UTC) :C'est juste un problème de cache. Purge le cache de ton navigateur (ou juste la page en cliquant sur l'onglet « Purger ») et ça apparaîtra. Ne t'en fais pas, ta modification a bien été prise en compte {{Smiley|sourire}} [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 1 février 2009 à 19:49 (UTC) ::Merci. Maintenant la page est à jour, en effet. J'avais essayé "Affichage/Actualiser", mais ça n'allait pas. ::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 1 février 2009 à 19:53 (UTC) == Le lien vers une nouvelle page d'exercices ne fonctionne pas == Bonjour. Je viens de créer une page d'exercices dont voici l'url, copiée dans la fenêtre d'adresses : http://fr.wikiversity.org/wiki/Groupe_(mathématiques)/Exercices/Groupes_diédraux C'est la 16e page d'exercices de la présente leçon Groupe (mathématiques). J’ai mis un lien vers cette nouvelle page dans la page Groupe (mathématiques), mais ce lien ne fonctionne pas. C’est sans doute encore quelque chose de très bête, mais je ne suis pas fort pour ce genre de casse-têtes.<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 9 mai 2009 à 08:56 (UTC) :{{fait}} : le modèle était prévu pour 15 exercice maximum, il a été passé à 20.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 9 mai 2009 à 09:11 (UTC) Merci. Il me semble normal de faire une page d'exercices par chapitre théorique, donc il serait peut-être souhaitable que le nombre possible d'exercices soit le même que le nombre possible de chapitres théoriques…<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 9 mai 2009 à 09:50 (UTC) == À propos de l’introduction == Peut être que c’est du chipotage mais introduire les groupes parce qu’ils servent de structure de base aux autres me parait inadéquat : - d’abord parce que pour les anneaux, les modules et les ev, le groupe en question est abélien (sauf si on veut insister sur les unités d’un anneau) - la plupart des trucs marrants avec les groupes arrivent précisément dans le cas non abélien, et on peut même dire que l'étude des groupes abéliens relève davantage de celle des modules sur un anneau principal (je pense au résultat sur ceux de type fini) - la plupart des exemples de groupes sont donnés par certaines bijections d’un ensemble respectant la nature algébrique (Galois…), géométrique (O(n)…), topologique (automorphisme d’un revêtement) de l'espace. Si bien même qu'un bon outil pour étudier les groupes abstraits consiste justement a les faire agir sur un ev par exemple pour les voir comme des fonctions, et donc on aurait pu insister sur ça plutôt (leur nature géométrique est facile d'accès (isométries de l'espace respectant le cube ou autre exemple)) voilà bon courage pour la suite. [[Utilisateur:Alex|Alex]] 21 juin 2009 à 08:35 (UTC) :Je crois que celui qui avait rédigé cette introduction a déserté depuis longtemps. Il y a déjà quelques mois que je suis le seul à travailler sur cette leçon et je dois dire que les considérations introductives ne m'intéressent pas beaucoup. Si tu as le goût d’en mettre d’autres, je te laisse faire. Mais il est tout de même vrai, et pas sans intérêt, que la notion de groupe intervient dans les notions d'anneau etc. :D'accord que le cadre naturel pour certaines propriétés fondamentales des groupes commutatifs est celui des modules sur les anneaux principaux. C’est d'ailleurs pour ça que je n'ai pas encore abordé ces questions, par exemple le fait que tout groupe commutatif fini est produit direct de groupes cycliques : je ne sais pas trop ce qu’il faut supposer connu du lecteur. La théorie des espaces vectoriels est également le cadre naturel de l'étude des groupes commutatifs d'exposant p (premier). En fait, celui de mes prédécesseurs qui a rédigé la démonstration des théorèmes de Sylow n'avait pas ces scrupules : il a donné une démonstration qui repose sur des résultats non triviaux de la théorie des espaces vectoriels. (Je crois que je vais ajouter une ou deux démonstrations plus purement "group-theoretic", peut-être en exercice.) :Seulement, je ne trouve pas très stimulant de travailler ainsi constamment tout seul… :[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 22 juin 2009 à 16:16 (UTC) == Nombre maximum de pages d'exercices == Pour l'instant, la leçon Groupe (mathématiques) compte 19 chapitres et, pour chaque chapitre, une page d'exercices. Je compte ajouter quelques chapitres, et tout d’abord deux chapitres sur la structure des groupes commutatifs finis. (Il faudra deux chapitres, je suppose, parce que la partie que j’ai déjà rédigée fait 33403 caractères et que je suis peut-être à la moitié de ce qu’il y a à dire sur le sujet.)