Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 22886 982245 980022 2026-04-28T07:36:43Z Marvoir 1746 /* Groupe : définitions et exemples */ précisé l'ordre d'un groupe symétrique fini 982245 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Lois de composition internes, monoïdes/]] | suivant = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | page_liée = Exercices/Groupes, premières notions }} == Groupe : définitions et exemples == {{Définition | contenu = Un '''groupe''' <math>(G,\star)</math> est un monoïde où tout élément admet un symétrique. }} Un '''groupe''' <math>(G,\star)</math> est donc un ensemble muni d'une loi de composition interne <math>\ \star </math> possédant les propriétés suivantes : * La loi de composition est associative : <math>\forall x,y,z \in G : x \star (y \star z) = (x \star y) \star z</math> ; * Il existe un (et un seul) '''élément neutre''', noté ''e'' vérifiant <math>\forall x \in G : x \star e = e \star x = x</math> ; * Tout élément a un symétrique (dit aussi inverse en notation multiplicative et opposé en notation additive), <math>\forall x \in G, \exists y \in G, x \star y = y \star x = e.</math> Remarque : le symétrique de ''x'' est noté x{{exp|-1}} en notation multiplicative et -x en notation additive. Comme on l'a vu dans le chapitre sur les monoïdes, * l'élément neutre est unique ; * un élément donné n'a qu'un symétrique ; * le symétrique du symétrique d'un élément ''x'' est ''x'' lui-même. On vérifie facilement que si un magma M est isomorphe comme magma à un groupe, M est un groupe. {{Théorème | titre=Théorème |contenu= Tout élément d'un groupe est simplifiable. }} Démonstration. Nous avons vu dans le chapitre sur les monoïdes que tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable. {{Théorème | titre=Théorème |contenu= Soit ''x'' un élément d'un groupe G. Si ''y'' est un élément de G tel que xy = 1 ou yx = 1, y est l'inverse de ''x'' }} Démonstration. Supposons d’abord xy = 1 et prouvons que ''y'' est l'inverse de ''x''. Il suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'égalité xy = 1 par x{{exp|-1}} et d'appliquer l'associativité. Si maintenant y x = 1, on peut multiplier à droite par x{{exp|-1}}, ou encore dire que d’après le résultat précédent, ''x'' est l'inverse de ''y'', ce qui entraîne que ''y'' est l'inverse de ''x''. On supposera dans ce cours que le lecteur connaît la notion de [[w:Cardinalité_(mathématiques)|cardinal]] infini et ses propriétés les plus classiques. On notera <math>\vert X \vert</math> ou encore Card(X) le cardinal d'un ensemble X. {{Définition | contenu = L<nowiki>'</nowiki>'''ordre''' d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. On notera <math>\vert G \vert</math> l'ordre du groupe G. Certains auteurs<ref>Voir par exemple P. Tauvel, ''Algèbre'', 2de éd., Dunod, 2005, p. 39, théor. 4.3.3.</ref> appellent cardinal d'un groupe ce que nous appelons l'ordre de ce groupe. }} Un groupe d'ordre fini (resp. infini) est encore appelé un groupe fini (resp. infini) etc. Exemples. 1) Tout singleton <math>\{e\}</math> se munit d'une et une seule façon d'une structure de groupe, la loi étant définie par <math>e.e=e</math>. Un groupe dont l'ensemble sous-jacent est un singleton est appelé un groupe trivial. Un groupe est donc trivial si et seulement s'il est réduit à son élément neutre. 2) Si A, B, C sont des ensembles, si <math>f</math> est une application de A dans B et <math>g</math> une application de B dans C, on notera dans ce cours <math>g \circ f</math> l'application <math>x \mapsto g(f(x))</math> de A dans C. (On compose donc de droite à gauche. Certains auteurs composent de gauche à droite, c'est-à-dire qu'ils écrivent <math>f g</math> là où nous écrivons <math>g \circ f</math>.) Soit ''X'' un ensemble. Rappelons qu'en théorie des ensembles, on appelle permutation de ''X'' une bijection de ''X'' sur lui-même. L'application de ''X'' dans lui-même qui applique chaque élément sur lui-même est évidemment une permutation de ''X'', que nous noterons id_''X''. Soient ''f'', ''g'' et ''h'' des permutations de ''X''. On montre en théorie des ensembles que :* <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g )\circ h</math> :* <math>f \circ id_{X} = id_{X} \circ f = f</math> :* <math>f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id_{X}</math>, où ''f''{{exp|-1}} désigne la permutation réciproque de ''f'', définie en théorie des ensembles. Cela montre que l’ensemble des permutations de ''X'', muni de la loi de composition <math>\circ </math>, est un groupe, qu'on appelle ''groupe symétrique'' de ''X'', et qu'on note <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math>. Dans le cas particulier où ''X'' est l’ensemble <math>\{1, \ldots , n \}</math> pour un certain nombre naturel ''n'', on écrit <math>\ S_{n}</math> plutôt que <math>\ S_{X}</math>.</br> On démontre en analyse combinatoire que les permutations d'un ensemble fini de cardinal ''n'' sont en nombre ''n''! (factorielle de ''n''), donc si E est un semble fini de cardinal ''n'', le groupe symétrique <math>\ S_{E}</math> est d'ordre n! 3) L'ensemble des entiers relatifs (ou entiers rationnels), muni de l'addition des entiers est un autre exemple de groupe. (Cet ensemble est connu dès le niveau des lycées et collèges, mais nous le construirons dans la suite du présent chapitre.) On sait que la somme de deux entiers ne dépend pas de l’ordre dans lequel l'addition est effectuée, autrement dit le composé de deux éléments du groupe en question ne dépend pas de l'ordre dans lequel on leur applique la loi de groupe. On dit qu'un tel groupe est commutatif, ou encore abélien : {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Groupe abélien}} Un '''groupe abélien''' (ou commutatif) <math>(G,\star)</math> est un groupe dont la loi de composition est commutative, c'est-à-dire, rappelons-le, que cette loi satisfait à la condition : :<math>\forall x,y \in G : x \star y = y \star x</math>. }} Dire qu'un groupe est abélien revient à dire qu'il est commutatif comme monoïde. {{Théorème | titre=Exemple de groupe non commutatif.|contenu= Si ''X'' est un ensemble d'au moins trois éléments, le groupe S_X n’est pas commutatif. }} Démonstration. Si ''x'' et ''y'' sont deux éléments distincts de ''X'', désignons par (''x'', ''y'') la permutation de ''X'' qui applique ''x'' sur ''y'', ''y'' sur ''x'', et laisse fixes tous les autres éléments de ''X''. Par hypothèse, nous pouvons choisir trois éléments distincts ''a'', ''b'' et ''c'' de ''X''. Les permutations :<math>(a,b)\circ (b,c)</math> et <math> (b,c) \circ (a,b)</math> ne sont pas égales, car la première applique ''b'' sur ''c'' et la seconde l'applique sur ''a''. Ceci prouve bien que le groupe S_X n’est pas commutatif. ''Remarque :'' Quand on parle d'un groupe, il arrive (souvent) que la loi soit sous-entendue, mais s'il y a un risque de confusion il faut l'expliciter.<br />Par convention ''tacite'', la loi d'un groupe est généralement notée de la même façon que la multiplication, d'élément neutre 1. Toutefois, les groupes abéliens sont souvent notés comme l'addition, d'élément neutre 0 et d'inverse -x (on dit « l'opposé »). On a tendance à réserver la notation additive aux groupes abéliens, mais il n'y a pas de règle absolue. Souvent les notations dépendent de la nature des objets constituant le groupe. == Extension de la loi aux parties == Si <math>X</math> et <math>Y</math> sont des parties d'un groupe <math>G</math> noté multiplicativement, nous désignerons par <math>XY</math> l’ensemble des éléments de <math>G</math> de la forme <math>xy</math> avec <math>x \in X</math> et <math>y \in Y</math>. Nous désignerons par <math>X^{-1}</math> l’ensemble des éléments de G de la forme <math>x^{-1}</math> avec <math>x \in X</math>.<br /> Il est clair que, pour toutes parties <math>X, Y</math> et <math>Z</math> de <math>G</math>, nous avons : :<math>(XY)Z = X(YZ)</math> :<math>(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}</math> :<math>(X^{-1})^{-1} = X</math> Si X est le singleton <math>\{x\}</math>, on écrit <math>xY</math> au lieu de <math>\{x\}Y</math> et, de même, <math>Yx</math> au lieu de <math>Y\{x\}</math>. En notation additive, on écrit <math>X+Y</math> au lieu de <math>XY</math>, et <math>-X</math> au lieu de <math>X^{-1}</math>. == Groupe additif des entiers relatifs et des nombres rationnels == {{Wikipédia|Construction des entiers relatifs}} (Cette section peut être omise en première lecture.) L'ensemble <math>\N</math> des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0<ref>Pour le prouver dans le cadre de Bourbaki, où les entiers naturels sont définis comme des cardinaux, on peut dire que si un entier naturel ''a'' admet un opposé ''b'', alors a + b = 0, d'où (N. Bourbaki, ''Théorie des ensembles'', Paris, 1998, ch. III, § 3, prop. 13, p. 29) a ≤ 0, d'où, puisque 0 est le plus petit des cardinaux (ib. § 3, p. 25), a = 0.</ref>. Nous allons montrer que <math>(\N, +)</math> peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut « plonger » M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme ''ms''^-1, -que l’on notera (''m'' ''/'' ''s'') en notation multiplicative et (''m'' ''-'' ''s'') en notation additive,- ''m'' appartenant à M et ''s'' étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l’ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien <math>M \times S</math>, on considère la relation d'équivalence entre <math>(m_{1}, s_{1})</math> et <math>(m_{2}, s_{2})</math> définie par la condition <math>m_{1} s_{2} = m_{2} s_{1}</math>. On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour <math>m, n \in M</math> et <math>s, t \in S</math>, la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l’ensemble quotient d'une loi de composition <math>\star</math> qui peut être caractérisée par <math>m/s \star n/t = (mn)/(st)</math>. On munit ainsi l’ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté <math>M_{S}</math>. Le monoïde M est isomorphe au [[Monoïde/Définition d’un monoïde#Définition|sous-monoïde]] de <math>M_S</math> formé par les éléments de la forme (m/1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de <math>M_{S}</math> et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé. On vérifie en effet (i) que tout élément simplifiable s de M est inversible dans <math>M_{S}</math>, (ii) que ''s''^-1 est identique à la classe associée au couple (''1'',''s''), et (iii) que toute classe ''m''/''s'' associée au couple (''m'',''s'') est égale au produit ''ms''^-1 dans <math>M_{S}</math>. Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et <math>M_{S}</math> est un groupe. On étend, dans ce cas, la notation a/b à tous les éléments a et b du groupe <math>M_{S}</math>, en convenant que <math>a / b = ab^{-1}</math> (<math>a - b = a + (-b)</math> en contexte additif). <br /> Dans le cas particulier où M est le monoïde additif <math>\N</math>, on plonge ainsi <math>\N</math> dans un groupe commutatif noté ℤ, +, qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs. Soient a, b deux nombres naturels, et soit n le nombre naturel constituant l'écart entre a et b. Ainsi a+n=b ou bien a=b+n, selon que <math>a \leq b</math> ou bien <math>b \leq a</math>. L'élément (a-b) de ℤ peut donc s'écrire d'une des deux façons (0-n), (n-0) avec n naturel (selon que <math>a \leq b</math> ou <math>b \leq a</math>). On en tire que tout élément de ℤ est égal à un élément de la forme -n ou n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus <math>\N</math> à un sous-monoïde de ℤ). Autrement dit, <math>\Z = \N \cup -\N</math>. On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de ℤ qui appartienne à la fois à <math>\N</math> et à <math>-\N</math><ref>Voir les détails dans N. Bourbaki, ''Algèbre'', Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 2, num. 4 et 5, pp. 17-21.</ref>. On a dans ℤ une relation d'ordre total :<math>a \leq b \Leftrightarrow b-a \in \N</math> qui coïncide dans <math>\N</math> avec la relation d'ordre usuelle dans <math>\N</math>. Cette relation d'ordre dans ℤ est dite relation d'ordre usuelle dans ℤ. Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans ℤ sans la préciser, il s'agira de celle-là. Si ''r'' est un entier relatif, il résulte d'une remarque ci-dessus que ''r'' ou -r est naturel et qu’ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de ''r'' et on note <math>\ \vert r \vert </math> l'unique entier naturel qui appartient à l’ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r. Remarque : la méthode de plongement ci-dessus sert aussi à définir le [[Corps (mathématiques)/Définitions#Corps des fractions|corps des fractions d'un anneau intègre]]. L'anneau <math>\mathbb{Z}</math> est un anneau intègre et son corps des fractions est le corps <math>\mathbb{Q}</math> des nombres rationnels. Ce corps est un corps ordonné. == Sous-groupes == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe}} Un '''sous-groupe''' d'un groupe <math>(G,\star)</math> est un sous-ensemble H de G possédant les propriétés suivantes : * H est stable par la loi <math>\star</math> : <math>\forall x,y \in H : x \star y \in H</math> * l'élément neutre de G appartient à H * l'inverse de tout élément de H est dans H }} D'après la condition de stabilité, la loi <math>\star</math> de G induit une loi de composition interne dans H, qui, pour tous éléments h₁, h₂ de H, applique (h₁, h₂) sur l'élément h₁ <math>\star</math> h₂ de H. Cette loi induite est évidemment associative. Puisque l'élément neutre de G appartient à H, il est évidemment élément neutre pour la loi induite. Enfin, puisque pour tout élément ''h'' de H, l'inverse de ''h'' pour * appartient à H, il est clair que cet inverse est aussi l'inverse de ''h'' pour la loi induite. Tout ceci montre que la loi induite fait de H un groupe. {{Définition | contenu = Un '''sous-groupe propre''' d'un groupe G est un sous-groupe de G distinct de G. }} Cette définition est conforme à l'ouvrage de J. Calais<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Presses universitaires de France, 1984, p. 30. Rééd. 2014, p. 22.</ref> Certains auteurs appellent ''sous-groupe strict'' ce que nous appelons un sous-groupe propre<ref>Par exemple, pour Alain Debreil, ''Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes'', 2016, p. 5, un sous-groupe ''strict'' de G est par définition un sous-groupe de G distinct de G et un sous-groupe ''propre'' de G est par définition un sous-groupe à la fois strict et non trivial de G.</ref>. Pour exprimer que ''H'' est sous-groupe de ''G'', on écrit souvent<ref name=Calais30>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 30.</ref> <math>H \leq G</math>. De même, pour exprimer que ''H'' est un sous-groupe propre de ''G'', on écrit souvent<ref name=Calais30/> <math>\ H < G</math>. {{Théorème | titre=Caractérisation|contenu= H est un '''sous-groupe''' de G si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : * <math>H \subseteq G</math> * <math>H \ne \varnothing</math> * <math>\forall x,y \in H : x \star y^{-1} \in H</math> }} {{démonstration déroulante|contenu= Le sens direct est évident. Pour l'autre sens, H est dans G donc l'associativité reste vraie. H non vide donc il existe un élément <math>x</math>. D'après le troisième point, <math>x \star x^{-1} = e</math> est dans H ce qui montre que l'élément neutre appartient à H. Ensuite, d’après le troisième point, en choisissant <math>x = e</math> et y quelconque, <math>e \star y^{-1} = y^{-1} \in H</math> donc l'inverse de tout élément est dans H. La loi est bien sûr interne car pour tout <math>x,y \in H</math>, en choisissant x et <math>y^{-1}</math> dans le troisième point, <math>x \star (y^{-1})^{-1} = x \star y \in H</math>. Donc la loi est bien interne. D'où la conclusion. }} Exemples : * Dans tout groupe G, le singleton constitué par l'élément neutre de G est un sous-groupe de G. C'est le seul sous-groupe de G qui soit un groupe trivial. On l'appelle parfois le sous-groupe trivial de G. * Dans <math>(\Z,+)</math>, toute partie de la forme <math>n\Z</math> avec <math>n \in \N</math> est un sous-groupe. Nous verrons dans un autre chapitre que tout sous-groupe de <math>(\Z,+)</math> est de cette forme. *Dans le groupe <math>S_\Complex</math> des bijections de <math>\Complex</math> dans lui-même, l'ensemble des applications de la forme <math>z\mapsto az+b</math> avec <math>a,b\in\Complex</math> et <math>a\ne0</math> est un sous-groupe. C'est le groupe des [[similitude]]s directes du plan complexe. {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soit G un groupe. L'[[Application (mathématiques)/Famille#Opérations sur les familles|intersection d'une famille]] non vide de sous-groupes de G est un sous-groupe de G. }} {{démonstration déroulante|contenu= Soient <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille non vide de sous-groupes de G, et H son intersection (qui est bien définie, car <math>I\ne \varnothing</math>). *H est un sous-monoïde de G (comme [[Monoïde/Définition d’un monoïde#Partie génératrice|intersection de sous-monoïdes]]). *Si <math>x\in H</math> alors, pour tout i, on a <math>x\in H_i</math>, donc <math>x^{-1}\in H_i</math>. Comme c'est vrai pour tout i, <math>x^{-1}\in H</math>. }} {{Attention|Avec_fond = oui|Une réunion de sous-groupes n’est pas toujours un sous-groupe. Exemple (à l'intention d'un lecteur sachant déjà ce qu'est une [[Théorie des groupes/Groupes symétriques finis|transposition]]) : dans <math>\mathfrak{S}_3</math>, <math>\{id , (1 \ 2)\}</math> et <math>\{(id , (1 \ 3)\}</math> sont des sous-groupes mais leur réunion <math>\{id , (1 \ 2) , (1 \ 3)\}</math> n’est pas un sous-groupe car <math>(1 \ 3)(1 \ 2)\ =\ (1 \ 2 \ 3)</math>.) Voir dans les exercices à quelle condition la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.}} {{Définition | contenu = On appelle sous-groupe maximal d'un groupe G un élément maximal de l’ensemble des sous-groupes ''propres'' de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. Autrement dit, un sous-groupe M de G est dit sous-groupe maximal de G si M est un sous-groupe propre de G et qu’il n'existe pas de sous-groupe H de G tel que M < H < G. }} {{remarque|contenu= Cette définition est quelque peu abusive, puisque, en toute rigueur, le seul sous-groupe maximal de G pour la relation d'inclusion est G lui-même. Cet abus est cependant quasi universel. }} {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Si G est un groupe ''fini'', tout sous-groupe propre de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G. }} {{démonstration déroulante|contenu= Si H est un sous-groupe propre de G, il existe au moins un sous-groupe propre de G qui contient H, à savoir H lui-même. L'ensemble des ordres des sous-groupes propres de G qui contiennent H est donc non vide. D'autre part, puisque G est fini, cet ensemble est fini. Comme tout ensemble fini non vide de nombres naturels admet un plus grand élément, il existe donc un sous-groupe propre de G contenant H dont l’ordre est le plus grand possible. Il est clair qu'un tel sous-groupe propre de G est un sous-groupe maximal de G. On pourrait dire aussi que l’ensemble des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est un ensemble ordonné fini non vide et admet donc un élément maximal. }} En particulier, tout groupe fini G non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe maximal. (En effet, d’après ce qui précède, le sous-groupe propre 1 de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G.) == Homomorphismes == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Morphisme de groupes}} Un '''homomorphisme''' de groupes, parfois appelé morphisme de groupes, est un [[../Lois de composition internes, monoïdes#Loi de composition interne|morphisme de magmas]] d'un groupe <math>(G,*)</math> dans un groupe <math>(H,\star)</math>, c'est-à-dire une application <math>f:G \rightarrow H</math> vérifiant : :<math>\forall x,y \in G : f(x*y) = f(x) \star f(y)</math>. L'ensemble des homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H se note Hom(G, H). }} {{Définition | contenu = Un homomorphisme d'un groupe ''G'' dans lui-même est appelé un '''endomorphisme''' (de groupe) de ''G''. }} Rappelons que selon les conventions sur la préséance des évaluations, ''f''(''x''){{exp|–1}} désigne ( ''f''(''x'') ){{exp|–1}}. Cela étant, nous avons la {{Proposition|contenu= Soit ''f'' un homomorphisme d'un groupe ''G'' dans un groupe ''H''. Alors : *''f'' applique élément neutre sur élément neutre ; *pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''{{exp|–1}}) = ''f''(''x''){{exp|–1}}. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Voir les [[../Exercices/Lois de composition internes, monoïdes|exercices 1 et 2 du chapitre précédent]]. }} Exemples d'homomorphismes. :1) Si ''G'' et ''H'' sont des groupes, l’application de ''G'' dans ''H'' qui envoie tout élément de ''G'' sur l'élément neutre de ''H'' est un homomorphisme de ''G'' dans ''H'', qu'on appelle l'homomorphisme trivial de ''G'' dans ''H''. :2) Nous avons vu que, dans '''Z''', la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On en tire que si ''n'' est un élément de '''Z''', l’application <math>x \mapsto nx</math> de '''Z''' dans lui-même (multiplication par ''n'') est un endomorphisme de '''Z'''. Pour un morphisme de groupes de ''G'' dans ''H'', l'image de tout sous-groupe de ''G'' et la préimage de tout sous-groupe de ''H'', sont des sous-groupes de ''H'' et de ''G'' respectivement (c'est une conséquence immédiate de la [[Magma (mathématiques)#Morphismes|propriété correspondante pour les magmas]] et de la proposition précédente). En particulier : {{Proposition|titre=Noyau et image|contenu={{Wikipédia|Noyau (algèbre)#Noyau d'un morphisme de groupes|Noyau}} Si <math>f:G\rightarrow H</math> est un morphisme de groupes, *la [[Application (mathématiques)#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|préimage]] de l'élément neutre de ''H'', appelée '''noyau''' de ''f'', est un sous-groupe de ''G'', noté <math>\ker f</math> ; *l'[[Application (mathématiques)#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|'''image''']] de ''f'' est un sous-groupe de ''H''. }} Exemple. Le morphisme <math>(\R,+)\to(\Complex^*,\cdot),\;t\mapsto\operatorname e^{\mathrm it}</math> a pour noyau le sous-groupe <math>2\pi\Z</math> des réels de la forme <math>2\pi k</math> avec <math>k</math> entier, et pour image le sous-groupe des nombres complexes de module <math>1</math>. {{Définition |contenu= G et H étant des groupes, on dit que H est '''image homomorphe''' de G s'il existe un homomorphisme de groupes partant de G et dont H est l'image. Cela revient à dire qu’il existe un homomorphisme surjectif de G sur H. Pour une raison qui apparaîtra dans un prochain chapitre, on dit alors aussi que H est un '''quotient''' de G. }} {{Exemple|titre=Exercice|contenu= Démontrer que : #un homomorphisme est [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Les types d’applications|injectif]] si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre ; #si ''f'' et ''g'' sont deux homomorphismes d'un groupe ''G'' dans un même groupe, alors l'ensemble des éléments ''x'' de ''G'' tels que <math>f(x) = g(x)</math> est un sous-groupe de ''G''. {{Solution|contenu= #Soit <math>f:G\to H</math> un morphisme. #*Si <math>f</math> est injectif alors <math>\forall x\in G\quad x\in\ker f\Rightarrow f(x)=f(e_G)\Rightarrow x=e_G</math> donc <math>\ker f=\{e_G\}</math>. #*Si <math>\ker f=\{e_G\}</math> alors <math>\forall x,y\in G\quad f(x)=f(y)\Rightarrow f\left(x\ y^{-1}\right)=f(x)\ f(y)^{-1}=e_H\Rightarrow x\ y^{-1}\in\ker f\Rightarrow x\ y^{-1}=e_G\Rightarrow x=y</math> donc <math>f</math> est injectif. #Soient <math>f,g:G\to H</math> deux morphismes et <math>K=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}</math>. Alors, <math>e_G\in K</math> et <math>\forall x,y\in K\quad f\left(x\ y^{-1}\right)=f(x)\ f(y)^{-1}=g(x)\ g(y)^{-1}=g\left(x\ y^{-1}\right)</math> donc <math>x\ y^{-1}\in K</math>. }} }} Remarque. On notera parfois dans ce cours que certaines notions de la théorie des groupes sont des cas particuliers de notions de la {{w|théorie des catégories}}. Ces références à la théorie des catégories resteront toutefois marginales et pourront être ignorées par le lecteur non intéressé. Il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes et où la [[Magma (mathématiques)#Morphismes|composition des morphismes]] est la composition des homomorphismes de groupes en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la {{w|catégorie des groupes}}. De même, il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes abéliens, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes entre groupes abéliens et où la composition des morphismes est la composition des homomorphismes de groupes abéliens en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la {{w|catégorie des groupes abéliens}}. On montre facilement que dans chacune de ces deux catégories, les [[w:monomorphisme|monomorphismes]] sont exactement les homomorphismes injectifs (voir les exercices sur le présent chapitre). Il est également facile (voir [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|un exercice sur le chapitre « Sous-groupe distingué et groupe quotient »]] dans la suite du cours) de prouver que dans la catégorie des groupes abéliens, les [[w:épimorphisme|épimorphismes]] sont exactement les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. Un peu moins facilement, on prouve que c'est également vrai dans la catégorie des groupes (voir un exercice de la série [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). Tout cela explique que certains auteurs<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', 2^de éd., 1996, p. 18.</ref> appellent ''épimorphisme'' (de groupes) un homomorphisme surjectif de groupes et ''monomorphisme'' (de groupes) un homomorphisme injectif de groupes, sans allusion à la définition générale des épimorphismes et des monomorphismes. On imitera ces auteurs dans le présent cours et le lecteur peut donc considérer que les termes ''épimorphisme'' et ''monomorphisme'' sont respectivement des synonymes d'homomorphisme surjectif de groupes et d'homomorphisme injectif de groupes. == Isomorphismes == * Si un homomorphisme <math>f : G \rightarrow H</math> est bijectif, on parle d''''isomorphisme de groupes'''. (On montre qu'alors <math>f^{-1}</math> est lui aussi un morphisme de groupes et donc un isomorphisme de groupes.) * Un isomorphisme d'un groupe ''G'' sur lui-même est appelé un automorphisme de ''G''. Un automorphisme de ''G'' peut donc se définir aussi comme un endomorphisme bijectif de ''G''. Soient G, H et K trois groupes. Il existe évidemment un isomorphisme de G sur lui-même, car la transformation identique est un tel isomorphisme. S'il existe un isomorphisme de G sur H, il existe un isomorphisme de H sur G (l'inverse de n’importe quel isomorphisme de G sur H). Enfin, s'il existe un isomorphisme ''f'' de G sur H et un isomorphisme ''g'' de H sur K, alors il existe un isomorphisme de G sur K, car <math>g \circ f</math> est un tel isomorphisme. Ceci montre que la relation « il existe un isomorphisme de G sur H » est une relation d'équivalence entre groupes. {{Définition | contenu = Deux groupes sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de groupes de l'un sur l'autre. }} Un groupe isomorphe à un groupe G est parfois appelé ''une copie'' de G. D'après ce qui précède, la relation « être des groupes isomorphes » est une relation d'équivalence. On peut considérer que deux groupes isomorphes ont la même structure de groupe, qu'on passe de l'un à l'autre par un changement de notation. Nous écrirons <math>G\approx H</math> ou encore <math>G\cong H</math>pour exprimer que deux groupes ''G'' et ''H'' sont isomorphes. On a déjà noté qu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et on vérifie facilement que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes. Exemples d'isomorphismes de groupes. :1) Si ''G'' est un groupe, la permutation identique de ''G'' est évidemment un automorphisme de ''G''. :2) L'application <math>n\mapsto-n</math> de '''Z''' dans lui-même est un automorphisme du groupe (additif) '''Z'''. Plus généralement, si ''G'' est un groupe ''commutatif'', l’application <math>x\mapsto x^{-1}</math> de ''G'' dans lui-même est un automorphisme de ''G''. :3) Automorphismes intérieurs. Soient ''G'' un groupe et ''g'' un élément de ''G''. L'application <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> est un automorphisme de ''G''. (Par exemple, pour montrer que cette application est une permutation, on peut montrer qu'elle admet l’application <math>x \mapsto g^{-1}xg</math> pour réciproque.) Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de ''G''. :4) Si ''X'' et ''Y'' sont des ensembles équipotents, si ''f'' est une bijection de ''X'' sur ''Y'', l’application <math>\sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> du groupe symétrique ''S_X'' dans le groupe symétrique ''S_Y'' est un isomorphisme de ''S_X'' sur ''S_Y''. (Pour montrer que c’est une bijection, noter qu'on obtient sa réciproque en remplaçant <math>\ f</math> par <math>\ f^{-1}</math>.) Dans le cas particulier où ''X'' et ''Y'' sont égaux, ''f'' est un élément du groupe ''S_X'' et l'isomorphisme en question est un automorphisme intérieur. {{Wikipédia|en:Transport of structure|Transport de structure (en anglais)}} :5) Transport de structure.{{Ancre|Transport de structure}} Soient <math>(G, \cdot )</math> un groupe et ''f'' une bijection de l'ensemble G sur un ensemble X. La loi de composition <math>\star </math> dans X définie par <math>x \star y = f(f^{-1}(x) \cdot f^{-1}(y))</math> fait de X un groupe. C'est la seule loi de groupe (et même de magma) sur X pour laquelle la bijection ''f'' est un isomorphisme de G sur X. (Vérification facile.) On dit que <math>(X, \star)</math> est la structure de groupe transportée de <math>(G, \cdot )</math> sur X par ''f''. C'est un cas particulier du transport de structure d'un magma. On verra plus loin un exemple de trois groupes infinis abéliens dénombrables et deux à deux non isomorphes. {{Théorème |contenu= L'ensemble des automorphismes d'un groupe ''G'', muni de la composition, forme un groupe. Ce groupe est noté Aut(G). }} La démonstration est facile et laissée au lecteur. {{Théorème |contenu= Si ''G'' et ''H'' sont deux groupes isomorphes, les groupes Aut(G) et Aut(H) sont isomorphes. }} {{démonstration déroulante|contenu= Soient ''G'' et ''H'' deux groupes isomorphes. Pour tout isomorphisme ''f'' de ''G'' sur ''H'' et tout élément <math>\sigma </math> de Aut(G), <math>f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> est un composé d'isomorphismes de groupes et est donc un isomorphisme du groupe ''H'' sur lui-même, autrement dit un automorphisme de ''H''. Donc pour tout isomorphisme ''f'' de ''G'' sur ''H'', il existe une et une seule application, soit <math>\widetilde{f}</math>, de Aut(G) dans Aut(H) telle que, pour tout élément <math>\sigma </math> de Aut(G), :<math>\widetilde{f}(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}.</math> Prouvons que <math>\widetilde{f}</math> est un homomorphisme du groupe Aut(G) dans le groupe Aut(H). Si <math>\sigma</math> et <math>\tau</math> sont deux éléments de Aut(G), nous avons :<math>\widetilde{f}(\sigma \circ \tau) = f \circ (\sigma \circ \tau) \circ f^{-1}</math>, :<math>\widetilde{f}(\sigma \circ \tau) = (f \circ \sigma \circ f^{-1}) \circ (f \circ \tau \circ f^{-1})</math>, :<math>\widetilde{f}(\sigma \circ \tau) = \widetilde{f}(\sigma ) \circ \widetilde{f}(\tau )</math>, ce qui montre bien que <math>\widetilde{f}</math> est un homomorphisme du groupe Aut(G) dans le groupe Aut(H). Prouvons que l'homomorphisme <math>\widetilde{f}</math> de Aut(G) dans Aut(H) est un isomorphisme. Il suffit de prouver que l'homomorphisme <math>\widetilde{f^{-1}}:Aut(H) \rightarrow Aut(G)</math> est réciproque de <math>\widetilde{f}</math>. Pour tout élément <math>\sigma</math> de Aut(G), nous avons :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \widetilde{f} (\widetilde{f^{-1}} (\sigma))</math>, d'où, par définition de <math>\widetilde{f^{-1}}</math>, :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \widetilde{f} ( f^{-1} \circ \sigma \circ f)</math>, d'où, puisque <math>(\widetilde{f}</math> est un homomrphisme de Aut(G) dans Aut(H), :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \widetilde{f} (f^{-1}) \circ \widetilde{f} (\sigma) \circ \widetilde{f} (f).</math> Par définition de <math>\widetilde{f}</math>, nous pouvons remplacer dans le membre droit <math>\widetilde{f} (f^{-1})</math> par <math>f \circ f^{-1} \circ f^{-1}</math>, autrement par <math>f^{-1}</math>, nous pouvons remplacer <math>\widetilde{f} (\sigma)</math> par <math>f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> et <math>\widetilde{f} (f)</math> par <math>f \circ f \circ f^{-1}</math>, autrement dit par <math>f</math>. Nous obtenons ainsi :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = f^{-1} \circ (f \circ \sigma \circ f^{-1}) \circ f</math>, :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \sigma </math>, donc <math>\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}</math> est l'endomorphisme identique du groupe Aut(G). De même, <math>\widetilde{f^{-1}} \circ \widetilde{f}</math> est l'endomorphisme du groupe Aut(H), donc <math>\widetilde{f}</math> et <math>\widetilde{f^{-1}}</math> sont réciproques, donc <math>\widetilde{f}</math> est un isomorphisme de Aut(G) sur Aut(H). Puisque nous supposons G et H isomorphes, il existe au moins un isomorphisme <math>f</math> de G sur H, donc ce qui précède prouve que Aut(G) et Aut(H) sont isomorphes. }} == Puissances d'un élément == Soient ''G'' un groupe noté multiplicativement, ''x'' un élément de ''G'' et ''n'' un nombre naturel. On appelle ''n-ième puissance de x'' et on note <math>x^{n}</math> le composé d'une séquence de ''n'' éléments égaux à ''x''. (Ce composé a été défini au chapitre ''Lois de composition internes, monoïdes''.)<br /> Si le groupe ''G'' est noté additivement, on écrit ''nx'' plutôt que <math>x^{n}</math>.<br /> En particulier, en notation multiplicative, <math>x^{0}=1</math>, et en notation additive, 0x = 0 (le premier de ces deux zéros étant celui de '''Z''' et le second celui de ''G'').<br /> On étend la définition de <math>x^{n}</math> au cas où ''n'' est un entier relatif négatif en posant, pour ''r'' naturel > 0, :<math>x^{-r} = (x^{r})^{-1}</math>. En notation additive, ceci s'écrit :<math>(-r)x = -(rx)</math>. On démontre (par d'assez fastidieuses récurrences et distinctions entre cas positif et négatif) que, pour tous entiers rationnels ''m'' et ''n'', :<math>x^{m+n}=x^{m}x^{n}</math>, ce qui montre que, pour un ''x'' donné, l’application <math>n \mapsto x^{n}</math> de ℤ dans ''G'' est un homomorphisme. On vérifie facilement (récurrence sur ''n'') que c'est le seul homomorphisme de ℤ dans ''G'' qui applique 1 sur ''x''.<br /> En notation additive : (m+n)x = mx+nx et, pour un x donné, l’application <math>n \mapsto nx</math> de ℤ dans ''G'' est un homomorphisme. Si le groupe ''G'' est commutatif, alors <math>(xy)^{n}=x^{n}y^{n}</math> (récurrence sur ''n'' ou application d'un résultat plus général sur les séquences si ''n'' est naturel; passage aux inverses si ''n'' est négatif). En notation additive, cela s'écrit <math>n(x+y)=nx+ny</math>. Cela revient à dire que si ''G'' est commutatif, alors, pour un entier relatif n donné, l'application :<math>x \mapsto x^{n}</math> :(<math>x \mapsto nx</math> en notation additive) de ''G'' dans lui-même est un endomorphisme. {{Théorème | titre=Théorème |contenu= Soient ''G'' et ''H'' deux groupes et ''f'' un homomorphisme de ''G'' dans ''H''. Pour tout élément ''x'' de ''G'' et tout entier relatif ''n'', :<math>\ f(x^{n}) = f(x)^{n}</math>. }} Démonstration. Récurrence sur ''n'' pour ''n'' positif; passage aux inverses pour ''n'' négatif. == Multiplication dans ℤ == Dans le cas particulier où ''G'' est le groupe commutatif ℤ noté additivement, l’application <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math> est une loi de composition interne dans ℤ, qu'on appelle multiplication dans ℤ et qu'on note multiplicativement (par juxtaposition ou au moyen du symbole <math>\ \cdot </math>). À l'aide des résultats mentionnés dans la section précédente, on peut démontrer les propriétés classiques de la multiplication dans ℤ : coïncidence dans <math>\N</math> avec la multiplication dans <math>\N</math> définie en théorie des ensembles, associativité, neutralité de 1, commutativité, distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition. En raison de ces propriétés, l'addition et la multiplication font de ℤ un anneau commutatif. (Pour la notion d'anneau, voir [[Anneau (mathématiques)/Définitions|la leçon de Wikiversité sur ce sujet]].) Si ''r'' et ''s'' sont des entiers rationnels, <math>\ \vert rs \vert = \vert r \ \vert \cdot \vert s \vert </math>. Puisque le produit de deux nombres naturels non nuls est non nul, il en résulte que le produit de deux entiers rationnels non nuls est non nul, ce qui revient à dire que l'anneau ℤ est intègre. On dit qu'un entier relatif ''a'' divise un entier relatif ''b'' s'il existe un entier relatif ''c'' tel que a c = b. Il est clair qu'un entier relatif a divise un entier relatif ''b'' dans ℤ si et seulement si <math>\ \vert a \vert </math> divise <math>\ \vert b \vert </math> dans <math>\N</math>. En particulier, un nombre naturel ''a'' divise un nombre naturel ''b'' dans ℤ si et seulement si ''a'' divise ''b'' dans <math>\N</math>. Si ''G'' est un groupe, ''x'' un élément de ''G'' et ''m'', ''n'' des entiers rationnels, nous avons :<math>(x^{m})^{n} = x^{mn}</math> en notation multiplicative et :<math>n(mx) = (nm)x</math> en notation additive. L'énoncé qui suit suppose connue la notion de module sur un anneau (voir [[Module sur un anneau/Définitions|la leçon de Wikiversité sur les modules]]). {{Théorème | titre=Théorème. Les groupes abéliens comme ℤ-modules. |contenu= Soit G, + un groupe '''abélien'''. Il existe sur G une et une seule structure de ℤ-module dont la loi interne est la loi + de G. }} Démonstration. On a considéré plus haut la loi de composition externe <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math>. Des propriétés de cette loi que nous avons énoncées permettent de prouver qu'avec la loi interne +, elle munit G d'une structure de ℤ-module. Cela démontre l'assertion d'existence. Prouvons l'unicité, ce qui revient à prouver que si une loi externe <math>\star : \Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto n \star x</math> est telle que G, +, <math>\star </math> soit un ℤ-module, alors la loi <math>\star </math> est égale à la loi <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math>. Soit ''x'' un élément de G. Nous avons (propriétés élémentaires des modules) <math>0 \star x = 0</math> et, pour tout nombre naturel ''n'', <math>(n + 1) \star x = n \star x + 1 \star x = n \star x + x</math>, d'où on tire par récurrence sur ''n'' que <math>n \star x = n x</math> pour tout nombre naturel ''n''. En passant aux opposés, nous trouvons <math>-(n \star x) = -(n x)</math>, autrement dit <math>-(n \star x) = (-n) x</math> (voir la définition de (-n) x). Toujours d'après les propriétés élémentaires des modules, le premier membre <math>-(n \star x)</math> est égal à <math>(-n) \star x</math>, d'où <math>(-n) \star x = (-n) x</math>. On a donc prouvé que pour tout entier rationnel ''r'', <math>r \star x = r x</math>. Comme ceci est démontré pour tout élément ''x'' de G, la loi <math>\star </math> est égale à la loi <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math>, comme annoncé. Par une construction analogue à celle du groupe des entiers relatifs à partir du monoïde des entiers naturels, on construit à partir de l'anneau (intègre) <math>\Z</math> le corps <math>\Q</math> des nombres rationnels, qui est le corps des fractions de l'anneau ℤ. Nous ne détaillerons pas cette construction et supposerons connu le corps des nombres rationnels, ainsi que ses propriétés de corps ordonné. == Parties génératrices == {{Wikipédia|Partie génératrice d'un groupe}} {{Définition |titre = Définition : sous-groupe engendré par une partie d'un groupe | contenu = Si ''A'' est une partie d'un groupe ''G'', l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent A est un sous-groupe de G d’après ce qui précède. C'est évidemment le plus petit sous-groupe de ''G'' contenant ''A'' (« plus petit » correspondant à la relation d'ordre inclusion). On l'appelle le sous-groupe engendré par ''A'' et nous le noterons 〈''A''〉. }} {{Définition |titre = Définition : partie génératrice d'un groupe | contenu = On dit qu'une partie ''A'' d'un groupe ''G'' engendre ''G'', ou encore que ''G'' est engendré par ''A'', ou encore que ''A'' est une partie génératrice de ''G'', si 〈''A''〉 = ''G''. (''G'' est alors le seul sous-groupe de ''G'' qui contient ''A''.) Si <math>\left(x_i\right)_{i\in I}</math> est une famille d'éléments d'un groupe ''G'' telle que l'ensemble <math>\{x_{i}|i \in I \}</math> des valeurs de cette famille soit une partie génératrice de ''G'', nous dirons parfois que <math>\left(x_i\right)_{i\in I}</math> est une famille génératrice de ''G''. }} Si ''G'' est un groupe et ''X'' une partie (non forcément génératrice) de ''G'', le sous-groupe de ''G'' engendré par ''X'' est un groupe admettant ''X'' pour partie génératrice, donc les deux définitions qui précèdent sont cohérentes quant à l'usage du même mot « engendré ». Si <math>\left(A_i\right)_{i\in I}</math> est une famille de parties de ''G'', le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>\cup_{i\in I}A_i</math> est aussi appelé le sous-groupe de ''G'' engendré par les parties <math>A_i</math>, ou encore par les <math>A_i</math>. Nous noterons ce sous-groupe <math>\langle A_i\mid i\in I\rangle</math>. Nous dirons qu'un groupe est '''de type fini''' s'il admet une partie génératrice finie<ref>Cette définition correspond à J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', P.U.F., 1984, p. 35.</ref> et qu'il est de type infini dans le cas contraire, c'est-à-dire si toutes ses parties génératrices sont infinies. {{Théorème | titre=Description constructive du sous-groupe engendré|contenu= Soit ''A'' une partie d'un groupe ''G''. Le sous-groupe de ''G'' engendré par ''A'' est l’ensemble des produits de séquences d'éléments de ''G'' où n'apparaissent que des éléments de ''A'' ou des inverses d'éléments de ''A''. Autrement dit, c’est l’ensemble des éléments de ''G'' qui peuvent se mettre sous la forme :<math>x_1\ldots x_n</math>, <math>n</math> parcourant les nombres naturels (≥ 0) et les <math>x_i</math> parcourant les éléments de <math>A\cup A^{-1}</math>. }} {{démonstration déroulante|contenu= Ces éléments de ''G'' forment un sous-groupe ''H'' de G qui contient ''A'' et tout sous-groupe de G qui contient ''A'' doit comprendre ces éléments, donc doit contenir ''H'', ce qui prouve la minimalité de ''H'' comme sous-groupe contenant A. }} Si <math>A_1,\ldots,A_n</math> sont des parties de ''G'', le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A_1\cup\ldots\cup A_n</math> se désigne aussi comme le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A_1,\ldots,A_n</math> et se note <math>\langle A_1,\ldots,A_n\rangle</math> plutôt que <math>\langle A_1\cup\ldots\cup A_n\rangle</math>. Si la partie ''A'' de ''G'' se réduit à un élément ''a'', on dit « sous-groupe engendré par ''a'' » au lieu de « sous-groupe engendré par {''a''} » et on écrit 〈''a''〉 au lieu de 〈{''a''}〉. De même, le sous-groupe engendré par la partie finie <math>\{a_1,\ldots,a_n\}</math> est appelé « sous-groupe engendré par <math>a_1,\ldots,a_n</math> » et noté <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. {{Définition |titre = Définition : groupe monogène | contenu = Un groupe est dit '''monogène''' s'il est engendré par une partie à un élément. }} D'après la caractérisation ci-dessus des éléments de 〈''A''〉 (« description constructive du sous-groupe engendré »), il est clair que si ''G'' est un groupe et ''a'' un élément de ''G'', le groupe (monogène) <math>\langle a \rangle </math> est l’ensemble des éléments de ''G'' de la forme <math>a^n</math>, ''n'' parcourant ℤ. Un groupe G est donc monogène si et seulement s'il existe un élément ''a'' de G tel que tout élément de G soit de la forme <math>a^n</math>, avec ''n'' dans <math>Z</math>. Il en résulte clairement que {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Tout groupe monogène est abélien. }} Nous reviendrons aux groupes monogènes au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]. {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient <math>f:G\to H</math> un homomorphisme de groupes et ''A'' une partie de ''G''. Désignons par 〈''A''〉 le sous-groupe de ''G'' engendré par ''A''. Le sous-groupe de ''H'' engendré par ''f''(''A'') est égal à ''f''(〈''A''〉). }} {{démonstration déroulante|contenu= D'après la « description constructive » que nous avons donnée de <A>, les éléments de <A> sont les éléments de ''G'' de la forme :<math>a_{1} \ldots a_{n}</math>, où ''n'' parcourt les nombres naturels <math>\geq 0</math> et où <math>a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}</math> parcourent <math>A \cup A^{-1}</math>.<br /> Puisque ''f'' est un homomorphisme, il en résulte clairement que les éléments de f(<A>) sont les éléments de ''H'' de la forme :<math>f(a_{1}) \ldots f(a_{n})</math>, où ''n'' parcourt les nombres naturels <math>\geq 0</math> et où <math>a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}</math> parcourent <math>A \cup A^{-1}</math>.<br /> Autrement dit, f(<A>) est l’ensemble des éléments de ''H'' de la forme :<math>b_{1} \ldots b_{n}</math>, où ''n'' parcourt les nombres naturels <math>\geq 0</math> et où <math>b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}</math> parcourent <math>f(A \cup A^{-1}) = f(A) \cup f(A)^{-1}</math>.<br /> D'après la « description constructive » du sous-groupe engendré, cela revient à dire que f(<A>) est le sous-groupe de ''H'' engendré par f(A), ce qui démontre l'énoncé. }} {{remarque|contenu= Il existe des structures mathématiques pour lesquelles on n'a pas de « description constructive » de la sous-structure engendrée. (On en rencontre en théorie de la mesure.) On peut donc trouver que la démonstration qui précède repose sur un aspect un peu adventice du sous-groupe engendré. Voici une démonstration qui n'a pas cet inconvénient.}} {{Démonstration déroulante |contenu = Puisque l'image d'un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d'arrivée, <math>f(<A>)</math> est un sous-groupe de ''H'' ; de plus, puisque <math>A \subseteq \langle A\rangle</math>, <math>f(<A>)</math> contient <math>f(A)</math>. Ainsi, <math>f(<A>)</math> est un sous-groupe de ''H'' qui contient <math>f(A)</math>. Par minimalité de 〈 ''f''(''A'') 〉, nous avons donc :<math>\langle f(A)\rangle\subseteq f(\langle A\rangle)</math>. Prouvons l'inclusion réciproque, à savoir :<math>f(<A>) \subseteq <f(A)></math>. Il revient au même de prouver que tout sous-groupe ''K'' de ''H'' qui contient f(A) contient f(<A>). Or <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de ''G'' qui contient ''A'', donc, par minimalité de <A>, :<math><A> \subseteq f^{-1}(K)</math>, donc <math>f(<A>) \subseteq K</math>, ce qui démontre notre argument. }} D'après le théorème qui précède, toute image homomorphe d'un groupe monogène est monogène. En particulier, tout groupe isomorphe à un groupe monogène est monogène. Exemple de trois groupes abéliens infinis [[Introduction aux mathématiques/Rudiments de combinatoire#Ensembles dénombrables|dénombrables]] et deux à deux non isomorphes. :Les groupes <math>(\Z,+)</math>, <math>(\Q,+)</math> et <math>(\Q_+^*,\times)</math> sont tous les trois dénombrables, [[#Groupe : définitions et exemples|abéliens]] et [[w:Torsion (algèbre)|sans torsion]], mais sont deux à deux non isomorphes car le second est le seul à être [[w:Groupe divisible|divisible]] et même, le seul dans lequel tout élément est divisible par 2 (dans ℤ, <math>1</math> n'est pas de la forme <math>k+k</math> et dans <math>\Q^*</math>, <math>2</math> n'est pas de la forme <math>r\times r</math>) et le premier est le seul des trois à être monogène et même, le seul [[w:Théorème de structure des groupes abéliens de type fini#Structure des groupes abéliens sans torsion de type fini|de type fini]] (<math>\Q_+^*</math> est [[Module sur un anneau/Définitions#Modules libres et de type fini|abélien libre mais de rang]] infini dénombrable, une base étant l'ensemble des nombres premiers). {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''f'' et ''g'' deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H, X une partie génératrice de G. Si ''f'' et ''g'' coïncident en tout point de X, ils sont égaux. }} {{démonstration déroulante|contenu= D'après une précédente proposition, l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que f(x) = g(x) est un sous-groupe de G. D'après les hypothèses, ce sous-groupe contient la partie génératrice X et est donc égal à G tout entier, ce qui prouve que f = g. }} {{Théorème |titre=Proposition |contenu= Soient G, H deux groupes et X une partie génératrice de G. Un homomorphisme ''f'' de G dans H est surjectif si et seulement si f(X) est une partie génératrice de H. }} {{démonstration déroulante|contenu= D'après une précédente proposition, <f(X)> = f(<X>), donc, puisque X est une partie génératrice de G (ce qui entraîne <X> = G), :(1) <f(X)> = f(G). Dire que ''f'' est surjectif revient à dire que f(G) = H, autrement dit, d’après (1), que <f(X)> = H, ce qui revient à dire que f(X) est une partie génératrice de H. }} == Le treillis des sous-groupes d'un groupe == Rappelons qu'en théorie des ensembles, on définit un treillis comme un ensemble ordonné E tel que pour tous éléments ''x'', ''y'' de E, la partie <math>\{x, y \}</math> de E ait une borne supérieure et une borne inférieure dans E. (Vu le sens qu'on donne en mathématiques à l'expression « pour tous », l'ensemble ordonné vide est un treillis. Tout ensemble ordonné à un seul élément est un treillis.) Nous définirons un ''treillis achevé''<ref>Bourbaki, Théorie des ensembles, réimpr. Springer 2006, chap. III, § 1, p. III.13, appelle ''ensemble réticulé'', ou ''réseau ordonné'', ou ''lattis'', ce qu'on appelle aujourd'hui un treillis. Il définit (exercice 11 sur le chap. III, § 1, p. III.71) un ensemble réticulé achevé comme un ensemble réticulé où toute partie admet une borne supérieure et une borne inférieure. C'est par analogie avec le vocabulaire de Bourbaki que nous adoptons notre définition d'un treillis achevé.</ref> comme un ensemble ordonné E tel que toute partie de E ait une borne supérieure et une borne inférieure dans E. Il est clair que tout treillis achevé est un treillis. Tout treillis achevé admet un plus petit et un plus grand élément; en effet, si E est un treillis achevé, la partie E de E admet une borne inférieure, ce qui signifie que l'ensemble des minorants de E admet un plus grand élément et n'est donc pas vide, donc E admet un minorant et ce minorant est évidemment le plus petit élément de E; de même, E a un plus grand élément. En particulier, un treillis achevé n'est jamais vide (alors que l'ensemble ordonné vide est un treillis). On prouve que tout treillis fini et non vide est achevé. (Pour prouver que toute partie X du treillis admet une borne supérieure et une borne inférieure, on peut raisonner par récurrence sur le cardinal de X.) Pour un groupe G, fini ou infini, notons Sgr(G) l'ensemble des sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (Ce n'est pas une notation standard.) Prouvons que Sgr(G) est un treillis achevé. Il s'agit de prouver que si <math>\mathcal{F}</math> est un ensemble de sous-groupes de G, <math>\mathcal{F}</math> a une borne inférieure et une borne supérieure dans Sgr(G). On vérifie facilement que le sous-groupe de G engendré par la réunion des sous-groupes appartenant à <math>\mathcal{F}</math> est la borne supérieure de <math>\mathcal{F}</math> dans Sgr(G). Il reste à prouver que <math>\mathcal{F}</math> a une borne inférieure dans Sgr(G). Si <math>\mathcal{F}</math> n'est pas vide, on peut parler de l'intersection des sous-groupes de G appartenant à <math>\mathcal{F}</math> et cette intersection est clairement la borne inférieure de <math>\mathcal{F}</math> dans Sgr(G). Si maintenant <math>\mathcal{F}</math> est vide, nous pouvons utiliser le fait que G est le plus grand élément de Sgr(G) et que dans un ensemble ordonné ayant un plus grand élément, ce plus grand élément est la borne ''inférieure'' (sic) de la partie vide. (Dans un ensemble ordonné E ayant un plus grand élément max(E) et un plus petit élément min(E), nous avons min(E) = sup(<math>\varnothing</math>) et max(E) = inf(<math>\varnothing</math>), d'où sup(<math>\varnothing</math>) <math>\leq</math> inf(<math>\varnothing</math>). Pour toute partie non vide X de E ayant une borne inférieure et une borne supérieure, c'est la relation inverse inf(X) <math>\leq</math> sup(X) qui a lieu.) == Opposé d'un groupe == Soit ''G'' un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition <math> \star </math> sur l’ensemble sous-jacent de ''G'' définie par : : <math> x \star y = yx </math> est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé le groupe opposé de ''G'', ou l'opposé de ''G''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 4, {{numéro}}1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.</ref>. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de ''G'' est ''G'' lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, ''G'' est isomorphe à son opposé par l’application <math>x \mapsto x^{-1} </math>.<br /> (La considération du groupe opposé nous permettra d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.) == Identité de Dedekind == {{Théorème |titre=Identité de Dedekind |contenu= Soient G un groupe, U et V des parties de G telles que G = UV. Pour tout sous-groupe H de G contenant U, <math>H = U (V \cap H).</math> Pour tout sous-groupe K de G contenant V, <math>K = (U \cap K) V.</math> }} {{démonstration déroulante|contenu= Soit <math>h \in H.</math> Puisque G = UV, il existe <math>u \in U</math> et <math>v \in V</math> tels que <math>\ h = uv</math>. Alors <math>\ v = u^{-1}h,</math> donc, puisque H est un sous-groupe de G contenant U, <math>\ v \in H,</math> <math>\ v \in V \cap H,</math> donc <math>h \in U (V \cap H),</math> <math>H \subseteq U (V \cap H).</math> Puisque H est un sous-groupe de G, l'inclusion réciproque est claire, donc <math>H = U (V \cap H).</math> La seconde partie de l'énoncé se démontre de façon semblable. (On pourrait aussi la tirer de la première partie, appliquée au groupe opposé de G.) }} Remarque. L'identité de Dedekind est le plus souvent utilisée quand U et V sont des sous-groupes de G, mais elle nous servira sous sa forme générale dans la démonstration des théorèmes de Gaschütz et de Schur-Zassenhaus. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Lois de composition internes, monoïdes/]] | suivant = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] }} 23r46wg9lpg8vwllia96wz7ai6q41un 982246 982245 2026-04-28T07:38:57Z Marvoir 1746 /* Groupe : définitions et exemples */ coquille 982246 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 2 | précédent = [[../Lois de composition internes, monoïdes/]] | suivant = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | page_liée = Exercices/Groupes, premières notions }} == Groupe : définitions et exemples == {{Définition | contenu = Un '''groupe''' <math>(G,\star)</math> est un monoïde où tout élément admet un symétrique. }} Un '''groupe''' <math>(G,\star)</math> est donc un ensemble muni d'une loi de composition interne <math>\ \star </math> possédant les propriétés suivantes : * La loi de composition est associative : <math>\forall x,y,z \in G : x \star (y \star z) = (x \star y) \star z</math> ; * Il existe un (et un seul) '''élément neutre''', noté ''e'' vérifiant <math>\forall x \in G : x \star e = e \star x = x</math> ; * Tout élément a un symétrique (dit aussi inverse en notation multiplicative et opposé en notation additive), <math>\forall x \in G, \exists y \in G, x \star y = y \star x = e.</math> Remarque : le symétrique de ''x'' est noté x{{exp|-1}} en notation multiplicative et -x en notation additive. Comme on l'a vu dans le chapitre sur les monoïdes, * l'élément neutre est unique ; * un élément donné n'a qu'un symétrique ; * le symétrique du symétrique d'un élément ''x'' est ''x'' lui-même. On vérifie facilement que si un magma M est isomorphe comme magma à un groupe, M est un groupe. {{Théorème | titre=Théorème |contenu= Tout élément d'un groupe est simplifiable. }} Démonstration. Nous avons vu dans le chapitre sur les monoïdes que tout élément inversible d'un monoïde est simplifiable. {{Théorème | titre=Théorème |contenu= Soit ''x'' un élément d'un groupe G. Si ''y'' est un élément de G tel que xy = 1 ou yx = 1, y est l'inverse de ''x'' }} Démonstration. Supposons d’abord xy = 1 et prouvons que ''y'' est l'inverse de ''x''. Il suffit de multiplier à gauche les deux membres de l'égalité xy = 1 par x{{exp|-1}} et d'appliquer l'associativité. Si maintenant y x = 1, on peut multiplier à droite par x{{exp|-1}}, ou encore dire que d’après le résultat précédent, ''x'' est l'inverse de ''y'', ce qui entraîne que ''y'' est l'inverse de ''x''. On supposera dans ce cours que le lecteur connaît la notion de [[w:Cardinalité_(mathématiques)|cardinal]] infini et ses propriétés les plus classiques. On notera <math>\vert X \vert</math> ou encore Card(X) le cardinal d'un ensemble X. {{Définition | contenu = L<nowiki>'</nowiki>'''ordre''' d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. On notera <math>\vert G \vert</math> l'ordre du groupe G. Certains auteurs<ref>Voir par exemple P. Tauvel, ''Algèbre'', 2de éd., Dunod, 2005, p. 39, théor. 4.3.3.</ref> appellent cardinal d'un groupe ce que nous appelons l'ordre de ce groupe. }} Un groupe d'ordre fini (resp. infini) est encore appelé un groupe fini (resp. infini) etc. Exemples. 1) Tout singleton <math>\{e\}</math> se munit d'une et une seule façon d'une structure de groupe, la loi étant définie par <math>e.e=e</math>. Un groupe dont l'ensemble sous-jacent est un singleton est appelé un groupe trivial. Un groupe est donc trivial si et seulement s'il est réduit à son élément neutre. 2) Si A, B, C sont des ensembles, si <math>f</math> est une application de A dans B et <math>g</math> une application de B dans C, on notera dans ce cours <math>g \circ f</math> l'application <math>x \mapsto g(f(x))</math> de A dans C. (On compose donc de droite à gauche. Certains auteurs composent de gauche à droite, c'est-à-dire qu'ils écrivent <math>f g</math> là où nous écrivons <math>g \circ f</math>.) Soit ''X'' un ensemble. Rappelons qu'en théorie des ensembles, on appelle permutation de ''X'' une bijection de ''X'' sur lui-même. L'application de ''X'' dans lui-même qui applique chaque élément sur lui-même est évidemment une permutation de ''X'', que nous noterons id_''X''. Soient ''f'', ''g'' et ''h'' des permutations de ''X''. On montre en théorie des ensembles que :* <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g )\circ h</math> :* <math>f \circ id_{X} = id_{X} \circ f = f</math> :* <math>f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id_{X}</math>, où ''f''{{exp|-1}} désigne la permutation réciproque de ''f'', définie en théorie des ensembles. Cela montre que l’ensemble des permutations de ''X'', muni de la loi de composition <math>\circ </math>, est un groupe, qu'on appelle ''groupe symétrique'' de ''X'', et qu'on note <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math>. Dans le cas particulier où ''X'' est l’ensemble <math>\{1, \ldots , n \}</math> pour un certain nombre naturel ''n'', on écrit <math>\ S_{n}</math> plutôt que <math>\ S_{X}</math>.</br> On démontre en analyse combinatoire que les permutations d'un ensemble fini de cardinal ''n'' sont en nombre ''n''! (factorielle de ''n''), donc si E est un ensemble fini de cardinal ''n'', le groupe symétrique <math>\ S_{E}</math> est d'ordre n! 3) L'ensemble des entiers relatifs (ou entiers rationnels), muni de l'addition des entiers est un autre exemple de groupe. (Cet ensemble est connu dès le niveau des lycées et collèges, mais nous le construirons dans la suite du présent chapitre.) On sait que la somme de deux entiers ne dépend pas de l’ordre dans lequel l'addition est effectuée, autrement dit le composé de deux éléments du groupe en question ne dépend pas de l'ordre dans lequel on leur applique la loi de groupe. On dit qu'un tel groupe est commutatif, ou encore abélien : {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Groupe abélien}} Un '''groupe abélien''' (ou commutatif) <math>(G,\star)</math> est un groupe dont la loi de composition est commutative, c'est-à-dire, rappelons-le, que cette loi satisfait à la condition : :<math>\forall x,y \in G : x \star y = y \star x</math>. }} Dire qu'un groupe est abélien revient à dire qu'il est commutatif comme monoïde. {{Théorème | titre=Exemple de groupe non commutatif.|contenu= Si ''X'' est un ensemble d'au moins trois éléments, le groupe S_X n’est pas commutatif. }} Démonstration. Si ''x'' et ''y'' sont deux éléments distincts de ''X'', désignons par (''x'', ''y'') la permutation de ''X'' qui applique ''x'' sur ''y'', ''y'' sur ''x'', et laisse fixes tous les autres éléments de ''X''. Par hypothèse, nous pouvons choisir trois éléments distincts ''a'', ''b'' et ''c'' de ''X''. Les permutations :<math>(a,b)\circ (b,c)</math> et <math> (b,c) \circ (a,b)</math> ne sont pas égales, car la première applique ''b'' sur ''c'' et la seconde l'applique sur ''a''. Ceci prouve bien que le groupe S_X n’est pas commutatif. ''Remarque :'' Quand on parle d'un groupe, il arrive (souvent) que la loi soit sous-entendue, mais s'il y a un risque de confusion il faut l'expliciter.<br />Par convention ''tacite'', la loi d'un groupe est généralement notée de la même façon que la multiplication, d'élément neutre 1. Toutefois, les groupes abéliens sont souvent notés comme l'addition, d'élément neutre 0 et d'inverse -x (on dit « l'opposé »). On a tendance à réserver la notation additive aux groupes abéliens, mais il n'y a pas de règle absolue. Souvent les notations dépendent de la nature des objets constituant le groupe. == Extension de la loi aux parties == Si <math>X</math> et <math>Y</math> sont des parties d'un groupe <math>G</math> noté multiplicativement, nous désignerons par <math>XY</math> l’ensemble des éléments de <math>G</math> de la forme <math>xy</math> avec <math>x \in X</math> et <math>y \in Y</math>. Nous désignerons par <math>X^{-1}</math> l’ensemble des éléments de G de la forme <math>x^{-1}</math> avec <math>x \in X</math>.<br /> Il est clair que, pour toutes parties <math>X, Y</math> et <math>Z</math> de <math>G</math>, nous avons : :<math>(XY)Z = X(YZ)</math> :<math>(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}</math> :<math>(X^{-1})^{-1} = X</math> Si X est le singleton <math>\{x\}</math>, on écrit <math>xY</math> au lieu de <math>\{x\}Y</math> et, de même, <math>Yx</math> au lieu de <math>Y\{x\}</math>. En notation additive, on écrit <math>X+Y</math> au lieu de <math>XY</math>, et <math>-X</math> au lieu de <math>X^{-1}</math>. == Groupe additif des entiers relatifs et des nombres rationnels == {{Wikipédia|Construction des entiers relatifs}} (Cette section peut être omise en première lecture.) L'ensemble <math>\N</math> des nombres naturels, muni de l'addition, est un monoïde commutatif où tout élément est simplifiable. Le seul élément de ce monoïde qui admette un opposé est 0<ref>Pour le prouver dans le cadre de Bourbaki, où les entiers naturels sont définis comme des cardinaux, on peut dire que si un entier naturel ''a'' admet un opposé ''b'', alors a + b = 0, d'où (N. Bourbaki, ''Théorie des ensembles'', Paris, 1998, ch. III, § 3, prop. 13, p. 29) a ≤ 0, d'où, puisque 0 est le plus petit des cardinaux (ib. § 3, p. 25), a = 0.