Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 22606 982798 982717 2026-05-13T22:18:45Z Cdang 1070 /* L'histoire du hautbois */ Dupin 982798 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = musique | niveau = débutant | suivant = [[../Premier contact/]] | précédent = [[../|Sommaire]] | numéro = 1 }} == La famille du hautbois == [[File:Classification instruments vents.svg|vignette|Classification des principaux instruments à vent de la musique classique.]] [[Fichier:Glio OboeReed.jpg|vignette|Anche double, l'embouchure du hautbois.]] [[Fichier:Mönnig, Oboe Modell 155 Albrecht Mayer.jpg|vignette|Un hautbois avec son anche.]] Le hautbois (prononciation : \o.bwɑ\) est un instrument à vent, c'est-à-dire que le son est créé par le souffle de l'instrumentiste. Dans l'orchestre symphonique, il fait partie de « l'harmonie ». C'est un instrument de la famille des bois, c’est-à-dire que le son est créé par un « sifflet » à l'entrée de l'instrument (par opposition aux cuivres où ce sont les lèvres qui produisent le son). Donc plus précisément, au sein d'un orchestre symphonique, il est dans la « petite harmonie » avec les autres bois : flûtes traversières, clarinettes, bassons. C'est un instrument à anche double : le son est produit par une embouchure, l’anche double, composée de deux lamelles de roseau attachées à un tube de laiton. Les bassons sont aussi des instruments à anche double. Les principaux instruments faisant partie de la famille du hautbois sont : le cor anglais et le hautbois d'amour. Similaires au hautbois, ils jouent des notes plus graves. L'instrumentiste est appelé·e un ou une « hautboïste » (prononciation : \o.bo.ist\) ; on dit aussi simplement un « hautbois », par exemple « elle est premier hautbois de l'orchestre ». Visuellement, on confond souvent le hautbois avec la clarinette. Il y a deux différences importantes : * la clarinette utilise une anche simple : une lamelle de roseau ligaturée sur un bec biseauté ; * la clarinette a une perce cylindrique : le diamètre est le même de l’embouchure (bec) jusqu'au pavillon ; alors que le hautbois a une perce conique : le diamètre augmente quand on va de l’anche vers le pavillon. De fait, le son est très différent. Au nom, on confond souvent le hautbois avec le basson, car c’est un instrument haut (grand) et en bois. Dans le mot hautbois, « haut » ne signifie pas grand mais qui sonne fort. ; Note : Contrairement au mot « hanche », qui est un quasi-homophone, le mot « anche » n'a pas de « h ». On fait donc la liaison : :* une anche : \y.nɑ̃ʃ\ ; :* des anches : \de.zɑ̃ʃ\ ; : et on dit :* « l'anche » (\lɑ̃ʃ\) et pas « la hanche » ; :* « mon anche » (\mɔ̃.nɑ̃ʃ\) et pas « ma hanche ». : Mais les deux mots ont la même étymologie : dans l'Antiquité, on fabriquait des flûtes à partir d'os, ceux-ci étant creux lorsque l'on retire la moelle. On a ainsi un même mot germanique (ou plus précisément francique), ''anka'' (canal de l'os), qui a donné à la fois le nom d'un os, la hanche, et d'une embouchure, l’anche. == La constitution du hautbois == Le corps du hautbois est démontable en trois parties : le corps du haut, le corps central et le pavillon. La perce, c'est-à-dire la forme creuse intérieure, est conique : elle a un faible diamètre en haut — le diamètre de l'anche — et s'évase en allant vers le pavillon. Le corps est percé de trous ; le fait de boucher ou déboucher les trous permet de changer de note, c'est ce que l'on appelle les « doigtés ». Certains trous sont activés par des clefs : une clef est un levier qui, quand on appuie dessus, lève ou baisse un tampon, qui ouvre ou ferme un trou situé plus loin. Dans les hautbois modernes, les six trous principaux, ceux situés sur le dessus du hautbois, sont recouverts de plateaux (des disques bombés, percés en leur centre) ; lorsque l'on appuie sur un plateau, on bouche le trou correspondant, mais le plateau agit comme une clef qui peut ouvrir ou fermer un autre trou. L'anche double se place en haut du hautbois, dans une cavité appelée « piperelle ». Le corps du hautbois est habituellement en bois. Comme il est percé de nombreux trous et supporte beaucoup de mécanique, on utilise un bois dur, l'ébène (ou grenadille). Il existe aussi des hautbois en matière plastique, y compris dans les gammes professionnelles. Les clefs et plateaux sont en général en maillechort argenté. Les tampons sont garnis de liège pour assurer l'étanchéité. {{clear}} == L'histoire du hautbois == [[Fichier:6 Oboen.jpg|vignette|Évolution du hautbois, de gauche à droite : hautbois Renaissance, hautbois baroque, hautbois classique début {{pc|xix}}{{e}} siècle, hautbois viennois début {{pc|xx}}{{e}} siècle, hautbois viennois fin {{pc|xx}}{{e}} siècle et hautbois « conservatoire ».]] [[Fichier:Borjon de Cellery 1.jpg|vignette|Divers instruments de la famille de la musette, dont un hautbois baroque à trois clefs. Pierre Borjon de Scellery, ''Traité de la musette'' (1672).]] Les instruments à anche double datent de l’Antiquité et se trouvent dans de nombreux endroits du monde. L’''aulos'' grec et la ''tibia'' romaine donnent le hautbois ; pour distinguer les hautbois anciens des hautbois modernes, on utilise parois le terme « chalémie » pour le hautbois du Moyen Âge, et « cromorne » pour le hautbois du {{pc|xvii}}{{e}} siècle ; c’est au milieu de ce siècle que les premières clefs apparaissent. Le hautbois en tant que tel apparaît en France à la Renaissance, vers 1650. Dans sa première forme, il ne comporte pas de clef, c'est un peu une flûte à bec munie d'une anche. Au fur et à mesure, on ajoute des clefs qui permettent de jouer plus notes ou d'avoir des notes qui sonnent plus juste. La plus grande évolution se fait au {{pc|xix}}{{e}} siècle : les luthiers imitent l'évolution de la flûte traversière et du système « Boehm », cela mène au hautbois moderne à plateaux, appelé « hautbois conservatoire » car Georges Gillet, professeur au conservatoire de Paris de 1881 à 1919, en fait adopter le système encore utilisé aujourd'hui. Les autres grands noms de l'évolution du hautbois sont les familles Hotteterre ({{pc|xvii}}{{e}}-{{pc|xviii}}{{e}} siècle), Philidor ({{pc|xvi}}{{e}}-{{pc|xviii}}{{e}} siècle), Triébert ({{pc|xviii}}{{e}}-{{pc|xix}}{{e}} siècle) et Lorée ({{pc|xix}}{{e}}-{{pc|xx}}{{e}} siècle). De nos jours, les principaux fabricants de hautbois sont français : * Buffet Crampon ; * Fossati ; * Lorée et de Gourdon : marques Lorée et Cabart ; * SML Marigaux : marques Marigaux et Strasser<ref>L'entreprise SML, « Strasser-Marigaux-Lemaire », fabrique aussi d'autres vents : trompettes, flûtes, clarinettes, saxophones…</ref> ; * Rigoutat. À l'international, on peut citer les allemands Orlowski et Gebrüder Mönning, l'italien Patricola, le britannique Howarth, les japonais Yamaha (山葉 ) et Josef (ヨーゼフ), le luxembourgeois Dupin et les étatsuniens Fox, RS Berkeley et Prestini. * {{YouTube|langue=fr|id=sA7dYN-_xME|titre=Les instruments français de 1900 : Hautbois, Hautbois d'amour et Cor anglais|chaîne=Les Siècles/Hélène Mourot|date=2023-05-26|consulté le=2024-11-28}} * {{lien web |url=https://www.facebook.com/theatredeschampselysees/videos/1236606794261188 |auteur=Hélène Mourot |site=Facebook/Théâtre des Champs-Élysées |titre=Le hautbois que connaissait Poulenc était-il le même que notre hautbois moderne ? |date=2024-11-27 |consulté le=2024-11-28}} == Le répertoire du hautbois == Nous parlons essentiellement ici d’œuvres écrites pour hautbois seul ou pour hautbois solo accompagné : sonates et concertos. La grande période du hautbois est la période baroque ({{pc|xvii}}-{{pc|xviii}}{{e}} siècle). Il y a donc un grand nombre de concertos et sonates dans cette période : Tomaso Albinoni, Carl Philip Emanuel Bach (à cheval sur l'époque classique), Jean-Sébastien Bach, Alessandro Besozzi, Joseph Bodin de Boismortier, Pietro Castrucci, Francesco Geminiani, Georg Friedrich Haendel, Johann David Heinichen, Alessandro Marcello, Guiseppe Sammartini, Georg Philipp Telemann, Antonio Vivaldi, Jan Dismas Zelenka… L'époque classique (1750-1820) lui rend aussi hommage : Carl Philipp Emanuel Bach, Domenico Cimarosa, Joseph Haydn, Johann Nepomuk Hummel, Franz Krommer, Wolfgang Amadeus Mozart… En revanche, peu de compositeurs romantiques s'y sont intéressés. On compte essentiellement, pour hautbois seul, une sonate de Camille Saint-Saëns et trois romances de Robert Schumann. Il revient en grâce dans la musique moderne et contemporaine : Tony Aubin, Eugène Joseph Bozza, Benjamin Britten, Henri Dutilleux, Jean Françaix, Gabriel Grovlez, Paul Hindemith, Gordon Jacob, Bohuslav Martinů, Wilhelm Bernhard Molique, Francis Poulenc, Nino Rota, Gustav Schreck, Richard Strauss, Kumiko Tanaka, Tôn-Thât Tiêt, John Williams… Le hautbois est peu utilisé en jazz : on peut mentionner Paul MacCandless du groupe Oregon, Yusef Lateef et Jean-Luc « Oboman » Fillon. En musique populaire et rock, on en entend dans ''I Got You Babe'' de Sonny & Cher (1965), le groupe Roxy Music (joué par Andy Mackay), ''Twist in My Sobriety'' de Tanita Tikaram (1988) et dans le morceau ''Just Alone'' du groupe Rage (album ''XIII'', 1998). Les arrangeurs de chanson française recourant souvent à des orchestres, on peut l’entendre dans des morceaux comme ''Ne me quitte pas'' (1959) ou ''Les Marquises'' (1977), de Jacques Brel, ''La Montagne'' (1964) de Jean Ferrat, ''Les Amants tristes'' (1974), ''La Mort des loups'', ''Requiem'' (1976) et ''Les Musiciens'' (1979) de Léo Ferré. * {{lien web |url=https://www.dailymotion.com/video/x59ekq0 |titre=Bach : Concerto pour hautbois d’amour, cordes et basse continue en la majeur BWV 1055 - Ensemble Cannaregio |site=France Musique/Daimymotion |date=2016 |consulté le=2023-12-19}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=aYnU-CaH0bM |titre=Alessandro Marcello, Concerto in re minore per oboe e orchestra |site=Cameristi della Scala WebTv/YouTube |date=2011-11-19 |consulté le=2025-09-26}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=F1yFl0V67wg |titre=ZELENKA | Trio-sonata No.6 in C minor |site=bozoparadzikcom/YouTube |date=2017-12-26 |consulté le=2023-12-20}}<br />sonate en trio {{n°|6}} de Zelenka en ''do'' mineur * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=E-OM7wlk8vo |titre=Stage@Seven: Cock-Vassiliou & Vegara & Saçılık & Höfele – Fauré, Bizet, Bridge, Mozart, Purcell … |site=hr-Sinfonieorchester – Frankfurt Radio Symphony/YouTube |date=2020-06-25 |consulté le=2023-12-15}}<br />quatuor de hautbois et cor anglais * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=SwTmzmi4AkQ |titre=W. A. Mozart: Oboe Quartet KV 370 |site=Hochrhein Musikfestival Productions/YouTube |date=2018-02-18 |consulté le=2024-12-15}}<br />quatuor pour hautbois de Mozart en ''fa'' majeur * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/francemusique/en-musique-le-hautbois-dans-tous-ses-etats-9009295 |titre=En musique, le hautbois dans tous ses états |site=France Musique |auteur=Léopold Tobisch |date=2020-06-26 |consulté le=2023-12-19}}. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=cSY6lWvRxV4 |titre=Love Theme From 'Spartacus' |site=Yusef Lateef/YouTube |date=2020-03-06 |consulté le=2026-01-28}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=iY_eE0rWSto |titre=Oregon, "The Swan" Paul McCandles oboe. Ortofon Quintet Blue |site=TR PD/YouTube |date=2015-09-07 |consulté le=2023-12-20}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=atvya6UrJ3s |titre=Les melons de cavaillon by Oboman Brothers |site=Oboman/YouTube |date=2020-06-07 |consulté le=2023-12-20}}<br />''Cantaloupe Island'' de Herbie Hancock * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=r5fFlI7MFeM |titre=Sonny & Cher "I Got You Babe" on The Ed Sullivan Show |site=The Ed Sullivan Show/YouTube |date=2021-07-26 |consulté le=2023-12-20}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=7s8glZ-efMg |titre=Tanita Tikaram - Twist In My Sobriety (Official Video) |site=Tanita Tikaram/YouTube |date=2019-03-08 |consulté le=2023-12-20}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=c5hok_V8GRY|titre=Just Alone |site=Rage/YouTube |date=2015-05-04 |consulté le=2023-12-20}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=AMc_uSU3KYo |titre=“Obotix” by Mike Mower with Olivier Stankiewicz & the Ronnie Scott Jazz Orchestra |site=Mike Mower's music videos/YouTube |date=2025-06-28 |consulté le=2025-06-29}} == Que faut-il pour commencer ? == [[Fichier:20190210 Twee wissers voor klarinet en tappenvet.jpg|vignette|Tube de graisse et écouvillons.]] [[Fichier:Oboe 1.JPG|vignette|Hautbois démonté dans sa boîte. Notez le pot de graisse à liège (en blanc) et l'anche dans son tube d'expédition (le logement peut accueillir une boîte pour trois anches).]] Pour commencer, il faut posséder un hautbois (et sa boîte de rangement) et des anches (dans une boîte à anches). Le mieux est d'avoir un hautbois en prêt ou en location, et pour cela de fréquenter une école de musique ou un conservatoire. En effet, le hautbois est un instrument cher — plusieurs milliers d'euros en 2023 pour un instrument durable et de qualité — et, le hautbois vieillissant assez mal, le marché de l'occasion n’est pas très dynamique (il faut de plus essayer l’instrument avant de l’acheter pour vérifier, notamment, qu’il joue encore juste, ce qui nécessite de savoir déjà bien jouer et exclue l’achat à distance). Il vaut donc mieux ne pas avoir à investir une somme trop importante au départ, avant de savoir si l'on va persévérer dans la pratique. Si vous héritez d'un hautbois, il faut le faire contrôler et réviser par un luthier spécialisé, ce qui peut coûter, selon les travaux à faire, quelques centaines d'euros. L'anche est un consommable : une anche peut durer deux mois ou plus si l'on en prend soin<ref>Hormis un accident, l'anche peut durer deux mois avec un élève en fin de deuxième cycle ou troisième cycle, qui joue une heure par jour. Un élève moins avancé, qui joue moins souvent — dix minutes par jour pour un débutant — peut la garder plus longtemps.</ref>, mais c’est une pièce fragile, elle se casse facilement : choc, chute, coup de dent lorsque l'on embouche l'instrument… Donc parfois, elle ne dure qu'un quart d'heure ! On peut acheter des anches toutes faites de bonne qualité dans des magasins ou sur des sites Internet — par exemple pour la France <code>toutpourlehautbois.com</code>, <code>anches.com</code>, <code>glotin.fr</code>, <code>neuranter.fr</code>, <code>vandoren.fr</code>… Il faut choisir une anche adaptée à son niveau, à sa manière de jouer — une des raisons pour lesquelles il est important d'avoir un professeur pour avoir ses conseils. En 2023, une anche d'étude coûte une quinzaine d'euros. Il existe des anches en plastique, mais elles sont chères — plus de 100 EUR — et aussi fragiles que les anches de roseau — car elles sont aussi fines. Il est donc conseillé de rester sur des anches en roseau. Les hautboïstes professionnels fabriquent eux-mêmes et elles-mêmes leurs anches. Outre le hautbois, les anches et leurs boîtes, il faut aussi quelques accessoires : * un écouvillon : il s'agit d'un chiffon muni d'une cordelette lestée, qui servira à sécher l'intérieur du hautbois ; on peut aussi utiliser une plume de canard ou de faisan pour le corps du haut, et une plume d'oie pour le corps médian et le pavillon ; * un chiffon doux qui ne pluche pas, de type peau chamoisée, qui servira à nettoyer les touches ; * un tube de graisse à liège, ou bien de la vaseline, du saindoux ou du suif, qui facilitera le montage du hautbois ; * un paquet de feuilles à cigarette, qui serviront à sécher les tampons ; * un tournevis de précision pour resserrer les vis qui se desserreraient. Comme pour tous les musiciens, un métronome devient vite indispensable, et un accordeur lorsque l'on joue à plusieurs. Et évidemment, un crayon et une gomme pour annoter les partitions, et un cahier de papier à musique pour écrire les devoirs et les explication du ou de la professeure. == Notes et références == {{références}} == Ressources == * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=ZuapGHtVDC4 |titre=Le Hautbois dans tous ses états ! Tuto, tips et astuces |site=L'instrumentiste/YouTube |date=2025-09-20 |consulté le=2026-04-18}}<br />présentation complète par Inès Sirajeddine. * {{lien web |url=https://www.orchestredeparis.com/figuresdenotes/index.php?page=video&instrument=hautbois&famille=bois |titre=Figures de notes : le hautbois |site=Orchestre de Pairs/YouTube |date=2015-03-05 |consulté le=2023-10-06}}<br />présentation de l'instrument par Alexandre Gattet. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=09kPDiQ2M4c |titre=Portrait d’orchestre #14 : Le hautbois |site=Opéra national de Pairs/YouTube |date=2021-07-07 |consulté le=2023-12-15}}<br />présentation de l'instrument par Ann Régnier et Jacques Tys. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=ukvmB-f5EXc |titre=Instrument #16 : LE HAUTBOIS + DIY anche [Pourquoi le hautbois donne le La ?] |site=YouTube, chaîne Val so Classic |date=2021-05-02 |consulté le=2023-09-22}}<br />présentation du hautbois. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=PaMXVpQuqDs |titre=La flûte à bec : porte d'entrée vers la musique ? Par Patricia Lavail - Culture Prime |site=YouTube, chaîne France Musique |date=2022-06-20 |consulté le=2023-09-22}}<br />la flûte à bec présente de nombreux points communs avec le hautbois, avec deux différences majeures : outre l’embouchure, contrairement à une flûte à bec, avec un hautbois, on ne peut pas chanter en jouant (à 2 min 34 de la vidéo) et il y a une résistance au souffle d'air (à 4 min 51). * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=zYx76pmeouo |titre=À vous de jouer avec le Philhar' : Le lac des Cygnes de Tchaïkovski au hautbois |site=YouTube, chaîne France Musique |date=2020-04-20 |consulté le=2023-09-22}}<br />une vidéo de présentation et de conseils destinée à des pratiquants et pratiquantes ayant un à deux ans de hautbois, tournée durant le confinement de la crise sanitaire Covid-19 ; cela montre notamment quelques difficultés liées à certains doigtés et le travail pour les résoudre. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=sA7dYN-_xME |titre=Les instruments français de 1900 : Hautbois, hautbois d'amour et cor anglais |site=YouTube, chaîne Les Siècles |date=2023-05-26 |consulté le=2023-10-06}}<br />une présentation des instruments de la famille du hautbois par Hélène Mourot. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=i6fNJDpKUfw |titre=Descent into Oboe Hell |site=YouTube, chaîne London Symphony Orchestra |date=2017-09-21 |consulté le=2023-10-06}}<br />un accident de hautbois du premier hautbois Olivier Stankiewicz : de l’eau de condensation vient boucher un trou, ce qui perturbe le son de l'instrument ; il le tape pour faire tomber la goutte, mais fend son anche, il doit donc prendre l'instrument de la seconde hautbois, Rosie Jenkins, pour terminer son solo. * {{lien web |url=https://vichy-encheres.com/2022/03/18/hautbois-triebert/#_ftn1 |titre=Le hautbois au {{pc|xviii}}{{e}} siècle et sa consécration au {{pc|xix}}{{e}} siècle grâce aux Triebert |site=Vichy enchères |date=2022 |consulté le=2023-12-20}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=_xOj9bLkYVQ |titre=Why Oboes Are So Expensive <nowiki>|</nowiki> So Expensive <nowiki>|</nowiki> Business Insider |site=YouTube, chaîne Business Insider |date=2022-10-01 |consulté le=2024-01-06 |lang=en}}<br />pourquoi les hautbois sont si chers (par le fabricant britannique Howarth). * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=LFhiU4KQcWk |titre=Marigaux / Hautbois - La fabrication d'un hautbois |site=YouTube, chaîne Orchestre de Paris |date=2024-01-05 |consulté le=2024-04-17 |lang=fr}}. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=sA7dYN-_xME |titre=Les instruments français de 1900 : Hautbois, Hautbois d'amour et Cor anglais |site=YouTube, chaîne Les Siècles |date=2024-01-05 |consulté le=2023-05-26 |lang=fr}}. * {{lien web |url=https://www.radiofrance.fr/francemusique/video-le-hautbois-comment-ca-marche-avec-gabriel-pidoux-5891839 |titre=VIDÉO - Le hautbois, comment ça marche ? Par Gabriel Pidoux |auteur=Mattéo Iachkine |site=France Musique |date=2020-10-18 |consulté le=2024-06-28}} * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=UuLNTXI2ewM |titre=Alexandre Gattet teste 3 hautbois chez Marigaux |site=YouTube, chaîne Orchestre de Paris |date=2024-01-05 |consulté le=2024-06-28}} : la différence de timbre entre des hautbois du même fabricant et même modèle. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=0KcPx5Qyc-k |titre=OBOE MARIGAUX 901 |site=YouTube, chaîne MARVIC Instruments |date=2020-08-19 |consulté le=2024-12-30}} : contient des gros plans sur un hautbois dont les clefs sont démontées. * {{lien web |url=https://www.youtube.com/watch?v=gv7K-uKFnaE |titre=Servette-Music TV: révision complète d'un hautbois par Patrick Elle |site=YouTube, chaîne ServetteMusicTV |date=2013-11-06 |consulté le=2024-12-30}} ---- Maintenant, afin de sortir les premiers sons, je vous retrouve dans le chapitre suivant. {{Bas de page | idfaculté = musique | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Premier contact/]] }} 06q7o3vpieyyf750oko4sw0fvxipwsy 0 61739 982780 971465 2026-05-13T12:15:00Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982780 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Complexes, formes algébrique et trigonométrique/]] | suivant = [[../Suites arithmétique et géométrique/]] }} == Introduction == {{Al|5}}Le nom « coniques » vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un « plan ne passant pas par le sommet du cône »<ref> Si le plan passe par le sommet du cône, on obtient des coniques dégénérées respectivement un point <math>\;\big(</math>dégénérescence d'une ellipse<math>\big)</math>, une demi-droite <math>\;\big(</math>dégénérescence d'une parabole<math>\big)\;</math> et deux droites sécantes <math>\;\big(</math>dégénérescence d'une hyperbole<math>\big)</math>.</ref> <math>\rightsquigarrow</math> voir les trois tracés ci-dessous<ref> Tracés légèrement modifiés à partir de ceux d'origine tirés du paragraphe « Sections d'un cône de révolution par un plan » de l'article de « wikipédia » intitulé « [[W:Cône_(géométrie)#Sections d'un cône de révolution par un plan|Cône (géométrie)]] ».</ref> : <gallery mode=packed heights= 360px> Intersection cône - plan - hyperbolique.jpg|frame|caption|<div style="text-align: left;">Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes</div> Intersection cône - plan - parabolique.jpg|frame|caption|<div style="text-align: left;">Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et <math>\;\parallel\;</math> à une génératrice du cône</div> Intersection cône - plan - elliptique.jpg|frame|caption|<div style="text-align: left;">Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône</div> </gallery> == Définition géométrique des coniques == === Définition bifocale d'une hyperbole === {{Al|5}}On considère deux points distincts <math>\;F\;</math> et <math>\;F'</math> <math>\;\big(</math>définissant les deux « foyers » de l'hyperbole<math>\big)\;</math> séparés de la distance <math>\;FF' = 2\, c</math>, le milieu <math>\;C\;</math> du segment <math>\;[FF']\;</math> et une longueur <math>\;a < c</math> : {{Définition|contenu={{Al|5}}L'hyperbole de foyers <math>\;F\;</math> et <math>\;F'\;</math> et d'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a} > 1\;</math> est l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <div style="text-align: center;">«<math>\;\vert MF - MF' \vert = 2\, a\;</math>».</div>}} === Principales propriétés d'une hyperbole === [[File:Hyperbole - caractéristiques.jpg|thumb|400px|Schéma d'une hyperbole utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques]] <math>\;\rightsquigarrow\;</math>Il existe : * <u>deux asymptotes</u><math>\;(\delta_1)\;</math> et <math>\;(\delta_2)\;</math> passant par <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>centre de l'hyperbole<math>\big)\;</math> et <u>deux branches d'hyperbole</u> ; * deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers <math>\;F\;</math> et <math>\;F'\;</math> est appelé « <u>axe focal</u> »<ref> Ou « transverse » ou encore « transversal », c'est le seul axe de symétrie d'une branche.</ref>, <br>{{Transparent|deux axes de symétrie dont }}l'autre <math>\;(\Delta)\;</math> lui étant <math>\;\perp\;</math> en <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>centre de l'hyperbole<math>\big)\;</math> est appelé « <u>axe non focal</u> »<ref> Ou « non transverse » ou encore « conjugué », ce n'est pas un axe de symétrie d'une branche mais un axe de symétrie de l'hyperbole complète, cet axe « conjuguant » une branche à l'autre.</ref> ; <math>\;\rightsquigarrow\;</math>nommant <math>\;A\;</math> et <math>\;A'\;</math> les points de l'hyperbole sur l'axe focal <math>\;\big(A\;</math> étant le plus proche de <math>\;F\big)</math>, * la longueur «<math>\;CA = CA' = a\;</math>»<ref> S'établit simplement par <math>\;AF' - AF = 2\, a \Leftrightarrow (AC + CF') - (CF - CA) = 2\, a\;</math> d'où <math>\;2\, AC = 2\, a</math>.</ref> est appelée « <u>demi-axe focal</u> », * on introduit le <u>demi-axe non focal</u><math>\;b\;</math> comme la longueur commune «<math>\;CB = CB' = b\;</math>» avec <math>\;B\;</math> et <math>\;B'\;</math> points de l'axe non focal, <br>projetés orthogonaux des points d'intersection des <math>\;\perp\;</math> à l'axe focal en <math>\;A\;</math> et <math>\;A'\;</math> avec les asymptotes<ref> Cette définition est donnée pour justifier le qualificatif « demi-axe non focal » donné à <math>\;b\;</math> mais elle n'est que rarement utilisée en mathématiques et ne l'est jamais en physique.</ref> <br><math>\big(</math>points d'intersections notés <math>\;K_1\;</math> ou <math>\;K_2</math>, <math>\;K'_1\;</math> ou <math>\;K'_2</math>, seul <math>\;K'_2\;</math> est représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)</math> ; <math>\;\rightsquigarrow\;</math>nommant <math>\;H_1\;</math> et <math>\;H_2\;</math> les projetés orthogonaux de <math>\;F\;</math> sur les asymptotes <math>\;\big(H'_1\;</math> et <math>\;H'_2\;</math> ceux de <math>\;F'\;</math> sur les asymptotes<math>\big)</math>, * la longueur «<math>\;CH_1 = CH_2 = CH'_1 = CH'_2 = a\;</math>»<ref> En effet cela résulte de la définition de la branche d'hyperbole <math>\;MF' - MF = 2\, a\;</math> en faisant tendre <math>\;M\;</math> vers l'infini <math>\Rightarrow</math> <math>\;M_\infty F\;</math> et <math>\;M_\infty F'\;</math> deviennent <math>\;\parallel\;</math> à l'asymptote d'où <math>\;M_\infty F' - M_\infty F</math> <math>= (M_\infty C + CH'_1) - (M_\infty C - CH_1) = 2\, CH_1\;</math> et par suite <math>\;CH_1 = a</math>.</ref> ; * on établit que la longueur «<math>\;FH_1 = FH_2 = (F'H'_1 = F'H'_2) = b\;</math>» car, dans les triangles <math>\;CFH_1\;</math> et <math>\;CA'K'_2</math>, <math>\;\tan(\alpha) =</math> <math>\dfrac{FH_1}{CH_1} = \dfrac{A'K'_2}{A'C}\;</math> avec <math>\;\dfrac{A'K'_2}{A'C} = \dfrac{b}{a}\;</math> d'où <math>\;FH_1 = \dfrac{b}{a}\, CH_1 = b\;</math><ref> On rappelle que l'on a établi précédemment <math>\;CH_1 = a</math>.</ref>, <math>\;b\;</math><u>est</u> donc aussi <u>la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes</u><ref> Cette propriété de <math>\;b</math>, découlant de la définition, est souvent considérée comme une 2^ème définition équivalente, c'est en tout cas la seule utilisée en physique et c'est donc celle que vous devez retenir.</ref> ; * le '''triangle'''<math>\;H_1FC\;</math>'''rectangle en'''<math>\;H_1\;</math> a pour longueur de côtés <math>\;\left( \begin{array}{l} CF = c\\ H_1F = b\\ CH_1 = a \end{array} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c^2 = a^2 + b^2\;</math>» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle <math>\;\alpha\;</math> entre les asymptotes et l'axe focal vaut «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math>»<ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref> On peut également dire que l'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a} > 1\;</math> est telle que «<math>\;\cos(\alpha) = \dfrac{1}{e}\;</math>».</ref> ; * on définit le '''paramètre''' par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>»<ref> Le paramètre a une signification indirecte dans la définition monofocale de l'hyperbole, on peut lui en trouver une aussi dans la définition bifocale : appelant <math>\;L_1\;</math> l'intersection avec l'asymptote <math>\;(\delta_1)\;</math> de la <math>\;\perp\;</math> à l'axe focal en <math>\;F\;</math> <math>\big(L_1\;</math> non représenté sur le schéma pour éviter la surcharge<math>\big)</math>, l'angle commun comme angles à côtés respectivement <math>\;\perp</math> <math>\;\widehat{H_1FL_1} = \widehat{FCH_1}\;</math> valant <math>\;\alpha</math>, on a <math>\;\tan(\alpha) =</math> <math>\dfrac{H_1L_1}{FH_1} = \dfrac{FH_1}{CH_1}\;</math> ou <math>\;\dfrac{H_1L_1}{b} = \dfrac{b}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;H_1L_1 = \dfrac{b^2}{a}\;</math> soit «<math>\;H_1L_1 = p\;</math>», mais cela n'a que très peu d'intérêt en physique.</ref> et on peut établir son lien avec <math>\;e\;</math> et <math>\;a\;</math> en éliminant <math>\;b^2\;</math> par <math>\;b^2 = c^2 - a^2\;</math> puis <math>\;c\;</math> par <math>\;c = e\, a\;</math> d'où «<math>\;b^2 = a^2\, (e^2 - 1)\;</math>» et «<math>\;p = a\, (e^2 - 1)\;</math>». {{Proposition|titre=À retenir|contenu= * Dans le <u>triangle</u><math>\;H_1FC\;</math><u>rectangle en</u><math>\;H_1</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;H_1\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur l'asymptote <math>\;(\delta_1)\big]</math> : <math>\;\left( \begin{array}{l} CF = c\\ H_1F = b\\ CH_1 = a \end{array} \right)\;</math> d'où <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{H_1FC}\;</math>rectangle en<math>\;\color{transparent}{H_1}</math> }}par théorème de Pythagore<ref name="Pythagore"> '''[[w:Pythagore|Pythagore de Samos]] (environs de 580 av JC - vers 495 av JC)''' est à la fois réformateur religieux, mathématicien, astronome et philosophe grec ; il acquiert ses connaissances scientifiques au cours de ses voyages <math>\;\big(</math>citons comme exemple le théorème de Pythagore qui, sur des cas particuliers, était déjà connu des chinois et des babyloniens <math>\;1000\;ans\;</math> avant lui<math>\big)</math>, fait progresser l'arithmétique et pose les bases mathématiques de la musique mais il ne laisse aucun écrit et il est difficile de savoir si tel résultat est de lui ou d'un de ses disciples.</ref> «<math>\;c^2 = a^2 + b^2\;</math>» et <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{H_1FC}\;</math>rectangle en<math>\;\color{transparent}{H_1}</math> }}par angle <math>\;\alpha = \widehat{FCH_1}</math> <math>\;\big[</math>l'angle entre l'asymptote <math>\;(\delta_1)\;</math> et l'axe focal<math>\big]</math>, <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{H_1FC}\;</math>rectangle en<math>\color{transparent}{H_1}</math> par angle}}«<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math>»<ref name="arctangente" /> ; * l'excentricité «<math>\;e = \dfrac{c}{a} > 1\;</math>» et le paramètre «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>»<ref> La relation <math>\;p = a\, (e^2 - 1)\;</math> est aussi fréquemment utilisée mais elle se retrouve facilement comme cela a été vu.</ref>.}} === Définition bifocale d'une ellipse === {{Al|5}}On considère deux points distincts <math>\;F\;</math> et <math>\;F'</math> <math>\;\big(</math>définissant les deux « foyers » de l'ellipse<math>\big)\;</math> séparés de la distance <math>\;FF' = 2\, c</math>, le milieu <math>\;C\;</math> du segment <math>\;[FF']\;</math> et une longueur <math>\;a > c</math> : {{Définition|contenu={{Al|5}}L'ellipse de foyers <math>\;F\;</math> et <math>\;F'\;</math> et d'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a} < 1\;</math> est l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <div style="text-align: center;">«<math>\;MF + MF' = 2\, a\;</math>»<ref> Pour un cercle d'excentricité nulle, correspondant à <math>\;F\;</math> et <math>\;F'\;</math> confondus avec <math>\;C</math>, on a <math>\;2\, MC = 2\, a\;</math> soit <math>\;MC = a</math>.</ref>.</div>}} === Principales propriétés d'une ellipse === [[File:Ellipse - caractéristiques.jpg|thumb|400px|Schéma d'une ellipse utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques]] <math>\;\rightsquigarrow\;</math>Il existe : * deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers <math>\;F\;</math> et <math>\;F'\;</math> est appelé « <u>axe focal</u> » ou « <u>grand axe</u> », <br>{{Transparent|deux axes de symétrie dont }}l'autre <math>\;(\Delta)\;</math> lui étant <math>\;\perp\;</math> en <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>centre de l'ellipse<math>\big)\;</math> est appelé « <u>axe non focal</u> » ou « <u>petit axe</u> » ; <math>\;\rightsquigarrow\;</math>nommant <math>\;A\;</math> et <math>\;A'\;</math> les points de l'ellipse sur l'axe focal <math>\;\big(A\;</math> étant le plus proche de <math>\;F\big)</math>, * la longueur «<math>\;CA = CA' = a\;</math>»<ref> S'établit simplement par <math>\;AF' + AF = 2\, a \Leftrightarrow (AC + CF') + (CA - CF) = 2\, a\;</math> d'où <math>\;2\, AC = 2\, a</math>.</ref> est appelée « <u>demi grand axe</u> » ; <math>\;\rightsquigarrow\;</math>nommant <math>\;B\;</math> et <math>\;B'\;</math> les points de l'ellipse sur le petit axe, * la longueur «<math>\;CB = CB' = b\;</math>» est appelée « <u>demi petit axe</u> » ; * le '''triangle'''<math>\;BFC\;</math>'''rectangle en'''<math>\;C\;</math> a pour longueur de côtés <math>\;\left( \begin{array}{l}CF = c\\ CB = b\\ FB = a \end{array} \right)\;</math><ref> La dernière relation résulte de la définition de l'ellipse <math>\;BF' + BF = 2\, a\;</math> avec <math>\;BF = BF'\;</math> d'où <math>\;FB = a</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a^2 = b^2 + c^2\;</math>» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle <math>\;\alpha = \widehat{CBF}\;</math> a pour sinus «<math>\;\sin(\alpha) = \dfrac{c}{a} = e\;</math>» ; * on définit le '''paramètre''' par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>»<ref> Le paramètre a une signification indirecte dans la définition monofocale de l'ellipse, on peut lui en trouver une aussi dans la définition bifocale : appelant <math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;C\;</math> sur <math>\;BF\;</math> on a <math>\;BH = p</math>, <math>\;\cos(\alpha) = \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{p}{b}\;</math> dans le triangle <math>\;BHC\;</math> et <math>\;\cos(\alpha) =</math> <math>\dfrac{BC}{CA} = \dfrac{b}{a}\;</math> dans le triangle <math>\;BCA\;</math> d'où <math>\;\dfrac{p}{b} = \dfrac{b}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math> mais cette matérialisation n'a que très peu d'intérêt en physique.</ref> et on peut établir son lien avec <math>\;e\;</math> et <math>\;a\;</math> en éliminant <math>\;b^2\;</math> par <math>\;b^2 = a^2 - c^2\;</math> puis <math>\;c\;</math> par <math>\;c = e\, a\;</math> d'où «<math>\;b^2 = a^2\, (1 - e^2)\;</math>» et par suite «<math>\;p = a\, (1 - e^2)\;</math>». {{Proposition|titre=À retenir|contenu= * Dans le <u>triangle</u><math>\;CFB\;</math><u>rectangle en</u><math>\;C</math> : <math>\;\left( \begin{array}{l} CF = c\\ CB = b\\ BF = a \end{array} \right)\;</math> d'où <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{CFB}\;</math>rectangle en<math>\;\color{transparent}{C}</math> }}par théorème de Pythagore<ref name="Pythagore" /> «<math>\;a^2 = b^2 + c^2\;</math>» et <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{CFB}\;</math>rectangle en<math>\;\color{transparent}{C}</math> }}par angle <math>\;\alpha = \widehat{CBF}</math> <math>\;\big[</math>l'angle sous lequel de <math>\;B</math>, un des sommets du petit axe, on voit la <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{CFB}\;</math>rectangle en<math>\;\color{transparent}{C}</math> par angle <math>\;\color{transparent}{\alpha = \widehat{CBF}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}distance entre le centre <math>\;C\;</math> et l'un des foyers <math>\;F\big]</math>, <br>{{Transparent|Dans le triangle<math>\;\color{transparent}{CFB}\;</math>rectangle en<math>\color{transparent}{C}</math> par angle}}«<math>\;\alpha = \arcsin\! \left( \dfrac{c}{a} \right) = \arcsin(e)\;</math>»<ref name="arcsinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_sinus_:_fonction_arcsinus|fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> ; * l'excentricité «<math>\;e = \dfrac{c}{a} < 1\;</math>» et le paramètre «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>»<ref> La relation <math>\;p = a\, (1 - e^2)\;</math> est aussi fréquemment utilisée mais elle se retrouve facilement comme cela a été vu.</ref>.}} === Définition monofocale d'une parabole === {{Al|5}}La parabole n'a pas de définition bifocale car une parabole n'a qu'un foyer ; <br>{{Al|17}}elle n'a donc qu'une définition monofocale, nécessitant de préciser son foyer <math>\;F\;</math> et la directrice <math>\;(D)\;</math> associée à son foyer, droite séparée du foyer d'une distance définissant son paramètre <math>\;p</math> : {{Définition|contenu={{Al|5}}La parabole de foyer <math>\;F\;</math> et de directrice <math>\;(D)\;</math> est l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que «<math>\;MF = MH\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> et de directrice <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> est }}«<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur la directrice <math>\;(D)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> et de directrice <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> est }}« la distance séparant le foyer <math>\;F\;</math> de la directrice <math>\;(D)\;</math> définissant le paramètre <math>\;p\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> et de directrice <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> est « la distance séparant le foyer <math>\;\color{transparent}{F}\;</math> de la directrice <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> définissant }}de la parabole », <br>{{Al|5}}les paraboles étant des coniques d'excentricité «<math>\;e = 1\;</math>»<ref> Le fait que l'excentricité <math>\;e\;</math> d'une parabole soit <math>\;1\;</math> sera justifié en donnant la définition monofocale d'une conique qu'elle soit ellipse, hyperbole ou parabole <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_monofocale_d'une_conique|définition monofocale d'une conique]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center>}} [[File:Parabole - définition monofocale.png|thumb|340px|Schéma explicitant la définition monofocale d'une parabole de foyer <math>\;F</math>, de directrice <math>\;(D)\;</math> et de paramètre <math>\;p</math>]] === Principales propriétés d'une parabole === <math>\;\rightsquigarrow\;</math>Il existe : * un axe de symétrie « la droite passant par <math>\;F\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;(D)\;</math>», cet axe est appelé « <u>axe focal</u> », <math>\;\rightsquigarrow\;</math>nommant <math>\;S\;</math> le point de la parabole situé sur son axe focal, * c'est « le milieu de <math>\;[FK]\;</math>» dans lequel <math>\;K\;</math> est le projeté orthogonal du foyer <math>\;F\;</math> sur la directrice <math>\;(D)\;</math><ref> <math>\;S\;</math> est effectivement le milieu de <math>\;[FK]\;</math> car <math>\;S\;</math> étant un point de la parabole on a <math>\;SF = SK\;</math> avec <math>\;S \in [FK]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;FS = \dfrac{p}{2}\;</math>», <math>\;S\;</math> étant nommé « sommet de la parabole ». === Définition monofocale d'une conique === {{Al|5}}C'est la seule définition commune aux trois coniques « ellipse, parabole ou hyperbole », on précise alors : * le couple « foyer, directrice associée »<ref> Dans le cas d'une parabole, il n'y a qu'un couple mais dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole, il y a deux couples possibles.</ref>, * le « paramètre <math>\;p\;</math>»<ref> Il s'agit d'une longueur.</ref>, * l'« excentricité <math>\;e\;</math>»<ref> Il s'agit d'un nombre <math>\;\geqslant 0\;</math> sans dimension, <math>\;< 1\;</math> pour une ellipse <math>\;\big(</math>avec son cas particulier <math>\;e = 0\;</math> correspondant à un cercle<math>\big)</math>, <math>\;= 1\;</math> pour une parabole et <math>\;> 1\;</math> pour une hyperbole.</ref> et * la « distance <math>\;2\, c\;</math> séparant le 2^ème foyer <math>\;\big(</math>celui qui n'est pas utilisé<math>\big)\;</math> du 1^er <math>\;\big(</math>celui qui est utilisé<math>\big)\;</math>» dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole correspondant à l'existence d'un deuxième couple « foyer, directrice associée ». {{Définition|contenu={{Al|5}}La conique de foyer <math>\;F</math>, de directrice associée <math>\;(D)\;</math> et d'excentricité <math>\;e\geqslant 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La conique }}est l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que «<math>\;MF = e\;MH\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|4}}{{Transparent|La conique est l'ensemble des points}}«<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur la directrice <math>\;(D)\;</math>», <br>{{Al|4}}{{Transparent|La conique est l'ensemble des points}}« le paramètre <math>\;p\;</math> de la conique étant le produit “<math>\;e \times FK\;</math>” où <math>\;FK\;</math> est la distance orthogonale <br>{{Al|4}}{{Transparent|La conique est l'ensemble des points« le paramètre <math>\;\color{transparent}{p}\;</math> de la conique étant }}séparant le foyer <math>\;F\;</math> de la directrice associée <math>\;(D)\;</math>» <br>{{Al|4}}{{Transparent|La conique est l'ensemble des points}}<math>\Big[</math>avec <math>\;K\;</math> projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)</math>, on en déduit «<math>\;FK = \dfrac{p}{e}\;</math>»<ref name="directrices d'un cercle"> Dans le cas d'un cercle où l'excentricité est nulle, cette distance est infinie, le foyer utilisé <math>\;F\;</math> étant confondu avec le centre <math>\;C\;</math> du cercle et la directrice <math>\;(D)\;</math> associée étant rejetée à l'infini <math>\;\big(</math>dans n'importe quelle direction étant donné que toute droite passant par <math>\;F\;</math> est axe de symétrie<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> Dans le cas d'une parabole où l'excentricité vaut <math>\;1</math>, cette distance est égale au paramètre <math>\;p</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'une ellipse où l'excentricité est <math>\;<\;</math> à <math>\;1</math>, cette distance est plus grande que le paramètre <math>\;p</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'une hyperbole où l'excentricité est <math>\;>\;</math> à <math>\;1</math>, cette distance est plus petite que le paramètre <math>\;p</math>.</ref><math>\Big]</math>. {{Al|5}}Sauf dans le cas d'une parabole, il existe un autre couple de foyer <math>\;F'\;</math> et de directrice associée <math>\;(D')\;</math> pour une conique de même excentricité <math>\;e \in \mathbb{R}^{+} \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace</math>, la définition de cette conique est la même en remplaçant les foyers entre eux et les directrices entre elles<ref name="définition monofocale d'un cercle"> Dans le cas d'un cercle, <math>\;F'\;</math> est confondu avec <math>\;F\;</math> <math>\;\big(</math>ce point commun s'identifiant avec le centre <math>\;C\;</math> du cercle<math>\big)</math>.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans le cas d'un cercle, <math>\;M\;</math> restant à distance finie de <math>\;F\;</math><ref name="définition monofocale d'un cercle" />, <math>\;MH\;</math> est <math>\;\infty\;</math><ref name="directrices d'un cercle" /> et comme <math>\;e\;</math> est nulle, «<math>\;e\; MH\;</math>» constitue une forme indéterminée laquelle doit être identifiée à la distance <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un cercle, <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à distance finie de <math>\;\color{transparent}{F}\;</math>, <math>\;\color{transparent}{MH}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\infty}\;</math> et comme <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> est nulle, «}}<math>\;MF\;</math> c'est-à-dire au rayon du cercle ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Dans le cas d'un cercle, }}on en déduit que la définition monofocale d'un cercle est peu exploitable ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}dans le cas d'une parabole on retrouve bien la définition fournie précédemment dans la mesure où l'« excentricité <math>\;e\;</math> de la parabole est égale à <math>\;1\;</math>»<ref name="définition monofocale d'une parabole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_monofocale_d'une_parabole|définition monofocale d'une parabole]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. ==== Application à une hyperbole ==== [[File:Hyperbole - définition monofocale.png|thumb|350px|Schéma explicitant la définition monofocale d'une hyperbole de foyer <math>\;F</math>, de directrice associée <math>\;(D)\;</math> et d'excentricité <math>\;e > 1</math> ; sont aussi représentés l'autre foyer <math>\;F'\;</math> et sa directrice associée <math>\;(D')\;</math> ainsi que les principales caractéristiques de l'hyperbole]] {{Al|5}}Voir ci-contre le tracé de l'hyperbole de foyer <math>\;F</math>, de directrice associée <math>\;(D)\;</math> et d'excentricité <math>\;e > 1</math>, la distance séparant <math>\;F\;</math> de <math>\;(D)\;</math> est <math>\;KF = \dfrac{p}{e}\;</math> dans lequel <math>\;K\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)</math> <math>\;\Big[e\;</math> étant <math>\;>\;</math> à <math>\;1</math>, on en déduit que <math>\;KF = \dfrac{p}{e} < p\;</math><ref> Mais <math>\;p\;</math> n'a pas de représentation immédiate sur le schéma, le paramètre <math>\;p\;</math> ne joue donc pas de rôle fondamental dans la définition monofocale de l'hyperbole, ce rôle étant joué par <math>\;e\;</math> et <math>\;\dfrac{p}{e}</math>.</ref><math>\Big]</math> ; {{Al|5}}l'excentricité <math>\;e\;</math> étant <math>\;> 1\;</math> l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que “<math>\;MF = e\; MH > MH\;</math>” dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'excentricité <math>\;\color{transparent}{e}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{> 1}\;</math> l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points }}<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)\;</math>» <br>{{Al|5}}<math>\big[</math>sur le schéma ci-contre la branche correspondant à <math>\;M\;</math> et <math>\;F\;</math> situés d'un même côté relativement à <math>\;(D)\;</math> est tracée et expliquée en rouge, <br>{{Al|12}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\big[}</math>sur le schéma }}l'autre branche correspondant à <math>\;M\;</math> et <math>\;F\;</math> situés de part et d'autre de <math>\;(D)\;</math> tracée en bleu et expliquée en noir<math>\big]</math> ; {{Al|9}}{{Transparent|l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée }}c'est aussi l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que “<math>\;MF' = e\; MH' > MH'\;</math>” avec <br>{{Al|9}}{{Transparent|l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points }}<math>\;H'\;</math> projeté orthogonal de l'autre foyer <math>\;F'\;</math> sur <br>{{Al|9}}{{Transparent|l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{H'}\;</math> projeté orthogonal de }}la directrice associée <math>\;(D')\;</math>»<ref> L'ensemble <math>\;\left\lbrace F'\,,\, (D') \right\rbrace\;</math> étant l'autre couple « foyer - directrice » possible pour définir, de façon monofocale, l'hyperbole.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\big[</math>sur le schéma ci-contre la branche correspondant à <math>\;M\;</math> et <math>\;F'\;</math> situés d'un même côté relativement à <math>\;(D')\;</math> tracée et expliquée en bleu, <br>{{Al|12}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\big[}</math>sur le schéma }}l'autre branche rouge n'étant pas expliquée pour éviter la surcharge<math>\big]</math>. ==== Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale ==== {{Al|5}}Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer <math>\;F</math> - directrice <math>\;(D)\;</math>» on a «<math>\;MF = e\; MH\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant }}<math>H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Partant de la définition monofocale de l'hyperbole }}utilisant le couple « foyer <math>\;F'</math> - directrice <math>\;(D')\;</math>» {{Transparent|on a}} «<math>\;MF' = e\; MH'\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant }}<math>H'\;</math> projeté orthogonal de <math>\;F'\;</math> sur <math>\;(D')\;</math>» ; {{Al|5}}en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «<math>\;MF - MF' = e\; (MH - MH')\;</math>» ou, <math>\;M\;</math> ayant été choisi sur la branche représentée en bleu<ref name="branche représentée en bleu"> On choisit la branche représentée en bleu dans le but d'utiliser les constructions figurant sur la figure, de plus on obtient ainsi une différence positive mais, <br>{{Al|20}}en choisissant <math>\;M\;</math> sur l'autre branche représentée en rouge avec ajout de la construction manquante reliant <math>\;M\;</math> à <math>\;F'\;</math> et projetant <math>\;M\;</math> en <math>\;H'\;</math> sur <math>\;(D')</math>, on aboutirait à la même conclusion à condition de former la différence positive <math>\;MF' - MF = e\; (MH' - MH)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en faisant la différence de ces deux définitions on obtient }}«<math>\;MF - MF' = e\; H'H\;</math>» avec «<math>\;H'H = 2\, \left( CF - KF \right) = 2\, \left( c - \dfrac{p}{e} \right)\;</math>»<ref> On introduit la grandeur <math>\;2\;c = FF'\;</math> intervenant dans la définition bifocale de l'hyperbole d'où <math>\;CF = c</math>.</ref> d'où «<math>\;MF - MF' = 2\; (e\; c - p)\;</math>» ; {{Al|5}}il reste à montrer que cette constante <math>\;2\; (e\; c - p)\;</math> est égale à l'axe focal «<math>\;A'A = 2\; a\;</math>» et pour cela il faut <math>\;\big(</math>en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'hyperbole<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|il reste à montrer que cette constante <math>\;\color{transparent}{2\; (e\; c - p)}\;</math> est égale à l'axe focal «<math>\;\color{transparent}{A'A = 2\; a}\;</math>» et pour cela il faut }}établir le lien de <math>\;A'A = 2\;a\;</math> avec «<math>\;e\;</math> et <math>\;p\;</math>» d'une part ainsi que <br>{{Al|6}}{{Transparent|il reste à montrer que cette constante <math>\;\color{transparent}{2\; (e\; c - p)}\;</math> est égale à l'axe focal «<math>\;\color{transparent}{A'A = 2\; a}\;</math>» et pour cela il faut établir le lien de <math>\;\color{transparent}{A'A = 2\;a}\;</math> avec }}«<math>\;e\;</math> et <math>\;c\;</math>» d'autre part ; {{Al|5}}dans ce but définissons <math>\;A\;</math> de façon monofocale utilisant le couple « foyer <math>\;F</math> - directrice <math>\;(D)\;</math> selon «<math>\;AF = e\; AK\;</math> avec <math>\;K\;</math> le pied de la directrice <math>\;(D)\;</math> sur l'axe focal » et {{Al|5}}{{Transparent|dans ce but définissons <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> de façon monofocale }}utilisant le couple « foyer <math>\;F'</math> - directrice <math>\;(D')\;</math> selon «<math>\;AF' = e\; AK'\;</math> avec <math>\;K'\;</math> le pied de la directrice <math>\;(D')\;</math> sur l'axe focal » ; {{Al|5}}de la 1^ère définition on tire <math>\;AF = e\; AK = e\; (FK - FA) = e\, \left( \dfrac{p}{e} - AF \right) = p - e\;AF\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;AF\, (1 + e) = p\;</math> soit <math>\;AF = \dfrac{p}{1 + e}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = CA = CF - AF = c - \dfrac{p}{1 + e}\;</math>»<ref name="c et a de la définition bifocale de l'hyperbole"> Les grandeurs <math>\;CF = CF' = c\;</math> et <math>\;CA = CA' = a</math> intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole.</ref> ; {{Al|5}}de la 2^ème définition on tire <math>\;AF' = e\; AK' = e\; (F'A - F'K') = e\, \left( AF' - \dfrac{p}{e} \right) = e\;AF' - p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;AF'\, (e - 1) = p\;</math> soit <math>\;AF' = \dfrac{p}{e - 1}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = CA = F'A - F'C = \dfrac{p}{e - 1} - c\;</math>»<ref name="c et a de la définition bifocale de l'hyperbole" /> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>faisant la somme des deux expressions de <math>\;a\;</math> dans le but d'éliminer <math>\;c</math>, nous en déduisons «<math>\;2\; a = \dfrac{p}{e - 1} - \dfrac{p}{1 + e} = \dfrac{2\; p}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;a\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;c\;</math><ref name="1 moins 2"> C.-à-d. la 2^ème expression ôtée de la 1^ère.</ref>, nous en déduisons «<math>\;0 = 2\;c - \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{e - 1} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;c = \dfrac{e\;p}{e^2 - 1}\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;\color{transparent}{c}\;</math>, nous en déduisons «<math>\;\color{transparent}{0 = 2\;c - \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{e - 1} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{e^2 - 1}}\;</math>» d'où }}«<math>\;c = e\;a\;</math>» en tenant compte de l'expression <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;\color{transparent}{c}\;</math>, nous en déduisons «<math>\;\color{transparent}{0 = 2\;c - \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{e - 1} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{e^2 - 1}}\;</math>» d'où }}de <math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math> précédemment obtenue, soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;\color{transparent}{c}\;</math>, nous en déduisons «<math>\;\color{transparent}{0 = 2\;c - \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{e - 1} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{e^2 - 1}}\;</math>» d'où }}«<math>\;a = \dfrac{c}{e}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;e = \dfrac{c}{a} > 1\;</math><ref name="définition bifocale de l'excentricité d'une hyperbole"> Nous retrouvons la définition bifocale de l'excentricité de l'hyperbole «<math>\;e = \dfrac{c}{a} > 1\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}reprenant «<math>\;MF - MF' = 2\; (e\; c - p)\;</math>» et y reportant les expressions de <math>\;c\;</math> et <math>\;p\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c l c} a \!\!&=&\!\! \dfrac{c}{e} \!\!&\Rightarrow&\!\! c \!\!&=&\!\! e\;a \\ a \!\!&=&\!\! \dfrac{p}{e^2 - 1} \!\!&\Rightarrow&\!\! p \!\!&=&\!\! (e^2 - 1)\;a \end{array} \right\rbrace\;</math> nous obtenons <br>{{Al|5}}{{Transparent|reprenant }}«<math>\;MF - MF' = 2\, \left[ e^2\; a - a\, \left( e^2 - 1 \right) \right] = 2\;a\;</math>» pour les points <math>\;M\;</math> de la branche représentée en bleu ; nous trouverions <br>{{Al|5}}{{Transparent|reprenant }}«<math>\;MF' - MF = 2\;a\;</math>» pour les points <math>\;M\;</math> de la branche représentée en rouge<ref name="branche représentée en bleu" /> ; {{Al|5}}finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} MF = e\; MH\;\text{avec}\;H\; \text{projeté orthogonal de} \;F\; \text{sur}\;(D)\\ MF' = e\; MH'\;\text{avec}\;H'\; \text{projeté orthogonal de} \;F'\; \text{sur}\;(D')\end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> la définition bifocale de celle-ci «<math>\;\vert MF - MF' \vert = 2\; a\;</math>»<ref name="définitions équivalentes"> La réciproque est également valable <math>\;\big(</math>les définitions monofocale et bifocale étant équivalentes<math>\big)\;</math> mais nous ne l'établirons pas car c'est essentiellement la définition bifocale qui nous intéresse en physique.</ref>. {{Al|5}}Il reste à montrer que «<math>\;a</math>, <math>\;b\;</math> et <math>\;p\;</math> définis de façon monofocale<ref> Les définitions monofocale et bifocale de <math>\;b\;</math> sont les mêmes à savoir la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » sont effectivement reliés par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>», mais ayant établi que « la définition monofocale <math>\Rightarrow</math> la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle <math>\;CFH_1\;</math>»<ref name="principales propriétés d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref> c'est-à-dire <math>\;a^2 + b^2 = c^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;b^2 = c^2 - a^2 = \left( e\;a \right)^2 - a^2\;</math><ref> Car nous avons établi précédemment, en utilisant les définitions monofocales de l'hyperbole, <math>\;c = a\;e</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;b^2 = a^2\; (e^2 - 1) = a\, \left[ a\; (e^2 - 1) \right] = a\;p\;</math><ref> Car nous avons établi précédemment, en utilisant les définitions monofocales de l'hyperbole, <math>\;p = a\; (e^2 - 1)</math>.</ref> soit «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. ==== Application à une ellipse ==== [[File:Ellipse - définition monofocale.png|thumb|550px|Schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse de foyer <math>\;F</math>, de directrice associée <math>\;(D)\;</math> et d'excentricité <math>\;e < 1</math> ; sont aussi représentés l'autre foyer <math>\;F'\;</math> et sa directrice associée <math>\;(D')\;</math> ainsi que les principales caractéristiques de l'ellipse]] {{Al|5}}Voir ci-contre le tracé de l'ellipse de foyer <math>\;F</math>, de directrice associée <math>\;(D)\;</math> et d'excentricité <math>\;e < 1</math>, la distance séparant <math>\;F\;</math> de <math>\;(D)\;</math> est <math>\;KF = \dfrac{p}{e}\;</math> dans lequel <math>\;K\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}<math>\Big[e\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;1</math>, on en déduit que <math>\;KF = \dfrac{p}{e} > p\;</math><ref> Mais <math>\;p\;</math> n'a pas de représentation immédiate sur le schéma, le paramètre <math>\;p\;</math> ne joue donc pas de rôle fondamental dans la définition monofocale de l'ellipse, ce rôle étant joué par <math>\;e\;</math> et <math>\;\dfrac{p}{e}</math>.</ref><math>\Big]</math> ; {{Al|5}}l'excentricité <math>\;e\;</math> étant <math>\;< 1\;</math> l'ellipse cherchée est l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan vérifiant la relation {{Nobr|“<math>\;MF</math>}} <math>= e\; MH < MH\;</math>” dans laquelle <math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)\;</math>» ; {{Al|9}}{{Transparent|l'excentricité e étant < 1 l'ellipse cherchée }}c'est aussi l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan vérifiant {{Nobr|“<math>\;MF' = e\; MH' < MH'\;</math>”,}} <math>\;\big[H'\;</math> projeté orthogonal de l'autre foyer <math>\;F'\;</math> sur la directrice associée <math>\;(D')\big]\;</math>». ==== Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale ==== {{Al|5}}Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer <math>\;F</math> - directrice <math>\;(D)\;</math>» on a {{Nobr|«<math>\;MF = e\; MH\;</math>}} avec <math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;F\;</math> sur <math>\;(D)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Partant de la définition monofocale de l'ellipse }}utilisant le couple « foyer <math>\;F'</math> - directrice <math>\;(D')\;</math>» {{Transparent|on a}} {{Nobr|«<math>\;MF' = e\; MH'\;</math>}} avec <math>\;H'\;</math> projeté orthogonal de <math>\;F'\;</math> sur <math>\;(D')\;</math>» ; {{Al|5}}en faisant la somme de ces deux définitions on obtient «<math>\;MF + MF' = e\; (MH + MH') = e\;HH'\;</math>» avec «<math>\;H'H = 2\, \left( CF + KF \right) = 2\, \left( c + \dfrac{p}{e} \right)\;</math>»<ref> On introduit la grandeur <math>\;2\;c = FF'\;</math> intervenant dans la définition bifocale de l'ellipse d'où <math>\;CF = c</math>.</ref> d'où «<math>\;MF + MF' = 2\; (e\; c + p)\;</math>» ; {{Al|5}}il reste à montrer que cette constante <math>\;2\; (e\; c + p)\;</math> est égale au grand axe «<math>\;A'A = 2\; a\;</math>» et pour cela il faut, <math>\big(</math>en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'ellipse<math>\big)</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|il reste à montrer que cette constante <math>\;\color{transparent}{2\; (e\; c + p)}\;</math> est égale au grand axe «<math>\;\color{transparent}{A'A = 2\; a}\;</math>» et pour cela il faut }}établir le lien de <math>\;A'A = 2\;a\;</math> avec «<math>\;e\;</math> et <math>\;p\;</math>» d'une part ainsi que <br>{{Al|6}}{{Transparent|il reste à montrer que cette constante <math>\;\color{transparent}{2\; (e\; c + p)}\;</math> est égale au grand axe «<math>\;\color{transparent}{A'A = 2\; a}\;</math>» et pour cela il faut établir le lien de <math>\;\color{transparent}{A'A = 2\;a}\;</math> avec }}«<math>\;e\;</math> et <math>\;c\;</math>» d'autre part ; {{Al|5}}dans ce but définissons <math>\;A\;</math> de façon monofocale utilisant le couple « foyer <math>\;F</math> - directrice <math>\;(D)\;</math> selon «<math>\;AF = e\; AK\;</math> avec <math>\;K\;</math> le pied de la directrice <math>\;(D)\;</math> sur l'axe focal » et {{Al|8}}{{Transparent|dans ce but définissons A de façon monofocale }} utilisant le couple « foyer <math>\;F'</math> - directrice <math>\;(D')\;</math> selon «<math>\;AF' = e\; AK'\;</math> avec <math>\;K'\;</math> le pied de la directrice <math>\;(D')\;</math> sur l'axe focal<ref name="K' non représenté sur la figure"> <math>\;K'\;</math> n'tant représenté sur la figure du paragraphe ci-dessus.</ref> » ; {{Al|5}}la 1^ère définition <math>\Rightarrow</math> <math>\;AF = e\; AK = e\; (FK - FA) = e\, \left( \dfrac{p}{e} - AF \right) = p - e\;AF\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;AF\, (1 + e) = p\;</math> soit <math>\;AF = \dfrac{p}{1 + e}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = CA = CF + FA = c + \dfrac{p}{1 + e}\;</math>»<ref name="c et a de la définition bifocale de l'ellipse"> Les grandeurs <math>\;CF = CF' = c\;</math> et <math>\;CA = CA' = a</math> intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'ellipse.</ref> ; {{Al|5}}la 2^ème définition <math>\Rightarrow</math> <math>\;AF' = e\; AK' = e\; (AF' + F'K')\;</math><ref name="K' non représenté sur la figure" /> <math>= e\, \left( AF' + \dfrac{p}{e} \right) = e\;AF' + p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;AF'\, (1 - e) = p\;</math> soit <math>\;AF' = \dfrac{p}{1 - e}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = CA = F'A - F'C = \dfrac{p}{1 - e} - c\;</math>»<ref name="c et a de la définition bifocale de l'ellipse" /> ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>faisant la somme des deux expressions de <math>\;a\;</math> dans le but d'éliminer <math>\;c</math>, nous en déduisons «<math>\;2\; a = \dfrac{p}{1 + e} + \dfrac{p}{1 - e} = \dfrac{2\; p}{1 - e^2}\;</math>» d'où «<math>\;a = \dfrac{p}{1 - e^2}\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;a\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;c\;</math><ref name="1 moins 2" />, nous en déduisons «<math>\;0 = 2\;c + \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{1 - e} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{1 - e^2}\;</math>» d'où «<math>\;c = \dfrac{e\;p}{1 - e^2}\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;\color{transparent}{c}\;</math>, nous en déduisons «<math>\;\color{transparent}{0 = 2\;c + \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{1 - e} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{1 - e^2}}\;</math>» d'où }}«<math>\;c = e\;a\;</math>» en tenant compte de l'expression <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;\color{transparent}{c}\;</math>, nous en déduisons «<math>\;\color{transparent}{0 = 2\;c + \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{1 - e} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{1 - e^2}}\;</math>» d'où }}de <math>\;a = \dfrac{p}{1 - e^2}\;</math> précédemment obtenue, soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>faisant la différence des deux expressions de <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> dans le but d'obtenir <math>\;\color{transparent}{c}\;</math>, nous en déduisons «<math>\;\color{transparent}{0 = 2\;c + \dfrac{p}{1 + e} - \dfrac{p}{1 - e} = 2\;c - \dfrac{2\; p\;e}{1 - e^2}}\;</math>» d'où }}«<math>\;a = \dfrac{c}{e}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;e = \dfrac{c}{a} < 1\;</math><ref name="définition bifocale de l'excentricité d'une ellipse"> Nous retrouvons la définition bifocale de l'excentricité de l'ellipse «<math>\;e = \dfrac{c}{a} < 1\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}reprenant «<math>\;MF + MF' = 2\; (e\; c + p)\;</math>» et y reportant les expressions de <math>\;c\;</math> et <math>\;p\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> soit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c c c l c} a \!\!&=&\!\! \dfrac{c}{e} \!\!&\Rightarrow&\!\! c \!\!&=&\!\! e\;a \\ a \!\!&=&\!\! \dfrac{p}{1 - e^2} \!\!&\Rightarrow&\!\! p \!\!&=&\!\! (1 - e^2)\;a \end{array} \right\rbrace\;</math> nous obtenons <br>{{Al|5}}{{Transparent|reprenant }}«<math>\;MF + MF' = 2\, \left[ e^2\; a + a\, \left( 1 - e^2 \right) \right] = 2\;a\;</math>» pour tous les points <math>\;M\;</math> de l'ellipse ; {{Al|5}}finalement les deux définitions monofocales de l'ellipse <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} MF = e\; MH\;\text{avec}\;H\; \text{projeté orthogonal de} \;F\; \text{sur}\;(D)\\ MF' = e\; MH'\;\text{avec}\;H'\; \text{projeté orthogonal de} \;F'\; \text{sur}\;(D')\end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> la définition bifocale de celle-ci «<math>\;MF + MF' = 2\; a\;</math>»<ref name="définitions équivalentes" />. {{Al|5}}Il reste à montrer que «<math>\;a</math>, <math>\;b\;</math> et <math>\;p\;</math> définis de façon monofocale<ref> Les définitions monofocale et bifocale de <math>\;b\;</math> sont les mêmes à savoir la longueur <math>\;CB = CB'\;</math> appelée « demi petit axe » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » sont effectivement reliés par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>», mais ayant établi que « la définition monofocale <math>\Rightarrow</math> la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle <math>\;BFC\;</math>»<ref name="principales propriétés d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref> c'est-à-dire <math>\;c^2 + b^2 = a^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - \left( e\;a \right)^2\;</math><ref> Car nous avons établi précédemment, en utilisant les définitions monofocales de l'ellipse, <math>\;c = a\;e</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;b^2 = a^2\; (1 - e^2) = a\, \left[ a\; (1 - e^2) \right] = a\;p\;</math><ref> Car nous avons établi précédemment, en utilisant les définitions monofocales de l'ellipse, <math>\;p = a\; (1 - e^2)</math>.</ref> soit «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. ==== Retour sur la parabole ==== {{Al|5}}Au vu de la définition monofocale d'une conique, il semble possible de supposer que « la parabole de foyer <math>\;F\;</math> et de directrice <math>\;(D)</math> <math>\;\big[</math>donc de paramètre <math>\;p\;</math> fixé<ref> En effet le paramètre <math>\;p\;</math> d'une parabole est la distance séparant le foyer de la directrice.</ref><math>\big]\;</math>» est * « la limite d'une ellipse d'excentricité <math>\;e\;</math> dont <math>\;F\;</math> est un des foyers, de même paramètre <math>\;p\;</math> et de directrice associée <math>\;(D_e) \;\parallel\;</math> à <math>\;(D)\;</math> quand l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'ellipse tend vers <math>\;1^{-}\;</math>» <br><math>\Big[</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}</math>, <math>\;\dfrac{p}{e} \rightarrow p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;(D_e) \rightarrow (D)\;</math> et <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Big[}</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;\color{transparent}{e \rightarrow 1^{-}}</math>, }}la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;MF = e \times d\! \left\lbrace M,\, (D_e) \right\rbrace\;</math>» devient <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Big[}</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;\color{transparent}{e \rightarrow 1^{-}}</math>, la définition monofocale de l'ellipse }}« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;MF = 1 \times d\! \left\lbrace M,\, (D) \right\rbrace</math> <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Big[}</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;\color{transparent}{e \rightarrow 1^{-}}</math>, la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan tel que <math>\;\color{transparent}{MF}</math> }}<math>= d\! \left\lbrace M,\, (D) \right\rbrace\;</math>» définition monofocale de la parabole<math>\Big]</math> et * « la limite d'une branche d'hyperbole d'excentricité <math>\;e\;</math> dont <math>\;F\;</math> est le foyer contourné, de même paramètre <math>\;p\;</math> et de directrice associée <math>\;(D_h) \;\parallel\;</math> à <math>\;(D)\;</math> quand l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'hyperbole <math>\;\rightarrow\;1^{+}\;</math>» <br><math>\Big[</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;e \rightarrow 1^{+}</math>, <math>\;\dfrac{p}{e} \rightarrow p\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;(D_h) \rightarrow (D)\;</math> et <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Big[}</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;\color{transparent}{e \rightarrow 1^{+}}</math>, }}la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;MF = e \times d\! \left\lbrace M,\, (D_h) \right\rbrace\;</math>» devient <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Big[}</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;\color{transparent}{e \rightarrow 1^{+}}</math>, la définition monofocale de l'hyperbole }}« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;MF = 1 \times d\! \left\lbrace M,\, (D) \right\rbrace</math> <br>{{Transparent|<math>\color{transparent}{\Big[}</math>cette induction se vérifie aisément : quand <math>\;\color{transparent}{e \rightarrow 1^{+}}</math>, la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan tel que <math>\;\color{transparent}{MF}</math> }}<math>= d\! \left\lbrace M,\, (D) \right\rbrace\;</math>» définition monofocale de la parabole<math>\Big]</math> ; {{Al|5}}que deviennent le « demi-axe focal <math>\;a\;</math>», le « demi-axe non focal <math>\;b\;</math>» et la « distance <math>\;c\;</math> séparant chaque foyer du centre de symétrie » de l'ellipse ou de l'hyperbole tendant vers la parabole, {{Al|5}}que devient la définition bifocale de l'ellipse ou de l'hyperbole dans les mêmes conditions de limite ? ===== Passage de l'ellipse à la parabole ===== [[File:Parabole comme limite d'une ellipse.png|thumb|500px|Limite parabolique d'une ellipse de foyer <math>\;F</math>, de directrice associée <math>\;(D_e)</math>, de paramètre <math>\;p\;</math> et d'excentricité <math>\;e\;</math> quand «<math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math> à foyer et paramètre fixés »]] {{Al|5}}Partant de l'ellipse de foyer <math>\;F\;</math> et de directrice associée <math>\;(D_e)\; \parallel\;</math> à <math>\,(D)\;</math><ref name="F et D foyer et directrice de la parabole"> <math>\;F\;</math> et <math>\;(D)\;</math> étant le foyer et la directrice de la parabole que l'on cherche à former.</ref> tel que « le paramètre <math>\;p\;</math> de l'ellipse soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'ellipse vers <math>\;1^{-}</math> : {{Al|5}}montrons que « le 2^ème foyer <math>\;F'\;</math> de l'ellipse se trouve rejeté à l'infini de <math>\;F\;</math> perpendiculairement à la direction commune de <math>\;(D_e)\;</math> et <math>\;(D)\;</math>», en effet, partant de l'expression «<math>\;FF' = 2\;FC = 2\; c = \dfrac{2\; e\, p}{1 - e^2}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'ellipse déduite de sa définition monofocale"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Établissement_de_la_définition_bifocale_d'une_ellipse_à_partir_de_sa_définition_monofocale|établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on établit que {{Nobr|«<math>\;FF' = \dfrac{2\; e\, p}{1 - e^2} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math>»}} <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas de 2^ème foyer <math>\;F'\;</math> et la distance <math>\;c\;</math> n'y est pas définie<ref> Car le 2^ème foyer <math>\;F'\;</math> de l'ellipse est envoyé à l'infini et que sa distance <math>\;c\;</math> est infinie.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}simultanément on constate que «<math>\;A \rightarrow S\;</math> sommet de la parabole » car, partant de l'expression «<math>\;FA = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'ellipse déduite de sa définition monofocale" />, on établit que «<math>\;FA = \dfrac{p}{1 + e} \rightarrow \dfrac{p}{2}\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|simultanément on constate }}que «<math>\;A'\;</math> s'éloigne à l'infini de <math>\;F\;</math> perpendiculairement à la direction commune de <math>\;(D_e)\;</math> et <math>\;(D)\;</math>» car, partant de l'expression «<math>\;FA' = F'A = \dfrac{p}{1 - e}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'ellipse déduite de sa définition monofocale" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;FA' = \dfrac{p}{1 - e} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet<ref> Car le 2^ème point <math>\;A'\;</math> sur l'axe focal de l'ellipse est envoyé à l'infini.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}le « demi-grand axe <math>\;a\;</math> de l'ellipse devient infini » quand son excentricité <math>\;e\;</math> tend vers <math>\;1\;</math> car, partant de l'expression {{Nobr|«<math>\;a = CA = CA' = \dfrac{p}{1 - e^2}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'ellipse déduite de sa définition monofocale" />,}} on établit que «<math>\;a = \dfrac{p}{1 - e^2} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal <math>\;a\;</math>»<ref> Car le demi-grand axe <math>\;a\;</math> de l'ellipse est infini.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}les points «<math>\;B\;</math> et <math>\;B'\;</math> se retrouvent rejetés à l'infini parallèlement à la direction commune de <math>\;(D_e)\;</math> et <math>\;(D)\;</math>» car, du lien entre les trois longueurs <math>\;p</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> défini pour une ellipse <math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math> on tire <math>\;b =</math> <math>CB = CB' = \sqrt{p\; a}\;</math> et avec <math>\;a = \dfrac{p}{1 - e^2}\;</math><ref name="définition bifocale de l'ellipse déduite de sa définition monofocale" />, on en déduit «<math>\;b = CB = CB' = \dfrac{p}{\sqrt{1 - e^2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;b = CB = CB' = \dfrac{p}{\sqrt{1 - e^2}} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal <math>\;\big(</math>donc pas de points <math>\;B\;</math> et <math>\;B'\big)\;</math> ni de « demi-axe non focal <math>\;b\;</math>»<ref> Car, d'une part, le petit axe de l'ellipse étant <math>\;\perp\;</math> au grand axe en <math>\;C\;</math> est envoyé à l'infini simultanément à <math>\;C\;</math> et d'autre part, le demi-petit axe <math>\;b\;</math> de l'ellipse est infini.</ref><math>\big]</math>. ===== Passage de la branche d'hyperbole à la parabole ===== [[File:Parabole comme limite d'une branche d'hyperbole.png|thumb|400px|Limite parabolique d'une branche d'hyperbole de foyer <math>\;F\;</math> contourné par elle, de directrice associée <math>\;(D_h)</math>, de paramètre <math>\;p\;</math> et d'excentricité <math>\;e\;</math> quand «<math>\;e \rightarrow 1^{+}\;</math> à foyer et paramètre fixés »]] {{Al|5}}Partant de la branche d'hyperbole de foyer <math>\;F\;</math> qu'elle contourne et de directrice associée <math>\;(D_h)\; \parallel\;</math> à <math>\,(D)\;</math><ref name="F et D foyer et directrice de la parabole" /> tel que « le paramètre <math>\;p\;</math> de l'hyperbole soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'hyperbole vers <math>\;1^{+}</math> : {{Al|5}}montrons que « le 2^ème foyer <math>\;F'\;</math> de l'hyperbole se trouve rejeté à l'infini de <math>\;F\;</math> perpendiculairement à la direction commune de <math>\;(D_h)\;</math> et <math>\;(D)\;</math>», en effet, partant de l'expression «<math>\;FF' = 2\;FC = 2\; c = \dfrac{2\; e\, p}{e^2 - 1}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'hyperbole déduite de sa définition monofocale"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Établissement_de_la_définition_bifocale_d'une_ellipse_à_partir_de_sa_définition_monofocale|établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on établit que «<math>\;FF' = \dfrac{2\; e\, p}{e^2 - 1} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{+}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas de 2^ème foyer <math>\;F'\;</math> et la distance <math>\;c\;</math> n'y est pas définie<ref> Car le 2^ème foyer <math>\;F'\;</math> de l'hyperbole est envoyé à l'infini et que sa distance <math>\;c\;</math> est infinie.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}simultanément on constate que «<math>\;A \rightarrow S\;</math> sommet de la parabole » car, partant de l'expression «<math>\;FA = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'hyperbole déduite de sa définition monofocale" />, on établit que {{Nobr|«<math>\;FA = \dfrac{p}{1 + e} \rightarrow \dfrac{p}{2}\;</math>}} quand <math>\;e \rightarrow 1^{-}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|simultanément on constate }}que «<math>\;A'\;</math> s'éloigne à l'infini de <math>\;F\;</math> perpendiculairement à la direction commune de <math>\;(D_h)\;</math> et <math>\;(D)\;</math>» car, partant de l'expression «<math>\;FA' = F'A = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'hyperbole déduite de sa définition monofocale" />, on établit que «<math>\;FA' = \dfrac{p}{e - 1} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{+}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>la}} parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet<ref> Car le 2^ème point <math>\;A'\;</math> sur l'axe focal de l'hyperbole est envoyé à l'infini.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}le « demi-axe focal <math>\;a\;</math> de l'hyperbole <math>\;\rightarrow \infty\;</math>» quand son excentricité <math>\;e \rightarrow 1\;</math> car, partant de la relation «<math>\;a = CA = CA' = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>»<ref name="définition bifocale de l'hyperbole déduite de sa définition monofocale" />, on établit que «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{+}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal <math>\;a\;</math>»<ref> Car le demi-axe focal <math>\;a\;</math> de l'hyperbole est infini.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}le « demi-axe non focal <math>\;b\;</math> de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité <math>\;e\;</math> tend vers <math>\;1\;</math> car, du lien entre les trois longueurs <math>\;p</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> défini pour une hyperbole <math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math> on tire <math>\;b =</math> <math>\sqrt{p\; a}\;</math> et avec <math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math><ref name="définition bifocale de l'hyperbole déduite de sa définition monofocale" />, on en déduit «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;b \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}} \rightarrow \infty\;</math> quand <math>\;e \rightarrow 1^{+}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal ni de « demi-axe non focal <math>\;b\;</math>»<ref> Car, d'une part, l'axe non focal de l'hyperbole étant <math>\;\perp\;</math> à son axe focal en <math>\;C\;</math> est envoyé à l'infini simultanément à <math>\;C\;</math> et d'autre part, le demi-axe non focal <math>\;b\;</math> de l'hyperbole est infini.</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}les « asymptotes <math>\;\delta_1\;</math> et <math>\;\delta_2\;</math> de l'hyperbole sont rejetées à l'infini perpendiculairement à la direction commune de <math>\;(D_h)\;</math> et <math>\;(D)\;</math>» <math>\;\big(</math>donc parallèlement à l'axe focal de l'hyperbole<math>\big)</math> quand l'excentricité <math>\;e\;</math> de cette dernière tend vers <math>\;1\;</math> car l'angle que fait l'une ou l'autre de ces asymptotes avec l'axe focal étant <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math><ref name="arctangente" />{{,}}<ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> avec <math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math><ref name="définition bifocale de l'hyperbole déduite de sa définition monofocale" /> et <math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}</math> <math>\;\big(</math>voir sous-paragraphe précédent<math>\big)</math>, on en déduit «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{\dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}}{\dfrac{p}{e^2 - 1}} \right) = \arctan\! \left( \sqrt{e^2 - 1} \right)\;</math>»<ref name="arctangente" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \sqrt{e^2 - 1} \right) \rightarrow 0\;</math><ref name="arctangente" /> quand <math>\;e \rightarrow 1^{+}\;</math>» <math>\;\big[</math>la parabole limite n'a donc pas d'asymptotes mais simplement une direction asymptotique <math>\;\parallel\;</math> à l'axe de la parabole<ref> Car, d'une part, les asymptotes de l'hyperbole étant issues de <math>\;C\;</math> sont envoyées à l'infini simultanément à <math>\;C\;</math> et d'autre part, l'angle <math>\;\alpha\;</math> que font les asymptotes avec l'axe focal devient nul <math>\;\big(</math>ce qui définit l'inclinaison de la direction asymptotique de l'hyperbole<math>\big)</math>.</ref><math>\big]</math>. == Mise en équation des coniques == === Équations cartésiennes des coniques === ==== Parabole de sommet O et d'axe Oy ==== ===== Équation cartésienne ===== {{Proposition|titre=Équation cartésienne d'une parabole de sommet O et d'axe de symétrie Oy|contenu={{Al|5}}L'équation cartésienne d'une parabole de sommet <math>\;O\;</math> et d'axe de symétrie <math>\;Oy\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une parabole }}s'écrit «<math>\;y = a\; x^2\;</math>» avec <math>\bullet\;</math>une concavité vers les <math>\;y > 0\;</math> pour <math>\;a > 0\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une parabole s'écrit «<math>\;\color{transparent}{y = a\; x^2}\;</math>» avec }}<math>\bullet\;</math>une concavité vers les <math>\;y < 0\;</math> pour <math>\;a < 0</math>.}} {{Al|5}}<u>Justification</u><ref> La justification va être faite uniquement dans le cas où <math>\;a\;</math> est <math>\;> 0</math> <math>\;\big[</math>dans le cas où <math>\;a\;</math> est <math>\;< 0\;</math> l'adaptation de la justification se fait sans aucune difficulté et est laissée au soin du lecteur<math>\big]</math>.</ref> : Pour <math>\;a > 0</math>, la concavité étant vers les <math>\;y > 0</math>, le foyer <math>\;F\;</math> a pour coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_F = 0\,,\, y_F = \dfrac{p}{2} \right)\;</math><ref> Le foyer étant sur l'axe focal <math>\;Oy\;</math> à la distance <math>\;\dfrac{p}{2}\;</math> au-dessus du sommet <math>\;O\, \left( x_O = 0\,,\, y_0 = 0 \right)</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : Pour <math>\;\color{transparent}{a > 0}</math>, la concavité étant vers les <math>\;\color{transparent}{y > 0}</math>, }}la directrice associée <math>\;(D)\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;Ox\;</math> a pour équation <math>\;y_{(D)} = -\dfrac{p}{2},\;\;\forall\;x\;\in\;\mathbb{R}\;</math><ref> La directrice étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe focal <math>\;Oy\;</math> à la distance <math>\;\dfrac{p}{2}\;</math> au-dessous du sommet <math>\;O\, \left( x_O = 0\,,\, y_0 = 0 \right)</math>.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Justification : }}la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)\;</math> tel que <math>\;MF = MH\;</math>» avec <math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur la directrice <math>\;(D)\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que <math>\;\color{transparent}{MF = MH}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> }}de coordonnées <math>\;\left( x_H = x_M\,,\, y_H = -\dfrac{p}{2} \right)</math>, nous en déduisons <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;MF^2 = MH^2\;</math> avec <math>\;MF^2 = \left( x_F - x_M \right)^2 + \left( y_F - y_M \right)^2 = x_M^2 + \left( \dfrac{p}{2} - y_M \right)^{\!2}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que <math>\;\color{transparent}{MF^2 = MH^2}\;</math> avec }}<math>\;MH^2 = \left( x_H - x_M \right)^2 + \left( y_H - y_M \right)^2 = \left( -\dfrac{p}{2} - y_M \right)^{\!2}\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;x_M^2 + \left( \dfrac{p}{2} - y_M \right)^{\!2} = \left( \dfrac{p}{2} + y_M \right)^{\!2}\;</math> ou <math>\;x_M^2 = \left( \dfrac{p}{2} + y_M \right)^{\!2} - \left( \dfrac{p}{2} - y_M \right)^{\!2}</math> ou encore <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;x_M^2 = \left[ \left( \dfrac{p}{2} + y_M \right) + \left( \dfrac{p}{2} - y_M \right) \right]\, \left[ \left( \dfrac{p}{2} + y_M \right) - \left( \dfrac{p}{2} - y_M \right) \right] = p\, \left[ 2\;y_M \right]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}finalement «<math>\;y_M = \dfrac{1}{2\;p}\;x_M^2\;</math>» s'identifiant à l'équation cartésienne «<math>\;y_M = a\;x_M^2\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que finalement «<math>\;\color{transparent}{y_M = \dfrac{1}{2\;p}\;x_M^2}\;</math>» s'identifiant }}si «<math>\;a = \dfrac{1}{2\;p}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;p = \dfrac{1}{2\;a}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant }}le foyer «<math>\;F\;</math>» de la parabole d'équation cartésienne «<math>\;y = a\;x^2\;</math>» a pour ordonnée «<math>\;y_F = \dfrac{p}{2} = \dfrac{1}{4\;a}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification : la définition monofocale de la parabole étant }}sa directrice associée «<math>\;(D)\;</math>» pour équation «<math>\;y_{(D)} = -\dfrac{p}{2} = -\dfrac{1}{4\;a},\;\;\forall\;x\;\in\;\mathbb{R}\;</math>». ===== Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque ===== [[File:Parabole - propriété.jpg|thumb|300px|Propriété d'intersection de la tangente à la parabole en un point quelconque <math>\;M\;</math> et de sa tangente au sommet <math>\;S</math>]] {{Al|5}}<u>Énoncé</u> : Considérant une parabole de sommet <math>\;S</math>, la tangente en un point quelconque <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>de projeté <math>\;H\;</math> sur la tangente au sommet<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Énoncé : Considérant une parabole de sommet <math>\;\color{transparent}{S}</math>, la tangente en un point quelconque <math>\;\color{transparent}{M}</math> }}recoupe la tangente au sommet au milieu de <math>\;SH</math>. {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : Considérons la parabole d’équation cartésienne <math>\;y = a\;x^2</math>, de sommet <math>\;S\; (0,\, 0)\;</math> et un point quelconque <math>\;M\; (x,\, y = a\;x^2)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la tangente en <math>\;M\;</math> à la parabole a pour équation <math>\;Y - y =</math> <math>y'(x)\;[X - x]\;</math> avec <math>\;y'(x) = 2\;a\;x\;</math> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : la tangente en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la parabole a pour équation }}<math>\;Y - a\;x^2 = 2\;a\;x\;[X - x]\;</math> ou <math>\;Y = 2\;a\;x\; X - a\;x^2\;</math> soit enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : la tangente en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> à la parabole a pour équation }}<math>\;Y = 2\;a\;x \left[ X - \dfrac{x}{2} \right]\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}la tangente en <math>\;M\;</math> recoupe l’axe des <math>\;x</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la tangente au sommet<math>\big]\;</math> en <math>\;J\;</math> d’abscisse <math>\;X_J = \dfrac{x}{2}\;</math> moitié de l’abscisse de <math>\;M\;</math> ou <br>{{Al|6}}{{Transparent|Démonstration : la tangente en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> recoupe l’axe des <math>\;\color{transparent}{x}</math> <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>c'est-à-dire la tangente au sommet<math>\color{transparent}{\big]}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{J}\;</math> d’abscisse <math>\;\color{transparent}{X_J = x}\;</math> moitié de l’abscisse }}de <math>\;H</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Démonstration : }}en conclusion de <math>\;X_J = \dfrac{X_H}{2}\;</math> on en déduit que <math>\;J\;</math> est le milieu du segment <math>\;[SH]</math>. ==== Ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy ==== {{Proposition|titre=Équation cartésienne d'une ellipse de centre O, d'axes de symétrie Ox et Oy|contenu={{Al|5}}L'équation cartésienne d'une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes de symétrie <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy\;</math> s'écrit <math>\;\big(</math>sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]]<math>\big)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'axes de symétrie <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> s'écrit }}«<math>\;\dfrac{x^2}{{a'}^2} + \dfrac{y^2}{{b'}^2} = 1\;</math>»<ref name="Ox et Oy jouant des rôles identiques"> En effet les rôles joués par <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy\;</math> dans cette équation étant symétriques, l'axe focal peut aussi bien être <math>\;Ox\;</math> que <math>\;Oy\;</math> et par suite le demi grand axe <math>\;a\;</math> peut donc aussi bien être <math>\;a'\;</math> que <math>\;b'</math>.</ref> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;a'\;</math> et <math>\;b'\;</math> sont respectivement le demi-grand axe <math>\;a\;</math> et le demi-petit axe <math>\;b\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;a'\;</math> et <math>\;b'\;</math> sont respectivement le demi-petit axe <math>\;b\;</math> et le demi-grand axe <math>\;a\;</math>»<ref name="Ox et Oy jouant des rôles identiques" />.}} {{Al|5}}<u>Justification avec</u><math>\;Ox\;</math><u>axe focal</u><ref name="justification dans le cas où Ox est l'axe focal de l'ellipse"> La justification va être faite uniquement dans le cas où l'axe focal est <math>\;Ox\;</math> et par suite le demi-grand axe est <math>\;a = a'\;</math> et le demi-petit axe <math>\;b = b'</math> <math>\;\big[</math>dans le cas où l'axe focal est <math>\;Oy</math>, le demi-grand axe est <math>\;a = b'\;</math> et le demi-petit axe <math>\;b = a'</math>, l'adaptation de la justification se fait sans aucune difficulté et est laissée au soin du lecteur<math>\big]</math>.</ref> : Le demi-grand axe est donc <math>\;a = a'\;</math> et le demi-petit axe <math>\;b = b'</math>, la distance séparant le centre <math>\;O\;</math> de chacun des foyers est <math>\;CF = CF' = c = \sqrt{a^2 - b^2}\;</math><ref name="principales propriétés d'une ellipse" /> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : Le demi-grand axe est donc <math>\;\color{transparent}{a = a'}\;</math> et le demi-petit axe <math>\;\color{transparent}{b = b'}</math>, la distance séparant le centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de chacun des foyers est }}<math>\;CF = CF' = c = \sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : }}le foyer <math>\;F\;</math> a pour coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_F = \sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}\,,\, y_F = 0 \right)\;</math><ref name="foyer F'"> Le foyer <math>\;F'\;</math> ayant pour coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_{F'} = -\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}\,,\, y_{F'} = 0 \right)</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : }}sa directrice associée <math>\;(D)\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe focal <math>\;Ox\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, situé à la distance <math>\;\dfrac{p}{e}\;</math> au-delà de <math>\;F\;</math><ref name="définition monofocale d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Application_à_une_ellipse|application à une ellipse]] (schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : sa directrice associée <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{Oy}</math>, situé à la distance }}<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math> soit ici <math>\;p = \dfrac{{b'}^2}{a'}\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : sa directrice associée <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{Oy}</math>, situé à la distance }}<math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> soit ici <math>\;e = \dfrac{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}}{a'} = \sqrt{1 - \dfrac{{b'}^2}{{a'}^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : sa directrice associée <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{Oy}</math>, situé à la distance }}<math>\;\dfrac{p}{e} = \dfrac{\dfrac{{b'}^2}{a'}}{\sqrt{1 - \dfrac{{b'}^2}{{a'}^2}}} = \dfrac{{b'}^2}{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}}\;</math> d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : }}l'équation de la directrice <math>\;(D)\;</math> <math>\;x_{(D)} = c + \dfrac{p}{e}\;</math><ref name="définition monofocale d'une ellipse" /> <math>= \sqrt{{a'}^2 - {b'}^2} + \dfrac{{b'}^2}{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}}\;</math> soit finalement <math>\;x_{(D)} = \dfrac{{a'}^2}{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}},\;\;\forall\;y\;\in\;\mathbb{R}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : }}la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)\;</math> tel que <math>\;MF = e\;MH\;</math>» avec <math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que <math>\;\color{transparent}{MF = e\;MH}\;</math>» avec }}<math>\;H\,\left( x_H = \dfrac{{a'}^2}{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}}\,,\, y_H = y_M \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;MF^2 = e^2\;MH^2\;</math> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;MF^2 = \left( x_F - x_M \right)^2 + \left( y_F - y_M \right)^2 = \left( \sqrt{{a'}^2 - {b'}^2} - x_M \right)^{\!\!2} + y_M^2\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel }}et <math>\;MH^2 = \left( x_H - x_M \right)^2 + \left( y_H - y_M \right)^2 = \left( \dfrac{{a'}^2}{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}} - x_M \right)^{\!\!2}\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\left( \sqrt{{a'}^2 - {b'}^2} - x_M \right)^{\!