<br /> Si je ne me trompe, il ne peut y avoir, dans l'état actuel des choses, que 20 pages d'exercices par leçon. Alors, que fait-on ? Deux leçons, en renommant l'actuelle ? Ou permet-on qu'une leçon ait plus de vingt pages d'exercices ?<br /> [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 15 août 2009 à 06:56 (UTC) :Salut Marvoir, s'il n'y a pas lieu de créer une nouvelle leçon pour poursuivre le sujet, la meilleure solution est en effet de permettre qu'une leçon ait plus de vingt pages d'exercices ; ce que je m'en vais faire de ce pas. [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] <small>^{[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]}</small> 16 août 2009 à 12:42 (UTC) ::Merci beaucoup ! Je publierai sans doute un ou deux nouveaux chapitres le week-end prochain. ::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 16 août 2009 à 13:15 (UTC) :::Je viens de créer une vingt-et-unième page d'exercices, mais elle ne s'affiche pas dans la liste… :::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 2 septembre 2009 à 12:30 (UTC) ::::{{Fait}} Je t'ai mis une rallonge jusqu'à l'exercice 25. [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] _{[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]} 2 septembre 2009 à 12:50 (UTC) :::::Merci ! :::::[[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] 2 septembre 2009 à 14:13 (UTC) == Retour sur les niveaux == Le niveau de cette leçon me parait un peu / largement sous-évalué. Actuellement en deuxième année de prépa, niveau 14 donc, certains chapitres et exercices classés niveau 13 sont clairement hors programme ! Il faudrait penser à réévaluer les niveaux. Plusieurs chapitres devraient passer en niveau 15 voir plus. [[Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">Cynddl</span>]] ^{<small>&#91;[[Discussion Utilisateur:Cynddl|<span style="color:#6699cc">discussion</span>]]&#93;</small>} 8 février 2011 à 22:14 :Idem. [[Discussion utilisateur:Anne Bauval|Anne]] 10/4/17 ::Je dois avouer que je suis tout à fait ignorant des questions de niveau. Tu peux modifier les niveaux comme tu veux, je n'y objecterai rien. Quand je crée un nouveau chapitre, je copie le code du chapitre précédent pour m'en servir comme moule et je ne touche pas au niveau. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 10 avril 2017 à 19:11 (UTC) == Théorèmes d'isomorphisme et unicité == Bonjour, J'ai un peu de mal avec la remarque "et un seul" concernant l'existence d'un isomorphisme entre deux groupes. Dans le premier théorème d'isomorphisme, on dit : "il en existe un seul qui vérifie…" et on finit par le définir entièrement ! Donc il est forcément unique… Dans le second théorème d'isomorphisme, on dit qu'il en existe un seul. Pourtant, lorsqu'il existe un automorphisme entre deux groupes, disons f(x) alors h_g(x)=g.f(x).g^{-1} est un autre automorphisme… --[[Utilisateur:Fabrej0|Fabrej0]] ([[Discussion utilisateur:Fabrej0|discussion]]) 12 octobre 2016 à 20:04 (UTC) :Il n'en existe qu'un qui possède la propriété en question. L'unicité est en effet évidente, c'est pour cela que je l'ai énoncée entre parenthèses. Pour moi, ce n'est pas mauvais comme c'est. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 13 octobre 2016 à 14:30 (UTC) == Redirect [[Théorie des groupes]] == {{Notif|JackPotte|Lydie Noria}} excusez-moi tous les deux pour le dérangement : JackPotte vient de supprimer ce redirect à ma demande, et c'est seulement en cliquant sur le lien devenu rouge que je vois qu'il avait déjà été supprimé en 2007, mais restauré par Lydie en 2013 comme « redirection qui peut être utile pour la recherche sur google ». Promis, je n'y touche plus. [[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discussion]]) 6 juillet 2017 à 19:33 (UTC) :{{fait}} [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|<span style="color:#FF6600">$</span>♠]]) 6 juillet 2017 à 19:35 (UTC) :: {{Notif|Anne Bauval|JackPotte}} En fait, c'est une question que je me pose de plus en plus. Sur quoi Google se base pour répondre à une requête ? J'ai constaté dernièrement que la formulation du nom jouait un rôle. Mais il y a d'autres critères. Le plus important semblant être le nombre d’Accès à la page par des utilisateurs différents. Lorsqu'on tape le titre exact d'une leçon, elle est plus facilement trouvée par google. Personnellement, si je recherche un cours sur la théorie des groupes, je vais taper dans Google « Théorie des groupes » et pas « Groupe (mathématiques) », c'est pour cela que je pense que ce cours aurait eut plus de succès s'il s'était appelé « Théorie des groupes ». Et c'est pour cela que j'ai maintenu une redirection vers ce cours portant le nom de « Théorie des groupes ». Malheureusement, j'ai bien peur que Google essaye de déjouer toutes les astuces que l'on peut imaginer pour augmenter artificiellement la visibilité d'une page par un moteur de recherche et il semblerait qu'il ne tienne pas compte des redirections. Si je tape « Théorie des groupes » dans Google, je ne vois pas apparaître cette redirection (bien qu'elle soit là depuis longtemps). Par conséquent, il est fort possible que cette redirection ne serve à rien du point de vu de la recherche sur Google. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2017 à 07:52 (UTC) :::Alors peut-être serait-il plus efficace, plutôt que de rétablir le redirect, de renommer ce cours ?[[Utilisateur:Anne Bauval|Anne Bauval]] ([[Discussion utilisateur:Anne Bauval|discussion]]) 7 juillet 2017 à 08:05 (UTC) :::: {{Notif|Anne Bauval}}Ça, c'est une autre question que je me pose. Lorsque je tape « Théorie des groupes » dans google, ce cours s'affiche en dixième position. Si l'on renomme ce cours, au bout de combien de temps, le cours avec son nouveau nom atteindra t'il au moins la dixième position dans Google en tapant « Théorie des groupes » ? Je suis curieuse de connaître la réponse et je serais donc favorable au renommage du cours, entre autres, pour avoir la réponse à cette question. Mais le principal contributeur de ce cours est {{Notif|Marvoir}}, il serait sans doute plus convenable d'avoir son avis. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 7 juillet 2017 à 08:43 (UTC) :::::Merci de penser à moi. Je ne connais pas grand-chose au fonctionnement de Google, donc je préfère vous laisser les mains libres. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 8 juillet 2017 à 07:07 (UTC) ::::::Merci pour la réponse, sauf objection dans les jours qui suivent, je vais donc essayer d'améliorer la visibilité de ce cours en le renommant « Théorie des groupes ». Avec l'outil statistiques de la colonne de gauche, je suivrai l'affaire de près pour voir si le nombre d'accès augmente grâce à ce renommage. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 juillet 2017 à 07:43 (UTC) == Pas très pédagogique ? == Les groupes diédraux ne sont définis qu'après le chapitre sur le produit semi-direct (c'est moi le responsable) et donc, dans l'état actuel du cours, au chapitre 25. C'est fort tard, si on admet qu'il est souhaitable que le lecteur dispose le plus tôt possible de nombreux exemples de groupes (non isomorphes). On peut d'ailleurs définir un groupe diédral, sans faire appel au produit semi-direct, comme un certain groupe d'isométries ou même, sans faire appel à la géométrie, comme un certain groupe de permutations d'un ensemble fini. D'ailleurs, Rotman, Robinson et Calais définissent tous trois les groupes diédraux bien avant le produit semi-direct. Donc on pourrait peut-être faire de même dans le présent cours. Je note ça ici comme un aide-mémoire, mais si je fais un jour le travail, ce ne sera pas tout de suite. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 9 novembre 2025 à 09:10 (UTC) == Aide-mémoire == Il me semble qu'il faudrait encore ajouter au cours : :un chapitre sur les présentations de groupes; :des compléments tout à fait classiques sur les opérations primitives et les opérations plusieurs fois transitives; :le produit libre amalgamé; :le sous-groupe de Fitting; :peut-être les groupes abéliens divisibles; :peut-être le critère de p-nilpotence de Frobenius; :peut-être les groupes de Frobenius; :peut-être la classification des groupes dont l'ordre est le cube d'un nombre premier; :peut-être la classification des groupes d'ordre 16; :peut-être la description des automorphismes d'un groupe alterné (en complément de celle des automorphismes d'un groupe symétrique fini, déjà donnée dans un exercice sur le chapitre ''Groupes symétriques finis''); :peut-être les sous-groupes sous-normaux; :peut-être les théorèmes "à la Remak" :peut-être les groupes de Mathieu. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discuter]]) 23 mars 2026 à 07:54 (UTC) rc1fkhn1lifzvytwr37dzvc67lgrjyj 0 8800 981504 981398 2026-04-11T07:21:40Z Marvoir 1746 /* Théorème de Cayley */ savantes trivialités 981504 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre''' lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe. G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} qvpuvy9hzwehh1d8ot5h1p3akskllwm 0 17821 981502 981073 2026-04-11T06:06:40Z Marvoir 1746 /* Problème 13 */ indiqué que les groupes symétriques finis seront étudiés dans un chapitre ultérieur 981502 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | chapitre = [[../../Action de groupe/]] | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''G'' un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble ''X''. Prouver que si ''G'' est commutatif, cette opération est simplement transitive<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, exemple 2; Paris, 1970, {{p.|58}}.</ref>. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.) {{clr}} {{Solution | contenu = Il s'agit de prouver que l'opération de ''G'' sur ''X'' est libre. Soient ''x'' un élément de ''X'' et ''g'' un élément de ''G'' tels que ''gx = x''; il s'agit de prouver que ''g'' = 1.<br /> Soit ''y'' un élément de ''X''. Puisque l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée transitive, il existe un élément ''h'' de ''G'' tel que ''y'' = ''hx''. Alors ''gy'' = ''ghx'', d'où, puisque ''G'' est supposé commutatif, ''gy'' = ''hgx'', ce qui, d’après notre hypothèse ''gx = x'', peut s'écrire ''gy'' = ''hx''. Le second membre est égal à ''y'', donc ''gy'' = ''y''.<br /> Ceci est démontré pour tout élément ''y'' de ''X''. Comme l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée fidèle, nous avons donc ''g'' = 1, ce qu’il fallait démontrer.}} == Problème 2. (Lemme dit de Burnside) == Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément ''g'' de G, désignons par ''F''(''g'') le nombre des éléments de X fixés par ''g'', c'est-à-dire le nombre des éléments ''x'' de X tels que ''gx = x''. a) Prouver le lemme dit de Burnside<ref>Le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius. Voir J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, {{p.|58}}, n. 1.</ref> : :<math> \qquad\sum_{g\in G}F(g)=|\Omega||G|</math>, où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément ''x'' de X est-il compté dans la somme ?) {{Solution | contenu = L'idée essentielle est que dans <math>\sum_{g\in G}F(g)</math>, chaque élément de X est compté <math>\left|G_x\right|</math> fois, où G_x désigne le stabilisateur de ''x''. Voici une mise en forme rigoureuse. Pour tout <math>\omega\in\Omega</math>, les stabilisateurs des éléments de cette orbite étant conjugués (cf. problème suivant), ils ont même ordre. Notons <math>c_\omega</math> cet ordre commun. En utilisant un élément ''x'' de l'orbite, on a :<math>\left|\omega\right|c_\omega=\left[G:G_x\right]\left|G_x\right|=|G|</math>. Par conséquent : :<math>\begin{align}\sum_{g\in G}F(g)&=\left|\{(g,x) \in G \times X\mid gx=x\}\right|\\ &=\sum_{x \in X}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\sum_{x\in\omega}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\left|\omega\right|c_\omega\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}|G|\\ &=|\Omega||G|.