</ref>. Nous allons montrer que <math>(\N, +)</math> peut être « plongé » dans un groupe. De façon générale, si M est un monoïde commutatif, on peut « plonger » M dans un monoïde commutatif plus grand, où tout élément est de la forme ''ms''^-1, -que l’on notera (''m'' ''/'' ''s'') en notation multiplicative et (''m'' ''-'' ''s'') en notation additive,- ''m'' appartenant à M et ''s'' étant un élément simplifiable de M. On procède comme suit. Soit S l’ensemble des éléments simplifiables de M. Dans le produit cartésien <math>M \times S</math>, on considère la relation d'équivalence entre <math>(m_{1}, s_{1})</math> et <math>(m_{2}, s_{2})</math> définie par la condition <math>m_{1} s_{2} = m_{2} s_{1}</math>. On note m/s (en contexte multiplicatif) la classe d'équivalence de (m,s). On montre que, pour <math>m, n \in M</math> et <math>s, t \in S</math>, la classe d'équivalence de (mn, st) ne dépend que des classes d'équivalence de (m,s) et (n,t), ce qui permet de munir l’ensemble quotient d'une loi de composition <math>\star</math> qui peut être caractérisée par <math>m/s \star n/t = (mn)/(st)</math>. On munit ainsi l’ensemble quotient d'une structure de monoïde. Ce monoïde est noté <math>M_{S}</math>. Le monoïde M est isomorphe au [[Monoïde/Définition d’un monoïde#Définition|sous-monoïde]] de <math>M_S</math> formé par les éléments de la forme (m/1), m parcourant M. On identifie M à ce sous-monoïde de <math>M_{S}</math> et on a donc bien «plongé» M dans un monoïde tel qu'annoncé. On vérifie en effet (i) que tout élément simplifiable s de M est inversible dans <math>M_{S}</math>, (ii) que ''s''^-1 est identique à la classe associée au couple (''1'',''s''), et (iii) que toute classe ''m''/''s'' associée au couple (''m'',''s'') est égale au produit ''ms''^-1 dans <math>M_{S}</math>. Si tout élément de M est simplifiable, S est égal à M tout entier et <math>M_{S}</math> est un groupe. On étend, dans ce cas, la notation a/b à tous les éléments a et b du groupe <math>M_{S}</math>, en convenant que <math>a / b = ab^{-1}</math> (<math>a - b = a + (-b)</math> en contexte additif). <br /> Dans le cas particulier où M est le monoïde additif <math>\N</math>, on plonge ainsi <math>\N</math> dans un groupe commutatif noté ℤ, +, qu'on appelle groupe des entiers rationnels, ou des entiers relatifs. Soient a, b deux nombres naturels, et soit n le nombre naturel constituant l'écart entre a et b. Ainsi a+n=b ou bien a=b+n, selon que <math>a \leq b</math> ou bien <math>b \leq a</math>. L'élément (a-b) de ℤ peut donc s'écrire d'une des deux façons (0-n), (n-0) avec n naturel (selon que <math>a \leq b</math> ou <math>b \leq a</math>). On en tire que tout élément de ℤ est égal à un élément de la forme -n ou n, avec n naturel (si on identifie comme ci-dessus <math>\N</math> à un sous-monoïde de ℤ). Autrement dit, <math>\Z = \N \cup -\N</math>. On peut aussi montrer que 0 est le seul élément de ℤ qui appartienne à la fois à <math>\N</math> et à <math>-\N</math><ref>Voir les détails dans N. Bourbaki, ''Algèbre'', Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 2, num. 4 et 5, pp. 17-21.</ref>. On a dans ℤ une relation d'ordre total :<math>a \leq b \Leftrightarrow b-a \in \N</math> qui coïncide dans <math>\N</math> avec la relation d'ordre usuelle dans <math>\N</math>. Cette relation d'ordre dans ℤ est dite relation d'ordre usuelle dans ℤ. Quand nous parlerons d'une relation d'ordre dans ℤ sans la préciser, il s'agira de celle-là. Si ''r'' est un entier relatif, il résulte d'une remarque ci-dessus que ''r'' ou -r est naturel et qu’ils ne le sont tous deux que si r = -r = 0. On appelle valeur absolue de ''r'' et on note <math>\ \vert r \vert </math> l'unique entier naturel qui appartient à l’ensemble {r, -r}. C'est aussi le plus grand des deux entiers rationnels r et -r. Remarque : la méthode de plongement ci-dessus sert aussi à définir le [[Corps (mathématiques)/Définitions#Corps des fractions|corps des fractions d'un anneau intègre]]. L'anneau <math>\mathbb{Z}</math> est un anneau intègre et son corps des fractions est le corps <math>\mathbb{Q}</math> des nombres rationnels. Ce corps est un corps ordonné. == Sous-groupes == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe}} Un '''sous-groupe''' d'un groupe <math>(G,\star)</math> est un sous-ensemble H de G possédant les propriétés suivantes : * H est stable par la loi <math>\star</math> : <math>\forall x,y \in H : x \star y \in H</math> * l'élément neutre de G appartient à H * l'inverse de tout élément de H est dans H }} D'après la condition de stabilité, la loi <math>\star</math> de G induit une loi de composition interne dans H, qui, pour tous éléments h₁, h₂ de H, applique (h₁, h₂) sur l'élément h₁ <math>\star</math> h₂ de H. Cette loi induite est évidemment associative. Puisque l'élément neutre de G appartient à H, il est évidemment élément neutre pour la loi induite. Enfin, puisque pour tout élément ''h'' de H, l'inverse de ''h'' pour * appartient à H, il est clair que cet inverse est aussi l'inverse de ''h'' pour la loi induite. Tout ceci montre que la loi induite fait de H un groupe. {{Définition | contenu = Un '''sous-groupe propre''' d'un groupe G est un sous-groupe de G distinct de G. }} Cette définition est conforme à l'ouvrage de J. Calais<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Presses universitaires de France, 1984, p. 30. Rééd. 2014, p. 22.</ref> Certains auteurs appellent ''sous-groupe strict'' ce que nous appelons un sous-groupe propre<ref>Par exemple, pour Alain Debreil, ''Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes'', 2016, p. 5, un sous-groupe ''strict'' de G est par définition un sous-groupe de G distinct de G et un sous-groupe ''propre'' de G est par définition un sous-groupe à la fois strict et non trivial de G.</ref>. Pour exprimer que ''H'' est sous-groupe de ''G'', on écrit souvent<ref name=Calais30>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 30.</ref> <math>H \leq G</math>. De même, pour exprimer que ''H'' est un sous-groupe propre de ''G'', on écrit souvent<ref name=Calais30/> <math>\ H < G</math>. {{Théorème | titre=Caractérisation|contenu= H est un '''sous-groupe''' de G si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : * <math>H \subseteq G</math> * <math>H \ne \varnothing</math> * <math>\forall x,y \in H : x \star y^{-1} \in H</math> }} {{démonstration déroulante|contenu= Le sens direct est évident. Pour l'autre sens, H est dans G donc l'associativité reste vraie. H non vide donc il existe un élément <math>x</math>. D'après le troisième point, <math>x \star x^{-1} = e</math> est dans H ce qui montre que l'élément neutre appartient à H. Ensuite, d’après le troisième point, en choisissant <math>x = e</math> et y quelconque, <math>e \star y^{-1} = y^{-1} \in H</math> donc l'inverse de tout élément est dans H. La loi est bien sûr interne car pour tout <math>x,y \in H</math>, en choisissant x et <math>y^{-1}</math> dans le troisième point, <math>x \star (y^{-1})^{-1} = x \star y \in H</math>. Donc la loi est bien interne. D'où la conclusion. }} Exemples : * Dans tout groupe G, le singleton constitué par l'élément neutre de G est un sous-groupe de G. C'est le seul sous-groupe de G qui soit un groupe trivial. On l'appelle parfois le sous-groupe trivial de G. * Dans <math>(\Z,+)</math>, toute partie de la forme <math>n\Z</math> avec <math>n \in \N</math> est un sous-groupe. Nous verrons dans un autre chapitre que tout sous-groupe de <math>(\Z,+)</math> est de cette forme. *Dans le groupe <math>S_\Complex</math> des bijections de <math>\Complex</math> dans lui-même, l'ensemble des applications de la forme <math>z\mapsto az+b</math> avec <math>a,b\in\Complex</math> et <math>a\ne0</math> est un sous-groupe. C'est le groupe des [[similitude]]s directes du plan complexe. {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soit G un groupe. L'[[Application (mathématiques)/Famille#Opérations sur les familles|intersection d'une famille]] non vide de sous-groupes de G est un sous-groupe de G. }} {{démonstration déroulante|contenu= Soient <math>(H_i)_{i\in I}</math> une famille non vide de sous-groupes de G, et H son intersection (qui est bien définie, car <math>I\ne \varnothing</math>). *H est un sous-monoïde de G (comme [[Monoïde/Définition d’un monoïde#Partie génératrice|intersection de sous-monoïdes]]). *Si <math>x\in H</math> alors, pour tout i, on a <math>x\in H_i</math>, donc <math>x^{-1}\in H_i</math>. Comme c'est vrai pour tout i, <math>x^{-1}\in H</math>. }} {{Attention|Avec_fond = oui|Une réunion de sous-groupes n’est pas toujours un sous-groupe. Exemple (à l'intention d'un lecteur sachant déjà ce qu'est une [[Théorie des groupes/Groupes symétriques finis|transposition]]) : dans <math>\mathfrak{S}_3</math>, <math>\{id , (1 \ 2)\}</math> et <math>\{(id , (1 \ 3)\}</math> sont des sous-groupes mais leur réunion <math>\{id , (1 \ 2) , (1 \ 3)\}</math> n’est pas un sous-groupe car <math>(1 \ 3)(1 \ 2)\ =\ (1 \ 2 \ 3)</math>.) Voir dans les exercices à quelle condition la réunion de deux sous-groupes est un sous-groupe.}} {{Définition | contenu = On appelle sous-groupe maximal d'un groupe G un élément maximal de l’ensemble des sous-groupes ''propres'' de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. Autrement dit, un sous-groupe M de G est dit sous-groupe maximal de G si M est un sous-groupe propre de G et qu’il n'existe pas de sous-groupe H de G tel que M < H < G. }} {{remarque|contenu= Cette définition est quelque peu abusive, puisque, en toute rigueur, le seul sous-groupe maximal de G pour la relation d'inclusion est G lui-même. Cet abus est cependant quasi universel. }} {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Si G est un groupe ''fini'', tout sous-groupe propre de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G. }} {{démonstration déroulante|contenu= Si H est un sous-groupe propre de G, il existe au moins un sous-groupe propre de G qui contient H, à savoir H lui-même. L'ensemble des ordres des sous-groupes propres de G qui contiennent H est donc non vide. D'autre part, puisque G est fini, cet ensemble est fini. Comme tout ensemble fini non vide de nombres naturels admet un plus grand élément, il existe donc un sous-groupe propre de G contenant H dont l’ordre est le plus grand possible. Il est clair qu'un tel sous-groupe propre de G est un sous-groupe maximal de G. On pourrait dire aussi que l’ensemble des sous-groupes propres de G contenant H, ordonné par inclusion, est un ensemble ordonné fini non vide et admet donc un élément maximal. }} En particulier, tout groupe fini G non réduit à l'élément neutre contient au moins un sous-groupe maximal. (En effet, d’après ce qui précède, le sous-groupe propre 1 de G est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G.) == Homomorphismes == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Morphisme de groupes}} Un '''homomorphisme''' de groupes, parfois appelé morphisme de groupes, est un [[../Lois de composition internes, monoïdes#Loi de composition interne|morphisme de magmas]] d'un groupe <math>(G,*)</math> dans un groupe <math>(H,\star)</math>, c'est-à-dire une application <math>f:G \rightarrow H</math> vérifiant : :<math>\forall x,y \in G : f(x*y) = f(x) \star f(y)</math>. L'ensemble des homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H se note Hom(G, H). }} {{Définition | contenu = Un homomorphisme d'un groupe ''G'' dans lui-même est appelé un '''endomorphisme''' (de groupe) de ''G''. }} Rappelons que selon les conventions sur la préséance des évaluations, ''f''(''x''){{exp|–1}} désigne ( ''f''(''x'') ){{exp|–1}}. Cela étant, nous avons la {{Proposition|contenu= Soit ''f'' un homomorphisme d'un groupe ''G'' dans un groupe ''H''. Alors : *''f'' applique élément neutre sur élément neutre ; *pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''{{exp|–1}}) = ''f''(''x''){{exp|–1}}. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Voir les [[../Exercices/Lois de composition internes, monoïdes|exercices 1 et 2 du chapitre précédent]]. }} Exemples d'homomorphismes. :1) Si ''G'' et ''H'' sont des groupes, l’application de ''G'' dans ''H'' qui envoie tout élément de ''G'' sur l'élément neutre de ''H'' est un homomorphisme de ''G'' dans ''H'', qu'on appelle l'homomorphisme trivial de ''G'' dans ''H''. :2) Nous avons vu que, dans '''Z''', la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On en tire que si ''n'' est un élément de '''Z''', l’application <math>x \mapsto nx</math> de '''Z''' dans lui-même (multiplication par ''n'') est un endomorphisme de '''Z'''. Pour un morphisme de groupes de ''G'' dans ''H'', l'image de tout sous-groupe de ''G'' et la préimage de tout sous-groupe de ''H'', sont des sous-groupes de ''H'' et de ''G'' respectivement (c'est une conséquence immédiate de la [[Magma (mathématiques)#Morphismes|propriété correspondante pour les magmas]] et de la proposition précédente). En particulier : {{Proposition|titre=Noyau et image|contenu={{Wikipédia|Noyau (algèbre)#Noyau d'un morphisme de groupes|Noyau}} Si <math>f:G\rightarrow H</math> est un morphisme de groupes, *la [[Application (mathématiques)#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|préimage]] de l'élément neutre de ''H'', appelée '''noyau''' de ''f'', est un sous-groupe de ''G'', noté <math>\ker f</math> ; *l'[[Application (mathématiques)#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|'''image''']] de ''f'' est un sous-groupe de ''H''. }} Exemple. Le morphisme <math>(\R,+)\to(\Complex^*,\cdot),\;t\mapsto\operatorname e^{\mathrm it}</math> a pour noyau le sous-groupe <math>2\pi\Z</math> des réels de la forme <math>2\pi k</math> avec <math>k</math> entier, et pour image le sous-groupe des nombres complexes de module <math>1</math>. {{Définition |contenu= G et H étant des groupes, on dit que H est '''image homomorphe''' de G s'il existe un homomorphisme de groupes partant de G et dont H est l'image. Cela revient à dire qu’il existe un homomorphisme surjectif de G sur H. Pour une raison qui apparaîtra dans un prochain chapitre, on dit alors aussi que H est un '''quotient''' de G. }} {{Exemple|titre=Exercice|contenu= Démontrer que : #un homomorphisme est [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection#Les types d’applications|injectif]] si et seulement si son noyau est réduit à l'élément neutre ; #si ''f'' et ''g'' sont deux homomorphismes d'un groupe ''G'' dans un même groupe, alors l'ensemble des éléments ''x'' de ''G'' tels que <math>f(x) = g(x)</math> est un sous-groupe de ''G''. {{Solution|contenu= #Soit <math>f:G\to H</math> un morphisme. #*Si <math>f</math> est injectif alors <math>\forall x\in G\quad x\in\ker f\Rightarrow f(x)=f(e_G)\Rightarrow x=e_G</math> donc <math>\ker f=\{e_G\}</math>. #*Si <math>\ker f=\{e_G\}</math> alors <math>\forall x,y\in G\quad f(x)=f(y)\Rightarrow f\left(x\ y^{-1}\right)=f(x)\ f(y)^{-1}=e_H\Rightarrow x\ y^{-1}\in\ker f\Rightarrow x\ y^{-1}=e_G\Rightarrow x=y</math> donc <math>f</math> est injectif. #Soient <math>f,g:G\to H</math> deux morphismes et <math>K=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}</math>. Alors, <math>e_G\in K</math> et <math>\forall x,y\in K\quad f\left(x\ y^{-1}\right)=f(x)\ f(y)^{-1}=g(x)\ g(y)^{-1}=g\left(x\ y^{-1}\right)</math> donc <math>x\ y^{-1}\in K</math>. }} }} Remarque. On notera parfois dans ce cours que certaines notions de la théorie des groupes sont des cas particuliers de notions de la {{w|théorie des catégories}}. Ces références à la théorie des catégories resteront toutefois marginales et pourront être ignorées par le lecteur non intéressé. Il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes et où la [[Magma (mathématiques)#Morphismes|composition des morphismes]] est la composition des homomorphismes de groupes en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la {{w|catégorie des groupes}}. De même, il existe une (et une seule) catégorie dont les objets sont les groupes abéliens, dont les morphismes sont les homomorphismes de groupes entre groupes abéliens et où la composition des morphismes est la composition des homomorphismes de groupes abéliens en tant qu'applications ; cette catégorie est appelée la {{w|catégorie des groupes abéliens}}. On montre facilement que dans chacune de ces deux catégories, les [[w:monomorphisme|monomorphismes]] sont exactement les homomorphismes injectifs (voir les exercices sur le présent chapitre). Il est également facile (voir [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|un exercice sur le chapitre « Sous-groupe distingué et groupe quotient »]] dans la suite du cours) de prouver que dans la catégorie des groupes abéliens, les [[w:épimorphisme|épimorphismes]] sont exactement les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. Un peu moins facilement, on prouve que c'est également vrai dans la catégorie des groupes (voir un exercice de la série [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). Tout cela explique que certains auteurs<ref>D.J.S. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', 2^de éd., 1996, p. 18.</ref> appellent ''épimorphisme'' (de groupes) un homomorphisme surjectif de groupes et ''monomorphisme'' (de groupes) un homomorphisme injectif de groupes, sans allusion à la définition générale des épimorphismes et des monomorphismes. On imitera ces auteurs dans le présent cours et le lecteur peut donc considérer que les termes ''épimorphisme'' et ''monomorphisme'' sont respectivement des synonymes d'homomorphisme surjectif de groupes et d'homomorphisme injectif de groupes. == Isomorphismes == * Si un homomorphisme <math>f : G \rightarrow H</math> est bijectif, on parle d''''isomorphisme de groupes'''. (On montre qu'alors <math>f^{-1}</math> est lui aussi un morphisme de groupes et donc un isomorphisme de groupes.) * Un isomorphisme d'un groupe ''G'' sur lui-même est appelé un automorphisme de ''G''. Un automorphisme de ''G'' peut donc se définir aussi comme un endomorphisme bijectif de ''G''. Soient G, H et K trois groupes. Il existe évidemment un isomorphisme de G sur lui-même, car la transformation identique est un tel isomorphisme. S'il existe un isomorphisme de G sur H, il existe un isomorphisme de H sur G (l'inverse de n’importe quel isomorphisme de G sur H). Enfin, s'il existe un isomorphisme ''f'' de G sur H et un isomorphisme ''g'' de H sur K, alors il existe un isomorphisme de G sur K, car <math>g \circ f</math> est un tel isomorphisme. Ceci montre que la relation « il existe un isomorphisme de G sur H » est une relation d'équivalence entre groupes. {{Définition | contenu = Deux groupes sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de groupes de l'un sur l'autre. }} Un groupe isomorphe à un groupe G est parfois appelé ''une copie'' de G. D'après ce qui précède, la relation « être des groupes isomorphes » est une relation d'équivalence. On peut considérer que deux groupes isomorphes ont la même structure de groupe, qu'on passe de l'un à l'autre par un changement de notation. Nous écrirons <math>G\approx H</math> ou encore <math>G\cong H</math>pour exprimer que deux groupes ''G'' et ''H'' sont isomorphes. On a déjà noté qu'un magma isomorphe comme magma à un groupe est lui-même un groupe et on vérifie facilement que tout isomorphisme de magmas entre groupes est un isomorphisme de groupes. Exemples d'isomorphismes de groupes. :1) Si ''G'' est un groupe, la permutation identique de ''G'' est évidemment un automorphisme de ''G''. :2) L'application <math>n\mapsto-n</math> de '''Z''' dans lui-même est un automorphisme du groupe (additif) '''Z'''. Plus généralement, si ''G'' est un groupe ''commutatif'', l’application <math>x\mapsto x^{-1}</math> de ''G'' dans lui-même est un automorphisme de ''G''. :3) Automorphismes intérieurs. Soient ''G'' un groupe et ''g'' un élément de ''G''. L'application <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> est un automorphisme de ''G''. (Par exemple, pour montrer que cette application est une permutation, on peut montrer qu'elle admet l’application <math>x \mapsto g^{-1}xg</math> pour réciproque.) Un tel automorphisme est appelé automorphisme intérieur de ''G''. :4) Si ''X'' et ''Y'' sont des ensembles équipotents, si ''f'' est une bijection de ''X'' sur ''Y'', l’application <math>\sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> du groupe symétrique ''S_X'' dans le groupe symétrique ''S_Y'' est un isomorphisme de ''S_X'' sur ''S_Y''. (Pour montrer que c’est une bijection, noter qu'on obtient sa réciproque en remplaçant <math>\ f</math> par <math>\ f^{-1}</math>.) Dans le cas particulier où ''X'' et ''Y'' sont égaux, ''f'' est un élément du groupe ''S_X'' et l'isomorphisme en question est un automorphisme intérieur. {{Wikipédia|en:Transport of structure|Transport de structure (en anglais)}} :5) Transport de structure.{{Ancre|Transport de structure}} Soient <math>(G, \cdot )</math> un groupe et ''f'' une bijection de l'ensemble G sur un ensemble X. La loi de composition <math>\star </math> dans X définie par <math>x \star y = f(f^{-1}(x) \cdot f^{-1}(y))</math> fait de X un groupe. C'est la seule loi de groupe (et même de magma) sur X pour laquelle la bijection ''f'' est un isomorphisme de G sur X. (Vérification facile.) On dit que <math>(X, \star)</math> est la structure de groupe transportée de <math>(G, \cdot )</math> sur X par ''f''. C'est un cas particulier du transport de structure d'un magma. On verra plus loin un exemple de trois groupes infinis abéliens dénombrables et deux à deux non isomorphes. {{Théorème |contenu= L'ensemble des automorphismes d'un groupe ''G'', muni de la composition, forme un groupe. Ce groupe est noté Aut(G). }} La démonstration est facile et laissée au lecteur. {{Théorème |contenu= Si ''G'' et ''H'' sont deux groupes isomorphes, les groupes Aut(G) et Aut(H) sont isomorphes. }} {{démonstration déroulante|contenu= Soient ''G'' et ''H'' deux groupes isomorphes. Pour tout isomorphisme ''f'' de ''G'' sur ''H'' et tout élément <math>\sigma </math> de Aut(G), <math>f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> est un composé d'isomorphismes de groupes et est donc un isomorphisme du groupe ''H'' sur lui-même, autrement dit un automorphisme de ''H''. Donc pour tout isomorphisme ''f'' de ''G'' sur ''H'', il existe une et une seule application, soit <math>\widetilde{f}</math>, de Aut(G) dans Aut(H) telle que, pour tout élément <math>\sigma </math> de Aut(G), :<math>\widetilde{f}(\sigma) = f \circ \sigma \circ f^{-1}.</math> Prouvons que <math>\widetilde{f}</math> est un homomorphisme du groupe Aut(G) dans le groupe Aut(H). Si <math>\sigma</math> et <math>\tau</math> sont deux éléments de Aut(G), nous avons :<math>\widetilde{f}(\sigma \circ \tau) = f \circ (\sigma \circ \tau) \circ f^{-1}</math>, :<math>\widetilde{f}(\sigma \circ \tau) = (f \circ \sigma \circ f^{-1}) \circ (f \circ \tau \circ f^{-1})</math>, :<math>\widetilde{f}(\sigma \circ \tau) = \widetilde{f}(\sigma ) \circ \widetilde{f}(\tau )</math>, ce qui montre bien que <math>\widetilde{f}</math> est un homomorphisme du groupe Aut(G) dans le groupe Aut(H). Prouvons que l'homomorphisme <math>\widetilde{f}</math> de Aut(G) dans Aut(H) est un isomorphisme. Il suffit de prouver que l'homomorphisme <math>\widetilde{f^{-1}}:Aut(H) \rightarrow Aut(G)</math> est réciproque de <math>\widetilde{f}</math>. Pour tout élément <math>\sigma</math> de Aut(G), nous avons :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \widetilde{f} (\widetilde{f^{-1}} (\sigma))</math>, d'où, par définition de <math>\widetilde{f^{-1}}</math>, :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \widetilde{f} ( f^{-1} \circ \sigma \circ f)</math>, d'où, puisque <math>(\widetilde{f}</math> est un homomrphisme de Aut(G) dans Aut(H), :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \widetilde{f} (f^{-1}) \circ \widetilde{f} (\sigma) \circ \widetilde{f} (f).</math> Par définition de <math>\widetilde{f}</math>, nous pouvons remplacer dans le membre droit <math>\widetilde{f} (f^{-1})</math> par <math>f \circ f^{-1} \circ f^{-1}</math>, autrement par <math>f^{-1}</math>, nous pouvons remplacer <math>\widetilde{f} (\sigma)</math> par <math>f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> et <math>\widetilde{f} (f)</math> par <math>f \circ f \circ f^{-1}</math>, autrement dit par <math>f</math>. Nous obtenons ainsi :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = f^{-1} \circ (f \circ \sigma \circ f^{-1}) \circ f</math>, :<math>(\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}) (\sigma) = \sigma </math>, donc <math>\widetilde{f} \circ \widetilde{f^{-1}}</math> est l'endomorphisme identique du groupe Aut(G). De même, <math>\widetilde{f^{-1}} \circ \widetilde{f}</math> est l'endomorphisme du groupe Aut(H), donc <math>\widetilde{f}</math> et <math>\widetilde{f^{-1}}</math> sont réciproques, donc <math>\widetilde{f}</math> est un isomorphisme de Aut(G) sur Aut(H). Puisque nous supposons G et H isomorphes, il existe au moins un isomorphisme <math>f</math> de G sur H, donc ce qui précède prouve que Aut(G) et Aut(H) sont isomorphes. }} == Puissances d'un élément == Soient ''G'' un groupe noté multiplicativement, ''x'' un élément de ''G'' et ''n'' un nombre naturel. On appelle ''n-ième puissance de x'' et on note <math>x^{n}</math> le composé d'une séquence de ''n'' éléments égaux à ''x''. (Ce composé a été défini au chapitre ''Lois de composition internes, monoïdes''.)<br /> Si le groupe ''G'' est noté additivement, on écrit ''nx'' plutôt que <math>x^{n}</math>.<br /> En particulier, en notation multiplicative, <math>x^{0}=1</math>, et en notation additive, 0x = 0 (le premier de ces deux zéros étant celui de '''Z''' et le second celui de ''G'').<br /> On étend la définition de <math>x^{n}</math> au cas où ''n'' est un entier relatif négatif en posant, pour ''r'' naturel > 0, :<math>x^{-r} = (x^{r})^{-1}</math>. En notation additive, ceci s'écrit :<math>(-r)x = -(rx)</math>. On démontre (par d'assez fastidieuses récurrences et distinctions entre cas positif et négatif) que, pour tous entiers rationnels ''m'' et ''n'', :<math>x^{m+n}=x^{m}x^{n}</math>, ce qui montre que, pour un ''x'' donné, l’application <math>n \mapsto x^{n}</math> de ℤ dans ''G'' est un homomorphisme. On vérifie facilement (récurrence sur ''n'') que c'est le seul homomorphisme de ℤ dans ''G'' qui applique 1 sur ''x''.<br /> En notation additive : (m+n)x = mx+nx et, pour un x donné, l’application <math>n \mapsto nx</math> de ℤ dans ''G'' est un homomorphisme. Si le groupe ''G'' est commutatif, alors <math>(xy)^{n}=x^{n}y^{n}</math> (récurrence sur ''n'' ou application d'un résultat plus général sur les séquences si ''n'' est naturel; passage aux inverses si ''n'' est négatif). En notation additive, cela s'écrit <math>n(x+y)=nx+ny</math>. Cela revient à dire que si ''G'' est commutatif, alors, pour un entier relatif n donné, l'application :<math>x \mapsto x^{n}</math> :(<math>x \mapsto nx</math> en notation additive) de ''G'' dans lui-même est un endomorphisme. {{Théorème | titre=Théorème |contenu= Soient ''G'' et ''H'' deux groupes et ''f'' un homomorphisme de ''G'' dans ''H''. Pour tout élément ''x'' de ''G'' et tout entier relatif ''n'', :<math>\ f(x^{n}) = f(x)^{n}</math>. }} Démonstration. Récurrence sur ''n'' pour ''n'' positif; passage aux inverses pour ''n'' négatif. == Multiplication dans ℤ == Dans le cas particulier où ''G'' est le groupe commutatif ℤ noté additivement, l’application <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math> est une loi de composition interne dans ℤ, qu'on appelle multiplication dans ℤ et qu'on note multiplicativement (par juxtaposition ou au moyen du symbole <math>\ \cdot </math>). À l'aide des résultats mentionnés dans la section précédente, on peut démontrer les propriétés classiques de la multiplication dans ℤ : coïncidence dans <math>\N</math> avec la multiplication dans <math>\N</math> définie en théorie des ensembles, associativité, neutralité de 1, commutativité, distributivité à gauche et à droite par rapport à l'addition. En raison de ces propriétés, l'addition et la multiplication font de ℤ un anneau commutatif. (Pour la notion d'anneau, voir [[Anneau (mathématiques)/Définitions|la leçon de Wikiversité sur ce sujet]].) Si ''r'' et ''s'' sont des entiers rationnels, <math>\ \vert rs \vert = \vert r \ \vert \cdot \vert s \vert </math>. Puisque le produit de deux nombres naturels non nuls est non nul, il en résulte que le produit de deux entiers rationnels non nuls est non nul, ce qui revient à dire que l'anneau ℤ est intègre. On dit qu'un entier relatif ''a'' divise un entier relatif ''b'' s'il existe un entier relatif ''c'' tel que a c = b. Il est clair qu'un entier relatif a divise un entier relatif ''b'' dans ℤ si et seulement si <math>\ \vert a \vert </math> divise <math>\ \vert b \vert </math> dans <math>\N</math>. En particulier, un nombre naturel ''a'' divise un nombre naturel ''b'' dans ℤ si et seulement si ''a'' divise ''b'' dans <math>\N</math>. Si ''G'' est un groupe, ''x'' un élément de ''G'' et ''m'', ''n'' des entiers rationnels, nous avons :<math>(x^{m})^{n} = x^{mn}</math> en notation multiplicative et :<math>n(mx) = (nm)x</math> en notation additive. L'énoncé qui suit suppose connue la notion de module sur un anneau (voir [[Module sur un anneau/Définitions|la leçon de Wikiversité sur les modules]]). {{Théorème | titre=Théorème. Les groupes abéliens comme ℤ-modules. |contenu= Soit G, + un groupe '''abélien'''. Il existe sur G une et une seule structure de ℤ-module dont la loi interne est la loi + de G. }} Démonstration. On a considéré plus haut la loi de composition externe <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math>. Des propriétés de cette loi que nous avons énoncées permettent de prouver qu'avec la loi interne +, elle munit G d'une structure de ℤ-module. Cela démontre l'assertion d'existence. Prouvons l'unicité, ce qui revient à prouver que si une loi externe <math>\star : \Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto n \star x</math> est telle que G, +, <math>\star </math> soit un ℤ-module, alors la loi <math>\star </math> est égale à la loi <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math>. Soit ''x'' un élément de G. Nous avons (propriétés élémentaires des modules) <math>0 \star x = 0</math> et, pour tout nombre naturel ''n'', <math>(n + 1) \star x = n \star x + 1 \star x = n \star x + x</math>, d'où on tire par récurrence sur ''n'' que <math>n \star x = n x</math> pour tout nombre naturel ''n''. En passant aux opposés, nous trouvons <math>-(n \star x) = -(n x)</math>, autrement dit <math>-(n \star x) = (-n) x</math> (voir la définition de (-n) x). Toujours d'après les propriétés élémentaires des modules, le premier membre <math>-(n \star x)</math> est égal à <math>(-n) \star x</math>, d'où <math>(-n) \star x = (-n) x</math>. On a donc prouvé que pour tout entier rationnel ''r'', <math>r \star x = r x</math>. Comme ceci est démontré pour tout élément ''x'' de G, la loi <math>\star </math> est égale à la loi <math>\Z \times G \rightarrow G : (n,x) \mapsto nx</math>, comme annoncé. Par une construction analogue à celle du groupe des entiers relatifs à partir du monoïde des entiers naturels, on construit à partir de l'anneau (intègre) <math>\Z</math> le corps <math>\Q</math> des nombres rationnels, qui est le corps des fractions de l'anneau ℤ. Nous ne détaillerons pas cette construction et supposerons connu le corps des nombres rationnels, ainsi que ses propriétés de corps ordonné. == Parties génératrices == {{Wikipédia|Partie génératrice d'un groupe}} {{Définition |titre = Définition : sous-groupe engendré par une partie d'un groupe | contenu = Si ''A'' est une partie d'un groupe ''G'', l'intersection des sous-groupes de G qui contiennent A est un sous-groupe de G d’après ce qui précède. C'est évidemment le plus petit sous-groupe de ''G'' contenant ''A'' (« plus petit » correspondant à la relation d'ordre inclusion). On l'appelle le sous-groupe engendré par ''A'' et nous le noterons 〈''A''〉. }} {{Définition |titre = Définition : partie génératrice d'un groupe | contenu = On dit qu'une partie ''A'' d'un groupe ''G'' engendre ''G'', ou encore que ''G'' est engendré par ''A'', ou encore que ''A'' est une partie génératrice de ''G'', si 〈''A''〉 = ''G''. (''G'' est alors le seul sous-groupe de ''G'' qui contient ''A''.) Si <math>\left(x_i\right)_{i\in I}</math> est une famille d'éléments d'un groupe ''G'' telle que l'ensemble <math>\{x_{i}|i \in I \}</math> des valeurs de cette famille soit une partie génératrice de ''G'', nous dirons parfois que <math>\left(x_i\right)_{i\in I}</math> est une famille génératrice de ''G''. }} Si ''G'' est un groupe et ''X'' une partie (non forcément génératrice) de ''G'', le sous-groupe de ''G'' engendré par ''X'' est un groupe admettant ''X'' pour partie génératrice, donc les deux définitions qui précèdent sont cohérentes quant à l'usage du même mot « engendré ». Si <math>\left(A_i\right)_{i\in I}</math> est une famille de parties de ''G'', le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>\cup_{i\in I}A_i</math> est aussi appelé le sous-groupe de ''G'' engendré par les parties <math>A_i</math>, ou encore par les <math>A_i</math>. Nous noterons ce sous-groupe <math>\langle A_i\mid i\in I\rangle</math>. Nous dirons qu'un groupe est '''de type fini''' s'il admet une partie génératrice finie<ref>Cette définition correspond à J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', P.U.F., 1984, p. 35.</ref> et qu'il est de type infini dans le cas contraire, c'est-à-dire si toutes ses parties génératrices sont infinies. {{Théorème | titre=Description constructive du sous-groupe engendré|contenu= Soit ''A'' une partie d'un groupe ''G''. Le sous-groupe de ''G'' engendré par ''A'' est l’ensemble des produits de séquences d'éléments de ''G'' où n'apparaissent que des éléments de ''A'' ou des inverses d'éléments de ''A''. Autrement dit, c’est l’ensemble des éléments de ''G'' qui peuvent se mettre sous la forme :<math>x_1\ldots x_n</math>, <math>n</math> parcourant les nombres naturels (≥ 0) et les <math>x_i</math> parcourant les éléments de <math>A\cup A^{-1}</math>. }} {{démonstration déroulante|contenu= Ces éléments de ''G'' forment un sous-groupe ''H'' de G qui contient ''A'' et tout sous-groupe de G qui contient ''A'' doit comprendre ces éléments, donc doit contenir ''H'', ce qui prouve la minimalité de ''H'' comme sous-groupe contenant A. }} Si <math>A_1,\ldots,A_n</math> sont des parties de ''G'', le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A_1\cup\ldots\cup A_n</math> se désigne aussi comme le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A_1,\ldots,A_n</math> et se note <math>\langle A_1,\ldots,A_n\rangle</math> plutôt que <math>\langle A_1\cup\ldots\cup A_n\rangle</math>. Si la partie ''A'' de ''G'' se réduit à un élément ''a'', on dit « sous-groupe engendré par ''a'' » au lieu de « sous-groupe engendré par {''a''} » et on écrit 〈''a''〉 au lieu de 〈{''a''}〉. De même, le sous-groupe engendré par la partie finie <math>\{a_1,\ldots,a_n\}</math> est appelé « sous-groupe engendré par <math>a_1,\ldots,a_n</math> » et noté <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. {{Définition |titre = Définition : groupe monogène | contenu = Un groupe est dit '''monogène''' s'il est engendré par une partie à un élément. }} D'après la caractérisation ci-dessus des éléments de 〈''A''〉 (« description constructive du sous-groupe engendré »), il est clair que si ''G'' est un groupe et ''a'' un élément de ''G'', le groupe (monogène) <math>\langle a \rangle </math> est l’ensemble des éléments de ''G'' de la forme <math>a^n</math>, ''n'' parcourant ℤ. Un groupe G est donc monogène si et seulement s'il existe un élément ''a'' de G tel que tout élément de G soit de la forme <math>a^n</math>, avec ''n'' dans <math>Z</math>. Il en résulte clairement que {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Tout groupe monogène est abélien. }} Nous reviendrons aux groupes monogènes au chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]]. {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient <math>f:G\to H</math> un homomorphisme de groupes et ''A'' une partie de ''G''. Désignons par 〈''A''〉 le sous-groupe de ''G'' engendré par ''A''. Le sous-groupe de ''H'' engendré par ''f''(''A'') est égal à ''f''(〈''A''〉). }} {{démonstration déroulante|contenu= D'après la « description constructive » que nous avons donnée de <A>, les éléments de <A> sont les éléments de ''G'' de la forme :<math>a_{1} \ldots a_{n}</math>, où ''n'' parcourt les nombres naturels <math>\geq 0</math> et où <math>a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}</math> parcourent <math>A \cup A^{-1}</math>.<br /> Puisque ''f'' est un homomorphisme, il en résulte clairement que les éléments de f(<A>) sont les éléments de ''H'' de la forme :<math>f(a_{1}) \ldots f(a_{n})</math>, où ''n'' parcourt les nombres naturels <math>\geq 0</math> et où <math>a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}</math> parcourent <math>A \cup A^{-1}</math>.<br /> Autrement dit, f(<A>) est l’ensemble des éléments de ''H'' de la forme :<math>b_{1} \ldots b_{n}</math>, où ''n'' parcourt les nombres naturels <math>\geq 0</math> et où <math>b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}</math> parcourent <math>f(A \cup A^{-1}) = f(A) \cup f(A)^{-1}</math>.<br /> D'après la « description constructive » du sous-groupe engendré, cela revient à dire que f(<A>) est le sous-groupe de ''H'' engendré par f(A), ce qui démontre l'énoncé. }} {{remarque|contenu= Il existe des structures mathématiques pour lesquelles on n'a pas de « description constructive » de la sous-structure engendrée. (On en rencontre en théorie de la mesure.) On peut donc trouver que la démonstration qui précède repose sur un aspect un peu adventice du sous-groupe engendré. Voici une démonstration qui n'a pas cet inconvénient.}} {{Démonstration déroulante |contenu = Puisque l'image d'un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe du groupe d'arrivée, <math>f(<A>)</math> est un sous-groupe de ''H'' ; de plus, puisque <math>A \subseteq \langle A\rangle</math>, <math>f(<A>)</math> contient <math>f(A)</math>. Ainsi, <math>f(<A>)</math> est un sous-groupe de ''H'' qui contient <math>f(A)</math>. Par minimalité de 〈 ''f''(''A'') 〉, nous avons donc :<math>\langle f(A)\rangle\subseteq f(\langle A\rangle)</math>. Prouvons l'inclusion réciproque, à savoir :<math>f(<A>) \subseteq <f(A)></math>. Il revient au même de prouver que tout sous-groupe ''K'' de ''H'' qui contient f(A) contient f(<A>). Or <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de ''G'' qui contient ''A'', donc, par minimalité de <A>, :<math><A> \subseteq f^{-1}(K)</math>, donc <math>f(<A>) \subseteq K</math>, ce qui démontre notre argument. }} D'après le théorème qui précède, toute image homomorphe d'un groupe monogène est monogène. En particulier, tout groupe isomorphe à un groupe monogène est monogène. Exemple de trois groupes abéliens infinis [[Introduction aux mathématiques/Rudiments de combinatoire#Ensembles dénombrables|dénombrables]] et deux à deux non isomorphes. :Les groupes <math>(\Z,+)</math>, <math>(\Q,+)</math> et <math>(\Q_+^*,\times)</math> sont tous les trois dénombrables, [[#Groupe : définitions et exemples|abéliens]] et [[w:Torsion (algèbre)|sans torsion]], mais sont deux à deux non isomorphes car le second est le seul à être [[w:Groupe divisible|divisible]] et même, le seul dans lequel tout élément est divisible par 2 (dans ℤ, <math>1</math> n'est pas de la forme <math>k+k</math> et dans <math>\Q^*</math>, <math>2</math> n'est pas de la forme <math>r\times r</math>) et le premier est le seul des trois à être monogène et même, le seul [[w:Théorème de structure des groupes abéliens de type fini#Structure des groupes abéliens sans torsion de type fini|de type fini]] (<math>\Q_+^*</math> est [[Module sur un anneau/Définitions#Modules libres et de type fini|abélien libre mais de rang]] infini dénombrable, une base étant l'ensemble des nombres premiers). {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''f'' et ''g'' deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H, X une partie génératrice de G. Si ''f'' et ''g'' coïncident en tout point de X, ils sont égaux. }} {{démonstration déroulante|contenu= D'après une précédente proposition, l’ensemble des éléments ''x'' de G tels que f(x) = g(x) est un sous-groupe de G. D'après les hypothèses, ce sous-groupe contient la partie génératrice X et est donc égal à G tout entier, ce qui prouve que f = g. }} {{Théorème |titre=Proposition |contenu= Soient G, H deux groupes et X une partie génératrice de G. Un homomorphisme ''f'' de G dans H est surjectif si et seulement si f(X) est une partie génératrice de H. }} {{démonstration déroulante|contenu= D'après une précédente proposition, <f(X)> = f(<X>), donc, puisque X est une partie génératrice de G (ce qui entraîne <X> = G), :(1) <f(X)> = f(G). Dire que ''f'' est surjectif revient à dire que f(G) = H, autrement dit, d’après (1), que <f(X)> = H, ce qui revient à dire que f(X) est une partie génératrice de H. }} == Le treillis des sous-groupes d'un groupe == Rappelons qu'en théorie des ensembles, on définit un treillis comme un ensemble ordonné E tel que pour tous éléments ''x'', ''y'' de E, la partie <math>\{x, y \}</math> de E ait une borne supérieure et une borne inférieure dans E. (Vu le sens qu'on donne en mathématiques à l'expression « pour tous », l'ensemble ordonné vide est un treillis. Tout ensemble ordonné à un seul élément est un treillis.) Nous définirons un ''treillis achevé''<ref>Bourbaki, Théorie des ensembles, réimpr. Springer 2006, chap. III, § 1, p. III.13, appelle ''ensemble réticulé'', ou ''réseau ordonné'', ou ''lattis'', ce qu'on appelle aujourd'hui un treillis. Il définit (exercice 11 sur le chap. III, § 1, p. III.71) un ensemble réticulé achevé comme un ensemble réticulé où toute partie admet une borne supérieure et une borne inférieure. C'est par analogie avec le vocabulaire de Bourbaki que nous adoptons notre définition d'un treillis achevé.</ref> comme un ensemble ordonné E tel que toute partie de E ait une borne supérieure et une borne inférieure dans E. Il est clair que tout treillis achevé est un treillis. Tout treillis achevé admet un plus petit et un plus grand élément; en effet, si E est un treillis achevé, la partie E de E admet une borne inférieure, ce qui signifie que l'ensemble des minorants de E admet un plus grand élément et n'est donc pas vide, donc E admet un minorant et ce minorant est évidemment le plus petit élément de E; de même, E a un plus grand élément. En particulier, un treillis achevé n'est jamais vide (alors que l'ensemble ordonné vide est un treillis). On prouve que tout treillis fini et non vide est achevé. (Pour prouver que toute partie X du treillis admet une borne supérieure et une borne inférieure, on peut raisonner par récurrence sur le cardinal de X.) Pour un groupe G, fini ou infini, notons Sgr(G) l'ensemble des sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (Ce n'est pas une notation standard.) Prouvons que Sgr(G) est un treillis achevé. Il s'agit de prouver que si <math>\mathcal{F}</math> est un ensemble de sous-groupes de G, <math>\mathcal{F}</math> a une borne inférieure et une borne supérieure dans Sgr(G). On vérifie facilement que le sous-groupe de G engendré par la réunion des sous-groupes appartenant à <math>\mathcal{F}</math> est la borne supérieure de <math>\mathcal{F}</math> dans Sgr(G). Il reste à prouver que <math>\mathcal{F}</math> a une borne inférieure dans Sgr(G). Si <math>\mathcal{F}</math> n'est pas vide, on peut parler de l'intersection des sous-groupes de G appartenant à <math>\mathcal{F}</math> et cette intersection est clairement la borne inférieure de <math>\mathcal{F}</math> dans Sgr(G). Si maintenant <math>\mathcal{F}</math> est vide, nous pouvons utiliser le fait que G est le plus grand élément de Sgr(G) et que dans un ensemble ordonné ayant un plus grand élément, ce plus grand élément est la borne ''inférieure'' (sic) de la partie vide. (Dans un ensemble ordonné E ayant un plus grand élément max(E) et un plus petit élément min(E), nous avons min(E) = sup(<math>\varnothing</math>) et max(E) = inf(<math>\varnothing</math>), d'où sup(<math>\varnothing</math>) <math>\leq</math> inf(<math>\varnothing</math>). Pour toute partie non vide X de E ayant une borne inférieure et une borne supérieure, c'est la relation inverse inf(X) <math>\leq</math> sup(X) qui a lieu.) == Opposé d'un groupe == Soit ''G'' un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition <math> \star </math> sur l’ensemble sous-jacent de ''G'' définie par : : <math> x \star y = yx </math> est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé le groupe opposé de ''G'', ou l'opposé de ''G''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 4, {{numéro}}1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.</ref>. L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes. L'opposé de l'opposé de ''G'' est ''G'' lui-même. Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif. Dans tous les cas, ''G'' est isomorphe à son opposé par l’application <math>x \mapsto x^{-1} </math>.<br /> (La considération du groupe opposé nous permettra d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.) == Identité de Dedekind == {{Théorème |titre=Identité de Dedekind |contenu= Soient G un groupe, U et V des parties de G telles que G = UV. Pour tout sous-groupe H de G contenant U, <math>H = U (V \cap H).</math> Pour tout sous-groupe K de G contenant V, <math>K = (U \cap K) V.</math> }} {{démonstration déroulante|contenu= Soit <math>h \in H.</math> Puisque G = UV, il existe <math>u \in U</math> et <math>v \in V</math> tels que <math>\ h = uv</math>. Alors <math>\ v = u^{-1}h,</math> donc, puisque H est un sous-groupe de G contenant U, <math>\ v \in H,</math> <math>\ v \in V \cap H,</math> donc <math>h \in U (V \cap H),</math> <math>H \subseteq U (V \cap H).</math> Puisque H est un sous-groupe de G, l'inclusion réciproque est claire, donc <math>H = U (V \cap H).</math> La seconde partie de l'énoncé se démontre de façon semblable. (On pourrait aussi la tirer de la première partie, appliquée au groupe opposé de G.) }} Remarque. L'identité de Dedekind est le plus souvent utilisée quand U et V sont des sous-groupes de G, mais elle nous servira sous sa forme générale dans la démonstration des théorèmes de Gaschütz et de Schur-Zassenhaus. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Lois de composition internes, monoïdes/]] | suivant = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] }} 4iyr496l47vzgir5wca4jncugzq1xpe 0 28447 982244 975586 2026-04-28T07:31:31Z Marvoir 1746 précisé l'ordre d'un groupe symétrique fini 982244 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 11 | précédent = [[../Sous-groupes caractéristiques/]] | suivant = [[../Groupes alternés/]] | page_liée = Annexe/Représentations du groupe symétrique d'indice trois | page_liée2 = Exercices/Groupes symétriques finis }} == Groupe symétrique comme groupe opérant == Rappelons la définition, donnée au chapitre [[../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]] : {{Définition | titre = Groupe symétrique d'un ensemble | contenu ={{Wikipédia|Groupe symétrique}} Soit ''E'' un ensemble. On désigne par <math>\ S_{E}</math> ou <math>\mathfrak{S}(E)</math> l’ensemble des permutations de ''E'', muni de la loi de groupe <math>\circ</math> définie par <math>f \circ g (x) = f(g(x))</math> pour toutes permutations ''f'' et ''g'' de ''E'' et pour tout élément ''x'' de ''E''. Ce groupe est dit groupe symétrique de ''E''. }} Comme déjà rappelé au chapitre [[../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], on démoontre en analyse combinatoire que les permutations d'un ensemble fini de cardinal ''n'' sont en nombre ''n''! (factorielle de ''n''). Cela revient à la proposition suivante : {{Proposition | contenu = Si E est un semble fini de cardinal ''n'', le groupe symétrique <math>\ S_{E}</math> est d'ordre n! }} Nous noterons souvent le groupe symétrique multiplicativement, par juxtaposition. Ainsi, nous écrirons <math>\ \sigma_{1} \sigma_{2}</math> au lieu de <math>\sigma_{1} \circ \sigma_{2}</math> pour désigner la composée de deux permutations. De même, ''n'' étant un nombre naturel, nous désignerons par <math>\ \sigma^{n}</math> la composée de ''n'' permutations égales à <math>\ \sigma</math> et par <math>\ \sigma^{-n}</math> la permutation réciproque de <math>\ \sigma^{n}</math>. Nous dirons aussi « produit de permutations » plutôt que « composée de permutations » etc. Si ''E'' et ''F'' sont deux ensembles équipotents, les groupes <math>S_{E}</math> et <math>S_{F}</math> sont isomorphes. En effet, soit ''f'' une bijection ''f'' de ''E'' sur ''F''; à toute permutation <math>\sigma </math> de ''E'', faisons correspondre la permutation <math>f \circ \sigma \circ f^{-1} </math> de ''F''; on vérifie facilement que nous définissons ainsi un isomorphisme de <math>S_{E}</math> sur <math>S_{F}</math>. Dans le cas particulier où ''E'' est l’ensemble <math>\{1, \ldots , n \}</math> pour un certain nombre naturel ''n'', on écrit <math>\ S_{n}</math> plutôt que <math>\ S_{E}</math>. D'après la remarque précédente, le groupe symétrique de tout ensemble fini à ''n'' éléments est isomorphe à <math>\ S_{n}</math>. (Remarque. Dans une certaine axiomatique, le nombre naturel <math>n</math> est l'ensemble <math>\{0, \ldots , n - 1 \}</math>. Les notations <math>\ S_{n}</math> et <math>\ S_{E}</math> seraient donc parfaitement cohérentes si on définissait <math>\ S_{n}</math> comme égal à <math>\ S_{E}</math>, E désignant l'ensemble <math>\{0, \ldots , n - 1 \}</math>, mais ce n'est pas l'usage.) L'application <math>\ S_{E} \times E \rightarrow E : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math> est une action du groupe <math>\ S_{E}</math> sur l’ensemble ''E'', dite action naturelle de <math>S_{E}</math> sur ''E''. Nous avons vu qu’à toute action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' correspond un homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math>. Dans le cas présent, cet homomorphisme est l'identité (homomorphisme identique de <math>\ S_{E}</math> sur lui-même). Plus généralement, si ''H'' est un sous-groupe de <math>\ S_{E}</math>, nous dirons que l'action de ''H'' sur ''E'' induite par celle de <math>\ S_{E}</math> est l'action naturelle de ''H'' sur ''E''. == Support d'une permutation == {{Définition | titre = Support d'une permutation | contenu = Soient ''E'' un ensemble et <math>\sigma </math> une permutation de ''E''. On<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}7, Paris, 1970, p. 59, ne définit le support d'une permutation que si cette permutation est un cycle. J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 106, définit le support pour n’importe quelle permutation.</ref> appelle ''support'' de <math>\sigma </math>, et on note supp(<math>\sigma </math>), l’ensemble des éléments de ''E'' qui ne sont pas points fixes de <math>\sigma </math>, autrement dit l’ensemble des éléments x de ''E'' tels que <math>\sigma (x) \not= x</math>. }} De façon générale, si ''G'' est un groupe opérant sur un ensemble ''X'', nous avons vu que les points fixes d'un élément ''g'' de ''G'' sont identiques aux points fixes de ''g''⁻¹, que le stabilisateur d'un élément ''x'' de ''X'' est un sous-groupe de ''G'' et qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. Donc 1° Soient <math>\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n} </math> des permutations d'un même ensemble ''E''; alors :<math>\mathrm{supp}(\sigma_{1} \circ \ldots \circ \sigma_{n}) \subseteq \mathrm{supp}(\sigma_{1}) \cup \ldots \cup \mathrm{supp}(\sigma_{n})</math> (en effet, un élément de ''E'' qui n'appartient pas au second membre est point fixe de chacune des permutations <math>\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n} </math> et est donc point fixe de leur composée); en particulier, si <math>\sigma </math> est une permutation de ''E'', si ''k'' est un nombre naturel <math>\geq 0</math>, le support de <math>\sigma ^{k}</math> est contenu dans celui de <math>\sigma </math>. 2° Le support de <math>\sigma^{-1} </math> est égal à celui de <math>\sigma </math>. 3° Les points fixes de <math>\sigma </math> sont les points fixes pour l'opération de <math><\sigma> </math> sur ''E'', donc le support de <math>\sigma </math> est la réunion des orbites non ponctuelles de cette opération (et ne peut donc pas être un ensemble à un élément). Puisque le support <math>\ \mathrm{supp}(\sigma)</math> de <math>\ \sigma</math> est une réunion de <math>\ <\sigma></math>-orbites, <math>\ <\sigma>\rm{supp}(\sigma) = \rm{supp}(\sigma)</math> et <math>\ <\sigma></math> opère sur <math>\ \mathrm{supp}(\sigma)</math>; en particulier, si un élément <math>\ x</math> appartient au support de <math>\ \sigma</math>, l'élément <math>\ \sigma(x)</math> appartient lui aussi à ce support (on peut évidemment le prouver plus directement). Puisque <math>\ x</math> et <math>\ \sigma(x)</math> sont distincts, ceci montre de nouveau que si le support n’est pas vide, il comporte au moins deux éléments. {{Lemme | contenu = Soient ''E'' un ensemble et <math>\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n} </math> des permutations de ''E'' à supports deux à deux disjoints (c'est-à-dire que <math>\mathrm{supp}(\sigma_{i}) \cap \mathrm{supp}(\sigma_{j}) = \empty</math> pour tout couple (''i'', ''j'') d'indices distincts). Posons <math>\sigma = \sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n}</math>. Soit ''x'' un élément de ''E''. Si ''x'' n'appartient à aucun des supports <math> \ \mathrm {supp}(\sigma_{i})</math>, <math>\ \sigma(x)</math> est égal à ''x'', sinon, il est égal à <math>\ \sigma_{i}(x)</math>, où ''i'' désigne le seul indice tel que <math>x \in \mathrm{supp}(\sigma_{i})</math>. Le support de <math>\sigma</math> est la réunion des supports des <math>\ \sigma_{i}</math>. Deux permutations de ''E'' à supports disjoints commutent. }} Démonstration. Nous savons déjà que le support de <math>\ \sigma</math> est contenu dans la réunion des supports des <math>\ \sigma_{i}</math>, donc si ''x'' n'appartient à aucun des supports <math>\ \mathrm{supp}( \sigma_{i}) </math>, il est point fixe de <math>\ \sigma</math>. Dans le cas contraire, il existe un et un seul ''i'' tel que <math>x \in \mathrm{supp}(\sigma_{i})</math>. Puisque ''x'' n'appartient pas aux supports de <math>\sigma_{i+1}, \ldots , \sigma_{n}</math>, nous avons :<math>\sigma_{i+1} \ldots \sigma_{n}(x) = x</math>, d'où, en appliquant <math>\sigma_{i}</math> aux deux membres, :<math>\sigma_{i}\sigma_{i+1} \ldots \sigma_{n}(x) = \sigma_{i}(x)</math>. D'après ce que nous avons vu, <math>\ \sigma_{i}(x)</math> appartient au support de <math>\ \sigma_{i}</math> et n'appartient donc à aucun des supports <math>\mathrm {supp}(\sigma_{1}), \ldots , \mathrm {supp}(\sigma_{i-1})</math> et est donc point fixe de <math>\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{i-1} </math>. En passant aux valeurs par <math>\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{i-1} </math> dans la précédente égalité, nous trouvons donc <math>\ \sigma(x) = \sigma_{i}(x)</math> comme annoncé.<br /> Il résulte de ce qui précède que le support de <math>\ \sigma</math> est la réunion des supports des <math>\ \sigma_{i}</math>.<br /> En appliquant l'explicitation trouvée de <math>\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n}(x)</math> au nombre ''n'' = 2, à la composée <math>\ \sigma_{1} \sigma_{2}</math> et à la composée <math>\ \sigma_{2} \sigma_{1}</math>, nous trouvons que deux permutations de ''E'' à supports disjoints commutent. == Cycles == === Définition === {{Définition | titre = Cycles | contenu = Soit ''E'' un ensemble fini. On dit qu'une permutation <math>\gamma</math> de ''E'' est un cycle si l'opération du groupe <math><\gamma></math> sur ''E'' admet une et une seule orbite non ponctuelle. }} Remarques.<br /> 1° D'après cette définition, la permutation identique de ''E'' n’est pas un cycle, puisque le sous-groupe de <math>\ S_{E}</math> qu'elle engendre, à savoir le sous-groupe réduit à elle-même, agit trivialement, c'est-à-dire que toutes les orbites de cette action sont ponctuelles.<br /> 2° Puisque le support d'une permutation est toujours la réunion de ses orbites non ponctuelles, le support d'un cycle <math>\ \gamma</math> est la seule orbite non ponctuelle pour l'opération de <math>\ <\gamma></math>.<br /> 3° Une description des cycles qui fait mieux comprendre leur nom sera donnée plus loin. === Décomposition d'une permutation en cycles === Soient <math>\ \sigma</math> une permutation de ''E'' et <math> \ \omega</math> une orbite relative à l'opération de <math>\ <\sigma></math> sur ''E''; <math>\ \sigma</math> permute les points de <math> \ \omega</math>, donc il existe une et une seule permutation <math>\ \gamma</math> de ''E'' qui coïncide avec <math>\ \sigma</math> en tout point de <math> \ \omega</math> et qui laisse fixe tout point de ''E'' qui n'appartient pas à <math> \ \omega</math>; pour tout entier rationnel ''n'' et pour tout élément ''x'' de <math> \ \omega</math>, nous avons <math>\ \gamma^{n}(x) = \sigma^{n}(x)</math>, donc <math> \ \omega</math> est une orbite de <math>\ \gamma</math>. Il est clair que si <math> \ \omega</math> n’est pas ponctuelle, <math>\ \gamma</math> est un cycle de support <math> \ \omega</math>. {{Lemme | contenu = Soient ''E'' un ensemble fini et ''C'' un ensemble (fini) de cycles <math>\in S_{E}</math> à supports deux à deux disjoints; désignons par <math>\ \sigma</math> le produit <math>\prod _{\gamma \in C}\gamma</math> (correctement défini puisque les éléments de ''C'' commutent deux à deux). L'application <math>f : \gamma \mapsto \mathrm{supp}(\gamma)</math> est une bijection de ''C'' sur l’ensemble des orbites non ponctuelles pour l'opération de <math>\ <\sigma></math>. Si <math>\ \omega</math> est une de ces orbites non ponctuelles, <math>\ f^{-1}(\omega)</math> est l'unique cycle qui coïncide avec <math>\ \sigma</math> dans <math>\ \omega</math> et laisse fixes les points de ''E'' qui n'appartiennent pas à <math>\ \omega</math>. }} Démonstration. Soit ''x'' un élément de ''E''. D'après le lemme précédent, nous avons <math>\ \sigma(x) = x</math> si ''x'' n'appartient au support d'aucun des cycles <math>\gamma \in C</math> et, dans le cas contraire, <math>\ \sigma(x) = \gamma(x)</math>, où <math>\ \gamma</math> désigne le seul élément de ''C'' dont le support comprenne ''x''.<br /> Première conséquence : soit <math>\ \gamma</math> un cycle appartenant à ''C''; <math>\ \sigma</math> coïncide avec <math>\ \gamma</math> en tout point de <math>\ \mathrm{supp}(\gamma)</math>, donc, pour tout entier rationnel ''n'', <math>\ \sigma^{n}</math> coïncide avec <math>\ \gamma^{n}</math> en tout point de <math>\ \mathrm{supp}(\gamma)</math>, donc <math>\ \mathrm{supp}(\gamma)</math> est une orbite, évidemment non ponctuelle, relative à l'opération de <math>\ <\sigma></math>.<br /> Seconde conséquence : tout élément du support de <math>\ \sigma</math> est contenu dans le support d'un élément de ''C''; cela revient à dire que pour toute orbite non ponctuelle <math>\ \omega</math> de l'opération de <math>\ <\sigma></math>, tout élément ''x'' de <math>\ \omega</math> appartient au support d'un élément de ''C''; d’après la première partie de la démonstration, ce support est une orbite de <math>\ \sigma</math>; comme une orbite ne peut être contenue dans une autre que si elle lui est égale, <math>\ \omega = \mathrm{supp}(\gamma)</math>.<br /> Nous avons donc prouvé que l’application <math>\gamma \mapsto \mathrm{supp}(\gamma)</math> est une surjection de ''C'' sur l’ensemble des orbites non ponctuelles pour l'opération de <math>\ <\sigma></math>. C'est une injection, car si <math>\ \gamma_{1}</math> et <math>\ \gamma_{2}</math> sont deux éléments distincts de ''C'', leurs supports sont disjoints et ne peuvent donc être égaux que s'ils sont vides, ce qui contredit la définition d'un cycle.<br /> La partie de l'énoncé relative à <math>\ f^{-1}</math> résulte clairement du reste de l'énoncé. {{Proposition | contenu = Soit ''E'' un ensemble fini. Pour toute permutation <math>\ \varphi</math> de ''E'', il existe un et un seul ensemble (fini) ''L'' de cycles <math>\in S_{E}</math> à supports deux à deux disjoints tel que <math>\varphi = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math>. }} Soit <math>\ \varphi</math> une permutation de ''E''. Pour toute orbite non ponctuelle <math>\ \omega</math> relative à l'opération de <math>\ <\varphi></math> sur ''E'', désignons par <math>\ \gamma_{\omega}</math> l'unique cycle <math>\in S_{E}</math> qui coïncide avec <math>\ \varphi</math> en tout point de <math>\ \omega</math> et laisse fixes tous les points de ''E'' qui n'appartiennent pas à <math>\ \omega</math>. (Nous avons noté que ce cycle existe et admet <math>\ \omega</math> pour support.) Désignons par ''L'' l’ensemble des cycles <math>\ \gamma_{\omega}</math>, où <math>\ \omega</math> parcourt les orbites non ponctuelles relatives à l'opération de <math>\ <\varphi></math> sur ''E''. Puisque les orbites en question sont deux à deux disjointes, les éléments de ''L'' sont des cycles à supports deux à deux disjoints. Posons :<math>\sigma = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math>; ceci peut encore s'écrire :<math>\sigma = \prod _{\omega \in \Omega}\gamma_\omega</math>, où <math>\ \Omega</math> désigne l’ensemble des orbites non ponctuelles pour l'opération de <math>\ <\varphi></math> (car à deux orbites non ponctuelles distinctes <math>\ \omega_{1}, \omega_{2}</math> correspondent deux cycles <math>\ \gamma_{\omega_{1}}, \gamma_{\omega_{2}}</math> distincts).