Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 17153 982189 982178 2026-04-24T06:10:24Z Marvoir 1746 /* Problème 3 */ ajouté une seconde partie au problème 982189 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | chapitre = [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient ''G'' un groupe et ''A'', ''B'' deux sous-groupes conjugués. Montrer que si ''AB'' = ''G'', alors ''A'' et ''B'' sont égaux à ''G''<ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.</ref>. {{Solution | contenu = Puisque ''A'' et ''B'' sont conjugués, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que <math>B = gAg^{-1}</math>. Puisque ''G'' = ''AB'', tout élément ''x'' de ''G'' peut donc s'écrire <math>x = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math> avec <math>a_{1}</math> et <math>a_{2}</math> dans ''A''. C'est vrai en particulier pour <math>x = g^{-1}</math>, donc il existe <math>a_{1}, a_{2}</math> dans ''A'' tels que <math>g^{-1} = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math>. En simplifiant à droite par <math>g^{-1}</math> (ou, si on préfère, en multipliant à droite par <math>g</math>), nous trouvons <math>1 = a_{1}ga_{2}</math>. En multipliant à gauche par <math>a_{1}^{-1}</math> et à droite par <math>a_{2}^{-1}</math>, nous obtenons <math>g = a_{1}^{-1}a_{2}^{-1}</math>, donc ''g'' appartient à ''A'', donc ''B'' est le conjugué de ''A'' par un élément de ''A'', donc ''B'' est égal à ''A'', donc ''A'' = ''B'' = ''AB'', d'où, puisque ''AB'' est supposé égal à ''G'', ''A'' = ''B'' = ''G''. }} (Généralisation) Soient ''K'' et ''H'' deux sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''x'', ''y'' deux éléments de ''G''. Montrer que :si ''G = HK'' alors ''G = H{{exp|x}}K{{exp|y}}'' où, pour tout élément ''g'' et toute partie ''A'' de ''G'', ''A{{exp|g}}'' désigne la partie conjuguée ''g''{{exp|-1}}''Ag'' de ''A''. {{Solution|contenu= Soient ''h'' ∈ ''H'' et ''k'' ∈ ''K'' tels que ''xy''{{exp|-1}} = ''hk''. Alors, ''H{{exp|x}}K{{exp|y}} = H{{exp|hky}}K{{exp|y}} = H{{exp|ky}}K{{exp|ky}}'' = (''HK'')''{{exp|ky}} = G{{exp|ky}} = G''. }} == Problème 2 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. On suppose que <math>A \not= 1</math> et que <math>A \cap A^{g} = 1</math> pour tout <math>g \in G\setminus A</math>. Prouver que :<math>\vert \bigcup _{g \in G} A^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.</ref>. {{Solution | contenu = Soient ''g'' et ''h'' des éléments de ''G'' tels que <math>A^{g} \cap A^{h} \not= 1</math>. En passant aux images par la bijection <math>x \mapsto x^{g^{-1}}</math>, nous trouvons <math>A \cap A^{hg^{-1}} \not= 1</math>, d'où, d’après nos hypothèses, <math>hg^{-1} \in A</math>, ce qui revient à dire que g et h appartiennent à la même classe à droite suivant ''A''. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' qui n'appartiennent pas à la même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{g} \cap A^{h} = 1</math>. Soit ''r'' l'indice de ''A'' dans ''G''; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, les ''r'' parties de ''G'' <math>A^{g_{1}} \setminus \{1\}, ..., A^{g_{r}} \setminus \{1\}</math> sont deux à deux disjointes, donc <math> \bigcup _{g \in G} (A^{g} \setminus \{1\})</math> compte au moins <math>r(\vert A \vert - 1)</math> éléments, donc <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + r(\vert A \vert - 1)</math> éléments. Puisque <math>r = \vert G:A \vert = \vert G \vert / \vert A \vert</math>, cela revient à dire que <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + \vert G \vert - \vert G \vert / \vert A \vert</math> éléments. Par hypothèse, <math>\vert A \vert \geq 2</math>, donc <math>\vert G \vert / \vert A \leq \vert G \vert / 2</math>, d'où l'énoncé. }} == Problème 3 == a) Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. Prouver que si <math>A \not= G</math>, alors <math>G \not= \bigcup _{g \in G} A^{g}</math>, autrement dit ''G'' n’est pas la réunion des conjugués de A<ref>Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, ''Groupes finis'', révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, [https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL2937151343298039815_1___Groupes_finis.pdf en ligne].</ref>. {{Solution | contenu = (Remarque préliminaire : au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], on montrera que le nombre des conjugués de ''A'' dans ''G'' est égal à l'indice dans ''G'' du normalisateur de ''A'' et est donc inférieur ou égal à <math>\vert G\vert / \vert A \vert</math>, ce qui permet de rédiger la démonstration plus simplement.) Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', c'est-à-dire s'il existe <math>a \in A</math> tel que h = ag, alors <math>A^{h} = A^{(ag)} = (A^{a})^{g}</math> d'où, puisque <math>A^{a} = A</math>, <math>A^{h} = A^{g}</math>. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{h} = A^{g}</math>. (On l'a déjà noté dans la solution de l'exercice précédent.) Soit <math>r = \vert G:A \vert</math>; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, <math>\bigcup_{g \in G}A^{g} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}A^{g_{i}}</math>, d'où <math>\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}(A^{g_{i}} - \{1\})</math> et donc <math>\mathrm{Card}\left(\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\}\right) \leq \sum_{1 \leq i \leq r}\mathrm{Card}(A^{g_{i}} - \{1\})</math><br /> <math>\mathrm{Card}\left(\bigcup_{g \in G}A^{g}\right) \leq 1 + r(\vert A \vert - 1)</math>. Comme <math>r\vert A \vert = \vert G \vert</math>, ceci peut s'écrire <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) \leq \vert G \vert + 1 - r</math>. Puisque A est supposé distinct de G, r est > 1, donc <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) < \vert G \vert</math>, d'où l'énoncé. }} Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. b) Soient G un groupe fini, soient <math>E_1, ... , E_n</math> les classes de conjugaison d'éléments de G, soient <math>x_1, ... , x_n</math> des éléments de G tels que, pour chaque i dans <math>\{1, .... , n\}</math>, on ait <math>x_i \in E_i</math>. À l'aide du point a), prouver que les <math>x_i</math> engendrent G. {{Solution | contenu = Désignons par H le sous-groupe de G engendré par les <math>x_i</math>. Il s'agit de prouver que H est égal à G, autrement dit que H n'est pas un sous-groupe propre de G.</br> Tout élément de G appartient à une classe <math>E_i</math> et est donc conjugué à un <math>x_i</math>. Puisque tous les <math>x_i</math> appartiennent à H, il en résulte que tout élément de G est conjugué à un élément de H. Cela revient à dire que G est la réunion des conjugués de H, donc, d'après le point a), H n'est pas un sous-groupe propre de G, ce qui, comme on l'a vu, revient à l'énoncé à démontrer. }} == Problème 4 == Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G<ref>Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/71/18/PDF/crs_gr_nilpotent_DEA_96_97.pdf en ligne], lemme 4.2, p. 17.</ref>. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.) {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, :<math>\ (1)</math> aucun sous-groupe maximal de G ne soit normal dans G. Soit M un sous-groupe maximal de G. Puisque M est contenu dans <math>\ N_{G}(M)</math> et que M est maximal, <math>\ N_{G}(M)</math> est égal à G ou à M. Puisque nous avons supposé en (1) qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal dans G, <math>\ N_{G}(M) \not= G,</math> donc <math>\ N_{G}(M) = M.</math> Ceci revient à dire que :<math>\ (2)</math> pour tout sous-groupe maximal M de G et pour tout <math>g \in G \setminus M, M^{g} \not= M</math> (où <math>\ M^{g}</math> désigne <math>\ g^{-1}Mg</math>). D'autre part, il est clair (par exemple parce que M n’est pas normal dans G) que <math>M \not= 1.</math> Compte tenu de ceci, de (2) et d'un des problèmes ci-dessus, on a donc :<math>(3) \qquad \vert \bigcup _{g \in G} M^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1.</math> Puisque G est un groupe fini > 1, il admet au moins un sous-groupe maximal. Choisissons un sous-groupe maximal P de G. D'après un des problèmes ci-dessus, <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math> n’est pas égal à G tout entier. Nous pouvons donc choisir un élément ''x'' de G qui n'appartient pas à <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>.<br /> D'après l'hypothèse (1) (et le fait que G admet au moins un sous-groupe maximal), G n’est pas commutatif (puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal). En particulier, G n’est pas cyclique, donc le sous-groupe <x> de G n’est pas G tout entier, donc <x> est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G, soit Q. Alors ''x'' appartient à Q.<br /> Puisque ''x'' a été choisi hors de <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>, Q est distinct de tous les conjugués de P. On en tire facilement que :<math>\ (4) </math> chaque conjugué de Q est distinct de chaque conjugué de P. On vérifie facilement que tout conjugué d'un sous-groupe maximal est un sous-groupe maximal. Donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, il résulte de (4) que :<math>(5) \qquad (\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cap (\bigcup _{g \in G} Q^{g}) = \{1\}.</math> D'après (3), <math> \vert \bigcup _{g \in G} P^{g} \vert</math> et <math> \vert \bigcup _{g \in G} Q^{g} \vert</math> sont tous deux <math>\geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1,</math> donc, d’après (5), <math>(\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cup (\bigcup _{g \in G} Q^{g})</math> est une partie de G de cardinal <math>\geq \vert G \vert + 1,</math> ce qui est absurde. Cette contradiction démontre l'énoncé. }} == Problème 5 (facile) == Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Soit ''K'' le ''cœur'' de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de ''H'' dans ''G'' (y compris ''H''). Prouver que ''K'' est un sous-groupe distingué de ''G''.</br> Remarque. Ce problème date d'une époque où le cœur d'un sous-groupe n'avait pas encore été défini dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Le contenu du présent problème est maintenant démontré dans le chapitre en question. Une restructuration serait peut-être souhaitable. {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de ''K'' et ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''K'', autrement dit appartient à tout conjugué de ''H''. Soit ''L'' un conjugué de ''H''; il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''L'', autrement dit que ''x'' appartient à ''g{{exp|-1}}Lg''. Or, puisque ''L'' est un conjugué de ''H'', ''g{{exp|-1}}Lg'' en est un aussi (transitivité de la relation de conjugaison), donc ''x'', qui est supposé appartenir à ''K'', autrement dit appartenir à tout conjugué de ''H'', appartient bien à ''g{{exp|-1}}Lg'' comme annoncé. Remarques. 1°. L'énoncé revient à dire que, pour tout élément ''g'' de ''G'', <math>g(\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A)g^{-1} = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>, ce qui s'écrit encore <math>\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}(gAg^{-1}) = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>. Ceci résulte immédiatement du fait que <math>A \mapsto gAg^{-1}</math> définit une permutation de l’ensemble Conj(H).<br /> 2°. Comme nous le verrons plus loin, K est le noyau d'un homomorphisme de G dans le groupe des permutations de l’ensemble des classes à gauche modulo H, ce qui fournit une autre démonstration. }} == Problème 6 (facile) == Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X (défini au chapitre [[Théorie_des_groupes/Sous-groupe_distingué_et_groupe_quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]) est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X. {{Solution | contenu = Désignons par Conj(X) l’ensemble des conjugués des éléments de X et par <Conj(X)> le sous-groupe de G engendré par Conj(X). Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est le sous-groupe distingué de G engendré par X. Prouvons tout d’abord que <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G. Soit ''f'' un automorphisme intérieur de G; il s'agit de prouver que f(<Conj(X)>) = <Conj(X)>. Or f(<Conj(X)>) = <f(Conj(X))> et, puisque ''f'' est un automorphisme intérieur, il est clair que f(Conj(X)) = Conj(X), d'où notre argument. Donc <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G contenant X. Il reste à prouver que c’est le plus petit. Soit H un sous-groupe distingué de G contenant X. Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est contenu dans H. Puisque H contient X et est distingué dans G, il contient Conj(X). Puisque H est un sous-groupe de G, il contient donc <Conj(X)>, ce qui achève la démonstration. (Le lecteur qui préférerait une démonstration plus « concrète » peut utiliser la « description constructive » du sous-groupe de G engendré par ''U''.) }} == Problème 7 (facile) == Soient ''G'' un groupe fini et ''H'' un sous-groupe normal d'ordre 2 de ''G''. Prouver que ''H'' est contenu dans le centre de ''G''. {{Solution | contenu = Nous avons ''H'' = {1,''a''} pour un certain élément ''a'' de <math>G \setminus \{1\}</math>. Puisque ''H'' est normal dans ''G'', nous avons <math>gag^{-1} \in H</math> pour tout élément ''g'' de ''G''. Donc, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gag{{exp|-1}}'' est égal à 1 ou à ''a''. Puisque ''a'' n’est pas lui-même égal à 1, il est clair que ''gag{{exp|-1}}'' n’est pas égal à 1, donc ''gag{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''a'' commute avec ''g''. Ceci étant vrai pour tout ''g'' dans ''G'', ''a'' appartient au centre de ''G'', donc ''H'' est bien contenu dans le centre de ''G''. }} == Problème 8 (facile) == Soient a₁, ... , a_n des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> où r₁, ... , r_n parcourent les entiers rationnels<ref>Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 127.</ref>. '''Attention''' : il faudrait voir si on ne peut pas simplifier considérablement la démonstration en notant que le sous-groupe H de G engendré par a₁, ... , a_n (sous-groupe abélien d'après le chapitre théorique) est le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> de G. Puisque H est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux, et en particulier ses sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> sont normaux, donc, d'après le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], le sous-groupe H de G est l'ensemble <math><a_1>\ ...\ <a_n></math>. Il faudrait peut-être aussi noter que si X est une partie génératrice (non forcément finie) d'un groupa abélien G, tout élément de G est de la forme <math>x_{1}^{r_{1}} \ldots x_{n}^{r_{n}},</math> où <math>x_{1}</math>, ... , <math>x_{n}</math>, sont des éléments de X '''deux à deux distincts''' et où r₁, ... , r_n sont des entiers relatifs. {{Solution | contenu = Prouvons que les éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> forment un sous-groupe de G. Prouvons d’abord que le produit de deux éléments de cette forme est lui-même de cette forme. Plus précisément, prouvons que si r₁, ... , r_n, s₁, ... , s_n sont des entiers rationnels, <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}} a_{1}^{s_{1}} \ldots a_{n}^{s_{n}} = a_{1}^{r_{1} + s_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n} + s_{n}}.</math> On le prouve facilement par récurrence sur ''n''. Voici une preuve qui se rattache plus directement au théorème de commutativité. Soient i, j deux indices. Puisque a_i commute avec a_j, chaque élément de <a_i> commute avec chaque élément de <a_j> (voir théorie), donc <math>\ a_{i}^{r_{i}} </math> commute avec <math>\ a_{j}^{r_{j}} </math>. Il nous suffit donc de prouver que si b₁, ... , b_n, c₁, ... , c_n sont des éléments de G qui commutent entre eux, alors <math>(1) \quad b_{1} ... b_{n} c_{1} ... c_{n} = b_{1} c_{1} ... b_{n} c_{n}.