\!2} + y_M^{\,2} = \left( 1 - \dfrac{{b'}^2}{{a'}^2} \right)\,\left( \dfrac{{a'}^2}{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}} - x_M \right)^{\!\!2}\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel }}ou <math>\;\left( \sqrt{{a'}^2 - {b'}^2} - x_M \right)^{\!2} + y_M^{\,2} = \left( a' - \dfrac{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}}{a'}\;x_M \right)^{\!\!2}\;</math><ref> Obtenu en introduisant le 1^er facteur du 2^ème membre <math>\;\left( 1 - \dfrac{{b'}^2}{{a'}^2} \right) = \left( \dfrac{\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}}{a'} \right)^{\!\!2}\;</math> dans son 2^ème facteur.</ref> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant }}<math>\;\left( {a'}^2 - {b'}^2 \right) + x_M^{\,2} - 2\;\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}\;x_M + y_M^{\,2} = {a'}^2 + \dfrac{{a'}^2 - {b'}^2}{{a'}^2}\;x_M^{\,2} - 2\;\sqrt{{a'}^2 - {b'}^2}\;x_M\;</math> ou, après simplification, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification avec<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>axe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant }}<math>\;\dfrac{{b'}^2}{{a'}^2}\;x_M^{\,2} + y_M^{\,2} = {b'}^2\;</math> et, en divisant les deux membres par <math>\;{b'}^2</math>, l'équation «<math>\;\dfrac{x_M^{\,2}}{{a'}^2} + \dfrac{y_M^{\,2}}{{b'}^2} = 1\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Cas du cercle</u> : l'excentricité d'un cercle étant <math>\;e = 0\;</math> et son expression pour une ellipse <math>\;e = \sqrt{1 - \dfrac{{b'}^2}{{a'}^2}}</math>, on en déduit <math>\;a' = b'\;</math> dont la valeur commune définit le rayon <math>\;R\;</math> d'où {{Proposition|titre=Équation cartésienne d'un cercle de centre O|contenu={{Al|5}}L'équation cartésienne d'un cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> s'écrit <math>\;\big(</math>sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]]<math>\big)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'un cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R}\;</math> s'écrit }}«<math>\;\dfrac{x^2}{R^2} + \dfrac{y^2}{R^2} = 1\;</math>» ou «<math>\;x^2 + y^2 = R^2\;</math>».}} ==== Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy ==== {{Proposition|titre=Équation cartésienne d'une hyperbole de centre O, d'axes focal Ox et non focal Oy|contenu={{Al|5}}L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy\;</math> s'écrit <math>\;\big(</math>sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]]<math>\big)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'axes focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> et non focal <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> s'écrit }}«<math>\;\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> sont respectivement le demi-axe focal et le demi-axe non focal ».}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : <math>\;Ox\;</math> étant l'axe focal, le demi-axe focal est <math>\;a\;</math> et le demi-axe non focal <math>\;b</math>, la distance séparant le centre <math>\;O\;</math> de chacun des foyers est <math>\;CF = CF' = c = \sqrt{a^2 - b^2}\;</math><ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, }}le foyer <math>\;F\;</math> a pour coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_F = \sqrt{a^2 - b^2}\,,\, y_F = 0 \right)</math><ref name="foyer F'" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, }}sa directrice associée <math>\;(D)\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe focal <math>\;Ox\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, situé à la distance <math>\;\dfrac{p}{e}\;</math> en deçà de <math>\;F\;</math><ref name="définition monofocale d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Application_à_une_hyperbole|application à une hyperbole]] (schéma explicitant la définition monofocale d'une hyperbole) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, sa directrice associée <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{Oy}</math>, situé à la distance }}<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, sa directrice associée <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{Oy}</math>, situé à la distance }}<math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> soit ici <math>\;e = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, sa directrice associée <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> à l'axe focal <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{Oy}</math>, situé à la distance }}<math>\;\dfrac{p}{e} = \dfrac{\dfrac{b^2}{a}}{\sqrt{1 + \dfrac{b^2}{a^2}}} = \dfrac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, }}l'équation de la directrice <math>\;(D)\;</math> <math>\;x_{(D)} = c - \dfrac{p}{e}\;</math><ref name="définition monofocale d'une hyperbole" /> <math>= \sqrt{a^2 + b^2} - \dfrac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}\;</math> soit finalement <math>\;x_{(D)} = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}},\;\;\forall\;y\;\in\;\mathbb{R}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, }}la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)\;</math> tel que <math>\;MF = e\;MH\;</math>» avec <math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que <math>\;\color{transparent}{MF = e\;MH}\;</math>» avec }}<math>\;H\, \left( x_H = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}\,,\, y_H = y_M \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;MF^2 = e^2\;MH^2\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;MF^2 = \left( x_F - x_M \right)^2 + \left( y_F - y_M \right)^2</math> <math>= \left( \sqrt{a^2 + b^2} - x_M \right)^{\!2} + y_M^2</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel }}et <math>\;MH^2 = \left( x_H - x_M \right)^2 + \left( y_H - y_M \right)^2 = \left( \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} - x_M \right)^{\!\!2}\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel que }}<math>\;\left( \sqrt{a^2 + b^2} - x_M \right)^{\!2} + y_M^2 = \left( 1 + \dfrac{b^2}{a^2} \right)\,\left( \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} - x_M \right)^{\!\!2}\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M\, \left( x_M\,,\, y_M \right)}\;</math> tel }}ou <math>\;\left( \sqrt{a^2 + b^2} - x_M \right)^{\!2} + y_M^{\,2} = \left( a - \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}\;x_M \right)^{\!\!2}\;</math><ref> Obtenu en introduisant le 1^er facteur du 2^ème membre <math>\;\left( 1 + \dfrac{b^2}{a^2} \right) = \left( \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \right)^{\!\!2}\;</math> dans son 2^ème facteur.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant }}<math>\;\left( a^2 + b^2 \right) + x_M^{\,2} - 2\;\sqrt{a^2 + b^2}\;x_M + y_M^{\,2} = a^2 + \dfrac{a^2 + b^2}{a^2}\;x_M^{\,2} - 2\;\sqrt{a^2 + b^2}\;x_M\;</math> ou, après simplification, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant }}<math>\;\dfrac{b^2}{a^2}\;x_M^{\,2} - y_M^{\,2} = b^2\;</math> et, en divisant les deux membres par <math>\;b^2</math>, l'équation «<math>\;\dfrac{x_M^{\,2}}{a^2} - \dfrac{y_M^{\,2}}{b^2} = 1\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Cas d'une [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre</u><math>\;O</math><u>, d'asymptotes</u><math>\;Ox\;</math><u>et</u><math>\;Oy</math> : Une hyperbole est dite « [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|équilatère]] » si ses asymptotes sont <math>\;\perp\;</math> <math>\Rightarrow</math> « le demi-axe non focal <math>\;b\;</math> est égal au demi-axe focal <math>\;a\;</math>»<ref> En effet « l'angle <math>\;\alpha\;</math> entre une asymptote et l'axe focal valant alors <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;</math>» et cet angle étant lié aux demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> par «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> nous en déduisons «<math>\;b = a\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}notant <math>\;Ox'\;</math> l'axe focal de cette [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] et <math>\;Oy'\;</math> son axe non focal, son équation cartésienne s'écrit alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}«<math>\;\dfrac{{x'}^2}{a^2} - \dfrac{{y'}^2}{a^2} = 1\;</math>» dans laquelle «<math>\;a\;</math> est la valeur commune des demi-axes focal et non focal » ou «<math>\;{x'}^2 - {y'}^2 = a^2\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}effectuant un changement d'axes correspondant à une rotation de centre <math>\;O\;</math> et d'angle <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math> de façon à ce que l'axe focal <math>\;Ox'\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}soit la 1^ère bissectrice du nouveau système d'axes <math>\;\left( Ox\,,\, Oy \right)</math> <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire la bissectrice de l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)}\Big]</math>, les anciennes <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}coordonnées <math>\;\left( x'\,,\, y' \right)\;</math> d'un point <math>\;M\;</math> étant liées aux nouvelles <math>\;\left( x\,,\, y \right)\;</math> par <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x' = x\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) - y\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right)\\ y' = x\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + y\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right)\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet la rotation de centre <math>\;O\;</math> et d'angle <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math> transformant l'ancienne base <math>\;\left( \vec{u}_{x'}\,,\, \vec{u}_{y'} \right)\;</math> en la nouvelle <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)\;</math> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_x = \vec{u}_{x'}\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + \vec{u}_{y'}\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right)\\ \vec{u}_y = -\vec{u}_{x'}\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + \vec{u}_{y'}\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right)\end{array} \right\rbrace</math>, le vecteur position défini dans la nouvelle base <math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)\;</math> à savoir <math>\;\overrightarrow{OM} = x\;\vec{u}_x + y\;\vec{u}_y\;</math> se réécrit <math>\;\overrightarrow{OM} = x\, \left[ \vec{u}_{x'}\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + \vec{u}_{y'}\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right] + y\, \left[ -\vec{u}_{x'}\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + \vec{u}_{y'}\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right]\;</math> en fonction de l'ancienne base <math>\;\left( \vec{u}_{x'}\,,\, \vec{u}_{y'} \right)\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{OM} = \left[ x\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) - y\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right]\, \vec{u}_{x'} + \left[ x\;\sin\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) + y\;\cos\! \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right]\, \vec{u}_{y'}\;</math> à identifier à <math>\;\overrightarrow{OM} = x'\;\vec{u}_{x'} + y'\;\vec{u}_{y'}\;</math> d'où les relations de changement d'axes donnant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : coordonnées <math>\;\color{transparent}{\left( x'\,,\, y' \right)}\;</math> d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> étant liées aux nouvelles <math>\;\color{transparent}{\left( x\,,\, y \right)}\;</math> par }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x' = \dfrac{x + y}{\sqrt{2}}\\ y' = \dfrac{-x + y}{\sqrt{2}}\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}l'équation de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] dans l'ancien système d'axes «<math>\;{x'}^2 - {y'}^2 = a^2\;</math>» se réécrivant «<math>\;\left( x' - y' \right)\, \left( x' + y' \right) = a^2\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}avec «<math>\;x' + y' = \dfrac{2\;y}{\sqrt{2}} = y\;\sqrt{2}\;</math>» et «<math>\;x' - y' = \dfrac{2\;x}{\sqrt{2}} = x\;\sqrt{2}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'une hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}l'équation de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] dans le nouveau système d'axes «<math>\;\left( x\;\sqrt{2} \right)\, \left( y\;\sqrt{2} \right) = a^2\;</math>» ou «<math>\;y = \dfrac{a^2}{2\;x}\;</math>». {{Proposition|titre=Équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy|contenu={{Al|5}}L'équation cartésienne d'une [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'asymptotes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy\;</math> s'écrit <math>\;\big(</math>sous forme explicite<math>\big)\;</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> s'écrit }}«<math>\;y = \dfrac{k}{x}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;k > 0\;</math> pour une hyperbole dans le 1^er et 3^ème quadrants »<ref> Correspondant au traitement ci-dessus dans lequel l'axe focal devient la 1^ère bissectrice du nouveau système d'axes <math>\;\Big[</math>c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)}\Big]</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;k < 0\;</math> pour une hyperbole dans le 2^ème et 4^ème quadrants »<ref> Non traité ci-dessus, l'axe focal devenant alors la 2^ème bissectrice du nouveau système d'axes <math>\;\Big[</math>c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, -\vec{u}_y \right)}\Big]</math>, transformation correspondant à une rotation de centre <math>\;O\;</math> et d'angle <math>\;\dfrac{\pi}{4}\;</math> à partir de l'ancien système d'axes, c.-à-d. au remplacement de <math>\;-\dfrac{\pi}{4}\;</math> par <math>\;\dfrac{\pi}{4}</math> <math>\;\overset{\ldots}{\Rightarrow}\;</math> <math>\left\lbrace \begin{array}{c} x' = \dfrac{x - y}{\sqrt{2}}\\ y' = \dfrac{x + y}{\sqrt{2}}\end{array} \right\rbrace</math> <math>\;\overset{\ldots}{\Rightarrow}\;</math> «<math>\;y = \dfrac{-a^2}{2\;x}\;</math>».</ref>.}} {{Al|5}}<u>Commentaires concernant l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre</u><math>\;O</math><u>, d'asymptotes</u><math>\;Ox\;</math><u>et</u><math>\;Oy</math> : pour «<math>\;k > 0\;</math>», l'axe focal étant la 1^ère bissectrice <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire la bissectrice de l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)}\Big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : pour «<math>\;\color{transparent}{k > 0}\;</math>», }}la valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «<math>\;a = b = \sqrt{2\;k}\;</math>»<ref> En effet l'équation <math>\;y = \dfrac{k}{x}\;</math> doit être identifiée à <math>\;y = \dfrac{a^2}{2\;x}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;k = \dfrac{a^2}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;a = \sqrt{2\;k}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : pour «<math>\;\color{transparent}{k > 0}\;</math>», }}l'excentricité de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] par «<math>\;e = \sqrt{2}\;</math>»<ref name="excentricité d'une hyperbole équilatère"> En effet la distance séparant le centre <math>\;O\;</math> de chaque foyer étant <math>\;c = \sqrt{a^2 + b^2}\;</math> s'écrit, pour une [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]], <math>\;c = \sqrt{2\;a^2} = a\;\sqrt{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{2}</math>.</ref> <math>\;\Big[</math>les foyers, de part et d'autre de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : pour «<math>\;\color{transparent}{k > 0}\;</math>», }}<math>\;O\;</math> sur la 1^ère bissectrice, en étant distants de «<math>\;c = a\;e = 2\;\sqrt{k}\;</math>»<math>\Big]\;</math> alors que {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : }}pour «<math>\;k < 0\;</math>», l'axe focal étant la 2^ème bissectrice <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire la bissectrice de l'angle orienté <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, -\vec{u}_y \right)}\Big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : pour «<math>\;\color{transparent}{k < 0}\;</math>», }}la valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «<math>\;a = b = \sqrt{-2\;k}\;</math>»<ref> En effet l'équation <math>\;y = \dfrac{k}{x}\;</math> doit être identifiée à <math>\;y = \dfrac{-a^2}{2\;x}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;k = \dfrac{-a^2}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;a = \sqrt{-2\;k}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : pour «<math>\;\color{transparent}{k > 0}\;</math>», }}l'excentricité de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] par «<math>\;e = \sqrt{2}\;</math>»<ref name="excentricité d'une hyperbole équilatère" /> <math>\;\Big[</math>les foyers, de part et d'autre de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre<math>\;\color{transparent}{O}</math>, d'asymptotes<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{Oy}</math> : pour «<math>\;\color{transparent}{k > 0}\;</math>», }}<math>\;O\;</math> sur la 2^ème bissectrice, en étant distants de «<math>\;c = a\;e = 2\;\sqrt{-k}\;</math>»<math>\Big]</math>. === Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy === ==== Équations paramétriques d'un cercle de centre O ==== [[File:Cercle de centre O - paramétrage par abscisse angulaire.png|thumb|Paramétrage d'un cercle de centre <math>\;O\;</math> par l'abscisse angulaire de son point générique <math>\;M_c\;</math> définie selon <math>\;\theta</math> <math>= \widehat{ \left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM_c} \right)}</math>]] {{Al|5}}Le cercle de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;R</math>, a pour équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} X = R\; \cos(\theta)\\ Y = R\; \sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math>», le paramètre «<math>\;\theta = \widehat{ \left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM_c} \right)}\;</math>» étant l'abscisse angulaire <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, a pour équations paramétriques «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace X = R\; \cos(\theta) \right\rbrace}\;</math>», }}du point générique <math>\;M_c\;\left( X\,,\, Y \right)\;</math> du cercle ; {{Al|5}}ce cercle est décrit une seule fois si le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> est large de <math>\;2\, \pi\;</math> par exemple «<math>\;\theta\; \in\; \left] -\pi\, ;\, \pi \right]\;</math>» ; {{Al|5}}ces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «<math>\;\dfrac{X^2}{R^2} + \dfrac{Y^2}{R^2} = 1\;</math>», l'élimination du paramètre <math>\Leftarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \cos(\theta) = \dfrac{X}{R} \\ \sin(\theta) = \dfrac{Y}{R} \end{array} \right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|ces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «<math>\;\color{transparent}{X^2 + Y^2 = 1}\;</math>», l'élimination du paramètre <math>\color{transparent}{\leftarrow}</math> }}<math>\;\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1</math>. ==== Affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k ==== {{Al|5}}Pour tout point <math>\;M\;</math> du plan, «<math>\;M'\;</math> est son image par l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math><ref> La direction <math>\;Oy\;</math> n'est pas nécessairement <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;Ox</math>.</ref> et de rapport <math>\;k\;</math>» si, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan, }}«<math>\;H\;</math> étant le projeté de <math>\;M\;</math> sur <math>\;Ox\;</math> parallèlement à <math>\;Oy\;</math>», «<math>\;M'\;</math> a même projeté que <math>\;M\;</math> sur <math>\;Ox\;</math> parallèlement à <math>\;Oy\;</math>» tel que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan, «<math>\;\color{transparent}{H}\;</math> étant le projeté de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math> parallèlement à <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math>», }}«<math>\;\overline{HM'} = k\; \overline{HM}\;</math>»<ref> «<math>\;k\;</math>» pouvant être <math>\;< 0</math>, il est donc nécessaire que la direction <math>\;HM\;</math> soit orientée.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan, }}<math>\bigg[</math>«<math>\;M\;\overset{\mathcal{A}_{\,\text{axe}\,Ox}^{\,\text{dir.}\,Oy}(k)}{\quad\;\longmapsto\quad\;}\! M'\;</math>» si <math>\;MM'\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oy</math>, le projeté commun <math>\;H\;</math> de <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> sur <math>\;Ox\;</math> parallèlement à <math>\;Oy\;</math> étant tel que «<math>\;\overline{HM'} = k\; \overline{HM}\;</math>»<math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan, }}si les « coordonnées cartésiennes de <math>\;M\;</math> sont <math>\;\left\lbrace x\,,\, y \right\rbrace\;</math>»<ref> La base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right\rbrace\;</math> n'est pas nécessairement orthogonale.</ref>, « celles de <math>\;M'\;</math> sont <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x' = x\\ y' = k\; y \end{array} \right\rbrace\;</math>». ==== Conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy ==== {{Proposition|titre=Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes de symétrie Ox et Oy|contenu={{Al|5}}Les équations paramétriques d'une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes de symétrie <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy\;</math> s'écrivent «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a'\;\cos(\theta)\\ y = b'\;\sin(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="Ox et Oy jouant des rôles identiques" />{{,}}<ref> Attention, le paramètre «<math>\;\theta\;</math>» ne représente rien pour le point courant de l'ellipse.</ref> où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les équations paramétriques d'une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}«<math>\;a'\;</math> et <math>\;b'\;</math> sont respectivement le demi-grand axe <math>\;a\;</math> et le demi-petit axe <math>\;b\;</math>» <br>{{Transparent|Les équations paramétriques d'une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}ou {{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{a'}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{b'}\;</math> sont respectivement }}le demi-petit axe <math>\;b\;</math> et le demi-grand axe <math>\;a\;</math>».}} [[File:Ellipse obtenue par affinité d'un cercle de même centre.png|thumb|Présentation de l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}\;</math> transformant le cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> en ellipse de même centre <math>\;O</math>, de grand axe <math>\;Ox\;</math> et de petit axe <math>\;Oy</math>]] {{Al|5}}<u>Justification</u><math>\;Ox\;</math><u>étant axe focal</u><ref name="justification dans le cas où Ox est l'axe focal de l'ellipse" /> : L'ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;x'x\;</math> et non focal <math>\;y'y</math>, donc de demi-grand axe <math>\;a = a'\;</math> et de demi-petit axe <math>\;b = b'</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : L'ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}est l'image du cercle de même centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a = a'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : L'ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, est l'image }}par l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;k = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b'}{a'}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : L'ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, est l'image par l'affinité d'axe <math>\;\color{transparent}{Ox}</math>, de direction <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> et de rapport <math>\;\color{transparent}{k = b}</math> }}<math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)\;</math> car <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : }}l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;k = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b'}{a'}\;</math> associe le point courant <math>\;M_c\, (X\,,\, Y)\;</math> du cercle au <br>{{Al|15}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : l'affinité d'axe <math>\;\color{transparent}{Ox}</math>, de direction <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> et de rapport <math>\;\color{transparent}{k = b = b'}\;</math> associe le }}point courant <math>\;M \left( x = X\;,\, y = \dfrac{b'}{a'}\;Y \right)\;</math> <br>{{Al|15}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : l'affinité d'axe <math>\;\color{transparent}{Ox}</math>, de direction <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> et de rapport <math>\;\color{transparent}{k = b = b'}\;</math> associe le point courant }}de l'ellipse ; {{Al|11}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : }}on peut déduire des équations paramétriques du cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a = a'\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} X = a'\, \cos(\theta)\\ Y = a' \sin(\theta) \end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques }}celles de l'ellipse de même centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;x'x\;</math> et non focal <math>\;y'y</math>, donc <br>{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques celles de l'ellipse }}de demi-grand axe <math>\;a = a'\;</math> et de demi-petit axe <math>\;b = b'</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification<math>\;\color{transparent}{Ox}\;</math>étant axe focal : on peut déduire }}en utilisant l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] précédemment définie «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = X\\ y = \dfrac{b'}{a'}\, Y \end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = a'\, \cos(\theta)\\ y = b'\, \sin(\theta)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Attention «<math>\;\theta\;</math>» est l'abscisse angulaire du point courant du cercle mais ne représente rien pour le point courant de l'ellipse.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne <math>\;\dfrac{x^2}{{a'}^2} + \dfrac{y^2}{{b'}^2} = 1\;</math> restent les mêmes pour une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axe focal <math>\;y'y\;</math> et non focal <math>\;x'x</math>, donc <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne <math>\;\color{transparent}{x^2 + y^2 = 1}\;</math> restent les mêmes pour une ellipse de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}de demi-grand axe <math>\;a = b'\;</math> et de demi-petit axe <math>\;b = a'</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = a'\, \cos(\theta)\\ y = b'\, \sin(\theta)\end{array} \right\rbrace\;</math>», l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] à considérer étant indépendante de la nature des axes pour l'ellipse. ==== Courbe de Lissajous correspondant à la visualisation à l'oscilloscope en fonctionnement (x, y) d'une tension sinusoïdale en fonction d'une autre tension sinusoïdale de même fréquence ==== {{Al|5}}Si on impose les tensions «<math>\;u_1(t) = U_{m,\, 1}\; \cos(\omega\; t + \varphi_1)\;</math>» sur la voie <math>\;CH1\;</math> et «<math>\;u_2(t) = U_{m,\, 2}\; \cos(\omega\; t + \varphi_2)\;</math>» sur la voie <math>\;CH2</math>, toutes deux étant de même fréquence «<math>\;f = \dfrac{\omega}{2\; \pi}\;</math>» et <br>{{Al|5}}si on choisit le « fonctionnement <math>\;(x\,,\, y)\;</math> de l'oscilloscope »<ref name="fonctionnement (x,y) d'un oscilloscope"> On rappelle que la voie <math>\;CH1\;</math> est « horizontale » <math>\;\big(</math>plus exactement de direction <math>\;\parallel\;</math> à la table supportant l'oscilloscope<math>\big)\;</math> et la voie <math>\;CH2\;</math> « verticale » <math>\;\big(</math>plus exactement <math>\;\perp\;</math> à la direction dite « horizontale »<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Travail_pratique/Oscilloscope#Fonctionnement_en_(x,_y)|fonctionnement en (x, y)]] » du T.P.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, on visualise une « <u>[[w:Courbe_de_Lissajous|courbe de Lissajous]]</u> »<ref name="Lissajous"> '''[[w:Jules_Antoine_Lissajous|Jules Antoine Lissajous]] (1822 - 1880)''' physicien français, essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes, il est à l'origine de la méthode d'étude des vibrations acoustiques par réflexion de signaux lumineux sur un miroir fixé à l'objet vibrant.</ref>{{,}}<ref name="courbe de Lissajous"> Courbe plane dont les projetés du point courant sur deux directions distinctes ont des mouvements sinusoïdaux du temps de fréquences différentes dans le cas général.</ref> <u>fermée</u><math>\;\big[</math>« les deux tensions ayant une période commune »<ref name="condition de fermeture d'une courbe de Lissajous"> La condition de fermeture de la [[w:Courbe_de_Lissajous|courbe de Lissajous]] est que les périodes des deux tensions soient commensurables <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'elles soient un rapport <math>\;\in\; \mathbb{Q}^{+}\big)\;</math> ou encore qu'il existe une période commune pour les deux, multiple de chacune des périodes d'entre elles.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une }}cette [[w:Courbe_de_Lissajous|courbe de Lissajous]]<ref name="Lissajous" />{{,}}<ref name="courbe de Lissajous" /> est une « <u>ellipse de centre</u><math>\;O\;</math>»<ref> Ellipse pouvant être dégénérée en segments de droite.</ref> <math>\;\big[</math>même plus petite période des deux tensions<math>\big]\;</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette courbe de Lissajous }}déterminée par ses équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = U_{m,\, 1}\; \cos(\omega\; t + \varphi_1)\\ y = U_{m,\, 2}\; \cos(\omega\; t + \varphi_2) \end{array} \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette }}<math>\bullet\;</math>si «<math>\;\varphi_2 = \varphi_1\;</math>» <math>\;\big(</math>les tensions étant en phase<math>\big)</math>, l'ellipse est dégénérée en segment de droite de pente positive, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette }}<math>\bullet\;</math>si «<math>\;\varphi_2 = \varphi_1 \pm \pi\;</math>» <math>\;\big(</math>les tensions étant en opposition de phase<math>\big)</math>, l'ellipse est dégénérée en segment de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si «<math>\;\color{transparent}{\varphi_2 = \varphi_1 \pm \pi}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>les tensions étant en opposition de phase<math>\color{transparent}{\big)}</math>, l'ellipse est dégénérée }}de pente négative, <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette }}<math>\bullet\;</math>si «<math>\;\varphi_2 = \varphi_1 \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>les tensions étant en quadrature de phase<math>\big)</math>, « l'ellipse admet <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math> comme <br>{{Al|8}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si «<math>\;\color{transparent}{\varphi_2 = \varphi_1 \pm \pi}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>les tensions étant en quadrature de phase<math>\color{transparent}{\big)}</math>, « l'ellipse admet }}axes de symétrie »<ref> En effet «<math>\;y = U_{m,\, 2}\; \cos(\omega\; t + \varphi_2) = U_{m,\, 2}\; \cos \left( \omega\; t + \varphi_1 \pm \dfrac{\pi}{2} \right) = \mp U_{m,\, 2}\; \sin(\omega\; t + \varphi_1)\;</math>» avec «<math>\;x = U_{m,\, 1}\; \cos(\omega\; t + \varphi_1)\;</math>», l'association des deux constituant les équations paramétriques d'une ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, de demi-axes <math>\;U_{m,\, 1}\;</math> et <math>\;U_{m,\, 2}</math>, le paramètre étant le temps <math>\;\omega\;t</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}par choix des sensibilités des deux voies, la [[w:Courbe_de_Lissajous|courbe de Lissajous]]<ref name="Lissajous" />{{,}}<ref name="courbe de Lissajous" /> peut devenir un cercle ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette }}<math>\bullet\;</math>dans tous les autres cas on admet que la [[w:Courbe_de_Lissajous|courbe de Lissajous]]<ref name="Lissajous" />{{,}}<ref name="courbe de Lissajous" /> est une ellipse de centre <math>\;O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans tous les autres cas on admet que }}inscrite dans un « rectangle à côtés <math>\;\parallel\;</math> aux axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y\;</math>»<ref> Mais les axes de symétrie de l'ellipse, <math>\perp\;</math> entre eux, sont inclinés par rapport aux côtés du rectangle, l'ellipse étant tangente aux côtés <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;y'y\;</math> quand <math>\;\cos(\omega\; t + \varphi_1) = \pm 1\;</math> et tangente aux côtés <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;x'x\;</math> quand <math>\;\cos(\omega\; t + \varphi_2) = \pm 1</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans tous les autres cas on admet que inscrite dans }}de longueurs respectives «<math>\;2\;U_{m,\, 1}\;</math> le long de <math>\;x'x\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|si on choisit le « fonctionnement <math>\;\color{transparent}{(x\,,\, y)}\;</math> de l'oscilloscope », on visualise une cette <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans tous les autres cas on admet que inscrite dans de longueurs respectives }}«<math>\;2\;U_{m,\, 2}\;</math> le long de <math>\;y'y\;</math>». ==== Mouvement circulaire uniforme d'un point et mouvement rectiligne sinusoïdal de son projeté sur un diamètre ==== [[File:Point en mouvement circulaire uniforme.png|thumb|Schéma permettant de visualiser le lien entre le mouvement circulaire uniforme d'un point <math>\;M\;</math> et ceux rectilignes sinusoïdaux de ses projetés <math>\;M_x\;</math> et <math>\;M_y\;</math> respectivement sur <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>]] {{Al|5}}Le mouvement uniforme de <math>\;M\;</math> sur le cercle de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;R</math>, est décrit par l'équation horaire de son abscisse angulaire en fonction du temps selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le mouvement uniforme de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le cercle de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math>, est décrit par l'équation horaire }}«<math>\;\theta = \omega\; t + \theta_0\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit ses équations horaires cartésiennes «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = R\; \cos(\omega\; t + \theta_0)\\ y = R\; \sin(\omega\; t + \theta_0) \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> les mouvements des projetés de <math>\;M\;</math> sur les axes <math>\;x'x\;</math> et <math>\;y'y</math>, c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|on en déduit ses équations horaires cartésiennes «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace x = R\; \cos(\omega\; t + \theta_0) \right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> les mouvements }}de <math>\;M_x\;</math> et <math>\;M_y</math>, sont <math>\;\big(</math>rectilignes<math>\big)\;</math> sinusoïdaux <br>{{Al|9}}{{Transparent|on en déduit ses équations horaires cartésiennes «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace x = R\; \cos(\omega\; t + \theta_0) \right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}de pulsation égale à la « valeur absolue de la vitesse angulaire de <math>\;M\;</math>»<ref> « Valeur absolue » car la vitesse angulaire est algébrique alors qu'une pulsation est nécessairement positive.</ref> : * si la vitesse angulaire «<math>\;\omega\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», «<math>\;y = R\; \sin(\omega\; t + \theta_0) = R\; \cos \left( \omega\; t + \theta_0 - \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;M_y\;</math> est en quadrature retard sur <math>\;M_x\;</math>» alors que * si la vitesse angulaire «<math>\;\omega\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», elle s'écrit encore «<math>\;\omega = -\vert \omega \vert\;</math>», on en déduit «<math>\,x = R\; \cos(\omega\; t + \theta_0) = R\; \cos(-\vert \omega \vert\; t + \theta_0) = R\; \cos(\vert \omega \vert\; t - \theta_0)\,</math>» et «<math>\,y = R\; \sin(\omega\; t + \theta_0) = R\; \sin(-\vert \omega \vert\; t + \theta_0) = -R\; \sin(\vert \omega \vert\; t - \theta_0) = R\; \cos \left(\vert \omega \vert\; t - \theta_0 + \dfrac{\pi}{2} \right)\,</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;M_y\;</math> est en quadrature avance sur <math>\;M_x\;</math>». {{Al|5}}On peut aussi affirmer que <u>la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux de même pulsation, de « même amplitude et en quadrature de phase » suivant deux directions orthogonales, est un mouvement circulaire uniforme</u><ref> Si les amplitudes sont différentes le mouvement est elliptique, l'ellipse admettant les directions des mouvements comme axes de symétrie <math>\;\big[</math>toutefois le caractère uniforme ne porte pas sur le mouvement elliptique mais sur le mouvement circulaire dont le mouvement elliptique est l'image par [[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]]<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}si, de plus, les mouvements ne sont pas en quadrature de phase, le mouvement composé est toujours elliptique <math>\;\big[</math>avec le caractère uniforme portant sur le mouvement circulaire dont le mouvement elliptique est l'image par [[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]]<math>\big]\;</math> mais les axes de symétrie ne sont plus suivant les directions des mouvements.</ref>. === En complément, équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy === ==== Équations paramétriques d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy ==== [[File:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|300px|Raison pour laquelle {{Nobr|'''[[w:Vincenzo_Riccati|Vincenzo Riccati]]'''<ref name="Riccati"> '''[[w:Vincenzo_Riccati|Vincenzo Riccati]] (1707 - 1775)''' mathématicien de la province de [[w:Vénétie|Vénétie]] <math>\;\big(</math>serait aujourd'hui italien<math>\big)\;</math> surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'[[w:Équation de Riccati|équation de Riccati]] et pour la méthode de résolution par [[w:Tractoire|tractoire]] qu'il utilisa.</ref>}} introduisit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique<ref name="cas où l'hyperbole est remplacée par un cercle"> [[File:Fonctions trigonométriques versus hyperboliques.png|thumb|350px|Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré '''[[w:Vincenzo_Riccati|Vincenzo Riccati]]''' pour introduire les fonctions hyperboliques]] La méthode suivie par '''[[w:Vincenzo_Riccati|Vincenzo Riccati]]''' est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation <math>\;x^2 + y^2 = 1\;</math> était à la place de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] d'équation <math>\;x^2 - y^2 = 1</math>, voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ; <br>{{Al|20}}une demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire <math>\;\theta\;</math> s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément <math>\;\left\lbrace x = \cos(\theta)\, ;\, y = \sin(\theta) \right\rbrace</math>, le paramètre <math>\;\theta\;</math> s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » <math>\;\big(</math>en rouge sur le schéma ci-contre<math>\big)</math> ; <br>{{Al|20}}en effet le vecteur surface élémentaire <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> quand le point <math>\;M\;</math> se déplace de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> sur une courbe donnée, est défini par <math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM}}{2}</math> <math>\;\bigg[</math>le vecteur surface <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> devant être <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> est bien colinéaire à <math>\;\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM}\;</math> d'une part et d'autre part sa norme <math>\;\Vert \overrightarrow{dS} \Vert\;</math> devant être identifiée à l'aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs <math>\;\overrightarrow{OM} = r\;\vec{u}_r\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> c.-à-d. à <math>\;\Vert \overrightarrow{dS} \Vert = \dfrac{r \times r\; d \theta}{2}</math> <math>\;\big(</math>aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base <math>\;r\;</math> par la hauteur associée <math>\;r\;d \theta\big)\;</math> soit finalement <math>\;\Vert \overrightarrow{dS} \Vert = \dfrac{\Vert \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM} \Vert}{2}\bigg]</math> ; <br>{{Al|20}}pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale <math>\;\left\lbrace \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\theta \right\rbrace\;</math> le rayon vecteur s'écrivant <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{u}_\rho\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM} = d \theta\;\vec{u}_\theta</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>le}} cercle étant de rayon unité<math>\big)</math>, on en déduit <math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{\vec{u}_\rho \wedge d \theta\;\vec{u}_\theta}{2} = \dfrac{d \theta}{2}\;\vec{u}_z\;</math> d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> quand le point <math>\;M\;</math> se déplace de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> sur le cercle valant <math>\;dS = \dfrac{d \theta}{2}</math>, celle quand le point <math>\;M\;</math> se déplace, sur le cercle, du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre <math>\;\theta\;</math> est bien <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> <math>\bigg(</math>pour un cercle de rayon <math>\;R\;</math> l'aire serait <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;R^2\;</math> correspondant à une aire de <math>\;\pi\;R^2\;</math> pour un tour complet<math>\bigg)</math>.</ref>]] {{Al|5}}<u>Rappel</u> : Une [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal et non focal <math>\;a\;</math><ref name="hyperbole équilatère"> Une hyperbole est dite « équilatère » si ses asymptotes sont <math>\;\perp</math>, une conséquence est alors que « le demi-axe non focal <math>\;b\;</math> est égal au demi-axe focal <math>\;a\;</math>».</ref> ayant pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel : }}équation cartésienne <math>\;\big(</math>sous forme implicite<math>\big)\;</math> «<math>\;x^2 - y^2 = a^2\;</math>»<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre O et d'axes Ox et Oy"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, nous en déduisons l'équation cartésienne <math>\;\big(</math>sous forme implicite<math>\big)\;</math> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappel : }}l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal et non focal unité, «<math>\;x^2 - y^2 = 1\;</math>»<ref name="hyperbole équilatère de demi-axe focal unité"> Il suffit d'imposer <math>\;a = b = 1\;</math> dans l'équation cartésienne <math>\;\big(</math>sous forme implicite<math>\big)\;</math> de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal et non focal <math>\;a\;</math> soit «<math>\;x^2 - y^2 = 1\;</math>» <math>\ldots</math></ref>. {{Al|5}}Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;O</math>, coupe l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe l'hyperbole équilatère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}de demi-axes focal et non focal unité, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe }}en un point dont les coordonnées ont été paramétrées en fonction d'une grandeur <math>\;\mathfrak{a}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont les coordonnées ont été paramétrées }}par '''[[w:Vincenzo_Riccati|Vincenzo Riccati]]'''<ref name="Riccati" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont les coordonnées }}paramétrage qui lui permit de créer de nouvelles fonctions baptisées <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont }}« cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont }}plus précisément <math>\;\left\lbrace x = \cosh(\mathfrak{a})\, ;\, y = \sinh(\mathfrak{a}) \right\rbrace</math>, le paramètre <math>\;\mathfrak{a}\;</math> s'avérant être <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont }}« le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont « }}l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de demi-axes unité et l'axe des abscisses » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une demi-droite, passant par l'origine <math>\;\color{transparent}{O}</math>, coupe en un point dont }}<math>\big(</math>en rouge sur le schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Justification</u><ref> Voir aussi l'article « [[w:Fonction_hyperbolique|fonction hyperbolique]] » de wikipédia.</ref> : on vérifie que les coordonnées du point <math>\;M\;</math> d'abscisse <math>\;x = \cosh(\mathfrak{a})\;</math> et d'ordonnée <math>\;y = \sinh(\mathfrak{a})\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : on vérifie que les coordonnées du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}suivent effectivement l'équation de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : on vérifie que les coordonnées du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}«<math>\;x^2 - y^2 = 1\;</math>»<ref name="hyperbole équilatère de demi-axe focal unité" /> en utilisant la relation fondamentale liant <math>\;\cosh(x)\;</math> et <math>\;\sinh(x)\;</math><ref name="relation fondamentale entre ch(x) et sh(x)"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Liens_entre_cosinus_hyperbolique_et_sinus_hyperbolique|liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique]] (relation fondamentale) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;\cosh^2(\mathfrak{a}) - \sinh^2(\mathfrak{a}) = 1\;</math>» ; {{Al|13}}{{Transparent|Justification : }}ensuite le vecteur position de <math>\;M\;</math> s'écrivant <math>\;\overrightarrow{OM} = \cosh(\mathfrak{a})\;\vec{u}_x + \sinh(\mathfrak{a})\;\vec{u}_y\;</math> on en déduit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : }}<math>\succ\;</math>le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM} = \sinh(\mathfrak{a})\;d \mathfrak{a}\;\vec{u}_x + \cosh(\mathfrak{a})\;d \mathfrak{a}\;\vec{u}_y\;</math><ref> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Cosinus_hyperbolique|cosinus hyperbolique]] (dérivée) » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Sinus_hyperbolique|sinus hyperbolique]] (dérivée) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> puis <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : }}<math>\succ\;</math>le vecteur surface élémentaire <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> quand le point <math>\;M\;</math> se déplace de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}à l'aide de sa définition <math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM}}{2}\;</math><ref> Le vecteur surface <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> devant être <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> est bien colinéaire à <math>\;\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM}\;</math> d'une part et d'autre part sa norme <math>\;\Vert \overrightarrow{dS} \Vert\;</math> devant être identifiée à l'aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs <math>\;\overrightarrow{OM} = r\;\vec{u}_r\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> c.-à-d. à <math>\;\Vert \overrightarrow{dS} \Vert = \dfrac{r \times r\; d \theta}{2}</math> <math>\;\big(</math>aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base <math>\;r\;</math> par la hauteur associée <math>\;r\;d \theta\big)\;</math> soit finalement <math>\;\Vert \overrightarrow{dS} \Vert = \dfrac{\Vert \overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM} \Vert}{2}</math>.</ref>, soit <math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{\left[ \cosh(\mathfrak{a})\;\vec{u}_x + \sinh(\mathfrak{a})\;\vec{u}_y \right] \wedge \left[ \sinh(\mathfrak{a})\;d \mathfrak{a}\;\vec{u}_x + \cosh(\mathfrak{a})\;d \mathfrak{a}\;\vec{u}_y \right]}{2}</math> <math>= \dfrac{\left[ \cosh^2(\mathfrak{a}) - \sinh^2(\mathfrak{a}) \right] d \mathfrak{a}}{2}\;\vec{u}_z\;</math> et, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}en utilisant la relation fondamentale liant <math>\;\cosh(x)\;</math> et <math>\;\sinh(x)\;</math><ref name="relation fondamentale entre ch(x) et sh(x)" /> c'est-à-dire «<math>\;\cosh^2(\mathfrak{a}) - \sinh^2(\mathfrak{a}) = 1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{d \mathfrak{a}}{2}\;\vec{u}_z\;</math>» d'où <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : }}<math>\succ\;</math>l'expression de l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> quand le point <math>\;M\;</math> se déplace de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité, «<math>\;\dfrac{d \mathfrak{a}}{2}\;</math>» soit enfin <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : }}<math>\succ\;</math>l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> quand le point <math>\;M\;</math> se déplace sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}}\;</math> quand le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se déplace }}du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre <math>\;\mathfrak{a}\;</math> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}}\;</math> }}«<math>\;\dfrac{\mathfrak{a}}{2}\;</math>» (C.Q.F.V.)<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref> ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|Justification : }}<u>le paramètre</u><math>\;\mathfrak{a}\;</math> de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de centre <math>\;O</math>, de demi-axes unité, <u>représente le double de l'aire balayée par le rayon vecteur</u><math>\;\overrightarrow{OM}\;</math><u>quand le point</u><math>\;M\;</math><u>se déplace</u> <br>{{Al|19}}{{Transparent|Justification : le paramètre<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> de l'hyperbole équilatère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, de demi-axes unité, représente }}<u>sur cette hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par ce paramètre</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il y a un lien entre l'angle <math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)}\;</math> et l'aire <math>\;\mathfrak{a}\;</math> de la surface balayée par le rayon vecteur quand <math>\;M\;</math> se déplace sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : Il y a un lien entre l'angle <math>\;\color{transparent}{\theta = \left( Ox\,,\,OM \right)}\;</math> et l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> de la surface balayée par le rayon vecteur quand <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se déplace }}du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par <math>\;\theta\;</math> mais, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : Il y a un lien entre l'angle <math>\;\color{transparent}{\theta = \left( Ox\,,\,OM \right)}\;</math> et l'aire <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> de la surface balayée par le rayon vecteur quand <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se déplace }}contrairement au cas du cercle<ref name="cas où l'hyperbole est remplacée par un cercle" />, <math>\;\mathfrak{a} \neq \dfrac{\theta}{2}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en effet, dans le cas de la branche d'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité, les coordonnées polaires du point <math>\;M\;\left\lbrace \rho\,,\,\theta \right\rbrace\;</math> sont telles que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = \rho\;\cos(\theta)\\y = \rho\;\sin(\theta)\end{array}\right\rbrace</math>, ce qui donne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, }}par report dans l'équation cartésienne «<math>\;x^2 - y^2 = 1\;</math>» de cette branche<ref name="hyperbole équilatère de demi-axe focal unité" />, <math>\;\rho^2\;\cos^2(\theta) - \rho^2\;\sin^2(\theta) = 1\;</math> ou <math>\;\rho^2 = \dfrac{1}{\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)}\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, }}l'équation polaire de la branche «<math>\;\rho^2 = \dfrac{1}{\cos(2\;\theta)}\;</math>» <math>\bigg[</math>on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à <math>\;\rho \rightarrow +\infty\;</math> soit <math>\;\theta \rightarrow \pm \dfrac{\pi}{4}\bigg]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, }}le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand <math>\;M\;</math> se déplace de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> sur la branche d'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes unité <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, le vecteur surface élémentaire }}étant <math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{dM}}{2}</math>, se réécrit en polaire <math>\;\overrightarrow{dS} = \dfrac{\rho\;\vec{u}_\rho \wedge \left( d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta \right)}{2} = \dfrac{\rho^2\;d \theta}{2}\;\vec{u}_z\;</math> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, }}l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur «<math>\;d \mathfrak{a} = \dfrac{\rho^2\;d \theta}{2} = \dfrac{d \theta}{2\;\cos(2\;\theta)}\;</math> effectivement <math>\;\neq \dfrac{d \theta}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, }}on obtient alors <math>\;\mathfrak{a}\;</math> en intégrant la relation précédente entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\theta\;</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \displaystyle\int_0^\theta \dfrac{d \theta'}{2\;\cos(2\;\theta')}\;</math>» qui s'intègre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, on obtient alors <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> }}en posant <math>\;t' = \tan\! \left( \theta' \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dt' = \left[ 1 + \tan^2\! \left( \theta' \right) \right] d \theta'\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \theta' = \dfrac{dt'}{1 + {t'}^2}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en effet, on obtient alors <math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math> en posant <math>\;\color{transparent}{t' = \tan\! \left( \theta' \right)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\;\cos(2\;\theta') = \cos^2(\theta') - \sin^2(\theta') = \cos^2(\theta') \left[ 1 - \tan^2(\theta') \right] = \dfrac{1 - \tan^2(\theta')}{1 + \tan^2(\theta')} = \dfrac{1 - {t'}^2}{1 + {t'}^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{\cos(2\;\theta')} = \dfrac{1 + {t'}^2}{1 - {t'}^2}\;</math>» d'où <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : en effet, on obtient alors }}«<math>\;\mathfrak{a} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int_0^t \dfrac{dt'}{1 - {t'}^2}\;</math>» dans laquelle on décompose «<math>\;\dfrac{1}{1 - {t'}^2}\;</math>» en éléments irréductibles simples selon «<math>\;\dfrac{1}{1 - {t'}^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - t'} + \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 + t'}\;</math>»<ref> Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « [[../Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement de quelques méthodes de calcul|Développement de quelques méthodes de calcul]] (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, ce qui conduit à <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : en effet, on obtient alors }}«<math>\;\mathfrak{a} = \dfrac{1}{4} \left[ \displaystyle\int_0^t \dfrac{dt'}{1 - t'} + \displaystyle\int_0^t \dfrac{dt'}{1 + t'} \right] = \dfrac{1}{4} \left[ \displaystyle\int_{t'\, =\, 0}^{t'\, =\, t} \dfrac{d(1 + t')}{1 + t'} - \displaystyle\int_{t'\, =\, 0}^{t'\, =\, t} \dfrac{d(1 - t')}{1 - t'} \right] = \dfrac{1}{4} \left[ \ln\! \left( \dfrac{1 + t'}{1 - t'} \right) \right]_0^t</math> <math>= \dfrac{1}{4}\, \ln\! \left( \dfrac{1 + t}{1 - t} \right)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|2}}{{Transparent|Remarque : en effet, on obtient alors }}«<math>\;\mathfrak{a} = \dfrac{1}{4}\, \ln\! \left[ \dfrac{1 + \tan(\theta)}{1 - \tan(\theta)} \right]\;</math>»<ref> Relation trop compliquée pour être utilisée.</ref>{{,}}<ref> L'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, la branche d'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de demi-axes unité et l'une ou l'autre de ses asymptotes est infinie, en effet cette aire s'obtient en faisant tendre <math>\;\theta\;</math> vers <math>\;\pm \dfrac{\pi}{4}</math>.</ref>. ==== Affinité d'axe x'x, de direction y'y d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy ==== {{Al|5}}On peut transformer l'« [[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes communs <math>\;a\;</math>» par [[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;x'x</math>, de direction <math>\;y'y\;</math> et de rapport <math>\;k\;</math><ref name="affinité"> Voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Affinité_d'axe_x'x,_de_direction_y'y_et_de_rapport_k|affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k]] plus haut dans ce chapitre.</ref> en <br>{{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer }}l'« hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math>» en fixant le rapport «<math>\;k = \dfrac{b}{a}\;</math>» en effet, {{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer }}les équations paramétriques de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes communs <math>\;a\;</math> étant «<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} X = a\;\cosh \left( \xi \right)\\ Y = a\;\sinh \left( \xi \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="équations paramétriques d'une hyperbole équilatère"> Adaptées à partir des équations paramétriques de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes unité «<math>\;\left\lbrace x = \cosh(\mathfrak{a})\, ;\, y = \sinh(\mathfrak{a}) \right\rbrace\;</math>», le paramètre <math>\;\mathfrak{a}\;</math> étant « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite issue de l'origine <math>\;O</math>, l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de demi-axes unité et l'axe des abscisses » <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équations_paramétriques_d'une_hyperbole_équilatère_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|équations paramétriques d'une équation équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy]] (de demi-axes unité) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, l'adaptation au cas de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de demi-axes commun <math>\;a\;</math> nécessitant de multiplier les dimensions sur <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy\;</math> par <math>\;a\;</math> <math>\Rightarrow</math> les aires sont multipliées par <math>\;a^2</math> d'où l'introduction du paramètre <math>\;\xi = \dfrac{\mathfrak{a}}{a^2}\;</math> qui est donc « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite issue de l'origine <math>\;O</math>, l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de demi-axes communs <math>\;a\;</math> et l'axe des abscisses, aire exprimée en unité <math>\;a^2\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer }}pour paramètre <math>\;\xi\;</math> « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite <math>\;OM</math>, l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de demi-axes communs <math>\;a\;</math> et l'axe des abscisses, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer pour paramètre <math>\;\color{transparent}{\xi}\;</math> « le double de l'}}aire exprimée en unité <math>\;a^2\;</math><ref name="aire exprimée en unité a2"> C.-à-d. l'aire divisée par <math>\;a^2</math>.</ref> », {{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer }}son image par l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;x'x</math>, de direction <math>\;y'y\;</math> et de rapport <math>\;k = \dfrac{b}{a}\;</math> c'est-à-dire l'« hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|On peut transformer son image par l'affinité d'axe <math>\;\color{transparent}{x'x}</math>, de direction <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> et de rapport <math>\;\color{transparent}{k = b}\;</math> c'est-à-dire l'« hyperbole de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math>» <br>{{Al|7}}{{Transparent|On peut transformer son image par l'affinité d'axe <math>\;\color{transparent}{x'x}</math>, de direction <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> et de rapport <math>\;\color{transparent}{k = b}\;</math> c'est-à-dire l'« hyperbole }}a pour équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l} x \!\!\!&=&\!\!\! X \!\!\!&=&\!\!\! a\; \cosh \left( \xi \right)\\ y \!\!\!&=&\!\!\! \dfrac{b}{a}\;Y \!\!\!&=&\!\!\! b\; \sinh \left( \xi \right)\end{array} \right\rbrace\;</math>» avec, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer }}pour paramètre <math>\;\xi\;</math> « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite <math>\;OM</math>, l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de centre <math>\;O</math>, de demi-axes communs <math>\;a\;</math> et l'axe des <math>\;x</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On peut transformer pour paramètre <math>\;\color{transparent}{\xi}\;</math> « le double de l'}}aire exprimée en unité <math>\;a^2\;</math><ref name="aire exprimée en unité a2" /> »<ref> De même que le paramètre <math>\;\theta\;</math> des équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta)\\ y = b\;\sin(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math>» de l'ellipse de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> n'a pas de signification sur l'ellipse mais uniquement sur le cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> dont l'ellipse est l'image par affinité d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même que }}le paramètre <math>\;\xi\;</math> des équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cosh(\xi)\\ y = b\;\sinh(\xi)\end{array}\right\rbrace\;</math>» de l'hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> n'a pas, a priori, de signification sur cette hyperbole mais uniquement sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, de demi-axes communs <math>\;a\;</math> dont l'hyperbole non équilatère est l'image par affinité d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}</math>.</ref>{{,}}<ref> Le paramètre <math>\;\xi\;</math> des équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cosh(\xi)\\ y = b\;\sinh(\xi)\end{array}\right\rbrace\;</math>» de l'hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes <math>\;Ox\;</math> et <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> peut avoir, a posteriori, une signification sur cette hyperbole car, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le paramètre }}s'il représente « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite <math>\;OM</math>, l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, de demi-axes communs <math>\;a\;</math> et l'axe des abscisses, aire exprimée en unité <math>\;a^2\;</math>», la surface délimitée par la demi-droite <math>\;OM</math>, l'hyperbole de centre <math>\;O</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> et l'axe des abscisses se déduisant de celle associée à l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] par affinité d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}</math>, l'aire de la 1^ère est égale à l'aire de la 2^nde multipliée par le rapport <math>\;\dfrac{b}{a}\;</math> d'où <br>{{Al|3}}la signification suivante du paramètre <math>\;\xi\;</math> sur l'hyperbole non équilatère : le paramètre <math>\;\xi\;</math> représente « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite <math>\;OM</math>, l'hyperbole de centre <math>\;O</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> et l'axe des abscisses, aire exprimée en unité <math>\;a\;b\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Justification</u> : les équations paramétriques «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cosh(\xi)\\ y = b\;\sinh(\xi)\end{array}\right\rbrace\;</math>» sont bien celles de l'« hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math>» car, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : }}en éliminant le paramètre <math>\;\xi\;</math> entre les deux équations paramétriques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \cosh(\xi) = \dfrac{x}{a} \\ \sinh(\xi) = \dfrac{y}{a} \end{array}\right\rbrace\;</math> et utilisant la relation fondamentale liant <math>\;\cosh(\,)\;</math> et <math>\;\sinh(\,)\;</math><ref name="relation fondamentale entre ch(x) et sh(x)" /> <math>\;\cosh^2(\xi) - \sinh^2(\xi) = 1</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification : }}on retrouve bien son équation cartésienne <math>\;\big(</math>sous forme implicite<math>\big)\;</math> «<math>\;\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;</math>». ==== Conséquence : équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy ==== {{Proposition|titre=Équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes focal Ox et non focal Oy|contenu={{Al|5}}Les équations paramétriques d'une hyperbole de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les équations paramétriques d'une hyperbole de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}s'écrivent selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cosh(\xi)\\ y = b\;\sinh(\xi)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="représentation du paramètre sur l'hyperbole équilatère"> Attention, le paramètre «<math>\;\xi\;</math>» ne représente, a priori, rien pour le point courant <math>\;M\;</math> de l'hyperbole non équilatère, sa représentation nécessitant, a priori, l'introduction de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, de demi-axes communs <math>\;a\;</math> dont l'hyperbole paramétrée est l'image par [[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}</math>, mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Il est toutefois possible de trouver, a posteriori, une signification au paramètre <math>\;\xi\;</math> sur l'hyperbole non équilatère : voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#cite_note-113|¹¹³]] » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.</ref> dans lesquelles <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les équations paramétriques }}« le paramètre <math>\;\xi\;</math> de l'hyperbole est le double de l'aire balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}_{\text{équilat}}\;</math> quand <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les équations paramétriques « }}<math>\;M_{\text{équilat}}\;</math> se déplace sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> de centre <math>\;O</math>, d'axes focal <math>\;Ox\;</math> et non focal <math>\;Oy</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les équations paramétriques « <math>\;\color{transparent}{M_{\text{équilat}}}\;</math> se déplace sur l'hyperbole équilatère de centre <math>\;\color{transparent}{O}</math>, }}de demi-axes communs <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les équations paramétriques « <math>\;\color{transparent}{M_{\text{équilat}}}\;</math> se déplace }}du point commun <math>\;A\;</math> de l'hyperbole et de l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]]<ref name="hyperbole équilatère" /> situé sur <math>\;Ox</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les équations paramétriques « <math>\;\color{transparent}{M_{\text{équilat}}}\;</math> se déplace }}jusqu'au point <math>\;M_{\text{équilat}}\;</math> repéré par ce paramètre sur l'[[w:Hyperbole_(mathématiques)#Hyperbole_équilatère|hyperbole équilatère]] »<ref name="représentation du paramètre sur l'hyperbole équilatère" />.}} === Équations polaires des coniques === ==== Généralités sur le repérage polaire d'un point d'un plan fixe ==== {{Al|5}}Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;M\;</math> du plan fixe nécessite le choix <math>\;\big(</math>dans ce plan<math>\big)\;</math> d'une origine «<math>\;O\;</math>» et d'une base orthonormée liée au plan «<math>\;(\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe }}une fois ce choix fait, <math>\;M\;</math> est repéré par ses coordonnées cartésiennes «<math>\;(x\,,\, y)\;</math>»<ref name="repérage cartésien"> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cartésien_d'un_point_dans_l'espace|repérage cartésien d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe }}on peut repérer autrement le point <math>\;M\;</math> relativement au repère cartésien «<math>\;\left\lbrace O\,,\, \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement }}en précisant ses coordonnées polaires c'est-à-dire «<math>\;(r\,,\, \theta)\;</math>» où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement en précisant }}«<math>\;r = OM \geqslant 0\;</math>»<ref> C.-à-d. la distance séparant le point <math>\;M\;</math> du « pôle <math>\;O\;</math>».</ref> est « la 1^ère coordonnée polaire exprimée en <math>\;m\;</math>» <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «<math>\;\color{transparent}{r = OM \geqslant 0}\;</math>» est « }}appelée « coordonnée radiale »<ref> Ou « rayon <math>\;\big(</math>polaire<math>\big)\;</math>» ou encore « rayon <math>\;\big(</math>vecteur<math>\big)\;</math>» <math>\;\big[</math>le substantif « vecteur » ajouté à « rayon » est très mal choisi car il ne s'agit nullement d'un vecteur, toutefois il s'agit d'une définition historique très précise en géométrie signifiant « distance séparant le point <math>\;M\;</math> d'un point particulier <math>\;\big(</math>qui est ici le « pôle »<math>\big)\;</math>»<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}on pourrait encore utiliser la notion de « rayon <math>\;\big(</math>vecteur<math>\big)\;</math>» dans la définition bipolaire d'une ellipse selon « ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que la somme de ses deux rayons vecteurs menés de chacun des foyers est égal à <math>\;2\; a</math> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la longueur du grand axe de l'ellipse<math>\big)\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement en précisant }}«<math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{u_x}\,;\,\overrightarrow{OM} \right)}\;</math>» étant « la 2^ème coordonnée polaire exprimée en <math>\;rad\;</math>» <br>{{Al|12}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «<math>\;\color{transparent}{\theta = \left( u_x\,;\,OM \right)}\;</math>» est « }}appelée « coordonnée <math>\;\big(</math>ou abscisse<math>\big)\;</math> angulaire »<ref> Ou « angle polaire ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement en précisant }}<math>\big[</math>l'axe <math>\;Ox\;</math> étant appelé « axe polaire »<math>\big]\;</math><ref name="repérage polaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans son cas particulier de repérage dans un plan, le vecteur unitaire radial <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> du paragraphe étant remplacé ici par <math>\;\vec{u}_r</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement }}quand un point <math>\;M\;</math> décrit une courbe, celle-ci peut être caractérisée par son « équation polaire » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement }}c'est-à-dire la fonction explicitant la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> «<math>\;r\;</math>» en fonction de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du plan fixe on peut repérer autrement c'est-à-dire la fonction explicitant }}son abscisse angulaire «<math>\;\theta\;</math>» soit «<math>\;r = r(\theta)\;</math>»<ref> Ou l'inverse «<math>\;\theta = \theta(r)\;</math>» ou encore une relation entre les deux sous la forme dite [[w:Fonction_implicite|implicite]] «<math>\;f(r\,,\, \theta) = 0\;</math>».</ref>. ==== Exemple de courbe définie par son équation polaire ==== [[File:Cercle passant par O - équation polaire.png|thumb|Cercle passant par <math>\;O</math>, centré sur l'axe polaire <math>\;Ox\;</math> et de diamètre <math>\;a</math>, ayant pour équation polaire «<math>\;r = a\; \cos(\theta)\;</math>»]] {{Al|5}}Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;r = a\; \cos(\theta)\;</math>» : cette courbe est un « cercle passant par <math>\;O</math>, de diamètre <math>\;a\;</math> et centré au point <math>\;C\;\left( \dfrac{a}{2}\,,\,0 \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}« le domaine de variation de <math>\;\theta\;</math> étant <math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\,\dfrac{\pi}{2} \right]\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}en effet multiplions l'équation polaire «<math>\;r = a\; \cos(\theta)\;</math>» de part et d'autre par «<math>\;r\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}dans le but de faire apparaître «<math>\;r^2 = x^2 + y^2\;</math>» dans le membre de gauche, nous obtenons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}«<math>\;r^2 = a\; r\;\cos(\theta)\;</math>» et, reconnaissant dans le membre de droite «<math>\;r\; \cos(\theta) = x\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}nous en déduisons l'équation cartésienne suivante «<math>\;x^2 + y^2 = a\; x\;</math>» qui se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}«<math>\;x^2 - a\;x + y^2 = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left( x - \dfrac{a}{2} \right)^{\!2} + y^2 = \left( \dfrac{a}{2} \right)^{\!2}\;</math>» définissant effectivement un cercle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «<math>\;\color{transparent}{r = a\; \cos(\theta)}\;</math>» : }}« centré en <math>\;C\;\left( \dfrac{a}{2}\,,\,0 \right)\;</math>» sur l'axe polaire <math>\;Ox</math>, « de rayon <math>\;\dfrac{a}{2}\;</math>» et « passant par <math>\;O\;</math>»<ref> On vérifie d'ailleurs <math>\;\Big[</math>compte tenu du fait que l'angle <math>\;\widehat{OMA}\;</math> est droit dans la mesure où la courbe est un cercle dont <math>\;OA\;</math> est un diamètre<math>\Big]\;</math> «<math>\;OM = OA\; \cos(\theta)\;</math>» c.-à-d. «<math>\;r = a\; \cos(\theta)\;</math>».</ref>. ==== Choix communs de repérage polaire des coniques dont O est le (ou un des) foyer(s) ==== {{Al|5}}Le pôle <math>\;O\;</math> du repérage polaire étant le <math>\;\big(</math>ou un des<math>\big)\;</math> foyer(s), <u>l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus proche</u> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le « péricentre » pour une ellipse, le « sommet » pour une parabole <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du repérage polaire étant le <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou un des<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> foyer(s), l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus proche <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}ou le « sommet » pour l'une ou l'autre branche d'une hyperbole<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> du repérage polaire étant le <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou un des<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> foyer(s), }}<u>on note</u> «<math>\;\varphi\;</math>» <u>l'angle orienté que fait l'axe focal avec l'axe polaire</u> c'est-à-dire «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{\text{axe polaire}}\,,\,\overrightarrow{\text{axe focal}} \right)}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Dans ce qui suit, l'établissement de l'équation polaire d'une conique dont le pôle <math>\;O\;</math> est le <math>\;\big(</math>ou un des<math>\big)\;</math> foyer(s) a été faite à partir de la définition monofocale de cette dernière<ref name="définition monofocale d'une conique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_monofocale_d'une_conique|définition monofocale d'une conique]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. ==== Équation polaire d'une ellipse de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e ==== [[File:Ellipse dont O est un des foyers - repérage polaire.png|thumb|400px|Schéma représentant une ellipse dont <math>\;O\;</math> est l'un des foyers et son repérage polaire de pôle <math>\;O</math>, l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le péricentre de l'ellipse<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire<ref name="vecteurs de base polaire et de Frenet"> Figurent aussi sur ce schéma, les vecteurs unitaires «<math>\;\vec{u}_r</math>, <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> du repérage polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » dans son cas particulier de repérage dans un plan, le vecteur unitaire radial <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> du paragraphe étant remplacé ici par <math>\;\vec{u}_r\big]\;</math> ainsi que <math>\;\vec{\tau}\;</math> du repérage de Frenet <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#En_complément,_repérage_de_Frenet_d'un_point_sur_une_courbe|en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math>». <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces [[w:Repère_de_Frenet#Formules_de_Frenet|formules dites de Frenet]]<math>\big]</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre la disposition de l'ellipse par rapport au repère, un des foyers de l'ellipse choisi pour pôle <math>\;O\;</math> du repérage polaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le péricentre <math>\;P\;</math> de l'ellipse<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Voir ci-contre l'axe focal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>orienté vers le péricentre <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> de l'ellipse<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> faisant l'angle }}«<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OP} \right)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}le point courant <math>\;M\;</math> de l'ellipse étant repéré par ses coordonnées polaires «<math>\;\left\lbrace r = OM\,,\, \theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right\rbrace\;</math>». ===== Établissement à partir de la définition monofocale de l'ellipse ===== {{Al|5}}L'ellipse dont <math>\;O\;</math> est un des foyers étant définie selon « l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;MO = e\;MH\;</math> dans lequel <br>{{Al|4}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers étant définie selon «}}<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> directrice associée au foyer <math>\;O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers étant définie selon «}}et <math>\;e\;</math> l'excentricité de l'ellipse »<ref name="définition monofocale d'une ellipse" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MO = r\;</math>» coordonnée radiale du point <math>\;M\;</math> dans son repérage polaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MH = d\!\left\lbrace O\,,\, (D) \right\rbrace - OM\;\cos\! \left[ \widehat{\left( \overrightarrow{OP}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{p}{e} - r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math>» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math>» respectivement « l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» respectivement « }}l'angle que fait l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le péricentre <math>\;P\;</math> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» respectivement « l'angle que fait l'axe focal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}l'ellipse<math>\big)\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers }}de «<math>\;MO = e\;MH\;</math>» on déduit «<math>\;r = e\, \left[ \dfrac{p}{e} - r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) \right] = p - e\;r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math>» soit «<math>\;r\, \left[ 1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) \right] = p\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'ellipse dont <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est un des foyers de «<math>\;\color{transparent}{MO = e\;MH}\;</math>» on déduit }}«<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» sachant que «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math> est <math>\;\neq 0,\;\;\forall\;\theta\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ -1\,,\, +1 \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ 1 - e > 0\,,\, 1 + e > 0 \right]\;</math>».</ref>. ===== Énoncé ===== {{Proposition|titre=Équation polaire d'une ellipse dont le pôle O est un des foyers|contenu= {{Al|5}}L'équation polaire de l'ellipse dont le pôle <math>\;O\;</math> est l'un des foyers, l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le péricentre <math>\;P\;</math> de l'ellipse<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de l'ellipse dont le pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est l'un des foyers, l'axe focal }}faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de l'ellipse }}est «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de l'ellipse est }}«<math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math>» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse.}} ===== Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire ===== * <u>La distance minimale d'approche</u> <math>\;\big(</math>distance séparant le péricentre <math>\;P\;</math> de l'ellipse de son foyer <math>\;O\big)\;</math> «<math>\;r_P = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» <math>\;\big(</math>correspondant à «<math>\;\theta = \varphi\;</math>»<math>\big)</math>, * <u>La distance maximale d'éloignement</u> <math>\;\big(</math>distance séparant l'apocentre <math>\;A\;</math> de l'ellipse de son foyer <math>\;O\big)\;</math> «<math>\;r_A = \dfrac{p}{1 - e}\;</math>» <math>\;\big(</math>correspondant à «<math>\;\theta = \varphi + \pi\;</math>»<math>\big)</math>, * <u>le demi-grand axe</u> «<math>\;a\;</math>» par «<math>\;2\; a = r_P + r_A = \dfrac{p}{1 + e} + \dfrac{p}{1 - e} = \dfrac{2\;p}{1 - e^2}\;</math>» d'où «<math>\;a = \dfrac{p}{1 - e^2}\;</math>» et * <u>le demi-petit axe</u> «<math>\;b\;</math>» par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a} \Rightarrow b = \sqrt{p\;a}\;</math>» ou, en y reportant l'expression de «<math>\;a = \dfrac{p}{1 - e^2}\;</math>», «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{1 - e^2}}\;</math>»<ref> On pouvait aussi utiliser le triangle rectangle <math>\;CFB\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big[</math>ici le triangle rectangle s'écrit <math>\;COB\big]\;</math> soit <math>\;b^2 =</math> <math>a^2 - c^2\;</math> dans laquelle <math>\;c = CO\;</math> avec l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'ellipse définie par <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c = a\;e\;</math>», soit finalement «<math>\;b^2 = a^2\, \left( 1 - e^2 \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;b = a\;\sqrt{1 - e^2}\;</math> dans laquelle on reporte «<math>\;a =</math> <math>\dfrac{p}{1 - e^2}\;</math>» d'où «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{1 - e^2}}\;</math>».</ref>. ==== Équation polaire d'une parabole de foyer O et de paramètre p ==== [[File:Parabole de foyer O - repérage polaire.png|thumb|400px|Schéma représentant une parabole de foyer <math>\;O\;</math> et son repérage polaire de pôle <math>\;O</math>, l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet de la parabole<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire<ref name="vecteurs de base polaire et de Frenet" />]] {{Al|5}}Voir ci-contre la disposition de la parabole par rapport au repère, le foyer de la parabole choisi pour pôle <math>\;O\;</math> du repérage polaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la parabole<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Voir ci-contre l'axe focal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>orienté vers le sommet <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> de la parabole<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> faisant l'angle }}«<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OP} \right)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}le point courant <math>\;M\;</math> de la parabole étant repéré par ses coordonnées polaires «<math>\;\left\lbrace r = OM\,,\, \theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right\rbrace\;</math>». ===== Établissement à partir de la définition (monofocale) de la parabole ===== {{Al|5}}La parabole de foyer <math>\;O\;</math> étant définie selon « l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;MO = MH\;</math> dans lequel <br>{{Al|4}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon «}}<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> directrice associée au foyer <math>\;O\;</math><ref name="définition monofocale d'une parabole" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MO = r\;</math>» coordonnée radiale du point <math>\;M\;</math> dans son repérage polaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MH = d\!\left\lbrace O\,,\, (D) \right\rbrace - OM\;\cos\! \left[ \widehat{\left( \overrightarrow{OP}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right] = p - r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math>»<ref name="cosinus négatif"> Attention sur le schéma «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>».</ref> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;p\;</math>» est « le paramètre » de la parabole, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math>» respectivement « l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» respectivement « }}l'angle que fait l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» respectivement « l'angle que fait l'axe focal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}la parabole<math>\big)\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}de «<math>\;MO = MH\;</math>» on déduit «<math>\;r = p - r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math>» soit «<math>\;r\, \left[ 1 + \cos\! \left( \theta - \varphi \right) \right] = p\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de «<math>\;\color{transparent}{MO = MH}\;</math>» on déduit }}«<math>\;r = \dfrac{p}{1 + \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de «<math>\;\color{transparent}{MO = MH}\;</math>» on déduit « }}sachant que «<math>\;1 + \cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math> est <math>\;\neq 0,\;\;\forall\;\theta \neq \varphi + \pi\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ -1\,,\, +1 \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;1 + \cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ 0\,,\, 2 \right]\;</math>».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de «<math>\;\color{transparent}{MO = MH}\;</math>» on déduit « }}<math>\big[</math>pour «<math>\;\theta_a = \varphi + \pi\;</math>», <math>\;1 + \cos\! \left( \theta_a - \varphi \right) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r(\theta_a)\;</math> doit être <math>\;\infty\;</math><ref> En effet le produit de <math>\;1 + \cos\! \left( \theta_a - \varphi \right) = 0\;</math> avec <math>\;r(\theta_a)\;</math> étant de valeur <math>\;p\;</math> finie, «<math>\;r(\theta_a)\;</math> doit être <math>\;\infty\;</math>».</ref> d'où la direction repérée par «<math>\;\theta_a = \varphi + \pi\;</math>» est <br>{{Al|11}}{{Transparent|La parabole de foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de «<math>\;\color{transparent}{MO = MH}\;</math>» on déduit « <math>\color{transparent}{\big[}</math>pour «<math>\;\color{transparent}{\theta_a = \varphi + \pi}\;</math>», <math>\;\color{transparent}{1 + \cos\! \left( \theta_a - \varphi \right) = 0}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{r(\theta_a)}\;</math> doit être <math>\;\color{transparent}{\infty}\;</math> d'où }}la direction asymptotique de la parabole<math>\big]</math>. ===== Énoncé ===== {{Proposition|titre=Équation polaire d'une parabole dont le pôle O est le foyer|contenu= {{Al|5}}L'équation polaire de la parabole dont le pôle <math>\;O\;</math> est le foyer, l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la parabole<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la parabole dont le pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> est le foyer, l'axe focal }}faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la parabole }}est «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la parabole }}«<math>\;p\;</math>» est « le paramètre » de la parabole.}} ===== Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire ===== * <u>La distance minimale d'approche</u> <math>\;\big(</math>distance séparant le sommet <math>\;P\;</math> de la parabole de son foyer <math>\;O\big)\;</math> «<math>\;r_P = \dfrac{p}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>correspondant à «<math>\;\theta = \varphi\;</math>»<math>\big)\;</math> et * <u>l'angle polaire de la direction asymptotique</u> <math>\;\big(</math>correspondant à une distance minimale d'éloignement <math>\;\infty\big)\;</math> «<math>\;\theta_{\text{asympt}} = \varphi + \pi\;</math>»<ref> Nécessite <math>\;r \rightarrow \infty\;</math> réalisé si <math>\;\cos(\theta - \varphi) \rightarrow -1</math>, c.-à-d. <math>\;\cos(\theta_{\text{asympt}} - \varphi) = -1\;</math> soit «<math>\;\theta_{\text{asympt}} = \varphi + \pi\;</math>» <math>\;\big[</math>noté <math>\;\theta_a\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Établissement_à_partir_de_la_définition_(monofocale)_de_la_parabole|établissement (de l'équation polaire) à partir de la définition (monofocale) de la parabole]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> c'est aussi la direction opposée de celle de l'axe focal.</ref>. ==== Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche contournant O ==== [[File:Branche d'hyperbole contournant un des foyers O - repérage polaire.png|thumb|400px|Schéma<ref name="seulement l'allure"> Le schéma respecte l'allure mais non les proportions <math>\;\big[</math>deux longueurs théoriquement identiques <math>\;\big(</math>par exemple «<math>\;a\;</math>»<math>\big)\;</math> peuvent représentées <math>\;\big(</math>involontairement<math>\big)\;</math> différentes<math>\big]</math>.</ref> représentant une branche d'hyperbole contournant un des foyers <math>\;O\;</math> et son repérage polaire de pôle <math>\;O</math>, l'axe focal {{Nobr|<math>\;\big(</math>orienté}} vers le sommet de la branche<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire<ref name="vecteurs de base polaire et de Frenet" />]] {{Al|5}}Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi pour pôle <math>\;O\;</math> du <br>{{Al|4}}{{Transparent|Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi }}repérage polaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la branche<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OP} \right)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}le point courant <math>\;M\;</math> de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «<math>\;\left\lbrace r = OM\,,\, \theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right\rbrace\;</math>». ===== Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole ===== {{Al|5}}La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;O\;</math> étant définie selon « l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du demi-plan situé du côté de <math>\;O\;</math><ref name="demi-plan situé du côté de O"> Plus précisément situé, par rapport au centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole, du même côté que le foyer <math>\;O\;</math> et sa directrice associée <math>\;(D)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon « l'ensemble des points <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> du }}tel que <math>\;MO = e\;MH\;</math> dans lequel <br>{{Al|4}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon «}}<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> directrice associée <br>{{Al|4}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon «<math>\;\color{transparent}{H}\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur <math>\;\color{transparent}{(D)}\;</math> }}au foyer <math>\;O\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon «}}<math>\;e\;</math> l'excentricité de l'hyperbole »<ref name="définition monofocale d'une hyperbole" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MO = r\;</math>» coordonnée radiale du point <math>\;M\;</math> dans son repérage polaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MH = d\!\left\lbrace O\,,\, (D) \right\rbrace - OM\;\cos\! \left[ \widehat{\left( \overrightarrow{OP}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{p}{e} - r\,\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math>»<ref name="cosinus négatif" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}dans laquelle «<math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math>» sont « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans laquelle }}«<math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math>» respectivement « l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> et l'angle que fait l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la branche<math>\big)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>dans laquelle «<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» respectivement « l'abscisse angulaire du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et l'angle que fait l'axe focal }}avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}de «<math>\;MO = e\;MH\;</math>» on déduit «<math>\;r = e\, \left[ \dfrac{p}{e} - r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) \right] = p - e\;r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math>» soit «<math>\;r\, \left[ 1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) \right] = p\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de «<math>\;\color{transparent}{MO = e\;MH}\;</math>» on déduit }}«<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» pour «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > 0\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ -1\,,\, +1 \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ 1 - e < 0\,,\, 1 + e > 0 \right]\;</math>» et, comme <math>\;r\;</math> doit être fini et positif, il est nécessaire que «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;</math> soit <math>\;> 0\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}la condition «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > -\dfrac{1}{e}\;</math>» <math>\;\big(</math>valeur limite <math>\;\in\; \left] -1\,,\, 0 \right[\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le domaine de définition de l'angle <math>\;\theta - \varphi</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> la condition «<math>\;\color{transparent}{1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > -\dfrac{1}{e}}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>valeur limite <math>\;\color{transparent}{\in\; \left] -1\,,\, 0 \right[\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\left] - \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right),\, \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>»<ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}«<math>\;\theta\; \in \; \left] \varphi - \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right),\, \varphi + \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>»<ref name="arccosinus" /> <math>\;\big(</math>domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche d'hyperbole<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}les bornes du domaine de définition <math>\;\bigg[</math>à savoir <math>\;\theta_{a,\,-} = \varphi - \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /> et <math>\;\theta_{a,\,+} = \varphi + \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /><math>\bigg]\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> les bornes du domaine de définition }}correspondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole <br>{{Al|6}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> les bornes du domaine de définition }}<math>\;\Big[</math>pour «<math>\;\theta_{a,\,\pm}\;</math>», <math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta_{a,\,\pm} - \varphi \right) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r(\theta_{a,\,\pm})\;</math> doit être <math>\;\infty\;</math><ref> En effet le produit de <math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta_{a,\,\pm} - \varphi \right) = 0\;</math> avec <math>\;r(\theta_{a,\,\pm})\;</math> étant de valeur <math>\;p\;</math> finie, «<math>\;r(\theta_{a,\,\pm})\;</math> doit être <math>\;\infty\;</math>».