Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 819 982281 982177 2026-04-29T05:06:47Z Marvoir 1746 /* Cœur d'un sous-groupe */ inadvertance 982281 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, cela est vrai aussi pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Remarque. Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''g'' un élément de ''G'' tel que <math>gHg^{-1} \leq H</math>. Il n'est pas forcément vrai que ''g'' normalise ''H''. Voir un exemple dans les [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|exercices sur le chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], problème 14. Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Cœur d'un sous-groupe == Si K est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe normal de G contenant K, à savoir le sous-groupe normal de G engendré par K, que nous avons étudié plus haut. Nous allons voir qu'il y a un phénomène «dual» de celui-là, à savoir que si H est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Le cœur de H dans G (noté cœur_G(H) ou encore <math>H_{G}</math>) est par définition l'intersection des G-conjugués de H. Donc :<math>H_{G} = \bigcap _{x \in G} x H x^{-1}</math> }} {{Théorème |contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H (« plus grand » s'entendant au sens de l'inclusion). Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H, le groupe quotient <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. (Rappelons que, H n'étant pas supposé normal dans G, on ne munit pas G/H d'une structure de groupe.) En particulier, si H est d'indice fini ''n'' dans G, l'indice de <math>H_{G}</math> dans G est lui aussi fini et divise n!. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>H_{G}</math> est l'intersection d'une famille de sous-groupes de G et est donc un sous-groupe de G. Puisque H est évidemment un de ses propres conjugués dans G,<math>H_{G}</math> est donc un sous-groupe de G contenu dans H (autrement dit est un sous-groupe de H).</br> Prouvons que :<math>H_{G}</math> est normal dans G. (En fait, nous verrons plus loin que <math>H_{G}</math> peut être défini comme le noyau d'un certain homomorphisme de groupes partant de G, ce qui suffirait à prouver qu'il est normal dans G.)</br> Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que :(thèse 1) <math>g H_{G}g^{-1} = H_{G}.</math> Par définition de <math>H_{G}</math>, :(2) <math>g H_{G}g^{-1} = g (\bigcap _{x \in G} x H x^{-1}) g^{-1}.</math> On vérifie facilement que si <math>(K_{i})_{i \in I}</math> est une famille non vide de sous-groupes d'un groupe G, alors, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g (\bigcap _{i \in I} K_{i}) g^{-1} = \bigcap _{i \in I} (g K_{i} g^{-1})</math>, donc (2) peut s'écrire : <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} (g x H x^{-1} g^{-1})</math> ou encore :(3) <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} ( (g x) H (g x)^{-1})</math>. Pour un élément ''g'' donné de G, <math>x \mapsto gx</math> définit une permutation de l'ensemble G, donc (3) peut s'écrire :<math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{y \in G} (y H y^{-1})</math>, autrement dit <math>g H_{G} g^{-1} = H_{G},</math> ce qui prouve la thèse (1), donc :<math>H_{G}</math> est normal dans G. Prouvons maintenant que <math>H_{G}</math> est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.</br> Soit K un sous-groupe normal de G contenu dans H; il s'agit de prouver que :(thèse 4) <math>K \leq H_{G}</math>. Puisque K est normal dans G, nous avons, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g K g^{-1} = K</math>. Par hypothèse sur K, le membre droit est contenu dans H, donc, pour tout élément ''g'' de G, nous avons :<math>g K g^{-1} \leq H</math>, d'où :<math>K \leq g^{-1} H g</math>. Cela étant vrai pour tout élément ''g'' de G, nous avons donc :(5) <math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g^{-1} H g</math>. Puisque <math>g \mapsto g^{-1}</math> définit une permutation de l'ensemble G, la relation (5) peut s'écrire :<math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g H g^{-1}</math>, c'est-à-dire :<math>K \leq H_{G}</math>, ce qui prouve la thèse (4). Donc :<math>H_{G}</math> est bien le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. Pour tout élément ''g'' de G et tout élément X de l'ensemble G/H, on définit de manière évidente l'élément gX de G/H et on vérifie facilement que pour tout élément ''g'' de G, <math>X \mapsto gX</math> définit une permutation de l'ensemble G/H, autrement dit un élément du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. Notons <math>t_g</math> cet élément de <math>S_{G/H}</math>.</br> Alors, pour tous éléments <math>g, g'</math> de G, nous avons :<math>t_{g g'} = t_{g} \circ t_{g'}</math>, donc, si nous désignons par T l'application <math>g \mapsto t_g</math> de G dans <math>S_{G/H}</math>, :T est un homomorphisme de G dans <math>S_{G/H}</math>. Un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si <math>t_g</math> est la permutation identique de l'ensemble G/H, autrement dit si et seulement si pour toute classe à gauche X de G modulo H, <math>t_g</math> applique X sur elle-même, autrement dit encore si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, <math>g u H = u H</math>. La condition <math>g u H = u H</math> revient à <math>u^{-1} g u H = H</math>, ou encore à <math> g \in u H u^{-1}</math>, donc un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, ''g'' appartient à <math>u H u^{-1}</math>. Cela revient à dire que :le noyau de T est égal à <math>H_{G}</math>. Dès lors, d'après le premier théorème d'isomorphisme (voir plus haut), <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à l'image de l'homomorphisme T. Puisque cette image est un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>, <math>G/H_{G}</math> est donc isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>. Si l'indice [G:H] est fini et qu'on le note ''n'', alors, d'après ce qui précède, <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_n</math>, ce qui montre en particulier que si un sous-groupe H d'un groupe G est d'indice fini ''n'', le cœur de H dans G est lui aussi d'indice fini et cet indice divise n!. Cela achève la démonstration. }} Remarques. 1° Dans la démonstration, nous avons considéré un homomorphisme d'un groupe dans un certain groupe symétrique. Un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe symétrique <math>S_E</math> correspond à ce qu'on appelle une action du groupe G sur l'ensemble E. Ces actions seront étudiées dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]].</br> 2° Dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]], le théorème qui précède nous permettra de démontrer le ''théorème de plongement'', qui joue un rôle important dans l'étude des groupes finis. == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} 6ks4vbgbpt1h24zlp437eu0i895qmp5 982282 982281 2026-04-29T05:09:43Z Marvoir 1746 /* Cœur d'un sous-groupe */ le théorème de plongement est surtout important dans l'étude des groupes simples finis 982282 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | page_liée = Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient }} __TOC__ {{Clr}} == Sous-groupe distingué == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Sous-groupe normal}} Un '''sous-groupe distingué''', ou '''normal''', ou '''invariant''' d’un groupe ''G'' est un sous-groupe ''H'' de ''G'' tel que : : <math>\forall g \in G\quad gHg^{-1} \subseteq H</math>. }} Cette définition est équivalente à dire que <math>gHg^{-1}=H</math> pour tout g dans G. En effet, si <math>gHg^{-1} \subseteq H</math> pour tout g, cela est vrai aussi pour <math>g^{-1}</math>, donc <math>g^{-1}Hg \subseteq H</math>, d'où en multipliant correctement <math>H \subseteq gHg^{-1}</math>. Pour exprimer que H est sous-groupe normal de G, on écrit souvent H <math>\vartriangleleft</math> G ou encore H ⊴ G. {{Définition | contenu = Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G, on dit que K est un conjugué de H (dans G) s'il existe un élément ''g'' de G tel que <math>K = gHg^{-1}</math>. }} On vérifie facilement que la relation « est un conjugué de » est une relation d'équivalence entre sous-groupes de G. Si des sous-groupes H et K de G sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu'ils sont conjugués (dans G). Un sous-groupe H d'un groupe G est donc normal dans G si et seulement H est son seul conjugué dans G. '''Remarques :''' * Si H est un sous-groupe distingué de G, les classes à gauche et à droite de G suivant H coïncident : <math>\forall g \in G : gH = Hg</math>. On vérifie facilement que cette propriété caractérise les sous-groupes distingués : un sous-groupe H d’un groupe G est distingué si et seulement les classes à gauche de G suivant H sont identiques aux classes à droite. Donc, si H est sous-groupe distingué de G, la relation d'équivalence <math>x^{-1}y \in H</math> entre éléments de G (appartenir à la même classe à gauche) est équivalente à la relation d'équivalence <math>y x^{-1} \in H</math> (appartenir à la même classe à droite). Si deux éléments ''x'' et ''y'' de G sont dans cette relation, nous dirons qu’ils sont congrus modulo H et nous écrirons <math>\ x \equiv y \pmod H.</math> * Si H est un sous-groupe distingué de G, il n'y a pas de différence entre [[Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe|transversale]] droite et transversale gauche de H dans G. * Rappelons que si ''f'' est une application d’un ensemble ''X'' dans lui-même, une partie ''A'' de ''X'' est dite stable par ''f'' si <math>f(A) \subseteq A</math>. Un sous-groupe de ''G'' est donc distingué dans ''G'' si et seulement s'il est stable par tout automorphisme intérieur de ''G''. * Si un sous-groupe ''H'' de ''G'' est distingué dans ''G'', il est distingué dans tout sous-groupe intermédiaire entre ''H'' et ''G''. * On trouvera dans les exercices un exemple de sous-groupe non normal. * Un sous-groupe distingué d’un sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' n’est pas forcément un sous-groupe distingué de ''G''. Nous en verrons un exemple dans le cas où ''G'' est le quatrième groupe alterné. ([[../Groupes alternés#Sous-groupes distingués des groupes alternés|Chapitre sur les groupes alternés finis, sous-chapitre sur les sous-groupes distingués de A_n]].) Le lecteur pourra trouver un autre exemple en explorant les [[../Exercices/Groupes diédraux#Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)|sous-groupes du groupe diédral D{{ind|8}}]]. * On vérifie facilement que si (H_i)_{i ∈ I} est une famille non vide de sous-groupes distingués d’un groupe G, <math>\bigcap _{i \in I} H_{i}</math> est un sous-groupe distingué de G. Soit X une partie de G. L'ensemble des sous-groupes distingués de G contenant X n’est pas vide, car il comprend au moins G. D'après ce qui précède, l'intersection des sous-groupes distingués de G contenant X est donc un sous-groupe distingué de G. C’est le plus petit sous-groupe distingué de G contenant X. On l'appelle le sous-groupe distingué de G engendré par X. [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Problème 6 (facile)|Il est égal au sous-groupe ⟨Y⟩ engendré par <math>Y:=\cup_{g\in G}gXg^{-1}</math>]] et contient le sous-groupe ⟨X⟩. Exemples * {e} et ''G'' sont distingués dans ''G''. * Le centre d’un groupe G, Z(G), est un sous-groupe distingué de G. Plus généralement, tout sous-groupe de G contenu dans Z(G) est distingué dans G. * Si ''G'' est abélien alors tous ses sous-groupes sont distingués. * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'' d'indice 2, alors il est distingué dans ''G''. (Voir les exercices.) * Nous verrons que le groupe alterné ''A''_n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique ''S''_n. * Soient ''G'' un groupe fini et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Si un sous-groupe de ''G'' est d'indice ''p'' dans ''G'', il est distingué dans ''G''. (On le démontrera dans [[../Exercices/Action de groupe|les exercices sur les actions de groupe]].) * Le groupe des automorphismes intérieurs de ''G'', Int(''G''), est un sous-groupe distingué de Aut(''G''), le groupe des automorphismes de ''G''. {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, ce qui équivaut à <math>g^{-1}Hg = H</math>. }} Remarque. Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''g'' un élément de ''G'' tel que <math>gHg^{-1} \leq H</math>. Il n'est pas forcément vrai que ''g'' normalise ''H''. Voir un exemple dans les [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|exercices sur le chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], problème 14. Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On vérifie facilement que les éléments ''g'' de ''G'' qui normalisent H forment un sous-groupe de ''G''. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Normalisateur}} Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. On appelle normalisateur de ''H'' dans ''G'', et l'on note N_''G''(''H''), le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui normalisent ''H''. }} Il est clair que N_''G''(''H'') contient ''H'' et que c’est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dans lequel ''H'' est normal. Un sous-groupe ''H'' de ''G'' est sous-groupe normal de ''G'' si et seulement si N_''G''(''H'') est ''G'' tout entier. {{Définition | contenu = Si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d’un groupe ''G'', on dit que ''H'' normalise ''K'' si ''H'' est contenu dans le normalisateur de ''K'' (dans ''G''), autrement dit si tout élément de ''H'' normalise ''K''. }} {{Proposition |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H''. (C'est le cas, par exemple, si ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Alors :1° ''HK'' est égal à ''KH'' et est le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>H \cup K</math> ; :2° si ''H'' et ''K'' sont tous deux distingués dans ''G'', ''HK'' est distingué dans ''G''. }} Démonstration. Quitte à remplacer ''G'' par N_''G''(''H''), nous pouvons supposer que ''H'' est sous-groupe distingué de ''G''. Nous avons <math>HK = \bigcup _{x \in K}Hx</math>. Comme les classes à droite suivant ''H'' sont identiques aux classes à gauche, ceci peut s'écrire <math>HK = \bigcup _{x \in K}xH = KH</math>. Ainsi, ''HK'' = ''KH''. Nous avons vu (dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]) que, de façon générale, si ''A'' et ''B'' sont deux sous-groupes de ''G'' tels que ''AB'' = ''BA'', alors ''AB'' est un sous-groupe de ''G'' ; c’est évidemment le sous-groupe de ''G'' engendré par <math>A \cup B</math>, d'où le point 1° de l'énoncé. Supposons que ''K'' soit lui aussi distingué dans ''G'' et prouvons que ''HK'' est distingué dans ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g''(''HK'')''g''{{exp|-1}} = (''gHg''{{exp|-1}})(''gKg''{{exp|-1}}) = ''HK'', d'où la thèse. Remarque. Soient G un groupe commutatif noté additivement, H et K des sous-groupes de G. Puisque G est commutatif, H et K sont distingués dans G, donc, d’après ce qui précède, le sous-groupe de G engendré par H et K est l’ensemble H + K des éléments de G de la forme h + k, avec h dans H et k dans K. Cela peut évidemment se démontrer plus directement. {{Proposition |contenu= Soit <math>f : G_{1} \rightarrow G_{2}</math> un homomorphisme de groupes. a) Si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de f(G₁) ; cela équivaut à dire que si ''f'' est surjectif, si H est un sous-groupe distingué de G₁, alors f(H) est un sous-groupe distingué de G₂. b) Si K est un sous-groupe distingué de <math>G_{2}</math>, alors <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe distingué de G₁. c) Si K est un sous-groupe de G₂, si ''f'' est surjectif, alors K est distingué dans G₂ si et seulement si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans <math>G_{1}</math>. d) Si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est un isomorphisme, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans G₂. e) Plus généralement, si H est un sous-groupe de G₁, si ''f'' est injectif, alors H est distingué dans G₁ si et seulement si f(H) est distingué dans f(G₁). }} {{Démonstration déroulante|contenu= a) Soit ''y'' un élément de <math>f(G_{1})</math>. Il s'agit de prouver que <math>yf(H)y^{-1} \subseteq f(H)</math>. Soit ''h'' un élément de ''H'' ; il s'agit de prouver que <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>. Puisque ''y'' appartient à <math>f(G_{1})</math>, il existe un élément ''x'' de <math>G_1</math> tel que ''y'' = ''f''(''x''), donc <math>(1) \quad yf(h)y^{-1} = f(x)f(h)f(x)^{-1} = f(xhx^{-1})</math>. Comme ''H'' est distingué dans <math>G_{1}</math>, <math>xhx^{-1} \in H</math>, donc <math>f(xhx^{-1}) \in f(H)</math>, autrement dit, d’après (1), <math>yf(h)y^{-1} \in f(H)</math>, comme annoncé. Remarque : si ''f'' n’est pas surjectif, ''f''(''H'') n’est pas forcément sous-groupe distingué de <math>G_2</math>. (Prendre par exemple un sous-groupe ''A'' non distingué d’un groupe ''B'', poser <math>G_1=H=A</math> et <math>G_2=B</math>, prendre pour ''f'' l'injection canonique <math>x\mapsto x</math> de <math>G_1=A</math> dans <math>G_2=B</math>.) b) <math>f^{-1}(K)</math> est un sous-groupe de <math>G_1</math> d’après la leçon précédente. Soient <math>x\in G_1</math> et <math>h\in f^{-1}(K)</math>. <math>f(xhx^{-1}) = f(x)f(h)f(x^{-1}) \in K</math> car f(h) est dans K et K est distingué dans <math>G_2</math>. Donc <math>xhx^{-1} \in f^{-1}(K)</math>. c) Soit ''K'' un sous-groupe de ''G''₂ et supposons ''f'' surjectif. Nous savons par le point b) que si ''K'' est distingué dans ''G''₂, alors <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁. Réciproquement, si <math>f^{-1}(K)</math> est distingué dans ''G''₁, alors, d’après le point a) (et compte tenu que ''f'' est surjectif), <math>f(f^{-1}(K))</math> est distingué dans ''G''₂ ; puisque ''f'' est surjectif, <math>f(f^{-1}(K))</math> est égal à ''K'', donc ''K'' est distingué dans ''G''₂. d) On peut appliquer le point c) à l'isomorphisme réciproque de ''f''. Remarque : si au lieu de supposer que ''f'' est un isomorphisme, on suppose seulement que c’est un homomorphisme surjectif, l'énoncé d) n'est plus vrai. (Prendre un groupe G₁ admettant un sous-groupe non normal H, prendre pour G₂ un groupe réduit à l'élément neutre et considérer l'unique homomorphisme de G₁ sur G₂.) e) Appliquer le point d) à l'isomorphisme x ↦ f(x) de G₁ sur f(G₁) induit par ''f''}}. {{Corollaire |titre=Corollaire 1 |contenu= Le noyau d’un homomorphisme de groupes est un sous-groupe distingué du groupe de départ. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Ce noyau est l’image réciproque de {e}, qui est distingué. L'énoncé résulte donc du point b) de la proposition précédente.}} Nous verrons dans la suite de ce chapitre que, réciproquement, tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est le noyau d’un homomorphisme de groupes partant de ''G''. {{Corollaire | titre=Corollaire 2 |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. Si ''H'' est contenu dans le normalisateur ''N_G(K)'' (ce qui est le cas, par exemple, si ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''), <math>H \cap K</math> est sous-groupe distingué de ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(K)'', nous pouvons supposer que ''K'' est sous-groupe distingué de ''G''. Dans la précédente proposition, point b), prenons pour ''G''₁ le groupe ''H'', pour ''G''₂ le groupe ''G'' et pour ''f'' l'inclusion <math>x \mapsto x</math> de ''H'' dans ''G'', qui est évidemment un homomorphisme. Nous trouvons que <math>f^{-1}(K)</math>, c'est-à-dire <math>H \cap K</math>, est un sous-groupe distingué de ''G''₁, c'est-à-dire de ''H''. (On peut évidemment donner une démonstration plus directe.) Remarque. Nous retrouverons ceci dans le second théorème d'isomorphisme.}} == Notion de groupe simple == {{Définition | contenu = Un '''groupe simple''' est un groupe non réduit à son neutre ''e'' et qui n'a que {e} et lui-même comme sous-groupes distingués. }} Exemples : * <math>\frac{\Z}{p\Z}</math> avec ''p'' premier est simple (il n'a pas de sous-groupe autre que lui-même et que son sous-groupe nul). Ce sont les groupes abéliens simples. (On le démontrera au [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|chapitre sur les groupes monogènes]].) * Le [[../Groupes alternés|groupe alterné A_''n'']] est simple pour ''n'' = 3 ou ''n'' ≥ 5. (Nous le verrons dans un des chapitres suivants.) * Toutes les structures de groupes simples finis ont été classées à peu près entre 1955 et 1983 ; voir les articles de Wikipédia en [[w:Classification des groupes simples finis|français]] et [[w:en:Classification of finite simple groups|anglais]]. == Définition d’un groupe quotient == Rappelons que, de façon générale, si X et Y sont deux parties d’un groupe G noté multiplicativement, on désigne par XY l’ensemble des produits xy, où x parcourt X et y parcourt Y. On définit ainsi une loi de composition associative (vérification facile) dans l’ensemble des parties de G. Si X (par exemple) est réduit à un seul élément x, on écrit aussi xY (notation déjà rencontrée) au lieu de {x}Y. Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrons que si X et Y sont deux classes d'éléments de G suivant H, XY en est une aussi. (Rappel : il n'y a pas à distinguer entre classes à gauche et classes à droite, puisque le sous-groupe H est distingué.)<br /> Il existe des éléments x et y de G tels que X soit la classe de x suivant H et Y la classe de y. Nous avons alors XY = (Hx)(yH) = H(xy)H; comme H est distingué, nous pouvons remplacer H(xy) par (xy)H et nous trouvons XY = xyHH. Mais HH = H (puisque H est un sous-groupe de G), donc la relation obtenue peut s'écrire XY = xyH, ce qui montre bien que XY est une classe suivant H (et, plus particulièrement, la classe de xy). De ce qui précède, il résulte qu'en faisant correspondre à une classe X et une classe Y l’ensemble XY, nous définissons une loi de composition <math>\star</math> dans l’ensemble des classes suivant H et que cette loi peut être caractérisée par la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. Prouvons que cette loi est une loi de groupe. Elle est associative, car elle est induite par une loi de composition associative définie dans l’ensemble des parties de G (voir plus haut). Il est clair que H est une classe suivant H, à savoir la classe 1H du neutre 1; la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math>, notée plus haut, montre donc que H est neutre à gauche (faire <math>x = 1</math>) et à droite (faire <math>y = 1</math>); ainsi, H est neutre pour notre loi <math>\star</math>. Enfin, la règle <math>xH \star yH = (xy)H</math> donne <math>xH \star x^{-1}H = H</math> et aussi <math>x^{-1}H \star xH = H</math>, ce qui montre que la classe xH admet la classe <math>x^{-1}H</math> pour inverse.<br /> Nous avons donc défini une loi de groupe dans l’ensemble des classes d'éléments de G suivant H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. L'ensemble des classes d'éléments de G suivant H est désigné par G/H (ou encore par <math>\frac{G}{H}</math>). Le groupe obtenu en munissant G/H de la loi de composition <math>X \star Y = XY</math>, loi qu'on peut encore caractériser par <math>xH \star yH = (xy)H</math>, est appelé le '''groupe quotient de G par H'''. }} En général, dans une expression comportant le symbole /, tout autre symbole d'opération entre groupes est censé avoir la précédence sur /. Par exemple, <math>G/H \cap K</math> signifie <math>G /(H \cap K)</math>; de même, si H et K sont des sous-groupes de G tels que HK soit lui aussi un sous-groupe de G, l'expression G/HK signifie G/(HK). Il nous arrivera cependant d'utiliser des parenthèses que cette convention rend théoriquement inutiles. La relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur ''G''/''H'' est un homomorphisme de groupes, dit ''homomorphisme canonique'', ou ''surjection canonique'', de ''G'' sur ''G''/''H'' (on trouve également les appellations ''projection canonique''<ref name="Perrin" />{{,}}<ref name="Colmez" />{{,}}<ref name="TT1L2" />{{,}}<ref name="Escofier" />{{,}}<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />, ''application canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />{{,}}<ref name="Gras" /> et bien sûr ''morphisme canonique''<ref name="DeschampsWarusfelEtAl" />). Il est clair que le noyau de cet homomorphisme est ''H'', ce qui montre que tout sous-groupe distingué d’un groupe ''G'' est noyau d’un homomorphime de groupes partant de ''G''. Remarque : pour prouver que la loi définie sur l’ensemble des classes est une loi de groupe et la surjection canonique un homomorphisme de groupes, nous aurions pu dire brièvement que la relation : <math>xH \star yH = (xy)H</math>. montre que la surjection <math>x \mapsto xH</math> de ''G'' sur l’ensemble des classes est un homomorphisme de magmas; or si <math>f : M_{1} \rightarrow M_{2}</math> est un homomorphisme surjectif de magmas et que <math>M_{1}</math> est un groupe, alors <math>M_{2}</math> est un groupe et ''f'' est un homomorphisme de groupes. {{Théorème | titre = Petit fait à noter |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe normal de G et X une partie de G. Si ''f'' désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, :<math>\ f^{-1}(f(X)) = XH.</math> En particulier, si K est un sous-groupe de G contenant H, :<math>\ f^{-1}(f(K)) = K.</math> }} {{Démonstration déroulante|contenu= Un élément ''y'' de G appartient à <math>\ f^{-1}(f(X))</math> si et seulement s'il existe un élément ''x'' de X tel que f(y) = f(x), ou encore yH = xH, ce qui équivaut à ce que ''y'' appartienne à la classe de ''x'' modulo H. Donc <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes modulo H des éléments de X, autrement dit, c’est XH. (L'énoncé est en fait un cas particulier de celui-ci : si E est un ensemble, R une relation d'équivalence dans E et X une partie de E, si ''f'' désigne l’application canonique de E sur l’ensemble des classes d'équivalence suivant R, alors <math>\ f^{-1}(f(X))</math> est la réunion des classes des éléments de X.)}} == Sous-groupes d’un groupe quotient == Si H est un sous-groupe normal d’un groupe G, si K est un sous-groupe de G contenant H, on vérifie facilement que l’image de K par l'homomorphisme canonique de G sur G/H est K/H, qui est donc un sous-groupe de G/H. Le théorème qui suit entraîne, entre autres choses, que tout sous-groupe de G/H s'obtient de cette façon. {{Théorème | titre = Théorème de correspondance |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); en particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Pour tout sous-groupe K de G contenant H, nous avons donc, comme noté plus haut, K/H = p(K), autrement dit f(K) = p(K). Comme noté plus haut également, K/H est un sous-groupe de G/H, donc l’application ''f'' est correctement définie. Prouvons que c’est une bijection. Soit L un sous-groupe de G/H; alors p^-1(L) est un sous-groupe de G contenant H; c’est un sous-groupe de G parce que « l’image réciproque d’un sous-groupe par un homomorphisme est un sous-groupe », quant à la relation H ≤ p^-1(L), elle équivaut à p(H) ≤ L, ce qui est vrai, car le premier membre est égal à {H}, autrement dit au sous-groupe de G/H réduit à l'élément neutre et est donc bien contenu dans L. Nous pouvons donc définir une application g : L ↦ p^-1(L) de Sub(G/H) dans Sub(G, H). Prouvons que les applications ''f'' et ''g'' sont réciproques. Si K est un sous-groupe de G contenant H, alors p^-1(p(K)) est égal à K d’après une remarque faite plus haut. Ceci montre que g ∘ f est la transformation identique de Sub(G, H). D'autre part, si L est un sous-groupe de G/H, alors p(p^-1(L)) = L; cela résulte du seul fait que ''p'' est une application surjective. Donc f ∘ g est la transformation identique de Sub(G/H). Il résulte de ce qui précède que f : K ↦ K/H est une bijection de Sub(G, H) sur Sub(G/H) et que sa réciproque est l’application f^-1 : L ↦ p^-1(L). Prouvons que ''f'' est un isomorphisme d'ensembles ordonnés (par inclusion). Il s'agit de prouver que ''f'' et f^-1 sont toutes deux croissantes. Si K₁ et K₂ sont des éléments de Sub(G, H) tels que K₁ soit contenu dans K₂, alors p(K₁) est contenu dans p(K₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f(K₁) est contenu dans f(K₂), donc ''f'' est croissante. Si L₁ et L₂ sont des éléments de Sub(G/H) tels que L₁ soit contenu dans L₂, alors p^-1(L₁) est contenu dans p^-1(L₂) (fait général de théorie des ensembles), autrement dit f^-1(L₁) est contenu dans f^-1(L₂), ce qui montre que f^-1 est croissante. Donc ''f'' est bien un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Soient K et L des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L. Prouvons que K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). Par définition, cela revient à dire que K est normal dans L si et seulement si p(K) est normal dans p(L). Si ''q'' désigne l'homomorphisme canonique de L sur L/H, cela revient encore à dire que K est normal dans L si et seulement si q(K) est normal dans L/H (car p(K) = q(K) et p(L) = q(L) = L/H). Si tout d’abord K est normal dans L, alors, d’après une précédente proposition (et compte tenu que l'homomorphisme ''q'' est surjectif), q(K) est normal dans L/H. Réciproquement, supposons q(K) normal dans L/H. Alors, d’après une précédente proposition, q^-1(q(K)) est normal dans L; or, du fait que K contient H, il résulte, comme noté plus haut, que q^-1(q(K)) est égal à K, donc K est normal dans L. Nous avons donc bien prouvé que si K et L sont des éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L). On obtient la dernière assertion de l'énoncé en faisant L = G.}} {{Corollaire |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. L'application <math>K \mapsto K/H</math> est un isomorphisme de l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G'' contenant ''H'' sur l’ensemble ordonné (par inclusion) des sous-groupes distingués de ''G''/''H''; en particulier, c’est une bijection. }} == Sous-groupes normaux maximaux == {{Définition | contenu = Soit ''G'' un groupe. Un élément maximal (relativement à l'inclusion) de l’ensemble des sous-groupes distingués ''propres'' de G est appelé un '''sous-groupe distingué maximal''' de ''G'', ou encore un '''sous-groupe normal maximal de ''G''. }} Un sous-groupe normal maximal de G est donc un sous-groupe normal propre M de G pour lequel il n'existe pas de sous-groupe normal N de G tel que M < N < G. Par exemple, un groupe est simple si et seulement si son sous-groupe réduit à l'élément neutre est un sous-groupe normal maximal (et est alors évidemment le seul). Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupe normal maximal. Dans un groupe fini, tout sous-groupe normal propre est contenu dans un sous-groupe normal maximal; en effet, si H est un sous-groupe normal propre d’un groupe fini G, on peut, dans l’ensemble non vide des sous-groupes normaux propres de ''G'' contenant ''H'', en considérer un dont l’ordre est le plus grand possible (d'ailleurs, tout ensemble ordonné fini non vide admet un élément maximal). En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe normal maximal (dans ce qui précède, prendre pour ''H'' le sous-groupe normal propre 1). On déduit facilement du théorème de correspondance ci-dessus, ou de son corollaire, que si ''H'' est un sous-groupe normal d’un groupe ''G'', alors ''H'' est sous-groupe normal maximal de ''G'' si et seulement si le groupe quotient G/H est simple. On verra dans la suite du cours (page d'exercices [[../Exercices/Groupes alternés|Groupes alternés]]) qu'un sous-groupe normal maximal n'est pas forcément un sous-groupe maximal. == Les trois théorèmes d'isomorphisme == Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Nous désignerons par K = Ker(f) le noyau de ''f'' et par Im(f) son image <math>f(G)</math>. Si deux éléments ''x'' et ''y'' de ''G'' appartiennent à une même classe suivant Ker(f), ils ont la même image par ''f'', donc pour toute classe ''X'', il existe un et un seul élément ''z'' de Im(f) possédant la propriété suivante : <math>\forall x \in X, z = f(x)</math>. Si à chaque classe ''X'', nous faisons correspondre cet élément ''z'', nous définissons une application <math>\tilde{f}: G/Ker(f) \rightarrow Im(f)</math> telle que, pour tout <math>x \in X</math>, <math>(1) \quad \tilde{f}(xKer(f)) = f(x)</math>. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de ''G'', <math>\tilde{f}((xK)(yK)) = \tilde{f}(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \tilde{f}(xK)\tilde{f}(yK)</math>, donc <math>\tilde{f}</math> est un homomorphisme de ''G/Ker(f)'' dans ''H''.<br /> La relation (1) montre que <math>\tilde{f}</math> (qui a Im(f) pour groupe d'arrivée) est surjectif : tout élément de Im(f) est image d’un certain x par f et est donc image de l'élément xK de G/Ker(f) par <math>\tilde{f}</math>.<br /> La même relation (1) montre que si <math>\tilde{f}(xK) = 1</math>, alors f(x) = 1, donc <math>x \in Ker(f)</math>, donc xK est l'élément neutre K du groupe G/K. Ainsi, le seul élément du noyau de <math>\tilde{f}</math> est l'élément neutre, donc <math>\tilde{f}</math> est injectif et, finalement, est un isomorphisme de G/Ker(f) sur Im(f).<br /> Nous avons ainsi prouvé le {{Théorème |titre=Premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soit <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes. Le [[#Définition d’un groupe quotient|groupe quotient]] G/Ker(f) et le groupe Im(f) sont isomorphes. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme <math>\tilde{f}</math> de G/Ker(f) sur Im(f) qui, pour tout élément ''x'' de ''G'', applique la classe de ''x'' suivant Ker(f) sur f(x). }} On tire facilement du premier théorème d'isomorphisme que si <math>G</math> et <math>H</math> sont des groupes, alors il existe un homomorphisme surjectif de <math>G</math> sur <math>H</math> si et seulement si <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G.</math> (Voir les exercices.) Au lieu de dire que <math>H</math> est isomorphe à un quotient de <math>G</math>, on dit souvent (abusivement) que <math>H</math> ''est un quotient'' de <math>G</math>. Puisque le composé de deux homomorphismes surjectifs est un homomorphisme surjectif, on tire facilement de ce qui précède que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B) Dans les hypothèses du premier théorème d'isomorphisme, désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/Ker(''f'') et par i l'injection canonique <math>x \mapsto x</math> de Im(f) dans H (''i'' est évidemment un homomorphisme). Alors ''f'' se décompose en <math>i \circ \tilde{f} \circ p</math>. Il résulte du premier théorème d'isomorphisme et de la relation <math>\vert G \vert = \vert G:K \vert \cdot \vert K \vert</math> que si f est un homomorphisme partant d’un groupe G, <math>\vert G \vert = \vert Im(f) \vert \cdot \vert Ker(f) \vert</math>. En particulier, l’ordre de Im(f) divise celui de G. {{Théorème |titre=Second théorème d'isomorphisme |contenu= Soient ''G'' un groupe, ''H'' et ''K'' des sous-groupes de ''G''. On suppose que ''K'' normalise ''H'' (ce qui est le cas par exemple si ''H'' est distingué dans ''G''). Alors <math>H \cap K</math> est un sous-groupe distingué de ''K'' et <math>K/(H \cap K)</math> est isomorphe à <math>\ HK/H</math>. Plus précisément, il existe un (et un seul) isomorphisme ''f'' de <math>K/(H \cap K)</math> sur <math>\ HK/H</math> tel que, pour tout élément ''x'' de ''K'', <math>f(x(H \cap K)) = xH</math>. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Dire que ''K'' normalise ''H'' revient à dire que ''K'' est contenu dans ''N_G(H)''. Donc, quitte à remplacer ''G'' par ''N_G(H)'', nous pouvons supposer que ''H'' est distingué dans ''G''. Soit <math>\varphi : G \rightarrow G/H</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G''/''H''. Désignons par <math>\psi</math> la restriction de <math>\varphi</math> à ''K''. Le noyau de <math>\psi</math> est <math>H \cap K</math>, qui est donc un sous-groupe distingué de ''K''. (Nous l'avons déjà démontré autrement plus haut.) L'image de <math>\psi</math> est l’ensemble des classes d'éléments de ''K'' suivant ''H'' et il est clair que cet ensemble est le sous-groupe <math>\ HK/H</math> de ''G''/''H''. L'énoncé résulte donc du premier théorème d'isomorphisme appliqué à l'homomorphisme <math>\psi</math>.}} {{Théorème |titre=Troisième théorème d'isomorphisme |contenu= Soient G un groupe, H un sous-groupe distingué de G, K un sous-groupe distingué de G contenant H; donc : :H ⊴ K ⊴ G et H ⊴ G. Alors K/H est un sous-groupe distingué de G/H et (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K. }} {{Démonstration déroulante|contenu= Nous savons déjà que ''K''/''H'' est un sous-groupe distingué de ''G''/''H'' (voir la section sous-groupes d’un groupe quotient). Toute classe ''X'' de ''G'' suivant ''H'' est contenue dans une et une seule classe suivant ''K''. En effet, ''X'' est de la forme ''xH'' avec x dans ''G'', donc ''X'' est contenue dans la classe ''xK'' suivant ''K''; la classe suivant ''K'' qui contient ''X'' est unique, puisque deux classes suivant ''K'' non disjointes sont égales. À toute classe ''X'' suivant ''H'', faisons correspondre l'unique classe suivant ''K'' qui contient ''X''. Nous définissons ainsi une application ''f'' de ''G''/''H'' dans ''G''/''K'' telle que, pour tout élément ''x'' de ''G'', ''f''(''x''H) = ''xK''. Il est clair que ''f'' est un homomorphisme surjectif et que son noyau est ''K''/''H'' (ce qui prouve de nouveau que ce sous-groupe est distingué dans ''G''/''H''). L'énoncé en résulte, d’après le premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. D'après le théorème de correspondance, l'hypothèse selon laquelle K est normal dans G équivaut (dans les hypothèses du théorème ci-dessus) à ce que K/H soit normal dans G/H. Le troisième théorème d'isomorphisme montre donc que tout quotient d'un quotient d'un groupe G est isomorphe à un quotient de G. On en tire facilement que la relation « A est un groupe isomorphe à un quotient du groupe B » est transitive (en A et B), ce qu'on a d'ailleurs déjà déduit du premier théorème d'isomorphisme. Voici un théorème qui est dans une certaine mesure plus fort et dans une certaine mesure plus faible que le premier théorème d'isomorphisme. {{Théorème |titre=Variante du premier théorème d'isomorphisme |contenu= Soient <math>f : G \rightarrow H</math> un homomorphisme de groupes, K = Ker(f) le noyau de ''f'' et Im(f) son image <math>f(G)</math>. Soit, de plus, ''L'' un sous-groupe normal de ''G'' contenu dans ''K'' = Ker(f). Il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que, pour tout élément ''x'' de ''G'', on ait ''g(xL)'' = ''f''(''x''). Autrement dit, il existe un (et un seul) homomorphisme ''g'' de ''G''/''L'' dans ''H'' tel que <math>f = g \circ \varphi</math>, où <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/L.<br /> Autre forme de cet énoncé : soient G et H des groupes, soit L un sous-groupe normal de G, soit <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de G sur G/L; alors <math>g \to g \circ \varphi </math> définit une bijection de Hom(G/L, H) sur l'ensemble des homomorphismes de G dans H dont le noyau contient L. }} {{Démonstration déroulante|contenu= On peut soit généraliser la démonstration du premier théorème d'isomorphisme, soit composer <math>G/N \rightarrow G/K \rightarrow H</math>, où l'homomorphisme <math>G/N \rightarrow G/K</math> est défini comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, et où l'homomorphisme <math>G/K \rightarrow H</math> est défini comme dans la démonstration du premier théorème d'isomorphisme.}} Remarque. Faisons les mêmes hypothèses que dans le troisième théorème d'isomorphisme, sauf que nous ne supposons plus que le sous-groupe K de G est normal dans G. Donc : :H ⊴ G et H ⊴ K ≤ G. Désignons par G/K l’ensemble des classes à gauche de G suivant K. (Donc ici, G/K ne désigne pas un groupe.) Comme dans la démonstration du troisième théorème d'isomorphisme, on prouve qu’il existe une et une seule application ''h'' de G/H sur G/K telle que, pour tout ''x'' dans G, :h(xH) = xK. La relation d'équivalence (en X et Y dans G/H) « h(X) = h(Y) » équivaut à ce que X et Y appartiennent à la même classe à gauche du groupe G/H suivant son sous-groupe K/H (démontré dans [[../Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient|Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient]]). L'application déduite de ''h'' par passage au quotient par cette relation d'équivalence est une bijection de l'ensemble (G/H)/(K/H) (ensemble des classes à gauche de G/H suivant K/H) sur l’ensemble G/K. (Le troisième théorème d'isomorphisme revient à dire que si K est normal dans G, la bijection en question est un isomorphisme de groupes.) Il en résulte qu'on a la relation entre indices : :[(G/H) : (K/H)] = [G:K]. Ce fait et le troisième théorème d'isomorphisme amènent certains auteurs<ref>Par exemple J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, tirage de 1999, {{p.|38}}.</ref> à énoncer le théorème de correspondance sous la forme plus complète que voici : {{Théorème | titre = Théorème de correspondance (forme plus complète) |contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe distingué de ''G''. Désignons par Sub(G, H) l’ensemble des sous-groupes de G contenant H et par Sub(G/H) l’ensemble des sous-groupes de G/H. Ces deux ensembles étant ordonnés par inclusion, l’application f : K ↦ K/H de Sub(G, H) dans Sub(G/H) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés. Si K et L sont deux éléments de Sub(G, H) tels que K ≤ L, alors l'indice de f(K) dans f(L) est égal à l'indice de K dans L; de plus, K est normal dans L si et seulement si f(K) est normal dans f(L); f(L)/f(K) est alors isomorphe à L/K. En particulier, ''f'' applique les sous-groupes normaux de G contenant H sur les sous-groupes normaux de G/H. }} == Une conséquence de la formule du produit == {{Théorème |contenu = Soient G un groupe, H₁, …, H_n des sous-groupes distingués de G. L'ordre du sous-groupe H₁ … H_n de G divise le produit des ordres des H_i (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''). }} {{Démonstration déroulante|contenu= Récurrence facile sur ''n'', compte tenu de la [[../Classes modulo un sous-groupe#Formule du produit|formule du produit]] et du fait que, les H_i étant des sous-groupes distingués de G, chaque ensemble H₁ … H_i est un sous-groupe de G.}} == Cœur d'un sous-groupe == Si K est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus petit sous-groupe normal de G contenant K, à savoir le sous-groupe normal de G engendré par K, que nous avons étudié plus haut. Nous allons voir qu'il y a un phénomène «dual» de celui-là, à savoir que si H est un sous-groupe d'un groupe G, il existe un plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. {{Définition | contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Le cœur de H dans G (noté cœur_G(H) ou encore <math>H_{G}</math>) est par définition l'intersection des G-conjugués de H. Donc :<math>H_{G} = \bigcap _{x \in G} x H x^{-1}</math> }} {{Théorème |contenu = Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H (« plus grand » s'entendant au sens de l'inclusion). Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H, le groupe quotient <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. (Rappelons que, H n'étant pas supposé normal dans G, on ne munit pas G/H d'une structure de groupe.) En particulier, si H est d'indice fini ''n'' dans G, l'indice de <math>H_{G}</math> dans G est lui aussi fini et divise n!. }} {{Démonstration déroulante|contenu= <math>H_{G}</math> est l'intersection d'une famille de sous-groupes de G et est donc un sous-groupe de G. Puisque H est évidemment un de ses propres conjugués dans G,<math>H_{G}</math> est donc un sous-groupe de G contenu dans H (autrement dit est un sous-groupe de H).</br> Prouvons que :<math>H_{G}</math> est normal dans G. (En fait, nous verrons plus loin que <math>H_{G}</math> peut être défini comme le noyau d'un certain homomorphisme de groupes partant de G, ce qui suffirait à prouver qu'il est normal dans G.)</br> Soit ''g'' un élément de G. Il s'agit de prouver que :(thèse 1) <math>g H_{G}g^{-1} = H_{G}.</math> Par définition de <math>H_{G}</math>, :(2) <math>g H_{G}g^{-1} = g (\bigcap _{x \in G} x H x^{-1}) g^{-1}.</math> On vérifie facilement que si <math>(K_{i})_{i \in I}</math> est une famille non vide de sous-groupes d'un groupe G, alors, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g (\bigcap _{i \in I} K_{i}) g^{-1} = \bigcap _{i \in I} (g K_{i} g^{-1})</math>, donc (2) peut s'écrire : <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} (g x H x^{-1} g^{-1})</math> ou encore :(3) <math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{x \in G} ( (g x) H (g x)^{-1})</math>. Pour un élément ''g'' donné de G, <math>x \mapsto gx</math> définit une permutation de l'ensemble G, donc (3) peut s'écrire :<math>g H_{G} g^{-1} = \bigcap _{y \in G} (y H y^{-1})</math>, autrement dit <math>g H_{G} g^{-1} = H_{G},</math> ce qui prouve la thèse (1), donc :<math>H_{G}</math> est normal dans G. Prouvons maintenant que <math>H_{G}</math> est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.</br> Soit K un sous-groupe normal de G contenu dans H; il s'agit de prouver que :(thèse 4) <math>K \leq H_{G}</math>. Puisque K est normal dans G, nous avons, pour tout élément ''g'' de G, :<math>g K g^{-1} = K</math>. Par hypothèse sur K, le membre droit est contenu dans H, donc, pour tout élément ''g'' de G, nous avons :<math>g K g^{-1} \leq H</math>, d'où :<math>K \leq g^{-1} H g</math>. Cela étant vrai pour tout élément ''g'' de G, nous avons donc :(5) <math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g^{-1} H g</math>. Puisque <math>g \mapsto g^{-1}</math> définit une permutation de l'ensemble G, la relation (5) peut s'écrire :<math>K \leq \bigcap _{g \in G} (g H g^{-1}</math>, c'est-à-dire :<math>K \leq H_{G}</math>, ce qui prouve la thèse (4). Donc :<math>H_{G}</math> est bien le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H. Pour tout élément ''g'' de G et tout élément X de l'ensemble G/H, on définit de manière évidente l'élément gX de G/H et on vérifie facilement que pour tout élément ''g'' de G, <math>X \mapsto gX</math> définit une permutation de l'ensemble G/H, autrement dit un élément du groupe symétrique <math>S_{G/H}</math>. Notons <math>t_g</math> cet élément de <math>S_{G/H}</math>.