</math> Le premier membre est le produit de la famille <math>\ (x_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>\ x_{i} = b_{i}</math> si 1 ≤ i ≤ n et <math>\ x_{i} = c_{i} - n</math> si n + 1 ≤ i ≤ 2n. Le second membre de notre thèse (1) est le produit de la famille <math>\ (y_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>y_{i} = b_{\frac{i+1}{2}}</math> si ''i'' est impair et <math>y_{i} = c_{\frac{i}{2}}</math> si ''i'' est pair, pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ 2''n''. Il s'agit de prouver que :(2) <math>\prod _{1 \leq i \leq 2n} x_{i} = \prod _{1 \leq i \leq 2n} y_{i}.</math> Soit σ la permutation de {1, 2, ... , 2n} définie par <math>\ \sigma (i) = \frac {i + 1}{2}</math> si ''i'' est impair, <math>\ \sigma (i) = n + \frac {i}{2}</math> si ''i'' est pair. Alors <math>\ y_{i} = x_{\sigma(i)}</math>, donc notre thèse (2) est vraie d’après le théorème de commutativité. Il est clair que l'élément neutre est de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁ = ... = r_n = 0. Enfin, on prouvera facilement, par récurrence sur ''n'' ou en considérant la permutation i ↦ n + 1 - i de l’ensemble {1, 2, ... n} des indices, que l'inverse <math>\ a_{n}^{-r_{n}} \ldots a_{1}^{-r_{1}}</math> de <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}}</math> est égal à <math>\ a_{1}^{-r_{1}} \ldots a_{n}^{-r_{n}}</math>. Donc l’ensemble des éléments de G de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁, ... , r_n entiers rationnels, est un sous-groupe de G. Il est clair que ce sous-groupe comprend les éléments a₁, ... , a_n et est contenu dans tout groupe qui les comprend, donc c’est le sous-groupe de G engendré par ces éléments. }} == Problème 9 (facile) == Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :<br /> 1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;<br /> 2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe. {{Solution | contenu = Ces deux conditions sont équivalentes. Prouvons par exemple que 1° entraîne 2°. Si 1° est satisfaite, il existe un sous-groupe H de G et un élément a de G tel que X = aH. Alors X = Ka, où K est le sous-groupe aHa{{exp|-1}} de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe. Pour deux éléments ''a'' et ''b'' de G, on posera <math>\ a^{b} = b^{-1}ab</math>, de sorte que, pour ''a'', ''b'' et ''c'' dans G, <math>\ (ac)^{b} = a^{b}c^{b}</math> et <math>\ a^{bc} = (a^{b})^{c}</math>. Pour une partie X de G et un élément ''g'' de G, on désignera par <math>\ X^{g}</math> l’ensemble des <math>\ x^{g}</math>, ''x'' parcourant X. a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que : <math>(1) \quad X^{g} \subseteq X </math> pour tout élément ''g'' de G. Supposons que ''X'' soit la réunion de ''n'' parties ''X''₁, ..., ''X''_n de ''G'' : :<math>\ X = X_{1} \cup \dotsb \cup X_{n}.</math> Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme :<math>(2) \quad x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \dotsm x_{2, r_{2}} \dotsm x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, en admettant que <math>\ r_{i}</math> puisse être nul, auquel cas <math>\ x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}}</math> est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1. {{Solution | contenu = Notons d’abord que si ''x'' et ''y'' sont deux éléments de X, alors :<math>(3) \quad xy</math> est de la forme <math>\ yx'</math> avec x' dans X. En effet, <math>\ xy = y(y^{-1}xy)</math> et <math>\ y^{-1}xy</math> appartient à X d’après l'hypothèse (1). De (3), le lecteur tirera facilement que :(4) pour tout nombre naturel ''s'', le produit de ''s'' éléments de X parmi lesquels figure un élément ''a'' peut s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont le premier est ''a''. Prouvons maintenant la thèse (2). Nous allons prouver plus précisément que si ''s'' est un nombre naturel, si <math>\ a_{1}, \dotsc , a_{s}</math> sont des éléments de X, alors <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> est de la forme :<math>(5) \quad a_{1} \ldots a_{s} = x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \ldots x_{2, r_{2}} \ldots x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, :<math>\ r_{1} + \dotsb + r_{n} = s,</math> <math>\ r_{i}</math> pouvant être nul comme convenu plus haut. Nous raisonnons par récurrence sur ''s''. Si s = 0, l'énoncé est banal, donc nous pouvons supposer s > 0. Nous pouvons alors considérer le plus petit indice <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) tel que <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> puisse s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont un au moins appartienne à <math>\ X_{i}</math>. D'après (4), <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> peut donc s'écrire :<math>(6) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} \dotsm a'_{s}</math> avec <math>\ a'_{1}, \dotsc , a'_{s}</math> dans X et <math>\ a'_{1}</math> dans <math>X_{i}</math>. Par hypothèse de récurrence sur ''s'', <math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s}</math> est de la forme :<math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s} = y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> où <math>\ y_{j,k}</math> appartient à <math>\ X_{j}</math> pour tout <math>\ j</math> et tout <math>\ k</math> et où :<math>(7) \quad r_{1} + \dotsb + r_{n} = s-1.</math> On a alors :<math>(8) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}}.</math> Par minimalité de ''i'', aucun des <math>\ y_{j,k}</math> ne peut appartenir à un <math>\ X_{t}</math> avec t < i, donc les <math>\ r_{t}</math> pour t < i sont nuls et (7) et (8) donnent :<math>\ a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{i, 1} \dotsm y_{i, r_{i}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> avec <math>\ (1 + r_{i}) + \dotsb + r_{n} = s,</math> ce qui démontre notre thèse (5) par récurrence sur ''s''. Remarque. Voici une façon plus « algorithmique » de démontrer la thèse (5). Si ''x'' est un élément de G et <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> un s-uplet d'éléments de l'intervalle naturel [1, n], convenons de dire que <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' si ''x'' peut s'écrire sous la forme :<math>x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> avec <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math><br /> Pour démontrer la thèse (5), il s'agit de prouver que tout élément de G qui est produit de ''s'' éléments de X admet un s-uplet d'appartenances croissant (au sens large). Soit donc :<math>(9) \quad x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> tous les <math>\ a_{i}</math> appartenant à X. Nous pouvons choisir un s-uplet d'appartenances de ''x'', soit <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math>, tel que <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math>.<br /> Si ce s-uplet n’est pas croissant, il existe un indice <math>\ k < s</math> tel que <math>\ j_{k} > j_{k+1}.</math> D'après (3), nous pouvons remplacer, dans l’expression (9) de ''x'', le produit partiel <math>\ a_{k} a_{k+1}</math> par <math>\ a_{k+1} a'</math>, où <math>\ a'</math> est un élément de X et donc d'un certain <math>\ X_{r}.</math> Alors <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{k-1}, j_{k+1}, r, j_{k+2}, \dotsc, j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' et est strictement plus petit que le s-uplet d'appartenances <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> selon l’ordre lexicographique. Puisque l’ensemble <math>\ [1, n]^{s}</math> est fini, on aboutira, en répétant les opérations au besoin, à un s-uplet d'appartenances croissant, comme annoncé. }} b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient <math>A_{1}, \dotsc, A_{n}</math> ces conjugués. Alors :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = A_{1} \dotsm A_{n}</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Dans l'énoncé du point a), faisons :<math>\ X = A_{1} \cup \dotsb \cup A_{n},</math> de sorte que <math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = \langle X \rangle.</math> Comme les <math>\ A_{i}</math> sont des groupes, <math>\ X = X^{-1}</math>, donc <math>\langle X \rangle</math> est l’ensemble des produits d'éléments de X, donc, d’après le point a), tout élément de <math>\langle X \rangle</math> est de la forme <math>\ p_{1} \dotsm p_{n}</math>, où, pour chaque ''i'', <math>\ p_{i}</math> est un produit d'éléments de <math>\ A_{i}.</math> Comme chaque <math>\ A_{i}</math> est un groupe, <math>\ p_{i}</math> appartient à <math>\ A_{i}</math>, donc :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle \subseteq A_{1} \dotsm A_{n}.</math> L'inclusion réciproque est évidente. }} c) Soient G un groupe, ''x'' un élément de G et <math>\ A_{1}, A_{2}</math> deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble <math>\ \{x^{g} \vert g \in G \}</math> des conjugués de ''x'' dans G. Supposons que <math>\ \langle C \rangle = G</math> et <math>\ C \subseteq A_{1} \cup A_{2}</math>. Prouver que <math>\ A_{1} = G</math> ou <math>\ A_{2} = G</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Posons <math>\ X = C \cup C^{-1}.</math> Il est clair que <math>\ X^{g} \subseteq X</math> pour tout g dans G. Nous pouvons donc appliquer le point a) à <math>\ X = C \cup C^{-1},</math> <math>\ n = 2,</math> <math>\ X_{1} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ X_{2} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Nous trouvons ainsi que tout produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> est de la forme <math>\ p_{1} p_{2}</math>, où <math>\ p_{1}</math> est un produit d'éléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> un produit déléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Mais, d’après l'hypothèse <C> = G, tout élément de G est produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> et, d’autre part, <math>\ p_{1}</math> appartient évidemment à <math>\ A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> à <math>\ A_{2}</math>. Donc :<math>(1) \quad G = A_{1} A_{2}.</math> Prouvons maintenant que G est égal à <math>\ A_{1}</math> ou à <math>\ A_{2}</math>. Puisque G = <C>, il suffit de prouver que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Supposons que C ne soit pas contenu dans <math>\ A_{1}</math>. Il existe alors un élément ''y'' de C qui n'appartient pas à <math>\ A_{1}</math>. Soit ''g'' un élément de G. D'après (1), ''g'' est de la forme <math>\ a_{1}a_{2}</math> avec <math>\ a_{1}\in A_{1}</math> et <math>\ a_{2}\in A_{2}</math>. Alors <math>\ y^{a_{1}} \notin A_{1}</math>, sinon on aurait :<math>\ y \in A_{1}^{a_{1}^{-1}} = A_{1}.</math> Puisque <math>\ y^{a_{1}} \in C \subseteq A_{1} \cup A_{2},</math> on a donc :<math>\ y^{a_{1}} \in A_{2},</math> d'où <math>\ y^{a_{1}a_{2}} \in A_{2},</math> c'est-à-dire <math>\ y^{g} \in A_{2}.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G et l’ensemble <math>\ \{y^{g} \vert g \in G \}</math> étant égal à C (puisque ''y'' est un conjugué de ''x''), nous avons donc <math>\ C \subseteq A_{2}.</math> Nous avons donc prouvé que si C n’est pas contenu dans <math>\ A_{1},</math> il est contenu dans <math>\ A_{2}</math>, ce qui revient à dire que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Comme nous l'avons noté, l'énoncé en résulte. }} == Problème 11 (facile) == a) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(C_{A}(H)) = C_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in C_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ y^{-1}\sigma(h)y = \sigma(h)\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(h)y) = h\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y)^{-1}h\sigma^{-1}(y) = h\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in C_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(C_{A}(H)). \end{align}</math> }} b) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(N_{A}(H)) = N_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in N_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow y^{-1}\sigma(H)y = \sigma(H)\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(H)y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y)^{-1}H\sigma^{-1}(y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in N_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(N_{A}(H)). \end{align} </math> }} c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et ''a'' un élément de G. Prouver que :<math>\qquad a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha)</math> et :<math>\qquad a^{-1}N_{G}(H)a = N_{G}(a^{-1}Ha).</math> (Il en résulte que si deux sous-groupes sont conjugués, leurs centralisateurs sont conjugués et leurs normalisateurs sont conjugués.) {{Solution | contenu = Appliquer les points a) et b) au cas où A = B = G et où <math>\sigma</math> est l'automorphisme <math>x \mapsto a^{-1}xa</math> de G. }} d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G. {{Solution | contenu = Soit ''a'' un élément de G. D'après le point c), :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha).</math></div> Puisque H est normal dans G, on peut remplacer <math>a^{-1}Ha</math> par H, donc :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(H),</math></div> ce qui prouve que <math>C_{G}(H)</math> est normal dans G. }} == Problème 12 == (Le présent problème fait intervenir les groupes symétriques finis, qui seront étudiés dans le chapitre [[../../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]].) Soient <math>G</math> un groupe et <math>x\in G</math> un élément d'ordre <math>n</math>. On note : *<math>H=\langle x\rangle</math> le sous-groupe engendré par <math>x</math> ; *<math>C=\{y\in G\mid xy=yx\}</math> le centralisateur de <math>x</math> ; *<math>N=\{y\in G\mid Hy=yH\}</math> le normalisateur de <math>H</math>. Remarquons que l'on a toujours <math>H\subset C\subset N</math>. # ##Expliciter <math>H</math>, <math>C</math> et <math>N</math> dans le cas <math>G=S_4</math> et <math>x=(123)</math>. ##Même question, toujours dans le cas <math>G=S_4</math>, avec <math>x=(12)</math>. #On revient au cas général. Montrer que pour tout <math>y\in N</math>, il existe un entier <math>k</math> premier avec <math>n</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cet entier <math>k</math> est-il unique ? Montrer que si <math>n</math> est premier, <math>y^{k-1}\in C</math>. #Montrer que l'on peut définir une application <math>\varphi:N\to(\Z/n\Z)^\times</math> en posant <math>\varphi(y)=\bar k</math> (où <math>k</math> provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes. #Calculer le noyau de <math>\varphi</math>. #On suppose dans cette dernière question que <math>G</math> est un groupe symétrique <math>S_m</math> (où <math>m\ge2</math>). ##Montrer que les générateurs du groupe <math>H</math> sont deux à deux conjugués dans <math>G</math>. ##En déduire que les groupes <math>N/C</math> et <math>(\Z/n\Z)^\times</math> sont isomorphes. {{Solution|contenu= # ##<math>H=\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}=(123)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))=(123)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\Leftrightarrow\sigma\in\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math> donc <math>C=H</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}\in\{(123),(132)\}\Leftrightarrow</math><br /><math>\sigma\in H</math> ou <math>(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\}</math> donc<br /><math>N=\{\mathrm{id},(123),(132),(23),(13),(12)\}</math>. ##<math>H=\{\mathrm{id},(12)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2))=(12)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2))\in\{(1,2),(2,1)\}</math> donc <math>C=\{\mathrm{id},(34),(12),(12)(34)\}</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)</math> donc <math>N=C</math>. #Pour tout <math>y\in N</math>, <math>\langle x\rangle=y\langle x\rangle y^{-1}=\langle yxy^{-1}\rangle</math> donc <math>yxy^{-1}</math> est un générateur de <math>\langle x\rangle</math>, c'est-à-dire un élément de la forme <math>x^k</math> avec <math>k</math> premier à <math>n</math>.