\end{align}</math> }} b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque l'opération de G sur X est transitive, il n'y a qu'une orbite donc, d’après le point a), :<math> \qquad \sum_{g\in G}F(g)=|G|</math>. Cela peut encore s'écrire :<math> \qquad F(1) + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g) = \vert G \vert </math> ou encore, puisque F(1) = <nowiki>|X|</nowiki>, :<math> \qquad \vert X \vert + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g)=|G|</math>. Si tout élément de G avait au moins un point fixe, c'est-à-dire si l'on avait F(''g'') ≥ 1 pour tout élément ''g'' de G, le premier membre serait ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, donc on aurait {{!}}G{{!}} ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, d'où {{!}}X{{!}} ≤ 1, ce qui contredit les hypothèses. }} == Problème 3 == a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient ''x'' et ''y'' deux points de X et ''g'' un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) g{{exp|-1}}. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.) {{clr}} {{Solution | contenu = Pour tout élément ''h'' de G, :<math>\qquad h \in \mathrm{Stab}(y) \Leftrightarrow hy = y</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow hgx = gx</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hgx = x</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hg \in \mathrm{Stab}(x)</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow h \in g \mathrm{Stab}(x)\ g^{-1},</math> d'où l'énoncé. }} b) Soient G un groupe, ''x'' et ''a'' des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations <math>\ C_{G}(a^{-1}xa) = a^{-1}C_{G}(x)\ a</math> et <math>\ N_{G}(a^{-1}Ha) = a^{-1}N_{G}(H)\ a</math> (démontrées dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). {{clr}} {{Solution | contenu = Dans a), prendre X égal à (l'ensemble sous-jacent de) G, faire opérer G à gauche sur X par conjugaison : <math>(g, x) \mapsto gxg^{-1}.</math> On trouve que <math>\ C_{G}(gxg^{-1}) = gC_{G}(x)g^{-1}</math> pour tout élément ''g'' de G, d'où le premier énoncé à démontrer.<br /> Pour obtenir à partir de a) le second énoncé à démontrer, faire opérer G à gauche par conjugaison sur l’ensemble des parties de G. }} == Problème 4 == Soient ''G'' un groupe fini non trivial et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Prouver que si ''H'' est un sous-groupe d'indice ''p'' de ''G'', c’est un sous-groupe normal de ''G''. (Indication : faire opérer ''G'' par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' de ses classes à gauche modulo ''H''.) {{clr}} {{Solution | contenu = Considérons l'ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H''. Sur cet ensemble à ''p'' éléments, ''H'' agit par translations, avec au moins un point fixe (la classe ''eH = H''). Si une classe n'est pas fixe, son orbite a pour cardinal un diviseur de l'ordre de ''H'' strictement supérieur à 1 donc supérieur ou égal à ''p'', ce qui est incompatible avec ce qui précède. Ainsi, toutes les classes sont fixes, c'est-à-dire que pour tous éléments ''g'' de ''G'' et ''h'' de ''H'' on a ''hgH = gH'', i.e. ''g''{{exp|–1}}''hg∈H'', donc ''H'' est normal<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom=Anthony W.|nom1=Knapp|titre=Basic Algebra|éditeur=Springer|année=2006|passage=163|lire en ligne={{Google Livres|Dau7fX44ZywC|page=163}}|volume=1}}.</ref>. }} == Problème 5 == Soit <math>G</math> un groupe agissant (par exemple à gauche) sur un ensemble <math>E</math> par <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto g \ x .</math> Soit <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math>; notons <math>E^{H}</math> l'ensemble des points fixes de <math>H</math>, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de <math>E</math> fixés par tout élément de <math>H .</math> Prouver que pour tout élément <math>g</math> de <math>N_{G}(H)</math> et tout élément <math>y</math> de <math>E^{H}</math>, <math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math> (de sorte que l'action <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto gx </math> induit par restriction une action <math>N_{G}(H) \times E^{H} \to E^{H}</math> de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math>). {{Solution|contenu= Soit donc <math>g</math> un élément de <math>N_{G}(H)</math> et <math>y</math> un élément de <math>E^{H}</math>; il s'agit de prouver que :<math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math>, autrement dit que :<math>g \ y</math> est un point fixe de <math>H .