</br> Alors, pour tous éléments <math>g, g'</math> de G, nous avons :<math>t_{g g'} = t_{g} \circ t_{g'}</math>, donc, si nous désignons par T l'application <math>g \mapsto t_g</math> de G dans <math>S_{G/H}</math>, :T est un homomorphisme de G dans <math>S_{G/H}</math>. Un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si <math>t_g</math> est la permutation identique de l'ensemble G/H, autrement dit si et seulement si pour toute classe à gauche X de G modulo H, <math>t_g</math> applique X sur elle-même, autrement dit encore si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, <math>g u H = u H</math>. La condition <math>g u H = u H</math> revient à <math>u^{-1} g u H = H</math>, ou encore à <math> g \in u H u^{-1}</math>, donc un élément ''g'' de G appartient au noyau de T si et seulement si pour tout élément ''u'' de G, ''g'' appartient à <math>u H u^{-1}</math>. Cela revient à dire que :le noyau de T est égal à <math>H_{G}</math>. Dès lors, d'après le premier théorème d'isomorphisme (voir plus haut), <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à l'image de l'homomorphisme T. Puisque cette image est un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>, <math>G/H_{G}</math> est donc isomorphe à un sous-groupe de <math>S_{G/H}</math>. Si l'indice [G:H] est fini et qu'on le note ''n'', alors, d'après ce qui précède, <math>G/H_{G}</math> est isomorphe à un sous-groupe de <math>S_n</math>, ce qui montre en particulier que si un sous-groupe H d'un groupe G est d'indice fini ''n'', le cœur de H dans G est lui aussi d'indice fini et cet indice divise n!. Cela achève la démonstration. }} Remarques. 1° Dans la démonstration, nous avons considéré un homomorphisme d'un groupe dans un certain groupe symétrique. Un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe symétrique <math>S_E</math> correspond à ce qu'on appelle une action du groupe G sur l'ensemble E. Ces actions seront étudiées dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]].</br> 2° Dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]], le théorème qui précède nous permettra de démontrer le ''théorème de plongement'', qui joue un rôle important dans l'étude des groupes simples finis. == Notes et références == <references> <ref name="Gras">Georges et Marie-Nicole Gras (2004), ''Algèbre fondamentale — Arithmétique'', Ellipses.</ref> <ref name="Perrin">Daniel Perrin (1996), ''Cours d'algèbre'', Ellipses.</ref> <ref name="Colmez">Pierre Colmez (2012), ''Éléments d'analyse et d'algèbre'', Les éditions de l'École polytechnique.</ref> <ref name="Escofier">Jean-Pierre Escofier (2016), ''Toute l'algèbre de la licence'', Dunod.</ref> <ref name="TT1L2">Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ''et al.'' (2007), ''Mathématiques tout-en-un pour la licence — Niveau L2'', Dunod.</ref> <ref name="DeschampsWarusfelEtAl">Claude Deschamps, André Warusfel ''et al.'' (2001), ''Mathématiques 2e année'', Dunod.</ref> </references> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} jphehm4dq4qvrssgy41gd8mlbu66w10 3 3312 982263 972720 2026-04-28T18:33:19Z MediaWiki message delivery 20848 /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ nouvelle section 982263 wikitext text/x-wiki {{Utilisateur:Crochet.david/Navigation}} {{archives|an|Discussion utilisateur:Crochet.david|2007|2025|image}} __TOC__ == Merci == Merci d'avoir réparé mes maladresses sur l'article [[Recherche:Socio-cognitivisme et développement]]. N'ayant plus rien versé sur Wikiversité depuis des années j'en ai perdu un peu les usages … et eu même su mal à me reconnecter. Je ne l'ai fait qu'à l'occasion d'une faute de frappe qui m'a ouvert un nouveau compte. Est-il possible de fusionner celui-ci avec le précédent (Cl'''a'''ude Piard) avec un nouveau mot de passe car j'ai oublié l'ancien ? Merci d'avance et très bonne année 2025.--[[Utilisateur:Clude Piard|Clude Piard]] ([[Discussion utilisateur:Clude Piard|discuter]]) 2 janvier 2025 à 10:14 (UTC)--[[Utilisateur:Clude Piard|Clude Piard]] ([[Discussion utilisateur:Clude Piard|discuter]]) 2 janvier 2025 à 10:14 (UTC) :{{notif|Clude Piard}}Il n'est pas possible de fusionner 2 comptes utilisateurs. Par contre, si vous avez entré une adresse de courriel, vous pouvez demander le renvoi du mot de passe de votre compte initial. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 2 janvier 2025 à 11:01 (UTC) ::OK et Merci. [[Spécial:Contributions/2A01:E0A:C8A:60C0:9808:E618:68AE:44B3|2A01:E0A:C8A:60C0:9808:E618:68AE:44B3]] 2 janvier 2025 à 16:42 (UTC) == Salut == Je te remercie pour les améliorations que tu apportes au cours d'anthropologie numérique. Puis-je te demander de prévenir quand tu décides de renommer un page sans laisser de redirection ? Cela risque de perturber fortement le déroulement de mon séminaire. C'est là raison pour laquelle je vais restaurer la page en question pour y mettre une redirection. Pour la suite, je te propose de discuter des nouvelles actions de ce type sur les pages de discussion, sans quoi, les participants au séminaire risque de ne plus retrouver les pages qui leur ont été renseignés pour faire leurs travaux hebdomadaire. D'ici là, une belle journée à toi ! =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 15:28 (UTC) :Je vois que c'est toute la leçon que tu es en train de renommer sans laisser de redirection. Puis-je alors te demander de bien veiller à ce que toutes les pages liées à celles que tu supprimes soient mise à jour ! Sans quoi tu vas créer pas mal de confusion dans le déroulement de mon cours. Pour la suite, s'il te plait, ne fais plus ce genre de démarche sans me tenir au courant préalablement. Je me trouve actuellement bien embarrassé face aux étudiants du séminaire que j'organise sur Wikiversité dans le cadre de mon enseignement universitaire. Peux-tu me répondre assez rapidement pour me rassurer pour la suite ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 15:40 (UTC) ::J'ai remis la redirection pour [[L'écoumène numérique]]. Cette page de respectant pas la [[WV:CDN]] je l'ai renommé et fait le lien en leçon sur la page du département, comme beaucoup de leçon qui existait mais sans lien sur la page du département. Ceci vient des travaux à mener depuis le [[Projet:Maintenance]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 18 février 2025 à 15:53 (UTC) :::Sans réponse de ta part, je vais devoir annuler tes suppressions de page sans que l'on puisse en parler avant de sorte que les étudiants qui participent au séminaire puissent réaliser leurs travaux. Reviens vers moi quand tu veux pour en discuter. Mais sache déjà que je ne trouve pas très courtois de supprimer des pages qui font l'objet d'un [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2025|cours hors ligne]] sans en discuter et organiser les choses au préalable. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 15:56 (UTC) ::::Merci pour la maintenance. C'est vraiment chouette que tu y consacres du temps. Mon stress vient du fait que les participants du séminaire que je donne à l'unif ont reçu des instructions en lien avec les pages supprimées. Je vais donc penser à créer un bandeau d'avertissement pour dire qu'il ne faut pas supprimer des pages en les renommant. Mais donc je suis tout à fait partant pour suivre les recommandations [[WV:CDN]]. Et d'ailleurs, si on veut le suivre complètement, il faudrait alors tout renommer avec « Écoumène numérique », ce qui est plus court que « Écoumène numérique et enjeux sociaux ». Tu voudrais t'en charger ou veux-tu que je le fasse ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 16:04 (UTC) :::::N'oublie pas de me notifier dans tes réponses stp, ça me simplifie la vie. =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 16:05 (UTC) ::::::Bon ok. Je vais repasser derrière toi et remettre tout en ordre et en conformité avec [[WV:CDN]]. Puis-je te demander pour la suite de communiquer avec moi avant de m'aider dans la maintenance des pages que j'utilise pour mes cours à l'unif ? N'hésite pas à utiliser les canaux de discussion instantanée avec mon no de téléphone : +32 486 060 016. Je suis sur Signal, whatsapp et telegram. Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 18 février 2025 à 16:18 (UTC) :::::::Il existe directement un serveur [https://discord.gg/mC4mtSDw Discord] pour la communauté Wikimédienne francophone avec des canaux par projet et des salons vocaux utilisables ponctuellement n'importe quand [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 février 2025 à 16:39 (UTC) ::::::::Tu y est souvent connecté ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 février 2025 à 17:14 (UTC) :::::::::Mon PC y est h24 ce qui permet donc de suivre les messages postés n'importe quand. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 février 2025 à 17:43 (UTC) ::::::::::Waw. La question devient donc : es-ce que tu es souvent devant ton PC. Mais elle est trop intime pour que je te la pose =) . En tout cas merci pour ta présence et ta bienveillance ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 février 2025 à 17:52 (UTC) :::::::::::C'est vraiment très variable en fonction des jours. Souvent quand mon robot travaille, c'est que je suis devant mon écran. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 février 2025 à 17:59 (UTC) ::::::::::::ok. bon à savoir. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 20 février 2025 à 18:02 (UTC) == Salut == En supprimant les pages de ma liste de suivi qui n'ont plus lieu d'être, je découvre une page de discussion orpheline. Comme je pense que c'est toi qui a supprimé la page principale, je te laisse replacer la page de discussion au bon endroit. Voici : [[Discussion:La Préhistoire]] Pourrais-tu aussi me dire s'il y a un moyen de supprimer les sous-pages d'une page automatiquement de la même manière que l'on peut les renommer ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 00:47 (UTC) :Bonjour. Le page de discussion sera supprimé puisque la page principale n'existe plus. La [[Spécial:Nuke|suppression en masse]] existe. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 09:13 (UTC) ::La page [[Discussion:La Préhistoire]] n'était pas vierge, elle ne devrait donc pas être supprimée, sans quoi c'est aussi supprimer une partie de l'archivage des interactions entre utilisateurs sur le site et aussi supprimer des interactions entre utilisateur sans leur consentement. Je vais donc les renommer correctement plutôt que les supprimer. Concernant l'outil de suppression de masse, il se focalise sur les modifications d'un utilisateur, il n'aide pas à supprimer les sous-pages d'une page que l'on supprime. Donc cela ne m'aide pas. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 15:28 (UTC) :::Je viens de jeter un coup d'œil sur ton [[Spécial:Journal/Crochet.david|journal d'opération]] et je vois que certaines leçons complètes ont été supprimés sans avoir été déplacée. :::C'est le cas de [[L'Antiquité sous tous ses aspects]] qui semble avoir été un plagiat détecté par @[[Utilisateur:Jade éternelle|Jade éternelle]]. Comment as-tu fait pour supprimer toutes les sous-pages ? L'as-tu fait une par une, ou existe-t-il un moyen de toutes les supprimer en même temps que la page principale ? Un peu comme quand on renomme toutes les sous-pages quand on renomme une page principale. Et comment fais-tu pour avoir la certitude d'être face à un plagiat qu'il faut supprimer ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 16:54 (UTC) ::::C'est maqué dans le commentaire, c'est mon robot qui a fait le travail de suppression et comme il fait une action toutes les 5 secondes, cela fait croire que c'est instantanée car l'horodatage n'affiche que les minutes. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 16:57 (UTC) :::::Haaa ! J'avais pas vu. Donc c'est ton robot qui supprime toutes les pages d'une catégorie. Pratique. Il faudrait que j'en achète un =) . Et pour la détection de plagiat, tu utilises quoi ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 17:07 (UTC) ::::::Dans l'historique de toutes les pages, il y a des « Outils externes et statistiques » dont un détecteur de plagiat. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 17:11 (UTC) ::::::Et donc, sans page de catégorie, ton robot, comment fait-il ? Il te dit de le faire à la main ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 17:12 (UTC) :::::::Sans catégorisation, oui, il faut dire au robots la liste des pages à supprimer. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 22 février 2025 à 17:15 (UTC) ::::::::Ah. Autant le faire à la main dans ce cas. Content d'avoir appris tout ça. Belle fin de journée ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 22 février 2025 à 17:19 (UTC) == Bot == Salut, je vois que ton bot est très actif dans un de mes travaux de recherche. Même si je reçois toutes les notifications de changement par mail, je n'ai pas vraiment le temps de faire le suivit de toutes ses modifications pour voir si les choses se passent bien. J'espère donc que tu gères bien les choses à ton niveau, car [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Recherche%3AContribution_%C3%A0_l%27%C3%A9tude_des_espaces_bois%C3%A9s_et_arbustes_de_la_pr%C3%A9fecture_de_Kissidougou&diff=958462&oldid=953404 quand je vois ceci], je me pose des questions. Ce serait d'ailleurs chouette que tu expliques ce que tu fais dans en commentaire de tes modifications. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 30 mars 2025 à 14:04 (UTC) :Bonjour. C'est plein d'espace non visible sur le rendu, mais visible dans le wikicode. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 31 mars 2025 à 16:04 (UTC) ::Ok [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 31 mars 2025 à 20:16 (UTC) :::Bonjour [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], ''plein d'espace visible dans le wikicode'' ? Quand je regarde avec ''modifier le wikicode'' je ne vois pas d'espaces en trop ? : par exemple dans : ''Le village de Bambaya est situé à environ 25 Km'' ? peux-tu éclairer ma lanterne ?, cordialement, [[Utilisateur:Geoleplubo|Geoleplubo]] ([[Discussion utilisateur:Geoleplubo|discuter]]) 6 avril 2025 à 10:46 (UTC) . ::::Bonjour. J'ai mis en photo sur [[discord:channels/537685109718122506/538395609896583168/1358433096768290837|Discord]] la page avant la modification en wikicode et on y voit bien les espaces. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 avril 2025 à 13:31 (UTC) == Expected unconnected page == Bonjour David ! Peux-tu m'expliquer à quoi sert "__EXPECTED UNCONNECTED PAGE__" que ton bot appose en haut de certaines sous-pages ? Je pourrais l'intégrer aux "preloads" des modèles de leçon / cours / etc. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 6 avril 2025 à 09:31 (UTC) :Bonjour. [[mw:Help:Magic_words/fr#Les_sélecteurs_de_comportement]]. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 6 avril 2025 à 13:26 (UTC) == Une prise de décision en cours de discussion est initiée == Bonjour Une prise de décision est initiée : [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 19 avril 2025 à 09:25 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Erreur technique dans les cours MOOC == Bonjour à toutes et tous, La [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|prise de décision concernant l'erreur technique dans les cours MOOC]] vient de commencer officiellement. Il n'est plus temps de discuter mais seulement de [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|statuer pour ou contre la suppression du format MOOC]] (jusqu'à ce que le problème soit résolu). {{Centrer|[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|{{Bouton cliquable|Donner son avis officiellement|couleur=bleu}}]]}} Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Message de {{U|Superwide-34}} == Bonjour ! Je ne sais pas comment procéder. Je veux travailler avec un robot. Je veux que vous m'aidiez car vous êtes également un dresseur de bot. Je veux utiliser le bot pour bienvenuter les nouveaux arrivants. J'ai pris la main pour le faire mais c'est très fatigant. Il faut qu'il soit répétitifs. Je demande un compte pour le robot. A très bientôt. [[Utilisateur:Superwide-34|Superwide-34]] ([[Discussion utilisateur:Superwide-34|discuter]]) 20 mai 2025 à 10:58 (UTC) :Bonjour. Dans le fonction disponible avec le robot « [[mediawikiwiki:Manual:Pywikibot|Pywikibot]] », il existe la fonction « [[mediawikiwiki:Manual:Pywikibot/welcome.py|welcome.py]] » qui se charge de faire le " bienvenutage ". Quelle est plus précisément votre demande ? [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 20 mai 2025 à 16:35 (UTC) == Wikicode vs HTML == Petite question de femto-détail, parce que j'aime bien comprendre. Si pas le temps de répondre, pas grave. Sinon, grand merci d'avance.<br/> &nbsp; &nbsp; Le bot "Crochet.david.bot" est passé sur ma page d'utilisateur ("PU"), et a remplacé un duo de balises « <nowiki><em>blabla</em></nowiki> », en une paire de simples quotes, « <nowiki>''blabla''</nowiki> », leur équivalent wikicode. Mais quand je regarde ce que le serveur de fr.wikiversity.org a envoyé au final, c'est le même texte entre... deux balises html, savoir ici "<nowiki><i></i></nowiki>". Au final, le changement est invisible.<br/> &nbsp; &nbsp; Ma question : quel est le gain réel de cette transformation ? qu'est-ce qui la justifie ? Sûrement pas les 2+3 = {{unité|5|octets}} caractériels gagnés en espace de sauvegarde, largement reperdus par le "logage" de cet échange :-). Y aurait-il une raison de "sémantique" informatique ? N'aurait-il pas mieux fallu mettre directement les "<nowiki><i></i></nowiki>", ce qui aurait sauvé un peu de temps CPU à chaque réappel de cette PU ?<br/> &nbsp; &nbsp; Merci de ton éclairage. Très cordialement. -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 13 juin 2025 à 18:48 (UTC). :Bonjour. Mon robot a des règles de base, tel que celui de remplacer le code HTML par du code wiki, même si le rendu est le même : [[wmdoc:pywikibot/master/api_ref/fixes.html]] [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] ([[Discussion utilisateur:Crochet.david|discuter]]) 15 juin 2025 à 07:13 (UTC) == Débats d'admissibilité == Bonjour, Les [[WV:DDA|débats d'admissibilité]] suivants ne comptabilisent aucun avis depuis plus de deux mois : * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Flash]] (leçon créée en 2007) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Mouvement féministe]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Joomla]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Programmation distribuée]] (leçon créée en 2010) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Collapsologie]] (leçon créée en 2016) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Citoyenneté et empire à Rome (leçon créée en Ie-IIIe siècle)]] (leçon créée en 2018) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Peuples amérindiens]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Création des états modernes en Europe]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage supervisé]] (leçon créée en 2022) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage profond]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Algorithme génétique]] (leçon créée en 2024) Merci d'y donner votre avis ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 23 juillet 2025 à 00:55 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 28 avril 2026 à 18:33 (UTC) </div> <!-- Message envoyé par User:Keegan (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/test&oldid=30471754 --> kvmn8xbb6usvnpgg34lm3d3i1sno854 0 8800 982285 982206 2026-04-29T06:34:20Z Marvoir 1746 /* Théorème de Cayley */ annonce d'un résultat dans le cas où G est fini. 982285 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | page_liée = Exercices/Action de groupe }} == Définition d'une action == {{Définition | titre = Définition – action à gauche | contenu = Une '''action à gauche''' d'un groupe ''G'' (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble ''X'' est une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que : * Pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ; * Pour tout élément ''s'' de ''X'', <math>1.s=s</math>. }} '''Remarques''' * Pour un élément ''g'' de G et un élément ''s'' de X, on écrit souvent ''gs'' au lieu de ''g''.''s''. On utilise aussi parfois la notation exponentielle <math>\ ^{g}s</math><ref>Voir par exemple N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 6, {{numéro}}1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.</ref>. La relation <math>g.(h.s)=(gh).s</math> ci-dessus devient alors <math>\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s</math>. * On rappelle que pour un ensemble ''X'', l'ensemble des permutations de ''X'' (c'est-à-dire l'ensemble des bijections de ''X'' sur lui-même), muni de la composition, forme un groupe noté ''S''(''X'') ou <math>\ S_{X}</math> ou <math>\mathfrak{S}(X)</math> (groupe des permutations de ''X'') ; il a été introduit au chapitre [[Théorie des groupes/Groupes, premières notions|Groupes, premières notions]]. Si ''G'' agit sur ''X'', l’application <math>m_g:X\rightarrow X:s\mapsto g.s</math> est une bijection dont l'inverse est <math>m_{g^{-1}}</math>. Les propriétés ci-dessus se traduisent : ** <math>\forall g,h\in G, \; m_{gh}=m_g\circ m_h</math> ; ** <math>\ m_e=Id_X</math>. Autrement dit, l’application <math>m : G\rightarrow S(X)</math> est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de ''G'' sur ''X''<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle ''loi d'opération'' ce qui est appelé ici ''action''. Il donne un sens plus général au mot ''action'' (ib., § 3, {{numéro}}1, p. 23). D. Perrin, ''Cours d'algèbre'', Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.</ref>. Réciproquement, tout morphisme de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math> définit une action du groupe ''G'' sur ''X'' par : <math>g.x=m_g(x)</math>. En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) : {{début cadre|rouge}} :'''Les actions de groupes de ''G'' sur ''X'' sont exactement les morphismes de groupes <math>G\rightarrow S(X)</math>.''' {{Fin cadre}} Nous dirons indifféremment : « soit ''G'' un groupe agissant sur un ensemble ''X'' », « soit ''G'' un groupe opérant sur un ensemble ''X'' » et « soit ''X'' un ''G''-ensemble ». Le noyau de l'opération <math>m : G\rightarrow S(X)</math> sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots ''action'' et ''opération'' l'un pour l'autre. == Exemples == (On notera par juxtaposition aussi bien l'action de ''G'' sur ''X'' que la composition dans ''G''.) * Action triviale de ''G'' sur ''X'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''X'' associée à ''g'' est la permutation identique ; autrement dit, ''g''.''x'' = ''x'' pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'' ; l'homomorphisme de ''G'' dans <math>\ S_{X}</math> est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de <math>\ S_{X}</math>). * ''G'' agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation associée à ''g'' est la translation à gauche <math>L_g:x \mapsto gx</math>, où ''gx'' désigne le produit de ''g'' et de ''x'' dans le groupe ''G'' ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de <math>G \times G</math> dans <math>\ G</math>, est identique à la loi de composition du groupe ''G''. {{Démonstration déroulante|titre=Détails|contenu= L'associativité de la loi du groupe équivaut à : :<math>(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_g\circ L_h</math>. On en déduit en particulier que ''L{{ind|g}}'' est une permutation (de bijection réciproque ''L''{{ind|''g''{{exp|-1}}}}), ce qui permet de définir une application ''L'' de ''G'' dans S(''G'') par : :<math>\forall g \in G \qquad t(g)=t_g</math>. D'après <math>(\star)</math>, ''L'' est un homomorphisme de groupes. }} * Si ''H'' est un sous-groupe de ''G'', ''G'' agit par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H'' : pour tout élément ''g'' de ''G'', la permutation de ''G''/''H'' associée à ''g'' est la permutation <math>X \mapsto gX</math>. (Si ''X'' est une classe à gauche ''xH'', ''gX'' en est une aussi, à savoir la classe (''gx'')H de ''gx''.) * Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément ''g'' du groupe ''G'', la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de ''G'' associée à ''g'' est l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>, autrement dit <math>g.x = gxg^{-1}</math>. Il s'agit bien d'une opération du groupe ''G'' sur (l'ensemble sous-jacent de) ''G'', car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'', l’application <math>g \mapsto \mathrm{Int}(g)</math> définit un homomorphisme de ''G'' dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) ''G''. * Si un groupe ''G'' opère sur un ensemble ''X'', si ''H'' est sous-groupe de ''G'', l'opération de ''G'' sur ''X'' induit de façon évidente une opération de ''H'' sur ''X'' : l’application <math>H \times X \rightarrow X</math> est la restriction de l’application <math>G \times X \rightarrow X</math> et l'homomorphisme <math>H \rightarrow S_{X}</math> est la restriction de l'homomorphisme <math>G \rightarrow S_{X}</math>. *Tout groupe ''G'' agissant sur un ensemble ''X'' agit aussi sur l'ensemble <math>\mathcal P(X)</math> des parties de ''X'', par <math>G\times\mathcal P(X)\to\mathcal P(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}</math>. == Actions équivalentes == Si ''G'' agit sur deux ensembles ''X'' et ''Y'', une application <math>f:X\rightarrow Y</math> est appelée<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.</ref> un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout ''x'' dans ''X'' et pour tout ''g'' dans ''G'', on a : <div style="text-align: center;"><math>f(g.x)=g.f(x)</math>.</div> Si un homomorphisme ''f'' de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que ''f'' est un isomorphisme de G-ensembles. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira<ref>M. Aschbacher, ''Finite Group Theory'', Cambridge University Press, 2000, p. 9.</ref> que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme <math>\ \sigma </math> de G sur H et une bijection ''f'' de X sur Y tels que, pour tout élément ''g'' de G et tout élément ''x'' de X, on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g.x) = \sigma(g).f(x)</math>.</div> On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes<ref>J. J. Rotman, ''An introduction to the theory of groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, p. 282.</ref>. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que ''f'' et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via ''f'' et σ). On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G). Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs<ref>Voir par exemple J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 206.</ref>. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ». == Groupes de permutations == Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de <math>\ S_{X}</math>. G opère sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (\sigma, x) \mapsto \sigma (x)</math>; cette opération est appelée '''l'opération naturelle de G sur X'''. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont '''semblables''' si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes. D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f(g \cdot x) = \sigma (g) \cdot f(x),</math></div> où les points représentent respectivement l'opération naturelle de ''G'' (sur ''X'') et celle de ''H'' (sur ''Y'').<br /> Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' et un isomorphisme de groupes σ de ''G'' sur ''H'' tels que, pour tout élément ''g'' de ''G'', on ait <div style="text-align: center;"><math>f \circ g \circ f^{-1} = \sigma (g).</math></div> On voit que σ est entièrement déterminé par ''f'', donc ''G'' et ''H'' sont semblables si et seulement s'il existe une bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' telle que ''H'' soit l'image de ''G'' par l'isomorphisme ''s'' ↦ ''f'' ∘ ''s'' ∘ ''f''^-1 de S_''X'' sur S_''Y''.<br /> Nous dirons qu'une telle bijection ''f'' de ''X'' sur ''Y'' est '''une similitude''' de G vers H. Deux groupes de permutations d'un même ensemble ''X'' sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X. * Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes <math>S_{X} \rightarrow S_{Y} : \sigma \mapsto f \circ \sigma \circ f^{-1}</math>; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.) == Vocabulaire == * Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément ''g'' de G '''agit trivialement''' (sur X) si, pour tout élément ''x'' de X, g x = x. Cela revient à dire que ''g'' appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X. * Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite '''fidèle''' si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre. * Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme <math>\ \varphi</math> de G dans <math>\ S_{X}</math> correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations <math>\ \varphi(G)</math>. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes <math>\ G \rightarrow \varphi(G)</math> constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde. * L<nowiki>'</nowiki>'''orbite''' d'un point ''x'' de ''X'' pour une opération d'un groupe ''G'' sur l’ensemble ''X'' est l’ensemble des éléments ''g''.''x'' où ''g'' parcourt le groupe ''G''. On parle de ''G''-orbite d'un élément de ''X'' si la mention du groupe ''G'' suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes<ref>Si ''x'' et ''y'' sont des éléments de ''X'' tels que <math>Gx\cap Gy\ne\varnothing</math>, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que ''y = gx''. Alors ''Gy = G''(''gx'') = (''Gg'')''x = Gx''.</ref> ; les orbites partitionnent ''X''. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle<ref>J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 184.</ref>. * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit ''f'' une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection ''g'' de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.) * Si ''g'' est un élément de ''G'' et ''x'' un élément de ''X'', si ''g''.''x''=''x'', on dit que ''g'' '''fixe''' ''x'' ou que ''x'' est un '''point fixe''' de ''g''. Les points fixes de ''g''⁻¹ sont exactement les points fixes de ''g''. (En effet, on passe de l'égalité ''g''(''x'') = ''x'' à l'égalité ''g''⁻¹(''x'') = ''x'' en multipliant les deux membres à gauche par ''g''{{exp|-1}} et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par ''g''.) * Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection ''f'' de X sur Y et un isomorphisme de groupes <math>\sigma </math> de G sur H. Alors un élément ''g'' de G fixe un élément ''x'' de X pour la première opération si et seulement <math>\sigma (g)</math> fixe f(x) pour la seconde opération. * On dit qu'un élément ''x'' de ''X'' est '''point fixe pour l'opération''' de ''G'' sur ''X'' si ''x'' est fixé par tout élément de ''G''<ref>N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 73.</ref>, ce qui revient à dire que l'orbite de ''x'' est réduite à ''x''. * Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.) * Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre''' lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle. * Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''. == Relations entre orbite et stabilisateur == * Si ''x'' est un élément donné d'un G-ensemble ''X'', il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application <math>g\mapsto gx</math> induit un isomorphisme de G-ensembles <math>G/Stab(x)\rightarrow O(x)</math>. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : <math>\vert G/Stab(x) \vert = \vert O(x) \vert</math>. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que <math>\vert G/K \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, <math>\vert G \vert </math> est multiple du cardinal de chaque orbite. * On montre facilement (voir exercices) que si deux points ''x'', ''y'' de ''X'' appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans ''G'' sont conjugués dans ''G''. (Plus précisément, si ''g'' est un élément de ''G'' tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g{{exp|-1}}.) Les orbites de ''x'' et de ''y'' sont dites '''de même type''' lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans ''G'' aux stabilisateurs des éléments de l'autre. == Action à droite == (Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.) Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application <math>G\times X\rightarrow X</math> envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que : :pour tout élément ''x'' de ''X'', <math>1.x=x</math>, mais supposons maintenant que : :pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'' et tout élément ''x'' de ''X'', <math>g.(h.x)=(hg).x</math>. Une telle application est appelée action à droite de G sur X. On vérifie facilement que, pour tout <math>g \in G</math>, l’application <math>\sigma_{g} : x \mapsto gx</math> de ''X'' dans lui-même est une bijection et que l’application <math>g \mapsto \sigma_{g}</math> est un homomorphisme de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de ''X'' muni de la loi de composition <math>f \star g = g \circ f</math>, de sorte que <math>f \star g (x) = g(f(x))</math>.)<br /> Réciproquement, pour tout homomorphisme <math>\lambda</math> de ''G'' dans l'opposé du groupe des permutations de ''X'', il existe une et une seule action à droite de ''G'' sur ''X'' telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit <math>\lambda</math>. Soient ''G'' un groupe et ''X'' un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants : # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de ''G'' ; # une application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto gx</math> est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application <math>G\times X\rightarrow X : (g, x) \mapsto g^{-1}x</math> est une action à gauche relativement au même groupe ''G''. Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'', on préfère placer l'élément (soit ''g'') de ''G'' à droite de l'élément (soit ''x'') de ''X'' et écrire ''xg'' plutôt que ''gx''. La règle ''g(hx) = (hg)x'' prend alors la forme plus élégante ''(xh)g = x(hg)''. Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi <math>x^{g}</math> au lieu de ''gx''; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante. Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble ''X'' le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de ''X''<ref>Voir par exemple P.J. Cameron, ''Permutation groups'', Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The theory of finite groups'', New York, 2004, p. 55.</ref>. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' qui correspondent aux homomorphismes de ''G'' dans le « groupe des permutations » de ''X''. Ces auteurs désignent l'image d'un élément ''x'' par une permutation <math>\alpha</math> en plaçant <math>\alpha</math> à droite de ''x'', c'est-à-dire que là où nous écrivons <math>\alpha(x)</math>, ils écrivent <math>x\alpha</math> ou <math>x^{\alpha}</math>. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) : :<math>x^{\alpha * \beta} = (x^{\alpha})^{\beta}</math>, ce qui rend l'harmonie des notations complète. == Théorème de Cayley == {{Théorème | titre=Théorème de Cayley |contenu={{Wikipédia|Théorème de Cayley}} Soit G un groupe.</br> a) G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Plus précisément, si pour tout élément g de G, on désigne par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G, <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme injectif de G dans <math>S_{G}</math>.</br> b) Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations. }} {{Démonstration | contenu= Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu que <math>\ g \mapsto L_{g}</math> définit un homomorphisme de G dans <math>S_{G}</math>. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si ''g'' est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme <math>\ g \mapsto L_{g}</math> est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par <math>\ g \mapsto L_{g}</math>, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première. }} Remarque. Il résulte du théorème de Cayley que si G est un groupe fini d'ordre ''n'', G est isomorphe à un sous-groupe du groupe <math>S_{n}</math>, ce qu'on exprime encore en disant que G peut être plongé dans <math>S_{n}</math>. Il y a des cas où G peut-être plongé dans un groupe <math>S_{k}</math> où ''k'' est considérablement plus petit que l'ordre de G. Par exemple, si dans l'énoncé ci-dessus du théorème de Cayley, on prend pour G le groupe symétrique fini <math>S_n</math>, on trouve seulement que <math>S_n</math> peut être plongé dans <math>S_{n!}</math>, alors qu'il peut évidemment être plongé dans lui-même, c'est-à-dire dans <math>S_n</math>, qui est en général considérablement plus petit que <math>S_{n!}</math>. On verra un autre exemple dans le ''théorème de plongement'', qui sera démontré dans le chapitre [[../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]]. {{Théorème |contenu= Soit G un groupe. Pour tout élément ''g'' de G, désignons (comme plus haut) par L_g la permutation (translation à gauche) <math>\ x \mapsto gx </math> de G. On a vu (théorème de Cayley) que les permutations L_g forment un sous-groupe de <math>S_{G}</math> isomorphe à G. Notons L_G ce sous-groupe de <math>S_{G}</math>. Alors tout élément de L_G autre que la permutation identique est une permutation sans point fixe. }} Démonstration. Cela revient à dire que l'action <math>(g, x) \mapsto g x</math> de G sur son ensemble sous-jacent est libre, ce qui est clair.</br> Remarque. Il arrive que, pour démontrer qu'un groupe G possède une certaine propriété transmissible par isomorphisme, il soit plus facile de démontrer que le groupe que nous avons noté L_G possède cette propriété, ce qui entraîne (puisque L_G est isomorphe à G) que G possède lui aussi cette propriété. Remarque. Dans le chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]], nous verrons, dans le cas où G est fini, une autre propriété notable de l'élément L_g pour un élément ''g'' de G - {1}. == Équation aux classes == Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit <math>\Omega</math> l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert \omega \vert </math>,<br /> où <math>\omega </math> parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal. Soit <math>(x_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite <math>\omega </math>, <math>x_{\omega}</math> appartienne à <math>\omega </math>. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} \vert orb(x_{\omega}) \vert </math> où <math>orb(x)</math> désigne l'orbite de x.<br /> Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur <math>G_{x}</math> de ce point, donc<br /> <math>\vert X \vert = \sum_{\omega \in \Omega}{} [G:G_{x_{\omega}}] </math>. Il revient au même de dire que si <math>(x_{i})_{i \in I}</math> est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul <math>i \in I</math> tel que <math>x_{i} \in \omega </math>, on a <math>\vert X \vert = \sum_{i \in I}{} [G:G_{x_{i}}] </math>. En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit <math>(x_{j})_{j \in J}</math> une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert X \vert = \vert X' \vert + \sum_{j \in J}{} [G:G_{x_{j}}] </math>. L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois<ref>Voir par exemple Jean Delcourt, ''Théorie des groupes'', 2{{e}} éd., Paris, 2007, p. 63.</ref> appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre <math>Z(G)</math> de G et les <math>G_{x_{j}}</math> sont les centralisateurs <math>C_{G}(x_{j})</math> des <math>x_{j}</math>, donc si <math>(x_{j})_{j \in J}</math> est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul <math>j \in J</math> pour lequel <math>x_{j} \in \omega </math>, alors <math>\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{j \in J}{} [G:C_{G}{x_{j}}] </math>. Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.</ref> ou encore la [[../Théorèmes de Sylow#Les p-groupes|non-trivialité du centre de tout ''p''-groupe fini non trivial]]<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} édition, 2{{e}} tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.</ref>. == Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs == Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. Le centralisateur de ''x'', c'est-à-dire le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' qui commutent avec ''x'', est le stabilisateur de ''x'' pour l'action du groupe ''G'' sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de ''x'' pour cette action est l’ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G''. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. La classe de conjugaison de ''x'' dans G (ensemble des conjugués de ''x'' dans ''G'') a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du centralisateur de ''x'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de ''x'' dans G divise l'ordre de G. }} Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe ''G'' sur l'ensemble de ses parties {{supra|Exemples}} : <math>G\times\mathcal P(G)\to\mathcal P(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}</math>. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe ''H'' de ''G'' est constituée des sous-groupes de ''G'' de la forme <math>x H x^{-1}</math>, où <math>x</math> parcourt ''G'', appelés les conjugués de ''H'' dans ''G'' (nous les appellerons parfois aussi les ''G''-conjugués de ''H''). Le stabilisateur de ''H'' pour cette action est son normalisateur dans ''G''. Donc, comme précédemment : {{Théorème | titre=Proposition|contenu= Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. L'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' a pour cardinal l'indice (dans ''G'') du normalisateur de ''H'' dans ''G''. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de ''H'' dans ''G'' divise l'ordre de ''G''. }} == Argument de Frattini == {{Théorème | titre = Argument de Frattini (forme générale) | contenu = Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément ''x'' de X, <math>\ G = G_{x} H</math> (où <math>\ G_{x}</math> désigne le stabilisateur de ''x'' dans G). }} {{Démonstration | contenu= Supposons que G opère à droite sur X par <math>G \times X \rightarrow X : (g, x) \mapsto x^{g}</math>. Soient ''g'' un élément de G et ''x'' un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément ''h'' de H tel que <math>\ x^{g} = x^{h}.</math> Alors <math>\ x^{gh^{-1}} = x</math>, donc <math>\ gh^{-1} \in G_{x}</math>, donc <math>\ g \in G_{x}H.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G, on a donc <math>\ G = G_{x} H</math>. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA ([[../Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8|Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8]]), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X. }} La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]] et [[../Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives|Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives]]. Dans le chapitre [[../Sous-groupe de Frattini|Sous-groupe de Frattini]], nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} b2w4w5d0zesox30mqm2w8ly7da4imv3 4 14250 982276 977354 2026-04-28T23:02:41Z Fourmidable 50100 982276 wikitext text/x-wiki {{Nobots}} __NEWSECTIONLINK__ {{Boîte de requêtes}} <div class="plainlinks" style="overflow: hidden; margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Débats d'admissibilité}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».</strong> <strong style="font-size:1.0em">Ouvrir un débat d'admissibilité</strong> #Ajoutez le modèle {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer aux autres contributeurs le débat d'admissibilité (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure). #Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez. #Ajoutez la page concernée dans la section <code>Débats en cours</code> (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au vote. 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margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Débats d'admissibilité}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».</strong> <strong style="font-size:1.0em">Ouvrir un débat d'admissibilité</strong> #Ajoutez le modèle {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer aux autres contributeurs le débat d'admissibilité (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure). #Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez. #Ajoutez la page concernée dans la section <code>Débats en cours</code> (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au vote. [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Attention</strong> * si la page est clairement inadmissible → demandez une {{m|suppression immédiate}} * si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]] * si la page semble violer le droit d'auteur → signalez-le sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]</div> == Débats en cours == {{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}} * {{A|Flash}} (2007) {{Vert|4 avis}} * {{A|Mouvement féministe}} (2008) {{Vert|4 avis}} * {{A|Joomla}} (2008) {{Vert|4 avis}} * {{A|Collapsologie}} (2016) {{Rouge|2 avis}} * {{A|Citoyenneté et empire à Rome (Ie-IIIe siècle)}} (2018) {{Rouge|1 avis}} * {{A|Apprentissage non supervisé}} (2018) {{Rouge|1 avis}} * {{A|Peuples amérindiens}} (2019) {{Rouge|2 avis}} * {{A|Création des états modernes en Europe}} (2019) {{Vert|4 avis}} * {{A|Mouvement ouvrier}} (2020) {{Orange|3 avis}} * {{A|Apprentissage profond}} (2024) {{Orange|3 avis}} * {{A|Apprentissage par renforcement}} (2024) {{Vert|4 avis}} * {{A|Algorithme génétique}} (2024) {{Orange|3 avis}} == Débats clos == {|class="wikitable" |- ! 