<br />On a <math>x^k=x^{k'}\Leftrightarrow x^{k-k'}=e\Leftrightarrow n\mid k-k'</math>, donc <math>k</math> n'est pas unique.<br /><math>y^nxy^{-n}=x^{(k^n)}</math> et ([[Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire|petit théorème de Fermat]], <math>n</math> étant ici supposé premier) <math>k^n\equiv k\bmod n</math>, donc <math>y^nxy^{-n}=x^k=yxy^{-1}</math>, d'où <math>y^{n-1}x=xy^{n-1}</math>. #<math>\varphi</math> est bien défini car le <math>k</math> associé à <math>y</math> n'est pas unique mais sa classe modulo <math>n</math> l'est. <math>\varphi</math> est un morphisme car si <math>\varphi(y)=\bar k</math> et <math>\varphi(z)=\bar\ell</math> alors <math>(yz)x(yz)^{-1}=y(zxz^{-1})y^{-1}=y(x^\ell)y^{-1}=(yxy^{-1})^\ell=(x^k)^\ell</math> donc <math>\varphi(yz)=\overline{k\ell}=\varphi(y)\varphi(z)</math>. #<math>\varphi(y)=\bar1\Leftrightarrow yxy^{-1}=x</math> donc <math>\ker\varphi=C</math>. # ##Si <math>x</math> est un produit de cycles disjoints c<math>_1,\dots,c_m</math> d'ordres respectifs <math>n_1,\ldots,n_m</math> alors son ordre <math>n</math> est le ppcm des <math>n_i</math>. Tout générateur de <math>H</math> est de la forme <math>x^k=c_1^k\ldots c_m^k</math> où <math>k</math> est premier avec <math>n</math> donc avec chaque <math>n_i</math>, donc chaque <math>c_i^k</math> est encore un cycle d'ordre <math>n_i</math>, si bien que <math>x^k</math> est, comme <math>x</math>, un produit de cycles disjoints d'ordres <math>n_1,\ldots,n_m</math>, donc <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>S_n</math>. ##D'après le théorème de factorisation et les questions 3 et 4, la seule chose qui reste à vérifier est la surjectivité de <math>\varphi</math>. Soit <math>\bar k\in(\Z/n\Z)^\times</math>. D'après 5.1, <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>G</math> donc il existe <math>y\in G</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cette équation assure de plus que <math>y</math> est non seulement dans <math>G</math> mais dans <math>N</math>, et que <math>\bar k=\varphi(y)\in\operatorname{im}\varphi</math>. }} == Problème 13 == L'objet de ce problème est de prouver que si <math>\varphi</math> est un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe G, alors <math>\varphi</math> est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons <math>\infty .</math> Notons X l'ensemble <math>(G/H) \cup \{ \infty \}</math> et notons K le groupe <math>S_{X}</math> des permutations de X. Pour tout élément <math>a</math> de G, notons <math>\tilde{a}</math> la transformation de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément <math>b</math> de G, <math>\tilde{a} (bH) = (ab) H .</math> Prouver que pour tout élément <math>a</math> de G, <math>\tilde{a}</math> est une permutation de X, que l'application <math>f : G \to S_X : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X </math> et que si <math>a\in H</math> alors la permutation <math>f(a)</math> fixe l'élément H de X. {{Solution|contenu= Pour tout élément <math>a</math> de G, la transformation <math>C \mapsto aC</math> de G/H est une permutation de G/H, par exemple parce qu'elle admet la transformation <math>C \mapsto a^{-1}C</math> pour réciproque. D'autre part, l'unique transformation de <math>\{ \infty \}</math> est évidemment une permutation de <math>\{ \infty \} .</math> Comme les ensembles G/H et <math>\{ \infty \}</math> sont disjoints, il en résulte que la transformation <math>\tilde{a}</math> de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et qui, pour tout élément C de G/H, applique C sur aH est une permutation de X. Prouvons que l'application :<math>f : G \to S_{X} : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Soient <math>a, b</math> des éléments de G. Alors :<math>\tilde{b}(C) = bC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{b}(\infty) = \infty .</math> Donc, d'après la définition de <math>\tilde{a}</math>, :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(C)) = abC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(\infty)) = \infty .</math> Cela montre que <math>\tilde{a} \circ \tilde{b} = \widetilde{ab}</math>, autrement dit <math>f(a) \circ f(b) = f(ab)</math>, donc <math>f</math> est bien un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Si <math>a\in H</math> alors :<math>f(a)(H)= aH = H</math>.<!-- mais pas aC=C pour les autres éléments C de G/H--> }} b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H. Indications. De façon générale, si T est un ensemble et <math>x, y</math> deux différents éléments de T, on note <math>(x \ y)</math> la permutation de T qui applique <math>x</math> sur <math>y</math>, <math>y</math> sur <math>x</math> et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T. Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme <math>g</math> de G dans <math>K = S_X</math> par <math>g = \gamma \circ f</math>, où <math>f</math> est l'homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> considéré au point a) et où <math>\gamma</math> est l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X .</math> Prouver que <math>f</math> et <math>g</math> sont deux différents homomorphismes de G dans K et que <math>f \vert H = g \vert H,</math> ce qui prouve le point b). {{Solution|contenu= Puisque, d'après le point a), <math>f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> et que <math>\gamma</math> est par définition l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X = K</math>, le composé <math>g = \gamma \circ f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X .</math> La permutation <math>f(a)</math> fixe toujours <math>\infty</math> par construction, et l'on a vu au point a) que si <math>a\in H</math>, elle fixe aussi H. Dans ce cas, la conjugaison par la transposition <math>(H \ \infty)</math> n'est d'aucun effet sur <math>f(a)</math>. Donc :(1)<math>\qquad f \vert H = g \vert H .</math> Prouvons que <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Puisque H est supposé être un sous-groupe propre de G, nous pouvons choisir un élément <math>a</math> de G qui n'appartient pas à H. Alors :(2)<math>\qquad \tilde{a}</math> applique l'élément H de G/H sur aH et :(3)<math>\qquad (H \ \infty) \circ \tilde{a} \circ (H \ \infty)</math> applique l'élément H de G/H sur H. Puisque nous avons choisi <math>a</math> hors de H, les deux classes aH et H sont distinctes, donc il résulte de (2) et (3) que <math>\tilde{a}</math> et <math>(H \ \infty) \circ \tilde{a}\circ(H \ \infty)</math> sont distincts, autrement dit <math>f(a)</math> et <math>g(a)</math> sont distincts, donc <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Joint à (1), cela prouve l'énoncé du point b) (avec L = K). }} c) Soit <math>\varphi</math> un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe <math>G .</math> Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i)<math>\qquad \varphi</math> est surjectif ; :(ii) <math>\qquad</math>pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> Indication : utiliser le point b). {{Solution|contenu= L'implication (i) est vraie même si on se contente de supposer que <math>G_0</math> et <math>G</math> sont des ensembles et <math>\varphi</math> une application de <math>G_0</math> dans <math>G .</math> (Voir une remarque dans la solution du problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].) Pour prouver l'implication (ii) <math>\Rightarrow</math> (i), prouvons l'implication contraposée. Supposons donc que :(hyp. 1)<math>\qquad \varphi</math> n'est pas surjectif et prouvons :(thèse 2)<math>\qquad </math>qu'il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L tels que <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi .</math> Puisque <math>\varphi</math> n'est pas surjectif, <math>\varphi (G_0)</math> est un sous-groupe propre de G, donc, d'après le point b), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L qui coïncident en tout élément de <math>\varphi (G_0)</math>. Alors <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi</math> avec <math>f \not= g</math>, ce qui prouve notre thèse (2). }} Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les {{w|épimorphisme}}s sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. ==Problème 14== Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe S{{ind|X}} des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y : :<math>A:=\{\sigma\in S_X\mid\forall y\in Y\quad\sigma(y)=y\}</math>. Soit M le sous-monoïde de S{{ind|X}} formé des éléments <math>s</math> tels que <math>sAs^{-1}\subset A.</math> L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de S{{ind|X}} si et seulement si Y ou X\Y est fini<ref>Bourbaki, ''Algèbre'', 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.</ref>. On pose pour cela : :<math>N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}</math>. #Vérifier que N ⊂ M. #Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M. #Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N. #Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de S{{ind|X}}. #Démontrer la réciproque. #Conclure. {{Solution|contenu= #Si <math>s\in N</math> et <math>\sigma\in A</math> alors <math>sAs^{-1}\in A</math> car <math>\forall y\in Y\quad s^{-1}(y)\in Y</math> donc <math>\sigma(s^{-1}(y))=s^{-1}(y)</math> donc <math>s(\sigma(s^{-1}(y)))=y</math>. #Si X\Y est un singleton, A = { id{{ind|X}} } donc M = S{{ind|X}}. #Supposons que X\Y n'est pas un singleton et que s est une permutation de X n'appartenant pas à N et montrons qu'alors, s n'appartient pas non plus à M. Par hypothèse, il existe <math>y\in Y</math> tel que l'élément <math>u:=s^{-1}(y)</math> appartienne à X\Y, et X\Y contient un autre élément v. La transposition <math>\sigma:=(u v)</math> appartient alors à A, mais <math>s\sigma s^{-1}\notin A</math> (donc <math>s\notin M</math>) car <math>s\sigma s^{-1}(y)=s\sigma(u)=s(v)\ne s(u)=y</math>. #Si Y est fini alors <math>N=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)=Y\}</math> donc N{{exp|–1}} = N.<br />Dualement, puisque N s'écrit aussi <math>N=\{s\in S_X\mid s(X\setminus Y)\subset X\setminus Y\}</math>, si X\Y est fini alors N{{exp|–1}} = N. #Supposons que Y et X\Y sont infinis et montrons qu'alors, il existe dans N une permutation s dont l'inverse n'appartient pas à N. Fixons un élément z de X\Y. Puisque [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-4|Y est équipotent à Y∪{z} et X\Y est équipotent à X\(Y∪{z})]], il existe une permutation s de X telle que s(Y) = Y∪{z}. Cette permutation s appartient à N (car <math>s^{-1}(Y)\subset s^{-1}(Y\cup\{z\})=Y</math>) mais pas son inverse (car <math>s(Y)=Y\cup\{z\}\not\subset Y</math>). #Si Y ou X\Y est fini alors M est un sous-groupe de S{{ind|X}} d'après les questions 1, 2, 3 et 4. Réciproquement, si M est un sous-groupe de S{{ind|X}} alors Y ou X\Y est fini d'après les questions 1, 3 et 5. }} ==Problème 15== Soit G un groupe. #Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien. #En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien. {{Solution|contenu= #Soient H un tel sous-groupe et g un élément de G dont la classe modulo H engendre G/H. Alors, pour tous éléments x et y de G, x = g{{exp|m}} h et y = g{{exp|n}} k avec m, n entiers et h, k éléments de H, donc<br />xy = g{{exp|m}} h g{{exp|n}} k = g{{exp|m+n}} hk = g{{exp|m+n}} kh = g{{exp|n}} k g{{exp|m}} h = yx. On peut dire aussi, plus élégamment, que G est engendré par {g} ∪ Z(G) ; comme deux éléments de {g} ∪ Z(G) commutent toujours et qu'un groupe engendré par une partie dont tous les éléments commutent entre eux est commutatif (voir chapitre théorique), il en résulte que G est commutatif.) #Si le groupe Aut(G) est monogène alors le sous-groupe Int(G) l'est aussi, or (chapitre théorique) Int(G) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est monogène. On conclut grâce à la question précédente. }} Remarque. Il résulte du point 1°, appliqué au cas où H = Z(G), que le centre d'un groupe n'est jamais d'indice premier dans ce groupe. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} 9udzuzl7o4we6rncg5sqt52seewy14u 0 22978 982190 981463 2026-04-24T07:00:11Z Marvoir 1746 /* Utilisation des opérations d'un groupe sur certains ensembles */ inutile de parler de H dans l'énoncé du théorème de plongement, l'énoncé ne dit rien sur H 982190 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 29 | précédent = [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/]] | suivant = [[../Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux/]] | page_liée = Exercices/Premiers résultats sur les groupes simples }} == Introduction == On va donner ici quelques théorèmes sur les [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Notion de groupe simple|groupes simples]], qui nous permettront notamment de prouver dans les exercices que tout groupe simple non commutatif d'ordre < 168 est isomorphe à A₅. Commençons par une remarque banale : {{Théorème | titre = Théorème 0 | contenu = Soit G un groupe simple non commutatif (autrement dit un groupe simple, fini ou infini, dont l’ordre n’est pas un nombre premier). Le centre de G est réduit à l'élément neutre et le dérivé de G est G tout entier. }} {{Démonstration | contenu = Le centre Z(G) de G est un sous-groupe distingué de G. Puisque G est simple, Z(G) est donc égal à 1 ou à G tout entier. S'il était égal à G tout entier, G serait commutatif, ce qui est contraire aux hypothèses, donc Z(G) est réduit à l'élément neutre. Le dérivé D(G) de G est lui aussi un sous-groupe distingué de G, donc il est égal à 1 ou à G tout entier. S'il était égal à 1, G serait commutatif, ce qui est contraire aux hypothèses, donc D(G) est égal à G tout entier. }} == Utilisation des opérations d'un groupe sur certains ensembles == {{Théorème | titre = Théorème 1 | contenu = Soit G un groupe opérant sur un ensemble fini X de cardinal ''n''. Si K désigne le noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette opération, le groupe quotient G/K est isomorphe à un sous-groupe de S_n. }} {{Démonstration | contenu = Soit <math>\ \varphi </math> l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'opération en question. D'après le premier théorème d'isomorphisme, le groupe quotient G/K est isomorphe à l'image de <math>\ \varphi </math>, image qui est un sous-groupe de S_X. Comme X est de cardinal ''n'', S_X est isomorphe à S_n, d'où l'énoncé. }} {{Théorème | titre = Théorème 2 | contenu = Si un groupe simple G opère non trivialement sur un ensemble X, cette opération est fidèle. }} {{Démonstration | contenu = Soit <math>\ \varphi </math> l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. Puisque le noyau d'un homomorphisme de groupes est sous-groupe normal du groupe de départ, le noyau de <math>\ \varphi </math> est sous-groupe normal de G. Puisque G est simple, ce noyau est donc égal à G ou réduit à l'élément neutre. Puisque l'action est supposée non triviale, le noyau de <math>\ \varphi </math> n’est pas G tout entier, donc il est réduit à l'élément neutre, donc <math>\ \varphi </math> est injectif, autrement dit l'action de G sur X est fidèle. }} {{Théorème | titre = Théorème 3 | contenu = Si un groupe simple G opère non trivialement sur un ensemble X de cardinal fini ''n'', l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe de S_n; en particulier, G est isomorphe à un sous-groupe de S_n (et G est donc fini). Si, de plus, l’ordre de G est au moins égal à 3, l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe de A_n; en particulier, G est alors isomorphe à un sous-groupe de A_n. }} {{Démonstration | contenu = D'après le théorème 2, l'opération de G sur X est fidèle. Donc, comme noté dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]], cette opération est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe H de S_X. Toujours d’après le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]], l'opération naturelle de H est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe K de S_n. En particulier, K est isomorphe à G et est donc simple. Si l’ordre de G est au moins égal à 3, K est un sous-groupe simple de S_n dont l’ordre est au moins égal à 3, donc, d’après un exercice de la série [[../Exercices/Groupes alternés|groupes alternés]], K est contenu dans A_n. }} {{Théorème | titre = Théorème 4 | contenu = Soient G un groupe simple et H un sous-groupe de G, distinct de 1 et de G. On suppose que les conjugués de H sont en nombre fini ''n''. Alors l'action de G par conjugaison sur l’ensemble des conjugués de H est équivalente à l'action naturelle d'un sous-groupe transitif de S_n; en particulier, G est isomorphe à un sous-groupe transitif de S_n. Si, de plus, l’ordre de G est au moins égal à 3, alors l'action de G par conjugaison sur l’ensemble des conjugués de H est équivalente à l'action naturelle d'un sous-groupe transitif de A_n; en particulier, G est isomorphe à un sous-groupe transitif de A_n. }} {{Démonstration | contenu = Puisque G est simple et que H est distinct de 1 et de G, H n’est pas un sous-groupe distingué de G, donc il a plusieurs conjugués. Il est clair que G agit par conjugaison sur l’ensemble X des conjugués de H et que cette action est transitive. Puisque l’ensemble X des conjugués de H comprend plusieurs éléments, l'action de G sur X n'est donc pas triviale, donc l'énoncé résulte du théorème 3 et du fait (noté au chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]]) que si une opération de groupe est équivalente à une opération transitive, elle est transitive. }} {{Théorème | titre = Théorème 5 | contenu = Soit G un groupe simple fini d'ordre non premier, soit ''p'' un diviseur premier de l’ordre de G et ''n'' le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G. Alors<br /> a) ''n'' est au moins égal à p + 1 (et, a fortiori, est > 1);<br /> b) l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble de ses p-sous-groupes de Sylow est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe transitif de A_n. En particulier, G est isomorphe à un sous-groupe transitif de A_n (et l’ordre de G divise donc n!/2). }} {{Démonstration | contenu = Puisque G est un groupe simple fini d'ordre non premier, son ordre n’est pas une puissance de nombre premier. (Si son ordre était une puissance de nombre premier, il serait nilpotent, donc résoluble, et on sait que les seuls groupes simples résolubles sont les groupes simples commutatifs, c'est-à-dire les groupes d'ordre premier.) Donc les p-sous-groupes de Sylow de G sont des sous-groupes propres de G. Comme ils sont évidemment > 1 et que G est simple, les p-sous-groupes de Sylow de G ne sont donc pas distingués dans G, donc n > 1. (Voir un problème de la série [[../Exercices/Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]].) D'après le théorème de congruence de Sylow, ''n'' est donc au moins égal à p + 1, ce qui démontre le point a). Puisque les p-sous-groupes de Sylow de G sont exactement les conjugués de l'un d'entre eux et que l’ordre de G est évidemment au moins égal à 3, le point b) résulte du théorème théorème 4. (L'ordre de A_n est n!/2 parce que, d'après le point a), n > 1.) }} Remarque. La forme faible du théorème 5 (G est isomorphe à un sous-groupe transitif de A_n), et même une forme encore plus faible (G est isomorphe à un sous-groupe de A_n) suffit déjà dans bon nombre d'applications, mais la forme forte (l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble de ses p-sous-groupes de Sylow est équivalente à l'opération naturelle d'un sous-groupe transitif de A_n) peut rendre des services que la forme faible ne rend pas. Supposons par exemple que les p-sous-groupes de Sylow de G aient deux à deux des intersections triviales. On a vu dans les exercices de la série [[../Exercices/Théorèmes de Sylow|Théorèmes de Sylow]] qu'un élément de G dont l’ordre est une puissance de ''p'' normalise un p-sous-groupe de Sylow P de G si et seulement s'il appartient à P. Cela revient à dire que dans l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble E de ses p-sous-groupes de Sylow, un élément ''x'' de G dont l’ordre est une puissance de ''p'' fixe un élément P de E si et seulement ''x'' appartient à P. Puisque nous supposons que les p-sous-groupes de Sylow de G ont deux à deux des intersections triviales, il en résulte que dans l'opération de G par conjugaison sur l’ensemble E de ses p-sous-groupes de Sylow, un élément non neutre de G dont l’ordre est une puissance de ''p'' fixe un et un seul élément de E. Il résulte donc de la forme forte du théorème que (si les p-sous-groupes de Sylow de G ont deux à deux des intersections triviales) G est isomorphe à un sous-groupe transitif H de A_n possédant la propriété suivante : tout élément non neutre de H dont l’ordre est une puissance de ''p'' fixe un et un seul élément de {1, 2, ..., n}. Ce fait peut être utilisé, par exemple, dans la démonstration du théorème<ref>Ce théorème a été démontré par F. N. Cole, « Simple groups as Far as Order 660 », American Journal of Mathematics, vol. 15, n° 4, octobe 1893, p. 303-315, spéc. 307-310, consultable sur le site [http://www.jstor.org/stable/2369516 JSTOR].</ref> selon lequel tout groupe simple d'ordre 360 est isomorphe à A₆. {{ Théorème | titre = Théorème 6 (Théorème de plongement) | contenu = Soient G un groupe simple ayant un sous-groupe propre d'indice fini ''n''. Alors G est isomorphe à un sous-groupe transitif de S_n (et est donc fini). Si, de plus, l'ordre de G est au moins égal à 3 (ce qui est forcément le cas si ''n'' est au moins égal à 3), G est isomorphe à un sous-groupe transitif de A_n et, en particulier, n!/2 est divisible par <math>\vert G \vert</math>. }} {{Démonstration | contenu = Choisissons un sous-groupe propre H d'indice fini ''n'' de G. On a vu au chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]] que G agit par translation à gauche sur l’ensemble des classes à gauche modulo H. Il est clair que cette action est transitive. Puisque H est un sous-groupe propre de G, l’ensemble des classes à gauche modulo H a plus d'un élément, donc l'action de G sur cet ensemble, étant transitive, n’est pas triviale. L'énoncé résulte donc du théorème 3. }} '''Remarque.''' Ce théorème entraîne qu'un sous-groupe propre d'un groupe simple G ne peut pas être d'indice trop petit par rapport à l’ordre de G. {{Théorème | titre = Corollaire 6bis | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel au moins égal à 5. Tout sous-groupe propre du groupe (simple) A_n est d'indice au moins égal à ''n'' dans A_n. }} Par exemple, tout sous-groupe propre de A₅ est d'ordre inférieur ou égal à 12. {{Théorème | titre = Théorème 7 | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe d'indice fini ''n'' de G. Si H₀ désigne le cœur de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de H dans G, H₀ est un sous-groupe normal de G contenu dans H et le groupe quotient G/H₀ est isomorphe à un sous-groupe de S_n. (En particulier, H₀ est lui aussi d'indice fini dans G.) }} {{Démonstration | contenu = Nous avons déjà démontré ce théorème dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Voici une démonstration légèrement différente, qui fait intervenir la notion d'action d'un groupe sur un ensemble.</br> On a vu au chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]] que G opère par translation à gauche sur l’ensemble X des classes à gauche modulo H. Soit <math>\ \varphi </math> l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette opération. Montrons que le noyau K de <math>\ \varphi </math> est H₀. Un élément ''g'' de G appartient à K si et seulement si pour tout élément ''x'' de G, gxH = xH. Cela revient à dire que, pour tout élément ''x'' de G, gx appartient à xH, autrement dit g appartient à xHx{{exp|-1}}. Ceci montre bien que K est égal à l'intersection H₀ des conjugués de H. Ainsi, H₀ est le noyau d'un homomorphisme de groupes partant de G, donc est un sous-groupe normal de G (ce qu'on pourrait évidemment prouver plus directement). Puisque l’ensemble X est de cardinal ''n'', il résulte du théorème 1 que G/H₀ est isomorphe à un sous-groupe de S_n. }} {{Théorème | titre = Théorème 8 | contenu = Soient G un groupe fini d'ordre n > 1 et ''p'' le plus petit diviseur premier de ''n''. Si un sous-groupe de G est d'indice ''p'', ce sous-groupe est distingué<ref>Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 217, exerc. 11.</ref>. (Note : on a déjà démontré cet énoncé dans les exercices sur les actions de groupe.) }} {{Démonstration | contenu = Soit H un sous-groupe d'indice ''p'' de G. Il s'agit de prouver que H est sous-groupe distingué de G. Il revient évidemment au même de prouver que l'intersection H₀ des conjugués de H est égale à H. D'après le théorème 7, H₀ est un sous-groupe distingué de G et G/H₀ est isomorphe à un sous-groupe de S_p. Donc l’ordre de G/H₀, autrement dit l'indice de H₀, divise p!. Comme cet indice divise également ''n'', il divise le pgcd de p! et de ''n''. Puisque ''p'' est le plus petit diviseur premier de ''n'', le pgcd de p! et de ''n'' est égal à ''p'', donc l'indice de H₀ divise ''p''. Puisque H₀ est contenu dans H, H₀ n’est pas G tout entier, donc l'indice de H₀ est ''p''. D'après la formule des indices, il en résulte que H₀ = H, ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que H est un sous-groupe distingué de G. }} '''Remarque.''' Si ''n'' est pair, ''p'' est égal à 2 et nous retrouvons un théorème déjà démontré (même pour un groupe G infini) : tout sous-groupe d'indice 2 est distingué. {{Corollaire | titre = Corollaire | contenu = Soit G un groupe fini d'ordre n > 1 et non premier, soit ''p'' le plus petit facteur premier de ''n''. Si G admet un sous-groupe d'indice ''p'', G n’est pas simple. }} {{Démonstration | contenu = Conséquence immédiate du corollaire précédent, puisqu’un sous-groupe d'indice ''p'' de G est évidemment distinct de 1 et de G. }} == Utilisation des théorèmes de Sylow == On va donner un exemple de la façon dont, en raisonnant sur les sous-groupes de Sylow (autrement qu'on ne l'a fait dans la démonstration du théorème 5), on peut prouver, pour certains nombres naturels ''n'', qu’il n'existe pas de groupe simple d'ordre ''n''. {{Théorème | titre = Théorème 9 | contenu = Soit ''n'' un nombre naturel non nul. On suppose qu’il existe un facteur premier ''p'' de ''n'' tel que n = p^r m, où ''m'' est non divisible par ''p'', où m > 1 et où le seul diviseur naturel ''d'' de ''m'' qui soit congru à 1 modulo ''p'' est 1. Aucun groupe d'ordre ''n'' n'est simple. }} {{Démonstration | contenu = Soit G un groupe d'ordre ''n''. D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des p-sous-groupes de Sylow est un diviseur de ''m'' et est congru à 1 modulo ''p''. D'après les hypothèses de l'énoncé, il en résulte que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, soit P. On sait que ceci entraîne que P est un sous-groupe distingué de G. Comme ''p'' divise ''n'', P > 1. Comme m > 1, P <G. Ainsi, G admet un sous-groupe distingué P tel que 1 < P < G, donc G n’est pas simple. }} == Utilisation du théorème du complément normal de Burnside == Soit G un groupe fini dont l'ordre admet au moins deux facteurs premiers, soit ''p'' un facteur premier de l'ordre de G. Supposons qu'un p-sous-groupe de Sylow P de G soit central dans son normalisateur N_G(P). Alors, d'après le [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|théorème du complément normal de Burnside]], P admet un complément normal dans G et G n'est donc pas simple. Comme on l'a vu dans le chapitre théorique [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside|Transfert, théorème du complément normal de Burnside]] et dans [[../Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside|les exercices correspondants]], cela permet de prouver que, sous certaines conditions ne dépendant que du nombre naturel ''n'', il n'existe pas de groupe simple d'ordre ''n''. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/]] | suivant = [[../Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux/]] }} so37bgh6wcckjytzg4n1slxem74xazm 3 46780 982179 524468 2026-04-23T16:55:26Z J ansari 56318 J ansari a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Ранко Николић]] vers [[Discussion utilisateur:Ран-кан]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Ранко Николић|Ранко Николић]] » en « [[Special:CentralAuth/Ран-кан|Ран-кан]] » 524468 wikitext text/x-wiki == Bienvenue == {{Bienvenue}} 3hzn4r2o5xjeca9m15lfaiyoxto9knv 0 79412 982184 938540 2026-04-23T21:11:46Z Hobbyloisir 80242 plus réaliste 982184 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Il existe des licences universitaires et des licences professionnelles : * Les premières sont destinées à la poursuite des études, mais permettent aussi l'accession au monde professionnel. * Les secondes ont vocation à permettre de trouver une embauche rapide, notamment dans le milieu industriel, mais sont souvent une étape pour continuer des études. {{AutoCat}} 5i8mkbj3uoaxa1qw8gwvyqwz2m74eb8 0 80862 982182 943541 2026-04-23T20:52:02Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Calculatrice_college_casio.jpg|Calculatrice_college_casio.jpg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Túrelio|Túrelio]] because: [[:c:COM:L|Copyright violation]]: https://fr.shopping.rakuten.com/offer/buy/6347863069/casio-fx-92 982182 wikitext text/x-wiki {{Annexe | titre =Utilisation de la calculatrice | idfaculté = mathématiques | leçon = [[Opérations élémentaires]] | numéro =1 | précédent =[[../../|Sommaire]] | suivant = |niveau=8|cours=Mathématiques en CP}} == Introduction à la calculatrice == === Présentation générale === La calculatrice est un objet composé d'un circuit électrique, de piles (ou batteries), d'un écran et de plusieurs touches alphanumériques disposées en lignes et colonnes sur un clavier. Le clavier sert principalement à allumer et éteindre l'appareil, écrire des chiffres et sélectionner les symboles permettant d'effectuer les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication, division), contrôler les actions informatiques réalisables avec la calculatrice. Lorsque l'utilisateur de la calculatrice appuie sur une touche du clavier, le symbole, chiffre, ou fonction usuelle dessiné sur la touche est affiché à l'écran. [[Fichier:Calculatrice lycee TI.jpg|vignette|Calculatrice lycée TEXAS INSTRUMENT]] <u>Il existe principalement deux niveaux de complexité de calculatrices</u> : [[Fichier:Calculatrice-Texas-Instrument-TI-Collège-rouge.jpg|vignette|Calculatrice collège TEXAS INSTRUMENT]] Les calculatrices "collège" (ou basiques) : elles sont composées d'un petit écran, d'un clavier assez simple (clavier numérique, chiffres allant de 0 à 9, symboles des opérateurs de base, constantes mathématiques, et quelques fonctions usuelles). Les calculatrices dans cette catégorie sont fabriquées par deux marques principales : CASIO (Japon) et TI (TEXAS INSTRUMENT : USA). Les calculatrices "lycée" et celles destinées aux niveaux universitaires supérieurs (plus complexes) : elles