<br /> Soit ''x'' un point de ''E''. D'après le lemme qui précède, :a) <math>\ \sigma(x) = x</math> si ''x'' n'appartient au support d'aucun élément de ''L'', c'est-à-dire si ''x'' n'appartient à aucune orbite non ponctuelle de l'opération de <math>\ <\varphi></math> sur ''E'', c'est-à-dire si ''x'' n'appartient pas au support de <math>\ \varphi</math>; :b) si ''x'' appartient au support <math>\ \omega</math> de l'élément <math>\ \gamma_{\omega}</math> de ''L'', <math>\ \sigma(x) = \gamma_{\omega}(x) = \varphi(x)</math>. Il résulte des points a) et b) que :<math>\ \varphi = \sigma = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math>, d'où l’existence d'un ensemble ''L'' tel que dans l'énoncé. Prouvons l'unicité de ''L''. Supposons qu'un ensemble ''M'' de cycles à supports deux à deux disjoints soit tel que :<math>\ \varphi = \prod _{\mu \in M}\mu</math>. D'après la dernière partie du lemme qui précède, les éléments de ''M'' sont les <math>\ \gamma_{\omega}</math> définis plus haut, c'est-à-dire les éléments de ''L''. On dit que l'écriture <math>\varphi = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math> est la décomposition canonique de <math>\varphi</math> en produits de cycles. {{Corollaire | contenu = Soient ''E'' un ensemble fini et <math>\ \sigma</math> une permutation de ''E''. L'ordre de <math>\ \sigma</math> dans <math>\ S_{E}</math> est le ppcm des ordres des cycles qui apparaissent dans la décomposition canonique de <math>\ \sigma</math> . }} Démonstration. Soit <math>\ \sigma = \gamma_{1} \ldots \gamma_{r}</math>, où <math>\gamma_{1}, \ldots , \gamma_{r}</math> sont des cycles à supports deux à deux disjoints. Désignons par <math>\ m</math> le ppcm des ordres de <math>\ \gamma_{i}</math>. Pour tout nombre entier <math>\ t</math>, le support de <math>\ \gamma_{i}^{t}</math> est contenu dans celui de <math>\ \gamma_{i}</math>, donc les supports de <math>\gamma_{1}^{t}, \ldots ,\gamma_{r}^{t}</math> sont deux à deux disjoints. Nous avons vu que des permutations à supports deux à deux disjoints commutent, donc, pour tout nombre entier <math>\ t</math>, :<math>\sigma^{t} = \gamma_{1}^{t} \ldots \gamma_{r}^{t}</math>. Faisons d’abord ''t'' = ''m''. Chaque facteur <math>\gamma_{i}^{t}</math> du second membre est alors égal à <math>\ \mathrm{id}_{E}</math>, donc il en est de même du premier membre, donc <math>\ m</math> est multiple de l’ordre de <math>\ \sigma</math>.<br /> Faisons maintenant <math>\ t = s</math>, où <math>\ s</math> est l’ordre de <math>\ \sigma</math>. Nous trouvons :<math>\mathrm{id}_{E} = \gamma_{1}^{s} \ldots \gamma_{r}^{s}</math>. D'après un précédent lemme, il en résulte que le support de <math>\ \mathrm{id}_{E}</math>, c'est-à-dire l’ensemble vide, est la réunion des supports des <math>\ \gamma_{i}^{s}</math>, donc ces supports sont vides. Donc, pour chaque ''i'', <math>\gamma_{i}^{s} = \mathrm{id}_{E}</math>, donc ''s'' est multiple de l’ordre de chaque <math>\ \gamma_{i}</math>, donc ''s'' est multiple de ''m''. On a donc bien ''s'' = ''m''. === Notation d'un cycle === {{Proposition | contenu = Soient ''E'' un ensemble fini et <math>\ \gamma</math> un cycle <math>\in S_{E}</math>, soit <math>\ \Omega</math> le support de <math>\ \gamma</math>. Le cardinal de <math>\ \Omega</math> est égal à l’ordre de <math>\ \gamma</math> dans le groupe <math>\ S_{E}</math>. Si ''k'' désigne ce cardinal, si ''x'' est un élément de <math>\ \Omega</math>, les ''k'' éléments <math>x, \gamma(x), \gamma^{2}(x), \ldots , \gamma^{k-1}(x)</math> sont deux à deux distincts et représentent <math>\ \Omega</math> tout entier. }} Démonstration. Voici tout d’abord une démonstration qui fait une assez large part aux calculs. Soit ''x'' un élément de <math>\ \Omega</math>. Il existe au moins un nombre naturel ''s'' > 0 tel que <math>\gamma^{s}(x) = x</math>, par exemple l’ordre de <math>\ \gamma</math>. Désignons par <math>\ s_{x}</math> le plus petit des nombres naturels ''s'' > 0 tels que <math>\gamma^{s}(x) = x</math>. (La suite montrera que <math>\ s_{x}</math> ne dépend pas de ''x''.) Puisque <math>\ \Omega</math> est l'orbite de ''x'' pour l'opération du groupe <math>\ <\gamma></math> sur ''E'', tout élément de <math>\ \Omega</math> est de la forme <math>\ y = \gamma^{t}(x)</math>, avec <math>t \in \Z</math>. (Puisque <math>\ \gamma</math> est d'ordre fini, on peut même supposer ''t'' naturel.) Si ''r'' désigne le reste euclidien de ''t'' par <math>\ s_{x}</math>, nous avons alors <math>y = \gamma^{r}(x)</math>, ce qui montre que <math>x, \gamma(x), \gamma^{2}(x), \ldots , \gamma^{s_{x}-1}(x)</math> représentent tous les éléments de <math>\ \Omega</math>. Si nous avions <math>\ \gamma^{u}(x) = \gamma^{v}(x)</math> avec <math>0 \leq u < v \leq s_{x}-1</math>, nous aurions <math>\ \gamma^{v-u}(x) = x</math> avec <math>\ 0 < v-u < s_{x}</math>, ce qui contredit la minimalité de <math>\ s_{x}</math>. Donc <math>x, \gamma(x), \gamma^{2}(x), \ldots , \gamma^{s_{x}-1}(x)</math> sont deux à deux distincts, donc <math>s_{x} = \mathrm{Card}(\Omega)</math>, donc <math>s_{x}</math> est le nombre ''k'' de l'énoncé et, en particulier, est indépendant de ''x''. Donc, pour tout <math>x \in \Omega</math>, <math>\gamma^{k}(x) = x</math>. Puisque <math>\gamma</math> coïncide avec l'identité hors de <math>\ \Omega</math>, nous avons donc <math>\gamma^{k} = \mathrm{id}_{E}</math>, donc ''k'' est supérieur ou égal à l’ordre de <math>\gamma</math>. D'autre part, il est clair que, par minimalité de <math>\ s_{x}</math> dans l’ensemble des ''s'' > 0 tels que <math>\gamma^{s}(x) = x</math>, <math>\ s_{x}</math>, c'est-à-dire ''k'', est inférieur ou égal à l’ordre de <math>\gamma</math>. (D'ailleurs, nous savons que le cardinal d'une orbite divise l’ordre du groupe opérant.) Nos deux derniers résultats prouvent que l’ordre de <math>\gamma</math> est égal à ''k''. Voici maintenant une démonstration plus «bourbakiste». Puisque <math>\ \Omega</math> est une orbite pour l'opération du groupe <math>\ <\gamma></math> sur ''E'', le groupe <math>\ <\gamma></math> opère transitivement sur <math>\ \Omega</math>. Prouvons que cette opération est fidèle. Soit <math>\ \sigma</math> un élément du groupe <math>\ <\gamma></math> qui fixe tout point de <math>\ \Omega</math>; il s'agit de prouver que <math>\ \sigma</math> est l'élément neutre de <math>\ S_{E}</math>. Puisque la permutation <math>\ \sigma</math> est une puissance de <math>\ \gamma</math> et que <math>\ \gamma</math> fixe tout point n'appartenant pas à <math>\ \Omega</math>, <math>\ \sigma</math> fixe tout point n'appartenant pas à <math>\ \Omega</math>. Nous supposons de plus que <math>\ \sigma</math> fixe tout point de <math>\ \Omega</math>, donc <math>\ \sigma</math> fixe tout point de ''E'', donc est bien l'élément neutre de <math>\ S_{E}</math>. Ainsi, l'opération du groupe <math>\ <\gamma></math> sur <math>\ \Omega</math> est transitive et fidèle. Puisque ce groupe est cyclique, il est commutatif, donc, d’après un exercice sur les actions de groupe, l'action de <math>\ <\gamma></math> sur <math>\ \Omega</math> est simplement transitive, donc, pour tout élément ''x'' de <math>\ \Omega</math>, l’application orbitale <math>f_{x} : <\gamma> \rightarrow \Omega : \sigma \mapsto \sigma(x)</math> est une bijection. D'autre part, désignons par ''r'' l’ordre du groupe <math>\ <\gamma></math>; puisque ce groupe est cyclique avec <math>\ \gamma</math> pour générateur, l’application de <math>\{0, 1, \ldots , r-1\}</math> dans <math>\ <\gamma></math> qui applique ''i'' sur <math>\ \gamma^{i}</math> est une bijection. En composant les deux bijections trouvées, nous voyons que l’application de <math>\{0, 1, \ldots , r-1\}</math> dans <math>\ \Omega</math> qui applique ''i'' sur <math>\ \gamma^{i}(x)</math> est une bijection, d'où l'énoncé. {{Définition | titre = Longueur d'un cycle | contenu = Soit <math>\ \gamma</math> un cycle <math>\in S_{E}</math>. On appelle longueur de <math>\ \gamma</math> l’ordre de <math>\ \gamma</math> comme élément du groupe <math>\ S_{E}</math>, ou, ce qui revient au même, le cardinal du support de <math>\ \gamma</math>. Un cycle de longueur ''s'' est appelé ''s''-cycle. }} La précédente proposition permet de caractériser les cycles comme suit : soient ''E'' un ensemble fini et <math>x_{1}, \ldots , x_{n}</math> des points de ''E'' deux à deux distincts, avec <math>n \geq 2</math>; l'unique permutation de ''E'' qui applique <math>\ x_{i}</math> sur <math>\ x_{i+1}</math> pour chaque <math>\ i < n</math> et <math>\ x_{n}</math> sur <math>\ x_{1}</math> et laisse fixes tous les autres points de ''E'' est un cycle de support <math>\{x_{1}, \ldots , x_{n}\}</math> et de longueur ''n'', cycle que nous noterons :<math>(x_{1} \ldots x_{n})</math> (sans virgules<ref>Pas de virgules dans N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, exerc. 12, b, Paris, 1970, p. 131; dans J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., New York, tirage de 1999, p. 3; virgules dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 108; dans P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 60...</ref>); réciproquement, tout cycle est de cette forme, et plus précisément, si <math>\gamma \in S_{E}</math> est un cycle de longueur ''n'', si ''x'' est un élément du support de <math>\ \gamma</math>, il existe un et un seul ''n''-uplet <math>(x_{1}, \ldots , x_{n})</math> de points de ''E'' tel que <math>\ x_{1} = x</math> et <math>\ \gamma = (x_{1} \ldots x_{n})</math>. Il est clair que la permutation inverse du n-cycle <math>\ (x_{1} \ldots x_{n})</math> est le n-cycle <math>\ (x_{n} \ldots x_{1})</math>. Si ''E'' est un ensemble fini et <math>\ \sigma</math> une permutation de ''E'', on peut écrire <math>\ \sigma</math> comme produit de cycles à supports disjoints de la façon suivante : si <math>\ \sigma</math> n’est pas la permutation identique, on choisit un élément <math>\ a_{1}</math> de son support et on construit comme suit un premier cycle <math>(x_{1,1} \ldots x_{1,r_{1}})</math> de la décomposition de <math>\ \sigma</math> : on pose :<math>\ x_{1,1} = a_{1}</math> et on calcule :<math>\ x_{1,2} = \sigma(x_{1,1}), \ldots , x_{1,r_{1}} = \sigma(x_{1,r_{1}-1})</math> en s'arrêtant au premier nombre <math>\ r_{1}</math> tel que <math>\ x_{1,r_{1}+1} = \sigma(x_{1,1})</math>. On obtient ainsi un premier cycle <math>(x_{1,1} \ldots x_{1,r_{1}})</math> de la décomposition de <math>\ \sigma</math>, correspondant à une première <math>\ <\sigma></math>-orbite non ponctuelle <math>\{x_{1,1}, \ldots , x_{1,r_{1}}\}</math>. Si cette orbite n’est pas le support de <math>\ \sigma</math> tout entier, on choisit un élément <math>\ a_{2}</math> du support n'appartenant pas à l'orbite et, comme à partir de <math>\ a_{1}</math>, on construit à partir de <math>\ a_{2}</math> un second cycle <math>(x_{2,1} \ldots x_{2,r_{2}})</math>, correspondant à une seconde orbite non ponctuelle de <math>\ \sigma</math>. Si la réunion des deux orbites trouvées n’est pas le support tout entier, on poursuit jusqu'à ce qu'on ait trouvé toutes les orbites non ponctuelles de <math>\ \sigma</math>. On obtient ainsi la décomposition canonique de <math>\ \sigma</math> en produit de cycles : :<math>\sigma = (x_{1,1} \ldots x_{1,r_{1}}) \ (x_{2,1} \ldots x_{2,r_{2}}) \ (x_{s,1} \ldots x_{s,r_{s}})</math>. D'après ce qui précède, cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près et, pour chaque facteur, au choix près du point de départ de l'énumération des éléments du support du cycle. Il est parfois intéressant d'ajouter à la décomposition canonique d'une permutation la liste de ses points fixes; on parle alors de décomposition complète<ref>J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, p. 6.</ref>. Nous appellerons structure cyclique d'une permutation l'énumération des longueurs des cycles intervenant dans sa décomposition canonique, chaque longueur apparaissant dans l'énumération autant de fois qu’il y a de cycles de cette longueur dans la décomposition. Par exemple, la permutation :<math>\ (1 \ 3 \ 2) \ (4 \ 8) \ (5 \ 9 \ 6)</math> de l’ensemble <math>\ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}</math> a pour structure cyclique 2, 3, 3. === Effet d'une conjugaison sur un cycle === Soient ''E'' et ''F'' deux ensembles équipotents, ''f'' une bijection de ''E'' sur ''F''. Nous avons vu que l’application <math>\Gamma_{f} : S_{E} \rightarrow S_{F} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> définit un isomorphisme du groupe <math>S_{E}</math> sur le groupe <math>S_{F}</math>.<br /> On vérifie facilement que si <math>\gamma \in S_{E}</math> est le cycle <math>(a_{1} \ a_{2}\ldots \ a_{r})</math>, alors <math>\ \Gamma_{f}(\gamma)</math> est le cycle <math>(f(a_{1}) \ f(a_{2}) \ldots \ f(a_{r})) \in S_{F}</math>.<br /> Puisque <math>\Gamma_{f}</math> est un isomorphisme, <math>\Gamma_{f}</math> applique donc le produit de cycles <math>\in S_{E}</math> :<math> (a_{1,1} \ a_{1,2}\ldots \ a_{1,r_{1}}) \ \ldots (a_{s,1} \ a_{s,2}\ldots \ a_{s,r_{s}})</math> sur :<math> (f(a_{1,1)} \ f(a_{1,2}) \ldots \ f(a_{1,r_{1}})) \ \ldots (f(a_{s,1}) \ f(a_{s,2}) \ldots \ f(a_{s,r_{s}}))</math>. En particulier, si ''F'' = ''E'', si ''f'' est la permutation <math>\ \sigma</math> de ''E'', nous trouvons que le conjugué <math>\sigma \circ (a_{1} \ a_{2}\ldots \ a_{r}) \circ \sigma^{-1}</math> du cycle <math>(a_{1} \ a_{2}\ldots \ a_{r}) \in S_{E}</math> est le cycle <math>(\sigma(a_{1}) \ \sigma(a_{2}) \ldots \ \sigma(a_{r})) \in S_{E}</math>.<br /> De même, le produit de cycles :<math> (a_{1,1} \ a_{1,2}\ldots \ a_{1,r_{1}}) \ \ldots (a_{s,1} \ a_{s,2}\ldots \ a_{s,r_{s}})</math> a pour conjugué par <math>\ \sigma</math> :<math> (\sigma(a_{1,1)} \ \sigma(a_{1,2}) \ldots \ \sigma(a_{1,r_{1}})) \ \ldots (\sigma(a_{s,1}) \ \sigma(a_{s,2}) \ldots \ \sigma(a_{s,r_{s}}))</math>. Si les facteurs du premier produit ont des supports deux à deux disjoints, il en est de même des facteurs du second produit. On en tire facilement que deux permutations d'un même ensemble fini ''E'' sont conjuguées dans <math>\ S_{E}</math> si et seulement si elles ont la même structure cyclique. En particulier, puisque l'inverse d'un cycle est un cycle de même longueur et de même support, une permutation et son inverse sont toujours conjuguées. == Transpositions == {{Définition | titre = Définition | contenu = Une permutation d'un ensemble ''E'' est dite transposition si c’est un cycle de longueur 2. Autrement dit, une permutation <math>\tau</math> de ''E'' est une transposition si et seulement s'il existe deux éléments distincts a, b de ''E'' tels que <math>\tau(a) = b, \tau(b) = a</math> et que <math>\tau</math> laisse fixes tous les autres éléments de ''E''. }} La transposition <math>(a \ b)</math> est donc l'unique transposition <math>\in S_E</math> qui échange ''a'' et ''b''. {{Lemme | contenu = Tout cycle de longueur ''r'' est le produit de r - 1 transpositions. }} Démonstration. On vérifie facilement que le cycle <math>(a_1\ldots a_r)</math> est égal à :<math>(a_1\ a_r)(a_1\ a_{r-1})\ldots(a_1\ a_2)</math>. {{Théorème | contenu = Toute permutation d'un ensemble fini est un produit de transpositions. }} Démonstration. Nous avons vu qu'une telle permutation est un produit de cycles et nous venons de voir qu'un cycle est un produit de transpositions. Remarque. Voici une démonstration qui n'utilise pas la décomposition en cycles. Soit <math>\sigma</math> une permutation d'un ensemble fini ''E'' ; nous allons prouver que <math>\sigma</math> est décomposable en transpositions, en raisonnant par récurrence sur le cardinal du support de <math>\sigma</math>. Si ce cardinal est nul, <math>\sigma</math> est la permutation identique et est donc le produit de la famille vide de transpositions. Sinon, le support de <math>\sigma</math> n’est pas vide. Choisissons un élément <math>a</math> de ce support et posons <math>b=\sigma(a)</math>. Comme déjà noté, <math>b</math> appartient aussi au support de <math>\sigma</math>. Tout point fixe de <math>\sigma</math> est distinct de <math>a</math> et de <math>b</math>, donc est point fixe de <math>(a \ b) \circ \sigma</math> ; de plus, il est clair que <math>a</math> est également point fixe de <math>(a \ b) \circ \sigma</math>. Donc <math>(a \ b) \circ \sigma</math> a strictement plus de points fixes que <math>\sigma</math>, autrement dit, le support de <math>(a \ b) \circ \sigma</math> a strictement moins d'éléments que celui de <math>\sigma</math>. Par hypothèse de récurrence, <math>(a \ b) \circ \sigma</math> est décomposable en produit de permutations, donc <math>\sigma</math>, qui peut s'écrire <math>(a \ b) \circ ((a \ b) \circ \sigma)</math>, l'est aussi. (On aurait aussi pu raisonner par récurrence sur le cardinal de ''E''.) Notons maintenant que la multiplication dans '''Z''' induit sur la partie <math>\{1,-1\}</math> de '''Z''' une loi de composition interne qui en fait un groupe cyclique d'ordre 2 dont –1 est générateur ; pour tout entier rationnel ''u'', la condition <math>(-1)^u=1</math> équivaut à ce que ''u'' soit pair ; pour tous entiers rationnels ''u'' et ''v'', la condition <math>(-1)^u=(-1)^v</math> équivaut à ce que ''u'' et ''v'' aient la même parité (c'est-à-dire soient ou bien tous deux pairs ou bien tous deux impairs). Quand on parlera du groupe <math>\{1, -1\}</math>, il s'agira du groupe qu'on vient de considérer, qui peut aussi être défini comme le sous-groupe <math>\{1, -1\}</math> du groupe multiplicatif des nombres rationnels non nuls. {{Théorème | contenu = Soit ''E'' un ensemble fini. Il existe un et un seul homomorphisme du groupe <math>S_E</math> dans le groupe <math>\{1, -1\}</math> qui applique toute transposition sur -1. Dans différentes décompositions d'une même permutation en produit de transpositions, le nombre de facteurs a toujours la même parité. }} Supposons d’abord <math>E = \{1, 2, \ldots , n \}</math> pour un certain nombre naturel ''n''. Pour toute permutation <math>\sigma</math> de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math>, nous dirons qu'une paire d'éléments de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math> est une inversion de <math>\sigma</math> si, ''i'' désignant le plus petit élément de cette paire et ''j'' le plus grand, <math>\sigma_i>\sigma_j</math>. Soient <math>\sigma</math> et <math>\tau</math> deux permutations de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math> et <math>\{i, j\}</math> une paire d'éléments de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math>. Il est clair que <math>\{i, j\}</math> est une inversion de <math>\sigma \circ \tau</math> si et seulement si une des deux conditions suivantes est satisfaite : :1° <math>\{i, j\}</math> est une inversion de <math>\tau</math> et <math>\{\tau(i, \tau(j))\}</math> n’est pas une inversion de <math>\sigma</math> ; :2° <math>\{i, j\}</math> n’est pas une inversion de <math>\tau</math> et <math>\{\tau(i, \tau(j))\}</math> est une inversion de <math>\sigma</math>. Nous allons définir un homomorphisme de <math>S_E</math> dans le groupe <math>\{1, -1\}</math>. Pour toute permutation <math>\sigma</math> de ''E'' et toute paire ''P'' d'éléments de ''E'', définissons <math>\nu_{\sigma}(P)</math> comme égal à –1 si ''P'' est une inversion de <math>\sigma</math> et à 1 dans le cas contraire. D'après ce qui précède, nous avons toujours :<math>\nu_{\sigma \circ \tau}(P) = \nu_{\sigma} (\tau(P)) \nu_{\tau} (P)</math>, où <math>\tau(P)</math> désigne la paire formée par les images par <math>\tau</math> des deux éléments de ''P''. En prenant le produit sur l’ensemble <math>\mathcal P</math> des paires d'éléments de ''P'', nous trouvons :<math>\prod_{P \in\mathcal P}\nu_{\sigma \circ \tau}(P) = \prod_{P \in\mathcal P}\nu_{\sigma}(\tau(P))\prod_{P\in\mathcal P} \nu_{\tau} (P)</math>. L'application <math>P \mapsto \tau(P)</math> est une permutation de l'index <math>\mathcal P</math>, donc le produit <math>\prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (\tau(P))</math> peut s'écrire <math>\prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (P)</math>, d'où :<math>\prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma \circ \tau}(P) = \prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (P) \prod_{P\in\mathcal P} \nu_{\tau} (P)</math>. Ceci montre que l'application :<math>\sigma \mapsto \prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (P)</math> est un homomorphisme de <math>S_n</math> dans <math>\{1, -1\}</math>. Il est clair que cet homomorphisme peut s'écrire :<math>\sigma \mapsto (-1)^{\mathrm{inv}(\sigma)}</math>, où <math>\mathrm{inv}(\sigma)</math> désigne le nombre d'inversions de <math>\sigma</math>. Montrons maintenant que cet homomorphisme applique toute transposition sur -1. Il s'agit de prouver que le nombre d'inversions d'une transposition est toujours impair. Soit (''a'' ''b'') une transposition, avec ''a'' < ''b''. Les inversions de cette permutation sont la paire {''a'', ''b''}, les paires <math>\{a, i\}</math> avec <math>a < i < b</math>, et les paires <math>\{i, b\}</math>, avec <math>a < i < b</math>. Le nombre des inversions de (''a'' ''b'') est donc <math>1 + 2(b-1-a)</math>, qui est bien impair. Nous avons donc prouvé qu’il existe un homomorphisme de <math>S_n</math> dans <math>\{1, -1\}</math> qui applique toute transposition sur -1. Un tel homomorphisme est unique, puisque les transpositions engendrent <math>S_n</math>. Pour toute permutation <math>\sigma\in S_n</math>, désignons par <math>\epsilon (\sigma)</math> l'image de <math>\sigma</math> par cet homomorphisme. Passons maintenant au cas général d'un ensemble fini ''E''. Soit ''n'' le cardinal de ''E''. Choisissons une bijection ''f'' de ''E'' sur <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math>. Nous avons vu que l'application :<math>\Gamma_f:S_E\to S_n:\sigma\mapsto f\circ\sigma\circ f^{-1}</math> est un isomorphisme de groupes qui applique tout cycle sur un cycle de même longueur et, en particulier, applique donc toute transposition sur une transposition. Le composé <math>\epsilon\circ\Gamma_f</math> est donc un homomorphisme de <math>S_E</math> dans <math>\{1,-1\}</math> qui applique toute transposition sur –1. Ici encore, puisque les transpositions engendrent <math>S_E</math>, un tel homomorphisme est unique. Nous désignerons encore par <math>\epsilon(\sigma)</math> l'image de <math>\sigma</math> par cet homomorphisme. Si une permutation <math>\sigma</math> de ''E'' peut s'écrire :<math>\sigma=\tau_1\circ\ldots\circ\tau_{r1}</math> et :<math>\sigma=\varphi_1\circ\ldots\circ\varphi_s</math>, les <math>\tau_i</math> et les <math>\varphi_j</math> étant des transpositions, le passage aux valeurs par <math>\epsilon</math> donne <math>(-1)^r=(-1)^s</math>, donc ''r'' et ''s'' ont même parité. {{Remarque | contenu = L'essentiel de la démonstration revient à dire que si <math>\sigma</math> et<math>\tau</math> sont des permutations de <math>\{1, 2, \ldots , n\}</math>, le nombre d'inversions de <math>\sigma\circ\tau</math> est congru modulo 2 à la somme du nombre d'inversions de <math>\sigma</math> et du nombre d'inversions de <math>\tau</math>. On trouvera dans les exercices une relation plus explicite entre ces trois nombres d'inversions. }} {{Définition | titre = Définitions | contenu ={{Wikipédia|Signature d'une permutation}} Pour toute permutation <math>\sigma</math> d'un ensemble fini ''E'', on appelle signature de <math>\sigma</math> et on note <math>\epsilon(\sigma)</math> la valeur de <math>\sigma</math> par l'unique homomorphisme de <math>S_E</math> dans <math>\{1,-1\}</math> qui applique toutes les transpositions sur –1. Une permutation de ''E'' est dite paire si sa signature est 1 et impaire dans le cas contraire. }} Un cycle est une permutation paire si et seulement si sa longueur est impaire ; en effet, nous avons vu qu'un cycle de longueur ''r'' est le produit de ''r'' – 1 transpositions. Si <math>\sigma</math> est un élément d'ordre impair du groupe <math>S_E</math>, c’est une permutation paire ; en effet, puisque <math>\epsilon</math> définit un homomorphisme de <math>S_E</math> dans <math>\{1, -1\}</math>, l’ordre de <math>\epsilon(\sigma)</math> divise celui de <math>\sigma</math> et est donc impair ; or le seul élément d'ordre impair dans <math>\{1, -1\}</math> est 1, donc <math>\epsilon(\sigma) = 1</math>, donc <math>\sigma</math> est une permutation paire. La converse n’est pas vraie : un élément d'ordre pair du groupe <math>S_E</math> n’est pas forcément une permutation impaire. Par exemple, si ''E'' comprend aux moins quatre éléments différents a, b, c, d, la permutation <math>(a\ b)\ (c\ d)</math> de ''E'' a pour ordre le ppcm des ordres de <math>(a\ b)</math> et de <math>(c\ d)</math>, autrement dit est d'ordre 2 et donc pair, et pourtant c’est une permutation paire. Ce qui précède montre que pour calculer <math>\epsilon(\sigma)</math>, il n’est pas nécessaire de faire un long relevé d'inversions. Tout d’abord, si on connaît une décomposition de <math>\sigma</math> en produit de transpositions, <math>\epsilon(\sigma)</math> est égal à 1 ou à –1 selon que le nombre de facteurs est pair ou impair. Il suffit même de trouver la décomposition de <math>\sigma</math> en produit de cycles à supports disjoints : la signature de <math>\sigma</math> est le produit des signatures de ces cycles, et, d’après un résultat précédent, la signature d'un cycle <math>\gamma</math> est <math>(-1)^{l(\gamma) - 1}</math>, où <math>l(\gamma)</math> désigne la longueur de <math>\gamma</math>. Il est clair qu'on peut même se contenter de connaître les cardinaux des <math>\langle\sigma\rangle</math>-orbites. Enfin, si <math>\Omega^{\prime}</math> désigne l’ensemble des <math>\langle\sigma\rangle</math>-orbites non ponctuelles, :<math>\sum_{\omega \in \Omega^{\prime}}(\mathrm{Card}(\omega)-1)</math> = <math>\sum_{\omega \in \Omega}(\mathrm{Card}(\omega)-1)</math>, où <math>\Omega</math> désigne l’ensemble de toutes les orbites, y compris les orbites ponctuelles ; le second membre est égal à ''n'' – ''t'', où ''n'' = Card(''E'') et où ''t'' est le nombre des <math><\sigma></math>-orbites, y compris les <math>\langle\sigma\rangle</math>-orbites ponctuelles. On a donc :<math>\epsilon(\sigma) = (-1)^{n-t}</math>. (Ceci fournit d'ailleurs une définition alternative de la signature d'une permutation.) La notion de signature d'une permutation intervient en algèbre linéaire, dans l'étude des déterminants. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Sous-groupes caractéristiques/]] | suivant = [[../Groupes alternés/]] }} h5a4mg115kk8xcb50v3g1qnvutz1tor 982247 982244 2026-04-28T07:42:43Z Marvoir 1746 /* Groupe symétrique comme groupe opérant */ coquilles 982247 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 11 | précédent = [[../Sous-groupes caractéristiques/]] | suivant = [[../Groupes alternés/]] | page_liée = Annexe/Représentations du groupe symétrique d'indice trois | page_liée2 = Exercices/Groupes symétriques finis }} == Groupe symétrique comme groupe opérant == Rappelons la définition, donnée au chapitre [[../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]] : {{Définition | titre = Groupe symétrique d'un ensemble | contenu ={{Wikipédia|Groupe symétrique}} Soit ''E'' un ensemble. On désigne par <math>\ S_{E}</math> ou <math>\mathfrak{S}(E)</math> l’ensemble des permutations de ''E'', muni de la loi de groupe <math>\circ</math> définie par <math>f \circ g (x) = f(g(x))</math> pour toutes permutations ''f'' et ''g'' de ''E'' et pour tout élément ''x'' de ''E''. Ce groupe est dit groupe symétrique de ''E''. }} Comme déjà rappelé au chapitre [[../Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]], on démontre en analyse combinatoire que les permutations d'un ensemble fini de cardinal ''n'' sont en nombre ''n''! (factorielle de ''n''). Cela revient à la proposition suivante : {{Proposition | contenu = Si E est un ensemble fini de cardinal ''n'', le groupe symétrique <math>\ S_{E}</math> est d'ordre n! }} Nous noterons souvent le groupe symétrique multiplicativement, par juxtaposition. Ainsi, nous écrirons <math>\ \sigma_{1} \sigma_{2}</math> au lieu de <math>\sigma_{1} \circ \sigma_{2}</math> pour désigner la composée de deux permutations. De même, ''n'' étant un nombre naturel, nous désignerons par <math>\ \sigma^{n}</math> la composée de ''n'' permutations égales à <math>\ \sigma</math> et par <math>\ \sigma^{-n}</math> la permutation réciproque de <math>\ \sigma^{n}</math>. Nous dirons aussi « produit de permutations » plutôt que « composée de permutations » etc. Si ''E'' et ''F'' sont deux ensembles équipotents, les groupes <math>S_{E}</math> et <math>S_{F}</math> sont isomorphes. En effet, soit ''f'' une bijection ''f'' de ''E'' sur ''F''; à toute permutation <math>\sigma </math> de ''E'', faisons correspondre la permutation <math>f \circ \sigma \circ f^{-1} </math> de ''F''; on vérifie facilement que nous définissons ainsi un isomorphisme de <math>S_{E}</math> sur <math>S_{F}</math>. Dans le cas particulier où ''E'' est l’ensemble <math>\{1, \ldots , n \}</math> pour un certain nombre naturel ''n'', on écrit <math>\ S_{n}</math> plutôt que <math>\ S_{E}</math>. D'après la remarque précédente, le groupe symétrique de tout ensemble fini à ''n'' éléments est isomorphe à <math>\ S_{n}</math>. (Remarque. Dans une certaine axiomatique, le nombre naturel <math>n</math> est l'ensemble <math>\{0, \ldots , n - 1 \}</math>. Les notations <math>\ S_{n}</math> et <math>\ S_{E}</math> seraient donc parfaitement cohérentes si on définissait <math>\ S_{n}</math> comme égal à <math>\ S_{E}</math>, E désignant l'ensemble <math>\{0, \ldots , n - 1 \}</math>, mais ce n'est pas l'usage.) L'application <math>\ S_{E} \times E \rightarrow E : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math> est une action du groupe <math>\ S_{E}</math> sur l’ensemble ''E'', dite action naturelle de <math>S_{E}</math> sur ''E''. Nous avons vu qu’à toute action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' correspond un homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math>. Dans le cas présent, cet homomorphisme est l'identité (homomorphisme identique de <math>\ S_{E}</math> sur lui-même). Plus généralement, si ''H'' est un sous-groupe de <math>\ S_{E}</math>, nous dirons que l'action de ''H'' sur ''E'' induite par celle de <math>\ S_{E}</math> est l'action naturelle de ''H'' sur ''E''. == Support d'une permutation == {{Définition | titre = Support d'une permutation | contenu = Soient ''E'' un ensemble et <math>\sigma </math> une permutation de ''E''. On<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}7, Paris, 1970, p. 59, ne définit le support d'une permutation que si cette permutation est un cycle. J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 106, définit le support pour n’importe quelle permutation.</ref> appelle ''support'' de <math>\sigma </math>, et on note supp(<math>\sigma </math>), l’ensemble des éléments de ''E'' qui ne sont pas points fixes de <math>\sigma </math>, autrement dit l’ensemble des éléments x de ''E'' tels que <math>\sigma (x) \not= x</math>. }} De façon générale, si ''G'' est un groupe opérant sur un ensemble ''X'', nous avons vu que les points fixes d'un élément ''g'' de ''G'' sont identiques aux points fixes de ''g''⁻¹, que le stabilisateur d'un élément ''x'' de ''X'' est un sous-groupe de ''G'' et qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. Donc 1° Soient <math>\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n} </math> des permutations d'un même ensemble ''E''; alors :<math>\mathrm{supp}(\sigma_{1} \circ \ldots \circ \sigma_{n}) \subseteq \mathrm{supp}(\sigma_{1}) \cup \ldots \cup \mathrm{supp}(\sigma_{n})</math> (en effet, un élément de ''E'' qui n'appartient pas au second membre est point fixe de chacune des permutations <math>\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n} </math> et est donc point fixe de leur composée); en particulier, si <math>\sigma </math> est une permutation de ''E'', si ''k'' est un nombre naturel <math>\geq 0</math>, le support de <math>\sigma ^{k}</math> est contenu dans celui de <math>\sigma </math>. 2° Le support de <math>\sigma^{-1} </math> est égal à celui de <math>\sigma </math>. 3° Les points fixes de <math>\sigma </math> sont les points fixes pour l'opération de <math><\sigma> </math> sur ''E'', donc le support de <math>\sigma </math> est la réunion des orbites non ponctuelles de cette opération (et ne peut donc pas être un ensemble à un élément). Puisque le support <math>\ \mathrm{supp}(\sigma)</math> de <math>\ \sigma</math> est une réunion de <math>\ <\sigma></math>-orbites, <math>\ <\sigma>\rm{supp}(\sigma) = \rm{supp}(\sigma)</math> et <math>\ <\sigma></math> opère sur <math>\ \mathrm{supp}(\sigma)</math>; en particulier, si un élément <math>\ x</math> appartient au support de <math>\ \sigma</math>, l'élément <math>\ \sigma(x)</math> appartient lui aussi à ce support (on peut évidemment le prouver plus directement). Puisque <math>\ x</math> et <math>\ \sigma(x)</math> sont distincts, ceci montre de nouveau que si le support n’est pas vide, il comporte au moins deux éléments. {{Lemme | contenu = Soient ''E'' un ensemble et <math>\sigma_{1}, \ldots ,\sigma_{n} </math> des permutations de ''E'' à supports deux à deux disjoints (c'est-à-dire que <math>\mathrm{supp}(\sigma_{i}) \cap \mathrm{supp}(\sigma_{j}) = \empty</math> pour tout couple (''i'', ''j'') d'indices distincts). Posons <math>\sigma = \sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n}</math>. Soit ''x'' un élément de ''E''. Si ''x'' n'appartient à aucun des supports <math> \ \mathrm {supp}(\sigma_{i})</math>, <math>\ \sigma(x)</math> est égal à ''x'', sinon, il est égal à <math>\ \sigma_{i}(x)</math>, où ''i'' désigne le seul indice tel que <math>x \in \mathrm{supp}(\sigma_{i})</math>. Le support de <math>\sigma</math> est la réunion des supports des <math>\ \sigma_{i}</math>. Deux permutations de ''E'' à supports disjoints commutent. }} Démonstration. Nous savons déjà que le support de <math>\ \sigma</math> est contenu dans la réunion des supports des <math>\ \sigma_{i}</math>, donc si ''x'' n'appartient à aucun des supports <math>\ \mathrm{supp}( \sigma_{i}) </math>, il est point fixe de <math>\ \sigma</math>. Dans le cas contraire, il existe un et un seul ''i'' tel que <math>x \in \mathrm{supp}(\sigma_{i})</math>. Puisque ''x'' n'appartient pas aux supports de <math>\sigma_{i+1}, \ldots , \sigma_{n}</math>, nous avons :<math>\sigma_{i+1} \ldots \sigma_{n}(x) = x</math>, d'où, en appliquant <math>\sigma_{i}</math> aux deux membres, :<math>\sigma_{i}\sigma_{i+1} \ldots \sigma_{n}(x) = \sigma_{i}(x)</math>. D'après ce que nous avons vu, <math>\ \sigma_{i}(x)</math> appartient au support de <math>\ \sigma_{i}</math> et n'appartient donc à aucun des supports <math>\mathrm {supp}(\sigma_{1}), \ldots , \mathrm {supp}(\sigma_{i-1})</math> et est donc point fixe de <math>\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{i-1} </math>. En passant aux valeurs par <math>\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{i-1} </math> dans la précédente égalité, nous trouvons donc <math>\ \sigma(x) = \sigma_{i}(x)</math> comme annoncé.<br /> Il résulte de ce qui précède que le support de <math>\ \sigma</math> est la réunion des supports des <math>\ \sigma_{i}</math>.<br /> En appliquant l'explicitation trouvée de <math>\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n}(x)</math> au nombre ''n'' = 2, à la composée <math>\ \sigma_{1} \sigma_{2}</math> et à la composée <math>\ \sigma_{2} \sigma_{1}</math>, nous trouvons que deux permutations de ''E'' à supports disjoints commutent. == Cycles == === Définition === {{Définition | titre = Cycles | contenu = Soit ''E'' un ensemble fini. On dit qu'une permutation <math>\gamma</math> de ''E'' est un cycle si l'opération du groupe <math><\gamma></math> sur ''E'' admet une et une seule orbite non ponctuelle. }} Remarques.<br /> 1° D'après cette définition, la permutation identique de ''E'' n’est pas un cycle, puisque le sous-groupe de <math>\ S_{E}</math> qu'elle engendre, à savoir le sous-groupe réduit à elle-même, agit trivialement, c'est-à-dire que toutes les orbites de cette action sont ponctuelles.<br /> 2° Puisque le support d'une permutation est toujours la réunion de ses orbites non ponctuelles, le support d'un cycle <math>\ \gamma</math> est la seule orbite non ponctuelle pour l'opération de <math>\ <\gamma></math>.<br /> 3° Une description des cycles qui fait mieux comprendre leur nom sera donnée plus loin. === Décomposition d'une permutation en cycles === Soient <math>\ \sigma</math> une permutation de ''E'' et <math> \ \omega</math> une orbite relative à l'opération de <math>\ <\sigma></math> sur ''E''; <math>\ \sigma</math> permute les points de <math> \ \omega</math>, donc il existe une et une seule permutation <math>\ \gamma</math> de ''E'' qui coïncide avec <math>\ \sigma</math> en tout point de <math> \ \omega</math> et qui laisse fixe tout point de ''E'' qui n'appartient pas à <math> \ \omega</math>; pour tout entier rationnel ''n'' et pour tout élément ''x'' de <math> \ \omega</math>, nous avons <math>\ \gamma^{n}(x) = \sigma^{n}(x)</math>, donc <math> \ \omega</math> est une orbite de <math>\ \gamma</math>. Il est clair que si <math> \ \omega</math> n’est pas ponctuelle, <math>\ \gamma</math> est un cycle de support <math> \ \omega</math>. {{Lemme | contenu = Soient ''E'' un ensemble fini et ''C'' un ensemble (fini) de cycles <math>\in S_{E}</math> à supports deux à deux disjoints; désignons par <math>\ \sigma</math> le produit <math>\prod _{\gamma \in C}\gamma</math> (correctement défini puisque les éléments de ''C'' commutent deux à deux). L'application <math>f : \gamma \mapsto \mathrm{supp}(\gamma)</math> est une bijection de ''C'' sur l’ensemble des orbites non ponctuelles pour l'opération de <math>\ <\sigma></math>. Si <math>\ \omega</math> est une de ces orbites non ponctuelles, <math>\ f^{-1}(\omega)</math> est l'unique cycle qui coïncide avec <math>\ \sigma</math> dans <math>\ \omega</math> et laisse fixes les points de ''E'' qui n'appartiennent pas à <math>\ \omega</math>. }} Démonstration. Soit ''x'' un élément de ''E''. D'après le lemme précédent, nous avons <math>\ \sigma(x) = x</math> si ''x'' n'appartient au support d'aucun des cycles <math>\gamma \in C</math> et, dans le cas contraire, <math>\ \sigma(x) = \gamma(x)</math>, où <math>\ \gamma</math> désigne le seul élément de ''C'' dont le support comprenne ''x''.<br /> Première conséquence : soit <math>\ \gamma</math> un cycle appartenant à ''C''; <math>\ \sigma</math> coïncide avec <math>\ \gamma</math> en tout point de <math>\ \mathrm{supp}(\gamma)</math>, donc, pour tout entier rationnel ''n'', <math>\ \sigma^{n}</math> coïncide avec <math>\ \gamma^{n}</math> en tout point de <math>\ \mathrm{supp}(\gamma)</math>, donc <math>\ \mathrm{supp}(\gamma)</math> est une orbite, évidemment non ponctuelle, relative à l'opération de <math>\ <\sigma></math>.<br /> Seconde conséquence : tout élément du support de <math>\ \sigma</math> est contenu dans le support d'un élément de ''C''; cela revient à dire que pour toute orbite non ponctuelle <math>\ \omega</math> de l'opération de <math>\ <\sigma></math>, tout élément ''x'' de <math>\ \omega</math> appartient au support d'un élément de ''C''; d’après la première partie de la démonstration, ce support est une orbite de <math>\ \sigma</math>; comme une orbite ne peut être contenue dans une autre que si elle lui est égale, <math>\ \omega = \mathrm{supp}(\gamma)</math>.<br /> Nous avons donc prouvé que l’application <math>\gamma \mapsto \mathrm{supp}(\gamma)</math> est une surjection de ''C'' sur l’ensemble des orbites non ponctuelles pour l'opération de <math>\ <\sigma></math>. C'est une injection, car si <math>\ \gamma_{1}</math> et <math>\ \gamma_{2}</math> sont deux éléments distincts de ''C'', leurs supports sont disjoints et ne peuvent donc être égaux que s'ils sont vides, ce qui contredit la définition d'un cycle.<br /> La partie de l'énoncé relative à <math>\ f^{-1}</math> résulte clairement du reste de l'énoncé. {{Proposition | contenu = Soit ''E'' un ensemble fini. Pour toute permutation <math>\ \varphi</math> de ''E'', il existe un et un seul ensemble (fini) ''L'' de cycles <math>\in S_{E}</math> à supports deux à deux disjoints tel que <math>\varphi = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math>. }} Soit <math>\ \varphi</math> une permutation de ''E''. Pour toute orbite non ponctuelle <math>\ \omega</math> relative à l'opération de <math>\ <\varphi></math> sur ''E'', désignons par <math>\ \gamma_{\omega}</math> l'unique cycle <math>\in S_{E}</math> qui coïncide avec <math>\ \varphi</math> en tout point de <math>\ \omega</math> et laisse fixes tous les points de ''E'' qui n'appartiennent pas à <math>\ \omega</math>. (Nous avons noté que ce cycle existe et admet <math>\ \omega</math> pour support.) Désignons par ''L'' l’ensemble des cycles <math>\ \gamma_{\omega}</math>, où <math>\ \omega</math> parcourt les orbites non ponctuelles relatives à l'opération de <math>\ <\varphi></math> sur ''E''. Puisque les orbites en question sont deux à deux disjointes, les éléments de ''L'' sont des cycles à supports deux à deux disjoints. Posons :<math>\sigma = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math>; ceci peut encore s'écrire :<math>\sigma = \prod _{\omega \in \Omega}\gamma_\omega</math>, où <math>\ \Omega</math> désigne l’ensemble des orbites non ponctuelles pour l'opération de <math>\ <\varphi></math> (car à deux orbites non ponctuelles distinctes <math>\ \omega_{1}, \omega_{2}</math> correspondent deux cycles <math>\ \gamma_{\omega_{1}}, \gamma_{\omega_{2}}</math> distincts).<br /> Soit ''x'' un point de ''E''. D'après le lemme qui précède, :a) <math>\ \sigma(x) = x</math> si ''x'' n'appartient au support d'aucun élément de ''L'', c'est-à-dire si ''x'' n'appartient à aucune orbite non ponctuelle de l'opération de <math>\ <\varphi></math> sur ''E'', c'est-à-dire si ''x'' n'appartient pas au support de <math>\ \varphi</math>; :b) si ''x'' appartient au support <math>\ \omega</math> de l'élément <math>\ \gamma_{\omega}</math> de ''L'', <math>\ \sigma(x) = \gamma_{\omega}(x) = \varphi(x)</math>. Il résulte des points a) et b) que :<math>\ \varphi = \sigma = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math>, d'où l’existence d'un ensemble ''L'' tel que dans l'énoncé. Prouvons l'unicité de ''L''. Supposons qu'un ensemble ''M'' de cycles à supports deux à deux disjoints soit tel que :<math>\ \varphi = \prod _{\mu \in M}\mu</math>. D'après la dernière partie du lemme qui précède, les éléments de ''M'' sont les <math>\ \gamma_{\omega}</math> définis plus haut, c'est-à-dire les éléments de ''L''. On dit que l'écriture <math>\varphi = \prod _{\lambda \in L}\lambda</math> est la décomposition canonique de <math>\varphi</math> en produits de cycles. {{Corollaire | contenu = Soient ''E'' un ensemble fini et <math>\ \sigma</math> une permutation de ''E''. L'ordre de <math>\ \sigma</math> dans <math>\ S_{E}</math> est le ppcm des ordres des cycles qui apparaissent dans la décomposition canonique de <math>\ \sigma</math> . }} Démonstration. Soit <math>\ \sigma = \gamma_{1} \ldots \gamma_{r}</math>, où <math>\gamma_{1}, \ldots , \gamma_{r}</math> sont des cycles à supports deux à deux disjoints. Désignons par <math>\ m</math> le ppcm des ordres de <math>\ \gamma_{i}</math>. Pour tout nombre entier <math>\ t</math>, le support de <math>\ \gamma_{i}^{t}</math> est contenu dans celui de <math>\ \gamma_{i}</math>, donc les supports de <math>\gamma_{1}^{t}, \ldots ,\gamma_{r}^{t}</math> sont deux à deux disjoints. Nous avons vu que des permutations à supports deux à deux disjoints commutent, donc, pour tout nombre entier <math>\ t</math>, :<math>\sigma^{t} = \gamma_{1}^{t} \ldots \gamma_{r}^{t}</math>. Faisons d’abord ''t'' = ''m''. Chaque facteur <math>\gamma_{i}^{t}</math> du second membre est alors égal à <math>\ \mathrm{id}_{E}</math>, donc il en est de même du premier membre, donc <math>\ m</math> est multiple de l’ordre de <math>\ \sigma</math>.<br /> Faisons maintenant <math>\ t = s</math>, où <math>\ s</math> est l’ordre de <math>\ \sigma</math>. Nous trouvons :<math>\mathrm{id}_{E} = \gamma_{1}^{s} \ldots \gamma_{r}^{s}</math>. D'après un précédent lemme, il en résulte que le support de <math>\ \mathrm{id}_{E}</math>, c'est-à-dire l’ensemble vide, est la réunion des supports des <math>\ \gamma_{i}^{s}</math>, donc ces supports sont vides. Donc, pour chaque ''i'', <math>\gamma_{i}^{s} = \mathrm{id}_{E}</math>, donc ''s'' est multiple de l’ordre de chaque <math>\ \gamma_{i}</math>, donc ''s'' est multiple de ''m''. On a donc bien ''s'' = ''m''. === Notation d'un cycle === {{Proposition | contenu = Soient ''E'' un ensemble fini et <math>\ \gamma</math> un cycle <math>\in S_{E}</math>, soit <math>\ \Omega</math> le support de <math>\ \gamma</math>. Le cardinal de <math>\ \Omega</math> est égal à l’ordre de <math>\ \gamma</math> dans le groupe <math>\ S_{E}</math>. Si ''k'' désigne ce cardinal, si ''x'' est un élément de <math>\ \Omega</math>, les ''k'' éléments <math>x, \gamma(x), \gamma^{2}(x), \ldots , \gamma^{k-1}(x)</math> sont deux à deux distincts et représentent <math>\ \Omega</math> tout entier. }} Démonstration. Voici tout d’abord une démonstration qui fait une assez large part aux calculs. Soit ''x'' un élément de <math>\ \Omega</math>. Il existe au moins un nombre naturel ''s'' > 0 tel que <math>\gamma^{s}(x) = x</math>, par exemple l’ordre de <math>\ \gamma</math>. Désignons par <math>\ s_{x}</math> le plus petit des nombres naturels ''s'' > 0 tels que <math>\gamma^{s}(x) = x</math>. (La suite montrera que <math>\ s_{x}</math> ne dépend pas de ''x''.) Puisque <math>\ \Omega</math> est l'orbite de ''x'' pour l'opération du groupe <math>\ <\gamma></math> sur ''E'', tout élément de <math>\ \Omega</math> est de la forme <math>\ y = \gamma^{t}(x)</math>, avec <math>t \in \Z</math>. (Puisque <math>\ \gamma</math> est d'ordre fini, on peut même supposer ''t'' naturel.) Si ''r'' désigne le reste euclidien de ''t'' par <math>\ s_{x}</math>, nous avons alors <math>y = \gamma^{r}(x)</math>, ce qui montre que <math>x, \gamma(x), \gamma^{2}(x), \ldots , \gamma^{s_{x}-1}(x)</math> représentent tous les éléments de <math>\ \Omega</math>. Si nous avions <math>\ \gamma^{u}(x) = \gamma^{v}(x)</math> avec <math>0 \leq u < v \leq s_{x}-1</math>, nous aurions <math>\ \gamma^{v-u}(x) = x</math> avec <math>\ 0 < v-u < s_{x}</math>, ce qui contredit la minimalité de <math>\ s_{x}</math>. Donc <math>x, \gamma(x), \gamma^{2}(x), \ldots , \gamma^{s_{x}-1}(x)</math> sont deux à deux distincts, donc <math>s_{x} = \mathrm{Card}(\Omega)</math>, donc <math>s_{x}</math> est le nombre ''k'' de l'énoncé et, en particulier, est indépendant de ''x''. Donc, pour tout <math>x \in \Omega</math>, <math>\gamma^{k}(x) = x</math>. Puisque <math>\gamma</math> coïncide avec l'identité hors de <math>\ \Omega</math>, nous avons donc <math>\gamma^{k} = \mathrm{id}_{E}</math>, donc ''k'' est supérieur ou égal à l’ordre de <math>\gamma</math>. D'autre part, il est clair que, par minimalité de <math>\ s_{x}</math> dans l’ensemble des ''s'' > 0 tels que <math>\gamma^{s}(x) = x</math>, <math>\ s_{x}</math>, c'est-à-dire ''k'', est inférieur ou égal à l’ordre de <math>\gamma</math>. (D'ailleurs, nous savons que le cardinal d'une orbite divise l’ordre du groupe opérant.) Nos deux derniers résultats prouvent que l’ordre de <math>\gamma</math> est égal à ''k''. Voici maintenant une démonstration plus «bourbakiste». Puisque <math>\ \Omega</math> est une orbite pour l'opération du groupe <math>\ <\gamma></math> sur ''E'', le groupe <math>\ <\gamma></math> opère transitivement sur <math>\ \Omega</math>. Prouvons que cette opération est fidèle. Soit <math>\ \sigma</math> un élément du groupe <math>\ <\gamma></math> qui fixe tout point de <math>\ \Omega</math>; il s'agit de prouver que <math>\ \sigma</math> est l'élément neutre de <math>\ S_{E}</math>. Puisque la permutation <math>\ \sigma</math> est une puissance de <math>\ \gamma</math> et que <math>\ \gamma</math> fixe tout point n'appartenant pas à <math>\ \Omega</math>, <math>\ \sigma</math> fixe tout point n'appartenant pas à <math>\ \Omega</math>. Nous supposons de plus que <math>\ \sigma</math> fixe tout point de <math>\ \Omega</math>, donc <math>\ \sigma</math> fixe tout point de ''E'', donc est bien l'élément neutre de <math>\ S_{E}</math>. Ainsi, l'opération du groupe <math>\ <\gamma></math> sur <math>\ \Omega</math> est transitive et fidèle. Puisque ce groupe est cyclique, il est commutatif, donc, d’après un exercice sur les actions de groupe, l'action de <math>\ <\gamma></math> sur <math>\ \Omega</math> est simplement transitive, donc, pour tout élément ''x'' de <math>\ \Omega</math>, l’application orbitale <math>f_{x} : <\gamma> \rightarrow \Omega : \sigma \mapsto \sigma(x)</math> est une bijection. D'autre part, désignons par ''r'' l’ordre du groupe <math>\ <\gamma></math>; puisque ce groupe est cyclique avec <math>\ \gamma</math> pour générateur, l’application de <math>\{0, 1, \ldots , r-1\}</math> dans <math>\ <\gamma></math> qui applique ''i'' sur <math>\ \gamma^{i}</math> est une bijection. En composant les deux bijections trouvées, nous voyons que l’application de <math>\{0, 1, \ldots , r-1\}</math> dans <math>\ \Omega</math> qui applique ''i'' sur <math>\ \gamma^{i}(x)</math> est une bijection, d'où l'énoncé. {{Définition | titre = Longueur d'un cycle | contenu = Soit <math>\ \gamma</math> un cycle <math>\in S_{E}</math>. On appelle longueur de <math>\ \gamma</math> l’ordre de <math>\ \gamma</math> comme élément du groupe <math>\ S_{E}</math>, ou, ce qui revient au même, le cardinal du support de <math>\ \gamma</math>. Un cycle de longueur ''s'' est appelé ''s''-cycle. }} La précédente proposition permet de caractériser les cycles comme suit : soient ''E'' un ensemble fini et <math>x_{1}, \ldots , x_{n}</math> des points de ''E'' deux à deux distincts, avec <math>n \geq 2</math>; l'unique permutation de ''E'' qui applique <math>\ x_{i}</math> sur <math>\ x_{i+1}</math> pour chaque <math>\ i < n</math> et <math>\ x_{n}</math> sur <math>\ x_{1}</math> et laisse fixes tous les autres points de ''E'' est un cycle de support <math>\{x_{1}, \ldots , x_{n}\}</math> et de longueur ''n'', cycle que nous noterons :<math>(x_{1} \ldots x_{n})</math> (sans virgules<ref>Pas de virgules dans N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, exerc. 12, b, Paris, 1970, p. 131; dans J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., New York, tirage de 1999, p. 3; virgules dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 108; dans P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 60...</ref>); réciproquement, tout cycle est de cette forme, et plus précisément, si <math>\gamma \in S_{E}</math> est un cycle de longueur ''n'', si ''x'' est un élément du support de <math>\ \gamma</math>, il existe un et un seul ''n''-uplet <math>(x_{1}, \ldots , x_{n})</math> de points de ''E'' tel que <math>\ x_{1} = x</math> et <math>\ \gamma = (x_{1} \ldots x_{n})</math>. Il est clair que la permutation inverse du n-cycle <math>\ (x_{1} \ldots x_{n})</math> est le n-cycle <math>\ (x_{n} \ldots x_{1})</math>. Si ''E'' est un ensemble fini et <math>\ \sigma</math> une permutation de ''E'', on peut écrire <math>\ \sigma</math> comme produit de cycles à supports disjoints de la façon suivante : si <math>\ \sigma</math> n’est pas la permutation identique, on choisit un élément <math>\ a_{1}</math> de son support et on construit comme suit un premier cycle <math>(x_{1,1} \ldots x_{1,r_{1}})</math> de la décomposition de <math>\ \sigma</math> : on pose :<math>\ x_{1,1} = a_{1}</math> et on calcule :<math>\ x_{1,2} = \sigma(x_{1,1}), \ldots , x_{1,r_{1}} = \sigma(x_{1,r_{1}-1})</math> en s'arrêtant au premier nombre <math>\ r_{1}</math> tel que <math>\ x_{1,r_{1}+1} = \sigma(x_{1,1})</math>. On obtient ainsi un premier cycle <math>(x_{1,1} \ldots x_{1,r_{1}})</math> de la décomposition de <math>\ \sigma</math>, correspondant à une première <math>\ <\sigma></math>-orbite non ponctuelle <math>\{x_{1,1}, \ldots , x_{1,r_{1}}\}</math>. Si cette orbite n’est pas le support de <math>\ \sigma</math> tout entier, on choisit un élément <math>\ a_{2}</math> du support n'appartenant pas à l'orbite et, comme à partir de <math>\ a_{1}</math>, on construit à partir de <math>\ a_{2}</math> un second cycle <math>(x_{2,1} \ldots x_{2,r_{2}})</math>, correspondant à une seconde orbite non ponctuelle de <math>\ \sigma</math>. Si la réunion des deux orbites trouvées n’est pas le support tout entier, on poursuit jusqu'à ce qu'on ait trouvé toutes les orbites non ponctuelles de <math>\ \sigma</math>. On obtient ainsi la décomposition canonique de <math>\ \sigma</math> en produit de cycles : :<math>\sigma = (x_{1,1} \ldots x_{1,r_{1}}) \ (x_{2,1} \ldots x_{2,r_{2}}) \ (x_{s,1} \ldots x_{s,r_{s}})</math>. D'après ce qui précède, cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près et, pour chaque facteur, au choix près du point de départ de l'énumération des éléments du support du cycle. Il est parfois intéressant d'ajouter à la décomposition canonique d'une permutation la liste de ses points fixes; on parle alors de décomposition complète<ref>J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, p. 6.</ref>. Nous appellerons structure cyclique d'une permutation l'énumération des longueurs des cycles intervenant dans sa décomposition canonique, chaque longueur apparaissant dans l'énumération autant de fois qu’il y a de cycles de cette longueur dans la décomposition. Par exemple, la permutation :<math>\ (1 \ 3 \ 2) \ (4 \ 8) \ (5 \ 9 \ 6)</math> de l’ensemble <math>\ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}</math> a pour structure cyclique 2, 3, 3. === Effet d'une conjugaison sur un cycle === Soient ''E'' et ''F'' deux ensembles équipotents, ''f'' une bijection de ''E'' sur ''F''. Nous avons vu que l’application <math>\Gamma_{f} : S_{E} \rightarrow S_{F} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math> définit un isomorphisme du groupe <math>S_{E}</math> sur le groupe <math>S_{F}</math>.<br /> On vérifie facilement que si <math>\gamma \in S_{E}</math> est le cycle <math>(a_{1} \ a_{2}\ldots \ a_{r})</math>, alors <math>\ \Gamma_{f}(\gamma)</math> est le cycle <math>(f(a_{1}) \ f(a_{2}) \ldots \ f(a_{r})) \in S_{F}</math>.<br /> Puisque <math>\Gamma_{f}</math> est un isomorphisme, <math>\Gamma_{f}</math> applique donc le produit de cycles <math>\in S_{E}</math> :<math> (a_{1,1} \ a_{1,2}\ldots \ a_{1,r_{1}}) \ \ldots (a_{s,1} \ a_{s,2}\ldots \ a_{s,r_{s}})</math> sur :<math> (f(a_{1,1)} \ f(a_{1,2}) \ldots \ f(a_{1,r_{1}})) \ \ldots (f(a_{s,1}) \ f(a_{s,2}) \ldots \ f(a_{s,r_{s}}))</math>. En particulier, si ''F'' = ''E'', si ''f'' est la permutation <math>\ \sigma</math> de ''E'', nous trouvons que le conjugué <math>\sigma \circ (a_{1} \ a_{2}\ldots \ a_{r}) \circ \sigma^{-1}</math> du cycle <math>(a_{1} \ a_{2}\ldots \ a_{r}) \in S_{E}</math> est le cycle <math>(\sigma(a_{1}) \ \sigma(a_{2}) \ldots \ \sigma(a_{r})) \in S_{E}</math>.<br /> De même, le produit de cycles :<math> (a_{1,1} \ a_{1,2}\ldots \ a_{1,r_{1}}) \ \ldots (a_{s,1} \ a_{s,2}\ldots \ a_{s,r_{s}})</math> a pour conjugué par <math>\ \sigma</math> :<math> (\sigma(a_{1,1)} \ \sigma(a_{1,2}) \ldots \ \sigma(a_{1,r_{1}})) \ \ldots (\sigma(a_{s,1}) \ \sigma(a_{s,2}) \ldots \ \sigma(a_{s,r_{s}}))</math>. Si les facteurs du premier produit ont des supports deux à deux disjoints, il en est de même des facteurs du second produit. On en tire facilement que deux permutations d'un même ensemble fini ''E'' sont conjuguées dans <math>\ S_{E}</math> si et seulement si elles ont la même structure cyclique. En particulier, puisque l'inverse d'un cycle est un cycle de même longueur et de même support, une permutation et son inverse sont toujours conjuguées. == Transpositions == {{Définition | titre = Définition | contenu = Une permutation d'un ensemble ''E'' est dite transposition si c’est un cycle de longueur 2. Autrement dit, une permutation <math>\tau</math> de ''E'' est une transposition si et seulement s'il existe deux éléments distincts a, b de ''E'' tels que <math>\tau(a) = b, \tau(b) = a</math> et que <math>\tau</math> laisse fixes tous les autres éléments de ''E''. }} La transposition <math>(a \ b)</math> est donc l'unique transposition <math>\in S_E</math> qui échange ''a'' et ''b''. {{Lemme | contenu = Tout cycle de longueur ''r'' est le produit de r - 1 transpositions. }} Démonstration. On vérifie facilement que le cycle <math>(a_1\ldots a_r)</math> est égal à :<math>(a_1\ a_r)(a_1\ a_{r-1})\ldots(a_1\ a_2)</math>. {{Théorème | contenu = Toute permutation d'un ensemble fini est un produit de transpositions. }} Démonstration. Nous avons vu qu'une telle permutation est un produit de cycles et nous venons de voir qu'un cycle est un produit de transpositions. Remarque. Voici une démonstration qui n'utilise pas la décomposition en cycles. Soit <math>\sigma</math> une permutation d'un ensemble fini ''E'' ; nous allons prouver que <math>\sigma</math> est décomposable en transpositions, en raisonnant par récurrence sur le cardinal du support de <math>\sigma</math>. Si ce cardinal est nul, <math>\sigma</math> est la permutation identique et est donc le produit de la famille vide de transpositions. Sinon, le support de <math>\sigma</math> n’est pas vide. Choisissons un élément <math>a</math> de ce support et posons <math>b=\sigma(a)</math>. Comme déjà noté, <math>b</math> appartient aussi au support de <math>\sigma</math>. Tout point fixe de <math>\sigma</math> est distinct de <math>a</math> et de <math>b</math>, donc est point fixe de <math>(a \ b) \circ \sigma</math> ; de plus, il est clair que <math>a</math> est également point fixe de <math>(a \ b) \circ \sigma</math>. Donc <math>(a \ b) \circ \sigma</math> a strictement plus de points fixes que <math>\sigma</math>, autrement dit, le support de <math>(a \ b) \circ \sigma</math> a strictement moins d'éléments que celui de <math>\sigma</math>. Par hypothèse de récurrence, <math>(a \ b) \circ \sigma</math> est décomposable en produit de permutations, donc <math>\sigma</math>, qui peut s'écrire <math>(a \ b) \circ ((a \ b) \circ \sigma)</math>, l'est aussi. (On aurait aussi pu raisonner par récurrence sur le cardinal de ''E''.) Notons maintenant que la multiplication dans '''Z''' induit sur la partie <math>\{1,-1\}</math> de '''Z''' une loi de composition interne qui en fait un groupe cyclique d'ordre 2 dont –1 est générateur ; pour tout entier rationnel ''u'', la condition <math>(-1)^u=1</math> équivaut à ce que ''u'' soit pair ; pour tous entiers rationnels ''u'' et ''v'', la condition <math>(-1)^u=(-1)^v</math> équivaut à ce que ''u'' et ''v'' aient la même parité (c'est-à-dire soient ou bien tous deux pairs ou bien tous deux impairs). Quand on parlera du groupe <math>\{1, -1\}</math>, il s'agira du groupe qu'on vient de considérer, qui peut aussi être défini comme le sous-groupe <math>\{1, -1\}</math> du groupe multiplicatif des nombres rationnels non nuls. {{Théorème | contenu = Soit ''E'' un ensemble fini. Il existe un et un seul homomorphisme du groupe <math>S_E</math> dans le groupe <math>\{1, -1\}</math> qui applique toute transposition sur -1. Dans différentes décompositions d'une même permutation en produit de transpositions, le nombre de facteurs a toujours la même parité. }} Supposons d’abord <math>E = \{1, 2, \ldots , n \}</math> pour un certain nombre naturel ''n''. Pour toute permutation <math>\sigma</math> de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math>, nous dirons qu'une paire d'éléments de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math> est une inversion de <math>\sigma</math> si, ''i'' désignant le plus petit élément de cette paire et ''j'' le plus grand, <math>\sigma_i>\sigma_j</math>. Soient <math>\sigma</math> et <math>\tau</math> deux permutations de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math> et <math>\{i, j\}</math> une paire d'éléments de <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math>. Il est clair que <math>\{i, j\}</math> est une inversion de <math>\sigma \circ \tau</math> si et seulement si une des deux conditions suivantes est satisfaite : :1° <math>\{i, j\}</math> est une inversion de <math>\tau</math> et <math>\{\tau(i, \tau(j))\}</math> n’est pas une inversion de <math>\sigma</math> ; :2° <math>\{i, j\}</math> n’est pas une inversion de <math>\tau</math> et <math>\{\tau(i, \tau(j))\}</math> est une inversion de <math>\sigma</math>. Nous allons définir un homomorphisme de <math>S_E</math> dans le groupe <math>\{1, -1\}</math>. Pour toute permutation <math>\sigma</math> de ''E'' et toute paire ''P'' d'éléments de ''E'', définissons <math>\nu_{\sigma}(P)</math> comme égal à –1 si ''P'' est une inversion de <math>\sigma</math> et à 1 dans le cas contraire. D'après ce qui précède, nous avons toujours :<math>\nu_{\sigma \circ \tau}(P) = \nu_{\sigma} (\tau(P)) \nu_{\tau} (P)</math>, où <math>\tau(P)</math> désigne la paire formée par les images par <math>\tau</math> des deux éléments de ''P''. En prenant le produit sur l’ensemble <math>\mathcal P</math> des paires d'éléments de ''P'', nous trouvons :<math>\prod_{P \in\mathcal P}\nu_{\sigma \circ \tau}(P) = \prod_{P \in\mathcal P}\nu_{\sigma}(\tau(P))\prod_{P\in\mathcal P} \nu_{\tau} (P)</math>. L'application <math>P \mapsto \tau(P)</math> est une permutation de l'index <math>\mathcal P</math>, donc le produit <math>\prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (\tau(P))</math> peut s'écrire <math>\prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (P)</math>, d'où :<math>\prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma \circ \tau}(P) = \prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (P) \prod_{P\in\mathcal P} \nu_{\tau} (P)</math>. Ceci montre que l'application :<math>\sigma \mapsto \prod_{P\in\mathcal P}\nu_{\sigma} (P)</math> est un homomorphisme de <math>S_n</math> dans <math>\{1, -1\}</math>. Il est clair que cet homomorphisme peut s'écrire :<math>\sigma \mapsto (-1)^{\mathrm{inv}(\sigma)}</math>, où <math>\mathrm{inv}(\sigma)</math> désigne le nombre d'inversions de <math>\sigma</math>. Montrons maintenant que cet homomorphisme applique toute transposition sur -1. Il s'agit de prouver que le nombre d'inversions d'une transposition est toujours impair. Soit (''a'' ''b'') une transposition, avec ''a'' < ''b''. Les inversions de cette permutation sont la paire {''a'', ''b''}, les paires <math>\{a, i\}</math> avec <math>a < i < b</math>, et les paires <math>\{i, b\}</math>, avec <math>a < i < b</math>. Le nombre des inversions de (''a'' ''b'') est donc <math>1 + 2(b-1-a)</math>, qui est bien impair. Nous avons donc prouvé qu’il existe un homomorphisme de <math>S_n</math> dans <math>\{1, -1\}</math> qui applique toute transposition sur -1. Un tel homomorphisme est unique, puisque les transpositions engendrent <math>S_n</math>. Pour toute permutation <math>\sigma\in S_n</math>, désignons par <math>\epsilon (\sigma)</math> l'image de <math>\sigma</math> par cet homomorphisme. Passons maintenant au cas général d'un ensemble fini ''E''. Soit ''n'' le cardinal de ''E''. Choisissons une bijection ''f'' de ''E'' sur <math>\{1, 2, \ldots , n \}</math>. Nous avons vu que l'application :<math>\Gamma_f:S_E\to S_n:\sigma\mapsto f\circ\sigma\circ f^{-1}</math> est un isomorphisme de groupes qui applique tout cycle sur un cycle de même longueur et, en particulier, applique donc toute transposition sur une transposition. Le composé <math>\epsilon\circ\Gamma_f</math> est donc un homomorphisme de <math>S_E</math> dans <math>\{1,-1\}</math> qui applique toute transposition sur –1. Ici encore, puisque les transpositions engendrent <math>S_E</math>, un tel homomorphisme est unique. Nous désignerons encore par <math>\epsilon(\sigma)</math> l'image de <math>\sigma</math> par cet homomorphisme. Si une permutation <math>\sigma</math> de ''E'' peut s'écrire :<math>\sigma=\tau_1\circ\ldots\circ\tau_{r1}</math> et :<math>\sigma=\varphi_1\circ\ldots\circ\varphi_s</math>, les <math>\tau_i</math> et les <math>\varphi_j</math> étant des transpositions, le passage aux valeurs par <math>\epsilon</math> donne <math>(-1)^r=(-1)^s</math>, donc ''r'' et ''s'' ont même parité. {{Remarque | contenu = L'essentiel de la démonstration revient à dire que si <math>\sigma</math> et<math>\tau</math> sont des permutations de <math>\{1, 2, \ldots , n\}</math>, le nombre d'inversions de <math>\sigma\circ\tau</math> est congru modulo 2 à la somme du nombre d'inversions de <math>\sigma</math> et du nombre d'inversions de <math>\tau</math>. On trouvera dans les exercices une relation plus explicite entre ces trois nombres d'inversions. }} {{Définition | titre = Définitions | contenu ={{Wikipédia|Signature d'une permutation}} Pour toute permutation <math>\sigma</math> d'un ensemble fini ''E'', on appelle signature de <math>\sigma</math> et on note <math>\epsilon(\sigma)</math> la valeur de <math>\sigma</math> par l'unique homomorphisme de <math>S_E</math> dans <math>\{1,-1\}</math> qui applique toutes les transpositions sur –1. Une permutation de ''E'' est dite paire si sa signature est 1 et impaire dans le cas contraire. }} Un cycle est une permutation paire si et seulement si sa longueur est impaire ; en effet, nous avons vu qu'un cycle de longueur ''r'' est le produit de ''r'' – 1 transpositions. Si <math>\sigma</math> est un élément d'ordre impair du groupe <math>S_E</math>, c’est une permutation paire ; en effet, puisque <math>\epsilon</math> définit un homomorphisme de <math>S_E</math> dans <math>\{1, -1\}</math>, l’ordre de <math>\epsilon(\sigma)</math> divise celui de <math>\sigma</math> et est donc impair ; or le seul élément d'ordre impair dans <math>\{1, -1\}</math> est 1, donc <math>\epsilon(\sigma) = 1</math>, donc <math>\sigma</math> est une permutation paire. La converse n’est pas vraie : un élément d'ordre pair du groupe <math>S_E</math> n’est pas forcément une permutation impaire. Par exemple, si ''E'' comprend aux moins quatre éléments différents a, b, c, d, la permutation <math>(a\ b)\ (c\ d)</math> de ''E'' a pour ordre le ppcm des ordres de <math>(a\ b)</math> et de <math>(c\ d)</math>, autrement dit est d'ordre 2 et donc pair, et pourtant c’est une permutation paire. Ce qui précède montre que pour calculer <math>\epsilon(\sigma)</math>, il n’est pas nécessaire de faire un long relevé d'inversions. Tout d’abord, si on connaît une décomposition de <math>\sigma</math> en produit de transpositions, <math>\epsilon(\sigma)</math> est égal à 1 ou à –1 selon que le nombre de facteurs est pair ou impair. Il suffit même de trouver la décomposition de <math>\sigma</math> en produit de cycles à supports disjoints : la signature de <math>\sigma</math> est le produit des signatures de ces cycles, et, d’après un résultat précédent, la signature d'un cycle <math>\gamma</math> est <math>(-1)^{l(\gamma) - 1}</math>, où <math>l(\gamma)</math> désigne la longueur de <math>\gamma</math>. Il est clair qu'on peut même se contenter de connaître les cardinaux des <math>\langle\sigma\rangle</math>-orbites. Enfin, si <math>\Omega^{\prime}</math> désigne l’ensemble des <math>\langle\sigma\rangle</math>-orbites non ponctuelles, :<math>\sum_{\omega \in \Omega^{\prime}}(\mathrm{Card}(\omega)-1)</math> = <math>\sum_{\omega \in \Omega}(\mathrm{Card}(\omega)-1)</math>, où <math>\Omega</math> désigne l’ensemble de toutes les orbites, y compris les orbites ponctuelles ; le second membre est égal à ''n'' – ''t'', où ''n'' = Card(''E'') et où ''t'' est le nombre des <math><\sigma></math>-orbites, y compris les <math>\langle\sigma\rangle</math>-orbites ponctuelles. On a donc :<math>\epsilon(\sigma) = (-1)^{n-t}</math>. (Ceci fournit d'ailleurs une définition alternative de la signature d'une permutation.) La notion de signature d'une permutation intervient en algèbre linéaire, dans l'étude des déterminants. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Sous-groupes caractéristiques/]] | suivant = [[../Groupes alternés/]] }} q0m8fsg85g1fhc83h0eph1iapdou4bi 0 31295 982227 975849 2026-04-27T17:27:02Z Kontributor 2K 74655 /* Construction et indentation */ 982227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] | numéro = 3 | niveau = 7 }} Contrairement à une image matricielle dont le poids dépend en partie de sa [[w:Définition d'écran|définition]], le poids d’une image vectorielle ne dépend entièrement que du nombre de signes utilisés dans son code et donc de sa conception. == Conseils préalables == ''Note'' : en particulier pour les débutants en SVG, il peut être utile de faire une première étape de dessin grâce à un logiciel de dessin vectoriel (voir le chapitre précédent : ''[[Optimiser un fichier SVG/Avec Inkscape|Avec Inkscape]]'') puis dans une seconde étape de modifier le code généré. Les éditeurs de texte courants − comme les [[w:Bloc-notes (Windows)|bloc-notes]] généralement fournis par défaut − sont généralement suffisants. Un logiciel d'édition plus évolué peut cependant faciliter l’édition sur plusieurs points : * la [[w:coloration syntaxique|coloration syntaxique]] met en couleur le texte pour le rendre plus lisible ainsi que repérer rapidement des erreurs de syntaxe, * la possibilité de masquer des parties de l’arborescence du code durant l’édition, * des fonctions avancées comme le remplacement d’[[w:expression régulière|expression régulière]] sont très pratiques pour supprimer toutes les occurrences d’un morceau de code inutile, * l'édition de plusieurs fichiers en simultané est utile pour comparer du code ; par exemple, pour travailler sur plusieurs versions d'un même fichier ou pour travailler sur une partie du code sans toucher au reste, * etc. Parmi ces logiciels, les plus simples sont [[w:Notepad++|Notepad++]], [[w:Notepad2|Notepad2]], [[w:gedit|gedit]] ou [[w:Kate (logiciel)|Kate]] (des éditeurs XML peuvent être utilisés). {{Attention|Bien que très pratique pour modifier directement dans Inkscape, l’éditeur XML intégré dans Inkscape (dans le menu ''<u>É</u>dition, Éditeur <u>X</u>ML…'', avec l’icône [[Fichier:Inkscape icons dialog xml editor.svg]] ou bien avec le raccourci clavier : Maj+Ctrl+X) ne convient pas parfaitement. En effet, celui-ci dépend d’Inkscape, qui modifie automatiquement certaines parties du code (et généralement pas de façon optimale ; cela peut se résoudre en partie en modifiant les préférences par défaut d'Inkscape, en cochant ou en décochant « Autorise coordonnées relatives », « Imposer les commandes répétitives », en adaptant « précision numérique », « exposant minimum », etc.).}} == Optimisations == === Construction et indentation === Si la réduction maximale du poids voudrait qu'on ne fasse qu'une seule et unique ligne, optimiser le fichier veut aussi dire faciliter la modification de celui-ci. Afin que cela soit aisément possible, il est préférable de respecter certains critères de construction : # indenter chaque niveau de balises, autrement dit ajouter un espace vide plus important à gauche au début de chaque ligne que le niveau supérieur ; # renvoyer à la ligne chaque option des balises et lui donner une indentation supplémentaire par rapport à la balise ; # mettre dans le même ordre (si possible logique) les options de chaque balise (suggestion : classe, style, options de définition, id). <!--Quelque-->Astuce : * En termes de poids, une tabulation est équivalente à un espace, mais pas en termes de lisibilité du code : préférez l’utilisation de tabulations pour l'indentation (note : les logiciels de dessin utilisent automatiquement des espaces qu’il faut remplacer). === Suppression du code du logiciel de dessin === Lorsqu'un fichier SVG est créé, le logiciel de dessin crée de nombreuses ligne de code utile pour lui mais inutile pour le rendu final. Pour partie, il est possible de supprimer ces lignes directement dans le logiciel de dessin, mais ce n’est pas le cas de toutes, ce sont donc des artefacts que, pour l'optimisation du fichier, il est nécessaire de supprimer. Quelques blocs à supprimer : * le bloc <code><nowiki><metadata></nowiki></code> sert à indiquer les métadonnées (nom du fichier, de l'auteur du fichier, etc.) peut être utile mais pas toujours utile et qui occupe une part importante dans les petits fichiers. De plus, il est possible de les indiquer autrement (notamment avec les balises <code><nowiki><title></nowiki></code> et <code><nowiki><desc></nowiki></code>). * la totalité du bloc <code><nowiki><sodipodi></nowiki></code> ; ** par exemple, le bloc <code><nowiki><sodipodi:namedview></nowiki></code>. * tous les appels au logiciel de dessin (par exemple inkscape) et à sodipodi ; Par exemple dans le cas d'Inkscape, ces derniers comportent dans le premier bloc (svg) les lignes suivantes qui sont à supprimer : <syntaxhighlight lang="xml"> xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" </syntaxhighlight> {{attention|Si vous supprimez ces lignes alors que le reste du code contient des éléments avec ''sodipodi:'' ou ''inkscape:'' le fichier sera erroné et ne s'affichera plus.}} === Code minimal === {{...}} ==== En-tête ==== Il s’agit des parties du code sans lequel le SVG n’est pas valide<ref>La validation du code SVG se fait sur le site [http://validator.w3.org/ validator.w3.org] ; sur Commons, on utilise les modèles [[commons:Template:Valid SVG|Valid SVG]] et [[Commons:Template:InvalidSVG|InvalidSVG]] pour indiquer que le code est valide ou invalide.</ref> et ne peut donc pas s’afficher. La première ligne du fichier doit contenir la déclaration : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" standalone="no"?> </syntaxhighlight> Il est plus prudent de préciser l’encodage<!-- Il est indispensable de préciser l’encodage lorsque le fichier n’est pas en UTF-8, sinon ce n’est pas obligatoire--><ref>Techniquement, il n’est pas nécessaire de préciser l’encodage. On peut s’en passer mais cela peut poser des problèmes de caractères non ou mal reconnus. Le fichier peut donc être valide sans l’encodage mais aussi être invalide avec. Dans le doute, il vaut tout de même mieux indiquer l’encodage ; UTF-8 est un bon choix par défaut.</ref> : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> </syntaxhighlight> ==== Balise SVG ==== Après l’en-tête, le code du dessin sera intégralement contenu dans la balise <code><svg></code> : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg> ... </svg> </syntaxhighlight> Celui-ci contient généralement des attributs, par exemple : * <code>xmlns</code> (pour ''XML name space'' soit ''espace de nom XML'') et <code>xmlns:prefixe</code>. Ces lignes peuvent normalement être supprimée. Attention, si vous utiliser du code spécifique à Inskcape, à Sodipodi, etc., il faudra garder la ligne correspondante. Si vous avez gardé un <code>inkscape:connector-curvature</code>, il faut également conserver la ligne <code><nowiki>xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"</nowiki></code>. * <code>version</code> (version SVG alors que l'attribut version dans l’entête concerne la version du XML), il peut prendre les valeurs 1.0 ou 1.1. * plusieurs attributs « géométriques » : <code>x</code>, <code>y</code>, <code>width</code>, et <code>height</code>. Par défaut, ces attributs valent respectivement : 0, 0, 100 %, et 100 %. Les deux premiers indiquent les coordonnées en x et en y du coin de l'élément et peuvent ne pas être précisé ; les deux derniers indiquent la zone de dessin et sont nécessaires. * d’autres attributs spécifiques selon les besoins du dessin. On aura donc généralement quelque chose comme : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg version="1.1" width="100" height="100"> ... </svg> </syntaxhighlight> Bien que ce ne soit pas recommandé, il est cependant valide d’insérer les objets directement dans la balise <code><svg></code> sans passer par des groupes <code><g></code>. Les éléments ''description'' <code>desc</code> et ''titre'' <code>title</code> ne sont pas rendus graphiquement, ils ne sont ni utiles, ni même vraiment recommandés. Ils sont parfois utile pour l’accessibilité du document. Un identifiant <code>id</code> peut suffire dans la majorité des cas ; celui-ci n’est pas non plus nécessaire pour que le code soit valide. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] }} guytoigm8ev2uf6kavrptsr55iyqjjb 982228 982227 2026-04-27T17:27:38Z Kontributor 2K 74655 /* Suppression du code du logiciel de dessin */ 982228 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] | numéro = 3 | niveau = 7 }} Contrairement à une image matricielle dont le poids dépend en partie de sa [[w:Définition d'écran|définition]], le poids d’une image vectorielle ne dépend entièrement que du nombre de signes utilisés dans son code et donc de sa conception. == Conseils préalables == ''Note'' : en particulier pour les débutants en SVG, il peut être utile de faire une première étape de dessin grâce à un logiciel de dessin vectoriel (voir le chapitre précédent : ''[[Optimiser un fichier SVG/Avec Inkscape|Avec Inkscape]]'') puis dans une seconde étape de modifier le code généré. Les éditeurs de texte courants − comme les [[w:Bloc-notes (Windows)|bloc-notes]] généralement fournis par défaut − sont généralement suffisants. Un logiciel d'édition plus évolué peut cependant faciliter l’édition sur plusieurs points : * la [[w:coloration syntaxique|coloration syntaxique]] met en couleur le texte pour le rendre plus lisible ainsi que repérer rapidement des erreurs de syntaxe, * la possibilité de masquer des parties de l’arborescence du code durant l’édition, * des fonctions avancées comme le remplacement d’[[w:expression régulière|expression régulière]] sont très pratiques pour supprimer toutes les occurrences d’un morceau de code inutile, * l'édition de plusieurs fichiers en simultané est utile pour comparer du code ; par exemple, pour travailler sur plusieurs versions d'un même fichier ou pour travailler sur une partie du code sans toucher au reste, * etc. Parmi ces logiciels, les plus simples sont [[w:Notepad++|Notepad++]], [[w:Notepad2|Notepad2]], [[w:gedit|gedit]] ou [[w:Kate (logiciel)|Kate]] (des éditeurs XML peuvent être utilisés). {{Attention|Bien que très pratique pour modifier directement dans Inkscape, l’éditeur XML intégré dans Inkscape (dans le menu ''<u>É</u>dition, Éditeur <u>X</u>ML…'', avec l’icône [[Fichier:Inkscape icons dialog xml editor.svg]] ou bien avec le raccourci clavier : Maj+Ctrl+X) ne convient pas parfaitement. En effet, celui-ci dépend d’Inkscape, qui modifie automatiquement certaines parties du code (et généralement pas de façon optimale ; cela peut se résoudre en partie en modifiant les préférences par défaut d'Inkscape, en cochant ou en décochant « Autorise coordonnées relatives », « Imposer les commandes répétitives », en adaptant « précision numérique », « exposant minimum », etc.).}} == Optimisations == === Construction et indentation === Si la réduction maximale du poids voudrait qu'on ne fasse qu'une seule et unique ligne, optimiser le fichier veut aussi dire faciliter la modification de celui-ci. Afin que cela soit aisément possible, il est préférable de respecter certains critères de construction : # indenter chaque niveau de balises, autrement dit ajouter un espace vide plus important à gauche au début de chaque ligne que le niveau supérieur ; # renvoyer à la ligne chaque option des balises et lui donner une indentation supplémentaire par rapport à la balise ; # mettre dans le même ordre (si possible logique) les options de chaque balise (suggestion : classe, style, options de définition, id). <!--Quelque-->Astuce : * En termes de poids, une tabulation est équivalente à un espace, mais pas en termes de lisibilité du code : préférez l’utilisation de tabulations pour l'indentation (note : les logiciels de dessin utilisent automatiquement des espaces qu’il faut remplacer). === Suppression du code du logiciel de dessin === Lorsqu'un fichier SVG est créé, le logiciel de dessin crée de nombreuses lignes de code utile pour lui mais inutiles pour le rendu final. Pour partie, il est possible de supprimer ces lignes directement dans le logiciel de dessin, mais ce n’est pas le cas de toutes, ce sont donc des artefacts que, pour l'optimisation du fichier, il est nécessaire de supprimer. Quelques blocs à supprimer : * le bloc <code><nowiki><metadata></nowiki></code> sert à indiquer les métadonnées (nom du fichier, de l'auteur du fichier, etc.) peut être utile mais pas toujours utile et qui occupe une part importante dans les petits fichiers. De plus, il est possible de les indiquer autrement (notamment avec les balises <code><nowiki><title></nowiki></code> et <code><nowiki><desc></nowiki></code>). * la totalité du bloc <code><nowiki><sodipodi></nowiki></code> ; ** par exemple, le bloc <code><nowiki><sodipodi:namedview></nowiki></code>. * tous les appels au logiciel de dessin (par exemple inkscape) et à sodipodi ; Par exemple dans le cas d'Inkscape, ces derniers comportent dans le premier bloc (svg) les lignes suivantes qui sont à supprimer : <syntaxhighlight lang="xml"> xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" </syntaxhighlight> {{attention|Si vous supprimez ces lignes alors que le reste du code contient des éléments avec ''sodipodi:'' ou ''inkscape:'' le fichier sera erroné et ne s'affichera plus.}} === Code minimal === {{...}} ==== En-tête ==== Il s’agit des parties du code sans lequel le SVG n’est pas valide<ref>La validation du code SVG se fait sur le site [http://validator.w3.org/ validator.w3.org] ; sur Commons, on utilise les modèles [[commons:Template:Valid SVG|Valid SVG]] et [[Commons:Template:InvalidSVG|InvalidSVG]] pour indiquer que le code est valide ou invalide.</ref> et ne peut donc pas s’afficher. La première ligne du fichier doit contenir la déclaration : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" standalone="no"?> </syntaxhighlight> Il est plus prudent de préciser l’encodage<!-- Il est indispensable de préciser l’encodage lorsque le fichier n’est pas en UTF-8, sinon ce n’est pas obligatoire--><ref>Techniquement, il n’est pas nécessaire de préciser l’encodage. On peut s’en passer mais cela peut poser des problèmes de caractères non ou mal reconnus. Le fichier peut donc être valide sans l’encodage mais aussi être invalide avec. Dans le doute, il vaut tout de même mieux indiquer l’encodage ; UTF-8 est un bon choix par défaut.</ref> : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> </syntaxhighlight> ==== Balise SVG ==== Après l’en-tête, le code du dessin sera intégralement contenu dans la balise <code><svg></code> : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg> ... </svg> </syntaxhighlight> Celui-ci contient généralement des attributs, par exemple : * <code>xmlns</code> (pour ''XML name space'' soit ''espace de nom XML'') et <code>xmlns:prefixe</code>. Ces lignes peuvent normalement être supprimée. Attention, si vous utiliser du code spécifique à Inskcape, à Sodipodi, etc., il faudra garder la ligne correspondante. Si vous avez gardé un <code>inkscape:connector-curvature</code>, il faut également conserver la ligne <code><nowiki>xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"</nowiki></code>. * <code>version</code> (version SVG alors que l'attribut version dans l’entête concerne la version du XML), il peut prendre les valeurs 1.0 ou 1.1. * plusieurs attributs « géométriques » : <code>x</code>, <code>y</code>, <code>width</code>, et <code>height</code>. Par défaut, ces attributs valent respectivement : 0, 0, 100 %, et 100 %. Les deux premiers indiquent les coordonnées en x et en y du coin de l'élément et peuvent ne pas être précisé ; les deux derniers indiquent la zone de dessin et sont nécessaires. * d’autres attributs spécifiques selon les besoins du dessin. On aura donc généralement quelque chose comme : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg version="1.1" width="100" height="100"> ... </svg> </syntaxhighlight> Bien que ce ne soit pas recommandé, il est cependant valide d’insérer les objets directement dans la balise <code><svg></code> sans passer par des groupes <code><g></code>. Les éléments ''description'' <code>desc</code> et ''titre'' <code>title</code> ne sont pas rendus graphiquement, ils ne sont ni utiles, ni même vraiment recommandés. Ils sont parfois utile pour l’accessibilité du document. Un identifiant <code>id</code> peut suffire dans la majorité des cas ; celui-ci n’est pas non plus nécessaire pour que le code soit valide. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] }} 1vea88xlfpvdxd75lbxu9okhfxrpive 982229 982228 2026-04-27T17:28:34Z Kontributor 2K 74655 /* Suppression du code du logiciel de dessin */ 982229 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] | numéro = 3 | niveau = 7 }} Contrairement à une image matricielle dont le poids dépend en partie de sa [[w:Définition d'écran|définition]], le poids d’une image vectorielle ne dépend entièrement que du nombre de signes utilisés dans son code et donc de sa conception. == Conseils préalables == ''Note'' : en particulier pour les débutants en SVG, il peut être utile de faire une première étape de dessin grâce à un logiciel de dessin vectoriel (voir le chapitre précédent : ''[[Optimiser un fichier SVG/Avec Inkscape|Avec Inkscape]]'') puis dans une seconde étape de modifier le code généré. Les éditeurs de texte courants − comme les [[w:Bloc-notes (Windows)|bloc-notes]] généralement fournis par défaut − sont généralement suffisants. Un logiciel d'édition plus évolué peut cependant faciliter l’édition sur plusieurs points : * la [[w:coloration syntaxique|coloration syntaxique]] met en couleur le texte pour le rendre plus lisible ainsi que repérer rapidement des erreurs de syntaxe, * la possibilité de masquer des parties de l’arborescence du code durant l’édition, * des fonctions avancées comme le remplacement d’[[w:expression régulière|expression régulière]] sont très pratiques pour supprimer toutes les occurrences d’un morceau de code inutile, * l'édition de plusieurs fichiers en simultané est utile pour comparer du code ; par exemple, pour travailler sur plusieurs versions d'un même fichier ou pour travailler sur une partie du code sans toucher au reste, * etc. Parmi ces logiciels, les plus simples sont [[w:Notepad++|Notepad++]], [[w:Notepad2|Notepad2]], [[w:gedit|gedit]] ou [[w:Kate (logiciel)|Kate]] (des éditeurs XML peuvent être utilisés). {{Attention|Bien que très pratique pour modifier directement dans Inkscape, l’éditeur XML intégré dans Inkscape (dans le menu ''<u>É</u>dition, Éditeur <u>X</u>ML…'', avec l’icône [[Fichier:Inkscape icons dialog xml editor.svg]] ou bien avec le raccourci clavier : Maj+Ctrl+X) ne convient pas parfaitement. En effet, celui-ci dépend d’Inkscape, qui modifie automatiquement certaines parties du code (et généralement pas de façon optimale ; cela peut se résoudre en partie en modifiant les préférences par défaut d'Inkscape, en cochant ou en décochant « Autorise coordonnées relatives », « Imposer les commandes répétitives », en adaptant « précision numérique », « exposant minimum », etc.).}} == Optimisations == === Construction et indentation === Si la réduction maximale du poids voudrait qu'on ne fasse qu'une seule et unique ligne, optimiser le fichier veut aussi dire faciliter la modification de celui-ci. Afin que cela soit aisément possible, il est préférable de respecter certains critères de construction : # indenter chaque niveau de balises, autrement dit ajouter un espace vide plus important à gauche au début de chaque ligne que le niveau supérieur ; # renvoyer à la ligne chaque option des balises et lui donner une indentation supplémentaire par rapport à la balise ; # mettre dans le même ordre (si possible logique) les options de chaque balise (suggestion : classe, style, options de définition, id). <!--Quelque-->Astuce : * En termes de poids, une tabulation est équivalente à un espace, mais pas en termes de lisibilité du code : préférez l’utilisation de tabulations pour l'indentation (note : les logiciels de dessin utilisent automatiquement des espaces qu’il faut remplacer). === Suppression du code du logiciel de dessin === Lorsqu'un fichier SVG est créé, le logiciel de dessin crée de nombreuses lignes de code utile pour lui mais inutiles pour le rendu final. Pour partie, il est possible de supprimer ces lignes directement dans le logiciel de dessin, mais ce n’est pas le cas de toutes, ce sont donc des artefacts que, pour l'optimisation du fichier, il est nécessaire de supprimer. Quelques blocs à supprimer : * le bloc <code><nowiki><metadata></nowiki></code> sert à indiquer les métadonnées (nom du fichier, de l'auteur du fichier, etc.) peut être utile, mais pas toujours, et occupe une part importante dans les petits fichiers. De plus, il est possible de les indiquer autrement (notamment avec les balises <code><nowiki><title></nowiki></code> et <code><nowiki><desc></nowiki></code>). * la totalité du bloc <code><nowiki><sodipodi></nowiki></code> ; ** par exemple, le bloc <code><nowiki><sodipodi:namedview></nowiki></code>. * tous les appels au logiciel de dessin (par exemple inkscape) et à sodipodi ; Par exemple dans le cas d'Inkscape, ces derniers comportent dans le premier bloc (svg) les lignes suivantes qui sont à supprimer : <syntaxhighlight lang="xml"> xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" </syntaxhighlight> {{attention|Si vous supprimez ces lignes alors que le reste du code contient des éléments avec ''sodipodi:'' ou ''inkscape:'' le fichier sera erroné et ne s'affichera plus.}} === Code minimal === {{...}} ==== En-tête ==== Il s’agit des parties du code sans lequel le SVG n’est pas valide<ref>La validation du code SVG se fait sur le site [http://validator.w3.org/ validator.w3.org] ; sur Commons, on utilise les modèles [[commons:Template:Valid SVG|Valid SVG]] et [[Commons:Template:InvalidSVG|InvalidSVG]] pour indiquer que le code est valide ou invalide.</ref> et ne peut donc pas s’afficher. La première ligne du fichier doit contenir la déclaration : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" standalone="no"?> </syntaxhighlight> Il est plus prudent de préciser l’encodage<!-- Il est indispensable de préciser l’encodage lorsque le fichier n’est pas en UTF-8, sinon ce n’est pas obligatoire--><ref>Techniquement, il n’est pas nécessaire de préciser l’encodage. On peut s’en passer mais cela peut poser des problèmes de caractères non ou mal reconnus. Le fichier peut donc être valide sans l’encodage mais aussi être invalide avec. Dans le doute, il vaut tout de même mieux indiquer l’encodage ; UTF-8 est un bon choix par défaut.</ref> : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> </syntaxhighlight> ==== Balise SVG ==== Après l’en-tête, le code du dessin sera intégralement contenu dans la balise <code><svg></code> : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg> ... </svg> </syntaxhighlight> Celui-ci contient généralement des attributs, par exemple : * <code>xmlns</code> (pour ''XML name space'' soit ''espace de nom XML'') et <code>xmlns:prefixe</code>. Ces lignes peuvent normalement être supprimée. Attention, si vous utiliser du code spécifique à Inskcape, à Sodipodi, etc., il faudra garder la ligne correspondante. Si vous avez gardé un <code>inkscape:connector-curvature</code>, il faut également conserver la ligne <code><nowiki>xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"</nowiki></code>. * <code>version</code> (version SVG alors que l'attribut version dans l’entête concerne la version du XML), il peut prendre les valeurs 1.0 ou 1.1. * plusieurs attributs « géométriques » : <code>x</code>, <code>y</code>, <code>width</code>, et <code>height</code>. Par défaut, ces attributs valent respectivement : 0, 0, 100 %, et 100 %. Les deux premiers indiquent les coordonnées en x et en y du coin de l'élément et peuvent ne pas être précisé ; les deux derniers indiquent la zone de dessin et sont nécessaires. * d’autres attributs spécifiques selon les besoins du dessin. On aura donc généralement quelque chose comme : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg version="1.1" width="100" height="100"> ... </svg> </syntaxhighlight> Bien que ce ne soit pas recommandé, il est cependant valide d’insérer les objets directement dans la balise <code><svg></code> sans passer par des groupes <code><g></code>. Les éléments ''description'' <code>desc</code> et ''titre'' <code>title</code> ne sont pas rendus graphiquement, ils ne sont ni utiles, ni même vraiment recommandés. Ils sont parfois utile pour l’accessibilité du document. Un identifiant <code>id</code> peut suffire dans la majorité des cas ; celui-ci n’est pas non plus nécessaire pour que le code soit valide. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] }} 09cea3hx0cy4iu7iu64oxodcckh6n6v 982230 982229 2026-04-27T17:29:16Z Kontributor 2K 74655 /* Suppression du code du logiciel de dessin */ 982230 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] | numéro = 3 | niveau = 7 }} Contrairement à une image matricielle dont le poids dépend en partie de sa [[w:Définition d'écran|définition]], le poids d’une image vectorielle ne dépend entièrement que du nombre de signes utilisés dans son code et donc de sa conception. == Conseils préalables == ''Note'' : en particulier pour les débutants en SVG, il peut être utile de faire une première étape de dessin grâce à un logiciel de dessin vectoriel (voir le chapitre précédent : ''[[Optimiser un fichier SVG/Avec Inkscape|Avec Inkscape]]'') puis dans une seconde étape de modifier le code généré. Les éditeurs de texte courants − comme les [[w:Bloc-notes (Windows)|bloc-notes]] généralement fournis par défaut − sont généralement suffisants. Un logiciel d'édition plus évolué peut cependant faciliter l’édition sur plusieurs points : * la [[w:coloration syntaxique|coloration syntaxique]] met en couleur le texte pour le rendre plus lisible ainsi que repérer rapidement des erreurs de syntaxe, * la possibilité de masquer des parties de l’arborescence du code durant l’édition, * des fonctions avancées comme le remplacement d’[[w:expression régulière|expression régulière]] sont très pratiques pour supprimer toutes les occurrences d’un morceau de code inutile, * l'édition de plusieurs fichiers en simultané est utile pour comparer du code ; par exemple, pour travailler sur plusieurs versions d'un même fichier ou pour travailler sur une partie du code sans toucher au reste, * etc. Parmi ces logiciels, les plus simples sont [[w:Notepad++|Notepad++]], [[w:Notepad2|Notepad2]], [[w:gedit|gedit]] ou [[w:Kate (logiciel)|Kate]] (des éditeurs XML peuvent être utilisés). {{Attention|Bien que très pratique pour modifier directement dans Inkscape, l’éditeur XML intégré dans Inkscape (dans le menu ''<u>É</u>dition, Éditeur <u>X</u>ML…'', avec l’icône [[Fichier:Inkscape icons dialog xml editor.svg]] ou bien avec le raccourci clavier : Maj+Ctrl+X) ne convient pas parfaitement. En effet, celui-ci dépend d’Inkscape, qui modifie automatiquement certaines parties du code (et généralement pas de façon optimale ; cela peut se résoudre en partie en modifiant les préférences par défaut d'Inkscape, en cochant ou en décochant « Autorise coordonnées relatives », « Imposer les commandes répétitives », en adaptant « précision numérique », « exposant minimum », etc.).}} == Optimisations == === Construction et indentation === Si la réduction maximale du poids voudrait qu'on ne fasse qu'une seule et unique ligne, optimiser le fichier veut aussi dire faciliter la modification de celui-ci. Afin que cela soit aisément possible, il est préférable de respecter certains critères de construction : # indenter chaque niveau de balises, autrement dit ajouter un espace vide plus important à gauche au début de chaque ligne que le niveau supérieur ; # renvoyer à la ligne chaque option des balises et lui donner une indentation supplémentaire par rapport à la balise ; # mettre dans le même ordre (si possible logique) les options de chaque balise (suggestion : classe, style, options de définition, id). <!--Quelque-->Astuce : * En termes de poids, une tabulation est équivalente à un espace, mais pas en termes de lisibilité du code : préférez l’utilisation de tabulations pour l'indentation (note : les logiciels de dessin utilisent automatiquement des espaces qu’il faut remplacer). === Suppression du code du logiciel de dessin === Lorsqu'un fichier SVG est créé, le logiciel de dessin crée de nombreuses lignes de code utile pour lui mais inutiles pour le rendu final. Pour partie, il est possible de supprimer ces lignes directement dans le logiciel de dessin, mais ce n’est pas le cas de toutes, ce sont donc des artefacts que, pour l'optimisation du fichier, il est nécessaire de supprimer. Quelques blocs à supprimer : * le bloc <code><nowiki><metadata></nowiki></code> sert à indiquer les métadonnées (nom du fichier, de l'auteur du fichier, etc.) peut être utile, mais pas toujours, et occupe une part importante dans les petits fichiers. De plus, il est possible d’indiquer les métadonnées autrement (notamment avec les balises <code><nowiki><title></nowiki></code> et <code><nowiki><desc></nowiki></code>). * la totalité du bloc <code><nowiki><sodipodi></nowiki></code> ; ** par exemple, le bloc <code><nowiki><sodipodi:namedview></nowiki></code>. * tous les appels au logiciel de dessin (par exemple inkscape) et à sodipodi ; Par exemple dans le cas d'Inkscape, ces derniers comportent dans le premier bloc (svg) les lignes suivantes qui sont à supprimer : <syntaxhighlight lang="xml"> xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" </syntaxhighlight> {{attention|Si vous supprimez ces lignes alors que le reste du code contient des éléments avec ''sodipodi:'' ou ''inkscape:'' le fichier sera erroné et ne s'affichera plus.}} === Code minimal === {{...}} ==== En-tête ==== Il s’agit des parties du code sans lequel le SVG n’est pas valide<ref>La validation du code SVG se fait sur le site [http://validator.w3.org/ validator.w3.org] ; sur Commons, on utilise les modèles [[commons:Template:Valid SVG|Valid SVG]] et [[Commons:Template:InvalidSVG|InvalidSVG]] pour indiquer que le code est valide ou invalide.</ref> et ne peut donc pas s’afficher. La première ligne du fichier doit contenir la déclaration : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" standalone="no"?> </syntaxhighlight> Il est plus prudent de préciser l’encodage<!-- Il est indispensable de préciser l’encodage lorsque le fichier n’est pas en UTF-8, sinon ce n’est pas obligatoire--><ref>Techniquement, il n’est pas nécessaire de préciser l’encodage. On peut s’en passer mais cela peut poser des problèmes de caractères non ou mal reconnus. Le fichier peut donc être valide sans l’encodage mais aussi être invalide avec. Dans le doute, il vaut tout de même mieux indiquer l’encodage ; UTF-8 est un bon choix par défaut.</ref> : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> </syntaxhighlight> ==== Balise SVG ==== Après l’en-tête, le code du dessin sera intégralement contenu dans la balise <code><svg></code> : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg> ... </svg> </syntaxhighlight> Celui-ci contient généralement des attributs, par exemple : * <code>xmlns</code> (pour ''XML name space'' soit ''espace de nom XML'') et <code>xmlns:prefixe</code>. Ces lignes peuvent normalement être supprimée. Attention, si vous utiliser du code spécifique à Inskcape, à Sodipodi, etc., il faudra garder la ligne correspondante. Si vous avez gardé un <code>inkscape:connector-curvature</code>, il faut également conserver la ligne <code><nowiki>xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"</nowiki></code>. * <code>version</code> (version SVG alors que l'attribut version dans l’entête concerne la version du XML), il peut prendre les valeurs 1.0 ou 1.1. * plusieurs attributs « géométriques » : <code>x</code>, <code>y</code>, <code>width</code>, et <code>height</code>. Par défaut, ces attributs valent respectivement : 0, 0, 100 %, et 100 %. Les deux premiers indiquent les coordonnées en x et en y du coin de l'élément et peuvent ne pas être précisé ; les deux derniers indiquent la zone de dessin et sont nécessaires. * d’autres attributs spécifiques selon les besoins du dessin. On aura donc généralement quelque chose comme : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg version="1.1" width="100" height="100"> ... </svg> </syntaxhighlight> Bien que ce ne soit pas recommandé, il est cependant valide d’insérer les objets directement dans la balise <code><svg></code> sans passer par des groupes <code><g></code>. Les éléments ''description'' <code>desc</code> et ''titre'' <code>title</code> ne sont pas rendus graphiquement, ils ne sont ni utiles, ni même vraiment recommandés. Ils sont parfois utile pour l’accessibilité du document. Un identifiant <code>id</code> peut suffire dans la majorité des cas ; celui-ci n’est pas non plus nécessaire pour que le code soit valide. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] }} s57amf0rnibd61r23bmlifyp23ioxjc 982231 982230 2026-04-27T17:31:38Z Kontributor 2K 74655 /* Balise SVG */ 982231 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] | numéro = 3 | niveau = 7 }} Contrairement à une image matricielle dont le poids dépend en partie de sa [[w:Définition d'écran|définition]], le poids d’une image vectorielle ne dépend entièrement que du nombre de signes utilisés dans son code et donc de sa conception. == Conseils préalables == ''Note'' : en particulier pour les débutants en SVG, il peut être utile de faire une première étape de dessin grâce à un logiciel de dessin vectoriel (voir le chapitre précédent : ''[[Optimiser un fichier SVG/Avec Inkscape|Avec Inkscape]]'') puis dans une seconde étape de modifier le code généré. Les éditeurs de texte courants − comme les [[w:Bloc-notes (Windows)|bloc-notes]] généralement fournis par défaut − sont généralement suffisants. Un logiciel d'édition plus évolué peut cependant faciliter l’édition sur plusieurs points : * la [[w:coloration syntaxique|coloration syntaxique]] met en couleur le texte pour le rendre plus lisible ainsi que repérer rapidement des erreurs de syntaxe, * la possibilité de masquer des parties de l’arborescence du code durant l’édition, * des fonctions avancées comme le remplacement d’[[w:expression régulière|expression régulière]] sont très pratiques pour supprimer toutes les occurrences d’un morceau de code inutile, * l'édition de plusieurs fichiers en simultané est utile pour comparer du code ; par exemple, pour travailler sur plusieurs versions d'un même fichier ou pour travailler sur une partie du code sans toucher au reste, * etc. Parmi ces logiciels, les plus simples sont [[w:Notepad++|Notepad++]], [[w:Notepad2|Notepad2]], [[w:gedit|gedit]] ou [[w:Kate (logiciel)|Kate]] (des éditeurs XML peuvent être utilisés). {{Attention|Bien que très pratique pour modifier directement dans Inkscape, l’éditeur XML intégré dans Inkscape (dans le menu ''<u>É</u>dition, Éditeur <u>X</u>ML…'', avec l’icône [[Fichier:Inkscape icons dialog xml editor.svg]] ou bien avec le raccourci clavier : Maj+Ctrl+X) ne convient pas parfaitement. En effet, celui-ci dépend d’Inkscape, qui modifie automatiquement certaines parties du code (et généralement pas de façon optimale ; cela peut se résoudre en partie en modifiant les préférences par défaut d'Inkscape, en cochant ou en décochant « Autorise coordonnées relatives », « Imposer les commandes répétitives », en adaptant « précision numérique », « exposant minimum », etc.).}} == Optimisations == === Construction et indentation === Si la réduction maximale du poids voudrait qu'on ne fasse qu'une seule et unique ligne, optimiser le fichier veut aussi dire faciliter la modification de celui-ci. Afin que cela soit aisément possible, il est préférable de respecter certains critères de construction : # indenter chaque niveau de balises, autrement dit ajouter un espace vide plus important à gauche au début de chaque ligne que le niveau supérieur ; # renvoyer à la ligne chaque option des balises et lui donner une indentation supplémentaire par rapport à la balise ; # mettre dans le même ordre (si possible logique) les options de chaque balise (suggestion : classe, style, options de définition, id). <!--Quelque-->Astuce : * En termes de poids, une tabulation est équivalente à un espace, mais pas en termes de lisibilité du code : préférez l’utilisation de tabulations pour l'indentation (note : les logiciels de dessin utilisent automatiquement des espaces qu’il faut remplacer). === Suppression du code du logiciel de dessin === Lorsqu'un fichier SVG est créé, le logiciel de dessin crée de nombreuses lignes de code utile pour lui mais inutiles pour le rendu final. Pour partie, il est possible de supprimer ces lignes directement dans le logiciel de dessin, mais ce n’est pas le cas de toutes, ce sont donc des artefacts que, pour l'optimisation du fichier, il est nécessaire de supprimer. Quelques blocs à supprimer : * le bloc <code><nowiki><metadata></nowiki></code> sert à indiquer les métadonnées (nom du fichier, de l'auteur du fichier, etc.) peut être utile, mais pas toujours, et occupe une part importante dans les petits fichiers. De plus, il est possible d’indiquer les métadonnées autrement (notamment avec les balises <code><nowiki><title></nowiki></code> et <code><nowiki><desc></nowiki></code>). * la totalité du bloc <code><nowiki><sodipodi></nowiki></code> ; ** par exemple, le bloc <code><nowiki><sodipodi:namedview></nowiki></code>. * tous les appels au logiciel de dessin (par exemple inkscape) et à sodipodi ; Par exemple dans le cas d'Inkscape, ces derniers comportent dans le premier bloc (svg) les lignes suivantes qui sont à supprimer : <syntaxhighlight lang="xml"> xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" </syntaxhighlight> {{attention|Si vous supprimez ces lignes alors que le reste du code contient des éléments avec ''sodipodi:'' ou ''inkscape:'' le fichier sera erroné et ne s'affichera plus.}} === Code minimal === {{...}} ==== En-tête ==== Il s’agit des parties du code sans lequel le SVG n’est pas valide<ref>La validation du code SVG se fait sur le site [http://validator.w3.org/ validator.w3.org] ; sur Commons, on utilise les modèles [[commons:Template:Valid SVG|Valid SVG]] et [[Commons:Template:InvalidSVG|InvalidSVG]] pour indiquer que le code est valide ou invalide.</ref> et ne peut donc pas s’afficher. La première ligne du fichier doit contenir la déclaration : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" standalone="no"?> </syntaxhighlight> Il est plus prudent de préciser l’encodage<!-- Il est indispensable de préciser l’encodage lorsque le fichier n’est pas en UTF-8, sinon ce n’est pas obligatoire--><ref>Techniquement, il n’est pas nécessaire de préciser l’encodage. On peut s’en passer mais cela peut poser des problèmes de caractères non ou mal reconnus. Le fichier peut donc être valide sans l’encodage mais aussi être invalide avec. Dans le doute, il vaut tout de même mieux indiquer l’encodage ; UTF-8 est un bon choix par défaut.</ref> : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> </syntaxhighlight> ==== Balise SVG ==== Après l’entête, le code du dessin sera intégralement contenu dans la balise <code><svg></code> : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg> ... </svg> </syntaxhighlight> Celui-ci contient généralement des attributs, par exemple : * <code>xmlns</code> (pour ''XML name space'' soit ''espace de nom XML'') et <code>xmlns:prefixe</code>. Ces lignes peuvent normalement être supprimées. Attention, si vous utilisez du code spécifique à Inskcape, à Sodipodi, etc., il faudra garder la ligne correspondante. Si vous avez gardé un <code>inkscape:connector-curvature</code>, il faut également conserver la ligne <code><nowiki>xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"</nowiki></code>. * <code>version</code> (version SVG alors que l'attribut version dans l’entête concerne la version du XML), il peut prendre les valeurs 1.0 ou 1.1. * plusieurs attributs « géométriques » : <code>x</code>, <code>y</code>, <code>width</code>, et <code>height</code>. Par défaut, ces attributs valent respectivement : 0, 0, 100 %, et 100 %. Les deux premiers indiquent les coordonnées en x et en y du coin de l'élément et peuvent ne pas être précisés ; les deux derniers indiquent la zone de dessin et sont nécessaires. * d’autres attributs spécifiques selon les besoins du dessin. On aura donc généralement quelque chose comme : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg version="1.1" width="100" height="100"> ... </svg> </syntaxhighlight> Bien que ce ne soit pas recommandé, il est cependant valide d’insérer les objets directement dans la balise <code><svg></code> sans passer par des groupes <code><g></code>. Les éléments ''description'' <code>desc</code> et ''titre'' <code>title</code> ne sont pas rendus graphiquement, ils ne sont ni utiles, ni même vraiment recommandés. Ils sont parfois utile pour l’accessibilité du document. Un identifiant <code>id</code> peut suffire dans la majorité des cas ; celui-ci n’est pas non plus nécessaire pour que le code soit valide. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] }} o1xmy68y66tx71ccsysq0p1qx8iytax 982232 982231 2026-04-27T17:32:10Z Kontributor 2K 74655 /* Balise SVG */ 982232 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] | numéro = 3 | niveau = 7 }} Contrairement à une image matricielle dont le poids dépend en partie de sa [[w:Définition d'écran|définition]], le poids d’une image vectorielle ne dépend entièrement que du nombre de signes utilisés dans son code et donc de sa conception. == Conseils préalables == ''Note'' : en particulier pour les débutants en SVG, il peut être utile de faire une première étape de dessin grâce à un logiciel de dessin vectoriel (voir le chapitre précédent : ''[[Optimiser un fichier SVG/Avec Inkscape|Avec Inkscape]]'') puis dans une seconde étape de modifier le code généré. Les éditeurs de texte courants − comme les [[w:Bloc-notes (Windows)|bloc-notes]] généralement fournis par défaut − sont généralement suffisants. Un logiciel d'édition plus évolué peut cependant faciliter l’édition sur plusieurs points : * la [[w:coloration syntaxique|coloration syntaxique]] met en couleur le texte pour le rendre plus lisible ainsi que repérer rapidement des erreurs de syntaxe, * la possibilité de masquer des parties de l’arborescence du code durant l’édition, * des fonctions avancées comme le remplacement d’[[w:expression régulière|expression régulière]] sont très pratiques pour supprimer toutes les occurrences d’un morceau de code inutile, * l'édition de plusieurs fichiers en simultané est utile pour comparer du code ; par exemple, pour travailler sur plusieurs versions d'un même fichier ou pour travailler sur une partie du code sans toucher au reste, * etc. Parmi ces logiciels, les plus simples sont [[w:Notepad++|Notepad++]], [[w:Notepad2|Notepad2]], [[w:gedit|gedit]] ou [[w:Kate (logiciel)|Kate]] (des éditeurs XML peuvent être utilisés). {{Attention|Bien que très pratique pour modifier directement dans Inkscape, l’éditeur XML intégré dans Inkscape (dans le menu ''<u>É</u>dition, Éditeur <u>X</u>ML…'', avec l’icône [[Fichier:Inkscape icons dialog xml editor.svg]] ou bien avec le raccourci clavier : Maj+Ctrl+X) ne convient pas parfaitement. En effet, celui-ci dépend d’Inkscape, qui modifie automatiquement certaines parties du code (et généralement pas de façon optimale ; cela peut se résoudre en partie en modifiant les préférences par défaut d'Inkscape, en cochant ou en décochant « Autorise coordonnées relatives », « Imposer les commandes répétitives », en adaptant « précision numérique », « exposant minimum », etc.).}} == Optimisations == === Construction et indentation === Si la réduction maximale du poids voudrait qu'on ne fasse qu'une seule et unique ligne, optimiser le fichier veut aussi dire faciliter la modification de celui-ci. Afin que cela soit aisément possible, il est préférable de respecter certains critères de construction : # indenter chaque niveau de balises, autrement dit ajouter un espace vide plus important à gauche au début de chaque ligne que le niveau supérieur ; # renvoyer à la ligne chaque option des balises et lui donner une indentation supplémentaire par rapport à la balise ; # mettre dans le même ordre (si possible logique) les options de chaque balise (suggestion : classe, style, options de définition, id). <!--Quelque-->Astuce : * En termes de poids, une tabulation est équivalente à un espace, mais pas en termes de lisibilité du code : préférez l’utilisation de tabulations pour l'indentation (note : les logiciels de dessin utilisent automatiquement des espaces qu’il faut remplacer). === Suppression du code du logiciel de dessin === Lorsqu'un fichier SVG est créé, le logiciel de dessin crée de nombreuses lignes de code utile pour lui mais inutiles pour le rendu final. Pour partie, il est possible de supprimer ces lignes directement dans le logiciel de dessin, mais ce n’est pas le cas de toutes, ce sont donc des artefacts que, pour l'optimisation du fichier, il est nécessaire de supprimer. Quelques blocs à supprimer : * le bloc <code><nowiki><metadata></nowiki></code> sert à indiquer les métadonnées (nom du fichier, de l'auteur du fichier, etc.) peut être utile, mais pas toujours, et occupe une part importante dans les petits fichiers. De plus, il est possible d’indiquer les métadonnées autrement (notamment avec les balises <code><nowiki><title></nowiki></code> et <code><nowiki><desc></nowiki></code>). * la totalité du bloc <code><nowiki><sodipodi></nowiki></code> ; ** par exemple, le bloc <code><nowiki><sodipodi:namedview></nowiki></code>. * tous les appels au logiciel de dessin (par exemple inkscape) et à sodipodi ; Par exemple dans le cas d'Inkscape, ces derniers comportent dans le premier bloc (svg) les lignes suivantes qui sont à supprimer : <syntaxhighlight lang="xml"> xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" </syntaxhighlight> {{attention|Si vous supprimez ces lignes alors que le reste du code contient des éléments avec ''sodipodi:'' ou ''inkscape:'' le fichier sera erroné et ne s'affichera plus.}} === Code minimal === {{...}} ==== En-tête ==== Il s’agit des parties du code sans lequel le SVG n’est pas valide<ref>La validation du code SVG se fait sur le site [http://validator.w3.org/ validator.w3.org] ; sur Commons, on utilise les modèles [[commons:Template:Valid SVG|Valid SVG]] et [[Commons:Template:InvalidSVG|InvalidSVG]] pour indiquer que le code est valide ou invalide.</ref> et ne peut donc pas s’afficher. La première ligne du fichier doit contenir la déclaration : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" standalone="no"?> </syntaxhighlight> Il est plus prudent de préciser l’encodage<!-- Il est indispensable de préciser l’encodage lorsque le fichier n’est pas en UTF-8, sinon ce n’est pas obligatoire--><ref>Techniquement, il n’est pas nécessaire de préciser l’encodage. On peut s’en passer mais cela peut poser des problèmes de caractères non ou mal reconnus. Le fichier peut donc être valide sans l’encodage mais aussi être invalide avec. Dans le doute, il vaut tout de même mieux indiquer l’encodage ; UTF-8 est un bon choix par défaut.</ref> : <syntaxhighlight lang="xml"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> </syntaxhighlight> ==== Balise SVG ==== Après l’entête, le code du dessin sera intégralement contenu dans la balise <code><svg></code> : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg> ... </svg> </syntaxhighlight> Celui-ci contient généralement des attributs, par exemple : * <code>xmlns</code> (pour ''XML name space'' soit ''espace de nom XML'') et <code>xmlns:prefixe</code>. Ces lignes peuvent normalement être supprimées. Attention, si vous utilisez du code spécifique à Inskcape, à Sodipodi, etc., il faudra garder la ligne correspondante. Si vous avez gardé un <code>inkscape:connector-curvature</code>, il faut également conserver la ligne <code><nowiki>xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape"</nowiki></code>. * <code>version</code> (version SVG alors que l'attribut version dans l’entête concerne la version du XML), il peut prendre les valeurs 1.0 ou 1.1. * plusieurs attributs « géométriques » : <code>x</code>, <code>y</code>, <code>width</code>, et <code>height</code>. Par défaut, ces attributs valent respectivement : 0, 0, 100 %, et 100 %. Les deux premiers indiquent les coordonnées en x et en y du coin de l'élément et peuvent ne pas être précisés ; les deux derniers indiquent la zone de dessin et sont nécessaires. * d’autres attributs spécifiques selon les besoins du dessin. On aura donc généralement quelque chose comme : <syntaxhighlight lang="xml"> <svg version="1.1" width="100" height="100"> ... </svg> </syntaxhighlight> Bien que ce ne soit pas recommandé, il est cependant valide d’insérer les objets directement dans la balise <code><svg></code> sans passer par des groupes <code><g></code>. Les éléments ''description'' <code>desc</code> et ''titre'' <code>title</code> ne sont pas rendus graphiquement, ils ne sont ni utiles, ni même vraiment recommandés. Ils sont parfois utiles pour l’accessibilité du document. Un identifiant <code>id</code> peut suffire dans la majorité des cas ; celui-ci n’est pas non plus nécessaire pour que le code soit valide. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = infographie | précédent = [[../Avec Inkscape/]] | suivant = [[../Ligne/]] }} tgxulfqizqrt5zxbzxvsdqbgyr9lce9 104 55609 982240 982022 2026-04-27T20:34:26Z Regimminius 8193 /* Coloniser */ Faute de frappe 982240 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Chapitre | idfaculté = histoire | numéro = 6 | niveau = 9 | précédent = [[../Travail & appropriation de Anthropocène/]] | suivant = [[../Les abolitions des traites et des esclavages ou la traversée du long XIXè siècle/]] }} [[Fichier:The life and Strange Surprizing Adventures of Robinson Crosoe, London, 1719.png|240px|vignette|droite]] {{Autres projets |w=Migration}} __TOC__ {{Clr}} == Migrations == === Occuper la Planète === <gallery> File:L'Arbre des Indes (logo).png|Migrant. File:World population.PNG|Répartition des populations humaines de nos jours. </gallery> == L'esprit de conquête selon les pères de l’église == === Saint Augustin.- De la cité de Dieu === * Perception d'un monde duel : affrontement entre les deux Cités, celle de Dieu et celle des hommes * Économie du salut === Lectures de "La Cité de Dieu" === * Jean-Louis Lesort, (1805-1878), est le fondateur de ''Librairie liturgique catholique'', Atelier de reliures de L. Lesort {{Citation bloc|Jean-Louis Lesort, né à Paris en 1805, d'abord marchand de papier avant de se lancer dans l'édition religieuse. Il obtient alors un brevet de libraire, en septembre 1844 et ouvre la Librairie liturgique catholique, Atelier de reliures de L. Lesort, au 3, rue de Grenelle Saint-Germain (Paris)|Art & métiers du livre<ref>[https://books.google.com/books?id=y0ctAQAAIAAJ Art & métiers du livre], (extraits), numéros 217 à 220, Page 29, 2000.‎</ref>.}} * [https://www.google.fr/search?q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+conquête&hl=fr&biw=1244&bih=717&source=lnt&tbs=sbd%3A1%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3A1300%2Ccd_max%3A2017&tbm=bks La Cité de Dieu + saint Augustin + conquête] * [https://www.google.fr/search?q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+conquête&hl=fr&biw=1244&bih=717&source=lnt&tbs=sbd%3A1%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3A1300%2Ccd_max%3A2017&tbm=bks#hl=fr&tbs=sbd:1%2Ccdr:1%2Ccd_min:1300%2Ccd_max:2017&tbm=bks&q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+esclavage La Cité de Dieu + saint Augustin + esclavage] * [https://www.google.fr/search?q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+conquête&hl=fr&biw=1244&bih=717&source=lnt&tbs=sbd%3A1%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3A1300%2Ccd_max%3A2017&tbm=bks#hl=fr&tbs=sbd:1%2Ccdr:1%2Ccd_min:1300%2Ccd_max:2017&tbm=bks&q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+liberté La Cité de Dieu + saint Augustin + liberté] ** Jacques Chevalier.- [https://books.google.fr/books?isbn=2711305481 De saint Augustin à saint Thomas d'Aquin: Histoire de la pensée] * [https://www.google.fr/search?q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+conquête&hl=fr&biw=1244&bih=717&source=lnt&tbs=sbd%3A1%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3A1300%2Ccd_max%3A2017&tbm=bks#q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+Afrique&hl=fr&tbs=sbd:1,cdr:1,cd_min:1300,cd_max:2017&tbm=bks&start=10 La Cité de Dieu + saint Augustin + Afrique] *[https://www.google.fr/search?q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+conquête&hl=fr&biw=1244&bih=717&source=lnt&tbs=sbd%3A1%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3A1300%2Ccd_max%3A2017&tbm=bks#q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+économie&hl=fr&tbs=sbd:1,cdr:1,cd_min:1300,cd_max:2017&tbm=bks&start=20 La Cité de Dieu + saint Augustin + économie] {{Citation bloc|C'est Saint Augustin (354-430) dans la Cité de Dieu (liv. XIX, ch. 15) qui écrit que nous sortons tous d'une même couche, de sorte que nous ne faisons qu'une race et qu'un sang.|Étienne Antonelli.- Études d'économie humaniste<ref>Étienne Antonelli.- [https://books.google.fr/books?id=irU1AQAAIAAJ Études d'économie humaniste], Volume 1, 1958, Page 28</ref>}} * [https://www.google.fr/search?q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+conquête&hl=fr&biw=1244&bih=717&source=lnt&tbs=sbd%3A1%2Ccdr%3A1%2Ccd_min%3A1300%2Ccd_max%3A2017&tbm=bks#q=La+Cité+de+Dieu+%2B+saint+Augustin+%2B+race&hl=fr&tbs=sbd:1,cdr:1,cd_min:1300,cd_max:2017&tbm=bks&start=0 La Cité de Dieu + saint Augustin + race] Mathieu Maxime Gorce.- [https://books.google.fr/books?id=CrYaAAAAMAAJ La France au-dessus des races: Origines et formation de la nation], 1934 === Bibliographie Saint Augustin.- De la cité de Dieu === * 1375 - {{Bibliographie|Q212318}}, [[d:Q212318|La Cité de Dieu]], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10224573b/f7.image Lire en ligne sur Gallica], {{BNF|41905391b}} ** 1486 - {{Bibliographie|Q28527440}} ** 1584 - {{bibliographie|Q28501284}} ** 1693 & 1736 - {{bibliographie|Q28528117}} ** 1846 - {{Bibliographie|Q28491562}} ** 1846 - {{Bibliographie|Q28525034}} ** 1846 - {{Bibliographie|Q28526194}} ** 1855 - {{Bibliographie|Q28528073}} === Envahir un territoire occupé === * Une invasion est une action militaire qui menace l'autonomie politique d'un pays ou territoire. * construction d'ouvrages militaires [[w:Fortification|fortifications]], barrières & murailles pour se défendre contre l'envahisseur. * Dans le même temps, les murs d'enceinte des résidences et des lotissements protègent les propriétaires contre les révoltes des prolétaires, serviteurs & esclaves. <gallery> File:Qin empire 210 BCE.jpg|Tracé des murailles de protection des territoires de la dynastie Qin en 210 av. J.-C., à la mort du Premier Empereur. File:Map of the Great Wall of China.jpg|Tracé de la Grande Muraille de Chine File:Chemin de ronde muraille long.JPG|La Grande Muraille de Chine à [[w:Mutianyu|Mutianyu]] près de [[w:Pékin|Beijing]]. </gallery> Dès le V{{e}} siècle de notre ère, les royaumes Quin, Zhao et Yao de l'empire entreprennent la construction de barrières fortifiées pour se protéger des invasions de populations nomades venues du nord. La construction de la Grande Muraille de Chine, entre le IIIe siècle avant notre ère et le XVIIe siècle, vient unifier l'ouvrage militaire tout ou long de la frontière nord de la Chine et fixer le territoire de l'Empire. {{Citation|contenu=La Chine connut sa première dynastie attestée au XXIème siècle avant J.C. avec les Xia en entrant dans " l'ère esclavagiste ". Tout autant pour se protéger des révoltes d'esclaves que d'agresseurs extérieurs, les propriétaires dotèrent leurs lieux de résidence de remparts. Ainsi naquirent en Chine les premières villes ''<small>(les premières villes construites en Turquie ou en Mésopotamie sont sensiblement plus anciennes, autour des XXXVIIIème - XXXVème siècles avant J.C.)</small>''. {{cite web | url=http://sabreteam.free.fr/muraille0.htm|title=La Grande Muraille de Chine|author=De la fortification|accessdate=2015-05-14 |publisher=Sabreteam.free.fr}}}} <gallery> Fichier:Karte limes.jpg|Tracé du ''limes'' romain File:Hadrian's wall2.jpg|Mur d'Hadrien en Grande-Bretagne </gallery> * À la fin de la période historique dite "[[w:Antiquité|Antique]]", [[w:Invasions barbares|Invasions barbares]] sur l'actuel territoire de l'Europe * [[w:Grande Muraille|Grande Muraille de Chine]], construite entre le III{{e}} siècle {{Abréviation|av. J.-C.|avant Jésus-Christ}} et le XVII{{e}} siècle de notre ère. (A propos de Abraham Hanibal, citer Dieudonné Gnammankou. [[c:Great Wall of China|Great Wall of China]] * [http://whc.unesco.org/fr/list/430/ Limes romain], frontière de l’Empire romain à son apogée au IIe siècle apr. J.-C. [[c:Limes Germanicus|Limes Germanicus]] ; [http://whc.unesco.org/fr/list/430/gallery/ Frontières de l’Empire romain] ; [http://www.europeana.eu/resolve/record/92040/BibliographicResource_1000095951093 Nouvelle necropole des Grandes migrations de Singidunum], Belgrade<ref>{{cite web | url=http://www.europeana.eu/resolve/record/92040/BibliographicResource_1000095951093|title=Nouvelle necropole des Grandes migrations de Singidunum|author=Ivanišević Vujadin & Kazanski Michel|accessdate=2015-05-14 |publisher=Europeana}}</ref> * Dans l'espace européen, les [[w:Invasions barbares|Invasions barbares]] <gallery> File:Invasions barbares.PNG|Les invasions dites "barbares" entre 150 et 500 de notre ère. File:Routes of the barbarian invaders, 5th century AD.gif|Migrations dites "invasions barbares" au V{{e}} siècle européen. File:Vandals Migration it.PNG|Migrations des peuples Vandales au V{{e}} siècle européen. File:The origin and dispersion of Slavs in the 5-10th centuries.png|Migrations des [[w:Slaves|populations slaves]] entre les 5{{e}} & le 10{{e}} siècles de notre ère. </gallery> === Coloniser === {{article | langue = fr | prénom1 = | nom1 = Wikiversité | lien auteur1 = | prénom2 = | nom2 = | lien auteur2 = | prénom3 = | nom3 = | lien auteur3 = | traduction = | titre = [[Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles|Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles]] | sous-titre = Catégorie:Leçons du jour du département Histoire moderne|Leçons du jour du département Histoire moderne | périodique = | lien périodique = | éditeur = Wikiversité | lieu = Paris | série = | volume = | titre volume = | numéro = | titre numéro = | jour = 19 | mois = avril | année = [[w:2015 en littérature|2015 en littérature]] | pages = 1 | issn = | issn2 = | issn3 = | isbn = | résumé = | format = | url texte = Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles|Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles | doi = | consulté le = 17 juillet 2015 | commentaire = La page [[Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles|Colonisation et travail forcé aux XV-XVIème siècles]] ne cite pas ses références ce qui la met au-dessous des exigences de Wikipédia et facilite des affirmations comme "''Les Indiens refusaient de travailler donc les conquistadores contraignirent les doux et paisibles Arawaks au travail''". Une telle affirmation sous-tend que les Amérindiens ne pouvaient que se soumettre et surtout pas mener une guerre d'opposition aux Européens : plus d'un siècle d'histoire de la "rencontre entre les Européens et les Amérindiens est alors effacée. | extrait = | id = }} <gallery> File:Mayflower in Plymouth Harbor, by William Halsall.jpg|"[[w:Mayflower|Mayflower]] dans le port de Plymouth" par William Halsall, 1882 File:Streams of Emigration from England, 1620 to 1642.jpg|1620-1642 Emigration à partir de l'Angleterre </gallery> == Depuis le XIV{{e}} siècle : migrer sous contrainte économique == [[Fichier:Robinson en famille.png|100px|vignette|gauche]] === Emigrant, migrant, Immigrant === [[File:Liberty enlightening the world.jpg|vignette|100px|left|Accueil des immigrants, USA]] L'émigration considère la migration du point de départ. Celui qui part de son lieu de naissance, de son territoire national et, plus généralement de son lieu de vie quotidien, est un migrant. ==== La notion de personne humaine et ses qualificatifs ==== * esclave émigré, exilé, proscrit, réfugiés (exilés politiques), sans état/État, sans droit, apatride. Menacés de mort, paria, victime. nés -et pour toujours dans la mauvaise catégorie de race et de classe, rescapé, migrant, indésirable, assignation. De l’être dégradée à l'être surhumain. [https://www.youtube.com/watch?v=MCDYF7644Rg&feature=youtu.be Lire A. Knüfer : Apatrides, réfugiés et exploitation] * [http://agora.qc.ca/dossiers/Hannah_Arendt Arendt Hannah] * Hannah Arendt.