</ref> »<math>\Big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}l'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec «<math>\;1 + e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > 0, \;\;\forall\;\theta\; \in \; \left] \varphi - \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right),\, \varphi + \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>»<ref name="arccosinus" />. ===== Énoncé ===== {{Proposition|titre=Équation polaire de la branche d'hyperbole contournant O (un des foyers)|contenu= {{Al|5}}L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers choisi comme pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers }}l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la branche<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers l'axe focal }}faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole }}est «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole est }}«<math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math>» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole.}} ===== Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire ===== * <u>La distance minimale d'approche</u> <math>\;\big(</math>distance séparant le sommet <math>\;P\;</math> de la branche d'hyperbole du foyer <math>\;O\;</math> de cette dernière<math>\big)\;</math> «<math>\;r_P = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» <math>\;\big(</math>correspondant à «<math>\;\theta = \varphi\;</math>»<math>\big)\;</math>, * <u>l'angle polaire des directions asymptotiques</u> <math>\;\big(</math>correspondant à une distance maximale d'éloignement <math>\;\infty\big)\;</math> «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm} = \varphi \pm \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\;</math>»<ref> Nécessite <math>\;r \rightarrow \infty\;</math> réalisé si <math>\;\cos(\theta - \varphi) \rightarrow -\dfrac{1}{e}</math>, c.-à-d. <math>\;\cos(\theta_{\text{asympt},\,\pm} - \varphi) = -\dfrac{1}{e}\;</math> soit «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm} = \varphi \pm \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>noté <math>\;\theta_{a,\,\pm}\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Établissement_à_partir_de_la_définition_monofocale_de_l'hyperbole|établissement (de l'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers O) à partir de la définition monofocale de l'hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br><math>\big[</math>l'angle polaire des directions asymptotiques <math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm}\;</math> s'écrit encore «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm} = \varphi \pm \left( \pi - \alpha \right)\;</math>» avec «<math>\;\alpha\;</math> l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal »<ref> Seul «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,+} = \varphi + \left( \pi - \alpha \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou plus exactement «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,+} - \varphi = \pi - \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math> a été représenté sur le schéma du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_polaire_de_la_branche_d'hyperbole_de_foyer_O,_de_paramètre_p_et_d'excentricité_e,_branche_contournant_O|équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche contournant O]] » plus haut dans ce chapitre pour ne pas surcharger ce dernier, l'autre angle polaire de direction asymptotique «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,-} = \varphi - \left( \pi - \alpha \right)\;</math>» serait tel que «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,-} - \varphi = - \left( \pi - \alpha \right)\;</math>» c.-à-d. l'opposé de l'angle représenté «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,+} - \varphi = \pi - \alpha\;</math>».</ref><math>\big]</math>, * <u>le demi-axe focal</u> «<math>\;a\;</math>» étant la distance séparant le sommet <math>\;P\;</math> de la branche d'hyperbole du centre de symétrie <math>\;C\;</math> de l'hyperbole complète<ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> d'où <br>{{Transparent|le demi-axe focal }}«<math>\;a = PC = OC - OP\;</math>» avec <math>\;OC = c</math> <math>\;\big(</math>distance entre le centre et l'un des foyers<math>\big)\;</math> ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a}</math>, «<math>\;OC = c = e\;a\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|le demi-axe focal «<math>\;\color{transparent}{a = PC = OC - OP}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{OC = c}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>distance entre le centre et l'un des foyers<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité <math>\;\color{transparent}{e = c}</math>, }}«<math>\;OP = r_P = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» d'où <br>{{Transparent|le demi-axe focal }}«<math>\;a = OC - OP\;</math>» se réécrit «<math>\;a = e\;a - \dfrac{p}{1 + e}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;a\,\left( e - 1 \right) = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» soit finalement «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» et * <u>le demi-axe non focal</u> «<math>\;b\;</math>» par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a} \Rightarrow b = \sqrt{p\;a}\;</math>» ou, en y reportant l'expression de «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>», «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>»<ref> On pouvait aussi utiliser le triangle rectangle <math>\;H_1FC\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big[</math>ici le triangle rectangle est représenté en utilisant l'autre foyer <math>\;O'\big]\;</math> soit <math>\;b^2 = c^2 - a^2\;</math> dans laquelle <math>\;c = CO</math>, l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'hyperbole étant définie par <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c = a\;e\;</math>», soit finalement «<math>\;b^2 = a^2\, \left( e^2 - 1 \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;b =</math> <math>a\;\sqrt{e^2 - 1}\;</math> dans laquelle on reporte «<math>\;a =</math> <math>\dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|On pouvait aussi }}utiliser autrement le triangle rectangle précédent en se servant de l'angle <math>\;\alpha</math> <math>\;\bigg[</math>lequel est aussi l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal tel que <math>\;\pi - \alpha = \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\bigg]\;</math> dont on a établi, dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre, «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;b = a\;\tan(\alpha) = -a\;\tan\! \left( \pi - \alpha \right)\;</math> avec <math>\;\tan\! \left( \pi - \alpha \right) < 0\;</math>» d'où «<math>\;\tan\! \left( \pi - \alpha \right) = -\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\! \left( \pi - \alpha \right)} - 1}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>déduit de «<math>\;\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)\;</math>» avec <math>\;\tan(x) < 0\bigg]\;</math> d'où <math>\;b = a\;\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\! \left( \pi - \alpha \right)} - 1}\;</math> avec <math>\;\cos\! \left( \pi - \alpha \right) = -\dfrac{1}{e}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;b = a\;\sqrt{e^2 - 1}\;</math>» dans laquelle on reporte «<math>\;a =</math> <math>\dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>».</ref>. ==== Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche différente de celle contournant O ==== [[File:Branche d'hyperbole ne contournant pas O l'un des foyers - repérage polaire.png|thumb|400px|Schéma<ref name="seulement l'allure" /> représentant une branche d'hyperbole contournant un des foyers <math>\;O'\;</math> et son repérage polaire de pôle <math>\;O</math>, l'autre foyer de l'hyperbole, l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet de la branche {{Nobr|étudiée<math>\big)\;</math>}} faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire<ref name="vecteurs de base polaire et de Frenet" />]] {{Al|5}}Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche choisi pour pôle <math>\;O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche }}du repérage polaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, }}<math>\big(</math>le foyer contourné par la branche étant noté <math>\;O'\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la branche étudiée<math>\big)\;</math> faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Voir ci-contre l'axe focal <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>orienté vers le sommet <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> de la branche étudiée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> faisant l'angle }}«<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OP} \right)}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre }}le point courant <math>\;M\;</math> de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «<math>\;\left\lbrace r = OM\,,\, \theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right\rbrace\;</math>». ===== Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole ===== {{Al|5}}La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;O\;</math> étant définie selon « l'ensemble des points <math>\;M\;</math> du demi-plan situé à l'opposé <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon « }}de <math>\;O\;</math><ref name="demi-plan situé du côté de O'"> Plus précisément situé, par rapport au centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole, à l'opposé du foyer <math>\;O\;</math> et de sa directrice associée <math>\;(D)\;</math> ou, ce qui est équivalent, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément situé, par rapport au centre <math>\;\color{transparent}{C}\;</math> de l'hyperbole, }}du même côté que le foyer <math>\;O'\;</math> et sa directrice associée <math>\;(D')</math>.</ref> tel que <math>\;MO = e\;MH\;</math> dans lequel <br>{{Al|4}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon « }}<math>\;H\;</math> est le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(D)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon «<math>\;\color{transparent}{H}\;</math> est le projeté }}directrice associée au foyer <math>\;O\;</math> et <br>{{Al|4}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant définie selon « }}<math>\;e\;</math> l'excentricité de l'hyperbole »<ref name="définition monofocale d'une hyperbole" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MO = r\;</math>» coordonnée radiale du point <math>\;M\;</math> dans son repérage polaire et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;MH = OM\;\cos\! \left[ \widehat{\left( \overrightarrow{OP}\,,\,\overrightarrow{OM} \right)} \right] - d\!\left\lbrace O\,,\, (D) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{MH}</math> }}<math>= r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - \dfrac{p}{e}\;</math>» dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math>» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math>» respectivement « l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> et l'angle que fait l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la branche étudiée<math>\big)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math>» respectivement « l'abscisse angulaire du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et l'angle que fait l'axe focal }}avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}de «<math>\;MO = e\;MH\;</math>» on déduit «<math>\;r = e\, \left[ r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - \dfrac{p}{e} \right] = e\;r\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - p\;</math>» soit «<math>\;r\, \left[ e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1 \right] = p\;</math>» et finalement, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de «<math>\;\color{transparent}{MO = e\;MH}\;</math>» on déduit }}«<math>\;r = \dfrac{p}{e\, \cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>» pour «<math>\;e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1 > 0\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right)\;\in\;\left[ -1\,,\, +1 \right]\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1\;\in\;\left[ - e - 1 < 0\,,\, e - 1 > 0 \right]\;</math>» et, comme <math>\;r\;</math> doit être fini et positif, il est nécessaire que «<math>\;e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1\;</math> soit <math>\;> 0\;</math>».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}la condition «<math>\;e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1 > 0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > \dfrac{1}{e}\;</math>» <math>\;\big(</math>valeur limite <math>\;\in\; \left] 0\,,\, 1 \right[\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le domaine de définition de l'angle <math>\;\theta - \varphi</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> la condition «<math>\;\color{transparent}{e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1 > 0}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\cos\! \left( \theta - \varphi \right) > \dfrac{1}{e}}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>valeur limite <math>\;\color{transparent}{\in\; \left] 0\,,\, 1 \right[\big)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\left] - \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right),\, \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>»<ref name="arccosinus" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}«<math>\;\theta\; \in \; \left] \varphi - \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right),\, \varphi + \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>»<ref name="arccosinus" /> <math>\;\big(</math>domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche <br>{{Al|15}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta\; \in \; \left] \varphi - \arccos\! \left( e \right),\, \varphi + \arccos\! \left( e \right) \right[}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la }}d'hyperbole<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}les bornes du domaine de définition <math>\;\bigg[</math>à savoir <math>\;\theta_{a,\,-} = \varphi - \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /> et <math>\;\theta_{a,\,+} = \varphi + \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /><math>\bigg]\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> les bornes du domaine de définition }}correspondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole <br>{{Al|6}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> les bornes du domaine de définition }}<math>\;\Big[</math>pour «<math>\;\theta_{a,\,\pm}\;</math>», <math>\;e\; \cos\! \left( \theta_{a,\,\pm} - \varphi \right) - 1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r(\theta_{a,\,\pm})\;</math> doit être <math>\;\infty\;</math><ref> En effet le produit de <math>\;e\;\cos\! \left( \theta_{a,\,\pm} - \varphi \right) - 1 = 0\;</math> avec <math>\;r(\theta_{a,\,\pm})\;</math> étant de valeur <math>\;p\;</math> finie, «<math>\;r(\theta_{a,\,\pm})\;</math> doit être <math>\;\infty\;</math>».</ref> »<math>\Big]</math>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> }}l'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{e\, \cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>» avec «<math>\;e\;\cos\! \left( \theta - \varphi \right) - 1 > 0, \;\;\forall\;\theta\; \in \; \left] \varphi - \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right),\, \varphi + \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>»<ref name="arccosinus" />. ===== Énoncé ===== {{Proposition|titre=Équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas O (un des foyers)|contenu= {{Al|5}}L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;O\;</math> choisi comme pôle, <br>{{Al|4}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer }}l'axe focal <math>\;\big(</math>orienté vers le sommet <math>\;P\;</math> de la branche étudiée<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer l'axe focal }}faisant l'angle <math>\;\varphi\;</math> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole }}est «<math>\;r = \dfrac{p}{e\, \cos(\theta - \varphi) - 1} = \dfrac{-p}{1 - e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>»<ref> Cette 2^ème forme «<math>\;r = \dfrac{-p}{1 - e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» de l'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;O'\;</math> avec l'autre foyer de l'hyperbole <math>\;O\;</math> choisi comme pôle du repérage polaire, permet de présenter les équations polaires des deux branches d'hyperbole, celle contournant <math>\;O\;</math> et celle ne le contournant pas mais contournant l'autre foyer <math>\;O'</math>, selon une seule relation «<math>\;r =</math> <math>\dfrac{\pm p}{1 \pm e\, \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec le signe «<math>\;+\;</math>» pour la branche contournant <math>\;O\;</math> et le signe «<math>\;-\;</math>» pour la branche contournant l'autre foyer <math>\;O'</math> <math>\;\big(</math>donc ne contournant pas <math>\;O\big)</math>.</ref> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'équation polaire de la branche d'hyperbole est }}«<math>\;p\;</math> et <math>\;e\;</math>» sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole.}} ===== Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire ===== * <u>La distance minimale d'approche</u> <math>\;\big(</math>distance séparant le sommet <math>\;P\;</math> de la branche d'hyperbole étudiée du foyer <math>\;O\;</math> non contourné par la branche<math>\big)\;</math> «<math>\;r_P = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>» <math>\;\big(</math>correspondant à «<math>\;\theta = \varphi\;</math>»<math>\big)\;</math>, * <u>l'angle polaire des directions asymptotiques</u> <math>\;\big(</math>correspondant à une distance maximale d'éloignement <math>\;\infty\big)\;</math> «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm} = \varphi \pm \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\;</math>»<ref> Nécessite <math>\;r \rightarrow \infty\;</math> réalisé si <math>\;\cos(\theta - \varphi) \rightarrow -\dfrac{1}{e}</math>, c.-à-d. <math>\;\cos(\theta_{\text{asympt},\,\pm} - \varphi) = -\dfrac{1}{e}\;</math> soit «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm} = \varphi \pm \arccos\! \left( -\dfrac{1}{e} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>noté <math>\;\theta_{a,\,\pm}\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Établissement_à_partir_de_la_définition_monofocale_de_l'hyperbole_2|établissement (de l'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer O) à partir de la définition monofocale de l'hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <br><math>\big[</math>l'angle polaire des directions asymptotiques <math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm}\;</math> s'écrit encore «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,\pm} = \varphi \pm \alpha\;</math>» avec «<math>\;\alpha\;</math> l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal »<ref> Seul «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,+} = \varphi + \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>ou plus exactement «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,+} - \varphi = \alpha\;</math>»<math>\big]\;</math> a été représenté sur le schéma du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équation_polaire_de_la_branche_d'hyperbole_de_foyer_O,_de_paramètre_p_et_d'excentricité_e,_branche_différente_de_celle_contournant_O|équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche différente de celle contournant O]] » pour ne pas surcharger ce dernier, l'autre angle polaire de direction asymptotique «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,-} = \varphi - \alpha\;</math>» serait tel que «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,-} - \varphi = - \alpha\;</math>» c.-à-d. l'opposé de l'angle représenté «<math>\;\theta_{\text{asympt},\,+} - \varphi = \alpha\;</math>».</ref><math>\big]</math>, * <u>le demi-axe focal</u> «<math>\;a\;</math>» étant la distance séparant le sommet <math>\;P\;</math> de la branche d'hyperbole du centre de symétrie <math>\;C\;</math> de l'hyperbole complète<ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> d'où <br>{{Transparent|le demi-axe focal }}«<math>\;a = CP = OP - OC\;</math>» avec <math>\;OC = c</math> <math>\;\big(</math>distance entre le centre et l'un des foyers<math>\big)\;</math> ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a}</math>, «<math>\;OC = c = e\;a\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|le demi-axe focal «<math>\;\color{transparent}{a = PC = OC - OP}\;</math>» avec <math>\;\color{transparent}{OC = c}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>distance entre le centre et l'un des foyers<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité <math>\;\color{transparent}{e = c}</math>, }}«<math>\;OP = r_P = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>» d'où <br>{{Transparent|le demi-axe focal }}«<math>\;a = OP - OC\;</math>» se réécrit «<math>\;a = \dfrac{p}{e - 1} - e\;a\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;a\,\left( e + 1 \right) = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>» soit finalement «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» et * <u>le demi-axe non focal</u> «<math>\;b\;</math>» par «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a} \Rightarrow b = \sqrt{p\;a}\;</math>» ou, en y reportant l'expression de «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>», «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>»<ref> On pouvait aussi utiliser le triangle rectangle <math>\;H_1FC\;</math> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre <math>\;\big[</math>ici le triangle rectangle est représenté en utilisant l'autre foyer <math>\;O'\big]\;</math> soit <math>\;b^2 =</math> <math>c^2 - a^2\;</math> dans laquelle <math>\;c = CO</math>, l'excentricité <math>\;e\;</math> de l'hyperbole étant définie par <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c = a\;e\;</math>», soit finalement «<math>\;b^2 = a^2\, \left( e^2 - 1 \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;b = a\;\sqrt{e^2 - 1}\;</math> dans laquelle on reporte «<math>\;a =</math> <math>\dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|On pouvait aussi }}utiliser autrement le triangle rectangle précédent en se servant de l'angle <math>\;\alpha</math> <math>\;\bigg[</math>lequel est aussi l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal tel que <math>\;\alpha = \arccos\! \left( \dfrac{1}{e} \right)\bigg]\;</math> dont on a établi, dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre, «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;b = a\;\tan(\alpha)\;</math> avec <math>\;\tan\! \left( \alpha \right) > 0\;</math>» d'où «<math>\;\tan\! \left( \alpha \right) =</math> <math>\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\! \left( \alpha \right)} - 1}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>déduit de «<math>\;\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)\;</math>» avec <math>\;\tan(x) > 0\bigg]\;</math> d'où <math>\;b = a\;\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2\! \left( \alpha \right)} - 1}\;</math> avec <math>\;\cos\! \left( \alpha \right) = \dfrac{1}{e}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;b = a\;\sqrt{e^2 - 1}\;</math>» dans laquelle on reporte «<math>\;a =</math> <math>\dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;b = \dfrac{p}{\sqrt{e^2 - 1}}\;</math>».</ref>. ===== Remarque utilisant l'association des deux branches ===== {{Al|5}}Nous avons vu que la distance minimale d'approche pour la branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;O\;</math> est «<math>\;OP' = r_{P'} = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» <math>\;\big(</math>en notant <math>\;P'\;</math> le sommet de cette branche<math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Quelques_grandeurs_déterminées_à_partir_de_l'équation_polaire_3|quelques grandeurs (associées à la branche d'hyperbole contournant le foyer O) déterminées à partir de l'équation polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }}venons de voir qu'elle est, pour la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer <math>\;O</math>, «<math>\;OP = r_P = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Quelques_grandeurs_déterminées_à_partir_de_l'équation_polaire_4|quelques grandeurs (associées à la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer O) déterminées à partir de l'équation polaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}or nous constatons que «<math>\;2\; a = P'P = r_{P} - r_{P'}\;</math>» soit encore «<math>\;2\; a = \dfrac{p}{e - 1} - \dfrac{p}{1 + e} = \dfrac{2\; p}{e^2 - 1}\;</math>» d'où «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>». == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Complexes, formes algébrique et trigonométrique/]] | suivant = [[../Suites arithmétique et géométrique/]] }} m66hgp2uyre5r7a3cypscks48utkbpy 0 61946 982781 973949 2026-05-13T12:15:21Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982781 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale | idfaculté = physique | numéro = 4 | chapitre = [[../../Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale/]] | précédent = [[../Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence/]] | niveau = 14 }} == Corde excitée de façon sinusoïdale == {{Al|5}}L'extrémité <math>\;S\;</math> d'une corde élastique maintenue horizontale en sa position de repos est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical sinusoïdal de fréquence «<math>\;f = 100\, Hz\;</math>» et d'amplitude «<math>\;Y_m\;</math>». {{Al|5}}Chaque point <math>\;M\;</math> de la corde est balisé par son abscisse horizontale «<math>\;x\;</math>» et son élongation verticale ascendante «<math>\;y\;</math>» dans le repère <math>\;(Oxyz)</math>, <math>\;O\;</math> désignant la position d'équilibre de <math>\;S\;</math> et <math>\;Ox\;</math> étant orienté de <math>\;O\;</math> vers l'autre extrémité de la corde. {{Al|5}}Le mouvement de <math>\;S\;</math> débute à l'instant <math>\;t = 0</math>. {{Al|5}}Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de <math>\;S</math>. === Explicitation de l'équation horaire de S connaissant son mouvement === {{Al|5}}Sachant qu'à l'instant <math>\;t = 0</math>, <math>\;S\;</math> passe par sa position d'équilibre avec une vitesse «<math>\;\vec{V}_0\;</math> verticale ascendante de norme <math>\;V_0 = 2,5\, m \cdot s^{-1}\;</math>», expliciter l'équation horaire du mouvement de <math>\;S</math>, notée {{Nobr|«<math>\;y_S(t)\;</math>»,}} en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Compte-tenu des données, l'équation horaire de l'extrémité <math>\;S\;</math> de la corde est de la forme «<math>\;y_S(t) = Y_m\, \cos(2\, \pi\, f\, t + \varphi)\;</math>» avec <math>\;Y_m\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> à déterminer en utilisant les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. suivantes : * «<math>\;y_S(0) = 0\;</math>» soit «<math>\;Y_m\, \cos(\varphi) = 0\;</math>» dont on tire «<math>\;\varphi = \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math>», * «<math>\;\dot{y}_S(0) = V_{0,\,y} = V_0 = 2,5\, m \cdot s^{-1}\;</math>», ce qui nécessite d'évaluer «<math>\;\dot{y}_S(t) = -2\, \pi\, f\, Y_m\, \sin(2\, \pi\, f\, t + \varphi)\;</math>» d'où «<math>\;-2\, \pi\, f\, Y_m\, \sin(\varphi) = V_0\;</math>» dont on tire «<math>\;Y_m = -\dfrac{V_0}{2\, \pi\, f\, \sin(\varphi)}\;</math>» ; {{Al|5}}pour avoir «<math>\;Y_m = -\dfrac{V_0}{2\, \pi\, f\, \sin(\varphi)} > 0\;</math>» on choisit «<math>\;\varphi = -\dfrac{\pi}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;Y_m = \dfrac{V_0}{2\, \pi\, f} = \dfrac{2,5}{2 \times \pi \times 100}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;Y_m \simeq 3,98\, 10^{-3}\;m\;</math>» c'est-à-dire une amplitude de vibration verticale de «<math>\;Y_m \simeq 4,0\, mm\;</math>» ; {{Al|5}}l'équation horaire du mouvement de <math>\;S\;</math> s'écrit donc «<math>\;y_S(t) = 4,0\, \cos \left( 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation horaire du mouvement de <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> s'écrit donc }}«<math>\;y_S(t) = 4,0\, \sin( 2\, \pi\, f\, t)\;</math> en <math>\;mm\;</math>»<ref> Sachant que «<math>\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos\! \left( -\dfrac{\pi}{2} + \alpha \right) = \sin(\alpha)\;</math>».</ref>. }} === Détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase === {{Al|5}}La plus petite distance entre deux points de la corde vibrant en opposition de phase étant «<math>\;d = 6,0\, cm\;</math>», en déduire * la longueur d'onde «<math>\;\lambda\;</math>» des ondes le long de la corde ainsi que * la célérité «<math>\;c\;</math>» de propagation des ondes le long de cette corde. {{Solution | contenu = {{Al|5}}L'élongation transversale de la corde en <math>\;M\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> se déduit de celle du point d'attache <math>\;S\;</math> par «<math>\;y_M(t) = y_S\! \left( t - \dfrac{x}{c} \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'élongation transversale de la corde en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> }}«<math>\;\tau(M) = \dfrac{x}{c}\;</math> représentant le retard temporel de la vibration sur le point d'attache <math>\;S\;</math>» <ref name="transmission du signal avec retard dans le cas d'une propagation dans le sens des x croissant"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_dans_le_cas_d'une_propagation_unidimensionnelle_linéaire_non_dispersive#Propagation_dans_le_sens_des_abscisses_croissantes_2|propagation dans le sens des abscisses ↗]] (2^ème encadré “ à retenir ”) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> soit «<math>\;y_M(t) = 4,0\, \sin \left[ 2\, \pi\, f \left( t - \dfrac{x}{c} \right) \right]\;</math> en <math>\;mm\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'élongation transversale de la corde en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> }}avec la fréquence spatiale <math>\;\big(</math>ou nombre d'onde<math>\;\sigma\big)\;</math> inverse de la période spatiale <math>\;\big(</math>ou longueur d'onde<math>\;\lambda\big)\;</math> c.-à-d. «<math>\;\sigma = \dfrac{f}{c} = \dfrac{1}{\lambda}\;</math>» <ref name="passage des grandeurs temporelles aux grandeurs spatiales"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Lien_entre_longueur_d'onde,_fréquence_(temporelle)_et_célérité_pour_une_O.P.H.|lien entre longueur d'onde, fréquence (temporelle) et célérité pour une P.P.H.]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'élongation transversale de la corde en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> avec }}la pulsation spatiale «<math>\;k = 2\,\pi\,\sigma = \dfrac{2\,\pi\,f}{c} = \dfrac{2\,\pi}{\lambda}\;</math>»<ref name="passage des grandeurs temporelles aux grandeurs spatiales" /> <math>\Rightarrow</math> la phase “ initiale ” à l'abscisse <math>\;x\;</math> «<math>\;\varphi(x) = -\dfrac{2\,\pi\,f}{c}\;x = -k\;x = -\dfrac{2\,\pi}{\lambda}\;x\;</math>» <ref name="phase initiale varphi(x)"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Périodicité_temporelle_de_l'onde_progressive_sinusoïdale_(O.P.H.),_période_et_fréquence|périodicité temporelle de l'onde progressive sinusoïdale (O.P.H.), période et fréquence]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'élongation transversale de la corde en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> se déduit de celle du point d'attache <math>\;\color{transparent}{S}\;</math> par }}«<math>\;y(x,\, t) = 4,0\, \sin \left( 2\, \pi\, f\, t - 2\, \pi\, \dfrac{x}{\lambda} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» ; * sur cette expression on vérifie qu'à un instant <math>\;t\;</math> fixé « deux points voisins vibrent en opposition de phase <math>\;\Delta \varphi = \pm \pi\;</math> s'ils sont séparés de <math>\;\dfrac{\lambda}{2}\;</math> <math>\bigg(\!</math>car <math>\;-2\, \pi\, \dfrac{\Delta x}{\lambda} = \pm \pi\bigg)\;</math>» soit <center>«<math>\;d = 6,0\,cm = \dfrac{\lambda}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\lambda = 2\, d = 12,0\, cm\;</math>» ;</center> * on en déduit la célérité des ondes le long de la corde par «<math>\;\lambda = \dfrac{c}{f}\;</math>»<ref name="passage des grandeurs temporelles aux grandeurs spatiales" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c = \lambda\, f = 0,12 \times 100\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;c = 12\, m \cdot s^{-1}\;</math>». }} === Comparaison du mouvement d'un point M₁ d'abscisse fixée à celui du point S lié au vibreur === {{Al|5}}On considère maintenant un point <math>\;M_1\;</math> de la corde, d'abscisse «<math>\;x_1 = 21\, cm\;</math>». * Préciser son équation horaire «<math>\;y_{M_1}(t)\;</math>», en particulier déterminer la valeur numérique de son retard temporel par rapport à <math>\;S</math> ; * Comparer les mouvements des points <math>\;S\;</math> et <math>\;M_1</math> <math>\;\big(</math>on calculera, en particulier, les élongations des points <math>\;S\;</math> et <math>\;M_1\;</math> à l'instant de date «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>»<math>\big)</math>. {{Solution | contenu = * L'équation horaire d'un point <math>\;M\;</math> de la corde <math>\;\big(</math>dans la mesure où le front d'onde a atteint le point <math>\;M\big)\;</math> a déjà traité en question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Détermination_de_la_longueur_d'onde_et_de_la_célérité_des_ondes_connaissant_la_plus_courte_distance_de_points_de_la_corde_vibrant_en_opposition_de_phase|détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase]] » plus haut dans cet exercice <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y(x_1,\, t) = 4,0\, \sin \left( 2\, \pi\, f\, t - 2\, \pi\, \dfrac{x_1}{\lambda} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit, <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'équation horaire d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la corde }}avec «<math>\;\dfrac{x_1}{\lambda} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y(x_1,\, t) = 4,0\, \sin \left( 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{7\, \pi}{2} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» s'écrivant encore «<math>\;y(x_1,\, t) = 4,0\, \sin \left( 2\, \pi\, f\, t + \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit finalement <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'équation horaire d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la corde avec «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x_1}{\lambda} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;y(x_1,\, t) = 4,0\, \cos( 2\, \pi\, f\, t)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» <math>\;\big(</math>dans la mesure où le front d'onde a atteint le point <math>\;M_1\big)\;</math> ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'équation horaire d'un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la corde avec «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{x_1}{\lambda} = \dfrac{21}{12} = \dfrac{7}{4}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;y(x_1,\, t) = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>si le front d'onde n'a pas atteint le point <math>\;M_1\big)</math> ; <br><u>remarque</u> : le front d'onde issue de <math>\;S\;</math> atteint le point <math>\;M_1\;</math> pour tout instant «<math>\;t \geqslant \tau(M_1) = \dfrac{x_1}{c} = \dfrac{0,21}{12} = 0,0175\;s = 17,5\;ms\;</math>» ainsi «<math>\;y(x_1,\, t) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 4,0\, \cos( 2\, \pi\, f\, t)\;\text{en}\;mm &\text{pour}\;t \geqslant 17,5\;ms\\ 0 &\text{pour}\;t \leqslant 17,5\;ms\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>le retard temporel de <math>\;M_1\;</math> par rapport à <math>\;S\;</math> vaut donc «<math>\;\tau(M_1) = \dfrac{x_1}{c} \overset{\cdots}{\;=\;} 17,5\, ms\;</math>» ; * de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c l l}y_S(t) \!\!&=&\!\! 4,0\, \sin( 2\, \pi\, f\, t) &\text{en}\;mm\\ y_{M_1}(t) \!\!&=&\!\! 4,0\, \sin \left( 2\, \pi\, f\, t + \dfrac{\pi}{2} \right) &\text{en}\;mm\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> les mouvements sont en quadrature de phase, <u>le mouvement du point</u><math>\;M_1</math><u>étant « physiquement » en quadrature avance sur celui de la source</u><math>\;S</math> ; <br>à l'instant de date «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>», «<math>\;y_S(t_1) = 4,0\, \sin( 2\, \pi\, f\, t_1)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» avec «<math>\;f\, t_1 = 100 \times 40\, 10^{-3} = 4\;</math>» soit «<math>\;y_S(t_1) = 4,0\, \sin( 8\, \pi) = 0\;</math>» ; <br>{{Transparent|à l'instant de date «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>», }}<math>\;S\;</math> passant par sa position d'équilibre en <math>\;\nearrow\;</math><ref> Puisqu'il s'est écoulé <math>\;4\;</math> périodes temporelles depuis l'instant initial, <math>\;S\;</math> retrouve son mouvement initial.</ref> et <math>\;M_1\;</math> vibrant en quadrature avance sur <math>\;S\;</math> atteint sa valeur maximale à l'instant <math>\;t_1\;</math> soit «<math>\;y_{M_1}(t_1) = 4,0\, mm\;</math>»<ref> Ce que l'on peut vérifier numériquement avec «<math>\;f\, t_1 = 100 \times 40\, 10^{-3} = 4\;</math>» d'où «<math>\;y(x_1,\, t_1) = 4,0\, \sin \left( 8\, \pi + \dfrac{\pi}{2} \right) = 4,0\, \cos( 8\, \pi) = 4,0\, mm\;</math>».</ref>. }} === Détermination de l'aspect de la corde à un instant t₁ fixé === {{Al|5}}On étudie maintenant la corde globalement à l'instant «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>». * Préciser la fonction «<math>\;y_{t_1}(x)\;</math>» décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>», en particulier déterminer la valeur numérique de sa période spatiale ; * représenter précisément l'aspect de la corde à cet instant «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>». {{Solution | contenu = * L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant <math>\;t\;</math> a déjà traité en question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Détermination_de_la_longueur_d'onde_et_de_la_célérité_des_ondes_connaissant_la_plus_courte_distance_de_points_de_la_corde_vibrant_en_opposition_de_phase|détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase]] » plus haut dans cet exercice <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y(x,\, t_1) = 4,0\, \sin \left( 2\, \pi\, f\, t_1 - 2\, \pi\, \dfrac{x}{\lambda} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» soit, <br>{{Transparent|L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> }}avec «<math>\;f\, t_1 = 100 \times 40\, 10^{-3} = 4\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;y(x,\, t_1) = 4,0\, \sin \left( 8\, \pi- 2\, \pi\, \dfrac{x}{\lambda} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» s'écrivant finalement <br>{{Transparent|L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{f\, t_1 = 100 \times 40\, 10^{-3} = 4}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;y_{t_1}(x) = -4,0\, \sin\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{x}{\lambda} \right)\;</math> en <math>\;mm\;</math>» <math>\;\big(</math>dans la mesure où le point <math>\;M\;</math> est atteint par la vibration<math>\big)\;</math> ou <br>{{Transparent|L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{f\, t_1 = 100 \times 40\, 10^{-3} = 4}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;y_{t_1}(x) = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>si le point <math>\;M\;</math> ne vibre pas encore à l'instant <math>\;t_1\big)</math> ; <br><u>remarque</u> : la corde vibre au point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t_1\;</math> si l'abscisse du front d'onde à cet instant «<math>\;x_{\text{front},\, t_1} = c\, t_1 = 12 \times 40\, 10^{-3} = 0,48\;</math> en <math>\;m\;</math>» est «<math>\;\leqslant\;</math> à l'abscisse <math>\;x\;</math> de <math>\;M\;</math>» ainsi <br>{{Transparent|remarque : }}«<math>\;y_{t_1}(x) = \left\lbrace \begin{array}{c l} -4,0\, \sin\! \left( 2\, \pi\, \dfrac{x}{\lambda} \right)\;\text{en}\;mm &\text{pour}\;x \leqslant 48\;cm\\ 0 &\text{pour}\;x \geqslant 48\;cm\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Transparent|remarque : }}la période spatiale pour la partie vibrante <math>\;\big(</math>c.-à-d. <math>\;x \leqslant 48\;cm\big)\;</math> vaut «<math>\;\lambda = \dfrac{c}{f} \overset{\cdots}{\;=\;} 12\, cm\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Détermination_de_la_longueur_d'onde_et_de_la_célérité_des_ondes_connaissant_la_plus_courte_distance_de_points_de_la_corde_vibrant_en_opposition_de_phase|détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}</math> ; [[File:Aspect d'une corde vibrante.png|thumb|500px|Aspect de la corde vibrante à l'instant <math>\;t_1 = 40\;ms\;</math> correspondant à une vibration sur les <math>\;4\;</math> périodes spatiales]] * l'aspect de la corde, à l'instant «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>», est représenté ci-contre, <br>{{Transparent|l'aspect de la corde, à l'instant «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>», }}on y observe la vibration de la corde sur les <math>\;4\;</math> 1^ères périodes spatiales, <br>{{Transparent|l'aspect de la corde, à l'instant «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>», }}le front d'onde à «<math>\;t_1 = 40\, ms\;</math>» ayant pour abscisse «<math>\;x_{\text{front},\, t_1} \overset{\cdots}{\;=\;} 48\;cm\;</math>» <br>{{Transparent|l'aspect de la corde, à l'instant «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>», le front d'onde à «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>» ayant pour abscisse }}c'est-à-dire <math>\;4 \times 12\;cm\;</math> <br>{{Transparent|l'aspect de la corde, à l'instant «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>», le front d'onde à «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>» }}correspondant à <math>\;4\;</math> longueurs d'onde <br>{{Transparent|l'aspect de la corde, à l'instant «<math>\;\color{transparent}{t_1 = 40\, ms}\;</math>», }}<math>\;\big(</math>le restant de la corde étant encore en sa position de repos<math>\big)</math>. }} == Effet Doppler == {{Al|5}}Une onde sinusoïdale de fréquence <math>\;f\;</math> se propage dans la direction <math>\;(Ox)\;</math> dans le sens des <math>\;x \nearrow\;</math> avec la célérité <math>\;c</math> ; <br>{{Al|5}}un observateur <math>\;O'\;</math> se déplace à la vitesse <math>\;\vec{V} = V\, \vec{u}_x\;</math> où <math>\;\vec{u}_x\;</math> est le vecteur unitaire de l'axe <math>\;(Ox)\;</math> dans le sens des <math>\;x \nearrow</math>. === Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t === {{Al|5}}Expliciter le signal <math>\;s(x,\, t)\;</math> associé à l'onde sinusoïdale au point <math>\;M\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, on définira toutes les notations nécessaires. {{Solution | contenu = {{Al|5}}L'onde étant sinusoïdale de fréquence <math>\;f</math>, sa pulsation temporelle est <math>\;\omega = 2\, \pi\, f\;</math> et, notant son expression en <math>\;O\;</math> selon «<math>\;s(0,\, t) = a_0\, \cos(2\, \pi\, f\, t + \varphi)\;</math>» on en déduit <center>«<math>\;s(x,\, t) =</math> <math>s\! \left( 0,\, t - \dfrac{x}{c} \right)\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}«<math>\;s(x,\, t) = a_0\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f \left( t - \dfrac{x}{c} \right) + \varphi \right]\;</math> <br>{{Al|34}}<math>= a_0\, \cos\! \left( 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi\, f}{c}\, x + \varphi \right)\;</math>» ou, </center> {{Al|5}}en introduisant la « pulsation spatiale <math>\;k = \dfrac{\omega}{c} =</math> <math>\dfrac{2\, \pi\, f}{c} = \dfrac{2\, \pi}{\dfrac{c}{f}} = \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\;</math>», «<math>\;\lambda\;</math> étant la longueur d'onde du signal dans le milieu de propagation », <center>{{Al|10}}«<math>\;s(x,\, t) = a_0\, \cos\! \left( 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, x + \varphi \right)\;</math>».</center> }} === Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t === {{Al|5}}Pour l'observateur <math>\;O'\;</math> en mouvement, le point <math>\;M\;</math> est repéré par une abscisse <math>\;x'\;</math> le long de l'axe <math>\;(O'x)\;</math> en translation uniforme relativement à l'axe <math>\;(Ox)\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V} = V\, \vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|5}}expliciter <math>\;x'\;</math> en fonction de l'abscisse <math>\;x\;</math> du point <math>\;M\;</math> relativement à l'axe <math>\;(Ox)</math>, <math>\;V\;</math> et <math>\;t\;</math> puis {{Al|5}}réécrire l'expression du signal <math>\;s(x',\, t)\;</math> au point <math>\;M\;</math> d'abscisse <math>\;x'\;</math> repérée relativement à l'axe <math>\;(O'x)\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Dans le référentiel en mouvement lié à l'observateur <math>\;O'</math>, le point <math>\;M</math>, d'abscisse <math>\;x\;</math> sur l'axe fixe <math>\;(Ox)</math>, étant repéré par une abscisse <math>\;x'\;</math> le long d'un axe <math>\;(O'x)\;</math> en translation uniforme relativement à l'axe <math>\;(Ox)\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V} = V\, \vec{u}_x</math>, on en déduit la relation <center>«<math>\;x = x' + V\, t\;</math>» ou <br>«<math>\;x' = x - V\, t\;</math>»{{Al|7}}</center> {{Al|5}}et par suite «<math>\;s(x',\, t)\;</math> se réécrivant <math>\;s(x - V\, t,\, t)\;</math>» on obtient, en utilisant l'expression de <math>\;s(x,\, t)\;</math> déterminée dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Explicitation_du_signal_au_point_d'abscisse_x_et_à_l'instant_t|explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t]] » plus haut dans cet exercice <center>«<math>\;s(x',\, t) = a_0\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda} \left( x - V\, t \right) + \varphi \right]\;</math>» ou <br>«<math>\;s(x',\, t) = a_0\, \cos\! \left( 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, x + \dfrac{2\, \pi\, V}{\lambda}\, t + \varphi \right)\;</math>».</center> }} === Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement === {{Al|5}}De l'expression de <math>\;s(x', t)\;</math> en déduire l'expression de la fréquence <math>\;f'\;</math> pour l'observateur en mouvement. {{Al|5}}Comparer <math>\;f'\;</math> et <math>\;f\;</math> suivant le signe de <math>\;V</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}D'après la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Réécriture_du_signal_au_point_d'abscisse_x'_(repéré_par_rapport_à_l'observateur)_et_à_l'instant_t|réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t]] » plus haut dans cet exercice, on peut réécrire le signal reçu par l'observateur mobile selon <center>«<math>\;s(x',\, t) = a_0\, \cos\! \left[ 2\, \pi \left( f + \dfrac{V}{\lambda} \right) t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, x + \varphi \right]\;</math>»</center> {{Al|5}}ou, en réintroduisant la fréquence dans le terme « longueur d'onde » par <math>\;\lambda = \dfrac{c}{f}\;</math><ref name="passage des grandeurs temporelles aux grandeurs spatiales" /> et, en factorisant par <math>\;f</math>, on obtient l'expression <center>«<math>\;s(x',\, t) = a_0\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, x + \varphi \right]\;</math>» montrant que, </center> {{Al|5}}pour l'observateur mobile se déplaçant à la vitesse <math>\;V</math>, l'onde qu'il reçoit à l'instant <math>\;t\;</math> et à l'abscisse <math>\;x\;</math> de l'axe <math>\;(Ox)\;</math> fixe est la même que <br>{{Al|7}}{{Transparent|pour l'observateur mobile se déplaçant à la vitesse <math>\;\color{transparent}{V}</math>, }}celle qu'il recevrait en restant immobile au même point et au même instant avec une fréquence «<math>\;f' = f \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;</math>» <ref name="validité en cinématique newtonienne"> Cette expression n'est correcte que dans le cadre cinématique classique <math>\;\big(</math>ou newtonienne<math>\big)\;</math> nécessitant que <math>\;\vert V \vert\;</math> reste petite par rapport à la vitesse de la lumière soit <math>\;\vert V \vert \ll 300\, 000\; km\! \cdot\! s^{-1}\;</math> et en pratique <math>\;\vert V \vert \lesssim 30\, 000\; km\! \cdot\! s^{-1}\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_newtonienne|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne]] (en cinétique newtonienne - partie entre crochets) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> ; * « si <math>\;V > 0\;</math>», c'est-à-dire « si l'observateur se déplace dans le sens de propagation de l'onde », la fréquence <math>\;f'\;</math> qu'il perçoit est plus grande que celle émise <math>\;f</math>, «<math>\;f' > f\;</math>» ; * « si <math>\;V < 0\;</math>», c'est-à-dire « si l'observateur se déplace dans le sens contraire de propagation de l'onde », la fréquence <math>\;f'\;</math> qu'il perçoit est plus petite que celle émise <math>\;f</math>, «<math>\;f' < f\;</math>». }} === Application à un exemple de la vie courante === {{Al|5}}Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ? {{Solution | contenu = {{Al|5}}Marchant dans la rue, un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse : * « tant qu'il est derrière vous », vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, « la fréquence reçue est donc plus élevée que la fréquence émise », <br>{{Transparent|« tant qu'il est derrière vous », vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, }}« le son apparaît plus aigu que celui émis » mais, * « dès qu'il vous a dépassé », l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, « la fréquence reçue est donc plus basse que la fréquence émise », <br>{{Transparent|« dès qu'il vous a dépassé », l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, }}« le son apparaît plus grave que celui émis ». {{Al|5}}Ce phénomène observable dans le cadre de la cinématique newtonienne est connu sous le nom d'[[w:effet_Doppler|effet Doppler]]<ref name="Doppler"> '''[[w:Christian_Doppler|Christian Doppler]] (1803 - 1853)''' mathématicien et physicien autrichien qui fut à l'origine de la découverte de l'[[w:effet_Doppler|effet Doppler]].</ref>.}} == Mesure de distance et de vitesse par radar == {{Al|5}}Un « radar »<ref name="radar"> Mot provenant de l'acronyme anglais « Radio Detection And Ranging » signifiant « radiodétection et télémétrie ».</ref> est un appareil utilisant des ondes « radio »<ref name="onde radio"> Ondes électromagnétiques de fréquences comprises entre «<math>\;3\, MHz\;</math>» et «<math>\;110\, GHz\;</math>».</ref> pour détecter la présence d'objets mobiles, et pouvant également déterminer leur distance et leur vitesse. {{Al|5}}On présente ici le principe de ces deux mesures. {{Al|5}}Le « radar »<ref name="radar" /> comporte une antenne qui émet, avec une période <math>\;T</math>, des impulsions, c'est-à-dire des signaux sinusoïdaux de « durée limitée <math>\;\tau\;</math>»<ref name="impulsion"> Encore appelés « train d'ondes », «<math>\;\tau\;</math> étant la durée du train d'ondes ».</ref>, la durée des impulsions<ref name="impulsion" /> <math>\;\tau\;</math> étant petite relativement à la période <math>\;T\;</math> de leur émission<ref name="période d'émission des impulsions"> C.-à-d. la durée écoulée entre les débuts d'émission d'impulsions successives.</ref> <math>\;\big(</math>mais toutefois <math>\;\tau \not\ll T\big)</math>. {{Al|5}}Ces impulsions<ref name="impulsion" /> sont envoyées dans toutes les directions de l'espace. <br>{{Al|5}}Lorsque l'une d'elles rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l'antenne, laquelle est réceptrice entre deux émissions <math>\;\big(</math>l'antenne ne pouvant être simultanément émettrice et réceptrice<ref> La propriété émettrice étant prépondérante sur la propriété réceptrice <math>\Rightarrow</math> pas de réception possible simultanément à une émission.</ref><math>\big)</math>. {{Al|5}}Cela fait alors apparaître un point lumineux sur l'écran, indiquant la direction de la cible, et l'analyse du signal reçu permet d'effectuer les mesures souhaitées. === Étude de trois échos renvoyés par des objets mobiles sur un même intervalle de non émission de l'antenne === {{Al|5}}Un « radar »<ref name="radar" /> émet des impulsions<ref name="impulsion" /> de fréquence «<math>\;f = 2,90\, GHz\;</math>» et de durée «<math>\;\tau = 1,0\, \mu s\;</math>», avec une période d'émission «<math>\;T = 100,0\, \mu s\;</math>»<ref name="période d'émission des impulsions" />. {{Al|5}}On considère un 1^er enregistrement entre deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives émises par le « radar »<ref name="radar" />, la 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> débutant à l'instant «<math>\;t_0 = 0,0\, \mu s\;</math>» et la 2^nde à l'instant «<math>\;t_1 = 100,0\, \mu s\;</math>» ; <br>{{Al|5}}on y observe trois échos renvoyés par des objets, <math>\succ\;</math>le début du 1^er écho commençant à l'instant «<math>\;t_A = 3,0\, \mu s\;</math>» <math>\;\big(</math>l'amplitude de l'écho étant plus faible que celle de chaque impulsion incidente<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y observe trois échos renvoyés par des objets, }}<math>\succ\;</math>le début du 2^ème écho d'amplitude plus faible que celle du précédent à l'instant «<math>\;t_B = 80,0\, \mu s\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y observe trois échos renvoyés par des objets, }}<math>\succ\;</math>le début du 3^ème écho d'amplitude encore plus faible que celle du précédent à l'instant «<math>\;t_C = 90,0\, \mu s\;</math>». ==== Longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion et nombre d'oscillations dans chaque impulsion ==== {{Al|5}}Calculer la longueur d'onde <math>\;\lambda\;</math> des ondes émises pendant une impulsion<ref name="impulsion" /> sachant que la célérité des ondes radio dans l'air vaut «<math>\;c = 3,00\, 10^8\, m \cdot s^{-1}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Calculer }}le nombre <math>\;N\;</math> d'oscillations dans chaque impulsion<ref name="impulsion" />. {{Solution | contenu = {{Al|5}}La célérité des ondes radio dans l'air étant «<math>\;c = 3,00\, 10^8\, m \cdot s^{-1}\;</math>» et la fréquence de ces ondes «<math>\;f = 2,90\, GHz = 2,90\,10^9\;Hz\;</math>», nous en déduisons la longueur d'onde de ces ondes radio «<math>\;\lambda = \dfrac{c}{f} =</math> <math>\dfrac{3,00\, 10^8}{2,90\, 10^9} \simeq 0,103\, m\;</math>»<ref name="passage des grandeurs temporelles aux grandeurs spatiales" /> soit «<math>\;\lambda \simeq 10,3\, cm\;</math>» ; {{Al|5}}chaque oscillation à l'intérieur d'une impulsion<ref name="impulsion" /> ayant une durée égale à leur période d'oscillation «<math>\;T_{\text{oscillation}} = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{2,90\, 10^9} \simeq 3,45\, 10^{-10}\, s = 0,345\, ns\;</math>» et la durée d'une impulsion<ref name="impulsion" /> étant «<math>\;\tau =</math> <math>1,0\, \mu s\;</math>», nous en déduisons le nombre d'oscillations dans une impulsion<ref name="impulsion" /> «<math>\;N = \dfrac{\tau}{T_{\text{oscillation}}} = \tau\, f = 1,0\, 10^{-6} \times 2,90\, 10^9\;</math>» soit «<math>\;N \simeq 2900\;</math>»<ref> Si nous tenons compte de la précision sur <math>\;\tau\;</math> et sur <math>\;f\;</math> nous obtenons «<math>\;N = 2,9\, 10^3\;</math>», raison pour laquelle nous écrivons «<math>\;N \simeq 2900\;</math>» car seuls les <math>\;2\;</math> 1^ers chiffres sont assurés.</ref>. }} ==== Détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho ==== {{Al|5}}Déterminer la distance à laquelle se trouve chaque objet détecté par l'un des trois échos <math>\;\big(</math>les ondes radio réfléchies se propageant à la même célérité que les ondes incidentes «<math>\;c = 3,00\, 10^8\, m \cdot s^{-1}\;</math>»<math>\big)</math> ; {{Al|5}}proposer une explication à la différence d'amplitude entre les impulsions<ref name="impulsion" /> incidentes et les échos ainsi qu'à <br>{{Al|5}}{{Transparent|proposer une explication à }}la différence d'amplitude entre chaque écho. {{Solution | contenu = {{Al|5}}La 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> envoyée ayant débuté à la date «<math>\;t_0 = 0,0\, \mu s\;</math>», la durée écoulée entre l'instant de début de détection de chaque écho et cette date de début de 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> représente <br>{{Al|10}}{{Transparent|La 1^ère impulsion envoyée ayant débuté à la date «<math>\;\color{transparent}{t_0 = 0,0\, \mu s}\;</math>», }}la durée nécessaire pour que les oscillations de cette 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> fassent l'aller - retour entre l'antenne émettrice et la même antenne réceptrice après s'être réfléchi sur l'objet, soit en notant «<math>\;d_A</math>, <math>\;d_B\;</math> et <math>\;d_C\;</math>» les distances respectives entre l'antenne du « radar »<ref name="radar" /> et les objets ayant renvoyé un écho dont la réception a commencé aux instants {{Nobr|«<math>\;t_A = 3,0\, \mu s</math>,}} <math>\;t_B = 80,0\, \mu s\;</math> et <math>\;t_C = 90,0\,\mu s\;</math>», nous en déduisons : {{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;t_A - t_0 = \dfrac{2\, d_A}{c}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;d_A = \dfrac{c\, (t_A - t_0)}{2} = \dfrac{3,00\, 10^8 \times 3,0\, 10^{-6}}{2} = 4,50\, 10^2\, m\;</math>» soit «<math>\;d_A = 450\, m\;</math>», {{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;t_B - t_0 = \dfrac{2\, d_B}{c}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;d_B = \dfrac{c\, (t_B - t_0)}{2} = \dfrac{3,00\, 10^8 \times 80,0\, 10^{-6}}{2} = 1,20\, 10^4\, m\;</math>» soit «<math>\;d_A = 12,0\, km\;</math>» et {{Al|5}}<math>\succ\;</math>«<math>\;t_C - t_0 = \dfrac{2\, d_C}{c}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;d_C = \dfrac{c\, (t_C - t_0)}{2} = \dfrac{3,00\, 10^8 \times 90,0\, 10^{-6}}{2} = 1,35\, 10^4\, m\;</math>» soit «<math>\;d_A = 13,5\, km\;</math>». {{Al|5}}<u>Explication de la diminution d'amplitude entre l'impulsion<ref name="impulsion" /> incidente et chaque impulsion<ref name="impulsion" /> écho</u> : Il y a absorption partielle des ondes par l'air, ce qui explique que, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Explication de la diminution d'amplitude entre l'impulsion incidente et chaque impulsion écho : }}plus la distance parcourue entre les dates d'émission et de réception est grande, plus l'amplitude de l'écho est faible. }} ==== Détermination des distances extrémales séparant un objet du radar en dessous et au-dessus de laquelle l'objet ne peut pas être détecté sur l'enregistrement étudié ==== {{Al|5}}Montrer qu'il existe une distance minimale séparant un objet du « radar »<ref name="radar" /> en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un objet <math>\;\big\{</math>on calculera sa valeur numérique<math>\big\}\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Montrer qu'il existe }}une distance maximale séparant un objet du « radar »<ref name="radar" /> au-dessus de laquelle on ne peut pas détecter un objet sur l'enregistrement étudié <math>\;\big\{</math>on calculera aussi sa valeur numérique<math>\big\}</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}L'antenne du « radar »<ref name="radar" /> ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le 1^er écho détectable le sera à l'instant «<math>\;t_{1^{\text{er}}\, \text{écho}} = t_0 + \tau = 1,0\, \mu s\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, }}soit une distance minimale de détection «<math>\;d_{\text{min}}\;</math>» telle que «<math>\;t_{1^{\text{er}}\, \text{écho}} - t_0 = \dfrac{2\, d_{\text{min}}}{c}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;d_{\text{min}} = \dfrac{c\, \left( t_{1^{\text{er}}\, \text{écho}} - t_0 \right)}{2}\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance minimale de détection }}«<math>\;d_{\text{min}} = \dfrac{c\, \tau}{2} = \dfrac{3,00\, 10^8 \times 1,0\, 10^{-6}}{2} = 1,50\, 10^2\, m\;</math>» c.-à-d. «<math>\;d_{\text{min}} = 150\, m\;</math>». {{Al|5}}L'antenne du « radar »<ref name="radar" /> ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le dernier écho détectable sur l'enregistrement de l'intervalle «<math>\;\left[ t_0 = 0,0\, \mu s\;,\;t_1 = t_0 + T = 100,0\, \mu s \right]\;</math>» <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le dernier écho détectable }}le sera à l'instant «<math>\;t_{\text{dern. écho}} = t_1 = t_0 + T = 100,0\, \mu s\;</math>» <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, }}soit une distance maximale de détection «<math>\;d_{\text{max}}\;</math>» telle que «<math>\;t_{\text{dern. écho}} - t_0 = \dfrac{2\, d_{\text{max}}}{c}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;d_{\text{max}} = \dfrac{c\, \left( t_{\text{dern. écho}} - t_0 \right)}{2}\;</math> ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance maximale de détection }}«<math>\;d_{\text{max}} = \dfrac{c\, T}{2} = \dfrac{3,00\, 10^8 \times 100,0\, 10^{-6}}{2} = 1,50\, 10^4\, m\;</math>» ou «<math>\;d_{\text{max}} = 15,0\, km\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : en théorie il n'est pas exclu qu'un objet séparé de l'antenne du « radar »<ref name="radar" /> d'une distance plus grande que «<math>\;d_{\text{max}} = 15,0\, km\;</math>» renvoie un écho capté sur l'enregistrement suivant c'est-à-dire l'enregistrement de l'intervalle «<math>\;\left[ t_1 = 100,0\, \mu s\;,\;t_2 = t_1 + T = 200,0\, \mu s \right]\;</math>» mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en pratique l'amplitude de l'écho serait suffisamment faible pour être quasi-inobservable, si toutefois l'observation était possible, on démontrerait que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en théorie }}seuls les objets séparés de l'antenne du « radar »<ref name="radar" /> d'une distance comprise entre <math>\;d_{max} + d_{min} = 15,15\, km\;</math> et <math>\;2\,d_{max} = 30,0\,km\;</math> seraient détectables d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en théorie }}en plus de la boule centrée sur l'antenne du « radar »<ref name="radar" /> et de rayon <math>\;150\,m\;</math> à l'intérieur de laquelle les objets sont « passivement [[w:furtivité|furtifs]] »<ref name="passivement furtif"> C.-à-d. non détectés par « radar ».</ref>, on observe que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en théorie en plus de }}l'espace compris entre les sphères centrées sur l'antenne du « radar »<ref name="radar" /> et de rayons respectifs <math>\;15,0\,km\;</math> et <math>\;15,15\,km\;</math> est aussi une zone d'objets « passivement [[w:furtivité|furtifs]] »<ref name="passivement furtif" />. }} === 1^ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler === {{Al|5}}Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »<ref name="radar" />, une 1^ère possibilité consiste à utiliser l'[[w:effet_Doppler|effet Doppler]]<ref name="Doppler" /> à savoir <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », }}dans la mesure où l'objet « s'éloigne du “ radar ”<ref name="radar" /> avec une vitesse <math>\;V\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », }}les oscillations de l'écho ont une fréquence <math>\;<\;</math> à celle des oscillations de l'impulsion<ref name="impulsion" /> incidente selon «<math>\;f_{\text{écho}} = f \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)\;</math>»<ref name="validité en cinématique newtonienne" /> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », }}dans la mesure où l'objet « se rapproche du “ radar ”<ref name="radar" /> avec une vitesse <math>\;V\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », }}les oscillations de l'écho ont une fréquence <math>\;>\;</math> à celle des oscillations de l'impulsion<ref name="impulsion" /> incidente selon «<math>\;f_{\text{écho}} = f \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;</math>»<ref name="validité en cinématique newtonienne" />. {{Al|5}}Rappeler la raison du décalage en fréquence puis {{Al|5}}déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse <math>\;V = 150\, m \cdot s^{-1}\;</math> et {{Al|5}}conclure sur la précision de cette méthode. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Si l'objet « s'éloigne du “ radar ”<ref name="radar" /> avec une vitesse <math>\;V\;</math>», la distance à parcourir par chaque oscillation d'une même impulsion<ref name="impulsion" /> avant d'être réfléchie sur l'objet <math>\;\nearrow\;</math> avec le temps <math>\;t</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», }}notant «<math>\;t_{\text{émis}}\;</math>» l'instant générique d'émission des oscillations de l'impulsion<ref name="impulsion" /> envoyée à l'instant initial «<math>\;t_0 = 0\;</math>» tel que «<math>\;t_{\text{émis}} \in \left[ 0\;,\; \tau \right]\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», notant }}«<math>\;t_{\text{réfl}}\;</math>» l'instant générique de réflexion des oscillations de cette impulsion<ref name="impulsion" /> envoyée à l'instant initial «<math>\;t_0 = 0\;</math>», oscillations réfléchies sur l'objet mobile initialement à la distance <math>\;d_0\;</math> de l'antenne et s'en éloignant à la vitesse <math>\;V\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c \left( t_{\text{réfl}} - t_{\text{émis}} \right) = d_0 + V \left( t_{\text{réfl}} - t_0 \right)\;</math>» <ref> Correspondant à « la distance parcourue par l'onde de l'antenne à l'objet sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\text{émis}}\;,\, t_{\text{réfl}} \right]\;</math> soit <math>\;c \left( t_{\text{réfl}} - t_{\text{émis}} \right)\;</math>» égale à « la distance séparant l'antenne et l'objet à l'instant <math>\;t_{\text{réfl}}\;</math> soit <math>\;d_0 + V \left( t_{\text{réfl}} - t_0 \right)\;</math>».</ref> ou «<math>\;\left( 1 - \dfrac{V}{c} \right) t_{\text{réfl}} = \dfrac{d_0}{c} + t_{\text{émis}}\;</math>» <ref name="t0 nul"> On rappelle que «<math>\;t_0 = 0\;</math>».</ref> soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», notant }}«<math>\;t_{\text{réfl}} \in \left[ \dfrac{d_0}{c \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)}\;,\; \dfrac{d_0}{c \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)} + \dfrac{\tau}{1 - \dfrac{V}{c}} \right]\;</math>» ou «<math>\;t_{\text{réfl}} \in \left[ \dfrac{d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;,\; \left( \dfrac{d_0}{c} + \tau \right) \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) \right]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>» <ref name="D.L. à l'ordre un"> Dans le cadre de la cinématique newtonienne <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#Définition_du_(vecteur)_quantité_de_mouvement_du_point_matériel_dans_le_cadre_de_la_cinétique_newtonienne|définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne]] (en cinétique newtonienne - partie entre crochets) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, «<math>\dfrac{V}{c}\;</math> peut être considéré comme un infiniment petit d'ordre un » <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>, on forme alors le « développement limité <math>\;\big(</math>D.L.<math>\big)\;</math> de <math>\;\dfrac{1}{1 + \varepsilon} = \left( 1 + \varepsilon \right)^{-1} \simeq 1 - \varepsilon\;</math> à l'ordre un en l'infiniment petit <math>\;\varepsilon\;</math>», voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à «<math>\;(1 + \varepsilon)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;(1 + \varepsilon)^n</math> <math>\simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math>».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», }}la distance entre l'objet et le “ radar ”<ref name="radar" /> à la date générique «<math>\;t_{\text{réfl}}\;</math>» étant «<math>\;d_0 + V\, ( t_{\text{réfl}} - t_0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> un retard temporel de l'oscillation au niveau de l'objet relativement à l'oscillation incidente de «<math>\;\dfrac{d_0 + V\, ( t_{\text{réfl}} - t_0)}{c} = \dfrac{d_0 + V\, t_{\text{réfl}}}{c}\;</math>»<ref name="t0 nul" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», }}nous en déduisons l'équation du signal incident à l'instant «<math>\;t_{\text{réfl}}\;</math>» «<math>\;a(t_{\text{réfl}})\,\cos\! \left\lbrace 2\,\pi\,f \left[ t_{\text{réfl}} - \dfrac{d_0 + V\, t_{\text{réfl}}}{c} \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="signal émis par l'antenne"> En supposant que le signal émis par l'antenne s'écrit «<math>\;a_0\,\cos\! \left( 2\,\pi\,f\, t \right)\;</math>», celui atteignant l'objet a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption <math>\;\big\{</math>d'où <math>\;a_0\;</math> remplacée par <math>\;a(t_{\text{réfl}})\big\}\;</math> et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant égal à <math>\;\dfrac{d_0 + V\, t_{\text{réfl}}}{c}\;</math>» <math>\;\big\{</math>les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», }}ce signal se réfléchissant sur l'objet et repartant en sens contraire est détecté par l'antenne devenue réceptrice à «<math>\;t_{\text{récept}}\;</math>» l'instant générique de réception des oscillations de cette impulsion<ref name="impulsion" /> envoyée à l'instant initial «<math>\;t_0 = 0\;</math>» et réfléchie par l'objet mobile <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c \left( t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}} \right) = d_0 + V \left( t_{\text{réfl}} - t_0 \right)\;</math>» <ref> Correspondant à « la distance parcourue par l'onde de l'objet à l'antenne sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\text{réfl}}\;,\, t_{\text{récept}} \right]\;</math> soit <math>\;c \left( t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}} \right)\;</math>» égale à « la distance séparant l'antenne et l'objet à l'instant <math>\;t_{\text{réfl}}\;</math> soit <math>\;d_0 + V \left( t_{\text{réfl}} - t_0 \right)\;</math>».</ref> ou «<math>\;t_{\text{récept}} = \dfrac{d_0}{c} + \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) t_{\text{réfl}}\;</math>»<ref name="t0 nul" /> ou encore {{Nobr|«<math>\;t_{\text{récept}}</math>}} <math>= \dfrac{d_0}{c} + \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) \left[ \dfrac{d_0}{c \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)} + \dfrac{t_{\text{émis}}}{\left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)} \right]\;</math>» <ref> En effet «<math>\;\left( 1 - \dfrac{V}{c} \right) t_{\text{réfl}} = \dfrac{d_0}{c} + t_{\text{émis}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;t_{\text{réfl}} = \dfrac{d_0}{c \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)} + \dfrac{t_{\text{émis}}}{\left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)}\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> ou «<math>\;t_{\text{récept}} = \dfrac{d_0}{c} + \left( 1 + 2\,\dfrac{V}{c} \right) \left[ \dfrac{d_0}{c} + t_{\text{émis}} \right]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un" /> » soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», notant }}«<math>\;t_{\text{récept}} \in \left[ \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;,\; \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \tau \left( 1 + 2\,\dfrac{V}{c} \right) \right]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>» ou, compte-tenu de la petitesse de <math>\;\tau</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», notant }}«<math>\;t_{\text{récept}} \underset{\sim}{\;\in\;} \left[ \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;,\; \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \tau \right]\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>» <ref> Compte-tenu de la petitesse de <math>\;\tau\;</math> <math>\Bigg\{</math>on pourrait considérer <math>\;\dfrac{\tau}{\dfrac{d_0}{c}}\;</math> comme un infiniment petit de même ordre que <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math> c.-à-d. un ordre un<math>\Bigg\}\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \tau \left( 1 + 2\,\dfrac{V}{c} \right) =</math> <math>\dfrac{d_0}{c} \left[ 2 \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \dfrac{\tau}{\dfrac{d_0}{c}} \left( 1\; \cancel{+\; 2\,\dfrac{V}{c}} \right) \right] \simeq \dfrac{d_0}{c} \left[ 2 \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \dfrac{\tau}{\dfrac{d_0}{c}} \right]\;</math> à l'ordre un », «<math>\;2\,\dfrac{V}{c}\,\dfrac{\tau}{\dfrac{d_0}{c}}\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre deux» doit être éliminé.</ref>{{,}} <ref> Le symbole «<math>\;\underset{\sim}{\;\in\;}\;</math>» étant personnel signifiant « approximativement compris dans ».</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», }}la durée de propagation du signal jusqu'à l'antenne réceptrice après réflexion sur l'objet mobile est égale à celle écoulée entre l'émission par l'antenne et la réflexion par l'objet, c.-à-d. «<math>\;t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}} = t_{\text{réfl}} - t_{\text{émis}}\;</math>» <ref> En effet la distance à parcourir dans le sens incident pour atteindre l'objet à l'instant <math>\;t_{\text{réfl}}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t_{\text{émis}}\;</math> est la même que celle à parcourir dans le sens réfléchi pour atteindre l'antenne à l'instant <math>\;t_{\text{récept}}\;</math> et ceci avec une célérité <math>\;c = 3,00\, 10^8\, m \cdot s^{-1}\;</math> invariante par changement de référentiel d'où «<math>\;t_{\text{réfl}} - t_{\text{émis}} = t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}}\;</math>».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;2\,t_{\text{réfl}} = t_{\text{récept}} + t_{\text{émis}}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», }}nous en déduisons l'équation du signal écho à l'instant «<math>\;t_{\text{récept}}\;</math>» «<math>\;a(t_{\text{récept}})\,\cos\! \left[ 2\,\pi\,f \left( t_{\text{récept}} - \dfrac{2\,d_0 + V\, t_{\text{récept}}}{c} \right) \right]\;</math>» <ref name="signal reçu par l'antenne"> Le signal réfléchi par l'objet s'écrivant «<math>\;a(t_{\text{réfl}})\,\cos\! \left[ 2\,\pi\,f\, \left( t_{\text{réfl}} - \dfrac{d_0 + V\, t_{\text{réfl}}}{c} \right) \right]\;</math>», celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption {{Nobr|<math>\;\big\{</math>d'où}} <math>\;a(t_{\text{réfl}})\;</math> remplacée par <math>\;a(t_{\text{récept}})\big\}\;</math> et est en retard temporel relativement au signal réfléchi par l'objet s'ajoutant au retard temporel relativement au signal incident, le « retard temporel total étant égal à <math>\;\dfrac{\left[ d_0 + V\, t_{\text{réfl}} \right] + \left[ d_0 + V\, ( t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}}) \right]}{c} = \dfrac{2\,d_0 + V\, t_{\text{récept}}}{c}\;</math>» <math>\;\big\{</math>les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas<math>\big\}</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse <math>\;\color{transparent}{V}\;</math>», nous en déduisons l'équation du signal écho à l'instant «<math>\;\color{transparent}{t_{\text{récept}}}\;</math>» }}«<math>\;a(t_{\text{récept}})\,\cos\! \left[ 2\,\pi\,f \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right) t_{\text{récept}} - 4\,\pi\;f\,\dfrac{d_0}{c} \right]\;</math>» qui s'interprète comme un signal écho de « fréquence <math>\;f_{\text{écho}} = f \left( 1 - \dfrac{V}{c} \right)\;</math>» qui se serait réfléchi sur un objet fixe situé initialement à la distance <math>\;d_0\;</math> de l'antenne. {{Al|5}}La variation de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse <math>\;V = 150\, m \cdot s^{-1}\;</math> serait de «<math>\;\Delta f = f_{\text{écho}} - f = -\dfrac{V}{c}\, f\;</math>» ce qui, numériquement, donnerait <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse <math>\;\color{transparent}{V = 150\, m \cdot s^{-1}}\;</math> serait de }}«<math>\;\Delta f = -\dfrac{150}{3\, 10^8} \times 2,90\, 10^9\;</math> en <math>\;Hz\;</math>» soit «<math>\;\Delta f = 1450\, Hz\;</math>» ne représentant que «<math>\;\dfrac{1450}{2,90\, 10^9} \simeq 5\, 10^{-7} =</math> <math>0,00005\, \%\;</math> de la fréquence des ondes » et nécessiterait une précision difficilement réalisable avec des appareils de « classe »<ref name="classe d'un appareil" > La classe d'un appareil détermine son degré de précision dans ses mesures ou repérages, ainsi un « appareil de classe <math>\;1\;</math> admet une précision de <math>\;1\, \%\;</math> de l'étendue de mesure », il faudrait ici un « appareil de classe <math>\;0,00005\;</math>».</ref> usuelle. }} === 2^ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du décalage temporel des échos de deux impulsions successives renvoyés par l'objet === {{Al|5}}Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »<ref name="radar" />, une 2^ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives renvoyé par le même objet mobile, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », }}en mesurant simplement le décalage temporel entre ces échos. {{Al|5}}Calculer le décalage temporel entre les échos de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives renvoyés par l'avion précédent s'éloignant à la vitesse <math>\;V = 150\, m \cdot s^{-1}\;</math> et <br>{{Al|5}}commenter. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives étant séparées d'une durée «<math>\;T = 100,0\, \mu s\;</math>», nous pouvons affirmer les propriétés suivantes : * une 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> émise à «<math>\;t_0 = 0\;</math>» se réfléchit sur l'avion créant un écho reçu par l'antenne <math>\;\big(</math>réceptrice<math>\big)\;</math> à l'instant «<math>\;{t'}_{\!0} = \dfrac{2\, d}{c}\;</math>», «<math>\;d\;</math> étant la distance séparant le “ radar ”<ref name="radar" /> de l'avion à l'instant de la réflexion », * une 2^ème impulsion<ref name="impulsion" /> émise à «<math>\;t_1 = T\;</math>» se réfléchit sur l'avion créant un écho reçu par l'antenne <math>\;\big(</math>réceptrice<math>\big)\;</math> à l'instant «<math>\;{t'}_{\!1} = \dfrac{2\, (d + V\, T)}{c}\;</math>», « l'avion s'étant éloigné de «<math>\;V\, T\;</math>» pendant la durée séparant ces deux impulsions », * etc. <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On en déduit la durée séparant la réception des échos de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives «<math>\;\Delta t' = {t'}_{\!1} - {t'}_{\!0} = 2\, \dfrac{V}{c}\, T\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|On en déduit }}la mesure de ce décalage temporel «<math>\;\Delta t'\;</math>» permettant effectivement d'en déduire la vitesse <math>\;V\;</math> d'éloignement de l'avion suivant «<math>\;V = c\;\dfrac{\Delta t'}{2\,T}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|On en déduit }}numériquement un avion s'éloignant du « radar »<ref name="radar" /> à la vitesse <math>\;V = 150\, m \cdot s^{-1}\;</math> conduit à un décalage temporel de l'écho de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives «<math>\;\Delta t' = 2 \times \dfrac{150}{3\, 10^8} \times 100\, 10^{-6}</math> <math>\simeq 10^{-10}\;</math> en <math>\;s\;</math>» soit «<math>\;\Delta t' = 0,100\, ns\;</math>» représentant «<math>\;\dfrac{0,100\, 10^{-3}}{100,0} \simeq 1,0\, 10^{-6} = 0,0001\, \%\;</math> de l'intervalle séparant deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|On en déduit numériquement }}le fait que le décalage temporel de l'écho de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives renvoyé par l'avion ne représente que «<math>\;0,0001\, \%\;</math> de l'intervalle <math>\;T\;</math> séparant ces deux impulsions<ref name="impulsion" /> » nécessite, pour être détecté, une très grande précision tout aussi difficilement réalisable que celle sur la mesure de la différence de fréquence due à l'[[w:effet_Doppler|effet Doppler]]<ref name="Doppler" /> même si, dans le cas présent, il a une amélioration par rapport à la méthode de l'[[w:effet_Doppler|effet Doppler]]<ref name="Doppler" /> d'un facteur <math>\;2</math>. }} === 3^ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du déphasage des échos de deux impulsions successives en phase renvoyés par l'objet === {{Al|5}}Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar »<ref name="radar" />, une 3^ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives en phase renvoyé par le même objet mobile, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », }}en mesurant simplement le déphasage entre ces échos. {{Al|5}}Exprimer ce déphasage entre les échos de deux impulsions<ref name="impulsion" /> successives en phase, renvoyés par un objet s'éloignant du « radar »<ref name="radar" /> à une vitesse <math>\;V</math>, en fonction de <math>\;V</math>, de la durée <math>\;T\;</math> entre les impulsions<ref name="impulsion" /> et de la longueur d'onde <math>\;\lambda\;</math> des oscillations ; {{Al|5}}calculer ce déphasage dans le cas de l'avion précédent s'éloignant à la vitesse <math>\;V = 150\, m \cdot s^{-1}\;</math> et <br>{{Al|5}}commenter. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Les oscillations de la 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> émise à <math>\;t_0 = 0\;</math> débutent leur réflexion sur l'objet mobile, initialement distant du “ radar ”<ref name="radar" /> de <math>\;d_0</math>, à «<math>\;t_{\text{réfl},\,i,\,1} \simeq \dfrac{d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>» <ref name="solution de question précédente"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#1ère_méthode_de_détermination_de_la_vitesse_d'un_objet_par_utilisation_de_l'effet_Doppler|1^ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler]] » plus haut dans cet exercice.</ref> puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les oscillations de la 1^ère impulsion émise à <math>\;\color{transparent}{t_0 = 0}\;</math> }}se propagent en sens inverse et commencent leur détection par l'antenne <math>\;\big(</math>réceptrice<math>\big)\;</math> à «<math>\;t_{\text{récept},\,i,\,1} \simeq \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right)\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<ref name="solution de question précédente" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les oscillations de la 1^ère impulsion émise à <math>\;\color{transparent}{t_0 = 0}\;</math> }}le signal écho reçu s'écrivant «<math>\;a(t_{\text{récept},\,1})\,\cos\! \left[ 2\,\pi\,f \left( t_{\text{récept},\,1} - \dfrac{2\,d_0 + V\, t_{\text{récept},\,1}}{c} \right) \right]\;</math>» <ref name="signal reçu par l'antenne - bis"> En supposant que le signal émis par l'antenne s'écrit «<math>\;a_0\,\cos\! \left( 2\,\pi\,f\, t \right)\;</math>», celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption <math>\;\big\{</math>d'où <math>\;a_0\;</math> remplacée par <math>\;a(t_{\text{récept}})\big\}\;</math> et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant la somme de celui relativement au signal incident et de celui relativement au signal réfléchi égal à <math>\;\dfrac{\left[ d_0 + V\, t_{\text{réfl}} \right] + \left[ d_0 + V\, ( t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}}) \right]}{c} = \dfrac{2\,d_0 + V\, t_{\text{récept}}}{c}\;</math>» <math>\;\big\{</math>les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas<math>\big\}</math>.</ref> dans lequel <math>\;t_{\text{récept},\,1}\;</math> est l'instant générique des oscillations de l'écho de la 1^ère impulsion<ref name="impulsion" /> c.-à-d. tel que <math>\;t_{\text{récept},\,1} \in \left[ t_{\text{récept},\,i,\,1}\, ,\, t_{\text{récept},\,f,\,1} \right]\;</math> avec «<math>\;t_{\text{récept},\,f,\,1} \simeq \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \tau\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<ref name="solution de question précédente" /> ; {{Al|5}}les oscillations de la 2^ème impulsion<ref name="impulsion" /> émise à <math>\;t_1 = T\;</math> débutent leur réflexion sur l'objet mobile <math>\;\big\{</math>lequel s'est déplacé de <math>\;V\,T\;</math> sur <math>\;\left[ t_0 = 0\,,\, t_1 = T \right]\big\}</math>, à l'instant «<math>\;t_{\text{réfl},\,i,\,2} \simeq \dfrac{d_0 + V\,T}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) \simeq</math> <math>\dfrac{d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \dfrac{V\,T}{c}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<ref name="solution de question précédente" />{{,}}<ref name="simplification supplémentaire"> Nous limitant à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math> nous pouvons éliminer <math>\;\dfrac{V\,T}{c}\;\dfrac{V}{c}\;</math> considéré comme un ordre deux.</ref> puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|Les oscillations de la 2^ème impulsion émise à <math>\;\color{transparent}{t_1 = T}\;</math> }}se propagent en sens inverse et commencent leur détection par l'antenne <math>\;\big(</math>réceptrice<math>\big)\;</math> à l'instant «<math>\;t_{\text{récept},\,i,\,2} \simeq \dfrac{2\,(d_0 + V\,T)}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) \simeq</math> <math>\dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \dfrac{2\,V\,T}{c}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<ref name="solution de question précédente" />{{,}}<ref name="simplification supplémentaire" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Les oscillations de la 2^ème impulsion émise à <math>\;\color{transparent}{t_1 = T}\;</math> }}le signal écho reçu s'écrivant «<math>\;a(t_{\text{récept},\,2})\,\cos\! \left[ 2\,\pi\,f \left( t_{\text{récept},\,2} - \dfrac{2\,( d_0 + V\,T) + V\, (t_{\text{récept},\,2} - t_1)}{c} \right) \right]\;</math>»<ref name="signal reçu par l'antenne - ter"> En supposant que le signal émis par l'antenne lors de la 2^ème impulsion s'écrit «<math>\;a_0\,\cos\! \left( 2\,\pi\,f\, t \right)\;</math>» <math>\;\big(</math>en phase avec le signal émis lors de la 1^ère impulsion<math>\big)</math>, celui atteignant l'antenne devenue réceptrice a une amplitude diminuée due aux phénomènes d'absorption <math>\;\big\{</math>d'où <math>\;a_0\;</math> remplacée par <math>\;a(t_{\text{récept}})\big\}\;</math> et est en retard temporel relativement au signal émis par l'antenne, le « retard temporel étant la somme de celui relativement au signal incident et de celui relativement au signal réfléchi égal à <math>\;\dfrac{\left[ (d_0 + V\,T) + V\, (t_{\text{réfl}} - t_1) \right] + \left[ (d_0 + V\,T) + V\, ( t_{\text{récept}} - t_{\text{réfl}}) \right]}{c} =</math> <math>\dfrac{2\,(d_0 + V\,T) + V\, (t_{\text{récept}} - t_1)}{c}\;</math>» <math>\;\big\{</math>les distances n'étant pas algébrisées, le sens de propagation n'intervient pas<math>\big\}</math>.</ref> dans lequel <math>\;t_{\text{récept},\,2}\;</math> est l'instant générique des oscillations de l'écho de la 2^ème impulsion<ref name="impulsion" /> c'est-à-dire tel que <math>\;t_{\text{récept},\,2} \in \left[ t_{\text{récept},\,i,\,2}\, ,\, t_{\text{récept},\,f,\,2} \right]\;</math> avec «<math>\;t_{\text{récept},\,f,\,2} \simeq \dfrac{2\,d_0}{c} \left( 1 + \dfrac{V}{c} \right) + \dfrac{2\,V\,T}{c} + \tau\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<ref name="solution de question précédente" /> ; {{Al|5}}de ce qui précède nous déduisons le décalage temporel entre les échos de ces impulsions<ref name="impulsion" /> successives lors de leur début de réception par l'antenne <math>\;\big(</math>réceptrice<math>\big)\;</math> «<math>\;\Delta t_{\text{récept}} = t_{\text{récept},\,i,\,2} - t_{\text{récept},\,i,\,1} \simeq \dfrac{2\,V\,T}{c}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>décalage temporel constant à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math> pendant toute la réception, «<math>\;t_{\text{récept},\,f,\,2} - t_{\text{récept},\,f,\,1} \simeq \dfrac{2\,V\,T}{c}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>»<math>\bigg\}</math>, puis {{Al|5}}{{Transparent|de ce qui précède nous déduisons }}leur déphasage initial «<math>\;\Delta \varphi_{\text{echos success}} \simeq -2\, \pi\, f\, \dfrac{2\, V\, T}{c} = -2\, \pi\, \dfrac{2\, V\, T}{\dfrac{c}{f}}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\dfrac{V}{c}\;</math>» soit, avec la « longueur d'onde <math>\;\lambda = \dfrac{c}{f}\;</math>»<ref name="passage des grandeurs temporelles aux grandeurs spatiales" />, «<math>\;\Delta \varphi_{\text{echos success}} \simeq -\dfrac{4\, \pi\, V\, T}{\lambda}\;</math>» ; {{Al|5}}numériquement, avec l'avion s'éloignant à la vitesse «<math>\;V = 150\, m \cdot s^{-1}\;</math>» on a «<math>\;\Delta \varphi_{\text{echos success}} = -\dfrac{4 \times \pi \times 150,0 \times 100\, 10^{-6}}{0,103}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|numériquement, avec l'avion s'éloignant à la vitesse «<math>\;\color{transparent}{V = 150\, m \cdot s^{-1}}\;</math>» on a }}«<math>\;\Delta \varphi_{\text{echos success}} \simeq -1,83\, rad \simeq -105\,\text{°}\;</math>» <u>largement mesurable</u>. }} === Détermination de la vitesse d'éloignement (ou d'approche) d'un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée === {{Al|5}}Un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée de l'antenne du “ radar ”<ref name="radar" /> a une « vitesse d'éloignement <math>\;\big(</math>ou d'approche<math>\big)\;</math>»<ref name="vitesse d'éloignement"> Supposant l'antenne du “ radar ” linéaire, nous appelons « vitesse d'éloignement <math>\;\big(</math>ou d'approche<math>\big)\;</math>» d'un objet la composante de la vitesse <math>\;\not\parallel\;</math> à l'antenne.</ref> décomposable en * une vitesse longitudinale<ref name="longitudinale"> C.-à-d. le long de la ligne de visée.</ref> <math>\;V_{\text{longitudinale}}\;</math> déterminable par l'une des trois méthodes exposées précédemment<ref> Dans le cas d'une approche au lieu d'un éloignement il suffit de remplacer <math>\;V\;</math> par <math>\;-V</math>.</ref> et * une vitesse transversale<ref name="transversale"> C.-à-d. <math>\;\perp\;</math> à la ligne de visée.</ref> <math>\;V_{\text{transversale}}\;</math> inéligible à l'utilisation de l'une des trois méthodes exposées précédemment. {{Al|5}}Proposer un moyen de déterminer cette composante transversale<ref name="transversale" /> de la « vitesse d'éloignement <math>\;\big(</math>ou d'approche<math>\big)\;</math>»<ref name="vitesse d'éloignement" /> <math>\;\big\{</math>on pensera à utiliser la détermination des positions de l'objet lors d'envoi successif d'impulsions<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}en déduire la détermination de la norme de la « vitesse d'éloignement <math>\;\big(</math>ou d'approche<math>\big)\;</math>»<ref name="vitesse d'éloignement" /> <math>\;V\;</math> de l'objet. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Pour déterminer la composante transversale<ref name="transversale" /> de la « vitesse d'éloignement <math>\;\big(</math>ou d'approche<math>\big)\;</math>»<ref name="vitesse d'éloignement" /> de l'objet relativement à l'antenne du “ radar ”<ref name="radar" />, il suffit * de repérer, sur l'écran, les différentes positions successives de la cible pour en déduire la distance <math>\;\delta_{\perp}\;</math> parcourue perpendiculairement à la ligne de visée<ref name="delta perp"> Attention si l'objet se déplace rectilignement en faisant un angle <math>\;\alpha\;</math> avec la ligne de visée orientée en partant de l'antenne, la distance <math>\;\delta_{\perp}\;</math> parcourue perpendiculairement à la ligne de visée est liée à la distance <math>\;\delta\;</math> parcourue sur l'écran par «<math>\;\delta_{\perp} = \delta \times \sin(\alpha)\;</math>».</ref>{{,}}<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Détermination_de_la_distance_à_laquelle_se_trouvent_les_divers_objets_détectés_par_écho|détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et * de diviser la distance <math>\;\delta_{\perp}\;</math> parcourue perpendiculairement à la ligne de visée<ref name="delta perp" /> par la durée écoulée entre les impulsions<ref name="impulsion" /> extrêmes ayant permis de positionner la cible d'où <center>la vitesse transversale «<math>\;V_{\text{transversale}} = \dfrac{\delta_{\perp}}{(n - 1)\;T}\;</math>» avec <br><math>\;n\;</math> le nombre d'impulsions<ref name="impulsion" /> extrêmes ayant permis de positionner la cible ;</center> {{Al|5}}ayant déterminé la vitesse longitudinale «<math>\;V_{\text{longitudinale}}\;</math>» par l'une des trois méthodes exposées précédemment, on en déduit la norme de la « vitesse d'éloignement <math>\;\big(</math>ou d'approche<math>\big)\;</math>»<ref name="vitesse d'éloignement" /> de l'objet relativement à l'antenne du “ radar ”<ref name="radar" /> par «<math>\;V = \sqrt{V_{\text{longitudinale}}^{\,2} + V_{\text{transversale}}^{\,2}}\;</math>». }} == Célérité des ondes sismiques == [[File:Chaîne infinie d'atomes.jpg|thumb|450px|Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide nulle]] {{Al|5}}On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse <math>\;m</math>, reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur <math>\;k</math>, susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe <math>\;(Ox)</math>. <br>{{Al|5}}Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse <math>\;x_n^0 = n\, a\;</math> sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique. <br>{{Al|5}}On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses <math>\;x_n(t) = x_n^0 + \xi_n(t)\;</math> où leurs déplacements <math>\;\xi_n(t)\;</math> sont supposés faibles devant <math>\;a</math>. === Équation différentielle du mouvement du n^ème atome === {{Al|5}}Établir l'équation différentielle en <math>\;\xi_n(t)\;</math> du mouvement de l'atome <math>\;(n)</math>, <br>{{Al|5}}la mettre sous la forme «<math>\;\ddot{\xi}_n(t) = \omega_0^2 \left[ \xi_{n + 1}(t) + \xi_{n - 1}(t) - 2\, \xi_n(t) \right]\;</math>» et {{Al|5}}exprimer <math>\;\omega_0\;</math> en fonction des données ; {{Al|5}}quelle est sa signification concrète ? {{Solution | contenu = [[File:Chaîne infinie d'atomes - Forces.jpg|thumb|450px|Forces agissant sur un atome lors de la modélisation des interactions de ses voisins par un ressort de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide nulle]] {{Al|5}}Le n^ème atome subit l’action des tensions des ressorts modélisant l'interaction avec ses voisins c'est-à-dire <math>\;\vec{T}_{n \leftarrow n - 1}\;</math> et <math>\;\vec{T}_{n \leftarrow n + 1}</math> : * «<math>\;\vec{T}_{n \leftarrow n - 1} = -k\, (a + \xi_n - \xi_{n - 1}) \, \vec{u}_x\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref>{{,}}<ref> Quand le ressort de gauche est allongé il est dans le sens contreire de <math>\;x'x</math>.