</math> Soit donc <math>h</math> un élément de H; il s'agit de prouver que :<math>h \ g \ y = g \ y .</math> Cela revient à dire que :<math>g^{-1} h g \ y = y</math>, ce qui est bien vrai, puisque, <math>g</math> appartenant à <math>N_{G}(H)</math>, <math>g^{-1} h g</math> appartient à H et fixe donc <math>y .</math> }} Remarque. Nous reviendrons à cette action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math> dans un [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. == Problème 6 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes. #Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ? #Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe. {{Solution|contenu= #Il y a ''a'' orbites à 7 éléments et ''b'' orbites à 5 éléments, avec 7''a'' + 5''b'' = 19. La seule solution est ''a'' = 2, ''b'' = 1. Il y a donc 3 orbites. (Remarque : sur 18 éléments, il n'y aurait pas de solution ; sur 17 éléments, la solution serait ''a'' = 1, ''b'' = 2.) #S'il n'y avait pas de point fixe, il y aurait ''a'' orbites à 13 éléments et ''b'' orbites à 11 éléments avec 13''a'' + 11''b'' = 108 donc ''a'' ≡ -1 mod 11, donc ''a'' ≥ 10, ce qui est impossible car 13×10 > 108. (Remarque : sur 109 éléments, il y aurait une solution : ''a'' = 5 et ''b'' = 4.) }} == Problème 7 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries. {{Solution|contenu= Notons Isom{{exp|+}}(C), Isom{{exp|+}}(T), Isom(C) et Isom(T) ces quatre groupes, vus comme agissant sur l'ensemble des sommets du cube C ou du tétraèdre T. On montre facilement (en exhibant des rotations biens choisies) que les deux premières actions sont transitives. A fortiori, les deux dernières le sont aussi. Soit A un sommet de C. Le stabilisateur de A dans Isom{{exp|+}}(C) est constitué des rotations d'axe OA (O étant le centre du cube) qui permutent les 8 sommets de C. Elles permutent donc les trois sommets les plus proches de A, si bien qu'il y a exactement 3 telles rotations. On a donc {{!}}Isom{{exp|+}}(C){{!}} = 3×8 = 24. Par le même raisonnement, {{!}}Isom{{exp|+}}(T){{!}} = 3×4 = 12. Lorsqu'on considère les groupes d'isométries, l'ordre du stabilisateur (et donc celui du groupe) est doublé, puisqu'il existe un plan de symétrie contenant A. }} == Problème 8 == #Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité). #En déduire que ce groupe est isomorphe à S{{ind|4}}. #À l'aide du lemme « de Burnside » {{supra|Problème 2. (Lemme dit de Burnside)}}, déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition. {{Solution|contenu= #Outre l'identité, il y a : #*pour chacune des 4 diagonales, deux tiers de tours ; #*pour chacun des 3 axes joignant les centres de deux faces opposées, deux quarts de tour et un demi-tour ; #*pour chacun des 6 axes joignant les centres de deux arêtes opposées, un demi-tour. #:C'est tout, puisque 1 + 4×2 + 3×3 + 6 = 24. #Ce groupe agit sur les quatre diagonales, fidèlement d'après l'inventaire. #Faisons agir le groupe de ces 24 rotations sur l'ensemble des 3{{exp|6}} cubes colorés et dénombrons, pour chaque rotation r, les cubes colorés « fixes » (en apparence). Le lemme de Burnside permettra d'en déduire le nombre N d'orbites, qui est le nombre cherché de « façons de colorer le cube, à rotation près ». Il faut pour cela faire agir r (et ses puissances) sur les 6 faces du cube et compter les orbites en lesquelles ces faces sont partitionnées : s'il y a k orbites, pour que le cube coloré soit fixe, chacune des k orbites doit être monochrome donc (puisqu'on dispose de 3 couleurs) il y a 3{{exp|k}} cubes colorés fixes par r. #*pour l'identité, k = 6 ; #*pour chacun des 8 tiers de tours, k = 2 ; #*pour chacun des 6 quarts de tours, k = 3 ; #*pour chacun des 3 demi-tours carrés des quarts de tours précédents, k = 4 ; #*pour chacun des 6 autres demi-tours, k = 3. #:D'après le lemme de Burnside, 24×N = 3{{exp|6}} + 8×3{{exp|2}} + 6×3{{exp|3}} + 