Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 819 982177 981462 2026-04-23T05:49:20Z Marvoir 1746 /* Sous-groupe distingué */ ajouté remarque avec lien vers un exercice 982177 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, cela est vrai aussi pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Remarque. Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''g'' un élément de ''G'' tel que <math>gHg^{-1} \leq H</math>. Il n'est pas forcément vrai que ''g'' normalise ''H''. Voir un exemple dans les [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|exercices sur le chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], problème 14. Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Cœur d'un sous-groupe == Si K est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe normal de G contenant K, à savoir le sous-groupe de G engendré par K, que nous avons étudié plus haut. Nous allons voir qu'il y a un phénomène «dual» de celui-là, à savoir que si H est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Le cœur de H dans G (noté cœur_G(H) ou encore <math>H_{G}</math>) est par définition l'intersection des G-conjugués de H. Donc :<math>H_{G} = \bigcap _{x \in G} x H x^{-1}</math> }} {{Théorème |contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H (« plus grand » s'entendant au sens de l'inclusion). Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H, le groupe quotient <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. (Rappelons que, H n'étant pas supposé normal dans G, on ne munit pas G/H d'une structure de groupe.) En particulier, si H est d'indice fini ''n'' dans G, l'indice de <math>H_{G}</math> dans G est lui aussi fini et divise n!. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>H_{G}</math> est l'intersection d'une famille de sous-groupes de G et est donc un sous-groupe de G. Puisque H est évidemment un de ses propres conjugués dans G,<math>H_{G}</math> est donc un sous-groupe de G contenu dans H (autrement dit est un sous-groupe de H).</br> Prouvons que :<math>H_{G}</math> est normal dans G. (En fait, nous verrons plus loin que <math>H_{G}</math> peut être défini comme le noyau d'un certain homomorphisme de groupes partant de G, ce qui suffirait à prouver qu'il est normal dans G.)</br> Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que :(thèse 1) <math>g H_{G}g^{-1} = H_{G}.</math> Par définition de <math>H_{G}</math>, :(2) <math>g H_{G}g^{-1} = g (\bigcap _{x \in G} x H x^{-1}) g^{-1}.</math> On vérifie facilement que si <math>(K_{i})_{i \in I}</math> est une famille non vide de sous-groupes d'un groupe G, alors, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g (\bigcap _{i \in I} K_{i}) g^{-1} = \bigcap _{i \in I} (g K_{i} g^{-1})</math>, donc (2) peut s'écrire : <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} (g x H x^{-1} g^{-1})</math> ou encore :(3) <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} ( (g x) H (g x)^{-1})</math>. Pour un élément ''g'' donné de G, <math>x \mapsto gx</math> définit une permutation de l'ensemble G, donc (3) peut s'écrire :<math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{y \in G} (y H y^{-1})</math>, autrement dit <math>g H_{G} g^{-1} = H_{G},</math> ce qui prouve la thèse (1), donc :<math>H_{G}</math> est normal dans G. Prouvons maintenant que <math>H_{G}</math> est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.</br> Soit K un sous-groupe normal de G contenu dans H; il s'agit de prouver que :(thèse 4) <math>K \leq H_{G}</math>. Puisque K est normal dans G, nous avons, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g K g^{-1} = K</math>. Par hypothèse sur K, le membre droit est contenu dans H, donc, pour tout élément ''g'' de G, nous avons :<math>g K g^{-1} \leq H</math>, d'où :<math>K \leq g^{-1} H g</math>. Cela étant vrai pour tout élément ''g'' de G, nous avons donc :(5) <math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g^{-1} H g</math>. Puisque <math>g \mapsto g^{-1}</math> définit une permutation de l'ensemble G, la relation (5) peut s'écrire :<math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g H g^{-1}</math>, c'est-à-dire :<math>K \leq H_{G}</math>, ce qui prouve la thèse (4). Donc :<math>H_{G}</math> est bien le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. Pour tout élément ''g'' de G et tout élément X de l'ensemble G/H, on définit de manière évidente l'élément gX de G/H et on vérifie facilement que pour tout élément ''g'' de G, <math>X \mapsto gX</math> définit une permutation de l'ensemble G/H, autrement dit un élément du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. Notons <math>t_g</math> cet élément de <math>S_{G/H}</math>.</br> Alors, pour tous éléments <math>g, g'</math> de G, nous avons :<math>t_{g g'} = t_{g} \circ t_{g'}</math>, donc, si nous désignons par T l'application <math>g \mapsto t_g</math> de G dans <math>S_{G/H}</math>, :T est un homomorphisme de G dans <math>S_{G/H}</math>. Un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si <math>t_g</math> est la permutation identique de l'ensemble G/H, autrement dit si et seulement si pour toute classe à gauche X de G modulo H, <math>t_g</math> applique X sur elle-même, autrement dit encore si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, <math>g u H = u H</math>. La condition <math>g u H = u H</math> revient à <math>u^{-1} g u H = H</math>, ou encore à <math> g \in u H u^{-1}</math>, donc un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, ''g'' appartient à <math>u H u^{-1}</math>. Cela revient à dire que :le noyau de T est égal à <math>H_{G}</math>. Dès lors, d'après le premier théorème d'isomorphisme (voir plus haut), <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à l'image de l'homomorphisme T. Puisque cette image est un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>, <math>G/H_{G}</math> est donc isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>. Si l'indice [G:H] est fini et qu'on le note ''n'', alors, d'après ce qui précède, <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_n</math>, ce qui montre en particulier que si un sous-groupe H d'un groupe G est d'indice fini ''n'', le cœur de H dans G est lui aussi d'indice fini et cet indice divise n!. Cela achève la démonstration. }} Remarques. 1° Dans la démonstration, nous avons considéré un homomorphisme d'un groupe dans un certain groupe symétrique. Un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe symétrique <math>S_E</math> correspond à ce qu'on appelle une action du groupe G sur l'ensemble E. Ces actions seront étudiées dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]].</br> 2° Dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]], le théorème qui précède nous permettra de démontrer le ''théorème de plongement'', qui joue un rôle important dans l'étude des groupes finis. == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} 5bviy3y83sp1c71ng2st8xcw18n5qbt 0 9088 982165 967920 2026-04-22T12:32:22Z Crochet.david 317 . 982165 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | titre_leçon = [[../|Conjugaison anglaise]] | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison en anglais]] | numéro = 5 | niveau = 2 | précédent = [[../Prétérit/]] | suivant = [[../Formation du participe passé/]] }} == L'expression du futur == === Généralités === Le futur en tant que temps grammatical à proprement parler n'existe pas en anglais ! On parlera plutôt d'''expression du futur''. Le futur s'exprime à l'aide de divers outils grammaticaux, principalement : * l'auxiliaire modal '''WILL''' * le présent continu (ou présent '''BE + ING''') * le présent simple * différentes structures telles que ''be going to'', ''be about to'', ''be to'' ou ''be likely to'' {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en|Tomorrow, I will go to the beach.|Demain, j'irai à la plage. (Simple information ou expression de la volonté de celui qui parle.)}} {{Traduction|langue1=en|Tomorrow, I am going to the beach.|Demain, je vais à la plage. (Celui qui parle s'y voit déjà un peu...)}} {{Traduction|langue1=en|I am going to have a baby !|Je vais avoir un bébé !}} {{Traduction|langue1=en|When I'm old|Quand je serai vieux}} {{Traduction|langue1=en|She won't do that|Elle ne voudra jamais faire ça, ou Elle ne veut (absolument) pas faire ça.}}}} L'expression du futur est une expression de la façon de voir les choses de la personne qui parle (l'énonciateur) à propos du sujet grammatical. Le sujet va utiliser la formule grammaticale la plus proche de sa représentation mentale du futur. Ainsi, avec WILL on est dans la volonté, avec BE + ING on "s'y voit déjà", avec le présent on est dans une simple logique verbale. === WILL ''ou shall'' === ==== Forme ==== * Forme affirmative: '''will''' (ou''''ll''') + base verbale {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en| They '''will''' (''''ll''') arrive before tea-time|Ils arriveront avant l'heure du thé}}}} * Forme négative: '''will not''' (ou '''won't''') + base verbale {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en| They '''will not''' ('''won't''') arrive before tea-time|Ils n'arriveront pas avant l'heure du thé}}}} * Forme interrogative: '''will''' + sujet + base verbale {{Exemple | contenu = {{Traduction|langue1=en| '''Will''' they arrive before tea-time?|Arriveront-ils avant l'heure du thé ?}}}} ==== Emploi ==== '''Will''' s'emploie dans les cas suivants: * Lorsqu'une décision est prise dans l'instant {{exemple | contenu = {{traduction | langue1 = en | I think '''I'll take''' a cup of tea. | Je pense que '''je vais prendre''' une tasse de thé. }} }} * Quand la réalisation de l'action dépend de circonstances extérieures {{exemple | contenu = {{traductions | langue1 = en | Do you think it '''will rain''' tomorrow? | Penses-tu qu''''il pleuvra''' demain?'' | Petrol '''will be''' very expensive in a few years. | Le pétrole '''sera''' très cher dans quelques années. }} }} * Pour exprimer une simple prédiction {{exemple | contenu = {{traduction | langue1 = en | One day, you''''ll understand'''. | Un jour tu '''comprendras'''. }} }} === Le futur continu (Will be + ing) === ==== Forme ==== '''Will be''' + verbe en '''ing''' {{Exemple | contenu = ''forme affirmative'' {{traduction | langue1 = en|I ''''ll be''' ly'''ing''' on the beach.|}} ''forme négative'' {{traduction | langue1 = en|I '''won't be''' ly'''ing''' on the beach.|}} ''forme interrogative'' {{traduction | langue1 = en|'''Will''' I '''be''' ly'''ing''' on the beach?|}} }} ==== Emploi ==== La forme verbale '''will be + -ing''' implique une action en cours de déroulement dans l'avenir, qui durera un certain temps {{Exemple | contenu = Next month, I '''won't be''' writ'''ing''' letters and answer'''ing''' the telephone. I ''''ll be''' ly'''ing''' on the beach. }} === Le futur perfect (Will have + participe passé) === ==== Forme ==== '''Will have + participe passé''' du verbe {{Exemple | contenu = We''''ll have''' finish'''ed''' our work by ten. ''forme affirmative''<br /> We '''won't have''' finish'''ed''' our work by ten. ''forme négative''<br /> '''Will''' we '''have''' finish'''ed''' our work by ten? ''forme interrogative''}} ==== Emploi ==== La forme verbale '''will have + participe passé''' (le futur perfect) sert à envisager une action qui est accomplie dans le futur. Elle correspond au futur antérieur français. {{exemple | contenu = {{traductions | langue1 = en | He '''won't have read''' the article. | Il '''n'aura pas lu''' l'article | '''Will''' you '''have''' finish'''ed''' painting the door ? | '''Aurez vous fini''' de peindre la porte? }} }} ===== Le futur perfect continu ===== La forme continue de ce temps existe mais est très peu usitée: <br /> By eight o'clock, '''I'll have been digging''' the garden for more than two hours. === La projection dans l'avenir avec le présent continu (présent be + ing) === === La projection dans l'avenir avec le présent simple === === Les autre expressions du futur === ==== Le futur d'intention et le futur avec "be going to" ==== Tout comme son équivalent en français, l’expression "be going to" est relativement utilisée, c’est pourquoi il convient d’en connaitre les emplois et la formation grammaticale. ===== Forme ===== '''Be''' (conjugué) + '''going to''' + base verbale {{Exemple | contenu = It '''is ('s) going to''' rain. ''forme affirmative''<br /> It '''is not (isn't) going to''' rain. ''forme négative''<br /> '''Is''' it '''going to''' rain? ''forme interrogative''}} ===== Emplois ===== ====== Futur d'intention ====== Lorsqu'une décision est déjà prise, on parle de "futur d'intention", on a déjà décidé d'accomplir l'action (dans le futur) au moment ou l’on parle. Le futur d'intention est généralement traduit en français par "je vais...". {{Exemple | contenu = She''''s going to study''' computer-science. ''Elle va étudier l'informatique''<br /> What '''are''' you '''going to''' do? I''''m going to clean''' my room. ''Que vas-tu faire/qu'as tu prévu de faire? Je vais nettoyer ma chambre.''}} ====== Prévision basée sur des éléments présents ====== Lorsque, grâce à des éléments tangibles (indices dans le présent) le locuteur pense pouvoir prévoir un évènement à venir, il utilisera le "futur proche". {{Exemple | contenu = The sky is very cloudy. '''It's going to rain.''' ''C'est parce que le ciel est très nuageux que je prédit qu’il va pleuvoir''}} ==== futur immédiat (be about to) ==== ===== Forme ===== '''Be''' (conjugué) '''about to''' + base verbale ===== Emploi ===== Le futur immédiat ('''be about to''') s'emploie lorsque la réalisation de l'action est imminente. Elle se traduit généralement en français par l’expression "être sur le point de". {{Exemple | contenu = Hurry up! The train '''is about to leave'''. ''Le train est sur le point de partir''}} ==== be to ==== '''Be to''' s'emploi surtout dans la langue écrite, et sert à exprimer ce qui a été officiellement prévu de faire dans le futur, ou bien indiquer qu'un engagement est pris, que la date et l’heure en sont même éventuellement fixées. En français, on traduit le plus souvent par le verbe "devoir". {{Exemple | contenu = Prince Charles '''is to visit''' France next week. ''Le Prince Charles doit effectuer une visite en France la semaine prochaine''.<br /> The new president '''is to be elected''' in May. ''le nouveau président doit être élu en mai''}} ==== be likely to ==== {{...}} ==== be sure to ==== {{...}} ==== be bound to ==== {{...}} == Le futur dans les subordonnées de temps == L'expression du futur dans les subordonnées circonstancielles de temps pose un problème grammatical particulier, dans la mesure où l'emploi des auxiliaires privilégiés du futur y est souvent impossible. === La traduction du futur simple français === On ne peut ''jamais'' employer '''will''' dans une subordonnée circonstancielle de temps introduite avec '''when''' Exemple : '' Quand j'aurai vingt-cinq ans, je me marierai avec mon meilleur ami'' : When I'm twenty five, I'll marry my best friend et en aucun cas : <s>When I will be twenty five</s>... === La traduction du futur antérieur français === {{...}} {{manque d'exercices}} {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../|La conjugaison en anglais]] | précédent = [[../Prétérit/]] | suivant = [[../Formation du participe passé/]] }} 3ii76caun2c2bpm5by1z1fo78hpfk8u 0 17153 982178 981901 2026-04-23T06:54:17Z Marvoir 1746 /* Problème 3 */ évité de parler de "chapitre suivant", ce qui pourrait devenir inexact en cas de restructuration 982178 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | chapitre = [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient ''G'' un groupe et ''A'', ''B'' deux sous-groupes conjugués. Montrer que si ''AB'' = ''G'', alors ''A'' et ''B'' sont égaux à ''G''<ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.