</ref>, <math>\;O_{n - 1}O_n = a\;</math> étant la longueur à l'équilibre du ressort de gauche et aussi son allongement à l’équilibre <math>\;\big(</math>la longueur à vide étant supposée nulle<math>\big)</math>, il faut lui « ajouter <math>\;\xi_n - \xi_{n - 1}\;</math> <ref> Quand l'atome <math>\;(n)\;</math> se déplace de <math>\;\xi_n > 0\;</math> l'allongement du ressort de gauche <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\xi_n\;</math> et quand l'atome <math>\;(n - 1)\;</math> se déplace de <math>\;\xi_{n - 1} > 0\;</math> l'allongement du ressort de gauche <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\xi_{n - 1}</math>.</ref> pour avoir l’allongement total » ; * «<math>\;\vec{T}_{n \leftarrow n + 1} = k\, (a + \xi_{n + 1} - \xi_n) \, \vec{u}_x\;</math>»<ref name="loi de Hooke" />{{,}}<ref> Quand le ressort de droite est allongé il est dans le sens de <math>\;x'x</math>.</ref>, <math>\;O_nO_{n + 1} = a\;</math> étant la longueur à l'équilibre du ressort de droite et aussi son allongement à l’équilibre <math>\;\big(</math>la longueur à vide étant supposée nulle<math>\big)</math>, il faut lui « ajouter <math>\;\xi_{n + 1} - \xi_n\;</math> <ref> Quand l'atome <math>\;(n)\;</math> se déplace de <math>\;\xi_n > 0\;</math> l'allongement du ressort de droite <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\xi_n\;</math> et quand l'atome <math>\;(n + 1)\;</math> se déplace de <math>\;\xi_{n + 1} > 0\;</math> l'allongement du ressort de droite <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\xi_{n + 1}</math>.</ref> pour avoir l’allongement total », <br>{{Al|5}}Appliquant la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<ref name="rappel de la r.f.d.n."> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Rappel_de_dynamique,_relation_fondamentale_de_la_dynamique_newtonienne_(r.f.d.n.)|rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\;</math> à l’atome <math>\;(n)\;</math> nous obtenons, en projection sur <math>\;x'x</math> : <br>{{Al|10}}«<math>\;T_{n \leftarrow n - 1,\,x} + T_{n \leftarrow n + 1,\,x} = m\, \ddot{x}_n\;</math>» soit encore «<math>\;-k\, (a + \xi_n -\xi_{n - 1}) + k\, (a + \xi_{n + 1} - \xi_n) = m\, \ddot{x}_n\;</math>» ou, <br>{{Al|10}}en utilisant «<math>\;x_n = n\, a + \xi_n\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{x}_n = \ddot{\xi}_n\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|en }}simplifiant après développement du membre de gauche «<math>\;k\, (\xi_{n + 1} + \xi_{n - 1} - 2\, \xi_n) = m\, \ddot{\xi}_n\;</math>» soit enfin, après normalisation <center>«<math>\;\ddot{\xi}_n = \dfrac{k}{m}\, (\xi_{n + 1} + \xi_{n - 1} - 2\, \xi_n)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}posant «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>», l'équation différentielle se réécrit selon <center>«<math>\;\ddot{\xi}_n = \omega_0^2\, (\xi_{n + 1} + \xi_{n - 1} - 2\, \xi_n)\;</math>»,</center> {{Al|5}}«<math>\;\omega_0\;</math> étant la pulsation propre d'oscillation d'un atome qui ne serait soumis qu'à l'action d'un seul voisin » <ref> Comme par exemple dans une molécule diatomique.</ref>. }} === Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente === {{Al|5}}Une onde sismique harmonique de pulsation <math>\;\omega\;</math> étant décrite par une solution de la forme «<math>\;\xi_n(t) = A\, \sin(\omega\, t - \alpha\, x_n^0)\;</math>» où <math>\;A\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> sont des constantes, <br>{{Al|5}}vérifier qu'une telle solution n'est possible que « si <math>\;\dfrac{\omega}{\omega_0}\;</math> et <math>\;\alpha\, a\;</math> sont reliés par une condition <math>\;(C)\;</math>» <ref name="méthode de résolution"> Pour résoudre cette question on associera à « la solution harmonique <math>\;\xi_n(t) = A\, \sin(\omega\, t - \alpha\, n\, a)\;</math>», « la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{\xi_n}(t)</math> <math>= \underline{A_n}\, \exp(i\, \omega\, t)\;</math>» où «<math>\;\underline{A_n} =</math> <math>A\, \exp(-i\, \alpha\, n\, a)\;</math> est l'amplitude complexe », l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe obéit étant la même que celle dont <math>\;\xi_n(t)\;</math> est solution, puis <br>{{Al|20}}{{Transparent|Pour résoudre cette question }}on exprimera « cette équation différentielle en fonction de <math>\;\omega,\; \omega_0,\; \underline{A_n}\; \text{et}\; \alpha\, a\;</math>» après simplification par <math>\;\exp(i\, \omega\, t)</math> ; <br>{{Al|20}}{{Transparent|Pour résoudre cette question on exprimera « }}cette équation admettant pour seule solution <math>\;\underline{A_n} = 0\;</math> <math>\big(</math>évidemment à rejeter<math>\big)\;</math> sauf « si la condition <math>\;(C)\;</math> cherchée sur <math>\;\omega\;</math> est réalisée ».</ref>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}On souhaite vérifier qu'une onde sismique de la forme «<math>\;\xi_n(t) = A\, \sin(\omega\, t - \alpha\, x_n^0) = A\, \sin(\omega\, t - \alpha\, n\, a)\;</math>» est solution de l'équation différentielle «<math>\;\ddot{\xi}_n = \omega_0^2\, (\xi_{n + 1} + \xi_{n - 1} - 2\, \xi_n)\;</math>» <ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Onde_progressive_sinusoïdale#Équation_différentielle_du_mouvement_du_nème_atome|équation différentielle du mouvement du n^ème atome]] » plus haut dans cet exercice.</ref> et pour cela <br>{{Al|5}}on introduit la grandeur instantanée complexe «<math>\;\underline{\xi_n}(t) = \underline{A_n}\, \exp(i\, \omega\, t)\;</math>» avec «<math>\;\underline{A_n} = A\, \exp(-i\, \alpha\, n\, a)\;</math> l'amplitude complexe », <br>{{Al|5}}{{Transparent|on introduit }}l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{\xi_n}(t)\;</math> obéit étant celle à laquelle la grandeur instantanée sinusoïdale <math>\;\xi_n(t) = \Im\! \left[ \underline{\xi_n}(t) \right]\;</math> obéit<ref name="méthode de résolution" /> soit <center>«<math>\;\ddot{\underline{\xi_n}} = \omega_0^2\, (\underline{\xi_{n + 1}} + \underline{\xi_{n - 1}} - 2\, \underline{\xi_n})\;</math>» </center> {{Al|5}}{{Transparent|on introduit l'équation différentielle }}se réécrivant, avec «<math>\;\ddot{\underline{\xi_n}} = (i\, \omega)^2\, \underline{\xi_n} = -\omega^2\, \underline{\xi_n}\;</math>», «<math>\;\underline{\xi_{n + 1}}\; \text{et}\; \underline{\xi_{n - 1}}\;</math> s'exprimant en fonction de <math>\;\underline{\xi_n}\;</math> selon <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\underline{\xi_{n + 1}}(t) = \underline{\xi_n}(t)\, \exp(-i\, \alpha\, a)\\ \text{et}\\ \underline{\xi_{n - 1}}(t) = \underline{\xi_n}(t)\, \exp(i\, \alpha\, a)\end{array}\right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on introduit l'équation différentielle se réécrivant, }}«<math>\;-\omega^2\, \underline{\xi_n}(t) = \omega_0^2 \left[ \exp(-i\, \alpha\, a) + \exp(i\, \alpha\, a) - 2 \right] \underline{\xi_n}(t)\;</math>» ou, avec <math>\;\underline{\xi_n}(t) = \underline{A_n}\, \exp(i\, \omega\, t)\;</math> et en simplifiant par <math>\;\exp(i\, \omega\, t)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on introduit l'équation différentielle se réécrivant, }}«<math>\;-\omega^2\, \underline{A_n} = \omega_0^2 \left[ \exp(-i\, \alpha\, a) + \exp(i\, \alpha\, a) - 2 \right] \underline{A_n}\;</math>» admettant une autre solution que <math>\;\underline{A_n} = 0\;</math> à condition que <center>«<math>\;-\omega^2 = \omega_0^2 \left[ 2\, \cos(\alpha\, a) - 2 \right]\;</math>» <ref> On a utilisé la formule d'Euler relative au cosinus «<math>\;\exp(i\, \alpha) + \exp(-i\, \alpha) = 2\, \cos(\alpha)\;</math>». <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.</ref> ou <br>«<math>\;\left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^{\!2} = 2 \left[ 1 - \cos(\alpha\, a) \right]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^{\!2}}</math> }}<math>= 4\, \sin^2\! \left( \dfrac{\alpha\, a}{2} \right)\;</math>» <ref> En effet le 2^nd membre de l'égalité «<math>\;\left( \dfrac{\omega}{\omega_0} \right)^{\!2} = 2 \left[ 1 - \cos(\alpha\, a) \right]\;</math>» pouvant être réécrit sous forme d'un carré en utilisant la formule de trigonométrie «<math>\;1 - \cos(2\, x) = 2\, \sin^2(x)\;</math>» <math>\big\{</math>on rappelle les trois expressions équivalentes de <math>\;\cos(2\, \alpha)</math>, «<math>\;\cos(2\, \alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\, \cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\, \sin^2(\alpha)\;</math>»<math>\big\}</math>.</ref>, <br>soit «<math>\;\dfrac{\omega}{\omega_0} = 2\, \left\vert \sin\! \left( \dfrac{\alpha\, a}{2} \right) \right\vert\;</math>» ;</center> {{Al|5}}finalement la « condition <math>\;(C)\;</math> pour que l'onde sismique <math>\;\xi_n(t) = A\, \sin(\omega\, t - \alpha\, n\, a)\;</math> soit solution de l'équation différentielle <math>\;\ddot{\xi}_n = \omega_0^2\, (\xi_{n + 1} + \xi_{n - 1} - 2\, \xi_n)</math>» est <center>«<math>\;\dfrac{\omega}{\omega_0} = 2\, \left\vert \sin\! \left( \dfrac{\alpha\, a}{2} \right) \right\vert\;</math>».</center> }} === Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus === {{Al|5}}On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus<ref name="approximation des milieux continus"> Voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Introduction_de_l'approximation_des_milieux_continus|introduction de l'approximation des milieux continus]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides]] » pour plus de détails.</ref> ce qui correspond dans le cas présent à <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se place maintenant dans }}l'hypothèse dans laquelle « la distance <math>\;a\;</math> séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle }}«<math>\;a \ll \dfrac{1}{\vert \alpha \vert} \Leftrightarrow \vert \alpha \vert\, a \ll 1\;</math>» ; {{Al|10}}{{Transparent|On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus }}en déduire que la condition <math>\;(C)\;</math> se simplifie en «<math>\;\dfrac{\omega}{\omega_0} = \vert \alpha \vert\, a\;</math>». {{Al|5}}Dans toute la suite, on admet que «<math>\;\dfrac{\omega}{\vert \alpha \vert}\;</math> est la célérité <math>\,c\;</math> des ondes sismiques »<ref> Ainsi «<math>\;\vert \alpha \vert = \dfrac{\omega}{c}\;</math> est la pulsation spatiale des ondes sismiques » et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ainsi }}«<math>\;\omega\, t - \alpha\, x_n^0 = \omega\, t \mp \vert \alpha \vert\, x_n^0\;</math> la phase à l'instant <math>\;t\;</math> et à l'abscisse <math>\;x_n^0\;</math> de l'onde sismique progressive sinusoïdale » se propageant dans le sens <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \nearrow\;\text{de}\;x'x\;\;\text{pour}\;\alpha > 0 \Rightarrow \alpha = \vert \alpha \vert\\ \searrow\;\text{de}\;x'x\;\;\text{pour}\;\alpha < 0 \Rightarrow \alpha = -\vert \alpha \vert\end{array}\right\rbrace\;</math>.</ref>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}Dans l'approximation des milieux continus<ref name="approximation des milieux continus" /> où «<math>\;a\;</math> est suffisamment petite pour l'onde sismique » c.-à-d. telle que «<math>\;a \ll \dfrac{1}{\alpha} \Leftrightarrow \alpha\, a \ll 1\;</math>», le « produit <math>\;\alpha\, a\;</math> peut être considéré comme infiniment petit » et par suite <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans l'approximation des milieux continus }}«<math>\;\sin\! \left( \dfrac{\alpha\, a}{2} \right) \simeq \dfrac{\alpha\, a}{2}\;</math>» <ref> En effet si un angle <math>\big(</math>en <math>rad\big)</math> est infiniment petit la valeur de son sinus peut être confondu avec la valeur de l'angle <math>\big(</math>en <math>rad\big)</math> <math>\;\big\{</math>voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développemeents limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la fonction sinus au voisinage de zéro<math>\big\}</math>.</ref> d'où la réécriture de la condition <math>\;(C)\;</math> «<math>\;\dfrac{\omega}{\omega_0} = 2\, \left\vert \sin\! \left( \dfrac{\alpha\, a}{2} \right) \right\vert\;</math>» sous la forme <center>«<math>\;\dfrac{\omega}{\omega_0} \simeq 2\, \left\vert \dfrac{\alpha\, a}{2} \right\vert = \vert \alpha \vert\, a\;</math>» <br>ou encore «<math>\;\dfrac{\omega}{\vert \alpha \vert} \simeq \omega_0\, a\;</math>» ;</center> {{Al|5}}admettant que «<math>\;\dfrac{\omega}{\vert \alpha \vert} = c\;</math>» c'est-à-dire définissant « la célérité de propagation des ondes sismiques dans le milieu constitué de la chaîne d'atomes », on en déduit que, <center>dans l'approximation des milieux continus<ref name="approximation des milieux continus" />, «<math>\;c \simeq \omega_0\, a\;</math>».</center> }} === Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer === {{Al|5}}On cherche à évaluer un ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques <math>\;c_{Fe}\;</math> dans le fer et pour cela, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On cherche à évaluer }}on donne la « masse molaire atomique du Fer <math>\;M_{Fe} = 56\; g\! \cdot\! mol^{-1}\;</math>» ainsi que « sa masse volumique <math>\;\mu_{Fe} = 7,9\; l0^3\; kg\! \cdot\! m^{-3}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On cherche à évaluer }}on rappelle les valeurs suivantes : « un électronvolt <math>\;= 1\; eV = 1,6\; 10^{-19}\; J\;</math>» et la « [[w:Nombre_d'Avogadro|constante d'Avogadro]] <ref name="Avogadro"> '''[[w:Amedeo_Avogadro|Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro]] (1776 - 1856)''' est un physicien et chimiste du [[w:Piémont|Piémont]] <math>\;\big(</math>région actuelle de l'Italie<math>\big)\;</math> à qui on doit essentiellement la [[w:Loi_d'Avogadro|loi d'Avogadro Ampère]] qu'il énonça en <math>\;1811\;</math> et proposée indépendamment par '''Ampère''' en <math>\;1814</math>, celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ». <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière.</ref> <math>\;\mathcal{N} =</math> <math>6,02\; 10^{23}\; mol^{-1}\;</math>». {{Al|5}}Calculer la distance <math>\;a\;</math> séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est <math>\;a^3</math>. {{Al|5}}Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur <math>\;k\;</math> et d'allongement <math>\;a</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappeler, sans démonstration, }}en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à <math>\;2\; eV</math>, calculer <math>\;k</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappeler, sans démonstration, }}en déduire un ordre de grandeur de <math>\;c_{Fe}\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Rappeler, sans démonstration, }}commenter. {{Solution | contenu = {{Al|5}}<u>Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer</u> : le « volume moyen disponible par atome étant <math>\;a^3\;</math>», la « densité d’atomes par unité de volume est <math>\;N_V = \dfrac{1}{a^3}\;</math>» <ref> Ayant «<math>\;1\;</math> atome pour un volume <math>\;a^3\;</math> exprimé en <math>\;m^3\;</math>», pour un volume de <math>\;1\, m^3\;</math> on a <math>\;\dfrac{1\, m^3}{a^3}\;</math> atomes soit une « densité atomique par unité de volume <math>\;N_V = \dfrac{1}{a^3}\;</math> exprimée en <math>\;m^{-3}\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : }}la « masse <math>\;m_{\text{atome},\,Fe}\;</math> d'un atome » se déduit de la « masse molaire atomique <math>\;M_{Fe}\;</math>» et de la « [[w:Nombre_d'Avogadro|constante d'Avogadro]]<ref name="Avogadro" /> <math>\;\mathcal{N}\;</math>» par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse <math>\;\color{transparent}{m_{\text{atome}}}\;</math> d'un atome » }}«<math>\;m_{\text{atome},\,Fe} = \dfrac{M_{Fe}}{\mathcal{N}}\;</math>» ; enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : }}la « masse volumique <math>\;\mu_{Fe}\;</math> est liée à la densité volumique d'atomes <math>\;N_V\;</math> par <math>\;\mu_{Fe} = m_{\text{atome},\,Fe}\, N_V\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : }}«<math>\;N_V = \dfrac{\mu_{Fe}}{m_{\text{atome},\,Fe}} = \dfrac{\mu_{Fe}\, \mathcal{N}}{M_{Fe}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a^3 = \dfrac{1}{N_V} = \dfrac{M_{Fe}}{\mu_{Fe}\, \mathcal{N}}\;</math>» et par suite «<math>\;a = \sqrt[3]{\dfrac{M_{Fe}}{\mu_{Fe}\, \mathcal{N}}}\;</math>» soit numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : }}«<math>\;a = \sqrt[3]{\dfrac{56\; 10^{-3}}{7,9\; 10^3 \times 6,02\; 10^{23}}} \simeq 2,275\; 10^{-10}\; m\;</math>» ou, en unité adaptée «<math>\;a \simeq 0,227\; nm\;</math>» <ref> Le rayon d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant <math>\;0,053\; nm</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Calcul de «</u><math>\;k\;</math><u>» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique</u> : l'« énergie potentielle associée à un ressort de raideur <math>\;k\;</math> et d'allongement <math>\;a\;</math><ref> Cette expression a été vue une 1^ère fois dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Énergie_potentielle_élastique,_conséquence_de_l'action_d'un_ressort|énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <br>{{Al|24}}elle sera établie sous une forme plus générale au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#«_Énergie_potentielle_élastique_»_d'un_point_matériel|énergie potentielle élastique d'un point matériel]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> étant <math>\;U_{\text{élast}} = \dfrac{1}{2}\, k\, a^2\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de «<math>\;\color{transparent}{k}\;</math>» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : l'« énergie potentielle }}avec « choix de la référence<ref> La référence d'une énergie potentielle étant la position ou les conditions dans lesquelles l'objet dont c'est l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> lorsque le ressort est au repos », et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de «<math>\;\color{transparent}{k}\;</math>» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : }}en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison <math>\;\mathcal{E}_{\text{liaison}}\;</math> entre deux atomes soit «<math>\;U_{\text{élast}} = \mathcal{E}_{\text{liaison}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\, k\, a^2 = \mathcal{E}_{\text{liaison}}\;</math>» on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Calcul de «<math>\;\color{transparent}{k}\;</math>» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : }}«<math>\;k = \dfrac{2\, \mathcal{E}_{\text{liaison}}}{a^2}\;</math>» soit numériquement «<math>\;k = \dfrac{2 \times (2 \times 1,6\; 10^{-19})}{(0,227\; 10^{-9})^2}\;</math> en <math>\;N\! \cdot\! m^{-1}\;</math>» ou «<math>\;k \simeq 12,37\; N\! \cdot\! m^{-1}\;</math>». {{Al|5}}<u>Ordre de grandeur de «</u><math>\;c_{Fe}\;</math><u>» célérité des ondes sismiques dans le fer</u> : admettant «<math>\;c_{Fe} = \omega_0\, a\;</math>» avec «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m_{\text{atome},\,Fe}}}\;</math>» soit, en y reportant «<math>\;m_{\text{atome},\,Fe} = \dfrac{M_{Fe}}{\mathcal{N}}\;</math>», «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k\, \mathcal{N}}{M_{Fe}}}\;</math>» on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ordre de grandeur de «<math>\;\color{transparent}{c_{Fe}}\;</math>» célérité des ondes sismiques dans le fer : }}«<math>\;c_{Fe} = a\, \sqrt{\dfrac{k\, \mathcal{N}}{M_{Fe}}}\;</math>» soit numériquement «<math>\;c_{Fe} = 0,227\; 10^{-9} \times \sqrt{\dfrac{12,37 \times 6,02\; 10^{23}}{56\, 10^{-3}}}\;</math> en <math>\;m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ou «<math>\;c_{Fe} \simeq 2623\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Ordre de grandeur de «<math>\;\color{transparent}{c_{Fe}}\;</math>» célérité des ondes sismiques dans le fer : }}il s'agit effectivement de l'ordre de grandeur de la célérité des ondes dans les solides. }} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive/|Propag. d'un signal : Onde prog. dans le cas d'une propag. unidim. linéaire non dispers.]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence/|Propag. d'un signal : Interfér. entre 2 ondes synchrones]] }} q92g36a4r4sdirwkel0l0nzc87qhfcu 0 61947 982782 973950 2026-05-13T12:35:19Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982782 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence | idfaculté = physique | numéro = 5 | chapitre = [[../../Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence/]] | précédent = [[../Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Battements/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Interférences sur une cuve à ondes == [[File:Cuve à ondes - coupe.jpg|thumb|left|300px|Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide <math>\;\big(</math>cuve à ondes<math>\big)</math>]] [[File:Cuve à ondes - éclairage stroboscopique.jpg|thumb|600px|Surface de la cuves à ondes en éclairage stroboscopique, lignes d'interférences constructives et destructives avec contraste]] {{Al|5}}La figure ci-contre à droite représente ce qui est vu sur l'écran dépoli vertical d'une cuve à ondes sous éclairage stroboscopique dont le schéma est rappelé ci-contre à gauche. <br>{{Al|5}}Deux pointes, distantes de <math>\;a</math>, frappent en même temps, à intervalles réguliers, la surface de l'eau, générant deux ondes qui interfèrent. <br>{{Al|5}}Les zones d'interférences constructives sont claires là où la surface de l'eau est convexe <math>\;\big(</math>c'est-à-dire pour des crêtes<math>\big)\;</math> et sombres là elle est concave <math>\;\big(</math>c'est-à-dire pour des creux<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}les zones d'interférences destructives ressortent en lumière peu intense et sans contraste. <br> === Condition d'interférences destructives === {{Al|5}}On suppose, pour simplifier, que des ondes sinusoïdales partent des deux points <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> où les pointes frappent la surface de l'eau. <br>{{Al|5}}En notant <math>\;\lambda\;</math> la longueur d'onde, donner la condition pour que l'interférence en un point <math>\;M\;</math> situé aux distances <math>\;d_1\;</math> et <math>\;d_2\;</math> respectivement de <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2</math>, soit destructive. {{clr}} {{Solution | contenu = {{Al|5}}Les ondes issues de <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> sont en phase à leur création car les pointes frappent la surface de l'eau en même temps, « la phase de l'onde issue de <math>\;S_1\;</math> arrivant en <math>\;M\;</math> est <math>\;\varphi_1 =</math> <math>-\dfrac{2 \pi}{\lambda}\, d_1\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les ondes issues de <math>\;\color{transparent}{S_1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{S_2}\;</math> sont en phase à leur création car les pointes frappent la surface de l'eau en même temps, }}« celle de l'onde issue de <math>\;S_2\;</math> arrivant en <math>\;M\;</math> est <math>\;\varphi_2 = -\dfrac{2 \pi}{\lambda}\, d_2\;</math>» d'où <center>un déphasage en <math>\;M</math>, «<math>\;\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = -\dfrac{2 \pi}{\lambda} \left( d_2 - d_1 \right)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'interférence en <math>\;M\;</math> sera destructive si le déphasage « mathématique »<ref name="Déphasage mathématique"> Le déphasage «<math>\;\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = -k \left( d_2 - d_1 \right)\;</math>» avec <math>\;k = \dfrac{2\,\pi}{\lambda}\;</math> fréquence spatiale est qualifié de « mathématique » <math>\;\big(</math>appellation personnelle<math>\big)\;</math> pour le distinguer du déphasage réel {{Nobr|<math>\;\big(</math>le}} seul observable<math>\big)\;</math> qualifié de « physique » <math>\;\big(</math>également appellation personnelle<math>\big)</math>.</ref> en <math>\;M\;</math> est « égale à <math>\;\pi\;</math> à un multiple de <math>\;2\, \pi\;</math> près » ce qui se réécrit selon «<math>\;\Delta \varphi = (2\, m + 1)\, \pi,</math> <math>\;m\, \in \mathbb{Z}\;</math>» ou <br>{{Al|9}}{{Transparent|l'interférence en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sera destructive si le déphasage « mathématique » en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est « égale à <math>\;\color{transparent}{\pi}\;</math> à un multiple de <math>\;\color{transparent}{2\, \pi}\;</math> près » ce qui se réécrit selon }}«<math>\;-\dfrac{2\, \pi}{\lambda} \left( d_2 - d_1 \right) =</math> <math>(2\, m + 1)\, \pi\;</math>» soit encore <center>une différence de marche «<math>\;\delta = d_1 - d_2 = (2\, m + 1)\, \dfrac{\lambda}{2},\; m\, \in \mathbb{Z}\;</math>».</center>}} === Lieu d'interférences destructives === {{Al|5}}Chaque lieu des points vérifiant cette condition est une courbe que l'on appelle dans la suite « ligne d'interférences destructives ». <br>{{Al|5}}Les lignes d'interférences destructives sont représentées en gris sur la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Interférences_sur_une_cuve_à_ondes|figure de droite d'introduction de cet exercice]] ». {{Al|5}}Les demi-droites de l'axe <math>\;(x'x)\;</math> définies par <math>\;x < -\dfrac{a}{2}\;</math> et <math>\;x > \dfrac{a}{2}\;</math> étant des lignes d'interférences destructives, en déduire un « renseignement sur <math>\;\dfrac{a}{\lambda}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Les demi-droites de l'axe <math>\;\color{transparent}{(x'x)}\;</math> définies par <math>\;\color{transparent}{x < -\dfrac{a}{2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{x > \dfrac{a}{2}}\;</math> étant des lignes d'interférences destructives, }}quel est l'intervalle de variation de <math>\;d_1 - d_2\;</math> sur le segment <math>\;\left[ S_1S_2 \right]</math> ? {{Al|5}}{{Transparent|Les demi-droites de l'axe <math>\;\color{transparent}{(x'x)}\;</math> définies par <math>\;\color{transparent}{x < -\dfrac{a}{2}}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{x > \dfrac{a}{2}}\;</math> étant des lignes d'interférences destructives, }}Déduire de la figure la « valeur de <math>\;\dfrac{a}{\lambda}\;</math>». {{Solution | contenu = {{Al|5}}Soit <math>\;M\;</math> un point de la demi-droite de l'axe <math>\;x'x\;</math> définie par <math>\;x > \dfrac{a}{2}\;</math> nous avons «<math>\;d_1 - d_2 = S_1M - S_2M = S_1S_2 = a\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> un point de la demi-droite de l'axe <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> définie par <math>\;\color{transparent}{x > \dfrac{a}{2}}\;</math> }}le caractère destructif des interférences en ce point nous conduit à <math>\;a = (2\, n + 1) \, \dfrac{\lambda}{2},\; n\, \in \mathbb{N}\;</math> soit encore «<math>\;\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{1}{2} + n,\; n\, \in \mathbb{N}\;</math>» ; {{Al|5}}pour <math>\;M\;</math> point de la demi-droite de l'axe <math>\;x'x\;</math> définie par <math>\;x < -\dfrac{a}{2}\;</math> nous avons <math>\;d_1 - d_2 < 0</math>, un calcul identique à celui fait précédemment conduit à «<math>\;d_1 - d_2</math> <math>= -S_1S_2 = -a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> point de la demi-droite de l'axe <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> définie par <math>\;\color{transparent}{x < -\dfrac{a}{2}}\;</math> }}le caractère destructif des interférences en ce point nous donne <math>\;-a = (2\, m + 1)\, \dfrac{\lambda}{2},\; m\, \in \mathbb{Z}^{-}\;</math> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> point de la demi-droite de l'axe <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> définie par <math>\;\color{transparent}{x < -\dfrac{a}{2}}\;</math> le caractère destructif des interférences en ce point nous donne }}«<math>\;\dfrac{a}{\lambda} = -\dfrac{1}{2} - m,</math> <math>\; m\, \in \mathbb{Z}^{-}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{1}{2} + n,\; n\, \in \mathbb{N}\;</math>»<ref> En effet il suffit d'identifier «<math>\;-\dfrac{1}{2} - m,\; m\, \in \mathbb{Z}^{-}\;</math>» à «<math>\;\dfrac{1}{2} + n,\; n\, \in \mathbb{N}\;</math>» ce qui est réalisé pour <math>\;n = -m - 1</math>.</ref>. {{Al|5}}Pour <math>\;M\;</math> sur le segment <math>\;\left[ S_1S_2 \right]\;</math> variant de <math>\;S_1\;</math> à <math>\;S_2</math>, <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c} d_1 \nearrow\;\text{de}\;0\;\text{à}\;a\\ d_2 \searrow\;\;\text{de}\;a\;\text{à}\;0\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{r c} d_1 \nearrow\;\text{de}\!\!& 0\;\text{à}\;a\\ -d_2 \nearrow\;\text{de}\!\!& -a\;\text{à}\;0\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où « la différence de marche <math>\;\delta = d_1 - d_2 \nearrow\;</math> de <math>\;-a\;</math> à <math>\;a\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le segment <math>\;\color{transparent}{\left[ S_1S_2 \right]}\;</math> variant de <math>\;\color{transparent}{S_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{S_2}</math>, <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\begin{array}{c} d_1 \nearrow\;\text{de}\;0\;\text{à}\;a\\ d_2 \searrow\;\;\text{de}\;a\;\text{à}\;0\end{array}\right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\begin{array}{r c} d_1 \nearrow\;\text{de}\!\!& 0\;\text{à}\;a\\ -d_2 \nearrow\;\text{de}\!\!& -a\;\text{à}\;0\end{array}\right\rbrace}\;</math> d'où }}« l'ordre d'interférence correspondant <math>\;p = \dfrac{\delta}{\lambda} \nearrow\;</math> de <math>\;-\dfrac{a}{\lambda}\;</math> à <math>\;\dfrac{a}{\lambda}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le segment <math>\;\color{transparent}{\left[ S_1S_2 \right]}\;</math> variant de <math>\;\color{transparent}{S_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{S_2}</math>, }}or nous observons <math>\;8\;</math> lignes d'interférences destructives coupant le segment <math>\;\left[ S_1S_2 \right]</math>, correspondant aux ordres d'interférence <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le segment <math>\;\color{transparent}{\left[ S_1S_2 \right]}\;</math> variant de <math>\;\color{transparent}{S_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{S_2}</math>, or nous observons <math>\;\color{transparent}{8}\;</math> lignes d'interférences destructives coupant le segment <math>\;\color{transparent}{\left[ S_1S_2 \right]}</math>, }}«<math>\;\dfrac{1}{2},\; \dfrac{3}{2},\; \dfrac{5}{2},\; \dfrac{7}{2},\; -\dfrac{1}{2},\; -\dfrac{3}{2},\; -\dfrac{5}{2}\; \text{et}\; -\dfrac{7}{2}</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le segment <math>\;\color{transparent}{\left[ S_1S_2 \right]}\;</math> variant de <math>\;\color{transparent}{S_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{S_2}</math>, <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\begin{array}{c} d_1 \nearrow\;\text{de}\;0\;\text{à}\;a\\ d_2 \searrow\;\;\text{de}\;a\;\text{à}\;0\end{array}\right\rbrace}\;</math> <math>\color{transparent}{\Leftrightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace\begin{array}{r c} d_1 \nearrow\;\text{de}\!\!& 0\;\text{à}\;a\\ -d_2 \nearrow\;\text{de}\!\!& -a\;\text{à}\;0\end{array}\right\rbrace}\;</math> d'où }}nous en déduisons que «<math>\;\dfrac{a}{\lambda}\;</math>» est «<math>\;> \dfrac{7}{2}\;</math>» mais doit être «<math>\;\leqslant \dfrac{9}{2}\;</math>»<ref> Sinon nous observerions deux lignes d'interférences destructives d'ordre <math>\;\pm \dfrac{9}{2}\;</math> coupant le segment <math>\;\left[ S_1S_2 \right]</math>.</ref> ; {{Al|5}}comme nous avons vu précédemment que «<math>\;\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{1}{2} + n,\; n\, \in \mathbb{N}\;</math>» nous en déduisons «<math>\;\dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{9}{2}\;</math>».}} === Explication du contraste au voisinage de l'axe de symétrie ne passant pas par les sources === {{Al|5}}Expliquer pourquoi l'image est bien contrastée au voisinage de l'axe <math>\;(Oy)</math>. {{Solution | contenu = {{Al|5}}« Si <math>\;M\;</math> appartient à <math>\;Oy</math>, <math>\;d_1 = d_2\;</math>» et <u>l'interférence y est constructive correspondant à une image avec un extremum de luminosité</u> ; <br>{{Al|5}}« au voisinage de <math>\;Oy\;</math> l'amplitude de vibration étant moindre jusqu'à devenir quasi nulle sur la ligne d'interférences destructives voisine »<ref> « Sur <math>\;Oy\;</math>», <math>\;d_1 = d_2</math>, la <math>\;\searrow\;</math> de l'« amplitude de chaque onde due à l'étalement de la puissance sur la ride se propageant » est la même <math>\;\bigg(\!\searrow\;</math> en <math>\;\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{d_2}\!\bigg)\;</math> donnant une <math>\;\searrow\;</math> d'amplitude résultante <math>\;\big(</math>amplitude résultante égale au double de l'amplitude de chaque onde<math>\big)\;</math> également en <math>\;\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{d_2}</math> ; <br>{{Al|3}}« sur la ligne d'interférences destructives voisine », <math>\;d_1\;</math> restant proche de <math>\;d_2</math>, la différence de <math>\;\searrow\;</math> de l'« amplitude de chaque onde due à l'étalement de la puissance sur la ride se propageant » reste petite, donnant une amplitude résultante <math>\;\big(</math>égale à la valeur absolue de la différence des amplitudes de chaque onde<math>\big)\;</math> de valeur effectivement quasi nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« au voisinage de <math>\;\color{transparent}{Oy}\;</math> }}cela correspond donc à une <u>image à luminosité d'autant plus faible que la ligne d'interférences destructives voisines est proche</u> d'où : {{Al|5}}l'image de la ligne d'interférences constructives que constitue <math>\;Oy\;</math> se dégage assez nettement de l'image d'un voisinage de luminosité <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à la quasi obscurité observée sur la ligne d'interférences destructives voisine, ce qu'on résume en parlant de <u>bon contraste de l'image au voisinage de</u><math>\;Oy</math>.}} === Explication de l'alternance zones claires, zones sombres === {{Al|5}}On observe sur la « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Interférences_sur_une_cuve_à_ondes|figure de droite d'introduction de cet exercice]] » que les zones claires et sombres sont alternées en opposition de phase de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives. {{Al|5}}{{Transparent|On observe }}Le but de cette question est de comprendre pourquoi. ==== Expression des phases instantanées en M des ondes issues de chaque source ==== {{Al|5}}On suppose la phase initiale de chacune des ondes nulle à la source ; <br>{{Al|5}}exprimer les « phases instantanées <math>\;\varphi_1(t)\;</math> et <math>\;\varphi_2(t)\;</math> en <math>\;M\;</math> des ondes <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> provenant respectivement des sources <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math>» ; {{Al|5}}en déduire la « phase moyenne en <math>\;M</math>, <math>\;\varphi(t) = \dfrac{\varphi_1(t) + \varphi_2(t)}{2}\;</math> en fonction de <math>\;f</math>, <math>\;t</math>, <math>\;d_1</math>, <math>\;d_2\;</math> et <math>\;\lambda\;</math>» ; {{Al|5}}quelle est la nature d'une « courbe définie par la condition <math>\;\varphi(t) = cste\;</math> à <math>\;t\;</math> fixé »<ref name="Phase moyenne"> C.-à-d. que <math>\;\varphi(t)\;</math> dépend de <math>\;t\;</math> mais ne dépend pas du point <math>\;M</math>, <math>\;\varphi(t)\;</math> est donc une fonction de <math>\;t\;</math> seule.</ref> ? {{Solution | contenu = {{Al|5}}Les « phases instantanées de chaque onde sont respectivement <math>\;\varphi_1(t) = 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, d_1\;</math> et <math>\;\varphi_2(t) = 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, d_2\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit la « phase moyenne en <math>\;M</math>, <math>\;\varphi(t) = \dfrac{\varphi_1(t) + \varphi_2(t)}{2}\;</math> soit <math>\;\varphi(t) = 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda} (d_1 + d_2)\;</math>» ; {{Al|5}}une « courbe définie par la condition <math>\;\varphi(t) = cste\;</math> à <math>\;t\;</math> fixé »<ref name="Phase moyenne" /> est telle que «<math>\;d_1 + d_2 = cste\;</math>» c'est-à-dire l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> de la surface libre de la cuve telle que <math>\;S_1M + S_2M = cste\;</math>» ou encore <br>{{Al|9}}{{Transparent|une « courbe définie par la condition <math>\;\color{transparent}{\varphi(t) = cste}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{t}\;</math> fixé » est telle que «<math>\;\color{transparent}{d_1 + d_2 = cste}\;</math>» c'est-à-dire }}une ellipse de foyers</u> <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math><ref name="ellipse"> Une ellipse de « foyers <math>\;F_1\;</math> et <math>\;F_2</math>, points distants de <math>\;2\, c\;</math>», est l'« ensemble des points <math>\;M\;</math> du plan tel que <math>\;F_1M + F_2M = 2\, a\;</math> où <math>\;2\, a > 2\, c\;</math>», l'excentricité de l'ellipse étant définie par «<math>\;e =</math> <math>\dfrac{c}{a} < 1\;</math>» ; <br>{{Al|3}}l'ellipse possède un 1^er axe de symétrie <math>\;\left( F_1F_2 \right)\;</math> appelé « grand axe » <math>\;\big(</math>ou « axe focal »<math>\big)</math>, un centre de symétrie <math>\;C</math>, milieu de <math>\;\left[ F_1F_2 \right]\;</math> et un 2^nd axe de symétrie <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\left( F_1F_2 \right)\;</math> en <math>\;C\;</math> appelé petit axe <math>\;\big(</math>ou « axe non focal »<math>\big)</math>, les deux points de l'ellipse appartenant au grand axe <math>\;\big(</math>ou axe focal<math>\big)\;</math> étant à la <u>distance</u><math>\;a\;</math><u>du centre</u><math>\;C</math>, <math>\;\big(a\;</math> étant le demi grand axe<math>\big)</math>, les deux autres points de l'ellipse appartenant au petit axe <math>\;\big(</math>ou axe non focal<math>\big)\;</math> étant à une distance <math>\;b = \sqrt{a^2 - c^2}\;</math> du centre <math>\;C</math>, <math>\;\big(b\;</math> étant le demi petit axe<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}ceci constitue la définition « bifocale » d'une ellipse, cas particulier de coniques vues dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_bifocale_d'une_ellipse|définition bifocale d'une ellipse]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.}} ==== Représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M d'une ligne d'interférences destructives ==== {{Al|5}}On se place en un point <math>\;M\;</math> d'une ligne d'interférences destructives <math>\;(\mathcal{L})</math>. {{Al|5}}Représenter les vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel"> '''[[w:Augustin_Fresnel|Augustin Jean Fresnel]] (1788 - 1827)''' physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.</ref> correspondant aux ondes <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> en <math>\;M</math> ; {{Al|5}}faire apparaître, sur la figure, la phase moyenne <math>\;\varphi(t)</math>. {{Solution | contenu = [[File:Diagramme de Fresnel - ondes en opposition de phase.jpg|right|300px|Diagramme de Fresnel pour des ondes émises en phase par deux sources synchrones, en un point <math>\;M\;</math> plus proche de la source <math>\;(2)\;</math> que de la source <math>\;(1)</math>, en interférences destructives]] {{Al|5}}Voir diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> à l'instant <math>\;t\;</math> ci-contre : {{Al|5}}d'une part le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournant<ref name="vecteur de Fresnel tournant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Vecteur_de_Fresnel|vecteur de Fresnel]] (tournant) » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\vec{S}_2(t)\;</math> est de norme légèrement plus grande que celle du vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournant<ref name="vecteur de Fresnel tournant" /> <math>\;\vec{S}_1(t)</math> <math>\;\bigg\{</math>car le point <math>\;M\;</math> étant plus proche de la source <math>\;(2)\;</math> que de la source <math>\;(1)</math>, la <math>\;\searrow\;</math> de l'amplitude de l'onde émise par <math>\;S_1\;</math> est plus importante que celle de l'amplitude de l'onde émise par <math>\;S_2\;</math>, <math>\;\searrow\;</math> d'amplitude en <math>\;\dfrac{1}{d}\;</math> due à l'« étalement de la puissance sur la ride se propageant »<math>\bigg\}\;</math> et {{Al|5}}d'autre part les vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournants<ref name="vecteur de Fresnel tournant" /> <math>\;\vec{S}_2(t)\;</math> et <math>\;\vec{S}_1(t)\;</math> ont même support et sont de sens opposés <math>\;\big\{</math>car le point <math>\;M\;</math> étant d'interférences destructives, le déphasage « mathématique »<ref name="Déphasage mathématique" /> «<math>\;\varphi(t) - \varphi(t) \equiv \pi \!\!\pmod{2\, \pi}\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}on y a représenté la « phase moyenne <math>\;\varphi(t) = \dfrac{\varphi_1(t) + \varphi_2(t)}{2}\;</math>» en tiretés, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on y a représenté }}la direction est <math>\;\perp\;</math> à la direction commune des deux vecteurs de Fresnel<ref name="Fresnel" /> tournants <math>\;\vec{S}_2(t)\;</math> et <math>\;\vec{S}_1(t)</math>.}} ==== Représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M' ou M’’, de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives ==== {{Al|5}}Que devient cette figure si l'on se place en un point <math>\;M'\;</math> proche de <math>\;M</math>, du même côté de <math>\;(\mathcal{L})\;</math> que <math>\;S_1\;</math> <ref name="Phase moyenne constante"> On supposera que <math>\;\varphi\;</math> a la même valeur en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'</math>.</ref> ou, {{Al|5}}{{Transparent|Que devient cette figure si l'on se place }}en un point <math>\;M''\;</math> proche de <math>\;M</math>, situé du même côté de <math>\;(\mathcal{L})\;</math> que <math>\;S_2\;</math><ref name="Phase moyenne constante" /> ? {{Solution | contenu = [[File:Cuve à ondes - franges d'interférences destructives.jpg|right|400px|Franges d'interférences destructives sur cuve à ondes et positionnement des points <math>\;M'\;</math> et <math>\;M''\;</math> proches d'un point <math>\;M\;</math> en interférences destructives, respectivement du côté de la source <math>\;(1)\;</math> et de la source <math>\;(2)</math>]] [[File:Diagramme de Fresnel - ondes en opposition de phase bis.jpg|left|300px|Diagramme de Fresnel pour des ondes émises en phase par deux sources synchrones, en un point <math>\;M'\;</math> proche d'un point <math>\;M\;</math> en interférences destructives, <math>\;M'\;</math> étant situé du côté de la source <math>\;(1)</math>]] [[File:Diagramme de Fresnel - ondes en opposition de phase ter.jpg|left|300px|Diagramme de Fresnel pour des ondes émises en phase par deux sources synchrones, en un point <math>\;M''\;</math> proche d'un point <math>\;M\;</math> en interférences destructives, <math>\;M''\;</math> étant situé du côté de la source <math>\;(2)</math>]] {{Al|5}}<math>\;M'</math>, <math>\;M\;</math> et <math>\;M''\;</math> sont choisis tels que <math>\;\varphi(t)\;</math> reste constante à <math>\;t\;</math> fixé, ils sont donc sur une « <u>ellipse de foyers</u><math>\;S_1\;</math><u>et</u><math>\;S_2\;</math><u>pour laquelle</u><math>\;O\;</math><u>en est le centre de symétrie</u>, l'axe <math>\;Ox\;</math> l'axe focal et <math>\;Oy\;</math> l'axe non focal »<ref> Ce sont aussi les foyers, centre de symétrie, axe focal et axe non focal des branches d'hyperboles correspondant aux lignes d'interférences destructives.</ref> <br>{{Al|5}}<math>\big(</math>voir schéma ci-contre à droite où figurent les lignes d'interférences destructives ainsi que le lieu des points à phase moyenne indépendante de <math>\;d_1\;</math> et <math>\;d_2\big)</math> : {{Al|5}}<math>\blacktriangleright</math><math>\;M'\;</math> étant du même côté de <math>\;(\mathcal{L})\;</math> que <math>\;S_1</math>, on en déduit que <math>\;M'\;</math> est plus proche de <math>\;S_1\;</math> que ne l'est <math>\;M\;</math> <math>\big\{</math>et plus éloigné de <math>\;S_2\;</math> que ne l'est <math>\;M\big\}\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} {d'}_{\!1} < d_1 \\ {d'}_{\!2} > d_2 \end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}</math><math>\succ\;</math>«<math>\;2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, {d'}_{\!1} > 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, d_1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{\varphi'}_{\!1}(t) > \varphi_1(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}</math><math>\succ\;</math>«<math>\;2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, {d'}_{\!2} < 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, d_2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{\varphi'}_{\!2}(t) < \varphi_2(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}</math>on en déduit le diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> ci-contre à gauche, le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> résultant faisant l'angle, avec l'axe de référence, «<math>\;\varphi'(t) = 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, ({d'}_{\!1} + {d'}_{\!2})\;</math>» lequel est égal à {{Nobr|«<math>\;\varphi(t)</math>}} <math>= 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, (d_1 + d_2)\;</math>», <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> étant sur la même ellipse de foyers <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> vérifiant <math>\;d_1 + d_2 = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{d'}_{\!1} + {d'}_{\!2} = d_1 + d_2\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright</math><math>\;M''\;</math> étant du même côté de <math>\;(\mathcal{L})\;</math> que <math>\;S_2</math>, on en déduit que <math>\;M''\;</math> est plus proche de <math>\;S_2\;</math> que ne l'est <math>\;M\;</math> <math>\big\{</math>et plus éloigné de <math>\;S_1\;</math> que ne l'est <math>\;M\big\}\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} {d''}_{\!\!1} > d_1 \\ {d''}_{\!\!2} < d_2 \end{array}\right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}</math><math>\succ\;</math>«<math>\;2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, {d''}_{\!\!1} < 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, d_1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{\varphi''}_{\!\!1}(t) < \varphi_1(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}</math><math>\succ\;</math>«<math>\;2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, {d''}_{\!\!2} > 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, d_2\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{\varphi''}_{\!\!2}(t) > \varphi_2(t)\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}</math>on en déduit le diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel" /> ci-contre à gauche, le vecteur de Fresnel<ref name="Fresnel" /> résultant faisant l'angle, avec l'axe de référence, «<math>\;\varphi''(t) \pm \pi = 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, ({d''}_{\!\!1} + {d''}_{\!\!2}) \pm \pi\;</math>» lequel est égal à «<math>\;\varphi(t) = 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, (d_1 + d_2) \pm \pi\;</math>», <math>\;M''\;</math> et <math>\;M\;</math> étant sur la même ellipse de foyers <math>\;S_1\;</math> et <math>\;S_2\;</math> vérifiant <math>\;d_1 + d_2 = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;{d''}_{\!\!1} + {d''}_{\!\!2} = d_1 + d_2\;</math>». }} ==== Conséquences sur les vibrations en M' et M’’ situés de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives ==== {{Al|5}}Que peut-on dire des vibrations en <math>\;M'\;</math> et <math>\;M''\;</math><ref> On supposera pour simplifier que les deux ondes ont même amplitude.</ref> ? {{Solution | contenu = {{Al|5}}Compte-tenu des deux diagrammes de Fresnel<ref name="Fresnel" /> établis dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Représentation_des_vecteurs_de_Fresnel_associés_aux_ondes_émises_par_chaque_source_en_un_point_M'_ou_M’’,_de_part_et_d'autre_d'une_ligne_d'interférences_destructives|représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M' ou M'', de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives]] » de cet exercice, on constate que « les vibrations en <math>\;M'\;</math> et <math>\;M''\;</math> sont <u>en opposition de phase</u> », {{Al|5}}l'onde résultante en <math>\;M'\;</math> s'écrivant «<math>\;s_{\text{résult}}(M',\, t) = A'(M')\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, ({d'}_{\!1} + {d'}_{\!2}) \right] = A'(M')\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, (d_1 + d_2) \right]\;</math>» où <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'onde résultante en <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_{\text{résult}}(M',\, t) = A'(M')\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, ({d'}_{\!1} + {d'}_{\!2}) \right]}</math> }}«<math>\;A'(M') = 2\, A(M)\, \cos\! \left[ {\varphi'}_{\!2}(t) - {\varphi'}_{\!1}(t) \right]\;</math>» avec <math>\;A(M)\;</math> l'amplitude commune des deux ondes au point <math>\;M\;</math> <ref name="amplitude d'amplitude d'onde résultante par diagramme de Fresnel"> Revoir le calcul d'amplitude d'onde résultante par diagramme de Fresnel quand les deux ondes composantes ont même amplitude dans le chap.<math>5</math> [[Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence#Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude|Détermination directe de l'amplitude résultante par diagramme de Fresnel dans le cas de même amplitude]] de la leçon « [[Signaux physiques (PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>, {{Al|22}}celle en <math>\;M''\;</math> s'écrivant «<math>\;s_{\text{résult}}(M'',\, t) = A''(M'')\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, ({d''}_{\!\!1} + {d''}_{\!\!2}) + \pi \right] = A''(M'')\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, (d_1 + d_2) + \pi \right]\;</math>» où <br>{{Al|22}}{{Transparent|celle en <math>\;\color{transparent}{M''}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_{\text{résult}}(M'',\, t) = A''(M'')\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t - \dfrac{\pi}{\lambda}\, ({d''}_{\!\!1} + {d''}_{\!\!2}) + \pi \right]}</math> }}«<math>\;A''(M'') = -2\, A(M)\, \cos\! \left[ {\varphi''}_{\!\!2}(t) - {\varphi''}_{\!\!1}(t) \right]\;</math>»<ref name="amplitude d'amplitude d'onde résultante par diagramme de Fresnel" />{{,}}<ref> L'angle <math>\;{\varphi''}_{\!\!2}(t) - {\varphi''}_{\!\!1}(t)\;</math> étant de valeur absolue légèrement <math>\;> \pi\;</math> il faut prendre la valeur absolue du cosinus ou multiplier par <math>\;-1</math>.</ref> avec <math>\;A(M)\;</math> l'amplitude commune des deux ondes au point <math>\;M</math>.}} == Interprétation d'expériences d'interférences ultrasonores == [[File:Interférences d'ondes ultrasonores - dispositif.jpg|thumb|520px|Dispositif expérimental d'expériences d'ondes ultrasonores avec repérage angulaire du point d'observation]] {{Al|5}}Une expérience d'interférences d'ondes ultrasonores est réalisée comme rappelé ci-contre, <br>{{Al|5}}la fréquence d'émission est égale à <math>\;40,0\; kHz</math>, ceci correspond à une longueur d'onde <math>\;\lambda = 8,5\; mm\;</math> <ref> La connaissance de la longueur d'onde simultanément à celle de la fréquence permettrait d'en déduire la célérité du son selon <math>\;c = \lambda\; f =</math> <math>8,5\; 10^{-3} \times 40,0\; 10^3 \simeq 340\; m\! \cdot\! s^{-1}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}sauf dans la dernière question, les sources <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> émettent des ondes acoustiques en phase. {{Al|5}}On note <math>\;O\;</math> le point milieu du segment joignant les deux émetteurs distants de <math>\;a = 40,0\; mm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On note }}<math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> l'axe situé sur la médiatrice du segment et orienté vers la droite <math>\;\big(</math>axe non représenté sur le schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}On déplace le microphone sur un grand cercle de rayon <math>\;r = 0,50\; m\;</math> et <br>{{Al|5}}on relève l'évolution de l'amplitude en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> que fait la direction <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>. === Distance « angulaire » interfrange === {{Al|5}}Faire une figure faisant apparaître les points <math>\;O</math>, <math>\;S_1</math>, <math>\;S_2\;</math> <math>\big(</math>positions des deux émetteurs supposés ponctuels<math>\big)\;</math> et <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>position du récepteur supposé ponctuel<math>\big)</math>, pour un petit angle <math>\;\theta\;</math> non nul, <math>\;M\;</math> étant situé du même côté de la médiatrice <math>\;Ox\;</math> de <math>\;\left[ S_1S_2 \right]\;</math> que le point <math>\;S_2</math>. {{Al|5}}Tracer les arcs de cercle de centre <math>\;M\;</math> passant par <math>\;S_2\;</math> et de centre <math>\;M\;</math> passant par <math>\;S_1</math> <math>\;\big\{</math>on notera respectivement <math>\;H_2\;</math> et <math>\;H_1\;</math> leur intersection avec la droite <math>\;(OM)\big\}</math>. {{Al|5}}Que représente <math>\;H_1H_2\;</math> pour le phénomène d'interférences ? {{Al|5}}Puisque <math>\;r \gg a</math>, on peut assimiler respectivement <math>\;H_1\;</math> et <math>\;H_2\;</math> avec les projetés orthogonaux de <math>\;S_1\;</math> et de <math>\;S_2\;</math> sur <math>\;(OM)</math>. {{Al|5}}En déduire une expression du déphasage entre les ondes reçues en <math>\;M\;</math> en fonction de <math>\;\theta</math>, <math>\;a\;</math> et <math>\;\lambda</math>. {{Al|5}}Quelles sont, dans l'intervalle <math>\;\left[ -30 \text{°},\; +30 \text{°} \right]</math>, les valeurs de <math>\;\theta\;</math> où on observe un maximum d'amplitude résultante ? {{Solution|contenu = [[File:Interférences d'ondes ultrasonores - repérage angulaire.jpg|thumb|left|300px|Description du repérage angulaire du point <math>\;M\;</math> d'observation]] {{Al|5}}Figure de repérage demandée <math>\;\big(</math>voir ci-contre à gauche<math>\big)</math> : [[File:Interférences d'ondes ultrasonores - différence de marche.jpg|thumb|300px|Schéma d'évaluation de la différence de marche au point <math>\;M\;</math> par utilisation de son repérage angulaire]] {{Al|5}}Tracé des arcs de cercle de centre <math>\;M\;</math> passant par <math>\;S_2\;</math> et de centre <math>\;M\;</math> passant par <math>\;S_1</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre à droite<math>\big)</math> ; {{Al|5}}«<math>\;H_1H_2\;</math> est la différence <math>\;S_1M - S_2M = d_1 - d_2\;</math>» soit encore la « <u>différence de marche</u> » de l'onde <math>\;(1)\;</math> relativement à l'onde <math>\;(2)\;</math> <ref> La différence de marche peut être définie comme la différence de parcours de n'importe quelle onde relativement à l'autre, la définition adoptée ici est inversée relativement à celle exposée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Notion_de_différence_de_marche|notion de différence de marche]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> d'où «<math>\;H_1H_2 = \delta = d_1 - d_2\;</math>». {{Al|5}}Pouvant confondre <math>\;H_1\;</math> avec le projeté orthogonal <math>\;K_1\;</math><ref name="non représenté"> Non représenté pour éviter la surcharge.</ref> de <math>\;S_1\;</math> sur <math>\;(OM)\;</math> ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pouvant confondre }}<math>\;H_2\;</math> avec le projeté orthogonal <math>\;K_2\;</math><ref name="non représenté" /> de <math>\;S_2\;</math> sur <math>\;(OM)\;</math> <ref> Ce qui nécessite que <math>\;r \gg a</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}remarquant que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \widehat{OS_1K_1} = \widehat{(\overrightarrow{Ox}\;\text{,}\;\overrightarrow{OM})} \\ \widehat{OS_2K_2} = \widehat{(\overrightarrow{Ox}\;\text{,}\;\overrightarrow{OM})} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> Selon la propriété : « deux angles à côtés respectivement <math>\;\perp\;</math> sont égaux ».</ref> soit encore <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \widehat{OS_1H_1} \simeq \theta \\ \widehat{OS_2H_2} \simeq \theta \end{array} \right\rbrace</math>, on en déduit «<math>\;H_1O</math> <math>\simeq S_1O\, \sin(\theta) = \dfrac{a}{2}\, \sin(\theta)\;</math>» ainsi que «<math>\;H_2O \simeq S_2O\, \sin(\theta) = \dfrac{a}{2}\, \sin(\theta)\;</math>» d'où «<math>\;H_1H_2 =</math> <math>H_1O + OH_2 = 2\, H_1O \simeq 2\, \dfrac{a}{2}\, \sin(\theta)\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\delta = H_1H_2 \simeq a\, \sin(\theta)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}sachant d'autre part que le déphasage «<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 = -k\, (d_2 - d_1) = k\, \delta\;</math>» <ref> On définit le déphasage comme l'avance de phase de l'onde <math>\;(2)\;</math> sur l'onde <math>\;(1)\;</math> ce qui supprime le signe <math>\text{« }-\text{ »}</math>, la différence de marche ayant été définie comme la différence de distance parcourue par l'onde <math>\;(1)\;</math> moins celle parcourue par l'onde <math>\;(2)</math>.</ref>, «<math>\;k = \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\;</math> étant la pulsation spatiale », on en déduit finalement <center>«<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 = \dfrac{2\, \pi}{\lambda}\, \delta \simeq \dfrac{2\, \pi\, a}{\lambda}\, \sin(\theta)</math>».</center> {{Al|5}}Les positions des maxima d'amplitude résultante <math>\;\big(</math>ou d'interférences constructives<math>\big)\;</math> correspondent à «<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 = p\, 2\, \pi,\; p \in \mathbb{Z}\;</math>», soit, avec l'explicitation du déphasage obtenue précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des maxima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences constructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à }}la « direction d'interférences constructives d'ordre <math>\;p</math>, <math>\;\theta_p\;</math>», définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des maxima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences constructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à la « direction }}«<math>\;\sin(\theta_p) = p\, \dfrac{\lambda}{a},\qquad\, p \in \mathbb{Z}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des maxima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences constructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à la « direction «}}<math>\;\color{transparent}{\sin(\theta_p)}</math><math>\;= p\, \sin(\alpha),\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des maxima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences constructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à la « direction «}}<math>\;\color{transparent}{\sin(\theta_p)}</math>«<math>\;\alpha = \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math> étant l'échelle angulaire du phénomène d'interférences » ; * « pour <math>\;p = 0</math>, <math>\;\theta_0 = 0\;</math> <ref> On regarde dans la direction de l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>.</ref> on a interférences constructives », * l'« échelle angulaire valant <math>\;\alpha = \arcsin\! \left( \dfrac{8,5}{40} \right) \simeq 0,214\; rad \simeq 12,3\; \text{°}\;</math>», nous observons des interférences constructives pour «<math>\;\theta_{\pm 1} = \pm 12,3\; \text{°}\;</math>» et <br>{{Transparent|l'« échelle angulaire valant <math>\;\color{transparent}{\alpha = \arcsin\! \left( \dfrac{8,5}{40} \right) \simeq 0,214\; rad \simeq 12,3\; \text{°}}\;</math>», nous observons des interférences constructives pour }}«<math>\;\theta_{\pm 2} = \pm \arcsin\! \left( 2 \times \dfrac{8,5}{40} \right) \simeq \pm 0,439\; rad \simeq \pm 25,2\; \text{°}\;</math>» <ref> À noter que l'on utilise l'échelle angulaire uniquement pour <math>\;p = \pm 1</math>, pour les autres ordres entiers non nuls on calcule directement les directions angulaires à partir de la différence de marche <math>\;\big(</math>ou du déphasage<math>\big)\;</math> selon <math>\;\delta = a\, \sin(\theta) = p\, \lambda</math>, on remarque néanmoins que <math>\;\theta_{\pm 2} \simeq \pm 2\, \alpha</math>, ce qui fait que le nom de distance « angulaire » interfrange que l'on pourrait donner à <math>\;\alpha\;</math> garde un sens <math>\;\big(</math>même si ce sens n'est qu'approché<math>\big)</math>.</ref>, <br>{{Transparent|l'« échelle angulaire valant <math>\;\color{transparent}{\alpha = \arcsin\! \left( \dfrac{8,5}{40} \right) \simeq 0,214\; rad \simeq 12,3\; \text{°}}\;</math>», }}les suivantes ne faisant pas partie de l'intervalle d'étude car «<math>\;\theta_{\pm 3} = \pm \arcsin\! \left( 3 \times \dfrac{8,5}{40} \right) \simeq \pm 0,691\; rad \simeq \pm 39,6\; \text{°}\;</math>» <ref> Par contre si le domaine d'étude englobait ces franges d'interférences constructives d'ordre <math>\;\pm 3</math>, l'approximation <math>\;\cancel{\theta_{\pm 3} \simeq \pm 3\, \alpha}\;</math> deviendrait fausse car ces angles deviennent trop grands pour confondre le sinus et son angle en rad ; <br>{{Al|3}}pour ces valeurs non petites le nom de distance « angulaire » interfrange que l'on pourrait donné à <math>\;\alpha\;</math> perd alors sa signification car <math>\;\theta_{\pm 3} \simeq 39,6\; \text{°} \neq \pm 3\, \alpha \simeq 36,9\; \text{°}</math>.</ref> ; {{Al|5}}il y a donc au total « cinq franges d'interférences constructives » dans le domaine d'étude. }} === Minima d'amplitude === {{Al|5}}Sur l'intervalle d'étude précédent, quelles sont les positions où un minimum d'amplitude est attendu ? {{Al|5}}Si les ondes reçues ont même amplitude, quelle valeur d'amplitude minimale est prévue par la théorie ? {{Al|5}}Quels défauts peuvent expliquer un écart entre prévision et observation ? {{Solution|contenu = {{Al|5}}Les positions des minima d'amplitude résultante <math>\;\big(</math>ou d'interférences destructives<math>\big)\;</math> correspondent à «<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 = \pi + p\, 2\, \pi,\; p \in \mathbb{Z}\;</math>», soit, avec l'explicitation du déphasage obtenue précédemment, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des minima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences destructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à }}la « direction d'interférences destructives d'ordre <math>\;p + \dfrac{1}{2}</math>, <math>\;\theta_{p + \frac{1}{2}}\;</math>», définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des minima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences destructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à la « direction }}«<math>\;\sin\! \left(\theta_{p + \frac{1}{2}} \right) = \left( p + \dfrac{1}{2} \right) \dfrac{\lambda}{a},\qquad\, p \in \mathbb{Z}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des minima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences destructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à la « direction «}}<math>\;\color{transparent}{\sin\! \left(\theta_{p + \frac{1}{2}} \right)}</math><math>\;= \left( p + \dfrac{1}{2} \right) \sin(\alpha),\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les positions des minima d'amplitude résultante <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'interférences destructives<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> correspondent à la « direction «}}<math>\;\color{transparent}{\sin\! \left(\theta_{p + \frac{1}{2}} \right)}</math>«<math>\;\alpha = \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math> l'échelle angulaire du phénomène d'interférences » introduite dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Distance_«_angulaire_»_interfrange|distance “ angulaire ” interfrange]] » plus haut dans cet exercice ; {{Al|5}}nous observons des interférences destructives pour : * «<math>\;\theta_{\pm \frac{1}{2}} = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{2\, a} \right) = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{8,5}{2 \times 40} \right) \simeq \pm 0,106\; rad \simeq \pm 6,1\; \text{°}\;</math>» <ref> Compte tenu de la valeur de l'échelle angulaire, on remarque que <math>\;\theta_{\pm \frac{1}{2}} \simeq \pm \dfrac{\alpha}{2}</math>.</ref> et * «<math>\;\theta_{\pm \frac{3}{2}} = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{3\, \lambda}{2\, a} \right) = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{3 \times 8,5}{2 \times 40} \right) \simeq \pm 0,324\; rad \simeq \pm 18,6\; \text{°}\;</math>» alors que le suivant «<math>\;\theta_{\pm \frac{5}{2}} = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{5\, \lambda}{2\, a} \right) = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{5 \times 8,5}{2 \times 40} \right)</math> <math>\simeq \pm 0,560\; rad \simeq \pm 32,1\; \text{°}\;</math>» ainsi que <br>{{Transparent|«<math>\;\color{transparent}{\theta_{\pm \frac{3}{2}} = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{3\, \lambda}{2\, a} \right) = \pm \arcsin\! \left( \dfrac{3 \times 8,5}{2 \times 40} \right) \simeq \pm 0,324\; rad \simeq \pm 18,6\; \text{°}}\;</math>» alors que }}les autres de valeur absolue d'ordre plus élevée ne sont pas dans l'intervalle d'étude ; {{Al|5}}il y a donc au total « quatre franges d'interférences destructives » dans le domaine d'étude. {{Al|5}}Si les ondes reçues au point considéré ont même amplitude en étant en opposition de phase <math>\;\big(</math>caractérisant des interférences destructives<math>\big)\;</math> l'amplitude résultante doit être nulle alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si les ondes reçues au point considéré ont même amplitude }}en étant en phase <math>\;\big(</math>caractérisant des interférences constructives<math>\big)\;</math> l'amplitude résultante est le double de l'amplitude commune, {{Al|5}}{{Transparent|Si les ondes reçues au point considéré ont même amplitude }}or l'état d'amplitude nulle est particulièrement sensible à tout défaut, par exemple : * l'amplitude réelle étant une fonction « décroissante » en <math>\;\dfrac{1}{r}\;</math> <ref> Car la puissance émise par une source se retrouve, à la distance <math>\;r</math>, répartie sur la sphère de centre la source et de rayon <math>\;r</math>, la puissance étant <math>\;\propto\;</math> au carré de l'amplitude, cette dernière est <math>\;\propto\;</math> à la racine carrée de l'aire de la sphère <math>\big\{</math>laquelle vaut <math>\;4\, \pi\, r^2\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (aire d'une sphère) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}</math>.</ref> mais, le seul endroit où les amplitudes peuvent être rigoureusement les mêmes, si on tient compte de la <math>\;\searrow\;</math> de l'amplitude de l'onde avec la distance, correspond à une différence de marche nulle c'est-à-dire à une interférence constructive <math>\;\big\{</math>toutefois ici, les plus faibles différences envisagées entre <math>\;r_1\;</math> et <math>\;r_2\;</math> pour pouvoir observer des interférences destructives restant minimes, ce ne peut être la raison principale de l'écart entre la prévision et l'observation<math>\big\}</math>, * la présence d'ondes parasites dues à des réflexions sur divers obstacles alentour <math>\;\big\{</math>peuvent être considérées comme une des raisons de l'écart entre la prévision et l'observation sans être la principale<math>\big\}</math> et * la taille du récepteur <math>\;\big(</math>les lieux d'annulation étant ponctuels alors qu'un microphone capte sur une certaine surface et donne une réponse correspondant à la moyenne captée<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>doit être considérée comme une des raisons de l'écart entre la prévision et l'observation, vraisemblablement la principale<math>\big\}</math>. }} === Inversion de phase === {{Al|5}}Le dispositif permet d'« inverser » <ref> On rappelle qu'« inverser » en électronique est <u>multiplier par</u><math>\;-1</math>.</ref> le signal émis par l'un des émetteurs <math>\big(</math>ce qui revient à le déphaser de <math>\;\pi\big)</math>. {{Al|5}}Quel est l'état d'interférences sur l'axe <math>\;Ox</math> ? {{Al|5}}Quelles sont les positions des nouveaux points de maximum et de minimum d'amplitude ? {{Al|5}}Qu'advient-il si l'on inverse également l'autre signal ? {{Solution|contenu = {{Al|5}}Sur l'axe <math>\;Ox</math>, la différence de parcours est « nulle » <ref> C'est aussi la différence de marche mais attention le lien entre déphasage et différence de marche n'est plus celui cité jusqu'à présent, il faut le remplacer par «<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 = \pi + k\, \delta\;</math>» en définissant la phase de la source <math>\;(2)\;</math> en avance de <math>\;\pi\;</math> sur celle de la source <math>\;(1)</math>.</ref>, on retrouve donc, au point <math>\;M</math>, le déphasage initial existant entre les sources ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|Sur l'axe <math>\;\color{transparent}{Ox}</math>, la différence de parcours est « nulle », }}on observe donc des interférences destructives à amplitude nulle <math>\;\big(</math>si on néglige les deux derniers défauts énoncés dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Minima_d'amplitude|minima d'amplitude]] » plus haut dans cet exercice<math>\big)</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|Sur l'axe <math>\;\color{transparent}{Ox}</math>, la différence de parcours est « nulle », }}ajouter <math>\;\pi\;</math> au déphasage revient à intervertir les lieux d'interférences constructives et ceux d'interférences destructives. {{Al|5}}Si on inverse également l'autre signal cela revient à rétablir la mise en phase des deux sources ; on retrouve donc les observations initiales. }} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Battements/]] }} gklx1h7tnew362bpqd7yhhe5modk3i4 0 61953 982783 973951 2026-05-13T13:42:11Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982783 wikitext text/x-wiki {{Exercice | titre = Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques | idfaculté = physique | numéro = 7 | chapitre = [[../../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]] | précédent = [[../Propagation d'un signal : Battements/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini/]] | niveau = 14 }} __TOC__ {{clr}} == Explication de la résonance d'ondes stationnaires sur une corde de Melde en évaluant les réflexions sur la poulie et le vibreur sans ou avec cœfficients d'atténuation == {{Al|5}}On considère l'expérience classique de la corde de Melde<ref name="Melde"> '''[[w:Franz_Melde|Franz Melde]] (1832 - 1901)''' physicien et professeur d'université allemand, essentiellement connu pour être l'auteur de l'expérience connue sous le nom d'[[w:Expérience_de_Melde|expérience de Melde]].</ref> tendue horizontalement selon l'axe <math>\;x'x\;</math> entre un vibreur <math>\;O\;</math> <ref> Choisi comme origine de l'axe <math>\;x'x</math>, ce dernier étant orienté vers l'autre extrémité c.-à-d. la poulie.</ref> engendrant un mouvement transversal <math>\;s_i(t) = a_0\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|On considère l'expérience classique de la corde de Melde tendue horizontalement selon l'axe <math>\;\color{transparent}{x'x}\;</math> entre }}une poulie <math>\;P\;</math> sur laquelle la corde s'appuie pour retenir un objet de masse <math>\;m\;</math> <ref> La tension de la corde est alors <math>\;T = m\, g\;</math> où <math>\;g\;</math> est l'intensité du champ de pesanteur local.</ref>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|On considère l'expérience classique de la corde de Melde }}l'axe de la poulie étant situé à la distance <math>\;L\;</math> du vibreur et la tension de la corde étant telle que son point de contact avec la poulie reste fixe ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>on se propose de prolonger l'étude du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Interprétation_par_superposition_d'une_onde_incidente_progressive_sinusoïdale_émise_par_une_extrémité_et_de_l'onde_réfléchie_sur_l'autre_extrémité_supposée_fixe|interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on se propose de prolonger l'étude }}montrant que l'onde réfléchie sur la poulie sans atténuation <math>\;(r)\;</math> se superposant à l'onde incidente émise par le vibreur <math>\;(i)\;</math> donne une onde résultante stationnaire <math>\;(1)\;</math> <math>\;s_1(M,\, t) =</math> <math>2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin(\omega\, t - k\, L + \varphi_0)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>on se propose de prolonger l'étude }}en remarquant toutefois que cette onde ne satisfaisant pas à la C.A.L<ref name="C.A.L."> Condition À la Limite ou Conditions Aux Limites.</ref>. imposée par le vibreur en <math>\;O\;</math> <ref> En effet <math>\;s_1(O,\, t) = -2\, a_0\, \sin(k\, L)\, \sin(\omega\, t - k\, L + \varphi_0) \neq s_i(O,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)</math>.</ref>, il est nécessaire d'envisager une réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste <math>\;s_i(O,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>avec cette réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde <math>\;(r')\;</math> se propageant vers la poulie, onde <math>\;(r')\;</math> qui se réfléchit sur <math>\;P\;</math> en une onde <math>\;(r'')\;</math> revenant vers <math>\;O\;</math> et la superposition des ondes <math>\;(r')\;</math> et <math>\;(r'')\;</math> donne une nouvelle onde résultante stationnaire <math>\;(2)\;</math> <math>\;s_2(M,\, t)\;</math> qu'il conviendra d'évaluer<ref name="voir chap7"> Pour cela on peut s'aider du paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Interprétation_du_phénomène_de_résonance_sur_une_corde_de_Melde_de_tension_et_de_longueur_fixées_pour_des_fréquences_particulières|interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>avec cette réflexion sur le vibreur }}la superposition des deux ondes stationnaires <math>\;s_1(M,\, t) + s_2(M,\, t)\;</math> ne satisfaisant pas à la C.A.L<ref name="C.A.L." />. imposée par le vibreur en <math>\;O</math>, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste <math>\;s_i(O,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur on obtient un nouvelle onde <math>\;(r''')\;</math> se propageant vers la poulie, onde <math>\;(r''')\;</math> qui se réfléchit sur <math>\;P\;</math> en une onde <math>\;(r^{IV})\;</math> revenant vers <math>\;O\;</math> et la superposition des ondes <math>\;(r''')\;</math> et <math>\;(r^{IV})\;</math> donne une nouvelle onde résultante stationnaire <math>\;(3)\;</math> <math>\;s_3(M,\, t)\;</math> qu'il conviendra d'évaluer<ref name="voir chap7" /> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>avec cette nouvelle réflexion sur le vibreur }}la superposition des trois ondes stationnaires <math>\;s_1(M,\, t) + s_2(M,\, t) + s_3(M,\,t)\;</math> ne satisfaisant pas à la C.A.L<ref name="C.A.L." />. imposée par le vibreur en <math>\;O</math>, il est nécessaire d'envisager une nouvelle réflexion sur le vibreur pour que le mouvement de ce dernier reste <math>\;s_i(O,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>etc <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Le but de cet exercice est de déterminer l'onde résultante, superposition des <math>\;n\;</math> 1^ers couples de réflexions sur la poulie <math>\;P\;</math> et le vibreur <math>\;O\;</math> «<math>\;s_{\text{tot},\, n} = \sum\limits_{q = 1}^n s_q(M,\, t)\;</math>» où «<math>\;s_q(M,\, t)\;</math> est l'onde stationnaire sinusoïdales superposant l'onde se propageant vers <math>\;P\;</math> après <math>\;(q - 1)\;</math> réflexions sur <math>\;O\;</math> et l'onde se propageant vers <math>\;O\;</math> après <math>\;q\;</math> réflexions sur <math>\;P\;</math>», puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le but de cet exercice est }}de rechercher la condition de résonance d'une telle onde. {{Al|5}}Nous ferons tout d'abord l'étude en considérant les réflexions parfaites <math>\;\big(</math>c'est-à-dire sans atténuation de l'amplitude<math>\big)\;</math> puis nous reprendrons l'étude <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous ferons tout d'abord l'étude }}en considérant que la réflexion sur <math>\;P\;</math> se fait avec un cœfficient de réflexion <math>\;\rho\;</math> et celle sur <math>\;O\;</math> avec un cœfficient de réflexion <math>\;\rho'</math>. === Étude du cas de réflexions parfaites sur la poulie et le vibreur === ==== Rappel de la démarche ==== {{Al|5}}Rappeler la démarche permettant d'établir le « signal <math>\;s_{r'}(M,\, t)\;</math> au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> de l'onde <math>\;(r')\;</math> réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur » à partir du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rappeler la démarche permettant d'établir le }}« signal <math>\;s_r(M,\, t)\;</math> au même point <math>\;M\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> de l'onde <math>\;(r)\;</math> réfléchie sur la poulie ». {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le signal, au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, de l'onde incidente <math>\;(i)</math>, à savoir «<math>\;s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)\;</math>» se réécrit, en arrivant sur <math>\;P</math>, «<math>\;s_i(P,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, L + \varphi_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)}\;</math>» }}il y est réfléchi en «<math>\;s_r(P,\, t) = -s_i(P,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t - k\, L + \varphi_0)\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)}\;</math>» il }}se propage en s'éloignant de <math>\;P\;</math> selon «<math>\;s_r(M,\, t) = s_r\! \left( P,\, t - \dfrac{L - x}{c} \right)\;</math>» se réécrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)}\;</math>» il se propage en s'éloignant de <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> selon }}«<math>\;s_r(M,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>» ; {{Al|5}}cette onde <math>\;(r)\;</math> de signal, au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;s_r(M,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>» se réécrit, arrivant en <math>\;O\;</math> «<math>\;s_r(O,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette onde <math>\;\color{transparent}{(r)}\;</math> de signal, au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{s_r(M,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)}\;</math>» }}se réfléchit sur le vibreur en «<math>\;s_{r'}(O,\, t) = -s_r(O,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette onde <math>\;\color{transparent}{(r)}\;</math> de signal, au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{s_r(M,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)}\;</math>» }}se propage en s'éloignant de <math>\;O\;</math> selon «<math>\;s_{r'}(M,\, t) = s_{r'}\! \left( O,\, t - \dfrac{x}{c} \right)\;</math>» se réécrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette onde <math>\;\color{transparent}{(r)}\;</math> de signal, au point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, «<math>\;\color{transparent}{s_r(M,\, t) = -a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)}\;</math>» se propage en s'éloignant de <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> selon }}«<math>\;s_{r'}(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>», d'où {{Al|5}}l'expression du signal, au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, de l'onde <math>\;(r')\;</math> réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur «<math>\;s_{r'}(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>». }} ==== Expression de l'onde stationnaire, superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie (r’’) sur la poulie ==== {{Al|5}}Remarquant que <math>\;s_{r'}(M,\, t)\;</math> se déduit de <math>\;s_i(M,\, t)\;</math> par simple déphasage, déterminer <math>-</math> sans calcul <math>-</math> le signal de l'onde résultante, superposition de l'onde <math>\;(r')\;</math> et de sa réfléchie <math>\;(r'')\;</math> sur la poulie, <math>\;s_2(M,\, t) = s_{r'}(M,\, t) + s_{r''}(M,\, t)\;</math> à partir de l'expression de <math>\;s_1(M,\, t)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Remarquant que <math>\;s_{r'}(M,\, t)\;</math> se déduit de <math>\;s_i(M,\, t)\;</math> par un simple déphasage égal à <math>\;-2\, k\, L\;</math> <ref> Nous ne tenons pas compte des deux réflexions qui induisent un déphasage supplémentaire de <math>\;2 \times \pi\;</math> car ce déphasage ne change pas l'état vibratoire.</ref>, il en découle le signal de l'onde résultante <math>\;s_2(M,\, t) = s_{r'}(M,\, t) + s_{r''}(M,\, t)\;</math> à partir de l'expression de <math>\;s_1(M,\, t) = 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin(\omega\, t - k\, L + \varphi_0)\;</math> par ajout du déphasage <math>\;-2\, k\, L\;</math> soit <center>«<math>\;s_2(M,\, t) = 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin(\omega\, t - 3\, k\, L + \varphi_0)\;</math>».</center> }} ==== Itération du procédé ==== {{Al|5}}Itérer le procédé utilisé précédemment pour obtenir <math>\;s_q(M,\, t)\;</math> le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers <math>\;P\;</math> après <math>\;(q - 1)\;</math> réflexions sur <math>\;O\;</math> et l'onde se propageant vers <math>\;O\;</math> après <math>\;q\;</math> réflexions sur <math>\;P\;</math> à partir de <math>\;s_1(M,\, t)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Itérant le procédé exposé précédemment on déduit <math>\;s_q(M,\, t)\;</math> le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers <math>\;P\;</math> après <math>\;(q - 1)\;</math> réflexions sur <math>\;O\;</math> et l'onde se propageant vers <math>\;O\;</math> après <math>\;q\;</math> réflexions sur <math>\;P\;</math> à partir de <math>\;s_1(M,\, t)\;</math> par ajout du déphasage <math>\;-(q - 1)\, 2\, k\, L\;</math> soit <center>«<math>\;s_q(M,\, t) = 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin\! \left[ \omega\, t - (2\, q - 1)\, k\, L + \varphi_0 \right]\;</math>».</center> }} ==== Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie ==== {{Al|5}}Exprimer le signal de l'onde résultante au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, superposition des <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après <math>\;n\;</math> réflexions sur la poulie <math>\;P\;</math> et <math>\;\left( n - 1 \right)\;</math> sur le vibreur <math>\;O\;</math> «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \sum\limits_{q = 1}^n s_q(M,\, t)\;</math>» ; {{Al|5}}vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme }}«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = S_n(t)\;\sin(k\, x - k\, L)\;</math>» en posant «<math>\;2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q) = S_n(t)\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le signal de l'onde résultante au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, superposition des <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après <math>\;n\;</math> réflexions sur la poulie <math>\;P\;</math> et <math>\;\left( n - 1 \right)\;</math> sur le vibreur <math>\;O\;</math> «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) =</math> <math>\sum\limits_{q = 1}^n s_q(M,\, t)\;</math>» se réécrit selon «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \sum\limits_{q = 1}^n \left\lbrace 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin\! \left[ \omega\, t - (2\, q - 1)\, k\, L + \varphi_0 \right] \right\rbrace\;</math>» soit, après mise en facteur de la partie commune à tous les termes de la somme <center>«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L) \left\lbrace \sum\limits_{q = 1}^n \sin\! \left[ \omega\, t - (2\, q - 1)\, k\, L + \varphi_0 \right] \right\rbrace\;</math>» ce qui est bien de la forme <br>{{Al|2}}«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = 2\, a_0\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)\;</math>» avec «<math>\;\varphi_q = - (2\, q - 1)\, k\, L + \varphi_0\;</math>» ou encore <br>«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = S_n(t)\;\sin(k\, x - k\, L)\;</math>» en posant «<math>\;2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q) = S_n(t)\;</math>».{{Al|28}}</center> }} ==== Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie ==== {{Al|5}}Dans le but d'évaluer <math>\;S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)\;</math> nous introduisons la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{S_n}(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \exp( i\, \omega\, t + \varphi_q)\;</math> dont <math>\;S_n(t)\;</math> est la partie imaginaire, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans le but d'évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons }}l'amplitude complexe <math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \exp( i\, \varphi_q)\;</math> telle que <math>\;\underline{S_n}(t) = \underline{A_n}\, \exp( i\, \omega\, t)</math> ; {{Al|5}}vérifier que <math>\;\underline{A_n}\;</math> est la « somme des <math>\;n\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme <math>\;2\, a_0\, \exp(i\, \varphi_1)\;</math> et de raison <math>\;\exp\! \left[ i\, (\varphi_2 - \varphi_1) \right]</math> <math>\;\big\{</math>on explicitera le 1^er terme et la raison<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|vérifier que <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}}\;</math> est la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » }}en déduire une expression simplifiée de <math>\;\underline{A_n}\;</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|vérifier que <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}}\;</math> est la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » }}déterminer son module <math>\;A_n\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier que <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}}\;</math> est la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer }}son argument <math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}</math>, dans le but de <br>{{Al|5}}terminer l'évaluation de <math>\;S_n(t) = A_n\, \sin(\omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n})\;</math> et celle du signal <math>\;s_{\text{tot},\, n}\;</math> de l'onde résultante <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = S_n(t)\, \sin(k\, x - k\, L)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|terminer l'évaluation de <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = A_n\, \sin(\omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n})}\;</math> et celle du signal <math>\;\color{transparent}{s_{\text{tot},\, n}}\;</math> de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{s_{\text{tot},\, n}(M,\, t)}</math> }}<math>= A_n\,\sin(k\, x - k\, L)\,\sin(\omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n})</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Pour évaluer <math>\;S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)\;</math> nous introduisons la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{S_n}(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \exp( i\, \omega\, t + \varphi_q)\;</math> dont <math>\;S_n(t)\;</math> est la partie imaginaire, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons }}l'amplitude complexe «<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \exp( i\, \varphi_q)\;</math>» obtenue après simplification de <math>\;\underline{S_n}(t)\;</math> par <math>\;\exp( i\, \omega\, t)</math>, soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons l'amplitude complexe }}«<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \exp\! \left\lbrace i \left[ \varphi_0 - (2\, q - 1)\, k\, L \right] \right\rbrace = \sum\limits_{q = 1}^n \left\lbrace 2\, a_0\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - k\, L) \right]\; \exp\! \left[ - 2\, i\, (q - 1)\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons l'amplitude complexe «<math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}}</math> }}<math>= \sum\limits_{q = 1}^n \left\lbrace 2\, a_0\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1 \right]\; \left[ \exp(- 2\, i\, k\, L) \right]^{\,q - 1} \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression de varphiq"> Voir l'expression de <math>\;\varphi_q = - (2\, q - 1)\, k\, L + \varphi_0\;</math> dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Expression_de_l'onde_résultante_superposant_les_n_1ers_couples_d'ondes_stationnaires_successives_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie|expression de l'onde résultante superposant les n 1ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie]] » plus haut dans cet exercice.</ref> soit finalement, en reconnaissant la « somme des <math>\;n\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique de 1^er terme <math>\;2\, a_0\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - k\, L) \right]\;</math> et de raison <math>\;\exp(- 2\, i\, k\, L)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons l'amplitude complexe }}«<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - k\, L) \right] \dfrac{1 - \exp(- 2\, n\, i\, k\, L)}{1 - \exp(- 2\, i\, k\, L)}\;</math>»<ref name="somme de suite géométrique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Suites_arithmétique_et_géométrique#Somme_des_premiers_termes_d'une_suite_géométrique_jusqu'au_rang_n|somme des 1^ers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n]] (à retenir S_{[1, n]}) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit, en simplifiant le quotient du 2^ème facteur par mise en facteur de <math>\;\exp(- n\, i\, k\, L)\;</math> au numérateur et de <math>\;\exp(- i\, k\, L)\;</math> au dénominateur pour faire apparaître, respectivement au numérateur et au dénominateur, la [[w:Formule_d'Euler|formule d'Euler]] <ref name="Euler"> '''[[w:Leonhard_Euler|Leonhard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne, surtout connu pour ses travaux en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]] ainsi qu'en [[w:Mécanique_des_fluides|mécanique des fluides]], optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps ; <br>{{Al|3}}en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] et la [[w:Théorie_des_graphes|théorie des graphes]], il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], comme la notion de [[w:Fonction_(mathématiques)|fonction mathématique]] ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en [[w:Dynamique_des_fluides|dynamique des fluides]], en optique et en astronomie.</ref> relative au sinus<ref name="formules d'Euler"> La [[w:Formule_d'Euler|formule d'Euler]] d'origine est <math>\;\exp(i\, x) = \cos(x) + i\, \sin(x)\;</math> mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus «<math>\;\cos(x) =</math> <math>\dfrac{\exp(i\, x) + \exp(-i\, x)}{2}\;</math>» et le sinus {{Nobr|«<math>\;\sin(x) =</math>}} <math>\dfrac{\exp(i\, x) - \exp(-i\, x)}{2\, i}\;</math>» sont encore appelées « [[w:Formule_d'Euler#Description|formules d'Euler]] ».</ref> dans le facteur restant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons l'amplitude complexe }}«<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - k\, L) \right] \dfrac{\exp(- n\, i\, k\, L)}{\exp(- i\, k\, L)}\, \dfrac{\exp(n\, i\, k\, L) - \exp(- n\, i\, k\, L)}{\exp(i\, k\, L) - \exp(- i\, k\, L)}\;</math>» soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons l'amplitude complexe }}«<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - n\, k\, L) \right] \dfrac{2\, i\, \sin(n\, k\, L)}{2\, i\, \sin(k\, L)}\;</math>» et finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> nous introduisons l'amplitude complexe }}«<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - n\, k\, L) \right]\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> }}de l'expression de l'amplitude complexe «<math>\;\underline{A_n} = 2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \exp\! \left[ i (\varphi_0 - n\, k\, L) \right]\;</math>» nous en déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> de l'expression de }}son module «<math>\;A_n = \left\vert \underline{A_n} \right\vert = 2\, a_0\, \left\vert \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)} \right\vert\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> de l'expression de }}son argument «<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n} = \left\lbrace \begin{array}{l}\varphi_0 - n\, k\, L\qquad\quad \text{si}\; \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)} > 0\\ \varphi_0 - n\, k\, L + \pi\quad \text{si}\; \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)} < 0\end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q)}\;</math> }}finalement «<math>\;S_n(t) = 2\, a_0\, \sum\limits_{q = 1}^n \sin(\omega\, t + \varphi_q) = 2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \sin(\omega\, t - n\, k\, L + \varphi_0)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le signal de l'onde résultante s'écrit selon «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = S_n(t)\;\sin(k\, x - k\, L) = 2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin(\omega\, t - n\, k\, L + \varphi_0)\;</math>». }} ==== Étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie ==== {{Al|5}}Vérifier que l'onde résultante de signal <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t)\;</math> obtenu dans la « solution de l'[[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Évaluation_de_l'onde_résultante_superposant_les_n_1ers_couples_d'ondes_stationnaires_successives_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie|évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante }}est effectivement stationnaire en déterminant la position des nœuds et des ventres puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire }}en constatant que les points d'un même fuseau vibrent en phase, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante est effectivement stationnaire en constatant que }}les points situés de part et d'autre d'un même nœud vibrant en opposition de phase ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante }}exprimer l'amplitude aux ventres et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante }}vérifier que la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Conditions_de_résonance_(c'est-à-dire_conditions_d'interférences_constructives_des_divers_systèmes_d'ondes_stationnaires_sinusoïdales)|conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » correspond à l'annulation du dénominateur de l'amplitude aux ventres <math>\;\big\{</math>nous admettrons que ceci suffit à justifier le caractère « maximal » <ref> En fait la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Conditions_de_résonance_(c.