sont composées d'un écran plus grand, d'un clavier plus fourni (touches permettant d'accéder à des fonctionnalités utilisées dans les domaines des statistiques et probabilités, présence de plus de fonctions usuelles (analyse)), possibilité de tracer des graphiques complexes, tableaux, enregistrement de formules, écriture de programmes etc. Ces calculatrices sont fabriquées par les mêmes marques que les calculatrices "collège", mais avec des modèles plus évolués et donc, plus chers : CASIO (Japon) et TI (TEXAS INSTRUMENT : USA). == Utilisation de la calculatrice == La calculatrice peut être utilisée de différentes façons, en fonction des besoins et de la complexité de l'action à réaliser. On retrouve, par exemple, une utilisation courante, de la vie quotidienne (utilisation de base) ou une utilisation plus intense et complexe === Utilisation de base === L'utilisation de base d'une calculatrice peut avoir lieu dans une situation de la vie courante. Par exemple, lorsqu'une personne souhaite calculer et vérifier le prix total des courses qu'elle a faite au supermarché, ou qu'elle souhaite calculer la consommation kilométrique de son véhicule après avoir fait un voyage d'une durée plus ou moins longue ou encore de gérer son budget financier. Quelle que soit la situation de la vie courante, l'utilisation de la calculatrice nécessite les touches numériques (chiffres de 0 à 9), les symboles des opérateurs arithmétiques de base '''<math>+,-,\times,\div</math>''' ainsi que le signe '''<math>=</math>''' qui permet d'effectuer le calcul. === Utilisation avancée === L'utilisation avancée (complexe) d'une calculatrice peut avoir lieu lors des études au lycée ou en université, dans le cadre professionnel, la recherche (scientifique par exemple) etc. Par exemple, lorsqu'un étudiant a besoin de tracer et d'étudier la courbe représentative d'une fonction mathématique, ou lorsqu'on veut calculer et vérifier un résultat complexe de différentes façons (dans le cadre de la recherche ou autre) nécessitant l'utilisation de fonctions et outils mathématiques avancées. Quelle que soit la situation (professionnelle, universitaire etc), l'utilisation de la calculatrice nécessite un certain un nombre de touches et d'options graphiques : * Les touches numériques (chiffres de 0 à 9) * Les symboles des opérateurs arithmétiques de base '''<math>+,-,\times,\div</math>''' ainsi que le signe '''<math>=</math>''' qui permet d'effectuer le calcul * Les fonctions mathématiques plus ou moins avancées (fonctions trigonométriques, linéaires, puissances, racines, exponentielles, logarithmiques etc). * Les touches permettant d'activer les outils de calcul dans les domaines des statistiques et probabilités * Les touches et options permettant de régler l'affichage, sur l'écran de la calculatrice, des tableaux, courbes et tout autre outils utilisés en analyse * Les touches permettant d'ouvrir des menus de création de programmes, dans lesquelles de nombreuses options et outils peuvent être utilisés (conditions, boucles, fonctions, variables etc). [[Fichier:Calculatrice lycée casio.jpg|vignette|260px|Calculatrice lycée CASIO]] {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | leçon = [[Opérations élémentaires]] | précédent = | suivant = }} 79qgxb6t2o5ondu5rt3q07rzlt8kl0g 0 82131 982183 979401 2026-04-23T20:52:05Z CommonsDelinker 472 Removing [[:c:File:Calculatrice_college_casio.jpg|Calculatrice_college_casio.jpg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Túrelio|Túrelio]] because: [[:c:COM:L|Copyright violation]]: https://fr.shopping.rakuten.com/offer/buy/6347863069/casio-fx-92 982183 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 9 | numéro = 1 | précédent = [[../|sommaire]] | suivant = [[../Théorème de Pythagore/]] }} == Triangle rectangle et hypoténuse == === Définitions === {{définition|contenu= On dit qu'un '''triangle est rectangle''' si '''il possède un angle droit'''.}} {{définition|contenu= Dans un triangle rectangle, le '''côté opposé''' au sommet de l''''angle droit''' est le '''plus grand des trois côtés''' : il est appelé l''''<u>hypoténuse</u>''' du triangle.}} === Exemple === Sur la figure ci-dessous : [[Fichier:Rtriangle.svg|gauche|vignette|161px|Triangle ABC rectangle en C]] * Le triangle ABC est <u>rectangle en C</u>. * Le côté [AB] est l''''''hypoténuse''''' du triangle ABC. == Carré d'un nombre positif== {{définition|contenu= Le '''carré''' d'un nombre positif '''''a''''' est égal au '''produit''' de ce nombre '''''a'' avec lui-même'''.}} - On note : '''''a²'' = ''a'' x ''a''''' et on lit "'''''a'' au carré'''"''.'' === Exemples === * Le carré de 7 se note 7² et est égal à 7 x 7 = 49. * Un carré a pour longueur de côté {{unité|3.2|cm}} et donc pour aire 3,2² = {{unité|10.24|cm|2}}. === Calculatrice === Pour calculer le carré d'un nombre, on utilise la touche " ''x''² ". ==Racine carrée d'un nombre positif== {{définition|contenu=La '''racine carrée''' d'un nombre positif '''''x''''' est le '''nombre positif''' dont le '''carré''' vaut '''''x'''''.}} - Elle est notée '''<math>\sqrt{x}</math>''' et se lit "'''racine carrée de ''x'''''". ''Le symbole <math>\sqrt{}</math> (lire "radical") est dû à l'allemand Christoff Rudolff (1525).'' === Exemples : === * <math>\sqrt{25}</math> = 5 car 5² = 25. * 0² = 0 donc <math>\sqrt{0}</math> = 0. * 1² = 1 donc <math>\sqrt{1}</math> = 1. * 11² = 121 donc <math>\sqrt{121}</math> = 11. * Un carré a pour aire {{unité|81|cm|2}} et a donc pour longueur de côté <math>\sqrt{81}</math> = {{unité|9|cm}}. {{Remarque|contenu= Beaucoup de racines carrées ne sont pas des nombres rationnels (= on ne peut pas les écrire sous forme de fractions). On peut en trouver une '''valeur''' '''approchée''' avec la '''calculatrice'''.}} === Calculatrice === Pour calculer la racine carrée d'un nombre, on appuie d'abord sur le bouton rond et noir en haut à gauche (avec l'inscription"SECONDE" en jaune au-dessus), puis on presse le bouton rectangulaire et vert se situant sur la première ligne à gauche, endeuxième position (avec écrit ''x''² dessus et avec le symbole √ en jaune au-dessus). === Exemple === <math>\sqrt{15}</math> <math>\thickapprox</math> 3,8729......... ; <math>\simeq</math> 3,87 → '''valeur approchée''' au centième près. On appelle '''carré''' '''parfait''' le carré d'un nombre entier positif. Voici la liste des '''<u>treize premiers carrés parfaits</u>''' : {| class="wikitable" |+ !Nombre !0 !1 !2 !3 !4 !5 !6 !7 !8 !9 !10 !11 !12 !13 |- |'''Carré''' |0 |1 |4 |9 |16 |25 |36 |49 |64 |81 |100 |121 |144 |169 |} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|sommaire]] | suivant = [[../Théorème de Pythagore/]] }} 0q4wacijmd2tggb39au1no53pk27hqf 2 82825 982181 952279 2026-04-23T20:34:13Z Adelys27 74558 982181 wikitext text/x-wiki En tant que bénévole, je corrige et j'améliore les articles sur Wikiversité. Je suis ravie de faire partie de la communauté de bénévoles de Wikiversité. bec6tm38ksk94qewjfevo0wbrsf49ls 0 86381 982187 982129 2026-04-24T01:24:47Z Solstag 13856 /* Comprendre les opérations dans Cortext Manager */ 982187 wikitext text/x-wiki Ce tutoriel introduit le lecteur à l'utilisation de l'application web Cortext Manager. D'[[Cortext#Tutoriels|autres tutoriels]], ainsi que [https://docs.cortext.net/ sa documentation], présentent les différentes opérations et méthodes mises à disposition dans l'application. == L'application et sa documentation == Cortext Manager est accessible à l'adresse : https://managerv2.cortext.net/ La documentation de l'application et des opérations est accessible à l'adresse : https://docs.cortext.net/ Base exemple : https://sdrive.cnrs.fr/s/dTagYn2SaLDNACo == Éléments et flux de travail == === Compte === On débute notre usage de Cortext Manager par la création d'un compte, ou par la connexion à un compte existant. Ce compte nous identifiera dans nos usages et interactions à l'intérieur de l'application. === Dashboard === Premier écran de l'application, le « Panneau initial » (''Dashboard'') nous montre la dernière activité pour chacun de nos derniers projets. === Projet === Le premier pas dans l'usage de Cortext Manager est la création d'un projet. Il suffit de remplir le nom du projet et appuyer sur « Create a project ». ==== Actions ==== Dans un projet, à tout moment, trois actions principales sont possibles : * '''« Upload file »''' : Téléverser un nouveau ficher. Soit un archive [[w:ZIP_(format_de_fichier)|.zip]] contenant un jeu de données dans l'un de plusieurs [https://docs.cortext.net/data-formats/ formats pris en charge]. Soit un fichier d'informations supplémentaires utilisées par l'une des méthodes, par exemple une liste de termes à extraire, sous format [[w:Tabulation-separated_values|.tsv]]. * '''« Start script »''' : Lancer une opération, typiquement sur un corpus. Les plusieurs types d'opération existantes seront discutées dans une section dédiée. Il est également possible de lancer une opération sur un jeu de données pour le transformer un corpus. * '''« Start discussion »''' : Initier une nouvelle discussion entre les membres d'un projet. Pour chaque action menée sur un projet, un nouvel item s'ajoute à son fil. ==== '''Fil''' ==== Le fil du projet est la séquence d'items correspondant aux actions exécutées. Il est chronologique, ce qui permet de comprendre l'ordre des actions, et il peut être filtré par texte en utilisant le champ en haut. Plusieurs actions sont possibles sur un item du fil, et seront discutés dans une section dédiée. ==== Gestion ==== Nous trouvons également sur la page d'un projet des éléments et des démarches pour sa gestion. '''A gauche du fil''', il est possible de : voir le progrès des dernières opérations du projet, ou de la liste d'analyses étoilées ; voir les jeux de données du projet, et filtrer les items associées en cliquant sur leur nom ; voir les participants d'un projet et leur volume d'activités, filtrer les items d'actions de chaque utilisateur, et ajouter des nouveaux utilisateurs au projet. '''Dans le panneau à droite''', il est possible de : consulter et modifier le nom et la description du projet ; d'obtenir différents formats pour citer l'application dans nos travaux ; d'archiver, télécharger ou supprimer le projet. === Jeu de données et corpus === Dans Cortext Manager, on appelle « dataset » un jeu de données téléversé au but de constituer un corpus. Conversement, nous appelons « corpus » la base de données constituée à partir d'un « dataset ». Cette base est stockée dans un fichier avec extension .db et format [[w:SQLite|SQLite]]. Un « corpus » est obtenu à partir d'un « dataset » en employant une seule opération : ''[https://docs.cortext.net/data-parsing/ Data parsing]''. Plusieurs formats de jeu de données peuvent être “digérés” par cette opération, et il existe une [https://docs.cortext.net/data-formats/ description détaillée des formats pris en charge]. Ce sont donc les '''deux pas fondamentaux de tout projet''' sur l'application : téléverser un « dataset » sous format ''.zip'' avec l'action « Upload file », puis le convertir en corpus avec l'opération ''Data parsing''. Cette opération peut être accédée : en cliquant sur un lien proposé à l'issue de tout téléversement d'un « dataset » ; ou via l'action « Start script », comme expliqué dans la section dédiée aux opérations. === Opération (script) === Une fois sélectionnée l'action « Start script », une liste d'opérations nous est proposée, organisée selon six rubriques avec des couleurs distinctes. Malgré le mode d'emploi partagé décrit ici, ces opérations servent à des buts '''très différents''', et une section de ce document est dédiée à développer conceptuellement leurs usages. Ici nous traiterons les éléments communs au lancement de toute opération. Une fois choisie l'opération qu'on souhaite lancer, nous sommes confrontés à un choix de corpus sur lequel opérer. Une seule exception l'opération ''Data parsing'' proposera un choix de « dataset », pour en créer un corpus. ==== Paramètres ==== L'opération et le corpus définis, nous devons décider de comment la paramétrer. Une opération peut avoir un nombre quelconque de paramètres, qui sont présentés dans un formulaire et peuvent être organisés en sections, ou même dans plusieurs onglets. Par exemple, c'est dans les paramètres que nous choisirons, le cas échéant, sur quelles colonnes de nos données l'opération doit agir, quel type de modélisation appliquer aux données, quelles dimensions afficher dans une visualisation, et autres précisions et détails du fonctionnement de l'opération. Certains paramètres ont des valeurs prédéfinis ou sont obligatoires, d'autres sont optionnels. Si le formulaire contient des explications succinctes, c'est dans la documentation pour chaque opération qu'on trouvera ce qu'il faut pour comprendre en profondeur ses paramètres. En plus d'accéder directement [https://docs.cortext.net/ au site], la documentation est accessible dans la liste d'opérations par les icônes « ℹ️ », ou dans le formulaire de paramétrage de chaque méthode par un lien au tout début. Cela dit, et en particulier pour les opérations avec plusieurs paramètres difficiles à comprendre, il est tout `á fait légitime de procéder en remplissant les quelques choix simples, et garder les autres paramètres avec leur valeur par défaut, en faisant confiance aux éditeurs de la méthode. ==== Lancement ==== Enfin, une fois les paramètres de l'opération choisis, on peut la lancer en cliquant sur le bouton « start script ». === Issue d'une opération === {| class="wikitable" |+Opération lancée !Entrées !Opération !Sorties !Descriptions des sorties |- | rowspan="3" | * Opération * Corpus * Paramètres ! rowspan="3" |⇒ |Item du fil | * Titre * Texte (s'il y en a) * Résultats visibles * Boutons |- |Journal de l'opération | * Rapport détaille du déroulement |- |Résultats non-visibles | * Modifications du corpus * Autres données internes à l'opération |} Une opération lancée est une action, et génère donc un item dans le fil du projet. A partir de cet item, nous avons accès à un nombre d'éléments : * '''Titre''' : le titre de l'item raconte l'opération lancée, le corpus sur lequel elle a agi, la date et l'avatar de l'utilisateur responsable ; * '''Texte''' : le texte de l'item, si présent, peut donner plus d'informations sur le déroulement de l'opération ; * '''Résultats visibles''' : au centre d'un item du fil se trouve une série de fichiers qu'ensemble constituent la partie visible des résultats de l'opération ; * '''Barre inférieure''' : ** '''A gauche''' : on y trouve l'horodatage de l'opération, ainsi qu'un identifiant « analysis id » ; ** '''A droite''' : cinq boutons se profilent et permettent, respectivement, de : revenir sur le formulaire de paramètres pour lancer une nouvelle opération avec les mêmes entrées, ou la modifier ; accéder au '''Journal''' ('''''Logs''''') de l'opération, c'est à dire un rapport détaillé de son déroulement ; supprimer l'item de l'opération ; étoiler l'item ; laisser un commentaire sous l'item. Et au delà de l'item : * '''Résultats non-visibles''' : une autre partie des résultats n'est pas visible, par exemple si elles correspondent à des modifications du corpus, tel quel l'ajout d'une nouvelle colonne ou la modification d'une existante. == Comprendre les opérations dans Cortext Manager == Les opérations dans Cortext Manager servent à des buts '''très différents'''. Il est utile donc de les organiser selon la typologie suivante : # '''Opérations d'acquisition de corpus''' : Seule l'opération ''Data parsing'' en fait partie. # '''Opérations d'édition de corpus''' : La majorité des opérations sous la rubrique « Corpus », ces méthodes permettent de lire ou manipuler directement les données du corpus. #* '''Lire''' : sous forme d'un