</ref>. {{Solution | contenu = Puisque ''A'' et ''B'' sont conjugués, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que <math>B = gAg^{-1}</math>. Puisque ''G'' = ''AB'', tout élément ''x'' de ''G'' peut donc s'écrire <math>x = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math> avec <math>a_{1}</math> et <math>a_{2}</math> dans ''A''. C'est vrai en particulier pour <math>x = g^{-1}</math>, donc il existe <math>a_{1}, a_{2}</math> dans ''A'' tels que <math>g^{-1} = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math>. En simplifiant à droite par <math>g^{-1}</math> (ou, si on préfère, en multipliant à droite par <math>g</math>), nous trouvons <math>1 = a_{1}ga_{2}</math>. En multipliant à gauche par <math>a_{1}^{-1}</math> et à droite par <math>a_{2}^{-1}</math>, nous obtenons <math>g = a_{1}^{-1}a_{2}^{-1}</math>, donc ''g'' appartient à ''A'', donc ''B'' est le conjugué de ''A'' par un élément de ''A'', donc ''B'' est égal à ''A'', donc ''A'' = ''B'' = ''AB'', d'où, puisque ''AB'' est supposé égal à ''G'', ''A'' = ''B'' = ''G''. }} (Généralisation) Soient ''K'' et ''H'' deux sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''x'', ''y'' deux éléments de ''G''. Montrer que :si ''G = HK'' alors ''G = H{{exp|x}}K{{exp|y}}'' où, pour tout élément ''g'' et toute partie ''A'' de ''G'', ''A{{exp|g}}'' désigne la partie conjuguée ''g''{{exp|-1}}''Ag'' de ''A''. {{Solution|contenu= Soient ''h'' ∈ ''H'' et ''k'' ∈ ''K'' tels que ''xy''{{exp|-1}} = ''hk''. Alors, ''H{{exp|x}}K{{exp|y}} = H{{exp|hky}}K{{exp|y}} = H{{exp|ky}}K{{exp|ky}}'' = (''HK'')''{{exp|ky}} = G{{exp|ky}} = G''. }} == Problème 2 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. On suppose que <math>A \not= 1</math> et que <math>A \cap A^{g} = 1</math> pour tout <math>g \in G\setminus A</math>. Prouver que :<math>\vert \bigcup _{g \in G} A^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.</ref>. {{Solution | contenu = Soient ''g'' et ''h'' des éléments de ''G'' tels que <math>A^{g} \cap A^{h} \not= 1</math>. En passant aux images par la bijection <math>x \mapsto x^{g^{-1}}</math>, nous trouvons <math>A \cap A^{hg^{-1}} \not= 1</math>, d'où, d’après nos hypothèses, <math>hg^{-1} \in A</math>, ce qui revient à dire que g et h appartiennent à la même classe à droite suivant ''A''. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' qui n'appartiennent pas à la même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{g} \cap A^{h} = 1</math>. Soit ''r'' l'indice de ''A'' dans ''G''; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, les ''r'' parties de ''G'' <math>A^{g_{1}} \setminus \{1\}, ..., A^{g_{r}} \setminus \{1\}</math> sont deux à deux disjointes, donc <math> \bigcup _{g \in G} (A^{g} \setminus \{1\})</math> compte au moins <math>r(\vert A \vert - 1)</math> éléments, donc <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + r(\vert A \vert - 1)</math> éléments. Puisque <math>r = \vert G:A \vert = \vert G \vert / \vert A \vert</math>, cela revient à dire que <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + \vert G \vert - \vert G \vert / \vert A \vert</math> éléments. Par hypothèse, <math>\vert A \vert \geq 2</math>, donc <math>\vert G \vert / \vert A \leq \vert G \vert / 2</math>, d'où l'énoncé. }} == Problème 3 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. Prouver que si <math>A \not= G</math>, alors <math>G \not= \bigcup _{g \in G} A^{g}</math>, autrement dit ''G'' n’est pas la réunion des conjugués de A<ref>Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, ''Groupes finis'', révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, [https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL2937151343298039815_1___Groupes_finis.pdf en ligne].</ref>. {{Solution | contenu = (Remarque préliminaire : au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], on montrera que le nombre des conjugués de ''A'' dans ''G'' est égal à l'indice dans ''G'' du normalisateur de ''A'' et est donc inférieur ou égal à <math>\vert G\vert / \vert A \vert</math>, ce qui permet de rédiger la démonstration plus simplement.) Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', c'est-à-dire s'il existe <math>a \in A</math> tel que h = ag, alors <math>A^{h} = A^{(ag)} = (A^{a})^{g}</math> d'où, puisque <math>A^{a} = A</math>, <math>A^{h} = A^{g}</math>. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{h} = A^{g}</math>. (On l'a déjà noté dans la solution de l'exercice précédent.) Soit <math>r = \vert G:A \vert</math>; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, <math>\bigcup_{g \in G}A^{g} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}A^{g_{i}}</math>, d'où <math>\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}(A^{g_{i}} - \{1\})</math> et donc <math>\mathrm{Card}\left(\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\}\right) \leq \sum_{1 \leq i \leq r}\mathrm{Card}(A^{g_{i}} - \{1\})</math><br /> <math>\mathrm{Card}\left(\bigcup_{g \in G}A^{g}\right) \leq 1 + r(\vert A \vert - 1)</math>. Comme <math>r\vert A \vert = \vert G \vert</math>, ceci peut s'écrire <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) \leq \vert G \vert + 1 - r</math>. Puisque A est supposé distinct de G, r est > 1, donc <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) < \vert G \vert</math>, d'où l'énoncé. }} Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. == Problème 4 == Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G<ref>Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/71/18/PDF/crs_gr_nilpotent_DEA_96_97.pdf en ligne], lemme 4.2, p. 17.</ref>. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.) {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, :<math>\ (1)</math> aucun sous-groupe maximal de G ne soit normal dans G. Soit M un sous-groupe maximal de G. Puisque M est contenu dans <math>\ N_{G}(M)</math> et que M est maximal, <math>\ N_{G}(M)</math> est égal à G ou à M. Puisque nous avons supposé en (1) qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal dans G, <math>\ N_{G}(M) \not= G,</math> donc <math>\ N_{G}(M) = M.</math> Ceci revient à dire que :<math>\ (2)</math> pour tout sous-groupe maximal M de G et pour tout <math>g \in G \setminus M, M^{g} \not= M</math> (où <math>\ M^{g}</math> désigne <math>\ g^{-1}Mg</math>). D'autre part, il est clair (par exemple parce que M n’est pas normal dans G) que <math>M \not= 1.</math> Compte tenu de ceci, de (2) et d'un des problèmes ci-dessus, on a donc :<math>(3) \qquad \vert \bigcup _{g \in G} M^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1.</math> Puisque G est un groupe fini > 1, il admet au moins un sous-groupe maximal. Choisissons un sous-groupe maximal P de G. D'après un des problèmes ci-dessus, <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math> n’est pas égal à G tout entier. Nous pouvons donc choisir un élément ''x'' de G qui n'appartient pas à <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>.<br /> D'après l'hypothèse (1) (et le fait que G admet au moins un sous-groupe maximal), G n’est pas commutatif (puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal). En particulier, G n’est pas cyclique, donc le sous-groupe <x> de G n’est pas G tout entier, donc <x> est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G, soit Q. Alors ''x'' appartient à Q.<br /> Puisque ''x'' a été choisi hors de <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>, Q est distinct de tous les conjugués de P. On en tire facilement que :<math>\ (4) </math> chaque conjugué de Q est distinct de chaque conjugué de P. On vérifie facilement que tout conjugué d'un sous-groupe maximal est un sous-groupe maximal. Donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, il résulte de (4) que :<math>(5) \qquad (\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cap (\bigcup _{g \in G} Q^{g}) = \{1\}.</math> D'après (3), <math> \vert \bigcup _{g \in G} P^{g} \vert</math> et <math> \vert \bigcup _{g \in G} Q^{g} \vert</math> sont tous deux <math>\geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1,</math> donc, d’après (5), <math>(\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cup (\bigcup _{g \in G} Q^{g})</math> est une partie de G de cardinal <math>\geq \vert G \vert + 1,</math> ce qui est absurde. Cette contradiction démontre l'énoncé. }} == Problème 5 (facile) == Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Soit ''K'' le ''cœur'' de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de ''H'' dans ''G'' (y compris ''H''). Prouver que ''K'' est un sous-groupe distingué de ''G''.</br> Remarque. Ce problème date d'une époque où le cœur d'un sous-groupe n'avait pas encore été défini dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Le contenu du présent problème est maintenant démontré dans le chapitre en question. Une restructuration serait peut-être souhaitable. {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de ''K'' et ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''K'', autrement dit appartient à tout conjugué de ''H''. Soit ''L'' un conjugué de ''H''; il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''L'', autrement dit que ''x'' appartient à ''g{{exp|-1}}Lg''. Or, puisque ''L'' est un conjugué de ''H'', ''g{{exp|-1}}Lg'' en est un aussi (transitivité de la relation de conjugaison), donc ''x'', qui est supposé appartenir à ''K'', autrement dit appartenir à tout conjugué de ''H'', appartient bien à ''g{{exp|-1}}Lg'' comme annoncé. Remarques. 1°. L'énoncé revient à dire que, pour tout élément ''g'' de ''G'', <math>g(\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A)g^{-1} = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>, ce qui s'écrit encore <math>\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}(gAg^{-1}) = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>. Ceci résulte immédiatement du fait que <math>A \mapsto gAg^{-1}</math> définit une permutation de l’ensemble Conj(H).<br /> 2°. Comme nous le verrons plus loin, K est le noyau d'un homomorphisme de G dans le groupe des permutations de l’ensemble des classes à gauche modulo H, ce qui fournit une autre démonstration. }} == Problème 6 (facile) == Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X (défini au chapitre [[Théorie_des_groupes/Sous-groupe_distingué_et_groupe_quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]) est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X. {{Solution | contenu = Désignons par Conj(X) l’ensemble des conjugués des éléments de X et par <Conj(X)> le sous-groupe de G engendré par Conj(X). Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est le sous-groupe distingué de G engendré par X. Prouvons tout d’abord que <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G. Soit ''f'' un automorphisme intérieur de G; il s'agit de prouver que f(<Conj(X)>) = <Conj(X)>. Or f(<Conj(X)>) = <f(Conj(X))> et, puisque ''f'' est un automorphisme intérieur, il est clair que f(Conj(X)) = Conj(X), d'où notre argument. Donc <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G contenant X. Il reste à prouver que c’est le plus petit. Soit H un sous-groupe distingué de G contenant X. Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est contenu dans H. Puisque H contient X et est distingué dans G, il contient Conj(X). Puisque H est un sous-groupe de G, il contient donc <Conj(X)>, ce qui achève la démonstration. (Le lecteur qui préférerait une démonstration plus « concrète » peut utiliser la « description constructive » du sous-groupe de G engendré par ''U''.) }} == Problème 7 (facile) == Soient ''G'' un groupe fini et ''H'' un sous-groupe normal d'ordre 2 de ''G''. Prouver que ''H'' est contenu dans le centre de ''G''. {{Solution | contenu = Nous avons ''H'' = {1,''a''} pour un certain élément ''a'' de <math>G \setminus \{1\}</math>. Puisque ''H'' est normal dans ''G'', nous avons <math>gag^{-1} \in H</math> pour tout élément ''g'' de ''G''. Donc, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gag{{exp|-1}}'' est égal à 1 ou à ''a''. Puisque ''a'' n’est pas lui-même égal à 1, il est clair que ''gag{{exp|-1}}'' n’est pas égal à 1, donc ''gag{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''a'' commute avec ''g''. Ceci étant vrai pour tout ''g'' dans ''G'', ''a'' appartient au centre de ''G'', donc ''H'' est bien contenu dans le centre de ''G''. }} == Problème 8 (facile) == Soient a₁, ... , a_n des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> où r₁, ... , r_n parcourent les entiers rationnels<ref>Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 127.</ref>. '''Attention''' : il faudrait voir si on ne peut pas simplifier considérablement la démonstration en notant que le sous-groupe H de G engendré par a₁, ... , a_n (sous-groupe abélien d'après le chapitre théorique) est le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> de G. Puisque H est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux, et en particulier ses sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> sont normaux, donc, d'après le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], le sous-groupe H de G est l'ensemble <math><a_1>\ ...\ <a_n></math>. Il faudrait peut-être aussi noter que si X est une partie génératrice (non forcément finie) d'un groupa abélien G, tout élément de G est de la forme <math>x_{1}^{r_{1}} \ldots x_{n}^{r_{n}},</math> où <math>x_{1}</math>, ... , <math>x_{n}</math>, sont des éléments de X '''deux à deux distincts''' et où r₁, ... , r_n sont des entiers relatifs. {{Solution | contenu = Prouvons que les éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> forment un sous-groupe de G. Prouvons d’abord que le produit de deux éléments de cette forme est lui-même de cette forme. Plus précisément, prouvons que si r₁, ... , r_n, s₁, ... , s_n sont des entiers rationnels, <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}} a_{1}^{s_{1}} \ldots a_{n}^{s_{n}} = a_{1}^{r_{1} + s_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n} + s_{n}}.</math> On le prouve facilement par récurrence sur ''n''. Voici une preuve qui se rattache plus directement au théorème de commutativité. Soient i, j deux indices. Puisque a_i commute avec a_j, chaque élément de <a_i> commute avec chaque élément de <a_j> (voir théorie), donc <math>\ a_{i}^{r_{i}} </math> commute avec <math>\ a_{j}^{r_{j}} </math>. Il nous suffit donc de prouver que si b₁, ... , b_n, c₁, ... , c_n sont des éléments de G qui commutent entre eux, alors <math>(1) \quad b_{1} ... b_{n} c_{1} ... c_{n} = b_{1} c_{1} ... b_{n} c_{n}.</math> Le premier membre est le produit de la famille <math>\ (x_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>\ x_{i} = b_{i}</math> si 1 ≤ i ≤ n et <math>\ x_{i} = c_{i} - n</math> si n + 1 ≤ i ≤ 2n. Le second membre de notre thèse (1) est le produit de la famille <math>\ (y_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>y_{i} = b_{\frac{i+1}{2}}</math> si ''i'' est impair et <math>y_{i} = c_{\frac{i}{2}}</math> si ''i'' est pair, pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ 2''n''. Il s'agit de prouver que :(2) <math>\prod _{1 \leq i \leq 2n} x_{i} = \prod _{1 \leq i \leq 2n} y_{i}.</math> Soit σ la permutation de {1, 2, ... , 2n} définie par <math>\ \sigma (i) = \frac {i + 1}{2}</math> si ''i'' est impair, <math>\ \sigma (i) = n + \frac {i}{2}</math> si ''i'' est pair. Alors <math>\ y_{i} = x_{\sigma(i)}</math>, donc notre thèse (2) est vraie d’après le théorème de commutativité. Il est clair que l'élément neutre est de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁ = ... = r_n = 0. Enfin, on prouvera facilement, par récurrence sur ''n'' ou en considérant la permutation i ↦ n + 1 - i de l’ensemble {1, 2, ... n} des indices, que l'inverse <math>\ a_{n}^{-r_{n}} \ldots a_{1}^{-r_{1}}</math> de <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}}</math> est égal à <math>\ a_{1}^{-r_{1}} \ldots a_{n}^{-r_{n}}</math>. Donc l’ensemble des éléments de G de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁, ... , r_n entiers rationnels, est un sous-groupe de G. Il est clair que ce sous-groupe comprend les éléments a₁, ... , a_n et est contenu dans tout groupe qui les comprend, donc c’est le sous-groupe de G engendré par ces éléments. }} == Problème 9 (facile) == Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :<br /> 1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;<br /> 2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe. {{Solution | contenu = Ces deux conditions sont équivalentes. Prouvons par exemple que 1° entraîne 2°. Si 1° est satisfaite, il existe un sous-groupe H de G et un élément a de G tel que X = aH. Alors X = Ka, où K est le sous-groupe aHa{{exp|-1}} de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe. Pour deux éléments ''a'' et ''b'' de G, on posera <math>\ a^{b} = b^{-1}ab</math>, de sorte que, pour ''a'', ''b'' et ''c'' dans G, <math>\ (ac)^{b} = a^{b}c^{b}</math> et <math>\ a^{bc} = (a^{b})^{c}</math>. Pour une partie X de G et un élément ''g'' de G, on désignera par <math>\ X^{g}</math> l’ensemble des <math>\ x^{g}</math>, ''x'' parcourant X. a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que : <math>(1) \quad X^{g} \subseteq X </math> pour tout élément ''g'' de G. Supposons que ''X'' soit la réunion de ''n'' parties ''X''₁, ..., ''X''_n de ''G'' : :<math>\ X = X_{1} \cup \dotsb \cup X_{n}.