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margin: .5em 0; padding: 1em; padding: 1em; border: 2px solid #555753; border-radius: 0; background-color: #e5e6e3; color: #000; border-radius: 5px; margin: 0;"> <div style="background-color: #a7a8a7; margin-bottom: 15px; margin-left: -15px; margin-right: -15px; margin-top: -15px; line-height: 40px; font-size: 1.5em;">{{Centrer|Débats d'admissibilité}}</div> <div style="opacity: 0.2; right: 20em">[[Image:Keep tidy ask 2.svg|droite|100px|link=]]</div><strong style="font-size:1.2em;color:#3366BB;">Cette page liste les débats d'admissibilité de pages, dits « DdA ».</strong> <strong style="font-size:1.0em">Ouvrir un débat d'admissibilité</strong> #Ajoutez le modèle {{m|Admissibilité}} en haut de la page concernée : un bandeau sera ainsi visible pour indiquer aux autres contributeurs le débat d'admissibilité (ce bandeau ne doit pas être retiré avant la fin de la procédure). #Cliquez sur le lien rouge, renseignez le motif puis sauvegardez. #Ajoutez la page concernée dans la section <code>Débats en cours</code> (ci-dessous) pour informer les autres contributeurs qui pourront ainsi participer aux discussions et au vote. [[Image:OOjs UI icon alert-destructive.svg|{{{taille|30px}}}|link=]]<strong style="font-size:1.0em;color:#D82A2A;">Attention</strong> * si la page est clairement inadmissible → demandez une {{m|suppression immédiate}} * si la page doublonne une autre page de Wikiversité → demandez une [[Wikiversité:Pages à fusionner|fusion]] * si la page semble violer le droit d'auteur → signalez-le sur [[Wikiversité:Pages soupçonnées de violation de copyright]]</div> == Débats en cours == {{Raccourci|WV:DAD|WV:DdA|WV:PàS|align=right}} * {{A|Flash}} (2007) {{Vert|4 avis}} * {{A|Mouvement féministe}} (2008) {{Vert|4 avis}} * {{A|Joomla}} (2008) {{Vert|4 avis}} * {{A|Collapsologie}} (2016) {{Rouge|2 avis}} * {{A|Citoyenneté et empire à Rome (Ie-IIIe siècle)}} (2018) {{Rouge|1 avis}} * {{A|Apprentissage non supervisé}} (2018) {{Rouge|1 avis}} * {{A|Peuples amérindiens}} (2019) {{Rouge|2 avis}} * {{A|Création des états modernes en Europe}} (2019) {{Vert|4 avis}} * {{A|Mouvement ouvrier}} (2020) {{Orange|3 avis}} * {{A|Apprentissage profond}} (2024) {{Orange|3 avis}} * {{A|Apprentissage par renforcement}} (2024) {{Vert|4 avis}} * {{A|Algorithme génétique}} (2024) {{Orange|3 avis}} == Débats clos == {|class="wikitable" |- ! 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Autres cas |- !colspan="4"| 2007 |- | * {{A|Argot (région parisienne)}} | * {{A|Matériel (réseau)}} | |- !colspan="3"| 2008 |- | * {{A|Bayt mal alqods acharif}} * {{A|Comité alqods}} * {{A|Catégorie:Grammaire lettonne}} * {{A|Catégorie:Conjugaison lettonne}} * {{A|Grammaire/Latin/Les prépositions latines}} * {{A|Introduction aux genres littéraires/Le genre narratif}} * {{A|Introduction à la musique/Introduction}} | * {{A|Candide}} | |- !colspan="3"| 2009 |- | * {{A|Diapause génétique}} | * {{A|Conseil de navigation}} | * {{A|Introduction à l'électrostatique/Définition}} : Recyclé comme fiche dans le cours [[Électrostatique]] * {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Amphibiens}} : {{Fusionner}} * {{A|Vocabulaire espagnol des animaux/Mollusques}} : {{Fusionner}} |- !colspan="3"| 2011 |- | * {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Exercices/Gradients et Laplaciens}} | * {{A|Guitare/Théorie d'accords}} * {{A|Handball/Règles}} * {{A|Modèle:Utilisateur Agrégé/Physique}} * {{A|Recherche:Polynômes de Boubaker}} | * {{A|Introduction à la mécanique des fluides/Rappels de Mathématiques}} : Recyclée en annexe |- !colspan="3"| 2012 |- | * {{A|Photométrie/Éclairement lumineux}} | | * {{A|Recherche:ADN invisible}} redirigée vers {{A|Diapause génétique}} |- !colspan="3"| 2013 |- | * {{A|Les Vazimbas}} * {{A|Recherche:Nombres premiers et modèle des flèches de Jonathan}} | | |- !colspan="3"| 2014 |- | * {{A|Département:Sociologie économique}} et revoir tous les départements de [[Faculté:Socio-anthropologie]] (fusion/regroupement/suppression/...) * {{A|Recherche:Piratage électoral dans la commune de Walcourt}} * {{A|Transgression télévisuelle}} | | |- !colspan="3"| 2015 |- | * {{A|Corsü di xeç}} * {{A|Dénotation et connotation}} * {{A|Le barbier de Séville}} * {{A|Le parc de Tsimbazaza}} * {{A|Le besoin satisfait par le système}} * {{A|Liaisons élastiques. 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Les classes à gauche de G suivant H sont en quantité 2, donc il est clair que ces classes à gauche sont H et la partie complémentaire de H dans G. De même, les classes à droite suivant H sont H et la partie complémentaire de H dans G. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivant H sont identiques, donc H est normal. }} == Problème 2 == Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par ''id'' la permutation identique de E. Si ''a'' et ''b'' sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique ''a'' sur ''b'', ''b'' sur ''a'' et laisse donc fixe l'élément de E distinct de ''a'' et de ''b''. Il est clair que {''id'', (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S. {{Solution | contenu = Il est clair que (1 3)^-1 = (1 3), donc (1 3)^-1 ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (1 3) ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (2 3). Comme (2 3) n'appartient pas au sous-groupe {''id'', (1 2)}, il en résulte que ce sous-groupe n’est pas normal dans S. }} == Problème 3 == Soient ''G'' un groupe et <math>(H_{i})_{i \in I}</math> une famille de sous-groupes de ''G''. On désigne par ''H'' le sous-groupe de ''G'' engendré par les ''H_i''. Prouver que :<math>(1) \qquad \bigcap _{i \in I}N_{G}(H_{i}) \subseteq N_{G}(H)</math> et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie. {{Solution | contenu = Prouvons la relation (1). Soit ''g'' un élément de ''G'' qui normalise tous les ''H_i''; il s'agit de prouver que ''g'' normalise ''H''. Désignons par <math>\sigma_{g}</math> l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G''. Il s'agit de prouver que ''H'' est invariant par <math>\sigma_{g}</math>. Or <math>\sigma_{g}(H)</math> est le sous-groupe de ''G'' engendré par les <math>\sigma_{g}(H_{i})</math>; puisque ''g'' normalise tous les ''H_i'', les <math>\sigma_{g}(H_{i})</math> sont les ''H_i''. Donc <math>\sigma_{g}(H)</math> est le sous-groupe de ''G'' engendré par les ''H_i'', c'est-à-dire est égal à ''H'', donc ''H'' est bien invariant par <math>\sigma_{g}</math> comme annoncé.<br /> Nous avons donc prouvé la relation (1) de l'énoncé. Prouvons que l'inclusion réciproque n’est pas vraie. Soit ''G'' un groupe admettant un sous-groupe ''K'' non distingué. (On sait que le cas se présente.) Posons ''H₁'' = ''K'' et ''H₂'' = ''G''. Le sous-groupe ''H'' engendré par ''H₁'' et ''H₂'' est ''G'' tout entier, donc <math>N_{G}(H)</math> est ''G'' tout entier, donc <math>N_{G}(H)</math> n’est pas contenu dans <math>N_{G}(H_{1}) \cap N_{G}(H_{2})</math>, car ''G'' n’est pas contenu dans <math>N_{G}(H_{1}) = N_{G}(K)</math>. }} == Problème 4 == Soient G₁ et G₂ deux groupes, ''f'' un homomorphisme surjectif de G₁ sur G₂. Soit A une partie de G₁. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G₁ engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G₂ engendré par f(A). {{Solution | contenu = Du fait que ''f'' est surjectif, il résulte (théorie) que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A). Ainsi, f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il reste à prouver qu’il est contenu dans tout sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Soit K un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il s'agit de prouver que K contient f(Dist(A)). Puisque K contient f(A), A est contenu dans f{{exp|-1}}(K), qui est un sous-groupe distingué de G₁. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f{{exp|-1}}(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme annoncé. }} == Problème 5 == Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : ''x'' étant un élément de H et ''y'' un élément de K, considérer l'élément x^-1 y^-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x^-1 y^-1 x y au chapitre [[../../Commutateurs, groupe dérivé|Commutateurs, groupe dérivé]].) {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de H et ''y'' un élément de K. Il s'agit de prouver que ''x'' et ''y'' commutent. Cela revient à prouver que x^-1 y^-1 x y = 1. Vu les hypothèses, il suffit de prouver que x^-1 y^-1 x y appartient à H et à K. Il appartient à H parce qu’il est le produit de x^-1, qui appartient à H, et de y^-1 x y, qui appartient à H parce que H est normal dans G. De même, x^-1 y^-1 x y appartient à K, parce qu’il est le produit de x^-1 y^-1 x et de ''y'', qui appartiennent tous deux à K. }} Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre [[../../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]]. == Problème 6 == Soient <math>G</math> un groupe, <math>H</math> un sous-groupe distingué de <math>G</math> et <math>K</math> un sous-groupe de <math>G</math> contenant <math>H</math>. Notons <math>G/K</math> l’ensemble des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>K</math> (ici, <math>G/K</math> n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à <math>G/H</math>). # Montrer qu’il existe une unique application <math>h</math> de <math>G/H</math> dans <math>G/K</math> telle que, pour tout <math>x</math> dans <math>G</math>, <math>h(xH) = xK</math>. # Montrer que, pour tous <math>X</math> et <math>Y</math> dans <math>G/H</math>, <math>h(X) = h(Y)</math> équivaut à ce que <math>X</math> et <math>Y</math> appartiennent à la même classe à gauche du groupe <math>G/H</math> suivant son sous-groupe <math>K/H</math>. {{Solution | contenu = <ol> <li>'''Existence''' <p> La seule chose à montrer est que la définition <math>h(xH) = xK</math> ne dépend pas du représentant choisi <math>x</math> de la classe <math>xH\in G/H</math>. Prenons donc <math>x</math> et <math>x^{\prime}</math> dans <math>G</math> tels que <math>xH = x^{\prime} H</math> et montrons que <math>xK = x^{\prime} K</math>. Comme <math>xH = x^{\prime} H</math>, on a <math>x^{-1} x^{\prime} \in H</math>, or <math>H\subseteq K</math> donc <math>x^{-1} x^{\prime} \in K</math>, ce qui prouve que <math>x</math> et <math>x^{\prime}</math> sont dans la même classe à gauche modulo <math>K</math>, c'est-à-dire <math>xK = x^{\prime} K</math>. L'application <math>h</math> est donc bien définie. </p> <p> '''Unicité''' </p> <p> Tout élément de <math>G/H</math> s'écrit <math>xH</math> pour un certain <math>x</math> dans <math>G</math>. La relation donnée définit donc l'image de chaque élément de l'ensemble de départ de <math>h</math>, ce qui prouve l'unicité.</li> <p> <li>Notons <math>p</math> l'homomorphisme canonique de <math>G</math> sur <math>G/H</math>. Pour tous <math>x</math> et <math>y</math> dans <math>G</math>, on a : <p> <math> \begin{align} xK = yK &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ x=yk\\ &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ xH = ykH && \text{car } H \subseteq K\\ &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ xH=yH.kH && \text{car } p \text{ est un morphisme}\\ &\Leftrightarrow\ \exists \alpha \in K/H:\ xH = yH.\alpha && \text{car } \{ kH,\ k \in K \} = p(K) = K/H \end{align} </math> </p> <p> Donc <math>xK = yK</math> équivaut à ce que les éléments <math>xH</math> et <math>yH</math> de <math>G/H</math> appartiennent à la même classe à gauche du groupe <math>G/H</math> suivant son sous-groupe <math>K/H</math>. Ceci prouve ce que l'on voulait, puisque si <math>X = xH</math> et <math>Y = yH</math> sont des éléments de <math>G/H</math>, alors <math>h(X) = xK</math> et <math>h(Y) = yK</math>. </p> <p> Remarque : c'est l'hypothèse « <math>H</math> distingué dans <math>G</math> » qui nous permet d'avoir le ''morphisme de groupes'' <math>p</math>. </p> </li> </ol> }} == Problème 7 == a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H; :2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N. {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°. Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif ''f'' de G sur H. D'après le premier théorème d'isomorphisme, H est isomorphe au groupe quotient G/Ker f, ce qui prouve 2°.<br /> Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. Par hypothèse, il existe un sous-groupe normal N de G et un isomorphisme <math>\sigma</math> de G/N sur H. Si <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme (surjectif) canonique de G sur G/N, <math>\sigma \circ \varphi</math> est un homomorphisme surjectif de G sur H, ce qui prouve 1°. }} b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K, :<math>\vert Hom(H, K) \vert \leq \vert Hom(G, K) \vert .</math> (Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).) {{Solution | contenu = Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif ''f'' de G sur H. Un groupe K étant donné, considérons l'application :<math>\tilde{f} : Hom(H, K) \to Hom(G, K) : g \mapsto g \circ f</math>. Cette application est injective car ''f'', étant surjectif, est simplifiable à droite du signe <math>\circ</math>. Le fait que <math>\tilde{f}</math> soit une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K) entraîne que :<math>\vert Hom(H, K) \vert \leq \vert Hom(G, K) \vert </math> ce qui démontre l'énoncé. }} Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même [[../../Groupes libres, premiers éléments|groupe libre]]. == Problème 8 == Soient A et B des groupes ''abéliens''. Prouver que pour tout homomorphisme <math>f</math> de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1° <math>f</math> est surjectif; :2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes <math>g</math> et <math>h</math> de B dans C, la relation <math>g \circ f = h \circ f</math> entraîne <math>g = h .</math> Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de <math>f</math>) dont une certaine propriété équivaut à ce que <math>f</math> soit surjectif. {{Solution | contenu = Prouvons que 1° entraîne 2°. Soit <math>f</math> un homomorphisme surjectif de A dans B, soit C un groupe abélien, soient <math>g</math> et <math>h</math> des homomorphismes de B dans C tels que <math>g \circ f = h \circ f</math> ; il s'agit de prouver que <math>g = h .</math> Soit <math>b</math> un élément de B; puisque <math>f</math> est supposé surjectif, il existe un élément <math>a</math> de A tel que <math>b = f(a) .</math> D'après l'hypothèse <math>g \circ f = h \circ f</math>, nous avons <math>g(f(a)) = h(f(a))</math>, autrement dit <math>g(b) = h(b). </math> Ceci étant démontré pour tout élément <math>b</math> de B, nous avons donc <math>g = h. </math> Comme nous l'avons vu, cela prouve que la condition 1° de l'énoncé entraîne la condition 2°. (On pouvait aussi le déduire de [[Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 2-5|la propriété analogue dans la catégorie des ensembles]].) Réciproquement, prouvons que 2° entraîne 1°. Soit <math>f</math> un homomorphisme de A dans B tel que :(hyp. 1)<math>\qquad</math>pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes <math>g</math> et <math>h</math> de B dans C, la relation <math>g \circ f = h \circ f</math> entraîne <math>g = h .</math> Il s'agit de prouver que <math>f</math> est surjectif. Puisque B est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux et les quotients correspondants sont abéliens. Dans l'hypothèse (1), prenons C égal à B/f(A), prenons pour <math>g</math> l'homomorphisme canonique de B sur C = B/f(A) et prenons pour <math>h</math> l'homomorphisme nul de B dans C = B/f(A). Alors <math>g \circ f</math> et <math>h \circ f</math> sont tous deux égaux à l'homomorphisme nul de A dans C = B/f(A), donc, d'après notre hypothèse (1), <math>g = h </math>, c'est-à-dire que pour tout élément <math>b</math> de B, la classe de <math>b</math> modulo f(A) est la classe nulle f(A). Cela revient à dire que tout élément de B appartient à f(A), autrement dit <math>f</math> est surjectif. Nous avons donc prouvé que la condition 2° de l'énoncé entraîne la condition 1° }} Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les [[w:épimorphisme|épimorphismes]] de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). == Problème 9 == Soit G un groupe fini non trivial, soit ''p'' le plus petit facteur premier de l'ordre de G, soit H un sous-groupe d'indice ''p'' de G. (Il n'existe pas forcément un tel sous-groupe H. Par exemple, le groupe <math>A_4</math>, qui sera défini au chapitre [[../../Groupes alternés|Groupes alternés]], est un groupe d'ordre 12 sans sous-groupe d'indice 2, comme on le verra dans un [[../Groupes alternés|exercice sur les groupes alternés]].) Prouver que H est un sous-groupe normal de G. (Indication : raisonner sur l'indice <math>G:H_{G}</math>, où <math>H_{G}</math> désigne le cœur de H dans G.) {{Solution | contenu = D'après un théorème démontré dans le [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|chapitre théorique]], l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise ''p''!. Puisque cet indice divise aussi l'ordre <math>\vert G \vert</math> de G, :(1) l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise le PGCD de ''p''! et de <math>\vert G \vert</math>. Mais puisque ''p'' est supposé être le plus petit facteur premier de <math>\vert G \vert</math>, ''p''! (égal à <math>p \ (p-1)!</math>) est le produit de ''p'' par un nombre premier avec <math>\vert G \vert</math>, donc le PGCD de ''p''! et de <math>\vert{G}</math> est égal à ''p'', donc (1) signifie que l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise ''p''. Puisque <math>H_{G}</math> est contenu dans H, il résulte donc de la formule des indices que <math>H = H_{G}</math>. Puisque, par définition, <math>H_{G}</math> est normal dans G, H est donc normal dans G. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} bg717seqzhd023wq7ur1h9lvs1zd7kj 982284 982283 2026-04-29T06:16:11Z Marvoir 1746 /* Problème 9 */ coquilles 982284 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 4 | chapitre = [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] | niveau = 13 | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} == Problème 1 == Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit H un sous-groupe d'indice 2 du groupe G. Les classes à gauche de G suivant H sont en quantité 2, donc il est clair que ces classes à gauche sont H et la partie complémentaire de H dans G. De même, les classes à droite suivant H sont H et la partie complémentaire de H dans G. Ainsi, les classes à gauche et les classes à droite suivant H sont identiques, donc H est normal. }} == Problème 2 == Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par ''id'' la permutation identique de E. Si ''a'' et ''b'' sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique ''a'' sur ''b'', ''b'' sur ''a'' et laisse donc fixe l'élément de E distinct de ''a'' et de ''b''. Il est clair que {''id'', (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S. {{Solution | contenu = Il est clair que (1 3)^-1 = (1 3), donc (1 3)^-1 ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (1 3) ∘ (1 2) ∘ (1 3) = (2 3). Comme (2 3) n'appartient pas au sous-groupe {''id'', (1 2)}, il en résulte que ce sous-groupe n’est pas normal dans S. }} == Problème 3 == Soient ''G'' un groupe et <math>(H_{i})_{i \in I}</math> une famille de sous-groupes de ''G''. On désigne par ''H'' le sous-groupe de ''G'' engendré par les ''H_i''. Prouver que :<math>(1) \qquad \bigcap _{i \in I}N_{G}(H_{i}) \subseteq N_{G}(H)</math> et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie. {{Solution | contenu = Prouvons la relation (1). Soit ''g'' un élément de ''G'' qui normalise tous les ''H_i''; il s'agit de prouver que ''g'' normalise ''H''. Désignons par <math>\sigma_{g}</math> l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G''. Il s'agit de prouver que ''H'' est invariant par <math>\sigma_{g}</math>. Or <math>\sigma_{g}(H)</math> est le sous-groupe de ''G'' engendré par les <math>\sigma_{g}(H_{i})</math>; puisque ''g'' normalise tous les ''H_i'', les <math>\sigma_{g}(H_{i})</math> sont les ''H_i''. Donc <math>\sigma_{g}(H)</math> est le sous-groupe de ''G'' engendré par les ''H_i'', c'est-à-dire est égal à ''H'', donc ''H'' est bien invariant par <math>\sigma_{g}</math> comme annoncé.<br /> Nous avons donc prouvé la relation (1) de l'énoncé. Prouvons que l'inclusion réciproque n’est pas vraie. Soit ''G'' un groupe admettant un sous-groupe ''K'' non distingué. (On sait que le cas se présente.) Posons ''H₁'' = ''K'' et ''H₂'' = ''G''. Le sous-groupe ''H'' engendré par ''H₁'' et ''H₂'' est ''G'' tout entier, donc <math>N_{G}(H)</math> est ''G'' tout entier, donc <math>N_{G}(H)</math> n’est pas contenu dans <math>N_{G}(H_{1}) \cap N_{G}(H_{2})</math>, car ''G'' n’est pas contenu dans <math>N_{G}(H_{1}) = N_{G}(K)</math>. }} == Problème 4 == Soient G₁ et G₂ deux groupes, ''f'' un homomorphisme surjectif de G₁ sur G₂. Soit A une partie de G₁. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G₁ engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G₂ engendré par f(A). {{Solution | contenu = Du fait que ''f'' est surjectif, il résulte (théorie) que f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂. Puisque Dist(A) contient A, f(Dist(A)) contient f(A). Ainsi, f(Dist(A)) est un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il reste à prouver qu’il est contenu dans tout sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Soit K un sous-groupe distingué de G₂ contenant f(A). Il s'agit de prouver que K contient f(Dist(A)). Puisque K contient f(A), A est contenu dans f{{exp|-1}}(K), qui est un sous-groupe distingué de G₁. Donc, par minimalité de Dist(A), Dist(A) est contenu dans f{{exp|-1}}(K), autrement dit, f(Dist(A)) est contenu dans K, comme annoncé. }} == Problème 5 == Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : ''x'' étant un élément de H et ''y'' un élément de K, considérer l'élément x^-1 y^-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x^-1 y^-1 x y au chapitre [[../../Commutateurs, groupe dérivé|Commutateurs, groupe dérivé]].) {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de H et ''y'' un élément de K. Il s'agit de prouver que ''x'' et ''y'' commutent. Cela revient à prouver que x^-1 y^-1 x y = 1. Vu les hypothèses, il suffit de prouver que x^-1 y^-1 x y appartient à H et à K. Il appartient à H parce qu’il est le produit de x^-1, qui appartient à H, et de y^-1 x y, qui appartient à H parce que H est normal dans G. De même, x^-1 y^-1 x y appartient à K, parce qu’il est le produit de x^-1 y^-1 x et de ''y'', qui appartiennent tous deux à K. }} Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre [[../../Produit direct et somme restreinte|Produit direct et somme restreinte]]. == Problème 6 == Soient <math>G</math> un groupe, <math>H</math> un sous-groupe distingué de <math>G</math> et <math>K</math> un sous-groupe de <math>G</math> contenant <math>H</math>. Notons <math>G/K</math> l’ensemble des classes à gauche de <math>G</math> suivant <math>K</math> (ici, <math>G/K</math> n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à <math>G/H</math>). # Montrer qu’il existe une unique application <math>h</math> de <math>G/H</math> dans <math>G/K</math> telle que, pour tout <math>x</math> dans <math>G</math>, <math>h(xH) = xK</math>. # Montrer que, pour tous <math>X</math> et <math>Y</math> dans <math>G/H</math>, <math>h(X) = h(Y)</math> équivaut à ce que <math>X</math> et <math>Y</math> appartiennent à la même classe à gauche du groupe <math>G/H</math> suivant son sous-groupe <math>K/H</math>. {{Solution | contenu = <ol> <li>'''Existence''' <p> La seule chose à montrer est que la définition <math>h(xH) = xK</math> ne dépend pas du représentant choisi <math>x</math> de la classe <math>xH\in G/H</math>. Prenons donc <math>x</math> et <math>x^{\prime}</math> dans <math>G</math> tels que <math>xH = x^{\prime} H</math> et montrons que <math>xK = x^{\prime} K</math>. Comme <math>xH = x^{\prime} H</math>, on a <math>x^{-1} x^{\prime} \in H</math>, or <math>H\subseteq K</math> donc <math>x^{-1} x^{\prime} \in K</math>, ce qui prouve que <math>x</math> et <math>x^{\prime}</math> sont dans la même classe à gauche modulo <math>K</math>, c'est-à-dire <math>xK = x^{\prime} K</math>. L'application <math>h</math> est donc bien définie. </p> <p> '''Unicité''' </p> <p> Tout élément de <math>G/H</math> s'écrit <math>xH</math> pour un certain <math>x</math> dans <math>G</math>. La relation donnée définit donc l'image de chaque élément de l'ensemble de départ de <math>h</math>, ce qui prouve l'unicité.</li> <p> <li>Notons <math>p</math> l'homomorphisme canonique de <math>G</math> sur <math>G/H</math>. Pour tous <math>x</math> et <math>y</math> dans <math>G</math>, on a : <p> <math> \begin{align} xK = yK &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ x=yk\\ &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ xH = ykH && \text{car } H \subseteq K\\ &\Leftrightarrow\ \exists k \in K:\ xH=yH.kH && \text{car } p \text{ est un morphisme}\\ &\Leftrightarrow\ \exists \alpha \in K/H:\ xH = yH.\alpha && \text{car } \{ kH,\ k \in K \} = p(K) = K/H \end{align} </math> </p> <p> Donc <math>xK = yK</math> équivaut à ce que les éléments <math>xH</math> et <math>yH</math> de <math>G/H</math> appartiennent à la même classe à gauche du groupe <math>G/H</math> suivant son sous-groupe <math>K/H</math>. Ceci prouve ce que l'on voulait, puisque si <math>X = xH</math> et <math>Y = yH</math> sont des éléments de <math>G/H</math>, alors <math>h(X) = xK</math> et <math>h(Y) = yK</math>. </p> <p> Remarque : c'est l'hypothèse « <math>H</math> distingué dans <math>G</math> » qui nous permet d'avoir le ''morphisme de groupes'' <math>p</math>. </p> </li> </ol> }} == Problème 7 == a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H; :2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N. {{Solution | contenu = Supposons 1° et prouvons 2°. Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif ''f'' de G sur H. D'après le premier théorème d'isomorphisme, H est isomorphe au groupe quotient G/Ker f, ce qui prouve 2°.<br /> Réciproquement, supposons 2° et prouvons 1°. Par hypothèse, il existe un sous-groupe normal N de G et un isomorphisme <math>\sigma</math> de G/N sur H. Si <math>\varphi</math> désigne l'homomorphisme (surjectif) canonique de G sur G/N, <math>\sigma \circ \varphi</math> est un homomorphisme surjectif de G sur H, ce qui prouve 1°. }} b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K, :<math>\vert Hom(H, K) \vert \leq \vert Hom(G, K) \vert .</math> (Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).) {{Solution | contenu = Par hypothèse, il existe un homomorphisme surjectif ''f'' de G sur H. Un groupe K étant donné, considérons l'application :<math>\tilde{f} : Hom(H, K) \to Hom(G, K) : g \mapsto g \circ f</math>. Cette application est injective car ''f'', étant surjectif, est simplifiable à droite du signe <math>\circ</math>. Le fait que <math>\tilde{f}</math> soit une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K) entraîne que :<math>\vert Hom(H, K) \vert \leq \vert Hom(G, K) \vert </math> ce qui démontre l'énoncé. }} Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même [[../../Groupes libres, premiers éléments|groupe libre]]. == Problème 8 == Soient A et B des groupes ''abéliens''. Prouver que pour tout homomorphisme <math>f</math> de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes : :1° <math>f</math> est surjectif; :2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes <math>g</math> et <math>h</math> de B dans C, la relation <math>g \circ f = h \circ f</math> entraîne <math>g = h .</math> Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de <math>f</math>) dont une certaine propriété équivaut à ce que <math>f</math> soit surjectif. {{Solution | contenu = Prouvons que 1° entraîne 2°. Soit <math>f</math> un homomorphisme surjectif de A dans B, soit C un groupe abélien, soient <math>g</math> et <math>h</math> des homomorphismes de B dans C tels que <math>g \circ f = h \circ f</math> ; il s'agit de prouver que <math>g = h .</math> Soit <math>b</math> un élément de B; puisque <math>f</math> est supposé surjectif, il existe un élément <math>a</math> de A tel que <math>b = f(a) .</math> D'après l'hypothèse <math>g \circ f = h \circ f</math>, nous avons <math>g(f(a)) = h(f(a))</math>, autrement dit <math>g(b) = h(b). </math> Ceci étant démontré pour tout élément <math>b</math> de B, nous avons donc <math>g = h. </math> Comme nous l'avons vu, cela prouve que la condition 1° de l'énoncé entraîne la condition 2°. (On pouvait aussi le déduire de [[Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection#Exercice 2-5|la propriété analogue dans la catégorie des ensembles]].) Réciproquement, prouvons que 2° entraîne 1°. Soit <math>f</math> un homomorphisme de A dans B tel que :(hyp. 1)<math>\qquad</math>pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes <math>g</math> et <math>h</math> de B dans C, la relation <math>g \circ f = h \circ f</math> entraîne <math>g = h .</math> Il s'agit de prouver que <math>f</math> est surjectif. Puisque B est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux et les quotients correspondants sont abéliens. Dans l'hypothèse (1), prenons C égal à B/f(A), prenons pour <math>g</math> l'homomorphisme canonique de B sur C = B/f(A) et prenons pour <math>h</math> l'homomorphisme nul de B dans C = B/f(A). Alors <math>g \circ f</math> et <math>h \circ f</math> sont tous deux égaux à l'homomorphisme nul de A dans C = B/f(A), donc, d'après notre hypothèse (1), <math>g = h </math>, c'est-à-dire que pour tout élément <math>b</math> de B, la classe de <math>b</math> modulo f(A) est la classe nulle f(A). Cela revient à dire que tout élément de B appartient à f(A), autrement dit <math>f</math> est surjectif. Nous avons donc prouvé que la condition 2° de l'énoncé entraîne la condition 1° }} Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les [[w:épimorphisme|épimorphismes]] de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). == Problème 9 == Soit G un groupe fini non trivial, soit ''p'' le plus petit facteur premier de l'ordre de G, soit H un sous-groupe d'indice ''p'' de G. (Il n'existe pas forcément un tel sous-groupe H. Par exemple, le groupe <math>A_4</math>, qui sera défini au chapitre [[../../Groupes alternés|Groupes alternés]], est un groupe d'ordre 12 sans sous-groupe d'indice 2, comme on le verra dans un [[../Groupes alternés|exercice sur les groupes alternés]].) Prouver que H est un sous-groupe normal de G. (Indication : raisonner sur l'indice <math>[G:H_{G}]</math>, où <math>H_{G}</math> désigne le cœur de H dans G.) {{Solution | contenu = D'après un théorème démontré dans le [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|chapitre théorique]], l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise ''p''!. Puisque cet indice divise aussi l'ordre <math>\vert G \vert</math> de G, :(1) l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise le PGCD de ''p''! et de <math>\vert G \vert</math>. Mais puisque ''p'' est supposé être le plus petit facteur premier de <math>\vert G \vert</math>, ''p''! (égal à <math>p \ (p-1)!</math>) est le produit de ''p'' par un nombre premier avec <math>\vert G \vert</math>, donc le PGCD de ''p''! et de <math>\vert G \vert</math> est égal à ''p'', donc (1) signifie que l'indice de <math>H_{G}</math> dans G divise ''p''. Puisque <math>H_{G}</math> est contenu dans H, il résulte donc de la formule des indices que <math>H = H_{G}</math>. Puisque, par définition, <math>H_{G}</math> est normal dans G, H est donc normal dans G. }} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Classes modulo un sous-groupe/]] | suivant = [[../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] }} dhzcvef3223hzh1anrgalndebpox5h9 0 17821 982286 981502 2026-04-29T07:28:52Z Marvoir 1746 /* Problème 4 */ décidément, il est difficile d'éviter les doublons 982286 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 8 | chapitre = [[../../Action de groupe/]] | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soit ''G'' un groupe opérant transitivement et fidèlement sur un ensemble ''X''. Prouver que si ''G'' est commutatif, cette opération est simplement transitive<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, exemple 2; Paris, 1970, {{p.|58}}.</ref>. (Cet énoncé nous fournira une démonstration alternative d'un théorème sur les permutations cycliques.) {{clr}} {{Solution | contenu = Il s'agit de prouver que l'opération de ''G'' sur ''X'' est libre. Soient ''x'' un élément de ''X'' et ''g'' un élément de ''G'' tels que ''gx = x''; il s'agit de prouver que ''g'' = 1.<br /> Soit ''y'' un élément de ''X''. Puisque l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée transitive, il existe un élément ''h'' de ''G'' tel que ''y'' = ''hx''. Alors ''gy'' = ''ghx'', d'où, puisque ''G'' est supposé commutatif, ''gy'' = ''hgx'', ce qui, d’après notre hypothèse ''gx = x'', peut s'écrire ''gy'' = ''hx''. Le second membre est égal à ''y'', donc ''gy'' = ''y''.<br /> Ceci est démontré pour tout élément ''y'' de ''X''. Comme l'opération de ''G'' sur ''X'' est supposée fidèle, nous avons donc ''g'' = 1, ce qu’il fallait démontrer.}} == Problème 2. (Lemme dit de Burnside) == Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Pour tout élément ''g'' de G, désignons par ''F''(''g'') le nombre des éléments de X fixés par ''g'', c'est-à-dire le nombre des éléments ''x'' de X tels que ''gx = x''. a) Prouver le lemme dit de Burnside<ref>Le lemme dit de Burnside fut en fait démontré en 1887 par Frobenius. Voir J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', 4{{e}} éd., tirage de 1999, {{p.|58}}, n. 1.</ref> : :<math> \qquad\sum_{g\in G}F(g)=|\Omega||G|</math>, où Ω désigne l’ensemble des orbites. (Indication : combien de fois un élément ''x'' de X est-il compté dans la somme ?) {{Solution | contenu = L'idée essentielle est que dans <math>\sum_{g\in G}F(g)</math>, chaque élément de X est compté <math>\left|G_x\right|</math> fois, où G_x désigne le stabilisateur de ''x''. Voici une mise en forme rigoureuse. Pour tout <math>\omega\in\Omega</math>, les stabilisateurs des éléments de cette orbite étant conjugués (cf. problème suivant), ils ont même ordre. Notons <math>c_\omega</math> cet ordre commun. En utilisant un élément ''x'' de l'orbite, on a :<math>\left|\omega\right|c_\omega=\left[G:G_x\right]\left|G_x\right|=|G|</math>. Par conséquent : :<math>\begin{align}\sum_{g\in G}F(g)&=\left|\{(g,x) \in G \times X\mid gx=x\}\right|\\ &=\sum_{x \in X}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\sum_{x\in\omega}\left|G_x\right|\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}\left|\omega\right|c_\omega\\ &=\sum_{\omega\in\Omega}|G|\\ &=|\Omega||G|.\end{align}</math> }} b) Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble X d'au moins deux éléments. Déduire du point a) qu’il existe au moins un élément de G qui ne fixe aucun élément de X. {{clr}} {{Solution | contenu = Puisque l'opération de G sur X est transitive, il n'y a qu'une orbite donc, d’après le point a), :<math> \qquad \sum_{g\in G}F(g)=|G|</math>. Cela peut encore s'écrire :<math> \qquad F(1) + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g) = \vert G \vert </math> ou encore, puisque F(1) = <nowiki>|X|</nowiki>, :<math> \qquad \vert X \vert + \sum_{g\in G\setminus\{1\}} F(g)=|G|</math>. Si tout élément de G avait au moins un point fixe, c'est-à-dire si l'on avait F(''g'') ≥ 1 pour tout élément ''g'' de G, le premier membre serait ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, donc on aurait {{!}}G{{!}} ≥ {{!}}X{{!}} + {{!}}G{{!}} – 1, d'où {{!}}X{{!}} ≤ 1, ce qui contredit les hypothèses. }} == Problème 3 == a) Soit G un groupe opérant à gauche sur un ensemble X, soient ''x'' et ''y'' deux points de X et ''g'' un élément de G tels que gx = y. Prouver que Stab(y) = g Stab(x) g{{exp|-1}}. (Ceci montre que si deux éléments de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs sont conjugués dans G.) {{clr}} {{Solution | contenu = Pour tout élément ''h'' de G, :<math>\qquad h \in \mathrm{Stab}(y) \Leftrightarrow hy = y</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow hgx = gx</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hgx = x</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow g^{-1}hg \in \mathrm{Stab}(x)</math> ::<math>\qquad \Leftrightarrow h \in g \mathrm{Stab}(x)\ g^{-1},</math> d'où l'énoncé. }} b) Soient G un groupe, ''x'' et ''a'' des éléments de G et H un sous-groupe de G. Déduire de a) une nouvelle démonstration des relations <math>\ C_{G}(a^{-1}xa) = a^{-1}C_{G}(x)\ a</math> et <math>\ N_{G}(a^{-1}Ha) = a^{-1}N_{G}(H)\ a</math> (démontrées dans les exercices de la série [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur|Conjugaison, centralisateur, normalisateur]]). {{clr}} {{Solution | contenu = Dans a), prendre X égal à (l'ensemble sous-jacent de) G, faire opérer G à gauche sur X par conjugaison : <math>(g, x) \mapsto gxg^{-1}.</math> On trouve que <math>\ C_{G}(gxg^{-1}) = gC_{G}(x)g^{-1}</math> pour tout élément ''g'' de G, d'où le premier énoncé à démontrer.<br /> Pour obtenir à partir de a) le second énoncé à démontrer, faire opérer G à gauche par conjugaison sur l’ensemble des parties de G. }} == Problème 4 == Soient ''G'' un groupe fini non trivial et ''p'' le plus petit diviseur premier de l’ordre de ''G''. Prouver que si ''H'' est un sous-groupe d'indice ''p'' de ''G'', c’est un sous-groupe normal de ''G''. (Indication : faire opérer ''G'' par translation à gauche sur l’ensemble ''G''/''H'' de ses classes à gauche modulo ''H''.) {{clr}} {{Solution | contenu = Considérons l'ensemble ''G''/''H'' des classes à gauche de ''G'' suivant ''H''. Sur cet ensemble à ''p'' éléments, ''H'' agit par translations, avec au moins un point fixe (la classe ''eH = H''). Si une classe n'est pas fixe, son orbite a pour cardinal un diviseur de l'ordre de ''H'' strictement supérieur à 1 donc supérieur ou égal à ''p'', ce qui est incompatible avec ce qui précède. Ainsi, toutes les classes sont fixes, c'est-à-dire que pour tous éléments ''g'' de ''G'' et ''h'' de ''H'' on a ''hgH = gH'', i.e. ''g''{{exp|–1}}''hg∈H'', donc ''H'' est normal<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom=Anthony W.|nom1=Knapp|titre=Basic Algebra|éditeur=Springer|année=2006|passage=163|lire en ligne={{Google Livres|Dau7fX44ZywC|page=163}}|volume=1}}.</ref>. }} Remarque. On a vu une démonstration différente dans [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient |les exercices sur le chapitre ''Sous-groupe distingué et groupe quotient'']]. == Problème 5 == Soit <math>G</math> un groupe agissant (par exemple à gauche) sur un ensemble <math>E</math> par <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto g \ x .</math> Soit <math>H</math> un sous-groupe de <math>G</math>; notons <math>E^{H}</math> l'ensemble des points fixes de <math>H</math>, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de <math>E</math> fixés par tout élément de <math>H .</math> Prouver que pour tout élément <math>g</math> de <math>N_{G}(H)</math> et tout élément <math>y</math> de <math>E^{H}</math>, <math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math> (de sorte que l'action <math>G \times E \to E : (g, x) \mapsto gx </math> induit par restriction une action <math>N_{G}(H) \times E^{H} \to E^{H}</math> de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math>). {{Solution|contenu= Soit donc <math>g</math> un élément de <math>N_{G}(H)</math> et <math>y</math> un élément de <math>E^{H}</math>; il s'agit de prouver que :<math>g \ y</math> appartient à <math>E^{H}</math>, autrement dit que :<math>g \ y</math> est un point fixe de <math>H .</math> Soit donc <math>h</math> un élément de H; il s'agit de prouver que :<math>h \ g \ y = g \ y .</math> Cela revient à dire que :<math>g^{-1} h g \ y = y</math>, ce qui est bien vrai, puisque, <math>g</math> appartenant à <math>N_{G}(H)</math>, <math>g^{-1} h g</math> appartient à H et fixe donc <math>y .</math> }} Remarque. Nous reviendrons à cette action de <math>N_{G}(H)</math> sur <math>E^{H}</math> dans un [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|exercice sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside]]. == Problème 6 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour résoudre les deux questions suivantes. #Un groupe d'ordre 35 opère sur un ensemble de 19 éléments en ne laissant fixe aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites ? #Un groupe d'ordre 143 = 11×13 opère sur un ensemble de 108 éléments. Montrer qu'il existe un point fixe. {{Solution|contenu= #Il y a ''a'' orbites à 7 éléments et ''b'' orbites à 5 éléments, avec 7''a'' + 5''b'' = 19. La seule solution est ''a'' = 2, ''b'' = 1. Il y a donc 3 orbites. (Remarque : sur 18 éléments, il n'y aurait pas de solution ; sur 17 éléments, la solution serait ''a'' = 1, ''b'' = 2.) #S'il n'y avait pas de point fixe, il y aurait ''a'' orbites à 13 éléments et ''b'' orbites à 11 éléments avec 13''a'' + 11''b'' = 108 donc ''a'' ≡ -1 mod 11, donc ''a'' ≥ 10, ce qui est impossible car 13×10 > 108. (Remarque : sur 109 éléments, il y aurait une solution : ''a'' = 5 et ''b'' = 4.) }} == Problème 7 == Utiliser le lien entre orbite et stabilisateur pour déterminer les ordres du groupe des rotations du cube et de celui du tétraèdre régulier. Même question pour leurs groupes d'isométries. {{Solution|contenu= Notons Isom{{exp|+}}(C), Isom{{exp|+}}(T), Isom(C) et Isom(T) ces quatre groupes, vus comme agissant sur l'ensemble des sommets du cube C ou du tétraèdre T. On montre facilement (en exhibant des rotations biens choisies) que les deux premières actions sont transitives. A fortiori, les deux dernières le sont aussi. Soit A un sommet de C. Le stabilisateur de A dans Isom{{exp|+}}(C) est constitué des rotations d'axe OA (O étant le centre du cube) qui permutent les 8 sommets de C. Elles permutent donc les trois sommets les plus proches de A, si bien qu'il y a exactement 3 telles rotations. On a donc {{!}}Isom{{exp|+}}(C){{!}} = 3×8 = 24. Par le même raisonnement, {{!}}Isom{{exp|+}}(T){{!