- Nous autres réfugiés, 1941 * Hannah Arendt.- série de conférences sur la pensée et le vouloir * {{Citation bloc|le crime contre l’humanité de l’esclavage + institution + Hannah Arendt + L'impérialisme. |Hannah ARENDT, L’Impérialisme, 1982, op. cit., p. 272.}} * 2016 - {{bibliographie|Q28133262}}, lectures marxistes === Changer de pays de résidence === L'immigration considère la migration du point de vue du lieu d'arrivée. Celui qui arrive dans un espace politique différent de celui de celui de sa nationalité est un immigrant. <gallery perrow= 5 mode="traditional"> File:French residency by country of nationality 1999.png|Country of birth of Persons resident in France in 1999 who are foreigners or naturalised French citizens. Persons identified as born in states since dissolved are enumerated in the largest successor state. File:COB data Portugal.PNG|Foreign born naturalised Portuguese citizens in Portugal in 2001 by country File:COB data US.PNG|Naturalised foreign-born resident US citizens enumerated in the 2000 Census File:Emigrantenouders naar Canada met DC8 KLM prijsvraag, Bestanddeelnr 911-3344.jpg|Migrants arrivant au Canada </gallery> [[File:Europe geographique grande.jpg|vignette|100px|left|Cartographie de l'Europe]] [[File:World Map 1689.JPG|vignette|100px|left|1689 - World Map]] Les grandes découvertes suivies de l'établissement de nouvelles relations commerciales, de la colonisation des Amériques et de la [[w:Brevísima relación de la destrucción de las Indias|destruction]] des populations amérindiennes et de leurs civilisations * Du Portugal vers l’[[w:Asie|Asie]] en contournant le [[w:Afrique|continent Africain]] * Des Pays-Bas vers l’[[w:Asie|Asie]] * De l'Espagne vers les Caraïbes et l'Amérique centrale * Du Portugal vers le Brésil * De la France vers les Caraïbes, le Canada et la Louisiane * De l'Angleterre vers les Caraïbes et les [[w:Treize colonies|Treize colonies]]. Streams of Emigration from England, 1620 to 1642 ==== Les étrangers en France sous l’ancien régime ==== * {{Ouvrage | langue = fr | prénom1 = Jules Michel Henry | nom1 = Mathorez, (1873-1923) | prénom2 = | nom2 = | lien auteur1 = w:Jules Mathorez | lien auteur2 = | titre = Les étrangers en France sous l’ancien régime | sous-titre = Histoire de la formation de la population française | lien titre = | numéro d'édition = | éditeur = Edouard Champion | collection = | lien éditeur = w:Edouard Champion | lieu = | année = [[w:1819 en littérature|1819]] | mois = | volume = 1/2 | tome = | pages totales = | passage = | dnb = 34018462q | isbn = | oclc = 5954998 | doi = | url = | lire en ligne = https://archive.org/details/lestrangersenf01mathuoft | consulté le = | présentation en ligne = https://www.worldcat.org/title/etrangers-en-france-sous-lancien-regime-histoire-de-la-formation-de-la-population-francaise/oclc/5954998&referer=brief_results | commentaire = Tome Ier. Les causes de la pénétration des étrangers en France. Les orientaux et les extra-européens dans la population française.<br />Tome II. Les allemands, les hollandais, les scandinaves, {{BNF|34018462q}} | id = }} * François-Joseph Gossec, (1734-1829 ), Compositeur.- Offrande à la Liberté, musique manuscrite, ''No 9, Entrée des peuples français et étrangers ; No 10, Chœur à la Liberté ; No 11, Les nègres, ou Air pour les nègres ; No 12, Les savoyards, ou Air pour les savoisiens ; No 13, Anglaise, gigue ; No 14, Offrande à la Liberté'', {{BNF|41123149j}} === Nomadisme & Migrations pendulaires === Le nomadisme consiste en des changements de localisation géographique. Ces mouvements dans l'espace sont corrélés à une économie de longue jachère, un habitat adapté et un genre de vie très proche de la nature. Les groupes humains, australopithèques, Homo habilis, Homo erectus, Homo heidelbergensis, Homo neandertalensis et Homo sapiens à la fin de la période, ont été [[w:Nomadisme|nomades]] durant tout le Paléolithique. Ils devienent semi-nomade à l'époque mésolithique et commencent à se sédentariser durant le Néolithique. Dans nos sociétés contemporaines, les nomades occupent, au cours de leurs parcours, des espaces en milieux arides dont ils savent tirer parti pour leur économie et leur survie. Des nomades vivent aussi en milieux urbanisés, dans des intertices peu viabilisés. [[File:Anser anser migration map-fr.svg|vignette|100px|left|Migrations des Oies cendrées]] Les migrations pendulaires sont des déplacements bidirectionnelles d'un lieu géographique vers un autre, dans une même unité de temps. Les migrants se déplaçent dans deux directions opposées afin de revenir à leur point de départ dans l'unité de temps. Les migrations des [[w:Oie cendrée|oies cendrées]], représentées sur la carte ci-contre, illustrent bien ces mouvements aller et retour entre deux espaces de la Planète. On compte parmi cette forme de migration les déplacement entre le lieu de résidence principale et le lieu de travail, les allers & retours entre la résidence principale et la résidence secondaire, les migrations vers les espaces de vacances puis le retour vers le domicile principal. On peut dire que l'absentéisme des colons, qui s'éleve aux environs des deux tiers à Saint-Domingue, colonie du Royaume de France<ref>[https://books.google.fr/books?id=I-M_wdowco0C&lpg=PA281&dq=colon%20absentéiste&hl=fr&pg=PA281#v=onepage&q=colon%20absentéiste&f=false Les traites et les esclavages: perspectives historiques et contemporaines], publié par Myriam Cottias, Elisabeth Cunin, António de Almeida Mendes,</ref>, ou celui des propriétaires ruraux qui s'installent et vivent à la ville, relèvent de ce type de migrations. Le retour dans le pays d'origine après l'indépendance des colonies peut aussi être analysé en termes de migrations pendulaires, surtout si le migrant revient très régulièrement dans la métropole pour assurer sa promotion sociale soit dans l'armée, soit dans l'administration. Ainsi, beaucoup de colons reviennent en France durant la Révolution à Saint-Domingue ou après l'indépendance de Haïti. Nous retrouvons le même processus avec la guerre d'indépendance de l'Algérie et le retour des populations [[w:Pieds-Noirs|Pieds-Noirs]]. == Solde migratoire (en guise de conclusion) == [[File:Ortes.jpg|vignette|100px|left|1775 - [[w:Giammaria Ortes|Giammaria Ortes]] (1713-1790)-. Réflexions sur la population par rapport à l'économie nationale<ref>Overbeek Hans. [http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/pop_0032-4663_1970_num_25_3_14623 Un démographe prémalthusien au XVIIIe siècle : Giammaria Ortes]. In: Population, 25e année, n°3, 1970 pp. 563-572. Consulté le 09 mai 2015.<br />[https://www.ined.fr/fr/tout-savoir-population/memos-demo/faq/combien-humainsdepuis-origines/ Combien d’humains sont nés sur Terre depuis les origines ?]</ref>]] Le [[w:solde migratoire|Solde migratoire]] est la différence entre le nombre de personnes qui sont entrées dans un espace politique, un territoire national, et le nombre de personnes qui en sont sorties au cours de la même année. Ce concept est lié aux États modernes et se développe avec la science démographique. Dans le solde migratoire, on devrait compter les captifs, les esclaves et les morts des guerres de colonisation. == Bibliographie : Les migrations dans l'histoire de l'Humanité == === 1719 - Robinson Crusoé de Daniel Defoe === [[Fichier:Robinson veut quitter la maison paternelle.png|100px|vignette|gauche|Robinson veut quitter la maison paternelle]] * 1719 - {{bibliographie|Q28340813}} * 1720 - {{bibliographie|Q28343102}} * 1765 - {{bibliographie|Q28343391}} * 1850 - {{bibliographie|Q28361506}} * 2014 - {{bibliographie|Q27583397}} * 2017 - {{bibliographie|Q28528318}}, [http://digitaldefoe.org/ Voir site dédié aux études à propos de l'œuvre] === 1884-1889 - Justin Winsor, Narrative and critical history of America === * 1884-1889 - {{bibliographie|Q28858836}}, 8 volumes, [https://www.google.fr/search?tbm=bks&hl=fr&q=Narrative+and+Critical+History+of+America+%2B+Justin+Winsor Google Livres] ; [https://www.goodreads.com/author/show/294113.Justin_Winsor Goodreads] ** https://archive.org/details/narrativecritica01wins ** https://archive.org/details/narrativecritica02wins ** https://archive.org/details/narrativecritica03wins ** https://archive.org/details/narrativecritica04wins ** https://archive.org/details/narrativecritica05wins ** https://archive.org/details/narrativecritica06wins ** https://archive.org/details/narrativecritica07wins ** https://archive.org/details/narrativecritica08wins == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../Travail & appropriation de Anthropocène/]] | suivant = [[../Les abolitions des traites et des esclavages ou la traversée du long XIXè siècle/]] }} [[Catégorie:Thèses de doctorats]] 5b0e038bsw0bnuwoesp06g84q034nvl 0 56430 982225 890447 2026-04-27T17:16:29Z Kontributor 2K 74655 /* Le Cadrage */ 982225 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = arts plastiques | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Répétition et réflexion/]] | page_liée = Exercices/Le cadrage }} __TOC__ {{Clr}} == Le Cadrage == '''''[[w:Cadre (art)|Le Cadrage]]''''' en [[w:photographie|photographie]] signifie la manière de placer un ou plusieurs sujets au [[w:premier plan|premier plan]] à des fins esthétiques. Un sujet placé au premier plan constitue un point référent. Il permet aussi de donner l'échelle de son environnement, savoir à quelle distance sont les différents éléments et quelles tailles ils font. On peut aussi grâce à ce principe, cacher un élément qui serait nuisible au sujet principal. Le cadrage est généralement utilisé à des fins esthétiques et procure un sentiment de plénitude concernant l'image obtenue. « ''Un arbre, une ouverture de porte, une fenêtre, ou même un trou dans une clôture positionnée autour du sujet peut créer un cadre à l'intérieur du cadre de la photo.'' » ('''Joy of Photography''') === Premier cadrage type === Dans cette première manière de cadrer, nous avons d’abord : des fleurs sauvages, puis une rivière, ensuite un arbre (à gauche) et pour finir le bâtiment. Les fleurs sont isolées et démontrent que le bâtiment en arrière-plan est dans un cadre sauvage et/ou naturel. [[Fichier:Lehan Abbey.JPG|vignette|centré|''Abbaye Lehan'']] === Second cadrage type === Ici, le passage dans l'ouverture permet de cadrer au mieux le bâtiment, et de renforcer l'effet de cadre. [[Fichier:Oxford University2.JPG|vignette|centré|''Université d'Oxford'']] === Troisième cadrage type === Dans ce dernier type de cadrage, la façon de cadrer est moins explicite et plus "douce". L'élément intéressant est en bas à droite, et n’est pas le seul sujet. Ce cadrage permet de voir l'image autrement que par son sujet principal. [[Fichier:Tahoe Snow.JPG|vignette|centré|''Neige dans le bois de Tahoe, en Californie'']] {{Bas de page | idfaculté = arts plastiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Répétition et réflexion/]] }} oafmkrr3t8oni5m61wv1w13drra1yy7 982226 982225 2026-04-27T17:18:46Z Kontributor 2K 74655 /* Troisième cadrage type */ 982226 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = arts plastiques | numéro = 1 | niveau = 14 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Répétition et réflexion/]] | page_liée = Exercices/Le cadrage }} __TOC__ {{Clr}} == Le Cadrage == '''''[[w:Cadre (art)|Le Cadrage]]''''' en [[w:photographie|photographie]] signifie la manière de placer un ou plusieurs sujets au [[w:premier plan|premier plan]] à des fins esthétiques. Un sujet placé au premier plan constitue un point référent. Il permet aussi de donner l'échelle de son environnement, savoir à quelle distance sont les différents éléments et quelles tailles ils font. On peut aussi grâce à ce principe, cacher un élément qui serait nuisible au sujet principal. Le cadrage est généralement utilisé à des fins esthétiques et procure un sentiment de plénitude concernant l'image obtenue. « ''Un arbre, une ouverture de porte, une fenêtre, ou même un trou dans une clôture positionnée autour du sujet peut créer un cadre à l'intérieur du cadre de la photo.'' » ('''Joy of Photography''') === Premier cadrage type === Dans cette première manière de cadrer, nous avons d’abord : des fleurs sauvages, puis une rivière, ensuite un arbre (à gauche) et pour finir le bâtiment. Les fleurs sont isolées et démontrent que le bâtiment en arrière-plan est dans un cadre sauvage et/ou naturel. [[Fichier:Lehan Abbey.JPG|vignette|centré|''Abbaye Lehan'']] === Second cadrage type === Ici, le passage dans l'ouverture permet de cadrer au mieux le bâtiment, et de renforcer l'effet de cadre. [[Fichier:Oxford University2.JPG|vignette|centré|''Université d'Oxford'']] === Troisième cadrage type === Dans ce dernier type de cadrage, la façon de cadrer est moins explicite et plus « douce ». L'élément intéressant est en bas à droite, et n’est pas le seul sujet. Ce cadrage permet de voir l'image autrement que par son sujet principal. [[Fichier:Tahoe Snow.JPG|vignette|centré|''Neige dans le bois de Tahoe, en Californie'']] {{Bas de page | idfaculté = arts plastiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Répétition et réflexion/]] }} 4th35g99guscc5po250bgwxxxy7it2o 0 56441 982222 979232 2026-04-27T17:11:37Z Kontributor 2K 74655 /* Quelques exemples */ 982222 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = arts plastiques | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Répétition et réflexion/]] | suivant = [[../Les grandes lignes/]] | page_liée = Exercices/Enfermement }} Il peut être intéressant d'enfermer votre sujet pour exclure des éléments indésirables. Ceci est particulièrement important avec les portraits, à la fois candides et formels, où le sujet occupe habituellement le cadre et où très peu de choses sont visibles. Cette technique peut être obtenue en se rapprochant physiquement de votre sujet, en utilisant un [[w:Objectif de longue focale|téléobjectif]], ou en ajustant votre [[w:Zoom|objectif zoom]]. Cela permet d'éliminer de l'espace jugé inutile dans une image et de se concentrer davantage sur le sujet. Cela minimise également les distractions de fond. Même les paysages, avec leur large vue [[w:panoramique|panoramique]], devraient être composés avec soin afin que seuls les éléments souhaités soient inclus dans le cadre. Une vaste étendue de ciel bleu brut, par exemple, ne devrait pas prendre la moitié du cadre de l'image, mais pourrait être réduite à une bande mince, dans la partie supérieure de l'image. L'enfermement peut être fait après la prise de vue, en recadrant l'image en laboratoire, ou via un logiciel, sur un ordinateur ("[[w:Recadrage (image)|recadrage]]"). Cependant, le recadrage par ordinateur est souvent moins souhaitable, car l'image devra être élargie après le recadrage afin de lui redonner sa taille initiale, et alors la qualité de l'image diminue proportionnellement à l'élargissement. « ''Certains sujets n'aiment pas être pris de près, de sorte que vous serez amené à les prendre au dépourvu.'' » ('''Tim Fitzharris''') __TOC__ {{Clr}} === Quelques exemples === Ici il y a une volonté de se focaliser sur le sujet. L'enfermement ne laisse plus place à l'imagination et concentre l'attention sur le sujet et l'action. Cela donne aussi plus d'importance à ce qui se passe, donnant l'impression que la jeune fille est en train de glisser sur une montagne, et donne un aspect plus dramatique à l'action (ce qui n’est pas le cas avec la première image, plus douce, moins brutale et laissant penser que la jeune fille n’est pas en détresse). Plus le sujet est enfermé et moins il est possible d’avoir de détails sur son environnement, notamment l'échelle. <gallery> Peru_little_girl.JPG|Une jeune fille péruvienne Peruvian_Girl_2.jpg|La même scène avec le sujet enfermé </gallery> Ici plusieurs éléments ont voulu être exclus. Dans la première photo on remarque la couleur dorée de la poignée de porte en arrière-plan, une touffe d'herbe à droite et une autre petite partie de plantes sauvages à gauche. Dans la deuxième photo, tous ces éléments ont été supprimés grâce à l'enfermement et au recadrage effectué. Seuls subsistent le chien et son action. <gallery> Brown_dog_barking.jpg|Un chient qui aboie Barking Dog 2.jpg|La même scène avec le sujet enfermé </gallery> {{Bas de page | idfaculté = arts plastiques | précédent = [[../Répétition et réflexion/]] | suivant = [[../Les grandes lignes/]] }} 1cbirul02xwevka2xtar1pa2vc8p9k8 982223 982222 2026-04-27T17:12:16Z Kontributor 2K 74655 /* Quelques exemples */ 982223 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = arts plastiques | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Répétition et réflexion/]] | suivant = [[../Les grandes lignes/]] | page_liée = Exercices/Enfermement }} Il peut être intéressant d'enfermer votre sujet pour exclure des éléments indésirables. Ceci est particulièrement important avec les portraits, à la fois candides et formels, où le sujet occupe habituellement le cadre et où très peu de choses sont visibles. Cette technique peut être obtenue en se rapprochant physiquement de votre sujet, en utilisant un [[w:Objectif de longue focale|téléobjectif]], ou en ajustant votre [[w:Zoom|objectif zoom]]. Cela permet d'éliminer de l'espace jugé inutile dans une image et de se concentrer davantage sur le sujet. Cela minimise également les distractions de fond. Même les paysages, avec leur large vue [[w:panoramique|panoramique]], devraient être composés avec soin afin que seuls les éléments souhaités soient inclus dans le cadre. Une vaste étendue de ciel bleu brut, par exemple, ne devrait pas prendre la moitié du cadre de l'image, mais pourrait être réduite à une bande mince, dans la partie supérieure de l'image. L'enfermement peut être fait après la prise de vue, en recadrant l'image en laboratoire, ou via un logiciel, sur un ordinateur ("[[w:Recadrage (image)|recadrage]]"). Cependant, le recadrage par ordinateur est souvent moins souhaitable, car l'image devra être élargie après le recadrage afin de lui redonner sa taille initiale, et alors la qualité de l'image diminue proportionnellement à l'élargissement. « ''Certains sujets n'aiment pas être pris de près, de sorte que vous serez amené à les prendre au dépourvu.'' » ('''Tim Fitzharris''') __TOC__ {{Clr}} === Quelques exemples === Ici il y a une volonté de se focaliser sur le sujet. L'enfermement ne laisse plus place à l'imagination et concentre l'attention sur le sujet et l'action. Cela donne aussi plus d'importance à ce qui se passe, donnant l'impression que la jeune fille est en train de glisser sur une montagne, et donne un aspect plus dramatique à l'action (ce qui n’est pas le cas avec la première image, plus douce, moins brutale et laissant penser que la jeune fille n’est pas en détresse). Plus le sujet est enfermé et moins il est possible d’avoir de détails sur son environnement, notamment l'échelle. <gallery> Peru_little_girl.JPG|Une jeune fille péruvienne Peruvian_Girl_2.jpg|La même scène avec le sujet enfermé </gallery> Ici plusieurs éléments ont voulu être exclus. Dans la première photo on remarque la couleur dorée de la poignée de porte en arrière-plan, une touffe d'herbe à droite et une autre petite partie de plantes sauvages à gauche. Dans la seconde, tous ces éléments ont été supprimés grâce à l'enfermement et au recadrage effectué. Seuls subsistent le chien et son action. <gallery> Brown_dog_barking.jpg|Un chient qui aboie Barking Dog 2.jpg|La même scène avec le sujet enfermé </gallery> {{Bas de page | idfaculté = arts plastiques | précédent = [[../Répétition et réflexion/]] | suivant = [[../Les grandes lignes/]] }} dfok6kq0xg1m6nx2ksh5cw4ll91fu7e 982224 982223 2026-04-27T17:12:40Z Kontributor 2K 74655 /* Quelques exemples */ 982224 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = arts plastiques | numéro = 3 | niveau = 14 | précédent = [[../Répétition et réflexion/]] | suivant = [[../Les grandes lignes/]] | page_liée = Exercices/Enfermement }} Il peut être intéressant d'enfermer votre sujet pour exclure des éléments indésirables. Ceci est particulièrement important avec les portraits, à la fois candides et formels, où le sujet occupe habituellement le cadre et où très peu de choses sont visibles. Cette technique peut être obtenue en se rapprochant physiquement de votre sujet, en utilisant un [[w:Objectif de longue focale|téléobjectif]], ou en ajustant votre [[w:Zoom|objectif zoom]]. Cela permet d'éliminer de l'espace jugé inutile dans une image et de se concentrer davantage sur le sujet. Cela minimise également les distractions de fond. Même les paysages, avec leur large vue [[w:panoramique|panoramique]], devraient être composés avec soin afin que seuls les éléments souhaités soient inclus dans le cadre. Une vaste étendue de ciel bleu brut, par exemple, ne devrait pas prendre la moitié du cadre de l'image, mais pourrait être réduite à une bande mince, dans la partie supérieure de l'image. L'enfermement peut être fait après la prise de vue, en recadrant l'image en laboratoire, ou via un logiciel, sur un ordinateur ("[[w:Recadrage (image)|recadrage]]"). Cependant, le recadrage par ordinateur est souvent moins souhaitable, car l'image devra être élargie après le recadrage afin de lui redonner sa taille initiale, et alors la qualité de l'image diminue proportionnellement à l'élargissement. « ''Certains sujets n'aiment pas être pris de près, de sorte que vous serez amené à les prendre au dépourvu.'' » ('''Tim Fitzharris''') __TOC__ {{Clr}} === Quelques exemples === Ici il y a une volonté de se focaliser sur le sujet. L'enfermement ne laisse plus place à l'imagination et concentre l'attention sur le sujet et l'action. Cela donne aussi plus d'importance à ce qui se passe, donnant l'impression que la jeune fille est en train de glisser sur une montagne, et donne un aspect plus dramatique à l'action (ce qui n’est pas le cas avec la première image, plus douce, moins brutale et laissant penser que la jeune fille n’est pas en détresse). Plus le sujet est enfermé et moins il est possible d’avoir de détails sur son environnement, notamment l'échelle. <gallery> Peru_little_girl.JPG|Une jeune fille péruvienne Peruvian_Girl_2.jpg|La même scène avec le sujet enfermé </gallery> Ici plusieurs éléments ont voulu être exclus. Dans la première photo on remarque la couleur dorée de la poignée de porte en arrière-plan, une touffe d'herbe à droite et une autre petite partie de plantes sauvages à gauche. Dans la seconde, tous ces éléments ont été supprimés grâce à l'enfermement et au recadrage effectué. Seuls subsistent le chien et son action. <gallery> Brown dog barking.jpg|Un chien qui aboie Barking Dog 2.jpg|La même scène avec le sujet enfermé </gallery> {{Bas de page | idfaculté = arts plastiques | précédent = [[../Répétition et réflexion/]] | suivant = [[../Les grandes lignes/]] }} 23yqx35quttm3p6gpnss7uivzzr156q 0 56444 982221 979239 2026-04-27T17:10:12Z Kontributor 2K 74655 /* Quelques exemples */ ponctu 982221 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = arts plastiques | numéro = 4 | niveau = 14 | précédent = [[../Enfermement/]] | suivant = [[../Règle des tiers/]] }} Il est important d’être alerte concernant les lignes d'une image. Elles prennent le plus souvent la forme de lignes [[wikt:converger|convergentes]], de lignes menant, attirant le regard du spectateur dans l'image. Elles peuvent être utilisées pour diriger l’œil du spectateur, donnent de la forme, de l'unité et de la profondeur à une composition. __TOC__ {{Clr}} == Quelques exemples == Ci-dessous, deux exemples concrets démontrant l'importance des lignes. === Premier exemple === <gallery> Acapulco Beach.jpg|Description 1 Boardwalk in Everglades.JPG|Description 2 </gallery> === Deuxième exemple === <gallery> Big_Ben_2004a.JPG|Description 1 Big Ben 2004b.JPG|Description 2 </gallery> {{Bas de page | idfaculté = arts plastiques | précédent = [[../Enfermement/]] | suivant = [[../Règle des tiers/]] }} i0b04tvldpjnkoge5qozqvb6ly2nzn7 104 57671 982239 981565 2026-04-27T19:45:47Z Tupak9 80268 /* La Théorie du Kamikaze */ 982239 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = psychologie }} '''Le suicide parental''', est une recherche psychologique<ref group=Note>La psychogénétique de [[w:Jean Piaget|Jean Piaget]] s'inspire du travail d'[[w:Épistémologie génétique|Épistémologie génétique]] de [[w:James Mark Baldwin|James Mark Baldwin]] qui a influencé celui de [[w:Peggy Sastre|Peggy Sastre]] sur l’évoféminisme</ref> d'Alexandre Gilbert<ref group=Note>Alexandre Gilbert (né le [[w:30 octobre|30 octobre]] [[w:1980|1980]]), [http://galeriechappe.org marchand d'art], est le fils de [[w:en:Laurence_de_Cambronne|Laurence de Cambronne]] et [[w:Marc Gilbert|Marc Gilbert]], décédé par suicide.</ref>. == Problématique == Nous analyserons le développement psychique de l'enfant suicidaire<ref group=Note>Meurtre du [[w:Surmoi|Surmoi]] chez Freud ou du [[w:Dasein|Dasein]] chez [[w:Martin Heidegger|Martin Heidegger]] et [[w:Parallaxe|Parallaxe]] pour [[w:Slavoj Zizek|Slavoj Zizek]]</ref>, l'exposition de l'enfant à un parent suicidaire et le deuil après suicide, sujets étudiés notamment par Marie-Frédérique Bacqué et Cécile Paesmans. == Introduction : Statistiques & Définitions == 75% des décès par suicide (Acte réussi) concernent des hommes (principalement par pendaison puis armes à feu) et 65% des personnes hospitalisées suite à une tentative de suicide (parasuicide) sont des femmes (essentiellement par intoxication médicamenteuse)<ref>[http://www.caminteresse.fr/economie-societe/qui-se-suicide-le-plus-les-femmes-ou-les-hommes-1112114/ Qui se suicide le plus, les femmes ou les hommes ?], caminteresse</ref>{{,}}<ref>[http://www.theses.fr/s113514 Agressions sexuelles et tentatives de suicide chez les femmes par Juliette Leclercq], thèses.Fr</ref>{{,}}<ref>[https://www.memoireonline.com/08/08/1443/m_lien-tentative-suicide-perte-objet-hysterique.html Le lien entre la tentative de suicide et la perte d'objet chez l'hystérique], , Mémoire online</ref>. Les femmes sont davantage encline à passer à l’acte dans une logique d'infinitude tandis que les hommes semblent enfermés dans une logique de finitude<ref>[http://frblogs.timesofisrael.com/dialogue-avec-philippe-kong/ Dialogue avec Philippe Kong], Times of Israel</ref>. De 1980 à 2005, le taux de suicide a plus que doublé en France<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-cause-freudienne-2004-3-page-49.htm Le risque suicidaire par Jean-Pierre Deffieux], Cairn</ref>. Le suicide est pour les [[w:Philosophie du suicide|philosophes]], une liberté ([[w:Sénèque|Sénèque]]), un choix d'être ([[w:Jean-Paul Sartre|Sartre]]), un [[w:Lapalissade|truisme]] ([[w:Emmanuel Levinas|Emmanuel Levinas]]), un enthousiasme du "savoir-souffrir" ([[w:Germaine de Staël|Germaine de Staël]])<ref>https://www.cairn.info/revue-romantisme-2016-3-page-125.htm</ref>{{,}}<ref>https://hal.science/hal-03064012/document</ref>, ou encore un moyen à proscrire de résoudre l'absurde, recommandant de l'affronter par la révolte ([[w:Albert Camus|Albert Camus]]). Pour le généticien, le suicide serait associé au gène [[w:SKA2|SKA2]]. Il s’agit de la première cause de mortalité chez les Occidentaux de moins de 35 ans, laissant derrière eux cinq à dix proches endeuillés. Crosby et Sacks évaluent à 1,1% la population américaine endeuillée après un suicide<ref>[https://www.cairn.info/suicides-et-tentatives-de-suicide--9782257203984-page-253.htm La « postvention » : les interventions pour ceux qui restent, par Monique Séguin, Francine de Montigny, 2010], Cairn</ref>. À noter que le trouble bipolaire présente le risque suicidaire le plus élevé : trente fois supérieur à celui de la population générale, avec 15 à 19 % de suicides « réussis » et 25 à 50 % des personnes concernées ayant fait au moins une tentative au cours de leur vie. En 2014, [[w:Kathryn Abel|Kathryn Abel]] met en évidence l'effet d'un événement externe stressant sur la santé mentale d'un enfant, dans l'étude publiée par le British Medical Journal. Elle démontre que, tout comme les guerres ou les famines, la perte d’un parent ou d’un frère ou d’une sœur avant l’âge de 3 ans augmente de 84% le risque de développer une psychose. Si la mort est due à un suicide, le risque est multiplié par trois si elle survient avant l’âge de 2 ans, et par deux si c’est après. Le risque est plus élevé en cas d’accident qu’en cas de maladie. Aucun effet n’est observé avant la naissance, ce qui suggère que l’impact résulte des interactions précoces avec les parents. La mort de grands-parents n’a pas d’incidence sur ce risque. Les psychoses affectives, telles que la maniaco-dépression, sont davantage concernées, contrairement aux psychoses non affectives, comme la schizophrénie<ref>[https://www.lapresse.ca/actualites/sante/201401/24/01-4732266-le-deuil-en-bas-age-un-facteur-de-psychose-selon-une-etude.php Le deuil en bas âge, un facteur de psychose, selon une étude], La Presse</ref>. === Le [[w:Principe de nirvana|Principe de nirvana]] === [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]] s'est suicidé mais n'a pas écrit explicitement sur le sujet qu’il place dans la rubrique des « méprises », soit des actes dont « l’effet manqué semble constituer l’élément essentiel »<ref>[http://agora.qc.ca/thematiques/mort/dossiers/freud_sigmund Sigmund Freud], Agora</ref>. Il décrit la [[w:pulsion de mort|pulsion de mort]] comme une éradication pure et simple de toute excitation dont « le moi ne peut se tuer que lorsqu’il peut, de par le retour de l’[[w:Théories de la relation d'objet|investissement d’objet]], se traiter lui-même comme un objet. »<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2008-1-page-181.htm S. Freud, « Deuil et mélancolie »], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2004-2-page-11.htm Le suicide est-il un acte ? de Geneviève Morel ], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>Pour Freud, « le suicide manifeste la victoire de la pulsion sexuelle sur la pulsion de vie (pulsion du Moi). Il postule, pour que le suicide soit possible, la nécessité d'une régression et d'une lutte contre la résistance au suicide ; il distingue donc bien ce qui est du registre de l'agir et ce qui appartient au symptôme névrotique. Le suicide est ainsi considéré comme un aboutissement et non comme une position d'équilibre, de compromis persistant : "Il ne faut pas oublier que le suicide n'est rien d’autre qu'une sortie, une action, un aboutissement de conflits psychiques, et qu’il s'agit d'expliquer le caractère de l'acte et comment le suicidé vient à bout de la résistance (contre l'acte du suicide). Or cet acte il le définit comme "un substitut" et non une conséquence de la psychose (séance du 20 avril 1910). Dans cette perspective, la tentative de suicide est considérée comme une alternative à ce que Freud nomme ici, avec ambiguité "psychose". » (Psychanalyse et résilience de Boris Cyrulnik et Philippe Duval)</ref>{{,}}<ref group=Note>Freud a dit : "Rien n’est moins mystérieux que le suicide du mélancolique, ce qui reste mystérieux, c’est la mélancolie elle-même", "et dans les deux situations opposées de l'amour le plus extrême et du suicide, le moi, par des chemins totalement différents, est subjugués par l'objet". (Sigmund Freud, Deuil et mélancolie, 1917)</ref>. === L'Acte réussi === Le suicide est analysé au cours du séminaire XI de [[w:Jacques Lacan|Jacques Lacan]], ''Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse''<ref>http://www.valas.fr/IMG/pdf/S11_FONDEMENTS.pdf</ref>{{,}}<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1957-05-31.htm Les clefs de la psychanalyse, L’Express, par Madeleine Chapsal], AEJCPP</ref>{{,}}<ref>[https://laregledujeu.org/2014/11/28/18365/aux-prises-avec-le-reel/ Aux prises avec le Réel par Bernard-Henri Lévy], La règle du jeu</ref>. Seul acte qui puisse réussir sans ratage », il « procède du parti pris de ne rien savoir » , d'être ''inter-dit'' (rapport d’être qui ne peut pas se savoir). Jacques-Alain Miller parle de ''court-circuit''<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/lzm0095.htm Un court-circuit freudien par Catherine Lazarus-Matet], Wapol</ref> ou d{{'}}''échec au [[w:sinthome|sinthome]]'' (tautologie du singulier)<ref group=Note>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-47.htm Monique Lauret D'un rêve sinthome comme échec au suicide : "Le sinthome (du grec, (suntithémi), « mettre ensemble »), est un élément nouveau qui ne rentre pas dans la chaîne borroméenne à trois, Réel, Symbolique et Imaginaire." (Séminaire Le sinthome, le livre XXIII)]</ref>. Le ''ratage'' (essence de l'objet)<ref group=Note>Le plus-de-jouir est corrélatif de ce que j’appellerais, pour parler comme Damazzio — je me cultive —, un état du corps propre et, comme tel, le plus-de-jouir est asexué. Il commande, mais qu’est-ce qu’il commande? Il ne commande pas un “ ça marche ”, mais un “ ça rate ” que, précisément, nous écrivons $. Quand on barre une lettre, en général c’est parce qu’on s’est trompé, non? Ici, le plus-de-jouir commande un “ ça rate ” et précisément un “ ça rate ” dans l’ordre sexuel. Je ne vois pas ce qui empêche de considérer que ce $ écrit: il n’y a pas de rapport sexuel, d’autant que la lettre initiale, [[w:Sujet de l'inconscient|S]], est la même que celle de sexe. Ça conduirait à dire que l’inexistence du rapport sexuel précisément est devenue évidente, jusqu’à pouvoir être explicitée, écrite, à partir du moment où l’objet petit a (cause du désir) est monté au sociel. Tandis que dans le régime du discours du maître, c’était une vérité refoulée par le signifiant maître. Et on doit constater qu’aujourd’hui le signifiant maître, les signifiants maîtres, n’arrivent plus à faire exister le rapport sexuel. [http://www.congresoamp.com/fr/template.php?file=Textos/Conferencia-de-Jacques-Alain-Miller-en-Comandatuba.html Conférence de Jacques-Alain Miller en Comandatuba]</ref> est la « logique où la contingence prouve, ou au moins atteste, l’impossible » par un gain de savoir car « l’acte ne réussit jamais si bien qu’à rater » ou « tout acte manqué est un discours réussi ». Dans sa ''Leçon du 12 février 1958'', Jacques Lacan<ref name="article lacan">[http://af.bibliotherapie.free.fr/Article%20Lacan.htm Article Lacan sur Bibliotherapie]</ref>{{,}}<ref>Autres écrits, {{p.|542}}), Paris, PUF, 2001</ref> développe l’idée que l'enfant non désiré par sa mère a ''une irrésistible pente au suicide''. Selon lui, plus l'enfant cherche à sortir de cette ''chaîne signifiante'' plus il s'y inscrit. Par le suicide, il devient ''signe éternel'' à la beauté ''horrifique'' et ''contagieuse'' (ce qui est précieux, Agalma, [[w:Effet Werther|Effet Werther]], Effet Papageno de Thomas Niederkrotenthaler, [[w:Aokigahara|Aokigahara]], [[w:Pont du Golden Gate|Pont du Golden Gate]], [[w:Tour Eiffel|Tour Eiffel]])<ref group=Note>La fille de Jacques Lacan, Sybille, écrit dans son livre [http://www.lemonde.fr/disparitions/article/2013/11/09/mort-de-l-ecrivaine-sibylle-lacan_3511291_3382.html#ChzLEzwZ68Wf8gdb.99 ''Mon père''] : « Quand je suis née, mon père n'était déjà plus là. Je pourrais même dire, quand j’ai été conçue, qu’il ne vivait plus vraiment avec ma mère. Une rencontre à la campagne entre mari et femme, alors que tout était fini, est à l'origine de ma naissance. Je suis le fruit du désespoir, d'aucuns diront du désir, mais je ne le crois pas. » (…) A son compagnon Christian Valas, elle confie cette lettre datée du 7 janvier 2013 : « Si je me suicide, je veux que les circonstances de ma mort ne soient occultées en aucun cas (presse, amis, etc.) Cette demande doit être considérée comme faisant partie de mes dernières volontés… » </ref>. Pour Lacan, au ''savoir défaillant'' est substitué un acte comme ''suicide du sujet'', fruit d'un ''forçage'' : le ''passage à l’acte'' (acte sans parole, l'Objet a évacue le sujet dans le Réel, destitution subjective<ref>[http://banmarchive.org.uk/collections/newformations/09_07.pdf The undergrowth of enjoyment, de Slavoj Zizek], banmarchive</ref>), l{{'}}''acting out'' (passionnel selon Lacan, parade du phallus imaginaire, délirante mais qui aura un sens, black out, somnanbulisme<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-1995-2-page-513.htm?contenu=resume La perception somnambulique Marie-Claire Durieux], Cairn</ref>, [[w:Syndrome d'Elpénor|Syndrome d'Elpénor]])<ref>[https://www.cairn.info/load_pdf.php?ID_ARTICLE=FP_012_0045 Le concept d’aliénation en psychanalyse par Maria Cristina Poli], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>Dans l'acte, nous dit Lacan, un sujet n'en existe pas moins comme divisé. Nous pouvons ainsi mesurer la difference entre un point d'acte. ou le sujet pour divisé qu'il soit n'assume pas moins les conséquences de ce qu'il a mis en œuvre. Il s'agit toujours de déni, "ce qui a affaire à l'ambiguité qui résulte des effets de l'acte comme tel. L'aliénation nait de la négation du Grand Autre, en passant hors du seuil et plus rien n'est assumable. (L'inconscient ignore la négation, donc la contradiction.)</ref>, ''seuil [[w:Signifiant (psychanalyse)|signifiant]] qui le fait devenir autre'', qu’il appelle ''[[w:Jouissance|Jouissance]]'' (problème du XXIe s, le désir étant celui du XXe s) et que Freud appelle les ''compulsions de répétition et de destin'', dans ''Au-delà du principe de plaisir''. === Le Parasuicide === [[w:Serge Lebovici|Serge Lebovici]] signale : « le goût de l'enfant pour les [[w:Comportement ordalique|conduites ordaliques]] d'essai, pas tant le résultat d'une dépression (appauvrissement du moi, affect de restriction, ignorance, ne rien vouloir savoir, lâcheté morale de celui qui cède sur son désir selon Lacan<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2005-1-page-63.htm La dépression est la vérité inversée du désir par Didier Robin], Cairn</ref>) que d'un jeu avec la violence et avec la mort, de conduites suicidaires aux conduites de mutilations du corps, troubles de l'appétit, ravage anorexique, boulimie, toxicomanie, le goût dangereux pour l’utilisation des véhicules rapides »<ref>[http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/8212/MURS_1989_16_65.pdf La mort chez l'enfant. Point de vue d'un pédopsychiatre, Serge Lebovici]</ref>, le soutien de l’expropriation<ref>[https://www.corriere.it/cultura/18_luglio_09/heidegger-quaderni-neri-donatella-di-cesare-d306a486-838d-11e8-b0f1-5852deebaad6.shtml Heidegger, i «Quaderni neri» 1948-51], Corriere</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-1-page-123.html La répressivité par Steven Wainrib], Cairn</ref> ou les cas de réassignation sexuelle ([[w:Complexe de Diane|Complexe de Diane]])<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2013-1.htm Passer à l'acte, par Philippe Kong], Cairn</ref>. == Le Suicide au risque de la psychanalyse == === La Phylogénèse === Nous analyserons la [[w:phylogénèse|phylogénèse]] (parenté entre êtres vivants) du suicide dans le [[w:Judaïsme|Judaïsme]], le monde [[w:Arabe|Arabe]] et en [[w:Asie|Asie]]. Nathalie de Kernier précise que le geste suicidaire à l’adolescence entraîne une fixation autour de l’infanticide<ref> https://www.theses.fr/2009PA05H013</ref>. ==== Le Complexe de Caïn ==== Pour Montaigne, on ne peut pas dire que D.ieu ne peut pas attenter à ses jours car c'est déjà un blasphème de dire ce que D;ieu peut ou ne peut pas faire<ref>https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1320789m/f1</ref>. En revanche le judaïsme, remonte au péché originel qui explique l'angoisse du manque symbolique, pendant la castration, et au complexe hystéroépileptique de Caïn abordé par [[w:Léopold Szondi|Léopold Szondi]], [[w:Gérard Haddad|Gérard Haddad]] et [[w:Antoine Vergote|Antoine Vergote]]. Eve, en devenant simple mortelle, est la mère du suicide ; [[w:Cain|Cain]], Abel et Seth, les premiers enfants endeuillés par un suicide virtuel. [[w:Abel|Abel]], berger nomade favori de [[w:Dieu|Dieu]], ne travaille pas, frappé de sidération obsessionnelle qui annonce son suicide virtuel symbolisé par la main de Cain, qui annonce [[w:Abraham|Abraham]] et [[w:Pilate|Pilate]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2005-2-page-199.htm Gisèle Chaboudez : Rapport sexuel et rapport des sexes par Olivier Douville], Cairn</ref>. La violence disruptive du sédentaire Cain, arrive par court circuit, due à sa patrimonialisation toute-puissante et maniaque<ref>[https://coborder.wordpress.com/2015/02/19/quelle-est-la-difference-entre-un-pervers-narcissique-et-un-bipolaire/ Quelle est la différence entre un Pervers Narcissique et un Bipolaire ?], Coborder</ref> d’être le fils de Dieu. Leur [[w:forclusion|forclusion]] (effacement qui refoule et abolit tout vestige ou effet secondaire de sa propre dynamique) du nom-du-père entraine le surgissement du [[w:Grand Autre|Grand Autre]] qui les condamne. [[w:Seth|Seth]], dont le nom signifie fondation est le premier enfant endeuillé par le suicide qui va vaincre son destin. La bible parle du désir d’en finir assouvi de [[w:Saül|Saül]], [[w:Achitophel|Achitophel]], [[w:Samson|Samson]] ou [[w:Judas|Judas]] ; et refoulé d'[[w:Elie|Elie]], [[w:Jonas|Jonas]] et [[w:Jérémie|Jérémie]], mais tous meurent sans descendance. Les auteurs survivants de la [[w:Shoah|Shoah]] qui se sont suicidés comme [[w:Paul Celan|Paul Celan]], [[w:Primo Levi|Primo Levi]] et [[w:Bruno Bettelheim|Bruno Bettelheim]] témoignent d'une intransmissibilité d'une histoire hors norme qui met en péril l'identité d'homme. Les traumas massifs des survivants de la [[w:Shoah|Shoah]], présentant des états dépressifs réactionnels aux ruptures dans la vie sentimentale comme dans les rapports amicaux, ne parviennent pas à vivre les déceptions et les séparations sans réactiver de terribles émotions qui bloquent l'enrichissement du narcissisme dont les capacités de fantasmatisation sont réduites par la reviviscence d'une imagerie terrifiante du passé et la permanence de deux attitudes psychiques, de deux réalités simultanées<ref>[http://www.bulletindepsychiatrie.com/shoah.htm Les syndromes des survivants de la Shoah, De la question des traumas massifs], Bulletin de psichiatrie</ref>. Pour [[w:Freud|Freud]], une des raisons de l'antisémitisme européen (maladie auto-immune pour [[w:Hanania Alain Amar|Hanania Alain Amar]]) provient de l'appréhension des enfants chrétiens face à la circoncision perçue comme une castration. Pour [[w:Gérard Huber|Gérard Huber]], le [[w:Mont du Temple|Mont du Temple]] où était récité le Nom de D.ieu en est le symbole<ref>[http://www.akadem.org/sommaire/cours/freud-et-l-egypte/freud-lecteur-de-la-bible-06-06-2007-6964_4231.php Freud, lecteur de la bible], Akadem</ref>. Pour [[w:Jean-François Lyotard|Jean-François Lyotard]], le judaïsme est structuré comme une psychose ("Figure forclose") et le [[w:Sophisme|sophisme]] de [[w:Robert Faurisson|Robert Faurisson]] "il n'y a pas eu de chambres à gaz" ne peut être réfuté, suivant le [[w:Syllogisme|syllogisme]] : "les témoins sont morts et ceux qui témoignent n'y étaient pas puisqu’ils sont non-morts." ("Le différend")<ref>Suzanna Achache-Wiznitzer, dans "Racisme extraordinaire ou l'art de tuer les métaphores"</ref>. Pour Jacques Lacan (Écrits, pp 107-108) : « À la différence du signe, de la fumée qui n’est pas sans feu, feu qu’elle indique avec appel éventuellement à l’éteindre, le symptôme ne s’interprète que dans l’ordre du signifiant. » ==== Le Complexe du Surmusulman ==== Le [[w:Liste des pays par taux de suicide|suicide]] est marginal en [[w:Afrique|Afrique]] avec un taux d'1/100k. Il monte à 2/100k au [[w:Maroc|Maroc]] et en [[w:Algérie|Algérie]], 4/100k en [[w:Tunisie|Tunisie]], proche des 5/100k en [[w:Grèce|Grèce]], et loin des 10/100k au [[w:Royaume-Uni|Royaume-Uni]], 26/100k en France et 73/100k en [[w:Biélorussie|Biélorussie]]<ref>{{lien web |langue=en|url=http://www.who.int/gho/mental_health/suicide_rates/en/ |titre=Rapports et graphiques disponibles pour chaque pays |consulté le= |série=Site de l'OMS - Santé mentale |éditeur=Organisation Mondiale de la Santé |date=2012}}.</ref>. [[w:René Laforgue|René Laforgue]], proche de [[w:Matthias Göring|Matthias Göring]], pendant la guerre, fonde l{{'}}''Institut de psychanalyse de Casablanca'', dans sa villa, ''La Clarté'', et développe les concepts de ''super ego individuel'', de ''super ego collectif'' et de ''névrose d’échec''<ref>[http://www.cairn.info/psychanalyse-en-terre-d-islam--9782749208848.htm Psychanalyse en terre d’islam, Introduction à la psychanalyse au Maghreb], Cairn</ref>. En Occident, le mal est inhérent à l’homme tandis que dans le monde arabo-musulman, la responsabilité de la maladie est imputée à l’« autre » (surnaturel ou interpersonnel) et toujours située à l’extérieur du moi, du domaine de la fatalité, du sort, de la volonté de Dieu, etc. Les régimes autocratiques et la crainte de la répression produit une personnalité [[w:paranoïaque|paranoïaque]] dont la vacance du sujet et la précaution langagière [[w:phobique|phobique]] (peur sans objet) provoquent une auto-occultation : « Que Dieu nous protège du mot “je” (âna)! » et les prénoms qui portent ‘Abd… (« esclave » de Dieu)<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2007-2-page-161.htm De quelques résistances à la pratique psychanalytique dans la culture arabo-musulmane], Cairn</ref>, nous dit Ali Aouattah, allant jusqu'au [[w:Trouble de la personnalité évitante|Trouble de la personnalité évitante]]. [[w:Fethi Benslama|Fethi Benslama]] s'interroge sur le dérèglement entre le réel et les ''formes symboliques'' des extrémismes de l’[[w:Islam|Islam]], comme l'affirmation [[w:coran|coran]]ique selon laquelle [[w:Allah|Allah]] n’est pas le père, où les personnages centraux sont des fils, considérés comme adultes à l'âge de quinze ans, induisant un refoulement de la mère<ref>[https://www.cairn.info/revue-essaim-2006-2-page-219.htm À propos du livre de Fethi Benslama, Déclaration d’insoumission à l’usage des musulmans et de ceux qui ne le sont pas], Cairn</ref>. Les « radicaux » sont victimes d’une désidentification devenue suridentification (voir aussi l'hyperidentification au ''floodlighting'' des [[w:Actualités cinématographiques|Actualités cinématographiques]] pendant la guerre et de l’[[w:Information en continu|Information en continu]], au XXIe s<ref>[https://www.telerama.fr/television/lors-des-attentats-les-chaines-d-info-fonctionnent-comme-un-cerveau-traumatise-marianne-kedia-psychologue,140140.php Attentat de Nice : “Les chaînes d'info fonctionnent comme un cerveau traumatisé”], Telerama</ref>). On ne peut mourir que pour une idée que l’on ne comprend pas, rappelle Paul-Laurent Assoun citant Hitler. Le fanatisme est « l’esprit de conséquence » poussé au maximum  qui n’avertit pas en vain de sa violence. Le pire ne l’arrêtera pas. Bien au contraire. Le « surmoi terroriste » n’est que la terrible invention du « moi humilié »<ref>[http://www.humanite.fr/du-moi-humilie-au-surmoi-terroriste-588993 Du « moi humilié » au « surmoi terroriste »], L’Humanite</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2010-2-page-41.htm La violence n’est pas l’agressivité : une perspective psychanalytique des liens, de Pierre Benghozi], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=XiYyXRkpJXo Tuer le mort, Le désir révolutionnaire], Études psychanalytiques</ref> ([[w:Fausse bannière|Fausse bannière]], [[w:Kompromat (renseignement)|Kompromat (renseignement)]], [[w:Slut-shaming|Slut-shaming]], [[w:Cancel culture|Cancel culture]], [[w:Public shaming|Public shaming]], [[w:Online shaming|Online shaming]]), du surmâle chez [[w:Alfred Jarry|Alfred Jarry]] puis [[w:Paul Audi|Paul Audi]]. [[w:Vamik Volkan|Vamik Volkan]], parle des [[w:Child suicide bombers in the Israeli–Palestinian conflict|enfants-martyrs dans le conflit israélo-palestinien]], choisis ''éduqués'', ''tout puissants'' et ''narcissiques'' dont l'identité est perturbée par la recherche d'un élément externe à internaliser, pour stabiliser leur monde interne, souvent une ''méthode d'enseignement'' qui ''force'' l'identité d'un groupe, ethnique ou religieux, dans les ''fissures'' de l'identité individuelle endommagée ou subjuguée de la personne. Bachelard parle aussi de ''Complexe d'Empédocle'', purification du monde par le feu. ==== Le Rossignol de l’empereur de Chine ==== La question du suicide en Asie commence avec l’histoire de [[w:Bouddha|Bouddha]] qui mit fin à ses jours en offrant son corps à une tigresse affamée allaitant cinq tigrons, qui deviennent les cinq premiers disciples de Bouddha. Ferenczi dit que la [[w:métempsychose|métempsychose]] ([[w:réincarnation|réincarnation]], [[w:karma|karma]]) pour « engendrer un corps » évite un processus mélancolique en actualisant un mouvement primaire de mort<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=TOP_130_0113 Théories infantiles sur le suicide et tentative d’auto-engendrement], Cairn</ref>. Chez les hindous et les jaïns, il est considéré comme acceptable d’en finir avec la vie en jeûnant (''prayopavesha''). Pour Livio Boni, la grève de la faim pose « le rapport, entre oralité et phallicité chez [[w:Gandhi|Gandhi]], au point que la pratique du Brahamacharya est inconcevable dissociée du jeûne quasiment permanent, qui ne peut se limiter au végétarisme strict. Car la réactivation du désir oral déstabilisante se transpose ou coïncide, avec le désir génital pour se traduire en désir phallique et en agressivité moïque. Les transitivité et traductibilité pulsionnelles immédiates, depuis l'oralité jusqu'à l'agressivité, passent par l'analité (violentes dysenteries lors des grèves de la faim, sources le conduisant vers le désir génital et l'identification phallique<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2012-1-page-173.htm Aux sources du lien tyrannique d'Albert Ciccone, Revue française de psychanalyse 2012 (Vol. 76), pages 173 à 191], Cairn</ref>). » Il dira à la fin de sa vie devenir ''psychiquement une femme<ref>[http://www.ipa.org.uk/IPA_Docs/Livio_Boni.pdf De la psychanalyse à l'Inde, et retour. Formes et raisons de la réévaluation du féminin dans la modernité indienne, de Livio Boni], IPA</ref>.'' Pour [[w:Girindrasekhar Bose|Girindrasekhar Bose]], en Inde, « les premiers soins maternels, conduiraient l'enfant à vouloir prodiguer à sa mère exactement les mêmes soins, avant qu’il s'identifie, peu importe qu’il soit fille ou garçon, à sa mère, et prendrait plaisir à faire comme elle avec des poupées, faisant siens ses centres d’intérêt »<ref>[http://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2013-1-page-229.htm Livio Boni : L’Inde de la psychanalyse. Le sous-continent de l’inconscient], Cairn</ref>. Pour Michel Hanus, le recours à la crémation, tradition répandue en Inde est le résultat d'un suicide post-mortem<ref>[http://www.liberation.fr/evenement/1995/10/31/une-sorte-de-suicide-post-mortem-pour-le-psychanalyste-michel-hanus-la-cremation-rend-difficile-le-t_145564 Une sorte de suicide post mortem], Libération</ref>. Pour [[w:Léon Vandermeersch|Léon Vandermeersch]], le suicide en Chine découle de la « transmission de la signification de rites et dogmes séculaires n'attribuant aucune transcendance à la mort » dont « la banalisation du monde des esprits fait que vie et mort pourraient se côtoyer et s'interpénétrer sans fracture<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2003-1-page-187.htm Geneviève Morel, Clinique du suicide], Cairn</ref>. » Huo Datong, parle de la détresse hallucinatoire de la jeunesse chinoise dont l'idéogramme figuratif, provoque une contiguïté du symbolique et de l'imaginaire<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2009-2-p-247.htm Huo Datong : La Chine sur le divan], Cairn</ref>. Dans la suite de la leçon V, Jacques Lacan parle de la langue japonaise et de la lettre, l{{'}}''[[w:On'yomi|On'yomi]]'' et le ''[[w:Kun'yomi|Kun'yomi]]''. « C’est la lettre et non pas le signifiant qui fait appui de signifiant »<ref>[http://www.ali-provence.com/2012/06/lecon-v-du-seminaire-r-s-i-de-lacan-lituraterre-par-isabelle-heyman-14-mars-2012/ Seminaire RSI de Jacques Lacan], All Provence</ref>{{,}}<ref>Dictionnaire de la psychanalyse: 3e édition, d'Elisabeth Roudinesco, Michel Plon</ref>. Pour Kosuke Tsuiki, le ''sujet'' (opposé au ''verbe'' et au ''prédicat'', en grammaire) n'existe pas dans la langue japonaise, ce qui retire la possibilité de définir d{{'}}''où l’on parle''<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2006-3-page-69.htm La psychanalyse au Japon], Cairn</ref> (cf [[w:Normopathie|Normopathie]]). Pour Janine Chasseguet-Spirel, le pervers avance masqué, il se recouvre de sa parure excrémentiel pour masquer sa nature anale, désengendrée et fausse. Elle prend l’exemple du rossignol de l’empereur de Chine pour illustrer le processus d’identification et d’introjection génital du stade sadique anal. === La Protogénèse === Nous analyserons la protogénèse (construction psychique par rapport au tiers exclu) du suicide à travers l'étude de Jacques Lacan qui reprend les notions de [[w:Roman Jakobson|Roman Jakobson]], [[w:Ferdinand de Saussure|Ferdinand de Saussure]] et de [[w:Claude Lévi-Strauss|Claude Lévi-Strauss]] : le [[w:Réel, symbolique et imaginaire|Réel, le Symbolique et l'Imaginaire]] pour analyser les [[w:Complexes familiaux|Complexes familiaux]] : *[[w:Complexe d'Œdipe|Complexe d'Œdipe]] (stade de la castration, régime de la croyance et de l'incertitude - superstition "négative" d’un désir impossible chez l’obsessionnel, absence de foi "positive" d'un désir insatisfait chez l’hystérique - être-au-monde, dénégation métaphysique, nécessaire solitude)<ref>http://paris2014.champlacanien.net/?p=762</ref>, *Complexe d'Intrusion (stade de la frustration, régime de la conviction, désir masochiste du pervers<ref>https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2006-1-page-47.htm</ref>, pauvre-en-monde, négation animaliste/grecque, salutaire solitude, dévastation, déprédation<ref>[http://associationpsychanalytiquedefrance.org/activites-ouvertes/journees-ouvertes/la-conviction-en-question/ La conviction en question], APF</ref>) *Complexe de Sevrage (stade de la privation, régime de la certitude, désir prévenu du phobique, être-sans-monde, forclusion juive, difficile solitude, désolation)<ref>[http://www.causefreudienne.net/croyance-et-certitude/ Croyance et certitude], Cause freudienne</ref>{{,}}<ref>[http://phaenex.uwindsor.ca/ojs/leddy/index.php/phaenex/article/download/3479/2718 L’Einsamkeit comme Grundbegriff D’une idée fragmentée chez Heidegger* de Christophe Perrin], uwindsor</ref>{{,}}<ref>[http://www.akadem.org/medias/documents/3_la_desolation.pdf La désolation], Akadem</ref>. La jonction du symbolique et de l’imaginaire, est l’amour (sens, le dire de l'Un tout-seul = ce qu’Heidegger nomme le soutien de l’expropriation), celle de l’imaginaire et du réel, la haine (jouissance de l'autre) et celle du réel et du symbolique, l’ignorance (jouissance phallique, ratage du sexuel et de la jouissance)<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2004-2-page-59.htm Passion de l’ignorancee, d'Alain Vanier], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://psychanalyse-paris.com/L-idiot-international.html L’idiot International], Psychanalyse Paris</ref>, dont la [[w:Grammaire Générative|Grammaire Générative]] Universelle de [[w:Noam Chomsky|Noam Chomsky]], zone de compétence innée, et inconsciente du développement du langage produit un raisonnement par abduction et une [[w:Théorie de l’information|théorie de l’information]] et [[w:Théorie du cygne noir|du cygne noir]]<ref>https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2014-2-p-63.htm</ref>. ==== Le Complexe d'Œdipe ==== Le stade de la [[w:Castration (psychanalyse)|Castration]], ou [[w:Stade phallique|Stade phallique]], est un manque symbolique (ek-sistence comprendre Dette symbolique : reconnaissance de l'héritage de nos ancêtres dont le [[w:péché originel|péché originel]] est une tentative d'explication de l'angoisse qu'elle procure) d'objet imaginaire (phallus), dont l'agent est le père réel. La dette est dette de sens, imprescriptible et inextinguible, jusqu’à la réparation et l’affranchissement<ref>https://www.cairn.info/revue-topique-2002-2-page-41.htm</ref>, dans la névrose. Dans la psychose, la dette n’est plus exprimable en valeur comptable<ref>https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2005-2-page-73.htm</ref> car c’est d’un manque réel d’objet symbolique qu’il est question (privation et forclusion de sa trace signifiante). Pour Lacan, « le rejet de la castration marque le délire (changement de sillon) de la pensée. » Les névroses hystériques (l’hystérie d'angoisse, l'hystérophobie et l’hystérie de conversion) frappent l'individu qui a buté sur le complexe d'Œdipe, obligé de faire un retour en arrière vers les stades antérieurs de son passé, refluant vers le stade oral et parallèlement vers le stade phallique (plaisir lié à l’exhibition, au voyeurisme concernant les organes génitaux : “ Ce que le voyeur cherche et trouve, ce n’est qu’une ombre, une ombre derrière le rideau. Il y fantasmera n’importe quelle magie de présence”<ref>Lacan, Les quatre concepts fondamentaux de la psychanalyse, p. 166)</ref>{{,}}<ref>[http://anjoumedecine.free.fr/PS2130.html Névroses et symptômes somatiques], Anjoumedecine</ref>. On parle alors de ratage du sexuel d’entrée (fixation au stade anal) ou de sortie (non-résolution du conflit) pouvant entrainer l’absence d’intériorisation de l’interdit de l’inceste ([[w:Otto Rank|Otto Rank]] face à [[w:Anaïs Nin|Anaïs Nin]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2002-4-page-96.htm Et aussi… Un marqueur fondamental], Cairn</ref>{{,}}<ref group=Note>"Ce qui rate de l'Autre donne naissance au langage. Mais le ratage dans la jouissance donne lieu à la répétition, car prendre un par un l’objet de la jouissance, c’est tout différent que l'Un de la fusion universelle. En même temps, l’objet se met à la place de ce qui rate de la relation à l'autre, et à partir de là, il donne lieu au fantasme. Le désir, c’est une relation au fantasme, il nait de l'écart entre le besoin et la demande. Alors que la demande se formule à autrui par la parole, dans ce manque laissé par le ratage de la recherche de la fusion, le besoin vise un objet spécifique et s'en satisfait en decà des mots. Il cherche à s'imposer sans tenir compte du langage, ni de l'inconscient de l'Autre. » ''Actualités psychopathologiques de l'adolescence'', d' Yves Morhain et René Roussillon, Chapitre 8)</ref>{{,}}<ref>[http://dimpsy.online.fr/dimensionsdelapsychanalyse/bibliotheque/2011/Rene-Lew_Colloque-Buenos-Aires_8-9-avril-2011_Echappement_2e-version-rouge.pdf L’échappement ou : Le ratage signifiant au centre de la cure, ou encore : Comment jouer de négativité à bon escient ? de René Lew], Caline</ref>. Lacan conclut, « l'hystérique (désir insatisfait) est un esclave qui cherche un maître sur qui régner. » Le complexe d'Œdipe se termine par la castration chez le garçon et commence par la castration chez la fille. S'appuyant sur le complexe d’[[w:Oreste|Oreste]] de Melanie Klein<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=5953 Mélanie Klein, ou le matricide comme douleur et comme créativité], Spp Asso</ref> et d'[[w: Complexe d'Electre|Électre]] de [[w:Carl Jung|Carl Jung]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-journal-des-psychologues-2009-3-page-67.htm Le matricide feminin], Cairn</ref>, Michèle Gastambide & Jean-Pierre Lebrun affirment qu'une femme préfère se suicider plutôt que d’attenter à la vie de sa mère. L'Œdipe inversé est un désir pour le parent de même sexe. Il entraîne une haine inconsciente de celui-ci et la recherche d'un conjoint lui ressemblant. Pour Freud, la prise de conscience du complexe d'Œdipe, est un tournant dans l'analyse et pour Lacan, par l{{'}}''identification au symptôme'', la fin de la cure<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/168sol.htm L'Identification au symptôme à la fin de l'analyse], Wapol</ref> car elle annule l{{'}}''absence de signification'' phallique qui cause la répulsion<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2010-1-page-109.htm La mélancolie d’Althusser], Cairn</ref> et permet d'accoucher du ''[[w:Surmoi|Surmoi]]'' (impératif de la jouissance, "tu dois être comme le père" et "tu ne dois pas être comme le père")<ref>[https://www.cairn.info/revue-che-vuoi-2006-1-page-143.htm Jouissance(s) et loi du surmoi de Monique Tricot], Cairn</ref>. ==== Le Complexe d'intrusion ==== Le stade de la Frustration est un manque imaginaire d'objet réel (sein maternel), dont l'agent est le père symbolique ou Nom-du-Père<ref>[http://www.edupsi.com/timone/J.J.Gorog.95...shtml.htm Castration, Frustration et Privation. Une lecture du séminaire IV, « La relation d'objet » Par Jean-Jacques Gorog], Edupsi</ref> : [[w:Angoisse de morcellement|angoisse de morcellement]], fétichisme (perversion des perversions), addiction (recherche du manque, [[w:La Psychanalyse du feu|complexe d’Hoffmann]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2001-1-page-17.htm Psychanalyse de l’« objet ». « Objet-drogue », « objet-alcool »], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2011-1-page-99.htm?fbclid=IwAR2PNGXtqhKZEZChZVitDD6Lk0FKn6cA56sbeFJKpiMbAejn6N0Omq4tZ_E Présentation de l'ouvrage de François Perrier. L'alcool au singulier, L'eau de feu et la libido de Sylvette Ego], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/les-ivresses--2908206315-page-229.htm?contenu=resume# L'ivresse et la solitude une pathologie de la rencontre de Demetrio Barcia], Cairn</ref>, réification (traitement du sujet comme un objet) ou instrumentalisation. « Le dédoublement ainsi ébauché dans le sujet, c’est l’identification au frère qui lui permet de s’achever : elle fournit l’image qui fixe l’un des pôles du masochisme (désir sans jouissance) primaire. Ainsi la non-violence du suicide primordial engendre la violence du meurtre imaginaire du frère »<ref name="article lacan"/>{{,}}<ref>''L’Énigme du suicide à l'adolescence'', Annie Birraux, Philippe Givre, ''Clinique des suicides lents et non violents. La tendance à la mort comme objet d’appétit</ref> (frère réel ou frère-jouet, Là où Çà joue, le Je doit devenir auteur du jeu de son inconscient)<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=5889 L’efficacité symbolique de la psychanalyse], SPP</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2004-1-page-109.htmq Là où Çà joue], Cairn</ref>. « Le complexe d'intrusion est excessif dans la [[w:gémellité|gémellité]] », « comme dans une fratrie suffisamment rapprochée (moins de 18 mois, [[w:Folie à deux|Folie à deux]]) »<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2008-1-page-21.htm Fratrie, gémellité, folie à deux : comment devient-on thérapeute de famille ?], Cairn</ref> avec « un "ministre des affaires extérieures" qui gère la communication" et un "ministre des affaires intérieures" qui dirige la sphère privée ». Pendant le sevrage, elle le réactive et l'amène à une régression qui peut évoluer en psychose [[w:Schizophrénie|schizophrénique]] (inconscient à ciel ouvert), première cause de suicide chez les jeunes<ref>[http://www.apcof.fr/?texte=lironie-dans-la-psychose-sa-logique-et-sa-fonction-la-theorie-de-lironie-la-clinique-de-la-jouissance L’ironie dans la psychose : sa logique et sa fonction – 6eme Journée Atelier Histoire des concepts – La clinique de l’ironie et le dit-schizophrène], APCOF</ref>{{,}}<ref>[http://wapol.org/ornicar/articles/lng0082.htm Qu'est-ce qu'un enfant pour une femme schizophrène ? de Katty Langelez], Wapol</ref>{{,}}<ref>[http://www.causefreudienne.net/le-corps-du-schizophrene-quelques-references-theoriques/ Le corps du schizophrène : quelques références théoriques], Cause freudienne</ref>{{,}}<ref group=Note>Dans la population des personnes dont les deux parents sont schizophrènes, 27 personnes sur 100 sont susceptibles d'être touchées. Alors que chez les frères, sœurs et faux jumeaux des patients schizophrènes qui n'ont que la moitié de leurs gènes en commun, le risque est de 10%, il atteint 50% chez les vrais jumeaux, qui ont un génome quasi identique.