</math> Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme :<math>(2) \quad x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \dotsm x_{2, r_{2}} \dotsm x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, en admettant que <math>\ r_{i}</math> puisse être nul, auquel cas <math>\ x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}}</math> est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1. {{Solution | contenu = Notons d’abord que si ''x'' et ''y'' sont deux éléments de X, alors :<math>(3) \quad xy</math> est de la forme <math>\ yx'</math> avec x' dans X. En effet, <math>\ xy = y(y^{-1}xy)</math> et <math>\ y^{-1}xy</math> appartient à X d’après l'hypothèse (1). De (3), le lecteur tirera facilement que :(4) pour tout nombre naturel ''s'', le produit de ''s'' éléments de X parmi lesquels figure un élément ''a'' peut s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont le premier est ''a''. Prouvons maintenant la thèse (2). Nous allons prouver plus précisément que si ''s'' est un nombre naturel, si <math>\ a_{1}, \dotsc , a_{s}</math> sont des éléments de X, alors <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> est de la forme :<math>(5) \quad a_{1} \ldots a_{s} = x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \ldots x_{2, r_{2}} \ldots x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, :<math>\ r_{1} + \dotsb + r_{n} = s,</math> <math>\ r_{i}</math> pouvant être nul comme convenu plus haut. Nous raisonnons par récurrence sur ''s''. Si s = 0, l'énoncé est banal, donc nous pouvons supposer s > 0. Nous pouvons alors considérer le plus petit indice <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) tel que <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> puisse s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont un au moins appartienne à <math>\ X_{i}</math>. D'après (4), <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> peut donc s'écrire :<math>(6) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} \dotsm a'_{s}</math> avec <math>\ a'_{1}, \dotsc , a'_{s}</math> dans X et <math>\ a'_{1}</math> dans <math>X_{i}</math>. Par hypothèse de récurrence sur ''s'', <math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s}</math> est de la forme :<math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s} = y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> où <math>\ y_{j,k}</math> appartient à <math>\ X_{j}</math> pour tout <math>\ j</math> et tout <math>\ k</math> et où :<math>(7) \quad r_{1} + \dotsb + r_{n} = s-1.</math> On a alors :<math>(8) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}}.</math> Par minimalité de ''i'', aucun des <math>\ y_{j,k}</math> ne peut appartenir à un <math>\ X_{t}</math> avec t < i, donc les <math>\ r_{t}</math> pour t < i sont nuls et (7) et (8) donnent :<math>\ a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{i, 1} \dotsm y_{i, r_{i}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> avec <math>\ (1 + r_{i}) + \dotsb + r_{n} = s,</math> ce qui démontre notre thèse (5) par récurrence sur ''s''. Remarque. Voici une façon plus « algorithmique » de démontrer la thèse (5). Si ''x'' est un élément de G et <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> un s-uplet d'éléments de l'intervalle naturel [1, n], convenons de dire que <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' si ''x'' peut s'écrire sous la forme :<math>x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> avec <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math><br /> Pour démontrer la thèse (5), il s'agit de prouver que tout élément de G qui est produit de ''s'' éléments de X admet un s-uplet d'appartenances croissant (au sens large). Soit donc :<math>(9) \quad x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> tous les <math>\ a_{i}</math> appartenant à X. Nous pouvons choisir un s-uplet d'appartenances de ''x'', soit <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math>, tel que <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math>.<br /> Si ce s-uplet n’est pas croissant, il existe un indice <math>\ k < s</math> tel que <math>\ j_{k} > j_{k+1}.</math> D'après (3), nous pouvons remplacer, dans l’expression (9) de ''x'', le produit partiel <math>\ a_{k} a_{k+1}</math> par <math>\ a_{k+1} a'</math>, où <math>\ a'</math> est un élément de X et donc d'un certain <math>\ X_{r}.</math> Alors <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{k-1}, j_{k+1}, r, j_{k+2}, \dotsc, j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' et est strictement plus petit que le s-uplet d'appartenances <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> selon l’ordre lexicographique. Puisque l’ensemble <math>\ [1, n]^{s}</math> est fini, on aboutira, en répétant les opérations au besoin, à un s-uplet d'appartenances croissant, comme annoncé. }} b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient <math>A_{1}, \dotsc, A_{n}</math> ces conjugués. Alors :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = A_{1} \dotsm A_{n}</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Dans l'énoncé du point a), faisons :<math>\ X = A_{1} \cup \dotsb \cup A_{n},</math> de sorte que <math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = \langle X \rangle.</math> Comme les <math>\ A_{i}</math> sont des groupes, <math>\ X = X^{-1}</math>, donc <math>\langle X \rangle</math> est l’ensemble des produits d'éléments de X, donc, d’après le point a), tout élément de <math>\langle X \rangle</math> est de la forme <math>\ p_{1} \dotsm p_{n}</math>, où, pour chaque ''i'', <math>\ p_{i}</math> est un produit d'éléments de <math>\ A_{i}.</math> Comme chaque <math>\ A_{i}</math> est un groupe, <math>\ p_{i}</math> appartient à <math>\ A_{i}</math>, donc :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle \subseteq A_{1} \dotsm A_{n}.</math> L'inclusion réciproque est évidente. }} c) Soient G un groupe, ''x'' un élément de G et <math>\ A_{1}, A_{2}</math> deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble <math>\ \{x^{g} \vert g \in G \}</math> des conjugués de ''x'' dans G. Supposons que <math>\ \langle C \rangle = G</math> et <math>\ C \subseteq A_{1} \cup A_{2}</math>. Prouver que <math>\ A_{1} = G</math> ou <math>\ A_{2} = G</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Posons <math>\ X = C \cup C^{-1}.</math> Il est clair que <math>\ X^{g} \subseteq X</math> pour tout g dans G. Nous pouvons donc appliquer le point a) à <math>\ X = C \cup C^{-1},</math> <math>\ n = 2,</math> <math>\ X_{1} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ X_{2} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Nous trouvons ainsi que tout produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> est de la forme <math>\ p_{1} p_{2}</math>, où <math>\ p_{1}</math> est un produit d'éléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> un produit déléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Mais, d’après l'hypothèse <C> = G, tout élément de G est produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> et, d’autre part, <math>\ p_{1}</math> appartient évidemment à <math>\ A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> à <math>\ A_{2}</math>. Donc :<math>(1) \quad G = A_{1} A_{2}.</math> Prouvons maintenant que G est égal à <math>\ A_{1}</math> ou à <math>\ A_{2}</math>. Puisque G = <C>, il suffit de prouver que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Supposons que C ne soit pas contenu dans <math>\ A_{1}</math>. Il existe alors un élément ''y'' de C qui n'appartient pas à <math>\ A_{1}</math>. Soit ''g'' un élément de G. D'après (1), ''g'' est de la forme <math>\ a_{1}a_{2}</math> avec <math>\ a_{1}\in A_{1}</math> et <math>\ a_{2}\in A_{2}</math>. Alors <math>\ y^{a_{1}} \notin A_{1}</math>, sinon on aurait :<math>\ y \in A_{1}^{a_{1}^{-1}} = A_{1}.</math> Puisque <math>\ y^{a_{1}} \in C \subseteq A_{1} \cup A_{2},</math> on a donc :<math>\ y^{a_{1}} \in A_{2},</math> d'où <math>\ y^{a_{1}a_{2}} \in A_{2},</math> c'est-à-dire <math>\ y^{g} \in A_{2}.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G et l’ensemble <math>\ \{y^{g} \vert g \in G \}</math> étant égal à C (puisque ''y'' est un conjugué de ''x''), nous avons donc <math>\ C \subseteq A_{2}.</math> Nous avons donc prouvé que si C n’est pas contenu dans <math>\ A_{1},</math> il est contenu dans <math>\ A_{2}</math>, ce qui revient à dire que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Comme nous l'avons noté, l'énoncé en résulte. }} == Problème 11 (facile) == a) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(C_{A}(H)) = C_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in C_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ y^{-1}\sigma(h)y = \sigma(h)\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(h)y) = h\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y)^{-1}h\sigma^{-1}(y) = h\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in C_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(C_{A}(H)). \end{align}</math> }} b) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(N_{A}(H)) = N_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in N_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow y^{-1}\sigma(H)y = \sigma(H)\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(H)y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y)^{-1}H\sigma^{-1}(y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in N_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(N_{A}(H)). \end{align} </math> }} c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et ''a'' un élément de G. Prouver que :<math>\qquad a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha)</math> et :<math>\qquad a^{-1}N_{G}(H)a = N_{G}(a^{-1}Ha).</math> (Il en résulte que si deux sous-groupes sont conjugués, leurs centralisateurs sont conjugués et leurs normalisateurs sont conjugués.) {{Solution | contenu = Appliquer les points a) et b) au cas où A = B = G et où <math>\sigma</math> est l'automorphisme <math>x \mapsto a^{-1}xa</math> de G. }} d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G. {{Solution | contenu = Soit ''a'' un élément de G. D'après le point c), :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha).</math></div> Puisque H est normal dans G, on peut remplacer <math>a^{-1}Ha</math> par H, donc :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(H),</math></div> ce qui prouve que <math>C_{G}(H)</math> est normal dans G. }} == Problème 12 == (Le présent problème fait intervenir les groupes symétriques finis, qui seront étudiés dans le chapitre [[../../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]].) Soient <math>G</math> un groupe et <math>x\in G</math> un élément d'ordre <math>n</math>. On note : *<math>H=\langle x\rangle</math> le sous-groupe engendré par <math>x</math> ; *<math>C=\{y\in G\mid xy=yx\}</math> le centralisateur de <math>x</math> ; *<math>N=\{y\in G\mid Hy=yH\}</math> le normalisateur de <math>H</math>. Remarquons que l'on a toujours <math>H\subset C\subset N</math>. # ##Expliciter <math>H</math>, <math>C</math> et <math>N</math> dans le cas <math>G=S_4</math> et <math>x=(123)</math>. ##Même question, toujours dans le cas <math>G=S_4</math>, avec <math>x=(12)</math>. #On revient au cas général. Montrer que pour tout <math>y\in N</math>, il existe un entier <math>k</math> premier avec <math>n</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cet entier <math>k</math> est-il unique ? Montrer que si <math>n</math> est premier, <math>y^{k-1}\in C</math>. #Montrer que l'on peut définir une application <math>\varphi:N\to(\Z/n\Z)^\times</math> en posant <math>\varphi(y)=\bar k</math> (où <math>k</math> provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes. #Calculer le noyau de <math>\varphi</math>. #On suppose dans cette dernière question que <math>G</math> est un groupe symétrique <math>S_m</math> (où <math>m\ge2</math>). ##Montrer que les générateurs du groupe <math>H</math> sont deux à deux conjugués dans <math>G</math>. ##En déduire que les groupes <math>N/C</math> et <math>(\Z/n\Z)^\times</math> sont isomorphes. {{Solution|contenu= # ##<math>H=\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}=(123)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))=(123)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\Leftrightarrow\sigma\in\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math> donc <math>C=H</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}\in\{(123),(132)\}\Leftrightarrow</math><br /><math>\sigma\in H</math> ou <math>(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\}</math> donc<br /><math>N=\{\mathrm{id},(123),(132),(23),(13),(12)\}</math>. ##<math>H=\{\mathrm{id},(12)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2))=(12)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2))\in\{(1,2),(2,1)\}</math> donc <math>C=\{\mathrm{id},(34),(12),(12)(34)\}</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)</math> donc <math>N=C</math>. #Pour tout <math>y\in N</math>, <math>\langle x\rangle=y\langle x\rangle y^{-1}=\langle yxy^{-1}\rangle</math> donc <math>yxy^{-1}</math> est un générateur de <math>\langle x\rangle</math>, c'est-à-dire un élément de la forme <math>x^k</math> avec <math>k</math> premier à <math>n</math>.<br />On a <math>x^k=x^{k'}\Leftrightarrow x^{k-k'}=e\Leftrightarrow n\mid k-k'</math>, donc <math>k</math> n'est pas unique.<br /><math>y^nxy^{-n}=x^{(k^n)}</math> et ([[Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire|petit théorème de Fermat]], <math>n</math> étant ici supposé premier) <math>k^n\equiv k\bmod n</math>, donc <math>y^nxy^{-n}=x^k=yxy^{-1}</math>, d'où <math>y^{n-1}x=xy^{n-1}</math>. #<math>\varphi</math> est bien défini car le <math>k</math> associé à <math>y</math> n'est pas unique mais sa classe modulo <math>n</math> l'est. <math>\varphi</math> est un morphisme car si <math>\varphi(y)=\bar k</math> et <math>\varphi(z)=\bar\ell</math> alors <math>(yz)x(yz)^{-1}=y(zxz^{-1})y^{-1}=y(x^\ell)y^{-1}=(yxy^{-1})^\ell=(x^k)^\ell</math> donc <math>\varphi(yz)=\overline{k\ell}=\varphi(y)\varphi(z)</math>. #<math>\varphi(y)=\bar1\Leftrightarrow yxy^{-1}=x</math> donc <math>\ker\varphi=C</math>. # ##Si <math>x</math> est un produit de cycles disjoints c<math>_1,\dots,c_m</math> d'ordres respectifs <math>n_1,\ldots,n_m</math> alors son ordre <math>n</math> est le ppcm des <math>n_i</math>. Tout générateur de <math>H</math> est de la forme <math>x^k=c_1^k\ldots c_m^k</math> où <math>k</math> est premier avec <math>n</math> donc avec chaque <math>n_i</math>, donc chaque <math>c_i^k</math> est encore un cycle d'ordre <math>n_i</math>, si bien que <math>x^k</math> est, comme <math>x</math>, un produit de cycles disjoints d'ordres <math>n_1,\ldots,n_m</math>, donc <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>S_n</math>. ##D'après le théorème de factorisation et les questions 3 et 4, la seule chose qui reste à vérifier est la surjectivité de <math>\varphi</math>. Soit <math>\bar k\in(\Z/n\Z)^\times</math>. D'après 5.1, <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>G</math> donc il existe <math>y\in G</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cette équation assure de plus que <math>y</math> est non seulement dans <math>G</math> mais dans <math>N</math>, et que <math>\bar k=\varphi(y)\in\operatorname{im}\varphi</math>. }} == Problème 13 == L'objet de ce problème est de prouver que si <math>\varphi</math> est un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe G, alors <math>\varphi</math> est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons <math>\infty .</math> Notons X l'ensemble <math>(G/H) \cup \{ \infty \}</math> et notons K le groupe <math>S_{X}</math> des permutations de X. Pour tout élément <math>a</math> de G, notons <math>\tilde{a}</math> la transformation de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément <math>b</math> de G, <math>\tilde{a} (bH) = (ab) H .</math> Prouver que pour tout élément <math>a</math> de G, <math>\tilde{a}</math> est une permutation de X, que l'application <math>f : G \to S_X : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X </math> et que si <math>a\in H</math> alors la permutation <math>f(a)</math> fixe l'élément H de X. {{Solution|contenu= Pour tout élément <math>a</math> de G, la transformation <math>C \mapsto aC</math> de G/H est une permutation de G/H, par exemple parce qu'elle admet la transformation <math>C \mapsto a^{-1}C</math> pour réciproque. D'autre part, l'unique transformation de <math>\{ \infty \}</math> est évidemment une permutation de <math>\{ \infty \} .