-à-d._conditions_d'interférences_constructives_des_divers_systèmes_d'ondes_stationnaires_sinusoïdales)|conditions de résonance (c.-à-d. conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » annule aussi le numérateur de l'amplitude aux ventres, ce qui conduit donc à une forme indéterminée qu'il conviendrait de lever ; <br>{{Al|3}}cette levée d'indétermination <math>-</math> qu'il n'est pas demandé de faire <math>-</math> conduit à une très grande valeur d'amplitude aux ventres qu'il est licite de considérer comme maximale.</ref> de l'amplitude aux ventres<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}« Les positions des nœuds de l'onde résultante de signal <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = 2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin(\omega\, t - n\, k\, L + \varphi_0)\;</math><ref name="expression du signal de l'onde résultante"> Voir la solution de la question [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Évaluation_de_l'onde_résultante_superposant_les_n_1ers_couples_d'ondes_stationnaires_successives_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie|évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie]] plus haut dans cet exercice.</ref> sont déterminées par les abscisses telles que <math>\;\sin(k\, x - k\, L) = 0\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Les positions des nœuds de l'onde résultante }}«<math>\;x_{N_m} = L - \dfrac{m\, \pi}{k},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» ou encore «<math>\;x_{N_m} = L - m\, \dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» c'est-à-dire les mêmes positions que celles trouvées avec la seule onde stationnaire <math>\;(1)</math> ; {{Al|16}}« celles des ventres de cette onde résultante de signal <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = 2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \sin(k\, x - k\, L)\, \sin(\omega\, t - n\, k\, L + \varphi_0)\;</math><ref name="expression du signal de l'onde résultante" /> ont une abscisse vérifiant <math>\;\sin(k\, x - k\, L) = \pm 1\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|« celles des ventres de cette onde résultante }}«<math>\;x_{V_m} = L - \dfrac{(2\, m + 1)\, \pi}{2\, k},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» ou encore «<math>\;x_{V_m} = L - \left( m + \dfrac{1}{2} \right) \dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» c'est-à-dire, là encore, les mêmes positions que celles trouvées avec la seule onde stationnaire <math>\;(1)</math> ; enfin nous remarquons que {{Al|5}}« <u>les points d'un même fuseau</u> correspondant à <math>\;2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \sin(k\, x - k\, L)\;</math> de même signe <u>vibrent avec la même phase</u> » car cette dernière est indépendante de <math>\;x\;</math> et que <br>{{Al|5}}« <u>les points situés de part et d'autre d'un même nœud</u> correspondant à <math>\;2\, a_0\, \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)}\, \sin(k\, x - k\, L)\;</math> de signe contraire <u>vibrent en opposition de phase </u> », le déphasage étant de <math>\;\pi</math> ; {{Al|5}}l'« amplitude aux ventres étant <math>\;2\, a_0 \left\vert \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)} \right\vert\;</math>»<ref> Correspondant à une « abscisse <math>\;x_{V_m}\;</math> telle que <math>\;\sin(k\, x_{V_m} - k\, L) = \pm 1\;</math>».</ref> a un « dénominateur s'annulant pour les pulsations spatiales <math>\;k_p\;</math> telles que <math>\;k_p\, L = p\, \pi,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>correspondant à la « condition de résonance » telle qu'elle a été déterminée au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Conditions_de_résonance_(c'est-à-dire_conditions_d'interférences_constructives_des_divers_systèmes_d'ondes_stationnaires_sinusoïdales)|conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'onde stationnaires sinusoïdales)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » en effet, avec <math>\;p \in \mathbb{N}^{*}</math>, <math>\;k_p\, L = p\, \pi\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;k_p = p\, \dfrac{\pi}{L}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{2\, \pi}{\lambda_p} = p\, \dfrac{\pi}{L}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\lambda_p = \dfrac{2\, L}{p}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{c}{f_p} = \dfrac{2\, L}{p}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;f_p = p\, \dfrac{2\, L}{c}\bigg\}</math> en remarquant que <br>{{Al|11}}{{Transparent|l'« amplitude aux ventres étant <math>\;\color{transparent}{2\, a_0 \left\vert \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)} \right\vert}\;</math>» a un « dénominateur s'annulant pour }}ces pulsations spatiales annulant aussi le numérateur car <math>\;n\, k_p\, L = n\, p\, \pi\;</math> avec <math>\;n\, p \in \mathbb{N}^{*}</math>, nous conduisent à une forme indéterminée dont la levée <math>\;\big\{</math>qu'il n'était pas demandé de faire<math>\big\}\;</math> fournie une « très grande » <ref> On admet que cela correspond effectivement à une valeur maximale.</ref> amplitude aux ventres. {{Al|11}}{{Transparent|l'« amplitude aux ventres étant <math>\;\color{transparent}{2\, a_0 \left\vert \dfrac{\sin(n\, k\, L)}{\sin(k\, L)} \right\vert}\;</math>» a un « dénominateur s'annulant pour }}<u>Additif</u> : pour lever l'indétermination on se place au voisinage d'une condition de résonance c'est-à-dire au voisinage de <math>\;k_p\;</math> telle que <math>\;k_p\, L = p\, \pi,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> en posant «<math>\;k\, L = p\, \pi + \varepsilon,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> avec <math>\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;</math>» dont on déduit, en multipliant par <math>\;n</math>, «<math>\;n\, k\, L = n\, p\, \pi + n\, \varepsilon,\; n\, \vert \varepsilon \vert \ll 1\;</math>» <math>\;\big\{</math>en effet <math>\;\vert \varepsilon \vert \ll 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;n\, \vert \varepsilon \vert \ll 1\;</math> car <math>\;n\;</math> est un nombre entier <u>fini</u><math>\big\}</math>, dont on tire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vert \sin(k\, L) \vert = \vert \sin(p\, \pi + \varepsilon) \vert = \vert \sin(\varepsilon) \vert \sim \vert \varepsilon \vert\\ \vert \sin(n\, k\, L) \vert = \vert \sin(n\, p\, \pi + n\, \varepsilon) \vert = \vert \sin(n\, \varepsilon) \vert \sim n\, \vert \varepsilon \vert \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> Quand l'angle en radian est de valeur absolue petite c.-à-d. quand <math>\; \vert x \vert \ll 1</math>, on peut confondre la valeur de son sinus avec sa valeur en radian c.-à-d. <math>\;\sin(x) \sim x</math>.</ref> d'où, en faisant le rapport de ces deux approximations <math>\;\dfrac{\vert \sin(n\, k\, L) \vert}{\vert \sin(k\, L) \vert} \sim \dfrac{n\, \vert \varepsilon \vert}{\vert \varepsilon \vert} = n\;</math> et par suite une amplitude aux ventres approximativement égale à <math>\;2\, n\, a_0\;</math> à la résonance des ondes stationnaires. }} === Étude du cas où les réflexions sur la poulie et le vibreur se font respectivement avec un cœfficient de réflexion ρ et ρ' === ==== Étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r) ==== {{Al|5}}Établir l'expression de l'onde réfléchie sur la poulie <math>\;(r)\;</math> de signal <math>\;s_r(M,\, t)\;</math> au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> sachant que l'onde réfléchie <math>\;(r)\;</math> en <math>\;P\;</math> se déduit de l'onde incidente <math>\;(i)\;</math> au même point <math>\;P\;</math> <ref> Le signal de l'onde incidente <math>\;(i)\;</math> au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> étant <math>\;s_i(M,\, t)</math>.</ref> par «<math>\;s_r(P,\, t) = -\rho\; s_i(P,\, t)\;</math>» puis {{Al|5}}déterminer le signal <math>\;s_1(M,\, t)\;</math> de l'onde résultante <math>\;(1)</math>, superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur <math>\;P\;</math> et le mettre sous la forme <br>{{Al|2}}{{Transparent|déterminer le signal }}«<math>\;s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]\;</math>» en explicitant l'amplitude «<math>\;\mathcal{A_1}(x)\;</math>» et la phase «<math>\;\varphi_1(x)\;</math>» <ref> La phase <math>\;\varphi_1(x)\;</math> sera déterminée en précisant son cosinus et son sinus.</ref> ; {{Al|5}}vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, des ventres de vibration mais que <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, }}les « nœuds sont remplacés par des positions de vibration d'amplitude minimale » <ref name="Pseudo-nœud"> Ces positions étant aux endroits des nœuds, on peut les appeler des « pseudo-nœuds ».</ref> d'une part et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier qu'il existe toujours et aux mêmes positions, }}les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase d'autre part. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le signal, au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, de l'onde incidente <math>\;(i)</math>, à savoir «<math>\;s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)\;</math>» se réécrit, en arrivant sur <math>\;P</math>, «<math>\;s_i(P,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, L + \varphi_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)}\;</math>» }}il y est réfléchi en «<math>\;s_r(P,\, t) = -\rho\;s_i(P,\, t) = -\rho\;a_0\, \cos(\omega\, t - k\, L + \varphi_0)\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)}\;</math>» il }}se propage en s'éloignant de <math>\;P\;</math> selon «<math>\;s_r(M,\, t) = s_r\! \left( P,\, t - \dfrac{L - x}{c} \right)\;</math>» se réécrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_i(M,\, t) = a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x + \varphi_0)}\;</math>» il se propage en s'éloignant de <math>\;\color{transparent}{P}\;</math> selon }}«<math>\;s_r(M,\, t) = -\rho\;a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>» ; {{Al|5}}la superposition de l'onde réfléchie sur la poulie <math>\;(r)\;</math> et l'onde incidente <math>\;(i)\;</math> étant de signal, au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;s_1(M,\, t) = s_i(M,\, t) + s_r(M,\, t)\;</math>» c'est-à-dire la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps d'amplitudes différentes, nous pouvons l'évaluer par amplitude complexe<ref name="somme de deux fonctions sinusoïdales par amplitude complexe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_et_phase_initiale_résultantes_en_terme_d'amplitude_complexe|amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>ou par « diagramme de Fresnel<ref name="Fresnel"> '''[[w:Augustin_Fresnel|Augustin Jean Fresnel]] (1788 - 1827)''' physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.</ref> »<ref name="somme de deux fonctions sinusoïdales par diagramme de Fresnel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Grandeurs_associées_à_une_fonction_sinusoïdale_du_temps_:_amplitude_complexe_et_vecteur_de_Fresnel#Amplitude_et_phase_initiale_résultantes_en_terme_de_vecteur_de_Fresnel|amplitude et phase initiale résultantes en terme de vecteur de Fresnel]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> ; ci-dessous nous choisissons la méthode de l'amplitude complexe <math>\ldots</math> {{Al|5}}Les grandeurs instantanées complexes étant <math>\;\underline{s_i}(M,\, t) = \underline{\mathcal{A}_i}(x)\, \exp(i\, \omega\, t)\;</math> d'amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}_i}(x) = a_0\, \exp\! \left[ i\, (\varphi_0 - k\, x) \right]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les grandeurs instantanées complexes étant }}<math>\;\underline{s_r}(M,\, t) = \underline{\mathcal{A}_r}(x)\, \exp(i\, \omega\, t)\;</math> d'amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}_r}(x) = -\rho\, a_0\, \exp\! \left[ i\, (\varphi_0 - 2\, k\, L + k\, x) \right]</math>, <br>{{Al|5}}la grandeur instantanée complexe associée à la somme est <math>\;\underline{s_1}(M,\, t) = \underline{s_i}(M,\, t) + \underline{s_r}(M,\, t) = \underline{\mathcal{A}_1}(x)\, \exp(i\, \omega\, t)\;</math> d'amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}_1}(x) = \underline{\mathcal{A}_i}(x) + \underline{\mathcal{A}_r}(x)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la grandeur instantanée complexe associée à la somme est <math>\;\color{transparent}{\underline{s_1}(M,\, t) = \underline{s_i}(M,\, t) + \underline{s_r}(M,\, t) = \underline{\mathcal{A}_1}(x)\, \exp(i\, \omega\, t)}\;</math> d'amplitude complexe <math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{A}_1}(x)}</math> }}<math>= a_0\, \exp(i\, \varphi_0) \left\lbrace \exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace</math> ; {{Al|5}}de l'amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}_1}(x) = a_0\, \exp(i\, \varphi_0) \left\lbrace \exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace\;</math> de la grandeur instantanée complexe associée au signal de l'onde <math>\;(1)\;</math> on en déduit {{Al|5}}{{Transparent|de l'amplitude complexe <math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{A}_1}(x)}</math> }}<math>\succ\;</math>l'amplitude <math>\;\mathcal{A}_1(x)\;</math> de ce dernier en prenant le module de l'amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}_1}(x)\;</math> soit «<math>\;\mathcal{A}_1(x) = \left\vert \underline{\mathcal{A}_1}(x) \right\vert = \sqrt{\underline{\mathcal{A}_1}(x) \; \left[ \underline{\mathcal{A}_1}(x) \right]^{*} }\;</math>»<ref name="complexe conjugué"> En physique, le complexe conjugué de <math>\;\underline{z}\;</math> est noté <math>\;\left[ \underline{z} \right]^{*}\!</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Notion_de_complexe_conjugué|notion de complexe conjugué]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <math>\;\left[ \underline{\mathcal{A}_1}(x) \right]^{*} =</math> <math>a_0\, \exp(-i\, \varphi_0) \left\lbrace \exp(i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ -i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="complexe conjugué" />{{,}}<ref name="propriétés des conjugués"> En effet le conjugué d'un produit <math>\big(</math>ou d'un quotient<math>\big)\;</math> de complexes est le produit <math>\big(</math>ou le quotient<math>\big)\;</math> des conjugués de chaque complexe et le conjugué d'une somme <math>\big(</math>ou d'une différence<math>\big)\;</math> de complexes est la somme <math>\big(</math>ou la différence<math>\big)\;</math> des conjugués de chaque complexe, conséquences du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Forme_trigonométrique_d'un_complexe,_module_et_argument|forme trigonométrique d'un complexe, module et argument]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <math>\;\mathcal{A}_1(x) = \left\vert \underline{\mathcal{A}_1}(x) \right\vert = a_0\, \sqrt{\left\lbrace \exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace \left\lbrace \exp(i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ -i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace}\;</math> ou, après développement, <math>\;\mathcal{A}_1(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - \rho \left\lbrace \exp\! \left[ i\, 2\, k\, (L - x) \right] + \exp\! \left[ -i\, 2\, k\, (L - x) \right] \right\rbrace}\;</math> et finalement, en utilisant la [[w:Formule_d'Euler|formule d'Euler]]<ref name="Euler" /> relative au cosinus<ref name="formules d'Euler" /> <center>«<math>\;\mathcal{A}_1(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}{{Transparent|de l'amplitude complexe <math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{A}_1}(x)}</math> }}<math>\succ\;</math>la phase <math>\;\varphi_1(x)\;</math> de ce dernier en prenant l'argument de l'amplitude complexe <math>\;\underline{\mathcal{A}_1}(x)\;</math> soit «<math>\;\varphi_1(x) = \mathrm{arg} \left[ \underline{\mathcal{A}_1}(x) \right] = \varphi_0 + \mathrm{arg} \left\lbrace \exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="argument d'un produit (ou d'un quotient) de complexes"> L'argument d'un produit <math>\big(</math>ou d'un quotient<math>\big)\;</math> de complexes étant la somme <math>\big(</math>ou la différence<math>\big)\;</math> des arguments de chaque complexe, conséquence du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Forme_trigonométrique_d'un_complexe,_module_et_argument|forme trigonométrique d'un complexe, module et argument]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\bigg[</math>pour déterminer l'argument d'une somme de complexes, il est judicieux de mettre cette somme sous forme algébrique<ref name="forme algébrique d'un complexe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_la_forme_algébrique_d'un_complexe_connaissant_sa_forme_trigonométrique|détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \exp(-i\, k\, x) \!\!&=&\!\! \cos(k\,x) - i\,\sin(k\,x)\\ \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \!\!&=&\!\! \cos(k\,x - 2\,k\,L) + i\,\sin(k\,x - 2\,k\,L) \end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la forme algébrique de la somme «<math>\;\exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] = \left\lbrace \cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L) \right\rbrace - i\, \left\lbrace \sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L) \right\rbrace\;</math>» dont on peut déduire l'argument<ref name="argument d'un complexe sous forme algébrique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Complexes,_formes_algébrique_et_trigonométrique#Détermination_de_l'argument|détermination de l'argument]] (d'un complexe de forme algébrique connue) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\bigg]\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'amplitude complexe <math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{A}_1}(x)}</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la phase }}<math>\;\varphi_1(x) - \varphi_0 = \mathrm{arg} \left\lbrace \exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace\;</math> telle que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \varphi_1(x) - \varphi_0 \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}} \\ \sin\! \left[ \varphi_1(x) - \varphi_0 \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> En effet le module de <math>\;\exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] = \dfrac{\underline{\mathcal{A}_1}(x)}{a_0\,\exp(i\, \varphi_0)}\;</math> est <math>\;\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}</math>.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|de l'amplitude complexe <math>\;\color{transparent}{\underline{\mathcal{A}_1}(x)}</math> <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>la phase <math>\;\color{transparent}{\varphi_1(x) - \varphi_0 = \mathrm{arg} \left\lbrace \exp(-i\, k\, x) - \rho\, \exp\! \left[ i\, (k\, x - 2\, k\, L) \right] \right\rbrace}\;</math> }}telle que «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \varphi_1(x) - \varphi_0 \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \varphi_1(x) - \varphi_0 \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}le signal de l'onde résultante <math>\;(1)\;</math> s'écrivant «<math>\;s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]\;</math>» a pour « pseudo-amplitude <math>\;\mathcal{A}_1(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a }}pour « phase <math>\;\varphi_1(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x)\;</math> telle que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour }}pseudo amplitude de « pulsation spatiale <math>\;2\, k\;</math> double de la pulsation spatiale de l'onde incidente » donc <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour pseudo amplitude }}de « période spatiale <math>\;\dfrac{\lambda}{2}\;</math> égale à la moitié de la période spatiale de l'onde incidente » d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour }}les mêmes valeurs de « pseudo-amplitude » tous les <math>\;\dfrac{\lambda}{2\;}</math> <ref> C.-à-d. que tous les fuseaux sont identiques de longueur <math>\;\dfrac{\lambda}{2}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour }}celle-ci étant « maximale aux ventres <math>\;V_m\;</math> pour <math>\;\cos\! \left[ 2\,k\, (L - x_{V_m}) \right] = -1\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres <math>\;\color{transparent}{V_m}\;</math> }}telle que <math>\;L - x_{V_m} = \dfrac{(2\, m + 1)\, \pi}{2\, k},\; m \in \mathbb{N}\;</math> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres <math>\;\color{transparent}{V_m}\;</math> telle que }}«<math>\;x_{V_m} = L - \dfrac{(2\, m + 1)\, \lambda}{4},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « maximale aux ventres <math>\;\color{transparent}{V_m}\;</math> }}positions identiques à celles qu'on a avec des réflexions idéales<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_de_l'onde_résultante_par_emploi_des_formules_de_trigonométrie|détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », le signal de l'onde résultante s'écrivant {{Nobr|«<math>\;s_{\text{tot}}(x,\, t)</math>}} <math>= 2\, a_0\, \cos\! \left( \omega\, t - k\, L + \varphi_0 - \dfrac{\pi}{2} \right) \cos\! \left( k\, x - k\, L - \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>», la position des ventres <math>\;V_m\;</math> est telle que <math>\;\cos\! \left( k\, x_{V_m} - k\, L - \dfrac{\pi}{2} \right) = \pm 1\;</math> ou <math>\;\cos\! \left( k\, L - k\, x_{V_m} + \dfrac{\pi}{2} \right) = \pm 1\;</math> soit <math>\;k\, L - k\, x_{V_m} + \dfrac{\pi}{2} = p\,\pi,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> ou <math>\;L - x_{V_m} = \dfrac{2\,p - 1}{2}\,\dfrac{\pi}{k},\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> ou encore <math>\;L - x_{V_m} = \dfrac{2\,m + 1}{2}\,\dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math> sachant que <math>\;k = \dfrac{2\,\pi}{\lambda}\;</math> et en posant <math>\;m = p - 1\;</math> soit finalement <math>\;L - x_{V_m} = \dfrac{(2\, m + 1)\, \lambda}{4},\; m \in \mathbb{N}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x_{V_m} = L - \dfrac{(2\, m + 1)\, \lambda}{4},\; m \in \mathbb{N}\;</math> ce qui est effectivement le même résultat qu'avec une réflexion non parfaite sur la poulie ; <br>{{Al|3}}toutefois l'« amplitude » aux ventres n'est pas la même, elle vaut, dans le cas d'une réflexion non parfaite, <math>\;a_0\, (1 + \rho)\;</math> au lieu de <math>\;2\, a_0\;</math> dans le cas d'une réflexion parfaite.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant }}« minimale aux points <math>\;N_m\;</math> pour <math>\;\cos\! \left[ 2\,k\, (L - x_{N_m}) \right] = +1\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « minimale aux points <math>\;\color{transparent}{N_m}\;</math> }}telle que <math>\;L - x_{N_m} = \dfrac{2\, m\, \pi}{2\, k},\; m \in \mathbb{N}\;</math> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « minimale aux points <math>\;\color{transparent}{N_m}\;</math> telle que }}«<math>\;x_{N_m} = L - \dfrac{m\, \lambda}{2}, \; m \in \mathbb{N}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « minimale aux }}points que l'on qualifiera de « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud"> « Pseudo-nœuds » et non « nœuds » car des nœuds ne peuvent pas vibrer alors que ces points vibrent avec une amplitude minimale.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour celle-ci étant « minimale aux points <math>\;\color{transparent}{N_m}\;</math> }}positions identiques à celles qu'on a avec des réflexions idéales<ref> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_de_l'onde_résultante_par_emploi_des_formules_de_trigonométrie|détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », le signal de l'onde résultante s'écrivant {{Nobr|«<math>\;s_{\text{tot}}(x,\, t)</math>}} <math>= 2\, a_0\, \cos\! \left( \omega\, t - k\, L + \varphi_0 - \dfrac{\pi}{2} \right) \cos\! \left( k\, x - k\, L - \dfrac{\pi}{2} \right)\;</math>», la position des nœuds <math>\;N_m\;</math> est telle que <math>\;\cos\! \left( k\, x_{N_m} - k\, L - \dfrac{\pi}{2} \right) = 0\;</math> ou <math>\;\cos\! \left( k\, L - k\, x_{N_m} + \dfrac{\pi}{2} \right) = 0\;</math> soit <math>\;k\, L - k\, x_{N_m} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + m\,\pi,\; m \in \mathbb{N}\;</math> ou <math>\;L - x_{N_m} = m\,\dfrac{\pi}{k},\; m \in \mathbb{N}\;</math> ou encore <math>\;L - x_{N_m} = m\,\dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math> sachant que <math>\;k = \dfrac{2\,\pi}{\lambda}\;</math> soit finalement <math>\;x_{N_m} = L - m\, \dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math> ce qui est effectivement le même résultat qu'avec une réflexion non parfaite sur la poulie ; <br>{{Al|3}}toutefois l'« amplitude » aux « pseudo-nœuds » n'est pas nulle, elle vaut, dans le cas d'une réflexion non parfaite, <math>\;a_0\, (1 - \rho)\;</math> au lieu de <math>\;0\;</math> dans le cas d'une réflexion parfaite.</ref> ; {{Al|2}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(1)}\;</math> s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]}\;</math>» a pour }}la phase initiale <math>\;\varphi_1\;</math> dépendant de <math>\;x</math>, <u>il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires</u>, les points entre deux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> consécutifs ne vibrant pas a priori rigoureusement en phase<ref> On peut, par contre, vérifier qu'un cœfficient de réflexion sur la poulie parfait c.-à-d. <math>\;\rho = 1\;</math> implique que les points entre deux pseudo-nœuds consécutifs vibrent en phase, en effet : <br>{{Al|3}}d'une part, la pseudo-amplitude se simplifie, avec <math>\;\rho = 1</math>, selon <math>\;\mathcal{A}_1(x) = a_0\, \sqrt{1 + 1 - 2\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]} = a_0\,\sqrt{2}\,\sqrt{1 - \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]} = a_0\,\sqrt{2}\,\sqrt{2\, \sin^2\! \left[ k\, (L - x) \right]}\;</math> après utilisation de la formule de duplication trigonométrique <math>\;1 - \cos(2\,\alpha) = 2\,\sin^2(\alpha)</math>, soit <math>\;\mathcal{A}_1(x) = 2\,a_0\,\left\vert \sin\! \left[ k\, (L - x) \right] \right\vert\;</math> et <br>{{Al|3}}d'autre part, avec <math>\;\rho = 1</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c c c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}} \!\!&=&\!\! \dfrac{-2\, \sin( k\,x - k\,L )\, \sin(k\,L) }{\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}} \!\!&=&\!\! -\dfrac{2\, \sin( k\,x - k\,L )\, \cos(k\,L) }{\dfrac{\mathcal{A}_1(x)}{a_0}}\end{array} \right\rbrace\;</math> après utilisation des [[w:Identité_trigonométrique#Transformation_de_sommes_en_produits,_ou_antilinéarisation|formules d'antilinéarisation trigonométriques de Simpson]] <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos(p) - \cos(q) \!\!&=&\!\! -2\,\sin\! \left( \dfrac{p + q}{2} \right)\, \sin\! \left( \dfrac{p - q}{2} \right)\\ \sin(p) + \sin(q) \!\!&=&\!\! 2\,\sin\! \left( \dfrac{p + q}{2} \right)\, \cos\! \left( \dfrac{p - q}{2} \right)\end{array} \right\rbrace</math>, ou «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c c c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\sin( k\,L - k\,x )\, \sin(k\,L) }{\left\vert \sin\! \left[ k\, (L - x) \right] \right\vert} \!\!&=&\!\! \varepsilon\,\sin(k\,L) \\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\sin( k\,L - k\,x )\, \cos(k\,L) }{\left\vert \sin\! \left[ k\, (L - x) \right] \right\vert} \!\!&=&\!\! \varepsilon\,\cos(k\,L) \end{array} \right\rbrace\;</math> avec <math>\;\varepsilon = \left\lbrace \begin{array}{c} +1\;\text{pour}\;\sin( k\,L - k\,x ) > 0\\ -1\;\text{pour}\;\sin( k\,L - k\,x ) < 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» soit <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part }}<math>\succ\;</math> pour «<math>\;\sin( k\,L - k\,x ) > 0\;</math>» <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c c c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \sin(k\,L) \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - k\,L \right) \\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \cos(k\,L) \!\!&=&\!\! \sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - k\,L \right)\end{array} \right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;\alpha_1(x) = \dfrac{\pi}{2} - k\,L\;</math> indépendant de <math>\;x\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|d'autre part }}<math>\succ\;</math> pour «<math>\;\sin( k\,L - k\,x ) < 0\;</math>» <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c c c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\sin(k\,L) \!\!&=&\!\! \cos\! \left[ \left( \dfrac{\pi}{2} - k\,L \right) + \pi \right]\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\cos(k\,L) \!\!&=&\!\! \sin\! \left[ \left( \dfrac{\pi}{2} - k\,L \right) + \pi \right]\end{array} \right\rbrace\;</math> d'où «<math>\;\alpha_1(x) = \dfrac{\pi}{2} - k\,L + \pi\;</math> indépendant de <math>\;x\;</math> et déphasé de <math>\;\pi\;</math> par rapport aux points précédents ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Simpson|Thomas Simpson]] (1710 - 1761)''' mathématicien anglais autodidacte, essentiellement connu pour ses [[w:Identité_trigonométrique#Formules_de_Simpson|formules de transformation trigonométrique de produits en sommes et de sommes en produits]] et pour sa [[w:Méthode_de_Simpson|méthode d'évaluation approchée des aires planes]] portant son nom.</ref> <math>\ldots</math> }} ==== Étude de l'onde réfléchie (r') sur le vibreur ainsi que de l'onde résultante (2), superposition de l'onde (r') et de sa réfléchie sur la poulie (r") ==== {{Al|5}}Établir l'expression de l'onde réfléchie sur le vibreur <math>\;(r')\;</math> de signal <math>\;s_{r'}(M,\, t)\;</math> au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> sachant que l'onde réfléchie sur le vibreur <math>\;(r')\;</math> en <math>\;O\;</math> se déduit de l'onde réfléchie sur la poulie <math>\;(r)\;</math> au même point <math>\;O\;</math> <ref> Le signal de l'onde réfléchie sur la poulie <math>\;(r)\;</math> au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math> étant <math>\;s_r(M,\, t)</math>.</ref> par «<math>\;s_{r'}(O,\, t) = -\rho'\; s_r(O,\, t)\;</math>» puis {{Al|5}}vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur <math>\;(r')\;</math> se déduit de l'onde incidente <math>\;(i)\;</math> en multipliant l'amplitude de vibration du vibreur <math>\;a_0\;</math> par un facteur à préciser et <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier que l'onde réfléchie sur le vibreur <math>\;\color{transparent}{(r')}\;</math> se déduit de l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}\;</math> }}en ajoutant à la phase initiale <math>\;\varphi_0\;</math> une valeur également à préciser ; {{Al|5}}déterminer le signal <math>\;s_2(M,\, t)\;</math> de l'onde résultante <math>\;(2)</math>, superposition de l'onde réfléchie sur le vibreur <math>\;(r')\;</math> de signal <math>\;s_{r'}(M,\, t)\;</math> et de sa réfléchie sur la poulie <math>\;(r'')\;</math> de signal <math>\;s_{r''}(M,\, t)\;</math> <ref> La détermination de l'expression de <math>\;s_{r''}(M,\, t)\;</math> à partir de celle de <math>\;s_{r'}(M,\, t)\;</math> se fait exactement de la même façon que la détermination de l'expression de <math>\;s_{r}(M,\, t)\;</math> à partir de celle de <math>\;s_{i}(M,\, t)</math>, voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_réfléchie_(r)_sur_la_poulie_ainsi_que_de_l'onde_résultante_(1),_superposition_de_l'onde_incidente_(i)_et_de_l'onde_réfléchie_(r)|étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|déterminer le signal }}<math>\;s_2(M,\, t) = s_{r'}(M,\, t) + s_{r''}(M,\, t)\;</math> et le mettre sous la forme <br>{{Al|3}}{{Transparent|déterminer le signal }}«<math>\;s_2(M,\, t) = \mathcal{A}_2(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_2(x) \right]\;</math>» en explicitant l'amplitude «<math>\;\mathcal{A_2}(x)\;</math>» et la phase «<math>\;\varphi_2(x)\;</math>» <ref> La phase <math>\;\varphi_2(x)\;</math> sera déterminée en précisant son cosinus et son sinus.</ref> ; {{Al|5}}vérifier que <math>\;\mathcal{A_2}(x)\;</math> se déduit de <math>\;\mathcal{A_1}(x)\;</math> par un facteur multiplicateur à préciser <math>\;\big\{</math>il existe donc, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des points de vibration d'amplitude minimale<ref name="Pseudo-nœud" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>se}} substituant aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite<math>\big)\big\}\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|vérifier }}que <math>\;\varphi_2(x)\;</math> se déduit de <math>\;\varphi_1(x)\;</math> par un terme additif à préciser <math>\;\big\{</math>là encore les points d'un même « fuseau » ne vibrent plus rigoureusement en phase<math>\big\}</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le signal, au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, de l'onde <math>\;(r)</math>, à savoir «<math>\;s_r(M,\, t) = -\rho\,a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\,k\,L + \varphi_0)\;</math>» se réécrit, en arrivant sur le vibreur <math>\;O</math>, «<math>\;s_r(O,\, t) = -\rho\,a_0\, \cos(\omega\, t - 2\,k\, L + \varphi_0)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde <math>\;\color{transparent}{(r)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_r(M,\, t) = -\rho\,a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\,k\,L + \varphi_0)}\;</math>» }}il y est réfléchi en «<math>\;s_{r'}(O,\, t) = -\rho'\,s_r(O,\, t) = \rho'\,\rho\,a_0\, \cos(\omega\, t - 2\,k\, L + \varphi_0)\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde <math>\;\color{transparent}{(r)}</math>, à savoir «<math>\;\color{transparent}{s_r(M,\, t) = -\rho\,a_0\, \cos(\omega\, t + k\, x - 2\,k\,L + \varphi_0)}\;</math>» il }}se propage en s'éloignant de <math>\;O\;</math> selon «<math>\;s_{r'}(M,\, t) = s_{r'}\! \left( O,\, t - \dfrac{x}{c} \right)\;</math>» se réécrivant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde <math>\;\color{transparent}{(r)}</math>, à savoir }}«<math>\;s_{r'}(M,\, t) = \rho'\,\rho\,a_0\, \cos(\omega\, t - k\, x - 2\, k\, L + \varphi_0)\;</math>» <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire le signal de l'onde <math>\;(r')\;</math> en <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, réfléchie une 1^ère fois sur le vibreur<math>\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde <math>\;\color{transparent}{(r)}</math>, à savoir }}l'onde <math>\;(r')\;</math> se propageant dans le même sens que l'onde incidente <math>\;(i)\;</math> a un signal se déduisant de celui de cette dernière <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde <math>\;\color{transparent}{(r)}</math>, à savoir l'onde <math>\;\color{transparent}{(r')}\;</math> se propageant dans le même sens que l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}\;</math> a un signal }}en remplaçant «<math>\;a_0\;</math> par <math>\;\rho\, \rho'\, a_0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le signal, au point <math>\;\color{transparent}{M};</math> et à l'instant <math>\;\color{transparent}{t}</math>, de l'onde <math>\;\color{transparent}{(r)}</math>, à savoir l'onde <math>\;\color{transparent}{(r')}\;</math> se propageant dans le même sens que l'onde incidente <math>\;\color{transparent}{(i)}\;</math> a un signal en remplaçant }}«<math>\;\varphi_0\;</math> par <math>\;\varphi_0 - 2\, k\, L\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}le signal de l'onde résultante <math>\;(2)\;</math> «<math>\;s_2(M,\, t) = \mathcal{A}_2(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_2(x) \right]\;</math>» peut se déduire de celui de l'onde résultante <math>\;(1)\;</math> «<math>\;s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]\;</math>» par les mêmes transformations, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(2)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{s_2(M,\, t) = \mathcal{A}_2(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_2(x) \right]}\;</math>» peut se déduire }}en remplaçant «<math>\;a_0\;</math> par <math>\;\rho\, \rho'\, a_0\;</math>» dans <math>\;\mathcal{A}_1(x)\;</math> pour obtenir <math>\;\mathcal{A}_2(x)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(2)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{s_2(M,\, t) = \mathcal{A}_2(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_2(x) \right]}\;</math>» peut se déduire en remplaçant }}«<math>\;\varphi_0\;</math> par <math>\;\varphi_0 - 2\, k\, L\;</math>» dans <math>\;\varphi_1(x)\;</math> pour obtenir <math>\;\varphi_2(x)\;</math> ce qui conduit à : {{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(2)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>l'expression de « pseudo-amplitude <math>\;\mathcal{A}_2(x) = \rho\, \rho'\, a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, x - 2\, k\, L \right]}\;</math>»<ref name="expression de A1"> Voir l'expression de <math>\;\mathcal{A}_1(x)\;</math> dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_réfléchie_(r)_sur_la_poulie_ainsi_que_de_l'onde_résultante_(1),_superposition_de_l'onde_incidente_(i)_et_de_l'onde_réfléchie_(r)|étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> c'est-à-dire «<math>\;\mathcal{A}_2(x) = \rho\, \rho'\, \mathcal{A}_1(x)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> les positions des ventres de vibration de l'onde résultante <math>\;(2)\;</math> sont les mêmes que celles des ventres de vibration de l'onde résultante <math>\;(1)\;</math> ainsi que les points de vibration d'amplitude minimale<ref name="Pseudo-nœud" /> <math>\;\big(</math>lesquels se substituent aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite<math>\big)\;</math> <math>\big\{</math>toutefois l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> de l'onde résultante <math>\;(2)\;</math> sont respectivement «<math>\;\rho\, \rho'\, (1 + \rho)\, a_0\;</math>» et «<math>\;\rho\, \rho'\, (1 - \rho)\, a_0\;</math>»<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le signal de l'onde résultante <math>\;\color{transparent}{(2)}\;</math> }}<math>\succ\;</math>celle de « phase initiale <math>\;\varphi_2(x) = \varphi_0 - 2\, k\, L + \alpha_1(x)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression de varphi1"> Voir l'expression de <math>\;\varphi_1(x)\;</math> dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_réfléchie_(r)_sur_la_poulie_ainsi_que_de_l'onde_résultante_(1),_superposition_de_l'onde_incidente_(i)_et_de_l'onde_réfléchie_(r)|étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)]] » plus haut dans cet exercice.</ref> c'est-à-dire «<math>\;\varphi_2(x) = \varphi_1(x) - 2\, k\, L\;</math>» mais la phase initiale <math>\;\varphi_2\;</math> dépendant de <math>\;x\;</math> de la même façon que <math>\;\varphi_1</math>, <u>il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires</u>, les points entre deux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> consécutifs ne vibrant pas a priori en phase <math>\;\ldots</math>}} ==== Itération du procédé ==== {{Al|5}}Itérer le procédé exposé précédemment pour obtenir <math>\;s_q(M,\, t)\;</math> le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers <math>\;P\;</math> après <math>\;(q - 1)\;</math> réflexions sur <math>\;O\;</math> et l'onde se propageant vers <math>\;O\;</math> après <math>\;q\;</math> réflexions sur <math>\;P\;</math> à partir de <math>\;s_1(M,\, t)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «<math>\;s_q(M,\, t) = \mathcal{A}_q(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_q(x) \right]\;</math> le signal de l'onde résultante superposant l'onde se propageant vers <math>\;P\;</math> après <math>\;(q - 1)\;</math> réflexions sur <math>\;O\;</math> et l'onde se propageant vers <math>\;O\;</math> après <math>\;q\;</math> réflexions sur <math>\;P\;</math>» à partir de «<math>\;s_1(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) \right]\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «<math>\;\color{transparent}{s_q(M,\, t)}</math> }}en multipliant l'expression de <math>\;\mathcal{A}_1(x)\;</math> par <math>\;(\rho\, \rho')^{(q - 1)}\;</math> pour obtenir <math>\;\mathcal{A}_q(x)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «<math>\;\color{transparent}{s_q(M,\, t)}</math> }}en ajoutant à l'expression de <math>\;\varphi_1(x)\;</math> le déphasage <math>\;-(q - 1)\, 2\, k\, L\;</math> pour obtenir <math>\;\varphi_q(x)\;</math> soit : {{Al|5}}{{Transparent|Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «<math>\;\color{transparent}{s_q(M,\, t)}</math> }}pour « pseudo-amplitude <math>\;\mathcal{A}_q(x) = (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \mathcal{A}_1(x) = (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, x - 2\, k\, L \right]}</math>»<ref name="expression de A1" /> <math>\Rightarrow</math> les positions des ventres de vibration de l'onde résultante <math>\;(q)\;</math> sont les mêmes que celles des ventres de vibration de l'onde résultante <math>\;(1)\;</math> ainsi que les points de vibration d'amplitude minimale<ref name="Pseudo-nœud" /> <math>\;\big(</math>lesquels se substituent aux nœuds des ondes stationnaires dans le cas de réflexion parfaite<math>\big)\;</math> <math>\big\{</math>l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> de l'onde résultante <math>\;(q)\;</math> étant respectivement «<math>\;(\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, (1 + \rho)\, a_0\;</math>» et «<math>\;(\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, (1 - \rho)\, a_0\;</math>»<math>\big\}\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «<math>\;\color{transparent}{s_q(M,\, t)}</math> }}pour « phase initiale <math>\;\varphi_q(x) = \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L = \varphi_0 - (q - 1)\, 2\, k\, L + \alpha_1(x)\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Itérant le procédé exposé précédemment on déduit «<math>\;\color{transparent}{s_q(M,\, t)}</math> pour « phase initiale <math>\;\color{transparent}{\varphi_q(x) = \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L}</math> }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression de varphi1" /> <math>\Rightarrow</math> la phase initiale <math>\;\varphi_q\;</math> dépendant de <math>\;x\;</math> de la même façon que <math>\;\varphi_1</math>, <u>il ne s'agit pas rigoureusement d'ondes stationnaires</u>, les points entre deux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> consécutifs ne vibrant pas a priori en phase <math>\;\ldots</math>}} ==== Expression de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie ==== {{Al|5}}Exprimer le signal de l'onde résultante au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, superposition des <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires »<ref name="pseudo-stationnaire"> Ondes résultantes qualifiées de « pseudo-stationnaires » car les points de vibration d'amplitude minimale ne sont pas des nœuds {{Nobr|<math>\;\big(</math>nécessitant}} que l'amplitude minimale soit nulle<math>\big)\;</math> d'où leur qualification de pseudo-nœud et les points d'un même fuseau ne vibrent pas a priori en phase.</ref> successives après <math>\;n\;</math> réflexions sur la poulie <math>\;P\;</math> et <math>\;\left( n - 1 \right)\;</math> sur le vibreur <math>\;O\;</math> «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \sum\limits_{q = 1}^n s_q(M,\, t)\;</math>» ; {{Al|5}}vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n\, \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme «<math>\;\color{transparent}{s_{\text{tot},\, n}(M,\, t)}</math> }}dans laquelle <math>\;\mathcal{A}_1(x)\;</math> et <math>\;\varphi_1(x)\;</math> sont respectivement l'amplitude et la phase initiale de l'onde « pseudo-stationnaire »<ref name="pseudo-stationnaire" /> <math>\;(1)\;</math><ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le signal de l'onde résultante au point <math>\;M\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, superposition des <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires »<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;n\;</math> réflexions sur la poulie <math>\;P\;</math> et <math>\;\left( n - 1 \right)\;</math> sur le vibreur <math>\;O\;</math> {{Nobr|«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t)</math>}} <math>= \sum\limits_{q = 1}^n s_q(M,\, t)\;</math>» se réécrit selon «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \sum\limits_{q = 1}^n \mathcal{A}_q(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_q(x) \right]\;</math>» soit, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \mathcal{A}_q(x) \!\!&=&\!\! (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \mathcal{A}_1(x) \\ \varphi_q(x) \!\!&=&\!\! \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Itération_du_procédé_2|itération du procédé]] (dans le cas de réflexions non parfaites sur la poulie et le vibreur) » plus haut dans cet exercice.</ref> <center>«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n\, \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math>» dans lequel <br>«<math>\;\mathcal{A}_1(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}\;</math>» et{{Al|14}} <br>{{Al|53}}«<math>\;\varphi_1(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x)\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>».</center>}} ==== Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie ==== {{Al|5}}Pour évaluer <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n\, \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math><ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> nous introduisons la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)\;</math> dont <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t)\;</math> est la partie réelle {{Nobr|c'est-à-dire}} telle que <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \Re\! \left[ \underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) \right]</math>, la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)\;</math> étant de forme suivante <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer }}<math>\;\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left\lbrace i\, \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big] = \underline{A_n}(x)\,\exp(i\,\omega\,t)\;</math><ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> dans laquelle <math>\;\underline{A_n}(x)\;</math> est l'amplitude complexe associée de forme <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left\lbrace i\, \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big] =}</math> }}<math>\;\underline{A_n}(x) = \mathcal{A}_1(x)\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1(x) \right]\, \sum\limits_{q = 1}^n \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left[ - i\, (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math><ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer }}<math>\;\underline{A_n}(x)\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à la « somme des <math>\;n\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » de 1^er terme et de raison à expliciter, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}(x)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » }}en déduire une expression simplifiée de <math>\;\underline{A_n}(x)\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}(x)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » }}déterminer son module <math>\;A_n(x)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}(x)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » déterminer }}son argument <math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x)</math>, dans le but de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer <math>\;\color{transparent}{\underline{A_n}(x)}\;</math> étant <math>\;\color{transparent}{\propto}\;</math> à la « somme des <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique » }}terminer l'évaluation de «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = A_n(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n}(x) \right]\;</math>». {{Al|5}}Vérifier que la position des points d'amplitude maximale <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la position des ventres<math>\big)\;</math> <math>\big\{</math>préciser la valeur de l'amplitude aux ventres<math>\big\}\;</math> ainsi que <br>{{Al|10}}{{Transparent|Vérifier que la }}celle des points d'amplitude minimale <math>\;\big(</math>c'est-à-dire celle des « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /><math>\big)\;</math> <math>\big\{</math>préciser la valeur de l'amplitude minimale<math>\big\}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que la position des points d'amplitude maximale }}sont les mêmes que celles obtenues dans le cas où les réflexions sont parfaites<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_stationnaire_résultante_obtenue_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie|étude de l'onde stationnaire résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie]] (dans le cas de réflexions idéales) » plus haut dans cet exercice.</ref> mais {{Al|5}}{{Transparent|Vérifier }}que l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car l'amplitude aux points d'amplitude minimale n'est pas nulle <math>\;\big(</math>ce sont des « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /><math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites ne peut être qualifiée de « stationnaire » car }}les points d'un « même fuseau » ne vibrent pas rigoureusement en phase d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vérifier que l'onde résultante avec réflexions non parfaites }}sa qualification de « pseudo-stationnaire »<ref name="pseudo-stationnaire" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Pour évaluer «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n\, \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> nous introduisons la grandeur instantanée complexe <math>\;\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)\;</math> dont <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t)\;</math> est la partie réelle {{Nobr|c'est-à-dire}} telle que <math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = \Re\! \left[ \underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) \right]</math>, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer }}«<math>\;\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left\lbrace i\, \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big]\;</math>»<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> ou encore «<math>\;\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \underline{A_n}(x)\,\exp(i\,\omega\,t)\;</math>» avec l'amplitude complexe associée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left\lbrace i\, \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big]}\;</math>» }}«<math>\;\underline{A_n}(x) = \mathcal{A}_1(x)\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1(x) \right]\, \sum\limits_{q = 1}^n \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left[ - i\, (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> ou encore {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left\lbrace i\, \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big]}\;</math>» }}«<math>\;\underline{A_n}(x) = \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ \mathcal{A}_1(x)\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1(x) \right]\, \left\lbrace (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left[ - i\, (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big]\;</math>»<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> c'est-à-dire la « somme des <math>\;n\;</math> 1^ers termes d'une suite géométrique de 1^er terme <math>\;\mathcal{A}_1(x)\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1(x) \right]\;</math> et de raison <math>\;(\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L)\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t) = \mathcal{A}_1(x)\, \sum\limits_{q = 1}^n \Big[ (\rho\, \rho')^{(q - 1)}\, \exp\! \left\lbrace i\, \left[ \omega\, t + \varphi_1(x) - (q - 1)\, 2\, k\, L \right] \right\rbrace \Big]}\;</math>» }}«<math>\;\underline{A_n}(x) = \mathcal{A}_1(x)\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1(x) \right] \dfrac{1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(- 2\, i\, n\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L)}\;</math>»<ref name="somme de suite géométrique" />{{,}}<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» }}de l'expression de l'amplitude complexe «<math>\;\underline{A_n}(x) = \mathcal{A}_1(x)\, \exp\! \left[ i\, \varphi_1(x) \right] \dfrac{1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(- 2\, i\, n\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L)}\;</math>»<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="expression de varphi1" /> nous en déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de }}son module «<math>\;A_n(x) = \left\vert \underline{A_n}(x) \right\vert = \mathcal{A}_1(x)\, \dfrac{\Big\vert 1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(- 2\, i\, n\, k\, L) \Big\vert}{\Big\vert 1 - (\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L) \Big\vert}\;</math><ref name="expression de A1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son module «<math>\;\color{transparent}{A_n(x)}</math> }}<math>= \mathcal{A}_1(x)\, \sqrt{\dfrac{\left[ 1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(- 2\, i\, n\, k\, L) \right]\, \left[ 1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(- 2\, i\, n\, k\, L) \right]^{*}}{\left[ 1 - (\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L) \right]\, \left[ 1 - (\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L) \right]^{*}}}\;</math><ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="complexe conjugué" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son module «<math>\;\color{transparent}{A_n(x)}</math> }}<math>= \mathcal{A}_1(x)\, \sqrt{\dfrac{\left[ 1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(- 2\, i\, n\, k\, L) \right]\, \left[ 1 - (\rho\, \rho')^n\;\exp(+ 2\, i\, n\, k\, L) \right]}{\left[ 1 - (\rho\, \rho')\;\exp(- 2\, i\, k\, L) \right]\, \left[ 1 - (\rho\, \rho')\;\exp(+ 2\, i\, k\, L) \right]}}\;</math><ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="propriétés des conjugués" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son module «<math>\;\color{transparent}{A_n(x)}</math> }}<math>= \mathcal{A}_1(x)\, \sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - (\rho\, \rho')^n\, \left[ \exp(+ 2\, i\, n\, k\, L) + \exp(- 2\, i\, n\, k\, L) \right]}{1 + (\rho\, \rho')^2 - (\rho\, \rho')\, \left[ \exp(+ 2\, i\, k\, L) + \exp(- 2\, i\, k\, L) \right]}} = \mathcal{A}_1(x)\, \sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>»<ref name="expression de A1" />{{,}}<ref name="formules d'Euler" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son module }}finalement «<math>\;A_n(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>» ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de }}son argument «<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_1(x) + \mathrm{arg} \left\lbrace 1 - (\rho\, \rho')^n\; \left[ \cos(2\, n\, k\, L) - i\, \sin(2\, n\, k\, L) \right] \right\rbrace - \mathrm{arg} \left\lbrace 1 - (\rho\, \rho')\; \left[ \cos(2\, k\, L) - i\, \sin(2\, k\, L) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="expression de varphi1" />{{,}}<ref name="argument d'un produit (ou d'un quotient) de complexes" /> <math>\;\big[</math>en effet pour déterminer l'argument d'une somme de complexes, il est judicieux de mettre cette somme sous forme algébrique<ref name="forme algébrique d'un complexe" /><math>\big]\;</math> soit, <math>\;(\rho\, \rho')\;</math> étant <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;(\rho\, \rho')^n < 1\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} 1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, k\, L) > 0\\ 1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, k\, L) > 0\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \mathrm{arg} \left[ 1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, k\, L) + i\; (\rho\, \rho')^n\;\sin(2\, n\, k\, L) \right]\\ \mathrm{arg} \left[ 1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, k\, L) + i\; (\rho\, \rho')\;\sin(2\, k\, L) \right] \end{array}\right\rbrace \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> et par suite s'exprime sous forme d'un arctangente<ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="argument d'un complexe sous forme algébrique" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son argument }}«<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_1(x) + \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')^n\;\sin(2\, n\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, k\, L)} \right] - \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')\;\sin(2\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, k\, L)} \right]\;</math>»<ref name="expression de varphi1" />{{,}}<ref name="argument d'un produit (ou d'un quotient) de complexes" /> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son argument }}finalement «<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x) + \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')^n\;\sin(2\, n\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, k\, L)} \right] - \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')\;\sin(2\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, k\, L)} \right]\;</math> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de son argument finalement «<math>\;\color{transparent}{\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 +}</math> }}<math>\;\alpha_1(x)\;</math> est tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de }}«<math>\;s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = A_n(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n}(x) \right]\;</math> dans laquelle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de «<math>\;\color{transparent}{s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) =}</math> }}<math>A_n(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de «<math>\;\color{transparent}{s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = A_n(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \right.}</math> }}<math>\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x) + \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')^n\;\sin(2\, n\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, k\, L)} \right] - \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')\;\sin(2\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, k\, L)} \right]\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour évaluer «<math>\;\color{transparent}{\underline{s_{\text{tot},\, n}}(M,\, t)}\;</math>» de l'expression de «<math>\;\color{transparent}{s_{\text{tot},\, n}(M,\, t) = A_n(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \right.}</math> <math>\color{transparent}{\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 + }</math> }}<math>\alpha_1(x)\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>». {{Al|5}}Les points d'amplitude maximale sont d'abscisse <math>\;x_V\;</math> vérifiant «<math>\;A_n(x_V) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_V) \right]}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math> maximale <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_V) \right]\;</math> maximale » c'est-à-dire «<math>\;\cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_V) \right] = -1\;</math>» ou «<math>\;2\, k\, (L - x_V) \equiv \pi \!\! \mod (2\, \pi)\;</math>» soit «<math>\;L - x_V \equiv \dfrac{\pi}{2\, k} \!\! \mod \left( \dfrac{\pi}{k} \right)\;</math>» ou, avec <math>\;k = \dfrac{2\, \pi}{\lambda}</math>, «<math>\;x_{V_m} = L - \dfrac{(2\, m + 1)\, \lambda}{4},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» c'est-à-dire la même abscisse que celle des ventres de vibration dans le cas de réflexions parfaites<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" />{{,}}<ref> Pour déterminer la position des ventres de vibration dans le cas de réflexions non parfaites il suffisait de dire, dans la mesure où l'onde résultante est la superposition de toutes les ondes pseudo-stationnaires <math>\;(q),\; q \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]</math>, que la position des ventres de vibration de l'onde résultante est la position commune des ventres de vibration de chaque onde psudo-stationnaire <math>\;(q)\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution des questions « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_réfléchie_(r)_sur_la_poulie_ainsi_que_de_l'onde_résultante_(1),_superposition_de_l'onde_incidente_(i)_et_de_l'onde_réfléchie_(r)|étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Itération_du_procédé_2|itération du procédé]] (établissant la même propriété pour l'onde “ q ”) » plus haut dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>, l'amplitude aux ventre valant «<math>\;A_n(x_{V_m}) = a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_{V_m}) \right] = -1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_n(x_{V_m}) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 + 2\, \rho}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>» avec <math>\;\sqrt{1 + \rho^2 + 2\, \rho} = \left( 1 + \rho \right)</math>.</ref> ainsi que {{Al|5}}les points d'amplitude minimale sont d'abscisse <math>\;x_N\;</math> vérifiant «<math>\;A_n(x_N) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_N) \right]}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math> minimale <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_N) \right]\;</math> minimale » c'est-à-dire «<math>\;\cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_N) \right] = +1\;</math>» ou «<math>\;2\, k\, (L - x_N) \equiv 0 \!\! \mod (2\, \pi)\;</math>» soit «<math>\;L - x_N \equiv 0 \!\! \mod \left( \dfrac{\pi}{k} \right)\;</math>» ou, avec <math>\;k = \dfrac{2\, \pi}{\lambda}</math>, «<math>\;x_{N_m} = L - m\, \dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math>» c'est-à-dire la même abscisse que celle des nœuds de vibration dans le cas de réflexions parfaites<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" />{{,}}<ref> Pour déterminer la position des pseudo-nœuds de vibration dans le cas de réflexions non parfaites il suffisait de dire, dans la mesure où l'onde résultante est la superposition de toutes les ondes pseudo-stationnaires <math>\;(q),\; q \in \left[\left[ 1\,,\, n \right]\right]</math>, que la position des pseudo-nœuds de vibration de l'onde résultante est la position commune des pseudo-nœuds de vibration de chaque onde psudo-stationnaire <math>\;(q)\;</math> <math>\big\{</math>voir la solution des questions « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_réfléchie_(r)_sur_la_poulie_ainsi_que_de_l'onde_résultante_(1),_superposition_de_l'onde_incidente_(i)_et_de_l'onde_réfléchie_(r)|étude de l'onde réfléchie (r) sur la poulie ainsi que de l'onde résultante (1), superposition de l'onde incidente (i) et de l'onde réfléchie (r)]] » et « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Itération_du_procédé_2|itération du procédé]] (établissant la même propriété pour l'onde “ q ”) » plus haut dans cet exercice<math>\big\}</math>.</ref>, l'amplitude aux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> valant «<math>\;A_n(x_{N_m}) = a_0\, \left( 1 - \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\cos\! \left[ 2\, k\, (L - x_{N_m}) \right] = +1\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;A_n(x_{N_m}) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>» avec <math>\;\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho} = \left( 1 - \rho \right)</math>.</ref> ; {{Al|5}}la phase <math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}\;</math> dépendant de <math>\;x\;</math> par «<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n} = \varphi_0 + \alpha_1(x) + \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')^n\;\sin(2\, n\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, k\, L)} \right] - \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')\;\sin(2\, k\, L)}{1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, k\, L)} \right]\;</math> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos(k\,x) - \rho\, \cos(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin(k\,x) + \rho\, \sin(k\,x - 2\,k\,L)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, k\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|la phase <math>\;\color{transparent}{\varphi_{\text{tot},\, n}}\;</math> dépendant de <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> }}les points entre deux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> consécutifs ne vibrent pas a priori en phase, de plus <br>{{Al|5}}les points d'abscisse <math>\;x_{N_m}\;</math> étant d'amplitude non nulle par «<math>\;A_n(x_{N_m}) = a_0\, \left( 1 - \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}} \neq 0\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|les points d'abscisse <math>\;\color{transparent}{x_{N_m}}\;</math> étant d'amplitude non nulle }}sont des « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> et non des nœuds, <center>d'où le qualificatif de « pseudo-stationnaire »<ref name="pseudo-stationnaire" /> donné à l'onde résultante étudiée.</center>}} ==== Évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites ==== {{Al|5}}Nous nous proposons de simplifier l'expression de <math>\;s_{\text{tot},\, n} = A_n(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n}(x) \right]\;</math><ref name="expression du signal résultant avec réflexions non parfaites"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Évaluation_de_l'onde_résultante_superposant_les_n_1ers_couples_d'ondes_pseudo-stationnaires_successives_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie|évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires succesives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie]] » plus haut dans cet exercice.</ref> dans la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après (n - 1) réflexions parfaites sur le vibreur et n sur la poulie »<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" /> en admettant que cette condition traduit, dans le cas de réflexions non parfaites, une « hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance"> Une condition de résonance impliquant nécessairement que l'amplitude aux ventres est maximale <math>\;\big(</math>ce qui est effectivement le cas quand les réflexions sur le vibreur et la poulie sont parfaites<math>\big)</math>, nous ne pouvons pas assurer <math>\;\big(</math>au moins pour l'instant et peut être que ce n'est effectivement pas le cas<math>\big)\;</math> que l'amplitude aux ventres est maximale pour cette condition d'où le qualificatif « hypothétique ».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de }}simplifier l'expression de l'amplitude <math>\;A_n(x)\;</math> de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie dans la « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> et {{Al|16}}{{Transparent|Nous nous proposons de simplifier }}celle de la phase <math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x)\;</math> de cette onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie dans cette même « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> puis {{Al|5}}{{Transparent|Nous nous proposons de }}réécrire l'expression de <math>\;s_{\text{tot},\, n}\;</math> dans cette même « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" />. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Nous plaçant dans la condition de résonance établie précédemment avec des réflexions successives sur la poulie et le vibreur idéales c'est-à-dire «<math>\;k_p\, L = p\, \pi,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», nous pouvons réécrire les expressions de * l'amplitude <math>\;A_n(x)\;</math> de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie avec «<math>\;k_p = \dfrac{p\, \pi}{L},\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» selon «<math>\;A_n(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, \dfrac{p\, \pi}{L}\, (L - x) \right]}\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, p\, \pi)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, p\, \pi)}},\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref name="expression du signal résultant avec réflexions non parfaites" /> soit «<math>\;A_n(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, p\, \pi \, \dfrac{x}{L} \right]}\,\dfrac{1 - (\rho\, \rho')^n}{1 - (\rho\, \rho')},\;p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» et * la phase <math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x)\;</math> de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie avec «<math>\;k_p = \dfrac{p\, \pi}{L},\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» selon «<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x) \cancel{\;+ \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')^n\;\sin(2\, n\, p\, \pi)}{1 - (\rho\, \rho')^n\; \cos(2\, n\, p\, \pi)} \right] - \arctan\! \left[ \dfrac{(\rho\, \rho')\;\sin(2\, p\, \pi)}{1 - (\rho\, \rho')\; \cos(2\, p\, \pi)} \right]}\;</math> avec <math>\;\alpha_1(x)\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right) - \rho\, \cos\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} - 2\, p\, \pi \right)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, \dfrac{p\, \pi}{L}\, (L - x) \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right) + \rho\, \sin\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} - 2\, p\, \pi \right)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, \dfrac{p\, \pi}{L}\, (L - x) \right]}}\end{array} \right\rbrace,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» soit «<math>\;\varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x)\;</math> avec <math>\;\alpha_1(x)\;</math> tel que <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right) - \rho\, \cos\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, p\, \pi \, \dfrac{x}{L} \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right) + \rho\, \sin\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, p\, \pi \, \dfrac{x}{L} \right]}}\end{array} \right\rbrace,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>». {{Al|5}}Finalement l'expression du signal de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie sous la « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> est «<math>\;s_{\text{tot},\, n}(x) = A_n(x)\, \cos\! \left[ \omega\, t + \varphi_{\text{tot},\, n}(x) \right]\;</math><ref name="expression du signal résultant avec réflexions non parfaites" /> avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} A_n(x) = a_0\, \sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, p\, \pi \, \dfrac{x}{L} \right]}\,\dfrac{1 - (\rho\, \rho')^n}{1 - (\rho\, \rho')}\\ \varphi_{\text{tot},\, n}(x) = \varphi_0 + \alpha_1(x)\;\text{avec}\;\alpha_1(x)\;\text{tel que}\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} \cos\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! \dfrac{\cos\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right) - \rho\, \cos\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, p\, \pi \, \dfrac{x}{L} \right]}}\\ \sin\! \left[ \alpha_1(x) \right] \!\!&=&\!\! -\dfrac{\sin\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right) + \rho\, \sin\! \left( p\, \pi\,\dfrac{x}{L} \right)}{\sqrt{1 + \rho^2 - 2\, \rho\, \cos\! \left[ 2\, p\, \pi \, \dfrac{x}{L} \right]}}\end{array} \right\rbrace\end{array}\right\rbrace\;</math>».}} ==== Étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites ==== {{Al|5}}Ayant vérifié, dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Évaluation_de_l'onde_résultante_superposant_les_n_1ers_couples_d'ondes_pseudo-stationnaires_successives_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie|évaluation de l'onde résultante superposant les n 1^ers couples d'ondes pseudo-stationnaires successives après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie]] » plus haut dans cet exercice, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant vérifié, }}l'existence, aux mêmes positions, des ventres de vibration ainsi que des « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> remplaçant les nœuds de l'onde résultante dans le cas de réflexions parfaites d'une part, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant vérifié, }}que les points d'un même « fuseau » <math>\;\big(</math>limité par deux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> consécutifs<math>\big)\;</math> ne vibrent pas rigoureusement en phase d'autre part, {{Al|5}}préciser l'amplitude aux ventres et celle aux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> dans la « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions parfaites sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie »<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" /><math>\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|préciser }}leur limite respective quand le nombre <math>\;n\;</math> de réflexions sur la poulie est très grand<ref name="nombre de réflexions sur le vibreur"> Le nombre <math>\;(n - 1)\;</math> de réflexions sur le vibreur est aussi très grand.</ref> <math>\;\big(</math>théoriquement infini<math>\big)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}L'onde obtenue en superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes « pseudo-stationnaires »<ref name="pseudo-stationnaire" /> successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions non parfaites sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie étant « pseudo-stationnaire »<ref name="pseudo-stationnaire" />{{,}}<ref name="expression du signal résultant avec réflexions non parfaites" /> et {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« ses ventres <math>\;V\;</math> étant d'abscisse <math>\;x_{V_m} = L - \dfrac{(2\, m + 1)\, \lambda}{4},\; m \in \mathbb{N}\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la même abscisse que celle des ventres de vibration dans le cas de réflexions parfaites<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" /><math>\big)\;</math> d'amplitude de vibration <math>\;A_n(x_{V_m})</math> <math>= a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>»<ref name="expression du signal résultant avec réflexions non parfaites" /> ainsi que {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« ses “ pseudo-nœuds”<ref name="pseudo-nœud" /> <math>\;N\;</math> d'abscisse <math>\;x_{N_m} = L - m\, \dfrac{\lambda}{2},\; m \in \mathbb{N}\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la même abscisse que celle des nœuds de vibration dans le cas de réflexions parfaites<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" /><math>\big)\;</math> d'amplitude de vibration <math>\;A_n(x_{N_m})</math> <math>= a_0\, \left( 1 - \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k\, L)}}\;</math>»<ref name="expression du signal résultant avec réflexions non parfaites" />, {{Al|5}}le report de la « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions parfaites sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie »<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" /><math>\big]\;</math> nous donne les valeurs suivantes pour l'amplitude de vibration des points particuliers :<br>{{Al|10}}{{Transparent|le report de la « condition d'hypothétique résonance » }}<math>\;\succ\;</math>ventres sous « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> <math>\;A_n(x_{V_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k_p\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k_p\, L)}}\;</math> dans laquelle <math>\;k_p\, L = p\, \pi,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> soit <math>\;A_n(x_{V_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, p\, \pi)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, p\, \pi)}} = a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')}}\;</math> soit, après simplification, <br>{{Al|15}}{{Transparent|le report de la « condition d'hypothétique résonance » <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>ventres sous « condition d'hypothétique résonance » }}«<math>\;A_n(x_{V_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\dfrac{1 - (\rho\, \rho')^n}{1 - (\rho\, \rho')}\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|le report de la « condition d'hypothétique résonance » }}<math>\;\succ\;</math>« pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> sous « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> <math>\;A_n(x_{N_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \left( 1 - \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, k_p\, L)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, k_p\, L)}}\;</math> dans laquelle <math>\;k_p\, L = p\, \pi,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> soit <math>\;A_n(x_{N_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \left( 1 - \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n\, \cos(2\, n\, p\, \pi)}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')\, \cos(2\, p\, \pi)}} = a_0\, \left( 1 + \rho \right)\,\sqrt{\dfrac{1 + (\rho\, \rho')^{2\,n} - 2\,(\rho\, \rho')^n}{1 + (\rho\, \rho')^2 - 2\,(\rho\, \rho')}}\;</math> soit, après simplification, <br>{{Al|20}}{{Transparent|le report de la « condition d'hypothétique résonance » <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>« pseudo-nœuds » sous « condition d'hypothétique résonance » }}«<math>\;A_n(x_{N_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \left( 1 - \rho \right)\,\dfrac{1 - (\rho\, \rho')^n}{1 - (\rho\, \rho')}\;</math>» ; {{Al|5}}quand le nombre <math>\;n\;</math> de réflexions sur la poulie devient très grand<ref name="nombre de réflexions sur le vibreur" /> <math>\;\big(</math>théoriquement infini<math>\big)</math>, «<math>\;\rho\, \rho'\;</math> étant <math>\;< 1\;</math>», <math>\;\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (\rho\, \rho')^n = 0\;</math> et par suite <br>{{Al|12}}{{Transparent|quand le nombre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> de réflexions sur la poulie devient très grand }}l'amplitude aux ventres devient «<math>\;A_{\infty}(x_{V_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \dfrac{1 + \rho}{1 - \rho\, \rho'}\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|quand le nombre <math>\;\color{transparent}{n}\;</math> de réflexions sur la poulie devient très grand }}celle aux « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" /> «<math>\;A_{\infty}(x_{N_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \dfrac{1 - \rho}{1 - \rho\, \rho'}\;</math>».}} === Évaluation des cœfficients de réflexion sur la poulie et sur le vibreur === {{Al|5}}Expérimentalement la mesure de l'« amplitude aux ventres » donnant la valeur de «<math>\;10\, a_0\;</math>» et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Expérimentalement}}celle de l'« amplitude aux “ pseudo-nœuds ”<ref name="pseudo-nœud" /> » la valeur de «<math>\;\dfrac{a_0}{2}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Expérimentalement}}en déduire les valeurs des cœfficients de réflexion <math>\;\rho\;</math> sur la poulie et <math>\;\rho'\;</math> sur le vibreur ; {{Al|5}}commenter en précisant la puissance renvoyée par la réflexion sur la poulie ou sur le vibreur sachant que la puissance transportée par une onde progressive est <math>\;\propto\;</math> au signal de cette onde. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Reportant la valeur de l'« amplitude aux ventres » dans son expression sous la « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la « condition de résonance de l'onde résultante superposant les <math>\;n\;</math> 1^ers couples d'ondes stationnaires successives après <math>\;(n - 1)\;</math> réflexions parfaites sur le vibreur et <math>\;n\;</math> sur la poulie »<ref name="propriétés de l'onde résultante avec réflexions parfaites" /><math>\big]\;</math> avec un très grand nombre <math>\;n\;</math> de réflexions sur la poulie<ref name="nombre de réflexions sur le vibreur" /> <math>\;\big(</math>théoriquement infini<math>\big)\;</math><ref name="amplitude aux ventres et pseudo--nœuds sous hypothétique résonance avec n infini"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Étude_de_l'onde_résultante_obtenue_après_(n_-_1)_réflexions_sur_le_vibreur_et_n_sur_la_poulie_dans_la_condition_où_on_observerait_la_résonance_si_les_réflexions_étaient_parfaites|étude de l'onde résultante obtenue après (n - 1) réflexions sur le vibreur et n sur la poulie dans la condition où on observerait la résonance si les réflexions étaient parfaites]] » plus haut dans cet exercice.</ref> nous en déduisons une 1^ère équation en <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho'</math> : «<math>\;A_{\infty}(x_{V_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \dfrac{1 + \rho}{1 - \rho\, \rho'} = 10\, a_0\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1 + \rho}{1 - \rho\, \rho'} = 10\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Reportant }}celle de l'« amplitude aux “ pseudo-nœuds ”<ref name="pseudo-nœud" /> » dans son expression sous la « condition d'hypothétique résonance »<ref name="hypothétique résonance" /> avec un très grand nombre <math>\;n\;</math> de réflexions sur la poulie<ref name="nombre de réflexions sur le vibreur" /> <math>\;\big(</math>théoriquement infini<math>\big)\;</math><ref name="amplitude aux ventres et pseudo--nœuds sous hypothétique résonance avec n infini" /> nous en déduisons une 2^ème équation en <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho'</math> : «<math>\;A_{\infty}(x_{N_m,\,\text{hyp. rés.}}) = a_0\, \dfrac{1 - \rho}{1 - \rho\, \rho'} = \dfrac{a_0}{2}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1 - \rho}{1 - \rho\, \rho'} = \dfrac{1}{2}\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}nous obtenons un système de deux équations non linéaires en <math>\;\rho\;</math> et <math>\;\rho'\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \dfrac{1 + \rho}{1 - \rho\, \rho'} = 10\;\;\left( \mathfrak{1} \right)\\ \dfrac{1 - \rho}{1 - \rho\, \rho'} = \dfrac{1}{2}\;\;\left( \mathfrak{2} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|nous }}éliminons <math>\;\rho'\;</math> en formant <math>\;\dfrac{\left( \mathfrak{1} \right)}{\left( \mathfrak{2} \right)}\;</math> soit «<math>\;\dfrac{1 + \rho}{1 - \rho} = 20\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;1 + \rho = 20\, \left( 1 - \rho \right)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;21\, \rho = 19\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\rho = \dfrac{19}{21} \simeq 0,905\;</math>» ;</center> {{Al|5}}reportant la valeur de <math>\;\rho = \dfrac{19}{21}\;</math> dans l'équation <math>\;\left( \mathfrak{1} \right)\;</math> <math>\big\{</math>ou l'équation <math>\;\left( \mathfrak{2} \right)\!\big\}\;</math> nous obtenons «<math>\;\left( \mathfrak{1}' \right)\;\;\dfrac{1 + \dfrac{19}{21}}{1 - \dfrac{19}{21}\, \rho'} = 10\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{40}{21 - 19\, \rho'} = 10\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;4 = 21 - 19\, \rho'\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;19\, \rho' = 17\;</math> soit finalement <center>«<math>\;\rho' = \dfrac{17}{19} \simeq 0,895\;</math>» ;</center> {{Al|5}}sachant que la puissance transportée par une onde progressive est <math>\;\propto\;</math> au signal de cette onde, nous en déduisons que * la réflexion sur la poulie renvoie la fraction <math>\;\rho^2 = \dfrac{\left( 19 \right)^2}{\left( 21 \right)^2} \simeq 0,819\;</math> de la puissance y arrivant et * la réflexion sur le vibreur renvoie la fraction <math>\;\left( \rho' \right)^2 = \dfrac{\left( 17 \right)^2}{\left( 19 \right)^2} \simeq 0,801\;</math> de la puissance y arrivant. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Nous n'obtenons pas <math>-</math> dans le cas des réflexions réelles <math>-</math> d'ondes « purement stationnaires » <ref> Le caractère stationnaire doit être caractérisé par l'absence de dépendance de la phase initiale avec <math>\;x</math>, or ici ce n'est pas le cas, les phases initiales contiennent des termes en <math>\;-k\, x\;</math> et en <math>\;+k\, x\;</math> traduisant la propagation vers les <math>\;x \nearrow\;</math> et <math>\;x \searrow</math>.</ref> et c'est compréhensible car la présence de nœuds dans une onde purement stationnaire empêche la propagation de la puissance qui reste localisée entre les nœuds alors qu'ici les nœuds sont remplacés par des « pseudo-nœuds »<ref name="pseudo-nœud" />, d'amplitude certes faible mais non nulle, correspondant à une propagation de puissance, même si cette propagation est limitée, la plus grande proportion restant localisée entre les points de vibration minimale. }} == Étude des modes propres d'une corde de Melde == === Étude théorique === {{Al|5}}Dans l'expérience de la corde de Melde<ref name="Melde" />, le vibreur, relié à l'extrémité <math>\;O\;</math> de la corde, effectue des oscillations verticales sinusoïdales d'amplitude <math>\;a</math>, «<math>\;\xi(\text{vibreur},\, t) = a\, \cos(\omega\, t)\;</math>» ; <br>{{Al|9}}{{Transparent|Dans l'expérience de la corde de Melde, }}la corde, dans sa position de repos, est horizontale, de longueur <math>\;L</math>, de masse linéique <math>\;\mu</math>, fixée à l'autre extrémité et de tension <math>\;T_0</math>, son point générique étant d'abscisse <math>\;x\;</math> repérée à partir de <math>\;O\;</math> choisi comme origine de l'axe confondu avec la position de repos de la corde et orienté vers l'extrémité fixe de celle-ci. ==== Déplacement instantané en tout point de la corde ==== {{Al|5}}Déterminer le déplacement <math>\;\xi(x,\, t)\;</math> de tout point <math>\;M\;</math> d'abscisse <math>\;x\;</math> de la corde à l'instant <math>\;t</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La « célérité de propagation d'une perturbation le long de la corde étant <math>\;c = \sqrt{\dfrac{T_0}{\mu}}\;</math>», la « pulsation spatiale <math>\;\big(</math>ou norme du vecteur d'onde<math>\big)\;</math> pour une pulsation <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)</math> <math>\;\omega\;</math> se détermine par <math>\;k = \dfrac{\omega}{c}\;</math>» ; {{Al|5}}la « solution stationnaire de pulsation <math>\;\omega\;</math> s'écrivant <math>\;\xi(x,\, t) = A\, \cos(k\, x + \psi_0)\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)\;</math>» doit satisfaire aux C.A.L<ref name="C.A.L." />. à savoir «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l c l l}\xi(0,\, t) \!\!\!&=&\!\!\! A\, \cos(\psi_0)\, \cos(\omega\, t + \varphi_0) \!\!\!&=&\!\!\! a\, \cos(\omega\, t) & \forall\; t\\ \xi(L,\, t) \!\!\!&=&\!\!\! A\, \cos(k\, L + \psi_0)\, \cos(\omega\, t + \varphi_0) \!\!\!&=&\!\!\! 0 &\forall\; t \end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>de la dernière C.A.L<ref name="C.A.L." />. on tire «<math>\;\cos(k\, L + \psi_0) = 0\;</math>» soit «<math>\;k\, L + \psi_0 = \dfrac{(2\, n + 1)\, \pi}{2},\; n \in \mathbb{N}\;</math>», nous choisissons arbitrairement «<math>\;k\, L + \psi_0 = \dfrac{\pi}{2}\;</math>» et {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>de la 1^ère on induit <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}A\, \cos(\psi_0)\, \cos(\varphi_0) = a\\ A\, \cos(\psi_0)\, \sin(\varphi_0) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math><ref> On utilise la formule de trigonométrie <math>\;\cos(\omega\, t + \varphi_0) = \cos(\varphi_0)\, \cos(\omega\, t) - \sin(\varphi_0)\, \sin(\omega\, t)\;</math> puis <br>{{Al|3}}on identifie la forme développée de <math>\;A\, \cos(\psi_0)\, \cos(\omega\, t + \varphi_0)\;</math> à <math>\;a\, \cos(\omega\, t)\;</math> soit <math>\;A\, \cos(\psi_0)\, \cos(\varphi_0)\, \cos(\omega\, t) - A\, \cos(\psi_0)\, \sin(\varphi_0)\, \sin(\omega\, t) = a\, \cos(\omega\, t)\;</math> pour tout <math>\;t\;</math> d'où les deux relations.</ref> soit «<math>\;\varphi_0 = p\, \pi,\; p \in \mathbb{Z}\;</math>», nous choisissons «<math>\;\varphi_0 = 0\;</math>»<ref> En fait deux choix restent possibles parmi les déterminations principales de la phase initiale <math>\;\big(</math>c.-à-d. les déterminations <math>\;\in \left] -\pi\, \text{,}\, +\pi \right]\big)</math>, nous choisissons la plus simple, l'autre correspondrait à un changement de signe du cœfficient devant le cosinus.</ref> d'où la réécriture de la C.A.L<ref name="C.A.L." />. «<math>\;A\, \cos(\psi_0) = a\;</math>»<ref> Le choix de <math>\;\varphi_0 = \pi\;</math> aurait conduit à la réécriture de la C.A.L. suivant <math>\;A\, \cos(\psi_0) = -a</math>.</ref> ou, <br>{{Al|5}}<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>en reportant le choix de «<math>\;\psi_0 = \dfrac{\pi}{2} - k\, L\;</math>», nous obtenons <math>\;A\, \cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - k\, L \right] = a\;</math> soit enfin <math>\;A\, \sin(k\, L) = a\;</math> donnant «<math>\;A = \dfrac{a}{\sin(k\, L)}\;</math>»<ref> Le choix de <math>\;\varphi_0 = \pi\;</math> aurait donné <math>\;A = -\dfrac{a}{\sin(k\, L)}</math>.</ref> ; {{Al|5}}finalement l'expression du déplacement vertical du point <math>\;M\;</math> s'écrit «<math>\;\xi(x,\, t) = \dfrac{a}{\sin(k\, L)}\, \cos\! \left( k\, x + \dfrac{\pi}{2} - k\, L \right)\, \cos(\omega\, t)\;</math>»<ref> Le choix de <math>\;\varphi_0 = \pi\;</math> conduisait à <math>\;\xi(x,\, t) = -\dfrac{a}{\sin(k\, L)}\, \cos\! \left( k\, x + \dfrac{\pi}{2} - k\, L \right)\, \cos(\omega\, t + \pi)\;</math> c.-à-d. la même expression après simplification.</ref> ou encore «<math>\;\xi(x,\, t) = \dfrac{a}{\sin(k\, L)}\, \sin\! \left[ k\, (L - x) \right]\, \cos(\omega\, t)\;</math>». }} ==== Valeurs de fréquences de résonance ==== {{Al|5}}Déterminer les valeurs des fréquences de résonance ; {{Al|5}}interpréter et commenter ce phénomène de résonance ; {{Al|5}}quels seraient les fréquences propres ainsi que les modes propres associés à une corde identique <math>\;\big(</math>c'est-à-dire de même longueur, même masse linéique et même tension<math>\big)\;</math> fixée aux deux extrémités ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les « ventres d'oscillations <math>\;V\;</math> d'abscisse <math>\;x_V\;</math>» correspondent à «<math>\;\left\vert \sin\! \left[ k\, (L - x_V) \right] \right\vert = 1\;</math>», leur « amplitude valant <math>\;\dfrac{a}{\left\vert \sin(k\, L) \right\vert}\;</math>» est <u>maximale</u> pour les pulsations spatiales <math>\;\big(</math>ou norme de vecteurs d'onde<math>\big)\;</math> telles que <math>\;\left\vert \sin(k\, L) \right\vert\;</math> soit minimale c'est-à-dire « pour <math>\;\left\vert \sin(k\, L) \right\vert = 0\;</math>»<ref> Toutefois cette condition entraîne une amplitude aux ventres infinie, ce qui ne respecte pas le caractère constant de la longueur de la corde, il conviendrait alors d'introduire des éléments limitant cette amplitude, comme l'amortissement des perturbations lors de leur propagation <math>\;\big(</math>dû à des forces de frottement<math>\big)\;</math> et aussi la raideur de la corde ; <br>{{Al|3}}en ce qui concerne ce dernier point, la corde a été considérée comme infiniment élastique c.-à-d. que sa raideur a été supposée nulle <math>\;\big(</math>ainsi une force quasi nulle et par suite un apport d'énergie quasi nul sont suffisants pour provoquer un allongement fini de la corde<math>\big)</math>, ceci ayant pour conséquence la non limitation de l'amplitude aux ventres lors de la résonance, mais dès lors que l'on envisage une raideur non nulle pour la corde, une limitation apparaît due au fait qu'une partie de l'apport d'énergie doit être utilisée pour constituer la réserve d'énergie potentielle élastique de la corde ; <br>{{Al|3}}l'étude d'une corde possédant une raideur ne sera pas abordée à notre niveau, nous ne soulèverons donc pas plus la difficulté d'une amplitude aux ventres infinie lors de la résonance.</ref> ; les « valeurs de pulsations spatiales de résonance » sont donc obtenues pour «<math>\;k_n\, L = n\, \pi,\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», nous en déduisons : {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>les « pulsations spatiales de résonance <math>\;k_n = n\, \dfrac{\pi}{L},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>les « longueurs d'onde de résonance <math>\;\lambda_n = \dfrac{2\, \pi}{k_n} = 2\, \pi\, \dfrac{L}{n\, \pi} = \dfrac{2\, L}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref> Cette dernière forme <math>\;\lambda_n = \dfrac{2\, L}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est équivalente à <math>\;L = n\, \dfrac{\lambda_n}{2},\; n \in \mathbb{N}^{*}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>les « fréquences de résonance <math>\;f_n = \dfrac{c}{\lambda_n} = c\, \dfrac{n}{2\, L} = n\, \dfrac{c}{2\, L},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ; {{Al|5}}<u>remarque</u> : les longueurs d'onde de résonance étant <math>\;\lambda_n = \dfrac{2\, L}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*} \Leftrightarrow L = n\, \dfrac{\lambda_n}{2},\; n \in \mathbb{N}^{*}</math>, la « longueur de la corde à la résonance est un multiple de <math>\;\dfrac{\lambda_n}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|remarque : }}or l'extrémité du côté de la poulie étant un nœud, on en déduit qu'à la résonance le vibreur acquiert le statut de « nœud » en accord avec le fait que l'amplitude aux ventres à la résonance étant infinie, l'amplitude finie du vibreur peut être considérée comme quasi nulle ; {{Al|5}}<u>cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités</u> : la création d'une perturbation locale de petite durée engendre des <u>oscillations stationnaires aux fréquences propres<ref name="Fréquences propres"> Voir la définition dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Caractérisation_d'une_résonance_par_quantification_de_la_fréquence|caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence]] » plus loin dans ce chapitre.