</ref>, névrose hypocondriaque, destruction imaginaire en impulsions perverses ou culpabilité obsessionnelle (désir impossible<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2016-1-page-25.htm Tentatives de feindre l’impossible et « faire désirer » par Luminitza Claudepierre Tigirlas], Cairn</ref>, [[w:Trouble obsessionnel compulsif|Trouble obsessionnel compulsif]], [[w:Trouble des habitudes et des impulsions|Trouble des habitudes et des impulsions]], [[w:Syllogomanie|Syllogomanie]], [[w:Syndrome de Diogène|Syndrome de Diogène]], inquiétante étrangeté, [[w:Culpabilité du survivant|Culpabilité du survivant]]). Lacan conclut : "l'obsessionnel a trouvé son maître et attend sa mort pour prendre sa place." La crise suicidaire est au cœur du problème de la "substitution"<ref>[https://www.cairn.info/revue-imaginaire-et-inconscient-2004-2-page-71.htm Réflexions autour du double fraternel par Régine Scelles], cairn</ref> ([[w:Lady Macbeth|Lady Macbeth]], [[w:Emmanuel Lévinas|Emmanuel Lévinas]])<ref>[https://tsunamicnublog.wordpress.com/2016/04/27/levinas-and-macbeth/ LEVINAS AND MACBETH]</ref>. Le « [[w:Stade anal|stade anal]] (satisfaction d'un besoin que pour la satisfaction d'un autre)<ref>[http://lexique-de-lacan.blogspot.fr/2010/08/analite.html Analité], Lexique de Lacan</ref> dans la musique Rock qui « arrache les tripes », « s'élabore autour d'un phallus puissant entraînant à sa suite une horde »<ref>Totem et tambour: Une petite histoire du rock’n roll et quelques réflexions, de Manuella Rebotini</ref>, le « fantasme d’éventration » au « fondement de la création littéraire »<ref>[http://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2005-1-page-100.htm Le cas Serge André : un psychanalyste écrivain atteint de cancer], Cairn</ref> », la [[w:mélancolie|mélancolie]], être d'objet, de [[w:déchet|déchet]] sans parole. Il nous faut faire intervenir à cet endroit les éléments proprement lacaniens concernant la notion d’objet. Le mécanisme vexatoire est lié à la présence matérielle de l’objet de rebut ("Le saint est le rebut de la jouissance", dit Lacan. Il dit, en novembre 1974, que la charité « c’est l’archi-raté » (comprendre acte archi-manqué et/ou "Donner" la mort est un archiratage forcément religieux.). Dans Télévision, le saint, « plutôt se met-il à faire le déchet : il décharite, ce pour réaliser ce que la structure impose, à savoir permettre au sujet, au sujet de l’inconscient, de le prendre pour cause de son désir. »), l’objet de déchet, l’objet a. C’est lui qui d’une maille à l’endroit fait une maille à l’envers. C’est lui qui prend le contre-pied systématique des penchants et des goûts du sujet, dévoilant en toute circonstance la cause nauséabonde de toute aspiration, toute élévation, toute inclination<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-revue-lacanienne-2009-1-page-71.htm Théorie et clinique psychanalytique. L’écho de l’automatisme mental de Jean-Jacques Tyszler]</ref>.{{,}}<ref>[http://www.vacarme.org/article2223.html Le psychotique et le psychanalyste, entretien avec Jacques Borie], Vacarme</ref> ; ou [[w:manie|maniaque]] (fantasme de réparation chez Mélanie Klein)<ref>[http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2008.gonin_a&part=146607 La réparation kleinienne], Univ Lyon 2</ref>{{,}}<ref>[http://eduardo.mahieu.free.fr/2008/legerete_ey.html Manie], Eduardo Mahieu</ref>, par un langage sans objet, parataxe, déliaison, jouissance impossible<ref>[http://www.pipolnews.eu/wp-content/uploads/2015/01/Les-six-paradigmes-de-la-jouissance-RETR.pdf Les six paradigmes de la jouissance], Pipolnews</ref>, relevant du [[w:Déplacement (psychanalyse)|déplacement]] comme métonymie infinie avant retour mortel (« Pêcher mortel où le moi est la métonymie du désir », dit Lacan car « le sujet n’est lesté par aucun a ») et ''désintrication pulsionnelle'' par sa propre ''exportation''<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2009-4-page-987.htm Pulsion de mort et destructivité, de Denys Ribas], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-3-page-921.htm “Du divan à l’écran. Montages cinématographiques, montages interprétatifs ”, de Murielle Gagnebin], Cairn</ref> : [[w:Mythomanie|Mythomanie]] (chiqué=artifice=beau=démonstration<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1977-02-26.htm Intervention de Jacques Lacan à Bruxelles, publiée dans Quarto (Supplément belge à La lettre mensuelle de l’École de la cause freudienne), 1981, n° 2.], AEJCPP</ref>{{,}}<ref>[http://journals.openedition.org/palimpsestes/67 De « Assez » à « Enough » ou l’androgynie comme figure du bilinguisme beckettien], Openedition</ref> à distinguer du [[w:Secret|secret]]), [[w:Oniomanie|Oniomanie]], [[w:Kleptomanie|Kleptomanie]], [[w:Nymphomanie|Nymphomanie]], [[w:Pyromanie|Pyromanie]] ([[w:La Psychanalyse du feu|Complexe d'Empédocle]], [[w:Ludomanie|Ludomanie]], [[w:Érotomanie|Érotomanie]], [[w:Toxicomanie|Toxicomanie]], [[w:Dipsomanie|Dipsomanie]], [[w:Bibliomanie|Bibliomanie]], [[w:Mélomane|Mélomanie]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2012-3-page-7.htm La mélo-manie ou la voix objet de passions], Cairn</ref>, [[w:Manie dansante|Manie dansante]], [[w:Traités internationaux de la guerre froide|Pactomanie]], [[w:Théories du complot maçonnique|Pyramidomanie]], [[w:Arithmomanie|Arithmomanie]], Cleftomanie etc ==== Le Complexe de sevrage ==== Le stade de la Privation est un manque réel (comprendre ''Trou''<ref group=Note>Le réel s’avère donc comme ce qui fait obstacle au symbolique, ce qui ré-siste à la trouure. Ce pourquoi le symbolique in-siste. Entre les deux l’imaginaire fait surface. Mais pas n’importe quelle surface : une surface orientée, par opposition à la surface inorientée que représente le réel. Seule une surface (tour du désir) peut boucher un trou. Ce qui fait « trou » au sens de défaut au symbolique dans la psychose, c’est une surface désorientée. Ce qui permet de s’en sortir c’est l’orientation. [http://une-psychanalyse.com/structure_du_borromeen.pdf Richard Abibon dans Structure du nœud borroméen ]</ref> ou ''Un n’espace/temps de l’âme-a-tiers'') d'objet symbolique (phallus), dont l'agent est le père imaginaire. Le signifiant, forclos, mortifie le corps, provoque perversité (l'échec de l'introjection de l'objet, jouissance sans libido) et psychose (peur du monde extérieur, menace de viol)<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-1-page-81.htm Cramponnement, attachement et complexe de sevrage. Hermann et Bowlby avec Lacan. L’exemple des addictions], Cairn</ref> du « parlêtre (être qui parle mais qui se retrouve traumatisé par cette parole, ce « traumatisme », trou dans la langue qui fonde le trauma, point négatif qui ne peut être pensé que négativement, et entraine une jouissance de l'impasse). Le réel ne parvient pas à être symbolisé, faute de savoir adéquat et conduit au syllogisme. Au [[w:Stade oral|Stade oral]] et par complexe du sevrage, Lacan entend un processus de séparation, de rupture avec la vie parasitaire indépendant du processus de l'ablactation (fin de l'allaitement)<ref group=Note>La séparation, c'est le second moment après l'aliénation. Celui-ci est fondé sur la structure de l'intersection, (...) gîte de (...) la métonymie. C'est là que rampe, c'est là que glisse, c'est là que fuit, tel le furet, ce que nous appelons le désir. (...) La science se situe au point précis que je vous ai défini comme celui de la séparation, qu'elle peut soutenir aussi le mode d'existence du savant, de l'homme de science. - Ce corps de la science, nous n'en concevrons la pensée qu'à reconnaître qu'il est, dans la relation subjective, l'équivalent de ce que j'ai appelé ici l'objet petit "a". - 239 (Séparation, 1964 - Les quatre concepts de la psychanalyse, J.Lacan - 194 Et 195) Venons à la seconde opération, où se ferme la causation du sujet, pour y éprouver la structure du bord dans sa fonction de limite, mais aussi dans la torsion qui motive l'empiètement de l'inconscient. Cette opération nous l'appellerons: séparation. Nous y reconnaîtrons ce que Freud appelle ICHSPALTUNG ou refente du sujet, et saisirons pourquoi, dans le texte où Freud l'introduit, il la fonde dans une refente non du sujet, mais de l'objet (phallique nommément). La forme logique que vient à modifer dialectiquement cette seconde opération, s'appelle en logique symbolique : l'intersection - Par cette voie le sujet se réalise dans la perte où il a surgi comme ics, par le manque qu'il produit dans l'Autre, suivant le tracé que Freud découvre comme la pulsion la plus radicale et qu'il dénomme : pulsion de mort. (1964 - Position de l'inconscient J.Lacan- 840-844)</ref>{{,}}<ref>[http://patrickfrasellepsychanalyse.over-blog.com/2014/09/la-phase-orale-vue-par-la-psychanalyse.html La phase orale vue par la psychanalyse de Patrick Frasselle]</ref>{{,}}<ref group=Note>Le stade oral (de 0 à 8 mois) est caractérisé par une relation symbiotique, où l’objet est partiel (sein, lait). Ce stade est marqué par l’angoisse de dévoration (être dévoré), d’abandon et de persécution (paranoïde et schizoïde). Par exemple, la mélancolie intègre l’incorporation et la dévoration, puisqu’elle supprime l’existence de l’objet dans son individualité. C’est à ce stade qu’intervient le Surmoi de type kleinien, dont nous avons parlé (cf. IV.2.1.2., supra). La cruauté surmoïque de type mélancolique relève davantage du stade oral que du stade anal, contrairement à ce qu’ont pu théoriser certains auteurs. Car il s’agit d’une culpabilité délirante, et non névrotique (Surmoi oedipien) : « Chez les mélancoliques, il y a un véritable parallélisme entre la précision du côté de l’action et l’importance de la « peccadille » du côté de la faute. C’est la démesure dans l’appréciation du futile qui contribue à préparer le délire mégalomaniaque de culpabilité du mélancolique » (Binswanger, 1960, p. 254). De même, chez les patients bipolaires, le sujet est en pulsion orale : il se tourne avidemment vers le monde des objets qu’il tente de contrôler, c’est-à-dire ici de détruire (contrairement à l’emprise du stade anal). À ce niveau, le narcissisme est auto-érotique (il précède l’amour objectal), avec angoisse de morcellement, comme dans la schizophrénie. Le stade du miroir (vers 7-8 mois Lacan, 1949) échoue dans la psychose, car il ne permet pas l’instauration de l’acquisition du « Je », d’un Je sujet du discours. Cet échec est corollaire de l’absence de conscience du corps propre, des limites de ce corps, et du corps (donc du visage) de l’autre. Or, le stade du miroir est ce qui permet que la relation d’objet devienne anaclitique, sinon l’objet est total (la mère).</ref>{{,}}<ref>[http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2007.bilheran_a&part=126980 Temps, développement libidinal, psychoses], Thèse Lyon II</ref>. Dans le tome VII de l'encyclopédie de [[w:Lucien Febvre|Lucien Febvre]], Lacan nous dit que la tendance à la mort est vécue par l’homme comme ''objet d’un appétit'' que lui donne le sevrage, et se révèle dans des suicides très spéciaux qui se caractérisent comme ''non violents'', sous la forme orale du complexe : ''[[w:grève de la faim|grève de la faim]] de l’[[w:anorexie mentale|anorexie mentale]]'', ''empoisonnement lent de certaines toxicomanies par la bouche'', ''régime de famine des névroses gastriques''<ref>[http://aejcpp.free.fr/lacan/1938-03-00.htm Circonstances et objets de l'activité psychique], AEJCPP</ref>, idée développée par [[w:Massimo Recalcati|Massimo Recalcati]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-59.htm L’anorexie comme suicide différé par Massimo Recalcati], Cairn</ref>. Pour [[w:Pascal Fugier|Pascal Fugier]], la ''séparation prématurée'' est ''facteur de mort'' qu'on retrouve dans les pratiques symboliques comme la sépulture et les ''nostalgies de l’humanité'' : suicides, toxicomanies et anorexies<ref>[http://www.revue-interrogations.org/Jacques-Lacan-Les-complexes Jacques Lacan, Les complexes familiaux dans la formation de l’individu.Essai d’analyse d’une fonction en psychologie], Revue Interrogations</ref>. Il correspond chez Mélanie Klein au stade [[w:Envie et gratitude (psychanalyse)|Envie et gratitude]]. On pense à la dialectique de l'[[w:Agoraphobie|agoraphobie]] (peur du déconfinement, syndrome de la cabane) et de la [[w:Claustrophobie|claustrophobie]], du secret et de la révélation, ce qui parait sans apparaître, ce qui est séparé et qui se livre dans cette séparation<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=MEDIU_037_0299 2013/4 Ontologie du secret, de Pierre Boutang par Jérôme Besnard], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/la-pensee-interdite--9782130573500-page-127.htm Transparence et secret, par Alain Vanier, dans La pensée interdite (2009), pages 127 à 138], Cairn</ref>. === L’[[w:Ontogenèse|Ontogénèse]] === L’analyse ontogénétique (concept utilisé par [[w:Gilbert Simondon|Gilbert Simondon]] pour étudier les transformations structurelles de l'enfance à l'âge adulte et qui lui donne son organisation ou sa forme finale) de [[w:Serge Tisseron|Serge Tisseron]] nous dit que : « les images du monde virtuel sont indécidables, « avec elles tout est menacé de se dématérialiser, les rencontres, les objets, l’argent<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2012-1-page-11.htm# Argent, cadre et psychanalyse de Luiz Eduardo Prado de Oliveira], Cairn</ref>. » Avec [[w:Sylvain Missonnier|Sylvain Missonnier]], il s'interroge sur la « relation d'objet virtuel », (ROV), constituant le lien biopsychique établi en prénatal entre les (re)devenants parents et « l'enfant du dedans » qui annonce « transitionnalités et transformations »<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2009-4-page-75.htm De l’idéal virtuel à l’autre réel], Cairn</ref>. Le virtuel ne s'oppose pas au réel mais à l'actuel. L'enfant non désiré, né d'une relation d'objet virtuelle, a 3 fois plus de chance d’être suicidaire<ref>[http://www.nytimes.com/2010/05/04/health/research/04risk.html?_r=0 Children of Suicide Victims Are Vulnerable], [[w:The New York Times|The New York Times]]</ref>. ==== La [[w:Pédomorphose|Pédomorphose]], manque actuel d'objet virtuel ==== Sylvie Faure-Pragier nous dit : « Depuis les [[w:Grottes de Lascaux|grottes de Lascaux]], l'histoire de l'humanité s'écrit à partir du fil rouge de ces stratégies de simulation langagière et iconique pour combler l'absence et arrêter [[w:Chronos|Chronos]] en affinant de plus en plus les leurres perceptifs. La [[w:réalité virtuelle|réalité virtuelle]] d'aujourd'hui n'est que le visage actuel de cette longue histoire où l'ont précédée le [[w:dessin|dessin]], la [[w:peinture|peinture]], la [[w:photographie|photographie]], le [[w:cinéma|cinéma]] muet puis sonorisé, la simulation numérique<ref>[http://www.carnetpsy.com/article.php?id=1473&PHPSESSID=gafjuplmpith1hur66b30p28s3 Des souris, des écrans et des hommes (1). Une relation d'objet virtuelle ?], Carnetpsy</ref> ». [[w:Michel Thevoz|Michel Thevoz]] associe : « le [[w:maniérisme|maniérisme]] du XVIe siècle à des types de [[w:névrose obsessionnelle|névrose obsessionnelle]], l’âge [[w:baroque|baroque]] aux fonctions hallucinatoires, les utopies du [[w:siècle des Lumières|siècle des Lumières]] au délire rationnel, le [[w:Symbolisme|Symbolisme]] à la [[w:mélancolie|mélancolie]], l’[[w:Art Nouveau|Art Nouveau]] à l’[[w:Hystérie|hystérie]], le [[w:Cubisme|Cubisme]] à la [[w:schizophrénie|schizophrénie]], le [[w:Surréalisme|Surréalisme]] à la [[w:paranoïa|paranoïa]] et le [[w:Body art|Body art]] à la [[w:perversion|perversion]]<ref>[http://www.leseditionsdeminuit.fr/images/3/extrait_2277.pdf L’Esthetique du suicide], Les éditions de minuit</ref> ». [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]] évoque la [[w:Pop philosophie|Pop'philosophie]] où "il s’agit de regarder tout objet non comme on regarderait l’intérieur d’une boîte, mais en envisageant tout ce qu’il y a autour, ce qui met la pensée à l’épreuve du monde. « Pop’ » est avant tout « le bruit que fait la boîte lorsque son couvercle saute ». D’où l’importance de l’apostrophe (en tuché, et italiques en automaton, version pop'analytique)<ref>https://www.philomag.com/les-livres/notre-selection/quest-ce-que-la-popphilosophie-36806?fbclid=IwAR3WeRnlHkyX1wBkvChg-TroIWlPni7Kz_AqJceC1iYt9wUL2ss394tfYvQ</ref>. Deleuze se défenestre en 1995 ([https://www.researchgate.net/publication/345377535_Approche_phenomenologique_de_la_defenestration Voir] L'approche phénoménologique de la défenestration). ==== Le Suicide, actualisation du manque d'objet virtuel ==== Dans le ''[[w:Crépuscule des idoles|Crépuscule des idoles]], Divagations d'un inactuel'', [[w:Friedrich Nietzsche|Friedrich Nietzsche]] voit « la mort choisie librement, la mort en temps voulu, avec lucidité et d’un cœur joyeux, accomplie au milieu d’enfants et de témoins, alors qu’un adieu réel est encore possible, alors que celui qui nous quitte existe encore et qu’il est véritablement capable d’évaluer ce qu’il a voulu, ce qu’il a atteint, de récapituler sa vie. » De la [[w:Vie intra-utérine|vie intra-utérine]], le moi précoce, protège « le sujet » des traumatismes « [[w:abject|abjects]] » (à chaque moi son objet, à chaque surmoi son abject), répulsion, pulsion violente, qui peuvent provenir « d’un dedans exorbitant » selon [[w:Julia Kristeva|Julia Kristeva]]<ref>[http://www.mikaversionglauque.fr/pages/abjection.html L'abjection selon Julia Kristeva], Mikaversionglauque</ref> que [[w:Mélanie Klein|Mélanie Klein]] repère dans « l’identification projective » (bons et mauvais objets) et « le [[w:Clivage de l'objet|clivage]] (pas de clivage sans collage.) »<ref>[http://cafe-psy.over-blog.com/article-prochains-debats-mercredi-11-et-25-mai-2011-73054285.html Prochains débats], Café Psy</ref>. L'excorporation : projection, identification projective (etc.) met en relief l'espace et non les objets qui se rencontrent en lui. Vomir n’est pas intentionnel (processus non graduel) mais la sensation physique intolérable de remplissage, débordement, perversion évidente quand la perlaboration est impossible et la réponse narcissique devant des objets ou les situations suscitent le rejet<ref>[http://www.imagoclinica.com/pdf/Le%20processus%20psychanalytique.pdf Le processus psychanalytique: du symptôme au trou émotionnel de Nicolás Caparrós], Imago Clinica</ref> ; incapacité à s’imposer quoi que ce soit, qui est l'essence de la veulerie, qui ne vise plus le nom mais le corps<ref>[http://www.psychologies.com/Moi/Se-connaitre/Comportement/Articles-et-Dossiers/Les-7-nouveaux-peches-capitaux/7 André Comte Sponville, Les 7 nouveaux péchés capitaux], Psychologies</ref>. Pour [[w:Jacques Derrida|Jacques Derrida]], "Partir sans laisser d'adresse devient alors la bénédiction ultime : laisser l'autre survivre sans la surcharge d'un héritage, sans le poids d'un deuil (« le deuil est le phénomène de la mort et c'est le seul phénomène derrière lequel il n'est rien »)", "Pouvoir hériter de ses écrits, nécessite qu’il se donne la mort." Il dit : le Cinéma, les médias et les télé-technologies mettent en scène des spectres dont on ne peut pas faire son deuil, On ne peut pas faire son deuil du dégoûtant : on ne peut que le vomir", comme "[[w:Antigone|Antigone]], qui est pour [[w:Hegel|Hegel]] l'inassimilable, l'indigeste absolu, inclassable et irrecevable". Dans Antitheos, Holderlin parle de l'impatience de Dieu. C'est également le cas des [[w:Spectres de Marx|Spectres de Marx]] qui contredisent la théorie de [[w:La Fin de l'histoire et le Dernier Homme|La Fin de l'histoire et le Dernier Homme]] de [[w:Francis Fukuyama|Francis Fukuyama]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-diogene-2009-4-page-72.htm Marxisme et déconstruction en Chine de Wei Xiaoping], Cairn</ref>. ==== Le Perpétuel Actuel, [[w:symbolisation|symbolisation]] du manque d'objet virtuel ==== Le lieu du symbolique n’est pas l'esprit mais le corps. Pour Anne-Laurence Coopman, le [[w:paraplégique|paraplégique]] vit dans un « perpétuel actuel » car aucun fil conducteur, moment porteur ou signifiant ne vient l'aider à s’inscrire dans une certaine temporalité. Ce « trop de réel », irreprésentable et impensable, que Freud voit comme l’instance du trauma  peut amener le patient au plus proche d’un éprouvé de destruction et d’anéantissement de soi<ref>[http://www.cairn.info/revue-cahiers-de-psychologie-clinique-2008-1-page-109.htm Traumatisme somatique : « l’esprit comme jouet du corps »], Cairn</ref>. "La (menace de déliaison<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2010-1-page-129.htm Le moi menacé de mort d'Annie Roux], Cairn</ref>) l'actuel découle donc d’un processus de désintrication pulsionnelle, autrement dit, de désorganisation psychique" dit Claude Smadja<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2014-5-page-1503.htm Le Psychanalyste face à la menace de l'actuel de Claude Smadja], Cairn</ref>. Un retour d'investissement d'objet dont le désir d'opulence entraine un surendettement moral, jusqu'à payer de sa personne<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychotropes-2009-3-page-9.htm La dette… jusqu'à payer de sa personne de Christian Bucher], Cairn</ref>. == L'Enfant endeuillé par suicide ({{abréviation|EES|enfant endeuillé par suscide}}) == Pour [[w:Serge Lebovici|Serge Lebovici]], les « enfants ayant assisté à la mort violente d'un de leurs parents sont terriblement touchés sur le plan de leur avenir psychiatrique. Le suicide d'un des parents est souvent considéré comme un événement honteux qu’il faut cacher. Bien entendu les enfants connaissent rapidement la cause de la mort du suicidé et s'installe ainsi un lourd secret de famille qui pèse là encore sur les conditions de vie. (...) En dépit des apparences, la mort d'un parent entraîne toujours deuil et surtout sentiment de culpabilité chez l'enfant. On entend souvent pourtant le survivant accuser les enfants d'insouscience : «mon fils est égoïste, il continue à jouer etc.». Ces parents qui se plaignent de l'insensibilité de leurs enfants ne savent sans doute pas que la dépression est [[w:Dépression masquée|masquée]] par des moyens défensifs bien connus en psychiatrie qu'on appelle les défenses [[w:Manies|maniaques]]. On connaît la manie de deuil et on sait que «la vieille femme indigne», lorsqu'elle est veuve, commence à s'amuser<ref>[http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/handle/2042/8212/MURS_1989_16_65.pdf La mort chez l'enfant. Point de vue d'un pédopsychiatre, Serge Lebovici]</ref>. » Pour Michel Hanus : « Ce sont ces endeuillés qui ont le plus besoin d'aide et de soutien et qui en reçoivent le moins, victimes de stigmatisation sociale et sentiment de culpabilité qui entraine une culture du secret »<ref>Le deuil après suicide, Michel Hanus, Perspectives Psy, volume 47, n°4, octobre-décembre 2008</ref>. « Le deuil inhibé correspond à une absence des symptômes normaux du deuil dans un premier temps. Les perturbations affectives s’effacent au profit de nombreux troubles somatiques. Ce type de deuil est fréquent chez l’enfant et chez les personnes dont les capacités verbales et mentales sont faibles », dit [[w:Christophe Fauré|Christophe Fauré]]<ref>[http://www.psydoc-france.fr/conf&rm/conf/endeuilles/textesexperts/FAURE.pdf « Effets et conséquences du suicide sur l’entourage : modalités d’aide et de soutien » Question 1a : « Deuil normal, deuil difficile, deuil compliqué, deuil pathologique » Dr Christophe Fauré - Psychiatre], Psydoc France</ref>. Cecile Paesmans nous dit : « Si la littérature consacrée au deuil est abondante, le deuil après suicide, en particulier chez l'enfant, est un sujet, à ce jour, peu abordé dans la littérature scientifique, voire même inexistant, au vu de nos recherches, dans la littérature systémique<ref>[https://www.cairn.info/revue-etudes-sur-la-mort-2005-1-page-101.htm Enfants endeuillé par le suicide], Cairn</ref>. Le sentiment de honte et l’attitude provocatrice de la famille qui se « désolidarise » du suicidé dans une attitude de dissimulation réprobatrice a besoin de « réparer » d’une manière ou d’une autre ce qui s’est passé, se faire pardonner aux yeux des autres et à leurs propres yeux une faute qu’ils n’ont pas commise en s’occupant, par exemple, de façon assidue d’une personne qui ressemble au suicidé. L’illusion dérisoire de préserver une certaine stabilité par le silence qui apparaît au début comme la meilleure solution pour l’entourage et la famille, se transforme avec le temps en un véritable poison pour le corps et l’esprit ; chacun s’enferme à l’intérieur de lui-même »<ref>[http://www.systemique.be/spip/spip.php?article75 Le deuil après suicide], Systemique</ref>. === L’Épigénèse === Le risque de psychose augmente de 84% chez les enfants endeuillés. Le chiffre double, en cas de deuil par suicide après deux ans et triple avant deux ans<ref>[http://www.lapresse.ca/actualites/sante/201401/24/01-4732266-le-deuil-en-bas-age-un-facteur-de-psychose-selon-une-etude.php Le deuil en bas âge, un facteur de psychose, selon une étude], La presse.ca</ref>. Pour [[w:Boris Cyrulnik|Boris Cyrulnik]], la [[w:Résilience (psychologie)|Résilience]] permet de revenir d'un état de [[w:Trouble de stress post-traumatique|stress post traumatique]] mais il décèle aussi une pente vers le suicide chez l'enfant, assimilé à un accident, du à une carence plus importante en [[w:Sérotonine|Sérotonine]] ou à un environnement anxiogène, qui l'interroge sur le contexte épigénétique (mécanisme contextuel modulant le patrimoine génétique)<ref>[http://www.leparisien.fr/societe/le-suicide-des-enfants-un-phenomene-sous-estime-29-09-2011-1630658.php Le suicide des enfants, «un phénomène sous-estimé»], [[w:Le Parisien|Le Parisien]]</ref>{{,}}<ref>[http://www.lefigaro.fr/actualite-france/2011/09/28/01016-20110928ARTFIG00690-premiere-etude-sur-le-suicide-des-enfants.php Première étude sur le suicide des enfants], [[w:Le Figaro|Le Figaro]]</ref>. ==== La [[w:Physiopathologie|Physiopathogénèse]]<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003448705002994 Suicide et schizophrénie : évaluation du risque et prévention], Science direct</ref> ==== Il existe trois forme de physiopathogénèse: le ''Complexe d'Hermione'' (système de pare-exciation déficient), le ''Complexe de Perséphone'' (angoisse de perte d'objet) et le ''Complexe de l’albatros'' (désengendrement). [[w:Jenny Aubry|Jenny Aubry]] a étudié les cas des enfant séparés: "Si la mère est névrosée, il témoigne de sa culpabilité, si elle est perverse, il lui sert de fétiche et si elle est psychotique, il incarne sa forclusion<ref>[https://www.cairn.info/revue-champ-lacanien-2006-2-page-41.htm Quelques remarques sur les notes de Lacan à Jenny Aubry et sur la psychose chez l’enfant de Patrick Barillot], Cairn</ref>." ===== Le [[w:Hermione|Complexe d’Hermione]] ===== Le suicide parental et/ou [[w:André Green|Complexe de la mère morte]] appliqué au deuil après suicide correspond au Complexe d’Hermione, suicidée sur le corps de Pyrrhus. Pour Freud, « le traumatisme arrive car quand les systèmes (psychiques) ne sont pas en mesure de lier les quantités d'excitation qui arrivent, les conséquences de l'effraction du pare stimuli s'installent d'autant plus facilement. Et l'expérience demeure dans le psychisme comme un corps étranger<ref>[http://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2008-1-page-97.htm Parcours dans la mucoviscidose : un cas clinique], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://heroscontemporainsetpsychanalyse.wordpress.com/2012/10/02/les-chevaliers-du-zodiaque-ou-lhyperactivit/ Les chevaliers du zodiaque ou l'hyperactivité], Angélique Christaki</ref>. » Dans ''Suicide maternel et psychanalyse'', [[w:Marie-Frédérique Bacqué|Marie-Frédérique Bacqué]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-etudes-sur-la-mort-2005-1-page-79.htm Suicide Maternel et psychanalyse], Cairn</ref>, constate chez l'enfant endeuillé un système [[w:Homéostase|homéostatique]] de ''pare-excitation'' déficient, provoquant un sentiment agressif d{{'}}''abandon'' et un ''fonctionnement limite de la personnalité'' ne permettant pas d'atteindre la castration mais l'entrainant vers une pente suicidaire, non pas par ''identification'' mais pour rechercher la ''mêmeté'' ou l{{'}}''indifférenciation'', jusqu'à devenir ''greffon salvateur'', ''bébé antidépresseur'' parfois jusqu'à la ''stérilité psychogène.'' (Voir aussi syndrome de [[w:Pénélope|Pénélope]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2003-2-page-129.htm Héroïnes de Miguel de Azambuja], Cairn</ref>. ===== Le Complexe de Perséphone ===== L’[[w:angoisse de perte d'objet|angoisse de perte d'objet]] de Perséphone<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-jungiens-de-psychanalyse-2003-3-page-21.htm Déméter au divan par Mariette Mignet], Cairn</ref> ou [[w:Caliban (Shakespeare)|Caliban]] (la perte d’objet est la définition du risque, comportement anobjectal, coefficient beta), angoisse d'abandon pour Sigmund Freud, dépression anaclitique pour [[w:René Spitz|René Spitz]] ou « syndrome d'abandon » pour [[w:Germaine Guex|Germaine Guex]] permet de distinguer les angoisses de castration et de morcellement, « organisations » plus fragiles dites « caractérielles », mettant sans cesse à l'épreuve la sollicitude et la bienveillance des adultes, par des attitudes provocatrices et agressives. La dépression obsessionnelle est par excellence le deuil du père, ou d'un objet assimilé au registre paternel. [[w:Octave Mannoni|Octave Mannoni]] parle de ''Complexe de Caliban'', d'[[w:Complexe d'infériorité|infériorité]] et de dépendance<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2002-2-page-181.htm La figure de l’otage Les organisateurs inconscients de la violence en institution], Cairn</ref> (Figure de l'otage, Complexe du martyr, "moi sans soi"<ref>[https://www.cairn.info/revue-pardes-2007-1-page-123.htm La substitution et la sollicitude, Comment [[w:Emmanuel Lévinas|Lévinas]] reprit [[w:Martin Heidegger|Heidegger]] par [[w:Jean-Luc Marion|Jean-Luc Marion]]], Cairn</ref>). Charlotte de Parseval, fait un parallèle entre les concepts de ''Faux self'' de Winnicott, de ''Nourrisson savant'' de Ferenczi, et de ''Personnalité comme si'' d'Hélène Deutsch, ou psychose ordinaire ([[w:Jacques Alain Miller|Jacques Alain Miller]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2010-5-page-405.htm Une clinique de la psychose ordinaire], Cairn</ref>{{,}}<ref>https://www.causefreudienne.net/la-psychose-ordinaire/</Ref>) survenant par crainte de l'effondrement du à un traumatisme narcissique précoce d'empiètement qu’il ne peut modifier de façon ''alloplastique'' (en modifiant son environnement). Le suicide, pris dans une pulsion infanticide/parricide<ref>[http://www.le-gout-de-la-psychanalyse.fr/?p=3011 Les aléas de la fonction paternelle dans la névrose et dans la perversion], Le goût de la psychanalyse</ref>, devient alors fantasme d'excommunicationn, de licenciement, d'expulsion ou ''auto-éjaculation homoérotique'' ([[w:Bernard Golse|Bernard Golse]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2011-4-page-117.htm Suicide ou meurtre en famille ? de Delphine Bonnichon], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-lettre-de-l-enfance-et-de-l-adolescence-2011-1-page-61.htm Le crachat adolescent, de Pascal Le Maléfan, La lettre de l'enfance et de l'adolescence], Cairn</ref>. Freud dit de l’identification dans la perte d’objet dans « Deuil et Mélancolie » (1917) à propos de l’énigme du suicide: « Dans les deux situations les plus opposées de la passion amoureuse et du suicide, le moi est subjugué par l’objet, quoique de deux manières totalement différentes<ref>[https://www.cairn.info/revue-libres-cahiers-pour-la-psychanalyse-2001-1-page-75.htm État amoureux et perte d’objet de Robert C. Bak], cairn</ref>. » Pour Lacan, l’amour est comique, menteur et une forme de suicide qui fait "de l’Un avec du deux ou du plus d’Un<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2008-1-page-139.htm Au nom de l’amourt par Stéphane Habib], Cairn</ref>. ===== Le Désengendrement ===== Les Complexes de l'Albatros (inhibition intellectuelle chez l'enfant intellectuellement précoce) et de ''Complexe de [[w:Jonas|Jonas]]'' (phobie de sa propre puissance), ou du ''Complexe d'[[w:Actéon|Actéon]]'' (phobie du savant, qui viole du regard dit [[w:Sartre|Jean-Paul Sartre]]), c’est en se transformant de façon ''autoplastique'' (tendance à la désorganisation inhibée par un clivage narcissique défensif et mutilant), que son ''hypermaturation intellectuelle'' peut devenir ''prostitution de l'intellect''<ref>[https://www.cairn.info/revue-travail-genre-et-societes-2003-2-page-129.htm Je suis une prostituée, tu seras un travailleur du sexe. Une filiation impossible], Cairn</ref> masquant sa ''déprivation'' et son ''amaturité'' cachée s'appuyant sur l{{'}}''introjection mimétique'' de son parent. L{{'}}''enfant thérapeute'' devient alors, selon Jean-Francois Rabain un ''Bébé météo'' à ne pas confondre avec le [[w:Bébé-médicament|Bébé-médicament]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-2-page-122.htm De Ferenczi à Winnicott : le « nourrisson savant » et le faux self], Cairn</ref>. Pour [[w:Geneviève Delaisi de Parseval|Geneviève Delaisi de Parseval]], le désir d’avoir un enfant chez les hommes, leur permet de « s’assurer de leur fécondité, se démarquer de leur propre père ou médiatiser un deuil<ref>La Part du père de Geneviève Delaisi de Parseval. (Points Essais, Seuil, 2004).</ref>. » La [[w:Grossesse|grossesse]] et l'interruption ont la même fonction symbolique : un inconcevable<ref>Interruption volontaire de grossesse : la dynamique du sens de Bernadette Rondot-Mattauer. (Erès, 2003).</ref>{{,}}<ref>[http://www.psychologies.com/Famille/Maternite/Desir-d-enfant/Articles-et-Dossiers/Les-enjeux-inconscients-de-l-IVG Les enjeux inconscients de l'IVG], Psychologies</ref>, une pure contingence, bloquant « la double illusion de la complétude narcissique, de la bisexualité réalisée, du fantasme d’auto-engendrement : hermaphrodite dans son désir, à la fois homme et femme, le sujet n’est finalement plus ni homme ni femme (objet a ne remplissant pas sa fonction de bouche-trou, [[w:Association du syndrome de Benjamin|Syndrome de Benjamin]]) », dit Fern Nevjinsky<ref>[http://www.cairn.info/revue-bulletin-de-psychologie-2009-5-page-467.htm Que sait-on de l’infertilité psychogène masculine ?], Cairn</ref>. ==== L’Autogénèse ==== Il existe trois formes d'auto-engendrement : le ''Complexe de Périandre'' (inceste), le ''Complexe de Télémaque'' (invocation de la loi) et le ''Complexe de Prométhée'' (épistémophilie du paranoïaque). ===== Le [[w:Périandre|Complexe de Périandre]] ===== [[w:Paul-Claude Racamier|Paul-Claude Racamier]] oppose à l’Œdipe, l’[[w:Inceste|inceste]], pare-feu libidinal, irreprésentable, vide de la pensée, blanche et opératoire, engrènement de l’ordre de l’agir, du faire agir, circuit interactif, entrainant un ''saccage psychique''  (M. Hurni et G. Stoll), désobjectalisant ([[w:André Green|André Green]]), provoquant une indifférenciation transsubjective, antifantasmatique, antisymbolique. Désengendré, la représentation et le sexe du père sont exclus ». La mère tarit le désir de l'enfant devenu fétiche, « ''objet - non-objet'' » faire-valoir, instrument narcissique et combat le sexuel comme son ennemi le plus intime<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-1-page-179.htm L’incestuel dans les familles], Cairn</ref>. Le père devient la mère, la mère devient le père, le gendre devient le fils, l'enfant devient le parent pour poursuivre et revivifier une relation de séduction narcissique. Les enfants appellent leurs parents par leurs prénoms et la porte de leur chambre ne ferme pas. Il s’apparente au [[w:Complexe de Jocaste|Complexe de Jocaste]], qu'on retrouve chez certaines mères ménopausées (écoulement, assèchement)<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=RFP_694_1013 Quel retour d'âge ? Début de la fin ou fin du début ? par Jacqueline Schaeffer], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2001-2-page-99.htm Le réveil des angoisses précoces d'écoulement ou d'assèchement lors de l'apprentissage de la propreté Nathalie Barabé], Cairn</ref>. ===== Le [[w:Télémaque|Complexe de Télémaque]] ===== [[w:Massimo Recalcati|Massimo Recalcati]] l'oppose au complexe d'Œdipe. Il est transgresseur et "invocateur de la loi". L'autorité d'Ulysse, si elle s’autorécuse, devient incestuelle, dit [[w:Hannah Arendt|Hannah Arendt]], « pure culture de la pulsion de mort » et « omnipotence inanitaire », dit Racamier. Faire preuve d’humour en tenant à l’enfant un « discours plein de sollicitude consolatrice », repulsionnalise l’interdit et entraine une coexcitation sadomasochique incestuelle. Cette transgression expropriante dont parlent [[w:Georges Bataille|Georges Bataille]], [[w:Peter Sloterdjik|Peter Sloterdjik]] ou [[w:Mehdi Beladj Kacem|Mehdi Beladj Kacem]] invoque aussi le [[w:cynisme|cynisme]] stoîcien et son influence sur la psychanalyse. Il faut différencier le trait d’esprit ('''épargne de l’énergie psychique''' qui, par l’inhibition ou la répression, sert à maintenir inconsciente l’idée qu’exprime le mot d’esprit), du comique ('''épargne de représentation''', en mettant en scène de façon condensée des idées qui nécessiteraient une grande mobilisation de moyens verbaux) et de l’humour ('''épargne d’affects''')<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-1-page-63.htm L'humour des patients schizophrènes], Cairn</ref>. Le rire, comparable à la "honte anale (qui) vise le lâchage du contrôle (est une) honte sexuelle (qui) joint la décharge du rire à la décharge orgastique, et l’exhibition du rire rejoint l’exhibition du sexe féminin"<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2017-1-page-45.htm Le propre de la femme ? Le rire de Sarah et de Déméter], Cairn</ref>. Le triomphe et la culpabilité d’avoir inversé l’ordre générationnel personnifie dans le réel, pour le parent, l’autorité grand-parentale. Pour Freud, la crédulité de l’amour devient une source importante, sinon la source originelle de l’autorité. Le rapport moi/surmoi devient homomorphe (pareil et pas pareil) au rapport enfant/parent. (voir aussi la comparaison avec [[w:Louis XIV|Louis XIV]] de [[w:Fénelon|Fénelon]] dans [[w:Les Aventures de Télémaque (Fénelon)|Les Aventures de Télémaque (Fénelon)]], la grâce du suicide chez [[w:Catherine Millot|Catherine Millot]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2005-2-page-163.htm La passion du renoncement], Cairn</ref>, l'optimisme de [[w:Candide|Candide]] de [[w:Voltaire|Voltaire]] et la vision du videngeur d'excréments chez [[w:Yuko Mishima|Yuko Mishima]]) ===== Le [[w:La Psychanalyse du feu|Complexe de Prométhée]] ===== Prométhée signifie "celui qui pense avant" ; son jumeau, [[w:Épiméthée|Épiméthée]], "celui qui pense après". [[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]] en fait un complexe d'Œdipe de la vie intellectuelle<ref>[http://www.psydoc-france.fr/conf&rm/conf/endeuilles/textesexperts/WALTER.pdf Les mecanismes d'adaptation, de défense, de refoulement, Les sequelles psycho-pathologiques lors du deuil après suicide, Walter Brest], Psydoc France</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2012-1-page-19.htm Épistémophilie par Jacques Arveiller], Cairn</ref> [[w:Sublimation (psychanalyse)|épistemophilique]] (Lacan dit passion (terreur sans langage pour Anne Dufourmantelle) ''trumaine plutomythique'')<ref>[http://www.champlacanienfrance.net/IMG/pdf/L14MBousseyroux.pdf Un savoir comme enfer de Michel Bousseyroux], Champ Lacanien France</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-topique-2014-2-page-63.htm La pulsion épistémophilique : la place du savoir dans le transfert. Freud, Klein et Lacan], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-champ-psychosomatique-2005-2-page-109.htm La vie sexuelle de Catherine M. ou la nouvelle « Belle au bois dormant »], Cairn</ref>. Pour Mireille Guittonneau-Bertholet, les théories infantiles sur le suicide, dans un jeu paradoxal permettent de s’auto-engendrer et se déprendre de la figure d’un mort à laquelle ils ont été précocement identifiés<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=TOP_130_0113 Théories infantiles sur le suicide et tentative d’auto-engendrement], Cairn</ref> (reliance et déliance, sublimation, sexualité inactive ou homosexuelle après avoir converti sa sexualité inachevée (infantile) en une pulsion de savoir : voir [[w:Un souvenir d'enfance de Léonard de Vinci|Un souvenir d'enfance de Léonard de Vinci]], le syndrome de ''Trouble brain injury'' de Ruth Bettelheim, fille du psychanalyste suicidé<ref>[http://www.huffingtonpost.com/ruth-bettelheim/tbi-military-suicides_b_2108976.html Why Heroes Kill Themselves], Huffington Post</ref>, du [[w:graffiti|graffiti]] et des réseaux sociaux, désaffiliations provisoires, sans rémunération et/ou contre amende, du nom-du-père, père symbolique ou père mort<ref>[https://sejed.revues.org/185 Le psychologue à l’écoute des adolescents tagueurs], SEJED</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-perspectives-psy-2009-2-page-176.htm Scarifications et « représentation de peau »], Cairn</ref> « car en s'autographiant par la mise en scène d'un fantasme d'auto-engendrement, en surinvestissant (sentimental<ref>[http://leplus.nouvelobs.com/contribution/1237869-valerie-trierweiler-ou-le-tragique-surinvestissement-sentimental-des-femmes.html Valérie Trierweiler, ou le tragique surinvestissement sentimental des femmes], L’Obs</ref>, législatif<ref>[https://www.cairn.info/revue-archives-de-politique-criminelle-2012-1-page-31.htm Le surinvestissement législatif en matière d’infractions sexuelles], Cairn</ref>, numérique<ref>[https://www.cairn.info/devoreurs-d-ecrans--9782804702748-p-105.htm Le surinvestissement des espaces numériques], Cairn</ref>, éducatif<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-revue-internationale-de-l-education-familiale-2009-2-page-117.htm Le surinvestissement des mères coréennes pour la réussite scolaire des enfants], Cairn</ref>, sportif<ref>[https://www.cairn.info/revue-perspectives-psy-2006-2-p-157.htm Le surinvestissement sportif : une parade contre l’angoisse de la perte et l’intolérance à l’affect], Cairn</ref> ou du savoir<ref>[https://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2002-1-p-105.htm De la phobie scolaire au surinvestissement du savoir], Cairn</ref>) sa signature, oraison funèbre et ex voto »<ref>''Psychologie de la violence », de Christophe Bormans, 2004</ref> puisque comme dit Lacan : « c’est aussi bien, comme désir de mort en effet que l'homme s'affirme pour les autres que dans l’ambiguïté vitale de son désir immédiat ». L’Ecclésiaste le dit : « qui accroît sa science, accroît sa douleur. » ==== La Parthénogénèse ==== Il existe trois forme de parthénogénèse: le ''Complexe d'Hamlet'' (autocannibalisme), le ''Complexe de Thésée'' (parricide) et le ''Syndrome de l'imposteur'' (cannibalisme). ===== [[w:Hamlet|Le Complexe d'Hamlet]] ===== Pour [[w:Goethe|Goethe]], la pensée d'Hamlet inhibe son acte<ref>[http://www.lacanquotidien.fr/blog/wp-content/uploads/2013/11/LQ-349.pdf Hamlet et le désir], Lacan Quotidien</ref>. Il pense trop... et trop bien<ref>https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2002-1-page-221.htm</ref> avant de tuer Claudius (le frère de son père) qui a réalisé, son désir œdipien inconscient devenant alors ''phallus réel'', signifant en tant que tel de la puissance et cause de sa procrastination, après la rencontre avec le fantôme de son père qui entraîne sa "dépersonnalisation". Lacan fait dire à la mère d’Hamlet : « Je suis ce que je suis, avec moi il n’y a rien à faire, je suis une vraie [[w:Stade génital|génitale]]. Moi, je ne connais pas le deuil. Elle est simplement un con béant. Quand l’un est parti, l’autre arrive. C’est de cela qu’il s’agit. » Hamlet n’a plus de désir pour Ophélie qui a cessé d’être une femme mais une mère potentielle, ou le ''phallus''. (Voir le [https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2009-2-page-221.htm Complexe d’Oblomov]) L'indisponibilité de l'enfant désengendré par l’[[w:Incorporation (psychanalyse)|incorporation]] du parent de même sexe, détournant la composante incestueuse au profit d’un fantasme d’auto-engendrement, système défensif évitant le clivage, le deuil de la scène primitive et le sentiment d’usurpation, devient [[w:Parthénogénése|parthénogénétique]] (autocannibalique) et entraine un [[w:cannibalisme|cannibalisme]] polysémique rompant la chaîne transgénérationnelle en avalant son père et en s'accaparant sa toute-puissance<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-2-page-69.htm Apport de la clinique des groupes à la métapsychologie : le concept d’auto-engendrement de Jean-Bernard Chapelier], Cairn</ref>. » Selon René Kaës, « la parthénogénèse (reproduction monoparentale ou mono-engendrement) est une défense contre l'horreur de l'inceste : si l'enfant nait d'un coït, ce sera l'enfant abhorré d'un désir incestueux pour le frère<ref>[https://www.slate.fr/story/199503/inceste-fratries-freres-soeurs-cousin-tabou-parents-education-viol-agression-sexuelle-mineurs L'inceste fraternel, quand les parents de la victime sont aussi ceux de l'agresseur], Slate, 22 janvier 2021</ref>{{,}}<ref>[https://shs.cairn.info/revue-le-divan-familial-2003-1-page-145?lang=fr L'inceste fraternel, par Rosa Jaïtin], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://shs.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2013-1-page-99?lang=fr Filicide et destruction du lien fraternel, par Rosa Jaïtin et Philippe Robert], Cairn</ref> : par un rêve de parthénogénèse, la mère à venir se protège des dangers de ce désir<ref>Le travail de l'Inconscient, de René Kaës, p.26</ref>{{,}}<ref>[https://shs.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2016-10-page-837?lang=fr Inceste fraternel ou abus sexuel dans la fratrie ?, par Emmanuel de Becker], Cairn</ref> », par la diffraction du transfert<ref>[https://www.cairn.info/revue-de-psychotherapie-psychanalytique-de-groupe-2005-2-page-109.htmLes configurations du lien, la chaîne associative groupale et la diffraction du transfert, par Claudine Vacheret], Carin</ref>. On retrouve aussi cette description dans le ''Complexe de la Madone et de la Putain''. ===== Le [[w:Thésée|Complexe de Thésée]] ===== Dans son livre [[w:Dostoïevski et le parricide|Dostoïevski et le parricide]], Freud évoque le masochisme appaisé par les situations les plus dures qui deviennent comme de véritables respirations<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2007-2-page-119.htm Dostoïevski et le parricide : du fantasme de l'amour du père au fantasme du meurtre du père par Annie Miriel], Cairn</ref>. Jean Ménéchal y voit la digestion du père par l'enfant endeuillé par le suicide<ref>[https://www.cairn.info/psychanalyse-et-politique--9782749209234-p-137.htm Le complexe de Thésée], Cairn</ref>. De la perversion à la sublimation (élévation symbolique d’un objet imaginaire à la dignité de la Chose réelle<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2002-2-page-57.htm À quoi sert la sublimation ? de Baldine Saint Girons], Cairn</ref>), s'élabore une structure hystérique et parricide<ref>[https://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2009-1-page-5.htm L’hystérie masculine], Cairn</ref>, basée sur l'alliance et une fraternité dépassant le cadre familial. Pour [[w:René Girard|René Girard]], on ne peut aimer que par le truchement d'un tiers (ici le père), dans une configuration triangulaire et nihiliste, dont le désir mimétique et dégradé entraine la violence (ici le suicide)<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2007-2-page-93.htm Pour en finir avec le XXe siécle et ses éternelles adolescences, un roman d’éducation pour le troisième millénaire], Cairn</ref>. [[w:Bertrand Gervais|Bertrand Gervais]] y voit un [[w:Trouble dissociatif de l'identité|Trouble dissociatif de l'identité]] labyrinthique. [[w:René Kaës|René Kaës]] dit : "Comme Œdipe, Thésée part a la recherche de son pére et le tue, mais il sait au départ qui est son pére, et c’est indirectement qu’il provoque sa mort. De même. l'inceste de Thésée est déplacé de la mére sur une belle sœur ; celui de [[w:Phèdre (mythologie)|Phèdre]] est déplacé du fils sur le beau-fils, [[w:Hippolyte fils de Thésée|Hippolyte]]. Dans le destin de Thésée, le complexe d'Œdipe ne s'exprimera que par des actes manqués. Dans celui d'Œdipe, il ne s'exprimera que par des actes réussis (la réussite de l’acte fait l’échec du rapport)<ref>''Le travail de l'Inconscient: Textes choisis, présentés et annotés'', de René Kaës, Didier Anzieu</ref>." ===== Le [[w:Syndrome de l'imposteur|Syndrome de l'imposteur]] ===== L'indisponibilité et l'incorporation cannibalique et nihiliste est assimilable a ce que [[w:Karl Marx|Marx]] et [[w:Georg Lukacs|Lukacs]] nomment la [[w:réification|réification]] (traitement du sujet comme un objet propre à la [[w:Névrose obsessionnelle|Névrose obsessionnelle]] [[w:Toute-puissance (psychanalyse)|toute-puissante]]), contre laquelle, le suicide devient un pur acte précurseur philosophique (Lukacs) et une ambiguïté parfaite contre la [[w:Société du spectacle|Société du spectacle]] ([[w:Guy Debord|Debord]]). Elle est le fruit de la ''Société du Suicide'' ([[w:Jean Baudrillard|Baudrillard]]), de l’exclusion des journalistes dans l’entre-deux-guerres (Naït-Bouda)<ref>[http://communication.revues.org/5104 Vers un journalisme réifié ?], Revues</ref> et du processus d'[[w:Autofiction|autofiction]] de la [[w:Téléréalité|téléréalité]] (Bouchoux<ref>[http://www.huffingtonpost.fr/2015/10/21/mon-roi-maiwenn-echapper-pervers-narcissique_n_8345592.html "[[w:Mon Roi|Mon Roi]]" de [[w:Maïwenn|Maïwenn]]: Comment échapper au pervers narcissique ?], The Huffington Post</ref>), propre au perfectionnisme sceptique<ref>[https://www.cairn.info/stanley-cavell-le-cinema-et-le-scepticisme--9782130569732.htm Stanley Cavell, le cinéma et le scepticisme par Élise Domenach], Cairn</ref> qui voit dans l’[[w:Identification projective|Identification projective]] au ''faux père réel'', brouillage du [[w:Trait unaire|Trait unaire]], une forme de [[w:Perversion narcissique|perversion narcissique]], dont la victime machiavélique<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2007-1-page-203.htm Virilité en perte par Silvia Lipp], Cairn</ref> devient, selon Simone Korff-Sausse, [[w:cannibalisme|cannibale]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2003-3-page-943.htm Hystérie et perversion : le pervers narcissique], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/article.php?ID_REVUE=RFP&ID_NUMPUBLIE=RFP_673&ID_ARTICLE=RFP_673_0925 Korff-Sausse S., La femme du pervers narcissique, Revue française de psychanalyse 2003/3, Volume 67, p. 925-942.], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://fr.sott.net/article/3963-La-victime-oubliee-les-femmes-qui-aiment-les-psychopathes], Sott</ref>. L'imposteur doit à tout prix imposer sa certitude à la crédulité de sa victime<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2010-1-page-11.htm L'imposture héroïque], Cairn</ref>. On pense aussi au cas de maternités ou de paternités imposées. « Le héros est celui qui peut impunément être trahi » (Séminaire VII, p. 370)<ref>[https://lacanquotidien.fr/blog/2012/01/on-en-parle/ On en parle], Lacan quotidien</ref>. Les cas de « rage narcissique » ([[w:Heinz Kohut|Heinz Kohut]])<ref>[http://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2004-2-page-41.htm Le crime d’amour-propre], Cairn</ref>{{,}}<ref>[http://www.adhes.net/la-perspective-de-heinz-kohut-paul-denis.aspx La perspective de Heinz Kohut Paul Denis], Adhes</ref>, de « narcissisme criminel » ([[w:Jean-Claude Romand|Jean-Claude Romand]]) fait dire à Freud, les criminels, conscients de leur culpabilité, passent à l’acte pour se libérer d'une tension afin d’obtenir une punition masochiste, elle aussi, source de soulagement contre la souffrance (le signifiant représente le sujet pour un autre signifiant, emprisonnement du sens non délivré par le surmoi, diplopie du moi, surimpression paraphrénique), propre aux affabulations de [[w:Pinocchio|Pinocchio]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-lettre-de-l-enfance-et-de-l-adolescence-2010-1-page-59.htm L’impensable mise à mort de Pinocchio. Quand la fiction échappe à son créateur], Cairn</ref>. "Dans cette occurrence, l’objet interne externalisé est frappé à mort. À l’inverse, lors du suicide mélancolique, c’est l’objet externe internalisé qui est visé", dit Guy Roger<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2005-1-page-9.htm Désir d’amour], Cairn</ref>. === L’Épiphylogénèse === La question de la transmission du comportement suicidaire à l'enfant endeuillé par le suicide nous conduit à étudier dans ''Technique et Temps : La faute d’[[w:Épiméthée|Épiméthée]]'', ce que [[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]] nomme épiphylogénèse (passé hérité qui n'a pourtant pas été vécu, évolution non génétique supposant l’hérédité de l’acquis<ref>[http://arsindustrialis.org/epiphylogénèse- Epiphylogenese], Ars Industrialis</ref>, principe transformisme lamarckien<ref>https://www.youtube.com/watch?v=_0_OVnxfhw0</ref>) dite rétention tertiaire ou la mémoire extériorisée dans des organes mnémotechniques, des mémoires matérialisées et extériorisées (arraisonnées, stockées dans des mémoires artificielles, Autre de l’Autre réel, impossible, faire qui nous échappe<ref>[http://www.aefl.fr/pdf_journees_sinthome/Commentaire%20de%20la%20Leçon%20IV%20du%20séminaire%20Le%20Sinthome.pdf Le sinthome], AEFL</ref>.), font disparaître ce qui est là, remodèle le rapport de la conscience à ce qui arrive et supprime notre disponibilité au monde<ref>[http://rhuthmos.eu/IMG/pdf/benjamin_fernandez_le_temps_du_monde.pdf Benjamin Fernandez, Le temps du monde], Ruthmos</ref>. Nous partirons de la Parthénogénèse (stade oral) pour comprendre comment l’auto-désengendrement<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2003-4-page-27.htm# La parentalité : un nouveau concept pour quelles réalités ?, la place du père de François Marty], Cairn</ref> de l'enfant (stade anal) peut conduire à sa réification dit syndrome du kamikaze (stade phallique). ==== L’Auto-désengendrement ==== Il existe trois formes d'auto-désengendrements: ''Complexe de Laïos'' (avortement), ''Complexe de Médée'' (infanticide) ou ''Effet Golem'' (maltratance). ===== Le [[w:Laïos|Complexe de Laïos]]<ref>[https://www.cairn.info/resume.php?ID_ARTICLE=RFP_G1993_57N2_0551 Le complexe de Laïos selon John Munder Ross par Cléopâtre Athanassiou], Cairn</ref> ===== La réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} par l’[[w:Infanticide|euthanasie néonatale]]<ref>[http://www.ieb-eib.org/fr/pdf/etude-je-ne-veux-pas-de-cet-enfant.pdf Je ne veux pas de cet enfant], Leb eib</ref>. [[w:Roland Gori|Roland Gori]] voit l’objet de la haine du sujet comme la part innommable de l’être échappant à l’appropriation, à jamais perdue au champ de la parole<ref>[https://www.cairn.info/revue-cliniques-mediterraneennes-2003-2-page-131.htm Lacan, le symbolique et le signifiant de Patrick Juignet], Cairn</ref> et du langage. Pour Kyveli Vogiatzoglou, c’est la passion du sujet qui vise la destruction de son objet, pour éradiquer l'autre, jusqu'à forclore le terme même de l'altérité, en se retirant du lien social, fondé sur le symbolique, pour abolir la différence, et « lutter contre la désorganisation psychique et la dépersonnalisation (la non-reconnaissance de l’image spéculaire dit Lacan)», dit Paul Denis<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?publication_cdl=la-haine La Haine], SPP</ref>. Elle peut conduire au [[w:Syndrome de Silverman|Syndrome de Silverman]] et au [[w:Syndrome de Münchhausen par procuration|Syndrome de Münchhausen par procuration]]. ===== Le [[w:Médée|Complexe de Médée]] ===== Il illustre la réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} par la réduction de l'enfant à un statut de pur objet réel, expression d’un fantasme d’[[w:anéantissement|anéantissement]] (question du sacrifice et de l’auto-appropriation chez [[w:Jean-Luc Marion|Jean-Luc Marion]] et [[w:Jan Patočka|Jan Patočka]]<ref>[https://www.bnf.fr/fr/mediatheque/jean-luc-marion-et-la-question-du-sacrifice Jean-Luc Marion et la question du sacrifice], BNF</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/le-complexe-de-medee--9782804159054.htm Le complexe de Médée : Quand une mère prive le père de ses enfants par Alain Depaulis], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-enfances-et-psy-2009-3-page-111.htm Infanticide et sacrifice], Cairn</ref>, rupture avec une solitude radicale ([[w:Dilemme du hérisson|Dilemme du hérisson]]), pas par l’isolement mais par la mise en spectacle de son irréductible différence, abréaction pour devenir « plus femme que mère », car « elle est tout simplement ailleurs » dit [[w:Caroline Eliacheff|Caroline Eliacheff]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2010-1-page-77.htm Médée, une lecture de la haine à la lumière de la clinique mère-enfant]</ref>. Elle est [[w:nécrophile|nécrophile]] (Sophie de Mijolla-Mellor), lorsque son prédateur, fasciné par son [[w:inquiétante étrangeté|inquiétante étrangeté]] (doute qu’une chose soit morte ou vivante), provoque un trouble désorganisateur du sujet dont la perversion se déplace du fétichisme (qui a trait au désaveu, ou à la « répudiation ») au masochisme originaire<ref>[https://www.cairn.info/revue-multitudes-2006-2-page-53.htm Deleuze avec Masoch par Éric Alliez], Cairn</ref>, ne pouvant s’appliquer à lui-même cette exigence de jouir sans libido, selon Lacan, il l’applique au partenaire, objet d’un forçage (sadisme, exhibitionnisme, voyeurisme, nécrophilie) par le [[w:racket|racket]], l’escroquerie, âme de la perversion (« Le voleur cherche sa mère », nous dit Winnicott<ref>[http://www.cairn.info/revue-psychanalyse-2006-2-page-55.htm La (dé)mission perverse de Pierre Bruno], Cairn</ref>. Lacan disait "La perversion est l'essence de l'homme"<ref>[L’enfant, objet a de Lacan d'Alain Vanier], Cairn</ref>. Le viol sans prédation devient un viol induit, non captatif, sans rapt ni prise d'otage, sans effet de surprise, qui répond à un désir de [[w:Corruption de mineur|corruption]], de "dévastation" et de "déprédation" sans désir d'appropriation<ref>[https://www.cairn.info/revue-l-information-psychiatrique-2008-3-page-193.htm 2008/3 La perversion narcissique, un concept en évolution d'Alberto Eiguer], Cairn</ref>. A contrario, la mère abandonneuse, abandonnée dans un premier temps, reproduit son propre déracinement, en livrant ses enfants à un orphelinat, à une vie sans père ou à une famille dysfonctionnelle. L’enfant abandonné, fruit d'un abandon social, est jalousé, a fortiori, associé à tort à une déficience voir un handicap<ref>https://shs.cairn.info/deficient-mental-et-la-psychanalyse--2913376428?lang=fr</ref>. ===== Le Complexe de l’[[w:Homo sacer|Homo sacer]] ===== L'[[w:Effet Golem|Effet Golem]], l'[[w:Acrasie|acrasie]], le management de l'intimidation, du découragement du plus faible<ref>[https://www.cairn.info/revue-sociologie-2015-2-page-195.htm?fbclid=IwAR3C1sYHiSKEVvS1yAQCZorrQh0xYaK6jhDTjgvWdBsQtSy-9Rqmk3x3YhA# Que peuvent dire les suicides au travail ? Christian Baudelot et Michel Gollac], Cairn</ref>, proche du ''Complexe de Prospero'' (paternalisme agressif), [[w:Syndrome Queen Bee|Syndrome Queen Bee]] (patronnes misogynes), ''Effet spectateur'' (ou [[w:Effet du témoin|Effet du témoin]]) ou [[w:Effet Matthieu|Effet Matthieu]] (encouragement du plus fort)<ref>[http://www.arches.ro/revue/no01/no1art8.htm Le passé de l'idéalisation Une interprétation du mythe de Pygmalion, de Corneliu Irimia], Arches</ref>, cette réification de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}}, [[w:solipsisme|solipsisme]], emprise, [[w:Pensée désidérative|Pensée désidérative]] [[w:biais d'optimisme|biais d'optimisme]] ou [[w:Effet Pygmalion|Effet Pygmalion]], perversion d'une jouissance sans libido (Verbicide<ref>[https://www.cairn.info/revue-cahiers-du-genre-2015-1-page-135.htm Verbicide. D’une vulnérabilité qui n’ose dire son nom d'Alyson Cole], Cairn</ref>, [[w:Faute de la victime (psychologie)|Faute de la victime]], non-dénonciation, disqualification [[w:Performativité|performative]]<ref>[https://www.idixa.net/Pixa/pagixa-1409071659.html], Idixa</ref>, [[w:Gaslighting|détournement cognitif]], déconstruction, dissociation, contre-initiation allant jusqu'au crime pédophile, voir aussi le ''Complexe de Cratée''), [[w:pulsion de mort|pulsion de mort]] de la possessivité car le gouffre entre le désir, toujours irréalisé et la demande toujours croissante pour tenter en vain de le rejoindre, ne peut alors que s’accroître. Son besoin d’emprise et de passiver, veut l’inclure comme une mère peut porter un enfant<ref>[https://www.cairn.info/revue-topique-2008-3-page-7.htm Le fantasme de Pygmalion, de Sophie de Mijolla-Mellor], Cairn</ref>. Lacan parle de jalouissance<ref>[http://www.franceculture.fr/emission-l-essai-et-la-revue-du-jour-la-jalousie-une-passion-inavouable-revue-la-clinique-lacanienne Jacques Munier], France Culture</ref>{{,}}<ref>[http://www.cairn.info/revue-l-en-je-lacanien-2008-1-page-93.htm La jalouissance et le plaisir], Cairn</ref> (mélange de la jalousie de la jouissance de l’autre et du plus-de-jouir<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2013-1-page-197.htm Le plus-de-jouir par Gisèle Chaboudez], Cairn</ref> que confère le sentiment de jalousie, une rivalité imaginaire) voir « le ravage<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2016-4-page-123.htm « La putain de sa mère ». Insulte et ravage dans le lien mère-fille], Cairn</ref> (jalousie inconsciente, cf [[w:Le Ravissement de Lol V. Stein|Le Ravissement de Lol V. Stein]], [[w:Pathological jealousy|syndrome d'Othello]])<ref>[http://atelierlorient.viabloga.com/files/BrassierLolVstein.pdf Lol V.Stein : du ravissement au ravage], Atelier Liorent</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2005-5-page-1613.htm Marguerite Obscur Donnadieu Duras : “ Sublime, forcément sublime ”], Cairn</ref>. Cette haine jalouse invente l’[[w:Objet a|Objet a]] et le fait surgir comme une tentative de rendre plus consistant l’objet du fantasme dans la névrose hystérique (ennui de vivre, « L’hystérique dit toujours la vérité. », dit Lacan). », nous dit Marie-Francois Haas<ref>[http://www.champlacanienfrance.net/IMG/pdf/Haas_M46.pdf La folie de l’amour : spécificité de la jalousie féminine], Champ lacanien</ref>, comme dans les cas de [[w:Trouble oppositionnel avec provocation|Trouble oppositionnel avec provocation]]. L'œdipe inversé contrarié, est un conflit avec le parent de sexe opposé et un désir homosexuel pour celui de même sexe, par défaut, qui lui est ensuite refusé, à nouveau. Pour [[w:Ariane Bilheran|Ariane Bilheran]], le [[w:Harcèlement|harcèlement]] (asymétrique) qui s'oppose au conflit (symétrique), même sexuel ou physique (torture), reste psychologique, vise la destruction psychologique et l'autodestruction, propre à la démocratie, où le harcèlement physique et sexuel, est interdit, propre au modèle totalitaire du sort de l'Homo sacer, décrit par [[w:Giorgio Agamben|Giorgio Agambenn]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-champ-psy-2015-2-page-141.htm Harcèlement sexuel et traumatisme psychique : aspects cliniques et psychopathologiques Khadija Chahraoui], Cairn</ref>. Christian Sommer rappelle que son étymologie arabe ''herse'', suggère qu'elle doit d'abord et pendant longtemps se faire précéder par une charrue<ref>[https://www.cairn.info/mythologie-de-l-evenement--9782130654339-page-165.htm Épilogue. Après le dernier dieu de Christian Sommer], Cairn</ref>. On distingue harcèlement moral (calomnie, placard, dénonciation, divulgation, Disclosure, Sharenting), du harcèlement de rue (Catcalling), de la traque furtive [[w:Stalking|Stalking]]: le « rejeté » pourchasse, le « rancunier » traque, se venge, terrorise, l' « âme-sœur » s’immisce, le « prétendant maladroit » va vers ceux en couple, le « prédateur » espionne, attaque). ==== L’[[w:Ontophylogenèse|Ontophylogénèse]] ==== La parenté phylogénétique, le rapport au tiers exclu protogénétique et la transformation finale ontogénétique, sont des causes endogamiques du suicide. Le rapport contextuel épigénétique, la transmission du non vécu ėpiphylogėnėtiques sont en revanche des effets exogamiques, où la séparation devient communication (stade oral primitif dans une perspective non kleinienne), ce que [[w:Simone Weil|Simone Weil]], après [[w:Platon|Platon]], nomme le [[w:Metaxu|Metaxu]], structure ontophylogénétique des EES. Il existe trois formes d'ontophilogénèse : le ''Syndrome de Bonnie & Clyde'' (identification à l’agresseur), l'Auto-réification (normopathie) et la ''Théorie du Kamikaze'' (devenir-media). ===== Le Syndrome de Bonnie & Clyde ===== L’[[w:Hybristophilie|Hybristophilie]] ou syndrome de Bonnie & Clyde, l’Enclitophilie, le [[w:Complexe de Cendrillon|Complexe de Cendrillon]] et ''[[w:Syndrome de Peter Pan|de Peter Pan]]'', participent au [[w:Identification à l'agresseur|processus d'Identification à l'agresseur]], propre à l’[[w:Hystérie|hystérique]], de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suscide}} peut s’apparenter alternativement au syndromes de [[w:Syndrome de Stockholm|Stockholm]] et de [[w:Syndrome de Lima|Lima]]. L'auto-réfication peut devenir un [[w:Syndrome de Münchhausen|Syndrome de Münchhausen]] dans le cas du désir de [[w:Myrrha|Myrrha]] pour son père, avant d’être métamorphosée en arbre, se fissurant pour donner vie à l’enfant œdipien, [[w:Adonis|Adonis]] qui, à son tour, séduira [[w:Vénus|Vénus]]. [[w:Axel Honneth|Axel Honneth]]<ref group=Note>Dans son [http://www.contretemps.eu/interventions/psychanalyse-théorie-sociale-psychanalyse-est-elle-facteur-émancipation article] « Le travail de la négativité. Une révision psychanalytique de la théorie de la reconnaissance », [[w:Axel Honneth|Axel Honneth]] dit de la psychanalyse qu'elle a un potentiel normatif et un potentiel explicatif. Sur le plan normatif, elle permet de répondre à l’exigence de ne pas « présumer trop des forces rationnelles du sujet », de donner une place aux forces de liaison inconscientes non rationnelles du sujet.