tableau, filtrable et exportable, avec ''Corpus Explorer ;'' #* '''Manipuler''' : supprimer des doublons avec ''Data curation'' ; produire un sous-corpus avec ''Query'' ; segmenter des valeurs numériques avec ''Data slicer''. # '''Méthodes de manipulation d'entités''' : Les méthodes qui se trouvent sous la rubrique « Text » servent toutes à identifier des entités d'intérêt et à les associer à chaque document. Elles se partagent entre : #* '''Identification d'entités''' : identifier les mots caractéristique dans un ensemble de textes avec ''Terms Extraction'' ; identifier les catégories caractéristiques dans un ensemble de listes avec ''List Builder''. #* '''Association d'entités explicites''' : à partir d'une liste de termes associer à chaque document les termes qu'il contient, avec ''Corpus Terms Indexer'' ; à partir d'une liste de catégories associer à chaque document les catégories qu'il contient, avec ''Corpus List Indexer''. #* '''Association d'entités implicites''' : associer à chaque document des entités de certains types (personnes, organisations, lieux etc), identifiées dans leur texte par un modèle de langage, avec ''Named Entity Recognizer'' ; associer à chaque document une entité correspondant à une degré de “sentiment” positif ou négatif, identifiée selon un modèle d'apprentissage automatique, avec ''Sentiment Analysis'' ; associer à chaque document des entités correspondant aux Objectifs du Développement Durable (SDGs) ou aux « Key Enabling Technologies » (KETs), identifiées par un modèle d’apprentissage automatique, avec ''SDGs and KETs Tagger''. # '''Méthodes d'analyse''' : Un dernier type d'opérations correspond à celles qui produisent des visualisations à partir de représentations et modélisations des données du corpus, et potentiellement sur la base d'entités associées aux documents. #* '''Spécialistes''' : certaines de ces méthodes sont spécialisées pour traiter une dimension telle quelle le temps (rubrique « Time ») ou l'espace (rubrique « Space »). #* '''Généralistes''' : Tandis que d'autres (rubriques « Analysis » et « Sashimi ») permettent de traiter des entités de toute nature à travers des représentations descriptives (''Structural Analysis''), vectorielles (''Correspondance Analysis''), matricielles (''Contingency Matrix'', ''Profiling''), relationnelles (''Network Mapping''), d'appartenance (''Topic Modeling''), ou appartenancio-relationnelles (''Sashimi''). Par ailleurs, certaines de ces méthodes généralistes comportent des traitements spécialisés pour certaines dimensions, notamment le temps. La liste ci-dessus n'est pas numérotée par accident. Le parcours typique d'une étude avec l'application traverse ses étapes de manière séquentielle, en utilisant les résultats d'une étape comme entrées de la suivante : du dépôt d'un corpus vers son édition, du corpus édité vers l'extraction d'entités, des entités identifiés jusqu'à leur analyse. Une séquence qui rappelle d'autres « pipelines » de données typiques : données → pré-traitement → extraction de caractéristiques → modélisation. Avec plus d'expérience et de compréhension des opérations, les façons dont nous les enchaînons peuvent se diversifier au fur et à mesure que nous reconnaissons comment différentes combinaisons et séquences d'opérations répondent à des questions différentes. Pour continuer votre voyage avec l'application Cortext Manager, consultez la [[Cortext#Tutoriels|liste de tutoriels]] pour découvrir les usages de différentes méthodes d'analyse. == Petite histoire d'une application == L'application Cortext Manager répond à un souhait d'apparier le développement et la popularisation de méthodes computationnelles appropriées aux recherches en SHS, pour la communauté académique mais aussi pour la société civile et les secteurs public et privé. Une histoire qui commence dans l'ancienne unité SenS d'INRAE et qui se poursuit au sein de l'UMR LISIS (UGE, CNRS, INRAE). Depuis au moins 2011, l'application est développée au sein de la plateforme Cortext par initiative de Marc Barbier, faisant suite à des travaux avec Andrei Mogoutov, développeur du logiciel RéseauLu, lui-même succédant à des expériences qui remontent à Michel Callon et les analyses « co-word ». Sous la direction technique de Philippe Breucker, l'application connaît deux versions et reçoit des contributions méthodologiques, originales ou adaptées, principalement de la part de Jean-Philippe Cointet et puis d'autres comme Lionel Vilard, actuel directeur de la plateforme. Suite à l'arrivée d'Ale Abdo, qui contribue également des méthodes originales et des améliorations techniques à l'application Cortext Manager, la plateforme Cortext se tourne davantage vers les pratiques de science ouverte. Grâce à son équipe d'ingénieurs logiciels et à des partenariats académiques, elle ouvre le code de ses méthodes, les rend applicables, manipulables et vérifiables de façon indépendante, et travaille pour établir les fondations d'une durabilité technique et robustesse scientifique. Cela pour permettre à la plateforme de soutenir et de nourrir une dynamique de collaboration scientifique autour d'une offre de méthodes en constante évolution, entre avancées méthodologiques et transformations des sociétés et des SHS. 0nbfbue7buiv8lgb4vg2ge38a0mt46h 982188 982187 2026-04-24T01:29:22Z Solstag 13856 /* Comprendre les opérations dans Cortext Manager */ 982188 wikitext text/x-wiki Ce tutoriel introduit le lecteur à l'utilisation de l'application web Cortext Manager. D'[[Cortext#Tutoriels|autres tutoriels]], ainsi que [https://docs.cortext.net/ sa documentation], présentent les différentes opérations et méthodes mises à disposition dans l'application. == L'application et sa documentation == Cortext Manager est accessible à l'adresse : https://managerv2.cortext.net/ La documentation de l'application et des opérations est accessible à l'adresse : https://docs.cortext.net/ Base exemple : https://sdrive.cnrs.fr/s/dTagYn2SaLDNACo == Éléments et flux de travail == === Compte === On débute notre usage de Cortext Manager par la création d'un compte, ou par la connexion à un compte existant. Ce compte nous identifiera dans nos usages et interactions à l'intérieur de l'application. === Dashboard === Premier écran de l'application, le « Panneau initial » (''Dashboard'') nous montre la dernière activité pour chacun de nos derniers projets. === Projet === Le premier pas dans l'usage de Cortext Manager est la création d'un projet. Il suffit de remplir le nom du projet et appuyer sur « Create a project ». ==== Actions ==== Dans un projet, à tout moment, trois actions principales sont possibles : * '''« Upload file »''' : Téléverser un nouveau ficher. Soit un archive [[w:ZIP_(format_de_fichier)|.zip]] contenant un jeu de données dans l'un de plusieurs [https://docs.cortext.net/data-formats/ formats pris en charge]. Soit un fichier d'informations supplémentaires utilisées par l'une des méthodes, par exemple une liste de termes à extraire, sous format [[w:Tabulation-separated_values|.tsv]]. * '''« Start script »''' : Lancer une opération, typiquement sur un corpus. Les plusieurs types d'opération existantes seront discutées dans une section dédiée. Il est également possible de lancer une opération sur un jeu de données pour le transformer un corpus. * '''« Start discussion »''' : Initier une nouvelle discussion entre les membres d'un projet. Pour chaque action menée sur un projet, un nouvel item s'ajoute à son fil. ==== '''Fil''' ==== Le fil du projet est la séquence d'items correspondant aux actions exécutées. Il est chronologique, ce qui permet de comprendre l'ordre des actions, et il peut être filtré par texte en utilisant le champ en haut. Plusieurs actions sont possibles sur un item du fil, et seront discutés dans une section dédiée. ==== Gestion ==== Nous trouvons également sur la page d'un projet des éléments et des démarches pour sa gestion. '''A gauche du fil''', il est possible de : voir le progrès des dernières opérations du projet, ou de la liste d'analyses étoilées ; voir les jeux de données du projet, et filtrer les items associées en cliquant sur leur nom ; voir les participants d'un projet et leur volume d'activités, filtrer les items d'actions de chaque utilisateur, et ajouter des nouveaux utilisateurs au projet. '''Dans le panneau à droite''', il est possible de : consulter et modifier le nom et la description du projet ; d'obtenir différents formats pour citer l'application dans nos travaux ; d'archiver, télécharger ou supprimer le projet. === Jeu de données et corpus === Dans Cortext Manager, on appelle « dataset » un jeu de données téléversé au but de constituer un corpus. Conversement, nous appelons « corpus » la base de données constituée à partir d'un « dataset ». Cette base est stockée dans un fichier avec extension .db et format [[w:SQLite|SQLite]]. Un « corpus » est obtenu à partir d'un « dataset » en employant une seule opération : ''[https://docs.cortext.net/data-parsing/ Data parsing]''. Plusieurs formats de jeu de données peuvent être “digérés” par cette opération, et il existe une [https://docs.cortext.net/data-formats/ description détaillée des formats pris en charge]. Ce sont donc les '''deux pas fondamentaux de tout projet''' sur l'application : téléverser un « dataset » sous format ''.zip'' avec l'action « Upload file », puis le convertir en corpus avec l'opération ''Data parsing''. Cette opération peut être accédée : en cliquant sur un lien proposé à l'issue de tout téléversement d'un « dataset » ; ou via l'action « Start script », comme expliqué dans la section dédiée aux opérations. === Opération (script) === Une fois sélectionnée l'action « Start script », une liste d'opérations nous est proposée, organisée selon six rubriques avec des couleurs distinctes. Malgré le mode d'emploi partagé décrit ici, ces opérations servent à des buts '''très différents''', et une section de ce document est dédiée à développer conceptuellement leurs usages. Ici nous traiterons les éléments communs au lancement de toute opération. Une fois choisie l'opération qu'on souhaite lancer, nous sommes confrontés à un choix de corpus sur lequel opérer. Une seule exception l'opération ''Data parsing'' proposera un choix de « dataset », pour en créer un corpus. ==== Paramètres ==== L'opération et le corpus définis, nous devons décider de comment la paramétrer. Une opération peut avoir un nombre quelconque de paramètres, qui sont présentés dans un formulaire et peuvent être organisés en sections, ou même dans plusieurs onglets. Par exemple, c'est dans les paramètres que nous choisirons, le cas échéant, sur quelles colonnes de nos données l'opération doit agir, quel type de modélisation appliquer aux données, quelles dimensions afficher dans une visualisation, et autres précisions et détails du fonctionnement de l'opération. Certains paramètres ont des valeurs prédéfinis ou sont obligatoires, d'autres sont optionnels. Si le formulaire contient des explications succinctes, c'est dans la documentation pour chaque opération qu'on trouvera ce qu'il faut pour comprendre en profondeur ses paramètres. En plus d'accéder directement [https://docs.cortext.net/ au site], la documentation est accessible dans la liste d'opérations par les icônes « ℹ️ », ou dans le formulaire de paramétrage de chaque méthode par un lien au tout début. Cela dit, et en particulier pour les opérations avec plusieurs paramètres difficiles à comprendre, il est tout `á fait légitime de procéder en remplissant les quelques choix simples, et garder les autres paramètres avec leur valeur par défaut, en faisant confiance aux éditeurs de la méthode. ==== Lancement ==== Enfin, une fois les paramètres de l'opération choisis, on peut la lancer en cliquant sur le bouton « start script ». === Issue d'une opération === {| class="wikitable" |+Opération lancée !Entrées !Opération !Sorties !Descriptions des sorties |- | rowspan="3" | * Opération * Corpus * Paramètres ! rowspan="3" |⇒ |Item du fil | * Titre * Texte (s'il y en a) * Résultats visibles * Boutons |- |Journal de l'opération | * Rapport détaille du déroulement |- |Résultats non-visibles | * Modifications du corpus * Autres données internes à l'opération |} Une opération lancée est une action, et génère donc un item dans le fil du projet. A partir de cet item, nous avons accès à un nombre d'éléments : * '''Titre''' : le titre de l'item raconte l'opération lancée, le corpus sur lequel elle a agi, la date et l'avatar de l'utilisateur responsable ; * '''Texte''' : le texte de l'item, si présent, peut donner plus d'informations sur le déroulement de l'opération ; * '''Résultats visibles''' : au centre d'un item du fil se trouve une série de fichiers qu'ensemble constituent la partie visible des résultats de l'opération ; * '''Barre inférieure''' : ** '''A gauche''' : on y trouve l'horodatage de l'opération, ainsi qu'un identifiant « analysis id » ; ** '''A droite''' : cinq boutons se profilent et permettent, respectivement, de : revenir sur le formulaire de paramètres pour lancer une nouvelle opération avec les mêmes entrées, ou la modifier ; accéder au '''Journal''' ('''''Logs''''') de l'opération, c'est à dire un rapport détaillé de son déroulement ; supprimer l'item de l'opération ; étoiler l'item ; laisser un commentaire sous l'item. Et au delà de l'item : * '''Résultats non-visibles''' : une autre partie des résultats n'est pas visible, par exemple si elles correspondent à des modifications du corpus, tel quel l'ajout d'une nouvelle colonne ou la modification d'une existante. == Comprendre les opérations dans Cortext Manager == Les opérations disponibles dans l'application sont nombreuses, mais on peut les comprendre à partir de la typologie suivante : # '''Opérations d'acquisition de corpus''' : Seule l'opération ''Data parsing'' en fait partie. # '''Opérations d'édition de corpus''' : La majorité des opérations sous la rubrique « Corpus », ces méthodes permettent de lire ou manipuler directement les données du corpus. #* '''Lire''' : sous forme d'un tableau, filtrable et exportable, avec ''Corpus Explorer ;'' #* '''Manipuler''' : supprimer des doublons avec ''Data curation'' ; produire un sous-corpus avec ''Query'' ; segmenter des valeurs numériques avec ''Data slicer''. # '''Méthodes de manipulation d'entités''' : Les méthodes qui se trouvent sous la rubrique « Text » servent toutes à identifier des entités d'intérêt et à les associer à chaque document. Elles se partagent entre : #* '''Identification d'entités''' : identifier les mots caractéristique dans un ensemble de textes avec ''Terms Extraction'' ; identifier les catégories caractéristiques dans un ensemble de listes avec ''List Builder''. #* '''Association d'entités explicites''' : à partir d'une liste de termes associer à chaque document les termes qu'il contient, avec ''Corpus Terms Indexer'' ; à partir d'une liste de catégories associer à chaque document les catégories qu'il contient, avec ''Corpus List Indexer''. #* '''Association d'entités implicites''' : associer à chaque document des entités de certains types (personnes, organisations, lieux etc), identifiées dans leur texte par un modèle de langage, avec ''Named Entity Recognizer'' ; associer à chaque document une entité correspondant à une degré de “sentiment” positif ou négatif, identifiée selon un modèle d'apprentissage automatique, avec ''Sentiment Analysis'' ; associer à chaque document des entités correspondant aux Objectifs du Développement Durable (SDGs) ou aux « Key Enabling Technologies » (KETs), identifiées par un modèle d’apprentissage automatique, avec ''SDGs and KETs Tagger''. # '''Méthodes d'analyse''' : Un dernier type d'opérations correspond à celles qui produisent des visualisations à partir de représentations