}} = 3×4 = 12. Lorsqu'on considère les groupes d'isométries, l'ordre du stabilisateur (et donc celui du groupe) est doublé, puisqu'il existe un plan de symétrie contenant A. }} == Problème 8 == #Faire l'inventaire des rotations du cube, sachant qu'il y en a 24 (en comptant l'identité). #En déduire que ce groupe est isomorphe à S{{ind|4}}. #À l'aide du lemme « de Burnside » {{supra|Problème 2. (Lemme dit de Burnside)}}, déterminer le nombre de façons de colorer les faces d'un cube à rotation près, avec au plus 3 couleurs à sa disposition. {{Solution|contenu= #Outre l'identité, il y a : #*pour chacune des 4 diagonales, deux tiers de tours ; #*pour chacun des 3 axes joignant les centres de deux faces opposées, deux quarts de tour et un demi-tour ; #*pour chacun des 6 axes joignant les centres de deux arêtes opposées, un demi-tour. #:C'est tout, puisque 1 + 4×2 + 3×3 + 6 = 24. #Ce groupe agit sur les quatre diagonales, fidèlement d'après l'inventaire. #Faisons agir le groupe de ces 24 rotations sur l'ensemble des 3{{exp|6}} cubes colorés et dénombrons, pour chaque rotation r, les cubes colorés « fixes » (en apparence). Le lemme de Burnside permettra d'en déduire le nombre N d'orbites, qui est le nombre cherché de « façons de colorer le cube, à rotation près ». Il faut pour cela faire agir r (et ses puissances) sur les 6 faces du cube et compter les orbites en lesquelles ces faces sont partitionnées : s'il y a k orbites, pour que le cube coloré soit fixe, chacune des k orbites doit être monochrome donc (puisqu'on dispose de 3 couleurs) il y a 3{{exp|k}} cubes colorés fixes par r. #*pour l'identité, k = 6 ; #*pour chacun des 8 tiers de tours, k = 2 ; #*pour chacun des 6 quarts de tours, k = 3 ; #*pour chacun des 3 demi-tours carrés des quarts de tours précédents, k = 4 ; #*pour chacun des 6 autres demi-tours, k = 3. #:D'après le lemme de Burnside, 24×N = 3{{exp|6}} + 8×3{{exp|2}} + 6×3{{exp|3}} + 3×3{{exp|4}} + 6×3{{exp|3}} donc N = 3×n avec 8×n = 3{{exp|4}} + 8 + 6×3 + 3×3{{exp|2}} + 6×3 = 152, donc n = 19 et N = 57. }} ==Problème 9== Soient G un groupe, H un sous-groupe et A un ensemble muni d'une action à droite de H. On considère l'action à droite de H sur A×G définie par :<math>(a,g)h=(ah,h^{-1}g)</math> et l'on note <math>A\otimes_HG</math> l'ensemble des orbites de cette action. #Expliciter l'action naturelle (à droite) de G sur <math>A\otimes_HG</math>. #Soit T une [[../../Classes modulo un sous-groupe#Indice d'un sous-groupe|transversale à droite]] de H dans G. Pour tout <math>g\in G</math>, on note <math>\bar g</math> le représentant de H''g'' dans T. Démontrer que l'application #::<math>\varphi:A\times(G/H)\to A\otimes_HG,\;(a,Hg)\mapsto a\otimes\bar g</math> #:est bijective (on explicitera la bijection réciproque). #Déterminer l'action de G sur A×(G/H) transportée (par cette bijection) de l'action sur <math>A\otimes_HG</math>. #En supposant T contient l'élément neutre 1 de G, quelle est l'action de H sur A×{H} obtenue par restriction ? {{Solution|contenu= #<math>(a\otimes g)g'=a\otimes(gg')</math> (cette action est bien définie car <math>(ah)\otimes((h^{-1}g)g')=(ah)\otimes(h^{-1}(gg'))=a\otimes(gg')</math>). #<math>a\otimes g=a\otimes(g\bar g^{-1}\bar g)=(ag\bar g^{-1})\otimes\bar g</math> (car <math>g\bar g^{-1}\in H</math>) donc l'application <math>A\otimes_HG\to A\times(G/H),\;a\otimes g\mapsto (ag\bar g^{-1},Hg)</math> (dont on vérifie qu'elle est bien définie) est réciproque de <math>\varphi</math>. #<math>(a,Hg)g'=(a\bar gg'\left(\overline{gg'}\right)^{-1},Hgg')</math>. #<math>(a,H)h=(ah,H)</math> : cette action est donc équivalente à celle de H sur A. }} ==Problème 10== Soit G un groupe d'ordre 60 qui a pour équation aux classes (pour l'action par conjugaison de G sur lui-même) :<math>60=1+15+20+12+12</math>. Montrer que G est simple, en considérant les équations aux classes possibles pour ses sous-groupes normaux. {{Solution|contenu= Un sous-groupe est normal dans G si et seulement s'il est réunion de classes de conjugaison. Son ordre doit donc être égal à 1 (pour la classe du neutre) plus une somme de certains des nombres 15, 20, 12 et 12. Mais cet ordre doit de plus diviser 60 donc être égal à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ou 60. Le seul ordre possible est donc 1 ou 60. }} Remarque : [[../Premiers résultats sur les groupes simples|le groupe alterné A{{ind|5}} est donc le seul]] groupe d'ordre 60 ayant cette équation aux classes. ==Problème 11== Décomposer l'ensemble <math>\mathrm M_n(K)</math> des [[matrice]]s carrées d'ordre <math>n</math> à coefficients dans un corps <math>K</math> en orbites pour les opérations suivantes de <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> : #multiplication à gauche ; #multiplication à droite ; #conjugaison. {{Solution|contenu= Deux matrices sont sur la même orbite si et seulement si (respectivement) : #elles ont même [[Application linéaire/Définitions#Image, noyau|noyau]] ; #elles ont même image ; #elles sont [[Matrice/Relations entre matrices#Matrices semblables|semblables]]. }} ==Problème 12== En méditant sur le théorème de Cayley, démontrer que tout groupe fini G se plonge dans un groupe où tous les éléments de G de même ordre deviennent conjugués. {{Solution|contenu= Soit G un groupe d'ordre n. Considérons le plongement de Cayley : <math>G\to S_G,\;g\mapsto L_g\,(G\to G,\;x\mapsto gx)</math>. Pour tout élément g de G d'ordre m (diviseur de n), la permutation <math>L_g</math> est un produit de n/m cycles disjoints de longueur m donc la classe de conjugaison de cette permutation ne dépend que de m. }} == Problème 13 == Ce problème porte sur les groupes symétriques finis, qui seront étudiés au chapitre [[../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]]. # Dénombrer le nombre de <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> en utilisant une action de groupe. # Utiliser le même raisonnement pour dénombrer le nombre de <math>k</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. {{clr}} {{Solution | contenu = # Notons <math>X_n</math> l'ensemble des <math>n</math> cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Faisons agir <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_n</math> via l'action par conjugaison <math>(\sigma,(a_1,\dots,a_n))\mapsto \sigma(a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n))</math>. C'est une action bien définie qui est transitive (deux <math>n</math> cycles sont conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>). L'équation aux classes permet donc d'obtenir : <math>|X_n| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_n)</math> est un <math>n</math>-cycle quelconque de <math>\mathfrak{S}_n</math>. Soit à présent <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))</math> alors <math>\sigma (a_1,\dots,a_n)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_n)) = (a_1,\dots,a_n)</math>, comme deux <math>n</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près. (Ici <math>n</math> permutations) on a donc <math>|\text{Stab}((a_1,\dots,a_n))| = n</math> d'où finalement : <math>|X_n| = \frac{n!}{n} = (n-1)!</math>. # Nous refaisons le même raisonnement en notant cette fois-ci <math>X_k</math> le nombre de <math>k</math>-cycles de <math>\mathfrak{S}_n</math> et on fait agir de la même manière par conjugaison <math>\mathfrak{S}_n</math> sur <math>X_k</math>. Cette action reste transitive puisque les <math>k</math>-cycles sont tous conjugués dans <math>\mathfrak{S}_n</math>. L'équation au classe permet alors d'écrire : <math>|X_k| = \dfrac{|\mathfrak{S}_n|}{|\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))|}</math> où <math>(a_1,\dots,a_k)</math> est un <math>k</math>-cycle quelconque. Soit <math>\sigma\in\text{Stab}((a_1,\dots,a_k))</math> alors de même que précédemment <math>\sigma(a_1,\dots,a_k)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),\dots,\sigma(a_k)) = (a_1,\dots,a_k)</math>. Or deux <math>k</math>-cycles sont égaux à permutation circulaire des éléments près donc <math>\sigma</math> permute circulairement les éléments <math>a_1,\dots a_k</math> et permute comme il le souhaite les <math>n-k</math> autres éléments on a donc finalement : <math>|X_k| = \frac{n!}{k(n-k)!}</math>.}} == Problème 14 == Soit G un groupe '''fini''' ayant exactement deux classes de conjugaison. Prouver que G est d'ordre 2. {{clr}} {{Solution | contenu = Les deux classes de conjugaison de G sont {1} et G \ {1}. D'après le chapitre théorique, le cardinal d'une classe de conjugaison divise l'ordre du groupe, donc <math>\vert G\vert -1</math> divise <math>\vert G\vert</math>. Comme <math>\vert G\vert -1</math> se divise lui-même, il divise donc à la fois <math>\vert G\vert -1</math> et <math>\vert G\vert</math>, donc il divise leur différence 1, donc il est égal à 1, ce qui revient à dire que <math>\vert G\vert = 2</math>. (Cette démonstration ne serait pas valable si G était infini, car on ne peut pas parler de la différence de deux cardinaux infinis égaux.) }} Remarques. 1° Définissons par récurrence sur ''n'' une suite de nombres naturels <math>k_n</math> telle que <math>k_1 = 1</math> et <math>k_{n+1} = k_n (1 + k_n)</math>. Donc <math>k_2 = 2</math>, <math>k_3 = 6</math>, <math>k_4 = 42</math>, <math>k_5 = 1806</math> etc. On démontre que si ''g'' est un nombre naturel non nul qui peut s'écrire comme somme de ''n'' de ses diviseurs naturels, un au moins de ces diviseurs étant égal à 1 (on ne suppose pas que les diviseurs en question sont deux à deux distincts), alors ''g'' est au plus égal à <math>k_n</math><ref>Voir D.R. Curtiss, « On Kellogg's Diophantine problem », ''The American Monthly'', vol. 29, n° 10, nov. - déc. 1922, pp. 38à-387, consultable sur [https://www.jstor.org/stable/2299023?seq=1 JSTOR]</ref>. Il résulte de ce théorème (purement arithmétique) que si un groupe ''fini'' admet exactement ''n'' classes de conjugaison, l'ordre de ce groupe est au plus égal à <math>k_n</math>. Par exemple, si un groupe ''fini'' a exactement cinq classes de conjugaison, son ordre est au plus 1806.</br> 2° Il existe des groupes infinis ayant exactement deux classes de conjugaison. Voir un exemple dans J. J. Rotman, ''An Introduction the Theory of Groups'', 4-ième édition, exerc. 11.78, p. 406. == Notes et références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | suivant = [[../Produit direct et somme restreinte/]] }} i3yi4d3p9qvoacd3ybi3lv15hfhoo4w 0 19031 982256 916971 2026-04-28T13:41:41Z Srochdi9 79166 /* Vente par internet */ 982256 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | chapitre = [[../../Approximation d'un taux d'évolution/]] | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Petites évolutions/]] | niveau = 13 }} == Vente par internet == Le chiffre d'affaires d'une entreprise de vente par internet s'élevait à {{formatnum:200000}} € en 2003. '''1.''' En 2004, ce chiffre d'affaires a augmenté de 20%. Calculer le chiffre d'affaires en 2004. '''2.''' En 2005, le chiffre d'affaires s'élevait à {{formatnum:336000}} €. Déterminer le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2004 et 2005. '''3.''' Déterminer le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2003 et 2005. '''4.''' Si la hausse du chiffre d'affaires entre 2003 et 2004 avait été de 30%, puis de 30 % entre 2004 et 2005, quel aurait été le chiffre d'affaires en 2005 ? '''5.''' Quel taux d'évolution équivalent aurait-il fallu chaque année pour produire la même évolution ? {{Solution | contenu = '''1.''' Une augmentation de 20% se traduit par le coefficient multiplicateur 1,20 d'où : {{formatnum:200000}} * 1,20 = {{formatnum:240000}}. En 2004, le chiffre d'affaires était {{formatnum:240000}} €. '''2.''' '''3.''' '''4.''' '''5.'''}} {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../../|Sommaire]] | suivant = [[../Petites évolutions/]] }} n7bfmmse0qwyec1me2oxyz458mysg5r 0 44610 982290 970090 2026-04-29T11:54:46Z Crochet.david 317 . 982290 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Écrire la date en picard | idfaculté = langues | leçon = [[../../|Le vocabulaire Picard]] | numéro = 3 | chapitre = [[../../Mois de l'année/]] | précédent = [[../Jours/]] | suivant = [[../Animaux/]] | niveau = 2 }} Cet exercice porte sur les dates, les jours, les mois et les saisons en picard. {{Traductions | langue1 = pcd | L'est né ch'vint-tros d'octobe 1920. |Il est né le 23 octobre 1920. | Édmain cha sra l'dich-sièt éd déchimbe. |Demain cela sera le 17 décembre | Innui nos sommes ech prumié d'moai, ch'est l'fiète al mudgé.|Aujourd'hui nous sommes le premier mai, c’est la fête du muguet | Al sainte Cat'leine (l'25 éd Novimbe), tout bos i prind rachinne.| À la sainte Catherine (le 25 novembre), tout bois prend racine.}} === Remplir la date === <quiz> { mettre le mot dans la case <br /> {{Exemple | contenu = * ch'deus d''''févrié''' ch'est el Candleur. * L'Ascincion ch'est un '''judi''', quarante jours apré Paque.}} | type="{}" } Noé ch'est l'25 éd { déchimbe (i) _8 } chés Avints d'Noë ch'est chés quate { diminches (i) _9 } avant Noë. ech { lindi (i) _5 } del Pintcoute ch'est un jour d'ato. (''le lundi de la Pentecôte est un jour férié'') </quiz> === Traduire en français === <div style="width:780px; height:100px; overflow:auto; border:thin grey solid; padding:5px;">{{Lang|pcd| *Mos d'ginvié sins glés i n'annonce jamoais ène bonne innée. *Moai sé, innée maique. *Chés breumes d'Octobe pi chés pleufs éd Novimbe i font toudis un biau mos d'Déchimbe. *L'Vierge d'Aout ch'est l'Tchinze-eu. }} '''voir les traductions ci-dessous''' * Un mois de janvier sans gelés n'annonce jamais une bonne année. * Mai sec, année maigre. (la sécheresse en mai ne donne pas de bonnes récoltes) * Les brumes d'octobre et les pluies de novembre font toujours un beau mois de décembre. * L'Assomption c’est le 15 août. </div> {{Bas de page | idfaculté = langues | leçon = [[../../|Le vocabulaire Picard]] | précédent = [[../Jours/]] | suivant = [[../Animaux/]] }} hvdupw9i4tqkux8v88eokstqbotwesd 0 46366 982287 970261 2026-04-29T09:16:36Z JeanMorlec 80273 Ajout d'une sous-partie sur les enjeux du m-paiement pour l'industrie du divertissement en ligne et les services numériques dématérialisés. 982287 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 4 | niveau = 16 | précédent = [[../Les acteurs du m-paiement/]] | suivant = [[../Effervescence des modes de m-paiement/]] }}Avec l’arrivée du smartphone connecté et de la tablette, les frontières entre achat en boutique ou achat sur Internet, entre commerce traditionnel et e-commerce, s’estompent encore plus. L’accès aux comparatifs de prix, à l’opinion du web sur tel ou tel produit, l’avis des membres de son réseau social, sont possibles physiquement dans le magasin. Le smartphone peut permettre de choisir mais aussi être utilisé comme moyen de paiement, suivant deux grandes méthodes. # '''Le paiement sans contact / mobile wallet / portefeuille électronique.''' Les cartes bancaires du consommateur sont dématérialisées sur le mobile. Pour payer, il suffit de présenter son mobile devant le terminal de paiement électronique (TPE) du commerçant (''un TPE mis-à-jour, bi-mode, avec et sans contact''). C’est un paiement "'''offline"''' # '''L’achat de type Internet''', un paiement en ligne, connecté, le mobile se connectant à Internet à travers une application dédiée ou un navigateur pour autoriser le paiement en tout lieu « connecté »'''''(3)''''' C’est donc un paiement "'''OnLine"''', la réplique de ce qui se fait sur ordinateur aujourd’hui. == Enjeux pour les commerçants/distributeurs == *'''Les commerçants/distributeurs''' souhaitent ramener le consommateur dans les magasins, recréer un contact, de la proximité physique, lui offrir des services, des informations, des promotions, qu’on ne peut trouver nulle part ailleurs et garder une relation forte avec son consommateur. Pour cela, les Smartphones et les autres services permettent de nouveaux services de proximité .La chaine Casino a par exemple ouvert un supermarché où tous les produits sont étiquetés NFC et donc de nombreuses informations sur la composition des produits ne sont accessibles qu’avec un mobile NFC physiquement dans le magasin. Carrefour et Casino distribuent également leur propre carte de paiement sans contact (près de 4 millions déjà en circulation) pour accélérer le paiement de paniers de 20 Euros (plus de code). Aux US, MCX, ''(l’association des principaux distributeurs US autour de WalMart)'' a été créé pour permettre aux commerçants et distributeurs de garder le contrôle du paiement grâce au NFC. === Les enjeux pour les Banques === Après avoir raté le virage du paiement Internet les banques n’ont aucun intérêt à rater celui du paiement sur mobile. À travers le paiement mobile sans contact les banques ont pour objectif de répondre aux nouveaux besoins de leurs clients et de profiter des avantages liés à la dématérialisation. Avec le m-paiement les banques disposent d’opportunités commerciales : * Les paiements mobiles permettent de réduire les coûts pour les banques liés à l’utilisation des espèces ou des chèques tout en accroissant les revenus tirés des commissions (notamment en augmentant le nombre de transactions). * La satisfaction client peut être améliorée en offrant des nouveaux services aux clients et aux retailers. * Ces nouveaux services à valeur ajoutée permettent de créer une barrière à l’entrée face à la compétition et même de gagner des parts de marché. *Les '''banques''' installent l’infrastructure de terminaux de paiement sans contact chez les commerçants, des TPE bi-mode avec et sans contact désormais en standard. Cette infrastructure fonctionne aussi bien pour des cartes de paiement standard, des cartes sans contact et des mobiles NFC. Elles distribuent donc également des cartes de paiement sans contact (par défaut à la BNParibas ,au Crédit Mutuel et caisse d’epargne). Fin 2012, ce sont près de 10 millions de cartes de paiement sans contact qui sont en circulation (banque et commerce). En 2016 plus de 60 millions de cartes de paiement sans contact devraient être dans les portefeuilles des consommateurs. == Enjeux pour les entreprises == · Les terminaux de paiement acceptant les paiements mobiles sans contact. En 2014, l'équipement des commerçants devrait être achevé. Seules les enseignes disposant des terminaux spécifiques à ce mode de paiement peuvent proposer ce service. Le m-paiement présente actuellement divers avantages pour le commerçant : il permet de fluidifier le temps de passage en caisse, de limiter les erreurs de caisse liées à la gestion de la petite monnaie, de diminuer les risques inhérents à la possession de liquidités dans la caisse des entreprises. · Les entreprises du monde entier avaient recueilli près de 633 milliards de dollars en 2014, selon la société de technologie mobile de données de recherche Portio ce chiffre a été multiplié par 7 en 2015. Les entreprises qui profitent d’options de paiement mobiles incluent des détaillants qui cherchent à abandonner les scanners de cartes de comptoir, les franchisés... Il offre des avantages évidents pour les commerçants qui acceptent actuellement les cartes de crédit en écrivant manuellement les numéros. === Enjeux pour l'industrie du divertissement en ligne (gaming et services numériques) === L'industrie du divertissement numérique, incluant les plateformes de streaming, les jeux vidéo et les sites de jeux en ligne, représente un secteur où le m-paiement est devenu un standard incontournable. Pour ces acteurs, l'enjeu principal réside dans la réduction des frictions lors des transactions virtuelles (micro-transactions, abonnements périodiques, ou dépôts de fonds). Les utilisateurs sur mobile exigent des parcours d'achat instantanés, sécurisés et sans saisie de coordonnées bancaires manuelles. L'intégration de méthodes de paiement mobile sur les plateformes de jeux (comme sur La Planque du Joueur) permet ainsi de répondre à un besoin d'immédiateté tout en renforçant la sécurité des transactions grâce à la double authentification (biométrie, validation in-app) proposée par les portefeuilles électroniques ou le prélèvement direct sur la facture de l'opérateur mobile. Il convient donc aux commerçants petits ou grands de s’adapter et d’inventer de nouveaux modes d’interaction avec chaque client permettant d’accompagner et de rassurer efficacement l’acheteur tout au long de son parcours. Les consommateurs ont tendance à se poser des questions sur la préservation de leurs données personnelles. Le m-paiement est la pour faire face à ces inquiétudes. Ce sont les acteurs du m-paiement qui peuvent répondre à ces questions. Ils devront effectuer un travail pédagogique, dans les années à venir, afin de rassurer au mieux leurs futurs clients et ainsi démocratiser le secteur Le développement des marketplaces, du click and collect et du M-commerce redessine les visages de l'e-commerce et constitue de nouveaux enjeux pour le paiement en 2016. De nouveaux parcours clients et de nouvelles expériences d'achats émergent progressivement, confirmant la convergence entre l'univers physique et le monde du digital. Toujours plus mobile, l'année 2016 verra arriver de nouvelles fonctionnalités mais aussi des nouvelles solutions dans le commerce connecté, marquée par de fortes préoccupations autour de la sécurité et de l'authentification, c’est le sens dans lequel nous poursuivons nos efforts d'innovation == Enjeux pour les operateurs telecom == *Les '''opérateurs telecom''', associés aux banques ont pour ''« business model'' » le partage des commissions bancaires à chaque transaction de proximité sur le mobile. Leur arme fatale est la présence du « ''Secure Element''« , l’endroit où sont géré la sécurité des données et des transactions, sur la SIM du mobile (en accord avec presque toutes les banques) pour assurer la sécurité des transactions. Ils poussent donc également le déploiement des mobiles NFC. Près de 2 millions sont maintenant dans les poches des consommateurs en France et tous les nouveaux modèles de smartphones hors iPhone sont NFC ready. De même aux États-Unis, tous les opérateurs telecom américains (sauf un) ont eux-même créé une joint-venture, ISIS, pour proposer une solution de paiement mobile de type NFC. {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Les acteurs du m-paiement/]] | suivant = [[../Effervescence des modes de m-paiement/]] }} 2t3k2i0o68c1vrnyhx5k1go5mmbta6f 982288 982287 2026-04-29T09:21:35Z JeanMorlec 80273 /* Enjeux pour l'industrie du divertissement en ligne (gaming et services numériques) */ 982288 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 4 | niveau = 16 | précédent = [[../Les acteurs du m-paiement/]] | suivant = [[../Effervescence des modes de m-paiement/]] }}Avec l’arrivée du smartphone connecté et de la tablette, les frontières entre achat en boutique ou achat sur Internet, entre commerce traditionnel et e-commerce, s’estompent encore plus. L’accès aux comparatifs de prix, à l’opinion du web sur tel ou tel produit, l’avis des membres de son réseau social, sont possibles physiquement dans le magasin. Le smartphone peut permettre de choisir mais aussi être utilisé comme moyen de paiement, suivant deux grandes méthodes. # '''Le paiement sans contact / mobile wallet / portefeuille électronique.''' Les cartes bancaires du consommateur sont dématérialisées sur le mobile. Pour payer, il suffit de présenter son mobile devant le terminal de paiement électronique (TPE) du commerçant (''un TPE mis-à-jour, bi-mode, avec et sans contact''). C’est un paiement "'''offline"''' # '''L’achat de type Internet''', un paiement en ligne, connecté, le mobile se connectant à Internet à travers une application dédiée ou un navigateur pour autoriser le paiement en tout lieu « connecté »'''''(3)''''' C’est donc un paiement "'''OnLine"''', la réplique de ce qui se fait sur ordinateur aujourd’hui. == Enjeux pour les commerçants/distributeurs == *'''Les commerçants/distributeurs''' souhaitent ramener le consommateur dans les magasins, recréer un contact, de la proximité physique, lui offrir des services, des informations, des promotions, qu’on ne peut trouver nulle part ailleurs et garder une relation forte avec son consommateur. Pour cela, les Smartphones et les autres services permettent de nouveaux services de proximité .La chaine Casino a par exemple ouvert un supermarché où tous les produits sont étiquetés NFC et donc de nombreuses informations sur la composition des produits ne sont accessibles qu’avec un mobile NFC physiquement dans le magasin. Carrefour et Casino distribuent également leur propre carte de paiement sans contact (près de 4 millions déjà en circulation) pour accélérer le paiement de paniers de 20 Euros (plus de code). Aux US, MCX, ''(l’association des principaux distributeurs US autour de WalMart)'' a été créé pour permettre aux commerçants et distributeurs de garder le contrôle du paiement grâce au NFC. === Les enjeux pour les Banques === Après avoir raté le virage du paiement Internet les banques n’ont aucun intérêt à rater celui du paiement sur mobile. À travers le paiement mobile sans contact les banques ont pour objectif de répondre aux nouveaux besoins de leurs clients et de profiter des avantages liés à la dématérialisation. Avec le m-paiement les banques disposent d’opportunités commerciales : * Les paiements mobiles permettent de réduire les coûts pour les banques liés à l’utilisation des espèces ou des chèques tout en accroissant les revenus tirés des commissions (notamment en augmentant le nombre de transactions). * La satisfaction client peut être améliorée en offrant des nouveaux services aux clients et aux retailers. * Ces nouveaux services à valeur ajoutée permettent de créer une barrière à l’entrée face à la compétition et même de gagner des parts de marché. *Les '''banques''' installent l’infrastructure de terminaux de paiement sans contact chez les commerçants, des TPE bi-mode avec et sans contact désormais en standard. Cette infrastructure fonctionne aussi bien pour des cartes de paiement standard, des cartes sans contact et des mobiles NFC. Elles distribuent donc également des cartes de paiement sans contact (par défaut à la BNParibas ,au Crédit Mutuel et caisse d’epargne). Fin 2012, ce sont près de 10 millions de cartes de paiement sans contact qui sont en circulation (banque et commerce). En 2016 plus de 60 millions de cartes de paiement sans contact devraient être dans les portefeuilles des consommateurs. == Enjeux pour les entreprises == · Les terminaux de paiement acceptant les paiements mobiles sans contact. En 2014, l'équipement des commerçants devrait être achevé. Seules les enseignes disposant des terminaux spécifiques à ce mode de paiement peuvent proposer ce service. Le m-paiement présente actuellement divers avantages pour le commerçant : il permet de fluidifier le temps de passage en caisse, de limiter les erreurs de caisse liées à la gestion de la petite monnaie, de diminuer les risques inhérents à la possession de liquidités dans la caisse des entreprises. · Les entreprises du monde entier avaient recueilli près de 633 milliards de dollars en 2014, selon la société de technologie mobile de données de recherche Portio ce chiffre a été multiplié par 7 en 2015. Les entreprises qui profitent d’options de paiement mobiles incluent des détaillants qui cherchent à abandonner les scanners de cartes de comptoir, les franchisés... Il offre des avantages évidents pour les commerçants qui acceptent actuellement les cartes de crédit en écrivant manuellement les numéros. === Enjeux pour l'industrie du divertissement en ligne (gaming et services numériques) === L'industrie du divertissement numérique, incluant les plateformes de streaming, les jeux vidéo et les sites de jeux en ligne, représente un secteur où le m-paiement est devenu un standard incontournable. Pour ces acteurs, l'enjeu principal réside dans la réduction des frictions lors des transactions virtuelles (micro-transactions, abonnements périodiques, ou dépôts de fonds). Les utilisateurs sur mobile exigent des parcours d'achat instantanés, sécurisés et sans saisie de coordonnées bancaires manuelles. L'intégration de méthodes de paiement mobile sur les plateformes de jeux permet ainsi de répondre à un besoin d'immédiateté<ref>[https://www.laplanquedujoueur.com/meilleurs-casinos/ Analyse des méthodes de paiement sur les plateformes de jeux], sur ''La Planque du Joueur''.</ref> tout en renforçant la sécurité des transactions grâce à la double authentification (biométrie, validation in-app) proposée par les portefeuilles électroniques ou le prélèvement direct sur la facture de l'opérateur mobile. Il convient donc aux commerçants petits ou grands de s’adapter et d’inventer de nouveaux modes d’interaction avec chaque client permettant d’accompagner et de rassurer efficacement l’acheteur tout au long de son parcours. Les consommateurs ont tendance à se poser des questions sur la préservation de leurs données personnelles. Le m-paiement est la pour faire face à ces inquiétudes. Ce sont les acteurs du m-paiement qui peuvent répondre à ces questions. Ils devront effectuer un travail pédagogique, dans les années à venir, afin de rassurer au mieux leurs futurs clients et ainsi démocratiser le secteur Le développement des marketplaces, du click and collect et du M-commerce redessine les visages de l'e-commerce et constitue de nouveaux enjeux pour le paiement en 2016. De nouveaux parcours clients et de nouvelles expériences d'achats émergent progressivement, confirmant la convergence entre l'univers physique et le monde du digital. Toujours plus mobile, l'année 2016 verra arriver de nouvelles fonctionnalités mais aussi des nouvelles solutions dans le commerce connecté, marquée par de fortes préoccupations autour de la sécurité et de l'authentification, c’est le sens dans lequel nous poursuivons nos efforts d'innovation == Enjeux pour les operateurs telecom == *Les '''opérateurs telecom''', associés aux banques ont pour ''« business model'' » le partage des commissions bancaires à chaque transaction de proximité sur le mobile. Leur arme fatale est la présence du « ''Secure Element''« , l’endroit où sont géré la sécurité des données et des transactions, sur la SIM du mobile (en accord avec presque toutes les banques) pour assurer la sécurité des transactions. Ils poussent donc également le déploiement des mobiles NFC. Près de 2 millions sont maintenant dans les poches des consommateurs en France et tous les nouveaux modèles de smartphones hors iPhone sont NFC ready. De même aux États-Unis, tous les opérateurs telecom américains (sauf un) ont eux-même créé une joint-venture, ISIS, pour proposer une solution de paiement mobile de type NFC. {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Les acteurs du m-paiement/]] | suivant = [[../Effervescence des modes de m-paiement/]] }} mqavribw2wxeb498a8peyg128hhe159 104 75901 982262 975159 2026-04-28T17:51:53Z Wisdood 37499 982262 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ La fertilisation agricole rassemble l'ensemble des processus consistant à '''apporter à un milieu de culture les éléments minéraux nécessaires au développement des plantes''', dans le but de récolter des céréales, légumes, ou autres aliments. La fertilisation est également pratiquée en jardinage et en sylviculture. Son objectif est de garantir un rendement énergétique suffisamment élevé afin de subvenir aux besoins nutritifs de l'Homme. À l'heure où la population mondiale, toujours en forte hausse, a dépassé les 7.7 milliards d'habitants courant 2020, la question de la fertilisation agricole est désormais centrale puisque ce processus s'inscrit au sein de plusieurs des 17 objectifs de développement durable, tels qu'ils furent définis par l'ONU en 2015. <ref>Produit fertilisant. In Wikipédia [en ligne]. Disponible sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_fertilisant<nowiki/>(consulté le 05.05.2020).</ref>{{,}}<ref>Ooreka. Fertilisant [en ligne]. Disponible sur :https://engrais.ooreka.fr/comprendre/fertilisant. (consulté le 05.05.2020)</ref>Les fertilisants ont pour but d'améliorer les sols et de fertiliser les plantes. Ils se regroupent en deux catégories : '''les engrais et les amendements organiques'''. Ces derniers cherchent à améliorer la structure du sol et ses propriétés chimiques de base, alors que les engrais visent à apporter les nutriments absents dans les sols ou épuisés par les cultures. == Les objectifs de la fertilisation == === Les besoins des plantes === <ref>POTAGE Marie, VAN HOLT Arnaud, « PLANTES ». in Encyclopædia Universalis [en ligne]. Disponible sur https://www.universalis.fr/encyclopedie/plantes/ (consulté le 14.05.2020)</ref> Le développement d’une plante s’effectue tout au long de sa vie et met en jeu le fonctionnement de méristèmes, ensemble de cellules indifférenciées qui se divisent activement par mitoses. Ces méristèmes construisent les racines, les tiges et les feuilles, tous ces organes s’allongeant ensuite par croissance des cellules. ==== Les éléments nécessaires au développement de la plante ==== '''L’eau, les sels minéraux, le dioxyde de carbone (CO₂) et l’énergie lumineuse sont indispensables à la photosynthèse, et donc à la croissance des plantes.''' L’eau et les sels minéraux sont absorbés par les racines, le CO₂ et l’énergie lumineuse par leurs organes chlorophylliens (feuilles et tiges). <ref><nowiki>MARCHADIER Joseph. Interactif : La Fertilisation [en ligne]. Disponible sur </nowiki>https://interactif-agriculture.org/pages/evolution-des-techniques/la-fertilisation.php. (Consulté le 14.05.2020)<br /></ref> Les sels minéraux les plus utilisés par les végétaux sont regroupés en trois familles : les '''nitrates (azote), les sels phosphatés et les sels potassiques'''. Les '''engrais''' permettent un apport constant de ces sels minéraux pour '''entretenir la fertilité d’un sol'''. <ref>MERIGOUT Patriciap. Étude du métabolisme de la plante en réponse à l’apport de différents fertilisants et adjuvants culturaux. Influence des phytohormones sur le métabolisme azoté [en ligne]. INAPG (AgroParisTech), 2006. Disponible sur https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00002273/document. (consulté le 14.05.2020)<br /></ref> L’'''azote''' joue un rôle essentiel dans la fertilisation. C’est l’élément le plus important pour la croissance de la plante. [[Fichier:Cycle_azote_fr.jpg|vignette|345px|Le cycle de l'azote dans le sol]] Dans le sol, nitrate et ammonium sont les deux principales formes d’azote inorganique disponibles pour la plante. Leurs concentrations dans les sols sont très variables. Le nitrate (ion chargé négativement), la source d’azote majoritaire dans les sols, n’est pas retenu par le complexe argilo-humique du sol (chargé aussi négativement). Aussi, il est réduit en nitrite puis en ammonium dans les cellules racinaires et ensuite stocké dans la partie feuillée. L’ion ammonium, chargé positivement, est lui retenu par le sol. Cependant, une grande partie de l’ammonium apporté au sol est rapidement convertie en nitrate par les micro-organismes du sol (nitrification). L'ammonium est principalement assimilé dans les racines et incorporé dans les acides aminés. L’ensemble de ces étapes de l’assimilation de l’azote est finement régulé et interagit avec d’autres voies métaboliques, notamment celle du carbone. Les concentrations en nitrate et ammonium dans les sols varient en fonction du degré de minéralisation et de nitrification, c’est pourquoi les plantes ont développé des systèmes de transport : à haute ou basse affinité, HATS ou LATS. Les transporteurs de type HATS interviennent dans le transport d’azote présent en faible concentration dans le milieu (< 0,5 mM), et les transporteurs de type LATS pour de fortes concentrations (> 0,5 mM). Les protéines responsables de chacun de ces deux systèmes de transport sont régulées en fonction de la source d’azote disponible et du statut nutritionnel de la plante. Le '''phosphore''' stimule le développement des racines. Il est rarement utilisé seul ou en élément majoritaire des engrais. Le '''potassium''' sert à l’assimilation des éléments nutritifs et à la circulation de la sève. Les plantes consomment aussi d’autres minéraux, mais en plus faibles quantités. Ils sont donc fournis par les sols, sans besoin de supplément, et ce, même si l'on vise de hauts rendements. Après leur utilisation par les plantes, les sels minéraux sont exportés de la parcelle, diminuant alors le stock de minéraux dans le sol. ==== L'assimilation de ces éléments ==== Les végétaux ne peuvent absorber que des '''molécules suffisamment solubles et fines''' pouvant passer à travers les parois des racines. La photosynthèse permet aux plantes d’oxyder l’eau afin de réduire le CO₂ en glucides, qui seront transportés via la sève dans leurs différents organes. Grâce à leur système racinaire développé, les plantes sont en contact avec les trois acteurs principaux de leur nutrition : l’eau libre, le complexe argilo-humique (complexe absorbant) et des micro-organismes. L'''’eau libre''' contient les sels minéraux en solution. Ainsi, lorsque la plante est suffisamment alimentée en eau, le mécanisme d’évapotranspiration commence et la nutrition minérale de la plante est déclenchée. Le '''complexe argilo-humique''', composé de matière organique (<2 microns) et variant selon les propriétés du sol, permet de fixer et restituer les sels minéraux du sol. Les '''micro-organismes''' du sol décomposent la matière organique afin d’obtenir des composés chimiques simples. Si les plantes n’absorbent pas tous les minéraux, ceux-ci peuvent être fixés par le complexe argilo-humique et venir enrichir le sol.  === Le fonctionnement des sols === Les sols constituent la partie superficielle de la croûte terrestre. Ils sont formés à partir de l’altération de la roche mère et par la décomposition de la litière et de la matière organique<ref>Sol (pédologie). In Wikipédia [en ligne]. Disponible sur https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Sol_(pédologie)&oldid=170278112. (consulté le 01.05.2020)</ref>.Ceux-ci sont à la fois constitués d’une '''partie solide regroupant les matières minérales et organiques ainsi que d’une partie fluide regroupant les gaz, liquides ou solutions''' contenant des ions ou minéraux. La proportion de ces deux parties dépend du type de sol, de sa localisation ou encore de son hydratation. Ce sont les ions, les sels minéraux tels que l’azote (N), le magnésium (Mg), le phosphore (P) ou encore le calcium (Ca) et l’eau présents dans les sols, que les plantes assimilent et consomment afin de permettre leur développement. '''Plus un sol est riche en ces différents sels minéraux, plus il sera décrit comme fertile'''. Un '''ensoleillement''' suffisant et une '''température''' adéquate sont aussi des éléments permettant de juger la fertilité d’un sol. En se développant, les plantes appauvrissent les sols en leur retirant leurs minéraux mais lorsque la plante meurt, celle-ci va se décomposer et par différents procédés, rendre à la terre ces différents minéraux. On comprend donc que dans le cas de culture de terres où l’objectif est de récolter les plantes sans utiliser d’engrais, le sol s’épuise petit à petit de ses ressources, le rendant donc moins fertile. On appelle ce phénomène la '''désertification'''<ref>Analyse de sol. Capinov.[en ligne] Disponible sur https://www.capinov.fr/analyse-de-sol-laboratoire-php.php. (consulté le 14.05.2020)</ref>.On peut par exemple noter que la culture d'une tonne de blé par hectare retire au sol 2,5 kg de S, 4 kg de K, 4,5 kg de P et 20 kg de N. Les sols obtiennent ces précieux nutriments et sels minéraux de différentes manières. La première est grâce à la '''solubilisation de la roche mère'''. En effet, celle-ci libère sous forme soluble des sels minéraux que contenaient les roches, qui pourront ensuite être consommés par les plantes. <ref name=":1" />Pour l’azote, il existe plusieurs procédés. Le premier a lieu lors des orages. L'azote de l’air peut réagir avec l’oxygène pour former de l’oxyde d’azote qui sera amené par les pluies dans les sols. De plus, il existe des bactéries appelées Azotobacter dans le sol qui synthétisent de l’azote directement à partir de l’azote atmosphérique. Enfin, il existe des micro-organismes (Rhizobium) vivant en symbiose avec les plantes à qui ils fournissent des composés azotés en échange de matière organique. Le reste des minéraux est amené par la décomposition de la litière.<ref>La terre et l'humus. Luxorion. [en ligne]. Disponible sur http://www.astrosurf.com/luxorion/eco-terre-humus.htm<nowiki/>(consulté le 14.05.2020)</ref>Cela s’effectue en deux étapes : la transformation de la litière en humus (humification) puis la minéralisation de cet humus. Toute la matière organique déposée en surface (tiges, feuilles mortes, cadavres, déchets organiques) est décomposée par les divers organismes de la faune épigée : acariens, mille pattes, collemboles, crustacés, bactéries, champignons, actinomycètes ou des lombrics et scarabées. On estime qu’il y aurait entre dix millions et un milliard de bactéries par gramme de sol. Toute cette faune crée des galeries dans le sol, l'aérant et permettant la bonne porosité de celui-ci. Ces organismes se nourrissent du sucre, des protéines, de la cellulose présents dans la matière organique afin de les transformer en matière minérale. Cette matière forme l’humus et ce procédé peut durer jusqu'à plusieurs semaines, en fonction du type de sol et des conditions météorologiques. Puis, sous l’action d’autres micro-organismes, l’humus s’oxyde et se décompose en libérant l’eau, les gaz et les sels minéraux qu’il contient; c’est le phénomène de minéralisation. Ainsi, les matières organiques resituent aux sols les minéraux qu’elles avaient absorbé. D'autres acteurs participent au bon fonctionnement d'un sol. On distingue la '''faune endogée''' qui se nourrit des racines mortes des plantes et nettoie le sous sol pour préparer les galeries suivantes. Cette faune comprend les mêmes groupes que la faune épigée : thysanoures, collemboles, acariens, myriapodes. Ces espèces sont par contre plus petites que celles de la faune épigée et souvent de couleur blanche. Ces êtres vivants sont plus allongés afin de suivre les réseaux des racines les plus fines. Grâce à toute cette faune, les racines mortes ne s’accumulent pas dans le sol, laissant la place à l’eau et aux nouvelles racines des plantes se développant. Elle assure une porosité de 60% au sol de profondeur, ce qui permet la respiration des racines. On remarque également la faune anécique (vers de terre ou grands lombrics). Les êtres vivants qui la composent font des allers-retours entre le sous sol et la surface du sol, ils remontent des argiles (ions chargés négativement) des strates inférieures du sol, les mélangent avec l'humus (ions négatifs) des strates supérieures du sol. Ils ont la glande de Morren riche en Calcium (ions positifs) et c’est dans leur intestin que se forme le complexe argilo-humique. Le dernier phénomène qui conduit à la formation des sols est la '''migration des éléments fins'''. En effet, certaines fines particules ou sels minéraux peuvent être entraînés par des écoulement d’eau souterrains. Ces écoulements d’eaux proviennent de pluies qui se sont infiltrées dans le sol. Il découle de cette opération le drainage et le lessivage. Le drainage, c’est le fait que certains minéraux soient emportés vers des nappes phréatiques souterraines où ils sont alors perdus. Le lessivage permet aux particules d’argiles de remonter à la surface. Par temps pluvieux, ces opérations appauvrissent les sols. <br /> [[Fichier:Schéma_représentant_le_fonctionnement_des_sols.png|alt=|centré|vignette|291px|Schéma représentant le fonctionnement des sols]] <br /> == Les systèmes de culture sur abattis-brûlis == === Principe de l'enrichissement des sols === C’est au cours de la dernière partie de la Préhistoire, il y a 10 000 ans, que les sociétés humaines les plus avancées ont amorcé leur passage de la prédation à l’agriculture. Ce changement de '''paradigme''' s’est d’abord effectué dans des aires qualifiées de foyers d’origines de la révolution néolithique<ref name=":1">MAZOYER Marcel, ROUDART Laurence. Histoire des agricultures du monde. Paris : Éd. du Seuil. DL 2002. 705p. ISBN 978-2-02-053061-32-02-053061-9 </ref>. L’agriculture s’est ensuite répandue depuis ces foyers jusqu’à conquérir une grande partie du monde. Les hommes furent alors confrontés à deux principaux écosystèmes: la forêt dense et la plaine herbeuse. Si l’agriculture a été pratiquée dans les plaines en association avec des élevages pastoraux, celle-ci s ‘est surtout développée dans les milieux boisés où elle fut pratiquée sous forme de culture sur abattis-brûlis. Lorsque les systèmes de culture sur abattis-brûlis sont apparus, l’homme pratiquait déjà l’agriculture dans des jardins proches des habitations et fertilisés par les déchets domestiques ainsi que sur des  zones alluvionées par les crues des rivières. Cependant, ces zones n’étaient pas assez étendues pour permettre une production suffisante. C’est pourquoi les hommes se sont tournés vers les milieux boisés riches en biomasse. En effet, la végétation d’une forêt représente un stock important de biomasse étant donné que celle-ci ne peut pas être lessivée ou drainée par l’absorption des eaux de pluie. Les plantes ayant besoin de minéraux et de lumière, il a été nécessaire de dégager un espace au sol et un accès à la lumière pour les futurs plants de cultures nourricières. Les cultivateurs équipés de haches, de sabre d'abattis et de houes de pierre polie, ont alors entrepris d'abattre les buissons et arbustes à la portée de leurs outils. Le fait de brûler cette quantité souvent importante de biomasse juste avant les premières pluies permet d’enrichir massivement le sol en nutriments minéraux et de minéraliser la matière organique. Ces minéraux seront utiles pour les plantes cultivées qui y seront ensuite plantées. Cependant, au cours de l’exploitation du sol, la quantité de matière nutritive disponible pour la culture diminue très rapidement avec le temps que ce soit par lessivage ou par utilisation par ces mêmes cultures. De ce fait, le sol devient moins fertile et les rendements agricoles diminuent. C’est pourquoi ces parcelles défrichées ne sont cultivées qu’un an ou deux (la seconde culture est généralement une légumineuse, moins gourmande en nutriments). Au bout de 3 à 5 ans, les sols sont épuisés et il convient alors de défricher une autre parcelle de forêt et de laisser la précédente en friche de longue durée. Il s’y reconstitue alors un écosystème forestier qui peut de nouveau stocker de la biomasse. Les rendements de ces systèmes agraires dépendent non seulement de la qualité initiale du boisement (densité de la forêt), des précipitations mais aussi et surtout de la période de rotation de la friche de longue durée, c’est-à-dire la durée pendant laquelle une parcelle est laissé en friche entre deux cultures. Plus celle-ci est élevée, plus le boisement peut se reconstituer et fournir ensuite un fertilisant performant. Le '''rendement réel''' (c’est-à-dire le volume de production par unité de surface effectivement ensemencée) de ces systèmes est très élevé. Cependant, il faut ajouter à la surface ensemencée la surface occupée par les arbres trop gros pour être abattus, on considère alors le '''rendement apparent'''. Il ne faut pas oublier non plus que pour une période de rotation de n années il faut avoir une surface en friche d’environ n fois la surface cultivée, ce qui nous mène au '''rendement territorial'''. {| class="wikitable" |+Rendements et densité de population en fonction de la période de rotation (rappel: un hectare vaut {{unité|10000|m|2}} soit un carré de côté {{unité|100|m}}). On suppose les besoins alimentaires d’un individu de 2 quintaux par personne et par an. !Période de rotation !50 ans !25 ans !10 ans |- |Rendement réel |20 quintaux/hectare |14 quintaux/hectare |8 quintaux/hectare |- |Pourcentage de la biomasse arbustive abattue |Coupe à 50% de la biomasse arbustive |Coupe à 70% de la biomasse arbustive |Coupe à blanc qui détruit presque entièrement la biomasse arbustive (la pérennité du système n’est plus assurée) |- |Rendement apparent |10 quintaux/hectare |9,8 quintaux/hectare |7 quintaux/hectare |- |Rendement territorial |0,2 quintal/hectare |0,4 quintal/hectare |0,7 quintal/hectare |- |Densité de population supportée |10 habitants /km² |20 habitants /km² |35  habitants /km² |- |Variation de la biomasse en fonction de la durée de rotation |[[Fichier:Culture sur abattis brulis variation de biomasse rotation de 50ans.png|vignette]] |[[Fichier:Culture sur abattis brulis variation de biomasse rotation de 25ans.png|vignette]] |[[Fichier:Culture sur abattis brulis variation de biomasse rotation de 10ans.png|vignette]] |} On voit ainsi que l’augmentation de la population sur un territoire donné est soutenue par une augmentation de la fréquence de culture. Cependant, il existe un seuil pour cette fréquence et donc de densité population, matérialisé par la régénération forestière pouvant durer de 10 à 50 ans. S’il est dépassé, cela entraîne le '''déboisement''' et l’impossibilité de poursuivre l’agriculture sur abattis-brûlis. La baisse de rendements à l’hectare et la productivité du travail agricole dépend donc de la densité de population qui en augmentant tend à diminuer la durée de la friche. À cette époque, les populations des villages de cultivateurs sur abattis-brûlis doublaient approximativement toutes les générations (25 ans). Pour faire face à cette croissance, les villages se séparaient et un groupe partait s’installer et cultiver ailleurs, formant ainsi un '''front pionnier'''. Ces séparations de villages sont devenues impossible lorsque le front pionnier était devenu trop éloigné ou bien que celui-ci avait atteint une limite géographique telle qu’une mer. Dans ces conditions la population croissante a nécessité soit des cycles de rotation de plus en plus courts, et donc de plus en plus destructeurs ou alors une augmentation des surfaces de cultures au détriment de la conservation de zones boisées. Ainsi de manière progressive dans le temps et l’espace, se sont amorcées des transitions vers de nouveaux modes de culture plus appropriés aux différents milieux et climats où ils sont apparus. === Approche sociologique === Tout au long des siècles, les systèmes de production ont eu un impact sur l’organisation économique, sociale et politique ainsi que sur les représentations culturelles au sein des sociétés dans lesquelles ces systèmes sont mis en place. C’est le « matérialisme historique » dans la vision marxiste.