</ref> distingue la réification « authentique » et inconsciente (le génocide, la guerre, l’esclavage économique…) et la réification « fictive » consciente (présentation instrumentale de soi, prostitution, cruauté interpersonnelle<ref>[http://www.cairn.info/revue-du-mauss-2011-2-page-259.htm Réification et reconnaissance. Une discussion avec Axel Honneth], Cairn</ref> et tendresse (question de la continence)<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-4-page-1073.htm La pulsion de cruauté de Dominique Cupa], Cairn</ref> alternées par autoconservation (oralité, faim)<ref>[https://www.spp.asso.fr/publication_cdl/tendresse-et-cruaute/ Tendresse et cruauté], stp asso</ref>, pitié, syndrome d'[[w:Antigone|Antigone]] (désengendrement comme chez Marie-Antoinette ou Annie Ernaux, dont le refus de transmission vient d’un défaut de transmission), syndrome d'[[w:Ismène|Ismène]] (sœur résignée d’[[w:Antigone|Antigone]]) du trouble psychique des femmes occidentales, nées entre 1950 et 1965, dite « génération de la misère sexuelle<ref>[http://www.youscribe.com/catalogue/ressources-pedagogiques/litterature/theatre/antigone-et-ismene-ou-le-conflit-entre-la-revolte-et-la-sagesse-2396490 Antigone et Ismene ou le conflit entre la revolte et la sagesse], Youscribe</ref>. ») ===== Le [[w:Appel à Galilée|Syndrome de Galilée]] ===== Honneth s'interroge sur le concept d{{'}}''auto-réification'', comme oubli de la reconnaissance de soi<ref>[http://www.revue-mitwelt.fr/publication-honneth-la-reification-comme-oubli-de-la-reconnaissance-1.html Honneth: La réification comme oubli de la reconnaissance], Revue Mitwelt</ref>, attitude objectivante par rapport à sa propre subjectivité. La réification devient le fruit abîmé et pourri de cet oubli<ref>[http://www.implications-philosophiques.org/ethique-et-politique/philosophie-politique/le-concept-de-reification-comme-absence-et-oubli/ Le concept de réification comme absence et oubli], Implications philosophiques</ref>. On peut y voir ici une forme de [[w:Normopathie|Normopathie]] et d’allusion aux travaux de [[w:Martin Heidegger|Martin Heidegger]], pour qui le « [[w:nihilisme|nihilisme]] », réduction de l'être à l'étant, corollaire de la « [[w:métaphysique|métaphysique]] » est « oubli de l'être », dans la [[w:technique|technique]] et où le Dasein serait un suicide qui dure toute la vie (volonté de puissance (Nietzsche), de volonté (Heidegger), de pureté ([[w:Bernard-Henri Lévy|Bernard-Henri Lévy]]) et d'oubli (Freud)) ; ou de [[w:Leo Strauss|Leo Strauss]], celui du [[w:positivisme|positivisme]] scientifique et l’[[w:historicisme|historicisme]], dans la lignée de [[w:Hegel|Hegel]] et d'[[w:Auguste Comte|Auguste Comte]]. C'est également la méthode qu'emploient les [[w:Négationnisme|négationnistes]] pour justifier leur sentiment de persécution<ref>https://www.conspiracywatch.info/negationnistes-quand-tombent-les-masques-1-2_a1005.html</ref>. ===== La Théorie du Kamikaze ===== L'homme dit non-civilisé ne serait alors pas un nihiliste (Arendt parlerait plus volontiers d'[[w:Acosmisme|acosmisme]]) qui nous renvoie au stade d'intrusion, de frustration, du miroir produisant fétichisme, addiciton et instrumentalisation. On pense au concept de Persona chez [[w:Carl Jung|Carl Jung]] et de ''Faux Self'' chez [[w:Donald Winnicott|Donald Winnicott]], à la deuxième peau des mannequins-chrysalides sans désir réel, auto-érotisés et narcissiques<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?publication_cdl=trendy-sexy-et-inconscient-regards-dune-psychanalyste-sur-la-mode Trendy, sexy et inconscient. Regards d’une psychanalyste sur la mode], SPP</ref>, aux casques des [[w:Daft Punk|Daft Punk]] ou de Winslow Leach dans [[w:Phantom of the Paradise|Phantom of the Paradise]], à [[w:Frankenstein|Frankenstein]] (cas des médecins déportés, créatures des médecins SS, à la manière de [[w:Magneto|Magneto]]<ref>https://www.cairn.info/revue-revue-d-histoire-de-la-shoah1-1997-2-page-81.htm</ref>), à la [[w:Collection de squelettes du professeur Hirt|collection de squelettes juifs du professeur Hirt]], au [[w:Clonage|clonage]], au transsexualisme, indifférentiation qui « prend l’organe pour le signifiant, le pénis réel pour le phallus symbolique » (Lacan)<ref>http://trans.info.free.fr/sm%20mingot.pdf</ref>{{,}}<ref>https://mondesfrancophones.com/espaces/psyches/linteret-pour-la-psychanalyse-dans-les-travaux-de-judith-butler-entretien-avec-livio-boni/</ref> sans passage du syndrome au sinthome<ref>[https://www.elan-retrouve.org/wp-content/uploads/2023/07/REP2_029_0021-Transidentite-et-psychanalyse-partir-dune-autre-base-HUBERT.pdf Transidentité et psychanalyse : partir d’une autre base par Hervé Hubert]</ref> permettant l'identification au symptôme "heureux"<ref>[https://shs.cairn.info/revue-champ-lacanien-2015-2-page-9?lang=fr Nouvelle économie sexuelle par Colette Soler]</ref> et atteindre la [[w:Complexe de castration|castration]], à la mort de [[w:Socrate|Socrate]] et au concept de [[w:Buzz (marketing)|Buzz]] : le consommateur potentiel devient lui-même le média dit [[w:Laurent de Sutter|Laurent de Sutter]] ; le média devient l'objet de la communication et non son moyen, sur le modèle de la théorie des médias de [[w:Marshall McLuhan|Marshall McLuhan]]<ref>[https://diacritik.com/2017/01/12/laurent-de-sutter-le-kamikaze-est-comme-nous-un-etre-mediatique-le-grand-entretien/ Laurent de Sutter : «Le kamikaze est comme nous, un être médiatique» (Le grand entretien)], Diacritik</ref>.{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/revue-adolescence1-2010-2-page-331.htm Violon ». La tentative de suicide d’une adolescente : travail de deuil et sublimation], Cairn</ref>. ==== La [[w:Morphogenèse|Morphogenèse]] ==== Nous analyserons comment les enfants endeuillés par le suicide médiatisent leur rapport au parent suicidé par une volonté de savoir ([[w:épistémologie|épistémologie]] [[w:Morphogenèse|morphogénétique]]) (stade oral). L’enfant, comme dans les romans de [[w:Paul Claudel|Paul Claudel]], [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]] ou [[w:Witold Gombrowicz|Witold Gombrowicz]], trahit le signifiant qu’il ne supporte plus (stade sadique oral dit de la morsure)<ref>[http://antioedipe.unblog.fr/2007/09/11/de-claudel-a-gombrowicz-ou-de-lacan-a-deleuze-deux-lectures-de-linconscient/ De Claudel à Gombrowicz, ou de Lacan à Deleuze-Guattari : la question de la dignité], Antioedipe</ref>, qui crée l'érosion du sujet et la question de son irremplaçabilité ([[w:Baïonnette intelligente|Baïonnette intelligente]]). Le concept de [[w:Champ_morphogénétique|Morphogenèse]]) de [[w:Ross Granville Harrison|Ross Granville Harrison]] et [[w:Alan Turing|Alan Turing]] qui ont influencé la ''[[w:Théorie des catastrophes|Théorie des catastrophes]]'' de [[w:René Thom|René Thom]], ''la généalogie morphologique du structuralisme'' de [[w:Jean Petitot (philosophe)|Jean Petitot]], la [[w:Formule canonique du mythe|Formule canonique du mythe]] de [[w:Claude Lévi-Strauss|Claude Lévi-Strauss]] et la [[w:Théorie du chaos|Théorie du chaos]] nous interrogeront sur les stades de développement de l'EES, en prénatal (stade des sirènes), au stade oral (stade de la morsure) et anal (syndrome d'Ulysse). ===== Le Stade des sirènes ===== Théoricien de l"’auto-accouplement" et de "l'appartement-monde"<ref>https://zone-critique.com/2022/12/21/nathan-devers-le-nom-du-joueur-est-un-nom-dauteur/</ref>, [[w:Peter Sloterdjik|Peter Sloterdjik]] y voit ''Le stade des sirènes. De la première alliance sonosphérique'' (olfactif/foetal chez [[w:Françoise Dolto|Françoise Dolto]]), en référence au personnage d'[[w:Ulysse|Ulysse]] (etymo. Oddyseus, "faché, énervé, hainteux"). L'oreille est l'orifice le plus important, le plus offert car il ne peut pas se clore (indépendance de la fonction symbolique<ref>[http://virole.pagesperso-orange.fr/NatStrucLSF.pdf La langue des signes des sourds], Benoit Virole</ref>). Devenir sourd est une castration qui fracture l'image spéculaire. La voix non entendue, qui reste en suspens créant des « mal-entendus » réduite à un ''flatus vocis'' qui ne peut que faire écho à celle des autres et les autres voix lui font écho<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2008-2-page-71.htm Psychanalyse et clinique de la surdité], Cairn</ref>. On pense au travaux de [[w:Francisco Goya|Francisco Goya]], [[w:Ludwig van Beethoven|Ludwig van Beethoven]], [[w:Helen Keller|Helen Keller]] et [[w:Thomas Edison|Thomas Edison]]. Pour [[w:Blaise Cendrars|Blaise Cendrars]], "Notre premier sens individuel est l’oreille qui perçoit les rythmes de notre vie particulière, individuelle. C’est pourquoi toutes les maladies commencent par des troubles auditifs qui sont, comme des éclosions de la vie sous-marine, la clé du passé et les prémices d’un devenir intarissable." {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Années 580 av. J.-C.|580 av J.-C.]]: [[w:Arignote|Arignote]], [[w:Myia|Myia]], [[w:Damo (philosophe)|Damo]], Telauges, Mnesarchus, enfants de [[w:Pythagore|Pythagore]] * [[w:Ier siècle av. J.-C.|Ier s av. J.-C.]] : [[w:Alexandre Helios|Alexandre Helios]], [[w:Cleopatre Selene|Cleopatre Selene]] et [[w:Ptolemee Philadelphe|Ptolemee Philadelphe]], de [[w:Cleopatre|Cleopatre]] et [[w:Marc-Antoine|Marc-Antoine]]. * [[w:30|30]]-[[w:65|65]] : [[w:Claudia Augusta|Claudia Augusta]], fille de [[w:Néron|Néron]] et [[w:Poppée|Poppée]] * [[w:XVIe siècle|XVIe s]] : [[w:Yodo-dono|Yodo-dono]], [[w:Hatsu|Hatsu]] et [[w:Oeyo|Oeyo]], filles de [[w:Azai Nagamasa|Azai Nagamasa]] ** [[w:Oda Nobutada|Oda Nobutada]], [[w:Oda Nobukatsu|Nobukatsu]], [[w:Oda Nobutaka|Nobutaka]], [[w:Oda Katsunaga|Katsunaga]], [[w:Hashiba Hidekatsu|Hashiba Hidekatsu]], [[w:Tokuhime|Tokuhime]], enfants d'[[w:Oda Nobunaga|Oda Nobunaga]] * [[w:1863|1863]] : [[w:Victor Basch|Victor Basch]], fils de Fanny et [[w:Raphaël Basch|Raphaël Basch]] * [[w:1886|1886]] : [[w:Alexandre Stavisky|Alexandre]], fils d'Emmanuel Stavisky * [[w:1891|1891]] : Hélène Marie et Marcelle, filles de [[w:Georges Boulanger|Georges Boulanger]] * [[w:1893|1893]] : Frédéric et Mireille, enfants de [[w:Berty Albrecht|Berty Albrecht]] * [[w:1895|1895]] : Lucie, Louise, Marie, Denis, enfants de [[w:Jean Coutrot|Jean Coutrot]] * [[w:1900|1900]] : [[w:Wolfgang Pauli|Wolfgang Pauli]], fils de Bertha Camilla Schütz * [[w:1901|1901]] : [[w:Vassili Djougachvili|Vassili]] et [[w:Svetlana Allilouïeva|Svetlana]], fils de [[w:Nadejda Allilouïeva-Staline|Nadejda Staline]] * [[w:1903|1903]] : Anne&Claude-Pierre, de [[w:Pierre Brossolette|Pierre Brossolette]]<ref>[http://teleobs.nouvelobs.com/la-selection-teleobs/20150521.OBS9375/les-enfants-de-pierre-brossolette-temoignent.html Les enfants de Pierre Brosolette temoignent], Le Nouvel Observateur</ref> * [[w:1905|1905]] : Arnold, Adelheid et Olaf, enfants de [[w:Kurt Gerstein|Kurt Gerstein]] * [[w:1919|1919]] : Étienne, fils de [[w:Nicole Girard-Mangin|Nicole Girard-Mangin]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1927|1927]] : François, fils de [[w:Jean Fontenoy|Jean Fontenoy]] * [[w:1930|1930]] : Paul, Régis et Pierre de [[w:Gérard Blain|Gérard Blain]] * [[w:1934|1934]] : [[w:Wolf Rüdiger Hess|Wolf]], de [[w:Rudolf Hess|Rudolf Hess]] * [[w:1934|1934]] : [[w:Jacques Chessex|Jacques Chessex]] * [[w:1945|1945]] : Cristina Graetz, fille d'[[w:Arthur Koestler|Arthur Koestler]] * [[w:1921|1921]] : [[w:Harald Quandt|Harald Quandt]], fils de [[w:Magda Goebbels|Magda Goebbels]] * [[w:1928|1928]] : [[w:Manfred Rommel|Manfred Rommel]], fils d'[[w:Erwin Rommel|Erwin Rommel]]<ref>[http://www.atlantico.fr/pepites/erwin-rommel-fils-revele-details-mort-593102.html Manfred Rommel revele les details de la mort de son pere], Atlantico</ref> * [[w:1941|1941]] : Maria et Géza, enfants de [[w:Pál Teleki|Pál Teleki]] * [[w:1941|1941]] : [[w:Slobodan Milosevic|Slobodan Milosevic]], de Svetavar&Stanislava M. * [[w:1944|1944]] : [[w:Marie-France Pisier|Marie-France Pisier]] et [[w:Évelyne Pisier|Évelyne Pisier]] * [[w:1966|1966]] : [[w:en:Paula White|Paula White]] * [[w:1966|1966]] : [[w:Christophe Castaner|Christophe Castaner]] * [[w:1973|1973]] : [[w:Rula Jebreal|Rula Jebreal]] * [[w:1982|1982]] : [[w:Édouard Bergeon|Édouard Bergeon]] * [[w:1986|1986]] : [[w:Charlotte Le BoncCharlotte Le Bon]], de Richard Lebon * [[w:2007|2007]] : [[w:Affaire Leprincen|Dany Leprince]], de Renée Leprince * [[w:2021|2021]] : Carmen Vázquez-Vigo, de [[w:Verónica Forqué|Verónica Forqué]] * [[w:2022|2022]] : Léo, de [[w:Philippe Nassif|Philippe Nassif]] * [[w:2025|2025]] : [[w:Édouard Philippe|Édouard Philippe]] |} ===== Le Stade de la morsure ===== [[w:Donald Winicott|Donald Winicott]] parle de stade sadique-oral, stade de la morsure qui suit le stade du suçotement, origine de toute agressivités et de l'amour-lutte<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-4-page-1157.htm Freud, Winnicott : les pulsions de destruction ou le goût des passerelles], Cairn</ref>. Freud évoque "La migraine hystérique accompagnée d’une sensation de pression au sommet du crâne, aux tempes et autre, (…) caractéristique des scènes où la tête est maintenue dans un but de pratiques buccales (...) (comme la) répulsion envers les photographes qui emploient un serre-tête"<ref>[http://www.regardconscient.net/archives/0212jakobfreud.html Freud et son père], Regard conscient</ref>{{,}}<ref>[http://ww3.haverford.edu/psychology/ddavis/ffliess.html Masson, J.M. (1985) (Ed.) The complete letters of Sigmund Freud to Wilhelm Fliess, 1887-1904. Cambridge: Harvard University Press. excerpts.]</ref>{{,}}<ref>https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-5-page-1447.htm Oralité et attachement par Bernard Brusset], Cairn</ref>. Mais pour vivre, il faut pouvoir intriquer les différents aspects des pulsions : non plus seulement « avaler », comme c’était le cas in utero, mais bien « téter », avec ce que cela comporte de fermeture du sphincter buccal, puis, très vite, « mordre », avec ce que cela comporte de délicat discernement entre l’objet que l’on tète et celui que l’on mord. Les mères qui continuent à allaiter un bébé au cours et au-delà de sa poussée dentaire peuvent témoigner de cette intrication. [[w:Mélanie Klein|Mélanie Klein]] dit : "Le désir libidinal de sucer s’accompagne du but restrictif d’aspirer, de vider, d’épuiser en suçant (fécondation orale)<ref>cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2001-5-page-1447.htm</ref>." La mise en acte ou [[w:Abréaction|abréaction]] délivre le sujet des "connexions de la paranoïa avec le complexe fraternel [qui] se manifestent par la fréquence des thèmes de filiation, d'usurpation, de spoliation, comme sa structure narcissique se révèle dans les thèmes plus paranoïdes ([[w:Délire d'interprétation de Sérieux et Capgras|interprétations délirantes]]) de l'intrusion, de l'influence, du dédoublement, du double et de toutes les transmutations délirantes du corps. Ces connexions s'expliquent en ce que le groupe familial, réduit à la mère et à la fratrie, dessine un complexe psychique où la réalité tend à rester imaginaire", nous dit Lacan. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1930|1930]] : [[w:André Malraux|André Malraux]] * [[w:1941|1941]] : [[w:Roland Jaccard|Roland Jaccard]] * [[w:1945|1945]] : [[w:Isabel Allende Bussi|Isabel Allende Bussi]], fille de [[w:Salvador Allende|Salvador Allende]] * [[w:1965|1965]] : [[w:Yoshiki|Yoshiki]] * [[w:1966|1966]] : Fils de [[w:Raoul Lévy|Raoul Lévy]] * [[w:1977|1977]] : Suse Baader, fille d'[[w:Andreas Baader|Andreas Baader]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Bertrand Boulin|Bertrand]] et [[w:Fabienne Boulin-Burgeat|Fabienne]], de [[w:Robert Boulin|Robert Boulin]] * [[w:1981|1981]] : David, fils de Harry Mayen et [[w:Romy Schneider|Romy Schneider]] * [[w:1986|1986]] : Catherine Hutin-Blay, fille de [[w:Jacqueline Roque|Jacqueline Roque]] * [[w:1993|1993]] : Pierre Beregovoy, fils de [[w:Pierre Beregovoy|Pierre Beregovoy]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1993|1993]] : Juan-Pablo et Manuela, enfants de [[w:Pablo Escobar|Pablo Escobar]] * [[w:1994|1994]] : Yvonne, fille de [[w:Stella Goldschlag|Stella Goldschlag]] * [[w:1994|1994]] : Henri, fils de [[w:François de Grossouvre|François de Grossouvre]]<ref>[http://tempsreel.nouvelobs.com/societe/20100522.OBS4325/la-these-du-suicide-de-francois-de-grossouvre-contestee.html La these du suicide contestee], Le Nouvel Observateur</ref> * [[w:1998|1998]] : Pierre&Arthur, fils de [[w:Nino Ferrer|Nino Ferrer]] * [[w:2003|2003]] : Bérangère, Bastien&Blanche, de [[w:Bernard Loiseau|Bernard Loiseau]] * [[w:2009|2009]] : Enfants de [[w:Roh Moo-hyun|Moo-hyun]] * [[w:2010|2010]] : Milo et Alice, enfants de [[w:Krisztina Rády|Krisztina Rády]] * [[w:2013|2013]] : Roman de [[w:Kate Barry|Kate Barry]] * [[w:2015|2015]] : Paul Inder, fils de [[w:Lemmy Kilmister|Lemmy Kilmister]] * [[w:2017|2017]] : fils de [[w:Mark Fisher|Mark Fisher]] |} ===== Le Syndrome d'Ulysse ===== Le ''Syndrome d'[[w:Ulysse|Ulysse]]'' ([[w:Trouble de stress post-traumatique|stress]] extrême du personnage prototypique du [[w:Thriller (genre)|Thriller]] et enfant endeuillé par le suicide ({{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}}) de sa mère, déchet « sans nom dans aucune langue » fait du symptôme, s’acte en « tombant », hypocondrie narcissique, holophrastique (quand toute une phrase s'exprime par un seul mot), a-syntaxique et inter-jective comme maladie « [[w:Extimité|extime]] », « possédé » de lui-même et enfermé dehors, victime du [[w:Syndrome du voyageur|Syndrome du voyageur]] », loin de sa « domiciliation existentielle », rejoignant son corps pulsionnel et s’incarnant en « se déclarant », tout en « échouant », comme « colis en souffrance », « différentiel » entre le réel du corps et le « parlêtre »<ref>[http://www.ecarts-identite.org/french/numero/article/art_124-125.pdf Écarts d'identité N°124/125, Corps en exil, Le corps de l’exil, à l’épreuve de la psychanalyse, de Paul-Laurent Assoun, Professeur de psychologie à l’Université de Paris VII.]</ref>. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Ulysse|Ulysse]] et [[w:Ctimène|Ctimène]], enfants d'[[w:Anticlée|Anticlée]] et [[w:Laërte|Laërte]] (ou [[w:Sisyphe|Sisyphe]]). * [[w:Antiga one|Antigone]], [[w:Ismène|Ismène]], [[w:Étéocle|Étéocle]]&[[w:Polynice|Polynice]], d'[[w:Œdipe|Œdipe]]&[[w:Jocaste|Jocaste]]. * [[w:Thésée|Thésée]], fils d'[[w:Égée|Égée]]. * [[w:Démophon|Démophon]] et [[w:Acamas|Acamas]], fils de [[w:Phèdre|Phèdre]] * [[w:Nausinoos|Nausinoos]] et [[w:Nausithoos|Nausithoos]], fils d'[[w:Ulysse|Ulysse]] et [[w:Calypso|Calypso]] * [[w:Déipyle|Déipyle]], fille d'[[w:Adraste|Adraste]] * Hyllos, fils d'[[w:Héraclès|Héraclès]] et [[w:Déjanire|Déjanire]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:Eumélos|Eumélos]] et Périmèle, d'[[w:Alceste|Alceste]] et [[w:Admète|Admète]] * Polydora, d'[[w:Antigone (Phthie)|Antigone]] et [[w:Pélée|Pélée]] * Thersite, Onchestos, Prothoos, Céleutor, Lycopée et Mélanippos, d'[[w:Agrios fils de Porthaon|Agrios]] * Coronos, Phocos et Priasos, fils de [[w:Cénée|Cénée]] * [[w:Méléagre|Méléagre]], [[w:Tydée|Tydée]], Mélanippe, [[w:Déjanire|Déjanire]]&Agélas, de [[w:Althée|Althée]]&[[w:Œnée|Œnée]]. * Les enfants d'[[w:Alcinoé|Alcinoé]] </small> |} {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1844|1844]] : ''[[w:Le Comte de Monte-Cristo|Le Comte de Monte-Cristo]]'' : Edmond * [[w:1857|1857]] : ''[[w:Madame Bovary|Madame Bovary]]'' : Berth * [[w:1877|1877]] : ''[[w:Anna Karenine|Anna Karenine]]'', Serge * [[w:1919|1919]] : ''[[w:Ulysse (roman)|Ulysse]]'' : Milly Bloom, fille de [[w:Leopold Bloom|Leopold Bloom]] * [[w:1924|1924]] : ''[[w:Le Village indien|Le Village indien]]'' d'[[w:Ernest Hemingway|Ernest Hemingway]]<ref>[http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:hMeZjwme-E4J:departments.knox.edu/engdept/commonroom/Volume_Eleven/number_two/Gutmann-Gonzalez/print.doc+&cd=2&hl=fr&ct=clnk&gl=fr&client=safari A Lacanian Analysis of Hemingway’s Search for Spirituality], Mandy Gutmann-Gonzalez</ref>{{,}}<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=FsyjQ0f00zE#t=2.207140679 Running from crazy 2013 Running Documentary National Geographic Full New]</ref> * [[w:1949|1949]] : ''[[w:Mort d'un commis voyageur|Mort d'un commis voyageur]]'', Biff et Wily Loman * [[w:1954|1954]] : ''[[w:À l'est d'Éden|À l'est d'Éden]]'', Adam Trask * [[w:1958|1958]] : ''[[w:Sueurs froides|Sueurs froides]]'' : [[w:Kim Novak|Madeleine Elster]], de Carlotta Valdes * [[w:1963|1963]] : ''[[w:X-Men|X-Men]]'' : [[w:Rachel Summers|Rachel Summers]] fille de [[w:Jean Grey|Jean Grey]] ** Akihiro fils de [[w:Wolverine|Wolverine]] puis Akihira ** Lilith Drake fille de Zofia Dracula ** Morph fils de [[w:Moira McTaggert|Moira McTaggert]] ** Ana et Alyosha, de [[w:Kraven le chasseur (Serguei Kravinoff)|Kraven le chasseur]] ** Nathan Summers, fils de Madelyne Prior * [[w:1972|1972]] : ''Prisoner on the Hell Planet'', [[w:Art Spiegelman|Art Spiegelman]] * [[w:1976|1976]] : ''[[w:La Petite Fille au bout du chemin|La Petite Fille au bout du chemin]], Ryan Jacobs * [[w:1977|1977]] : ''[[w:Largo Winch (bande dessinée)|Largo Winch]]'' : June, fille de Dennis Tarrant * [[w:1979|1979]] : ''Papa'', [[w:Aude Picault|Aude Picault]] * [[w:1984|1984]] : ''[[w:XIII (bande dessinée)|XIII]]'' : Sean Mullway, fils de Francis Mullway * [[w:1984|1984]] : ''[[w:Dragon Ball Z|Dragon Ball Z]]'' : [[w:Sangohan|Sangohan]]&[[w:Trunk|Trunk]] * [[w:2002|2002]] : ''[[w:The Slaughter Rule|The Slaughter Rule]]'' : [[w:Ryan Gosling|Roy Chutney]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Le Retour du roi|Le Retour du roi]]'', [[w:Boromir|Boromir]]&[[w:Faramir|Faramir]], de [[w:Denethor|Denethor]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:X-Men 2|X-Men 2]]'' : Cypher & [[w:William Stryker|Jason Stryker]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Capturing the Friedmans|Capturing the Friedmans]]'' : D, J et Arnold Friedman * [[w:2004|2004]] : ''[[w:Lost : Les Disparus|Lost : Les Disparus]]'' : [[w:James Ford (Lost, les disparus)|James Ford]] * [[w:2005|2005]] : ''Falaises'' d'[[w:Olivier Adam|Olivier Adam]] : Adam * [[w:2005|2005]] : ''[[w:Caché|Caché]]'' : Walid Afidr, fils de Majid * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Ne le dis à personne (film)|Ne le dis à personne]]'' : Margot Beck * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Heroes|Heroes]]'' : [[w:Nathan Petrelli|Nathan]] et [[w:Peter Petrelli|Peter]], fils d'[[w:Arthur Petrelli|Arthur Petrelli]] * [[w:2008|2008]] : ''[[w:Gran Torino|Gran Torino]]'' : Mitch et Steve * [[w:2008|2008]] : ''[[w:The Wrestler|The Wrestler]]'' : [[w:Evan Rachel Wood|Stephanie]], de [[w:Mickey Rourke|Mickey Rourke]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:2011|2011]] : ''[[w:La piel que habito|La piel que habito]]'': Norma * [[w:2011|2011]] : ''L'Étoile polaire'' : [[w:Sara Forestier|Sara Forestier]] * [[w:2011|2011]] : ''[[w:Detachment|Detachment]]'' : [[w:Adrian Brody|Adrian Brody]], Henry Barthes * [[w:2012|2012]] : ''[[w:Mad Men|Mad Men]]'' : Nigel, de Lane Pryce * [[w:2014|2014]] : ''[[w:Trois souvenirs de ma jeunesse|Trois souvenirs de ma jeunesse]]'' : Paul Dédalus * [[w:2015|2015]] : ''[[w:Un amour impossible|Un amour impossible]]'' : Pierre Angot * [[w:2015|2015]] : ''[[w:007 Spectre|007 Spectre]]'' : Madeleine Swann, de [[w:Mr. White (James Bond)|Mr. White]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Fais de beaux rêves (film, 2016)|Fais de beaux rêves]]'': [[w:Massimo Gramellini|Massimo Gramellini]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Gods of Egypt|Gods of Egypt]]'' : [[w:Horus|Horus]], de [[w:Isis|Isis]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Bates Motel (série télévisée)|Bates Motel]]'' : Alex Romero * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Une Histoire d'Amour et de Ténèbres (film)|Une Histoire d'Amour&de Ténèbres]]'' : Amir Tessler * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Captain Fantastic|Captain Fantastic]]'' : Bodevan,Kyelyr,Vespyr,R,Z,N * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Sage Femme (film)|Sage Femme]]'' : Claire Breton * [[w:2017|2017]] : ''[[w:How to get away with murder|How to get away with murder]]'' : Wes Gibbins, Asher Millstone * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Marilyne|Marilyne]]'' : Marilyne, ([[w:Adeline d'Hermy|Adeline d'Hermy]]) * [[w:2017|2017]] : ''[[w:Paris, etc.|Paris, etc.]]'' : Marianne et Mathilde * [[w:2017|2017]] : ''[[w:D'après une histoire vraie (film)|D'après une histoire vraie]]'' : Delphine et Elle ([[w:Mathilde Seigner|Mathilde Seigner]], [[w:Eva Green|Eva Green]]) * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Three Billboards : Les Panneaux de la vengeance|Three Billboards : Les Panneaux de la vengeance]]'' : Polly & Jane * [[w:2018|2018]] : ''[[w:The Haunting of Hill House|The Haunting of Hill House]]'' : Steven, Shirley, Theodora, Luke, Nell * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Cold War (film, 2018)|Cold War]]'' : le fils de Zula * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Bird Box (film)|Bird Box]]'' : Olympia * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Sérotonine (roman)|Sérotonine]]'' : Florent-Claude * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Climax (film, 2018)|Climax]]'' : fils d'Emmanuelle * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Leaving Neverland|Leaving Neverland]]'' : Wade Robson * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Vice (film, 2018)|Vice]]'' : Lynne Cheney * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Ad Astra|Ad Astra]]'' : Roy McBride * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Stillwater (film)|Stillwater]]'' : Allison Baker ([[w:Abigail Breslin|Abigail Breslin]]) * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Le Pouvoir du chien|Le Pouvoir du chien]]'' : Peter Gordon ([[w:Kodi Smit-McPhee|Kodi Smit-McPhee]]) * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Impardonnable (film, 2021)|Impardonnable]]'' : Ruth Slater * [[w:2023|2023]] : ''[[w:The Last of U|The Last of Us]]'' : Sam </small> |} == Conclusion : Le Risque [[w:Hyperlexie|Hyperlexique]], la sublimation épistémophile == La graphomanie hyperlexique suicidaire expose l'EES au ''Complexe d’Albion'', une impudence dégénérative du signifiant, au ''Stade de l’Expulsion'', débâcle du stade sadique anal, négation du désaveu, et au ''Complexe de Moïse'', rencontre du risque, perte d’objet et devenir-signifiant. === Le Complexe d’Albion === Les organes mnémotechniques d’indisponibilité de l'{{abréviation|EES|enfant endeuillé par suicide}} comme le [[w:smartphone|smartphone]] (syndrome de [[w:Saint-Denis|Saint-Denis]]<ref>https://laregledujeu.org/2018/04/12/33718/smartphones-avons-nous-perdu-la-tete/</ref>, le Pad [[w:Bloomberg|Bloomberg]], le transhumanisme de [[w:Ray Kurzweil|Ray Kurzweil]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-pensee-de-midi-2010-1-page-18.htm La vie rêvée de l’homme], Cairn</ref> et le [[w:tatouage|tatouage]] traditionnel ou contemporain : « comme à l’envers de l’hystérie qui, par le symptôme de conversion détourne le corps comme site somatique, de sa consistance charnelle. Ce que le sujet hystérique abhorre, c’est le corps comme chair, comme matière corporelle animale brute, charnelle. Il y a du "se faire objet", c'est-à-dire une position activement passive et douloureuse qui si elle se décline comme plaisir, est une économie pulsionnelle qui s’apparente au masochisme, pour élever un bout de corps au rang de signifiant (stade anal)<ref>[http://www.cairn.info/revue-champ-psychosomatique-2004-4-page-159.htm Le tatouage, de la parure à l’œuvre de soi], Cairn</ref> », nous dit Simone Wiener. On retrouve ce type de profil impudent chez les acteurs<ref>http://www.pierresullivan.com/Site/Psychanalyse/Entrees/2009/9/27_Limpudique_Albion.html</ref>. La haine (volonté de détruire l’objet du désir du sujet) devient non pas lien interne trop sadomasochique mais désengendrement, nihilisme éthique, désaveu du pulsionnel entrainant des rapports de commensalité (se nourrissant l’un l’autre) pour « oublier » et transformer ses origines, négation (égocentrisme, manière ''divine'' de penser selon Nietzsche, retour dissolvant de la pulsion pour Kristeva) ou dénégation (action d'ignorer ou de faire semblant d'ignorer un objet). L’autorité devient le produit du travail de deuil originaire, nous dit André Carel<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2002-1-,page-21.htm Le processus d’autorité], Cairn</ref> qu'on pourrait qualifier d'anti-intraception selon le mot de [[w:Theodor W. Adorno|Theodor W. Adorno]]. Pour Lacan, la colère, nervosité née de l'anxiété, « c’est quand les petites chevilles ne vont pas dans les petits trous », c’est l’affect qui surgit quand du réel se met en travers des entreprises du désir ; la haine est liée au signifiant: "étouffer". La honte, affect social surgit du dévoilement de l’extime, ce qui me constitue sans être moi, désir, chose, objet, symptôme, qui ont ce que voile cet autre affect qu’est la pudeur. La rage narcissique, pendant agressif de la honte, dont le moteur est l'opprobre, se ramène à l’[[w:exhibitionnisme|exhibitionnisme]] (dont la finalité est l’effroi<ref>[http://www.oedipe.org/prixoedipe/2014/abelhauser Alain Abelhauser Mal de femme. La perversion au féminin], Œdipe</ref>, Attention seeking) sans bornes du Soi [[w:mégalomane|mégalomane]] ([[w:Narcissisme malfaisant|Narcissisme malfaisant]]), [tandis que] le trouble fondamental à l’origine de la rage se rattache à l’omnipotence de cette structure narcissique <ref>https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2003-5-page-1657.htm</ref>. L’impudence, impitoyable ou effrontée, honte nouvelle corrélative d’une dégénerescence du signifiant maitre (Nom-du-père, S1)<ref>[http://www.association-freudienne.be/pdf/11-Note.lecture.LES_AFFECTS_LACANIENS.pdf. Les affects lacaniens, Colette Soler], Association freudienne</ref>. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1815|1815]] : [[w:Napoléon Alexandre Berthier|Napoléon Alexandre Berthier]]: fils de [[w:Louis-Alexandre Berthier|Louis-Alexandre Berthier]] * [[w:1844|1844]] : [[w:Ludwig Boltzmann|Ludwig Boltzmann]]: Arthur, Ida, Elsa * [[w:1889|1889]] : [[w:Jean Cocteau|Jean Cocteau]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-bulletin-de-psychologie-2006-4-page-421.htm À travers les livres], Cairn</ref>, fils de Georges Cocteau * [[w:1932|1932]] : [[w:Gerhard Richter|Gerhard Richter]] * [[w:1937|1937]] : [[w:Jane Fonda|Jane Fonda]], fille d'[[w:Henry Fonda|Henry Fonda]]<ref>[http://www.closermag.fr/people/people-anglo-saxons/jane-fonda-explique-pourquoi-sa-mere-s-est-suicidee-407892 Jane Fonda explique pourquoi sa mère s'est suicidée], Closer</ref> * [[w:1945|1945]] : Doon et Amy Arbus, filles de [[w:Diane Arbus|Diane Arbus]]<ref>[http://www.tabletmag.com/jewish-arts-and-culture/83088/the-other-arbus The other Arbus], Tabletmag</ref> * [[w:1945|1945]] : [[w:David Milch|David Milch]]<ref>[http://www.slate.fr/story/107571/fou-ecrire-serie-geniale Faut-il être fou pour ecrire une serie geniale], Slate</ref> * [[w:1952|1952]] : [[w:André Comte-Sponville|André Comte-Sponville]] * [[w:1956|1956]] : [[w:Michèle Bernier|Michèle Bernier]], fille du [[w:Professeur Choron|Pr. Choron]]&Odile Vaudelle * [[w:1962|1962]] : [[w:Alexandre Diego Gary|Alexandre]], de [[w:Jean Seberg|Jean Seberg]] et [[w:Romain Gary|Romain Gary]]<ref>[http://www.lemonde.fr/societe/article/2009/05/26/diego-gary-sa-vie-a-lui-enfin_1198160_3224.html Sa vie à lui, enfin], Le Monde</ref> * [[w:1962|1962]] : [[w:Demi Moore|Demi Moore]], de Dan Guynes * [[w:1964|1964]] : [[w:Emilie Deleuze|Emilie Deleuze]], fille de [[w:Gilles Deleuze|Gilles Deleuze]]<ref>[http://www.lesinrocks.com/2008/04/15/cinema/actualite-cinema/interview-demilie-deleuze-regarde-ces-ciels-1151929/ Interview d’Emilie Deleuze – “Regarde ces ciels”], Les Inrockuptibles</ref> * [[w:1964|1964]] : [[w:Melissa Gilbert|Melissa Gilbert]] * [[w:1961|1961]] : [[w:Élisabeth Borne|Élisabeth Borne]] * [[w:1964|1964]] : [[w:Olivier Delacroix|Olivier Delacroix]] * [[w:1966|1966]] : [[w:Darius Rochebin|Darius Rochebin]] * [[w:1967|1967]] : [[w:Laurent Mauvignier|Laurent Mauvignier]] * [[w:1970|1970]] : [[w:Axel Kahn|Axel]], [[w:Jean-François Kahn|Jean-François]], [[w:Olivier Kahn|Olivier]]: de [[w:Jean Kahn-Dessertenne|Jean Kahn-Dessertenne]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1971|1971]] : [[w:Stanislas Merhar|Stanislas Merhar]]<ref>[http://www.purepeople.com/article/stanislas-merhar-evoque-avec-pudeur-le-suicide-de-son-pere_a94984/1 Stanislas Merhar évoque avec pudeur le suicide de son père], Pure People</ref> * [[w:1973|1973]] : [[w:Chloé Delaume|Chloé Delaume]] * [[w:1975|1975]] : [[w:Alexandre Lacroix|Alexandre Lacroix]] * [[w:1978|1978]] : [[w:Amoreena Winkler|Amoreena Winkler]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Jared Leto|Jared Leto]] * [[w:1980|1980]] : Anais Guertin-Lacroix * [[w:1981|1981]] : Boris Eustache, fils de [[w:Jean Eustache|Jean Eustache]]<ref>[http://www.revuezinzolin.com/2013/08/boris-eustache-suis-je-le-gardien-de-mon-pere/ Boris Eustache : Suis-je le gardien de mon père ?], Revue Zinzolin</ref> * [[w:1987|1987]] : [[w:Ronda Rousey|Ronda Rousey]] * [[w:1993|1993]] : William, Willie et Lydia Zavatta, d'[[w:Achille Zavatta|Achille Zavatta]] * [[w:1999|1999]] : [[w:Arnold et Willy|Arnold et Willy]] : Tyler Lambert, fils de [[w:Dana Plato|Dana Plato]] * [[w:1999|1999]] : Nicolas Buffet, fils de [[w:Bernard Buffet|Bernard Buffet]]<ref>[http://www.parismatch.com/Culture/Livres/franoise-sagan-nicolas-buffet-alcool-143654 Survivre à des parents terribles (Deuxième partie)], Paris Match</ref> * [[w:2009|2009]] : Jordan Chandler fils d'[[w:Evan Chandler|Evan Chandler]] * [[w:2011|2011]] : Nastya Carax, fille de [[w:Katerina Golubeva|Katerina Golubeva]] (et [[w:Leos Carax|Leos Carax]]) * [[w:2014|2014]] : Zelda Williams, de [[w:Robin Williams|Robin Williams]]<ref>[http://www.dailymail.co.uk/tvshowbiz/article-3223757/Zelda-Williams-posts-moving-message-year-father-Robin-Williams-s-suicide.html Zelda Williams posts moving messages], Dailymail</ref> * [[w:2014|2014]] : [[w:Les Filles d'à côté|Filles d'à côté]]: Romain&Jim, fils de [[w:Thierry Redler|Thierry Redler]] * [[w:2016|2016]] : Madison&Mackenzie, filles de [[w:Dave Mirra|Dave Mirra]] * [[w:2017|2017]] : Pauline, fille de [[w:Jean-Michel Lambert|Jean-Michel Lambert]] * [[w:2020|2020]] : [[w:Mehdi Belhaj Kacem|Mehdi Belhaj Kacem]] * [[w:2026|2026]] : [[w:Laurent Joffrin|Laurent Joffrin]] </small> |} === Le Stade de l’Expulsion === « Les altérations du discours témoignent d’un ''devenir signifiant'' de ces mots et donc de la transformation que le Moi a dû concéder à sa participation à l’expérience hallucinatoire, partie essentielle du processus du rêve, comme du processus analytique, nous dit [[w:Jean Claude Rolland|Jean Claude Rolland]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-francaise-de-psychanalyse-2007-4-page-1223.htm Le « devenir signifiant ».], Cairn</ref>. » Une forme de rage ou de va-tout, qui peut devenir une prise de risque, inespérée ou perte d’objet, nous disent [[w:Anne Dufourmantelle|Anne Dufourmantelle]]<ref>[http://www.lemonde.fr/m-perso/article/2016/10/19/faut-il-comme-trump-jouer-son-va-tout_5016604_4497916.html Faut-il, comme Trump, jouer son va-tout ?], Le Monde</ref> ou [[w:Baldine Saint Girons|Baldine Saint Girons]]<ref>[http://www.theses.fr/1992PA100017 Fiat lux : une philosophie du sublime], Theses</ref>, candidature pare-excitation ou identification paradoxale, selon [[w:Geneviève Delaisi de Parseval|Geneviève Delaisi de Parseval]]<ref>[http://rue89.nouvelobs.com/2016/11/15/trump-melenchon-kempf-legion-dhonneur-les-arts-lettres-265659 Trump, Mélenchon, Kempf, la Légion d’honneur et les Arts et Lettres], Nouvel Observateur</ref>, proche de l’acting out. Dans la saga [[w:Star Wars|Star Wars]], Shmi Skywalker ne pouvant rien dire du père d'[[w:Anakin Skywalker|Anakin Skywalker]] (métaphore paternelle, [[w:Gatekeeping|Gatekeeping]]<ref>https://www.cairn.info/revue-cahiers-critiques-de-therapie-familiale-2015-1-page-35.htm</ref>, provoque chez son fils la Forclusion du nom du Père, l'investit comme ''objet-secours-sauveur'' (voir le triangle dramatique "persécuteur-sauveur-victime", de [[w:Stephen Karpman|Stephen Karpman]]). Il ne peut pas diriger ses ressentiments contre cette mère trop aimante, non complétée par un Père qui puisse médiatiser le rapport d'Anakin à sa mère<ref>[https://www.cairn.info/star-wars-au-risque-de-la-psychanalyse--9782749216188.htm Star Wars au risque de la psychanalyse, Dark Vador, adolescent mélancolique ?], Cairn</ref>.{{,}}<ref>[https://psychologienumerique.wordpress.com/cinema/starwars/ Starwars : la chute du côté « obscure » de la Force], Psychologie Numérique</ref>{{,}}<ref>[http://www.scienceshumaines.com/dark-vador-chez-le-psy_fr_26074.htmlDark Vador chez le psy], Sciences Humaines</ref> La mort de Shmi, entraine la perte d’objet, l’oubli nécessaire, la prise de risque, la toute-puissance d'Anakin, sa tentative de cicatrisation, le risque d'effondrement psychique immobilisé par ''gèle'' provoque en lui un fonctionnement ''pervers'', une ''agonie primitive'', une ''terreur agonistique'' ([[w:Terreur nocturne|Terreur nocturne]], [[w:Paralysie du sommeil|Paralysie du sommeil]]), un ''court-circuit'' et un ''collapsus topique''<ref>[https://psychologienumerique.wordpress.com/cinema/starwars/ Star Wars], Psychologie Numérique</ref>{{,}}<ref>[http://www.spp.asso.fr/wp/?p=9182 Adolescences, états critiques du moi], SPP</ref> dans une fuite et une prise d’autonomie (syndrome de l’erance). Selon Arthur Leroy<ref>[http://www.franceinter.fr/depeche-retour-aux-sources-de-la-mythologie-star-wars Retour aux sources de la mythologie Star Wars], France Inter</ref>, « [[w:Dark Vador|Dark Vador]] s’est enveloppé de sa peur initiale et, par son apparence, la fait partager aux autres ». Ferenczi dit que certaines formes d’[[w:asthme|asthme]] peuvent parfois prendre le sens d’une tentative de suicide. L'[[w:Étoile de la mort|Étoile de la mort]], clin d'eil à la ''La Voix des airs'' de [[w:René Magritte|René Magritte]], excorporation surréaliste, inerte et métonymique de l'absence de tranmission devenue démission du personnage suicidaire questionne sa relation à sa descendance, Pour Jacques Roisin, le suicide de la mère de Magritte : "C'est comme si les actions réalisées jusqu'alors par les uns et les autres n'avaient fait que déployer des lignes d'influence d'une force centripète. Le temps suivant avait été celui d'une force centrifuge"<ref>[http://www.levif.be/actualite/belgique/magritte-ce-jeune-tyran/article-normal-24253.html Magritte, ce jeune tyran], Le Vif</ref>{{,}}<ref>[http://www.szondiforum.org/m506.rtf René Magritte, un destin particulier de la pulsion scopique], Szondiforum</ref>{{,}}<ref group=Note>Le débordement par la jouissance et l'invasion du signifiant provoque le morcellement. « Tout le symbolique est réel » (comme dans l’[[w:Autisme|Autisme]], impossible de faire semblant); auto-érotisme archaïque antérieur au [[w:Stade du miroir|stade du miroir]] (Lacan énonce : « L’œil et le regard, telle est pour nous la schize dans laquelle se manifeste la pulsion au niveau du champ [[w:scopique|scopique]] » (Voir ce que nous ne pouvons pas voir, [[w:Méduse (mythologie)|La Méduse]]) où "le regard est au-dehors, je suis regardé, c'est-à-dire je suis tableau") où le corps-organisme apparaît morcelé, avec ses sensations et perceptions désorganisées et sans unité et dont la « fonction, sociale, [la maladie mentale], c’est l’ironie (...) à la racine de toute relation sociale. » Lire [http://lacanian.memory.online.fr/AQuinet_Troureg.htm Le trou du regard, d'Antonio Quinet]</ref>{{,}}<ref>[http://auriol.free.fr/psychanalyse/affaire_entendue.htm Affaire Entendue par Bernard Auriol>, Cairn</ref>. On peut y voir l'origine du [[w:Coît interrompu|Coît interrompu]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2010-1-page-45.htm# Le symptôme sexuel et son effet « neurasthénique » par Gérard Pommier], </ref> lié à l’[[w:asexualité|asexualité]] (impuissance ou Un puis Sens - masochiste de la libido sans objet<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2001-2-page-93.htm Hypothèses sur le masochisme par Jacques Sédat], Cairn</ref>) au [[w:Stade autoérotique|Stade autoérotique]]<ref>[http://www.cairn.info/revue-recherches-en-psychanalyse-2010-2-page-251.htm L’asexualité, phénomène contemporain ?], Cairn</ref> de l'effet de pousse-à-la-femme<ref>[http://www.cairn.info/revue-che-vuoi-2006-1-page-63.htm Du fantasme au pousse-à-la-femme, la psychose], Cairn</ref>. Il relance alors son désir par l’[[w:Aphanisis|Aphanisis]]. Elisabeth Ventura dit que le comédien fait l’expérience de la métamorphose du corps, médium de l’incarnation du verbe, pour transmettre l’expérience du sublime, comme symbolisation<ref>[http://www.theses.fr/2012PA100103 Le sublime du comédien], thèses</ref>. La mise en scène de Dolore (souffrance, ''en italien''), amuïssement du fils de [[w:Madame Butterfly|Madame Butterfly]], le personnage principal de l'opéra de [[w:Giacomo Puccini|Giacomo Puccini]], correspond lui à ce qu’[[w:Herbert Marcuse|Herbert Marcuse]] nomme une désymbolisation répressive, symbole du ''Ratage de l'Œdipe'', du Surmoi incestueux qui n'atteint pas la castration et entraine la régression vers les stades oral et anal (stade phallique). (Voir aussi [[w:Liste de suicides dans une œuvre d'opéra|Liste de suicides dans une œuvre d'opéra]]). {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1900|1900]] : Kristof, fils de [[w:Sándor Márai|Sándor Márai]] * [[w:1904|1904]] : Dolore fils de [[w:Madame Butterfly|Madame Butterfly]] ([[w:Daniel Auteuil|Daniel Auteuil]], [[w:Elli Medeiros|Elli Medeiros]]) * [[w:1914|1914]] : [[w:Béatrix Beck|Béatrix Beck]] * [[w:1918|1918]] : [[w:Jeanne Modigliani|Jeanne]], fille de [[w:Jeanne Hébuterne|Jeanne]] et [[w:Amedeo Modigliani|Amedeo Modigliani]] * [[w:1924|1924]] : [[w:Maud Linder|Maud Linder]] fille de [[w:Max Linder|Max Linder]]<ref>[http://www.telerama.fr/cinema/max-linder-l-histoire-tragique-d-un-genie-comique-sauve-par-sa-fille, 91128.php Max Linder, l'histoire tragique d'un génie comique sauvé par sa fille], Telerama</ref> * [[w:1930|1930]] : P.Thompson&G.Lavinsky, de [[w:Vladimir Maïakovski|Maïakovski]] * [[w:1937|1937]] : [[w:Francis Weber|Francis Weber]], de [[w:Georgette Paul|Georgette Paul]] * [[w:1959|1959]] : [[w:Perry Farrell|Perry Farrell]] * [[w:1963|1963]] : Frieda et Nicholas Hugues, enfants de [[w:Sylvia Plath|Sylvia Plath]] * [[w:1968|1968]] : [[w:Mariane Pearl|Mariane Pearl]] * [[w:1968|1968]] : [[w:Robin Douglas-Home|Robin Douglas-Home]]: Sholto * [[w:1968|1968]] : [[w:Tricky|Tricky]], Maxinquaye<ref>[http://www.theguardian.com/music/2010/sep/19/tricky-mixed-race-interview Mixed race interview], [[w:The Guardian|The Guardian]]</ref> * [[w:1976|1976]] : [[w:Freddie Prinze, Jr.|Freddie Prinze, Jr.]], son of [[w:Freddie Prinze|Freddie Prinze]] * [[w:1977|1977]] : [[w:Sarah Biasini|Sarah Biasini]], fille de [[w:Romy Schneider|Romy Schneider]] * [[w:1979|1979]] : [[w:Lola Dewaere|Lola Dewaere]], fille de [[w:Patrick Dewaere|Patrick Dewaere]]<ref>[http://www.closermag.fr/people/news-people/lola-dewaere-je-considere-le-suicide-de-mon-pere-comme-un-abandon-125786 Lola Dewaere : "Je considère le suicide de mon père comme un abandon"], Closer</ref> * [[w:1980|1980]] : Natalie, fille de [[w:Ian Curtis|Ian Curtis]] * [[w:1981|1981]] : [[w:Dimitri Rassam|Dimitri]], fils de [[w:Jean-Pierre Rassam|Jean-Pierre Rassam]]<ref>[http://www.purepeople.com/article/dimitri-rassam-fils-de-carole-bouquet-le-producteur-precoce-se-devoile_a159345/1 Dimitri Rassam, fils de Carole Bouquet : Le producteur précoce se dévoile], Purepeople</ref> * [[w:1992|1992]] : [[w:Frances Cobain|Frances Cobain]] fille de [[w:Kurt Cobain|Kurt Cobain]]<ref>[http://www.bfmtv.com/culture/frances-bean-cobain-je-sais-que-mon-pere-m-aimaitbr-875677.html Je sais que mon pere m'aimait], [[w:BFMTV|BFMTV]]</ref> * [[w:1995|1995]] : ''[[w:Élisa (film, 1995)|Élisa]]'' : [[w:Vanessa Paradis|Elisa]], de [[w:Florence Thomassin|Florence Thomassin]] * [[w:1997|1997]] : [[w:Thomas Langmann|Thomas Langmann]], fils de [[w:Anne-Marie Rassam|Anne-Marie Rassam]] * [[w:2003|2003]] : ''[[w:Les Invasions barbares|Les Invasions barbares]]'' : Guo Jing * [[w:2004|2004]] : ''[[w:Backstage|Backstage ]]'' : Lucie * [[w:2006|2006]] : ''[[w:Dexter|Dexter]]'' & [[w:Debra Morgan|Debra Morgan]], d'[[w:Harry Morgan|Harry Morgan]] * [[w:2008|2008]] : Matilda-Rose, fille de [[w:Heath Ledger|Heath Ledger]] * [[w:2011|2011]] : Culla May, fille de [[w:Johnny Lewis (acteur)|Johnny Lewis]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:La Loi d'Alexandre|La Loi d'Alexandre]]'' : [[w:Hande Kodja|Julia Del Sol]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:Alliés (film)|Alliés]]'' : [[w:Anna|Anna]] fille de [[w:Marianne Beauséjour|Marianne Beauséjour]] * [[w:2016|2016]] : ''[[w:The OA|The OA]]'' : * [[w:2016|2016]] : ''[[w:StartUp (série télévisée)|StartUp]]'': Phil Rask * [[w:2017|2017]] : ''Rien n'est joué d'avance'', Patrick Bourdet </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:2017|2017]] : Lillian Jean, Toni, Christopher Nicholas, de [[w:Chris Cornell|Chris Cornell]] * [[w:2017|2017]] : Amandine Chancel, fille de Ludovic et petite fille de [[w:Sheila|Sheila]] * [[w:2017|2017]] : Tyler, Jaime, Lily & Lila, fils de [[w:Chester Bennington|Chester Bennington]] * [[w:2017|2017]] : ''[[w:The End of the F***ing World|The End of the F***ing World]]'' * [[w:2018|2018]] : ''[[w:Cheba Louisa|Cheba Louisa]]'' : Zohra * [[w:2019|2019]] : ''[[w:Au nom de la terre|Au nom de la terre]]'': Thomas et Emma * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Je ne rêve que de vous|Je ne rêve que de vous]]'': . Jean et Georges * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Le bureau des légendes|Le bureau des légendes]]'': Anton Kharlov * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Le Jeu de la Dame|Le Jeu de la Dame]]'': Beth Harmon * [[w:2020|2020]] : ''[[w:Lupin (série télévisée, 2021)|Lupin]]'': Assane Diop * [[w:2021|2021]] : ''[[w:The Last Paradiso|The Last Paradiso]]'': Bianca Schettino * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Innocent (série télévisée, 2021)|Innocent]]'': Lorena Ortiz * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Every Breath You Take (film) |Every Breath You Take]]'': Daphne * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Cruel Summer (série télévisée)|Cruel Summer]]'': Martin * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Schwarze Insel|Schwarze Insel]]'': Helena Yung * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Clickbait (miniseries)|Clickbait]]'': Nick and Sophie Brewer * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Transparent (série télévisée)|Transparent]]'': Colton * [[w:2021|2021]] : ''[[w:Braqueurs (film, 2015)|Braqueurs]]'' (série): Kris * [[w:2022|2022]] : ''[[w:En thérapie|En thérapie]]'': Dr Philippe Dayan * [[w:2022|2022]] : ''[[w:Iosi, el espía arrepentido|Iosi, el espía arrepentido]]: Yosi * [[w:2023|2023]] : ''[[w:Follow (série télévisée)|Follow]]: Jeanne * [[w:2023|2023]] : ''[[w:Un Meurtre au Bout du Monde|Un Meurtre au Bout du Monde]]'' : [[w:Alice Braga|Sian]] * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Pauvres Créatures|Pauvres Créatures]]'' : Bella Baxter * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Silo (série télévisée)|Silo]]'' : Juliet * [[w:2024|2024]] : ''[[w:Kraven the Hunter (film)|Kraven]]'' : Kraven * [[w:2025|2025]] : ''[[w:Valeur sentimentale|Valeur sentimentale]]'' : Gustav Borg * [[w:2025|2025]] : ''[[w:Avatar 3|Avatar 3]]'', Spider, de ''[[w:Miles Quaritch|Miles Quaritch]]'' : [[w:Stephen Lang|Stephen Lang]] * [[w:2026|2026]] : ''[[w:Heated Rivalry|Heated Rivalry]]'' : Rozanov : [[w:Connor Storrie |Connor Storrie ]] </small> |} === Le Complexe de Moïse === [[w:Karl Abraham|Karl Abraham]] distingue le stade sadique-anal de la [[w:rétention|rétention]] ([[w:constipation|constipation]] "réplétive", possessive due à un sentiment d'abandon et de méfiance, propre à la [[w:Névrose obsessionnelle|Névrose obsessionnelle]] [[w:Toute-puissance (psychanalyse)|toute-puissante]] (Mythe individuel, tenu par l'Œdipe, non morcellé du phorophobe)<ref>[http://e-learning-formation.com/plateforme/formation/local/cerfpa/secretaire-medicale/Mod2/chap5/pionniers.html Les pionniers de la psychosomatique], E-learning</ref> de l’avarice (épargne excessive) ou de la radinerie (manque de prodigalité) ; et le stade sadique-anal de l'expulsion ou [[w:débâcle|débâcle]], [[w:diarrhée|diarrhée]] "agressive", captative (débourser pour sur-posséder), rapt, [[w:acting-out|acting-out]] illusoire de contrôler la situation, syndrome d’agrippement<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-coq-heron-2007-1-page-73.htm], Cairn</ref> ([[w:Stage mother|Stage mother]], [[w:Helicopter parent|Helicopter parent]]), dépendance par l'activité et le besoin de donner, perversion ''in fine'' du ''[[w:Lien social (psychanalyse)|Discours capitaliste]]'' de l'enfant illégitime ou adopté, confronté à une double loyauté (voir les loyautés contextuelles de [[w:Ivan Boszormenyi-Nagy|Ivan Boszormenyi-Nagy]])<ref>[https://www.cairn.info/revue-figures-de-la-psy-2011-2-page-127.htm Propos sur le complexe de Moïse], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=TOP_118_0085&DocId=421211&hits=3583+3574+ De la lutte pour « rester vivant » à la création d’un « territoire rêvé ». À propos de La carte et le territoire de Michel Houellebecq De Christine Condamin], Cairn</ref>{{,}}<ref>[https://www.cairn.info/article.php?ID_ARTICLE=PSY_007_0027&DocId=344281&hits=8884+8878+8873+8868+6327+6319+8+5+ La possibilité d’une psychanalyse ? de Marie Jean Sauret], Cairn</ref>. C’est le cas du [[w:Bitcoin|Bitcoin]], selon l’analyse de Jacques Favier et Adli Takkal Bataille<ref>Bitcoin. La monnaie acéphale, de Jacques Favier, Adli Takkal Bataille</ref> et de [[w:Bartleby|Bartleby]]<ref>http://www.psychasoc.com/Textes/Formes-et-strategie-du-refus.-L-heureux-fuse</ref>. La disruption devient condensation capitaliste ([[w:Jean-Marie Dru|Jean-Marie Dru]]) et la débacle décondensation exosomatique ([[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]]). Dans le Séminaire XVII de Jacques Lacan : L’envers de la psychanalyse, il s’agit dans les quatre cas, d’un savoir porté, ou plutôt recelé par un sujet et qui subit une altération venant d’un autre sujet, qui tous deux en fait portent des fonctions: savoir extorqué et formalisé dans le discours du maître, savoir défié dans le discours de l’hystérique, savoir adressé et formalisé dans le discours de l’analyste, savoir imposé dans le discours universitaire. Ainsi le lien social serait une machine de transfert et d’altération du savoir à partir de la libido. Car le lien social est avant tout machine libidinale<ref>[https://blogs.mediapart.fr/rene-fiori/blog/260216/psychanalyse-en-politique Psychanalyse et Politique de René Fori]</ref>. Lacan a appelé l’objet, le nom ou la personne qui vous encouragent à demander de l’aide à un psychanalyste, le « signifiant du transfert »<ref>[https://www.cairn.info/revue-savoirs-et-cliniques-2005-1-page-191.html La psychanalyse depuis Samuel Beckett par Franz Kaltenbeck], Cairn</ref>. Pour [[w:Gérard Pommier|Gérard Pommier]], le don est l'objet du refoulement, ce que nous ne voulons pas savoir (et le surdon, ce que nous ne pouvons pas savoir<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-carnet-psy-2010-9-page-29.htm Enfants surdoués par Caroline Goldman], Cairn</ref>), car en naissant nous nous donnons et disparaissons comme sujet, c’est notre refoulement originaire. Le don est hallucinatoire, irréel, suicidiaire. Il faut donc donner pour ne pas se donner et échapper au risque suicidaire, de guerre et d'agression. Le prénom est notre vrai nom, parce qu’il correspond à un don singulier et qu’il est le symbole d’une séparation<ref>[http://www.cairn.info/revue-la-clinique-lacanienne-2011-2-page-97.htm Spécificité du « passage à l’acte » suicidaire], [[w:Gérard Pommier|Gérard Pommier]])</ref>. Chez le pervers, dont la frustration ou l’intrusion est un manque imaginaire d’objet réel, voit l’objet de son désir substitué par un don. {| | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1886|1886]] : ''[[w:Cinq psychanalyses|Cinq psychanalyses]]'' : [[w:Sergueï Pankejeff|Sergueï Pankejeff]] * [[w:1897|1897]] : [[w:Wilhelm Reich|Wilhelm Reich]], fils de Cecilia Roniger * [[w:1898|1898]] : [[w:René Magritte|René Magritte]], fils de Régina Bertinchamps * [[w:1902|1902]] : Marius Tausk, fils de [[w:Victor Tausk|Victor Tausk]] * [[w:1908|1908]] : Célia de La Serna, mère de [[w:Che Guevara|Che Guevara]]. * [[w:1922|1922]] : [[w:Kurt Vonnegut|Kurt Vonnegut]] * [[w:1939|1939]] : [[w:Anna Freud|Anna]] et Ernst Ludwig, de [[w:Sigmund Freud|Sigmund Freud]]<ref group=Note>The Nazi army had wanted to take Freud for interrogation, but Anna offered herself instead. Before she left, Freud placed in her daughter’s hand a poison, a strategy to kill herself in case they decided to torture her. Anna was released, in unknown circumstances, and the family emigrated to London. Anna took care of Freud, helping him with his medicine and treatment, and continued her work. Freud died in 1939. {{Cite book|title = The Death of Sigmund Freud: The Legacy of His Last Days|last = Edmundson|first = Mark|publisher = Bloomsbury|year = 2007|isbn = 978-1-58234-537-6|location = |pages = ?}}</ref> * [[w:1940|1940]] : Stefan Rafael, fils de [[w:Walter Benjamin|Walter Benjamin]] * [[w:1948|1948]] : [[w:Catherine Millet|Catherine Millet]], fille de Simone Millet * [[w:1966|1966]] : ''[[w:Rien ne s'oppose à la nuit|Rien ne s'oppose à la nuit]]'', [[w:Delphine de Vigan|Delphine de Vigan]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-dialogue-2012-1-page-139.htm Notes de lecture], Cairn</ref> * [[w:1970|1970]] : Noriko Tomita et Iichiro Hiraoka, de [[w:Yukio Mishima|Mishima]] </small> | width="16.6666%" align="left" valign="top" | <small> * [[w:1970|1970]] : Eric Celan, fils de [[w:Paul Celan|Paul Celan]]<ref>[http://next.liberation.fr/livres/2001/03/22/le-sixieme-sens_358744 Le sixieme sens], Libération</ref> * [[w:1971|1971]] : [[w:Benny Sela|Benny Sela]] * [[w:1977|1977]] : ''Mort d'un silence'' de [[w:Clémence Boulouque|Clémence Boulouque]] * [[w:1985|1985]] : Sophie, fille de [[w:Vladimir Jankelevitch|Vladimir Jankelevitch]]<ref>[https://www.cairn.info/revue-le-telemaque-2003-2-page-155.htm Le Telemaque], Cairn</ref> * [[w:1987|1987]] : Renzo et Lisa Lorenza, enfants de [[w:Primo Levi|Primo Levi]] * [[w:1990|1990]] : Ruth et Bruno, enfants de [[w:Bruno Bettelheim|Bruno Bettelheim]] * [[w:2002|2002]] : [[w:Une Histoire d'Amour et de Ténèbres|Une Histoire d'Amour et de Ténèbres]], d'Amos Oz * [[w:2011|2011]] : ''Le Silence et la honte'', Solweig Ely * [[w:2012|2012]] : ''Onze ans avec Lou'', [[w:Bernard Chapuis|Bernard Chapuis]] * [[w:2017|2017]] : ''Parler'', [[w:Sandrine Rousseau|Sandrine Rousseau]] * [[w:2019|2019]] : [[w:Barbara Stiegler|Barbara Stiegler]], fille de [[w:Bernard Stiegler|Bernard Stiegler]] </small> |} == Notes == {{Références|groupe=Note|colonnes=2}} == Références == {{Références|colonnes=2}} gu5ci458yevpr40y83d4um2hj61s5b9 0 58770 982238 971205 2026-04-27T19:32:39Z Crochet.david 317 . 