</ref> égales aux fréquences de résonance précédemment déterminées</u><ref name="fréquence propre et fréquence de résonance"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Recherche_des_ondes_stationnaires_libres,_notion_de_fréquences_propres_et_de_modes_propres|recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> d'où les valeurs des « fréquences propres<ref name="Fréquences propres" /> <math>\;f_{\text{propre},\, n} = f_n = n\, \dfrac{c}{2\, L},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», les modes propres d'oscillations associés étant les suivants : <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;n = 1\;</math> de fréquence propre<ref name="Fréquences propres" /> fondamentale <math>\;f_{\text{propre},\, 1} = f_1 = \dfrac{c}{2\, L}\;</math>», le mode propre associé correspond à un fuseau, <br>{{Al|10}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 1}\;</math> de fréquence propre fondamentale <math>\;\color{transparent}{f_{\text{propre},\, 1} = f_1 = \dfrac{c}{2\, L}}\;</math>», }}le ventre étant au milieu de la corde, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;n = 2\;</math> de fréquence propre<ref name="Fréquences propres" /> de rang <math>\;2</math>, <math>\;f_{\text{propre},\, 2} = f_2 = \dfrac{c}{L}\;</math>», le mode propre associé correspond à deux fuseaux, <br>{{Al|10}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 2}\;</math> de fréquence propre de rang <math>\;\color{transparent}{2}</math>, <math>\;\color{transparent}{f_{\text{propre},\, 2} = f_2 = \dfrac{c}{L}}\;</math>», }}le milieu de la corde étant un nœud, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;n = 3\;</math> de fréquence propre<ref name="Fréquences propres" /> de rang <math>\;3</math>, <math>\;f_{\text{propre},\, 3} = f_3 = \dfrac{3\, c}{2\, L}\;</math>», le mode propre associé correspond à trois fuseaux, <br>{{Al|10}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 3}\;</math> de fréquence propre de rang <math>\;\color{transparent}{3}</math>, <math>\;\color{transparent}{f_{\text{propre},\, 3} = f_3 = \dfrac{3\, c}{2\, L}}\;</math>», }}le milieu de la corde étant un ventre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math><math>\cdots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;n = 2\, p,\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math> de fréquence propre<ref name="Fréquences propres" /> de rang pair <math>\;2\, p</math>, <math>\;f_{\text{propre},\, 2\, p} = f_{2\, p} = \dfrac{p\, c}{L}\;</math>», le mode propre associé correspond à <math>\;2\, p\;</math> fuseaux, <br>{{Al|10}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 2\, p,\; p \in \mathbb{N}^{*}}\;</math> de fréquence propre de rang pair <math>\;\color{transparent}{2\, p}</math>, <math>\;\color{transparent}{f_{\text{propre},\, 2\, p} = f_{2\, p} = \dfrac{p\, c}{L}}\;</math>», }}le milieu de la corde étant un nœud, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math>«<math>\;n = 2\, p + 1,\; p \in \mathbb{N}\;</math> de fréquence propre<ref name="Fréquences propres" /> de rang impair <math>\;2\, p + 1</math>, <math>\;f_{\text{propre},\, 2\, p + 1} = f_{2\, p + 1} = \dfrac{(2\, p + 1)\, c}{2\, L}\;</math>» de mode propre à <math>\;2\, p + 1\;</math> fuseaux, <br>{{Al|10}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 2\, p + 1,\; p \in \mathbb{N}}\;</math> de fréquence propre de rang impair <math>\;\color{transparent}{2\, p + 1}</math>, <math>\;\color{transparent}{f_{\text{propre},\, 2\, p + 1} = f_{2\, p + 1} = \dfrac{(2\, p + 1)\, c}{2\, L}}\;</math>», }}le milieu de la corde étant un ventre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|cas d'une corde identique mais fixée aux deux extrémités : }}<math>\;\succ\;</math><math>\cdots</math> }} === Étude expérimentale === {{Al|5}}Dans une expérience de Melde<ref name="Melde" />, on suspend un solide de masse <math>\;m\;</math> à l'extrémité initialement attachée et qui passe maintenant dans la gorge d'une poulie<ref> Cela permet de tendre la corde et simultanément de connaître sa tension, l'expérience se passant sur Terre où l'intensité de la pesanteur est <math>\;g \simeq</math> <math>9,8\; m\! \cdot\! s^{-2}\;</math> <math>\big(</math>on suppose que la tension est suffisante pour que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe<math>\big)</math>.</ref>, on trouve alors les résultats suivants : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans une expérience de Melde, }}pour une même longueur <math>\;L\;</math> de la corde et une même masse <math>\;m\;</math> de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance de <math>\;38\, Hz\;</math> pour deux fuseaux et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Dans une expérience de Melde, pour une même longueur <math>\;\color{transparent}{L}\;</math> de la corde et une même masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> de solide accroché à celle-ci, on a une fréquence de résonance }}de <math>\;57\, Hz\;</math> pour trois fuseaux. ==== Autres valeurs de fréquences de résonance ==== {{Al|5}}Les valeurs numériques des fréquences de résonance observées sont-elles compatibles entre elles ? {{Al|5}}Dans le cas d'une réponse positive, préciser les valeurs de fréquences de résonance suivantes. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La « fréquence de résonance pour deux fuseaux <math>\;f_2 = 38\, Hz\;</math>» devant être liée à la fréquence propre fondamentale <math>\;f_{\text{propre},\, 1} = f_1\;</math> par la relation «<math>\;f_2 = 2\, f_1\;</math>» on en déduit cette dernière «<math>\;f_1 = \dfrac{f_2}{2} = 19\, Hz\;</math>» ; {{Al|5}}on vérifie alors le bon accord de l'expérience avec la théorie car la « fréquence de résonance pour trois fuseaux <math>\;f_3 = 57\, Hz\;</math>» correspond effectivement à «<math>\;f_3 = 3\, f_1\;</math>». {{Al|5}}Les fréquences de résonance suivantes correspondent aux fréquences propres<ref name="Fréquences propres" /> d'oscillation de la corde soit : {{Al|5}}{{Transparent|Les fréquences de résonance suivantes }}<math>\succ\;</math>«<math>\;n = 4\;</math> de fréquence de résonance <math>\;f_4 = f_{\text{propre},\, 4} = 4\, f_1 = 76\, Hz\;</math>», le « mode d'oscillation associé correspond à <math>\;4\;</math> fuseaux », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les fréquences de résonance suivantes <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 4}\;</math> de fréquence de résonance <math>\;\color{transparent}{f_4 = f_{\text{propre},\, 4} = 4\, f_1 = 76\, Hz}\;</math>», }}le milieu de la corde étant un nœud, {{Al|5}}{{Transparent|Les fréquences de résonance suivantes }}<math>\succ\;</math>«<math>\;n = 5\;</math> de fréquence de résonance <math>\;f_5 = f_{\text{propre},\, 5} = 5\, f_1 = 95\, Hz\;</math>», le « mode d'oscillation associé correspond à <math>\;5\;</math> fuseaux », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les fréquences de résonance suivantes <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{n = 5}\;</math> de fréquence de résonance <math>\;\color{transparent}{f_5 = f_{\text{propre},\, 5} = 5\, f_1 = 95\, Hz}\;</math>», }}le milieu de la corde étant un ventre, {{Al|5}}{{Transparent|Les fréquences de résonance suivantes }}<math>\succ\;</math><math>\cdots</math> }} ==== Détermination de la célérité de propagation des ondes sur cette corde ==== {{Al|5}}La longueur de la corde étant <math>\;L = 116\, cm</math>, en déduire la célérité <math>\;c\;</math> de propagation d'une perturbation sur cette corde. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Sachant que la longueur de la corde est <math>\;L = 1,16\, m\;</math> et que la fréquence propre fondamentale est <math>\;f_1 = \dfrac{c}{2\, L}</math>, nous en déduisons la « célérité de propagation d'une perturbation le long de la corde <math>\;c = 2\, L\, f_1\;</math>» soit numériquement «<math>\;c = 2 \times 1,16 \times 19 \simeq 44,1\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math>». }} ==== Détermination de la masse linéique de cette corde ==== {{Al|5}}La masse du solide accroché à la corde étant <math>\;m = 100\, g</math>, préciser la tension de la corde puis {{Al|5}}{{Transparent|La masse du solide accroché à la corde étant <math>\;\color{transparent}{m = 100\, g}</math>, }}déterminer un ordre de grandeur de la masse linéique de cette corde. {{Al|5}}<u>Rappel</u> : on démontre<ref> Mais on l'admet à ce niveau.</ref> que la célérité de propagation des ondes sur une corde <math>\;c\;</math> ne dépend que de la masse linéique <math>\;\mu\;</math> et de la tension <math>\;T\;</math> de cette corde selon «<math>\;c = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\;</math>»<ref> On vérifie l'homogénéité de la formule, <math>\;T\;</math> s'exprimant en <math>\;N = kg\! \cdot\! m\! \cdot\! s^{-2}</math>, <math>\;\dfrac{T}{\mu}\;</math> est donc en <math>\;\dfrac{kg\! \cdot\! m\! \cdot\! s^{-2}}{kg\! \cdot\! m^{-1}} = m^2\! \cdot\! s^{-2}\;</math> et par suite la racine carrée effectivement en <math>\;m\! \cdot\! s^{-1}</math>.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La tension de la corde, étant égale au poids du solide suspendu, vaut «<math>\;T_0 = m\, g = 100\, 10^{-3} \times 9,8 \simeq 0,98\; N\;</math>». {{Al|5}}La « célérité de propagation d'une perturbation le long de la corde étant liée à la tension de cette dernière ainsi qu'à sa masse linéique par <math>\;c = \sqrt{\dfrac{T_0}{\mu}}\;</math>» on en déduit la « masse linéique de cette corde <math>\;\mu = \dfrac{T_0}{c^2}\;</math>» soit numériquement d'ordre de grandeur <math>\;\mu \simeq \dfrac{0,98}{(44,1)^2} \simeq 5,0\; 10^{-4}\; kg\! \cdot\! m^{-1}\;</math> ou «<math>\;\mu \simeq 0,50\; g\! \cdot\! m^{-1}\;</math>»<ref> Il ne s'agit que d'un ordre de grandeur, la précision sur la célérité de propagation d'une perturbation n'étant pas assurée.</ref>. }} == Anharmonicité d'une corde de piano == {{Al|5}}Nous nous intéressons aux modes propres d'une corde de piano de longueur <math>\;L</math>, fixée en ses deux extrémités et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous }}supposons que les pulsations spatiale <math>\;k\;</math> et temporelle <math>\;\omega\;</math> d'une onde se propageant le long de cette corde sont liées par «<math>\;\omega = c\, k\, \sqrt{1 + \alpha\, k^2}\;</math>» où «<math>\;c\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> dépendent de la matière composant la corde, de la section de cette dernière et de sa tension mais pas de sa longueur <math>\;L\;</math>» <math>\;\big(</math>le « cœfficient <math>\;\alpha\;</math> étant dû à la raideur de la corde »<ref> Il serait nul pour une corde parfaitement souple comme la corde de Melde.</ref><math>\big)</math>. === Détermination des unités de c et α par considérations dimensionnelles === {{Al|5}}Déterminer, par considérations dimensionnelles, les unités de <math>\;c\;</math> et <math>\;\alpha\;</math> de la relation «<math>\;\omega = c\, k\, \sqrt{1 + \alpha\, k^2}\;</math>» dans laquelle <math>\;k\;</math> et <math>\;\omega\;</math> sont respectivement les pulsations spatiale et temporelle d'une onde transversale se propageant le long de la corde considérée puis, {{Al|5}}commenter les résultats obtenus. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les pulsations spatiale <math>\;k\;</math> et temporelle <math>\;\omega\;</math> d'une onde se propageant le long de la corde considérée étant liées par la relation <math>\;\big(</math>dite « [[w:Relation_de_dispersion|de dispersion]] »<math>\big)</math> <math>\;\omega = c\, k\, \sqrt{1 + \alpha\, k^2}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;c = \dfrac{\omega}{k\, \sqrt{1 + \alpha\, k^2}}\;</math>» ; {{Al|5}}«<math>\;c = \dfrac{\omega}{k\, \sqrt{1 + \alpha\, k^2}}\;</math> a la même homogénéité que <math>\;\dfrac{\omega}{k}\;</math>» dans la mesure où «<math>\;\sqrt{1 + \alpha\, k^2}\;</math> est nécessairement sans dimension », d'où <br>{{Al|5}}«<math>\;c\;</math> est exprimée en <math>\;\dfrac{\cancel{rad\, \cdot} s^{-1}}{\cancel{rad\, \cdot} \cdot m^{-1}}\;</math>»<ref name="unités de omega et k"> La pulsation temporelle <math>\;\omega\;</math> s'exprimant en <math>\;rad \cdot s^{-1}\;</math> et la pulsation spatiale <math>\;k\;</math> en <math>\;rad \cdot m^{-1}</math>.</ref>{{,}}<ref name="unités non physiques"> On rappelle que le <math>\;rad\;</math> n'est pas une unité à comptabiliser dans les dimensions de la physique, raison pour laquelle cette unité est rayée.</ref> soit finalement «<math>\;c\;</math> en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math>» correspondant effectivement à la dimension de la célérité de propagation des ondes le long de cette corde et {{Al|5}}«<math>\;\alpha\;</math> est telle que <math>\;\alpha\, k^2\;</math> est sans dimension » avec «<math>\;k\;</math> s'exprimant en <math>\;\cancel{rad\, \cdot} m^{-1}\;</math>»<ref name="unités non physiques" /> d'où «<math>\;\alpha\;</math> en <math>\;m^2\;</math>», constante ayant les dimensions d'une surface.}} === Détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée === {{Al|5}}Supposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, déterminer les « valeurs possibles de pulsation spatiale <math>\;k\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Supposant une onde stationnaire établie le long de la corde considérée, }}préciser les « fréquences <math>\;\big(</math>temporelles<math>\big)\;</math> correspondantes <math>\;f\;</math> en fonction, entre autres, de <math>\;c</math>, <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;L\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, sa « longueur <math>\;L\;</math> doit être un multiple de <math>\;\dfrac{\lambda}{2}\;</math>»<ref name="fréquence propre et fréquence de résonance" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, }}les valeurs possibles de « longueurs d'onde <math>\;\lambda_n = \dfrac{2\, L}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, }}celles de la « pulsation spatiale <math>\;k\;</math> liée à la longueur d'onde <math>\;\lambda\;</math> par <math>\;k = \dfrac{2 \pi}{\lambda}\;</math>» soit «<math>\;k_n = n\, \dfrac{\pi}{L},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, }}les pulsations correspondantes sont «<math>\;\omega_n = c\, k_n\, \sqrt{1 + \alpha\, k_n^2} = n\, \dfrac{\pi\, c}{L}\, \sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les extrémités de la corde sur laquelle est créée une onde stationnaire étant fixes, }}les fréquences <math>\;\big(</math>temporelles<math>\big)\;</math> correspondantes «<math>\;f_n = \dfrac{\omega_n}{2 \pi}\;</math>» soit «<math>\;f_n = n\, \dfrac{c}{2\, L}\, \sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>»<ref> Nous retrouvons les fréquence propres d'une corde sans raideur «<math>\;{f'}_{\!n} = n\, \dfrac{c}{2\, L}\;</math>» en faisant <math>\;\alpha = 0\;</math> dans l'expression de <math>\;f_n\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous }}constatons que la raideur a une influence d'autant plus importante que le rang de l'harmonique est élevé, cette influence correspondant au facteur multiplicatif «<math>\;\sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}}\;</math>».</ref>. }} === Anharmonicité des cordes de piano quand celles-ci ont de la raideur et méthode pour diminuer leur anharmonicité === {{Al|5}}D'après les valeurs possibles de fréquence <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)\;</math> d'une corde de piano ayant de la raideur, nous constatons que la fréquence d'un harmonique de rang non unitaire n'est pas multiple de la fréquence fondamentale<ref name="justification de l'anharmonicité"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_des_valeurs_possibles_de_pulsation_spatiale_et_de_fréquence_(temporelle)_lors_de_l'établissement_d'une_onde_stationnaire_le_long_de_la_corde_envisagée|détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée]] » plus haut dans cet exercice.</ref>, on parle alors d'« anharmonicité », cette dernière altérant la qualité du son ; {{Al|5}}expliquer pourquoi, allonger les cordes d'un piano, permet d'améliorer la qualité du son qu'elle engendre<ref name="piano de concert"> Raison pour laquelle les cordes d'un piano de concert sont plus longues que les cordes d'un piano de salon.</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Ayant établi, dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_des_valeurs_possibles_de_pulsation_spatiale_et_de_fréquence_(temporelle)_lors_de_l'établissement_d'une_onde_stationnaire_le_long_de_la_corde_envisagée|détermination des valeurs possibles de pulsation spatiale et de fréquence (temporelle) lors de l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde envisagée]] » plus haut dans cet exercice, que les valeurs possibles de fréquence <math>\;\big(</math>temporelle<math>\big)\;</math> d'une corde de piano ayant de la raideur s'écrivent selon «<math>\;f_n = n\, \dfrac{c}{2\, L}\, \sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>», nous constatons que * la fréquence <math>\;f_n\;</math> de l'harmonique de rang <math>\;n\;</math> d'une corde avec raideur diffère de la fréquence <math>\;{f'}_{\!n} = n\, \dfrac{c}{2\, L}\;</math> de l'harmonique de même rang <math>\;n\;</math> de la corde supposée sans raideur, «<math>\;\dfrac{f_n}{{f'}_{\!n}} = \sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}}\;</math>», * la fréquence <math>\;f_1\;</math> de l'harmonique fondamental d'une corde avec raideur diffère de la fréquence <math>\;{f'}_{\!1} = \dfrac{c}{2\, L}\;</math> de l'harmonique fondamental de la corde supposée sans raideur, «<math>\;\dfrac{f_1}{{f'}_{\!1}} = \sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{L^2}}\;</math>» et enfin, * alors que <math>\;{f'}_{\!n} = n\, {f'}_{\!1}\;</math> c'est-à-dire que la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;n \neq 1\;</math> est multiple de la fréquence de l'harmonique fondamental pour la corde supposée sans raideur, * <math>\;\dfrac{f_n}{f_1} = \dfrac{{f'}_{\!n}}{{f'}_{\!1}}\,\dfrac{\sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}}}{\sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{L^2}}} = n\,\dfrac{\sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}}}{\sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{L^2}}} \neq n\;</math> si <math>\;n \neq 1\;</math> c'est-à-dire que la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;n \neq 1\;</math> n'est pas <math>\;n\;</math> fois la fréquence de l'harmonique fondamental pour la corde avec raideur, ceci définissant l'« anharmonicité » de la corde avec raideur, ce qui correspond à une altération de la qualité du son. {{Al|5}}Une façon de diminuer l'« anharmonicité » de la corde avec raideur consiste à rendre le rapport <math>\;\dfrac{\sqrt{1 + \alpha\, n^2 \dfrac{\pi^2}{L^2}}}{\sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{L^2}}}\;</math> le plus proche possible de <math>\;1\;</math> pour <math>\;n\;</math> fixé, ce qui est d'autant mieux réalisé que la longueur <math>\;L\;</math> de la corde est grande <math>\;\big(</math>l'égalité à <math>\;1\;</math> étant obtenue pour une longueur infinie<math>\big)\;</math> d'où la raison pour laquelle les cordes d'un piano de concert sont plus longues que celles d'un piano de salon. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : augmenter la longueur des cordes d'un piano a aussi pour effet de diminuer la fréquence fondamentale de chaque corde «<math>\;f_1 = \dfrac{c}{2\, L}\, \sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{L^2}} \simeq \dfrac{c}{2\, L}\;</math> si <math>\;L\;</math> est grande » ainsi <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}doubler la longueur <math>\;L_0\;</math> d'une corde selon <math>\;{L'}_{\!0} = 2\, L_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa fréquence fondamentale <math>\;{f'}_{\!1} = \dfrac{c}{2\, {L'}_{\!0}}\, \sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{{L'}_{\!0}^2}} \simeq \dfrac{c}{4\, L_0}\;</math> est approximativement divisée par <math>\;2\;</math> il y a donc diminution de l'« anharmonicité » de cette corde mais pour une fréquence fondamentale plus grave, la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;2\;</math> de cette corde allongée étant <math>\;{f'}_{\!2} = 2\,\dfrac{c}{2\, {L'}_{\!0}}\, \sqrt{1 + \alpha\, 4\,\dfrac{\pi^2}{{L'}_{\!0}^2}} = \dfrac{c}{2\, L_0}\, \sqrt{1 + \alpha\, \dfrac{\pi^2}{L_0^2}} = f_1\;</math> c'est-à-dire la fréquence fondamentale de la corde non allongée <math>\Rightarrow</math> nous retrouvons la même « anharmonicité » pour cette fréquence <math>\;\big(</math>cette dernière étant la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;2\;</math> de la corde allongée et non plus la fréquence fondamentale de la corde non allongée mais avec une même « anharmonicité »<math>\big)\;</math><ref> De même la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;2\, p\;</math> de cette corde allongée étant <math>\;{f'}_{\!2\, p} = 2\, p\,\dfrac{c}{2\, {L'}_{\!0}}\, \sqrt{1 + \alpha\, 4\,p^2\,\dfrac{\pi^2}{{L'}_{\!0}^2}} = p\,\dfrac{c}{2\, L_0}\, \sqrt{1 + \alpha\, p^2\,\dfrac{\pi^2}{L_0^2}} = f_p\;</math> c.-à-d. la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;p\;</math> de la corde non allongée <math>\Rightarrow</math> nous retrouvons la même « anharmonicité » pour cette fréquence <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en conclusion l'allongement des cordes d'un piano de concert relativement à celles d'un piano de salon diminue l'« anharmonicité » des cordes simultanément à la diminution de leur fréquence fondamentale <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : en conclusion }}mais, pour une fréquence souhaitée, cet allongement n'a, à 1^ère vue, aucune influence sur l'« anharmonicité » des cordes d'un piano de concert, il conviendrait de chercher une autre raison à cette augmentation réelle de la qualité du son <math>\;\ldots</math> }} == Fréquences propres d'un tuyau sonore == {{Al|5}}La colonne d'air contenue dans un instrument à vent <math>\;\big(</math>[[w:Flûte|flûte]], [[w:Clarinette|clarinette]] <math>\ldots\,\big)\;</math> ou dans un tuyau d'orgue vibre selon des « modes propres correspondant à des C.A.L<ref name="C.A.L." />. données » ; dans une modélisation très simple on envisage deux types de conditions suivant que l'extrémité est ouverte ou fermée. === C.A.L. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée === {{Al|5}}Rappelez la C.A.L<ref name="C.A.L." />. sur la surpression acoustique de la colonne d'air suivant la nature « ouverte ou fermée » de l'extrémité considérée<ref name="C.A.L. aux extrémités d'un tuyau sonore"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Propriétés_d'une_extrémité_d'un_tuyau_sonore_suivant_qu'elle_est_ouverte_ou_fermée|propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Propriétés_d'une_extrémité_d'un_tuyau_sonore_suivant_qu'elle_est_ouverte_ou_fermée|propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » pour les C.A.L<ref name="C.A.L." />. sur la surpression acoustique ou la vibration de tranches d'air d'une onde stationnaire dans un tuyau, celle concernant la surpression acoustique étant rappelée ci-dessous : * « si <u>l’extrémité est ouverte</u> », il y a continuité de la pression, la pression étant imposée de l'extérieur et ne pouvant varier il s'agit d'un « <u>nœud de surpression acoustique</u> », * « <u>si l'extrémité est fermée</u> », la pression pouvant varier sans contrainte, on établit qu'il s'agit d'un « <u>ventre de surpression acoustique</u> »<ref name="lien entre surpression acoustique et vibration des tranches d'air"> En effet on peut montrer <math>\;\big(</math>mais on admet ici<math>\big)\;</math> que nœuds d'« élongation de tranche d'air » et ventres de « surpression acoustique » sont confondus pour des ondes stationnaires, comme une extrémité fermée correspond nécessairement à un nœud d'élongation, il s'agit donc d'un ventre de surpression.</ref>.}} === Modes propres de vibration d'une colonne d'air de longueur fixée et de célérité de propagation des vibrations connue === {{Al|5}}Nous étudions les modes propres de vibration dans un tuyau de longueur «<math>\;L\;</math>» fixée dans lequel la célérité de propagation des ondes est «<math>\;c\;</math>» connue. ==== Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsque ses deux extrémités sont ouvertes ==== {{Al|5}}Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsque ses deux extrémités sont ouvertes puis {{Al|5}}représenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang <math>\;3\;</math>». {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les deux extrémités ouvertes étant des nœuds de surpression, « la longueur du tuyau doit être un multiple de <math>\;\dfrac{\lambda}{2}\;</math>»<ref name="tuyau à deux extrémités ouvertes"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Les_deux_extrémités_étant_ouvertes_(exemple_des_orgues)|les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux extrémités ouvertes étant des nœuds de surpression, }}les « longueurs d'onde <math>\;\lambda_n,\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» correspondant aux « modes propres définis par <math>\;L = n \dfrac{\lambda_n}{2},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\lambda_n = \dfrac{2\, L}{n},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux extrémités ouvertes étant des nœuds de surpression, }}les « fréquences propres <math>\;f_n,\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» se déduisant de <math>\;\lambda = \dfrac{c}{f} \Leftrightarrow f = \dfrac{c}{\lambda}\;</math> soit «<math>\;f_n = \dfrac{c}{\lambda_n} = \dfrac{c}{\dfrac{2\, L}{n}} = n\, \dfrac{c}{2\, L},\; n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>». <center>Ci-dessous la représentation schématique de la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode propre d'ondes stationnaires c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang <math>\;3\;</math>» :</center> [[File:Tuyau sonore ouvert aux 2 extrémités - mode 3 d'ondes stationnaires.png|thumb|center|300px]]}} ==== Détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte ==== {{Al|5}}Déterminer les fréquences des modes propres du tuyau lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte puis {{Al|5}}représenter schématiquement la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang <math>\;5\;</math>» <math>\;\big(</math>justifier cette dernière assertion<math>\big)</math>. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Les deux extrémités étant de nature différente, l'une <math>\;\big(</math>ouverte<math>\big)\;</math> étant un nœud de surpression et l'autre <math>\;\big(</math>fermée<math>\big)\;</math> un ventre, « la longueur du tuyau doit être égale <math>\;\dfrac{\lambda}{4}\;</math> à un multiple de <math>\;\dfrac{\lambda}{2}\;</math> près »<ref name="tuyau à extrémités de nature différente"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Une_extrémité_ouverte_et_l'autre_fermée_(exemple_des_clarinettes)|une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux extrémités étant de nature différente, l'une <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ouverte<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> étant un nœud de surpression et l'autre <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> un ventre, }}les « longueurs d'onde <math>\;\lambda_{2\, n + 1},\; n \in \mathbb{N}\;</math>» correspondant aux « modes propres définis par <math>\;L = (2\, n + 1)\, \dfrac{\lambda_{2\, n + 1}}{4},\; n \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\lambda_{2\, n + 1} = \dfrac{4\, L}{2\, n + 1},\; n \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ainsi n'existent, dans un tuyau aux deux extrémités de nature différente, que les harmoniques de rang impair<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les deux extrémités étant de nature différente, l'une <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ouverte<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> étant un nœud de surpression et l'autre <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> un ventre, }}les « fréquences propres <math>\;f_{2\, n + 1},\; n \in \mathbb{N}\;</math>» se déduisant de <math>\;\lambda = \dfrac{c}{f} \Leftrightarrow f = \dfrac{c}{\lambda}\;</math> soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Les deux extrémités étant de nature différente, l'une <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ouverte<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> étant un nœud de surpression et l'autre <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fermée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> un ventre,les « fréquences propres}}«<math>\;f_{2\, n + 1} = (2\, n + 1) \dfrac{c}{4\, L},\; n \in \mathbb{N}\;</math>». <center>Ci-dessous la représentation schématique de la surpression acoustique dans le tuyau pour le 3^ème mode propre d'ondes stationnaires c'est-à-dire pour l'« harmonique de rang <math>\;5\;</math>», <br>{{Al|22}}<math>\;\big\{</math>seuls les harmoniques de rang impair existant, le 1^er mode est l'harmonique fondamental, le 2^ème mode, l'harmonique de rang <math>\;3\;</math> et le 3^ème mode, celui de rang <math>\;5\big\}\;</math> :</center> [[File:Tuyau sonore ouvert à droite et fermé à gauche - mode 3 d'ondes stationnaires.png|thumb|center|300px]]}} === Étude de grandes orgues === {{Al|5}}Sachant que des [[w:Orgue#Caractéristiques_et_particularités|grandes orgues]] peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde d'un son de fréquence «<math>\;32,7\, Hz\;</math>», correspondant au « Do⁰ », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer la longueur d'onde }}en prenant la valeur de la célérité du son à <math>\;0\, \text{°C}\;</math> dans l'air égale à «<math>\;c = 331\, m \cdot s^{-1}\;</math>» ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Sachant que des grandes orgues peuvent produire des notes très graves, calculer }}la longueur minimale du tuyau produisant cette note. {{Solution|contenu ={{Al|5}}La « longueur d'onde <math>\;\lambda_1\;</math> associée à la fréquence <math>\;f_1\;</math> correspondant au Do⁰ » est <math>\;\lambda_1 = \dfrac{c}{f_1} = \dfrac{331}{32,7}\;</math> en <math>\;m\;</math> soit «<math>\;\lambda_1 \simeq 10,122\, m \simeq 10,12\, m\;</math>». {{Al|5}}<u>Longueur minimale du tuyau produisant ce son</u> : pour que le son émis dans un tuyau de longueur fixée soit le plus grave possible il faut que ce dernier ait une extrémité fermée ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Longueur minimale du tuyau produisant ce son : }}la longueur du tuyau sera alors minimale si la longueur d'onde produite est celle du mode fondamental c'est-à-dire «<math>\;\lambda_1 \simeq 10,12\, m\;</math>» telle que «<math>\;L = \dfrac{\lambda_1}{4}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Longueur minimale du tuyau produisant ce son : la longueur du tuyau sera }}«<math>\;L \simeq \dfrac{10,12}{4}\;</math> en <math>\;m\;</math>» et finalement «<math>\;L \simeq 2,531\, m \simeq 2,53\, m\;</math>». }} === Modélisation d'une clarinette === {{Al|5}}Nous supposons qu'une [[w:Clarinette|clarinette]] peut être modélisée très grossièrement par un tube fermé au niveau de l'[[w:Embouchure_(musique)|embouchure]] et ouvert à son autre extrémité de l'instrument. ==== Recherche des harmoniques sonores produits par une clarinette ==== {{Al|5}}Expliquer pourquoi le son produit par une [[w:Clarinette|clarinette]] ne comporte que des harmoniques de rang impair. {{Solution|contenu ={{Al|5}}Le son produit par une [[w:Clarinette|clarinette]] ne comporte que des harmoniques de rang impair car cette dernière est modélisée par un tuyau à extrémités fermée au niveau de l'[[w:Embouchure_(musique)|embouchure]] et ouverte à l'autre extrémité <math>\;\big\{</math>revoir la justification dans la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_des_fréquences_des_modes_propres_de_la_colonne_d'air_lorsqu'une_de_ses_deux_extrémités_est_fermée,_l'autre_étant_ouverte|détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte]] » plus haut dans cet exercice<math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair }}le mode fondamental étant de fréquence «<math>\;f_1 = \dfrac{c}{4\, L},\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le son produit par une clarinette ne comporte que des harmoniques de rang impair }}le mode générique associé à l'harmonique de rang <math>\;2\, n + 1,\; n \in \mathbb{N}^{*}</math>, de fréquence «<math>\;f_{2\, n + 1} = (2\, n + 1)\, \dfrac{c}{4\, L},\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math>». }} ==== Influence d'une « clé de douzième » sur les fréquences propres sonores émises par une clarinette ==== {{Al|5}}Toute [[w:Clarinette|clarinette]] est munie d'une « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » ouvrant un trou situé à «<math>\;\dfrac{L}{3}\;</math>» de l'[[w:Embouchure_(musique)|embouchure]]. {{Al|5}}Quelles sont dans ce cas, les longueurs d'ondes des modes propres du tuyau modélisant la [[w:Clarinette|clarinette]] entre [[w:Embouchure_(musique)|embouchure]] et « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » ? {{Al|5}}Quel est l'effet de l'ouverture du trou sur la fréquence du son émis par l'instrument <math>\;\big(</math>faire une application numérique en considérant une « [[w:Clarinette#La_famille_des_clarinettes_modernes|clarinette en si bémol]] » de longueur «<math>\;L = 71\, cm\;</math>» de façon à comparer concrètement la fréquence émise lorsque le trou est ouvert à celle émise lorsqu'il est bouché<math>\big)</math> ? {{Solution|contenu ={{Al|5}}La « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] d'une [[w:Clarinette|clarinette]] » étant modélisée par un « trou situé à <math>\;\dfrac{L}{3}\;</math> de l'[[w:Embouchure_(musique)|embouchure]] de la [[w:Clarinette|clarinette]] » impose, quand le trou est ouvert, un nœud de surpression alors que <br>{{Al|5}}l'« [[w:Embouchure_(musique)|embouchure]] de la [[w:Clarinette|clarinette]] » modélisée par une extrémité fermée est un ventre de surpression, <br>{{Al|5}}s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde <math>\;\lambda'\;</math> doivent être nécessairement telles que «<math>\;\dfrac{L}{3} = (2\, n' + 1)\, \dfrac{\lambda'}{4},\; n' \in \mathbb{N}\;</math>»<ref name="fréquences propres d'un tuyau à extrémités de nature différente"> Voir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_des_fréquences_des_modes_propres_de_la_colonne_d'air_lorsqu'une_de_ses_deux_extrémités_est_fermée,_l'autre_étant_ouverte|détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsqu'une de ses deux extrémités est fermée, l'autre étant ouverte]] » plus haut dans cet exercice.</ref> mais aussi <br>{{Al|5}}{{Transparent|s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde <math>\;\color{transparent}{\lambda'}\;</math> doivent être nécessairement }}telles que, « dans la longueur restante <math>\;\dfrac{2\, L}{3}</math>, il y ait un multiple de <math>\;\dfrac{\lambda'}{2}\;</math>»<ref> En effet la longueur restante <math>\;\dfrac{2\, L}{3}\;</math> étant la distance entre deux trous en lesquels doivent être observés des nœuds de surpression, revoir la solution de la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Propagation_d'un_signal_:_Ondes_stationnaires_mécaniques#Détermination_des_fréquences_des_modes_propres_de_la_colonne_d'air_lorsque_ses_deux_extrémités_sont_ouvertes|détermination des fréquences des modes propres de la colonne d'air lorsque ses deux extrémités sont ouvertes]] » plus haut dans cet exercices.</ref>, ce qui est réalisé car <br>{{Al|5}}{{Transparent|s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde <math>\;\color{transparent}{\lambda'}\;</math> doivent être nécessairement }}« la 1^ère condition <math>\;\dfrac{L}{3} = (2\, n' + 1)\, \dfrac{\lambda'}{4},\; n' \in \mathbb{N}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde <math>\;\color{transparent}{\lambda'}\;</math> doivent être nécessairement « la 1^ère condition <math>\;\color{transparent}{\dfrac{L}{3}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|1}}{{Transparent|s'il y a ondes stationnaires résonantes, les longueurs d'onde <math>\;\color{transparent}{\lambda'}\;</math> doivent être nécessairement « la 1^ère condition }}«<math>\;\dfrac{2\, L}{3} = (2\, n' + 1)\, \dfrac{\lambda'}{2},\; n' \in \mathbb{N}\;</math> c'est-à-dire la 2^ème condition » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|s'il y a ondes stationnaires résonantes, }}finalement les longueurs d'onde <math>\;\lambda'\;</math> des modes propres avec la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » sont telles que «<math>\;\dfrac{L}{3} = (2\, n' + 1)\, \dfrac{{\lambda'}_{\!2\, n' + 1}}{4},\; n' \in \mathbb{N}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|s'il y a ondes stationnaires résonantes, finalement les longueurs d'onde <math>\;\color{transparent}{\lambda'}\;</math> des modes propres avec la « clé de douzième » sont }}«<math>\;{\lambda'}_{\!2\, n' + 1} = \dfrac{4\, L}{3\, (2\, n' + 1)},\; n' \in \mathbb{N}\;</math>». {{Al|5}}<u>Effet de l'ouverture du trou de la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » sur la fréquence du son émis</u> : les fréquences propres avec utilisation de la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » «<math>\;{f'}_{\!2\, n' + 1} = \dfrac{c}{{\lambda'}_{\!2\, n' + 1}} = \dfrac{c}{\dfrac{4\, L}{3\, (2\, n' + 1)}},\; n' \in \mathbb{N}\;</math>» valent <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : les fréquences propres avec utilisation de la « clé de douzième » }}«<math>\;{f'}_{\!2\, n' + 1} = (2\, n' + 1)\, \dfrac{3\, c}{4\, L},\; n' \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : les fréquences propres }}sans utilisation de la « clé de douzième » elles valent «<math>\;f_{2\, n + 1} = (2\, n + 1)\, \dfrac{c}{4\, L},\;n \in \mathbb{N}\;</math>»<ref name="fréquences propres d'un tuyau à extrémités de nature différente" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : }}l'utilisation de la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » multiplie la fréquence propre fondamentale par un facteur <math>\;3\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : l'utilisation de la « clé de douzième » }}«<math>\;{f'}_{\!1} = \dfrac{3\, c}{4\, L} = 3\, \dfrac{c}{4\, L} = f_3\;</math>» <math>\;\big\{</math>la fréquence propre fondamentale du son émis par la [[w:Clarinette|clarinette]] utilisant sa « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » est identique à celle de l'harmonique de rang <math>\;3\;</math> du son que la [[w:Clarinette|clarinette]] émet sans utilisation de sa « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] »<math>\big\}</math>, de même avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : }}l'utilisation de la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] », «<math>\;{f'}_{\!3} = 3\, \dfrac{3\, c}{4\, L} = 9\, \dfrac{c}{4\, L} = f_9\;</math>» <math>\;\big\{</math>la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;3\;</math> du son émis par la [[w:Clarinette|clarinette]] utilisant sa « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » est identique à celle de l'harmonique de rang <math>\;9\;</math> du son que la [[w:Clarinette|clarinette]] émet sans utilisation de sa « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] »<math>\big\}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : }}l'utilisation de la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] », «<math>\;{f'}_{\!5} = 5\, \dfrac{3\, c}{4\, L} = 15\, \dfrac{c}{4\, L} = f_{15}\;</math>» <math>\;\big\{</math>la fréquence de l'harmonique de rang <math>\;5\;</math> du son émis par la [[w:Clarinette|clarinette]] utilisant sa « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » est identique à celle de l'harmonique de rang <math>\;15\;</math> du son que la [[w:Clarinette|clarinette]] émet sans utilisation de sa « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] »<math>\big\}\;</math> etc, en conclusion <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : }}l'utilisation de la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » multiplie la fréquence du son sortant de la [[w:Clarinette|clarinette]] par un facteur <math>\;3</math> <math>\;\big\{</math>raison pour laquelle cette clé est appelée « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » car, dans une [[w:Douzième_(musique)|douzième]] juste, le rapport de fréquences entre les deux notes extrêmes de l'intervalle est <math>\;3 : 1\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : }}pour une « [[w:Clarinette#La_famille_des_clarinettes_modernes|clarinette en si bémol]] » de longueur «<math>\;L = 71\, cm\;</math>», la fréquence fondamentale, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : pour une « clarinette en si bémol » }}sans utiliser la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » est «<math>\;f_1 = \dfrac{c}{4\, L} = \dfrac{331}{4 \times 0,71} \simeq 116,5\, Hz\;</math>»<ref> Il s'agit d'un «<math>\;{Si\, \flat}^1\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le tableau “fréquences des notes (en hertz) dans la [[w:Gamme_tempérée|gamme tempérée (tempérament égal)]]” du paragraphe [[w:Note_de_musique#Fréquence_d'une_note_-_physique_du_son_(acoustique)|fréquence d'une note - physique du son (acoustique)]] de {{Nobr|wikipédia<math>\big\}\;</math>}} d'où le nom de la clarinette.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Effet de l'ouverture du trou de la « clé de douzième » sur la fréquence du son émis : pour une « clarinette en si bémol » }}en utilisant la « [[w:Clé_(organologie)#Clé_d'octave_ou_de_douzième_(quintoiement)|clé de douzième]] » «<math>\;{f'}_{\!1} = \dfrac{3\, c}{4\, L} = \dfrac{3 \times 331}{4 \times 0,71} \simeq 349,5\, Hz\;</math>»<ref> Il s'agit d'un «<math>\;Fa^3\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le tableau “fréquences des notes (en hertz) dans la [[w:Gamme_tempérée|gamme tempérée (tempérament égal)]]” du paragraphe [[w:Note_de_musique#Fréquence_d'une_note_-_physique_du_son_(acoustique)|fréquence d'une note - physique du son (acoustique)]] de {{Nobr|wikipédia<math>\big\}</math>.}}</ref>. }} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Propagation d'un signal : Battements/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini/]] }} bvpjl50jz247dp8xnwp7g0t58mcey55 0 62000 982787 974045 2026-05-13T15:25:50Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982787 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques/]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus/]] }} == Observation du phénomène de diffraction en optique == === Rappel des fréquences lumineuses dans le domaine visible, longueurs d'onde associées dans le vide === {{Al|5}}Le domaine du visible en fréquence étant <math>\;f_{\text{rouge}} = 390\; THz < f < f_{\text{violet}} = 790\; THz\;</math><ref> <math>\;1\; THz = 10^{12}\; Hz\;</math> lire « térahertz ».</ref> et la lumière étant une onde électromagnétique de célérité dans le vide <math>\;c \simeq 3\, 10^8\; m\! \cdot\! s^{-1}</math>, on en déduit de domaine des longueurs d'onde dans le vide grâce à <math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{f}\;</math><ref> On ajoute l'indice <math>\;{}_0\;</math> pour distinguer la longueur d'onde dans le vide de la longueur d'onde dans le milieu transparent.</ref> soit : <div style="text-align: center;">«<math>\;\lambda_{0,\, \text{violet}} = 0,380\; \mu m < \lambda_0 < \lambda_{0,\, \text{rouge}} = 0,780\; \mu m\;</math>»<ref> Quelques autres longueurs d'onde dans le vide peuvent être retenues en lien avec la couleur observée : <br>{{Al|3}}«<math>\;\lambda_{0,\, \text{bleu}} \in \left[ 0,435\; \mu m\, ;\, 0,465\; \mu m \right]\;</math>», «<math>\;\lambda_{0,\, \text{vert}} \in \left[ 0,500\; \mu m\, ;\, 0,560\; \mu m \right]\;</math>», «<math>\;\lambda_{0,\, \text{jaune}} \in \left[ 0,560\; \mu m\, ;\, 0,590\; \mu m \right]\;</math>» et «<math>\;\lambda_{0,\, \text{rouge}} \in \left[ 0,620\; \mu m\, ;\, 0,780\; \mu m \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>partant du rouge moyen à <math>\;620\; nm</math>, passant par le rouge primaire à <math>\;700\; nm\;</math> et allant jusqu'au rouge extrême à <math>\;780\; nm\big)</math>.</ref>.</div> === Introduction aux phénomènes de diffraction par limitation d'un faisceau lumineux === {{Al|5}}Une source lumineuse ponctuelle émet en « espace libre » <ref> C.-à-d. sans limite ni obstacle.</ref> une onde progressive se propageant dans toutes les directions <math>\;\big(</math>milieu tridimensionnel<math>\big)</math> ; mais pratiquement jamais une expérience n'est entièrement réalisée en espace libre car <u>tous les dispositifs pratiques introduisent des limitations de l'expansion spatiale des ondes</u>, ce sont par exemple : * les sources entourées d'une enveloppe, percée d'un orifice par lequel sort l'onde, * les instruments permettant d'analyser l'onde <math>\;\big(</math>capteur ou œil<math>\big)\;</math> et ne collectant qu'une partie de la lumière, * les éléments optiques rencontrés par la lumière entre les sources et les capteurs et qui n'ont qu'une expansion finie ; {{Al|5}}le fait de limiter l'expansion d'une onde lumineuse peut en modifier les propriétés, cette modification éventuelle correspond au phénomène de diffraction. === Diffraction à l'infini === {{Al|5}}La cause dominante de limitation de l'expansion spatiale des ondes lumineuses est la présence d'un <u>diaphragme de faible diamètre</u><ref> On parle de « diaphragme » pour une ouverture à bord circulaire.</ref> ou d'une <u>fente de faible largeur</u> ; une observation à grande distance du diaphragme ou de la fente est estimée faite à l'infini et, si on observe un phénomène de diffraction, on parlera de « diffraction à l'infini » ; [[File:Diffraction - fente fine.jpg|thumb|550px|Dispositif expérimental de diffraction d'un laser par une fente fine, franges observées]] {{Al|5}}un faisceau laser émettant une onde lumineuse progressive « quasi unidimensionnelle » <ref> La source est considérée comme étant à l'infini, ce qui se manifeste par une expansion de l'onde émise par le faisceau laser quasi cylindrique de diamètre de l'ordre de quelques <math>\;mm\;</math> d'où le qualificatif « quasi unidimensionnelle ».</ref> et monochromatique <ref> C.-à-d. n'émettant qu'une seule fréquence correspondant à une seule longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0</math>.</ref>, on place sur le trajet de l'onde une fente de largeur <math>\;a\;</math> réglable et on observe l'impact laissé par l'onde sur un écran placé à grande distance <math>\;D</math> ; {{Al|5}}alors qu'on s'attendait à voir une tache lumineuse de même largeur que la fente <math>\;\big(</math>trajet de la lumière en {{Nobr|pointillés<math>\big)</math>,}} on observe un étalement de la lumière sur l'écran suivant la direction parallèle à la largeur de la fente, étalement d'autant plus grand que la largeur de la fente est petite avec une répartition non uniforme : « présence d'une tache centrale très lumineuse » entourées de « taches beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges » <ref> La fente ayant une dimension « sa longueur » grande devant l'autre dimension « sa largeur », la limitation de l'expansion spatiale de l'onde n'intervient que sur la largeur de la fente et on remarque que la dispersion de l'énergie lumineuse se fait dans la direction de l'écran <math>\;\parallel\;</math> à cette largeur, dans la direction de l'écran <math>\;\parallel\;</math> à la longueur la propagation reste unidirectionnelle.</ref> ; {{Al|5}}le phénomène qui apparaît dans cette expérience est la <u>diffraction</u>, celle-ci n'apparaît nettement qu'en-deçà d'une largeur de fente de <math>\;0,100\; mm</math> ; {{Al|5}}<u>quelques valeurs numériques</u> : avec un faisceau laser de longueur d'onde à vide <math>\;\lambda_0 = 0,633\; \mu m\;</math><ref name="Laser"> Laser « hélium – néon » très utilisé dans les expériences d'optique.</ref> et des largeurs de fente de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}0,300\; mm\\0,200\; mm\\0,100\; mm\end{array} \right\rbrace</math>, l'écran étant situé à une distance <math>\;D = 1,80\; m\;</math> de la fente, on observe une largeur de tache centrale approximativement égale à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}4,0\; mm\\5,5\; mm\\11,5\; mm\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="Largeurs des taches"> Ces largeurs sont sous-estimées car la tache centrale n'étant pas uniforme l'intensité décroît du centre brillant jusqu'aux bords sombres, théoriquement la largeur doit aller jusqu'aux bords sombres mais ici la largeur estimée s'arrête approximativement à mi-chemin, il s'agit en fait d'une « largeur à mi-intensité ».</ref>{{,}}<ref> Avec <math>\;a = 0,1\; mm</math>, la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de <math>\;1,2\; cm</math> ; on remarque que plus la fente est étroite, plus le phénomène de diffraction est prononcé.</ref>. === Diffraction par un diaphragme, tache d'Airy === [[File:Tache Airy.png|thumb|300px|<center>Figure de diffraction par un diaphragme de petit diamètre</center>]] {{Al|5}}On remplace la fente par une ouverture circulaire de diamètre <math>\;a\;</math> et celle-ci ayant une symétrie de révolution d'axe « la direction du faisceau laser », <br>{{Al|5}}on observe sur l'écran une figure de diffraction ayant cette même symétrie de révolution, c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|on observe sur l'écran }}un disque central très lumineux <math>\;\big(</math>appelé « <u>tache d'Airy</u><ref name="Airy"> '''[[w:George_Biddell_Airy|George Biddell Airy]] (1801 - 1892)''' mathématicien, astronome, [[w:Géodésie|géodésien]] et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des [[w:Arc_en_ciel|arcs-en-ciel]], de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de [[w:Fonction_spéciale|fonctions spéciales]] mathématiques particulières [[w:Fonction_d'Airy|portant son nom]] pour lui rendre hommage.</ref> »<math>\big)\;</math> entouré d'anneaux nettement moins lumineux et plus étroits que le disque central <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}<u>quelques valeurs numériques</u> : avec le faisceau laser précédent de longueur d'onde à vide <math>\;\lambda_0 = 0,633\; \mu m\;</math><ref name="Laser" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : avec }}des diamètres de diaphragme de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}0,300\; mm\\0,200\; mm\\0,100\; mm\end{array} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : }}l'écran étant situé à une distance <math>\;D = 1,80\; m\;</math> de la fente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : }}on observe respectivement, avec les diamètres <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}0,300\; mm\\0,200\; mm\\0,100\; mm\end{array} \right\rbrace\;</math> précédents, <br>{{Al|5}}{{Transparent|quelques valeurs numériques : on observe }}un diamètre de tache d'Airy<ref name="Airy" /> approximativement égal à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}5,0\; mm\\6,5\; mm\\14,0\; mm\end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="Largeurs des taches" />{{,}}<ref> Avec <math>\;a = 0,1\; mm</math>, la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de <math>\;1,4\; cm</math> ; on remarque que plus le diaphragme est petit, plus le phénomène de diffraction est prononcé, celui-ci étant encore plus contrasté qu'avec une fente.</ref>. === Diffraction par un voilage === [[File:Diffraction ouverture carree.png|thumb|300px|<center>Diffraction par un voilage de maille carrée</center>]] {{Al|5}}La lumière arrivant sur un endroit précis du voilage, seule une petite partie de ce dernier est utilisée pour le phénomène de diffraction, l'endroit utilisé du voilage se comportant alors comme une fente rectangulaire ; <br>{{Al|5}}on observe une diffraction par la largeur <math>\;a\;</math> et la longueur <math>\;b\;</math> fournissant une tache centrale brillante de largeur <math>\;L_a\;</math> et de longueur <math>\;L_b\;</math> d'autant plus grande respectivement que <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> sont petits et des taches secondaires plus sombres sur les deux axes de la tache centrale ; {{Al|5}}Ci-contre la figure de diffraction d'un voilage à maille carrée. === Dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini === {{Proposition|titre=À retenir|contenu ={{Al|5}}On observe le phénomène de diffraction à l'infini par une ouverture plane <br>{{Al|5}}{{Transparent|On observe le phénomène de diffraction à l'infini }}dès lors que « la dimension de celle-ci suivant une direction de son plan <br>{{Al|5}}{{Transparent|On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci }}est approximativement <math>\;\lesssim 100\; \lambda_0\;</math>»<ref> Sur l'exemple <math>\;100\; \lambda_0 = 0,063\; mm\;</math> et le phénomène de diffraction est observable pour <math>\;a = 0,1\; mm</math>, on a donc bien l'ordre de grandeur.</ref>.}} == Observation du phénomène de diffraction en mécanique == {{Al|5}}Le phénomène de diffraction peut être observé sur tous les types d'ondes et en particulier les ondes mécaniques : [[File:Wave Diffraction 4Lambda Slit.png|thumb|300px|<center>Diffraction sur une cuve à ondes, la largeur de la fente étant <math>\;4\;</math> fois la longueur d'onde</center>]] * les ondes acoustiques dans l'air dont la célérité de propagation est <math>\;c = 340\; m\! \cdot\! s^{-1}\;</math> ont des longueurs d'onde de l'échelle « macroscopique »<ref> Une longueur <math>\;\mathcal{L}\;</math> est dite à l'échelle macroscopique si <math>\;\mathcal{L} \gtrsim 1\; mm\;</math> <math>\big\{</math>notion déjà entrevue en note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#cite_note-28|²⁸]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\Big\{</math>en}} effet une voix d'homme <math>\;\big(</math>respectivement de femme<math>\big)\;</math> ayant une fréquence moyenne <math>\;f_{\text{moy},\, H} = 125\; Hz\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;f_{\text{moy},\, F} = 250\; Hz\big)\;</math> correspond à une longueur d'onde <math>\;\lambda_{\text{moy},\, H} = \dfrac{340}{125} \simeq 2,7\; m\;</math> <math>\Big(</math>respectivement <math>\;\lambda_{\text{moy},\, F} = \dfrac{340}{250} \simeq 1,35\; m\Big)\!\Big\}</math>, <br>{{Transparent|les ondes acoustiques dans l'air }}la diffraction intervient dès que « la limitation de l'expansion spatiale est <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;200\; m\;</math> pour une voix d'homme » <br>{{Al|36}}{{Transparent|les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que }}<math>\;\big(</math>respectivement <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;100\; m\;</math> pour une voix de femme<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient }}c'est-à-dire quand l'onde sonore associée rencontre une porte ouverte de largeur <math>\;0,80\; m\;</math><ref> Ainsi deux personnes, dans deux pièces voisines séparées par une porte ouverte, n'ont pas besoin d'être alignées avec la porte pour entendre ce qu'elles disent <math>\;\big(</math>ce qui devrait pourtant être le cas si la propagation du son dans l'air à travers l'ouverture d'une porte était purement rectiligne<math>\big)</math>.</ref> ; * les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes sont également sensibles au phénomène de diffraction, voir la figure ci-contre : <br>{{Transparent|les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes }}la « fente » y est de largeur approximative <math>\;4\;</math> fois la « longueur d'onde » <ref> On observe la valeur de cette dernière au niveau de l'écartement des rides.</ref> et <br>{{Transparent|les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes }}le phénomène de diffraction y est assez nettement observable. == Lien (admis) entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction == === Expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction === {{Al|5}}Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction <math>\;\theta_1\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire la « demi-largeur angulaire » <ref name="fente remplacée par un diaphragme"> Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le phénomène de diffraction a la symétrie de révolution et la tache centrale est un disque ; <br>{{Al|20}}{{Transparent|Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, }}l'échelle angulaire de diffraction est alors le <u>demi-angle d'ouverture de l'expansion correspondant à la tache centrale</u>, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors }}appelé « <u>rayon angulaire de la tache centrale</u> ».</ref> de la tache centrale<math>\big)\;</math> en fonction de la longueur d'onde <math>\;\lambda\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction <math>\;\color{transparent}{\theta_1}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>c'est-à-dire la « demi-largeur angulaire » de la tache centrale<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> en fonction }}de la largeur de la fente <math>\;a\;</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction <math>\;\color{transparent}{\theta_1}\;</math> }}«<math>\;\theta_1 \simeq \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis"> Résultat admis.</ref> ; {{Al|5}}dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, la taille de l'ouverture qui intervient est le diamètre du diaphragme <math>\;\big(</math>encore noté <math>\;a\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, }}le rayon angulaire de tache centrale <math>\;\big(</math>appelée « tache d'Airy »<ref name="Airy"/><math>\big)\;</math> est <math>\;\theta_1\;</math> tel que «<math>\;\theta_1 \simeq \arcsin\! \left( 1,22\; \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis" /> ; {{Al|5}}on remarque que <math>\;\theta_1\;</math> acquiert une valeur observable dès lors que <math>\; a\; \cancel{\gg}\; \lambda\;</math><ref> Par exemple pour une largeur de fente (resp. un diamètre de diaphragme) tel(le) que <math>\;a \lesssim 10\, \lambda</math> on trouve <math>\;\theta_1 \gtrsim \left\lbrace \begin{array}{l}0,1\; rad \simeq 6 \text{° avec fente}\\0,122\; rad \simeq 7 \text{° avec diaphr.}\end{array} \right.</math> soit, à une distance de <math>\;D = 0,20\; m\;</math> une largeur (ou diamètre) de tache centrale <math>= 2\, D\, \theta_1 \gtrsim \left\lbrace \begin{array}{l}4,0\; cm\; \text{avec fente}\\4,9\; cm\; \text{avec diaphr.}\end{array} \right.\;</math> ne passant pas inaperçu(e) à condition toutefois que la répartition de lumière ne soit pas trop faible (sinon, seul le centre de la tache étant visible, la tache centrale apparaîtra moins large).</ref>. === Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation === {{Al|5}}La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente de largeur <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle <math>\;\theta\;</math><ref name="définition de l'angle d'observation"> Angle que fait la direction de propagation relativement à la normale au plan de la fente.</ref> est la valeur absolue du « <u>sinus cardinal</u> » <math>\;\bigg\{</math>« sinus cardinal » définie selon «<math>\;\mathrm{sinc}(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\;</math>»<ref> Forme indéterminée en <math>\;x = 0\;</math> prolongée par continuité donnant c.-à-d. <math>\;\mathrm{sinc}(0) = 1</math>.</ref><math>\bigg\}\;</math> de la variable <math>\;\dfrac{\pi\;a\;\sin(\theta)}{\lambda}\;</math> soit «<math>\;A(\theta) = a_0\; \left\vert\, \mathrm{sinc}\! \left[ \dfrac{\pi\;a\;\sin(\theta)}{\lambda} \right] \right\vert\;</math>» dans laquelle <math>\;a_0\;</math> est l'amplitude de l'onde incidente sur la fente <math>\;\big(</math>O.P.P<ref name="O.P.P."> Onde Plane Progressive.</ref>. suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente<math>\big)</math>, voir diagramme ci-dessous : [[File:Diffraction - fente - amplitude.jpg|thumb|center|620px|<center>Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation" />, <br>en fait, le graphe représenté est celui de <math>\;\dfrac{A(\theta)}{a_0}\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation" /></center>]] {{Encart| largeur = mince| contenu = [[File:Sinus cardinal.jpg|thumb|450px|<center>Graphe de la fonction sinus cardinal</center>]] {{Al|5}}<u>additif mathématique</u><ref name="additif mathématique"> Cet additif n'est pas placé dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » car il n'est pas exigible à ce niveau ; il est simplement fourni pour une meilleure compréhension.</ref> : La fonction « sinus cardinal <math>\;\mathrm{sinc}(x) = \dfrac{\sin(x)}{x}\;</math>» est « définie et continue sur <math>\;\mathbb{R}^{*}</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : }}on prolonge sa définition en <math>\;x = 0\;</math> par continuité selon «<math>\;\mathrm{sinc}(0) = 1\;</math>»<ref> En effet quand <math>\;x \ll 1\;</math> <math>\big(x</math> étant en radian<math>\big)\;</math> son sinus peut être confondu avec sa valeur <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> soit <math>\;\sin(x) \sim x \Leftrightarrow \dfrac{\sin(x)}{x} \sim 1\;</math> dont on déduit <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left[ \mathrm{sinc}(x) \right] = 1</math>.</ref> et ainsi <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}« son domaine de définition et continuité devient <math>\;\mathbb{R}\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : }}« son domaine de dérivabilité <math>\;\mathbb{R}^{*}\;</math> est prolongé par continuité en <math>\;\mathbb{R}\;</math>», en effet pour <math>\;x \neq 0\;</math> sa dérivée valant <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(x) = \dfrac{x\, \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\;</math> présente une forme indéterminée en <math>\;x = 0\;</math> pour laquelle sa levée conduit à une limite nulle d'où le prolongement par continuité de sa définition <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(0) = 0\;</math><ref> Forme indéterminée de la dérivée en <math>\;x = 0</math> : <br>{{Al|3}}une 1^ère tentative quand <math>\;x \ll 1\;</math> <math>\big(x</math> étant en radian<math>\big)\;</math> consistant à écrire les équivalences élémentaires suivantes <math>\;\sin(x) \sim x\;</math> et <math>\;\cos(x) \sim 1\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> conduirait à «<math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(x) = \dfrac{x\, \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \sim \dfrac{x \times 1 - x}{x^2} = \dfrac{0}{x^2}\;</math>» ne levant pas l'indétermination d'où la nécessité de ne pas se contenter de l'équivalence <math>\;\cos(x) \sim 1</math> ; <br>{{Al|3}}une 2^ème tentative plus fine utilisant la formule de trigonométrie <math>\;\cos(x) = 1 - 2\, \sin^2\! \left( \dfrac{x}{2} \right)\;</math> de façon à prendre l'équivalence <math>\;\sin\! \left( \dfrac{x}{2} \right) \sim \dfrac{x}{2}\;</math> d'où l'approximation quand <math>\;x \ll 1</math>, de <math>\;\cos(x) \simeq</math> <math>1 - 2\, \left( \dfrac{x}{2} \right)^{\!2}\;</math> soit <math>\;\cos(x) \simeq 1 - \dfrac{x^2}{2}\;</math> <math>\big[</math>ceci définit le développement limité de <math>\;\cos(x)\;</math> au voisinage de <math>\;0\;</math> à l'ordre deux introduit plus finement au chap.<math>14</math> dans la remarque du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l.27ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|DL à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la réécriture de la dérivée quand <math>\;x \ll 1</math>, <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{sinc} \right]}{dx}(x) = \dfrac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \simeq</math> <math>\dfrac{x \left[ 1 - \dfrac{x^2}{2} \right] - x}{x^2} = \dfrac{-x}{2}\;</math> et par suite <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left[ \dfrac{d \left( \mathrm{sinc} \right)}{dx}(x) \right] = 0\;</math> valeur donnée à la dérivée en prolongeant sa définition par continuité.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}enfin pour terminer notons les propriétés suivantes : <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>la fonction est paire, <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>elle s'annule pour les valeurs <math>\;x_p \neq 0\;</math> annulant <math>\;\sin(x_p)\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>elle s'annule }}pour <math>\;x_p = p\, \pi,\; p \in \mathbb{Z}^{*}</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>elle a un maximum principal en <math>\;x_0 = 0\;</math> de valeur <math>\;1\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge }}<math>\;\succ\;</math>{{Transparent|elle a }}des extrema secondaires en <math>\;x_m\;</math> définis par «<math>\;x_m\; \cos(x_m) = \sin(x_m)\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>elle a des extrema secondaires en <math>\;\color{transparent}{x_m}\;</math> définis par «<math>\;\color{transparent}{x_m\; \cos(x_m)}</math> }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|18}}{{Transparent|additif mathématique : on prolonge <math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>elle a des extrema secondaires en <math>\;\color{transparent}{x_m}\;</math> définis par }}«<math>\;\tan(x_m) = x_m\;</math>» <math>\ldots</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique : }}Voir tracé du graphe de sinus cardinal ci-contre.}} === Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation === {{Al|5}}La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle <math>\;\theta\;</math><ref name="définition de l'angle d'observation - bis"> Angle que fait la direction de propagation relativement à l'axe du diaphragme.</ref> est définie à partir de la « fonction de {{Nobr|Bessel<ref name="Bessel"> '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|Friedrich Wilhelm Bessel]] (1784 - 1846)''' astronome, mathématicien, [[w:Géodésie|géodésien]] et physicien allemand, essentiellement connu pour avoir effectué, en <math>\;1838</math>, les 1^ères mesures précises de la distance d'une étoile et pour avoir introduit, dans la résolution des problèmes de [[w:Mécanique_céleste|mécanique céleste]] faisant intervenir la [[w:Théorie_des_perturbations|théorie des perturbations]], les [[w:Fonction_de_Bessel|fonctions mathématiques dites de Bessel]], solutions d'[[w:Équation_différentielle|équations différentielles]] particulières.</ref>}} de 1^ère espèce <math>\;J_1(x)\;</math>»<ref name="Niveau"> Dont l'introduction sort largement du niveau de cette leçon mais dont il vous sera donné néanmoins quelques éléments <math>\;\big(</math>non indispensables à consulter pour comprendre la leçon<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref name="définition de la fonction de Bessel de 1ère espèce"> Voir l'additif de ce paragraphe ci-après.</ref> de la variable <math>\;\dfrac{a\;\sin(\theta)}{\lambda}\;</math> soit «<math>\;A(\theta) = a_0\, \left\lbrace 2\; \left\vert\, \dfrac{J_1\! \left[ \pi\, \dfrac{a\;\sin(\theta)}{\lambda} \right]}{\pi\, \dfrac{a\;\sin(\theta)}{\lambda}} \right\vert \right\rbrace\;</math>»<ref name="Niveau" /> dans laquelle <math>\;a_0\;</math> est l'amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme {{Nobr|<math>\;\big(</math>O.P.P<ref name="O.P.P." />.}} suivant la direction <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du diaphragme<math>\big)</math>, voir diagramme ci-dessous : [[File:Diffraction - diaphragme - amplitude.jpg|thumb|center|620px|<center>Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme <math>\;A(\theta)\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> plus exactement, <br>graphe de <math>\;\dfrac{A(\theta)}{a_0}\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /></center>]] {{Encart| largeur = mince| contenu = [[File:Bessel J0, J1.png|thumb|600px|<center>Fonctions de Bessel<ref name="Bessel" /> de 1^ère espèce <math>\;J_0(x)\;</math> en rouge et <math>\;J_1(x)\;</math> en vert</center>]] {{Al|5}}<u>additif mathématique</u><ref name="additif mathématique" /> : Les fonctions de Bessel<ref name="Bessel" /> de 1^ère espèce <math>\;J_n(x),\; n \in \mathbb{N}\;</math> peuvent être définies : * sous forme intégrale «<math>\;J_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math>»<ref> Forme sous laquelle '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|F. W. Bessel]]''' les a d'abord définies.</ref> soit, pour les deux 1^ères fonctions «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} J_0(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ x\, \sin(\tau) \right] d \tau\\J_1(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau \end{array} \right\rbrace\;</math>» ou * sous forme de solution particulière de l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;y(x)\;</math> non linéaire et homogène «<math>\;x^2\, \dfrac{d^2 y}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{dy}{dx}(x) + \left[ x^2 - n^2 \right] y(x) = 0\;</math>»<ref> '''[[w:Friedrich_Wilhelm_Bessel|F. W. Bessel]]''' a établi que les fonctions qu'il avait définies sous forme intégrale vérifiaient cette équation différentielle <math>\;\bigg\{</math>un calcul de dérivée 1^ère et 2^nde par rapport à <math>\;x\;</math> de <math>\;J_n(x) =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math> suivi de leur remplacement dans le 1^er membre de l'équation différentielle et d'une intégration par parties <math>\;\big(</math>i.p.p.<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> conduit à un résultat nul<math>\bigg\}</math> <math>\ldots</math> d'où la 2^nde façon de définir les fonctions de Bessel de 1^ère espèce.</ref>, <math>\;\big(</math>les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. restant à préciser suivant la valeur de <math>n\big)\;</math> ainsi <br>{{Al|5}}«<math>\;J_1(x)\;</math> est définie comme la solution particulière avec <math>\;J_1(0) = 0\;</math> et <math>\;\dfrac{d J_1}{dx}(0) = \dfrac{1}{2}\;</math> comme C.I<ref name="C.I." />. de l'équation <math>\;x^2\, \dfrac{d^2 y}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{dy}{dx}(x) + \left[ x^2 - 1 \right] y(x) = 0\;</math>» alors que <br>{{Al|5}}«<math>\;J_0(x)\;</math> est la solution particulière avec <math>\;J_0(0) = 1\;</math> et <math>\;\dfrac{d J_0}{dx}(0) = 0\;</math> comme C.I<ref name="C.I." />. de l'équation <math>\;x^2\, \dfrac{d^2 y}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{dy}{dx}(x) + x^2\, y(x) = 0\;</math>».}} {{Preuve|titre={{Al|15}}Preuve : 2^ème définition déduite de la 1^ère définition |contenu={{Al|5}}De <math>\;J_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math> on tire <br>{{Al|5}}<math>\;\dfrac{d J_n}{dx}(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) d \tau\;</math> puis <br>{{Al|5}}<math>\;\dfrac{d^2 J_n}{dx^2}(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi -\cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin^2(\tau) d \tau\;</math> et <br>{{Al|5}}on forme le 1^er membre de l'équation différentielle «<math>\;A_n =</math> <math>x^2\, \dfrac{d^2 J_n}{dx^2}(x) + x\, \dfrac{d J_n}{dx}(x) + \left[ x^2 - n^2 \right] J_n(x)\;</math>» afin de vérifier qu'il vaut <math>\;0</math>, le report des expressions intégrales conduisant à «<math>\;A_n =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ -x^2\, \sin^2(\tau) + x^2 - n^2 \right] d \tau + \cdots</math> <math>\cdots\, \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] x\, \sin(\tau) d \tau = A_{n,\, 1} + A_{n,\, 2}\;</math>» soit, en simplifiant l'« intégrande »<ref name="intégrande"> C.-à-d. la fonction à intégrer <math>\;\big(</math>le substantif « intégrande » étant masculin<math>\big)</math>.</ref> de la 1^ère intégrale <math>\;A_{n,\, 1}\;</math> par utilisation de <math>\;-x^2\, \sin^2(\tau) + x^2 = x^2\, \cos^2(\tau)\;</math> d'où <math>\;A_{n,\, 1} =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ x^2\, \cos^2(\tau) - n^2 \right] d \tau\;</math> et, en transformant la 2^nde <math>\;A_{n,\, 2}\;</math> par intégration par parties <math>\;\big(</math>i.p.p.<math>\big)\;</math><ref name="i.p.p."> Cette méthode qui sera vue en détail dans le cours de mathématiques est exposée très succinctement dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\displaystyle\int_a^b u\, dv = \left[ u\, v \right]_a^b - \displaystyle\int_a^b v\, du\;</math> avec <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}u = \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\\dv = x\, \sin(\tau) d \tau\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l}du = \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\, \left\lbrace n - x\, \cos(\tau) \right\rbrace d \tau\\v = -x\, \cos(\tau)\end{array}\right\rbrace\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\pi\, A_{n,\, 2}</math>}} <math>= \cancel{\left[ \sin\! \left\lbrace n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right\rbrace \left\lbrace -x\, \cos(\tau) \right\rbrace \right]_0^\pi} - \cdots</math> <math>\cdots\;\displaystyle\int_0^\pi \left[ -x\, \cos(\tau) \right] \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\, \left\lbrace n - x\, \cos(\tau) \right\rbrace d \tau =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right]\, \left[ n\, x\, \cos(\tau) - x^2\, \cos^2(\tau) \right] d \tau\;</math>» soit, en regroupant avec la 1^ère intégrale <math>\;A_{n,\, 1}\;</math> qui est telle que <math>\;\pi\;A_{n,\, 1} =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ x^2\, \cos^2(\tau) - n^2 \right] d \tau</math>, on trouve «<math>\;\pi\;A_n</math> <math>= -n\; \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left[ n - x\, \cos(\tau) \right] d \tau\;</math>» dont on termine l'intégration par changement de variable <math>\;\tau' = n\, \tau - x\, \sin(\tau)\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;A_n</math>}} <math>= -n\, \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] =</math> <math>-\dfrac{n}{\pi} \cancel{\left[ \sin\! \left\lbrace n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right\rbrace \right]_0^\pi} = 0\;</math>» C.Q.F.V<ref> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>.}} {{Encart| largeur = mince| contenu ={{Al|5}}<u>additif mathématique</u> <math>\;\big(</math>fin<math>\big)\;</math><ref name="additif mathématique" /> : Pour terminer le tour d'horizon, quelques relations de récurrence «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} J_{n + 1}(x) = \dfrac{n\, J_n(x)}{x} - \dfrac{d J_n}{dx}(x)\\J_{n + 1}(x) + J_{n - 1}(x) = \dfrac{2\, n}{x}\, J_n(x)\\J_{n + 1}(x) - J_{n - 1}(x) = -2\, \dfrac{d J_n}{dx}(x)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[w:Fonction de Bessel#Propriétés des Jn|propriétés des J_n]] de l'article [[w:Fonction de Bessel|Fonction de Bessel]] » de wikipédia.</ref> permettant de déduire <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} J_1(x) = - \dfrac{d J_0}{dx}(x)\\ \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> La 1^ère relation «<math>\;J_1(x) = - \dfrac{d J_0}{dx}(x)\;</math>» est un cas particulier de la 1^ère relation de récurrence «<math>\;J_{n + 1}(x) = \dfrac{n\, J_n(x)}{x} - \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» écrite pour <math>\;n = 0</math> ; <br>{{Al|3}}la 2^ème relation «<math>\;\dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x)\;</math>» s'obtient en otant la 3^ème relation de récurrence «<math>\;J_{n + 1}(x) - J_{n - 1}(x) = -2\, \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» de la 2^ème «<math>\;J_{n + 1}(x) + J_{n - 1}(x) = \dfrac{2\, n}{x}\, J_n(x)\;</math>» d'où «<math>\;2\, J_{n - 1}(x) = \dfrac{2\, n}{x}\, J_n(x) + 2\, \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» ou «<math>\;J_{n - 1}(x) = \dfrac{n}{x}\, J_n(x) + \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;x^n\, J_{n - 1}(x) = n\,x^{n - 1}\, J_n(x) + x^n\,\dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>», ce dernier membre étant égal à «<math>\;\dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right]\;</math>» d'où la relation souhaitée «<math>\;x^n\, J_{n - 1}(x) = \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right]\;</math>».</ref> et en particulier «<math>\;\dfrac{d \left[ x\, J_1 \right]}{dx}(x) = x\, J_0(x)\;</math>» en faisant <math>\;n = 1\;</math> dans la 2^ème relation <br>{{Al|14}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x) \right\rbrace}\;</math>» et en particulier «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d \left[ x\, J_1 \right]}{dx}(x)}</math> }}<math>\Updownarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{l} J_1(x) = - \dfrac{d J_0}{dx}(x)\\ \dfrac{d}{dx} \left[ x^n\, J_n(x) \right] = x^n\, J_{n - 1}(x)\end{array}\right\rbrace}\;</math>» et en particulier }}«<math>\;J_1(x) + x\, \dfrac{d J_1}{dx}(x) = x\, J_0(x)\;</math>» dont on tire <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, }}l'expression de la dérivée 1^ère de <math>\;J_1(x)</math>, soit «<math>\;\dfrac{d J_1}{dx}(x) = J_0(x) - \dfrac{J_1(x)}{x}\;</math>» <math>\ldots</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|additif mathématique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fin<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> : Pour terminer le tour d'horizon, }}Voir le graphe des deux fonctions de Bessel<ref name="Bessel" /> <math>\;J_0\;</math> et <math>\;J_1\;</math> ci-dessus à droite.}} {{Preuve|titre={{Al|15}}Preuve de la 1^ère relation de récurrence |contenu={{Al|5}}De la définition de la fonction de Bessel<ref name="Bessel" /> de 1^ère espèce sous forme intégrale «<math>\;J_{n + 1}(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ (n + 1)\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau</math> <math>= \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left\lbrace \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] + \tau \right\rbrace d \tau\;</math>» on tire <math>\;\pi\, J_{n + 1}(x) =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \left\lbrace \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \cos(\tau) - \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) \right\rbrace d \tau\;</math> par formule trigonométrique d'addition<ref name="formule trigonométrique d'addition"> C.-à-d. «<math>\;\cos(a + b) = \cos(a)\,\cos(b) - \sin(a)\,\sin(b)\;</math>».</ref> soit, l'intégrale d'une somme d'« intégrandes »<ref name="intégrande" /> étant la somme des intégrales de chacun des « intégrandes »<ref name="intégrande" /> <math>\;\big\{</math>dans la mesure de l'existence de chacune<math>\big\}</math>, {{Nobr|«<math>\;\pi\, J_{n + 1}(x)</math>}} <math>= \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \cos(\tau) \, d \tau - \cdots</math> <math>\cdots \, \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) d \tau\;</math>» dans laquelle la 2^ème intégrale est <math>\;\pi\;</math> fois la dérivée de <math>\;J_n(x)\;</math> par rapport à <math>\;x\;</math> car <math>\;J_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\dfrac{d J_n}{dx}(x) =</math> <math>\dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0^\pi \sin\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \sin(\tau) d \tau</math> ; pour évaluer la 1^ère intégrale <math>\;I_1 = \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \cos(\tau) d \tau\;</math> on la transforme en remarquant que <math>\;\cos(\tau) = \dfrac{\left[ n - x\, \cos(\tau) \right] - n}{-x}\;</math> soit <math>\;I_1 =</math> <math>\dfrac{-1}{x}\, \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left\lbrace \left[ n - x\, \cos(\tau) \right] - n \right\rbrace\, d \tau\;</math> d'où <math>\;x\,I_1</math> <math>= - \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] \left [ n - x\, \cos(\tau) \right] d \tau + \cdots</math> <math>\cdots\,n\, \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau\;</math> de façon à faire apparaître dans la 1^ère intégrale la forme <math>\;\cos\! \left[ g(\tau)\right] g'(\tau) d \tau\;</math> admettant <math>\;\sin\! \left[ g(\tau)\right]\;</math> comme primitive d'où <math>\;x\,I_1 = - \cancel{\left[ \sin\! \left\lbrace n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right\rbrace \right]_0^\pi} + \cdots</math> <math>\cdots\, n\, \displaystyle\int_0^\pi \cos\! \left[ n\, \tau - x\, \sin(\tau) \right] d \tau</math>, la dernière intégrale s'identifiant à <math>\;n\, \pi\, J_n(x)\;</math> d'où «<math>\;\pi\, J_{n + 1}(x) = \dfrac{n\, \pi\, J_n(x)}{x} - \pi\,\dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>» ; on a donc établi la 1^ère relation de récurrence<ref> Les autres se démontrant de façon analogue.</ref> à savoir «<math>\;J_{n + 1}(x) =</math> <math>\dfrac{n\, J_n(x)}{x} - \dfrac{d J_n}{dx}(x)\;</math>».}} {{Al|5}}L'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> s'écrivant «<math>\;A(u) = a_0\, \left\lbrace 2\; \left\vert \dfrac{J_1(\pi\, u)}{\pi\, u} \right\vert \right\rbrace\;</math><ref name="Niveau" /> avec <math>\;u = \dfrac{a\, \sin(\theta)}{\lambda}\;</math> variable sans dimension »<ref name="abus d'écriture en physique"> Bien que la fonction donnant l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> relativement à l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation et celle donnant l'amplitude de la même onde diffractée à l'infini par un même diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> relativement à la variable <math>\;u = \dfrac{a\, \sin(\theta)}{\lambda}\;</math> sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour une même état de diffraction, on les note donc par la même lettre <math>\;A\;</math> selon l'usage fait <math>\;\big(</math>par abus<math>\big)\;</math> en physique.</ref> est une forme indéterminée en <math>\;x = \pi\, u = 0\;</math> car <math>\;J_1(x) = 0</math> ; on lève l'indétermination par <math>\;J_1(x) + x\, \dfrac{d J_1}{dx}(x) = x\, J_0(x)\;</math><ref> Voir le sous paragraphe « additif mathématique <math>\;\big(</math>fin<math>\big)\;</math>» plus haut dans ce paragraphe.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{J_1(x)}{x} = J_0(x) - \dfrac{d J_1}{dx}(x)\;</math>» et par suite <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{J_1(x)}{x} = J_0(0) - \dfrac{d J_1}{dx}(0) = 1 - \dfrac{1}{2}\;</math><ref> Voir le sous paragraphe « additif mathématique » plus haut dans ce paragraphe.</ref> soit «<math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{J_1(x)}{x} = \dfrac{1}{2}\;</math>» d'où la « valeur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> pour <math>\;\dfrac{J_1(x)}{x}\;</math> en <math>\;x = 0\;</math><ref> On ne peut évidemment pas écrire ce prolongement <math>\;\cancel{\dfrac{J_1(0)}{0}} = \dfrac{1}{2}</math>, la seule façon de l'écrire étant <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{J_1(x)}{x} = \dfrac{1}{2}</math>.</ref>, en prolongeant sa définition par continuité » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\lim\limits_{u \rightarrow 0} 2\;\dfrac{J_1(\pi\, u)}{\pi\, u} = 1\;</math>» d'où l'« amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme <math>\;a_0\;</math>» est aussi l'« amplitude de l'onde diffractée à l'infini par le diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> dans la direction repérée par l'angle d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> <math>\;\theta = 0\;</math>» {{Nobr|c'est-à-dire}} l'amplitude au centre de la tache d'Airy<ref name="Airy" /> <math>\;\big(</math>correspondant à la valeur maximale d'amplitude<math>\big)</math>. === Comparaison sur un même diagramme de l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente et un diaphragme de même dimension, en fonction de l'angle d'observation === [[File:Diffraction - fente ou diaphragme - amplitude.jpg|thumb|center|450px|<center>Graphes comparés de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini <math>\;A(\theta)\;</math> par <br>une fente <math>\;\big(</math>graphe en traits continus rouges<math>\big)\;</math> ou <br>un diaphragme de même dimension <math>\;\big(</math>graphe en tiretés bleus<math>\big)\;</math> <br>en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - ter"> Défini, plus haut dans ce chapitre, par la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-définition_de_l'angle_d'observation-21|²¹]] » dans le cas de la diffraction par une fente et par la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-définition_de_l'angle_d'observation_-_bis-27|²⁷]] » dans le cas de la diffraction par un diaphragme.</ref> plus exactement, <br>graphes comparés de <math>\;\dfrac{A(\theta)}{a_0}\;</math> <math>\big\{</math>avec <math>\;a_0\;</math> amplitude de l'onde incidente<ref name="a0"> Amplitude de l'onde incidente sur la fente ou le diaphragme <math>\;\big\{</math>l'onde incidente étant une O.P.P. <math>\;\big(</math>Onde Plane Progressive<math>\big)\;</math> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du {{Nobr|diaphragme<math>\big\}</math>.}}</ref><math>\big\}</math></center>]] {{Al|5}}Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente de largeur <math>\;a\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation" /> <math>\;\big(</math>graphe en traits continus rouges sur le diagramme ci-dessus<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lors de la superposition }}du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par un diaphragme de diamètre <math>\;a\;</math> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation<ref name="définition de l'angle d'observation - bis" /> <math>\;\big(</math>graphe en tiretés bleus sur le diagramme ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Lors de la superposition }}on remarque que : * l'« amplitude des ondes diffractées à l'infini dans la direction centrale<ref name="direction centrale"> C.-à-d. la direction de propagation de l'onde incidente avant diffraction <math>\;\big\{</math>l'onde incidente étant une O.P.P. <math>\;\big(</math>Onde Plane Progressive<math>\big)\;</math> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du {{Nobr|diaphragme<math>\big\}\;</math>}} <math>\Rightarrow</math> la direction centrale est donc <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du diaphragme.</ref> » est égale à l'amplitude <math>\;a_0\;</math> de l'onde incidente<ref name="a0" />, que la diffraction se fasse par une fente ou un diaphragme<ref> On en déduit aussi que la puissance diffractée à l'infini dans la direction centrale <math>\;\big(</math>qui est <math>\;\propto\;</math> au carré de l'amplitude dans la même direction<math>\big)\;</math> est égale à la puissance de l'onde incidente <math>\;\big\{</math>l'onde incidente étant une O.P.P. <math>\;\big(</math>Onde Plane Progressive<math>\big)\;</math> suivant la direction <math>\;\perp\;</math> à la fente ou <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du diaphragme<math>\big\}</math>.</ref>, * la demi-largeur angulaire<ref name="fente remplacée par un diaphragme" /> de la tache centrale dans le cas de la diffraction par une fente «<math>\;\theta_{1,\,\text{fente}} \simeq \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis" /> est « légèrement plus petite » que le rayon angulaire de la « tache d'Airy<ref name="Airy" /> » dans le cas de la diffraction par un diaphragme de diamètre égale à la largeur de la fente «<math>\;\theta_{1,\,\text{diaph.}} \simeq \arcsin\! \left( 1,22\; \dfrac{\lambda}{a} \right)\;</math>»<ref name="admis" /> <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Expression_du_lien_entre_la_taille_de_l'ouverture,_la_longueur_d'onde_et_l'échelle_angulaire_du_phénomène_de_diffraction|expression du lien entra la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, le cœfficient multiplicateur de <math>\;1,22\;</math> est approximativement dans un rapport de <math>\;5\;</math> pour <math>\;4</math>, et enfin, * le contraste entre le disque central « disque d'Airy<ref name="Airy" /> » et le 1^er anneau dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « plus marqué » que celui entre la tache centrale et les 1^ères taches dans le cas de la diffraction par une fente<ref> Le contraste observé est encore plus marqué dans la mesure où notre œil est sensible à la puissance diffractée et non à l'amplitude, la puissance étant <math>\;\propto\;</math> au carré de l'amplitude ; <br>{{Al|3}}le rapport entre l'amplitude maximale de la 1^ère tache de diffraction et celle de la tache centrale étant <math>\;0,2\;</math> dans le cas de la diffraction par une fente, la puissance diffractée correspondant à la 1^ère tache est approximativement <math>\;4\, \%\;</math> de celle diffractée associée à la tache centrale alors que <br>{{Al|3}}le rapport entre l'amplitude maximale du disque d'Airy et celle du 1^er anneau est <math>\;0,13\;</math> dans le cas de la diffraction par un diaphragme, la puissance diffractée correspondant au 1^er anneau n'est alors qu'approximativement <math>\;1,7\, \%\;</math> de celle diffractée associée à la tache d'Airy <math>\;\big(</math>soit un rapport deux fois et demi plus faible que dans le cas de la diffraction par une fente<math>\big)</math>.</ref>. === Principe de Huygens Fresnel et tentative d'explication du phénomène de diffraction === <div style="text-align: center;">Donné à titre de complément.</div> ==== Hypothèse de Huygens (1678) ==== {{Al|5}}Chaque point <math>\;M\;</math> d'une surface d'onde <math>\;\Sigma\;</math><ref name="surface d'onde"> Surface « équiphase » c.-à-d. telle que ses points ont mis le même temps de parcours depuis la source.</ref> créée à partir d'une source ponctuelle <math>\;S\;</math> peut être considéré à son tour comme une source ponctuelle secondaire <math>\;M_S\;</math> émettant des « ondelettes » dans toutes les directions, ces ondelettes secondaires interférant entre elles de telle sorte que toute nouvelle surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> d'origine <math>\;\Sigma'\;</math><ref> C.-à-d. toute surface d'onde correspondant à des points atteints postérieurement à la surface d'onde d'origine.</ref> soit l'« enveloppe »<ref name="enveloppe"> L'enveloppe d'une famille de surfaces est une surface qui est tangente à toutes les surfaces de la famille ; <br>{{Al|3}}par exemple l'enveloppe d'une famille de sphères de même rayon, centrées sur l'axe <math>\;z'z\;</math> est le cylindre de révolution d'axe <math>\;z'z\;</math> et de même rayon que les sphères, la courbe de contact de chaque sphère avec l'enveloppe de la famille étant le cercle dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;z'z\;</math> de même centre et même rayon que la sphère ; <br>{{Al|3}}voir aussi le paragraphe [[w:Enveloppe_(géométrie)#Enveloppe_d'une_famille_de_surfaces|enveloppe d'une famille de surfaces]] de l'article de wikipédia [[w:Enveloppe_(géométrie)|enveloppe (géométrie)]].</ref> de toutes les surfaces d'onde<ref name="surface d'onde" /> secondaires émises par les sources ponctuelles secondaires <math>\;M_S</math>. [[File:Hypothèse Huygens - ondes sphériques.jpg|thumb|left|400px|<center>Traduction de l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]<ref name="Huygens"> '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 - 1695)''' mathématicien, astronome et physicien néerlandais à qui on doit, entre autres, quelques techniques de sommation et d'intégration du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], ainsi que la formulation de la [[w:Optique_physique|théorie ondulatoire de la lumière]].</ref> pour des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle</center>]] [[File:Hypothèse Huygens - ondes planes.jpg|thumb|right|500px|<center>Traduction de l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]<ref name="Huygens" /> pour des ondes planes</center>]] {{Al|5}}Ci-contre deux exemples, le 1^er à gauche correspondant à des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle <math>\;S\;</math> à distance finie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre deux exemples, }}le 2^ème à droite correspondant à des ondes planes pouvant être considérées comme issues d'une source ponctuelle <math>\;S\;</math> située à l'infini. {{Al|5}}<u>Explication de l'utilisation de l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]</u><ref name="Huygens" /> : {{Al|5}}Soit une surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire <math>\;\Sigma\;</math> considérée à l'instant <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire correspondante <math>\;\Sigma'\;</math> à l'instant <math>\;t + T</math>, <br>{{Al|5}}on cherche à expliquer l'état vibratoire de l'onde en <math>\;M'\;</math> <math>\big(</math>point générique de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire <math>\;\Sigma'\big)\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> à partir de l'interférence des ondelettes sphériques secondaires issues des sources secondaires <math>\;M_S\;</math> confondues avec <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>point générique de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> primaire <math>\;\Sigma\big)\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; ces ondelettes secondaires peuvent être séparées en : * une ondelette sphérique secondaire de centre <math>\;M_S\;</math> qui arrive en <math>\;M'\;</math> dans le « même état vibratoire » <ref> C.-à-d. une même phase.</ref> que celui de sa création en <math>\;M\;</math> car <math>\;MM' = \lambda\;</math><ref> Même état vibratoire avec toutefois une amplitude plus faible à cause de la dispersion spatiale de la puissance dans toutes les directions, l'amplitude d'une onde sphérique <math>\;\searrow\;</math> en <math>\;\dfrac{1}{r}</math>.</ref>, * des ondelettes sphériques secondaires centrées en <math>\;M_{S'} \in \Sigma\;</math> situés de part et d'autres de <math>\;M_S</math>, <br>{{Transparent|des ondelettes sphériques secondaires centrées en <math>\;\color{transparent}{M_{S'} \in \Sigma}\;</math> }}celles reçues par <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + dt\;</math> étant celles émises par <math>\;M_{S'}\;</math> à l'instant «<math>\;t + dt - \dfrac{M_{S'}M'}{c}\;</math>» ; <br>{{Transparent|des ondelettes sphériques secondaires centrées en <math>\;\color{transparent}{M_{S'} \in \Sigma}\;</math> }}à chaque ondelette centrée en un point particulier <math>\;M_{S'}\;</math> on peut faire correspondre une ondelette centrée en un autre point particulier <math>\;M_{S''}\;</math> situé dans le voisinage de <math>\;M_{S'}\;</math> telle que leur superposition en <math>\;M'\;</math> donne une « interférence destructive » <math>\;\bigg(\!</math>par exemple si <math>\;M_{S'}M' = 1,2\, \lambda\;</math> on choisit <math>\;M_{S''}\;</math> tel que <math>\;M_{S''}M' = 1,7\, \lambda\;</math> et ainsi la différence de marche <math>\;M_{S''}M' - M_{S'}M'\;</math> valant <math>\;0,5\, \lambda\;</math> leurs ondelettes reçues par <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + dt\;</math> sont celles émises par <math>\;M_{S'}\;</math> et <math>\;M_{S''}\;</math> aux instants séparés de <math>\;\dfrac{0,5\, \lambda}{c} = 0,5\;T\;</math> donc en opposition de phase ce qui génère, en <math>\;M'</math>, une interférence destructive à l'instant <math>\;t + dt\;</math> entre ces ondelettes<math>\!\bigg)</math> ; <center>ainsi seule l'ondelette de centre <math>\;M_S\;</math> contribue à l'état vibratoire en <math>\;M'</math> <math>\ldots</math></center> ==== Principe de Huygens - Fresnel (1820) (énoncé partiel) ==== {{Al|5}}'''[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]'''<ref name="Fresnel"> '''[[w:Augustin_Jean_Fresnel|Augustin Jean Fresnel]] (1788 - 1827)''' physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la [[w:Optique_physique|théorie ondulatoire de la lumière]].</ref> interprète les idées de '''[[w:Christian_Huygens|Huygens]]'''<ref name="Huygens" /> pour expliquer <math>\;\big(</math>et « calculer » <ref> C'est la possibilité de calculer qui est la contribution principale de '''[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]'''.</ref><math>\big)\;</math> les phénomènes de diffraction, il énonce le principe suivant <ref> L'énoncé ci-après n'est que partiel <math>-</math> exprimé ainsi il ne souligne que l'hypothèse de [[w:Christian_Huygens|Huygens]] <math>-</math> l'énoncé complet <math>\;\big(</math>non fourni car nous n'envisagerons pas le calcul, ceci n'étant pas du niveau de ce chapitre<math>\big)\;</math> précise la façon dont '''[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]''' calcule l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence des ondelettes, ce que ne faisait pas '''[[w:Christian_Huygens|Huygens]]'''.