<ref name=":7">Matérialisme historique. In Wikipédia [en ligne]. Disponible sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Matérialisme_historique<nowiki/>.(consulté le 07.05.2020).</ref> Les évolutions des forces productives matérielles rythment l'Histoire et définissent les rapports de production. Au cours de la Préhistoire, le travail se fait en commun et les moyens et fruits de production sont également communs. Les classes sociales sont peu voir non existantes. Avec la culture sur abattis-brûlis, un aspect social apparaît : c’est la notion de densité de population supportée par unité de surface. Elle donne le rapport entre la superficie d’un village et la population maximale qu’elle peut atteindre avant de tomber dans la désertification (...) car les durées de renouvellement de la biomasse ne sont plus suffisantes à un renouvellement viable. Ces systèmes de culture sur abattis-brûlis permettent une différenciation et une meilleure organisation sociale entre ceux qui nourrissent, ceux qui travaillent les ressources (artisans), les commerçants (...), tout en participant tous aux travaux agricoles. <ref>Agriculture sur brûlis. In Wikipédia [en ligne]. Disponible sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Agriculture_sur_brûlis<nowiki/>(consulté le 05.05.2020).</ref>Au sein des villages, le droit d'usage des terres en abattis-brûlis peut être accordé à une famille (contrairement à d'autres modes de cultures comme les vergers) et changera avec le changement de cultures. L'usage de la terre se fait en échange de compensation, comme pour un fermage ou une vente. Afin que le système d'abattis-brûlis reste viable, ses travailleurs ne doivent pas avoir à nourrir plus de 3 ou 4 personnes. Pour que l'efficacité de ces systèmes soit accrue, les ménages se regroupent. Des règles concernant des échanges entre populations (mariages, adoptions) sont adoptées et des mécanismes d'entraide lors de périodes de gros travaux agricoles sont mis en place. == Les systèmes agraires à jachère et culture attelée == === Principe de l’enrichissement des sols === ==== Le principe de fonctionnement de la ''jachère''==== [[Fichier:Principe de fonctionnement des systèmes à jachère.png|vignette|336px|Principe de fonctionnement des systèmes à jachère.|alt=]] Sur les pourtours méditerranéens puis au travers de l’Europe, les systèmes agraires à jachère et culture attelée légère se sont substitués aux cultures sur abattis-brûlis. Ces systèmes reposent sur '''l’association de la céréaliculture et de l’élevage'''. Les céréales occupent les terres fertiles où elles alternent avec la ''jachère''. Le bétail tire sa subsistance des herbages périphériques et joue un rôle capital dans les travaux des champs et le renouvellement de la fertilité des terres céréalières<ref name=":1" />. Les espaces les plus fertiles (par exemple situés dans des cuvettes recevant davantage d’alluvions par écoulement des eaux) sont découpés en deux parties aux fonctions distinctes : l’''Ager'' où on cultive les céréales et la ''jachère'' où on aide la terre à '''reconstituer ses réserves en nutriments'''. Ces parcelles s'intervertissent de manière régulière. Afin de reconstituer les réserves de la ''jachère'' on effectue un transfert de biomasse depuis des terrains impropres à la culture mais adaptés au pâturage; ces terrains constituent le ''Saltus''. Selon les milieux il peut s’agir de garrigues, de sous-bois ou de terrains trop pentus ou rocailleux pour être cultivés. Ce transfert de biomasse s’effectue en nourrissant les différents animaux grâce à la biomasse contenue dans le ''Saltus'' et en transférant au mieux leurs excréments dans les ''jachères'' (soit par parcage des bêtes la nuit sur les ''jachères'', soit par transport de fumier si les technologies requises sont disponibles). La terre des ''jachères'' est donc ré-enrichie en nutriments. ==== La culture attelée légère ==== La culture attelée légère s’est développée en reposant sur le développement d’outils permettant de défricher les tapis herbeux des plaines ou des anciennes forêts. Il s’agit d’outils manuels tels que la [[w:Bêche|bêche]] et la [[w:Houe|houe]] ou bien d’outils tractés tels que l'[[w:Araire|araire]]. Le modèle de la culture attelée légère a été limité par plusieurs facteurs: * Un retournement partiel des sols et donc un mauvais enfouissement de la biomasse transférée par le bétail. En effet l’araire est un outil qui scarifie, griffe le sol. Le retournement efficace du sol n’était possible qu’à l’aide d’outils manuels (bêche , houe) qui ne permettait donc pas de retourner de grandes surfaces. * La taille des troupeaux de bétails œuvrant aux champs et au renouvellement de la fertilité des ''jachères'' a été limitée du fait du manque d’outils de transport et de stockage de biomasse destinée à nourrir ces troupeaux durant la saison froide. De plus, le transfert de biomasse par parcage du bétail qui la nuit dépose ses déjections sur les ''jachères,'' ne permet qu’un transfert d’environ moitié de la biomasse consommée dans le ''Saltus'' vers la ''jachère''. Ainsi les difficultés à effectuer un labour correct des ''jachères'' et la quantité limitée de biomasse disponible pour ré-enrichir le sol ont limité la capacité des cultivateurs à régénérer la fertilité des jachères entre deux cultures. Les rendements s’en sont donc trouvés eux aussi limités. Les rendements de ces systèmes de culture ont été surestimés par plusieurs auteurs qui avançaient des rendements allant de 7 à 13 quintaux de céréales par hectare. Des études portant sur des systèmes agraires à ''jachères'' et culture attelée légère ayant persisté plus tard dans le temps (XX^è siècle) ont mis en évidence des rendements proches de 5 quintaux par hectare, c’est-à-dire 3 quintaux consommables par hectare cultivé en prenant en compte les semences et les pertes. Il ne faut pas oublier que ces rendements ont pu varier fortement en fonction de paramètres géographiques, climatiques et météorologiques. En considérant l’efficacité limitée des outils à disposition des cultivateurs, ces systèmes permettent d’exploiter de 6 à {{unité|7|hectares}} d’''Ager'' par famille de cultivateurs (5 personnes) c’est-à-dire 3 à {{unité|3.5|hectares}} de cultures. Avec un rendement de 3 quintaux consommables par hectare et des besoin nutritifs de 2 quintaux par personne par an, une famille de cultivateur produit à peine de quoi se nourrir. Les systèmes à culture attelée légère permettent de soutenir une densité de population de l’ordre de 0,75 habitant par hectare c’est-à-dire 75 habitants par km² d’''Ager.'' Avec un parcage nocturne il faut une tête de gros bétail ou cinq têtes de petit bétail par hectare de ''jachère'' pour effectuer un transfert de biomasse suffisant à un rendement de trois quintaux consommables par hectare d’''Ager''. Une tête de gros bétail ou bien cinq têtes de petit bétail nécessite pour se nourrir en moyenne trois hectares de ''Saltus''. Il faut donc pour chaque hectare de ''jachère'' (soit pour deux hectares d’''Ager'' ) trois hectares de ''Saltus''. On a alors une densité de population de 30 habitants/km². Enfin en prenant en compte la ''Silva'' et des besoins en bois de {{unité|0.2|hectare}} par habitant, on arrive à une densité d’environ 28 habitants par km{{Exp|2}}<ref name=":1" />. Ces densités de populations sont légèrement supérieures à celles des systèmes sur abattis-brûlis durables. Elles requièrent cependant un travail plus important et ont été mises en places en parallèle du développement de cités et d'États dans lesquels les professions se sont beaucoup diversifiées. Il a donc fallu trouver une main-d’œuvre supplémentaire, n'ayant pas de famille à nourrir et pouvant donc subvenir aux besoins d’un population ne produisant pas de nourriture. Ce fut le développement massif de '''l’esclavagisme'''. ==== La culture attelée lourde ==== La culture attelée lourde est apparue en remplaçant progressivement la culture attelée légère. Elle en est un sorte d’amélioration. Son développement a reposé sur deux piliers majeurs: un meilleur enrichissement des ''jachères'' ainsi qu’un [[w:Labour|labour]] efficace. Plusieurs progrès technologiques sont à l’origine de l’amélioration des performances dans ces deux domaines. Comme nous l’avons vu dans le cas de la culture attelée légère. La taille des troupeaux chargés de ré-enrichir la ''jachère'' en biomasse était limitée par le manque de nourriture disponible à la saison froide. Des outils tels que la [[w:Faux_(outil)|faux]], le [[w:Râteau_(outil)|râteau]] et la [[w:Charrette|charrette]] ont permis de récupérer les excédents d’herbe sous forme de foin et de les stocker pour nourrir les troupeaux durant la saison froide. Durant celle-ci les troupeaux étaient gardés dans des étables. Ce qui permettait d’autant plus de récupérer encore mieux leurs déjections, lesquelles étaient récupérées à l’aide de paille puis déposées sur la ''jachère''. La taille des troupeaux a alors pu augmenter de façon importante en parallèle d’une amélioration du transfert de biomasse. L’invention de la [[w:Charrue|charrue]] a quant à elle permis d’effectuer un véritable labour efficace sur des surfaces bien plus étendues que le labour à bras effectué précédemment dans les systèmes à culture attelée légère. Le labour à la charrue permet d’enfouir au mieux le fumier (paille et déjections) ainsi que les divers végétaux poussant sur la ''jachère''. En parallèle de la charrue on a pu voir apparaître d’autres techniques qui ont contribué à augmenter les rendements. Il s’agit notamment du ferrage des sabots des animaux de trait ou encore de jougs plus performants afin de tirer le plus grand profit de la force animale à disposition. La réunion de ces conditions a permis d’accroître fortement les rendements des cultures. Le meilleur renouvellement de la fertilité ainsi que le labour des sols ont permis d’obtenir des rendements de l’ordre de 8 quintaux par hectare cultivé soit 6 quintaux consommables par hectare cultivé. L’efficacité des outils à disposition permet à une famille de cultivateurs (5 personnes) d’exploiter jusqu’à {{unité|6|hectares}} d'''Ager'' c’est-à-dire {{unité|3|hectares}} ensemencés. la production annuelle s’élève donc à {{unité|18|hectares}} par an par famille. En prenant une consommation de 2 quintaux par an par habitant la culture attelée lourde permet de dégager un surplus de production pouvant être vendu et nourrissant d’autres personnes. Pour obtenir de tels rendements il faut disposer de 15 tonnes annuelles de fumier par hectare de ''jachère''. La superficie nécessaire à nourrir les bêtes les produisant est de l’ordre de {{unité|2.25|hectares}} de ''Saltus''. Les besoins en bois de la population augmentent avec la fabrication des nouveaux outils ou encore des étables. Ils sont d’en moyenne {{unité|0.7|hectare}} de forêt par habitant. Ainsi pour {{unité|3|hectares}} ensemencés produisant un total de 18 quintaux annuels il faut au total: {{unité|6|hectares}} d’''Ager'' (3 ensemencés et 3 en jachère), 3*2,25=6,75 hectares de ''Saltus'' et 18/2=9 habitants pouvant être nourris et nécessitant chacun {{unité|0.7|hectare}} de ''Silva'' c’est-à-dire {{unité|6.3|hectares}}. Cela correspond à une densité de population de quasiment 50 habitants par km², soit près du double de la densité soutenue par la culture attelée légère<ref name=":1" />. ==== Dépasser les systèmes à ''jachère''==== Les systèmes de culture à ''jachères'' pratiqués en Europe et plus spécifiquement en France ont permis de soutenir des rythmes de croissance de populations qui ont parfois dépassé les capacités de production de ces modèles, conduisant ainsi à des '''crises alimentaires et sanitaires'''. Les populations sous-nourries ont été plus exposées à des épidémies telles que la peste. Si on souhaite augmenter la production d’un système à ''jachère'' deux solutions apparaissent. La superficie labourable d’une exploitation étant limitée, on peut augmenter la superficie cultivée au détriment de la superficie en ''jachère''. Cependant cette démarche n’est pas pérenne puisque le renouveau de la fertilité des sols cultivés n’est plus assuré. Une autre solution consiste à chercher à améliorer les rendements des sols tout en conservant la même superficie cultivée. C’est ce qui a été développé dans les systèmes agraires sans ''jachères''. === Approche sociologique === <ref name=":0">SEBILLOTTE Michel, ALLAIN Sophie, DORE Thierry, MEYNARD Jean-Marc. La jachère et ses fonctions agronomiques, économiques et environnementales. Diagnostic actuel. Le Courrier de l'environnement de l'INRA, Paris : Institut national de la recherche agronomique Délégation permanente à l'environnement, 1993, 20 (20), pp.11-22. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01207237/file/C20Allain.pdf</ref>En plus des fonctions qu'elle remplit sur un plan agronomique, la jachère se justifie par le fonctionnement des unités et zones de production. Elle était le plus souvent le seul moyen de faire face à des situations difficiles au niveau agronomique, de l'organisation du travail ou de l'alimentation des troupeaux. <ref>MAZOYER, Marcel, et Laurence ROUDART. « AGRICULTURE - Histoire des agricultures jusqu’au XIXe siècle ». Encyclopædia Universalis. Disponible sur https://www.universalis.fr/encyclopedie/agriculture-histoire-des-agricultures-jusqu-au-xixe-siecle/ (Consulté le 15.04.2020)</ref>Au cours de l'Antiquité, les famines et disettes liées aux faibles rendements de la culture attelée légère, l'utilisation de l'araire et l'emploi de mauvais fumiers sont fréquentes. Les peuples migrent alors pour chercher de nouvelles terres à cultiver, n'hésitant pas à rentrer en guerre afin de piller les greniers voisins. '''La culture attelée légère dégage des rendements modestes ne permettant pas de soutenir une forte population non agricole'''. Les '''cultures en jachère reposaient aussi sur l'esclavage''' dont le bas coût est préféré à celui plus élevé du matériel et son emploi favorisé par les crises alimentaires. <ref>MOYEN, Françoise. « ASSOLEMENT ». Encyclopædia Universalis. [en ligne]. Disponible sur https://www.universalis.fr/encyclopedie/assolement/. (consulté le 15.04.2020)</ref>La création des soles obligatoires au Moyen Âge suppose une contrainte seigneuriale. Ce sont les communautés villageoises qui en sont par la suite les défendeurs jusqu'au XVIII^è siècle. Il a fallu instaurer des lois pour respecter le principe de jachère comme l'assolement réglé ou le droit de vaine pâture. Ce dernier permettait à chacun de laisser ses troupeaux pâturer sur les terres en jachères du villages, interdisant ainsi leur mise en culture. Cela assurait à chacun de pouvoir nourrir son bétail et de renouveler à court et long terme la fertilité de ses champs. Dans le cadre des agricultures basées sur la '''culture attelée''', l'augmentation des vitesses de travail ne peut se faire que par l''''augmentation des effectifs'''. Le développement de la culture attelée lourde a contribué à améliorer les techniques de jachère et donc d'augmenter les terres cultivées et leurs rendements. À partir de l'''<nowiki/>'an 1000''' le développement des matériels agricoles se fait simultanément avec le '''recul de l'esclavage'''. Les guerres esclavagistes se font plus coûteuses et les investissements dans ces matériels plus rentables. '''Les famines se font plus rares et la population, mieux nourrie, a plus que triplé'''. De '''nouvelles catégories sociales''' se consacrant à des activités non agricoles émergent, entraînant un essor urbain, artisanal, culturel et architectural. L'expansion des terres cultivées rencontre des limites géographiques. L'impossibilité de s'étendre engendre un déséquilibre entre les terres cultivées et celles destinées au renouvellement de la fertilité. '''<nowiki/>''' Ce '''développement agricole et démographique atteint des limites au XIV^è siècle'''. La population continuant d'augmenter, les '''disettes et famines sont de nouveau plus fréquentes''' et la population plus en proie aux '''maladies''' comme la peste noire au milieu du XIV^è siècle. La population et l'agriculture se reconstituent lentement dans les siècles suivant. <ref name=":7" /> Les progrès techniques permettent une division (plus ou moins prononcée) du travail et permettent une accumulation des richesses auprès de certaines personnes entraînant l’apparition de '''classes sociales de propriétaires''' (notamment des hommes, principale force de production). Au Moyen Âge, les travailleurs sont plus autonomes, tout en maintenant une classe dominante (c'est le régime féodal). === Impact environnemental === <ref name=":2"><nowiki>BUREL Françoise, GARNIER Eric, AMIAUD Bernard et al. Les effets de l’agriculture sur la biodiversité. Chapitre 1. In : Agriculture et biodiversité. [en ligne]. Edition Quæ. 2009. Disponible sur : </nowiki>https://www.cairn.info/agriculture-et-biodiversite--9782759218240.htm (consulté le 27.04.2020) </ref>Le labour (profond) est responsable de la fragilité des sols ainsi que des risques d'érosion. Cette pratique influe aussi les organismes en impactant la présence d'invertébrés et de mycorhizes ou en exposant des espèces aux prédateurs. Les habitats naturels sont aussi modifiés : porosité, teneur en eau, modification des ressources organiques et minérales. De plus, les parcelles en jachères sont des éléments du paysage favorables à la préservation de la biodiversité dans les agro-systèmes, pour des espèces banales, rares ou encore neutres pour l'agriculture.<br /><ref name=":0" />La jachère travaillée favorise la minéralisation de l'azote organique ainsi que sa quantité qui sera fixée dans le sol à portée des racines. La jachère enherbée et pâturée influe sur le stockage de l'azote en réduisant son lessivage. Ces différents facteurs accroissent très fortement (environ 10 fois) l'érosion des sols. <ref name=":8">SMIL Vaclav. Energy and Civilization: A History. Cambridge, London, the MIT Press, 2017, 552p. ISBN 978-0-262-03577-4.</ref>L'augmentation de l'agriculture (et de la demande) s'est traduite par des modifications et revalorisations paysagères. En Europe Carolingienne, fortement peuplée et faisant face à une demande élevée en céréales, seulement quelques parties d'Allemagne et des Flandres créaient de nouveaux champs dans des zones plus difficilement cultivables. Des vagues de paysans allemands ont quitté des zones densément peuplées pour étendre de nouvelles terres agricoles dans des régions boisées ou des prairies d’Europe centrale (Pologne, Roumanie, Russie), jusqu’alors considérées comme indésirables par les cultivateurs locaux. <ref name=":5" />Les terres arables cessent d'être des ressources renouvelables à partir du moment où elles sont exploitées au-delà de leur capacité à se régénérer. == Les systèmes agraires sans jachère : Première révolution agricole des temps modernes == <ref name=":3" />La première révolution agricole commence au XVII^è - XVIII^è siècle et désigne l'ensemble des transformation affectant l'agriculture en Europe depuis l'époque moderne. Elle se manifeste par l'apparition de nouvelles plantes, la disparition des jachères, le progrès de l'élevage, l'aménagement du cycle des cultures ainsi que l'essor d'un nouveau régime de propriété. Elle a pour but d'augmenter la productivité des terres. “En effet la première révolution agricole ne consiste pas à rechercher l’augmentation immédiate de la production alimentaire en remplaçant directement la jachère par une culture de grains destinés à la consommation humaine [..]. Elle consiste et c’est tout à fait différent à rechercher indirectement l’augmentation des rendements en remplaçant les jachères par des cultures fourragère permettant de développer l’élevage et la production de fumier.”<ref name=":1" /> (p.419). Il est alors nécessaire de cultiver plus de terres que ce soit pour l'alimentation humaine ou animale. La "sole" jusqu'alors représentative de la rotation des cultures et des systèmes à jachère va alors être utilisée et remplacée. === Principe de l’enrichissement des sols === Les systèmes agraires sans ''jachères'' reposent sur le remplacement de la ''jachère'' par une culture produisant une grande quantité de biomasse qui permettra de soutenir un bétail plus nombreux et donc de réaliser un meilleur fumage (dépôt de fumier) des terres labourables. Ces systèmes plus productifs ont nécessité peu voire pas de nouveaux développements technologiques. Pour réaliser la transition des systèmes à ''jachères'' vers les systèmes sans ''jachères'', il a fallu surmonter des obstacles dans de multiples domaines: juridiques, sociaux, économiques (...). Si les gains de productivité diffèrent fortement en fonction des caractéristiques géographiques ou bien des différentes rotations mises en place, il est possible de généraliser de la manière suivante. Dans une exploitation, le remplacement des terres en ''jachère'' par des cultures de plantes fourragère telles que le pois, la vesce, le trèfle ou encore le maïs permet de soutenir un troupeau deux fois plus important. Une exploitation dispose donc du double de fumier soit 30 tonnes annuelles. Cette augmentation permet d’obtenir des rendements de 10 à 12 quintaux par hectare<ref name=":1" />. Cette augmentation des rendements n’est pas réductible à l’augmentation du fumage. En effet, le remplacement de la jachère par des cultures fourragères permet d’augmenter '''l’occupation du sol''' et donc de limiter les pertes en biomasse par lessivage. En effet, la biomasse est '''fixée''' dans des plantes vivantes et passe moins de temps morte enfouie. De plus au long terme, ces systèmes permettent de créer un sol riche en '''humus''', très favorable à la culture. Enfin, la culture de [[w:Fabaceae|légumineuse]] permet de fixer l’azote au niveau des racines de ces plantes. Les rendements des cultures suivants des légumineuses sont sensiblement améliorés. Ainsi une exploitation familiale (5 personnes) exploitant {{unité|5|hectares}} de terres cultivables, dont 3 cultivés simultanément, produit en moyenne 33 quintaux annuels de céréales. On attribue à cette exploitation des besoins de {{unité|5|hectares}} en ''Silva'' et en ''Saltus'' (qui ont diminué puisque les bêtes sont nourries principalement à l’aide de plantes fourragères cultivées). On arrive alors à des densités de populations de 165 habitants par km². Par ailleurs une exploitation dégage un surplus agricole important tout en se nourrissant mieux. Ce surplus permet de nourrir '''une forte population non-agricole'''. La consommation de ce surplus agricole important sera un enjeu majeur au cours de la [[w:Révolution_industrielle|révolution industrielle]]. === Approche sociologique === <ref name=":3"><nowiki>POITRINEAU Abel, WACKERMANN Gabriel. AGRICOLE RÉVOLUTION. In : Encyclopædia Universalis [en ligne]. Disponible sur : </nowiki>https://www.universalis.fr/encyclopedie/revolution-agricole/<nowiki/>(consulté le 16.04.2020)</ref>En plus d'affecter le cadre technique de l'agriculture, la révolution agricole en affecte les cadres sociaux et économiques. Pour permettre l'apparition de cultures sans jachères, certaines conditions, caractéristiques sociales, politiques et économiques doivent être prises en compte. La révolution agricole s'insère dans un contexte socio-économique complexe. Le travail agricole est indissociable des sociétés industrielles en leur fournissant matières premières et denrées alimentaires. La révolution se heurte à la '''résistance des anciennes pratiques agricoles''' et certains paysans sont méfiants à l’égard de ces évolutions et restent indifférents aux progrès de l’élevage et des cultures. Le nouveau système s'appuie sur les progrès de la connaissance agronomique et contribue au démarrage des économies occidentales en soutenant l'accroissement des rendements, la suppression des jachères et l'investissement massif de capitaux dans l'agriculture. Le marquis de Mirabeau (1715 - 1789) affirme : « L'Argent est le plus indispensable fumier qu'on puisse répandre sur la terre. ». Il a fallu réaliser des '''changements juridiques''' afin de permettre un plus grand exercice de la '''propriété privée'''. Des juridictions comme le droit de vaine pâture, indispensable dans un système à jachère, ont été abolies. Chacun pouvant désormais disposer comme il l'entend de ses terres, il a été possible de mettre les jachères en culture. Ce critère juridique s'accompagne ainsi par une volonté de libertés individuelles telles que la liberté d'entreprendre ou d'user de sa propriété privée. De cette façon, la première révolution agricole pose les fondements du capitalisme. Les mentalités paysannes évoluent vers l’esprit de '''rendement et de compétitivité''' au détriment de la cohésion du milieu rural. On passe d’un marché concret où acteurs et consommateurs sont en contact permanent, à un marché abstrait, partie prenante de l’économie contemporaine.<ref>THOMPSON Edward P. Les Usages de la coutume. Traditions et résistances populaires en Angleterre (XVII^è-XIX^è siècle). trad de l'anglais par BOUTIER JEAN et VIRMANI Arundhati. Paris : Gallimard et Seuil, 2015, 704 p. Disponible sur https://www.seuil.com/ouvrage/les-usages-de-la-coutume-edward-p-thompson/9782021180787<nowiki/>(consulté le 27.04.2020)</ref> Les tensions entre "l'économie morale", traditionnelle de la population, et les principes de la "nouvelle économie politique du libre marché", mises en évidence en Angleterre au XVIII^è siècle, se manifestant sous la forme d'émeutes frumentaires, soutiennent que cette révolution agricole caractérise l'émergence du capitalisme industriel. Des Bourses mondiales, New-York, Londres, Hambourg (...), commencent également à insérer l'économie agricole dans les grands circuits financiers. Le développement des cultures sans jachères a globalement permis de doubler la production agricole, nécessitant alors l'écoulement d'un surplus de production. Il a fallu qu'émerge une nouvelle population, capable d'acheter ces surplus à des prix suffisamment élevés. De cette façon, les révolutions agricoles et industrielles se sont épaulées et soutenues mutuellement. La révolution agricole a permis de nourrir les populations industrielles, ces dernières absorbant les surplus agricoles dus aux remplacements des jachères. Ce nouveau mode de culture, plus gourmand en matériel agricole (souvent composés de fer), crée ainsi une demande envers l'industrie métallurgique. Ainsi, si la première révolution agricole a pu s’initier avec les outils des systèmes agraires à jachères et culture attelée lourde, son association avec une industrie en croissance a permis d’améliorer le matériel agricole en le mécanisant. <ref name=":7" />Les progrès techniques portés par les révolutions nécessitent une '''liberté et culture plus importante chez les travailleurs'''. Suite à ces révolutions, la propriété sur les hommes est abandonnée au profit de celle sur les '''moyens de production''' (machines). Le lien de subordination économique des travailleurs demeure (c'est le régime '''capitaliste'''). L'emploi croissant de machines '''sépare l'industrie manufacturière de l'industrie agricole'''. == Deuxième révolution agricole des temps modernes : la fertilisation minérale == === Différents types d'engrais === Les engrais peuvent être de plusieurs types : '''organiques, minéraux ou organo-minéraux'''. Dans ces différents cas, le but reste bien évidemment le même : stimuler la croissance de la plante et donc obtenir de meilleurs résultats à la récolte. <ref>Dalila Nouar. III. Les différents types d'engrais. [en ligne]. Disponible sur http://effets-engrais-sur-plantes.e-monsite.com/pages/iii-les-differents-types-d-engrais.html<nowiki/>(consulté le 14.05.2020)</ref>Les '''engrais minéraux''' sont formés de substances d’origine minérale. Une partie est produite par l’exploitation de gisements de roches riches en phosphate et en potasse, tels que les gisements de pierres volcaniques, la serpentine ou le basalte. Ces roches sont ensuite broyées afin de servir d’engrais. Pourtant, la majorité des engrais minéraux sont produits totalement artificiellement par l’industrie chimique. Celle-ci intervient surtout dans la production d’engrais azotés. Pour cela, il y a production d’ammoniac à partir de l’azote de l’air. C’est à partir de cet ammoniaque que l’on obtient de l’urée et du nitrate. L’appellation des engrais minéraux est normalisée, celle-ci faisant référence aux composants des engrais. Ils peuvent être N (azotés), P (phosphatés) ou K (potassiques). Ces lettres sont ensuite accompagnées de chiffres permettant d'en indiquer les différentes proportions. Les engrais sont définis comme simples s’ils ne contiennent qu’un seul de ces éléments, binaires s’ils en possèdent deux et tertiaires s’ils possèdent les trois. Les engrais minéraux se concentrent surtout sur l’apport de macro-éléments primaires et négligent assez l’apport en éléments nutritifs secondaires ainsi qu'en oligoéléments. <ref name=":9">Engrais. In Wikipédia [en ligne]. Disponible sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Engrais (consulté le 09.03.2020)</ref>Les '''engrais organiques''' sont eux d’origine animale ou végétale. Ils peuvent également être synthétisés comme l’urée. Une première partie de ces engrais provient de déchets industriels car ceux-ci peuvent contenir les nutriments primaires des plantes. On peut par exemple penser aux plumes ou à l’urée qui sont très riches en azote, les ossements qui sont riches en phosphores ou les cendres qui sont très riches en potassium. Les sous-produits de l’élevage tels que les fumiers ou la litière végétale peuvent être utilisés comme engrais organiques. La seconde partie de ces engrais provient de déchets végétaux, comme le compost. Il existe aussi une catégorie d’engrais organiques appelée engrais verts. Ce sont des plantes telles que les orties ou les algues qui sont cultivées dans l’unique but d’être enfouies, permettant d’apporter des minéraux en se décomposant aux autres plantes<ref>Culture intermédiaire. Dictionnaire d'agroécologie. [en ligne] Disponible sur https://dicoagroecologie.fr/encyclopedie/culture-intermediaire/ (consulté de 14.05.2020)</ref>. On appelle cela de la culture intermédiaire. Par exemple, le trèfle ou la luzerne, qui sont des légumineuses, permettent, une fois enfouis, d’enrichir les sols en azote car ils fonctionnent en symbiose avec les bactéries présentes dans le sol. Ces légumineuses captent environ 100 à 300 kg d’azote par hectare. Les plantes à systèmes racinaires importants permettent d’aérer les sols, permettant aux nutriments enfouis de remonter à la surface. Contrairement aux engrais minéraux, les engrais organiques ont comme objectif de développer les micro-organismes du sol qui à leur tour vont apporter des minéraux aux plantes. Les engrais '''organo-minéraux''' sont un mélange d’engrais organiques et minéraux. Ils doivent contenir au minimum 25% de matière organique d’origine animale ou végétale. Ces engrais ont l’avantage d’être un mélange des deux types d’engrais présentés précédemment et d’agir de manière soutenue et douce sur les plantes. === État de la fertilisation === À l’issue de la première révolution agricole, l’industrie est en plein développement et les combinaisons de la '''moto-mécanisation''' (motorisation des engins agricoles), de l'utilisation '''d'engrais chimiques''' et de la '''sélection d’espèces''' tolérant de fortes croissances, ont permis de démultiplier les rendements. L’apport d’engrais chimiques principalement '''NPK (azote, phosphate, potassium)''' permet de supprimer les jachères dans les cultures céréalières. Avec l’augmentation des échanges due à la mondialisation et l’amélioration des rendements, le prix des produits agricoles baisse. Il devient capital pour les agriculteurs de s’assurer des marges suffisantes à leur survie. On assiste alors à une '''spécialisation''' des exploitations. Celles-ci se concentrent sur un type de culture ou d’élevage particulièrement rentable du fait des conditions météorologiques ou bien de la renommée particulière de produits du terroir (comme par exemple certains fromages ou vins) et dont le prix de vente est élevé. Ainsi, de manière générale et dans les exploitations les plus modernes, un agriculteur achète ses semences, ses engrais puis vend sa production. Son bénéfice lui permet de se nourrir en achetant sa nourriture. Ce système est fondamentalement différent des précédents ou un agriculteur produisait de quoi se nourrir et nourrir les siens puis commerçait son surplus de production afin notamment de renouveler son matériel. Les besoins en intrants deviennent donc très spécialisés. Par exemple, un naisseur de bovins qui ne récolte que du foin et achète en complément des granulés de betteraves pour nourrir ses bêtes ne consommera qu'une faible quantité d'intrants chimiques puisque le fumier issu de son troupeau suffira à assurer une production suffisante de foin. Au contraire, un grand producteur céréalier n'ayant aucun troupeau et devant acheter l'intégralité des engrais nécessaires à renouveler la fertilité de ses champs sous formes d'engrais chimiques, en consommera une quantité énorme. Ces nouveaux systèmes agraires '''spécialisés''' et '''mondialisés''' ne permettent plus de définir des notions locales de densité de peuplement puisque la quasi totalité des productions est transformée et exportée (ou bien exportée puis transformée). Il convient cependant de remarquer que les rendements sont tels qu'on arrive à soutenir de très grande populations non-agricoles. === Principaux acteurs de la fertilisation agricole === Le secteur de la fertilisation en France compte trois '''acteurs économiques privés'''<ref>GCL Développement Durable. État, perspectives et enjeux du marché des engrais [en ligne]. 2010. 94p. Disponible sur https://agriculture.gouv.fr/etat-perspectives-et-enjeux-du-marche-des-engrais (consulté le 01.05.2020)</ref> principaux: - Les <u>industriels</u> : Il s'agit des producteurs d’engrais, de l'industrie lourde (liée à la pétrochimie) et de transformation. En Europe, ils sont notamment regroupés dans le syndicat UNIFA. Aujourd’hui, il y a une tendance générale de perte de vitesse pour les industriels des engrais minéraux mais ceux des engrais organiques sont en croissance. Les engrais organiques étant plus chers, on peut dire que la valeur de l'activité globale des engrais augmente. 3 entreprises dominent le marché français : Yara : entreprise norvégienne, leader de la filière en France (5 sites industriels en France) et spécialisée dans la fabrication et la mise sur le marché d'engrais azotés. Yara a gagné en février 2020 le prix Pinocchio 2020, donné par Les Amis de la Terre et la Confédération paysanne pour son greenwashing. Il s'agit, pour l'entreprise, de se donner une image écologique malgré l'impact environnemental réel de ses activités. Yara a dépensé plus de 11 millions d’euros depuis 2010 pour des activités de lobbying à l’échelle européenne. En janvier 2019, l'entreprise conclut un accord avec Veolia pour le recyclage de nutriments issus de déchets urbains, agricoles et industriels afin de les convertir en fertilisants organo-minéraux. <ref>GPN. In Wikipédia [en ligne]. Disponible sur https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=GPN&oldid=166531114. (consulté le 14.05.2020)</ref> GPN : anciennement Grande Paroisse, c'est une entreprise chimique, filiale du groupe Borealis (ancienne filiale de Total). C'est le premier fabricant français d'engrais azotés, depuis l'abandon du marché des engrais composés. Groupe Roullier : notamment à travers sa filiale Timac Agro (10 unités de production en France), spécialisée dans l’amendement des sols, la nutrition végétale et animale. - <u>Les distributeurs</u> : Il s'agit surtout d'entreprises coopératives pratiquant la distribution et le mélange d'engrais<ref>AFCOME. Association Française de Commercialisation et de Mélange d'Engrais [en ligne]. Disponible sur : https://www.afcome.org<nowiki/>(consulté le 24.04.2020)<br /></ref>, même si certains fabriquent leurs engrais composés. Ils sont notamment regroupés dans le syndicat AFCOME. - <u>Les traders :</u> Il s'agit de sociétés de services pour l'importation d’engrais, de revendeurs. Ils permettent de monter des partenariats. AMEROPA ou CMF sont par exemple des traders. De '''nouveaux acteurs issus des métiers de l’environnement et du traitement des eaux''' occupent aussi une place de plus en plus importante. Véolia, Suez mais aussi des syndicats de collectivité proposent des produits finis sous la forme de granulés issus des boues de stations d’épuration. Ces entreprises ont une réelle stratégie de diversification et cherchent des débouchés dans le secteur des engrais organiques. Suez a ainsi 60 usines de compostages et est entrée au capital de Terrial (à hauteur de 32%), filiale du groupe Avril et spécialiste de la valorisation de produits organiques issus des exploitations agricoles. Les '''acteurs politiques''' possèdent un pouvoir important de réglementation dans le secteur des engrais. Il s'agit principalement de l'État Français et de l'Union Européenne. Les '''syndicats agricoles''' regroupent des exploitants agricoles. La Fédération Nationale des Syndicats d’Exploitants Agricoles (FNSEA) est majoritaire<ref>Terre-net. Tous les résultats des élections chambres d'agriculture 2019. Disponible sur : https://www.terre-net.fr/actualite-agricole/politique-syndicalisme/article/tous-les-resultats-officiels-des-elections-des-chambres-d-agriculture-2019-205-145038.html (consulté le 05.05.2020)</ref>(classée à droite, peu impliquée écologiquement). La Confédération agricole est classée à gauche, elle prône davantage le respect de l'environnement. La Coordination rurale semble parfois proche d'extrême-droite, les Jeunes Agriculteurs sont âgés de moins de 35 ans et proches de la FNSEA. L'''es principaux clients''' du marché de la fertilisation sont l’agriculture, l’industrie manufacturière (qui peut aller de la chimie aux explosifs en passant par la métallurgie) et le grand public pour le jardinage personnel par exemple. On s’intéresse ici à l’agriculture, dans le cadre de la fertilisation des sols, qui est largement le plus grand client de ce marché. === De la fin du XIX^è siècle à la fin des guerres mondiales === À la fin du XIX^è siècle, l’industrie prend de plus en plus de place dans la vie quotidienne du monde entier entraînant ce que l'on appelle la '''2^è révolution agricole'''. [[Fichier:Affiche Nitrate Le Gaulois.jpg|vignette|Le Nitrate de Chaux "Le Gaulois" C'est de l'or. 1927]] En France, grâce au succès des expositions universelles de Paris en 1889 et 1890, l’agriculture connaît un '''décollage''' et prend de plus en plus d’importance dans l’économie et la politique. Des '''congrès internationaux''' sont organisés durant cette période de fin du XIX^è siècle pour partager les sciences concernant l’agriculture. La mise en place de '''stations agronomiques''', la première à Nantes en 1852, et des unités d’enseignements permettent de montrer que les politiques changeaient au vu de la place que prenait l’agriculture dans la société. À partir de 1875, les relations entre des pays extérieurs commencent à se créer. La France importe beaucoup de produits fertilisants à des pays d’Amérique du Sud comme le guano ou le salpêtre du Chili. Ces deux ressources, rapportées par les grands cap-horniers de l'époque furent épuisées en quelques décennies. Pendant la Première Guerre Mondiale, des '''centres de recherches''' voient le jour et le procédé Haber-Bosch permet de synthétiser des nitrates à partir de l'azote de l'air. Ce procédé permit à la fois à l'Allemagne de maintenir sa production d'obus durant le conflit (les nitrates servant tant pour les explosifs que pour les engrais) et à la société de promouvoir l’agriculture intensive en capturant de l’azote atmosphérique pour l’utiliser ensuite pour la croissance des plantes<ref name=":5">BIHOUIX, Philippe."L'âge des low tech". Editions du Seuil, collection Anthropocène, 2014.</ref>. Des '''centres de coopérative''' sont mis en place vers 1925. Le journalisme agricole est de plus en plus important et des '''Centres d’Études Techniques Agricoles''' voient le jour. Sur l'affiche ci-contre, le visage heureux d'une agricultrice est mis en valeur par le jaune éclatant du blé en arrière plan. Elle semble très satisfaite de la quantité de ses récoltes. Cette affiche de propagande pour le nitrate de chaux doit être située dans un contexte d''''essor de l'agriculture intensive en engrais, depuis les deux grandes guerres'''. === L'agriculture intensive depuis les deux guerres mondiales === [[Fichier:Prix d'achat et chiffre d'affaire des engrais azotés.png|vignette|329px|Prix d'achat et chiffre d'affaire des engrais simples azotés, selon les données de l'Insee]]Après les guerres mondiales, la consommation d'engrais a explosé. Ceci est dû à l'évolution de l'agriculture cherchant toujours de plus hauts rendements. C'est une période de forte croissance démographique. La France est aujourd'hui le '''7^è consommateur d’engrais mondial'''. Le pays consomme 3,5 millions de tonnes d'éléments fertilisants, soit environ 2% du marché mondial. Ces engrais sont pour 64% minéraux et pour 36% organiques<ref>UNIFA. [en ligne] Disponible sur https://www.unifa.fr<nowiki/>.(consulté le 14.05.2020).</ref> La quasi-totalité des matières premières sont importées, ce qui rend le pays vulnérable face aux variations de prix à l'échelle mondiale. Les '''engrais azotés''' sont les plus communs en France, on peut donc les prendre en référence pour décrire l'évolution de l'activité, tout en gardant à l'esprit qu'il ne s’agit que d’une tendance. Il faudrait considérer aussi les engrais composés, organiques et minéraux phosphatés et potassiques. On remarque un pic du chiffre d’affaire des produits azotés en 2008. On peut lier ce maxima à un pic du prix des engrais, l'activité a pris de la valeur. En 2008, la Chine applique des taxes prohibitives à l’exportation, favorisant la satisfaction de la demande interne et privant le marché mondial de quantités considérables avec pour conséquence une augmentation des prix. Puis, dans les années ultérieures, la crise économique a touché les fabricants d’engrais (comme les autres industries), l’activité a donc chuté puis s’est stabilisée. === Depuis les années 1990's: Une prise de conscience de l'impact environnemental des engrais === ==== Effets environnementaux ==== Les '''<u>effets environnementaux</u>''' sont dus à l’impact des composants chimiques des matières fertilisantes sur l’écosphère. L’utilisation massive d’engrais créée un déséquilibre et les nutriments se retrouvent en excès dans les milieux. '''Milieux aquatiques :'''<ref>UNIFA. Cycles géo-chimiques [en ligne]. Disponible sur :https://fertilisation-edu.fr/cycles-bio-geo-chimiques.html<nowiki/>(consulté le 05.05.2020)</ref> Lorsque les engrais sont épandus en trop grandes quantités comparé aux besoins des plantes et de rétentions de sols, les éléments minéraux sont évacués dans les nappes phréatiques, polluant ainsi l'eau potable<ref>UNIFA. Fiches pratiques de fertilisation. Editions France Agricole, 2017, 199p. ISBN: 978-2-85557-484-4</ref>. De plus, le phosphore et l'azote (présents dans les engrais) constituent deux éléments nutritifs contrôlant la production végétale aquatique. Quand cette production devient trop importante, il se produit un déséquilibre biologique favorisant la prolifération d’algues (aux dépens d’autres espèces). L’eutrophisation des eaux, due à la présence de phosphore et de nitrate en trop grande quantité, favorise la présence d’algues vertes qui libèrent de l’hydrogène sulfuré (risque sanitaire). Ces marées vertes représentent un risque sanitaire par l’émanation d’hydrogène sulfuré (H₂S) par putréfaction des algues. '''Air :'''<ref><nowiki>DAUJAT A, ÉVEILLARD P, HEBERT J et al. ENGRAIS. In : Encyclopædia Universalis [en ligne]. Disponible sur : </nowiki>https://www.universalis.fr/encyclopedie/engrais/ (consulté 05.05. 2020).