</math> Comme les ensembles G/H et <math>\{ \infty \}</math> sont disjoints, il en résulte que la transformation <math>\tilde{a}</math> de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et qui, pour tout élément C de G/H, applique C sur aH est une permutation de X. Prouvons que l'application :<math>f : G \to S_{X} : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Soient <math>a, b</math> des éléments de G. Alors :<math>\tilde{b}(C) = bC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{b}(\infty) = \infty .</math> Donc, d'après la définition de <math>\tilde{a}</math>, :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(C)) = abC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(\infty)) = \infty .</math> Cela montre que <math>\tilde{a} \circ \tilde{b} = \widetilde{ab}</math>, autrement dit <math>f(a) \circ f(b) = f(ab)</math>, donc <math>f</math> est bien un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Si <math>a\in H</math> alors :<math>f(a)(H)= aH = H</math>.<!-- mais pas aC=C pour les autres éléments C de G/H--> }} b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H. Indications. De façon générale, si T est un ensemble et <math>x, y</math> deux différents éléments de T, on note <math>(x \ y)</math> la permutation de T qui applique <math>x</math> sur <math>y</math>, <math>y</math> sur <math>x</math> et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T. Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme <math>g</math> de G dans <math>K = S_X</math> par <math>g = \gamma \circ f</math>, où <math>f</math> est l'homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> considéré au point a) et où <math>\gamma</math> est l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X .</math> Prouver que <math>f</math> et <math>g</math> sont deux différents homomorphismes de G dans K et que <math>f \vert H = g \vert H,</math> ce qui prouve le point b). {{Solution|contenu= Puisque, d'après le point a), <math>f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> et que <math>\gamma</math> est par définition l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X = K</math>, le composé <math>g = \gamma \circ f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X .</math> La permutation <math>f(a)</math> fixe toujours <math>\infty</math> par construction, et l'on a vu au point a) que si <math>a\in H</math>, elle fixe aussi H. Dans ce cas, la conjugaison par la transposition <math>(H \ \infty)</math> n'est d'aucun effet sur <math>f(a)</math>. Donc :(1)<math>\qquad f \vert H = g \vert H .</math> Prouvons que <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Puisque H est supposé être un sous-groupe propre de G, nous pouvons choisir un élément <math>a</math> de G qui n'appartient pas à H. Alors :(2)<math>\qquad \tilde{a}</math> applique l'élément H de G/H sur aH et :(3)<math>\qquad (H \ \infty) \circ \tilde{a} \circ (H \ \infty)</math> applique l'élément H de G/H sur H. Puisque nous avons choisi <math>a</math> hors de H, les deux classes aH et H sont distinctes, donc il résulte de (2) et (3) que <math>\tilde{a}</math> et <math>(H \ \infty) \circ \tilde{a}\circ(H \ \infty)</math> sont distincts, autrement dit <math>f(a)</math> et <math>g(a)</math> sont distincts, donc <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Joint à (1), cela prouve l'énoncé du point b) (avec L = K). }} c) Soit <math>\varphi</math> un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe <math>G .</math> Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i)<math>\qquad \varphi</math> est surjectif ; :(ii) <math>\qquad</math>pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> Indication : utiliser le point b). {{Solution|contenu= L'implication (i) est vraie même si on se contente de supposer que <math>G_0</math> et <math>G</math> sont des ensembles et <math>\varphi</math> une application de <math>G_0</math> dans <math>G .</math> (Voir une remarque dans la solution du problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].) Pour prouver l'implication (ii) <math>\Rightarrow</math> (i), prouvons l'implication contraposée. Supposons donc que :(hyp. 1)<math>\qquad \varphi</math> n'est pas surjectif et prouvons :(thèse 2)<math>\qquad </math>qu'il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L tels que <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi .</math> Puisque <math>\varphi</math> n'est pas surjectif, <math>\varphi (G_0)</math> est un sous-groupe propre de G, donc, d'après le point b), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L qui coïncident en tout élément de <math>\varphi (G_0)</math>. Alors <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi</math> avec <math>f \not= g</math>, ce qui prouve notre thèse (2). }} Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les {{w|épimorphisme}}s sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. ==Problème 14== Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe S{{ind|X}} des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y : :<math>A:=\{\sigma\in S_X\mid\forall y\in Y\quad\sigma(y)=y\}</math>. Soit M le sous-monoïde de S{{ind|X}} formé des éléments <math>s</math> tels que <math>sAs^{-1}\subset A.</math> L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de S{{ind|X}} si et seulement si Y ou X\Y est fini<ref>Bourbaki, ''Algèbre'', 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.</ref>. On pose pour cela : :<math>N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}</math>. #Vérifier que N ⊂ M. #Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M. #Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N. #Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de S{{ind|X}}. #Démontrer la réciproque. #Conclure. {{Solution|contenu= #Si <math>s\in N</math> et <math>\sigma\in A</math> alors <math>sAs^{-1}\in A</math> car <math>\forall y\in Y\quad s^{-1}(y)\in Y</math> donc <math>\sigma(s^{-1}(y))=s^{-1}(y)</math> donc <math>s(\sigma(s^{-1}(y)))=y</math>. #Si X\Y est un singleton, A = { id{{ind|X}} } donc M = S{{ind|X}}. #Supposons que X\Y n'est pas un singleton et que s est une permutation de X n'appartenant pas à N et montrons qu'alors, s n'appartient pas non plus à M. Par hypothèse, il existe <math>y\in Y</math> tel que l'élément <math>u:=s^{-1}(y)</math> appartienne à X\Y, et X\Y contient un autre élément v. La transposition <math>\sigma:=(u v)</math> appartient alors à A, mais <math>s\sigma s^{-1}\notin A</math> (donc <math>s\notin M</math>) car <math>s\sigma s^{-1}(y)=s\sigma(u)=s(v)\ne s(u)=y</math>. #Si Y est fini alors <math>N=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)=Y\}</math> donc N{{exp|–1}} = N.<br />Dualement, puisque N s'écrit aussi <math>N=\{s\in S_X\mid s(X\setminus Y)\subset X\setminus Y\}</math>, si X\Y est fini alors N{{exp|–1}} = N. #Supposons que Y et X\Y sont infinis et montrons qu'alors, il existe dans N une permutation s dont l'inverse n'appartient pas à N. Fixons un élément z de X\Y. Puisque [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-4|Y est équipotent à Y∪{z} et X\Y est équipotent à X\(Y∪{z})]], il existe une permutation s de X telle que s(Y) = Y∪{z}. Cette permutation s appartient à N (car <math>s^{-1}(Y)\subset s^{-1}(Y\cup\{z\})=Y</math>) mais pas son inverse (car <math>s(Y)=Y\cup\{z\}\not\subset Y</math>). #Si Y ou X\Y est fini alors M est un sous-groupe de S{{ind|X}} d'après les questions 1, 2, 3 et 4. Réciproquement, si M est un sous-groupe de S{{ind|X}} alors Y ou X\Y est fini d'après les questions 1, 3 et 5. }} ==Problème 15== Soit G un groupe. #Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien. #En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien. {{Solution|contenu= #Soient H un tel sous-groupe et g un élément de G dont la classe modulo H engendre G/H. Alors, pour tous éléments x et y de G, x = g{{exp|m}} h et y = g{{exp|n}} k avec m, n entiers et h, k éléments de H, donc<br />xy = g{{exp|m}} h g{{exp|n}} k = g{{exp|m+n}} hk = g{{exp|m+n}} kh = g{{exp|n}} k g{{exp|m}} h = yx. On peut dire aussi, plus élégamment, que G est engendré par {g} ∪ Z(G) ; comme deux éléments de {g} ∪ Z(G) commutent toujours et qu'un groupe engendré par une partie dont tous les éléments commutent entre eux est commutatif (voir chapitre théorique), il en résulte que G est commutatif.) #Si le groupe Aut(G) est monogène alors le sous-groupe Int(G) l'est aussi, or (chapitre théorique) Int(G) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est monogène. On conclut grâce à la question précédente. }} Remarque. Il résulte du point 1°, appliqué au cas où H = Z(G), que le centre d'un groupe n'est jamais d'indice premier dans ce groupe. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} ql0jyy0d4az0xmcwi04zoyfobnp8gso 0 24674 982167 975717 2026-04-22T16:38:05Z Crochet.david 317 -it +fr 982167 wikitext text/x-wiki {{Traduction demandée|it}} {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 3 | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] | niveau = 15 }} Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite : # <math>e[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]\equiv y</math>: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial. # <math>v[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]\equiv\bar u</math>: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné. # <math>x^m_i(\mathbf{p},y)\equiv x^h_i[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]</math>: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus. # <math>x^h_i(\mathbf{p},\bar u)\equiv x^m_i[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]</math>: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné. == Le lemme de [[w:Ronald Shephard|Shephard]] == Dans le cadre du problème dual, nous avons dit que l’on a : <math>x^h_k(\mathbf{p},\bar u)=\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * la fonction de dépense minimale est : <math>e(\mathbf{p},\bar u)=\sum_{i=1}^Np_ix_i^h(\mathbf{p},\bar u)</math> ; en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient : <math>\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}={\color{Red}\sum_{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}+x_k^h(\mathbf{p},\bar u)</math>. * la i-ème condition du premier ordre dans le problème dual est : <math>p_i=\lambda u'_i</math>, d’où <math>u'_i=\frac{p_i}{\lambda}</math>. * la contrainte du problème dual est : <math>u(\mathbf{x})=\bar u</math>, d’où, en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nu'i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}=0</math>, donc <math>\frac{1}{\lambda}{\color{Red}\sum{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}=0</math> et, puisque <math>\lambda\ne 0</math> et est fini, la somme est nulle, et le lemme est démontré. * on remarque que cette démonstration est une application du [[w:Teorema dell'inviluppo|théorème de l’enveloppe]]. == L'identità di [[w:Rene Roy|Roy]] == Nell'ambito del problema primale, abbiamo visto che una delle proprietà della funzione di utilità indiretta è l'identità di Roy: <math>x^m_i=-\frac{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}}</math>. Forniamo ora la dimostrazione: * differenziando l'identità (2), si ha <math>\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}+\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_i}}=0</math>. * la parte in rosso nell'equazione precedente è, per il lemma di Shephard, la domanda hicksiana, che è a sua volta uguale (in ottimo) alla domanda marshalliana. Esplicitando in termini di quest'ultima, si ottiene direttamente l'identità di Roy. == L'identità di [[w:Harold Hotelling|Hotelling]]-[[w:Herman Wold|Wold]] == L'identità di Hotelling-Wold dice che prezzo normalizzato per il reddito di in un bene ''k'' è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande: <math>\frac{\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_k}}{\sum_{i=1}^Nx_i\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_i}}\equiv\frac{u'_k}{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_k}{y}</math>. Tale equazione può essere vista, ed è per questo utilizzata per alcune applicazioni [[w:Econometria|econometriche]], come un sistema di '''domanda marshalliana inversa''', che esprime il prezzo in funzione della quantità domandata. Tale equazione è anche esprimibile come <math>\frac{u'_kx_k}{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_kx_k}{y}</math>, ossia la quota di reddito spesa in un bene è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale, moltiplicata per la domanda ottimale, e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande. Dimostriamolo: * la i-esima condizione del primo ordine, moltiplicata per <math>x_i</math> è <math>u'_kx_i-\lambda p_ix_i=0</math>. * sommando tutte le condizioni del primo ordine, si ottiene <math>\sum_{i=1}^Nx_iu'_i-\lambda y=0</math>, da cui<math>\lambda=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}{y}</math>. * sostituendo <math>\lambda</math> nella k-esima condizione del primo ordine, si ha <math>u'_k-\frac{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}{y}p_k=0</math>, che esplicitata in termini di prezzo normalizzato per il reddito esprime l'equazione di Hotelling-Wold. == L'equazione di [[w:Evgenij Slutsky|Slutsky]] == L'equazione di Slutsky è probabilmente una delle più utilizzate nell'ambito della teoria del consumatore: essa permette di scindere l''''effetto totale''' che una variazione di prezzo di un certo bene ha sulla domanda di un altro (o anche lo stesso) bene in due parti: * l''''effetto sostituzione''', dipendente dal fatto che un bene è diventato più o meno costoso rispetto agli altri: il consumatore reagisce aggiustando la sua domanda, eventualmente sostituendo il bene con un altro. * l''''effetto reddito''', dipendente dal fatto che una variazione di prezzo incide sul vincolo di bilancio, rendendolo più o meno restrittivo: il consumatore si sente, quindi, più o meno ricco ed in conseguenza di ciò sposta la sua domanda ottimale per il bene. In termini formali l'equazione è: <math>\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}}_{Effetto\ totale}=\underbrace{\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}}_{Effetto\ sostituzione}-\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial y}x_j^m}_{Effetto\ reddito}</math>. Si fornisce la dimostrazione: * derivando l'identità (4) espressa sopra rispetto a <math>p_j</math> si ha: <math>\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}=\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}-\frac{\partial x_k^m}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e}{\partial p_j}}</math>, dove la parte in rosso, per il lemma di Shephard, è uguale alla domanda hicksiana del bene ''j'', che è anche uguale alla domanda marshalliana dello stesso bene. A questo punto sono utili alcune osservazioni sulle funzioni di domanda: * la domanda hicksiana è '''non crescente''' nei prezzi, infatti si ha <math>x_i^h=\frac{\partial e}{\partial p_i}\Rightarrow\frac{\partial x_i^h}{\partial p_i}=\frac{\partial^2 e}{\partial p_i^2}\le0</math>, per il lemma di Shephard e la concavità della funzione di spesa nei prezzi. Da quest'ultima osservazione si deduce, inoltre, che la '''matrice dei termini di sostituzione''', che contiene le derivate delle domande hicksiane rispetto ai vari prezzi, è semidefinita negativa e simmetrica, in quanto coincide con l’[[w:Matrice hessiana|hessiano]] della funzione di spesa (che è concava). * la domanda marshalliana, invece, può essere crescente o decrescente nei prezzi, come avevamo implicitamente affermato quando abbiamo esposto la classificazione dei beni (Giffen vs. ordinario). Dall'equazione di Slutsky, dunque, si può facilmente dedurre che: * Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l'effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l'effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage. *Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu'il faut exclure qu'il puisse être de Giffen, il est ordinaire. == La construction de [[w:Giovanni Battista Antonelli|Antonelli]] == La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses ''' par rapport aux prix ''', sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, <math>\min_{v(\mathbf{p},y)=\bar u} \sum_{i=1}^Np_ix_i</math> si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: <math>p_i=f(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una '''funzione di distanza''' <math>d(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene ''k'' è uguale al prezzo del bene ''k'', ossia <math>\frac{\partial d(\mathbf{x},y,\bar u)}{\partial x_k}=p_k</math>. Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de ''' systèmes de demande inverse '''. {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] }} 1k1uxw6izwuqk3stz42ui81vea3qopo 982168 982167 2026-04-22T16:39:54Z Crochet.david 317 /* L'identità di Roy */ -it +fr 982168 wikitext text/x-wiki {{Traduction demandée|it}} {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 3 | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] | niveau = 15 }} Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite : # <math>e[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]\equiv y</math>: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial. # <math>v[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]\equiv\bar u</math>: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné. # <math>x^m_i(\mathbf{p},y)\equiv x^h_i[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]</math>: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus. # <math>x^h_i(\mathbf{p},\bar u)\equiv x^m_i[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]</math>: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné. == Le lemme de [[w:Ronald Shephard|Shephard]] == Dans le cadre du problème dual, nous avons dit que l’on a : <math>x^h_k(\mathbf{p},\bar u)=\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * la fonction de dépense minimale est : <math>e(\mathbf{p},\bar u)=\sum_{i=1}^Np_ix_i^h(\mathbf{p},\bar u)</math> ; en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient : <math>\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}={\color{Red}\sum_{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}+x_k^h(\mathbf{p},\bar u)</math>. * la i-ème condition du premier ordre dans le problème dual est : <math>p_i=\lambda u'_i</math>, d’où <math>u'_i=\frac{p_i}{\lambda}</math>. * la contrainte du problème dual est : <math>u(\mathbf{x})=\bar u</math>, d’où, en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nu'i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}=0</math>, donc <math>\frac{1}{\lambda}{\color{Red}\sum{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}=0</math> et, puisque <math>\lambda\ne 0</math> et est fini, la somme est nulle, et le lemme est démontré. * on remarque que cette démonstration est une application du [[w:Teorema dell'inviluppo|théorème de l’enveloppe]]. == L’identité de [[w:Rene Roy|Roy]] == Dans le cadre du problème primal, nous avons vu que l’une des propriétés de la fonction d’utilité indirecte est l’identité de Roy : <math>x^m_i=-\frac{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * en différenciant l’identité (2), on obtient <math>\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}+\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_i}}=0</math>. * la partie en rouge dans l’équation précédente est, d’après le lemme de Shephard, la demande hicksienne, qui est à son tour égale (à l’optimum) à la demande marshallienne. En l’exprimant en termes de cette dernière, on obtient directement l’identité de Roy. == L'identità di [[w:Harold Hotelling|Hotelling]]-[[w:Herman Wold|Wold]] == L'identità di Hotelling-Wold dice che prezzo normalizzato per il reddito di in un bene ''k'' è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande: <math>\frac{\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_k}}{\sum_{i=1}^Nx_i\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_i}}\equiv\frac{u'_k}{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_k}{y}</math>. Tale equazione può essere vista, ed è per questo utilizzata per alcune applicazioni [[w:Econometria|econometriche]], come un sistema di '''domanda marshalliana inversa''', che esprime il prezzo in funzione della quantità domandata. Tale equazione è anche esprimibile come <math>\frac{u'_kx_k}{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_kx_k}{y}</math>, ossia la quota di reddito spesa in un bene è uguale al rapporto tra la sua utilità marginale, moltiplicata per la domanda ottimale, e la media delle utilità marginali ponderate per le loro domande. Dimostriamolo: * la i-esima condizione del primo ordine, moltiplicata per <math>x_i</math> è <math>u'_kx_i-\lambda p_ix_i=0</math>. * sommando tutte le condizioni del primo ordine, si ottiene <math>\sum_{i=1}^Nx_iu'_i-\lambda y=0</math>, da cui<math>\lambda=\frac{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}{y}</math>. * sostituendo <math>\lambda</math> nella k-esima condizione del primo ordine, si ha <math>u'_k-\frac{\sum_{i=1}^Nx_iu'_i}{y}p_k=0</math>, che esplicitata in termini di prezzo normalizzato per il reddito esprime l'equazione di Hotelling-Wold. == L'equazione di [[w:Evgenij Slutsky|Slutsky]] == L'equazione di Slutsky è probabilmente una delle più utilizzate nell'ambito della teoria del consumatore: essa permette di scindere l''''effetto totale''' che una variazione di prezzo di un certo bene ha sulla domanda di un altro (o anche lo stesso) bene in due parti: * l''''effetto sostituzione''', dipendente dal fatto che un bene è diventato più o meno costoso rispetto agli altri: il consumatore reagisce aggiustando la sua domanda, eventualmente sostituendo il bene con un altro. * l''''effetto reddito''', dipendente dal fatto che una variazione di prezzo incide sul vincolo di bilancio, rendendolo più o meno restrittivo: il consumatore si sente, quindi, più o meno ricco ed in conseguenza di ciò sposta la sua domanda ottimale per il bene. In termini formali l'equazione è: <math>\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}}_{Effetto\ totale}=\underbrace{\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}}_{Effetto\ sostituzione}-\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial y}x_j^m}_{Effetto\ reddito}</math>. Si fornisce la dimostrazione: * derivando l'identità (4) espressa sopra rispetto a <math>p_j</math> si ha: <math>\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}=\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}-\frac{\partial x_k^m}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e}{\partial p_j}}</math>, dove la parte in rosso, per il lemma di Shephard, è uguale alla domanda hicksiana del bene ''j'', che è anche uguale alla domanda marshalliana dello stesso bene. A questo punto sono utili alcune osservazioni sulle funzioni di domanda: * la domanda hicksiana è '''non crescente''' nei prezzi, infatti si ha <math>x_i^h=\frac{\partial e}{\partial p_i}\Rightarrow\frac{\partial x_i^h}{\partial p_i}=\frac{\partial^2 e}{\partial p_i^2}\le0</math>, per il lemma di Shephard e la concavità della funzione di spesa nei prezzi. Da quest'ultima osservazione si deduce, inoltre, che la '''matrice dei termini di sostituzione''', che contiene le derivate delle domande hicksiane rispetto ai vari prezzi, è semidefinita negativa e simmetrica, in quanto coincide con l’[[w:Matrice hessiana|hessiano]] della funzione di spesa (che è concava). * la domanda marshalliana, invece, può essere crescente o decrescente nei prezzi, come avevamo implicitamente affermato quando abbiamo esposto la classificazione dei beni (Giffen vs. ordinario). Dall'equazione di Slutsky, dunque, si può facilmente dedurre che: * Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l'effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l'effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage. *Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu'il faut exclure qu'il puisse être de Giffen, il est ordinaire. == La construction de [[w:Giovanni Battista Antonelli|Antonelli]] == La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses ''' par rapport aux prix ''', sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, <math>\min_{v(\mathbf{p},y)=\bar u} \sum_{i=1}^Np_ix_i</math> si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: <math>p_i=f(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una '''funzione di distanza''' <math>d(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene ''k'' è uguale al prezzo del bene ''k'', ossia <math>\frac{\partial d(\mathbf{x},y,\bar u)}{\partial x_k}=p_k</math>. Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de ''' systèmes de demande inverse '''. {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] }} q1bif4390z4xpiv8aolv4ezigx9r5yf 982169 982168 2026-04-22T16:45:44Z Crochet.david 317 /* L'identità di Hotelling-Wold */ -it +fr 982169 wikitext text/x-wiki {{Traduction demandée|it}} {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 3 | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] | niveau = 15 }} Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite : # <math>e[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]\equiv y</math>: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial. # <math>v[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]\equiv\bar u</math>: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné. # <math>x^m_i(\mathbf{p},y)\equiv x^h_i[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]</math>: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus. # <math>x^h_i(\mathbf{p},\bar u)\equiv x^m_i[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]</math>: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné. == Le lemme de [[w:Ronald Shephard|Shephard]] == Dans le cadre du problème dual, nous avons dit que l’on a : <math>x^h_k(\mathbf{p},\bar u)=\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * la fonction de dépense minimale est : <math>e(\mathbf{p},\bar u)=\sum_{i=1}^Np_ix_i^h(\mathbf{p},\bar u)</math> ; en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient : <math>\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}={\color{Red}\sum_{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}+x_k^h(\mathbf{p},\bar u)</math>. * la i-ème condition du premier ordre dans le problème dual est : <math>p_i=\lambda u'_i</math>, d’où <math>u'_i=\frac{p_i}{\lambda}</math>. * la contrainte du problème dual est : <math>u(\mathbf{x})=\bar u</math>, d’où, en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nu'i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}=0</math>, donc <math>\frac{1}{\lambda}{\color{Red}\sum{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}=0</math> et, puisque <math>\lambda\ne 0</math> et est fini, la somme est nulle, et le lemme est démontré. * on remarque que cette démonstration est une application du [[w:Teorema dell'inviluppo|théorème de l’enveloppe]]. == L’identité de [[w:Rene Roy|Roy]] == Dans le cadre du problème primal, nous avons vu que l’une des propriétés de la fonction d’utilité indirecte est l’identité de Roy : <math>x^m_i=-\frac{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * en différenciant l’identité (2), on obtient <math>\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}+\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_i}}=0</math>. * la partie en rouge dans l’équation précédente est, d’après le lemme de Shephard, la demande hicksienne, qui est à son tour égale (à l’optimum) à la demande marshallienne. En l’exprimant en termes de cette dernière, on obtient directement l’identité de Roy. == L’identité de [[w:Harold Hotelling|Hotelling]]-[[w:Herman Wold|Wold]] == L’identité de Hotelling-Wold affirme que le prix normalisé par le revenu d’un bien ''k'' est égal au rapport entre son utilité marginale et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées : <math>\frac{\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_k}}{\sum_{i=1}^Nx_i\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_i}}\equiv\frac{u'k}{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_k}{y}</math>. Cette équation peut être vue, et c’est pour cela qu’elle est utilisée dans certaines applications [[w:Econometria|économétriques]], comme un système de demande marshallienne inverse, qui exprime le prix en fonction de la quantité demandée. Cette équation peut aussi s’écrire <math>\frac{u'kx_k}{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_kx_k}{y}</math>, c’est-à-dire que la part du revenu dépensée pour un bien est égale au rapport entre son utilité marginale, multipliée par la demande optimale, et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées. Démontrons-le : *la i-ème condition du premier ordre, multipliée par <math>x_i</math>, est <math>u'_kx_i-\lambda p_ix_i=0</math>. *en sommant toutes les conditions du premier ordre, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nx_iu'i-\lambda y=0</math>, d’où <math>\lambda=\frac{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}{y}</math>. *en substituant <math>\lambda</math> dans la k-ème condition du premier ordre, on a <math>u'k-\frac{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}{y}p_k=0</math>, ce qui, exprimé en termes de prix normalisé par le revenu, donne l’équation de Hotelling-Wold. == L'equazione di [[w:Evgenij Slutsky|Slutsky]] == L'equazione di Slutsky è probabilmente una delle più utilizzate nell'ambito della teoria del consumatore: essa permette di scindere l''''effetto totale''' che una variazione di prezzo di un certo bene ha sulla domanda di un altro (o anche lo stesso) bene in due parti: * l''''effetto sostituzione''', dipendente dal fatto che un bene è diventato più o meno costoso rispetto agli altri: il consumatore reagisce aggiustando la sua domanda, eventualmente sostituendo il bene con un altro. * l''''effetto reddito''', dipendente dal fatto che una variazione di prezzo incide sul vincolo di bilancio, rendendolo più o meno restrittivo: il consumatore si sente, quindi, più o meno ricco ed in conseguenza di ciò sposta la sua domanda ottimale per il bene. In termini formali l'equazione è: <math>\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}}_{Effetto\ totale}=\underbrace{\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}}_{Effetto\ sostituzione}-\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial y}x_j^m}_{Effetto\ reddito}</math>. Si fornisce la dimostrazione: * derivando l'identità (4) espressa sopra rispetto a <math>p_j</math> si ha: <math>\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}=\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}-\frac{\partial x_k^m}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e}{\partial p_j}}</math>, dove la parte in rosso, per il lemma di Shephard, è uguale alla domanda hicksiana del bene ''j'', che è anche uguale alla domanda marshalliana dello stesso bene. A questo punto sono utili alcune osservazioni sulle funzioni di domanda: * la domanda hicksiana è '''non crescente''' nei prezzi, infatti si ha <math>x_i^h=\frac{\partial e}{\partial p_i}\Rightarrow\frac{\partial x_i^h}{\partial p_i}=\frac{\partial^2 e}{\partial p_i^2}\le0</math>, per il lemma di Shephard e la concavità della funzione di spesa nei prezzi. Da quest'ultima osservazione si deduce, inoltre, che la '''matrice dei termini di sostituzione''', che contiene le derivate delle domande hicksiane rispetto ai vari prezzi, è semidefinita negativa e simmetrica, in quanto coincide con l’[[w:Matrice hessiana|hessiano]] della funzione di spesa (che è concava). * la domanda marshalliana, invece, può essere crescente o decrescente nei prezzi, come avevamo implicitamente affermato quando abbiamo esposto la classificazione dei beni (Giffen vs. ordinario). Dall'equazione di Slutsky, dunque, si può facilmente dedurre che: * Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l'effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l'effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage. *Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu'il faut exclure qu'il puisse être de Giffen, il est ordinaire. == La construction de [[w:Giovanni Battista Antonelli|Antonelli]] == La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses ''' par rapport aux prix ''', sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, <math>\min_{v(\mathbf{p},y)=\bar u} \sum_{i=1}^Np_ix_i</math> si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: <math>p_i=f(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una '''funzione di distanza''' <math>d(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene ''k'' è uguale al prezzo del bene ''k'', ossia <math>\frac{\partial d(\mathbf{x},y,\bar u)}{\partial x_k}=p_k</math>. Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de ''' systèmes de demande inverse '''. {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] }} syada32ms0uxcmqib5bw0v9jdzfawhb 982170 982169 2026-04-22T16:50:52Z Crochet.david 317 /* L'equazione di Slutsky */ -it +fr 982170 wikitext text/x-wiki {{Traduction demandée|it}} {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 3 | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] | niveau = 15 }} Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite : # <math>e[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]\equiv y</math>: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial. # <math>v[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]\equiv\bar u</math>: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné. # <math>x^m_i(\mathbf{p},y)\equiv x^h_i[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]</math>: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus. # <math>x^h_i(\mathbf{p},\bar u)\equiv x^m_i[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]</math>: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné. == Le lemme de [[w:Ronald Shephard|Shephard]] == Dans le cadre du problème dual, nous avons dit que l’on a : <math>x^h_k(\mathbf{p},\bar u)=\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * la fonction de dépense minimale est : <math>e(\mathbf{p},\bar u)=\sum_{i=1}^Np_ix_i^h(\mathbf{p},\bar u)</math> ; en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient : <math>\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}={\color{Red}\sum_{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}+x_k^h(\mathbf{p},\bar u)</math>. * la i-ème condition du premier ordre dans le problème dual est : <math>p_i=\lambda u'_i</math>, d’où <math>u'_i=\frac{p_i}{\lambda}</math>. * la contrainte du problème dual est : <math>u(\mathbf{x})=\bar u</math>, d’où, en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nu'i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}=0</math>, donc <math>\frac{1}{\lambda}{\color{Red}\sum{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}=0</math> et, puisque <math>\lambda\ne 0</math> et est fini, la somme est nulle, et le lemme est démontré. * on remarque que cette démonstration est une application du [[w:Teorema dell'inviluppo|théorème de l’enveloppe]]. == L’identité de [[w:Rene Roy|Roy]] == Dans le cadre du problème primal, nous avons vu que l’une des propriétés de la fonction d’utilité indirecte est l’identité de Roy : <math>x^m_i=-\frac{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * en différenciant l’identité (2), on obtient <math>\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}+\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_i}}=0</math>. * la partie en rouge dans l’équation précédente est, d’après le lemme de Shephard, la demande hicksienne, qui est à son tour égale (à l’optimum) à la demande marshallienne. En l’exprimant en termes de cette dernière, on obtient directement l’identité de Roy. == L’identité de [[w:Harold Hotelling|Hotelling]]-[[w:Herman Wold|Wold]] == L’identité de Hotelling-Wold affirme que le prix normalisé par le revenu d’un bien ''k'' est égal au rapport entre son utilité marginale et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées : <math>\frac{\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_k}}{\sum_{i=1}^Nx_i\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_i}}\equiv\frac{u'k}{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_k}{y}</math>. Cette équation peut être vue, et c’est pour cela qu’elle est utilisée dans certaines applications [[w:Econometria|économétriques]], comme un système de demande marshallienne inverse, qui exprime le prix en fonction de la quantité demandée. Cette équation peut aussi s’écrire <math>\frac{u'kx_k}{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_kx_k}{y}</math>, c’est-à-dire que la part du revenu dépensée pour un bien est égale au rapport entre son utilité marginale, multipliée par la demande optimale, et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées. Démontrons-le : *la i-ème condition du premier ordre, multipliée par <math>x_i</math>, est <math>u'_kx_i-\lambda p_ix_i=0</math>. *en sommant toutes les conditions du premier ordre, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nx_iu'i-\lambda y=0</math>, d’où <math>\lambda=\frac{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}{y}</math>. *en substituant <math>\lambda</math> dans la k-ème condition du premier ordre, on a <math>u'k-\frac{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}{y}p_k=0</math>, ce qui, exprimé en termes de prix normalisé par le revenu, donne l’équation de Hotelling-Wold. == L’équation de [[w:Evgenij Slutsky|Slutsky]] == L’équation de Slutsky est probablement l’une des plus utilisées dans le cadre de la théorie du consommateur : elle permet de décomposer l’effet total qu’une variation du prix d’un certain bien a sur la demande d’un autre (ou du même) bien en deux parties : *l’effet de substitution, lié au fait qu’un bien est devenu plus ou moins coûteux par rapport aux autres : le consommateur réagit en ajustant sa demande, en substituant éventuellement ce bien par un autre. *l’effet de revenu, lié au fait qu’une variation de prix affecte la contrainte budgétaire, la rendant plus ou moins restrictive : le consommateur se sent donc plus ou moins riche et, en conséquence, modifie sa demande optimale pour le bien. En termes formels, l’équation est : <math>\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}}{Effetto\ totale}=\underbrace{\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}}{Effetto\ sostituzione}-\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial y}x_j^m}_{Effetto\ reddito}</math>. On en donne la démonstration : *en dérivant l’identité (4) exprimée ci-dessus par rapport à <math>p_j</math>, on obtient : <math>\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}=\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}-\frac{\partial x_k^m}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e}{\partial p_j}}</math>, où la partie en rouge, d’après le lemme de Shephard, est égale à la demande hicksienne du bien ''j'', qui est également égale à la demande marshallienne de ce même bien. À ce stade, quelques observations sur les fonctions de demande sont utiles : * la demande hicksienne est non croissante en fonction des prix ; en effet, on a <math>x_i^h=\frac{\partial e}{\partial p_i}\Rightarrow\frac{\partial x_i^h}{\partial p_i}=\frac{\partial^2 e}{\partial p_i^2}\le0</math>, d’après le lemme de Shephard et la concavité de la fonction de dépense par rapport aux prix. De cette dernière observation, on déduit en outre que la matrice des termes de substitution, qui contient les dérivées des demandes hicksiennes par rapport aux différents prix, est semi-définie négative et symétrique, puisqu’elle coïncide avec l’[[w:Matrice hessiana|hessien]] de la fonction de dépense (qui est concave). * la demande marshallienne, en revanche, peut être croissante ou décroissante par rapport aux prix, comme nous l’avions implicitement affirmé en présentant la classification des biens (Giffen vs. ordinaire). De l’équation de Slutsky, on peut donc facilement déduire que : * Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l’effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l’effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage. * Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu’il faut exclure qu’il puisse être de Giffen, il est ordinaire. == La construction de [[w:Giovanni Battista Antonelli|Antonelli]] == La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses ''' par rapport aux prix ''', sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, <math>\min_{v(\mathbf{p},y)=\bar u} \sum_{i=1}^Np_ix_i</math> si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: <math>p_i=f(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una '''funzione di distanza''' <math>d(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene ''k'' è uguale al prezzo del bene ''k'', ossia <math>\frac{\partial d(\mathbf{x},y,\bar u)}{\partial x_k}=p_k</math>. Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de ''' systèmes de demande inverse '''. {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] }} e9wnpb2ztv37xu1e8fh7dzkalwlnree 982171 982170 2026-04-22T16:51:04Z Crochet.david 317 . 982171 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = économie | numéro = 3 | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] | niveau = 15 }} Dans cette leçon, nous avons examiné deux approches différentes du problème du consommateur, aboutissant à une série de résultats (demandes marshallienne et hicksienne, utilité indirecte et fonction de dépense). Il est important à présent de comprendre s'il est possible d'établir des liens entre ces résultats, afin de pouvoir passer d'une approche à l'autre. Avant de présenter les théorèmes de dualité, introduisons quelques identités simples qui nous seront utiles par la suite : # <math>e[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]\equiv y</math>: Étant donné l'utilité maximale pouvant être atteinte avec certains prix et un certain revenu, la dépense minimale pour atteindre cette utilité est égale au revenu initial. # <math>v[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]\equiv\bar u</math>: Étant donné le niveau minimal de dépenses qui doit être maintenu pour atteindre un seuil d'utilité (à des prix donnés), l'utilité maximale réalisable est, évidemment, le seuil d'utilité donné. # <math>x^m_i(\mathbf{p},y)\equiv x^h_i[\mathbf{p},v(\mathbf{p},y)]</math>: La demande marshallienne est la demande optimale à formuler pour atteindre l'utilité maximale possible compte tenu des prix et des revenus. # <math>x^h_i(\mathbf{p},\bar u)\equiv x^m_i[\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar u)]</math>: La demande hicksienne est la demande optimale à formuler pour minimiser les dépenses nécessaires à l'obtention d'un niveau d'utilité donné. == Le lemme de [[w:Ronald Shephard|Shephard]] == Dans le cadre du problème dual, nous avons dit que l’on a : <math>x^h_k(\mathbf{p},\bar u)=\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * la fonction de dépense minimale est : <math>e(\mathbf{p},\bar u)=\sum_{i=1}^Np_ix_i^h(\mathbf{p},\bar u)</math> ; en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient : <math>\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}={\color{Red}\sum_{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}+x_k^h(\mathbf{p},\bar u)</math>. * la i-ème condition du premier ordre dans le problème dual est : <math>p_i=\lambda u'_i</math>, d’où <math>u'_i=\frac{p_i}{\lambda}</math>. * la contrainte du problème dual est : <math>u(\mathbf{x})=\bar u</math>, d’où, en dérivant par rapport à <math>p_k</math>, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nu'i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}=0</math>, donc <math>\frac{1}{\lambda}{\color{Red}\sum{i=1}^Np_i\frac{\partial x_i^h(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_k}}=0</math> et, puisque <math>\lambda\ne 0</math> et est fini, la somme est nulle, et le lemme est démontré. * on remarque que cette démonstration est une application du [[w:Teorema dell'inviluppo|théorème de l’enveloppe]]. == L’identité de [[w:Rene Roy|Roy]] == Dans le cadre du problème primal, nous avons vu que l’une des propriétés de la fonction d’utilité indirecte est l’identité de Roy : <math>x^m_i=-\frac{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}}</math>. Fournissons maintenant la démonstration : * en différenciant l’identité (2), on obtient <math>\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial p_i}+\frac{\partial v(\mathbf{p},y)}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar u)}{\partial p_i}}=0</math>. * la partie en rouge dans l’équation précédente est, d’après le lemme de Shephard, la demande hicksienne, qui est à son tour égale (à l’optimum) à la demande marshallienne. En l’exprimant en termes de cette dernière, on obtient directement l’identité de Roy. == L’identité de [[w:Harold Hotelling|Hotelling]]-[[w:Herman Wold|Wold]] == L’identité de Hotelling-Wold affirme que le prix normalisé par le revenu d’un bien ''k'' est égal au rapport entre son utilité marginale et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées : <math>\frac{\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_k}}{\sum_{i=1}^Nx_i\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_i}}\equiv\frac{u'k}{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_k}{y}</math>. Cette équation peut être vue, et c’est pour cela qu’elle est utilisée dans certaines applications [[w:Econometria|économétriques]], comme un système de demande marshallienne inverse, qui exprime le prix en fonction de la quantité demandée. Cette équation peut aussi s’écrire <math>\frac{u'kx_k}{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}=\frac{p_kx_k}{y}</math>, c’est-à-dire que la part du revenu dépensée pour un bien est égale au rapport entre son utilité marginale, multipliée par la demande optimale, et la moyenne des utilités marginales pondérées par les quantités demandées. Démontrons-le : *la i-ème condition du premier ordre, multipliée par <math>x_i</math>, est <math>u'_kx_i-\lambda p_ix_i=0</math>. *en sommant toutes les conditions du premier ordre, on obtient <math>\sum_{i=1}^Nx_iu'i-\lambda y=0</math>, d’où <math>\lambda=\frac{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}{y}</math>. *en substituant <math>\lambda</math> dans la k-ème condition du premier ordre, on a <math>u'k-\frac{\sum{i=1}^Nx_iu'_i}{y}p_k=0</math>, ce qui, exprimé en termes de prix normalisé par le revenu, donne l’équation de Hotelling-Wold. == L’équation de [[w:Evgenij Slutsky|Slutsky]] == L’équation de Slutsky est probablement l’une des plus utilisées dans le cadre de la théorie du consommateur : elle permet de décomposer l’effet total qu’une variation du prix d’un certain bien a sur la demande d’un autre (ou du même) bien en deux parties : *l’effet de substitution, lié au fait qu’un bien est devenu plus ou moins coûteux par rapport aux autres : le consommateur réagit en ajustant sa demande, en substituant éventuellement ce bien par un autre. *l’effet de revenu, lié au fait qu’une variation de prix affecte la contrainte budgétaire, la rendant plus ou moins restrictive : le consommateur se sent donc plus ou moins riche et, en conséquence, modifie sa demande optimale pour le bien. En termes formels, l’équation est : <math>\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}}{Effetto\ totale}=\underbrace{\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}}{Effetto\ sostituzione}-\underbrace{\frac{\partial x_k^m}{\partial y}x_j^m}_{Effetto\ reddito}</math>. On en donne la démonstration : *en dérivant l’identité (4) exprimée ci-dessus par rapport à <math>p_j</math>, on obtient : <math>\frac{\partial x_k^m}{\partial p_j}=\frac{\partial x_k^h}{\partial p_j}-\frac{\partial x_k^m}{\partial y}{\color{Red}\frac{\partial e}{\partial p_j}}</math>, où la partie en rouge, d’après le lemme de Shephard, est égale à la demande hicksienne du bien ''j'', qui est également égale à la demande marshallienne de ce même bien. À ce stade, quelques observations sur les fonctions de demande sont utiles : * la demande hicksienne est non croissante en fonction des prix ; en effet, on a <math>x_i^h=\frac{\partial e}{\partial p_i}\Rightarrow\frac{\partial x_i^h}{\partial p_i}=\frac{\partial^2 e}{\partial p_i^2}\le0</math>, d’après le lemme de Shephard et la concavité de la fonction de dépense par rapport aux prix. De cette dernière observation, on déduit en outre que la matrice des termes de substitution, qui contient les dérivées des demandes hicksiennes par rapport aux différents prix, est semi-définie négative et symétrique, puisqu’elle coïncide avec l’[[w:Matrice hessiana|hessien]] de la fonction de dépense (qui est concave). * la demande marshallienne, en revanche, peut être croissante ou décroissante par rapport aux prix, comme nous l’avions implicitement affirmé en présentant la classification des biens (Giffen vs. ordinaire). De l’équation de Slutsky, on peut donc facilement déduire que : * Un bien ne peut être un bien de Giffen (effet total positif) que si l’effet de substitution (toujours négatif) est plus que compensé par l’effet de revenu, qui doit être négatif : par conséquent, si un bien est un bien de Giffen, il est nécessairement inférieur. Ce sont donc des biens « pauvres », largement consommés par les ménages à faibles revenus ; ainsi, lorsque leur prix augmente, les consommateurs se sentent plus pauvres et en demandent donc davantage. * Inversement, si un bien est normal (effet de revenu positif), alors, puisqu’il faut exclure qu’il puisse être de Giffen, il est ordinaire. == La construction de [[w:Giovanni Battista Antonelli|Antonelli]] == La construction d'Antonelli joue dans le problème dual le même rôle que l'identité de Hotelling-Wold dans le problème primal. Essentiellement, en minimisant la fonction de dépenses ''' par rapport aux prix ''', sous la contrainte que la fonction d'utilité indirecte atteigne un certain seuil, <math>\min_{v(\mathbf{p},y)=\bar u} \sum_{i=1}^Np_ix_i</math> si ottengono delle equazioni che esprimono i prezzi in funzione delle quantità, del reddito e del livello di utilità: <math>p_i=f(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Sostituendo tali funzioni nella funzione di spesa, al posto dei prezzi, si ottiene una '''funzione di distanza''' <math>d(\mathbf{x},y,\bar u)</math>. Si dimostra che la derivata di tale funzione di distanza rispetto alla quantità domandata di bene ''k'' è uguale al prezzo del bene ''k'', ossia <math>\frac{\partial d(\mathbf{x},y,\bar u)}{\partial x_k}=p_k</math>. Ici aussi, comme pour l'identité de Hotelling-Wold, les prix sont obtenus en fonction des quantités, et l'on parle donc de ''' systèmes de demande inverse '''. {{Bas de page | idfaculté = économie | précédent = [[../Le problème dual du consommateur/]] | suivant = [[../Schema di chiusura/]] }} fsh6brw541wej8emql6l8pu94nw2rja 104 55868 982175 970928 2026-04-23T02:05:08Z Surajr7 80235 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Jean-Antoine Riquetti, bailli de Mirabeau.jpg]] → [[File:Honoré Riquetti de Mirabeau.jpg]] [[c:COM:FR#FR3|Criterion 3]] (obvious error) 982175 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Annexe | idfaculté = histoire | numéro = 5 | niveau = 9 | précédent = [[../Sommaire/]] | suivant = [[../Iconographie 1763-2017/]] }} [[Fichier:Le Nègre Scipion, par Paul Cézanne, Yorck.jpg|500px|vignette|centré|Iconographie : Galerie d'images]] __TOC__ {{Clr}} == Introduction : Iconographie & Méthodologie == <gallery> Fichier:Le Nègre Scipion, par Paul Cézanne, Yorck.jpg|Circa 1867 - Paul Cézanne (1839–1906).