</ref> : {{Théorème|titre=Principe de Huygens - Fresnel (énoncé partiel)|contenu={{Al|5}}Tout point <math>\;P\;</math> atteint par la lumière issue d'une source primaire peut être considéré comme une source secondaire <math>\;P_S\;</math> émettant une onde sphérique, l'état vibratoire de cette source secondaire <math>\;P_S\;</math> étant <math>\;\propto\;</math> à celui de l'onde incidente arrivant en <math>\;P</math> ; <br>{{Al|5}}on peut obtenir l'état vibratoire de tout point <math>\;M\;</math> atteint postérieurement à <math>\;P\;</math> par la lumière issue de la source primaire, en étudiant l'interférence des ondelettes issues de toutes les sources secondaires <math>\;P_S</math>.}} ==== Contribution de Fraunhofer ==== {{Al|5}}Alors que le principe de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]-[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]]<ref name="Huygens" />{{,}}<ref name="Fresnel" /> est « applicable » pour calculer la diffraction à distance « quelconque » <ref> Avec toutefois une restriction, cette distance devant être supérieure à <math>\;100\, \lambda</math>, ce qui donne pour <math>\;\lambda = 633\, nm</math>, une distance minimale de <math>\;100\, \mu m = 0,1\, mm</math> ; <br>{{Al|3}}en effet si <math>\;M\;</math> est trop proche de la [[w:Pupille_(optique)|pupille]] diffractante <math>\;\big(</math>c.-à-d. la surface limitée par le diaphragme créant le phénomène de diffraction<math>\big)</math>, la variation de l'amplitude des ondelettes issues des sources secondaires situées sur la [[w:Pupille_(optique)|pupille]] est trop importante <math>\;\bigg(\!</math>variation en <math>\;\dfrac{1}{r}\;</math> avec <math>\;r\;</math> petit<math>\bigg)\;</math> pour que leurs interférences donnent une amplitude résultante en accord avec l'observation, le principe de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]-[[w:Augustin_Fresnel|Fresnel]] étant alors inapplicable.</ref> de la « [[w:Pupille_(optique)|pupille]] » <ref name="pupille"> Une [[w:Pupille_(optique)|pupille]] est une ouverture transparente d'une surface opaque, en général plane, ouverture dont le contour fermé limite l'expansion spatiale de l'onde la traversant.</ref> cause de la diffraction, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Alors que }}'''[[w:Joseph_von_Fraunhofer|Fraunhofer]]'''<ref name="Fraunhofer"> '''[[w:Joseph_von_Fraunhofer|Joseph von Fraunhofer]] (1787 - 1826)''' opticien et physicien allemand à qui on doit, en plus de l'étude systématique de la diffraction de la lumière par les [[w:Réseau_de_diffraction|réseaux]] <math>\;\big(</math>surfaces planes constituées d'une juxtaposition d'un grand nombre de fentes étroites et <math>\;\parallel\;\big)</math>, l'invention du [[w:Spectroscope|spectroscope]] avec lequel il précisa les raies d'absorption du spectre solaire <math>\;\big(</math>qui portent son nom<math>\big)</math>.</ref> énonce le principe en considérant le point <math>\;M\;</math> d'observation de la diffraction, à l'« infini de la [[w:Pupille_(optique)|pupille]]<ref name="pupille" /> diffractante » <ref> Plus exactement la distance <math>\;PM\;</math> doit respecter «<math>\;PM > 100\, \dfrac{a^2}{\lambda}\;</math>» ce qui donne, pour <math>\;a = 0,1\, mm\;</math> et <math>\;\lambda = 633\, nm</math>, une distance minimale de <math>\;1,6\, m</math>, l'infini commençant donc pour les données de cette expérience à <math>\;1,6\, m</math>.</ref> ce qui « simplifie notablement les calculs » <ref> En effet on peut alors considérer que la source secondaire <math>\;P_S\;</math> émet une onde plane.</ref>. ==== Tentative d'explication du phénomène de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue ==== <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="400px"> Diffraction - fente - ondelettes.jpg|Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de [[w:Christian_Huygens|Huygens]]<ref name="Huygens" /> </gallery></div> {{Al|5}}Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;a\;</math> éclairée par une <u>onde plane</u> dont la « direction de propagation lui est <math>\;\perp\;</math>» <ref> On dit qu'elle est éclairée « sous incidence normale ».</ref> on observe, au-delà de la fente, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> éclairée par }}une <u>onde quasi plane</u> très légèrement déformée sur les bords si «<math>\;a \gg 100\, \lambda\;</math>» <math>\;\big\{</math>en effet, à l'exception des bords, tout se passe comme s'il n'y avait pas de limitation d'expansion de l'onde d'où la transmission, au-delà de la fente, du caractère plan <math>\;\big(</math>on peut alors refaire l'explication donnée dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Hypothèse_de_Huygens_(1678)|hypothèse de Huygens (1678)]] » plus haut dans le chapitre<math>\big)\;</math> mais, sur les bords, en <math>\;M'\;</math> par exemple sur la figure ci-dessus, il y a une dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à <math>\;H\;</math> projeté orthogonal de <math>\;M'\;</math> sur le plan de la fente<ref> D'après le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Hypothèse_de_Huygens_(1678)|hypothèse de Huygens (1678)]] » plus haut dans le chapitre, aux sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente à droite de <math>\;H</math> <math>\;\big(</math>la source secondaire du plan de la figure située sur le bord gauche de la fente sera appelée <math>\;H_g\big)</math>, il n'existe pas de source secondaire du même plan de figure située sur la fente à gauche de <math>\;H\;</math> <math>\big(</math>plus précisément à gauche de <math>\;H_g\big)</math>, ceci expliquant la dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à <math>\;H\;</math> <math>\big(</math>plus précisément <math>\;H_g\big)</math>.</ref> d'où une « déformation de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> en <math>\;M'\;</math>»<ref> Reprenant les commentaire et notation introduit(s) dans la note « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#cite_note-65|⁶⁵]] » plus haut dans ce paragraphe, nous observons que <br>{{Al|3}}l'ondelette issue de <math>\;H_g\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> se retrouve en <math>\;M'\;</math> avec la même phase à l'instant <math>\;t + T</math>, cette ondelette se superposant, en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T</math>, aux <br>{{Al|3}}ondelettes issues des sources secondaires <math>\;M_{S}\;</math> du plan de la figure situées sur la fente à droite de <math>\;H_g\;</math> émises à l'instant <math>\;t + T - \dfrac{M_{S}M'}{c}</math>, <br>{{Al|3}}ces dernières interférant de façon destructive dans la mesure où <math>\;M_{S_2}M' - M_{S_1}M' = \dfrac{\lambda}{2}</math> <math>\big\{</math>à toute source secondaire <math>\;S_1\;</math> située à droite de <math>\;H_g\;</math> on peut trouver une source secondaire <math>\;S_2\;</math> plus éloignée de <math>\;H_g\;</math> telle que la superposition des ondelettes issues de ces sources engendre une interférence destructive en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> sauf quand <math>\;S_1\;</math> est proche de <math>\;H_d\;</math> la source secondaire du plan de la figure située sur le bord droit de la fente mais l'amplitude des ondelettes sphériques variant comme l'inverse de la distance <math>\;M_{S_1}M'\;</math> et celle-ci, pour <math>\;S_1\;</math> proche de <math>\;H_d</math>, étant <math>\;\simeq H_dM' \gg H_gM'</math>, l'amplitude des ondelettes sphériques issues des sources secondaires proches de <math>\;H_d\;</math> étant donc petite, leur influence sur l'état de vibration en <math>\;M'\;</math> peut être négligée<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}en conclusion l'onde créée en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> par superposition des ondelettes sphériques issues des sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente est localement sphérique <br>{{Al|3}}{{Transparent|en conclusion }}et si on considère toutes les sources secondaires situées sur la fente et dans un plan <math>\;\parallel\;</math> au plan de la figure, on trouve que l'onde créée en <math>\;M'\;</math> à l'instant <math>\;t + T\;</math> est localement cylindrique d'axe <math>\;\parallel\;</math> à la direction longitudinale de la fente.</ref> et par suite de la « direction de propagation » <ref> On rappelle que la direction de propagation est <math>\;\perp\;</math> à la surface d'onde.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> éclairée par }}si «<math>\;a \lesssim 100\, \lambda\;</math>», la partie « onde quasi plane » de la surface d'onde<ref name="surface d'onde" /> s'amenuise d'autant plus que <math>\;a\;</math> est petit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Considérant une fente infiniment longue de largeur <math>\;\color{transparent}{a}\;</math> éclairée par si «<math>\;\color{transparent}{a \lesssim 100\, \lambda}\;</math>», }}ce qui rend la diffraction d'autant plus observable <math>\ldots</math> === Diffraction sur un obstacle === {{Al|5}}La diffraction est observable lorsque la lumière est limitée par une [[w:Pupille_(optique)|pupille]]<ref name="pupille" /> mais aussi lorsqu'elle rencontre un obstacle, par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction est observable }}lors de la diffraction à l'infini d'une onde plane lumineuse par un cheveu <math>\;\big(</math>ou un objet opaque de diamètre <math>\;a \lesssim 100\, \lambda\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction est observable }}on observe <math>-</math> à la place de l'ombre projetée du cheveu <math>-</math> des franges lumineuses et obscures de diffraction qui peuvent être justifiées en faisant intervenir l'interférence des ondelettes issues des sources secondaires centrées en tout point, hors cheveu, du plan d'onde contenant ce dernier <math>\ldots</math> == Choix de la taille de l'ouverture relativement à la longueur d'onde pour observer le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique, exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young == === Rappel du résultat === {{Proposition|titre= À retenir| contenu ={{Al|5}}De façon à ce que le phénomène de diffraction soit observable, il convient de choisir <center>la taille de l'ouverture telle qu'elle ne soit pas grande devant la longueur d'onde, c'est-à-dire au plus égale à <math>\;100\, \lambda\;</math> <br>soit la largeur de la fente ou le diamètre du diaphragme «<math>\; a \lesssim 100\, \lambda\;</math>».</center>}} === Notion de sources cohérentes === {{Al|5}}Pour observer un phénomène d'interférences entre deux ondes, il faut que ces dernières soient synchrones<ref name="synchrones"> C.-à-d. de même fréquence.</ref> et « en phase lors de leur émission par les sources les ayant créées » <ref name="sources cohérentes"> Ou avec un déphasage de leur source constant.</ref> ; <br>{{Al|5}}si on fait se croiser deux faisceaux laser émettant la même longueur d'onde dans le vide, les ondes sont effectivement synchrones<ref name="synchrones" /> mais « les sources ne sont pas en phase » <ref name="sources cohérentes" />{{,}}<ref> Chaque faisceau laser est une suite de train d'ondes <math>\;\big(</math>un train d'ondes étant de durée limitée et par conséquent d'expansion spatiale limitée<math>\big)</math>, chaque train n'ayant aucune relation de déphasage avec le suivant <math>\;\big(</math>ou le précédent<math>\big)\;</math> et ayant une longueur dans le vide de l'ordre de <math>\;30\, cm\;</math> <math>\big(</math>correspondant à une durée d'émission sans déphasage de l'ordre de <math>\;1\, ns\big)</math> ; <br>{{Al|3}}deux faisceaux laser de même longueur d'onde dans le vide n'auront donc un déphasage fixé <math>-</math> mais non connu <math>-</math> que pendant une durée très limitée <math>\;\leqslant 1\, ns</math>, cette durée est alors beaucoup trop faible pour une observation d'interférences à l'échelle macroscopique <math>\;\big(</math>en effet une durée d'échelle macroscopique est <math>\;\gtrsim 1\, s</math>, et pour observer des interférences il faudrait au moins <math>\;\gtrsim 10\, s\big)</math>.</ref> et on n'observe pas d'interférences, les ondes émises sont dites « <u>incohérentes</u> » <ref name="ondes incohérentes"> Ce qui signifie qu'elles ont « un déphasage aléatoire à l'échelle macroscopique » <math>\;\big(</math>c.-à-d. que leur déphasage change de façon aléatoire sur une durée <math>\;\lesssim 1\, s\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}pour obtenir des ondes « <u>cohérentes</u> »<ref name="ondes cohérentes"> C.-à-d. des ondes avec « un déphasage constant à l'échelle macroscopique » <math>\;\big(</math>plus précisément restant constant sur une durée <math>\;\gtrsim 10\, s\big)</math>.</ref>, il suffit qu'elles proviennent d'une même source avec une séparation du faisceau issu de la source en deux faisceaux à déphasage indépendant du temps comme lors de l'observation d'interférences par séparation d'un faisceau laser par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young"> '''[[w:Thomas_Young|Thomas Young]] (1773 - 1829)''' physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du [[w:Module_de_Young|module d'Young]] en [[w:Science_des_matériaux|science des matériaux]] et son expérience des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]] en optique.</ref> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Exemple_de_l'interférence_lumineuse_d'une_onde_monochromatique_séparée_par_fentes_d'Young|exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young === [[File:Fentes Young - dispositif.jpg|thumb|600px|<center>Description du dispositif d'interférences par les [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /></center>]] {{Al|5}}On obtient une onde « plane » monochromatique à l'aide d'un faisceau laser « hélium-néon » <ref> De longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0 = 633\, nm</math>.</ref>{{,}}<ref name="onde émise par laser"> En fait l'onde émise par un faisceau laser n'est pas rigoureusement plane puisque le faisceau a une expansion spatiale limitée dans sa section <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Diffraction_à_l'infini#Divergence_d'un_faisceau_laser|divergence d'un faisceau laser]] » plus loin dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}et on réalise sa séparation en deux faisceaux synchrones<ref name="synchrones" /> et « cohérents »<ref name="ondes cohérentes" />, divergeant par phénomène de diffraction, à partir de chacune des deux [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> que le faisceau laser incident éclaire <math>\;\big(</math>voir la figure ci-contre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}pour chaque fente de largeur <math>\;d</math>, la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de {{Nobr|diffraction » <ref name="tache centrale de diffraction"> Plus exactement de l'expansion spatiale aboutissant à la tache centrale de diffraction sur l'écran ci-après.</ref>}} vaut «<math>\;\theta_1 = \arcsin\! \left( \dfrac{\lambda_0}{d} \right)\;</math>» <math>\;\big\{</math>en rappelant que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan <math>\;\perp\;</math> à la longueur de la fente <math>\Rightarrow</math> la « tache centrale de diffraction » <ref name="tache centrale de diffraction" /> s'étale seulement sur la partie de l'écran située dans le plan de la figure ci-contre<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|5}}il y a donc un champ d'interférences « intersection des deux taches centrales de diffraction »<ref name="tache centrale de diffraction" /> mais pour que les « franges » <ref name="franges"> En fait l'utilisation du terme « frange » est un abus compte-tenu du fait que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan <math>\;\perp\;</math> à la longueur de la fente, ces « franges » se réduisant à des taches dans la partie de l'écran située dans le plan de la figure.</ref> d'interférences soient observables sur un écran, ce dernier doit être situé {{Nobr|au-delà}} du point <math>\;A\;</math> <math>\big(</math>voir figure ci-dessus<math>\big)\;</math> défini par <math>\;\tan(\theta_1) = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{O'A}\;</math> d'où la distance <math>\;D\;</math> entre l'écran et le plan des [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> «<math>\;D > O'A = \dfrac{a}{2\, \tan(\theta_1)}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>avec <math>\;d = 0,05\, mm</math>, la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction »<ref name="tache centrale de diffraction" /> vaut «<math>\;\theta_1 = \arcsin\! \left( \dfrac{633\; 10^{-9}}{0,05\; 10^{-3}} \right) \simeq</math> <math>0,0127\; rad</math> <math>\simeq 0\text{°}\, 43'\;</math>»<ref name="conversion rad - degrés et minutes"> En effet <math>\;1\;rad = \dfrac{180\;\text{°}}{\pi} = \dfrac{(180 \times 60)\;'}{\pi}\;</math> d'où la conversion.</ref> et, en prenant <math>\;a = 0,5\, mm\;</math><ref> On prend cette valeur réduite pour que les deux fentes soient recouvertes avec un faisceau laser non élargi.</ref>, la distance à partir de laquelle on peut observer des interférences est «<math>\;D_{\text{min}} =</math> <math>\dfrac{0,5\; 10^{-3}}{2 \times \tan(0,0127)} \simeq 0,020\; m\;</math>»<math>\bigg\}</math> ; {{Al|5}}on prend alors «<math>\;D = 2,000\; m\;</math>» et la largeur <math>\;L\;</math> du champ d'interférences sur l'écran vaut «<math>\;L = 2\, \left[ D\, \tan(\theta_1) - \dfrac{a}{2} \right] = 2\, D\, \tan(\theta_1) - a\;</math>» donnant numériquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|on prend alors «<math>\;\color{transparent}{D = 2,000\; m}\;</math>» et la largeur <math>\;\color{transparent}{L}\;</math> du champ d'interférences sur l'écran vaut }}«<math>\;L = 2 \times 2,000 \times \tan(0,0127) - 0,5\; 10^{-3}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit finalement «<math>\;L \simeq 5,0\; cm\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|on prend alors «<math>\;\color{transparent}{D = 2,000\; m}\;</math>» }}d'autre part nous avons déterminé, dans le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Échelle_de_longueur_du_phénomène_d'interférences_dans_le_plan_d'observation,_notion_d'interfrange|échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » traitant des interférences acoustiques et mécaniques mais dont les résultats se prolongent en optique, l'interfrange<ref name="interfrange"> C.-à-d. la distance séparant des positions successives de même état d'interférence.</ref> «<math>\;\mathit{i} = \dfrac{\lambda_0\, D}{a} = \dfrac{633\; 10^{-9} \times 2,000}{0,5\; 10^{-3}} \simeq</math> <math>2,5\; 10^{-3}\;</math> en <math>\;m\;</math>» soit «<math>\;\mathit{i} \simeq 2,5\; mm\;</math>» et nous en déduisons le nombre d'interfranges dans le champ d'interférences sur l'écran «<math>\;N = \dfrac{L}{\mathit{i}} = 20\;</math>»<ref> Divisant <math>\;\dfrac{L}{2}\;</math> par <math>\;\mathit{i}\;</math> on trouve <math>\;10</math> ; <br>{{Al|3}}compte-tenu du fait que la « frange » centrale est brillante, il y a donc <math>\;10\;</math> « franges » brillantes de part et d'autre de la « frange » centrale soit au total <math>\;21\;</math> franges brillantes et <math>\;20\;</math> franges sombres, mais comme on le constate sur la courbe d'amplitude plus bas dans ce paragraphe, <br>{{Al|3}}les franges d'ordre <math>\;10\;</math> et <math>\;-10\;</math> ont une amplitude maximale trop faible pour être observable <math>-</math> <math>\;\big(</math>et même celles d'ordre <math>\;9\;</math> et <math>\;-9\big)\;</math> <math>-</math> d'où simplement <math>\;19\;</math> <math>\big(</math>ou même <math>\;17\big)\;</math> franges brillantes pour <math>\;18\;</math> <math>\big(</math>ou même <math>\;16\big)\;</math> franges sombres ; <br>{{Al|3}}sur la courbe d'amplitude plus bas de ce paragraphe figurent également les franges brillantes des 1^ères taches de diffraction secondaires <math>\;\big(</math>mais celles-ci sont peu brillantes et donc pratiquement non observables<math>\big)</math>.</ref> ; <center>ci-dessous le « diagramme de variation de l'amplitude <math>\;\mathcal{A}(\theta)\;</math>»<ref> «<math>\;\mathcal{A}(\theta) = 2\, A_0\; \left\vert \mathrm{sinc}\! \left[ \dfrac{\pi\, \sin(\theta)\, d}{\lambda_0} \right] \right\vert\; \left\vert \cos\! \left[ \dfrac{\pi\, \sin(\theta)\, a}{\lambda_0} \right] \right\vert\;</math>» dans laquelle «<math>\;2\, A_0 \left\vert \cos\! \left[ \dfrac{\pi\, \sin(\theta)\, a}{\lambda_0} \right] \right\vert\;</math> est le facteur d'interférences » <math>\;\bigg\{</math>voir le paragraphe donnant l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence de deux ondes primitives dans le « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Cas_où_les_sources_synchrones_et_en_phase_émettent_des_signaux_de_même_amplitude|cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » soit «<math>\;A_{\text{tot}}</math> <math>= A_0\, \sqrt{2}\, \sqrt{1 + \cos(\varphi_2 - \varphi_1)} = 2\, A_0\, \left\vert \cos\! \left( \dfrac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} \right) \right\vert\;</math>» avec le « déphasage <math>\;\varphi_2 - \varphi_1\;</math>» lié à la « différence de marche <math>\;\delta = d_2 - d_1\;</math> avec <math>\;d_2 = S_2M\;</math> et <math>\;d_1 = S_1M\;</math>» par «<math>\;\varphi_2 - \varphi_1 =</math> <math>-\dfrac{2\, \pi}{\lambda_0}\, (d_2 - d_1)\;</math>» voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Notion_de_différence_de_marche_et_d'ordre_d'interférences|notion de différence de marche et d'ordre d'interférences]] » du même chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ainsi que le « calcul de la différence de marche <math>\;\delta = a\;\sin(\theta)\;</math>» voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Interférences_entre_deux_ondes_acoustiques_ou_mécaniques_de_même_fréquence#Échelle_angulaire_du_phénomène_d'interférences,_lien_avec_l'échelle_de_longueur_du_phénomène_d'interférences_dans_le_plan_d'observation|échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation]] » du même chap.<math>5</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\bigg\}</math>.</ref> en fonction de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'observation des interférences.</center> [[File:Fentes Young - amplitude.png|thumb|center|600px|<center>Diagramme d'amplitude des interférences par [[w:Fentes_de_Young|fentes d'Young]]<ref name="Young" /> modulées par <br>la courbe d'amplitude de diffraction</center>]] == Conséquences de la diffraction sur la focalisation et sur la propagation d'un faisceau laser == === Divergence d'un faisceau laser === [[File:Laser - divergence.jpg|thumb|400px|<center>Schéma de divergence d'un faisceau laser</center>]] {{Al|5}}Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\parallel</math>, cela résulte de son expansion transversale finie, par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}pour la longueur d'onde dans le vide du laser hélium-néon <math>\;\lambda_0 = 633\; nm\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, pour }}un diamètre de sortie <math>\;a = 0,5\; mm</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}le rayon angulaire ou « demi-angle d'ouverture » <ref> Correspondant au domaine de diffraction central <math>\;\big(</math>c.-à-d. celui qui donnerait la tache centrale sur un écran <math>\;\perp\;</math> à la direction principale<math>\big)</math>.</ref> vaut «<math>\;\theta_1 = \arcsin\! \left( 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{a} \right)</math> <math>= \arcsin\! \left( 1,22 \times \dfrac{633\; 10^{-9}}{0,5\; 10^{-3}} \right)</math> <math>\simeq 1,55\; 10^{-3}\; rad \simeq 5,4'\;</math>»<ref name="conversion rad - degrés et minutes" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, }}plaçant un écran à une distance <math>\;D = 5\; m\;</math> on observe une « tache de diamètre <math>\;d \simeq 2 \left( D\; \theta_1 \right) \simeq 2 \times \left( 5 \times 1,55\; 10^{-3} \right) \simeq 15,5\; mm = 1,55\; cm\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un faisceau laser n'est pas rigoureusement <math>\;\color{transparent}{\parallel}</math>, plaçant un écran à une distance <math>\;\color{transparent}{D = 5\; m}\;</math> }}c'est-à-dire un élargissement « non négligeable » <ref> Cela fait en effet un facteur multiplicatif de <math>\;31\;</math> ou une augmentation de <math>\;3000\; \%\;</math> à une distance de <math>\;5\; m</math> ; cela reste néanmoins très faible comparativement aux autres sources.</ref> du diamètre du faisceau à grande distance de la source. === Focalisation d'un faisceau laser === [[File:Laser - focalisation.jpg|thumb|500px|<center>Schéma de focalisation d'un faisceau laser à travers un objectif de microscope</center>]] {{Al|5}}La diffraction se manifeste aussi quand on cherche à focaliser un faisceau laser à l'aide d'un objectif de microscope de « distance focale <math>\;\mathit{f}_{\mathit{i}}\;</math>»<ref name="distance focale image"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Foyer_principal_objet,_foyer_principal_image|foyer principal objet, foyer principal image]] (d'une lentille mince) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » définissant <u>le foyer</u><math>\;\big(</math><u>principal</u><math>\big)\;</math><u>image</u> des lentilles minces comme <u>le point de convergence du faisceau émergent provenant d'un faisceau incident</u> <math>\;\parallel</math> <math>\;\big(</math>à l'axe principal optique de la lentille<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_lentilles_minces#Distance_focale_et_vergence_d'une_lentille_mince|distance focale et vergence d'une lentille mince]] » du même chap.<math>14</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » définissant la notion de <u>distance focale</u><math>\;\big(</math><u>image</u><math>\big)\;</math> comme <u>la distance séparant le foyer</u><math>\;\big(</math><u>principal</u><math>\big)\;</math><u>image du centre</u><math>\;\big(</math><u>optique</u><math>\big)\;</math><u>de la lentille</u> <math>\;\big\{</math>les termes entre parenthèses sont nécessaires pour une définition correcte mais peuvent être supprimés en 1^ère {{Nobr|lecture<math>\big\}</math>.}}</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}la dimension transversale du faisceau ne s'annule pas <math>\;\big\{</math>contrairement à ce qu'exigerait une focalisation parfaite résultant de la 1^ère loi de l'optique géométrique<ref name="propagation rectiligne de la lumière en optique géométrique"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Optique_géométrique_:_sources_lumineuses,_milieu_transparent,_approximation_de_l'optique_géométrique#Première_loi_:_propagation_rectiligne_de_la_lumière|1^ère loi : propagation rectiligne de la lumière]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref><math>\big\}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}elle passe simplement par une valeur minimale «<math>\;a_{\text{min}}\;</math>» que l'on détermine également par la relation «<math>\;\sin(\theta) = 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{a_{\text{min}}}\;</math>» où «<math>\;\theta\;</math> est le demi-angle d'ouverture du faisceau convergent imposé par l'objectif de microscope » et «<math>\;a_{\text{min}}\;</math> la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence » soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale }}«<math>\;a_{\text{min}} = 1,22\; \dfrac{\lambda_0}{\sin(\theta)}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}avec la relation déterminant le demi-angle d'ouverture <math>\;\theta\;</math> à partir de la distance focale de l'objectif de microscope<ref name="distance focale image" /> et du diamètre <math>\;a\;</math> du faisceau incident «<math>\;\tan(\theta) = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\mathit{f}_{\mathit{i}}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}sachant que l'angle <math>\;\theta\;</math> est petit ce qui permet l'approximation «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \tan(\theta) \simeq \theta \\ \sin(\theta) \simeq \theta \end{array} \right\rbrace\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et par suite de « confondre <math>\;\tan(\theta)\;</math> avec <math>\;\sin(\theta)\;</math> au même ordre un en <math>\;\theta\;</math>», d'où «<math>\;\sin(\theta) \simeq \dfrac{a}{2\, \mathit{f}_{\mathit{i}}}\;</math> à l'ordre un en <math>\;\theta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}finalement « la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence s'évalue par <math>\;a_{\text{min}} \simeq 1,22\; \dfrac{2\; \lambda_0\; \mathit{f}_{\mathit{i}}}{a}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|La diffraction se manifeste }}si «<math>\;\mathit{f}_{\mathit{i}} = 10\; cm\;</math> avec <math>\;a = 0,50\; mm\;</math> et <math>\;\lambda_0 = 633\; nm\;</math>» on trouve «<math>\;a_{\text{min}} \simeq 1,22 \times \dfrac{2 \times 633\; 10^{-9} \times 0,1}{0,50\; 10^{-3}} \simeq 0,30\; 10^{-3}\; m = 0,30\; mm\;</math>»<ref> Ce qui correspond à un rétrécissement de <math>\;0,20\; mm\;</math> sur <math>\;0,50\; mm\;</math> soit un « facteur de rétrécissement de <math>\;40\; \%\;</math>», ce qui est néanmoins suffisant pour affirmer que la convergence n'est pas ponctuelle.</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques|Propag. d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques]] | suivant = [[../Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus|Propag. d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus]] }} 2qzve6qftkcg7qs7ax0yp4fjcji13uy 0 62026 982797 974046 2026-05-13T20:18:12Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982797 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Suites arithmétique et géométrique/]] | suivant = [[../Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs/]] }} == Notion d'espace == {{Al|5}}Dans ce chapitre on entendra par « espace », que l'on notera <math>\;\mathcal{E}</math>, l'« ensemble des positions que peut occuper un solide de petite dimension assimilable à un point » ; cet espace est : * « <u>affine</u> », c'est-à-dire tel qu'on peut y définir le parallélisme et la notion de barycentre et * « <u>euclidien</u> », c'est-à-dire que la « [[w:Espace affine#Première définition|direction de l'espace affine]] »<ref> Représentant l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'[[w:Espace_affine|espace affine]].</ref> est un espace <math>\;\mathbb{R}</math>-vectoriel<ref> Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisantes, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un [[w:Espace_vectoriel#Définitions|espace vectoriel]].</ref> dans lequel on définit <br />{{Transparent|« euclidien », }}un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'[[w:Espace_affine|espace affine]] <math>\;\big(</math>égale à la norme du vecteur associé au bipoint<math>\big)\;</math> et <br />{{Transparent|« euclidien », un produit scalaire permettant de déterminer }}l'angle entre deux bipoints <math>\;\big(</math>à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints<math>\big)</math> <ref name="angle entre bipoints"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Calcul_de_l'angle_entre_deux_vecteurs_connaissant_leurs_composantes_dans_une_même_base_orthonormée_et_par_l'intermédiaire_de_leur_produit_scalaire|calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire]] » du chap.<math>7</math> de la leçon .</ref>. == Champ (ou fonction) scalaire de l'espace == === Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace === {{Définition|contenu= {{Al|5}}Soit un point <math>\;M\;</math> de l'espace <math>\;\mathcal{E}</math>, on définit un champ <math>\;\big(</math>ou une fonction<math>\big)\;</math> scalaire <math>\;f\;</math> de <math>\;M\;</math> selon :<center>«<math>\;M\; \overset{f}{\rightarrow}\; f(M)\; \in\; \mathbb{R},\;\; \forall\; M\, \in\, \mathcal{E}\;</math>»<ref name="Domaine de définition"> Ou à un sous-ensemble de <math>\;\mathcal{E}</math>, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.</ref>.</center>}} === Définition d'un champ (ou d'une fonction) scalaire de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points === {{Al|5}}Soit une base fixe de l'« espace physique »<ref name="Base fixe"> Plus exactement de l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] associé à l'[[w:Espace_affine|espace affine]] <math>\;\big(</math>encore appelé « [[w:Espace affine#Première définition|direction de l'espace affine]] »<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x,\; \vec{u}_y,\; \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> et appelée « cartésienne » ; {{Al|5}}tout point <math>\;M\;</math> est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées <math>\;(x,\, y,\, z)\;</math> tel que, <math>\;O\;</math> étant un point fixe de <math>\;\mathcal{E}\;</math> choisi comme origine du repérage, <br />{{Al|5}}{{Transparent|tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées <math>\;\color{transparent}{(x,\, y,\, z)}\;</math> tel que, }}«<math>\;\overrightarrow{OM} = x\, \vec{u}_x + y\, \vec{u}_y + z\, \vec{u}_z\;</math>». {{Définition|contenu= {{Al|5}}Soit un point <math>\;M\;</math> de l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> de coordonnées <math>\;(x,\, y,\, z)</math>, on définit un champ <math>\;\big(</math>ou une fonction<math>\big)\;</math> scalaire <math>\;f\;</math> de <math>\;M\;</math> selon : <center>«<math>\;(x,\, y,\, z)\; \overset{f}{\rightarrow}\; f(x,\, y,\, z) \in \mathbb{R},\;\; \forall\; (x,\, y,\, z) \in \mathbb{R}^3\;</math>»<ref name="Domaine de définition bis"> Ou à un sous-ensemble de <math>\;\mathbb{R}^3</math>, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.</ref>.}} {{Al|5}}Un champ <math>\;\big(</math>ou une fonction<math>\big)\;</math> scalaire de l'espace s'identifie à une <u>fonction scalaire des trois coordonnées du point</u> de l'espace. === Exemples de champ (ou fonction) scalaire de l'espace === * Pression atmosphérique ou température en tout point de l'espace ; * énergies diverses : potentielle de pesanteur, cinétique, mécanique <math>\ldots</math> === Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace === {{Al|5}}Pour caractériser la variation du champ <math>\;\big(</math>ou d'une fonction<math>\big)\;</math> scalaire <math>\;f\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}</math>, on peut introduire le repérage du point générique <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{E}\;</math> en utilisant une base cartésienne <br />{{Al|4}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on peut introduire le repérage du point générique }}<math>\;\left\lbrace \vec{u}_x,\, \vec{u}_y,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> de l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] associé à <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="direction de l'espace affine euclidien"> [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] encore appelé « [[w:Espace affine#Première définition|direction de l'espace affine]] euclidien » <math>\;\mathcal{E}</math>.</ref>, <br />{{Al|4}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on peut introduire le repérage du point générique }}<math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées <math>\;(x,\, y,\, z)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, }}on en déduit que le champ <math>\;\big(</math>ou la fonction<math>\big)\;</math> scalaire <math>\;f(M)\;</math> s'identifie à <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}la fonction scalaire des trois coordonnées de <math>\;M</math>, <math>\;f(x,\, y,\, z)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que la fonction scalaire }}ces coordonnées étant indépendantes si <math>\;M\;</math> est libre dans <math>\;\mathcal{E}\;</math> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}«<math>\;f(M) = f(x,\, y,\, z)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}la variation de <math>\;f(M)\;</math> peut être déterminée à l'aide <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}<math>\blacktriangleright\;</math>des signes des dérivées partielles de <math>\;f\;</math> par rapport aux coordonnées de <math>\;M\;</math><ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_des_dérivées_partielles|définition des dérivées partielles]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}<math>\blacktriangleright\;</math>du signe de la différentielle de <math>\;f\;</math> relativement aux signes des éléments différentiels <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou d'une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>du signe de la différentielle de <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> relativement }}des coordonnées de <math>\;M\;</math><ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Définition_de_la_différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables_indépendantes|définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la généralisation a plus de deux variables se faisant aisément.</ref>. {{Al|5}}Nous traiterons cette caractérisation sur un exemple : comment varie la température <math>\;T(M)\;</math> dans l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> ? ==== Caractérisation par signe des dérivées partielles ==== {{Al|5}}Supposons connu le champ scalaire température <math>\;T(M) = T(x,\, y,\, z)\;</math> c'est-à-dire connu en fonction des coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, <br />{{Al|5}}nous nous proposons de connaître la variation de <math>\;T\;</math> relativement à <math>\;x\;</math> sans faire varier <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math><ref> La démarche serait la même pour déterminer la variation de <math>\;T\;</math> relativement à <math>\;y\;</math> sans faire varier <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|La démarche serait la même }}pour déterminer la variation de <math>\;T\;</math> relativement à <math>\;z\;</math> sans faire varier <math>\;x\;</math> et <math>\;y</math>.</ref>, nous aurons alors <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous nous proposons de connaître }}les variations suivantes :<math>\bullet\;</math>«<math>\;T \nearrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\;</math> à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> constants » si «<math>\;\left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z} > 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />, <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous nous proposons de connaître les variations suivantes :}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;T \searrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\;</math> à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> constants » si «<math>\;\left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z} < 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous nous proposons de connaître les variations suivantes :}}<math>\bullet\;</math>«<math>\;T\;</math> reste stationnaire quand <math>\;x\;</math> varie à <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> constants » si «<math>\;\left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z} = 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une coordonnée à la fois. ==== Caractérisation par signe de la différentielle ==== {{Al|5}}Supposons connu le champ scalaire température <math>\;T(M) = T(x,\, y,\, z)\;</math> c'est-à-dire connu en fonction des coordonnées cartésiennes de <math>\;M</math>, <br />{{Al|5}}nous nous proposons de connaître la variation de <math>\;T\;</math> le long d'une courbe par exemple le long de la droite d'équations «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe"> <br>{{Al|3}}Nous verrons au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérages_cartésien,_cylindro-polaire_ou_sphérique_d'une_courbe|repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous verrons }}qu'une équation cartésienne caractérise une surface et qu'il faut deux équations cartésiennes pour caractériser une courbe, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous verrons }}dans l'exemple cité <math>\;z = 2\;</math> est l'équation du plan horizontal de cote <math>\;2\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous verrons dans l'exemple cité }}<math>\;x + y = 1\;</math> celle du plan vertical passant par le point <math>\;(0,\, 1,\, 0)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Nous verrons dans l'exemple cité }}la courbe est donc la droite horizontale intersection des deux plans.</ref> ; pour cela, {{Al|5}}nous évaluons la différentielle <math>\;dT\;</math><ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> dans le contexte de la variation de <math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;\left\lbrace \begin{array} {r c l} dx + dy \!\!&=&\!\! 0\\ dz \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» à partir du point «<math>\;(x_0,\; y_0 = 1 - x_0,\; z_0 = 2)\;</math>» paramétré par <math>\;x_0\;</math> soit <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle }}«<math>\;dT = \left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\, dx + \left( \dfrac{\partial T}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\, dy + \cancel{\left( \dfrac{\partial T}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(x_0,\, y_0,\, z_0)\, dz}\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> ou, « en remplaçant <math>\;dy\;</math> par <math>\;-dx\;</math>» pour satisfaire à la courbe suivie, <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle }}«<math>\;dT = \left[ \left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) - \left( \dfrac{\partial T}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) \right] dx\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />, <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle }}expression permettant de déduire les variations de <math>\;T\;</math> le long de la droite d'équations «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe" /> à partir du point «<math>\;(x_0,\; y_0 = 1 - x_0,\; z_0 = 2)\;</math>» : <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;T \nearrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\;</math> le long de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>» si «<math>\;dT > 0\;</math>» ou si «<math>\;\left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) > \left( \dfrac{\partial T}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />, <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;T \searrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\;</math> le long de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>» si «<math>\;dT < 0\;</math>» ou si «<math>\;\left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) < \left( \dfrac{\partial T}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> et <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;T\;</math> reste stationnaire quand <math>\;x\;</math> varie le long de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>» si «<math>\;dT = 0\;</math>» ou <br />{{Al|2}}{{Transparent|nous évaluons la différentielle expression permettant de déduire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{T}\;</math> reste stationnaire quand <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> varie le long de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace}\;</math>» }}si «<math>\;\left( \dfrac{\partial T}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) = \left( \dfrac{\partial T}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />. ==== Commentaire final ==== {{Al|5}}La <u>méthode la plus complète</u> pour déterminer la variation d'un champ scalaire de l'espace est donc de procéder par <u>évaluation de sa différentielle</u> mais <br />{{Al|5}}la <u>méthode la plus rapide</u>, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par <u>calcul des dérivées partielles</u> ; <br />{{Al|5}}nous introduirons la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » qui donnera <br />{{Al|5}}{{Transparent|nous introduirons }}une <u>version plus compacte de ces deux méthodes</u> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Caractérisation_de_la_variation_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_à_l'aide_de_son_gradient|caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient]] » du même chap.<math>19</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». == Champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace == === Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace === {{Définition|contenu= {{Al|5}}Soit un point <math>\;M\;</math> de l'espace <math>\;\mathcal{E}</math>, on définit un champ <math>\;\big(</math>ou une fonction<math>\big)\;</math> vectoriel(le) <math>\;\vec{f}\;</math> de <math>\;M\;</math> selon :<center>«<math>\;M\; \overset{\vec{f}}{\rightarrow}\; \vec{f}(M)\; \in\; \mathcal{V},\;\; \forall\; M\, \in\, \mathcal{E}\;</math>»<ref name="Domaine de définition" />, où «<math>\;\mathcal{V}\;</math> est un espace <math>\;\mathbb{R}</math>-vectoriel »<ref> De dimension maximale trois.</ref>.</center>}} === Définition d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace dans lequel on a choisi une base cartésienne pour repérer les points === {{Al|5}}Soit une base fixe de l'« espace physique »<ref name="Base fixe" /> notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x,\; \vec{u}_y,\; \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> et appelée « cartésienne » ; {{Al|5}}tout point <math>\;M\;</math> est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées <math>\;(x,\, y,\, z)\;</math> tel que, <math>\;O\;</math> étant un point fixe de <math>\;\mathcal{E}\;</math> choisi comme origine du repérage, <br />{{Al|5}}{{Transparent|tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées <math>\;\color{transparent}{(x,\, y,\, z)}\;</math> tel que, }}«<math>\;\overrightarrow{OM} = x\, \vec{u}_x + y\, \vec{u}_y + z\, \vec{u}_z\;</math>». {{Définition|contenu= {{Al|5}}Soit un point <math>\;M\;</math> de l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> de coordonnées <math>\;(x,\, y,\, z)</math>, on définit un champ <math>\;\big(</math>ou une fonction<math>\big)\;</math> vectoriel(le) <math>\;\vec{f}\;</math> de <math>\;M\;</math> selon <center>«<math>\;(x,\, y,\, z)\; \overset{\vec{f}}{\rightarrow}\; \vec{f}(x,\, y,\, z)\; \in\; \mathcal{V},\;\; \forall\; (x,\, y,\, z)\, \in\, \mathbb{R}^3\;</math>»<ref name="Domaine de définition bis" />, <math>\;\mathcal{V}\;</math> étant l'« [[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] image » ;</center> {{Al|5}}usuellement <math>\;\mathcal{V}\; \subseteq\; \mathbb{R}^3\;</math> permet de définir les composantes de <math>\;\vec{f}(x,\, y,\, z)\;</math> dans la même base cartésienne selon <center>«<math>\;\vec{f}(x,\, y,\, z) = f_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + f_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + f_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z\;</math>»,</center> {{Al|5}}la définition du champ <math>\;\big(</math>ou fonction<math>\big)\;</math> vectoriel(le) de l'espace étant alors équivalente à la définition <br />{{Al|5}}{{Transparent|la définition }}des trois champs <math>\;\big(</math>ou fonctions<math>\big)\;</math> scalaires de l'espace correspondant à ses composantes <br />{{Al|5}}{{Transparent|la définition des trois champs <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou fonctions<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> scalaires }}«<math>\;(x,\, y,\, z) \left\lbrace \begin{array}{l}\overset{f_x}{\rightarrow}\; f_x(x,\, y,\, z) \in \mathbb{R}\\\overset{f_y}{\rightarrow}\; f_y(x,\, y,\, z) \in \mathbb{R}\\\overset{f_z}{\rightarrow}\; f_z(x,\, y,\, z) \in \mathbb{R}\end{array}\right.,\;\; \forall\, (x,\, y,\, z)\, \in\, \mathbb{R}^3\;</math>»<ref name="Domaine de définition bis" />.}} {{Al|5}}Un champ <math>\;\big(</math>ou une fonction<math>\big)\;</math> vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux <u>trois fonctions scalaires des trois coordonnées du point</u> de l'espace <br />{{Al|5}}{{Transparent|Un champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou une fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) de l'espace s'identifie aux }}correspondant aux <u>trois composantes du champ</u><math>\;(</math><u>ou fonction</u><math>)\;</math><u>vectoriel(le)</u><ref name="abus de notation"> Usuellement on n'introduit pas les coordonnées du point en définissant les composantes mais on écrit «<math>\;M \left\lbrace \begin{array}{l}\overset{f_x}{\rightarrow}\; f_x(M)\; \in\; \mathbb{R}\\\overset{f_y}{\rightarrow}\; f_y(M)\; \in\; \mathbb{R}\\\overset{f_z}{\rightarrow}\; f_z(M)\; \in\; \mathbb{R}\end{array}\right.,\;\; \forall\; M\, \in\, \mathcal{E}\;</math>».</ref>. === Exemples de champ (ou fonction) vectoriel(le) de l'espace === * Champ de pesanteur en tout point de l'espace ou autres champs, électrique, magnétique <math>\ldots</math> * vecteur position du point <math>\;M\;</math> de l'espace <math>\;\overrightarrow{OM}</math>, vecteur vitesse, vecteur accélération <math>\ldots</math> === Caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace === {{Al|5}}Pour caractériser la variation du champ <math>\;\big(</math>fonction<math>\big)\;</math> vectoriel(le) <math>\;\vec{f}\;</math> de l'espace physique <math>\;\mathcal{E}\;</math> on peut introduire le repérage du point générique <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{E}\;</math> en utilisant une base cartésienne <br />{{Al|4}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on peut introduire le repérage du point générique }} <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x,\, \vec{u}_y,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> de l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] associé à <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="direction de l'espace affine euclidien" />, <br />{{Al|4}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on peut introduire le repérage du point générique }}<math>\;M\;</math> ayant alors pour coordonnées <math>\;(x,\, y,\, z)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, }}on en déduit que le champ <math>\;\big(</math>ou la fonction<math>\big)\;</math> vectoriel(le) <math>\;\vec{f}(M)\;</math> s'identifie aux <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}trois fonctions scalaires des trois coordonnées de <math>\;M</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}f_x(M)\\f_y(M)\\f_z(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="abus de notation" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que trois fonctions scalaires }}ces coordonnées étant indépendantes si <math>\;M\;</math> est libre dans <math>\;\mathcal{E}\;</math> soit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}«<math>\;M \left\lbrace \begin{array}{l}\overset{f_x}{\rightarrow}\; f_x(M)\; \in\; \mathbb{R}\\\overset{f_y}{\rightarrow}\; f_y(M)\; \in\; \mathbb{R}\\\overset{f_z}{\rightarrow}\; f_z(M)\; \in\; \mathbb{R}\end{array}\right.,\;\; \forall\; M\, \in\, \mathcal{E}</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}la variation de <math>\;\vec{f}\;</math> peut être déterminée en étudiant les variations de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f_x(M)\\f_y(M)\\f_z(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> à l'aide <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}<math>\blacktriangleright\;</math>des signes des dérivées partielles de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f_x\\f_y\\f_z\end{array}\right\rbrace\;</math> par rapport aux coordonnées de <math>\;M\;</math><ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que }}<math>\blacktriangleright\;</math>du signe de la différentielle de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}f_x\\f_y\\f_z\end{array}\right\rbrace\;</math> relativement aux signes des éléments <br />{{Al|10}}{{Transparent|Pour caractériser la variation du champ <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>fonction<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> vectoriel(le) <math>\;\color{transparent}{\vec{f}}\;</math> de l'espace physique <math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}}</math>, on en déduit que <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>du signe de la différentielle de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace f_x \right\rbrace}\;</math> }}différentiels des coordonnées de <math>\;M\;</math><ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />. ==== Écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire<ref name="règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonction_de_plusieurs_variables_indépendantes#Quelques_règles_de_calcul_de_la_différentielle_d'une_fonction_de_deux_variables_indépendantes|règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> vues au chap.<math>6</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <br />{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : Les règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire }}restent applicables pour le calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne <math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left( \vec{f} + \vec{g} \right) = d\! \left( \vec{f} \right) + d \Big( \,\vec{g}\, \Big)\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left( \overrightarrow{cste} \right) = \vec{0}\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left( \vec{f} \cdot\, \vec{g} \right) = d\! \left( \vec{f} \right) \cdot\, \vec{g} + \vec{f} \cdot\, d \Big( \,\vec{g}\, \Big)\;</math>» <math>\;\big[</math>on peut utiliser la commutativité de la multiplication scalaire<ref name="commutativité de la multiplication scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (1^ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonction vectorielle donne }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) = d\! \left( \vec{f} \right) \wedge\, \vec{g} + \vec{f} \wedge\, d \Big( \,\vec{g}\, \Big)\;</math>» <math>\big[</math>attention la multiplication vectorielle est anticommutative<ref name="anticommutativité de la multiplication vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (1^ère propriété de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>. <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne <math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left( f \times \vec{g} \right) = d f \times \vec{g} + f \times d \Big( \,\vec{g}\, \Big)\;</math>»<ref name="times"> Le symbole «<math>\;\times\;</math>» traduit la multiplication d'une fonction scalaire par une fonction vectorielle, il n'est, en général, pas utilisé, il l'est, ici, pour mieux séparer la multiplication de la différenciation.</ref> <math>\;\big[</math>commutativité applicable<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left( \dfrac{\vec{g}}{f} \right) = \dfrac{f \times d \Big( \,\vec{g}\, \Big) - df \times \vec{g}}{f^{\,2}}\;</math>»<ref name="times" /> <math>\;\big[</math>commutativité applicable<math>\big]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;d\! \left\lbrace \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot\, \vec{h} \right\rbrace = d\! \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot\, \vec{h} + \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot d\! \left( \vec{h} \right)\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot\, \vec{h} \right\rbrace}</math> }}<math>= \left[ d\! \left( \vec{f} \right) \wedge\, \vec{g} + \vec{f} \wedge\, d \Big( \,\vec{g}\, \Big) \right] \cdot\, \vec{h} + \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot d\! \left( \vec{h} \right)\;</math> ou, par utilisation <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot\, \vec{h} \right\rbrace =}</math> }}de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot\, \vec{h} \right\rbrace =}</math> de la distributivité de la multiplication scalaire relativement }}vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{d\! \left\lbrace \left( \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right) \cdot\, \vec{h} \right\rbrace}</math> }}<math>= \left[ d\! \left( \vec{f} \right) \wedge\, \vec{g} \right] \cdot\, \vec{h} + \left[ \vec{f} \wedge\, d \Big( \,\vec{g}\, \Big) \right] \cdot\, \vec{h} + \left[ \vec{f} \wedge\, \vec{g} \right] \cdot d\! \left( \vec{h} \right)\;</math>» <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : La réécriture de ces quelques règles en termes de fonctions scalaire et vectorielle donne <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math> }}<math>\big[</math>attention seules les permutations circulaires laissent le produit mixte invariant<ref name="permutations sur produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (1^ère propriété de la multiplication mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}Différenciant «<math>\;\vec{f}(M) = f_x(M)\, \vec{u}_x + f_y(M)\, \vec{u}_y + f_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_x,\, \vec{u}_y,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> base cartésienne de l'[[w:Espace_vectoriel|espace vectoriel]] associé à <math>\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="direction de l'espace affine euclidien" />, <math>\;\big(</math>les vecteurs de base étant constants<math>\big)</math>, on obtient <br />{{Al|5}}{{Transparent|Différenciant }}«<math>\;d\! \left( \vec{f} \right)(M) = df_x(M)\; \vec{u}_x + df_y(M)\; \vec{u}_y + df_z(M)\; \vec{u}_z\;</math> ou encore <br />{{Al|5}}{{Transparent|Différenciant «<math>\;\color{transparent}{d\! \left( \vec{f} \right)(M)}</math> }}<math>= \left[ \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M) \, dx + \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M) \, dy + \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M) \, dz \right] \vec{u}_x + \left[ \left( \dfrac{\partial f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M) \, dx + \left( \dfrac{\partial f_y}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M) \, dy + \left( \dfrac{\partial f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M) \, dz \right] \vec{u}_y\;\cdots</math> <br />{{Al|132}}{{Transparent|Différenciant «<math>\;\color{transparent}{d\! \left( \vec{f} \right)(M)}</math> }}<math>\cdots\;+ \left[ \left( \dfrac{\partial f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M) \, dx + \left( \dfrac{\partial f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M) \, dy + \left( \dfrac{\partial f_z}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M) \, dz \right] \vec{u}_z\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />. ==== Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude des dérivées partielles de ses composantes cartésiennes ==== {{Al|5}}Une base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, , \,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> étant choisie, la variation de la fonction vectorielle <math>\;\vec{f}\;\left( f_x\, , \, f_y\, , \,f_z \right)\;</math> à partir d'un point <math>\;M_0\;</math> <math>\left( x_0\, , \,y_0\, , \,z_0 \right)\;</math> de l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> revient à l'étude de <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une base cartésienne <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, , \,\vec{u}_z \right\rbrace}\;</math> étant choisie, }}la variation de « chaque composante cartésienne de <math>\;\vec{f}</math>, <math>\;f_x</math>, <math>\;f_y\;</math> et <math>\;f_z\;</math>» en fonction de « chacune des coordonnées de <math>\;M</math>, <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math>», <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une base cartésienne <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, , \,\vec{u}_z \right\rbrace}\;</math> étant choisie, }}c'est-à-dire l'étude du signe des neuf dérivées partielles des composantes cartésiennes de <math>\;\vec{f}</math> ; {{Al|5}}par exemple l'étude de la variation de <math>\;f_x(M)\;</math> à partir de <math>\;M_0\;</math> relativement à <math>\;y\;</math> est la suivante<ref> La démarche serait la même pour l'étude de la variation de <math>\;f_x(M)\;</math> à partir de <math>\;M_0\;</math> relativement à <math>\;x\;</math> ou relativement à <math>\;z\;</math> ou pour l'étude de la variation de <math>\;f_y(M)\;</math> ou de <math>\;f_z(M)\;</math> relativement à chacune des coordonnées de <math>\;M</math>.</ref> <math>\bullet\;</math>«<math>\;f_x(M) \nearrow\;</math> quand <math>\; y \nearrow\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> restant figés » si «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M_0) > 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />, <br />{{Al|10}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> à partir de <math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> est la suivante }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;f_x(M) \searrow\;</math> quand <math>\; y \nearrow\;</math> à <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> restant figés » si «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M_0) < 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> et <br />{{Al|10}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> à partir de <math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> relativement à <math>\;\color{transparent}{y}\;</math> est la suivante }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;f_x(M)\;</math> reste stationnaire quand <math>\; y\;</math> varie à <math>\;x\;</math> et <math>\;z\;</math> figés » si «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!x,\, z}(M_0) = 0\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'inconvénient de cette méthode est qu'elle n'autorise que la variation d'une composante cartésienne de la fonction vectorielle suivant une coordonnée à la fois, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'inconvénient de cette méthode }}il faut donc faire l'étude pour les neuf dérivées partielles des trois composantes suivant les trois coordonnées. ==== Explicitation de la variation du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace par l'étude de la différentielle de ses composantes cartésiennes ==== {{Al|5}}Une base cartésienne <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, , \,\vec{u}_z \right\rbrace\;</math> étant choisie, la variation de la fonction vectorielle <math>\;\vec{f}\;\left( f_x\, , \, f_y\, , \,f_z \right)\;</math> à partir d'un point <math>\;M_0\;</math> <math>\left( x_0\, , \,y_0\, , \,z_0 \right)\;</math> de l'espace <math>\;\mathcal{E}\;</math> peut être faite par l'étude de <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une base cartésienne <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, , \,\vec{u}_z \right\rbrace}\;</math> étant choisie, }}la variation des différentielles <math>\;df_x</math>, <math>\;df_y\;</math> et <math>\;df_z\;</math> des composantes cartésiennes de <math>\;\vec{f}\;</math> explicitées en fonction des coordonnées de <math>\;M</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Une base cartésienne <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, , \,\vec{u}_z \right\rbrace}\;</math> étant choisie, }}c'est-à-dire par l'étude du signe des trois différentielles <math>\;df_x</math>, <math>\;df_y\;</math> et <math>\;df_z\;</math> des composantes cartésiennes de <math>\;\vec{f}</math> ; {{Al|5}}par exemple l'étude de la variation de <math>\;f_x(M)\;</math> le long de la droite d'équations «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe" />{{,}}<ref> La démarche serait la même le long de n'importe quelle courbe passant par <math>\;M_0</math>.</ref> à partir de <math>\;M_0\;(x_0,\; y_0 = 1 - x_0,\; z_0 = 2)\;</math> paramétré par <math>\;x_0\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}utilisant l'expression de la différentielle de <math>\;f_x(M)\;</math> «<math>\;df_x(M_0) = \left[ \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M_0) \, dx + \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M_0) \, dy + \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M_0) \, dz \right]\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}dans le contexte de la variation de <math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;\left\lbrace \begin{array} {r c l} dx + dy \!\!&=&\!\! 0\\ dz \!\!&=&\!\! 0 \end{array} \right\rbrace\;</math>» à partir du point «<math>\;(x_0,\; y_0 = 1 - x_0,\; z_0 = 2)\;</math>» paramétré par <math>\;x_0\;</math> <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}est la suivante<ref> La démarche serait la même pour l'étude de la variation de <math>\;f_y(M)\;</math> ou de <math>\;f_z(M)\;</math> utilisant l'expression des différentielles respectives <br>{{Al|3}}«<math>\;df_y(M_0) = \left[ \left( \dfrac{\partial f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M_0) \, dx + \left( \dfrac{\partial f_y}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M_0) \, dy + \left( \dfrac{\partial f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M_0) \, dz \right]\;</math>» ou «<math>\;df_z(M_0) = \left[ \left( \dfrac{\partial f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(M_0) \, dx + \left( \dfrac{\partial f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(M_0) \, dy + \left( \dfrac{\partial f_z}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(M_0) \, dz \right]\;</math>».</center></ref> «<math>\;df_x = \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\, dx + \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\, dy + \cancel{\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}(x_0,\, y_0,\, z_0)\, dz}\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> ou, <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}« en remplaçant <math>\;dy\;</math> par <math>\;-dx\;</math>» pour satisfaire à la courbe suivie, «<math>\;df_x = \left[ \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) - \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) \right] dx\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> « en remplaçant <math>\;\color{transparent}{dy}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{-dx}\;</math>» pour satisfaire à la courbe suivie, }}expression permettant de déduire les variations de <math>\;f_x\;</math> le long de la droite d'équations <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> « en remplaçant <math>\;\color{transparent}{dy}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{-dx}\;</math>» pour satisfaire à la courbe suivie, }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe" /> à partir du point «<math>\;(x_0,\; y_0 = 1 - x_0,\; z_0 = 2)\;</math>» <br />{{Al|18}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> « en remplaçant <math>\;\color{transparent}{dy}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{-dx}\;</math>» pour satisfaire à la courbe suivie, «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace x + y = 1 \right\rbrace}\;</math>» à partir du point }}paramétré par <math>\;x_0</math> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;f_x \nearrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\;</math> le long de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe" /> si «<math>\;df_x > 0\;</math>» ou si «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) > \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;f_x \searrow\;</math> quand <math>\;x \nearrow\;</math> le long de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe" /> si «<math>\;df_x < 0\;</math>» ou si «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) < \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;f_x\;</math> reste stationnaire quand <math>\;x\;</math> varie le long de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l} x + y \!\!&=&\!\! 1\\ z \!\!&=&\!\! 2\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="repérage d'une courbe" /> si «<math>\;df_x = 0\;</math>» ou <br />{{Al|17}}{{Transparent|par exemple l'étude de la variation de <math>\;\color{transparent}{f_x(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f_x}\;</math> reste stationnaire quand <math>\;\color{transparent}{x}\;</math> varie le long de <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace x + y = 1 \right\rbrace}\;</math>» }}si «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0) = \left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}(x_0,\, y_0,\, z_0)\;</math>»<ref name="dérivées partielles d'une fonction scalaire de variables indépendantes" />. ==== Commentaire final ==== {{Al|5}}La <u>méthode la plus complète</u> pour déterminer la variation d'un champ vectoriel de l'espace est donc de procéder par <u>évaluation de la différentielle de ses composantes cartésiennes</u> mais <br />{{Al|5}}la <u>méthode la plus rapide</u>, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par <u>calcul des dérivées partielles de ses composantes</u> <br />{{Al|5}}{{Transparent|la méthode la plus rapide, quand on souhaite uniquement des variations parallèlement aux axes de coordonnées cartésiennes est de procéder par calcul des dérivées partielles de ses }}<u>cartésiennes</u> ; <br />{{Al|5}}existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte comme l'est celle de « gradient » pour un champ scalaire<ref> Pour cette notion voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ? <br />{{Al|5}}{{Transparent|existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte }}Pour cela, cette grandeur devrait avoir neuf composantes traduisant les variations des trois composantes suivant les trois dimensions et <br />{{Al|5}}{{Transparent|existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte Pour cela, cette grandeur }}devrait posséder un « caractère de dérivation », <br />{{Al|5}}{{Transparent|existe-t-il, pour un champ vectoriel, une notion plus compacte }}au niveau de ce chapitre la réponse est donc « non »<ref> À un niveau plus élevé que <math>\;BAC + 3\;</math> on peut introduire la dérivée d'une grandeur vectorielle par rapport à un autre grandeur vectorielle et celle-ci possède effectivement neuf composantes ; elle est représentable par une [[w:Matrice_(mathématiques)#Algèbre_des_matrices_carrées|matrice carrée]] <math>\;3 \times 3\;</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Introduction_des_«_matrices_»_en_mathématiques|introduction des matrices en mathématiques]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> par exemple : <br>{{Al|3}}en repérage cartésien <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Choix_d'un_repère_cartésien|choix d'un repère cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, avec «<math>\;\vec{f}(M) =</math> <math>f_x(M)\, \vec{u}_x + f_y(M)\, \vec{u}_y + f_z(M)\, \vec{u}_z\;</math>» et «<math>\;\vec{r}(M) = \overrightarrow{OM} = x\, \vec{u}_x + y\, \vec{u}_y + z\, \vec{u}_z\;</math>» on définit «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}} \right] =</math> <math>\left[ \!\!\! \begin{array}{c} \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \;\;\; \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \;\;\; \dfrac{\partial f_x}{\partial z}\\ \dfrac{\partial f_y}{\partial x} \;\;\; \dfrac{\partial f_y}{\partial y} \;\;\; \dfrac{\partial f_y}{\partial z}\\ \dfrac{\partial f_z}{\partial x} \;\;\; \dfrac{\partial f_z}{\partial y} \;\;\; \dfrac{\partial f_z}{\partial z} \end{array} \!\!\!\right]\;</math>» <math>\Big[</math>l'ajout de crochets à la grandeur <math>\;\dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}}\;</math> précisant qu'on adopte sa représentation matricielle<math>\Big]</math> ; <br>{{Al|3}}le [[Matrice/Produit_matriciel#Produit_de_matrices|produit]] de <math>\;\left[ \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}} \right]\;</math> avec la [[w:Matrice_(mathématiques)#Définitions|matrice colonne]] <math>\big(</math>ou [[w:Matrice_(mathématiques)|matrice]] <math>\;3 \times 1\big)\;</math> <math>\left[ \overrightarrow{dM} \right] = \left[ \! \begin{array}{c} dx\\ dy\\ dz \end{array} \! \right]\;</math> <math>\big[</math>représentation matricielle déduite des paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_intrinsèque|définition intrinsèque]] (du vecteur déplacement élémentaire) » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Composantes_cartésiennes_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point|composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », pour la définition d'un produit matriciel voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Définition_et_exemple_de_multiplication_matricielle_à_droite_(ou_à_gauche)|définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> donnant {{Nobr|«<math>\;\left[ \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}} \right] \times \left[ \overrightarrow{dM} \right]</math>}} <math>= \left[ \! \begin{array}{c} \dfrac{\partial f_x}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f_x}{\partial y}\, dy + \dfrac{\partial f_x}{\partial z}\, dz\\ \dfrac{\partial f_y}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f_y}{\partial y}\, dy + \dfrac{\partial f_y}{\partial z}\, dz\\ \dfrac{\partial f_z}{\partial x}\,dx + \dfrac{\partial f_z}{\partial y}\, dy + \dfrac{\partial f_z}{\partial z}\, dz \end{array} \! \right] = \left[ \! \begin{array}{c} d f_x\\ \\ d f_y\\ \\d f_z \end{array} \! \right]\;</math>» soit encore «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}} \right] \times \left[ \overrightarrow{dM} \right] = \left[ \! \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace f_x \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\\ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace f_y \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\\ \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left\lbrace f_z \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} \end{array} \! \right]\;</math>» ; <br>{{Al|3}}les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point <math>\;M</math>, « le produit <math>\left[ \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}} \right] \times \left[ \overrightarrow{dM} \right] = \left[ \! \begin{array}{c} d f_x\\ d f_y\\ d f_z \end{array} \! \right]</math> est aussi la représentation matricielle de la différentielle de la fonction vectorielle <math>\vec{f}(M)\;</math>» {{Nobr|c.-à-d.}} «<math>\;d\vec{f} = d f_x\, \vec{u}_x + d f_y\, \vec{u}_y + d f_z\, \vec{u}_z\;</math>» ; <br>{{Al|3}}ainsi « l'étude de la variation de la fonction vectorielle <math>\;\vec{f}(M)\;</math> revient à l'étude du signe des composantes de <math>\;\left( \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{r}} \right)\;</math>», ce qui est une façon plus compacte de résumer le problème <math>\;\big(</math>mais qui nécessite néanmoins, dans la pratique, l'étude de neuf fonctions<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Suites arithmétique et géométrique/]] | suivant = [[../Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs/|Th. de Taylor-Young et DL d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs]] }} pmilln0o1jitjenqogglvdjrczzlbhs 0 62029 982806 974048 2026-05-14T06:38:30Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982806 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 9 | niveau = 14 | précédent = [[../Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini/]] | suivant = [[../Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique/]] }} == Caractère vectoriel de la grandeur vibrante en optique, le champ électromagnétique == {{Al|5}}Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Exemples_de_signaux,_spectre#Grandeurs_vibrantes_en_électromagnétisme,_célérité_de_la_propagation|Grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » ; les grandes lignes sont rappelées ci-dessous : {{Al|5}}La grandeur vibrante associée à une onde optique <math>\;\big(</math>cas particulier d'une onde électromagnétique<math>\big)\;</math> est un <u>champ électromagnétique</u> <math>\;\left\lbrace \vec{E}\, \text{;}\, \vec{B} \right\rbrace</math> ; {{Al|5}}une onde électromagnétique <math>\;\big(</math>donc aussi une onde optique<math>\big)\;</math> <u>n'a pas besoin de milieu matériel pour se propager</u> <ref> Une onde optique <math>\;\big(</math>et il en est de même d'une onde électromagnétique<math>\big)\;</math> peut traverser des milieux, ces derniers <math>-</math> dans le cas d'une onde optique <math>-</math> sont dits « <u>transparents</u> » <math>\;\big[</math>dans le cas contraire ils sont dits « opaques »<math>\big]</math>.</ref>, elle traverse, par exemple, l'espace vide entre une galaxie lointaine et la Terre ; {{Al|5}}dans le vide l'onde électromagnétique <math>\;\big(</math>et donc aussi l'onde optique<math>\big)\;</math> est nécessairement <u>transversale</u> <math>\;\big(\vec{E}\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math> sont <math>\;\perp\;</math> au vecteur d'onde <math>\vec{k}\big)\;</math> mais<br>{{Al|5}}dans la matière il peut « s'y ajouter » <ref> Ce n'est toutefois pas le cas dans les milieux « homogènes » où l'onde électromagnétique <math>\;\big(</math>et donc optique<math>\big)\;</math> est encore transversale.</ref> une composante longitudinale ; {{Al|5}}la célérité de propagation d'une onde électromagnétique <math>\;\big(</math>et donc aussi optique<math>\big)\;</math> dans le vide est notée «<math>\;c\;</math>» <u>laquelle vaut</u> <math>\;300\, 000\; km\! \cdot\! s^{-1}</math>, <br>{{Al|10}}dans un milieu matériel « transparent » elle est notée «<math>\;v\;</math>» et elle est <u>strictement inférieure à</u> <math>\;300\, 000\; km\! \cdot\! s^{-1}</math>. == Récepteurs lumineux, notion d'éclairement, sources lumineuses == === Notion de récepteurs lumineux === {{Al|5}}Ces récepteurs sont sensibles à la puissance lumineuse « moyenne » <ref> « Moyenne temporelle » car la fréquence des ondes lumineuses est trop élevée pour qu'un récepteur réagisse avec la même rapidité <math>-</math> l'inertie du récepteur est trop grande pour une réponse instantanée <math>-</math> il répond donc en valeur moyenne temporelle <math>\;\big(</math>on définit le temps de réponse <math>\;\tau\;</math> du récepteur et la moyenne est faite sur cette durée qui correspond à un très grand nombre de périodes<math>\big)</math>.</ref> reçue ; ainsi, <br>{{Al|10}}lorsqu'il reçoit l'onde lumineuse notée «<math>\;s(x_{\text{récepteur}},\, t)\;</math>»<ref> La grandeur vibrante est en fait le champ électrique <math>\;\big[</math>ou magnétique<math>\big]\;</math> et devrait être notée «<math>\;\vec{E}(x_{\text{récepteur}},\, t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\vec{B}(x_{\text{récepteur}},\, t)\;</math>»<math>\big]\;</math> mais certaines propriétés sont indépendantes du caractère vectoriel de la grandeur vibrante et on note cette dernière «<math>\;s(x_{\text{récepteur}},\, t)</math>» ; en faisant ceci on adopte le « modèle scalaire » de la lumière <math>\;\big(</math>on fait cela pour simplifier les notations<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>on suppose une propagation unidirectionnelle<math>\big)\;</math> la puissance lumineuse instantanée reçue est «<math>\;\propto\;</math> à <math>\;\left[ s(x_{\text{récepteur}},\, t) \right]^2\;</math>» mais <br>{{Al|10}}le récepteur lumineux répond à la puissance lumineuse moyenne reçue «<math>\;\propto\;</math> à <math>\;\left\langle \left[ s(x_{\text{récepteur}},\, t) \right]^2 \right\rangle\;</math>»<ref> «<math>\;\left\langle \right\rangle\;</math>» signifie « valeur moyenne temporelle », la définition de la « moyenne temporelle de <math>\;g(t)\;</math> sur une durée <math>\;\tau\;</math>» est «<math>\;\left\langle g(t) \right\rangle = \dfrac{1}{\tau} \displaystyle\int_0^\tau g(t) dt\;</math>».</ref> ; {{Al|10}}si l'onde lumineuse est harmonique de fréquence <math>\;f\;</math> c'est-à-dire si «<math>\;s(x_{\text{récepteur}},\, t) = A(x_{\text{récepteur}})\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t + \varphi(x_{\text{récepteur}}) \right]\;</math>» on établit que «<math>\;\left\langle \left[ s(x_{\text{récepteur}},\, t) \right]^2 \right\rangle = \dfrac{ \left[ A(x_{\text{récepteur}}) \right]^2}{2}\;</math>»<ref> Le calcul conduit à «<math>\;\left\langle \left[ s(x_{\text{récepteur}},\, t) \right]^2 \right\rangle = \dfrac{1}{\tau} \displaystyle\int_0^\tau \left[ A(x_{\text{récepteur}}) \right]^2 \cos^2\! \left[ 2\, \pi\, f\, t + \varphi(x_{\text{récepteur}}) \right] dt\;</math>» que l'on intègre en linéarisant selon «<math>\;\cos^2(\theta)\;</math> selon <math>\;\dfrac{1 + \cos(2\, \theta)}{2}\;</math>», la valeur moyenne de «<math>\;\dfrac{\left[ A(x_{\text{récepteur}}) \right]^2 \cos\! \left[ 4\, \pi\, f\, t + \varphi(x_{\text{récepteur}}) \right]}{2}\;</math> étant nulle » car admettant une primitive en «<math>\;\dfrac{\left[ A(x_{\text{récepteur}}) \right]^2 \sin\! \left[ 4\, \pi\, f\, t + \varphi(x_{\text{récepteur}}) \right]}{8\, \pi\, f}\;</math>» à prendre entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\tau = n\, T\;</math> où <math>\;n\;</math> est très grand <math>\;\big(T</math> étant très petite<math>\big)\;</math> et celle de l'autre terme <math>\;\dfrac{\left[ A(x_{\text{récepteur}}) \right]^2}{2}\;</math> étant égale à lui-même dans la mesure où ce terme est constant <math>\;\ldots</math></ref> ; {{Al|10}}la réponse du récepteur <math>\;\big(</math>indépendante du temps<math>\big)\;</math> est «<math>\;K\, \dfrac{ \left[ A(x_{\text{récepteur}}) \right]^2}{2}\;</math>» où <math>\;K\;</math> est une constante de proportionnalité. {{Al|5}}<u>Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière</u> : une onde lumineuse ayant une propagation tridimensionnelle, son amplitude en un point <math>\;M\;</math> varie de façon inversement <math>\;\propto\;</math> à la distance <math>\;d\;</math><ref> Lors de la propagation, la puissance est distribuée sur toute la surface d'onde au point considéré, ceci implique une puissance par unité de surface inversement <math>\;\propto\;</math> à l'aire de la surface d'onde <math>\;4\, \pi\, d^2\;</math> {{Nobr|<math>\big(</math>aire}} d'une sphère de rayon <math>\;d\big)\;</math> et comme la puissance par unité de surface est proportionnelle au carré de l'amplitude, cette dernière est inversement <math>\;\propto\;</math> à <math>\;d</math>.</ref> séparant <math>\;M\;</math> de la source et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : }}la réponse d'un récepteur lumineux est inversement <math>\;\propto\;</math> au carré de la distance <math>\;d\;</math> le séparant de la source ou, plus précisément, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence de la propagation tridimensionnelle de la lumière : }}en appelant «<math>\;A_0\;</math> l'amplitude de l'onde à la source », la réponse du récepteur s'écrit «<math>\;K \dfrac{A_0^2}{2\, d^2}\;</math>» où <math>\;K\;</math> est la même constante de proportionnalité que celle définie dans la propagation unidimensionnelle ci-dessus. === Différents types de récepteurs lumineux (encore appelés photorécepteurs) === <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="170px"> Fotodio.jpg|Photographie de photodiodes avec l'ordre de grandeur de leurs dimensions Photographie photoresistance 01.jpg|Photographie d'une photorésistance Thermopile quad open sensor.jpg|Photographie d'une thermopile avec son « écorché » CCD Image sensor.jpg|Photographie d'un capteur CCD </gallery></div> ==== Photodiode ==== [[File:Photodiode - fonctionnement.jpg|thumb|400px|Schéma d'une photodiode, son principe de fonctionnement et sa caractéristique courant tension suivant la puissance lumineuse reçue]] {{Al|5}}Diode à « jonction PN » <ref> C.-à-d. constitué de deux semi-conducteurs juxtaposés l'un dopé <math>\;P\;</math> <math>\big(</math>à porteurs de charges mobiles les « trous <math>\;p\;</math>»<math>\big)\;</math> et l'autre dopé <math>\;N\;</math> <math>\big(</math>à porteurs de charges mobiles les « électrons <math>\;n\;</math>»<math>\big)</math>, la jonction étant une zone intermédiaire les séparant où les trous et les électrons s'annihilent et où il reste uniquement les charges fixes <math>\;\big(</math>charge <math>\;< 0\;</math> du côté <math>\;P\;</math> et <math>\;> 0\;</math> du côté <math>\;N\big)\;</math> ce qui crée une d.d.p. aux bornes de cette jonction <math>\;V_{N,\, \text{jonct}} - V_{P,\, \text{jonct}} =</math> <math>U_{\text{seuil}} > 0</math> ; <br>{{Al|3}}en absence de polarisation de la diode imposée de l'extérieur, les porteurs <math>\;p\;</math> de la zone <math>\;P\;</math> étant d'énergie potentielle <math>\;e\, V_{P,\, \text{jonct}} < e\, V_{N,\, \text{jonct}}\;</math> ne peuvent pas franchir cette barrière d'énergie potentielle et il en est de même des porteurs <math>\;n\;</math> de la zone <math>\;N\;</math> d'énergie potentielle <math>\;-e\, V_{N,\, \text{jonct}} < -e\, V_{P,\, \text{jonct}}\;</math> d'où l'absence de courant hors polarisation externe ; <br>{{Al|3}}par contre si la polarisation externe <math>\;\big(</math>nécessairement telle que <math>\;V_P > V_N\;</math> pour qu'il y est possibilité de courant <math>-</math> la polarisation est alors dite « directe »<math>\big)\;</math> est suffisante, c.-à-d. si <math>\;U_{PN} > U_{\text{seuil}}</math>, pour permettre aux porteurs des différentes zones d'avoir l'énergie suffisante pour franchir la barrière d'énergie potentielle, la diode est traversée par un courant de <math>\;P\;</math> vers <math>\;N</math>, <br>{{Al|3}}à défaut il ne peut y avoir de courant <math>\;\big(</math>cas de la polarisation directe avec <math>\;U_{PN} < U_{\text{seuil}}\;</math> ou cas de la polarisation inverse<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>schéma ci-contre à droite avec caractéristiques courant - tension<math>\big)</math>, <br>{{Al|10}}en absence de polarisation elle crée une tension <math>\;\big(</math>mode photovoltaïque<math>\big)\;</math> et<br>{{Al|10}}en polarisation inverse c'est-à-dire <math>\;U = V_P - V_N < 0\;</math> <math>\big(</math>mode photoampérique<math>\big)\;</math> elle crée un courant de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> correspondant à <math>\;I < 0\;</math> sur la figure ci-contre, <br>{{Al|5}}dans les deux cas « la réponse est <math>\;\propto\;</math> à la puissance lumineuse moyenne reçue » ; <br>{{Al|10}}dans le mode photoampérique, le courant provient essentiellement du fait qu'un photon reçu par la zone <math>\;P\;</math> <math>\big(</math>ou la zone <math>\;N\big)\;</math><ref> On peut aussi avoir un photon arrivant sur la jonction et créant une paire « trou <math>-</math> électron » séparée par le champ électrique interne à la jonction, le trou se retrouvant dans la zone <math>\;P\;</math> et l'électron dans la zone <math>\;N\;</math> avec une énergie suffisante pour franchir la barrière de potentiel extérieur <math>\;\big(</math>voir figure<math>\big)</math>.</ref> est absorbé par un porteur <math>\;p\;</math> <math>\big(</math>ou un porteur <math>\;n\big)\;</math> s'y trouvant en lui donnant l'énergie suffisante pour franchir la barrière de potentiel extérieur d'où un courant de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P\;</math> d'intensité <math>\;\big(< 0\big)\;</math> <math>\;\propto\;</math> au nombre de photons « efficaces » <ref> Les photons reçus n'étant absorbés que s'ils rencontrent un porteur <math>\;\ldots</math></ref> reçus par seconde ; <br>{{Al|10}}dans le mode photovoltaïque, on branche un conducteur ohmique de résistance <math>\;R\;</math> aux bornes de la photodiode et dans la mesure où <math>\;R\;</math> n'est pas trop grande, on mesure la tension entre les bornes communes, laquelle étant <math>\;\propto\;</math> à l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique<ref> Lequel résulte des photons arrivant sur la photodiode et absorbés par les trous du côté <math>\;P\;</math> ou par les électrons du côté <math>\;N\;</math> <math>\big(</math>ou encore un photon arrivant sur la jonction et créant une paire « trou <math>-</math> électron » séparée par le champ électrique interne à la jonction, le trou se retrouvant dans la zone <math>\;P\;</math> et l'électron dans la zone <math>\;N\big)\;</math> ce qui leur permettent de circuler dans le conducteur ohmique de <math>\;N\;</math> vers <math>\;P</math>.</ref> est par conséquent aussi <math>\;\propto\;</math> au nombre de photons « efficaces » reçus par seconde par la photodiode <math>\;\ldots</math> {{Al|10}}Le temps de réponse d'une photodiode est assez court <math>\;\tau = 1\, \mu s\;</math> et sa sensibilité, en mode photoampérique, est de l'ordre de <math>\;\sigma = 100\; mA\! \cdot\! W^{-1}</math>. ==== Photorésistance ==== [[File:Photorésistance - schéma.jpg|thumb|left|300px|Schéma d'une photorésistance]] {{Al|5}}Couche mince de semi-conducteur constitué généralement de sulfure de cadmium <math>\;\big(Cd\,S\big)</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>symbole}} ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}en l'éclairant, le nombre de porteurs et donc la conductivité augmentent, on mesure alors la résistance à l'ohmmètre et la variation de celle-ci est de la forme «<math>\;R \propto \dfrac{1}{\left[ \mathcal{P}_{\text{lum, moy}} \right]^n}\;</math> dans laquelle <math>\;n\;</math> est une constante comprise entre <math>\;0,5\;</math> et <math>\;1\;</math> dépendant du semi-conducteur utilisé » ; <br>{{Al|5}}on peut aussi imposer une tension et mesurer l'intensité traversant la photorésistance, plus la puissance lumineuse moyenne reçue est grande, plus la résistance est faible et plus grande est l'« intensité qui varie alors selon <math>\;\propto \left[ \mathcal{P}_{\text{lum, moy}} \right]^n\;</math>» ; lors de cette utilisation l'ordre de grandeur de la sensibilité de la photorésistance peut atteindre <math>\;\sigma = 100\; A\! \cdot\! W^{-1}\;</math><ref> Cela dépend bien sûr de la tension imposée aux bornes de la photorésistance <math>\;\big(</math>usuellement entre <math>\;0,5\;</math> et <math>\;1\, V\big)</math> ; <br>{{Al|3}}en supposant que la puissance moyenne reçue provienne d'une source de <math>\;1\; W\! \cdot\! m^{-2}\;</math> et que la surface sensible soit de <math>\;25\, mm^2</math>, cette dernière reçoit <math>\;25\; \mu W\;</math> d'où la résistance de la photorésistance <math>\;R = \dfrac{1}{\left[ 25\; 10^{-6} \right]^{0,5}} = 200\, \Omega\;</math> si <math>\;n = 0,5\;</math> <math>\big(</math>avec un cœfficient de proportionnalité supposé égal à <math>\;1\, \Omega\! \cdot\! W^{0,5}\big)</math>, l'intensité, sous une tension de <math>\;U = 0,5\, V</math>, étant alors égale à <math>\;I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{0,5}{200} =</math> <math>2,5\, 10^{-3}\; A = 2,5\, mA</math> ; <br>{{Al|3}}on donne préférentiellement les valeurs de résistances suivant la puissance lumineuse moyenne reçue par <math>\;m^2</math> : <br>{{Al|6}}« en obscurité <math>\;R \simeq 100\, M \Omega\;</math>», <br>{{Al|6}}« sous une puissance lumineuse moyenne par <math>\;m^2\;</math> de <math>\;1\; W\! \cdot\! m^{-2}</math>, <math>\;R \simeq 200\, \Omega\;</math>» <math>\ldots</math></ref> c'est-à-dire beaucoup plus sensible qu'une photodiode avec néanmoins un temps de réponse nettement plus grand d'ordre de grandeur <math>\;\tau = 10\; ms</math> ; <br>{{Al|5}}une photorésistance sert essentiellement pour des détections en tout ou rien de lumière <math>\;\big(</math>commande automatique<math>\big)</math>. ==== Thermopile ==== [[File:Thermopile - puissance lumineuse.jpg|thumb|400px|Schéma de fonctionnement d'une thermopile pour mesurer une puissance lumineuse moyenne]] {{Al|5}}Dispositif électronique convertissant l'« énergie thermique » <ref> L'énergie lumineuse s'accompagne d'énergie thermique surtout dans le domaine du rouge et des infra-rouges.</ref> en énergie électrique <math>\;\big(</math>voir ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}une thermopile est composée de « thermocouples » <ref> Un thermocouple utilise l'« effet Seebeck » c.-à-d. l'apparition d'une d.d.p. dépendant de la différence de température entre une température à mesurer et une température de référence ; le thermocouple est constitué de deux fils de matériaux différents, soudés en une de leur extrémité placée à la température à déterminer <math>\;\big(</math>extrémité commune appelée « soudure chaude »<math>\big)</math>, les deux autres extrémités restant libres et étant mises à la température de référence <math>\;\big(</math>ensemble de ces deux extrémités libres appelé « soudure froide »<math>\big)</math>, on détermine alors une d.d.p. aux bornes des extrémités libres approximativement <math>\;\propto\;</math> à la d.d.T. <math>\;\big(</math>différence de température<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}exemples de matériaux à fort cœfficient de Seebeck en valeur absolue : * le fer a un cœfficient de Seebeck de <math>\;+11,6\; \mu V\! \cdot\! K^{-1}\;</math> <math>\big(</math>d.d.p. de même signe que la d.d.T.<math>\big)</math>, * le nickel a un cœfficient de Seebeck de <math>\;-8,5\; \mu V\! \cdot\! K^{-1}\;</math> <math>\big(</math>d.d.p. de signe contraire à la d.d.T.<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|3}}'''[[w:Thomas_Johann_Seebeck|Thomas Johann Seebeck]] (1770 - 1831)''' physicien allemand ayant découvert en <math>\;1810\;</math> la sensibilité d'une solution aqueuse d'oxyde argentique dont l'usage a permis par la suite la [[w:Photographie_couleur|photographie couleur]] puis en <math>\;1821\;</math> l'[[w:Effet_Seebeck|effet Seebeck]] <math>\;\ldots</math></ref> connectés en « parallèle » <ref> Il existe aussi des thermopiles à thermocouples montés en série <math>\;\big(</math>simplement évoqué<math>\big)</math>.</ref>, chacun ayant une électrode soumise à la puissance lumineuse moyenne <math>\;\big(</math>soudure chaude<math>\big)</math>, l'autre étant à une température imposée dite de référence <math>\;\big(</math>soudure froide<math>\big)</math>, ceci générant une tension <math>\;\propto\;</math> à la différence de température entre les électrodes des thermocouples et celles de référence <math>\;\big(</math>voir schéma de montage ci-contre à droite<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}l'ordre de grandeur de la sensibilité d'une thermopile est <math>\;\sigma = 1\; V\! \cdot\! W^{-1}</math> et<br>{{Al|5}}celui de son temps de réponse <math>\;\tau = 1\; s\;</math> c'est-à-dire « relativement grand » <ref> Mais le plus gros inconvénient est que les différentes longueurs d'onde ne créent pas le même effet thermique, effet plus important du côté du rouge et des infra-rouges.</ref>. ==== Capteur CCD ==== [[File:Matrice de Bayer.png|thumb|left|300px|Répartition des filtres dans la matrice de Bayer]] [[File:CCD Interline.png|thumb|300px|CCD « interligne »]] {{Al|5}}« C.C.D. » sigle pour « Charge-Coupled Device » que l'on traduit en français par « D.T.C. » sigle pour « Dispositif à Transfert de Charge » ; {{Al|5}}un capteur C.C.D. est un élément sensible des appareils photographiques numériques ; il fournit pour chaque pixel de l'image les valeurs des trois puissances lumineuses moyennes pour les trois couleurs de base « rouge, vert et bleu » du système R.V.B. <math>\;\big(</math>voir [[w:Matrice_de_Bayer|matrice de Bayer]] <ref name="Bayer"> '''[[w:Bryce_Bayer|Bryce Edward Bayer]] (1929 - 2012)''' scientifique américain inventeur de la [[w:Matrice_de_Bayer|matrice de Bayer]] breveté en <math>\;1976</math>, invention ayant permis l'essor de la [[w:Appareil_photographique_numérique|photographie numérique]].</ref> ci-contre à gauche<math>\big)</math> ; {{Al|5}}un capteur de <math>\;12\; 10^6\;</math> pixels est un tableau rectangulaire de <math>\;4000 \times 3000\;</math> cellules comportant chacune <math>\;4\;</math> photorécepteurs <math>\;\big(1\;</math> pour le rouge, <math>\;2\;</math> pour le vert <ref> Raison de sensibilité de l'œil.