</ref> Émissions de gaz à effet de serre (NH₃, N₃O, CO₂) dues à la production (37% des émissions de la filière) et l’utilisation d’engrais. L'épandage d'engrais peut entraîner une volatilisation d'ammoniac gazeux et de protoxyde d’azote pouvant entraîner des pluies acides et contribuer à l’eutrophisation des eaux douces<ref name=":9" />. De plus, les engrais inutilisés peuvent se dégrader et émettre des gaz à effet de serre dans l'atmosphère. '''Sols :''' Les pratiques agricoles diminuent la fertilité des sols et par la suite les rendement agricoles, avec la baisse de la valeur nutritive des aliments (effondrement des teneurs en vitamines et en oligoéléments dans nos aliments). Suite aux apports trop importants en nutriments, des déséquilibres nutritifs apparaissent rendant les végétaux plus sensibles aux maladies. L'emploi d'engrais peut entraîner l'acidification des sols, la perte des bases comme le calcium, le magnésium, le fer (tous des ions positifs). Les argiles (colloïdes négatifs) partent alors en suspension dans l’eau de ruissellement; l'eau est plus dense et sa force érosive augmente donc elle emporte les limons, sables, cailloux. En favorisant l'érosion des sols, l'emplois d'engrais favorise la libération de phosphore présent dans les sols. On peut citer l'exemple historique du[[w : Dust Bowl | Dust Bowl]], véritable catastrophe écologique dans les années 1930 aux États-Unis. En effet, durant la Grande Dépression, les agriculteurs locaux augmentent leur production en exploitant plus de terres. Mais, ces sols sont légers et exposés à de forts vents. Cette surexploitation s'ensuit d'une période de sécheresse qui s'accompagne de tempêtes de poussière, entraînant la perte de ces terres arables. Cette catastrophe est également conséquence du sur-labourage<ref name=":5" />. '''Biodiversité :'''<ref name=":2" /> L'accroissement des apports de fertilisants impacte la biodiversité des organismes du sol (liés à leur évolution physico-chimique comme la variation du pH) et celle des organismes liés au statut nutritionnel des plantes. La fertilisation minérale réduit la biomasse microbienne des sols et leur activité ainsi que la diversité bactérienne en modifiant les conditions des milieux (acidité et composition des sols) et en limitant leurs interactions (symbioses...). La fertilisation azotée a favorisé le pouvoir compétitif entre variétés cultivées ainsi que le développement de plantes adventices. Les espèces communes augmentent aux dépens des rares. De cette façon, la fertilisation est l'un des principaux responsables de la baisse de la biodiversité des parcelles proches des cultures. Les apports accrus en fertilisants entraînent la chute de la vie chez la faune épigée et chez les lombrics. Chez les vertébrés, les oiseaux sont touchés via les pluies acides causant leur déclin; l'anoxie due à l'eutrophisation des milieux aquatiques a des conséquences catastrophiques sur les populations de poissons. Les engrais représentent par ailleurs un '''risque sanitaire.''' Les nitrates des engrais sous la forme de nitrites sont dangereux pour la santé (perturbateurs endocrinien, cancérigènes). De plus, l'intensification de l'agriculture, permise par l'utilisation d'engrais, a des effets sur les '''paysages'''. <ref name=":2" /> En Europe, le développement de l’agriculture, le changement d’utilisation des terres, l’augmentation des parcelles, l’intensification et la modification des pratiques agricoles, surtout depuis les années 1950, se sont traduits par d’importantes modifications de la structuration des paysages. Ces transformations se manifestent par une baisse de l’hétérogénéité des paysages entraînant une baisse de la biodiversité. Cette hétérogénéité regroupe généralement la présence d’éléments semi-naturels comme les zones boisées, les bords de champs, les haies ; et le niveau de fragmentation entre habitats particuliers. Elle a un effet positif sur la biodiversité et la présence de zones paysagères non agricoles permet l’augmentation de la biodiversité en servant de refuges aux espèces. La présence d’éléments non productifs dans les parcelles agricoles joue un rôle clé dans la préservation de la diversité animale et végétale. En France, la proportion d’éléments semi-naturels varie significativement selon les territoires en représentant moins de 10% des zones agricoles pour certaines et plus de la moitié pour d’autres. La fragmentation des habitats semi-naturels entraîne une diminution de la richesse des populations animales et le déclin des populations végétales. Le morcellement du paysage (réduction de la taille des parcelles, présence de haie) semble indispensable au maintien d’une forte diversité biologique. ==== Réponses politiques ==== Pour remédier aux problèmes du développement durable et d’une agriculture, d’une fertilisation plus tournées vers l’environnement, des mesures au niveau politique ont été, petit à petit mises en place, avec des normes plus strictes pour le respect des terres et d’une production plus écoresponsable. Au cours de l’histoire, des événements comme '''le protocole de Kyoto de 1997''' ont permis aux pays développés de répondre au prochain problème que doit subir l’agriculture qui est de produire de manière à plus respecter l’environnement. Le but de ce protocole était clair : limiter les émissions de gaz à effet de serre. Pour cela, les pays participants devaient diminuer leurs émissions de gaz à effet de serre de 5,2 % par rapport au niveau de 1990 pendant la première période d’engagement, soit de 2008 à 2012. Mais même avant le protocole de Kyoto, il y a eu de '''nombreux changements politiques'''. Le 12 décembre 1991, '''la directive «nitrates»''', la directive 91 / 676 / CEE, se met en place pour préserver les eaux contre la pollution par les nitrates utilisés par l’agriculture. Il s’agit de l’un des premiers instruments législatifs de l’Union Européenne pour la protection de l’environnement, de l’air et de l’eau. Cette directive explique que le nitrate utilisé dans les fertilisants pollue énormément les eaux, et l’agriculture (avec ces nitrates) est responsable de 50% du rejet d’azote dans l’eau, nocif à fortes concentrations. Appliquée en France en 1994, elle permet de délimiter '''des zones vulnérables'''. Avec cela, la consommation d’engrais azotés a diminué et la production végétale a continué d’augmenter. Donc, les politiques essayent de s’adapter aux problèmes de l'environnement. À l'image de la '''COP 21 à Paris''', les 20 dernières années ont connu un développement progressif des préoccupations en matière de régulation environnementale, surtout au niveau européen. Ces politiques visent en général à obtenir '''une réduction des consommations d'engrais''' des agriculteurs. Celles-ci sont menées actuellement en grande majorité dans les pays développés ayant les moyens de se préoccuper des questions environnementales. D'autres politiques peuvent être menées pour des raisons de '''santé publique'''. C'est le cas pour l'instauration de seuils minimums de cadmium dans les produits phosphatés. Un '''nouveau règlement européen''' pour les fertilisants et les supports de culture a été publié le 8 mai 2019<ref>LE PARLEMENT EUROPEEN ET LE CONSEIL. règlement (UE) 2019/1009 du parlement européen et du conseil du 5 juin 2019 établissant les règles relatives à la mise à disposition sur le marché des fertilisants UE, modifiant les règlements (CE) n° 1069/2009 et (CE) n° 1107/2009 et abrogeant le règlement (CE) n° 2003/2003. Journal officiel. JO L170/1 du 5 juin 2019, pp.1-114.</ref>. Il s'agit d'un règlement qui concerne les règles relatives à la disposition de la mise sur le marché des fertilisants dans l'Union Européenne. Une partie de celui-ci est consacrée au métaux lourds et les pathogènes. Par exemple, les seuils de métaux lourds dans les engrais organiques vont être divisés par deux par rapport aux limites précédentes. Le cadmium sera limité à 1,5 mg/kg et le mercure à 1 mg/kg<ref>Juliette Clément. Un Nouveau Règlement Pour Les Fertilisants Et Les Supports De Culture [En ligne]. Blog. Disponible sur : https://blog.vegenov.com/2019/04/un-nouveau-reglement-europeen-pour-les-fertilisants-et-supports-de-culture/ (Consulté le 25/03/2020)</ref>. Concernant l’Europe, l’espace Schengen étant un espace de libre-circulation comporte évidemment quelques règles réunies dans des règlements. L’objectif principal est de préserver au mieux la santé humaine, animale, des sols et environnementale. Aujourd’hui, c’est le règlement (CE) n°889/2008 sur la fertilisation qui définit les principales modalités concernant le règlement européen sur les productions biologiques. Il a été adopté le 5 septembre 2008 et se base sur un règlement précédant (CE) n°834/2007. Ainsi, en France et dans l’Union Européenne, la fertilisation se base sur '''deux articles''' et une liste de ce règlement. Cette liste comprend les différents produits qui sont autorisés à l'utilisation<ref name=":6">LECLERC B. Rappels réglementaires sur l'utilisation des engrais et amendements organiques en agriculture biologique. Echo-MO,2012,suppl, n°94,pp 1-6.</ref>.<blockquote>''Article 3 du règlement (CE) n° 889/2008''<ref>COMMISSION DES COMMUNAUTES EUROPEENNES. règlement (CE) n° 889/2008 de la commission du 5 septembre 2008 portant modalités d'application du règlement (CE) n° 834/2007 du Conseil relatif à la production biologique et à l'étiquetage des produits biologiques en ce qui concerne la production biologique, l'étiquetage et les contrôles. Journal officiel. JO L250 du 18 septembre 2008, p.13.</ref>'' : Gestion et fertilisation des sols'' ''1. Lorsque les mesures prévues à l’article 12, paragraphe 1, points a), b) et c) du règlement (CE) n°834/2007 (voir ci-dessous) ne permettent pas de couvrir les besoins nutritionnels des végétaux, seuls les engrais et amendements du sol énumérés à l’annexe 1 du présent règlement peuvent être utilisés dans la production biologique, et uniquement suivant les besoins. Les opérateurs conservent des documents justificatifs attestant la nécessité de recourir à ces produits.'' ''Article 12, paragraphe 1, points a), b) et c) du règlement (CE) n° 834/2007''<ref>CONSEIL DE L'UNION EUROPEENNE. règlement (CE) n° 834/2007 du conseil du 28 juin 2007 relatif à la production biologique et à l'étiquetage des produits biologiques et abrogeant le règlement (CEE) n° 2092/91. Journal officiel. JO L189 du 20 juin 2007, p. 14</ref>'':'' ''a) La production végétale biologique a recours à des pratiques de travail du sol et des pratiques culturales qui préservent ou accroissent la matière organique du sol, améliorent la stabilité du sol et sa biodiversité, et empêchent son tassement et son érosion ;'' ''b) La fertilité et l’activité biologique du sol sont préservées et augmentées par la rotation pluriannuelle des cultures, comprenant les légumineuses et d’autres cultures d’engrais verts et par l’épandage d’effluents d’élevage ou de matières organiques, de préférence compostés, provenant de production biologique ;'' ''c) L’utilisation de préparations biodynamiques est autorisée.''</blockquote>L'objectif principal est aujourd'hui encore plus ambitieux qu'il ne l'était en 2008. La nouvelle présidente de la Commission, [[w:Ursula von der Leyen |Ursula von der Leyen]] a présenté en '''décembre 2019''', un plan très prometteur et audacieux pour la transition écologique pour l'Europe. Mais avec la crise du Coronavirus il pourrait être remis à plus tard et s'adapter. De plus, nous pouvons également que ce plan ne fait pas l'unanimité dans tous les pays de l'Union Européenne, notamment pour le groupe de Visegrád, c'est-à-dire 4 pays d'Europe du Centre, la Hongrie, la Pologne, la République tchèque et la Slovaquie. Concernant la mise sur le marché des fertilisants en France, l’article (CE) n°2003/2003 gère la plupart des engrais et des amendements organiques. Suivant les pays, '''les dispositions de mise en marché et leur utilisation sont différentes'''. '''L’étiquetage''' est un point très important pour la commercialisation des fertilisants et leur mise sur le marché. La norme NF U 44-051<ref name=":6" />, obligatoire, impose certaines indications à afficher sur l’étiquette du produit mis sur le marché. Cette '''norme de marquage''' permet notamment de vérifier rapidement si le produit est dangereux pour le sol ou l’environnement. Ainsi, on peut dire qu’il y a une véritable normalisation des produits imposée afin d’instaurer une '''standardisation'''. Cela permet de protéger les acteurs industriels locaux. ==== Répercussions concrètes des politiques menées et opinion publique ==== [[Fichier:Consommation fertilisants en France.jpg|vignette|320px|Consommation de fertilisants en France]] Les mesures prises pour lutter contre les effets négatifs des engrais semblent avoir des '''répercussions concrètes sur la consommation d'engrais'''. À partir des années 1990, on remarque une baisse importante de la consommation d'engrais en France : de 6000 à 3000 milliers de tonnes par an. Il existe une aide financière pour les agriculteurs de la part de l’État. Le but étant de promouvoir le secteur de l’agriculture<ref>Politique agricole commune. In Wikipédia [En ligne] .disponible sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Politique_agricole_commune (consulté le 6/05/2020)</ref>.En 1962, voyant que l’agriculture était un point important dans l’économie, la Communauté Économique Européenne, maintenant Union Européenne décide de mettre en place une '''Politique Agricole Commune''' (PAC). Chaque État-membre doit verser une certaine quantité d’argent dans une cagnotte commune suivant ses besoins qui est ensuite redistribuée à chaque État qui le redistribue aux agriculteurs à 75% (premier pilier) et est réservé au développement durable à '''25%'''. Ce plus petit pourcentage est appelé le '''deuxième pilier''', mis en place en 1992. Cela permet aux agriculteurs de plus se tourner vers une exploitation écoresponsable et permet d’aider financièrement les petites communes de campagnes. Le problème est dans la distribution aux agriculteurs. En effet, les céréaliers profitent plus de cette aide que les éleveurs ou les arboriculteurs. Cette '''distribution inégale''' n'est pas vu de manière juste par les agriculteurs. De plus, de nombreuses contestations de ces derniers montrent qu'ils trouvent que l’État ne les aident pas assez et qu’ils travaillent dans des conditions difficiles. Le '''taux de suicide''' des agriculteurs augmente et est très élevé, ce qui n’attire pas les jeunes à se lancer. La fertilisation, avec l’achat d’engrais, est devenue essentielle pour les agriculteurs s’ils veulent être compétiteurs. Ainsi, cette concurrence a favorisé les grosses entreprises. Les petits agriculteurs ont du mal à rester sur le marché face aux agriculteurs ayant les moyens d’investir dans ces produits. C’est donc difficile de commencer et continuer de vivre de son activité dans ces conditions<ref>Bertrand HERVIEU et François PURSEIGLE , « Pour une sociologie des mondes agricoles dans la globalisation », '''''<nowiki/>'<nowiki/>'''Études rurales'<nowiki/>'' [En ligne], 183 | 2009, pp.177-200. Disponible sur: https://journals.openedition.org/etudesrurales/8999 (consulté le 23 mars 2020)</ref>. L’opinion publique n’a pas une bonne image des produits fertilisants, surtout à cause des problèmes santé qu’ils entraînent à forte dose. Les avantages des fertilisants semblent peu reconnus et les recherches effectuées pour pouvoir produire plus tout en respectant l’environnement ne sont souvent ni partagées ni vulgarisées pour toute la population. Pour les Français, les agriculteurs ne font '''pas assez d’efforts dans la réduction de l’utilisation d’intrants''' comme les engrais ou les pesticides<ref>CHAMBRE D'AGRICULTURE FRANCE. repère socio-économiques sur l'agriculture française [En ligne]. Disponible sur: https://chambres-agriculture.fr/publications/toutes-les-publications/la-publication-en-detail/actualites/reperes-socio-economiques-sur-lagriculture-francaise/ (Consulté le 6/05/2020)</ref>.Deux tiers des Français ne remarquent pas de progrès dans le respect de l’environnement de la part des agriculteurs avec une sur-utilisation des fertilisants pour privilégier la compétitivité. Malgré cette méfiance, la qualité des produits semble convenir à un Français sur deux. Mais ce ratio est bien loin de satisfaire les agriculteurs. Ainsi, la plupart des consommateurs pensent que la production n’est pas assez tournée vers l’environnement du fait de l’utilisation de fertilisants. === Vers de nouvelles manières de fertiliser les sols === ==== La permaculture ==== La permaculture, de l'anglais "Permanent Agriculture", est née à la fin des années 1970 de l’idée de deux Australiens. L’objectif de la permaculture est de concevoir une nouvelle méthode d’agriculture qui s'inspire du fonctionnement des écosystèmes naturels, plus économe et durable, dans le but consolider la reconstitution énergétique et écologique. Elle '''tire profit des interactions bénéfiques dues à des associations entre certaines espèces''' bien déterminées. La permaculture repose également sur les principes essentiels de la '''préservation de la Terre, de l’Homme, du non-gaspillage et de l’équité entre chaque individu'''. Elle respecte le rythme des écosystèmes naturels, s’inspire des savoir-faire de l’agriculture traditionnelle, et se pratique sans intervention chimique ou mécanique. Ce nouveau mouvement est en opposition avec le modèle agricole nord-américain qui constitue une catastrophe écologique et sociale. Cette définition évolua vers une forme de '''design voulant imiter la nature''' qui produit le nécessaire pour pouvoir combler ses besoins : nourriture, matériaux, énergie. L’espace s'organise de façon hiérarchique, les zones les plus proches des logements étant celles qui nécessitent le plus de travail et d’énergie mais aussi celles qui sont constituées de produits les plus nécessaires aux Hommes. La permaculture s'appuie aussi sur l''''agro-foresterie'''. Cette technique permet l’apport en biomasse dans le sol qui va largement couvrir le maintien de fertilité (voire l’améliorer),l’apport de produits variés tant pour les soins, l’artisanat, les animaux d’élevage, l’alimentation ou le chauffage. En fonction des pays, la permaculture peut-être perçue différemment. Dans les pays en développement, par exemple, la permaculture apparaît comme une forme d’émancipation des agricultures familiales. Elle est particulièrement en vogue dans les pays développés, comme en Australie. La permaculture est utilisée comme du low-tech. ==== Agro-écologie ==== Le terme désigne à la fois les théories, les réalités scientifiques et l'ensemble de pratiques agricoles qui appliquent ces principes. Bien que le terme soit utilisé pour la première fois au '''début du XX^è siècle''', l'agro-écologie éclot réellement durant les années 1980. Elle est fortement influencée par différents mouvements écologistes mais se fonde sur un ensemble de connaissances en agriculture, écologie et en agronomie. L'agro-écologie s'est développée sur les terres par les agriculteurs en collaboration avec les chercheurs en agronomie. Elle vise à '''limiter au maximum l'utilisation des intrants chimiques''' pour fertiliser les sols, en les remplaçant par des processus écologiques. L'un de ses objectifs est de viser de '''meilleurs apports nutritifs''' dus à une meilleure qualité, par rapport aux exploitations utilisant massivement des intrants. La dimension idéologique de l'agro-écologie est marquée par une volonté de changer de regard vis-à-vis de la performance des exploitations agricoles. Ainsi, les rendements énergétiques seront privilégiés aux rendements en masse de céréales produites par exemple. La teneur des denrées en différents nutriments est également une caractéristique importante. Cette agriculture se veut régénérative, c'est-à-dire qu'elle vise à augmenter la fertilité des sols, mais aussi la santé de ceux-ci en ménageant la faune qui y est présente, ce qui garantit une certaine qualité du sol<ref name=":4">MOOC concernant l'agroécologie réalisé par Montpellier Supagro : https://www.fun-mooc.fr/courses/course-v1:Agreenium+66001+session05/about, [ en ligne ], (consulté le 12 avril 2020)</ref>. L'agro-écologie regroupe donc un ensemble de pratiques variées. Dans les faits, l'agro-écologie tente de réduire, par exemple, l'utilisation d'herbicides, d'insecticides et de fongicides, produits qui tuent une partie de la biomasse locale et ainsi perturbent le cycle naturel de la vie. La '''méthanisation agricole''' est un processus biologique qui permet de transformer des matières organiques, pour la plupart des déchets organiques, en énergie. Ces déchets sont souvent des déjections animales, ou des substrats de végétaux. Les bactéries présentes dans ces matières organiques permettent leur digestion anaérobie, transformant ces matières organiques en compost ou en biogaz composé de méthane ainsi que de gaz carbonique. Ce biogaz peut être utilisé afin de produire de la chaleur, de l'eau chaude ou de l'électricité.<ref><nowiki>Méthanisation agricole : comment ça marche ? [en ligne] Futura Planète. Disponible sur </nowiki>https://www.futura-sciences.com/planete/questions-reponses/energie-renouvelable-methanisation-agricole-ca-marche-4136/ (consulté le 15.04.2020)</ref> Les '''associations de céréales avec des légumineuse'''s comme par exemple le couple blé-lupin, permettent de tirer profit de l'avantage des deux espèces grâce en partie à leur complémentarité de résistance aux maladies. Cela permet pour les meilleures associations d'obtenir un très bon compromis entre productivité et teneurs alimentaires des récoltes. Les couples les plus efficaces présentent une récolte riche en protéagineux et une maturité conjointe des deux espèces lors de la récolte<ref>METIVIER Thierry, GIRARD Jacques, DELBECQUE David et al. Bilan du programme Reine Mathilde, Chambres d'Agriculture Normandie [ en ligne ]. Disponible sur https://normandie.chambres-agriculture.fr/fileadmin/user_upload/National/FAL_commun/publications/Normandie/ab-rm-synthese-essais-2011-2018.pdf (consulté le 14 avril 2020)</ref>. Le '''bio-contrôle''' est une autre pratique agro-écologique et repose sur la gestion des équilibres des populations d’agresseurs plutôt que sur leur éradication. Les produits de bio-contrôle utilisent des mécanismes naturels dans le cadre de la lutte intégrée contre les ennemis des cultures. Ils comprennent en particulier les macro-organismes et les produits phytopharmaceutiques. Les macro-organismes utiles aux végétaux sont essentiellement des invertébrés, notamment des acariens, insectes et nématodes, utilisés pour protéger les plantes des bio-agresseurs via la lutte biologique. Les produits phytopharmaceutiques sont composés de micro-organismes, de médiateurs chimiques et sont autorisés à l'issue d'une évaluation complète des risques pour la santé humaine, animale et sur l'environnement en étant conforme aux exigences européennes. Ils constituent des outils de prédilection pour la protection intégrée des cultures.<ref><nowiki>Ministère de l'agriculture et de l'alimentation : Qu'est-ce que le biocontrôle ? [ en ligne ]. Disponible sur </nowiki>https://agriculture.gouv.fr/quest-ce-que-le-biocontrole<nowiki/>.(consulté le 12.04.2020)</ref> L'agro-foresterie est aussi une des composantes de l'agro-écologie. Son but est de diversifier les espèces présentes sur les sols exploités en y implantant des arbres. En effet, les arbres jouent un rôle majeur car les feuillus apportent du[[w : Bois raméal fragmenté | Bois raméal fragmenté]] (BRF), source de matière organique pour le sol après sa décomposition. Les arbres protègent également les cultures face à l'érosion éolienne, mais ils préservent aussi les nappes phréatiques, faisant office de filtre pour l'eau qui traverse le sol. L'exemple des haies brise-vent est aujourd'hui très répandu. Si de telles haies sont implantées sur tout le périmètre d'une parcelle, on parle de bocage. [[Fichier:Haies brise vent.png|vignette|Paysage de bocage en France]] D'autres pratiques agro-écologiques tendent à diversifier les assolements : pratiquer une agriculture de conservation des espèces, utiliser les cycles superposés, les cycles à relais, allonger les rotations des cultures ou encore produire des protéines pour alimenter les animaux d'élevage<ref name=":4" />. ==== Agriculture écologiquement intensive et raisonnée ==== L’AEI (Agriculture Écologiquement Intensive) est née lors du Grenelle de l’environnement en 2007. Elle vise à “combiner productivité élevée et vertu environnementale” grâce à une gestion agricole “non plus intensive en produits chimiques, mais qui utilise au mieux le fonctionnement des écosystèmes”<ref>PERVANCHON Franck, BLOUET André, NGUYEN Geneviève et al. Lexique des qualificatifs de l'agriculture. [en ligne] Courrier de l'environnement de l'INRA n°45, février 2002, 19p. Disponible sur http://www7.inra.fr/lecourrier/assets/C45Blouet.pdf (consulté le 15.05.2020)</ref>. Le but n’est pas de renoncer à la productivité. Elle n’exclut pas l’usage des OGM contrairement à l’agriculture biologique. Le but est de trouver un '''équilibre entre productivité, rentabilité économique et respect de l’environnement''' (selon des normes moins strictes que le bio). ==== Agriculture urbaine ==== L'agriculture urbaine regroupe l'ensemble des formes de '''culture faites en ville''', dont les produits sont destinés à la consommation des urbains. Cela va de '''potagers classiques en pleine terre aux fermes high-tech''' en conteneurs ou utilisant des techniques comme l’hydroponie. Cette technique renoue avec la tradition des ceintures nourricières du Moyen Âge qui entouraient les villes. Dans les années 1990, un groupe de “guérilleros du jardinage” aménageait des potagers dans les zones urbaines négligées, sans autorisation. Quand la mairie de Paris a décidé de verdir la ville, ce type d’initiative a été institutionnalisé. Aujourd’hui, l’association La main verte est responsable des ressources des jardins communautaires de la capitale. D’après l’Organisation des Nations Unies pour l’alimentation et l’agriculture (FA0), “les jardins potagers peuvent être jusqu’à 15 fois plus productifs que les exploitations dans les zones rurales, une superficie d’un mètre carré peut fournir 20 kg de nourriture par an”. Cependant, selon Roland Vidal, enseignant-chercheur à l’école nationale supérieure de paysage de Versailles, il faudrait “ {{unité|660000|hectares}} pour nourrir les parisiens et 3 millions d’hectares pour les Franciliens”, soit 6 fois plus que la région Île-de-France en comporte. === Une transition agricole passe par un changement des formations === On remarque l'émergence de nouvelles manières de fertiliser les sols. Pour qu'une réelle transition agricole s'opère, l'enseignement de l'agriculture doit s'adapter. Les centres de formation en agriculture regroupent principalement les '''lycées agricoles''', les maisons familiales en alternance et les chambres d'agriculture. Dans un lycée agricole, la formation peut-être scolaire avec une ferme au sein du lycée ou en apprentissage. L’adaptation de la formation agricole aux nouvelles attentes sociales et au changement climatique n'est pas évidente<ref>France Culture. La formation agricole d'aujourd'hui est-elle adaptée à l'agriculture de demain ?. [émission radio]. Le temps du débat, 2020, 38min. Disponible sur https://www.franceculture.fr/emissions/le-temps-du-debat/la-formation-agricole-daujourdhui-est-elle-adaptee-a-lagriculture-de-demain. (consulté le 24.04.2020)</ref>. Aucun module traitant de transition de l’agriculture n’est obligatoire à l'échelle nationale dans une formation agricole. L’enseignement dépend du ministère de l'agriculture et des structures politiques de chaque région, l'influence politique locale est donc très importante. L’ouverture vers de nouveaux types d’agriculture dépend souvent du professeur ou du maître de stage. Cette liberté peut être vue comme un frein au changement. Mais, cela permet aussi à des établissements de créer des formations alternatives. Par exemple, à Saint-Afrique, le centre de formation "La Cazotte" propose une formation en permaculture à part entière<ref>A Saint-Afrique, La Cazotte montre la voie de la permaculture. Midi Libre. [en ligne]. 2020. Disponible sur https://www.midilibre.fr/2020/03/01/a-saint-affrique-la-cazotte-montre-la-voie-de-la-permaculture,8765999.php. (consulté le 24.04.2020)</ref>. Il existe cependant une personne référente dans chaque établissement pour le plan “enseigner à produire autrement", lancé par le gouvernement en janvier 2020. Il s'agit d'une 2{{Exp|è}} édition, le premier plan ayant eu lieu entre 2014 et 2018. Les deux premiers axes de ce plans sont : "Encourager la parole et l’initiative des apprenants sur les questions des transitions et de l’agro-écologie" et "Mobiliser la communauté éducative pour enseigner l’agro-écologie et poursuivre les transition"<ref>Ministère de l'agriculture et de l'alimentation. Enseigner à produire autrement, pour les transitions et l'agro-écologie. Disponible sur https://chlorofil.fr/fileadmin/user_upload/eapa/epa2-plaquette012020.pdf<nowiki/>(consulté le 14.05.2020)</ref>. Les formations ou stages en permaculture sont de plus en plus nombreux, ce qui reflète la tendance pour ce mode d'agriculture. Il existe par exemple les formations d'Avenir Permaculture ou à la ferme du bec Hellouin. En agronomie, les centres de formation sont les '''écoles d’ingénieurs et laboratoires de recherche'''. En France, la formation s'appuie notamment sur les cinq Écoles Nationales Supérieures Agronomiques avec Montpellier (SupAgro), Nancy (ENSAIA-INPL), Paris (AgroParisTech), Rennes (AgroCampus Ouest) et Toulouse (ENSAT). Claude Bourgignon, ingénieur agronome fervent défenseur d'une agriculture sans engrais, a dénoncé l'absence de chaire de microbiologie des sols en France (même s'il existe des unités de recherche). Lui et sa femme Lydie ont d'ailleurs quitté l'INRA et fondé leur propre laboratoire d'analyse des sols en 1989. === La préservation de la biodiversité === <ref name=":2" />Grâce aux connaissances scientifiques sur les impacts de l’agriculture, des pistes sont envisagées afin de préserver voir restaurer la biodiversité selon les territoires. Le maintien d’éléments semi-naturels dans les paysages variés du bocage breton tout comme la mise en place de nouveaux éléments semi-naturels dans des régions céréalières (la Beauce, la Champagne…) couplés à ceux déjà existants doivent s’accompagner de la réduction des pratiques intensives comme la fertilisation et le labour. Le passage d’un mode de production conventionnel à un mode de production biologique a souvent un effet globalement positif pour la biodiversité et les paysages. La richesse des plantes, des micro-organismes du sol, des vertébrés et des arthropodes augmente, de même que l’abondance des invertébrés prédateurs, alors que les réponses de la faune du sol sont soit positives, soit nulles. Un accompagnement des pratiques non chimiques par une structuration et un maintient d'une hétérogénéité des paysages (création de haies, de zones réservoir) apparaît indispensable à une restauration d’espèces à valeur patrimoniale. == La fertilisation et l'agriculture dans les Arts == === Représentation dans les arts classiques au cours de l'histoire === Les représentations de leur leur quotidien que les différents peuples ont laissé depuis l'Antiquité ont aidé les historiens et ethnologues à comprendre leurs modes de vies. Les peintures sur des objets du quotidien, fresques, et autres représentations sont autant d'indices qui permettent de comprendre quel était l'état de l'agriculture dans une civilisation et comment elle était perçue. ==== Peinture et iconographie ==== [[Fichier:Crescenzi_calendar.jpg|vignette|Calendrier agricole du XVe siècle]] Les premières informations qui nous sont parvenues avant que les premiers systèmes d'écriture cunéiforme et hiéroglyphiques n'apparaissent en Mésopotamie étaient des dessins et peintures (on peut penser facilement aux peintures rupestres que les hommes préhistoriques dessinaient dans les cavernes qui les abritaient, représentant des scènes de chasse ou des animaux par exemple). Des civilisations Égyptienne, Grecque et Romaine (les 3 plus grands empires occidentaux), on a retrouvé beaucoup de peintures, et fresques, mettant en image des scènes de la vie quotidienne, dont les agriculteurs au travail, et des scènes de culture et de récoltes. Cela allait des fresques dans les temples, jusqu'aux poteries en terre cuite qui étaient peintes.[[Fichier:Jean-François_Millet_-_Gleaners_-_Google_Art_Project_2.jpg|vignette|Jean-François Millet - Des Glaneuses]] Au Moyen Âge, les calendriers agricoles étaient monnaie courante, et illustraient les différentes activités agricoles au cours de l'année. Ces calendriers ont été très utiles aux historiens pour connaître précisément quelles techniques et outils étaient en place à l'époque. Les peintures moyenâgeuses sont reconnaissables assez facilement par leur couleur et la perspective faible qu'on y rencontre. Dans les siècles suivant, le principale foyer d'information sur l'état des techniques d'agriculture réside dans ''l'Encyclopédie'' des philosophes des Lumières menés par Diderot et d'Alembert, qui recensent et décrivent les outils, méthodes employées par les paysans, que les nombreuses planches illustrées nous aident à tout connaître sur les moyens de l'époque. Il faut attendre le XIX^è siècle pour le mouvement naturaliste pour que les peintres représentent vraiment les scènes du quotidien du peuple, dont les activités agricoles. Comme le mouvement littéraire, cet élan se veut représenter la société telle qu'elle est réellement, sans ne représenter que ses richesse et cacher la misère. L'un des tableaux les plus célèbres et des plus représentatifs que l'on puisse citer est ''Des Glaneuses'' de Jean-François Millet. Il met en scène trois femmes venues glaner, c'est-à-dire ramasser les grains tombés au sol, après que la moisson ait été effectuée. De telles représentations auraient été impensables ne serait-ce qu'un siècle plutôt. ==== Sculpture et Architecture ==== [[Fichier:Tempel_der_Demeter_(Gyroulas)_18.jpg|vignette|Temple de Déméter à Naxos]] Les principales œuvres sculpturales et architecturales en lien avec l'agriculture sont les statues et les temples bâtis par les peuples croyants polythéistes en l'honneur des dieux qu'ils vénéraient pour qu'ils bénissent les récoltes et épargnent les peuples des familles. Les Grecs et les Romains particulièrement ont bâti de nombreux temples en l'honneur des déesses agricoles de la fertilité Déméter et Cérès (respectivement), dont de nombreux vestiges subsistent encore. Ces temples où des prêtresses (les vestales) vénéraient les dieux étaient également l'endroit où se déroulaient les grandes fêtes rassemblant les citoyens, et parfois même, dans le cas des fêtes agricoles, les esclaves qui étaient conviés pour l'occasion. Les colonnes notamment sont typiques de leur architecture. Des bas reliefs étaient minutieusement sculptés, représentants des scènes entières. Les statues en marbre blanc sont également caractéristiques. Les Romains et les Grecs avaient l'habitude de les ériger en l'honneur de leurs dieux. Elles étaient sculptées avec une très grande précision qui transcrivant le mouvement dans les draperies, les cheveux, etc... D'autres édifices remarquables sont les pyramides à degré bâties par les civilisations méso-américaines, qui étaient des sanctuaires dédiés au culte d'un de leurs dieux. Les pyramides des Égyptiens, en revanche servaient de tombeaux aux pharaons, et n'étaient pas dédiées au culte de la fertilité des récoltes. ==== Littérature ==== Suivant le point de vue des différentes société sur l'agriculture, celle-ci pouvait constituer un sujet littéraire ou pas. Les Égyptiens, qui considéraient qui les paysans se situaient en bas de l'échelle sociale lui accordaient par exemple beaucoup moins de crédit que les Grecs, qui furent émerveillés en voyant les techniques de culture, d'irrigation, et de gestion de l'eau que les agriculteurs égyptiens avaient mis en place sur les bords du Nil, comme ils l'ont rapporté dans leur écrits. L'agriculture avaient d'ailleurs une place plus importante dans la mythologie grecque, et la culture de la vigne, qui permettait de produire le vin, y sont sans doutes pour beaucoup. Jusqu'au XVI^è siècle, et depuis le milieu du Moyen Âge, où l'agriculture représentait le quotidien d'une grande partie de la population, il existait une véritable littérature agricole<ref>{{Article|prénom1=Corinne|nom1=Beutler|titre=Un chapitre de la sensibilité collective : la littérature agricole en Europe continentale au XVI^è siècle|périodique=Annales|volume=28|numéro=5|date=1973|doi=10.3406/ahess.1973.293420|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/ahess_0395-2649_1973_num_28_5_293420|consulté le=2020-05-15|pages=1280–1301}}</ref>, qui comprenait non seulement des traités et livres d'enseignement agricoles, mais aussi des dissertations, des poèmes et essais. L’Église catholique, qui détenait un pouvoir culturel important, a également joué un rôle puisqu'elle a investi pour le développement agricole dans les campagne et le défrichement de forêts, et elle était un vecteur important de diffusion. Passé le Moyen Âge, la donne a quelque peu changé, et l'intérêt porté par la littérature à l'agriculture était relativement faible tandis que le théâtre et la poésie on connu un véritable essor au cœur du XVII^è. Il faut attendre la fin du XIX^è siècle, et l'arrivée des mouvements réaliste puis naturaliste, pour que les auteurs se penchent à nouveau sur la vie de la population, et d'autant plus rurale, pour dépeindre la société telle qu'elle est. On peut citer notamment Emile Zola, qui dans le roman ''La Terre'', quinzième ouvrage de la série des Rougon-Macquart, qui nous livre un véritable témoignage précis des techniques d’amendement agraire et de l’intérêt porté à l’innovation dans ce domaine, en cette fin de XIX^è siècle<ref>{{Lien web|titre=Service d'authentification centralisée|url=https://login.insa-lyon.fr/cas/login?service=https%3a%2f%2flogin.docelec.insa-lyon.fr%2flogin%3fqurl%3dezp.2aHR0cHM6Ly93d3cuY2Fpcm4uaW5mby9yZXZ1ZS1oaXN0b2lyZS1ldC1zb2NpZXRlcy1ydXJhbGVzLTIwMTItMi1wYWdlLTExLmh0bQ--|site=login.insa-lyon.fr|consulté le=2020-05-15}}</ref>. Il y décrit par exemple les hommes en action en train d’étendre à la fourche les tas « déposés là l’autre semaine ». Zola note également une certaine méfiance des agriculteurs beaucerons vis-à-vis des engrais chimiques dont l’emploi tend à se développer à la fin du XIX^è siècle. Pour le paysan beauceron, « il n’y a encore rien qui vaille le fumier de ferme. Seulement, on n’en a jamais assez. Et puis on l’abîme, on ne sait ni le préparer, ni l’employer ». Cette phase de préparation du fumier, essentielle, semble être une pratique perdue à la fin du XIX^è siècle, bien que les infrastructures existent encore, notamment ces fosses de préparation du fumier attestées depuis le Moyen Âge. Zola décrit donc en détail la chaîne opératoire de mise en œuvre de l’amendement agraire depuis la ferme jusqu’au champ, et apporte un témoignage précieux sur le caractère déterminant de la qualité des amendements, comme un caractère obsessionnel du paysan beauceron. === L'art face à la société === À travers le prisme de leur création, les artistes ne font jamais que le beau, mais dépeignent tout le temps une idée, un message à transmettre. Les œuvres sont toujours porteuse d'un point de vue, ou d'un objectif. La critique n'est pas forcément négative ; les statues en marbre des dieux gréco-romains par exemple servaient à montrer leur grandeur. À partir du XIXe siècle et du mouvement naturaliste, les représentations de l'agriculture par les artistes apportent un regard plus critique, non pas sur le milieu agricole en tant que tel, mais plus globalement, sa place dans la société, la difficulté de ses conditions, etc. Dans ''Des Glaneuses'' cité précédemment, on voit apparaître la pauvreté dans le milieu rural, ces trois femmes s'arc-boutant toute la journée sous le soleil afin de ramasser les grains tombés pour subsister à leurs besoins. Au XXe siècle avec la mondialisation, l'augmentation des échanges et des transferts d'informations, la parole des artistes, excepté dans certains pays où les droits de l'homme ne sont pas forcément au goût des dirigeants, s'est d'autant plus libérée et peut avoir un impact plus retentissant, à plus grande échelle. Le développement du cinéma offre une nouvelle arme pour porter un regard sur la société, et peut poser une critique très forte sur les injustices du monde. Dans ''[[w:Au_nom_de_la_terre|Au nom de la Terre]],'' Edouard Bergeron traite de la dégradation des conditions de vie des agriculteurs, dont le nombre de suicides ne fait qu'augmenter, un réalité tragique dans la société actuelle. Dans ''Dark Waters'' sorti en 2020, c'est le pouvoir des compagnies et des lobbys au dessus des lois qui est pointé du doigt, en retraçant l'histoire vrai de l'avocat Robert Bilott qui s'est battu pour faire payer les empoisonnements réalisés par la pollution de l'entreprise de chimie DuPont. De plus en plus, les artistes se lèvent pour mettre en garde dans la domaine de l'agriculture contre la dangerosité de certains pesticides et herbicides, dont l'utilisation fait débat (notamment la législation sur le glyphosate qui est contestée en Europe), ainsi que face à la déforestation, et le changement climatique. La question du futur, également les interpelle. Comment envisager l'avenir, et la question primordiale de l'agriculture, qui doit nourrir toujours croissant d'individu avec une surface cultivable qui connaîtra un jour ses limites ? De nombreux romans et films de science fiction traitent du sujet. Dans ''Interstellar'', réalisé par Christopher Nolan, l'humanité est condamnée à chercher un autre endroit pour vivre car la Terre ne permet plus de cultiver convenablement, et les maladies s'attaquent au céréales dont les rendements faiblissent, le gouvernement réquisitionnant les ingénieurs comme agriculteurs pour nourrir tant bien que mal l'humanité en attendant de trouver une nouvelle maison.<br /> == La fertilisation et l'agriculture dans la mythologie == Dans de nombreuses civilisations croyantes polythéistes, l'abondance des récoltes était due à la bonté des dieux, auxquels un culte important était voué à travers la construction de temples et sanctuaires, et les récoltes faibles, maladies et famines étaient souvent considérées comme marque de leur colère. === Osiris et la mythologie Égyptienne === Dans l’[[w:Egypte_antique|Égypte Antique]], où l’agriculture était en grande partie dépendante des crues du [[w:Nil|Nil]] et de l’irrigation, son art est attribué au dieu Osiris, qui l’a transmis aux hommes durant son règne bienfaisant sur l’Égypte. [[Fichier:Egyptian_harvest.jpg|alt=|vignette|Les récoltes du blé dans la plaine du Nil, peinture tombale]] [[w:Osiris|Osiris]] est le fils de [[w:Nout|Nout]], la déesse du Ciel, et de son frère [[w:Geb|Geb]], dieu de la Terre. Il naquit le premier des 5 jours gagnés par [[w:Thot|Thot]] suivant les 360 jours créés par [[w:Rê|Rê]], précédant les jours suivants ses frères et sœurs Horus l’Ancien, Seth, Isis et Nepthys, Rê refusant que Nout n’accouche durant les jours l’année. Il régna de façon bienfaisante sur l’Égypte avec sa sœur et épouse [[w:Isis|Isis]], leur apprenant l’agriculture et la religion tandis qu’Isis leur appris le tissage et la médecine. Son règne pris fin brusquement avec son assassinat lors d’un complot organisé par son frère [[w:Seth|Seth]], qui l’enferma dans un coffre et le fit jeter dans le Nil. Furieux d’apprendre que le corps d’Osiris fut repêché, il le découpa en 14 morceaux qu’il éparpilla à travers l’Égypte. Isis, avec l’aide de sa sœur Nepthys, ainsi que, de Thot et Anubis, les retrouva tous, à l’exception de son sexe, mangé par un poisson. Elle l’embauma et, grâce à ses pouvoirs magiques, lui rendit la vie. Osiris règne alors sur le royaume des morts, et acquiert un statut de juge des âmes des défunts. Noyé dans le Nil avant de renaître, Osiris est associé au fleuve, dont le cycle des crues représente la renaissance du dieu après sa mort, et qui apporte le limon nécessaire à la fertilisation des terres cultivées lors de la crue annuelle. Le blé, fertilisé par le Nil avant d’être fauché et de repousser l’année suivante, est une allégorie de la vie d’Osiris. Les reliques du corps d’Osiris ont été conservées dans des temples à Abydos, principal lieu du culte d’Osiris. C’est également de là que viennent les festivités du mois de Khoïak, pendant lesquelles les prêtre confectionnaient une momie de terre dans laquelle ils plaçaient des grains de blé qui se mettaient à germer, symbole de la renaissance d’Osiris et des moissons.<br /> === Mythologie Grecque - Le mythe de Déméter === Dans la mythologie grecque, [[w:Déméter|Déméter]], dont le nom signifie “la Mère de la Terre”, est la déesse de l’agriculture est des moissons. Elle est la sœur de Zeus, Héra, Poséidon, Hadès et Hestia, les enfants des titans Cronos et Rhéa. Les Romains l’assimilent à la déesse [[w:Cérès_(mythologie)#Représentations,_statues,_emblèmes…|Cérès]]. [[File:NAMA Triade éleusinienne.jpg|thumb|Déméter, Triptolème et Perséphone, quand la déesse appris au fils de Céléos l'art de l'agriculture|alt=]] La légende raconte<ref>Agnès Vinas. Hymne homérique à Déméter. ''Traduit par Leconte de Lisle'' [en ligne]. Disponible sur https://mediterranees.net/mythes/hymnes/hymne33.html. (consulté le 07.05.2020)</ref> que sa fille, [[w:Perséphone|Perséphone]] (Proserpine chez les Romains), qu’elle avait eu avec Zeus, fut enlevée par Hadès, qui l’emmena avec lui dans le royaume des morts pour en faire son épouse. La déesse se mit alors en quête de sa fille, sous la forme d’une vieille femme nommée Doso, délaissant les récoltes et l’agriculture durant 9 jours et 9 nuit. Zeus, devant la menace d’une famine, et sachant que Perséphone avait été enlevée son frère, envoya son messager Hermès demander à Hadès de rendre Perséphone à sa mère. Mais celle-ci avait mangé 6 pépins d’une grenade qu’Hadès lui avait offerte afin de l’empêcher de le quitter, car quand quelqu’un mange dans le royaume des morts, il ne peut plus en partir. Afin de ménager Hadès et Déméter, Zeus décida que Perséphone passerait 6 mois avec Hadès, et remonterait retrouver sa mère les 6 autres mois de l’année. C’est ainsi que le cycle des saisons débuta, Déméter garantissant la fertilité et les récoltes à la belle saison, et sa tristesse en l’absence de sa fille durant l’hiver laissant le froid s’installer. Durant son errance sous la forme de la vieille Doso pendant la quête de sa fille, Déméter fut accueillie par Céléos, roi d’Eulésis. Pour le remercier, elle enseigna à son fils Triptolème l’art de l’agriculture, qu’il devait transmettre au reste des hommes, et lui donna des grains de blé afin qu’il les répande sur la Terre. Déméter est l’une des déesses les plus favorables aux les hommes, d’une grande clémence, et leur permet de prospérer sur la Terre. Elle aurait notamment récompensé Hériax, un homme du pays des Mariandynes (en actuelle Turquie) de lui avoir érigé de nombreux temples par de grandes récoltes. Beaucoup de temples et de sanctuaire en l’honneur de Déméter étaient également présents dans la région de l’Hellade et d’Olbia. Des sacrifices, la plupart du temps non sanglants, lui étaient voués, et les hommes déposaient devant les statues à l’effigie de la déesse des fruits, des grains de raisin, du miel et de la laine de mouton<ref>{{Article|prénom1=A.