3×3{{exp|4}} + 6×3{{exp|3}} donc N = 3×n avec 8×n = 3{{exp|4}} + 8 + 6×3 + 3×3{{exp|2}} + 6×3 = 152, donc n = 19 et N = 57. }} ==Problème 9== Soient G un groupe, H un sous-groupe et A un ensemble muni d'une action à droite de H. On considère l'action à droite de H sur A×G définie par :<math>(a,g)h=(ah,h^{-1}g)</math> et l'on note <math>A\otimes_HG</math> l'ensemble des orbites de cette action. #Expliciter l'action naturelle (à droite) de G sur <math>A\otimes_HG</math>. #Soit T une [[../../Classes modulo un sous-groupe#Indice d'un sous-groupe|transversale à droite]] de H dans G. Pour tout <math>g\in G</math>, on note <math>\bar g</math> le représentant de H''g'' dans T. Démontrer que l'application #::<math>\varphi:A\times(G/H)\to A\otimes_HG,\;(a,Hg)\mapsto a\otimes\bar g</math> #:est bijective (on explicitera la bijection réciproque). #Déterminer l'action de G sur A×(G/H) transportée (par cette bijection) de l'action sur <math>A\otimes_HG</math>. #En supposant T contient l'élément neutre 1 de G, quelle est l'action de H sur A×{H} obtenue par restriction ? {{Solution|contenu= #<math>(a\otimes g)g'=a\otimes(gg')</math> (cette action est bien définie car <math>(ah)\otimes((h^{-1}g)g')=(ah)\otimes(h^{-1}(gg'))=a\otimes(gg')</math>). #<math>a\otimes g=a\otimes(g\bar g^{-1}\bar g)=(ag\bar g^{-1})\otimes\bar g</math> (car <math>g\bar g^{-1}\in H</math>) donc l'application <math>A\otimes_HG\to A\times(G/H),\;a\otimes g\mapsto (ag\bar g^{-1},Hg)</math> (dont on vérifie qu'elle est bien définie) est réciproque de <math>\varphi</math>. #<math>(a,Hg)g'=(a\bar gg'\left(\overline{gg'}\right)^{-1},Hgg')</math>. #<math>(a,H)h=(ah,H)</math> : cette action est donc équivalente à celle de H sur A. }} ==Problème 10== Soit G un groupe d'ordre 60 qui a pour équation aux classes (pour l'action par conjugaison de G sur lui-même) :<math>60=1+15+20+12+12</math>. Montrer que G est simple, en considérant les équations aux classes possibles pour ses sous-groupes normaux. {{Solution|contenu= Un sous-groupe est normal dans G si et seulement s'il est réunion de classes de conjugaison. Son ordre doit donc être égal à 1 (pour la classe du neutre) plus une somme de certains des nombres 15, 20, 12 et 12. Mais cet ordre doit de plus diviser 60 donc être égal à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ou 60. Le seul ordre possible est donc 1 ou 60. }} Remarque : [[../Premiers résultats sur les groupes simples|le groupe alterné A{{ind|5}} est donc le seul]] groupe d'ordre 60 ayant cette équation aux classes. ==Problème 11== Décomposer l'ensemble <math>\mathrm M_n(K)</math> des [[matrice]]s carrées d'ordre <math>n</math> à coefficients dans un corps <math>K</math> en orbites pour les opérations suivantes de <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> : #multiplication à gauche ; #multiplication à droite ; #conjugaison. {{Solution|contenu= Deux matrices sont sur la même orbite si et seulement si (respectivement) : #elles ont même [[Application linéaire/Définitions#Image, noyau|noyau]] ; #elles ont même image ; #elles sont [[Matrice/Relations entre matrices#Matrices semblables|semblables]]. }} ==Problème 12== En méditant sur le théorème de Cayley, démontrer que tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués. {{Solution|contenu= Soit G un groupe d'ordre n. Considérons le plongement de Cayley : <math>G\to S_G,\;g\mapsto L_g\,(G\to G,\;x\mapsto gx)</math>. Pour tout élément g de G d'ordre m (diviseur de n), la permutation <math>L_g</math> est un produit de n/m cycles disjoints de longueur m donc la classe de conjugaison de cette permutation ne dépend que de m. }} == Problème 13 == Ce problème porte sur les groupes symétriques finis, qui seront étudiés au chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]]. # Dénombrer le nombre de <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> en utilisant une action de groupe. # Utiliser le même raisonnement pour dénombrer le nombre de <math>k</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = # Notons <math>X_n</math> l'ensemble des <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Faisons agir <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_n</math> via