et modélisations des données du corpus, et potentiellement sur la base d'entités associées aux documents. #* '''Spécialistes''' : certaines de ces méthodes sont spécialisées pour traiter une dimension telle quelle le temps (rubrique « Time ») ou l'espace (rubrique « Space »). #* '''Généralistes''' : Tandis que d'autres (rubriques « Analysis » et « Sashimi ») permettent de traiter des entités de toute nature à travers des représentations descriptives (''Structural Analysis''), vectorielles (''Correspondance Analysis''), matricielles (''Contingency Matrix'', ''Profiling''), relationnelles (''Network Mapping''), d'appartenance (''Topic Modeling''), ou appartenancio-relationnelles (''Sashimi''). Par ailleurs, certaines de ces méthodes généralistes comportent des traitements spécialisés pour certaines dimensions, notamment le temps. Cette séquence de 4 types n'est pas numérotée par accident. Le parcours typique d'une étude avec l'application traverse ses étapes de manière séquentielle, en utilisant les résultats d'une étape comme entrées de la suivante : du dépôt d'un corpus vers son édition, du corpus édité vers l'extraction d'entités, des entités identifiés jusqu'à leur analyse. Une séquence qui rappelle d'autres « pipelines » de données typiques : données → pré-traitement → extraction de caractéristiques → modélisation. Avec plus d'expérience et de compréhension des opérations, les façons dont nous les enchaînons peuvent se diversifier au fur et à mesure que nous reconnaissons comment différentes combinaisons et séquences d'opérations répondent à des questions différentes. Pour continuer votre voyage avec l'application Cortext Manager, consultez la [[Cortext#Tutoriels|liste de tutoriels]] pour découvrir les usages de différentes méthodes d'analyse. == Petite histoire d'une application == L'application Cortext Manager répond à un souhait d'apparier le développement et la popularisation de méthodes computationnelles appropriées aux recherches en SHS, pour la communauté académique mais aussi pour la société civile et les secteurs public et privé. Une histoire qui commence dans l'ancienne unité SenS d'INRAE et qui se poursuit au sein de l'UMR LISIS (UGE, CNRS, INRAE). Depuis au moins 2011, l'application est développée au sein de la plateforme Cortext par initiative de Marc Barbier, faisant suite à des travaux avec Andrei Mogoutov, développeur du logiciel RéseauLu, lui-même succédant à des expériences qui remontent à Michel Callon et les analyses « co-word ». Sous la direction technique de Philippe Breucker, l'application connaît deux versions et reçoit des contributions méthodologiques, originales ou adaptées, principalement de la part de Jean-Philippe Cointet et puis d'autres comme Lionel Vilard, actuel directeur de la plateforme. Suite à l'arrivée d'Ale Abdo, qui contribue également des méthodes originales et des améliorations techniques à l'application Cortext Manager, la plateforme Cortext se tourne davantage vers les pratiques de science ouverte. Grâce à son équipe d'ingénieurs logiciels et à des partenariats académiques, elle ouvre le code de ses méthodes, les rend applicables, manipulables et vérifiables de façon indépendante, et travaille pour établir les fondations d'une durabilité technique et robustesse scientifique. Cela pour permettre à la plateforme de soutenir et de nourrir une dynamique de collaboration scientifique autour d'une offre de méthodes en constante évolution, entre avancées méthodologiques et transformations des sociétés et des SHS. 48i52idfkxusilw9h9pglnzqwym7wxf 0 86771 982185 982128 2026-04-24T00:58:45Z Solstag 13856 cahier jupyter, trop de problèmes avec marimo et sashimi 982185 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Alexandria Codex page 7.PNG|droite|sans_cadre|217x217px]] Cours d'« Analyses textuelles » pour la promo 2025-2026 du [[D2SN|Master D2SN]] à l'UGE. Responsable: Alexandre Hannud Abdo (@[[Utilisateur:Solstag|Solstag]]) Le programme ci-dessous est provisionnel et sera adapté en fonction de la progression du cours. Sous-pages : * [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)/Participants|Participants]] * [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)/Évaluation|Évaluation]] {{Créer accéder cahier}} === Matériel === Nouveau * Adresse: https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn * Mot de passe : <code>R}U0(MFm37nUR<</code> == Séance 1 : Introduction (2026-03-07 15h–18h) == * Parcours et attentes des participants * Consignes d'usage de Wikiversité * Introduction au programme du cours ** La diversité de sources de texte ** La multiplicité d'analyses textuelles ** L'usage en société des analyses textuelles * Présentation ==== Matériel ==== * Présentation [https://solstag.gitlab.io/presentations/analyses-textuelles-2026/ Les analyses textuelles] == Séance 2 : Données (2026-03-17 09h–13h) == === Choix et constitution d'un corpus === * Qu'est-ce qu'un corpus ? Pour quelles questions? * Inclusion et exclusion, extension et délimitation * Exemples de sources données textuelles: ** Magazines, web et autres : [https://archive.org/ archive.org] ** Scientifiques : [https://openalex.org/ OpenAlex], [https://www.webofscience.com/ WebOfScience] ** Presse : [https://www.europresse.com/ Europresse], [https://www.dowjones.com/professional/factiva/ Factiva] ** Littérature : [https://www.gutenberg.org/ Project Gutenberg], [https://wikisource.org/ Wikisource] * Outils de ''scraping'': ** Web crawling : [https://www.scrapy.org/ Scrapy] ([https://docs.scrapy.org/en/latest/intro/tutorial.html tutoriel]) ** Automation de navigateur : [https://www.selenium.dev/ Selenium] ([https://www.selenium.dev/selenium-ide/ extension] pour Chrome ou Firefox) ** Extraction et transformation: [https://docling-project.github.io/docling/ Docling] (multi-format), [https://github.com/grobidOrg/grobid Grobid] (PDFs académiques) === Analyses === * Qu'est-ce qu'il y a dans un mot? * Tokenisation et nettoyage * Distribution temporelle et longueur des textes * Fréquence et présence ==== Matériel ==== * Cahier ''[https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Data.ipynb]'' == Séance 3: Signes, morphosyntaxe et phraseologie (2026-03-30 09h–13h) == Signes * Dictionnaires * Heuristiques de spécificité * Cooccurrence textuelle * Cooccurrence paratextuelle * Graphiques et matrices de couleur Phrases * Nature, fonction syntaxique. Phrases et signification. * Étiquetage et fouille morphosyntaxiques. * Entités nommées. * Résolution de référentiels. * [[wikipedia:N-gram|N-grams]] * [[wikipedia:Distributional_semantics|Hypothèse distributionnelle]] * [[wikipedia:Semantic_differential|Sémantique différentielle]] * [[wikipedia:Word_embedding|Plongement lexical]] === Culture générale sur modèles de langage === * Vecteurs de mots et documents : [[w:en:Latent_semantic_analysis|Latent_semantic_analysis (LSA)]], [https://code.google.com/archive/p/word2vec/ Word2Vec], [https://nlp.stanford.edu/projects/glove/ GloVe] * Modèles probabilistes : [[wikipedia:Probabilistic_latent_semantic_analysis|Probabilistic LSA (pLSA)]] [[wikipedia:Latent_Dirichlet_allocation|Latent_Dirichlet_allocation]], [https://gitlab.com/solstag/sashimi Stochastic Block Model] * Transformers : [https://github.com/huggingface/transformers Transformers], [https://www.sbert.net/ Sentence Transformers], ==== Matériel ==== * Cahier ''[https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Signes.ipynb]'' * Cahier [https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Phrases''.ipynb''] == Séance 4 : Énonciation et discours (2026-03-31 09h–13h) == * Énoncé et sens. Style, thème, tropismes grammaticaux et vocabulaires. Marqueurs de subjectivité ou figures rhétoriques. Intertextualité. Contraintes. * Plongement de documents. Modèles thématiques<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Justin|nom1=Grimmer|prénom2=Brandon M.|nom2=Stewart|titre=Text as Data: The Promise and Pitfalls of Automatic Content Analysis Methods for Political Texts|périodique=Political Analysis|volume=21|numéro=3|date=2013-07|issn=1047-1987|issn2=1476-4989|doi=10.1093/pan/mps028|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/journals/political-analysis/article/text-as-data-the-promise-and-pitfalls-of-automatic-content-analysis-methods-for-political-texts/F7AAC8B2909441603FEB25C156448F20|consulté le=2025-05-19|pages=267–297}}</ref> et domaine-thématiques<ref name=":0">{{Article|langue=en|prénom1=Alexandre|nom1=Hannud Abdo|prénom2=Jean-Philippe|nom2=Cointet|prénom3=Pascale|nom3=Bourret|prénom4=Alberto|nom4=Cambrosio|titre=Domain-topic models with chained dimensions: Charting an emergent domain of a major oncology conference|périodique=Journal of the Association for Information Science and Technology|volume=73|numéro=7|date=2022|issn=2330-1643|pmid=35873705|pmcid=9299004|doi=10.1002/asi.24606|lire en ligne=https://asistdl.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/asi.24606|consulté le=2025-05-19|pages=992–1011}}</ref>. * Cartes domaine-thématiques, leur lecture et manipulation.<ref name=":0" /> * Réseaux hétérogènes et transfert d'apprentissage vers d'autres dimensions. * Le temps comme dimension. Détection de périodes. ==== Matériel ==== * Tutoriel pour [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|explorer un corpus par modélisation domaine-thématique avec Cortext Manager]] * Cahier [https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Documents''.ipynb''] == Séance 5 : Sémiotique & Sociologie de la traduction (2026-04-07 14h–17h) == * Sémiotique<ref>{{Chapitre-B|langue=en|prénom1=Gianfranco|nom1=Marrone|titre chapitre=Introduction to the Semiotics of the Text|titre ouvrage=Introduction to the Semiotics of the Text|éditeur=De Gruyter Mouton|date=2021-11-08|isbn=978-3-11-068898-6|doi=10.1515/9783110688986/html|lire en ligne=https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110688986/html|consulté le=2025-05-19}}</ref> ** L'émergence des signes. Théorie de l'information. Neurobiologie du langage<ref name=":1" />. Signifiants, signifiés, inférences, valeurs, signification, générativité. Sémantique structurale, sémèmes, actants. Sémantique interprétative<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=François|nom1=Rastier|titre=De la sémantique structurale à la sémiotique des cultures|périodique=Actes Sémiotiques|numéro=120|date=2017-01-31|issn=2270-4957|doi=10.25965/as.5734|lire en ligne=https://www.unilim.fr/actes-semiotiques/5734|consulté le=2025-05-19}}</ref>. ** Espaces sémantiques vectoriels, continus et discrets. * Sociologie de la traduction<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Sociologie de la traduction : Textes fondateurs|éditeur=Presses des Mines|collection=Sciences sociales|date=2006|isbn=978-2-35671-023-9|doi=10.4000/books.pressesmines.1181|lire en ligne=https://books.openedition.org/pressesmines/1181|consulté le=2025-05-19}}</ref> ** Acteurs, humains et non-humains, en réseau. Traductions et les choses en train de se faire. Inscriptions, descriptions, symétries, réflexivités. ** La cartographie comme méthode. Les réseaux hétérogènes socio-sémantiques. Les « Digital Methods ». == Notes == Pour répondre à la question « à quoi ça sert d'analyser les textes ? », il faut d'abord comprendre à quoi sert le texte. Si le langage est une compétence exclusivement humaine et indépendante de tout trait culturel ou historique<ref name=":1">{{Article|langue=en|prénom1=Johan J.|nom1=Bolhuis|prénom2=Ian|nom2=Tattersall|prénom3=Noam|nom3=Chomsky|prénom4=Robert C.|nom4=Berwick|titre=How Could Language Have Evolved?|périodique=PLOS Biology|volume=12|numéro=8|date=26 août 2014|issn=1545-7885|pmid=25157536|pmcid=4144795|doi=10.1371/journal.pbio.1001934|lire en ligne=https://journals.plos.org/plosbiology/article?id=10.1371/journal.pbio.1001934|consulté le=2025-05-18|pages=e1001934}}</ref>, son usage concret le mêle à des rôles et situations diversifiées et variables. Différentes personnes qui s'adressent dans différentes contextes à différents publics par différents médias sur différents sujets pour différentes raisons, à travers sociétés et époques, chacune prête au texte son caractère. De telle manière que le simple comptage de coprésence entre mots peut nous révéler les contours d'une situation, dont le déroulement se reflet dans l'évolution de ces fréquences dans le temps. A son tour, les règles d'une langue nous permettent de distinguer les emplois d'un même signe et de détailler leurs rapports aux autres, apportant de la finesse aux observations. Tandis que la statistique des contextes textuels de chaque signe permet d'établir des abstractions de proximité, complémentarité et comparaison de leurs sens et thématiques. Ce qui permet également de classer lesdits contextes, qu'ils soient au niveau des phrases, paragraphes, chapitres ou documents. Ces derniers, par ailleurs, contiennent toujours des éléments extra-textuels — temporels, sociaux, géographiques ou autres, qu'ils soient renseignés ou extraits du texte — producteurs de statistiques qui peuvent se combiner à celles textuelles. Munis de tout cela face à une question qui se déploie à travers les maintes dimensions d'une situation associée à un corpus, nous pouvons construire itérativement un choix approprié de ces opérations, avec leurs statistiques et représentations descriptives ou produites par des modèles, pour enfin étudier la question sous la lumière des résultats de nos analyses. === L'explicitation d'une question === Peu de questions sont intéressantes. L'idée que la donnée nous servira spontanément une bonne question sans effort qualitatif préalable est dans le meilleur des cas hasardeuse, dans le pire des cas nous conduira à investir dans une question à moindre intérêt. L'illusion qui peuvent donner certaines personnes qui semblent trouver leurs questions au long de l'exploration d'une base de données cache le bagage qualitatif de ces personnes qui ont déjà un grand nombre de questions latentes. Même si parfois elles-mêmes ne le reconnaissent pas. Avant de plonger dans un corpus il est donc important d'être en mesure de formuler un première question sur la base de connaissances qualitatives, empiriques ou théoriques, et de continuer à les approfondir pendant le travail. === La spécificité du corpus === Un corpus est, le plus souvent, une source limitée d'informations pour une question. Autrement dit, peu de questions intéressantes trouvent une réponse directement dans un corpus donnée. Partir d'une question claire permet aussi d'évaluer de quelles données et opérations on aurait besoin pour la répondre. Et donc, le plus souvent, de la modifier pour correspondre aux limites des données dont nous disposons ou que nous pouvons produire, ainsi que d'évaluer quelles enquêtes qualitatives pourraient les compléter. Encore ici, nos connaissances qualitatives sont nos meilleures guides pour identifier ces limites et pour modifier la question en gardant un niveau d'intérêt. === La construction des objets à étudier === Même une simple description se base sur un modèle de comment représenter et comment interpréter ce qui est représenté. Les objets à étudier sont alors à construire sur la base de la donnée et de nos connaissances. Est-ce que la question appelle à un regard par classement sémantique, thématique, ou à l'extraction de certains types d'entités ? Quels contextes servent uniquement à la construction d'autres objets, par exemple quand nous utilisons les phrases pour préciser le sens d'un mot ou des rapports entre mots, et quels sont eux-mêmes des objets d'analyse, comme c'est souvent le cas pour les documents ? Comment rendre compte de la complexité d'objets extra-textuels tels quels auteurs, public, lieu, références, rôles ou organisations ? Et de