- Der Afrikaner Scipio. En français, "Le Nègre Scipion" </gallery> == Organisation du corpus iconographique == # Les corpus iconographiques transversaux # Corpus iconographiques chronologiques par siècles & années # Corpus iconographiques chronologiques & thématiques == Les corpus iconographiques transversaux == === {{S|XIV-XIX}} === <gallery> File:BnF Ms Fr. 28, Cité de Dieu Fol. 273v, Couronnement de la Vierge.jpg|{{S|XIV-XIX}}, [[c:Category:Cité de Dieu - BNF Fr28|Augustin d'Hippone.- La Cité de Dieu]] </gallery> === <strong>{{S|XV-XVI}} === ==== Œuvre de Jérôme Bosch (v. 1450 – v. 1516) ==== <gallery> File:Jheronimus Bosch.jpg|[[w:Liste des œuvres de Jérôme Bosch|Liste des œuvres]] de [[w:Jérôme Bosch|Jérôme Bosch]]<ref>[[w:Jacques Le Boucq|Jacques Le Boucq]], (Attribué à ).- Portrait de [[w:Jérôme Bosch|Jérôme Bosch]], vers 1550.</ref> File:The Garden of Earthly Delights by Bosch High Resolution 2.jpg|[[c:File:The Garden of Earthly Delights by Bosch High Resolution 2.jpg|Le jardin des délices, ({{en}} ''The Garden of Earthly Delights'')]]<ref>[[d:Q28544070|2017]] - {{bibliographie|Q28544070}} Documentaire de 52 minutes réalisé par [[d:Q28544115|Nathalie Plicot]] & [[d:Q28544372|Eve Ramboz]], produit par l'[[d:Q1665109|Institut national de l'audiovisuel (INA)]], avec la participation de [[d:Q1124861|France Télévisions]] et le soutien du [[d:Q1054221|Centre national du cinéma et de l'image animée (CNC)]], [[w:2017|2017]].</ref> </gallery> ==== Randolph Rogers (Artist).- Illustration des voyages de Christophe Colomb ==== <gallery> File:USA Capitol - Columbus Doors Drawing AOC.png|1492-1506, [[c:Category:Columbus Doors|Columbus Doors (1910)]]<ref>Illustration des voyages de [[d:Q7322|Christophe Colomb]], (c. 26 août-31 octobre 1451 (République de Gênes) - 20 mai 1506 (Valladolid, Espagne), entre la [[w:péninsule ibérique]], sud-ouest de l'[[w:Europe|Europe]], et le [[c:File:Christopher Columbus voyages map-fr.svg|Nouveau monde]]</ref> </gallery> === Les Sociétés coloniales du XV{{e}} au {{S|XVIII}} === === {{S|XVIII}} === ==== Corpus "La vie à Paris au temps de Joseph Bologne de Saint-George ==== <gallery> File:Augustin de Saint-Aubin.JPG|[[c:Category:Augustin de Saint-Aubin|{{S|XVIII}}, Augustin de Saint-Aubin]]. La vie à Paris au temps de [[w:Joseph Bologne de Saint-George|Saint-George]] </small>. </gallery> == Corpus "Les Sociétés européennes au temps de Joseph Bologne de Saint-George" == * [[w:Joseph Bologne de Saint-George|"Les Sociétés européennes au temps de Joseph Bologne de Saint-George"]] == Les "Riqueti de Mirabeau" == === Les deux frères Mirabeau, 1715-1789-1794 === <gallery> File:Mirabeau père.jpg|[[Victor Riquetti de Mirabeau|Victor Riqueti de Mirabeau]] (1715-1789), économiste et philosophe, père des "trois Mirabeau". Fichier:Honoré Riquetti de Mirabeau.jpg|Jean-Antoine Joseph Charles Elzéar, dit le Balli de Riqueti de Mirabeau (1717-1794), oncle de Mirabeau, gouverneur de la Guadeloupe de 1752 à 1755. </gallery> === Les trois frères Mirabeau, 1715-1789-1794 === <gallery> File:Honoré-Gabriel Riqueti, marquis de Mirabeau.PNG|Mirabeau (-Tonnerre). File:Mirabeau-Tonneau02.jpg|"Mirabeau-Tonneau, frère du précédent File:Gyp 1849-1932.JPG|[[w:Gyp|Sibylle Gabrielle Riquetti de Mirabeau, dite Gyp]] (1849 - 1932) </gallery> == Corpus iconographiques thématiques == === Migrations === <gallery> File:Mapa de las migraciones humanas.svg|La migration comme quête de l'énergie </gallery> == Corpus iconographiques chronologiques par siècle & année == == {{S|XV}} == === 1500 === <gallery> File:Randolph Rogers - USCapitolDoors 1855–1861, Columbus in Chains in 1500AC.png|1500 - Columbus in Chains<ref>“Columbus in Chains (1500)”, [https://www.flickr.com/photos/uscapitol/6240989284/ Architect of the Capitol]</ref> </gallery> == {{S|XVIII}} == === 1760 === <gallery> File:Gabriel-Jacques de Saint-Aubin, A Street Show in Paris, 1760.jpg|1760 - Spectacle de rue, Paris </gallery> === 1761 === <gallery> Fichier:Géolocalisation de l'Ile Tromelin OSM (6080162).png|Géolocalisation de l'Ile Tromelin </gallery> == Iconographie & Chronologie == <gallery> Fichier:Christopher Columbus voyages map-fr.svg|1492 - Début des voyages de Christophe Colomb, 1492-1504 </gallery> == Annexe : Iconographie 1763-2023 == * [[Recherche:Les_abolitions_des_traites_et_des_esclavages/Annexe/Iconographie_1763-2017#1792|Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Iconographie 1763-2017]]. À transférer ici + Modifier le titre == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../Sommaire/]] | suivant = [[../Iconographie 1763-2017/]] }} 1cp5kx2iz3z1erq4upkxsfn2bc369zl 2 64090 982176 975278 2026-04-23T02:05:09Z Surajr7 80235 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Jean-Antoine Riquetti, bailli de Mirabeau.jpg]] → [[File:Honoré Riquetti de Mirabeau.jpg]] [[c:COM:FR#FR3|Criterion 3]] (obvious error) 982176 wikitext text/x-wiki == Mirabeau Riqueti (Famille) == * [http://jean.gallian.free.fr/comm2/Images/genealog/riquetti/p1a.pdf Généalogie] * [[w:Victor Riqueti de Mirabeau|Victor Riqueti de Mirabeau]], l’Ami des hommes, économiste & philosophe, 1715-1789 * [[w:Jean-Antoine Riqueti de Mirabeau|Jean-Antoine Riqueti de Mirabeau]], chevalier de Malte, 1717-1794. Gouverneur de la Guadeloupe de 1753 à 1757 * [[w:Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau|Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau]], révolutionnaire, ainsi qu’un écrivain, diplomate, franc-maçon, journaliste et homme politique, 1749-1791. Cf Le Courrier de Provence. * [[w:André Boniface Louis Riqueti de Mirabeau|André Boniface Louis Riqueti, vicomte de Mirabeau]], dit "Mirabeau-Tonneau" puis « Mirabeau-Cravates », 1754-1792 * [http://www.e-corpus.org/fre/notices/6601-Fonds-Mirabeau.html Fonds Mirabeau] * [http://aristoskratosindex.blogspot.fr/2014/12/los-senores-y-marqueses-de-mirabeau.html Los señores & marqueses de Mirabeau. Genealogia de los Riqueti de Mirabeau] <gallery> File:Mirabeau père.jpg|[[d:Q947485|Victor Riqueti de Mirabeau (1715-1789)]] dit Mirabeau l'aîné, père de Mirabeau, [[w:Chevalier-Hospitalier|chevalier de Malte]] en 1716. File:Honoré-Gabriel Riqueti, marquis de Mirabeau.PNG|[[d:Q218747|Honoré-Gabriel Riqueti]], (9 mars 1749-2 avril 1791), marquis de Mirabeau, dit Mirabeau (-Tonnerre). File:Mirabeau-Tonneau02.jpg|[[d:Q503559|André Boniface Louis Riqueti, vicomte de Mirabeau]], (1754-1792), dit "Mirabeau-Tonneau" puis « Mirabeau-Cravates », frère du précédent, [[w:Chevalier-Hospitalier|chevalier de Malte]] le 5 juillet 1755 File:Gyp 1849-1932.JPG|[[w:Gyp|Sibylle Gabrielle Riquetti de Mirabeau, dite Gyp]] (1849 - 1932) </gallery> <gallery> Fichier:Honoré Riquetti de Mirabeau.jpg|[[d:Q3163721|Jean-Antoine Joseph Charles Elzéar]], (1717-1794), dit le Balli de Riqueti de Mirabeau, frère du premier, oncle des deux ci-dessus, gouverneur de la Guadeloupe de 1752 à 1755. Il devient [[w:Chevalier-Hospitalier|chevalier de Malte]] le 31 juillet 1720 et depuis Commandeur et Bailli File:Isle de la Guadeloupe, btv1b85963228.png|L'Ile de la Guadeloupe au {{S|XVII}}, {{BNF|40618775g}} </gallery> Les deux frères, l'oncle et le père sont chevaliers de Malte. Jean-Antoine Joseph Charles Elzéar deviendra bailli, d'où son nom précédé du terme<ref>{{bibliographie|Q28548749}} 1839, p. [https://books.google.fr/books?id=m68NAAAAQAAJ&hl=fr&pg=PA320#v=onepage&q=Mirabeau&f=false 320].</ref>. Marin habile, est pressenti pour le ministère de la Marine. Ses ambitions sont déçus. Il achète la charge de général des galères et sera gouverneur de la Guadeloupe de 1752 à 1755. Son neveu, André Boniface Louis, sera également chevalier de Malte. ;Anne de Ferrière de Saulvebœuf, marquise de Vassan :''2846. VASSAN (Anne de Ferrière de Saulvebœuf, marquise de), grand mère maternelle de Mirabeau. 1689-1770. 1° L. aut., [https://books.google.fr/books?id=2Q1QAAAAYAAJ&dq=Jean-Antoine%20Riqueti%20de%20Mirabeau%20%2B%20Saint-George&hl=fr&pg=PA530#v=onepage&q=Jean-Antoine%20Riqueti%20de%20Mirabeau%20+%20Saint-George&f=false a M. de Saint-George]. 3 gr. p. in-4.<br />Ma fason de pancer monsieur et mon amitié pour monsieur de Mirabeau « ce confirme de ionr en ionr, celle que vous aues pour luy mauoit preueneu en « sa faveur auaut de le connaître il la mérité par le parfait attachement qu’il a « pour vous, madame la marquise de Saint-leorgc et tout ce qui vous est cher, « ie ne scauroit trop vous marquer monsieur, ma uiue reconnessance de manoir procuré un iandre ou pour mieux dire un fils ausy aimable dont le caractaire démontre beaucoup desprit et de probité... »''. Catalogue de la collection de lettres autographes manuscrits du comte de Mirabeau, documents historiques sur la Ligue, la Fronde, la Révolution, etc. de feu M. Lucas de Montigny: dont la vente aura lieu le mercredi 30 avril 1860 et jours suivants a 7 heurs du soir rue des Bons-enfants, 28, Maison Silvestre salle, Numéro 4. === Victor Riqueti de Mirabeau (1715-1789) === [[Fichier:Victor de Riqueti de Mirabeau, Comte de Beaumont, Seigneur du duché de Roquelaure.png|100px|vignette|gauche|Victor de Riqueti de Mirabeau, Comte de Beaumont, Seigneur du duché de Roquelaure]] * [[w:Victor Riqueti de Mirabeau|Victor Riqueti de Mirabeau]], l’Ami des hommes, économiste & philosophe, 1715-1789 {{Citation bloc|Riqueti : ''Victor'', Marqu. de Mirabeau & de Biran, Comte de Beaumont, premier Baron du Limoſin, Vicomte de S. Mathieu, né 4 octobre 1715. fils aîné de feu Jean-Antoine, mort en 1737. & de Françoise de Caſtellane-Norante, née en 1686, vivante en 1761. marié 11 avril 1743 à Marie Geneviève de Vassan, née en décembre 1725 dont # ''[[w:Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau|Honoré-Gabriel]]'', né 9 mars 1749 # ''[[w:André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau|André Boniface-Louis]]'', né 30 novembre 1754 # ''Marie-Anne-Jeanne<ref>Marie-Anne-Jeanne Riquetti de Mirabeau</ref>'', née 10 juillet 1745 # ''Caroline-Eliſabeth<ref>Caroline-Eliſabeth Riquetti de Mirabeau</ref>'', née 5 septembre 1747 # ''Marie-Louiſe<ref>Marie-Louiſe Riquetti de Mirabeau</ref>'', née 4 septembre 1752 Fère : Jean-Antoine Joſeph-Charles-Elzear de Riqueti, né 8 oct. 1717, Chevalier de Malte, Capitaine de Vaiſſeau du Roi, nommé Général des Glères de Malte.<br />Belle-ſœur : Julienne-Dorothée-Sylvie, née Comtesse de Kunſberg, veuve en juillet 1761. d'Alexandre -Louis de Riqueti, grand Chambellan du Margrave de Brandebourg Bareith|{{Bibliographie|Q27919259}}<ref>{{Bibliographie|Q27919259}}, [https://books.google.fr/books?id=i5ZAAAAAcAAJ&dq=Fran%C3%A7oise%20de%20Castellane-Norante&hl=fr&pg=PA329#v=onepage&q=Fran%C3%A7oise%20de%20Castellane-Norante&f=false page 329]</ref>}} * Françoise de Castellane-Norante === Jean-Antoine Joseph Charles Elzéar, dit le Balli de Riqueti de Mirabeau (1717-1794) === * [[w:Jean-Antoine Riqueti de Mirabeau|Jean-Antoine Riqueti de Mirabeau]], (1717-1794), gouverneur de la Guadeloupe de 1752 à 1755 * [http://gw.geneanet.org/fraternelle?lang=fr&p=jean+antoine&n=de+riqueti+de+mirabeau&oc=1 Généalogie sur Généanet] === André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau === [[w:André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau|André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau]], vicomte de Mirabeau, dit « Mirabeau-Tonneau » puis « Mirabeau-Cravates », né à Paris, le 30 novembre 1754, mort à Fribourg-en-Brisgau, Allemagne, le 15 septembre 1792, est le fils de Victor Riqueti de Mirabeau, marquis de Mirabeau et de Marie-Geneviève de Vassan, frère cadet d'Honoré Gabriel Riquetti de Mirabeau. * [https://www.google.fr/search?tbm=bks&hl=fr&q=André+Boniface+Louis+de+Riqueti+de+Mirabeau#hl=fr&tbm=bks&q=inauthor:%22André-Boniface-Louis+Riqueti+Mirabeau%22 inauthor:"André-Boniface-Louis Riqueti Mirabeau"] == Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau (1749-1791) == {{Citation bloc|Honoré Gabriel de Riqueti comte de Mirabeau capitaine au [[w:Régiment de Penthièvre dragons|régiment des dragons de Penthièvre]], petit fils du précédent était le second fils des dix enfants qu'eut de son mariage avec [[w:Victor_Riquetti_de_Mirabeau#Un_mariage_tumultueux|Marie Geneviève de Vassan]] veuve de Jean François de Ferrières chevalier marquis de Sauvebæuf grand sénéchal d 'Auvergne et Victor de Riqueti marquis de Mirabeau de Sauvebeuf et de Biran comte de Beaumont baron de Pierre Buffiere et en cette qualité premier baron du Limousin seigneur de Roquelaure de Négreaux etc etc ancien capitaine au régiment de Duras auparavant Mirabeau chevalier de Malte et de Saint Louis|{{Internet Archive|id=BHPNAAAAMAAJ|f=187|pp=187}}.}} {{Citation bloc|Jean de Beaumont, dernier comte de Beaumont, était à la droite du roi de France, Philippe Auguste en 1214 à la bataille de Bouvines. Mort sans postérité en 1223, le comté rejoignit l'apanage des rois de France et fut transmis de siècle en siècle à des membres de la famille royale dont le plus connu est sans doute [[w:Charles Ier d'Orléans|Charles Ier d'Orléans]]... Au XVIIIe siècle, le comté est vendu à [[w:François-Louis de Bourbon-Conti|François-Louis de Bourbon]], prince de Conti<ref>[[w:François-Louis_de_Bourbon-Conti#Élu_roi_de_Pologne_malgré_lui_(1696-1697)|Élu roi de Pologne malgré lui (1696-1697)]], Voir également [[w:Louis-Armand de Bourbon-Conti (1695-1727)|Louis-Armand de Bourbon-Conti (1695-1727)]]</ref>. Malgré le mauvais état du pont, le comte de Conti décida de ne procéder qu’à une reconstruction de trois arches en ruine ; les travaux furent exécutés en 1735. Le comte de Provence, qui deviendra Louis XVIII<ref>Quatrième fils du dauphin Louis et frère cadet de Louis XVI, il est appelé « Monsieur » quand ce dernier devient roi.</ref>, en est le dernier seigneur.}} * [[w:Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau|Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau]], révolutionnaire, ainsi qu’un écrivain, diplomate, franc-maçon, journaliste et homme politique, 1749-1791 Honoré Gabriel Riqueti, marquis puis comte de Mirabeau, appelé Mirabeau, surnommé « La Torche de la Provence » et « L’Orateur du Peuple ». * Le Bignon-Mirabeau (Loiret) 9 mars 1749 – Paris 2 avril 1791. * Victor Hugo le dit « d’une laideur grandiose et fulgurante ». * Orateur. Politique. Révolutionnaire.Franc-maçon. * participe à la campagne de Corse en 1768 à1769 * 1788 - Mirabeau fonde de la Société des Amis des Noirs avec Brissot, Clavière et Condorcet. La société milite pour l’abolition immédiate de la traite des Noirs et, plus largement, celle de l’esclavage dans les colonies. Cf. [http://ci.nii.ac.jp/author/DA15546121?l=en bibliographie]<ref>[http://www.provence7.com/portails/celebrites/celebrites-politiques/mirabeau/ Provence 7, Mirabeau en Provence A Vivre, A Voir, A Visiter, A Connaître]</ref>. === Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau.- Le Courrier de Provence === Auteur : [[d:Q218747|Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau]] Description : Publication de Honoré-Gabriel Riqueti de Mirabeau Alias : Lettres du comte de Mirabeau à ses commettans # 1789 - {{Bibliographie|Q27566411}}, [https://archive.org/details/courierdeproven00unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=AIifyc3n4jwC&oe=UTF-8 Google Livres] # 1789 - {{Bibliographie|Q27566841}}, [https://archive.org/details/lecourierdeprov04unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=lqYvAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] # 1790 - {{Bibliographie|Q27588538}}, [https://archive.org/details/lecourierdeprov02unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=bacvAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] # 1790 - {{Bibliographie|Q27588553}}, nos. 136-155, [https://archive.org/details/lecourierdeprov06unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=uagvAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] # 1791 - {{Bibliographie|Q27588562}}, [https://archive.org/details/lecourierdeprov00unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=YqkvAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] # 1791 - {{Bibliographie|Q27613004}}, [https://archive.org/details/lecourierdeprov01unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=CqovAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] # 1791 - {{Bibliographie|Q27613328}}, [https://archive.org/details/lecourierdeprov03unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=H68vAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] # 1791 - {{Bibliographie|Q27613434}}, [https://archive.org/details/lecourierdeprov05unkngoog IA] ; [http://books.google.com/books?id=fKovAAAAMAAJ&oe=UTF-8 Google Livres] === Textes publiés dans Le Courrier de Provence === # 1791 - Lettre à tous les hommes de couleur libres, dans {{Bibliographie|Q27565281}} # 1791 - {{Bibliographie|Q24038814}}, [https://books.google.fr/books?id=pm4UAAAAQAAJ&dq=Lettre%20%C3%A0%20tous%20les%20hommes%20de%20couleur%20libres&hl=fr&pg=PA289#v=onepage&q=Lettre%20%C3%A0%20tous%20les%20hommes%20de%20couleur%20libres&f=false Google Livres] ; [https://books.google.fr/books?id=50cUAAAAQAAJ&pg=PR3#v=onepage&q&f=false Google livres2] ; [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k44847m.r=colonies.langFR Gallica] ; [https://archive.org/details/adressedelasoci00soci IA] ; [https://archive.org/details/bub_gb_50cUAAAAQAAJ IA2] ; [https://fr.wikisource.org/wiki/Wikisource:Scriptorium/Septembre_2010#Adresse_de_la_Société_des_amis_des_noirs.2C_.C3.A0_l.27assemblée_nationale Adresse de la Société des amis des noirs, à l'assemblée nationale] === Journal de la maladie et de la mort d'Honoré-Gabriel-Victor Riquetti Mirabeau === In Pierre-Jean-Georges Cabanis.- Du degré de certitude de la Médecine<ref>Pierre-Jean-Georges Cabanis.- [https://books.google.fr/books?id=18TNDyIW-rUC Du degré de certitude de la Médecine], 1803, page 231</ref>, 1803, page 231 == André Boniface Louis Riqueti, vicomte de Mirabeau, dit "Mirabeau-Tonneau" == [[Fichier:Louis Joseph de Bourbon-Condé cartoon 1791.jpg|100px|vignette|gauche|Caricature of Louis Joseph de Bourbon (1736-1818) and André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau (Mirabeau-Tonneau) (1754-1795)]] Saint-George cite [[w:André Boniface Louis Riqueti de Mirabeau|André Boniface Louis Riqueti, vicomte de Mirabeau]], dit "Mirabeau-Tonneau" puis « Mirabeau-Cravates », 1754-1792, frère cadet d'[[w:Honoré Gabriel Riquetti de Mirabeau|Honoré Gabriel Riquetti de Mirabeau]], parmi les "''[[s:Page:Nous sommes donc trois.djvu/6|traîneurs obstinés des deux soi-disant ordres renversés]]''" {{Citation bloc|J’ai vu, et je ne crois pas m’être trompé, que parmi les pères de la patrie, il y a trois partis bien formés, bien aisés à distinguer.<br /> Les deux principaux sont assez connus. L’un, et celui-là mérite bien l’avantage de paroître le premier, est composé des traîneurs obstinés des deux soi-disant ordres renversés. Un abbé Maury, un Cazalès, un vicomte de Mirabeau, se montrent à sa tête, et conduisent ceux qui ne valent pas la peine d’être nommés.|Joseph Bologne de Saint-George.- [[s:Page:Nous sommes donc trois.djvu/6|Nous sommes donc trois ? ou le Provincial à Paris]], [[w:1790|1790]]<ref>* 1790 - {{bibliographie|Q19220704}}</ref>}} {{Citation bloc|Anglais : Caricature of Louis Joseph de Bourbon (1736-1818) and André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau (Mirabeau-Tonneau) (1754-1795).<br /> Library of Congress description : "Print shows the Prince de Condé as Don Quixote on a white horse and vicomte de Mirabeau (Mirabeau Tonneau) as Sancho Panza riding on a barrel-shaped ass on wheels, surrounded by a ragged group of counterrevolutionaries forming Condé's army, riding to the defence of the mill of abuse, a windmill situated in the center background, topped with a bust of Louis XVI. The mill is propelled by gusts of flatulence issuing from an allegorical Fame without trumpet, dressed as a jester." Caption: "Marche du Dom Quichotte moderne pour la deffence du Moulin des Abus." ("Don Quixote's modern march in defence of the windmill of abuses.")<ref>Description : [[c:File:Louis Joseph de Bourbon-Condé cartoon 1791.jpg|Louis Joseph de Bourbon-Condé cartoon 1791.jpg]]</ref><br /> Français : ''Caricature de Louis Joseph de Bourbon (1736-1818) et André Boniface Louis Riquetti de Mirabeau (Mirabeau-Tonneau) (1754-1795)''<br /> Description de la Bibliothèque du Congrès : L'estampe montre le Prince de Condé en [[w:Alonso Quichano|Don Quichote]] sur un cheval blanc et le vicomte de Mirabeau (Mirabeau Tonneau) en [[w:Sancho Panza|Sancho Panza]] chevauchant un cheval de bois sur roulette en forme de tonneau, entourés par d'enragés contre-révolutionnaire formant l'armée de Condé se portant à la défense du moulin des abuse, un moulin à vent situé au centre du deuxième plan, avec au sommet un buste de Louis XVI en guise de girouette.}} == Jean-Marie-Nicolas Lucas de Montigny (1782-1852) == * [[d:Q20973424|Jean-Marie-Nicolas Lucas de Montigny (1782-1852)]] Jean-Marie-Nicolas LUCAS DE MONTIGNY, né à Paris le 44 février 1782, conseiller de préfecture, était le fils naturel de Mirabeau, premier éditeur du Discours de Mirabeau contre la traite des Noirs<ref>{{bibliographie|Q28541335}}, 2010</ref>. Un "fragment" du manuscrit est conservé à la Bibliothèque de Genève. == Sibylle Gabrielle Riquetti de Mirabeau, dite Gyp, 1849 - 1932 == * [[w:Gyp|Sibylle Gabrielle Riquetti de Mirabeau, dite Gyp]] (1849 - 1932), fille de Joseph-Arundel de Riquetti et de son épouse [[w:Marie Le Harivel de Gonneville|Marie Le Harivel de Gonneville]]. Son roman ''Une Élection à Tigre-sur-mer'' (1890) est basé sur l'expérience de [[w:Gyp|Gyp]] au soutien d'un candidat boulangiste, {{Citation bloc|Notice sur la Maison de Riqueti Mirabeau<br />Une erreur grave s'est glissée dans la ''Biographie universelle'', Tomee XXIX, et dans l'''Histoire généalogique des pairs de France'', de M. de Courcelles, Torne IV, et dans l'''Annuaire de la noblesse de 1845''. Selon ces ouvrages, le vicomte de Mirabeau serait mort sans avoir été marié, vers la fin de 1792. C'est à tort; le vicomte de Mirabeau, colonel de la légion de Touraine, frère du comte de Mirabeau l'orateur, et par conséquent fils du marquis de Mirabeau, l'Ami des hommes<ref>[[w:Victor Riqueti de Mirabeau|Victor Riqueti de Mirabeau]], l’Ami des hommes, économiste & philosophe, 1715-1789</ref>, épousa en 1788, dans la commune d'Argentilly en Touraine, la comtesse de Robien, native du diocèse de Hennés. De ce mariage naquit, en 1789, paroisse de Sainl-Sulpice, à Paris, Victor-Claude Dymas de Riqueti de Mirabeau, qui perdit son père pendant l'émigration, à [[w:Fribourg-en-Brisgau|Fribourg en Brisgau]]. Il hérita du titre de colonel ; mais étant trop jeune pour commander la légion de son père, il fut remplacé par le marquis de la Féronnière. Au retour de Louis XVIII, il reçut un brevet de colonel de cavalerie. Il épousa en 1817 Éléonore-Louise Danthon, fille d'un chirurgien-major mort en Espagne, et décéda à Vannes en 1831, à l'âge de quarante-deux ans. De ce mariage sont issus : # MarieAntoinette de Riqueti de Mirabeau, née en 1818, mariée le 19 avril 1836 au comte Treouret de Kerstrat ; # Gabriel-Vielor Claude de Riqueti de Mirabeau, né le 18 octobre 1819, aujourd'hui chef de la famille, qui a épousé en 1841 Ernestine-Xavierine, fille de Charles-Philippe-Auguste duc d'Esclignac, lieutenant-colonel des lanciers de la garde en 1830, et de Georgine-Louise de Talleyrand-Périgord, fille du comte de Talleyrand-Périgord, gouverneur de Saint-Germain ; # Arundel-Joseph de Riqueti de Mirabeau<ref>Arundel-Joseph de Riqueti de Mirabeau est le père de [[w:Gyp|Sibylle Gabrielle Riquetti de Mirabeau, dite Gyp]] (1849 - 1932)</ref> ; # Edouard-Albert de Riqueti de Mirabeau. Les armes sont: dazur, à une bande d'or, accompagnée en chef d'une demi-peur de lis fleuronnée du même, el en pointe de trois roses d'argent en orle. Tenants : deux anges: couronne de marquis. Devise : Jurât pielas. ( Planche XXVI.)|{{Bibliographie|Q27919305}}<ref>{{Bibliographie|Q27919305}}, [https://books.google.fr/books?id=M-1BAAAAcAAJ&dq=Joseph-Arundel%20de%20Riquetti&hl=fr&pg=PA408#v=onepage&q=Joseph-Arundel%20de%20Riquetti&f=false page 408]</ref>}} Lucas de Montigny == Bibliographie == * Internet Archive : [https://archive.org/search.php?query=Sur+Mirabeau&page=3 Sur Mirabeau] * 1879-1891 - {{bibliographie|Q110483597}} <!-- Les Mirabeau : nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle --> ** 1879 - {{bibliographie|Q110483804}}, Le Bailli gouverneur à la Guadeloupe {{Gallica|id=bpt6k5517097z|f=209|pp=190}} <!-- Les Mirabeau : nouvelles études sur la société française au XVIIIe siècle, Tome Premier --> ==== 11-1789/3-1790 - 1834-1999 : Les bières flottantes des négriers ==== * 1834 - {{bibliographie|Q28540980}} ** 1834-1835 - {{bibliographie|Q28541544}}, Publication d'une version des "[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62183489.r=Bières%20flottantes%20des%20négriers%20Bières%20flottantes%20des%20négriers?rk=21459;2 Les bières flottantes des négriers Bières flottantes des négriers]" dans le volume 7. ** 1999 - {{bibliographie|Q28537712}} ** 2001 - {{bibliographie|Q28537507}}, juillet 2001 == Notes & Références == ru3z8qc1e1l4c832x0pativhaq6jv5q 104 84550 982166 977759 2026-04-22T13:54:09Z Marie Claire Fontaine 80228 Précision linguistique sur l'usage du singulier pour les termes astrologiques et ajout d'une source. 982166 wikitext text/x-wiki Dans le corpus considéré les termes épicènes en -eau concerne fesse-tonneau, Gémeau<ref>L'usage du singulier est fréquent dans le lexique astrologique pour désigner l'archétype individuel du signe, voir l'analyse sur [https://meilleures-voyantes.fr/blog/signe-astrologique-gemeaux/ le profil type du Gémeau], sur ''Meilleur Voyant''.</ref>, Taureau, traine-ruisseau et son allographie traîne-ruisseau, Verseau. ====== Réflexions paradigmatiques ====== Pour ''fesse-tonneau, traine-ruisseau'' et ''traîne-ruisseau'', voir [[Recherche:Sur l’extension des genres grammaticaux en français/⟨verbe⟩-⟨nom⟩|''⟨verbe⟩-⟨nom⟩'']]. Fortuitement l'initiale majuscule des termes restant n'apparaît ici que sur des termes astrologiques. Vue la pré-existence d'emplois adjectivaux comme ''taureauesque''<ref>{{Lien web|titre=Sortir avec un Homme Taureau : Ce Qu'il Aime et Déteste - Jimini.fr|url=https://www.jimini.fr/fr/blog/sortir-avec-un-homme-taureau-ce-qu-il-aime-et-dedteste|site=www.jimini.fr|consulté le=2026-02-08}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Y-a-t-il des amateurs de K 1 ici ? [Las Vegas]|url=https://www.gamekult.com/forum/t/y-a-t-il-des-amateurs-de-k-1-ici-las-vegas/40005?page=15|site=Forum Jeux vidéo - Gamekult|date=2004-10-22|consulté le=2026-02-08}}</ref><ref>{{Lien web|langue=fr|titre=[CALL/AIRDROP] $COMFY, le meme token sur Solana qui va nous rendre confortable pour 2024 sur le forum Finance - 01-01-2024 03:26:07 - page 85|url=https://www.jeuxvideo.com/forums/42-3011927-73578441-85-0-1-0-call-airdrop-comfy-le-meme-token-sur-solana-qui-va-nous-rendre-confortable-pour-2024.htm|site=Jeuxvideo.com|consulté le=2026-02-08}}</ref> et ''verseauesque''<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Thème Astral de Carmen Cabrera - Sevilla - Magia de Nombres|url=https://magiadenombres.com/themes-astraux/carmen-cabrera-1957-01-25-sevilla.html|site=magiadenombres.com|consulté le=2026-02-08}}</ref>, des séries ostentatoires basés sur une matrice en ''<code>-eau*sque</code>'' semble pleinement légitimé. ====== Métaphores et métonymies haplogestes ====== ''Un cadeau'' peut par métaphore sarcastique désigner une personne avec qui la coexistence est considérée comme un fardeau. ''Une cateau'', et ses allographies ''catau'' et ''cato'' qui sont paronymes de ''catho,'' apocope ''catholique'', mais qui est pour sa part apparenté à ''catin'' et désigne une femme aux mœurs méprisées ou une prostituée. ''Le cerveau'' peut désigner la personne ayant un rôle directif dans un groupe d'individus, en ce sens il est souvent complémenté dans groupe nominal comme ''cerveau de l'opération''. ''Un chapeau'' peut métonymiquement désigner la personne qui le porte, tout comme un manteau. ''Une peau'' peut désigner la personne dont elle est partie. ''Un pommeau'', apprentie. ''Un poteau'', ami. ''Un pointeau'', contremaître. ''Un tombeau'', personne à qui l’on peut confier un secret en toute sûreté, sans crainte qu’elle le trahisse. ''Un tonneau'', ivrogne, personne habituée à boire d’une manière excessive. ''Des tourtereaux'', toujours au pluriel équivoque en ce sens, peut désigner les personnes amoureuses qui sont en couple. ====== Biotiques haplogestes ====== * un appeau, oiseau * un barbeau, plante ou insecte ou poisson * un carpeau, poisson * un goureau, fruit et par métonymie arbre qui le porte * un hardeau, plante&nbsp;; * un lézardeau, reptile&nbsp;; * un manteau, mollusque&nbsp;; * un maquereau, poisson&nbsp;; * un marseau, arbre&nbsp;; * un pageau, poisson&nbsp;; * un passereau, oiseau&nbsp;; * un rameau, plante&nbsp;; * un rondeau, poisson&nbsp;; * un serpenteau, reptile&nbsp;; * un sureau, plante&nbsp;; * un vanneau, oiseau ou mollusque&nbsp;; * un vermiceau, ver&nbsp;; tfvmqnezd7m3ewftmqzbm1tkm0zcwqv 0 86918 982172 982122 2026-04-23T01:00:47Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] 982172 wikitext text/x-wiki <ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=BARTHOU|prénom1=LYCÉE LOUIS|titre=LYCÉE LOUIS BARTHOU - L'enseignement HLP|url=https://www.lyceelouisbarthou.fr/informations/i/44706717/l-enseignement-hlp-humanites-litterature-et-philosophie|site=www.lyceelouisbarthou.fr|consulté le=2026-04-20}}</ref>La spécialité HLP (Humanités, Littérature, Philosophie) a pour objectif de développer des capacités d'analyse, de réflexion et de débat sur des questions d'humanité. En classe de terminale, le volume horaire de la spécialité est de 6h, réparti en 3h de [[Philosophie en terminale générale|Philosophie]] et 3h de littératures. {{AutoCat}} py4eqjg7fnuklbc1x1dyjn0xo234wjg 0 86922 982174 982146 2026-04-23T01:00:56Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] 982174 wikitext text/x-wiki Les politiques linguistiques sont des décisions implicites ou explicites, exprimées de manière formelle ou informelle, qui concernent la gestion des langues au sein de la société, aux niveaux micro (individuel), méso (famille, par exemple) et macro (système éducatif, par exemple) (Shohamy, 2006 ; Spolsky, 2007). Au niveau méso, ces politiques sont appelées politiques linguistiques familiales (PLF ; voir Curdt-Christiansen et Lanza, 2018 ; Curdt-Christiansen, 2025). Au niveau macro, elles sont appelées politiques linguistiques éducatives (PLE) et comprennent les réglementations relatives à l’usage des langues à l’école, ainsi qu’aux langues qui doivent être enseignées et apprises (voir Cenoz et Gorter, 2012 ; Shohamy, 2006). [<nowiki/>[[Politiques éducatives et politiques linguistiques familiales/Introduction|Lire la suite...]]] {{AutoCat}} 5lt98oy6qk5dkhk6ft4id16qicm0vzs 0 86923 982173 982140 2026-04-23T01:00:56Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] 982173 wikitext text/x-wiki À la fin de cette section, vous serez capable de : * commenter le rôle des politiques linguistiques dans l'éducation ; * expliquer comment les politiques linguistiques familiales peuvent promouvoir et/ou entraver le plurilinguisme ; * mentionner les tensions et les contradictions entre différentes politiques linguistiques. {{AutoCat}} 1qiefrfdnojnrtrvydehgwqu01szu0a