982238 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <div style="text-align: center;"> {{Encadre | couleur = {{Idfaculté/couleur/littérature}} | fond = {{Idfaculté/pastel/littérature}} | épaisseur = 5px | contenu = <br/> <gallery mode="packed" widths="500" heights="500"> File:LauraValentine, Homegames-01.png|thumb|center|upright=3|Couverture de l'album anglais de Tante Louisa, 1870 </gallery> }} </div> Cet album pour "jeunes filles" présente six jeux de plateau bien illustrés. * Tapuscrit de la version anglaise et traduction en français, déposés en cc-by-sa le 12 février 2012, [http://libre.pedagosite.net/voir_doc.php?DOC=304 sur le site de ressources libres pedagosite.net] * Les illustrations et le texte d'origine sont librement téléchargeables [http://ufdc.ufl.edu/UF00026631/00001/ sur le site de l'Université de Floride] (Domaine Public, édition de 1870). Six jeux de plateau : # Le jeu de croquet # L'araignée et la mouche # Pêcheurs de perles # Fauconnerie # La pêche à la ligne # La bataille navale == Écouter les règles du jeu en français == * [[File:Six-jeux-de-societe-victoriens.ogg|Règles du jeu en français]] == Regarder le diaporama en français == * [http://raconte-moi.abuledu.org/w/9401-six-jeux-de-societe-victoriens Six jeux de société victoriens] == S'informer sur Laura Valentine et les jeux de plateau sur Vikidia == * [[vikidia:Laura_Valentine|Laura Valentine]] * [[vikidia:Jeu_de_société|Jeu de société]] == Regarder le diaporama en anglais == * [http://raconte-moi.abuledu.org/w/4968-six_victorian_board_games-2 Six Victorian board-games] == Lire le texte d'origine en anglais == {{Boîte_déroulante | couleur = beige | titre = Six Victorian board-games for little girls, by Laura Valentine | contenu ={{lang|en| '''GAME OF CROQUET''' The scene which this picture represents is a country home on the banks of a beautiful river. City friends have come on a visit, and have brought with them a game of croquet. You can initiate the game on this little board by throwing two dice. The player that throws the highest number has the first throw. If he can throw a doublet, or the sum of the two dice equal 4, he can enter – then throw again to count 5, and continue so long as you can successfully throw the next number to the one you are on, or a doublet. If the first player should not be successful by throwing a doublet or No 4, the next player takes his turn. When one's person button comes on a number already occupied, he moves that button back one number. Continue around the field until you arrive home - 5.The first one home wins the game. '''GAME OF THE SPIDER AND THE FLY''' This picture represents a spider's web. Surrounding it, you will see ducks, squirrels, birds and a fox, companions to the spider and fly. The spider invites the fly into his parlor : and in playing the game he who is so unfortunate as to enter the parlor first, which is in the center of the spider's mansion, becomes the fly and loses the game : so all who play the game will endeavour to be the ugly spider. ''Directions'' This game will be played with dice. Each player will throw and enter in turn, on the space denoted by the sum of the two dice, moving around the outer circle until the move will place your button on N° 12 when you will move one space toward the centre ; and whenever double six is thrown, you also move in one space toward the centre. Take an extra throw for any doublet and whoever reaches the centre first loses the game, and is called the « Poor Fly. » '''GAME OF PEARL-FISHING''' ''DIRECTIONS'' - This pretty picture represents the Fowl fisheries of India. The pearls are found in oysters in deep water, and are obtained by men who dive to the bottom of the sea. Some of the pearls are of great value. In the foreground of this picture is a boat, in which are pearl-divers at work, and you will see one at the bottom of the sea, picking up an oyster containing seven pearls. You can imitate the diving in the following manner : Two dice are used, and any member of persons can play the game. The highest throw takes the first dive. After throwing the dice, place a button on the upper line on the corresponding number. If you enter on an even number continue to throw, and move down one space each time until an odd number is thrown, when you move one space to the right, and the next player takes his turn. Should you throw a doublet on entering, place your button Fig.1 on the first line, and dive immediately to the bottom ; or, if any/may time in the course of the game a doublet is thrown, the diver goes to the bottom of the column he is on and marks down the number of pearls he has found, and then takes an extra throw. Should doublets be again thrown, he rises directly to the surface and adds that number to that already marked down, which makes the number of pearls found at odd(?) dive. If he does not throw a doublet, he rises to the surface in the same manner he descended. When one player has completed his dive, he waits until all the others have finished theirs. If, when entering, the player throws an odd number, he places his button on that number on the first line, and the next player takes his turn. If the player moves off the board before rising the surface, he only counts the number of pearls found at the bottom. The players will agree upon the number of dives to be made for a game, and the person that gets the greatest number of pearls wins the game. '''FALCONRY''' The falcon is a noble bird of prey. Falconry, in the twelfth century, was the favourite sport of knights and nobles throughout Europe, and on those days it was about the only method of hunting birds of game. The ladies of the court were as fond of the sport as the men. They generally went out in parties on horseback, and the birds were trained to do their master's bedding, as hunting-dogs do at the present day. When the knights saw a bird high in the air, they pointed it out to the falcon, which would then, with lightning-like speed, seek and capture the bird, and bring it to his master. The picture represents Henry the Fowler, of Germany, who was so called on account of his fondness for this sport, and who engaged in it as early as A.D.930. The object of this game illustrated is to move according to rule, and the person who is unfortunate enough to be captured is termed the « Poor Bird » and the other the « Noble Falcon ». ''DIRECTIONS :'' Two persons only can play at this game. Two dice are thrown together counting from figure 1. Suppose one party throws 6 and 4, they move their marker six squares in one direction, and four squares at right angles from N° 1 figure, and when doublets are thrown, an extra throw is allowed. Each player takes a turn, and when a move will place a person's button or marker on another's square or marker, that person wins the game, and the title of the « Noble Falcon » and the other, the title of « Poor dead Bird ». Always count from the next space you are on, so many spaces in one direction for one dice, and so many in the other, at right angles, as are denoted by the throw. '''GAME OF FISHING''' This picture represents a party of fishermen : and a party of girls and boys can amuse themselves by fishing on the parlor table in the following manner : Two dice are used – when thrown, the spots uppermost are added together, and there should be a fish on the hook of the number throws, the party that threw the dice has a fish on his line ; he will place a button on the fish, and the other party Takes a throw and endeavors to throw the number of the space the fish is on, as designated in the margin. Should he do so, the fish is off the hook and has to be caught again. Should he not throw the number, the catcher of the fish moves up one space, and the other party tries to throw the fish off again, ans so on until the catcher of the fish gets him up out of the water, which, to be done, he places his button on the fish, and he cannot be thrown for again. During the game, after all of the fish that are represented all on the hooks are caught in the same way, each party counts his fish, and the person that hawls in the most fish is the best fisherman, and wins the game. They throw alternately until one of the players catches a fish ; after that the one who caught the fish does not throw, but moves up one space until he gets the fish ashore, while the other party is endeavoring to get the fish off the hook, which, should he succeed in doing, they each, in turn, throw to get the fish on the hook again. When the person is throwing the fish off the spaces, the sum of the two dice only can be used, excepting it be on the N° 1, or top space, when, if either of the dice should be a one spot, it will throw the fish off. When throwing to catch the fish, the person that throws a doublet can have an extra throw. '''GAME OF NAVAL ENGAGEMENT''' ''DIRECTIONS'' – This picture represents a Naval Engagement. In the distance the Ships of War, Monitors, Gunboats, etc are seen. In the foreground is a fortress manned by brave officers and gallant men. Two can play in the game : one will be the Admiral, and the other the General. The game is to be played with two dice : the highest throw opens fire. Count the spots on the two dice thrown, and place a button on the ship or gun whose number corresponds with the sum of the two dice thrown. Place the button on the ships when the fort fires, and on the guns or the fort when the ships fire. Continue until all the ships are sunk or the guns of the fort are silenced. The one firing the last gun wins the battle. Double ones or double sixes silence Nos 12. After a gun has been silenced or a ship sunk, if you throw the same number, it is a waste-ball or shot. }} }} {{AutoCat}} fof3mf8dwjyig61j015klxxxw5z21se 4 86055 982237 982201 2026-04-27T18:06:28Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-18 */ nouvelle section 982237 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|04}}{{Clr}}</noinclude> == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 3 avril 2026 à 17:11 (UTC) <!-- Message envoyé par User:ZI Jony@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Actualités techniques n° 2026-15 == <section begin="technews-2026-W15"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * L’[[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents|extension CampaignEvents]] comprend désormais une nouvelle fonctionnalité de définition d’objectifs de groupe, permettant aux organisateurs de définir et de suivre les objectifs de l’événement, tels que le nombre d’articles créés et de contributeurs participants en temps réel. De même, les participants peuvent travailler vers des cibles communes et voir leur impact collectif au fur et à mesure que l’événement se déroule. Cette fonctionnalité est désormais disponible sur tous les wikis Wikimedia. Pour en savoir plus, consultez [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Collaborative contributions#Goal setting|la documentation]]. * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] La nouvelle fonctionnalité d'[[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist labels|étiquettes de liste de suivi]] (annoncée dans les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Actualités techniques 2026-07 ]]) est désormais disponible via l'ÉditeurVisuel, l'éditeur de code et l'«étoile de suivi»(ou le lien de suivi, pour les habillages qui n'ont pas d'icône d'étoile). Auparavant, il n'était possible d'attribuer des étiquettes que via [[Special:EditWatchlist|Modifier la liste de suivi]]. Dans ces trois emplacements, il s'agit d'un nouveau champ situé après le champ d'expiration. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:23|la tâche soumise|les {{formatnum:23}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:23||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème où les pages de discussion sur mobile avec Parsoid sont inutilisables après les en-têtes de section vides, a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419171] '''Actualités pour la contribution technique''' * La [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|fonctionnalité de sous-référencement]], qui permet aux contributeurs d'ajouter des détails à une référence existante sans la dupliquer, sera progressivement déployée sur [[phab:T414094|davantage de wikis]] plus tard cette année. Les wikis utilisant le gadget [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Reference Tooltips]] sont encouragés à mettre à jour leur version (généralement sur [[m:MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js|MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js]] comme indiqué [https://en.wikipedia.org/w/index.php?diff=1344408362 ici]) pour assurer la compatibilité. D'autres gadgets liés aux références pourraient également être affectés. [https://phabricator.wikimedia.org/T416304] * Toutes les éditions de Wikinews seront fermées et passeront en mode lecture seule le 4 mai 2026. Le contenu restera accessible, mais aucune nouvelle modification ni aucun nouvel article ne pourra être ajouté. Cette fermeture a été approuvée par le Conseil d'administration de la Fondation Wikimedia à la suite de discussions prolongées. [[m:Wikimedia Foundation Board noticeboard#Board of Trustees Approves Closure of Wikinews|En savoir plus]]. * L'[[:mw:Special:MyLanguage/API:Action API|API d'action]] a proposé plusieurs formats pour les résultats demandés. L'un d'entre eux, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>format=php</nowiki></code></bdi>, sera bientôt supprimé. Veuillez vous assurer que vos scripts ou robots utilisent le [[mw:Special:MyLanguage/API:Data formats#Output|format JSON]]. Cette suppression devrait affecter très peu de scripts et de robots. [https://phabricator.wikimedia.org/T118538] * La page [[Special:NamespaceInfo|Special:NamespaceInfo]] inclut désormais les alias d'espace de noms. Par exemple «WP» pour l'espace de noms ''Projet'' (''Wikipédia'') sur la Wikipédia en allemand. [https://phabricator.wikimedia.org/T381455] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.23|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W15"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 6 avril 2026 à 16:19 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30362761 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-16</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W16"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/16|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Experienced editors are invited to [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Main_Page test] the [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] feature, designed to help less-experienced editors create well-structured, policy-compliant Wikipedia articles. Testing instructions are [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide|available]]. Also, after reviewing [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance the outlines], please provide feedback on the [[mw:Talk:Article guidance|project talk page]]. Based on your input, the feature will be refined and transferred to the pilot Wikipedias to translate and adapt. Check out [[c:File:Article Guidance workflow demo - April 2026.webm|the video]] explaining the feature. '''Updates for editors''' * On most wikis, all autoconfirmed users can now use [[Special:ChangeContentModel|Special:ChangeContentModel]] page to [[mw:Special:MyLanguage/Help:ChangeContentModel|create new pages with custom content models]], such as mass message lists, making custom page formats more accessible. Check [[Special:ListGroupRights|Special:ListGroupRights]] for the status of your wiki. [https://phabricator.wikimedia.org/T248294] * The Growth team has launched an [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account_Creation_Experiments|account creation experiment]] to evaluate whether adding an account creation button to the mobile web header increases new account registrations and encourages more mobile users to contribute to the wikis. The experiment is currently live on Hindi, Indonesian, Bengali, Thai, and Hebrew Wikipedia, and targets 10% of logged-out mobile web users. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where VisualEditor could get stuck loading on Windows devices with animations turned off, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T382856] '''Updates for technical contributors''' * Starting later this week, {{int:group-abusefilter}} who have the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature enabled will have [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] as the editor at [[Special:AbuseFilter|Special:AbuseFilter]]. This is part of the broader effort to make the user experience more consistent across all editors. [https://phabricator.wikimedia.org/T399673][https://phabricator.wikimedia.org/T419332] * Tools and bots that access the [[mw:Special:MyLanguage/Notifications/API|Notifications API]] (<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=query&meta=notifications</nowiki></code></bdi>) will need to update their OAuth or BotPassword grants to also include access to private notifications. [https://phabricator.wikimedia.org/T421991] * Due to a library upgrade, listings on category pages may be displayed out of order starting on Monday, 20th April. A migration script will be run to correct this, and will take hours to days depending on the size of the wiki (up to a week for English Wikipedia). [https://phabricator.wikimedia.org/T422544] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.24|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/16|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W16"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 13 avril 2026 à 15:19 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30380527 --> == Actualités techniques n° 2026-17 == <section begin="technews-2026-W17"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/17|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Après deux ans de développement, la version [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]], également connue sous le nom de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror 6]], sortira de sa phase bêta le mardi 21 avril. Elle offrira une meilleure lisibilité du code et du wikitext, une réduction des fautes de frappe et d'autres [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|avantages]] à tous les utilisateurs du surligneur de syntaxe standard. Un grand merci au bénévole [https://phabricator.wikimedia.org/p/Bhsd/ Bhsd] qui a développé de nombreuses nouvelles fonctionnalités, notamment [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Code folding|le repliement de code]], [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Autocompletion|la saisie semi-automatique]] et [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Linting|l'analyse statique du code]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T259059] * Une mise à jour majeure de l'application Wikipédia pour iOS est en cours de déploiement, en restructurant l'interface pour s'harmoniser avec le tout nouveau design visuel "Liquid Glass" d'Apple. [https://apps.apple.com/us/app/wikipedia/id324715238 Télécharger la dernière version] et découvrez les nouveautés. '''Actualités pour la contribution''' * [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|Les listes de lecture]] est une fonctionnalité qui permet aux lecteurs d'enregistrer des articles dans une liste pour les lire ultérieurement. Cette fonctionnalité est actuellement en version bêta sur les Wikipédias en arabe, français, indonésien, vietnamien et chinois, et activée par défaut pour tous les nouveaux comptes sur toutes les Wikipédias. * Une expérimentation visant à étendre [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews|les aperçus de page au web mobile]] sera lancée la semaine du 20 avril sur les versions arabe, anglaise, française, italienne, polonaise et vietnamienne de Wikipédia. Les aperçus de page sont des fenêtres contextuelles affichant une miniature, un premier paragraphe et un lien bleu permettant d'ouvrir l'article complet, facilitant ainsi la découverte de contenu. Cette fonctionnalité est déjà disponible sur ordinateur et dans les applications. [[m:Special:MyLanguage/List of experiments in Product and Technology#Template|En savoir plus sur cette expérimentation et d'autres]]. * Sur plusieurs wikis, les contributeurs connectés qui n'ont pas [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email confirmation|confirmé leur adresse électronique]] peuvent désormais voir une bannière les invitant à le faire. La confirmation de l'adresse électronique permet à un utilisateur de récupérer l'accès à son compte en cas de perte. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security#Encouraging users to confirm their email addresses|En savoir plus]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T421366] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:15|la tâche soumise|les {{formatnum:15}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:15||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème qui entraînait des ralentissements lors de la modification de très grandes pages wiki dans l'éditeur wikitext de 2017, des problèmes de chargement, de prévisualisation et de défilement, ainsi que des problèmes de performance lors de la sélection, de la découpe ou du collage de contenu, a maintenant été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T184857] '''Actualités pour la contribution technique''' * Dans le cadre de la promotion de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror]] à partir d'une fonctionnalité bêta, tous les utilisateurs se serviront de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] au lieu de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] pour la coloration syntaxique lors de l'édition de pages de contenu JavaScript, CSS, JSON, Vue et Lua. [https://phabricator.wikimedia.org/T419332] * <span class="mw-translate-fuzzy">Le service <code>mirrors.wikimedia.org</code> pour les utilisateurs de Debian et Ubuntu sera définitivement arrêté le 15 mai. Le matériel du serveur sera remplacé par des solutions plus performantes. Certains utilisateurs devront peut-être migrer vers un autre serveur qui ne devra prendre qu'une minute. [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/thread/LJYRIS4WB66HIRCAO4GIDTXCMDVZRBMA/ Vous pouvez en savoir plus].</span> [https://phabricator.wikimedia.org/T416707] * Les tables <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>image</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>oldimage</nowiki></code></bdi> seront supprimées de [[wikitech:Help:Wiki Replicas|wikireplicas]]. Si vos outils ou requêtes accèdent directement à <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>image</nowiki></code></bdi> ou <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>oldimage</nowiki></code></bdi>, veuillez les mettre à jour pour utiliser les tables <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>file</nowiki></code></bdi> et <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>filerevision</nowiki></code></bdi> avant le 28 mai. [https://phabricator.wikimedia.org/T28741] * Suite à la récente mise en place de limites de débit globales pour les API non identifiées, la Fondation Wikimedia poursuit ses efforts pour garantir [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|une utilisation équitable de l'infrastructure]] en appliquant des limites globales au trafic des API identifiées à partir de la dernière semaine d'avril. Ces limites sont volontairement fixées au niveau le plus élevé possible afin de minimiser l'impact sur la communauté. Les bots exécutés dans Toolforge/WMCS ou disposant des droits d'utilisateur de bot sur un wiki ne devraient pas être affectés pour le moment. Toutefois, il est conseillé à tous les développeurs de suivre les bonnes pratiques mises à jour. Pour plus d'informations, consultez la page [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|API Wikimedia/Limites de débit]] et la [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits/FAQ|Foire aux questions]]. * L'[[mw:Special:MyLanguage/Attribution API|API d'attribution]] est désormais disponible en [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Stability policy|version bêta]]. Elle récupère les informations nécessaires pour créditer les articles et les fichiers multimédias de Wikimedia, quel que soit leur lieu d'utilisation. La documentation de référence est disponible sur la page dédiée au Sandbox REST, accessible sur tous les wikis Wikimedia (comme [https://en.wikipedia.org/w/index.php?api=attribution.v0-beta&title=Special%3ARestSandbox le sandbox REST de Wikipédia en anglais]). N'hésitez pas à partager vos commentaires sur la [[mw:Talk:Attribution API|page de discussion du projet]]. * Il n'y aura pas de nouvelle version de MediaWiki cette semaine. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/17|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W17"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20 avril 2026 à 15:00 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30432763 --> == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 26 avril 2026 à 00:58 (UTC) </bdi> <!-- Message envoyé par User:Codename Noreste@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == Actualités techniques n° 2026-18 == <section begin="technews-2026-W18"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/18|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Un changement dans la manière dont les utilisateurs et utilisatrices sont automatiquement confirmés est en cours pour améliorer la protection contre le vandalisme. Actuellement, il suffit d’avoir un compte depuis quelques jours avec quelques contributions pour être ajouté au groupe [[{{int:grouppage-autoconfirmed/{{CONTENTLANGUAGE}}}}|{{int:group-autoconfirmed}}]]. Cette configuration tend à être exploitée par certains vandales qui créent des comptes et commencent à les utiliser après un certain temps. Pour réduire ce problème, la configuration va changer la semaine prochaine afin que l’âge du compte minimum pour être confirmé automatiquement ne soit calculé qu’à partir de la première modification, au lieu de la date d’inscription. L’âge minimum du compte restera le même, c’est seulement le point de départ pour calculer cet âge qui change. Ce changement ne sera déployé que sur les wikis qui nécessitent au moins une contribution pour satisfaire les conditions de confirmation automatique. [https://phabricator.wikimedia.org/T418484] * Tous les utilisateurs et utilisatrices de Wikipédia avec un nouveau compte et ceux qui ont activé l’option « activer automatiquement la plupart des fonctionnalités bêta » peuvent désormais utiliser la fonctionnalité bêta de [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|listes de lecture]] pour enregistrer des articles à lire plus tard. Cela permet d’organiser les lectures qui nous intéressent à un endroit unique pour y accéder facilement. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème avec les images d’infoboite qui avaient une marge intérieure immense dans Firefox a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T423676] '''Actualités pour la contribution technique''' * Pour rappel, la limite globale d’accès à l’API sera appliquée cette semaine pour identifier le trafic de l’API. Le but est d’aider à garantir un [[mw:MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|accès équitable à l’infrastructure]]. Les robots qui s’exécutent dans Toolforge ou WMCS, ou avec le droit utilisateur ''robot'' sur les wikis, ne devraient pas être affectés pour le moment. Cependant, il est conseillé à tous les développeurs et développeuses de se conformer aux nouvelles bonnes pratiques à suivre. Pour plus d’informations, notamment la limite globale d’accès effective, consultez [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|la page sur la limite d’accès des API de Wikimedia]] et les [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits/FAQ|questions-réponses]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.26|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/18|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W18"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 27 avril 2026 à 18:06 (UTC) <!-- Message envoyé par User:UOzurumba (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30458046 --> qenvahnv7rqu6oj062ijjlkudedf9bv 0 86372 982215 978569 2026-04-27T16:48:55Z Solstag 13856 IFIS-UGE 982215 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] <div style="margin: 2em;"> <inputbox> type=fulltext placeholder=Recherche dans les pages Cortext sur Wikiversité searchbuttonlabel=🔍 break=no searchfilter=subpageof:"Cortext" </inputbox> </div> La '''plateforme Cortext''' est une infrastructure de recherche spécialisée dans les méthodes computationnelles pour les sciences humaines et sociales. Son but est d'équiper chercheuses et chercheurs avec des instruments d'analyse computationnelle conceptuellement appropriés et ergonomiques, typiquement en appui aux recherches qualitatives, documentaires ou enquêtes de terrain, et notamment pour le traitement de corpus provenant de leurs projets ou de bases de données connexes. * [https://www.cortext.net/ Site web] * [https://gitlab.com/cortext/ Chez Gitlab] == Formations == * [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE|2026-04-30 IFIS]] * [[Cortext/Formations/2026-04-27_UFBA|2026-04-27 UFBA]] * [[Cortext/Formations/2026-02-20 CAPES-MEC-BR|2026-02-20 CAPES-MEC-BR]] * [[Cortext/Formations/2026-02-12 USP|2026-02-12 USP]] * [[Cortext/Formations/2026-01-20 LISIS|2026-01-20 LISIS]] * 2025-11-[5-7] [https://istex25-renatis.sciencesconf.org/ ANF Corpus Istex] * …[https://gitlab.com/cortext/workshops antérieures] == Cortext Manager == === Tutoriels === * [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]] * [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * …[https://docs.cortext.net/training-materials/ d'autres, sur le site de documentation] == Opérations et méthodes éditées == * [https://gitlab.com/cortext/cortext-methods/ Groupe « cortext-methods » sur Gitlab] [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] [[Catégorie:Cortext (Q121766545)]] 4ylwl9iex3crjh4hns9m3afcrpb9cuh 982217 982215 2026-04-27T16:59:53Z Solstag 13856 982217 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] <div style="margin: 2em;"> <inputbox> type=fulltext placeholder=Recherche dans les pages Cortext sur Wikiversité searchbuttonlabel=🔍 break=no searchfilter=subpageof:"Cortext" </inputbox> </div> La '''plateforme Cortext''' est une infrastructure de recherche spécialisée dans les méthodes computationnelles pour les sciences humaines et sociales. Son but est d'équiper chercheuses et chercheurs avec des instruments d'analyse computationnelle conceptuellement appropriés et ergonomiques, typiquement en appui aux recherches qualitatives, documentaires ou enquêtes de terrain, et notamment pour le traitement de corpus provenant de leurs projets ou de bases de données connexes. * [https://www.cortext.net/ Site web] * [https://gitlab.com/cortext/ Chez Gitlab] == Formations == * [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE|2026-04-30 IFIS-UGE]] * [[Cortext/Formations/2026-04-27_UFBA|2026-04-27 UFBA]] * [[Cortext/Formations/2026-02-20 CAPES-MEC-BR|2026-02-20 CAPES-MEC-BR]] * [[Cortext/Formations/2026-02-12 USP|2026-02-12 USP]] * [[Cortext/Formations/2026-01-20 LISIS|2026-01-20 LISIS]] * 2025-11-[5-7] [https://istex25-renatis.sciencesconf.org/ ANF Corpus Istex] * …[https://gitlab.com/cortext/workshops antérieures] == Cortext Manager == === Tutoriels === * [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]] * [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * …[https://docs.cortext.net/training-materials/ d'autres, sur le site de documentation] == Opérations et méthodes éditées == * [https://gitlab.com/cortext/cortext-methods/ Groupe « cortext-methods » sur Gitlab] [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] [[Catégorie:Cortext (Q121766545)]] ihs7u6qj3pw9hjx698tuun8gds8nguz 982218 982217 2026-04-27T17:01:33Z Solstag 13856 cortext-libraries 982218 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] <div style="margin: 2em;"> <inputbox> type=fulltext placeholder=Recherche dans les pages Cortext sur Wikiversité searchbuttonlabel=🔍 break=no searchfilter=subpageof:"Cortext" </inputbox> </div> La '''plateforme Cortext''' est une infrastructure de recherche spécialisée dans les méthodes computationnelles pour les sciences humaines et sociales. Son but est d'équiper chercheuses et chercheurs avec des instruments d'analyse computationnelle conceptuellement appropriés et ergonomiques, typiquement en appui aux recherches qualitatives, documentaires ou enquêtes de terrain, et notamment pour le traitement de corpus provenant de leurs projets ou de bases de données connexes. * [https://www.cortext.net/ Site web] * [https://gitlab.com/cortext/ Chez Gitlab] == Formations == * [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE|2026-04-30 IFIS-UGE]] * [[Cortext/Formations/2026-04-27_UFBA|2026-04-27 UFBA]] * [[Cortext/Formations/2026-02-20 CAPES-MEC-BR|2026-02-20 CAPES-MEC-BR]] * [[Cortext/Formations/2026-02-12 USP|2026-02-12 USP]] * [[Cortext/Formations/2026-01-20 LISIS|2026-01-20 LISIS]] * 2025-11-[5-7] [https://istex25-renatis.sciencesconf.org/ ANF Corpus Istex] * …[https://gitlab.com/cortext/workshops antérieures] == Cortext Manager == === Tutoriels === * [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]] * [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * …[https://docs.cortext.net/training-materials/ d'autres, sur le site de documentation] == Opérations et méthodes éditées == * [https://gitlab.com/cortext/cortext-methods/ Groupe « cortext-methods » sur Gitlab] * [https://gitlab.com/cortext/cortext-libraries/ Groupe « cortext-libraries » sur Gitlab] [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] [[Catégorie:Cortext (Q121766545)]] ewv5nryfrkkx2b5y93ridqv4clu07xn 982219 982218 2026-04-27T17:03:23Z Solstag 13856 Cortext Manager: liens app et doc 982219 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] <div style="margin: 2em;"> <inputbox> type=fulltext placeholder=Recherche dans les pages Cortext sur Wikiversité searchbuttonlabel=🔍 break=no searchfilter=subpageof:"Cortext" </inputbox> </div> La '''plateforme Cortext''' est une infrastructure de recherche spécialisée dans les méthodes computationnelles pour les sciences humaines et sociales. Son but est d'équiper chercheuses et chercheurs avec des instruments d'analyse computationnelle conceptuellement appropriés et ergonomiques, typiquement en appui aux recherches qualitatives, documentaires ou enquêtes de terrain, et notamment pour le traitement de corpus provenant de leurs projets ou de bases de données connexes. * [https://www.cortext.net/ Site web] * [https://gitlab.com/cortext/ Chez Gitlab] == Formations == * [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE|2026-04-30 IFIS-UGE]] * [[Cortext/Formations/2026-04-27_UFBA|2026-04-27 UFBA]] * [[Cortext/Formations/2026-02-20 CAPES-MEC-BR|2026-02-20 CAPES-MEC-BR]] * [[Cortext/Formations/2026-02-12 USP|2026-02-12 USP]] * [[Cortext/Formations/2026-01-20 LISIS|2026-01-20 LISIS]] * 2025-11-[5-7] [https://istex25-renatis.sciencesconf.org/ ANF Corpus Istex] * …[https://gitlab.com/cortext/workshops antérieures] == Cortext Manager == * [https://managerv2.cortext.net/ Cortext Manager] * [https://docs.cortext.net/ Documentation en anglais] === Tutoriels === * [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]] * [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * …[https://docs.cortext.net/training-materials/ d'autres, sur le site de documentation] == Opérations et méthodes éditées == * [https://gitlab.com/cortext/cortext-methods/ Groupe « cortext-methods » sur Gitlab] * [https://gitlab.com/cortext/cortext-libraries/ Groupe « cortext-libraries » sur Gitlab] [[Catégorie:UMR LISIS (Q52604608)]] [[Catégorie:Cortext (Q121766545)]] 08p4zp9f4ffuyxzthej6d94bjc49961 0 86392 982210 977166 2026-04-27T16:41:15Z Solstag 13856 CorText→Cortext 982210 wikitext text/x-wiki {{DISPLAYTITLE:La visualisation géospatiale avec CorText Manager}} == Atelier 3 — La visualisation géospatiale avec Cortext Manager (14h–15h) == === Objectifs === Cet atelier présente un flux complet “de la donnée à l’analyse spatiale” dans Cortext Manager : * géocoder des adresses / lieux (toponymes) et gérer les ambiguïtés ; * valider / corriger les localisations ; * agréger sur des objets géographiques (villes, régions, aires urbaines, etc.) ; * cartographier des '''valeurs''' (cartes choroplèthes / symboles proportionnels) ; * cartographier des '''réseaux''' (collaborations, flux origine–destination) et, au besoin, explorer ces réseaux dans '''Arabesque'''. === Matériel et prérequis === * Un projet Cortext Manager et un corpus importé (ou un extrait d’exemple). * Au moins une colonne “où ?” : ** adresse complète ; ** ou ville/pays ; ** ou codes structurés (ex. CP) ; ** ou toponymes extraits. * Optionnel ** '''pour les réseaux''' : plusieurs adresses par document, par exemple par “acteur” (auteur, organisation, établissement…), permettant de construire des collaborations. ** pour un '''croisement de dimension d'analyse''' : une clustering thématique déjà effectué par Cortext Manager, où des catégories déjà présentes dans le corpus pour, par exemple, une comparaison des réseaux en fonction de thèmes. ---- == 0. Cas d’étude fil rouge (adaptation au changement climatique) == Cette section sert d’illustration “avant / pendant / après” : elle définit les frontières du corpus et montre ce que l’on peut produire en géovisualisation (valeurs + réseaux), dans une logique similaire à la démonstration de l’atelier. === 0.1 How? Définir les frontières de l’étude === {| class="wikitable" style="width:100%;" |- ! style="width:50%;" | Contexte et cadrage ! style="width:50%;" | Requêtes et périmètre de données |- | style="vertical-align:top;" | Les impacts du changement climatique sur nos modes de vie et nos formes d’organisation constituent un enjeu majeur du XXIe siècle. Les politiques publiques structurent classiquement la réponse autour de deux axes : * '''Atténuation (mitigation)''' : réduire les émissions / les causes ; * '''Adaptation''' : limiter les impacts sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux et les écosystèmes. ''(Illustration mitigation vs adaptation)'' *Voir l’image : mitigation vs adaptation |style="vertical-align:top;" | ==== Publications scientifiques (ex. Web of Science) ==== Exemple de requête (2001–2024) : <pre> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND PY=(2001-2024) </pre> Filtre (exemple) : Scientific journal, book chapters, proceeding paper ==== Fronts de recherche doctorale (theses.fr) ==== Exemple d’API de recherche theses.fr (paramètre q=…) : <pre> theses.fr/api/v1/theses/recherche/?q=( "adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*" OR "adaptation* au* changement* climatique*" OR "adaptation* changement* climatique*" OR "adaptation* pour le* changement* climatique*" OR "adaptation* au* climat*" OR "adaptation* climatique*" OR "adaptation* pour le climat*" OR "climat* adaptation*" ) </pre> ''Note de cadrage (exemple d’interprétation)'' : * 380 thèses (dont un sous-ensemble “en cours” et “soutenue”) selon les filtres retenus dans la démonstration. |} == 1. Étape 1 — Géocodage dans Cortext Manager (≈ 20 min) == === 1.1 Principes === Le géocodage associe à une information textuelle (adresse, toponyme, code…) : * des coordonnées ; * (souvent) un type d’objet géographique et un niveau d’échelle. Dans Cortext Manager, on dispose : * d’un accès “application” (Manager) et de services “moteur” (API) selon les besoins. === 1.2 Résolution d’ambiguïtés (ce que fait le moteur) === Pour une adresse / un toponyme donné, le moteur peut arbitrer entre plusieurs candidats en mobilisant : * une classification des entités géographiques (placetypes / ontologie) ; * des variables externes (ex. critère de “popularité” / taille) pour ordonner les candidats. Référence utile (placetypes Who’s On First) === 1.3 Stratégies d’échelle (micro / méso) === D’après la démonstration (Manager) : * '''Micro géocodage''' : priorité à l’échelle rue / bâtiment / POI (si les adresses sont riches et propres). * '''Méso géocodage''' : filtrage (noms d’organisations, rues, personnes, boîtes postales…) pour réduire les ambiguïtés et produire des localisations plus agrégées (quartier → ville → aire urbaine). === 1.4 Pas à pas (dans l’atelier) === # Identifier la/les colonnes de localisation (adresse, ville, pays, codes…). # Lancer l’opération de géocodage dans Cortext Manager. # Choisir la stratégie (micro / méso) adaptée à la qualité de l’entrée. # Exécuter et inspecter : taux de géocodage, valeurs manquantes, localisations aberrantes. ---- == 2. Étape 2 — Validation, corrections, “refine” (≈ 15 min) == Le contrôle qualité est indispensable : homonymes, adresses tronquées, pays manquants, etc. === 2.1 Ce qu’on vérifie === * Points “hors zone” (continent/pays inattendus). * Doublons (variantes d’écriture). * Ambiguïtés (“Cambridge”, “Springfield”…). * Valeurs non géocodées. === 2.2 Correction / raffinement === Dans la démonstration, une étape de validation/correction (“refine”) est utilisée pour filtrer et corriger les cas problématiques, puis relancer si nécessaire. ---- == 3. Étape 3 — Agrégation (≈ 10 min) == Objectif : passer des points à des unités d’analyse stables : * villes (centroïdes), * régions/pays, * aires urbaines fonctionnelles, etc. === 3.1 Pourquoi agréger ? === * Comparabilité (mêmes unités pour tous), * Robustesse (moins sensible au bruit des adresses), * Interprétation (territoires plutôt que points). === 3.2 Exemple : aires urbaines fonctionnelles (FUA) === La démonstration mentionne un assemblage multi-sources (Europe/JRC, Urban Audit, US Census, OCDE, Chine, Natural Earth/MODIS…) pour définir des unités urbaines cohérentes à l’échelle mondiale. (Penser aux crédits/citations selon l’usage). ---- == 4. Cartographier : valeurs vs réseaux (≈ 10 min) == === 4.1 Cartes de valeurs (pas de réseau) === Exemples : * volume de publications par ville/aire urbaine ; * intensité d’un thème par région ; * évolution par périodes. Livrables typiques : * table agrégée (lieu → valeur), * exports compatibles carto (CSV géocodé ; GeoJSON si disponible selon pipeline). === 4.2 Réseaux et flux (liens entre lieux) === Exemples : * co-publications entre villes, * collaborations entre organisations multi-sites, * flux origine–destination. Mesures usuelles : * '''compte entier''' : chaque lieu compte “plein” ; * '''compte fractionnaire''' : chaque lieu reçoit une fraction (1/n) de la collaboration. ---- == 5 Where? Résultats illustratifs (valeurs + réseaux) == ==== 5.1.1 Publications scientifiques — top pays (valeurs agrégées) ==== *Voir l’image : top 10 countries ''Lecture (exemple)'' : volume par pays, année moyenne de publication, impact (citations normalisées) – les contrastes peuvent signaler des entrées plus récentes dans le champ et des centres de production/impact. ==== 5.1.2 Publications scientifiques — intensité de recherche des villes (carte interactive) ==== Lien direct (toujours utilisable) : *Carte interactive : intensité de recherche des villes ==== 5.1.3 Publications scientifiques — réseau international de collaborations (villes) ==== *réseau international *Ouvrir Arabesque ''Lecture (exemple)'' : réseaux nationaux structurés (ex. Chine, Australie), liens faibles entre certains ensembles, et “portes d’entrée” (villes passerelles) pour des collaborations interrégionales. Pour explorer, filtrer et mettre en forme les flux : '''Arabesque'''. ==== 5.1.4 Publications scientifiques — réseau France (villes) ==== *Voir l’image : réseau France ''Lecture (exemple)'' : structuration en triangle (ex. Paris–Montpellier–Toulouse) et rôle de pôles régionaux (ex. Grenoble, Bordeaux, Rennes…). ---- === 5.2 Where? Fronts doctoraux — réseaux d’établissements === ==== 5.2.1 Réseau national (France) ==== *Voir l’image : réseau national ''Lecture (exemple)'' : réseau en étoile, centralités, hubs régionaux, et effet d’échelle selon l’unité (ville / établissement / aire urbaine). ==== 5.2.2 Focus local (Île-de-France) ==== *Voir l’image : focus local ''Lecture (exemple)'' : structuration par Paris/Saclay, et rôle de campus/organisations dans l’accueil des doctorant·es sur ces thématiques. ---- == 6. Interopérabilité : explorer un réseau spatial dans Arabesque == Lorsque l’on veut aller plus loin dans la géovisualisation des réseaux/flux (sémiologie, filtrages attributaires, filtrage spatial par distance, couches, tuiles…), on peut utiliser '''Arabesque'''. === 6.1 Ce qu’Arabesque permet (repères rapides) === * Importer des nœuds + liens (ou des matrices OD) ; * Paramétrer la géographie (fonds, couches, reprojection) ; * Paramétrer la géométrie et la sémiologie (nœuds/liens) ; * Filtrer (attributs, distances) et exporter. Documentation (Arabesque 2) : === 6.2 Repères d’interface (mémo) === D’après le support : * Panneau central : géovisualisation * Panneau droit : statistiques, filtrage attributaire, filtrage spatial (distance) * Panneau gauche : géographie (tuiles/couches), implantation, géométrie (liens/nœuds), sémiologie ---- == 7. Conclusion (≈ 5 min) == Questions pour guider l’interprétation : * Quelles unités spatiales sont pertinentes (ville, aire urbaine, région, pays) ? * Quelle mesure de collaboration (entier / fractionnaire) est la plus adaptée ? * Quelles hypothèses émergent (pôles, corridors, villes-ponts, effets d’échelle) ? ---- == Ressources == * Arabesque (application) * Documentation Arabesque 2 * Exemples d’usage de l’API theses.fr (paramètre q=) * Who’s On First — placetypes (ontologie) == Contributeurs == Support de démonstration et trame de l’atelier (Cortext / Arabesque ; géocodage, refine, agrégation, interopérabilité) : Lionel Villard, Françoise Bahoken, Étienne Côme, Luis Daniel Medina fleehm12n5v5aiqstvjqmytr9c1kut3 982211 982210 2026-04-27T16:42:25Z Solstag 13856 titre 982211 wikitext text/x-wiki == Atelier 3 — La visualisation géospatiale avec Cortext Manager (14h–15h) == === Objectifs === Cet atelier présente un flux complet “de la donnée à l’analyse spatiale” dans Cortext Manager : * géocoder des adresses / lieux (toponymes) et gérer les ambiguïtés ; * valider / corriger les localisations ; * agréger sur des objets géographiques (villes, régions, aires urbaines, etc.) ; * cartographier des '''valeurs''' (cartes choroplèthes / symboles proportionnels) ; * cartographier des '''réseaux''' (collaborations, flux origine–destination) et, au besoin, explorer ces réseaux dans '''Arabesque'''. === Matériel et prérequis === * Un projet Cortext Manager et un corpus importé (ou un extrait d’exemple). * Au moins une colonne “où ?” : ** adresse complète ; ** ou ville/pays ; ** ou codes structurés (ex. CP) ; ** ou toponymes extraits. * Optionnel ** '''pour les réseaux''' : plusieurs adresses par document, par exemple par “acteur” (auteur, organisation, établissement…), permettant de construire des collaborations. ** pour un '''croisement de dimension d'analyse''' : une clustering thématique déjà effectué par Cortext Manager, où des catégories déjà présentes dans le corpus pour, par exemple, une comparaison des réseaux en fonction de thèmes. ---- == 0. Cas d’étude fil rouge (adaptation au changement climatique) == Cette section sert d’illustration “avant / pendant / après” : elle définit les frontières du corpus et montre ce que l’on peut produire en géovisualisation (valeurs + réseaux), dans une logique similaire à la démonstration de l’atelier. === 0.1 How? Définir les frontières de l’étude === {| class="wikitable" style="width:100%;" |- ! style="width:50%;" | Contexte et cadrage ! style="width:50%;" | Requêtes et périmètre de données |- | style="vertical-align:top;" | Les impacts du changement climatique sur nos modes de vie et nos formes d’organisation constituent un enjeu majeur du XXIe siècle. Les politiques publiques structurent classiquement la réponse autour de deux axes : * '''Atténuation (mitigation)''' : réduire les émissions / les causes ; * '''Adaptation''' : limiter les impacts sur les activités socio-économiques, les espèces, les milieux et les écosystèmes. ''(Illustration mitigation vs adaptation)'' *Voir l’image : mitigation vs adaptation |style="vertical-align:top;" | ==== Publications scientifiques (ex. Web of Science) ==== Exemple de requête (2001–2024) : <pre> TS=("adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*") AND PY=(2001-2024) </pre> Filtre (exemple) : Scientific journal, book chapters, proceeding paper ==== Fronts de recherche doctorale (theses.fr) ==== Exemple d’API de recherche theses.fr (paramètre q=…) : <pre> theses.fr/api/v1/theses/recherche/?q=( "adapt* to climat* chang*" OR "adapt* climat* chang*" OR "adapt* for climat* chang*" OR "climat* chang* adapt*" OR "adapt* to climat*" OR "adapt* climat*" OR "adapt* for climat*" OR "climat* adapt*" OR "adaptation* au* changement* climatique*" OR "adaptation* changement* climatique*" OR "adaptation* pour le* changement* climatique*" OR "adaptation* au* climat*" OR "adaptation* climatique*" OR "adaptation* pour le climat*" OR "climat* adaptation*" ) </pre> ''Note de cadrage (exemple d’interprétation)'' : * 380 thèses (dont un sous-ensemble “en cours” et “soutenue”) selon les filtres retenus dans la démonstration. |} == 1. Étape 1 — Géocodage dans Cortext Manager (≈ 20 min) == === 1.1 Principes === Le géocodage associe à une information textuelle (adresse, toponyme, code…) : * des coordonnées ; * (souvent) un type d’objet géographique et un niveau d’échelle. Dans Cortext Manager, on dispose : * d’un accès “application” (Manager) et de services “moteur” (API) selon les besoins. === 1.2 Résolution d’ambiguïtés (ce que fait le moteur) === Pour une adresse / un toponyme donné, le moteur peut arbitrer entre plusieurs candidats en mobilisant : * une classification des entités géographiques (placetypes / ontologie) ; * des variables externes (ex. critère de “popularité” / taille) pour ordonner les candidats. Référence utile (placetypes Who’s On First) === 1.3 Stratégies d’échelle (micro / méso) === D’après la démonstration (Manager) : * '''Micro géocodage''' : priorité à l’échelle rue / bâtiment / POI (si les adresses sont riches et propres). * '''Méso géocodage''' : filtrage (noms d’organisations, rues, personnes, boîtes postales…) pour réduire les ambiguïtés et produire des localisations plus agrégées (quartier → ville → aire urbaine). === 1.4 Pas à pas (dans l’atelier) === # Identifier la/les colonnes de localisation (adresse, ville, pays, codes…). # Lancer l’opération de géocodage dans Cortext Manager. # Choisir la stratégie (micro / méso) adaptée à la qualité de l’entrée. # Exécuter et inspecter : taux de géocodage, valeurs manquantes, localisations aberrantes. ---- == 2. Étape 2 — Validation, corrections, “refine” (≈ 15 min) == Le contrôle qualité est indispensable : homonymes, adresses tronquées, pays manquants, etc. === 2.1 Ce qu’on vérifie === * Points “hors zone” (continent/pays inattendus). * Doublons (variantes d’écriture). * Ambiguïtés (“Cambridge”, “Springfield”…). * Valeurs non géocodées. === 2.2 Correction / raffinement === Dans la démonstration, une étape de validation/correction (“refine”) est utilisée pour filtrer et corriger les cas problématiques, puis relancer si nécessaire. ---- == 3. Étape 3 — Agrégation (≈ 10 min) == Objectif : passer des points à des unités d’analyse stables : * villes (centroïdes), * régions/pays, * aires urbaines fonctionnelles, etc. === 3.1 Pourquoi agréger ? === * Comparabilité (mêmes unités pour tous), * Robustesse (moins sensible au bruit des adresses), * Interprétation (territoires plutôt que points). === 3.2 Exemple : aires urbaines fonctionnelles (FUA) === La démonstration mentionne un assemblage multi-sources (Europe/JRC, Urban Audit, US Census, OCDE, Chine, Natural Earth/MODIS…) pour définir des unités urbaines cohérentes à l’échelle mondiale. (Penser aux crédits/citations selon l’usage). ---- == 4. Cartographier : valeurs vs réseaux (≈ 10 min) == === 4.1 Cartes de valeurs (pas de réseau) === Exemples : * volume de publications par ville/aire urbaine ; * intensité d’un thème par région ; * évolution par périodes. Livrables typiques : * table agrégée (lieu → valeur), * exports compatibles carto (CSV géocodé ; GeoJSON si disponible selon pipeline). === 4.2 Réseaux et flux (liens entre lieux) === Exemples : * co-publications entre villes, * collaborations entre organisations multi-sites, * flux origine–destination. Mesures usuelles : * '''compte entier''' : chaque lieu compte “plein” ; * '''compte fractionnaire''' : chaque lieu reçoit une fraction (1/n) de la collaboration. ---- == 5 Where? Résultats illustratifs (valeurs + réseaux) == ==== 5.1.1 Publications scientifiques — top pays (valeurs agrégées) ==== *Voir l’image : top 10 countries ''Lecture (exemple)'' : volume par pays, année moyenne de publication, impact (citations normalisées) – les contrastes peuvent signaler des entrées plus récentes dans le champ et des centres de production/impact. ==== 5.1.2 Publications scientifiques — intensité de recherche des villes (carte interactive) ==== Lien direct (toujours utilisable) : *Carte interactive : intensité de recherche des villes ==== 5.1.3 Publications scientifiques — réseau international de collaborations (villes) ==== *réseau international *Ouvrir Arabesque ''Lecture (exemple)'' : réseaux nationaux structurés (ex. Chine, Australie), liens faibles entre certains ensembles, et “portes d’entrée” (villes passerelles) pour des collaborations interrégionales. Pour explorer, filtrer et mettre en forme les flux : '''Arabesque'''. ==== 5.1.4 Publications scientifiques — réseau France (villes) ==== *Voir l’image : réseau France ''Lecture (exemple)'' : structuration en triangle (ex. Paris–Montpellier–Toulouse) et rôle de pôles régionaux (ex. Grenoble, Bordeaux, Rennes…). ---- === 5.2 Where? Fronts doctoraux — réseaux d’établissements === ==== 5.2.1 Réseau national (France) ==== *Voir l’image : réseau national ''Lecture (exemple)'' : réseau en étoile, centralités, hubs régionaux, et effet d’échelle selon l’unité (ville / établissement / aire urbaine). ==== 5.2.2 Focus local (Île-de-France) ==== *Voir l’image : focus local ''Lecture (exemple)'' : structuration par Paris/Saclay, et rôle de campus/organisations dans l’accueil des doctorant·es sur ces thématiques. ---- == 6. Interopérabilité : explorer un réseau spatial dans Arabesque == Lorsque l’on veut aller plus loin dans la géovisualisation des réseaux/flux (sémiologie, filtrages attributaires, filtrage spatial par distance, couches, tuiles…), on peut utiliser '''Arabesque'''. === 6.1 Ce qu’Arabesque permet (repères rapides) === * Importer des nœuds + liens (ou des matrices OD) ; * Paramétrer la géographie (fonds, couches, reprojection) ; * Paramétrer la géométrie et la sémiologie (nœuds/liens) ; * Filtrer (attributs, distances) et exporter. Documentation (Arabesque 2) : === 6.2 Repères d’interface (mémo) === D’après le support : * Panneau central : géovisualisation * Panneau droit : statistiques, filtrage attributaire, filtrage spatial (distance) * Panneau gauche : géographie (tuiles/couches), implantation, géométrie (liens/nœuds), sémiologie ---- == 7. Conclusion (≈ 5 min) == Questions pour guider l’interprétation : * Quelles unités spatiales sont pertinentes (ville, aire urbaine, région, pays) ? * Quelle mesure de collaboration (entier / fractionnaire) est la plus adaptée ? * Quelles hypothèses émergent (pôles, corridors, villes-ponts, effets d’échelle) ? ---- == Ressources == * Arabesque (application) * Documentation Arabesque 2 * Exemples d’usage de l’API theses.fr (paramètre q=) * Who’s On First — placetypes (ontologie) == Contributeurs == Support de démonstration et trame de l’atelier (Cortext / Arabesque ; géocodage, refine, agrégation, interopérabilité) : Lionel Villard, Françoise Bahoken, Étienne Côme, Luis Daniel Medina kvx0phx3tqtippxlgspgobu5llatkh7 0 86937 982248 982207 2026-04-28T09:46:56Z Arthur111aB 79595 /* Produit scalaire */ 982248 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = <!-- le même que la leçon (en minuscules) --> | niveau = <!-- le même que la leçon --> | numéro = | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> | page_liée = | page_liée2 = }} <!-- insérez le contenu de votre chapitre ici --> == Rappel de seconde == On rappel quelques formules de seconde : Soit (o;i;j) un repère orthonormé, on y a dedans un point A(x,y) et un point B(z,w). Alors le vecteur <math>\vec{AB}(z-x,w-y) </math>. On a également la formule pour calculer la norme d'un vecteur, à savoir : <math> ||\vec{AB}||=\sqrt{(z-x)^2+(w-y)^2} </math> == Produit scalaire == Tous les vecteurs utilisées se situent dans un repère orthonormée (o;i;j). Le produit scalaire entre deux vecteurs <math> \vec{AB} \vec{CD} </math> se note <math> \vec{AB} \cdot \vec{CD} </math> et se lit AB scalaire CD. === Par des coordonnées === Soit <math> \vec{AB}(x;y) </math> et <math> \vec{CD}(z;w) </math>. On définit le produit scalaire entre <math> \vec{AB} </math> et <math> \vec{CD} </math> comme étant égal à : <math> \vec{AB} \cdot \vec{CD} = x \times z + y \times w </math> === Par des longueurs dans un triangles=== Soit <math> \vec{AB}(x;y) </math> et <math> \vec{BC}(z;w) </math>. On définit le produit scalaire entre <math> \vec{AB} </math> et <math> \vec{BC} </math> comme étant égal à : <math> \vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(AB^2+BC^2-CA^2) </math>. === Par projeté orthogonale=== Définition du projeté orthogonale: Soit A une droite et B un point du plan. Le projeté orthogonale de B sur la droite A est le point J tel que la droite (BJ) soit perpendiculaire à la droite A. Théorème : Soient A,B,C et D tels que A≠B. Soit C' et D' les projetés orthogonaux de respectivement C et D sur la droite (AB). Alors, on a : <math> \vec{AB}\cdot\vec{CD}=\vec{AB}\cdot\vec{C'D'} </math> == Applications du cour == === Théorème de la médiane === Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB]. Pour tout point F du plan, on a : <math> FA^2+FB^2=2FI^2 + \frac{AB^2}{2} </math> Propriété : Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB]. Pour tout point F du plan, on a : <math> FA^2-FB^2=2\vec{AB}\cdot\vec{IF} </math><br> <math> \vec{FA}\cdot\vec{FB}=FI^2-\frac{AB^2}{4} </math> ===Formule d'Al-Kashi=== Soit un triangle ABC, on note <math> a=BC, b=AC, c=AB, \hat{A}=\hat{BAC}, \hat{B}=\hat{ABC}, \hat{C}=\hat{ACB} </math>, On a alors : <math> a^2=b^2+c^2-2bc cos\hat{A} </math> <br> <math> b^2=a^2+c^2-2ac cos\hat{B} </math> <br> <math> c^2=b^2+a^2-2ba cos\hat{C} </math> {{Bas de page | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> lspu1rksn4w2wr3q07d1fogc6me94w0 0 86938 982212 2026-04-27T16:46:51Z Solstag 13856 Ni! 982212 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires] Date: 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à ??h??. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/cortext-lisis-2026/ présentation Formation LISIS janvier 2026] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2024-2025)|cours d'Analyses textuelles]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application développée et mise à disposition pour permettre un usage facile d’un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs bases et historique. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - ??h??) === Les participants travailleront sur l’analyse d'un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. 5jifrurt7re0dgep6mcpb7xtgv1usfp 982213 982212 2026-04-27T16:48:08Z Solstag 13856 Solstag a déplacé la page [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS]] vers [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE]] : précision 982212 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires] Date: 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à ??h??. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/cortext-lisis-2026/ présentation Formation LISIS janvier 2026] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2024-2025)|cours d'Analyses textuelles]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application développée et mise à disposition pour permettre un usage facile d’un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs bases et historique. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - ??h??) === Les participants travailleront sur l’analyse d'un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. 5jifrurt7re0dgep6mcpb7xtgv1usfp 982216 982213 2026-04-27T16:54:51Z Solstag 13856 bla 982216 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires]. Date : 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à ??h??. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/cortext-lisis-2026/ présentation Formation LISIS janvier 2026] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2024-2025)|cours d'Analyses textuelles]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application qui permet le traitement de données par un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs fondements. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - ??h??) === Les participants explorent l'application pour analyser un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. asanmdy949dhv8k9a896ogd3yzcdsaa 982233 982216 2026-04-27T17:58:21Z ~2026-25587-50 80267 /* Mise en situation (15h45 - 17h00) */ 982233 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires]. Date : 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à ??h??. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/cortext-lisis-2026/ présentation Formation LISIS janvier 2026] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2024-2025)|cours d'Analyses textuelles]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application qui permet le traitement de données par un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs fondements. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - 17h00) === Les participants explorent l'application pour analyser un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. ewvy918yvgxxbs38xgn85vd26gmsjgw 982249 982233 2026-04-28T09:51:27Z Solstag 13856 982249 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires]. Date : 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à 17h00. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/cortext-lisis-2026/ présentation Formation LISIS janvier 2026] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2024-2025)|cours d'Analyses textuelles]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application qui permet le traitement de données par un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs fondements. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - 17h00) === Les participants explorent l'application pour analyser un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. 6d260runkskfp40o87dcniiavvflyzb 982250 982249 2026-04-28T09:53:53Z Solstag 13856 maj lien cours 982250 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires]. Date : 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à 17h00. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/cortext-lisis-2026/ présentation Formation LISIS janvier 2026] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)|cours d'Analyses textuelles]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application qui permet le traitement de données par un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs fondements. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - 17h00) === Les participants explorent l'application pour analyser un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. 7fqc38e9q45g27pi25c9tmteortlxlx 982251 982250 2026-04-28T09:56:29Z Solstag 13856 maj lien présentation 982251 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Cortext_logo.svg|centré|sans_cadre|350x350px]] Formation à l'[https://ifis.univ-gustave-eiffel.fr/ IFIS] pour le [https://formations.univ-gustave-eiffel.fr/master/detail/intelligence-strategique-analyse-des-risques-et-resilience-des-territoires-314 Master 2 Intelligence stratégique, analyse des risques et résilience des territoires]. Date : 30 avril 2026 Lieu : Campus Marne la Vallée - Serris, Institut Francilien d'Ingénierie des Services (IFIS) La formation aura lieu sur une demi-journée, de 13h30 à 17h00. === Les analyses textuelles (13h30 - 14h15) === ''Voir [https://solstag.gitlab.io/presentations/analyses-textuelles-2026/ la présentation « Les analyses textuelles »] et [[Analyses textuelles (M2 D2SN, 2025-2026)|le cours d'Analyses textuelles pour le M2 D2SN]]'' Mini-cours sur les enjeux de l’analyse textuelle et comment elle se retrouve entre sciences sociales, linguistique et informatique. Avec une discussion de l’évolution théorique et méthodologique des approches par rapport à ces disciplines. === Atelier 1 : L’application Cortext Manager (14h15 - 14h45) === ''Voir [[Cortext/Tutoriels/L’application Cortext Manager|L’application Cortext Manager]]'' # Présentation de l’application qui permet le traitement de données par un ensemble de méthodes d’analyse, dont certaines ont été conçues au sein de la plateforme. # Prise en main de l’application, téléversement d’un corpus, opérations simples. # Survol des méthodes mises à disposition via l’application et de leurs fondements. === Atelier 2 : Démonstration d'une sélection de méthodes (14h45 - 15h45) === Par exemple: * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi|L’analyse socio-sémantique par l’approche Sashimi]] * Tutoriel [[Cortext/Tutoriels/La visualisation géospatiale avec Cortext Manager|La visualisation géospatiale avec Cortext Manager]] * [https://docs.cortext.net/ Site web avec la documentation des méthodes] en anglais === Mise en situation (15h45 - 17h00) === Les participants explorent l'application pour analyser un corpus, accompagnés par l’équipe de la plateforme Cortext. ddp9w0gfp8c9f256owkf2l05uhgcyq8 0 86939 982214 2026-04-27T16:48:08Z Solstag 13856 Solstag a déplacé la page [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS]] vers [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE]] : précision 982214 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Cortext/Formations/2026-04-30 IFIS-UGE]] 7cyptv2vn5l24n7ati824qsdji81kva 3 86940 982220 2026-04-27T17:04:30Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 982220 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 27 avril 2026 à 17:04 (UTC)}} cgsbp21qwjek6242vyezheixjg4ms4h 3 86942 982241 2026-04-28T03:20:47Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 982241 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2026 à 03:20 (UTC)}} nnaxkp6t5mifbd7hygfgk099t8we0gw 3 86943 982242 2026-04-28T03:20:52Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 982242 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2026 à 03:20 (UTC)}} nnaxkp6t5mifbd7hygfgk099t8we0gw 3 86944 982243 2026-04-28T03:22:16Z Fourmidable 50100 Page créée avec « {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--~~~~}} » 982243 wikitext text/x-wiki {{Bienvenue|Fourmidable|sign=--[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2026 à 03:22 (UTC)}} ich0607jtkdz23eh70kg4b04o4kq23d