l'hétérogénéité inter-textuelle dans des corpus mixtes ? C'est souvent dans ce travail que les limitations du corpus deviennent apparentes, et que nous devons revoir nos choix, chercher de nouvelles méthodes, élargir ou délimiter le corpus, ou l'enrichir d'autres informations. === La temporalité ou séquentialité === La chronologie d'un corpus est autant essentielle qu'elle est difficile de saisir correctement. Produire des comparaisons valides exige une attention à plusieurs facteurs comme : la normalisation ou pas de fréquences ; le choix de périodes compatibles en terme leur durée ou distribution de caractéristiques ; la validité statistique des stratifications. Les méthodes d'inférence de périodes sont un outil souvent incontournable, mais doivent être utilisés de façon réfléchie sur les bonnes variables et délimitation. === Les statistiques et représentations === S'il faut célébrer l'existence d'outils d'analyse pratiques à manipuler, reconnaissons aussi la valeur d'une compréhension plus fine des méthodes que nous employons, et d'une préférence pour des méthodes plus transparentes dotées de représentations simples mais puissantes. Pour assister et orienter les chercheurs dans cette démarche, des infrastructures de recherche existent dont [https://www.cortext.net/ Cortext] en est une. === Bien choisir sa perspective === Quand utiliser — ou mélanger — analyse du discours, analyse sémiotique, sociologie de la traduction ? == Références == [[Catégorie:Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)]] ewfkefpdp2e5ddni0z409sj95gtlrol 982186 982185 2026-04-24T01:13:57Z Solstag 13856 /* Séance 5 : Sémiotique & Sociologie de la traduction (2026-04-07 14h–17h) */ 982186 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Alexandria Codex page 7.PNG|droite|sans_cadre|217x217px]] Cours d'« Analyses textuelles » pour la promo 2025-2026 du [[D2SN|Master D2SN]] à l'UGE. Responsable: Alexandre Hannud Abdo (@[[Utilisateur:Solstag|Solstag]]) Le programme ci-dessous est provisionnel et sera adapté en fonction de la progression du cours. Sous-pages : * [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)/Participants|Participants]] * [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)/Évaluation|Évaluation]] {{Créer accéder cahier}} === Matériel === Nouveau * Adresse: https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn * Mot de passe : <code>R}U0(MFm37nUR<</code> == Séance 1 : Introduction (2026-03-07 15h–18h) == * Parcours et attentes des participants * Consignes d'usage de Wikiversité * Introduction au programme du cours ** La diversité de sources de texte ** La multiplicité d'analyses textuelles ** L'usage en société des analyses textuelles * Présentation ==== Matériel ==== * Présentation [https://solstag.gitlab.io/presentations/analyses-textuelles-2026/ Les analyses textuelles] == Séance 2 : Données (2026-03-17 09h–13h) == === Choix et constitution d'un corpus === * Qu'est-ce qu'un corpus ? Pour quelles questions? * Inclusion et exclusion, extension et délimitation * Exemples de sources données textuelles: ** Magazines, web et autres : [https://archive.org/ archive.org] ** Scientifiques : [https://openalex.org/ OpenAlex], [https://www.webofscience.com/ WebOfScience] ** Presse : [https://www.europresse.com/ Europresse], [https://www.dowjones.com/professional/factiva/ Factiva] ** Littérature : [https://www.gutenberg.org/ Project Gutenberg], [https://wikisource.org/ Wikisource] * Outils de ''scraping'': ** Web crawling : [https://www.scrapy.org/ Scrapy] ([https://docs.scrapy.org/en/latest/intro/tutorial.html tutoriel]) ** Automation de navigateur : [https://www.selenium.dev/ Selenium] ([https://www.selenium.dev/selenium-ide/ extension] pour Chrome ou Firefox) ** Extraction et transformation: [https://docling-project.github.io/docling/ Docling] (multi-format), [https://github.com/grobidOrg/grobid Grobid] (PDFs académiques) === Analyses === * Qu'est-ce qu'il y a dans un mot? * Tokenisation et nettoyage * Distribution temporelle et longueur des textes * Fréquence et présence ==== Matériel ==== * Cahier ''[https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Data.ipynb]'' == Séance 3: Signes, morphosyntaxe et phraseologie (2026-03-30 09h–13h) == Signes * Dictionnaires * Heuristiques de spécificité * Cooccurrence textuelle * Cooccurrence paratextuelle * Graphiques et matrices de couleur Phrases * Nature, fonction syntaxique. Phrases et signification. * Étiquetage et fouille morphosyntaxiques. * Entités nommées. * Résolution de référentiels. * [[wikipedia:N-gram|N-grams]] * [[wikipedia:Distributional_semantics|Hypothèse distributionnelle]] * [[wikipedia:Semantic_differential|Sémantique différentielle]] * [[wikipedia:Word_embedding|Plongement lexical]] === Culture générale sur modèles de langage === * Vecteurs de mots et documents : [[w:en:Latent_semantic_analysis|Latent_semantic_analysis (LSA)]], [https://code.google.com/archive/p/word2vec/ Word2Vec], [https://nlp.stanford.edu/projects/glove/ GloVe] * Modèles probabilistes : [[wikipedia:Probabilistic_latent_semantic_analysis|Probabilistic LSA (pLSA)]] [[wikipedia:Latent_Dirichlet_allocation|Latent_Dirichlet_allocation]], [https://gitlab.com/solstag/sashimi Stochastic Block Model] * Transformers : [https://github.com/huggingface/transformers Transformers], [https://www.sbert.net/ Sentence Transformers], ==== Matériel ==== * Cahier ''[https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Signes.ipynb]'' * Cahier [https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Phrases''.ipynb''] == Séance 4 : Énonciation et discours (2026-03-31 09h–13h) == * Énoncé et sens. Style, thème, tropismes grammaticaux et vocabulaires. Marqueurs de subjectivité ou figures rhétoriques. Intertextualité. Contraintes. * Plongement de documents. Modèles thématiques<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Justin|nom1=Grimmer|prénom2=Brandon M.|nom2=Stewart|titre=Text as Data: The Promise and Pitfalls of Automatic Content Analysis Methods for Political Texts|périodique=Political Analysis|volume=21|numéro=3|date=2013-07|issn=1047-1987|issn2=1476-4989|doi=10.1093/pan/mps028|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/journals/political-analysis/article/text-as-data-the-promise-and-pitfalls-of-automatic-content-analysis-methods-for-political-texts/F7AAC8B2909441603FEB25C156448F20|consulté le=2025-05-19|pages=267–297}}</ref> et domaine-thématiques<ref name=":0">{{Article|langue=en|prénom1=Alexandre|nom1=Hannud Abdo|prénom2=Jean-Philippe|nom2=Cointet|prénom3=Pascale|nom3=Bourret|prénom4=Alberto|nom4=Cambrosio|titre=Domain-topic models with chained dimensions: Charting an emergent domain of a major oncology conference|périodique=Journal of the Association for Information Science and Technology|volume=73|numéro=7|date=2022|issn=2330-1643|pmid=35873705|pmcid=9299004|doi=10.1002/asi.24606|lire en ligne=https://asistdl.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/asi.24606|consulté le=2025-05-19|pages=992–1011}}</ref>. * Cartes domaine-thématiques, leur lecture et manipulation.<ref name=":0" /> * Réseaux hétérogènes et transfert d'apprentissage vers d'autres dimensions. * Le temps comme dimension. Détection de périodes. ==== Matériel ==== * Tutoriel pour [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|explorer un corpus par modélisation domaine-thématique avec Cortext Manager]] * Cahier [https://cloud.univ-eiffel.fr/s/xWZRCNDMXLTridn Documents''.ipynb''] == Séance 5 : Sémiotique & Sociologie de la traduction (2026-04-07 14h–17h) == * Sémiotique<ref>{{Chapitre-B|langue=en|prénom1=Gianfranco|nom1=Marrone|titre chapitre=Introduction to the Semiotics of the Text|titre ouvrage=Introduction to the Semiotics of the Text|éditeur=De Gruyter Mouton|date=2021-11-08|isbn=978-3-11-068898-6|doi=10.1515/9783110688986/html|lire en ligne=https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110688986/html|consulté le=2025-05-19}}</ref> ** L'émergence des signes. Théorie de l'information. Neurobiologie du langage<ref name=":1" />. Signifiants, signifiés, inférences, valeurs, signification, générativité. Sémantique structurale, sémèmes, actants. Sémantique interprétative<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=François|nom1=Rastier|titre=De la sémantique structurale à la sémiotique des cultures|périodique=Actes Sémiotiques|numéro=120|date=2017-01-31|issn=2270-4957|doi=10.25965/as.5734|lire en ligne=https://www.unilim.fr/actes-semiotiques/5734|consulté le=2025-05-19}}</ref>. ** Espaces sémantiques vectoriels, continus et discrets. * Sociologie de la traduction<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Sociologie de la traduction : Textes fondateurs|éditeur=Presses des Mines|collection=Sciences sociales|date=2006|isbn=978-2-35671-023-9|doi=10.4000/books.pressesmines.1181|lire en ligne=https://books.openedition.org/pressesmines/1181|consulté le=2025-05-19}}</ref> ** Acteurs, humains et non-humains, en réseau. Traductions et les choses en train de se faire. Situations, descriptions, traductions, inscriptions, symétries, réflexivités. ** La cartographie comme méthode. Les réseaux hétérogènes socio-sémantiques. Les « Digital Methods ». == Notes == Pour répondre à la question « à quoi ça sert d'analyser les textes ? », il faut d'abord comprendre à quoi sert le texte. Si le langage est une compétence exclusivement humaine et indépendante de tout trait culturel ou historique<ref name=":1">{{Article|langue=en|prénom1=Johan J.|nom1=Bolhuis|prénom2=Ian|nom2=Tattersall|prénom3=Noam|nom3=Chomsky|prénom4=Robert C.|nom4=Berwick|titre=How Could Language Have Evolved?|périodique=PLOS Biology|volume=12|numéro=8|date=26 août 2014|issn=1545-7885|pmid=25157536|pmcid=4144795|doi=10.1371/journal.pbio.1001934|lire en ligne=https://journals.plos.org/plosbiology/article?id=10.1371/journal.pbio.1001934|consulté le=2025-05-18|pages=e1001934}}</ref>, son usage concret le mêle à des rôles et situations diversifiées et variables. Différentes personnes qui s'adressent dans différentes contextes à différents publics par différents médias sur différents sujets pour différentes raisons, à travers sociétés et époques, chacune prête au texte son caractère. De telle manière que le simple comptage de coprésence entre mots peut nous révéler les contours d'une situation, dont le déroulement se reflet dans l'évolution de ces fréquences dans le temps. A son tour, les règles d'une langue nous permettent de distinguer les emplois d'un même signe et de détailler leurs rapports aux autres, apportant de la finesse aux observations. Tandis que la statistique des contextes textuels de chaque signe permet d'établir des abstractions de proximité, complémentarité et comparaison de leurs sens et thématiques. Ce qui permet également de classer lesdits contextes, qu'ils soient au niveau des phrases, paragraphes, chapitres ou documents. Ces derniers, par ailleurs, contiennent toujours des éléments extra-textuels — temporels, sociaux, géographiques ou autres, qu'ils soient renseignés ou extraits du texte — producteurs de statistiques qui peuvent se combiner à celles textuelles. Munis de tout cela face à une question qui se déploie à travers les maintes dimensions d'une situation associée à un corpus, nous pouvons construire itérativement un choix approprié de ces opérations, avec leurs statistiques et représentations descriptives ou produites par des modèles, pour enfin étudier la question sous la lumière des résultats de nos analyses. === L'explicitation d'une question === Peu de questions sont intéressantes. L'idée que la donnée nous servira spontanément une bonne question sans effort qualitatif préalable est dans le meilleur des cas hasardeuse, dans le pire des cas nous conduira à investir dans une question à moindre intérêt. L'illusion qui peuvent donner certaines personnes qui semblent trouver leurs questions au long de l'exploration d'une base de données cache le bagage qualitatif de ces personnes qui ont déjà un grand nombre de questions latentes. Même si parfois elles-mêmes ne le reconnaissent pas. Avant de plonger dans un corpus il est donc important d'être en mesure de formuler un première question sur la base de connaissances qualitatives, empiriques ou théoriques, et de continuer à les approfondir pendant le travail. === La spécificité du corpus === Un corpus est, le plus souvent, une source limitée d'informations pour une question. Autrement dit, peu de questions intéressantes trouvent une réponse directement dans un corpus donnée. Partir d'une question claire permet aussi d'évaluer de quelles données et opérations on aurait besoin pour la répondre. Et donc, le plus souvent, de la modifier pour correspondre aux limites des données dont nous disposons ou que nous pouvons produire, ainsi que d'évaluer quelles enquêtes qualitatives pourraient les compléter. Encore ici, nos connaissances qualitatives sont nos meilleures guides pour identifier ces limites et pour modifier la question en gardant un niveau d'intérêt. === La construction des objets à étudier === Même une simple description se base sur un modèle de comment représenter et comment interpréter ce qui est représenté. Les objets à étudier sont alors à construire sur la base de la donnée et de nos connaissances. Est-ce que la question appelle à un regard par classement sémantique, thématique, ou à l'extraction de certains types d'entités ? Quels contextes servent uniquement à la construction d'autres objets, par exemple quand nous utilisons les phrases pour préciser le sens d'un mot ou des rapports entre mots, et quels sont eux-mêmes des objets d'analyse, comme c'est souvent le cas pour les documents ? Comment rendre compte de la complexité d'objets extra-textuels tels quels auteurs, public, lieu, références, rôles ou organisations ? Et de l'hétérogénéité inter-textuelle dans des corpus mixtes ? C'est souvent dans ce travail que les limitations du corpus deviennent apparentes, et que nous devons revoir nos choix, chercher de nouvelles méthodes, élargir ou délimiter le corpus, ou l'enrichir d'autres informations. === La temporalité ou séquentialité === La chronologie d'un corpus est autant essentielle qu'elle est difficile de saisir correctement. Produire des comparaisons valides exige une attention à plusieurs facteurs comme : la normalisation ou pas de fréquences ; le choix de périodes compatibles en terme leur durée ou distribution de caractéristiques ; la validité statistique des stratifications. Les méthodes d'inférence de périodes sont un outil souvent incontournable, mais doivent être utilisés de façon réfléchie sur les bonnes variables et délimitation. === Les statistiques et représentations === S'il faut célébrer l'existence d'outils d'analyse pratiques à manipuler, reconnaissons aussi la valeur d'une compréhension plus fine des méthodes que nous employons, et d'une préférence pour des méthodes plus transparentes dotées de représentations simples mais puissantes. Pour assister et orienter les chercheurs dans cette démarche, des infrastructures de recherche existent dont [https://www.cortext.net/ Cortext] en est une. === Bien choisir sa perspective === Quand utiliser — ou mélanger — analyse du discours, analyse sémiotique, sociologie de la traduction ? == Références == [[Catégorie:Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)]] m6noyi8sly4mi3qogu2n5dcvywufyjl 3 86936 982180 2026-04-23T16:55:26Z J ansari 56318 J ansari a déplacé la page [[Discussion utilisateur:Ранко Николић]] vers [[Discussion utilisateur:Ран-кан]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/Ранко Николић|Ранко Николић]] » en « [[Special:CentralAuth/Ран-кан|Ран-кан]] » 982180 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion utilisateur:Ран-кан]] 4hc0un60ps4z35b3vsmhbrm8w5helz0