l'action par conjugaison <math>(\sigma,(a_1,\dots,a_n))\mapsto \sigma(a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n))</math>. C'est une action bien définie qui est transitive (deux <math>n</math> cycles sont conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>). L'équation aux classes permet donc d'obtenir : <math>|X_n| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_n)</math> est un <math>n</math>-cycle quelconque de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Soit à présent <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))</math> alors <math>\sigma (a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n)) = (a_1,\dots,a_n)</math>, comme deux <math>n</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près. (Ici <math>n</math> permutations) on a donc <math>|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))| = n</math> d'où finalement : <math>|X_n| = \frac{n!}{n} = (n-1)!</math>. # Nous refaisons le même raisonnement en notant cette fois-ci <math>X_k</math> le nombre de <math>k</math>-cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> et on fait agir de la même manière par conjugaison <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_k</math>. Cette action reste transitive puisque les <math>k</math>-cycles sont tous conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>. L'équation au classe permet alors d'écrire : <math>|X_k| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_k)</math> est un <math>k</math>-cycle quelconque. Soit <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))</math> alors de même que précédemment <math>\sigma(a_1,\dots,a_k)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_k)) = (a_1,\dots,a_k)</math>. Or deux <math>k</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près donc <math>\sigma</math> permute circulairement les éléments <math>a_1,\dots a_k</math> et permute comme il le souhaite les <math>n-k</math> autres éléments on a donc finalement : <math>|X_k| = \frac{n!}{k(n-k)!}</math>.}} == Problème 14 == Soit G un groupe '''fini''' ayant exactement deux classes de conjugaison. Prouver que G est d'ordre 2. {{clr}} {{Solution | contenu = Les deux classes de conjugaison de G sont {1} et G \ {1}. D'après le chapitre théorique, le cardinal d'une classe de conjugaison divise l'ordre du groupe, donc <math>\vert G\vert -1</math> divise <math>\vert G\vert</math>. Comme <math>\vert G\vert -1</math> se divise lui-même, il divise donc à la fois <math>\vert G\vert -1</math> et <math>\vert G\vert</math>, donc il divise leur différence 1, donc il est égal à 1, ce qui revient à dire que <math>\vert G\vert = 2</math>. (Cette démonstration ne serait pas valable si G était infini, car on ne peut pas parler de la différence de deux cardinaux infinis égaux.) }} Remarques. 1° Définissons par récurrence sur ''n'' une suite de nombres naturels <math>k_n</math> telle que <math>k_1 = 1</math> et <math>k_{n+1} = k_n (1 + k_n)</math>. Donc <math>k_2 = 2</math>, <math>k_3 = 6</math>, <math>k_4 = 42</math>, <math>k_5 = 1806</math> etc. On démontre que si ''g'' est un nombre naturel non nul qui peut s'écrire comme somme de ''n'' de ses diviseurs naturels, un au moins de ces diviseurs étant égal à 1 (on ne suppose pas que les diviseurs en question sont deux à deux distincts), alors ''g'' est au plus égal à <math>k_n</math><ref>Voir D.R. Curtiss, « On Kellogg's Diophantine problem », ''The American Monthly'', vol. 29, n° 10, nov. - déc. 1922, pp. 38à-387, consultable sur [https://www.jstor.org/stable/2299023?seq=1 JSTOR]</ref>. Il résulte de ce théorème (purement arithmétique) que si un groupe ''fini'' admet exactement ''n'' classes de conjugaison, l'ordre de ce groupe est au plus égal à <math>k_n</math>. Par exemple, si un groupe ''fini'' a exactement cinq classes de conjugaison, son ordre est au plus 1806.</br> 2° Il existe des groupes infinis ayant exactement deux classes de conjugaison. Voir un exemple dans J. J. Rotman, ''An Introduction the Theory of Groups'', 4-ième édition, exerc. 11.78, p. 406. == Notes et références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} acnexmmyt50aefyxvu9t3tfu34zh4ea