-S.|nom1=Roussiaeva|titre=Les cultes agraires à Olbia Pontique|périodique=Dialogues d'histoire ancienne|volume=9|numéro=1|date=1983|doi=10.3406/dha.1983.1604|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/dha_0755-7256_1983_num_9_1_1604|consulté le=2020-05-07|pages=185–195}}</ref>. Le culte de Déméter était l’un des plus importants, et de nombreuses fêtes en son honneur étaient organisées à travers la Grèce Antique, dont les plus anciennes sont les Eleusinies, qui prenaient place à Eulésis, où Céléos avait accueilli Doso. Le prix était des grains de blé venant de la plaine où Triptolème avait semé ceux que Déméter lui avait donné, ainsi le gagnant remportait une nourriture sacrée. Déméter est le plus souvent représentée une gerbe de blé à la main, et d’autres produits de la Terre, pour symboliser la fertilité. Souvent on la voit accompagnée de ses animaux sacrés, la couleuvre et la truie. === Cérès chez les Romains === Dans la mythologie Romaine, [[w:Cérès_(mythologie)#Représentations,_statues,_emblèmes…|Cérès]] est la déesse de l'agriculture, des moissons et de la fertilité. On l'assimile à la déesse Grecque Déméter ; c'est la fille des Titans Rhéa et Saturne, sœur de Jupiter, roi des dieux et père de la fille Proserpine, assimilée à Perséphone, enlevée par Pluton, roi des Enfers. Tout comme Déméter, elle est la déesse des moissons, de la fertilité et de l'agriculture ; c'est elle qui appris aux hommes à cultiver la terre, et en récolter les denrées. Elle apparaît souvent coiffée d'une couronne de blé, et vêtue de draps jaune or. Tout comme les Grecs, les Romains célébraient Cérès pour qu'elle bénisse les récoltes et écarte les famines. Des fêtes lui étaient dédiées, les plus importantes étant les ''Cerealia,'' qui prenaient date annuellement du 12 au 19 avril, marquant le retour de Proserpine sur Terre auprès de sa mère, et ainsi le début de la belle saison. On retrouvait également lors de ces fêtes des sacrifices non sanglants (comme lors des rites en l'honneur de Déméter), des jeux, courses de chevaux... L'une des particularité de ces fêtes est qu'elles rassemblaient également la plèbe qui n'était d'ordinaire pas conviée aux cérémonies des familles patriciennes<ref>Boyancé Pierre. Le culte de Cérès à Rome. In: Etudes sur la religion romaine. Rome : École Française de Rome, 1972. pp. 53-63. (''Publications de l'École française de Rome'', 11)</ref>. === Religions polythéistes mésoaméricaines === Bien qu'un grand nombre de cultures cohabitaient dans la Mésoamérique précolombienne sans qu'on ne puisse parlait d'une réelle unité religieuse, de nombreux points communs, dans leur conception du monde (où la terre est plate et carrée, chacun de ses coins représentant un point cardinal), leurs pensée dualiste, leurs rites, leur architecture et bien d'autres aspects sont notables. Ces civilisations étaient basées sur la culture du maïs, et consacraient de nombreux pour assurer la pérennité de ses récoltes. Aujourd'hui, certaines civilisations sont assez bien référencées grâce aux [[w:Codex_maya|codex]] qui nous sont parvenus et qui ont été déchiffrés. ==== Mayas ==== [[Fichier:El_Castillo_Stitch_2008_Edit_1.jpg|vignette|La [[w:Pyramide_de_Kukulcán|Pyramide de Kukulcán]], en l'honneur du dieu serpent à plumes]] La civilisation Maya est l'une des mieux connues même si tous ses mystères n'ont pas été percés. Les Mayas constituaient à l'époque précolombienne l'un des principaux groupes culturel mésoaméricain, établi du sud du Mexique jusqu'aux territoires de Belize, du Honduras et du Guatemala principalement. Toutefois, ils rassemblaient différents peuples séparés sans organisation hiérarchique globale comparables aux empires Aztèque ou Inca. Néanmoins, tous ces groupes partageaient un système d'écriture logosyllabique, qui a permis aux archéologues de déchiffrer leurs écrits. Ils sont principalement connus dans le monde pour les pyramides qu'ils ont érigé, dont de nombreuses sont encore aujourd'hui en excellent état, comme la [[w:Pyramide_de_Kukulcán|Pyramide de Kukulcán]], de la cité de Chichén Itza, l'un des principaux foyers des vestiges archéologiques de l'époque Maya, situé dans la péninsule du Yucatán. Ces [[w:Pyramide_à_degrés|pyramides à degrés]] (en forme d'escaliers géants) étaient voués aux cultes des principales divinités de la religion Maya. Lors des rituels, de nombreux sacrifices sanglants étaient effectués. Des prisonniers de guerre principalement et des esclaves étaient sacrifiés parfois par centaines, dans des circonstances particulières suivant pour quel dieu ils étaient destinés. Le mot ''maya'' signifie "maïs" ; cela illustre à quel point son agriculture était importante pour la civilisation maya, ainsi que pour tous les peuples mésoaméricain pour qui il représentaient la principale denrée cultivable. Ah Mun est le dieu maya de l'agriculture (souvent confondu à tort avec Yum Kaax, qui est le dieu de la végétation et des animaux sauvages). Il est souvent représenté coiffé d'un épi de maïs, dont il est responsable de la bonne maturité des récoltes. ==== Aztèques ==== [[Fichier:CodexBorbonicus.JPG|vignette|Le dieu Xipe Totec représenté avec ses attributs dans le Codex Borbonicus]] Avec les Mayas, les Aztèques étaient l'une des plus grandes et des plus plus connues aujourd'hui des civilisation précolombiennes mésoaméricaines. Leur territoire s'étendait sur une large partie du plateau mexicain autour de la capitale Mexico-Tenochtiltan, construite sur une île du lac Texcoco. Avec leur triple alliance organisée avec les Acolhuas et les Tépanèques, ils régnaient sur le plus vaste empire mésoaméricain au XVe siècle, souvent appelé Empire Aztèque ou Empire Mexica (les Mexicas étant un autre nom des Aztèques). Son règne prit fin après l'invasion des conquistadors d'Hernan Cortès débarqués en 1519, qui s'allièrent avec les ennemis des Aztèques et assiégèrent en 1521 la capitale Tenochtitlan, qui céda au bout de 75 jours, ce qui marqua la fin de l'Empire et la conquête du Mexique par les colons. <br /> Comme les Mayas et tous les autres peuples précolombiens du Mexique, les Aztèques vénéraient un très grand nombre de dieu, qui revêtaient souvent plusieurs formes différentes, ce qui contribue à élargir davantage encore leur panthéon. Au cœur de celui-ci, comme pour beaucoup de religions mésoaméricaines, le dieu Serpent à plumes, Quetzacoatl (Kukulcan chez les Mayas). Il aurait participé à la création des hommes, et ce serait notamment lui qui aurait ramené aux hommes les premiers grains de maïs du mont Tonacatepetl. Commes chez les mayas, le maïs représente la base de l'alimentation aztèque. Plusieurs autres divinités interviennent dans l'agriculture : parmi elles, on peut citer notamment Centeotl, divinité du maïs, Xipe Totec, dieu du renouveau de la nature et de l'agriculture, ou encore Tlaloc, dieu de la pluie nécessaire aux cultures. Lors des cultes de ces divinités, là encore de nombreux sacrifices humains étaient effectués. ==== Incas ==== La civilisation Inca n'était pas mésoaméricaine à proprement parler mais andine, puisqu'elle a régné sur un des plus grands empires sud-américain, de la Colombie jusqu'au Chili en passant par la Bolivie, l’Équateur et le Pérou, du XIVe siècle jusqu'à sa conquête par les conquistadors de Pizarro à partir de 1532. Si la plupart des éléments témoignant de la culture inca ont été détruits par les envahisseurs qui voulaient imposer leur religion, les vestiges archéologiques, l'iconographie et les témoignages et légendes des autochtones ont permi de reconstruire des informations sur leurs croyances et leur mode de vie. Une particularité culturelle au sein de leur empire est que les Incas n'ont pas imposé, à part le culte du Soleil, iconique de leur communauté (les empereurs Incas se considéraient comme les fils du Soleil), de religion au peuples qu'ils conquéraient, pacifiquement ou par la force, et qui pouvaient ainsi conserver leurs traditions, ce qui fait que des peuples de l'empire vénéraient parfois ds dieux différents, et parfois certains étaient similaires. On a ainsi observé un royaume multiculturel varié., ''Mama Sara'', déesse du maïs qui était très cultivé dans ces régions, De nombreuses divinités recensées étaient donc affiliées à l'agriculture, parmi lesquelles nous pouvons citer notamment ''Mama Pacha'', déesse de la fertilité et des récoltes, ''Axomama'', déesse de la pomme de terre (que les Incas cultivaient dans les hauteurs andines et réussissaient à conserver grâce à un processus d'écrasage, déshydratation et exposition au gel<ref name=":8" />), et bien sûr ''Viracocha'', dieu universel qui créa du Soleil, des étoiles et des hommes, pouvant être assimilé sur certain points à Quetzalcoatl chez les Aztèques. === L'agriculture dans la mythologie chinoise === Dans la mythologie chinoise, dont les principaux écrits sont datés de l'époque de la dynastie Han, c'est Shennong, un des trois Augustes (dieux civilisateurs mythiques qui régnaient sur la Chine avant la première dynastie)[https://www.universalis.fr/encyclopedie/shennong-chen-nong/] qui aurait initié les hommes à l'agriculture, en leur apprenant à cultiver le riz, et en inventant les outils du travail des champs tels que la houe et l'araire. On lui attribue également la découverte de nombreuses plantes médicinales et du thé et, qui tiennent un rôle prépondérant dans la culture chinoise à l'époque, bien plus que dans les civilisations européennes, ainsi que l'invention de la monnaie et des marchés nécessaires au commerce des denrées. Il est considéré comme les patron des agriculteurs, ainsi que des herboristes et pharmaciens, et un véritable culte lui était voué, grandissant sous la dynastie des Song et atteignant sous paroxysme sous les Qing qui ordonnèrent la construction du temples officiels pour y célébrer une fête en son honneur chaque année.<ref>SCHIPPERS Kristofer. SHENNONG [CHEN-NONG]. In Encyclopædia Universalis [en ligne]. Disponible sur https://www.universalis.fr/encyclopedie/shennong-chen-nong/<nowiki/>.(consulté le 14.05.2020)</ref> == Auteurs == Ce bilan des recherches pour le projet PAradigme Sociétés TECHnologies sur le thème de la fertilisation agricole dans le cadre du P2i-4 "L'énergie sous toutes ses formes" de l'INSA de Lyon, année 2019-2020 a été rédigé et mis en forme par Beldent Lucile, Chidoub Rita, Crabé Thibaud, Lalune-Rochas Antoine, Lenoël Mathilde, Rochard Ewan, Soufflet Caroline, Turban Matthieu, Vacherot Lucas. == Sources == sz5fe0abkr3aoxzsik6azlei9dqkjiz 10 78798 982265 958826 2026-04-28T22:55:27Z Fourmidable 50100 982265 wikitext text/x-wiki __NOEDITSECTION____NOTOC__ Changer de patron : {{Patrons}} <div style="display:table; width: 100%;"> <div style="background:#F0F0F0; display:table-cell; padding:1em 2em; vertical-align:middle; font-family:Arial; font-size: 1.2em;"> <strong style="font-size:1.4em;color:#36B;">Vous allez créer la page d'accueil d'une leçon.</strong> Renseignez les champs du code ci-dessous en remplaçant les commentaires (<code><nowiki><!-- formatés comme ceci --></nowiki></code>) par les données que vous souhaitez voir apparaître. <u>Seuls les paramètres {{Info|« idfaculté »|Nom de la faculté concernée, en minuscules : par exemple, "mathématiques". 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Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx) ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> a5tjaqovxla36ytolmc3gnm7nbc4aev 982253 982252 2026-04-28T13:06:34Z Cdang 1070 /* La colonne d'air */ rôle de lalangue 982253 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> a7pm2t2lw3v7gwqpt6u5v3demz3n0oz 982254 982253 2026-04-28T13:16:14Z Cdang 1070 /* Recherche du vibrato */ 982254 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. Ce travail intervient habituellement assez tardivement, après 8 à 10 années d'études (3{{e}} cycle en France). Pour le hautboïste Juan Mari Ruiz, ce vibrato provient d'un placement de la langue dans la gorge. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> k43qepkkawu7jbosnwfi43zhauy2n6z 982257 982254 2026-04-28T13:45:44Z Cdang 1070 /* Recherche du vibrato */ exercices 982257 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. Ce travail intervient habituellement assez tardivement, après 8 à 10 années d'études (3{{e}} cycle en France). Pour le hautboïste Juan Mari Ruiz, ce vibrato provient d'un placement de la langue dans la gorge. Pour certain·es hautboïstes, le vibrato va venir naturellement avec la recherche de tension-détente : on crée une tension dans la colonne d'air pour faire sonner la note, puis on se détend en la laissant sonner. Mais pour d'autre pratiquant·es, cela peut prendre du temps à se mettre en place. Juan Mari Ruiz propose de travailler de la manière suivante<ref>{{lien web |url=https://juanmariruiz.com/2020/04/21/notes-techniques-xiv-le-vibrato-ii-premiers-exercices/ |auteur=Juan Mari Ruiz |titre=Notes techniques XIV. Le vibrato II. Premiers exercices |site=Juan Mari Ruiz |date=2020-04-21 |consulté le=2026-04-27}}</ref> : * avec l'anche seule : ** placer sa langue comme pour prononcer le son « é » et souffler ; ** puis recommencer, mais en changeant le son : « eee-i-é-i-ééé » ; ** placer sa langue comme pour prononcer le son « ô » et souffler ; ** puis recommencer, mais en changeant le son : « ôôô-é-ô-é-ôôô ». == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> hjxblwcil88uehpracx2w23394tbdxm 982258 982257 2026-04-28T13:46:28Z Cdang 1070 /* Recherche du vibrato */ 982258 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. Ce travail intervient habituellement assez tardivement, après 8 à 10 années d'études (3{{e}} cycle en France). Pour le hautboïste Juan Mari Ruiz, ce vibrato provient d'un placement de la langue dans la gorge. Pour certain·es hautboïstes, le vibrato va venir naturellement avec la recherche de tension-détente : on crée une tension dans la colonne d'air pour faire sonner la note, puis on se détend en la laissant sonner. Mais pour d'autre pratiquant·es, cela peut prendre du temps à se mettre en place. Juan Mari Ruiz propose de travailler de la manière suivante<ref>{{lien web |url=https://juanmariruiz.com/2020/04/21/notes-techniques-xiv-le-vibrato-ii-premiers-exercices/ |auteur=Juan Mari Ruiz |titre=Notes techniques XIV. Le vibrato II. Premiers exercices |site=Juan Mari Ruiz |date=2020-04-21 |consulté le=2026-04-27}}</ref> : * avec l'anche seule : ** placer sa langue comme pour prononcer le son « é » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « eee-i-é-i-ééé », ** placer sa langue comme pour prononcer le son « ô » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « ôôô-é-ô-é-ôôô » ; * refaire ce travail avec le hautbois. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 2n1dyl06b2j0c80pv9l1s00fbgbd27v 982259 982258 2026-04-28T14:17:54Z Cdang 1070 /* Recherche du vibrato */ 982259 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. Ce travail intervient habituellement assez tardivement, après 8 à 10 années d'études (3{{e}} cycle en France). Pour le hautboïste Juan Mari Ruiz, ce vibrato provient d'un placement de la langue dans la gorge. On pourra par exemple regarder les mouvements des muscles de la gorge de François Leleux dans son interprétation du ''concerto pour hautbois'' de Haydn en ''ut'' majeur (Hob VIIg:C1), à 1 min 55 https://youtube.com/lE24eN-39T4?si=Z5ujQLuEiJ6g8kvL&t=115 Pour certain·es hautboïstes, le vibrato va venir naturellement avec la recherche de tension-détente : on crée une tension dans la colonne d'air pour faire sonner la note, puis on se détend en la laissant sonner. Mais pour d'autre pratiquant·es, cela peut prendre du temps à se mettre en place. Juan Mari Ruiz propose de travailler de la manière suivante<ref>{{lien web |url=https://juanmariruiz.com/2020/04/21/notes-techniques-xiv-le-vibrato-ii-premiers-exercices/ |auteur=Juan Mari Ruiz |titre=Notes techniques XIV. Le vibrato II. Premiers exercices |site=Juan Mari Ruiz |date=2020-04-21 |consulté le=2026-04-27}}</ref> : * avec l'anche seule : ** placer sa langue comme pour prononcer le son « é » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « eee-i-é-i-é-iééé », ** placer sa langue comme pour prononcer le son « ô » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « ôôô-é-ô-é-ô-é-ôôô » ; * refaire ce travail avec le hautbois. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> gg9m2qrdoqvjfecyskpnnkg0x75o6t9 982260 982259 2026-04-28T14:21:22Z Cdang 1070 /* Recherche du vibrato */ 982260 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. Ce travail intervient habituellement assez tardivement, après 8 à 10 années d'études (3{{e}} cycle en France). Pour le hautboïste Juan Mari Ruiz, ce vibrato provient d'un placement de la langue dans la gorge. On pourra par exemple regarder les mouvements des muscles de la gorge de François Leleux dans son interprétation du ''concerto pour hautbois'' de Haydn en ''ut'' majeur (Hob VIIg:C1), à 1 min 55 : {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=lE24eN-39T4&t=115 |auteur=ARD Klassic |titre=Haydn - Concerto pour hautbois en do majeur Hob VIIg:C1 | Leleux | Orchestre symphonique de la WDR |site=YouTube |date=2021-04-21 |consulté le=2026-04-27}} Pour certain·es hautboïstes, le vibrato va venir naturellement avec la recherche de tension-détente : on crée une tension dans la colonne d'air pour faire sonner la note, puis on se détend en la laissant sonner. Mais pour d'autre pratiquant·es, cela peut prendre du temps à se mettre en place. Juan Mari Ruiz propose de travailler de la manière suivante<ref>{{lien web |url=https://juanmariruiz.com/2020/04/21/notes-techniques-xiv-le-vibrato-ii-premiers-exercices/ |auteur=Juan Mari Ruiz |titre=Notes techniques XIV. Le vibrato II. Premiers exercices |site=Juan Mari Ruiz |date=2020-04-21 |consulté le=2026-04-27}}</ref> : * avec l'anche seule : ** placer sa langue comme pour prononcer le son « é » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « eee-i-é-i-é-iééé », ** placer sa langue comme pour prononcer le son « ô » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « ôôô-é-ô-é-ô-é-ôôô » ; * refaire ce travail avec le hautbois. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> nx4el2ynlpvjcuuzeh0i0q6v0dym9lj 982261 982260 2026-04-28T14:22:07Z Cdang 1070 /* Recherche du vibrato */ 982261 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = Le souffle et la colonne d'air | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | numéro = 1 | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} Les éléments suivants sont assimilés au fur et à mesure de la pratique. On ne peut pas souffler parfaitement du premier coup, et si l'on cherche à tout faire bien dès le début, on n'arrive pas à jouer. Il faut donc accepter de « mal faire » au début, ce qui permet d'oser jouer et de mettre en place doucement les différents éléments : mémorisation des doigtés, apprentissage de la lecture de notes, écoute et justesse (oreille musicale), musicalité (qualité de l'interprétation)… Les éléments suivants sont donc des choses que l'on va travailler dès le début, mais en corrigeant les défauts petit à petit. C'est une des raisons qui rend l'auto-apprentissage compliqué et rend nécessaire le recours à un professeur ou une professeure. == La respiration ventrale == [[Fichier:Diaphragmatic breathing.gif|vignette|Respiration ventrale : vue en « transparence » et de face du torse, avec les poumons (en rose) et le diaphragme (en vert).]] La respiration est instinctive : on respire sans y penser, même si on peut maîtriser sa respiration, c'est-à-dire choisir volontairement quand on veut inspirer ou expirer. Une des difficultés du hautbois consiste à maîtriser sa respiration sans la forcer. Lorsque l'on n'y pense pas, par exemple lorsque l'on dort, la respiration se fait de la manière suivante : * le diaphragme, un muscle situé sous les poumons, pousse vers le bas sur les organes contenus dans le ventre, les viscères (intestin, estomac, etc.) ; cela permet aux poumons de s'étendre et d'aspirer de l'air, c’est l'inspiration ; le ventre « ressort », se gonfle, et l'air rentre dans les poumons ; l’arrière du dos se détend également, même si cela est moins perceptible ; * lors de l’expiration, le diaphragme pousse vers le haut pour comprimer les poumons, ce qui chasse l’air et permet au ventre de se « dégonfler ». Lorsque l'on joue d'un instrument à vent, et notamment du hautbois, il faut garder cette même « mécanique ». Lorsque l'on inspire, on laisse son ventre et le bas du dos se gonfler et pour souffler, on pousse sur son ventre et le bas du dos, avec les muscles de la sangle abdominale. C'est ce que l'on appelle la « respiration ventrale ». En jouant, on s'essouffle. On a tendance à forcer la respiration en soulevant les épaules : des muscles tirent la cage thoracique vers le haut, ce qui permet aux poumons de s'étendre aussi vers le haut et augmente donc la quantité d'air que l'on aspire. Cette respiration est inefficace pour les instruments à vent : on n'a pas besoin de plus d'air, et l'expiration est plus difficile, donc il est plus difficile de jouer. == Maîtriser sa respiration == [[Fichier:Spinal column curvature-fr.svg|vignette|Courbures du dos (c'est-à-dire de la colonne vertébrale).]] La respiration ventrale se fait donc en laissant ses poumons se développer vers le ventre. Il faut donc éviter de comprimer le ventre lors de l'inspiration. Une des clefs est le placement du bassin : * si on bascule le bassin vers l’arrière (rétroversion), c’est-à-dire que l'on arrondit le dos, on vient comprimer le ventre ; * si l'on bascule le bassin vers l’avant (antéversion), c'est-à-dire que l'on creuse le bas du dos, on libère certes le ventre (en la poussant vers l'avant) mais on crée des douleurs et des contractions dans le bas du dos ; cela produit un inconfort qui nuit à la pratique de l'instrument ; par ailleurs, la contraction des muscles à l'arrière du dos empêche l'expansion de l’arrière du dos, qui est un des mécanismes de la respiration. Il faut donc trouver une position neutre du bassin, entre antéversion et rétroversion. On peut travailler cela en étant debout ou bien en étant assis — on sent alors le bassin « rouler » autour du contact avec le siège (les os « pointus » sur lesquels on s'assoit sont appelés ischions). Le haut du torse doit également être détendu : les épaules doivent être relâchées (ni rentrées vers l'avant, ni tirées vers l’arrière, ni haussées). ; Note : Il faut oublier la notion de « dos droit » : en effet, vue de profil, le dos, ou plus précisément la colonne vertébrale, présente plusieurs courbures (quatre au total), il n'est donc jamais droit… Les points importants sont la position neutre du bassin, et la position des épaules. Une des choses que l'on apprend à force de jouer est que l'on a toujours trop d'air dans les poumons : le passage d'air dans l'anche est très petit, il y a donc très peu d'air qui sort quand on joue. Lorsque l'on joue du hautbois et que l'on est essoufflé, on ne manque pas d'air, on en a encore plein dans les poumons ; mais on n'a plus assez d'oxygène, comme quand on fait de l’apnée. Pour reprendre son souffle au hautbois, il faut d'abord chasser l'air de ses poumons avant de prendre de l’air neuf. Pour être efficace, il faut donc ne pas avoir trop d'air au départ, mais de l'air « bien placé ». Et donc utiliser la respiration ventrale. C'est quelque chose qui se travaille durant toute sa vie de hautboïste, et qui commence donc dès le départ. Un des axes de travail au départ est de se laisser le temps de respirer. Les morceaux adaptés aux débutant·es ont des phrases courtes entrecoupées de silences (soupirs, demi-pauses, pauses), ce qui permet de respirer régulièrement. Lors de ces silences, il faut privilégier la respiration tranquille : on s'attache à expirer l'air résiduel et à prendre une inspiration calme et ample, sans lever les épaules, tant pis si la durée du silence n’est pas respectée. Cela n'est pas possible si l'on joue avec un accompagnement enregistré ; et bien tant pis, on laisse tomber l’accompagnement, il sera toujours temps d'y revenir plus tard : lorsque le « bon geste » de la respiration sera installé, on pourra respirer sur des temps plus courts. == La colonne d'air == [[Fichier:Poumons3.jpg|vignette|Système respiratoire, du nez et de la bouche aux poumons. Notons le trajet de l’air à l'expiration : trachée (14), larynx (gorge, 13), pharynx (derrière la bouche et le nez, 12).]] L'air part du bas des poumons (respiration ventrale) et doit aller jusqu'au bout du hautbois. Il passe par plusieurs « portails » : * la trachée : c'est le tuyau qui va des poumons vers la bouche ; * la gorge (et plus précisément le larynx), avec notamment la langue ; notons que la langue ne se limite pas à l'intérieur de la bouche mais s'attache très bas dans la gorge ; * les lèvres et l'anche. Pour que l'air passe bien, il faut maîtriser chacun de ces passages : * pour que le tuyau (la trachée) soit bien droit, il faut que les épaules et la tête soient droites (regarder droit devant sans voûter le dos) ; * pour que la gorge soit grande ouverte, on peut s'imaginer prononcer la lettre « A » ou « O » ; * pour que l’air entre bien dans le hautbois, il faut que les lèvres assurent l’étanchéité autour de l'anche — pas de fuite — mais sans écraser l’anche pour qu'elle reste ouverte ; il faut donc bien centrer l’anche en rapprochant la commissure des lèvres, et ouvrir sa mâchoire tout en maintenant les lèvres fermées. La maîtrise de la colonne d'air est là encore un travail constant. {{clear}} == Hautbois et chant == [[Fichier:Aids to the Pronunciation of Irish - Christian Brothers (Plate 1).jpg|vignette|Position des cordes vocales (repère ''b'').]] La voix est aussi un instrument à anche : les cordes vocales sont une anche, une membrane qui vibre. La différence essentielle est que la fréquence — la hauteur du son — n'est pas imposée par la cavité résonnante — le corps du hautbois — mais par la tension de la membrane. L'autre différence est que les cordes vocales sont situées en arrière de la gorge alors que l'anche de hautbois est située au niveau des lèvres. Mais le trajet de l'air, et la manière dont il est utilisé, est le même. Maurice Bourgue s'est à juste titre inspiré des techniques de chant pour travailler la respiration au hautbois<ref>{{article |url=https://www.lemonde.fr/culture/article/2023/10/09/mort-du-hautboiste-maurice-bourgue_6193328_3246.html |titre=Mort du hautboïste Maurice Bourgue |auteur=Pierre Gervasoni |périodique=Le Monde |date=2023-10-09 |consulté le=2024-02-01}}.</ref>. Les hautboïstes peuvent donc travailler leur voix, par exemple par des vocalises, avec un ou une professeur de chant, pour améliorer leur manière d'inspirer et de souffler. {{clear}} == Recherche du vibrato == Après quelques années d'étude, le ou la hautboïste peut commencer à rechercher un vibrato. Le vibrato est une fluctuation du débit ou de la pression de l'air, qui provoque une légère ondulation du son en intensité ou en hauteur. Le vibrato recherché est le vibrato dit « naturel », c'est-à-dire qu'il vient de la colonne d'air et donc de la maîtrise des muscles, et non pas de pincements de l'embouchure ou des spasmes du diaphragme. L'acquisition du vibrato repose donc sur un travail de la colonne d'air, en particulier la capacité à relâcher les muscles pour donner une souplesse nécessaire pour « laisser vibrer » la colonne d'air<ref>{{lien web |url=http://abouhey1.free.fr/vibrato_naturel.htm |titre=Le vibrato naturel aux instruments à vent |auteur=Alain Bouhey |site=abouhey1.free.fr |date=2008 |consulté le=2023-02-01}}.</ref>. Ce travail intervient habituellement assez tardivement, après 8 à 10 années d'études (3{{e}} cycle en France). Pour le hautboïste Juan Mari Ruiz, ce vibrato provient d'un placement de la langue dans la gorge. On pourra par exemple regarder les mouvements des muscles de la gorge de François Leleux dans son interprétation du ''concerto pour hautbois'' de Haydn en ''ut'' majeur (Hob VIIg:C1), à 1 min 55 : {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=lE24eN-39T4&t=115 |auteur=ARD Klassic |titre=Haydn - Concerto pour hautbois en do majeur Hob VIIg:C1 / Leleux / Orchestre symphonique de la WDR |site=YouTube |date=2021-04-21 |consulté le=2026-04-27}} Pour certain·es hautboïstes, le vibrato va venir naturellement avec la recherche de tension-détente : on crée une tension dans la colonne d'air pour faire sonner la note, puis on se détend en la laissant sonner. Mais pour d'autre pratiquant·es, cela peut prendre du temps à se mettre en place. Juan Mari Ruiz propose de travailler de la manière suivante<ref>{{lien web |url=https://juanmariruiz.com/2020/04/21/notes-techniques-xiv-le-vibrato-ii-premiers-exercices/ |auteur=Juan Mari Ruiz |titre=Notes techniques XIV. Le vibrato II. Premiers exercices |site=Juan Mari Ruiz |date=2020-04-21 |consulté le=2026-04-27}}</ref> : * avec l'anche seule : ** placer sa langue comme pour prononcer le son « é » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « eee-i-é-i-é-iééé », ** placer sa langue comme pour prononcer le son « ô » et souffler, ** puis recommencer, mais en changeant le son : « ôôô-é-ô-é-ô-é-ôôô » ; * refaire ce travail avec le hautbois. == Notes et références == {{références}} {{CLEDETRI:Souffle et la colonne d'air, le}} {{Bas de page | idfaculté = musique | leçon = Hautbois | précédent = | suivant = [[../La physique du hautbois/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> qjbfot5wmzar7iztbh4uh1zrgbn8f73 3 85689 982264 980018 2026-04-28T18:33:19Z MediaWiki message delivery 20848 /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ nouvelle section 982264 wikitext text/x-wiki {{Utilisateur:Fourmidable/Menu}} {{Archive box non-auto| # [[/2020-2023|2020-2023 (format classique)]] # [[Discussion utilisateur:Hérisson grognon/Flow|2022-2024 (format Flow)]] }} == Prise de décision - Présentation de la faculté Langues == Bonjour, Une '''[[Wikiversité:Prise de décision/Présentation de la faculté Langues|prise de décision]]''' est en cours concernant la présentation de la [[Faculté:Langues]]. 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Dis-moi, pourrais-tu restaurais la vraie PdD de " l'énigme de Fermat passée au crible" qui figure dans les "pages supprimées" ? Car je crois que quelqu'un avait écrit qqch dessus (Guillaume Foucard de mémoire). Merci d'essayer. Amicalement, Claude. [[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 1 juillet 2024 à 06:20 (UTC) Autant pour moi, mieux vaut ne pas restaurer, car sinon, ce qui s'y trouve actuellement serait supprimé... Bonne journée ! --[[Utilisateur:EclairEnZ|Serenity is my name]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 1 juillet 2024 à 06:23 (UTC) :Coucou {{Mention|EclairEnZ}}, ça fait longtemps ! Beaucoup de changements dans ma vie depuis 2021 : déménagement + installation solo à Paris, master... Il y a des hauts et des bas (et des débats), mais je pense que je m'en sors plutôt pas trop mal ^^. Tu parles d'une version supprimée de [[Discussion Recherche:L'énigme de Fermat, le sublime dans tous ses états]] ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 6 juillet 2024 à 14:44 (UTC) ::Oui ça faisait lgtps. Les changements ça fait tjrs du bien... Laisse tomber la version supprimée, il n'y avait que deux posts pas importants. Bon courage et bonnes vacances si tu en as plein plein plein... ;-) . Amitiés, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 juillet 2024 à 15:48 (UTC) == Vikidia == Coucou {{Mention|Fourmidable}}, tu vas bien ? As-tu lu cette petite contribution de bibi :<br /> https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Utilisateur:EclairEnZ&diff=prev&oldid=940722<br /> ? J'espère qu'elle te fait sourire :-) Bye, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 7 juillet 2024 à 11:15 (UTC) == Aide à la modification == Bonjour, il y a peu de temps, j'ai créer une page wikipédia, en la publiant je me suis rendu compte que le titre de la page était mon numéro d' utilisateur. N' aillant jamais créer de page auparavant, je n' ai pas créer de compte. Je sollicite donc votre aide afin de changer le titre de la page (Utilisateur:2A01:CB10:8343:E00:F5A5:E517:DAFA:4755/Brouillon) en "Le ghostwiriting et ghostproducing dans le rap", si cela ne vous dérange pas bien sûr. Merci d' avance. Bonne Journée. Cordialement   [[Spécial:Contributions/2A01:CB10:8343:E00:47F:9A0C:1A3:2423|2A01:CB10:8343:E00:47F:9A0C:1A3:2423]] 24 octobre 2024 à 01:02 (UTC) :Bonjour, :Votre brouillon existe bien mais je pense que le sujet devrait être élargi : cf. https://scholar.google.com/scholar?hl=fr&as_sdt=0%2C5&q=ghostwiriting :Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 26 octobre 2024 à 09:26 (UTC) == Wikipédia ? == Salut. [[Spécial:CentralAuth/Fourmidable|Je découvre]] que tu as pris la décision de te faire bloquer sur Wikipédia et je viens donc vers toi pour en savoir plus. On peut en discuter en vocal sur une messagerie instantanée si tu veux. Tu trouveras mon no de téléphone sur ma page utilisateur. Ça nous fera gagner du temps tout en se sentant plus libre de s'exprimer dans une conversation confidentielle. Pas d'obligation bien sûr et puis j'espère aussi que tout se passe bien au niveau de ton master. On peut aussi en parler si tu veux. Ce mercredi qui vient, je débute pour la deuxième année consécutive un séminaire de master à l'UCLouvain. Il consiste à améliorer le cours d'[[anthropologie numérique]] que je développe sur Wikivesité. Tu es le bienvenu tout comme @[[Utilisateur:Jade éternelle|Jade éternelle]] que j'ai déjà invité dans le message auquel tu as répondu. Dans tous les cas, donne-moi de tes nouvelles si tu veux bien ! Bien à toi. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} _{Concernant ma [[w:fr:dysorthographie|dysorthographie]]} 2 février 2025 à 22:10 (UTC) :Coucou {{Mention|Lionel Scheepmans}}, merci pour les nouvelles ! Je suis en stage à temps plein en Allemagne, et comme je dois aussi finir mon mémoire avant juin, j'ai pris un peu de distance avec les projets Wikimédia. En plus je commençais à avoir une réputation qui ne me convenait pas sur Wikipédia, donc j'ai préféré bloquer mon compte pour rassurer tout le monde. Je reviens ici de temps en temps pour la maintenance de base. Bravo pour la suite de tes recherches ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 6 avril 2025 à 08:34 (UTC) ::Bonne idée de prendre du recul par rapport à l'écosystème Wikmédia quand il faut. Mais quelle réputation as-tu reçue ? De mon côté, j'ai vu un changement de ta personnalité dans Wikiversité et Wikilivres où tu es devenu plus actif, plus efficace au niveau du code, mais aussi plus virulent au niveau de la maintenance. Un peu trop exigeant et suppressionniste par rapport à mes propres valeurs. On en parle quand tu veux et quand tu as le temps en viso par exemple, c'est toujours plus sympa. ::De mon côté, je suis passé de chercheur doctorant à prof d'unif invité toujours en faisant usage de Wikiversité. Malheureusement le monde académique ne s'intéresse absolument pas à ce que je fais même si ça me semble très innovateur. Trop peut-être. ::Que la force soit avec toi pour la fin de tes études ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 6 avril 2025 à 21:02 (UTC) == Ya ! Vé ! Longtemps... == @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]]. Salut Mon frère ! Je vois que tu es en plein boulot en ce moment et que tu n'as pas de temps pour ici. Je ne viens presque plus non plus, because dans les années 2010 je passais des nuits presque entières sur Wikipédia, luttant sur des articles contre des maffieux inguérissables, et ensuite j'allais au boulot >>> les yeux en ont pris un sacré coup et sont maintenant hyper-fatigués. Bon mais c'est la vie. Bon courage dans tes études, et bonne soirée ! --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 20 mars 2025 à 11:44 (UTC) @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] Hello, comment ça va Fourmi d'able ? Bon week ! :-)--[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 5 avril 2025 à 11:49 (UTC) :Coucou {{Mention|EclairEnZ}} (avec tous tes pseudos j'espère que ce ping fonctionne) ! Merci pour ces nouvelles. Je suis en stage à temps plein en Allemagne, et comme je dois aussi finir mon mémoire avant juin, j'ai pris un peu de distance avec les projets Wikimédia. Mais je reviens ici de temps en temps pour la maintenance de base. Bravo pour la suite de tes recherches ! [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 6 avril 2025 à 08:35 (UTC) :: Oui ça a fonctionné ;-) . Mes recherches ici sont terminées je pense, dorénavant il faut que je reprenne ma recherche perso ;-) . Bye, --[[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 6 avril 2025 à 11:23 (UTC) (Zorro le grand Zorro). == Une prise de décision en cours de discussion est initiée == Bonjour Une prise de décision est initiée : [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 19 avril 2025 à 09:25 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Erreur technique dans les cours MOOC == Bonjour à toutes et tous, La [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|prise de décision concernant l'erreur technique dans les cours MOOC]] vient de commencer officiellement. Il n'est plus temps de discuter mais seulement de [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|statuer pour ou contre la suppression du format MOOC]] (jusqu'à ce que le problème soit résolu). {{Centrer|[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|{{Bouton cliquable|Donner son avis officiellement|couleur=bleu}}]]}} Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:43 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == "Tremblecourt" == Bonjour Fourmidable,<br> Concernant les pages * [[Famille "De Tremblecourt" (Famille "Chrétien" depuis 1735)]] * [[Maison "de Tremblecourt" (Maison "Chrétien" depuis 1735)]] Pour information il y a en ce moment des tentatives régulières sur wp:fr, que vous pouvez suivre notamment [[w:fr:Discussion utilisateur:PCG-HistoriendeLorraine|ici]], ou encore [[w:fr:Discussion utilisateur:SGC-3902|ici]],<br> Cordialement, --[[Utilisateur:Kontributor 2K|Kontributor 2K]] ([[Discussion utilisateur:Kontributor 2K|discuter]]) 14 juillet 2025 à 08:36 (UTC) :Bonsoir {{Mention|Kontributor 2K}}, :# Êtes-vous aussi le propriétaire des comptes {{Mention|PCG-HistoriendeLorraine}} et {{Mention|SGC-3902}} ? Si oui, vous '''devez''' le mentionner sur vos trois pages utilisateur (cf. liens rouges ci-avant), sous peine de blocage. :# Les pages proposées ne semblent pas correspondre aux critères d'admissibilité d'une leçon ou d'un cours. Des débats d'admissibilité ont donc été lancés ([[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Famille "De Tremblecourt" (Famille "Chrétien" depuis 1735)|pour "Famille..."]] et [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Maison "de Tremblecourt" (Maison "Chrétien" depuis 1735)|pour "Maison..."]]) , vous pouvez y participer en argumentant, mais merci de '''ne pas retirer''' les bandeaux - sous peine, là aussi, de blocage. :Wikiversitairement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juillet 2025 à 19:29 (UTC) ::Bonjour {{Mention|Fourmidable}}, ::Je suis surpris de cette question, tout autant que de l'ouverture de débats d'admissibilité sur un sujet à la limite, déjà bien bien entamée, du canular, avec documents générés par IA (voir [[:c:Commons:Deletion requests/Files found with Tremblecourt|DR sur commons]]), dont des armoiries introuvables "dans les ouvrages de référence" (et ils sont nombreux), ::--[[Utilisateur:Kontributor 2K|Kontributor 2K]] ([[Discussion utilisateur:Kontributor 2K|discuter]]) 15 juillet 2025 à 19:37 (UTC) :::Merci pour cette précision {{Mention|Kontributor 2K}} ! Je vous prenais pour le ou l'un des "défenseurs" des pages concernées... Parce que vous avez supprimé votre message (peut-être par erreur). N'hésitez pas à participer aux deux débats. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juillet 2025 à 19:40 (UTC) ::::{{Mention|Fourmidable}}, j’ai supprimé mon message, pensant qu’il était peut-être de trop. Pour le reste je ne comprends pas bien, ceci dans le sens où il n'y pas de débat, pour débattre il faut au minimum un sujet. En ce qui me concerne, la seule question en suspens, est de savoir qui va s’occuper de nettoyer [[:d:Special:Contributions/PCG-HistoriendeLorraine|ceci]] --[[Utilisateur:Kontributor 2K|Kontributor 2K]] ([[Discussion utilisateur:Kontributor 2K|discuter]]) 15 juillet 2025 à 19:52 (UTC) :::::Les deux débats portent sur l'admissibilité des deux pages sur Wikiversité. Quant à Wikidata, je vais regarder, mais cela sort du cadre du projet Wikiversité. Cordialement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 15 juillet 2025 à 20:38 (UTC) == Débats d'admissibilité == Bonjour, Les [[WV:DDA|débats d'admissibilité]] suivants ne comptabilisent aucun avis depuis plus de deux mois : * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Flash]] (leçon créée en 2007) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Mouvement féministe]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Joomla]] (leçon créée en 2008) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Programmation distribuée]] (leçon créée en 2010) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Collapsologie]] (leçon créée en 2016) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Citoyenneté et empire à Rome (leçon créée en Ie-IIIe siècle)]] (leçon créée en 2018) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Peuples amérindiens]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Création des états modernes en Europe]] (leçon créée en 2019) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage supervisé]] (leçon créée en 2022) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage profond]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement]] (leçon créée en 2024) * [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Algorithme génétique]] (leçon créée en 2024) Merci d'y donner votre avis ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 23 juillet 2025 à 00:55 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&oldid=958072 --> == Renommer un article == Bonjour Monsieur, Je suis un nouvel utilisateur et j'ai cree une page sur Tadashi Hattori (medecin.) Malhouresement, il existe deja une page sur une autre personne qui s'appelle aussi Tadashi Hattori. Il est compositeur, et je voudrais renommer sa page Tadashi Hattori (compositeur), mais on ne me le permet pas parce que je suis un nouvel utilisateur. Est-ce que vous pourriez la renommer pour moi? Après ca,j'espere pouvoir creer une page de desambiguation. Je vous remercie en avance! [[Utilisateur:Editor5935|Editor5935]] ([[Discussion utilisateur:Editor5935|discuter]]) 2 octobre 2025 à 21:12 (UTC) :Bonjour {{Mention|Editor5935}}, je pense aussi que l'ophtalmologue est plus notable que le compositeur. Vous pouvez toujours créer l'article dans [[w:Utilisateur:Editor5935/Brouillon|votre brouillon]], puis le soumettre au [[w:WP:Forum de relecture|WP:Forum de relecture]]. Cordialement, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 4 octobre 2025 à 22:11 (UTC) == Vous avez un message ! (de Zorro en personne !) == '''SUPERCOUCOU''' SALUT VOUS ! Tu ne sais pas quoi ? Ca date d'avant ta venue je crois - ou pas : depuis 7 ans environ, j'ai un bol de petit-déjeuner intitulé: "GROGNON, MAIS ADORABLE" (COPYRIGHT) - qui me définit assez bien, en toute immodestie. Et toi, il y a 2 ans encore je crois, ton pseudo comportait le mot "grognon ". Rigolo, isn't it ? - Beh oui, je parle aussi l'américain (enfin, juste un peu, un chouïa quoi). Bonne journée ! Moi je me recouche ! Bye bye, [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 16 novembre 2025 à 05:06 (UTC) (Bon, je me recouche, j'ai pris un ptit dèj). Bonne continuation à toi et Hasta la vista ! [[Utilisateur:EclairEnZ|EclairEnZ]] ([[Discussion utilisateur:EclairEnZ|discuter]]) 16 novembre 2025 à 05:06 (UTC) :Coucou {{Mention|EclairEnZ}} Tu es bien matinal ! Malheureusement pas de bol "éclair" ou "Zorro" de mon côté... {{Rire}} [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 30 novembre 2025 à 14:44 (UTC) == Aide création page Numérique et sciences informatiques en première générale == Bonjour , J'aimerai réaliser la page "Numérique et sciences informatiques en première générale" comme cette page n'existe pas , il faut tout créé . Ne connaissant pas trop le wikicode , je voulais recuperer un [[mw:Help:Extension:TemplateWizard/fr|modèle]] mais je n'ai pas trouvée de modèle qui corespond . Comment faire pour réaliser une page qui respecte l'[[w:Expérience_utilisateur|UX]] de Wikiversité ? [[Utilisateur:Mart1pecheur|Mart1pecheur]] ([[Discussion utilisateur:Mart1pecheur|discuter]]) 31 janvier 2026 à 10:04 (UTC) :Coucou, je te réponds sur Discord, étant légèrement plus actif là-bas. ;) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 février 2026 à 16:11 (UTC) == Demande de publication traduction (renommer un brouillon) == Bonjour Fourmidable, J'ai récemment publié une traduction pour [[w:en:Tim_Sweeney_(DJ)]], la voici [[w:fr:Utilisateur:Freemallard/Tim_Sweeney_(DJ)]]. Il s'agit de ma première traduction, et je pense avoir publié un brouillon. Cependant je ne trouve nulle part le bouton pour renommer la page (j'ai pourtant consulté la doc) ! Si la traduction te convient, peux tu la publier pour moi stp ? Merci d'avance :) [[Utilisateur:Freemallard|Freemallard]] ([[Discussion utilisateur:Freemallard|discuter]]) 10 mars 2026 à 22:12 (UTC) :Petit up, :Un autre utilisateur s'en est chargé ce midi. Donc mon message précédent est caduc. Merci quand même :) [[Utilisateur:Freemallard|Freemallard]] ([[Discussion utilisateur:Freemallard|discuter]]) 11 mars 2026 à 12:28 (UTC) ::D'accord, mais c'est Wikiversité ici, pas Wikipédia :) [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 13 mars 2026 à 22:29 (UTC) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 28 avril 2026 à 18:33 (UTC) </div> <!-- Message envoyé par User:Keegan (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/test&oldid=30471754 --> 9sve4euhkb2v1cr7sb5ihxrtoe0c5jt 8 86131 982271 973208 2026-04-28T23:00:33Z Fourmidable 50100 982271 wikitext text/x-wiki '''[[WV:DdA|Des débats d'admissibilité sont en cours. N'hésitez pas à venir donner votre avis !]]''' o1a1au7zf961o08xuemfrxkorun06ph 982272 982271 2026-04-28T23:00:54Z Fourmidable 50100 982272 wikitext text/x-wiki '''[[WV:DdA|Des débats d'admissibilité sont en cours. Venez donner votre avis !]]''' 4mesl7m5g40zu9ikxy1ay70a0rihhh9 4 86279 982274 977209 2026-04-28T23:02:04Z Fourmidable 50100 /* Conclusion du vote */ 982274 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Débat d'admissibilité}} == [[Digitale]] == Proposé par : [[Utilisateur:Padarquetty|Padarquetty]] ([[Discussion utilisateur:Padarquetty|discuter]]) 30 novembre 2025 à 14:35 (UTC) Texte non didactisé, semble même rédigé par IA. Le lien externe au début est-il inséré à une fin publicitaire ? === Discussions === ''Toutes les discussions vont ci-dessous. Veuillez créer un sous-paragraphe de ce paragraphe pour toute nouvelle discussion.'' === Votes === ''Entrez ci-dessous votre vote éventuellement suivi d'une brève justification. N'oubliez pas de signer avec quatre tildes (<nowiki>~~~~</nowiki>).'' ''Les utilisateurs désirant commenter une justification de vote doivent impérativement le faire ci-dessus dans le paragraphe discussion en y créant un sous-paragraphe et en notifiant le votant au début de celui-ci. Toute discussion sur une justification de vote faite dans ce paragraphe sera supprimée pour raison de clarté et pour ne pas influencer directement les votants.'' ==== Supprimer ==== # ==== Conserver ==== # ==== Neutre ==== # ==== Autres avis ==== # À renvoyer chez son auteur (page-brouillon) : visiblement, cette page correspond à un travail, mais qui n'est nullement inséré dans un paysage pédagogique construit (cours > leçon > département > faculté). -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 janvier 2026 à 10:42 (UTC), post-édité 22 janvier 2026 à 10:50 (UTC). # === Conclusion du vote === Page supprimée. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2026 à 23:02 (UTC) n7h1f137po3lii3u1uc8tspqq1cdx71 4 86280 982273 975954 2026-04-28T23:01:55Z Fourmidable 50100 /* Conclusion du vote */ 982273 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Débat d'admissibilité}} == [[Économie numérique au Maroc]] == Proposé par : [[Utilisateur:Padarquetty|Padarquetty]] ([[Discussion utilisateur:Padarquetty|discuter]]) 30 novembre 2025 à 14:35 (UTC) Texte non didactisé, semble même rédigé par IA. Le lien externe au début est-il inséré à une fin publicitaire ? === Discussions === ''Toutes les discussions vont ci-dessous. Veuillez créer un sous-paragraphe de ce paragraphe pour toute nouvelle discussion.'' === Votes === ''Entrez ci-dessous votre vote éventuellement suivi d'une brève justification. N'oubliez pas de signer avec quatre tildes (<nowiki>~~~~</nowiki>).'' ''Les utilisateurs désirant commenter une justification de vote doivent impérativement le faire ci-dessus dans le paragraphe discussion en y créant un sous-paragraphe et en notifiant le votant au début de celui-ci. Toute discussion sur une justification de vote faite dans ce paragraphe sera supprimée pour raison de clarté et pour ne pas influencer directement les votants.'' ==== Supprimer ==== # ==== Conserver ==== # ==== Neutre ==== # ==== Autres avis ==== # === Conclusion du vote === Page supprimée. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2026 à 23:01 (UTC) 33ec718ax1sg89811qai4h4rg3osfdc 4 86281 982275 978643 2026-04-28T23:02:07Z Fourmidable 50100 /* Conclusion du vote */ 982275 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Débat d'admissibilité}} == [[Utilisateur:Fahimi mohame]] == Proposé par : [[Utilisateur:Padarquetty|Padarquetty]] ([[Discussion utilisateur:Padarquetty|discuter]]) 30 novembre 2025 à 14:35 (UTC) Texte non didactisé, semble même rédigé par IA. Le lien externe au début est-il inséré à une fin publicitaire ? === Discussions === ''Toutes les discussions vont ci-dessous. Veuillez créer un sous-paragraphe de ce paragraphe pour toute nouvelle discussion.'' === Votes === ''Entrez ci-dessous votre vote éventuellement suivi d'une brève justification. N'oubliez pas de signer avec quatre tildes (<nowiki>~~~~</nowiki>).'' ''Les utilisateurs désirant commenter une justification de vote doivent impérativement le faire ci-dessus dans le paragraphe discussion en y créant un sous-paragraphe et en notifiant le votant au début de celui-ci. Toute discussion sur une justification de vote faite dans ce paragraphe sera supprimée pour raison de clarté et pour ne pas influencer directement les votants.'' ==== Supprimer ==== # ==== Conserver ==== # ==== Neutre ==== # ==== Autres avis ==== # À déplacer dans une page-brouillon chez cet utilisateur : visiblement, cette page correspond à un travail, mais qui n'est nullement inséré dans un paysage pédagogique construit (cours > leçon > département > faculté) ; p-ê aussi lui mettre un mot en PdD "WikiVersité a une finalité et n'est pas juste un dépôt pour des travaux personnels, fussent-ils universitaires". -- [[user:Eric.LEWIN|@Éric38fr]]^{''[[:user_talk:Eric.LEWIN|(papoter autour d'un verre)]]''}, 22 janvier 2026 à 10:48 (UTC). #:{{Notif|Eric.LEWIN}} ça n'a rien d'un travail universitaire, l'auteur ne cite aucune source et il y a des liens publicitaires. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 31 janvier 2026 à 00:34 (UTC) === Conclusion du vote === Page supprimée. --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2026 à 23:02 (UTC) suzk23c6sqd42cgyc76zre108ab3iie 0 86937 982255 982248 2026-04-28T13:27:17Z Geoleplubo 7999 m - idfaculté = mathématiques 982255 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = <!-- le même que la leçon --> | numéro = | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> | page_liée = | page_liée2 = }} <!-- insérez le contenu de votre chapitre ici --> == Rappel de seconde == On rappel quelques formules de seconde : Soit (o;i;j) un repère orthonormé, on y a dedans un point A(x,y) et un point B(z,w). Alors le vecteur <math>\vec{AB}(z-x,w-y) </math>. On a également la formule pour calculer la norme d'un vecteur, à savoir : <math> ||\vec{AB}||=\sqrt{(z-x)^2+(w-y)^2} </math> == Produit scalaire == Tous les vecteurs utilisées se situent dans un repère orthonormée (o;i;j). Le produit scalaire entre deux vecteurs <math> \vec{AB} \vec{CD} </math> se note <math> \vec{AB} \cdot \vec{CD} </math> et se lit AB scalaire CD. === Par des coordonnées === Soit <math> \vec{AB}(x;y) </math> et <math> \vec{CD}(z;w) </math>. On définit le produit scalaire entre <math> \vec{AB} </math> et <math> \vec{CD} </math> comme étant égal à : <math> \vec{AB} \cdot \vec{CD} = x \times z + y \times w </math> === Par des longueurs dans un triangles=== Soit <math> \vec{AB}(x;y) </math> et <math> \vec{BC}(z;w) </math>. On définit le produit scalaire entre <math> \vec{AB} </math> et <math> \vec{BC} </math> comme étant égal à : <math> \vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(AB^2+BC^2-CA^2) </math>. === Par projeté orthogonale=== Définition du projeté orthogonale: Soit A une droite et B un point du plan. Le projeté orthogonale de B sur la droite A est le point J tel que la droite (BJ) soit perpendiculaire à la droite A. Théorème : Soient A,B,C et D tels que A≠B. Soit C' et D' les projetés orthogonaux de respectivement C et D sur la droite (AB). Alors, on a : <math> \vec{AB}\cdot\vec{CD}=\vec{AB}\cdot\vec{C'D'} </math> == Applications du cour == === Théorème de la médiane === Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB]. Pour tout point F du plan, on a : <math> FA^2+FB^2=2FI^2 + \frac{AB^2}{2} </math> Propriété : Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB]. Pour tout point F du plan, on a : <math> FA^2-FB^2=2\vec{AB}\cdot\vec{IF} </math><br> <math> \vec{FA}\cdot\vec{FB}=FI^2-\frac{AB^2}{4} </math> ===Formule d'Al-Kashi=== Soit un triangle ABC, on note <math> a=BC, b=AC, c=AB, \hat{A}=\hat{BAC}, \hat{B}=\hat{ABC}, \hat{C}=\hat{ACB} </math>, On a alors : <math> a^2=b^2+c^2-2bc cos\hat{A} </math> <br> <math> b^2=a^2+c^2-2ac cos\hat{B} </math> <br> <math> c^2=b^2+a^2-2ba cos\hat{C} </math> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = <!-- [[../Titre du chapitre précédent/]] --> | suivant = <!-- [[../Titre du chapitre suivant/]] --> }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> df47zazechms7yomswkcltnfsl5x3nb 104 86945 982289 2026-04-29T10:36:03Z PandaMystique 80252 Page créée avec « {{Travail de recherche | idfaculté = philosophie | image = Nuvola apps edu phi.svg }} == Résumé == Cet article propose une synthèse philosophique sur la condition de l'homme moderne, comprise non comme un trait définissable mais comme une structure d'ambivalence traversant toutes ses dimensions. À partir des grands diagnostics de la modernité formulés par Weber, Heidegger, Bauman, Taylor ou Foucault, il examine successivement cinq questions inte... » 982289 wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = philosophie | image = Nuvola apps edu phi.svg }} == Résumé == Cet article propose une synthèse philosophique sur la condition de l'homme moderne, comprise non comme un trait définissable mais comme une structure d'ambivalence traversant toutes ses dimensions. À partir des grands diagnostics de la modernité formulés par Weber, Heidegger, Bauman, Taylor ou Foucault, il examine successivement cinq questions interdépendantes : les caractéristiques générales de la condition moderne, le statut ambivalent du désenchantement du monde, la nature paradoxale de la technique à la fois constitutive et menaçante de l'humain, le rôle de l'intempérance comme racine possible de la destructivité contemporaine, et enfin la situation du sujet moderne pris entre exigence d'authenticité et risque d'aliénation. La thèse défendue est que la modernité ne se laisse réduire ni à un récit progressiste ni à une déploration nostalgique, mais qu'elle se caractérise par une tension structurelle où chaque libération porte en elle de nouvelles servitudes, et où chaque perte recèle des gains réels. Trois exigences en découlent pour la pensée contemporaine : une exigence de discernement face aux mutations modernes, une exigence d'institution politique des limites, et une exigence spirituelle au sens élargi que lui donnent Hadot ou Bourg. La condition moderne y apparaît finalement moins comme un état que comme une tâche : celle d'inventer les formes culturelles, institutionnelles et intérieures qui permettront d'habiter humainement notre monde technique. == Introduction == Toute tentative de saisir la condition de l'homme moderne se heurte à une difficulté initiale : la modernité est un phénomène irréductiblement plural et contradictoire. Aucun trait isolé n'en épuise la signification, et les penseurs qui ont entrepris de la décrire, de Weber à Bauman, de Heidegger à Taylor, ont moins produit un diagnostic unifié qu'une constellation de descriptions partielles, parfois convergentes, parfois rivales. Cet article ne prétend pas trancher entre elles ; il cartographie les principales lignes de force qui structurent l'expérience moderne, en montrant comment elles s'articulent autour d'une ambivalence fondamentale : ce qui libère menace en même temps, et ce qui constitue l'humain peut aussi le défaire. Le fil conducteur sera celui des tensions internes à la modernité, examinées à travers cinq questions qui se déduisent les unes des autres. Quels sont les traits caractéristiques de la condition moderne ? Le désenchantement, qui en est peut-être le trait le plus profond, constitue-t-il une perte ou un gain ? La technique, qui en est le moteur principal, est-elle un prolongement de l'humain ou sa trahison ? La destruction qu'elle paraît engendrer tient-elle à elle-même, ou à une difficulté humaine plus ancienne, celle d'être tempérant, qu'elle ne fait qu'amplifier ? Et que devient, dans ce monde, le sujet moderne lui-même, sommé d'être authentique mais souvent réduit à une performance épuisante ? == I. Les grands traits de la condition moderne == La première grande caractéristique de la modernité, telle que Max Weber l'a thématisée, est le désenchantement du monde. La rationalisation, la sécularisation et l'avènement scientifique ont retiré au cosmos sa dimension sacrée, laissant l'homme face à un univers qu'il maîtrise techniquement mais qui ne lui dit plus rien sur le sens de son existence. Marcel Gauchet a prolongé ce diagnostic en parlant d'une « sortie de la religion » qui laisse l'individu seul responsable de la fabrication de ses propres significations. À cette transformation cosmologique s'ajoute une transformation anthropologique : la montée de l'individualisme, déjà repérée par Tocqueville comme un trait constitutif des sociétés démocratiques. Charles Taylor, Gilles Lipovetsky ou Alain Ehrenberg ont décrit comment cet individu, libéré des cadres traditionnels (religion, classe, famille étendue, métier hérité), gagne une autonomie inédite mais doit aussi porter seul le poids de ses choix. De là cette « fatigue d'être soi » et la prolifération des troubles dépressifs sur lesquels nous reviendrons. Une troisième dimension tient à l'emprise de la technique. Heidegger y voyait le trait métaphysique majeur de la modernité : tout, y compris l'humain, tend à être appréhendé comme « fonds disponible », ressource calculable. Jacques Ellul, Günther Anders ou plus récemment Hartmut Rosa, avec sa théorie de l'accélération, ont montré comment le temps vécu se contracte sous la pression du rendement et de la connectivité permanente. Zygmunt Bauman a forgé l'image de la modernité liquide pour saisir un autre aspect : la fluidité des identités, des liens affectifs, des engagements professionnels, des appartenances. Tout ce qui était solide se dissout, ce qui ouvre des possibles inédits mais fragilise les ancrages. Byung-Chul Han, dans une veine plus récente, parle d'une société de la performance où la contrainte n'est plus extérieure, comme dans la société disciplinaire de Foucault, mais intériorisée : on s'exploite soi-même au nom de la réalisation personnelle. Il faut ajouter la fin des grands récits (Lyotard), qu'ils soient religieux, progressistes ou révolutionnaires, qui structuraient le rapport au temps historique, ainsi que la conscience croissante d'une crise écologique qui rend problématique l'idée même d'un progrès indéfini sur lequel la modernité s'était bâtie. Ces diagnostics, presque tous critiques, doivent être tempérés. Steven Pinker, Hans Rosling ou les défenseurs du libéralisme rappellent que la modernité a aussi apporté un recul historique de la violence, de la pauvreté absolue et de la mortalité infantile, une expansion des droits, une mobilité sociale et géographique sans précédent. L'expérience du monde s'est élargie, les choix de vie se sont multipliés, les souffrances physiques sont mieux soulagées qu'à aucune autre époque. Ce qui caractérise peut-être le plus profondément la condition moderne, c'est cette tension elle-même : une liberté inédite couplée à une désorientation, une puissance technique inégalée couplée à un sentiment d'impuissance face aux processus globaux, une hyperconnexion couplée à une solitude que les enquêtes sociologiques ne cessent de mesurer. L'homme moderne est moins défini par un trait que par cette ambivalence structurelle. == II. Le désenchantement : perte ou enrichissement ? == Cette ambivalence se manifeste de manière exemplaire dans la question du désenchantement, sur laquelle plusieurs lectures s'opposent. === Une lecture critique de la perte === Weber lui-même n'était pas neutre : il évoquait une « nuit polaire d'une obscurité et d'une dureté glaciales » et craignait que la rationalisation n'enferme l'humanité dans une « cage d'acier ». Pour les romantiques allemands, puis pour Heidegger, le désenchantement appauvrit le rapport au monde : la nature, autrefois habitée de présences et peuplée de significations symboliques, devient un simple stock de ressources exploitables. L'École de Francfort a radicalisé cette lecture : la rationalité instrumentale, en éliminant le mythe et le sacré, aurait libéré une violence froide dont la barbarie du XX{{e}} siècle serait l'aboutissement logique. Plus récemment, Hartmut Rosa propose le concept de « résonance » pour nommer ce qui manque à un monde purement disponible : un rapport au réel qui ne soit ni domination ni indifférence, mais écho réciproque. === Une lecture libératrice === À cette lecture nostalgique s'oppose celle, héritière des Lumières, qui voit dans le désenchantement une libération. Kant définissait l'Aufklärung comme la sortie de l'humanité hors d'une minorité dont elle était elle-même responsable. Voir dans la maladie un châtiment divin, dans la foudre la colère d'un dieu, dans l'ordre social un décret céleste, ce n'est pas seulement se tromper, c'est se priver des moyens d'agir et accepter des hiérarchies arbitraires. Marcel Gauchet souligne que la sortie de la religion est consubstantielle à l'autonomie démocratique : un peuple qui se gouverne lui-même ne peut tenir ses lois pour reçues d'ailleurs. === Six arguments en faveur d'un enrichissement === On peut développer plus avant cette lecture positive en montrant comment le désenchantement, loin d'appauvrir le monde, l'enrichit selon plusieurs dimensions. Le premier argument tient à ce que le désenchantement révèle un monde plus vaste que les mythes ne le concevaient. La cosmologie pré-moderne enfermait l'humanité dans un univers clos, hiérarchisé, fini. Le désenchantement a fait éclater ces parois : 13,8 milliards d'années, des centaines de milliards de galaxies, une évolution biologique qui relie l'humain à la bactérie par une chaîne ininterrompue de quatre milliards d'années. La connaissance scientifique ne tue pas l'émerveillement, elle l'approfondit. Le monde désenchanté est plus riche que le monde enchanté, parce qu'il est réel. Un deuxième argument est que le désenchantement libère la responsabilité morale. Tant que le monde était peuplé de signes divins, la souffrance avait un sens, et c'était souvent un sens accablant. Quand la peste cesse d'être colère divine, on cherche le bacille et on invente l'hygiène publique. Quand la pauvreté cesse d'être destin, elle devient injustice. Quand l'esclavage cesse d'être inscrit dans un ordre cosmique, il devient un crime. Le désenchantement transfère à l'humanité la responsabilité du monde, charge lourde mais profondément ennoblissante. Un troisième argument tient à ce que le désenchantement rend possible une éthique de la vérité. Bernard Williams, dans ''Vérité et véracité'', a montré que la modernité repose sur deux vertus jumelles : l'exactitude (refuser les croyances mal fondées) et la sincérité (refuser de dire ce qu'on ne croit pas). Vivre dans le désenchantement, c'est refuser la consolation facile du mensonge, forme moderne du courage par excellence, plus exigeante que les héroïsmes guerriers d'autrefois parce qu'elle s'exerce dans la solitude et sans récompense promise. Un quatrième argument est que le désenchantement permet le pluralisme. Un monde enchanté est un monde où les significations sont données, donc partagées de force. Le désenchantement ouvre l'espace public à une pluralité de visions qu'aucune révélation officielle ne peut plus arbitrer. C'est la condition de la tolérance religieuse, de la liberté de conscience, de la démocratie. Kierkegaard avait vu très tôt que la foi authentique a besoin du désenchantement pour exister comme foi, et non comme simple coutume héritée. Un cinquième argument est que le désenchantement invente un sublime nouveau. La contemplation du ciel étoilé chez Kant, l'émerveillement darwinien devant l'arbre du vivant, l'humilité écologique devant la complexité des écosystèmes, le saisissement devant un théorème mathématique : autant de formes d'expérience profonde qui ne doivent rien au surnaturel. Spinoza appelait cela l'''amor intellectualis Dei'', un amour du réel qui culmine dans sa compréhension. Le désenchantement n'abolit pas le sacré : il le déplace dans la profondeur même du réel. Un sixième argument enfin est que le désenchantement humanise le rapport à autrui. Tant que les autres sont vus à travers le prisme de catégories sacrées, le païen, l'hérétique, l'intouchable, le possédé, ils ne sont jamais pleinement humains. Le désenchantement, en retirant aux différences leur statut métaphysique, révèle l'humanité commune sous les variations culturelles. L'idée des droits humains universels et l'abolition de l'esclavage sont des produits historiques de la modernité désenchantée. === Une position synthétique === Charles Taylor, dans ''L'Âge séculier'', propose une troisième voie qui refuse l'alternative. Le désenchantement n'a pas supprimé la quête de sens mais l'a déplacée : nous vivons dans un cadre « immanent » où la transcendance est devenue une option parmi d'autres, ce qui rend la croyance plus fragile mais aussi plus réfléchie. Juger le désenchantement « négatif » ou « positif » suppose un choix préalable : qu'estime-t-on plus important, l'autonomie ou l'appartenance, la maîtrise ou la résonance, la lucidité ou la consolation ? Ce sont des biens réels, et tragiquement, ils sont en partie incompatibles. == III. La technique : prolongement et menace == Le désenchantement est inséparable d'une autre dimension cardinale de la modernité, l'emprise de la technique. Là encore, l'ambivalence est massive et exige d'être analysée dans ses deux versants. === Les apports considérables de la technique === Pendant des millénaires, la condition humaine ordinaire a été marquée par la faim chronique, la mortalité infantile autour d'un enfant sur trois, l'espérance de vie autour de trente ans, le travail physique épuisant. La technique, qu'elle soit agricole, médicale, industrielle ou énergétique, a bouleversé ces données. L'anesthésie, les antibiotiques, les vaccins, la chirurgie moderne ont supprimé des souffrances que toutes les sagesses anciennes pouvaient seulement enseigner à supporter. Hans Jonas, pourtant grand critique de la démesure technique, le reconnaissait sans détour : la médecine moderne représente un progrès moral et non seulement matériel. La technique a également étendu l'expérience humaine du monde. L'imprimerie, le téléphone, l'avion, internet ont multiplié les possibilités de connaissance, de rencontre, de découverte. Le cosmopolitisme concret, le décentrement culturel, la capacité d'imaginer des vies très différentes de la sienne sont des biens moraux et intellectuels que la technique a démocratisés. Plus profondément, Bernard Stiegler, dans le sillage de l'anthropologue André Leroi-Gourhan, a contesté la lecture heideggérienne en montrant que la technique n'est pas extérieure à l'humain : elle le constitue. L'homme est l'animal qui s'extériorise dans ses outils, depuis le silex taillé. La parole elle-même est une technique, l'écriture une autre, le calcul mental encore une autre. Reprocher à la technique de nous dénaturer, c'est ne pas voir qu'il n'y a pas d'humain pré-technique à retrouver. Nous nous accomplissons par et dans nos prothèses. La technique a aussi élargi l'autonomie individuelle de manière concrète. La contraception, l'électroménager, la mobilité, la communication à distance ont libéré du temps, de l'espace, des contraintes corporelles qui pesaient surtout sur les femmes et les pauvres. La télémédecine, les outils d'accessibilité, les ressources éducatives en ligne ont produit, au sens d'Amartya Sen, des capacités nouvelles. Enfin, la technique permet de réparer ce qu'elle a abîmé : la résolution de la crise écologique, si elle a lieu, passera nécessairement par les énergies renouvelables, les techniques de dépollution, la modélisation climatique. Aucun retour à un état pré-technique n'est concevable pour huit milliards d'êtres humains. === Le paradoxe constitutif === Si la technique nous constitue à ce point, comment expliquer son caractère destructeur ? Le paradoxe est sérieux et exige une réponse en plusieurs strates. D'abord, la technique a changé d'échelle, non de nature. Günther Anders a forgé un concept décisif, le « décalage prométhéen » (''prometheisches Gefälle''). Nous fabriquons désormais des objets dont nous ne pouvons plus mesurer les effets : la bombe atomique, les pollutions chimiques persistantes, le dérèglement climatique, peut-être demain certaines applications de l'intelligence artificielle ou du génie génétique. Notre capacité de produire excède notre capacité d'imaginer, de sentir et de décider. Ce n'est donc pas la technique qui a changé en essence, c'est sa puissance qui a franchi un seuil au-delà duquel les facultés humaines de jugement ne suivent plus. Hans Jonas en tirait la nécessité d'une éthique nouvelle : les morales anciennes pensaient un agir dont les effets restaient locaux et contemporains ; il nous faut désormais une éthique qui réponde de conséquences planétaires et trans-générationnelles. Ensuite, la technique tend à devenir un système qui échappe à ses créateurs. C'est l'intuition centrale de Jacques Ellul. Une technique isolée reste un outil ; un ensemble interconnecté de techniques devient un système qui obéit à sa propre logique d'efficacité. L'automobile individuelle suppose des routes, une industrie pétrolière, un urbanisme dispersé, une diplomatie de l'énergie. Une fois ce système installé, il devient extrêmement difficile d'en sortir. Chaque technique appelle d'autres techniques pour corriger ses effets indésirables, ce que Ellul appelait l'auto-accroissement technique. La destruction n'est donc pas un accident de la technique, mais l'effet de son organisation systémique non délibérée. La technique s'inscrit également dans des rapports sociaux qui l'orientent. Andrew Feenberg a soutenu qu'elle est toujours « codée » socialement et qu'elle peut l'être autrement. La déforestation amazonienne n'est pas une fatalité technique, mais le résultat de choix d'acteurs précis. L'extraction massive de données personnelles n'est pas inhérente au numérique, mais la conséquence d'un modèle économique. La destructivité n'est donc pas dans la technique en soi, mais dans les rapports de pouvoir qui la configurent, ce qui est moins désespérant que la thèse heideggérienne, parce que cela laisse place à l'action politique. Notre constitution technique est en outre inachevée. Stiegler développe un argument subtil : si la technique nous constitue, alors nous avons besoin de temps pour intérioriser chaque nouvelle technique, en faire une véritable culture, élaborer les savoirs et les institutions qui permettent de l'habiter humainement. L'écriture a été progressivement intégrée par l'école, la grammaire, la philologie, le droit. Or les techniques contemporaines se succèdent à un rythme qui ne laisse plus le temps à ce travail d'appropriation. Nous sommes saturés d'outils que nous n'avons pas eu le temps de transformer en culture. L'humain enfin est constitué aussi par sa démesure. Cette dernière réponse, plus tragique, renvoie à la mythologie grecque. Prométhée donne le feu aux hommes, mais ce don les rend semblables aux dieux et appelle nécessairement le châtiment. L'''hubris'' n'est pas un accident humain, elle est inscrite dans la condition même d'un être qui se dépasse par ses œuvres. Si nous sommes par essence l'animal qui s'augmente techniquement, alors nous sommes aussi par essence l'animal qui risque toujours de se perdre dans cette augmentation. Ces réponses convergent : la technique n'est pas destructrice malgré le fait qu'elle nous constitue, elle est potentiellement destructrice ''parce qu'elle'' nous constitue, c'est-à-dire parce que nous sommes des êtres dont la puissance excède structurellement la sagesse. == IV. La tempérance comme racine du problème == Cette dernière formulation invite à un déplacement décisif. Et si, plus que la technique, c'était la difficulté à être tempérant qui détruisait l'homme ? === L'intempérance comme cause profonde === L'intuition est forte. Si la technique n'est qu'un amplificateur d'une fragilité humaine plus ancienne, alors la supprimer ne supprimerait pas le problème : il se manifesterait simplement à plus petite échelle. Les sociétés pré-modernes ont connu leurs propres catastrophes par démesure : déforestations massives de la Méditerranée antique, effondrement de l'île de Pâques, guerres d'extermination tribales, sacrifices humains rituels à grande échelle. La technique moderne donne à l'''hubris'' humaine une portée planétaire, mais elle ne l'a pas inventée. Cette lecture s'appuie sur les sagesses grecques : la tempérance (''sōphrosynē'') y est tenue pour la vertu cardinale parce que tout le reste en dépend. Aristote en faisait la condition de la vie bonne : la vertu est toujours un juste milieu entre deux excès, et l'art de tenir ce milieu est la difficulté humaine par excellence. Les stoïciens ont radicalisé cette idée : le malheur ne vient pas du monde, il vient de nos désirs disproportionnés à l'égard du monde. Bouddhisme, sagesse confucéenne, ascèse chrétienne convergent sur ce diagnostic : ce qui détruit l'homme, c'est son incapacité à dire « assez ». Une nuance importante s'impose toutefois : la tempérance ancienne était pensée comme vertu individuelle. Mais dans nos sociétés, l'enjeu s'est déplacé vers une tempérance collective, c'est-à-dire vers la capacité d'institutions politiques à imposer des limites à des dynamiques systémiques (marché, croissance, course aux armements, extraction des ressources) qu'aucun acteur individuel ne contrôle. Un consommateur tempérant en France ne suffit pas à infléchir la trajectoire climatique mondiale ; il faut une institution de la tempérance. Or c'est cette tempérance institutionnelle qui s'avère extraordinairement difficile à construire. === La critique marxiste : un déplacement structurel === Un point de vue marxiste introduirait ici un déplacement décisif et critiquerait sévèrement la formulation que nous venons d'adopter. Pour un marxiste conséquent, parler de « difficulté d'être tempérant » comme cause de la destruction relève d'une mystification idéologique. L'intempérance n'est pas une donnée anthropologique, mais un produit historique. Quand on dit « l'homme est intempérant », on parle en réalité d'un type d'homme historiquement situé : l'homme du capitalisme, en particulier l'homme bourgeois et désormais l'homme consumériste. Marx, dans les ''Manuscrits de 1844'' et dans ''Le Capital'', montre que les sociétés pré-capitalistes étaient souvent organisées autour de la suffisance plutôt que de l'accumulation. Le paysan médiéval cessait de travailler quand il avait de quoi vivre. Marshall Sahlins, dans ''Âge de pierre, âge d'abondance'', a illustré cette thèse : les chasseurs-cueilleurs travaillaient quelques heures par jour et vivaient dans une abondance paradoxale qui tenait à la limitation volontaire de leurs besoins. Faire porter le blâme à l'individu, c'est exonérer le système. Voici le cœur de l'objection marxiste. Imputer la catastrophe à une faiblesse morale individuelle invite à un travail sur soi : éducation, sagesse, conversion intérieure. Or c'est le geste idéologique par excellence : naturaliser un problème social. Si le problème est la consommation excessive des individus, alors la solution est qu'ils consomment moins, et non que le mode de production qui ''les pousse'' à consommer soit transformé. Andreas Malm ou Jason Moore parlent ainsi non pas d'« Anthropocène » (qui imputerait la crise à l'humanité en général) mais de « Capitalocène » : ce n'est pas l'homme qui détruit la planète, c'est un système économique historiquement situé. La fétichisation de la sobriété peut elle-même devenir une nouvelle ruse du capital. Un marxiste de l'École de Francfort observerait que le discours contemporain sur la sobriété, le minimalisme, la slow life, est lui-même devenu une marchandise. Luc Boltanski et Ève Chiapello, dans ''Le Nouvel Esprit du capitalisme'', ont montré comment la critique « artiste » de 1968 a été intégrée par le management. La même chose se produit avec la critique écologique : le greenwashing, le capitalisme « durable », l'éco-luxe sont les formes par lesquelles le système absorbe sa propre contestation. La contradiction interne du capital constitue ainsi la cause structurelle. John Bellamy Foster a redécouvert dans Marx un concept précieux, la « rupture métabolique » (''metabolic rift''). Le capitalisme, en séparant les villes des campagnes, en industrialisant l'agriculture, en mondialisant les chaînes de production, rompt les cycles écologiques. La pollution, l'épuisement des sols, la perte de biodiversité ne sont pas des accidents : ce sont les conséquences nécessaires d'un mode de production qui ne peut traiter la nature autrement que comme stock à exploiter. L'aliénation produit enfin de faux besoins. Marcuse, dans ''L'Homme unidimensionnel'', distingue entre besoins authentiques et faux besoins, ces derniers fabriqués par le système économique pour assurer ses débouchés. Dans cette optique, parler d'« intempérance » comme d'une caractéristique humaine, c'est confondre l'effet et la cause. L'individu contemporain n'est pas naturellement insatiable : il a été ''rendu'' insatiable par un système qui ne pourrait pas survivre s'il ne l'était pas. === Articulation des deux niveaux === Faut-il choisir entre ces deux lectures ? Probablement pas. Elles désignent deux étages d'un même problème. Il existe sans doute une tendance anthropologique à la démesure, et les Grecs avaient raison sur ce point. Mais cette tendance est puissamment amplifiée, organisée et exploitée par un système économique particulier, et les marxistes ont raison sur ce point. Les sociétés non capitalistes n'ont pas toujours été écologiquement vertueuses (l'URSS et la Chine maoïste furent parmi les pires pollueurs du XX{{e}} siècle), et certaines sociétés pré-capitalistes ont aussi connu leurs catastrophes écologiques. Mais il est tout aussi vrai que le capitalisme, par sa logique d'accumulation infinie, a porté à un niveau inédit ce qui restait ailleurs des dérives ponctuelles. Une pensée complète articulerait donc les deux niveaux, ce que tentent aujourd'hui Dominique Bourg, Geneviève Pruvost ou Razmig Keucheyan, qui essaient de penser ensemble la critique du capitalisme et la critique de la modernité technicienne. La question philosophique sérieuse devient celle de leur articulation, et la question politique celle de l'étage à privilégier dans l'action. == V. Le sujet moderne entre authenticité et aliénation == Cette discussion débouche sur une question proprement subjective : si nos désirs sont en partie produits par les structures économiques et techniques qui nous environnent, comment l'individu peut-il savoir ce qu'il désire vraiment ? Comment savoir s'il est authentique ou aliéné ? === Le paradoxe de l'authenticité === La question est, au sens strict, sans solution définitive. Pour savoir si je suis aliéné, il faudrait que je puisse comparer mon état présent à un état non aliéné. Or je n'ai jamais accès qu'à ma propre conscience telle qu'elle est constituée ici et maintenant. L'instance même par laquelle je voudrais juger de mon authenticité est elle-même produite par ce dont je voudrais m'extraire. Pierre Bourdieu a radicalisé cette intuition avec le concept d'''habitus'' : nos goûts, nos préférences politiques, nos manières d'être au monde sont l'intériorisation transparente d'une position sociale. Foucault en tire une conclusion radicale : il n'y a pas d'authenticité, il n'y a que des constructions, et la quête d'un « vrai soi » sous les couches d'aliénation est elle-même une fiction. Le sujet n'est pas une substance préexistante qu'il faudrait libérer, c'est un effet de pouvoir, un produit historique. Charles Taylor, dans ''Les Sources du moi'', a critiqué cette dissolution sans pour autant restaurer une notion naïve d'authenticité : pour lui, je ne suis pas authentique en m'isolant de toute influence (ce qui est impossible), mais en m'engageant avec lucidité dans certaines influences plutôt que d'autres, à travers un dialogue avec des « horizons de signification » qui me précèdent. === Quelques critères imparfaits === Ne pouvant offrir de critère absolu, la philosophie a proposé plusieurs indicateurs partiels. Le critère de la résistance et du coût d'abord : un désir imposé de l'extérieur s'efface généralement quand son entretien devient coûteux ; un désir plus profond résiste. Le critère de la cohérence sur la durée ensuite : les désirs aliénés sont souvent erratiques et suivent les modes ; une orientation authentique présente une certaine constance. Le critère de l'épreuve par l'altérité aussi : la confrontation avec autrui (amis exigeants, traditions philosophiques, œuvres d'art majeures) fonctionne comme un révélateur. Le critère de l'épaisseur réflexive selon Harry Frankfurt : l'authenticité se reconnaît à l'accord entre désirs de premier ordre (vouloir ceci) et désirs de second ordre (vouloir vouloir ceci). Le critère de la simplification possible enfin : si je ne peux pas rester seul une heure sans distraction, c'est un indice que mes désirs me possèdent plutôt que je ne les possède. Pascal l'avait formulé : « Tout le malheur des hommes vient d'une seule chose, qui est de ne savoir pas demeurer en repos dans une chambre. » Aucun de ces critères n'est infaillible. Ensemble, ils dessinent une approximation utilisable : l'authenticité est moins un état qu'un processus, un travail de discernement qui n'a pas de fin mais qui a des degrés. La vraie différence n'est pas entre ceux qui ont trouvé leur vérité et ceux qui ne l'ont pas, mais entre ceux qui prennent au sérieux ce travail et ceux qui n'y pensent jamais. === L'injonction d'authenticité comme nouvelle servitude === Reste une critique redoutable, qui retourne contre elle-même cette quête d'authenticité. L'idéal de devenir soi-même, présenté comme libération, peut aussi être analysé comme une nouvelle servitude, peut-être plus subtile et plus épuisante que les précédentes. Alain Ehrenberg, dans ''La Fatigue d'être soi'', a montré comment l'explosion de la dépression depuis les années 1970 correspond à un changement anthropologique profond : le passage d'une société de la discipline à une société de la performance de soi. Dans la société disciplinaire, l'individu était écrasé par des normes extérieures qui lui dictaient ce qu'il devait faire. Le conflit psychique typique était la névrose, la culpabilité née de la transgression. Le sujet souffrait d'être empêché. Mais à mesure que ces cadres se sont effondrés et que l'injonction est devenue « sois toi-même », le conflit a changé de nature. L'individu contemporain ne souffre plus tant d'être empêché que d'être insuffisant. La pathologie typique n'est plus la névrose mais la dépression, l'effondrement de qui ne parvient plus à être l'entrepreneur de sa propre existence. Ce déplacement est cruel parce qu'il est sans recours : contre une norme extérieure injuste, on peut se révolter ; contre l'exigence d'être soi-même, comment se révolter ? Byung-Chul Han prolonge cette analyse. Nous sommes passés d'une société de la contrainte (où d'autres nous exploitent) à une société de l'auto-exploitation (où nous nous exploitons nous-mêmes au nom de notre propre liberté). L'injonction « accomplis-toi » ne vient plus d'un patron, d'un curé ou d'un père : elle vient de nous. Burn-out, dépression, déficit d'attention, hyperactivité ont en commun une forme d'épuisement par excès de positivité, non par manque de liberté mais par excès d'options et d'injonctions à se réaliser. L'injonction à l'authenticité présente en outre une structure logiquement contradictoire, ce que Gregory Bateson appelait un ''double bind''. « Sois spontané ! » est l'exemple-type de l'injonction paradoxale : si je suis spontané parce qu'on me l'ordonne, je ne le suis pas vraiment ; si je ne le suis pas, je désobéis. « Sois authentique » fonctionne de la même manière. L'authenticité, par définition, doit jaillir d'elle-même ; on ne peut pas la produire sur commande, même quand cette commande vient de soi. Ce paradoxe est aigu à l'ère des réseaux sociaux, où l'authenticité doit être ''montrée'', performée, mise en scène. Elle devient un genre stylistique, un format. Plus on s'efforce d'y être soi-même, plus on entre dans des codes collectifs. Eva Illouz et Dany-Robert Dufour ont enfin montré comment cet idéal s'articule avec la rationalité néolibérale. L'individu est sommé de se penser comme un capital humain qu'il doit valoriser, comme une entreprise dont il est le PDG. Être authentique est devenu un rouage essentiel de l'économie : il faut être authentique pour être employable, il faut être soi-même de manière reconnaissable pour exister dans l'économie de l'attention. La fatigue n'est donc pas seulement psychologique, elle est structurelle. === Une issue possible : sortir du registre de la performance === Comment penser une issue qui ne soit pas un retour réactionnaire à des normes extérieures imposées ? Plusieurs pistes émergent. Hartmut Rosa, avec son concept de résonance, propose de remplacer l'idéal de réalisation de soi par celui d'une mise en relation avec le monde : non plus s'accomplir, mais se laisser toucher, répondre, entrer en correspondance avec ce qui n'est pas soi. Pierre Hadot, dans son interprétation des philosophies antiques, suggérait que le souci de soi grec n'avait rien de l'auto-réalisation moderne : il visait à se déprendre de soi, à pratiquer des « exercices spirituels » qui apaisent plutôt qu'ils n'épuisent. Le point commun de ces propositions est de désactiver la performance. Tant que l'authenticité reste pensée comme accomplissement d'un projet, elle demeure dans le registre épuisant de la production de soi. L'enjeu serait de retrouver une forme de présence à soi et au monde qui ne soit pas constamment évaluée, comparée, mise en scène. La vraie authenticité n'est peut-être pas un projet, mais ce qui apparaît quand on cesse d'en faire un projet, paradoxe que les traditions contemplatives, du taoïsme à Maître Eckhart, avaient pressenti depuis longtemps sous l'idée de non-agir ou de détachement. == Conclusion : la modernité comme tension à habiter == Au terme de ce parcours, plusieurs lignes de force se dégagent. La condition de l'homme moderne n'est définissable par aucun trait isolé, mais par une structure d'ambivalence qui traverse toutes ses dimensions. Le désenchantement libère et appauvrit. La technique nous constitue et nous menace. L'individualisme émancipe et épuise. L'authenticité s'offre comme idéal et se retourne en injonction. À chaque étage, ce qui se présente comme libération porte en lui les germes d'une nouvelle servitude, et ce qui se présente comme perte recèle des gains réels. Cette ambivalence n'est pas un défaut conjoncturel qu'il faudrait corriger ; elle est la forme propre de la condition moderne. Elle interdit deux postures symétriquement insuffisantes : la nostalgie réactionnaire qui voudrait revenir à un avant pré-moderne (qui n'a jamais existé tel qu'on le rêve, et qui ne reviendra pas), et le progressisme béat qui croirait que le mouvement de la modernité est intrinsèquement bon (alors qu'il porte des risques existentiels inédits). Trois exigences semblent dès lors s'imposer à la pensée contemporaine. Une exigence de discernement d'abord : apprendre à distinguer dans chaque mutation moderne ce qui s'enrichit et ce qui s'appauvrit, ce qui libère et ce qui asservit, sans céder à l'enthousiasme global ni à la déploration globale. Une exigence d'institution ensuite : reconnaître que les ressources individuelles, fussent-elles la lucidité, la sagesse ou la tempérance, ne suffisent pas à corriger des dynamiques systémiques, et que l'enjeu central est politique, à savoir inventer les formes collectives qui permettront d'habiter humainement un monde technique. Une exigence spirituelle enfin, au sens large que Pierre Hadot ou Dominique Bourg donnent à ce terme : retrouver, à l'intérieur même du cadre désenchanté qui est désormais le nôtre, des pratiques de présence, de résonance et de retrait, qui empêcheront le désenchantement de basculer en désolation et l'authenticité de s'épuiser en performance. Ce qui caractérise en dernière analyse la condition de l'homme moderne, c'est moins un état qu'une tâche : celle d'inventer les formes (institutionnelles, culturelles, intérieures) qui permettront d'assumer une liberté inédite sans s'y dissoudre, une puissance technique inégalée sans en être les instruments, et une exigence d'être soi-même sans en faire un nouveau fardeau. Tâche jamais achevée, et qu'aucune génération ne peut tenir pour acquise, mais qui constitue la forme moderne de ce que les Anciens appelaient la vie philosophique. == Bibliographie == * ANDERS, Günther, ''L'Obsolescence de l'homme'', 1956. * ARISTOTE, ''Éthique à Nicomaque''. * BATESON, Gregory, ''Vers une écologie de l'esprit'', 1972. * BAUMAN, Zygmunt, ''La Vie liquide'', 2005. * BOLTANSKI, Luc et CHIAPELLO, Ève, ''Le Nouvel Esprit du capitalisme'', Gallimard, 1999. * BOURDIEU, Pierre, ''La Distinction. 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