</ref> et <math>\;1\;</math> pour le bleu<math>\big)\;</math> de taille « quelques <math>\;\mu m\;</math>» et de temps de réponse <math>\;< 10\, ms</math>. {{Al|5}}Ci-contre à droite le schéma de fonctionnement d'un C.C.D. « interligne » qui comprend deux matrices C.C.D. de même dimension, * l'une dite « d'exposition » permettant la capture des photons car elle est exposée à la lumière, * l'autre dite « de stockage », non exposée à la lumière, vers laquelle un transfert rapide de la matrice d'exposition est réalisée et dans laquelle une numérisation peut se faire simultanément à l'acquisition d'une nouvelle image dans la matrice d'exposition <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le C.C.D. a été inventé par '''[[w:George_E._Smith|George Elwood Smith]]'''<ref name="Smith"> '''[[w:George_E._Smith|George Elwood Smith]] (né en 1930)''' est un physicien américain connu essentiellement pour son invention <math>-</math> partagée avec '''[[w:Willard_Boyle|Willard Sterling Boyle]]''' <math>-</math> du capteur C.C.D., ce qui leur valut de partager une moitié de prix Nobel de physique en <math>\;2009</math>.</ref> et '''[[w:Willard_Boyle|Willard Sterling Boyle]]'''<ref name="Boyle"> '''[[w:Willard_Boyle|Willard Sterling Boyle]] (1924 - 2011)''' est un physicien canadien, inventeur du 1^er laser à rubis à émission continue en <math>\;1962</math>, puis a participé au programme Apollo pendant deux ans et de retour aux '''[[w:Laboratoires_Bell|Laboratoires Bell]]''' a travaillé au développement des circuits intégrés ; essentiellement connu pour son invention partagée avec '''[[w:George_E._Smith|George Elwood Smith]]''' du capteur C.C.D., ce qui leur valut à chacun un quart de prix Nobel de physique en <math>\;2009</math></ref> dans les '''Laboratoires Bell''' en <math>\;1969</math>, cette invention leur rapportera la moitié du Prix Nobel de physique en <math>\;2009\;</math><ref> L'autre moitié étant revenu à « '''[[w:Charles_Kao|Charles Kuen Kao]] (1933 - 2018)''' », ingénieur américano-britannique d'origine chinoise, ayant reçu en <math>\;2009\;</math> une moitié de prix Nobel de physique décerné « pour ses réalisations remarquables en matière de transmission de la lumière dans les fibres pour la communication optique ».</ref>. === Notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point === {{Définition|contenu= {{Al|5}}L'« éclairement <math>\;\mathcal{E}(M)\;</math> d'une onde lumineuse en un point <math>\;M\;</math>» est la « puissance lumineuse moyenne reçue par unité de surface <math>\;\perp\;</math> à la direction de propagation en <math>\;M\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en notant «<math>\;\left\langle \mathcal{P}_{(\mathcal{S}_M)} \right\rangle\;</math> la puissance lumineuse moyenne reçue par une surface <math>\;(\mathcal{S}_M)\;</math> d'aire <math>\;S\;</math> placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en <math>\;M\;</math>«», <center>«<math>\;\mathcal{E}(M) = \dfrac{\left\langle \mathcal{P}_{(\mathcal{S}_M)} \right\rangle}{S}\;</math>», il se mesure en «<math>\;W \cdot m^{-2}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}À l'inverse, connaissant l'« éclairement <math>\;\mathcal{E}(M)\;</math> d'une onde lumineuse en un point <math>\;M\;</math>», on en déduit la « puissance lumineuse moyenne <math>\;\left\langle \mathcal{P}_{(\mathcal{S}_M)} \right\rangle\;</math> reçue par une surface <math>\;(\mathcal{S}_M)\;</math> d'aire <math>\;S\;</math> placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en <math>\;M\;</math>» par «<math>\;\left\langle \mathcal{P}_{(\mathcal{S}_M)} \right\rangle = \mathcal{E}(M)\; S\;</math>». {{Proposition|titre= Cas d'une onde harmonique|contenu= {{Al|5}}Si l'onde lumineuse est « harmonique de fréquence <math>\;f\;</math> et d'amplitude <math>\;A(x)\;</math>»<ref> En adoptant le modèle « scalaire » de la lumière car le caractère vectoriel ne joue aucun rôle ici et en supposant la propagation unidirectionnelle suivant l'axe <math>\;Ox</math>.</ref>, la « puissance lumineuse moyenne <math>\;\left\langle \mathcal{P}_{(\mathcal{S}_M)} \right\rangle\;</math> reçue par une surface <math>\;(\mathcal{S}_M)\;</math> placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en <math>\;M\;</math>» étant «<math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dfrac{\left[ A(x) \right]^2}{2}\;</math>»<ref> Le cœfficient de proportionnalité étant <math>\;\propto\;</math> à l'aire de la surface.</ref>, on en déduit la « proportionnalité de l'éclairement avec le carré de l'amplitude <math>\;\left[ A(x) \right]^2\;</math>»<ref> Obtenu en divisant la puissance lumineuse moyenne traversant la surface <math>\;(\mathcal{S}_M)\;</math> placée perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde en <math>\;M\;</math> par l'aire de cette surface, d'où le cœfficient de proportionnalité ne dépend plus de l'aire de la surface.</ref> et on pose : <div style="text-align: center;">«<math>\;\mathcal{E}(M) = K\; \left[ A(x) \right]^2\;</math>», «<math>\;K\;</math> étant une constante de proportionnalité » <ref> Qui englobe le facteur <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> et que l'on ne précise en général pas <math>\;\big(</math>car ce sont les éclairements relatifs qui nous intéressent <math>-</math> savoir par exemple si un éclairement est double d'un autre <math>-</math> et par suite la constante <math>\;K\;</math> disparaît dans le rapport<math>\big)</math>.</ref>.</div>}} === Notion d'éclairement spectral === {{Al|5}}Une onde lumineuse réelle étant une « superposition d'ondes harmoniques »<ref> Dans le cas général les fréquences des harmoniques appartiennent à un intervalle continu de fréquences <math>\;\big(</math>par exemple la lumière solaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans des cas particuliers elles ne correspondent qu'à quelques valeurs de cet intervalle <math>\;\big(</math>par exemple la lumière d'émission des lampes à vapeur métallique<math>\big)</math>.</ref>, l'« éclairement <math>\;\mathcal{E}(M)\;</math> d'une onde lumineuse réelle en un point <math>\;M\;</math>» est la « somme des éclairements de chaque harmonique au même point <math>\;M\;</math>»<ref> Cela résulte du « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Fourier#Théorème_de_Parseval|théorème de Parseval]] » introduit au chap.<math>5</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. ==== Cas d'une onde lumineuse à spectre d'amplitude discret ==== {{Al|5}}Le « spectre d'amplitude étant un spectre de raies » <math>\;\big(</math>exemple : lumière d'émission d'une lampe à vapeur métallique<math>\big)</math>, l'onde lumineuse peut s'écrire «<math>\;s(x,\, t) =</math> <math>\sum\limits_{m = 1}^{m_{\text{max}}} A_m(x)\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f_m\, t + \varphi_m(x) \right]\;</math>» et l'éclairement en <math>\;M(x)\;</math> s'obtient par «<math>\;\mathcal{E}(x) = \sum\limits_{m = 1}^{m_{\text{max}}} \mathcal{E}_m(x) =</math> <math>K\, \left\lbrace \sum\limits_{m = 1}^{m_{\text{max}}} \left[ A_m(x) \right]^2 \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|5}}la répartition des éclairements de chaque harmonique suivant leur fréquence<ref> Ici en fonction de <math>\;m</math>.</ref> «<math>\;\mathcal{E}_m(x) = K\, \left[ A_m(x) \right]^2\;</math>» définit l'« éclairement spectral » <ref> Ou encore le « spectre d'éclairement » c.-à-d. la courbe donnant l'éclairement en fonction de la fréquence, il s'agit, dans le cas présent, d'un spectre de raies tout comme le spectre d'amplitude.</ref>. ==== Cas d'une onde lumineuse à spectre d'amplitude continu ==== {{Al|5}}De nombreux cas de lumières correspondent à une superposition d'ondes harmoniques dont la fréquence prend une valeur quelconque d'un intervalle continu, la somme discrète définissant toute superposition étant alors remplacée par une intégrale sur les « valeurs de fréquences de l'intervalle continu » <ref> Ou de pulsations <math>\;\big(</math>temporelles<math>\big)</math>.</ref> selon «<math>\;s(x,\, t) = \displaystyle\int_{f_1}^{f_2} A(f,\, x)\, \cos\! \left[ 2\, \pi\, f\, t + \varphi(f,\, x) \right]\; df\;</math>»<ref> «<math>\;A(f,\, x)\;</math>» est la « densité d'amplitude par unité de fréquence », la « grandeur ayant la même homogénéité que <math>\;s(x,\, t)\;</math>» étant «<math>\;A(f,\, x)\, df\;</math>».</ref>, les bornes d'intégration pouvant prendre <math>-</math> suivant le type de lumière <math>-</math> toute valeur comprise entre <math>\;0\;</math> et <math>\;\infty\;</math><ref> Dans le cas où la borne supérieure serait l'infini, l'intégrale sur un segment devient une intégrale généralisée ou impropre <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, celle-ci étant définie comme la limite de l'intégrale sur un segment à borne supérieure finie quand cette dernière tend vers l'infini <math>\;\big(</math>si cette limite n'existe pas, l'intégrale impropre ne peut être définie et on dit que l'intégrale diverge<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on a donc «<math>\;\displaystyle\int_a^\infty f(x)\, dx = \lim\limits_{b \rightarrow \infty} \left[ \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \right]\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}dans ces conditions l'« éclairement au point <math>\;M(x)\;</math> s'écrit <math>\;\mathcal{E}(x) = \displaystyle\int_{f_1}^{f_2} \mathcal{E}(f,\, x)\, df\;</math>» dans laquelle la fonction «<math>\;\mathcal{E}(f,\, x) =</math> <math>K\, \left[ A(f,\, x) \right]^2\;</math>»<ref> Encore notée «<math>\;\mathcal{E}_f(x)\;</math>».</ref> définit l'« éclairement spectral au point <math>\;M(x)\;</math>»<ref> L'éclairement spectral «<math>\;\mathcal{E}(f,\, x)\;</math>» est une « densité d'éclairement par unité de fréquence », la « grandeur ayant la même homogénéité que <math>\;\mathcal{E}(x)\;</math>» étant «<math>\;\mathcal{E}(f,\, x)\, df\;</math>».</ref>, l'« éclairement spectral <math>\;\mathcal{E}(f,\, x)\;</math> s'exprimant en <math>\;W \cdot m^{-2} \cdot s\;</math> ou <math>\;J \cdot m^{-2}\;</math>», son graphe en fonction de la fréquence définissant le « spectre d'éclairement » <ref> Lequel est continu dans le cas présent.</ref> ; {{Al|5}}il n'est pas rare que l'« on remplace la fréquence <math>\;f\;</math> par la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math>» en utilisant «<math>\;\lambda_0 = \dfrac{c}{f}\;</math> ou <math>\;f = \dfrac{c}{\lambda_0}\;</math>» ce qui donne par différenciation «<math>\;df = -\dfrac{c}{\lambda_0^2}\, d \lambda_0\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{E}(x) =</math> <math>\displaystyle\int_{f_1}^{f_2} \mathcal{E}(f,\, x)\, df = -\displaystyle\int_{\lambda_{0,\,1}}^{\lambda_{0,\,2}} \mathcal{E}\! \left( \dfrac{c}{\lambda_0},\, x \right) \dfrac{c}{\lambda_0^2}\, d \lambda_0 = \displaystyle\int_{\lambda_{0,\,2}}^{\lambda_{0,\,1}} \mathcal{E}\! \left( \dfrac{c}{\lambda_0},\, x \right) \dfrac{c}{\lambda_0^2}\, d \lambda_0\;</math>»<ref> <math>\;f_1 < f_2\;</math> correspondant à <math>\;\lambda_{0,\,1} > \lambda_{0,\,2}</math>, on permute les bornes d'intégration et on change le signe de la fonction à intégrer.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il n'est pas rare }}en définissant l'« éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> selon <math>\;\mathcal{E}(\lambda_0,\, x) = \mathcal{E}\! \left( \dfrac{c}{\lambda_0},\, x \right) \dfrac{c}{\lambda_0^2}\;</math>» donnant finalement le « lien entre les éclairements spectraux relativement à la longueur d'onde dans le vide et relativement à la fréquence » «<math>\;\mathcal{E}(\lambda_0,\, x)</math> <math>= \mathcal{E}(f,\, x)\, \dfrac{f}{\lambda_0}\;</math>»<ref> «<math>\;\mathcal{E}(f,\, x)\, df\;</math> ayant l'homogénéité d'un éclairement », il en est de même de «<math>\;\mathcal{E}(f,\, x)\, f\;</math>» et par suite de «<math>\;\mathcal{E}(\lambda_0,\, x)\, \lambda_0\;</math>» car «<math>\;\mathcal{E}(\lambda_0,\, x) =</math> <math>\mathcal{E}(f,\, x)\, \dfrac{f}{\lambda_0}\;</math>», l'« éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide <math>\;\mathcal{E}(\lambda_0,\, x)\;</math> encore noté <math>\;\mathcal{E}_{\lambda_0}(x)\;</math>» représente la « densité spectrale d'éclairement relativement à la longueur d'onde dans le vide ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il n'est pas rare }}l'éclairement spectral relativement à la longueur d'onde dans le vide s'exprimant en «<math>\;W \cdot m^{-3}\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\mathcal{E}(\lambda_0,\, x) = \mathcal{E}(f,\, x)\, \dfrac{f}{\lambda_0}\;</math>» s'exprime en <math>\;W \cdot m^{-2} \cdot s \times \dfrac{s^{-1}}{m} = W \cdot m^{-3}\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il n'est pas rare }}l'« éclairement au point <math>\;M\;</math> s'écrivant encore <math>\;\mathcal{E}(x) = \displaystyle\int_{\lambda_{0,\,2}}^{\lambda_{0,\,1}} \mathcal{E}(\lambda_0,\, x)\, d \lambda_0\;</math>». === Différentes sources lumineuses et leur éclairement spectral === {{Al|5}}On peut distinguer trois types de sources, les « sources de lumière blanche », les « lampes spectrales » et les « lasers ». ==== Sources de lumière blanche ==== {{Al|5}}Sources fournissant un spectre continu contenant toutes les longueurs d'onde dans le vide du domaine du visible, exemples : lumière solaire, lumière émise par les « lampes à filament » <ref> Fonctionnent sur le principe de l'émission thermique, sont assez pauvres en courte longueur d'onde <math>\;\big(</math>donnant de la lumière jaunâtre<math>\big)\;</math> mais riches en infra-rouges d'où un chauffage nuisible.</ref>, lumière émise par les lampes « à économie d'énergie » <ref> À base de tubes à décharge fournissant une lumière à spectre discret, laquelle est partiellement absorbée par une substance fluorescente qui réémet une lumière au spectre continu ; finalement le spectre est continu avec les pics d'émission du tube à décharge. <br>{{Al|3}}La [[w:Fluorescence|fluorescence]] est une émission lumineuse suivant immédiatement l'excitation d'une molécule laquelle est excitée le plus souvent par absorption de lumière ; <br>{{Al|3}}à distinguer de la [[w:Phosphorescence|phosphorescence]] où l'émission lumineuse se fait avec retard, lequel peut être grand.</ref> <math>\;\big(</math>voir ci-dessous<math>\big)</math>. <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="200px"> Éclairement spectral - solaire et lampe à filament.jpg|Spectre d'éclairement de la lumière solaire et d'une lampe à filament Éclairement spectral - lampe à économie d'énergie.jpg|Spectre d'éclairement de la lumière émise par une lampe à économie d'énergie </gallery></div> ==== Lampes spectrales ==== [[File:Éclatement spectral - lampe mercure.jpg|thumb|300px|Spectre d'éclairement de la lumière émise par une lampe à vapeur de mercure <math>\;\big(</math>basse pression<math>\big)</math>]] {{Al|5}}Ampoules contenant une vapeur dans laquelle on provoque une décharge électrique entre deux électrodes, {{Al|5}}elles fournissent un spectre <math>\;\big(</math>discret<math>\big)\;</math> de raies fines caractéristiques de l'élément constituant la vapeur, exemples : * lampe à vapeur de mercure fournissant une lumière d'aspect violet, contenant les longueurs d'onde dans le vide <math>\;404,7\; nm\;</math> « violet », <math>\;435,8\; nm\;</math> « indigo », <math>\;546,1\; nm\;</math> « vert », <math>\;577,1\; nm\; \text{et}\; 579,1\; nm\;</math> « doublet jaune-orangé », <math>\;\ldots</math>, enfin une raie ultra-violette assez importante <math>\;\big(</math>voir le spectre d'éclairement ci-contre<math>\big)</math> ; * lampe à vapeur de sodium fournissant une lumière d'aspect « jaune-orangé », contenant essentiellement les longueurs d'onde dans le vide <math>\;589,0\; nm\;</math> et <math>\; 589,6\; nm\;</math> « doublet jaune » utilisée pour l'éclairage urbain entre autres. ==== Faisceaux lasers ==== {{Al|5}}LASER : <math>\;big(</math>acronyme de l'anglais « Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation » signifiant « amplification de la lumière par émission stimulée de rayonnement »<math>\big)\;</math> on observe une [[w:Émission_stimulée|émission stimulée]] provenant d'atomes excités quand on envoie une onde de fréquence très voisine de celle de leur désexcitation, celle-ci ne peut être absorbée si les atomes sont excités mais elle stimule leur désexcitation, l'énergie lumineuse émise venant s'ajouter à celle de l'onde envoyée <math>\;\big(</math>voir figure ci-dessous à gauche<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}pour que le fonctionnement soit continu il faut que les atomes soient en majorité dans leur état excité, or ils se désexcitent de façon stimulée, d'où la nécessité de fournir constamment un apport d'énergie aux atomes pour les renvoyer dans leur état excité <math>\;\big(</math>par « [[w:Pompage_optique|pompage optique]] »<ref> Élaboré en <math>\;1950\;</math> par '''[[w:Alfred_Kastler|Alfred Kastler]] (1902 - 1984)''' physicien français, prix Nobel de physique en <math>\;1966\;</math> « pour la découverte et le développement de méthodes optiques pour l'étude des résonances hertziennes dans les atomes ».</ref> <math>-</math> voir figure<ref> Quand un électron de l'hélium passe de son état fondamental <math>\;1s\;</math> à un 1^er état excité <math>\;2s</math>, l'énergie qu'il acquiert dépend de l'état quantique de l'atome : l'écriture <math>\;2S\;</math> a la même signification que <math>\;2s\;</math> mais pour l'atome complet <math>\;\big(</math>plus précisément le nombre quantique caractérisant le moment cinétique orbital total est nul<math>\big)</math>, <br>{{Al|10}}le chiffre en exposant à gauche de <math>\;S\;</math> est <math>\;2\, S_s + 1\;</math> avec <math>\;S_s\;</math> le nombre quantique caractérisant le spin électronique total de l'atome, ainsi <math>^1\!S\;</math> correspond à <math>\;S_s = 0\;</math> état singlet et <math>^3\!S\;</math> correspond à <math>\;S_s = 1\;</math> état triplet, enfin <br>{{Al|10}}le chiffre en indice à droite de <math>\;S\;</math> est <math>\;L\;</math> le nombre quantique caractérisant le moment cinétique électronique total de l'atome, ainsi <math>\;S_0\;</math> correspond à <math>\;L = 0\;</math> et <math>\;S_1\;</math> correspond à <math>\;L = 1\;</math> <math>\dots</math> <br>{{Al|3}}Ceci n'étant qu'un « survol à très haute altitude » des notions relatives à l'addition des moments cinétiques ou de spins ou des deux entre eux. <br>{{Al|3}}Les atomes d'hélium excités dans l'état <math>\;2\, ^1\!S_0\;</math> ou <math>\;2\, ^3\!S_1\;</math> excitent par collision des atomes de Néon de leur état fondamental <math>\;2\, p\;</math> aux états <math>\;5\, s\;</math> ou <math>\;4\, s\;</math> d'énergie très voisine à celle des niveaux excités des atomes d'hélium ; le peuplement des niveaux excités des atomes de Néon <math>\;\searrow\;</math> rapidement par émission stimulée et <math>\;\nearrow\;</math> rapidement par collision avec les atomes d'hélium excités <math>\;\big(</math>dont l'excitation est maintenue par décharge<math>\big)</math>, on aboutit à un équilibre correspondant à un peuplement inversé des niveaux d'énergie des atomes de Néon relativement à leur niveau fondamental <math>\;\big(</math>définition du pompage optique<math>\big)</math>.</ref> ci-dessous à droite<math>\big)</math> ; <div style="text-align: center;"><gallery mode="packed" heights="260px"> Laser - émission spontanée.jpg|Description du phénomène d'[[w:Émission_stimulée|émission stimulée]] Laser He-Ne - pompage optique.jpg|[[w:Pompage_optique|pompage optique]] dans le laser He - Ne et les trois [[w:Émission_stimulée|émissions stimulées]] possibles </gallery></div> [[File:Principe laser.svg|thumb|350px|Principe de fonctionnement d'un laser]] {{Al|5}}d'autre part le laser est un amplificateur de lumière, <br>{{Al|5}}on obtient cet effet en réinjectant la sortie de l'amplificateur à son entrée, la « distance séparant la sortie de l'entrée étant un multiple de <math>\;\dfrac{\lambda_0}{2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient cet effet }}permettant le « phénomène de résonance des ondes stationnaires » ainsi obtenues et par suite l'amplification ; <br>{{Al|5}}le laser émet une onde monochromatique <math>\;\big(</math>donc une seule raie spectrale très fine<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le laser émet une onde }}avec une divergence de faisceau très réduite <math>\;\big(</math>faisceau quasi « parallèle »<ref> Un faisceau parallèle correspondant à une source ponctuelle à l'infini.</ref><math>\big)</math>. == État de polarisation des ondes lumineuses == === Lumière naturelle === [[File:Lumière naturelle.jpg|thumb|350px|Disposition du champ électrique <math>\;\big(</math>et magnétique<math>\big)\;</math> dans une onde plane naturelle <math>\;\big(</math>pour une de ses composantes monochromatiques<math>\big)</math>]] {{Al|5}}<u>La lumière naturelle</u> <math>\;\big(</math>lumière solaire ou provenant de lampes diverses comme celles à filament<math>\big)\;</math> est « <u>non polarisée</u> » c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}le champ électrique <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> a une direction quelconque dans le plan transverse passant par <math>\;M</math>, « direction variant aléatoirement au cours du temps de façon isotrope » et que <br>{{Al|5}}le champ magnétique <math>\;\vec{B}(M,\, t)\;</math> prend aussi une direction quelconque dans le plan transverse passant par <math>\;M</math>, mais de « direction en accord avec celle de <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math>» <math>\;\Big[</math>voir disposition de <math>\;\vec{E}(M,\, t)</math>, de <math>\;\vec{B}(M,\, t)\;</math> et du vecteur d'onde <math>\;\vec{k}\;</math> d'une composante monochromatique quelconque d'une onde plane naturelle<ref> Dans le cas d'une onde plane se propageant dans notre espace physique tridimensionnel orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteur]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big)</math>, <math>\;\vec{B}(M,\, t)\;</math> est orthogonal à <math>\;\vec{E}(M,\, t)</math>, le trièdre <math>\;\left\lbrace \vec{k},\, \vec{E},\, \vec{B} \right\rbrace\;</math> étant orthogonal « direct » <math>\;\big[</math>c.-à-d. suivant la règle du « tire-bouchon de Maxwell », le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers le 2^ème et se déplaçant dans le sens du 3^ème <math>-</math> voir aussi d'autres règles équivalentes pour déterminer le caractère direct d'un trièdre dans un espace orienté à droite au chap.<math>7</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell (1831 - 1879)]]''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.</ref> dans le schéma représenté ci-contre<math>\Big]</math> ; <br>{{Al|5}}la lumière naturelle a donc une « symétrie de révolution »<ref> Dans la mesure où toutes les directions possibles de <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> sont équiprobables.</ref> autour de sa direction de propagation. === Polariseur (ou polaroïd) === {{Al|5}}Un polariseur <math>\;\big(</math>ou polaroïd<math>\big)\;</math> est une lame qui, traversée par une lumière se propageant perpendiculairement à ses faces : * <u>transmet la totalité de l'énergie associée au champ électrique</u> <math>\;\parallel\;</math> à une direction particulière des plans transverses considérés, direction appelée « <u>direction de transmission privilégiée</u> » et * <u>absorbe la totalité de l'énergie associée au champ électrique</u> <math>\;\perp\;</math> à cette direction. {{Al|5}}Notant «<math>\;\vec{u}_P\;</math> le vecteur unitaire définissant la direction de transmission privilégiée », nous pouvons vérifier les propriétés ci-dessus avec l'une des rares sources naturellement polarisée « une diode laser » <ref> C'est une diode à jonction <math>\;NP\;</math> particulière polarisée en direct dans laquelle la jonction est émettrice par « [[w:Électroluminescence|électroluminescence]] » <math>\;\big[</math>se dit d'une émission de lumière résultant d'une annihilation d'une paire « électron – trou », le fort courant traversant la diode quand elle est polarisée en direct assurant le peuplement de la bande de conduction de la zone <math>\;N\;</math> par des électrons et celui de la zone <math>\;P\;</math> par des trous <math>\;\big(</math>peuplement s'opposant au dépeuplement dû à l'annihilation de paires « électron – trou » conduisant à l'émission de lumière<math>\big)\;</math> c.-à-d. réalisant le [[w:Pompage_optique|pompage optique]] nécessaire au fonctionnement de tout laser<math>\big]</math> ; de plus les extrémités de la diode jouant le rôle de miroirs réfléchissants, cela permet un effet amplificateur ; <br>{{Al|3}}composant essentiel des lecteurs et graveurs de disques optiques, elle est encore utilisée dans les dispositifs électroniques de mesure de distance ou de vitesse, de guidage ou pointage précis.</ref> ; [[File:Diode laser - polarisation.jpg|thumb|350px|Expérience d'analyse de polarisation de lumière émise par une diode laser à l'aide d'un polaroïd]] :{{Al|5}}plaçant un écran perpendiculairement au faisceau émis par une diode laser à une distance approximative de <math>\;2\, m\;</math> et interposant un polariseur monté sur un support tournant dont la position angulaire est repérée par une aiguille solidaire du support relativement à un rapporteur fixe gradué de <math>\;0\; \text{à}\; 360\, \text{°}\;</math><ref> Le plus souvent la direction de l'aiguille indique la direction perpendiculaire à <math>\;\vec{u}_P\;</math> c.-à-d. la direction du champ électrique qui est intégralement absorbé.</ref>, on observe qu'il existe :{{Al|10}}deux positions angulaires séparées de <math>\;180\, \text{°}\;</math> pour lesquelles l'onde est intégralement absorbée et :{{Al|10}}deux autres positions angulaires décalées de <math>\;90\, \text{°}\;</math> pour lesquelles la puissance lumineuse moyenne reçue par l'écran est maximale, ce qui permet de conclure au « caractère <u>polarisé rectilignement</u> » <ref> Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction perpendiculaire à <math>\;\vec{u}_P</math>, la direction de polarisation du champ électrique est <math>\;\perp\;</math> à l'aiguille quand la puissance lumineuse moyenne reçue est maximale.</ref> de l'onde émise par la diode laser ; :{{Al|5}}soit <math>\;\alpha_0\;</math> l'angle correspondant à une position de l'aiguille quand la transmission est intégrale <ref> Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_P</math>, la direction de polarisation du champ électrique est repérée par l'angle <math>\;\alpha_0 \pm \dfrac{\pi}{2}</math>.</ref>, les positions repérées par un angle <math>\;\alpha \neq \alpha_0\;</math> à <math>\; \dfrac{\pi}{2}\;</math> près correspondent à une puissance lumineuse moyenne reçue partielle, le champ électrique <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> se décomposant sur la direction <math>\;\vec{u}_P\;</math> ainsi que sur sa direction <math>\;\perp\;</math> dans le plan du polaroïd <math>\;\vec{u}_{PP}\;</math><ref name="Choix de sens"> <math>\;\vec{u}_{PP}\;</math> est choisi dans le plan du polaroïd <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_P\;</math> tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \vec{k,}\, \vec{u}_P,\, \vec{u}_{PP} \right\rbrace\;</math> soit direct <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais ce choix est tout à fait arbitraire.</ref> et :{{Al|10}}seule la composante sur <math>\;\vec{u}_P\;</math> «<math>\;\vec{E}(M,\, t)\! \cdot\! \vec{u}_P = E(M,\, t)\, \cos(\alpha_0 - \alpha)\;</math>» de valeur absolue strictement inférieure à «<math>\;\vert E(M,\, t) \vert =</math> <math>\left\Vert \vec{E}(M,\, t) \right\Vert\;</math>» étant intégralement transmise <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre<math>\big)</math>, :{{Al|10}}l'autre «<math>\;\vec{E}(M,\, t)\! \cdot\! \vec{u}_{PP} = E(M,\, t)\, \sin(\alpha_0 - \alpha)\;</math>» étant intégralement absorbée. === Production d'une onde lumineuse polarisée rectilignement === {{Al|5}}On utilise un polaroïd qui joue son rôle premier de « polariseur » : un polaroïd <math>\;\big(</math>ou polariseur<math>\big)\;</math> transforme une lumière naturelle en lumière polarisée rectilignement selon sa direction de transmission privilégiée <math>\;\vec{u}_P\;</math><ref> Quand on parle d'onde polarisée rectilignement la direction de polarisation est toujours celle du champ électrique.</ref> ; :{{Al|5}}le champ électrique <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> d'une lumière non polarisée ayant une direction aléatoire dont seule la composante sur <math>\;\vec{u}_P\;</math> est totalement transmise, la composante <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_P\;</math> étant totalement absorbée, il ne reste, à la sortie du polariseur, qu'un champ électrique selon <math>\;\vec{u}_P</math> ; :{{Al|5}}la répartition isotrope de la direction de <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> avant le polariseur fait que la puissance lumineuse moyenne de l'onde à la sortie de ce dernier représente <math>\;50\, \%\;</math> de celle de l'onde à son entrée, <math>\;50\, \%\;</math> ayant été absorbée. {{Al|5}}Comme vu au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Propagation_d'un_signal_:_Polarisation_rectiligne_de_la_lumière,_loi_de_Malus#Polariseur_(ou_polaroïd)|polariseur (ou polaroïd)]] » plus haut dans ce chapitre, un polaroïd peut aussi transformer une lumière polarisée rectilignement en une lumière moins puissante polarisée rectilignement suivant une autre direction ; <br>{{Al|5}}dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus où « la direction liée au polaroïd fait un angle <math>\;\alpha_0 - \alpha\;</math> relativement à celle correspondant au maximum de transmission », <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus }}« la direction de polarisation de <math>\;\vec{E}'(M,\, t)\;</math> à la sortie du polaroïd a tourné de l'angle <math>\;\alpha_0 - \alpha\;</math> relativement à celle de <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> à son entrée » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas exposé le paragraphe précité ci-dessus }}« la puissance lumineuse moyenne de l'onde de sortie est celle de l'onde d'entrée multipliée par le facteur <math>\;\cos^2(\alpha_0 - \alpha)\;</math>»<ref> On rappelle que la puissance lumineuse moyenne est proportionnelle au carré de l'amplitude.</ref>. == Détection d'une onde lumineuse polarisée rectilignement == {{Al|5}}On utilise là encore un polaroïd qui joue son rôle second d'« analyseur » <ref> En fait seul le nom change car il s'agit exactement du même appareil.</ref> : <br>{{Al|5}}« une onde lumineuse arrivant perpendiculairement sur un polaroïd <math>\;\big(</math>ou analyseur<math>\big)\;</math> et qui est totalement absorbée pour deux positions angulaires opposées de ce dernier est une onde polarisée rectilignement dont la direction de polarisation est <math>\;\perp\;</math> à la direction de transmission privilégiée de l'analyseur lors de l'absorption »<ref> Dans le cas où la direction de l'aiguille indique la direction <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_P</math>, lorsque le réglage de l'analyseur correspond à l'absorption intégrale de l'onde polarisée rectilignement arrivant sur lui, on en déduit que la direction du champ électrique avant l'analyseur est celle de l'aiguille de l'analyseur.</ref> ; <br>{{Al|5}}revoir l'expérience avec la diode laser <math>\;\ldots</math> == Démarche expérimentale autour de la loi de Malus == === Énoncé de la loi de Malus === {{théorème|titre = Loi de Malus |contenu = {{Al|5}}Quand une onde lumineuse polarisée rectilignement traverse un polaroïd telle que la direction de polarisation de l'onde fasse l'angle <math>\;\alpha\;</math> avec la direction de transmission privilégiée du polaroïd, l'éclairement <math>\;\mathcal{E}'\;</math> de l'onde transmise est liée à l'éclairement <math>\;\mathcal{E}\;</math> de l'onde incidente <div style="text-align: center;">par «<math>\;\mathcal{E}' = \mathcal{E}\; \cos^2(\alpha)\;</math>».</div>}} === Démonstration de la loi de Malus === {{Al|5}}Soit <math>\;\vec{E}(M,\, t)\;</math> le champ électrique de l'onde lumineuse polarisée rectilignement et arrivant perpendiculairement sur le polaroïd en faisant l'angle <math>\;\alpha\;</math> avec la direction de transmission privilégiée <math>\;\vec{u}_P</math> ; {{Al|5}}décomposant ce champ sur <math>\;\vec{u}_P\;</math> et sur <math>\;\vec{u}_{PP}\;</math> vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au précédent situé dans le plan du polaroïd<ref name="Choix de sens" />, nous en déduisons l'expression du champ électrique de l'onde incidente «<math>\;\vec{E}(M,\, t) =</math> <math>E(M,\, t)\, \cos(\alpha)\, \vec{u}_P + E(M,\, t)\, \sin(\alpha)\, \vec{u}_{PP}\;</math>» dans laquelle seule la composante sur <math>\;\vec{u}_P\;</math> est transmise ; {{Al|5}}à la sortie du polaroïd, le champ électrique de l'onde transmise polarisée rectilignement s'écrit alors «<math>\;\vec{E}'(M,\, t) = E(M,\, t)\, \cos(\alpha)\, \vec{u}_P\;</math>» et nous en déduisons que « les amplitudes des harmoniques du champ électrique transmis s'obtiennent à partir de celles des harmoniques de même fréquence du champ électrique incident en multipliant ces dernières par le facteur <math>\;\cos(\alpha)\;</math>» ; {{Al|5}}d'après la définition de l'éclairement d'une onde en un point <math>\;M\;</math> «<math>\;\mathcal{E}(M) = \displaystyle\int_{f_1}^{f_2} \mathcal{E}(f,\, M)\, df = \displaystyle\int_{f_1}^{f_2} K\, \left[ A(f,\, M) \right]^2\, df\;</math>» nous en déduisons l'« éclairement de l'onde transmise en un point <math>\;M\;</math> situé au-delà du polariseur <math>\;\mathcal{E}'(M) = \displaystyle\int_{f_1}^{f_2} K\, \left[ A'(f,\, M) \right]^2\, df =</math> <math>\displaystyle\int_{f_1}^{f_2} K\, \left[ A(f,\, M)\, \cos(\alpha) \right]^2\, df\;</math>» et, en notant «<math>\;\mathcal{E}(M)</math> <math>= \displaystyle\int_{f_1}^{f_2} K\, \left[ A(f,\, M) \right]^2\, df\;</math> l'éclairement de l'onde incidente en ce même point <math>\;M\;</math> en absence de polariseur », nous obtenons effectivement la loi de Malus<ref> '''[[w:Étienne_Louis_Malus|Étienne Louis Malus]] (1775 - 1812)''' ingénieur, physicien et mathématicien français, surtout connu pour ses travaux mathématiques liés à la lumière, a mis en évidence la polarisation de cette dernière par réflexion en <math>\;1809</math> ; il fut de la 1^ère promotion de l’École centrale des travaux publics <math>\;\big(</math>connue actuellement sous le nom d'École Polytechnique<math>\big)\;</math> promotion <math>\;X1794\;</math> et y devint brièvement directeur des études de <math>\;1811\;</math> jusqu'à sa mort ; sa découverte la plus célèbre est la loi de Malus mais on lui doit aussi le théorème de Malus stipulant que les surfaces d'onde émises par une source ponctuelle sont <math>\;\perp\;</math> aux rayons lumineux issus de cette source.</ref> «<math>\;\mathcal{E}'(M) = \mathcal{E}(M)\, cos^2(\alpha)\;</math>» après factorisation par <math>\;cos^2(\alpha)\;</math> dans l'expression de <math>\;\mathcal{E}'(M)</math>. === Vérification expérimentale de la loi de Malus === [[File:Loi de Malus - expérience.jpg|thumb|500px|Dispositif expérimental pour vérifier la loi de Malus]] {{Al|5}}On peut utiliser un photorécepteur pour mesurer l'éclairement « relatif » <ref> Un photorécepteur aurait besoin d'être étalonné pour donner l'éclairement absolu mais ici on a besoin seulement de déterminer le rapport «<math>\;\dfrac{\mathcal{E}'}{\mathcal{E}}\;</math>» c.-à-d. l'éclairement relatif de l'onde transmise par rapport à celui de l'onde incidente.</ref> <math>-</math> par exemple une photodiode en mode photovoltaïque aux bornes de laquelle on mesure la tension à l'aide d'un multimètre numérique <math>-</math> la variation de la direction de polarisation étant réalisée grâce à un analyseur, l'onde polarisée l'étant naturellement ou obtenue par l'action d'un polariseur sur une onde non polarisée <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> : {{Al|5}}On repère d'abord une position angulaire <math>\;\theta_0\;</math> de l'analyseur correspondant au maximum de puissance lumineuse moyenne transmise en notant la valeur de la tension <math>\;U_0\;</math> mesurée par le multimètre branché sur la photodiode puis {{Al|5}}on fait tourner progressivement <math>-</math> dans le sens croissant <math>-</math> l'analyseur en notant simultanément sa position angulaire <math>\;\theta\;</math> <math>\big(</math>l'angle de rotation par rapport à la position correspondant au maximum de puissance lumineuse moyenne étant <math>\;\alpha =</math> <math>\theta - \theta_0\big)\;</math> et la valeur de la tension <math>\;U\;</math> mesurée par le multimètre ; {{Al|5}}pour vérifier la loi de Malus il reste à « tracer <math>\;\dfrac{U}{U_0}\;</math> en fonction de <math>\;\cos^2(\alpha)\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|pour vérifier la loi de Malus il reste }}à « vérifier que c'est une droite croissante de pente <math>\;1\;</math>». === Retour sur la transmission d'une lumière naturelle par un polariseur idéal === {{Al|5}}Nous avons affirmé que <math>\;50\, \%\;</math> de l'éclairement d'une lumière naturelle <math>\;\big(</math>donc non polarisée<math>\big)\;</math> était transmis à la sortie d'un polariseur idéal en effet : : {{Al|5}}toutes les directions de polarisation du champ électrique de l'onde se réalisant pratiquement de façon aléatoire avant la traversée du polariseur, quand la direction de <math>\;\vec{E}\;</math> fait l'angle <math>\;\theta\;</math> avec la direction <math>\;\vec{u}_P\;</math> de transmission privilégiée, l'« éclairement transmis correspondant vaut <math>\;\mathcal{E}_0\, \cos^2(\theta)\;</math>»<ref> <math>\;\mathcal{E}_0\;</math> étant l'éclairement de l'onde incidente.</ref> ; : {{Al|5}}il convient alors de faire la moyenne sur toutes les valeurs de <math>\;\theta\;</math> « également probables » <ref> En raison de l'isotropie de la direction du champ pour une onde non polarisée ; la probabilité d'obtenir <math>\;\theta\;</math> à <math>\;d \theta\;</math> près devant être indépendante de <math>\;\theta\;</math> et normalisée vaut <math>\;\dfrac{d \theta}{2\, \pi}</math>.</ref> en utilisant «<math>\;\left\langle \cos^2(\theta) \right\rangle =</math> <math>\dfrac{1}{2\, \pi}\, \displaystyle\int_0^{2\, \pi} \cos^2(\theta)\, d \theta\;</math>»<ref> La justification de cette définition étant que la valeur <math>\;\cos^2(\theta)\;</math> définie à <math>\;d \theta\;</math> près est pondérée par sa probabilité <math>\;\dfrac{d \theta}{2\, \pi}</math> ; <br>{{Al|3}}le calcul de l'intégrale se fait en linéarisant <math>\;\cos^2(\theta)\;</math> selon <math>\;\cos^2(\theta) = \dfrac{1 + \cos(2\, \theta)}{2}</math>, la moyenne de <math>\;\dfrac{\cos(2\, \theta)}{2}\;</math> étant nulle d'une part et d'autre part celle de <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> valant évidemment <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> <math>\ldots</math></ref> soit «<math>\;\left\langle \cos^2(\theta) \right\rangle = \dfrac{1}{2}\;</math>» d'où l'« éclairement de l'onde transmise représentant <math>\;50\, \%\;</math> de l'éclairement de l'onde incidente ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : En fait le cœfficient de transmission par un polariseur réel est plus faible à cause des pertes par réflexion entre autres. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini|Propag. d'un signal : Diffraction à l'infini]] | suivant = [[../Optique géométrique : sources lumineuses, milieu transparent, approximation de l'optique géométrique|Optique géomét. : sources lumineuses, milieu transp., approxim. de l'optique géomét.]] }} dx6lgu2ss8eq3wm909nnagw82cxhfcs 0 62076 982807 974049 2026-05-14T06:54:36Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982807 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 15 | niveau = 14 | précédent = [[../Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs/]] | suivant = [[../Divers repérages d'un point dans l'espace/]] }} == Intégrale définie sur un intervalle fermé == === Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann === [[File:Intégrale de Riemann - subdivision.jpg|thumb|left|350px|Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann<ref name="Riemann"> '''[[w:Bernhard_Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann]] (1826 - 1866)''' mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'[[w:Analyse_(mathématiques)|analyse]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration<math>\big)\;</math> et à la [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] <math>\;\big(</math>partie des mathématiques utilisant les outils du [[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] pour modéliser une [[w:Espace_de_Minkowski|courbure de l'espace-temps]]<math>\big)</math>.</ref>]] {{Al|5}}La fonction scalaire <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;x\;</math> définie sur l'intervalle fermé <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}est '''intégrable sur cet intervalle fermé''' <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' }}si elle y est '''continue par morceaux''', c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' }}s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' s'«}}<math>\;a = x_0 < x_1 < \cdots < x_i < \cdots < x_n = b\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' s'«}}pour laquelle «<math>\;f\;</math> est continue sur les intervalles ouverts <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' s'«pour laquelle «<math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est continue sur}}<math>\;\left] x_i\, {,}\, x_{i + 1} \right[\;\; \forall\, i\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' s'«}}«<math>\;\lim\limits_{x \rightarrow x_i^{+}} \left[ f(x) \right] = cste_i^{+}\;</math> et <math>\;\lim\limits_{x \rightarrow x_{i + 1}^{-}} \left[ f(x) \right] = cste_{i + 1}^{-}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' s'«}}l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger <br>{{Al|5}}{{Transparent|La fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> est '''intégrable''' s'«}}la continuité de <math>\;f\;</math> sur <math>\;\left[ x_i\, {,}\, x_{i + 1} \right]\;\; \forall\, i\;</math>»<ref> Mais attention <math>\;f\;</math> n'est pas nécessairement continue en <math>\;x_i\;\; \forall\, i\;</math> car <math>\;f(x_i^{+})\;</math> peut être <math>\;\neq\;</math> de <math>\;f(x_i^{-})</math>.</ref>. <br> === Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées === {{Définition| titre = Subdivision de l'intervalle <math>\left[ a\, {,}\, b \right]</math> et choix d'une somme de Riemann associée| contenu = {{Al|5}}À partir de « la fonction scalaire <math>\;f\;</math> de la variable réelle <math>\;x\;</math> définie et intégrable sur l'intervalle fermé <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math>», on définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>une « <u>subdivision</u> de <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math>», «<math>\;a = x_0 < x_1 < \cdots < x_i < \cdots < x_n = b\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une « subdivision de <math>\;\color{transparent}{\left[ a\, {,}\, b \right]}\;</math>», }}réalisant la division en <math>\;n\;</math> parties égales » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>une « <u>[[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]]</u><ref name="Riemann" /> <math>\;R_n = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} \left[ f(c_i)\, (x_{i + 1} - x_i) \right]\;</math>» avec «<math>\;c_i\;</math> un élément quelconque <br>{{Al|16}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>une « somme de Riemann <math>\;\color{transparent}{R_n = \left[ f(c_i)\, (x_{i + 1} - x_i) \right]}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{c_i}\;</math> }}de <math>\;\left[ x_i\, {,}\, x_{i + 1} \right]\;</math>» que <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}nous choisirons en la « borne inférieure de l'intervalle »<ref> Ce n'est pas une nécessité d'où le qualificatif « particulière » donné par la suite à la [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]].</ref> d'où «<math>\;c_i = a + i\, \dfrac{b - a}{n}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}la « <u>[[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]]<ref name="Riemann" /> particulière</u> définie par <math>\;R_n = \dfrac{b - a}{n} \left[ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} f\! \left( a + i\, \dfrac{b - a}{n} \right) \right]\;</math>» et <br>{{Al|10}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la « somme de Riemann particulière }}interprétée comme la « <u>somme des aires des rectangles</u> de <br>{{Al|10}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « }}largeur commune <math>\;\dfrac{b - a}{n}\;</math> et de <br>{{Al|10}}{{Transparent|À partir de « la fonction scalaire <math>\;\color{transparent}{f}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « }}hauteur <math>\;f\! \left( a + i\, \dfrac{b - a}{n} \right)\;</math>».}} {{Al|5}}On démontre que « la [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]]<ref name="Riemann" /> choisie »<ref> Mais il en est de même de toutes les [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|sommes de Riemann]] possibles.</ref> admet une « limite finie » quand <math>\;n \rightarrow \infty</math>, limite qui définit l'<u>[[w:Intégrale_de_Riemann|intégrale de Riemann]]<ref name="Riemann" /> de la fonction sur l'intervalle d'intégration</u>. === Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé === {{Définition| titre = Intégrale de Riemann de <math>\;f\;</math> sur l'intervalle fermé <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math>|contenu = {{Al|5}}Ayant défini « une subdivision de l'intervalle <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math> en <math>\;n\;</math> parties égales » puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant défini }}« une [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]]<ref name="Riemann" /> <math>\;R_n = \dfrac{b - a}{n} \left[ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} f(c_i) \right]\;</math> avec <math>\;c_i\;</math> élément quelconque de <math>\;\left[ x_i\, {,}\, x_{i + 1} \right]\;</math>», <br>{{Al|5}}on démontre que « toutes les [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|sommes de Riemann]]<ref name="Riemann" /> admettent une même limite quand <math>\;n \rightarrow \infty</math>, limite définissant <br>{{Al|7}}{{Transparent|on démontre que « toutes }}l''''[[w:Intégrale_de_Riemann|intégrale de Riemann]]'''<ref name="Riemann" /> '''de la fonction <math>\;f\;</math> sur l'intervalle fermé <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math>''' notée <math>\;\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\;</math>» soit <br>{{Al|7}}{{Transparent|on démontre que « toutes }}«<math>\;\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left\lbrace \dfrac{b - a}{n} \left[ \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} f(c_i) \right]_{c_i\, \in\, \left] x_i\, {,}\, x_{i + 1} \right[} \right\rbrace = \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\;</math>».}} === Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé === {{Al|5}}Avec «<math>\;c_i = a + i\, \dfrac{b - a}{n}\;</math>», « la [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]]<ref name="Riemann" /> associée peut être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base <math>\;\dfrac{b - a}{n}\;</math> et de hauteur <math>\;f\! \left( a + i\, \dfrac{b - a}{n} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}aussi, « quand <math>\;n \rightarrow \infty\;</math>», « la [[w:Somme_de_Riemann#Définition_du_cas_le_plus_usuel|somme de Riemann]]<ref name="Riemann" /> tendant vers l'intégrale de la fonction <math>\;f\;</math> sur l'intervalle fermé <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|aussi, « quand <math>\;\color{transparent}{n \rightarrow \infty}\;</math>», }}« la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites <math>\;x = a\;</math> et <math>\;x = b\;</math>», <br>{{Al|5}}nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'[[w:Intégrale_de_Riemann|intégrale de Riemann]]<ref name="Riemann" /> : {{Proposition|titre = À retenir|contenu= {{Al|5}}L'intégrale <math>\;\big(</math>de Riemann<math>\big)\;</math><ref name="Riemann" /> de la fonction <math>\;f\;</math> sur l'intervalle fermé <math>\;\left[ a\, {,}\, b \right]\;</math> notée <math>\;\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\;</math> représente <u>l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction et les droites frontières</u><math>\;x = a\;</math> et <math>\;x = b</math>.}} === Développement de quelques méthodes de calcul === {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>Intégrer une fonction dont on connaît une primitive</u> exemple <math>\;\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x^2}\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] (conséquence) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= \left[ \arctan(x) \right]_0^1 = \arctan(1) - \cancel{\arctan(0)} = \dfrac{\pi}{4}\;</math> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ\;}</math>Intégrer une fonction }}<u>dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée</u> exemple <math>\;\displaystyle\int_1^2 \dfrac{dx}{x^2} = \displaystyle\int_1^2 x^{-2}\; dx</math> : on se souvient qu'une primitive de <math>\;x^n,\; n \in \mathbb{Z} \setminus \left\lbrace -1 \right\rbrace\;</math> est <math>A\; x^{n + 1}\;</math><ref> Prendre une primitive si <math>\;n \in \mathbb{N}\;</math> augmentant le degré du monôme d'une unité, ce résultat se généralisant à toute valeur de <math>\;\mathbb{Z}\;</math> à l'exception de <math>\;n = -1</math>, <math>\;\dfrac{1}{x}\;</math> admettant <math>\;\ln|x|\;</math> comme primitive.</ref> en ayant oublié la valeur de <math>\;A</math>, pour la retrouver on dérive <math>\;A\; x^{n + 1}\;</math> ce qui donne <math>\;A\, (n + 1)\, x^n\;</math> à identifier à <math>\;x^n\;</math> d'où <math>\;A = \dfrac{1}{n + 1}\;</math> et par suite une primitive de <math>\;x^n,\; n \in \mathbb{Z} \setminus \left\lbrace -1 \right\rbrace\;</math> est <math>\;\dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}\;</math> soit, dans le cas particulier où <math>\;n = -2</math>, une primitive de <math>\;x^{-2}\;</math> est <math>\;\dfrac{x^{-1}}{(-1)}\;</math> ou une primitive de <math>\;\dfrac{1}{x^2}\;</math> est <math>\;\dfrac{-1}{x}\;</math> conduisant à <math>\;\displaystyle\int_1^2 \dfrac{dx}{x^2} = \left[ -\dfrac{1}{x} \right]_1^2 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{2}</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>intégrer une fonction par changement de variable</u> exemple <math>\;\displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{a^2 + x^2}</math> : souhaitant avoir <math>\;1 + u^2\;</math> au dénominateur<ref> Car on connaît une primitive de <math>\;\dfrac{1}{1 + u^2}\;</math> qui est <math>\;\arctan(u)</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] (conséquence) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, on y met <math>\;a^2\;</math> en facteur <math>\;\displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{a^2 + x^2} = \displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{a^2 \left[ 1 + \left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!2} \right]} =</math> <math>\dfrac{1}{a^2}\; \displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{1 + \left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!2}}\;</math> suggérant le changement de variable <math>\;u = \dfrac{x}{a}\;</math><ref> Il n'est pas toujours nécessaire de baptiser effectivement cette nouvelle variable <math>-</math> même si mathématiquement c'est préférable <math>-</math> on peut la laisser sous la forme <math>\;\dfrac{x}{a}\;</math> pour gagner du temps et c'est ce qu'on va faire.</ref> ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur <math>\;\displaystyle\int \dfrac{d\! \left( \dfrac{x}{a} \right)}{1 + \left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!2}}\;</math> mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur <math>\bigg[</math>car <math>\;d\! \left( \dfrac{x}{a} \right) = \dfrac{dx}{a}\;</math> et non <math>\;dx\bigg]</math> qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif <math>\;a\;</math> soit <math>\displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{a^2 + x^2} = \dfrac{1}{a^2}\; a\; \displaystyle\int_0^a \dfrac{d\! \left( \dfrac{x}{a} \right)}{1 + \left( \dfrac{x}{a} \right)^{\!2}}\;</math><ref> N'ayant pas baptisé la nouvelle variable mais ayant laissé <math>\;\dfrac{x}{a}\;</math> pour gagner du temps, les bornes restent celles de la variable <math>\;x\;</math> et non celles de la nouvelle variable non baptisée.</ref> <math>= \dfrac{1}{a} \left[ \arctan\! \left( \dfrac{x}{a} \right) \right]_0^a\;</math> <ref> Il est possible de vérifier ce résultat par des considérations de dimensions ; supposons que <math>\;x\;</math> et <math>\;a\;</math> représentent des longueurs, il en sera de même de <math>\;dx\;</math> et par suite <math>\;\dfrac{dx}{a^2 + x^2}\;</math> s'exprimera en <math>\;m^{-1}\;</math> ainsi que <math>\;\displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{a^2 + x^2}</math> ; le résultat doit donc aussi être en <math>\;m^{-1}\;</math> ce qui est le cas avec <math>\;\dfrac{1}{a}\, \arctan\! \left( \dfrac{x}{a} \right)</math>.</ref> donnant finalement <math>\;\displaystyle\int_0^a \dfrac{dx}{a^2 + x^2} = \dfrac{1}{a} \left[ \arctan(1) - \cancel{\arctan(0)} \right] = \dfrac{\pi}{4\, a}</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant</u><math>\;\big(</math><u>quand cela est possible</u><math>\big)\;</math> exemple <math>\;\displaystyle\int_0^\pi \sin^2(x)\, dx\;</math> avec <math>\;\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos(2\, x)}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_0^\pi \sin^2(x)\, dx = \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{1 - \cos(2\, x)}{2}\, dx =</math> <math>\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{dx}{2} - \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{\cos(2\, x)}{2}\, dx = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2}\, \displaystyle\int_0^\pi \cos(2\, x)\, \dfrac{d(2\, x)}{2}\;</math><ref> Noter que la présence de <math>\;\cos(2\, x)\;</math> suggère de prendre <math>\;2\, x\;</math> comme nouvelle variable, on en fait donc apparaître la différentielle <math>\;d(2\, x) =</math> <math>2\, dx\;</math> mais en faisant cela on commet une erreur relativement à <math>\;dx\;</math> d'où la division de <math>\;d(2\, x)\;</math> par <math>\;2</math>.</ref> ce qui donne finalement <math>\;\displaystyle\int_0^\pi \sin^2(x)\, dx = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{4}\, \cancel{\left[ \sin(2\, x) \right]_0^\pi} = \dfrac{\pi}{2}</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>intégrer un produit de fonctions par parties</u><math>\;\big(</math><u>dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple</u><math>\big)\;</math> exemple <math>\;\displaystyle\int_0^1 x\, \exp(x)\, dx\;</math> dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type <math>\;\displaystyle\int \exp(x)\, dx\;</math> sachant qu'on connaît une primitive de la fonction <math>\;\exp(x)\;</math><ref> Les primitives de la fonction <math>\;\exp(x)\;</math> étant <math>\;\exp(x) + cste</math>.</ref> et pour cela considérer la fonction à intégrer <math>\;x\;\exp(x)\;</math> comme le produit de fonctions <math>\;x\;</math> et <math>\;\exp(x)\;</math> de façon à appliquer la méthode d'[[w:Intégration_par_parties|intégration par parties]] <math>\;\big(</math>ou I.p.p.<math>\big)\;</math><ref name="I.p.p."> Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques.</ref> exposée ci-dessous ; {{Proposition|titre= exposé de la méthode d'intégration par parties (ou I.p.p.)|contenu = {{Al|5}}Si on doit « calculer <math>\;\displaystyle\int_a^b u(x)\, v(x)\, dx\;</math> en connaissant une primitive de <math>\;v(x)\;</math> notée <math>\;V(x)\;</math>», on peut écrire <center>«<math>\;\displaystyle\int_a^b u(x)\, v(x)\, dx =</math> <math>\left[ u(x)\, V(x) \right]_a^b - \displaystyle\int_a^b u'(x)\, V(x)\, dx\;</math>»<ref> Cela résultant de <math>\;\dfrac{d\! \left[ u(x)\, V(x) \right]}{dx} = u'(x)\, V(x) + u(x)\, V'(x) = u'(x)\, V(x) + u(x)\, v(x)\;</math> dont on tire <math>\;u(x)\, v(x) =</math> <math>\dfrac{d\! \left[ u(x)\, V(x) \right]}{dx} - u'(x)\, V(x)\;</math> et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|intégrer un produit de fonctions par parties<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple<math>\color{transparent}{big)}\;</math> exemple }}ici on pose «<math>\;u(x) = x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;u'(x) = 1\;</math>» et «<math>\;v(x) = \exp(x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(x) = \exp(x)\;</math>»<ref> On choisit la primitive la plus simple <math>\;\ldots</math></ref> d'où <math>\;\displaystyle\int_0^1 x\, \exp(x)\, dx = \left[ x\, \exp(x) \right]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 \exp(x)\, dx = \left[ x\, \exp(x) \right]_0^1 - \left[ \exp(x) \right]_0^1 = e - e = 0</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math><u>intégrer une [[w:Fonction rationnelle|fonction rationnelle]]</u><ref> Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.</ref> <u>par décomposition en éléments simples</u> exemple <math>\;\displaystyle\int_{2\, a}^{3\, a} \dfrac{dx}{x^2 - a^2}</math> : la fonction rationnelle <math>\;\dfrac{1}{x^2 - a^2}\;</math> de pôles<ref> C.-à-d. les racines du polynôme dénominateur <math>\;\big(</math>les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle<math>\big)</math>).</ref> connus <math>\;\left\lbrace -a,\, +a \right\rbrace\;</math> se décompose en éléments simples <math>\;\dfrac{A}{x - a}\;</math> et <math>\;\dfrac{B}{x + a}\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{1}{x^2 - a^2} = \dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{x + a}\;</math> avec <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> constantes réelles à déterminer selon la méthode exposée ci-dessous sur l'exemple ; {{Remarque|titre= façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples| contenu= {{Al|5}}La façon la plus rapide pour déterminer les constantes réelles <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> de la décomposition «<math>\;\dfrac{1}{x^2 - a^2} = \dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{x + a}\;</math>» est <br>{{Al|5}}de multiplier les deux membres par <math>\;x - a\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;x + a\big)\;</math> et d'y faire <math>\;x = a\;</math> <math>\big(</math>respectivement <math>\;x = -a\big)\;</math> soit <center><math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\dfrac{(x - a)}{x^2 - a^2} = A + \dfrac{B\, (x - a)}{x + a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x + a} = A + \dfrac{B\, (x - a)}{x + a}\quad \text{on y fait }x = a \Rightarrow \dfrac{1}{2\, a} = A + \cancel{\left[ \dfrac{B\, (x - a)}{x + a} \right]_{x = a}}\\ \dfrac{(x + a)}{x^2 - a^2} = \dfrac{A\, (x + a)}{x - a} + B \Leftrightarrow \dfrac{1}{x -a} = \dfrac{A\, (x + a)}{x - a} + B\quad \text{on y fait }x = -a \Rightarrow \dfrac{-1}{2\, a} = \cancel{\left[ \dfrac{A\, (x + a)}{x - a} \right]_{x = -a}} + B \end{array} \right\rbrace\;</math><ref> Ce qui rend rapide cette méthode c'est qu'elle peut se faire en calcul mental.</ref>.</center>}} {{Al|10}}<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>{{Transparent|intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple }}ici on obtient «<math>\;\dfrac{1}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2\;a} \left\lbrace \dfrac{1}{x - a} - \dfrac{1}{x + a} \right\rbrace\;</math>» d'où la réécriture de l'intégrale en <math>\;\displaystyle\int_{2\, a}^{3\, a} \dfrac{dx}{x^2 - a^2} =</math> <math>\dfrac{1}{2\, a} \left[ \displaystyle\int_{2\, a}^{3\, a} \dfrac{dx}{x - a} - \displaystyle\int_{2\, a}^{3\, a} \dfrac{dx}{x + a} \right]\;</math><ref> Les primitives de <math>\;\dfrac{1}{u}\;</math> étant <math>\;\ln\! \vert u \vert\, + cste</math>.</ref> <math>= \dfrac{1}{2\, a} \left\lbrace \left[ \ln\! \left\vert x - a \right\vert - \ln\! \left\vert x + a \right\vert \right]_{2\, a}^{3\, a} \right\rbrace = \dfrac{1}{2\, a} \left[ \ln\! \left\vert \dfrac{x - a}{x + a} \right\vert \right]_{2\, a}^{3\, a}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_{2\, a}^{3\, a} \dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2\, a} \left[ \ln\! \left( \dfrac{2}{4} \right) - \ln\! \left( \dfrac{1}{3} \right) \right] = \dfrac{1}{2\, a}\, \ln\! \left( \dfrac{3}{2} \right)</math> ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math> <math>\ldots</math> == Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue == === Distinction courbe plane - courbe gauche === {{Al|5}}Une <u>courbe plane</u> est une courbe <u>contenue dans un plan</u> ; exemples : droite, conique <math>\;\big(</math>c'est-à-dire ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole<math>\big)\;</math> et bien d'autres encore ; {{Al|5}}une <u>courbe gauche</u> est une courbe qui <u>n'est pas plane</u> ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les [[w:Hélice_(géométrie)|hélices]] <math>\;\big(</math>la plus connue étant l'[[w:Hélice_(géométrie)#Hélice_circulaire|hélice circulaire]], courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre<math>\big)</math>, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires <math>\ldots</math> === Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue === {{Al|5}}Sur une courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «<math>\;+\;</math>» et une origine <math>\;A\;</math> de mesure des abscisses curvilignes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> plane ou gauche, }}on repère le point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;(\Gamma)\;</math> par le <u>nombre réel égal à la longueur algébrique</u> parcourue dans le sens «<math>\;+\;</math>» sur <math>\;(\Gamma)\;</math> depuis l'origine <math>\;A\;</math><ref> Évidemment il faudrait préciser ce qu'on entend mathématiquement par « longueur algébrique parcourue » <math>\ldots</math> mais le but poursuivi ici se limite à donner une notion d'abscisse curviligne ; <br>{{Al|3}}physiquement on peut déterminer l'abscisse curviligne d'un point <math>\;M\;</math> de <math>\;(\Gamma)\;</math> à l'aide d'une ficelle dont on fixe une extrémité au point <math>\;A\;</math> en lui faisant suivre la courbe points par points jusqu'au point <math>\;M</math>, on repère alors le point <math>\;M\;</math> sur la ficelle et on mesure la distance séparant ce repère et l'extrémité qui était fixée en <math>\;A\;</math> après avoir tendu la ficelle, cette distance représentant la valeur absolue de l'abscisse curviligne du point <math>\;M</math> ; <br>{{Al|3}}en ce qui concerne le signe de l'abscisse curviligne, suivant que le point <math>\;M\;</math> est situé avant ou après l'origine <math>\;A\;</math> relativement au sens «<math>\;+\;</math>», l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> est <math>\;< 0\;</math> ou <math>\;> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> plane ou gauche, on repère le point générique <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> par le nombre réel égal à la longueur algébrique }}appelé « <u>abscisse curviligne du point</u> <math>\;M\;</math> et noté <math>\;s\;</math>» ; <br>{{Al|5}}« l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math> est donc défini par <math>\;s = \overset{\curvearrowright}{AM}\;</math>», « la distance non algébrisée séparant <math>\;A\;</math> de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math> étant <math>\;\vert s \vert = \overset{\frown}{AM}\;</math>». === Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles === ==== Cas d'une courbe ouverte ==== {{Al|5}}<u>Définition</u> : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, }}on repasse au moins une fois en une ou plusieurs positions particulières avant de poursuivre<ref name="peu fréquent"> Cas peu fréquent.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Définition : }}nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1^er type, celle du 2^ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec [[w:Multiplicité_(mathématiques)#Point_multiple_d'une_courbe_algébrique|points multiples]] » {{Al|5}}Dans le cas d'une « <u>courbe ouverte</u><math>\;\big(</math>sans [[w:Multiplicité_(mathématiques)#Point_multiple_d'une_courbe_algébrique|points multiples]]<math>\big)\;</math>»<ref name="exemple de courbes ouvertes sans points multiples"> Exemple de courbe plane ouverte <math>\;\big[</math>droite, parabole, branche d'hyperbole <math>\;\big(</math>attention l'hyperbole n'est pas une courbe continue mais constituée de deux branches continues<math>\big)\big]</math>, <br>{{Al|3}}exemple de courbe gauche ouverte <math>\;\big[</math>[[w:Hélice_(géométrie)#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] ou [[w:Hélice_(géométrie)|autres hélices]]<math>\big]\;</math> <math>\ldots</math></ref>, « chaque valeur de <math>\;s\;</math> localise une position unique de <math>\;M\;</math> sur la courbe et réciproquement », <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe ouverte<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}il y a donc « '''[[w:Bijection|biunivocité]]''' »<ref> Correspondance entre deux ensembles qui relie un élément quelconque d'un ensemble ou de l'autre à un et un seul élément de l'ensemble restant.</ref> '''entre la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes''' des points de <math>\;(\Gamma)</math>. ==== Cas d'une courbe fermée ==== {{Al|5}}<u>Définition</u> : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois par l'endroit de départ et, de façon cyclique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, }}et ordonnée, indéfiniment par toutes les positions précédentes ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition : }}une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle »<ref name="cycle"> L'appellation « cycle » est personnelle d'où les guillemets.</ref>, la description du point générique de la courbe fermée étant <br>{{Al|24}}{{Transparent|Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », }}celle du point générique du « cycle »<ref name="cycle" /> répétée à l'infini ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition : }}il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle »<ref name="cycle" /> d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse au moins une fois lors de sa description du « cycle »<ref name="cycle" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse }}on parle alors de « courbe fermée avec [[w:Arc_paramétré#Point_de_paramètre_et_point_géométrique,_multiplicité|points multiples]] » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition : }}nous appellerons par la suite « courbe fermée » une courbe fermée sans [[w:Arc_paramétré#Point_de_paramètre_et_point_géométrique,_multiplicité|points multiples]]. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Cas_d'une_courbe_ouverte|cas d'une courbe ouverte]] (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ». {{Al|5}}Dans le cas d'une « <u>courbe fermée</u><math>\;\big(</math>sans [[w:Arc_paramétré#Point_de_paramètre_et_point_géométrique,_multiplicité|points multiples]]<math>\big)\;</math>»<ref name="exemple de courbe plane fermée"> Exemple de courbe plane fermée <math>\;\big[</math>ellipse dont son cas particulier le cercle<math>\big]</math>.</ref>, « chaque valeur de <math>\;s\;</math> localise une position unique de <math>\;M\;</math> sur la courbe » mais <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe fermée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}« à chaque position de <math>\;M\;</math> il existe une infinité de valeurs de <math>\;s\;</math> séparées entre elles d'un multiple d'une grandeur correspondant à la <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe fermée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», « à chaque position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> il existe une infinité de valeurs de <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> séparées entre elles d'un multiple }}longueur <math>\;\mathcal{L}\;</math> de la courbe fermée » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe fermée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}<math>\big[</math>il y a donc périodicité de la fonction <math>\;f\;</math> qui à <math>\;s\;</math> fait correspondre un point <math>\;M\;</math> de la courbe, la période étant égale à <math>\;\mathcal{L}\big]</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe fermée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}pour retrouver une « '''[[w:Bijection|biunivocité]]''' » '''entre la courbe'''<math>\;(\Gamma)\;</math>'''et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes''' des points de <math>\;(\Gamma)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe fermée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», }}on <u>restreint le domaine de définition de la fonction</u><math>\;f\;</math> avec <u>une détermination principale de l'abscisse curviligne</u><math>\;s_{\text{princ}} \in \left] -\dfrac{\mathcal{L}}{2}\, {,}\, \dfrac{\mathcal{L}}{2} \right]</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans le cas d'une « courbe fermée<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>sans points multiples<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>», on restreint le domaine de définition de la fonction<math>\;\color{transparent}{f}\;</math> avec }}l'abscisse curviligne prenant les avaleurs <math>\;s \left\lbrace \begin{array}{l} \equiv s_{\text{princ}} \pmod{\mathcal{L}}\;\text{ou}\\= s_{\text{princ}} + n\, \mathcal{L},\; n \in \mathbb{Z}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> <math>\;n\;</math> étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.</ref>. == Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue == === Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue === [[File:Vecteur déplacement élémentaire.jpg|thumb|360px|Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe]] {{Al|5}}On réalise un paramétrage géométrique de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> par abscisse curviligne, <math>\;M\;</math> étant la position d'un point <math>\;\big(</math>non « anguleux »<ref name="point anguleux"> En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.</ref><math>\big)\;</math> d'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> et <math>\;M'\;</math> sa position d'abscisse curviligne infiniment proche <math>\;s + ds</math>, <br>{{Al|5}}le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> du point <math>\;M\;</math> d'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> est défini par <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur déplacement élémentaire }}«<math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{OM'} - \overrightarrow{OM}\;</math>» soit encore «<math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{OM}(s + ds) - \overrightarrow{OM}(s)\;</math>» c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur déplacement élémentaire }}« la différentielle du vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> du point <math>\;M\;</math>»<ref> On utilise « la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable, valable dans la mesure où <math>\;ds\;</math> est un infiniment petit » <math>\;\big[</math>la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'où une autre expression de la définition <br>{{Al|5}}du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\overrightarrow{MM'} = d\! \left[ \overrightarrow{OM} \right]\;</math>» usuellement noté «<math>\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref> Car la différentielle est en fait indépendante du choix de <math>\;O</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un point <math>\;M\;</math> anguleux de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math><ref> La plupart des courbes continues n'ont pas de points anguleux.</ref> on définit deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> anguleux de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on définit deux vecteurs }}envisagé est à gauche « définissant <math>\;\overrightarrow{dM^{-}}\;</math>» ou <br>{{Al|10}}{{Transparent|Remarque : Pour un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> anguleux de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on définit deux vecteurs envisagé est }}à droite « définissant <math>\;\overrightarrow{dM^{+}}\;</math>»<ref> Mais pratiquement ce cas est rarement envisagé.</ref> <math>\ldots</math> === Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue === {{Al|5}}Sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, <math>\;M\;</math> étant la position d'un point quelconque <math>\;\big(</math>non « anguleux »<ref name="point anguleux" /><math>\big)\;</math> d'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, }}<math>\;M''\;</math> la position d'un point proche de <math>\;M\;</math> d'abscisse curviligne voisine <math>\;s + \delta s</math>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, }}le vecteur « petit déplacement »<ref> « Petit déplacement » et non déplacement élémentaire car <math>\;\delta s\;</math> est petit mais non infiniment petit.</ref> le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\overrightarrow{MM''}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » }}a pour direction la sécante <math>\;(MM'')</math> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, }}quand la variation d'abscisse curviligne <math>\;\delta s\;</math> devient l'infiniment petit <math>\;ds</math>, <math>\;M''\;</math> devient <math>\;M'\;</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, }}le vecteur « petit déplacement <math>\;\overrightarrow{MM''}\;</math>» devient le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|6}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, }}or la direction de la sécante <math>\;(MM'')\;</math> tend vers la direction tangente à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math><ref> Définition géométrique de la tangente à une courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en un point <math>\;M</math>.</ref> quand <math>\;M'' \rightarrow M\;</math><ref> Ce qui est le cas car <math>\;M''\;</math> devient <math>\;M'\;</math> lequel est infiniment proche de <math>\;M</math>.</ref>, d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|Sur la courbe <math>\color{transparent}{\;(\Gamma)\;}</math> paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, }}la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en un point <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> : {{Proposition|titre = Propriété du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe|contenu = {{Al|5}}Le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> le long de la courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> en un point <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM}}\;</math> }}est, <u>dans la mesure où il n'est pas nul</u>, '''tangent à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M</math>'''<ref> En effet nous avons montré que la direction de la sécante <math>\;(MM'')\;</math> tendait vers la direction tangente à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> mais le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> pourrait être nul en des points particuliers de celle-ci <math>\ldots</math></ref>.}} === Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet === {{Al|5}}Sur une courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> orientée par le choix <math>\;\big(</math>arbitraire<math>\big)\;</math> d'un sens «<math>\;+\;</math>» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> orientée par le choix <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>arbitraire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'un sens «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» }}on définit, en tout point <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> de <math>\;(\Gamma)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> orientée par le choix <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>arbitraire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'un sens «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» on définit, }}« un vecteur unitaire <math>\;\vec{\tau}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math>» orienté dans le sens «<math>\;+\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> orientée par le choix <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>arbitraire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'un sens «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» on définit, « un vecteur unitaire <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> tangent à <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}appelé « vecteur unitaire tangentiel »<ref> Ce vecteur est unique car le point <math>\;M\;</math> est non anguleux, en un point <math>\;M\;</math> anguleux on définirait un vecteur à gauche <math>\;\vec{\tau}^{-}\;</math> et un autre à droite <math>\;\vec{\tau}^{+}\;</math> <math>\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> orientée par le choix <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>arbitraire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'un sens «<math>\;\color{transparent}{+}\;</math>» on définit, « }}constituant le « 1^er vecteur de la base locale de Frenet »<ref> Nous n'introduisons pour l'instant que ce vecteur, les deux autres le seront quand cela sera nécessaire, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#En_complément,_repérage_de_Frenet_d'un_point_sur_une_courbe|en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » plus précisément les sous-paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Rappel,_notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_et_de_vecteur_unitaire_tangentiel,_1er_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_associée|rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#2ème_et_3ème_vecteurs_de_la_base_locale_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_étudiée|2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée]] » . <br>{{Al|3}}Le qualificatif « local » signifie que la base dépend du point <math>\;M\;</math> contrairement à une base cartésienne. <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentiel|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|formules]]<math>\big]</math>.</ref> ; {{Al|5}}le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> du point <math>\;M\;</math> <math>\big(</math>non « anguleux »<ref name="point anguleux" /><math>\big)\;</math> d'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> peut être alors défini par «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\, \vec{\tau}\;</math>»<ref> Ceci est en accord avec le fait que ces deux vecteurs sont tangents à la courbe en <math>\;M</math>, <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant dans le sens de <math>\;\vec{\tau}\;</math> <math>\big(</math>respectivement dans le sens contraire<math>\big)</math> pour <math>\;ds > 0\;</math> <math>\big(</math>respectivement pour <math>\;ds < 0\big)\;</math> c.-à-d. pour un déplacement se faisant dans le sens «<math>\;+\;</math>» <math>\;\big(</math>respectivement dans le sens contraire<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part en prenant la norme de cette relation on obtient <math>\;\left\Vert \overrightarrow{dM} \right\Vert = \vert ds \vert\, \left\Vert \vec{\tau} \right\Vert\;</math> ou <math>\;\left\Vert \overrightarrow{dM} \right\Vert = \vert ds \vert\;</math> <math>\big(</math>le vecteur <math>\;\vec{\tau}\;</math> étant unitaire<math>\big)</math> signifiant que la norme du vecteur déplacement s'identifie à la valeur absolue de l'arc de courbe élémentaire ; <br>{{Al|3}}si on considère un déplacement petit mais non élémentaire avec <math>\;M''\;</math> proche mais non infiniment proche de <math>\;M</math>, <math>\;\left\Vert \overrightarrow{MM''} \right\Vert\;</math> est la longueur de la corde et <math>\;\vert \delta s \vert\;</math> la longueur de l'arc de courbe, la 1^ère étant légèrement inférieure à la 2^nde c.-à-d. <math>\;\left\Vert \overrightarrow{MM''} \right\Vert \lesssim \vert \delta s \vert</math>, <math>\ldots\;</math> quand on fait tendre <math>\;M''\;</math> vers <math>\;M</math>, la différence entre les deux tend vers <math>\;0\;</math> ce que traduit <math>\;\left\Vert \overrightarrow{dM} \right\Vert = \vert ds \vert</math>.</ref>{{,}}<ref> Mathématiquement la relation «<math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)\;</math> caractérisant la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> définit l'équation vectorielle paramétrique de cette dernière », la définition du vecteur déplacement élémentaire en un point <math>\;M\;</math> non anguleux peut alors se réécrire, en divisant les deux membres par <math>\;ds</math>, «<math>\;\dfrac{\overrightarrow{dM}}{ds} = \vec{\tau}\;</math>» ou, <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant la différentielle de <math>\;\overrightarrow{OM}</math>, «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{d\! \left[ \overrightarrow{OM} \right]}{ds} = \dfrac{d \vec{r}}{ds}(s)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}en fait la relation «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{d \vec{r}}{ds}(s)\;</math>» sert de définition mathématique au 1^er vecteur de la base <math>\;\big(</math>locale<math>\big)\;</math> de Frenet <math>\big[</math>le vecteur <math>\;\vec{\tau}(s)\;</math> peut donc s'obtenir en dérivant par rapport <math>\;s\;</math> l'équation vectorielle paramétrique de la courbe <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentiel|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|formules]]<math>\big]</math>.</ref>. === Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue === {{Définition|titre = Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace|contenu = {{Al|5}}La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math><ref> Exemples <math>\;\big(</math>liste évidemment non exhaustive<math>\big)</math> : les vecteurs champ électrique <math>\;\vec{E}(M)</math>, champ magnétique <math>\;\vec{B}(M)\;</math> ou les vecteurs forces dépendant uniquement de l'espace <math>\;\vec{F}(M)</math>.</ref> le long de la courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> }}est définie, en un point <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> est définie, }}par «<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref> Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace est un vecteur force <math>\;\vec{F}(M)</math>, sa circulation élémentaire le long de la courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> est appelée « travail élémentaire de la force le long de la courbe » et est notée «<math>\;\delta W_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace }}<math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> vecteur déplacement élémentaire le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> à partir de <math>\;M\;</math><ref> Dans le cas d'un point <math>\;M\;</math> anguleux, y définissant deux vecteurs déplacements élémentaires l'un à gauche «<math>\;\overrightarrow{dM^{-}}\;</math>» et l'autre à droite «<math>\;\overrightarrow{dM^{+}}\;</math>», on peut définir, en correspondance, deux circulations élémentaires l'une à gauche «<math>\;\delta^{-} \mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM^{-}}\;</math>» et l'autre à droite «<math>\;\delta^{+} \mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM^{+}}\;</math>».</ref>.}} {{Al|5}}<u>Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet</u><ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentiel|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|formules]]<math>\big]</math>.</ref> : si la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> est paramétrée géométriquement par <math>\;s\;</math> l'abscisse curviligne de ses points, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> est paramétrée géométriquement par <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> à partir de <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> est paramétrée géométriquement par <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\, \vec{\tau}(s)\;</math>» où «<math>\;\vec{\tau}(s)\;</math> est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet »<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="vecteur unitaire tangentiel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : }}la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> se réécrivant selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}\! \left[ M(s) \right]\! \cdot\! ds\, \vec{\tau}(s) = \left\lbrace \vec{A}\! \left[ M(s) \right]\! \cdot\! \vec{\tau}(s) \right\rbrace ds\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}_{(\Gamma)}\! \left[ \vec{A}(M) \right]}</math> }}est une « ''forme différentielle de la variable''<math>\;s\;</math>»<ref> C.-à-d. le produit d'une fonction scalaire de l'unique variable <math>\;s\;</math> par l'élément différentiel de cette variable <math>\;ds</math>, cette notion de forme différentielle d'une variable étant introduite au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y, z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>mais restant valable quel que soit le nombre de variables indépendantes y compris dans le cas d'une seule variable<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}Usuellement une forme différentielle de plusieurs variables indépendantes n'est pas une différentielle de fonction de ces variables indépendantes <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Distinction_entre_une_«_forme_différentielle_»_et_une_«_différentielle_de_fonction_scalaire_»_(exposée_dans_le_cas_de_deux_variables_indépendantes)|distinction entre une forme différentielle et une différentielle de fonction scalaire (exposée dans le cas de deux variables indépendantes)]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où la notation particulière utilisant le préfixe <math>\;\delta\;</math> et non l'[[w:Opérateur_(mathématiques)|opérateur]] <math>\;d()</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'une seule variable, il est rare d'utiliser la notion de forme différentielle car le plus souvent celle-ci s'avère être une différentielle de fonction scalaire de la variable <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable|différentielle d'une fonction scalaire d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, il suffit pour cela que la fonction scalaire, cœfficient de l'élément différentiel de la variable dans la forme différentielle, soit intégrable <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : }}celle-ci s'identifie à une « ''différentielle de fonction scalaire de la variable''<math>\;s\;</math>» dès lors que «<math>\;\vec{A}\! \left[ M(s) \right]\! \cdot\! \vec{\tau}(s)\;</math> est une fonction intégrable de <math>\;s\;</math>». == Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue == {{Al|5}}Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> est une intégrale d'une fonction scalaire<ref name="vectorielle"> Pouvant être vectorielle.</ref> définie en suivant la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2</math>. {{Al|5}}Il y a deux types d'intégrales curvilignes d'une fonction scalaire sur une portion de courbe continue possibles<ref> Nous supposons la courbe paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> de ses points, mais il pourrait y avoir un autre paramétrage et même ne pas y avoir de paramétrage comme dans le cas des intégrales curvilignes du 2^ème type.</ref> : === Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue === {{Al|5}}Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire <math>\;f\;</math> ou vectorielle <math>\;\vec{A}\;</math> d'un point <math>\;M\;</math> assujetti à se déplacer sur une courbe continue <math>\;(\Gamma)</math> : * «<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} f\! \left[ M(s) \right] ds\;</math>» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace <math>\;f(M)\;</math><ref> On a aussi le cas <math>\;\big(</math>plus rare<math>\big)\;</math> de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}_{\mathit{l}}(M)\;</math> donnant «<math>\;\delta \vec{\mathcal{A}} = \vec{A}_{\mathit{l}}(M)\; ds\;</math>» où «<math>\;\vec{A}_{\mathit{l}}(M)\;</math> est la densité linéique du champ vectoriel <math>\;\vec{\mathcal{A}}_{(\Gamma)}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\vec{A}_{\mathit{l}}(M)</math>}} <math>= \dfrac{\delta \vec{\mathcal{A}}}{ds}\;</math>», l'intégrale s'écrivant «<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} \vec{A}_{\mathit{l}}\! \left[ M(s) \right] ds\;</math>».</ref>, usuellement appelée « densité linéique de » <math>\ldots\;</math><ref> Par exemple si <math>\;f(M) = \dfrac{dm}{ds}\;</math> correspondant à une densité linéique de masse <math>\;\big(</math>ou masse linéique<math>\big)\;</math> exprimée en <math>\;kg\! \cdot\! m^{-1}</math>, l'intégrale curviligne définit la masse de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Par exemple }}si <math>\;f(M) = 1\;</math> sans unité, l'intégrale curviligne définit la longueur de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes.</ref>, * «<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math>» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace <math>\;\vec{A}(M)</math>, <br>l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math>», laquelle est notée «<math>\;\mathcal{C}_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math>»<ref> Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace serait un vecteur force <math>\;\vec{F}(M)</math>, l'intégrale curviligne définit « le travail de la force le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math>» noté «<math>\;W_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2}\! \left[ \vec{F}(M) \right]\;</math>».</ref>. === Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue === {{Al|5}}Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de <math>\;M\;</math> sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un }}ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne <math>\;s\;</math><ref> À condition que l'on sache la calculer <math>-</math> ce qui sera le cas pour les courbes les plus simples comme les droites ou les cercles.</ref> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être }}« temporel » si on connaît le mouvement du point <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)</math>, le paramètre étant alors <math>\;t</math> ; {{Al|5}}dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, <math>\;s_1\;</math> et <math>\;s_2\;</math> étant respectivement les abscisses curvilignes de <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;(\Gamma)</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, }}<math>\bullet\;</math>pour le 1^er type d'intégrale curviligne, on obtient «<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} f\! \left[ M(s) \right] ds = \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} f\! \left[ M(s) \right] ds\;</math>»<ref> Ou, dans le cas <math>\;\big(</math>plus rare<math>\big)\;</math> de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}_{\mathit{l}}(M)\;</math> <math>\big[</math>voir la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#cite_note-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} \vec{A}_{\mathit{l}}\! \left[ M(s) \right] ds = \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} \vec{A}_{\mathit{l}}\! \left[ M(s) \right] ds\;</math>».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, }}<math>\bullet\;</math>pour le 2^ème type d'intégrale curviligne «<math>\;\displaystyle\int_{M_1 \overset{(\Gamma)}{\rightarrow} M_2} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM} = \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} \left\lbrace \vec{A}\! \left[ M(s) \right]\! \cdot\! \vec{\tau}(s) \right\rbrace ds\;</math>». === Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire <math>\;f(M) = 1\;</math> sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur<ref> Une « longueur de portion de courbe » <math>\;\big(</math>sans autre qualificatif<math>\big)\;</math> est en général non algébrisée <math>\;\big(</math>dans le cas contraire on l'appellera « longueur algébrisée de portion de courbe »<math>\big)</math> ; la méthode de calcul d'une longueur de portion de courbe <math>\;\big(</math>donc non algébrisée<math>\big)\;</math> introduisant une longueur d'arc élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une longueur positive, de faire varier le paramètre choisi dans le sens croissant de sa variation.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle<ref> Pour les autres, l'utilisation étant trop rare pour nécessiter de retenir le résultat <math>\;\big(</math>quand celui-ci a été établi<math>\big)</math>, seule la méthode pour l'établir <math>\;\big(</math>ou tenter de l'établir<math>\big)\;</math> doit être connue.</ref>. {{Proposition|titre=À retenir <math>\rightsquigarrow</math> Longueur d'un cercle ou d'un arc de cercle| contenu = {{Al|5}}Longueur d'un arc de cercle de rayon <math>\;R\;</math> vue de son centre <math>\;C\;</math> sous l'angle <math>\;\alpha\;rad\;</math> : «<math>\;\mathcal{L}_{\text{arc de cercle}}(\alpha) = R\,\alpha\;</math>». <br>{{Al|5}}Longueur d'un cercle de rayon <math>\;R\;</math> : {{Al|81}}«<math>\;\mathcal{L}_{\text{cercle}} = 2\,\pi\, R\;</math>»<ref> La longueur du cercle étant un cas particulier de celle d'un arc de cercle avec <math>\;\alpha = 2\,\pi</math>.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Établissement de la longueur d'un arc de cercle</u><math>\;( \mathcal{C} )\;</math><u>de rayon</u><math>\;R\;</math><u>vue de son centre</u><math>\;C\;</math><u>sous l'angle</u><math>\;\alpha\;rad</math> : on utilise le repérage polaire de pôle <math>\;C</math>, «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\alpha\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un arc de cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>vue de son centre<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>sous l'angle<math>\;\color{transparent}{\alpha\;rad}</math> : on utilise le repérage polaire de pôle <math>\;\color{transparent}{C}</math>, }}«<math>\;\rho\;</math> restant égal à <math>\;R\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un arc de cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>vue de son centre<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>sous l'angle<math>\;\color{transparent}{\alpha\;rad}</math> : }}la longueur élémentaire <math>\;ds\;</math> d'arc associé à la variation élémentaire <math>\;d \theta\;</math> d'angle au centre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un arc de cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>vue de son centre<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>sous l'angle<math>\;\color{transparent}{\alpha\;rad}</math> : la longueur élémentaire <math>\;\color{transparent}{ds}\;</math> d'arc }}s'évalue par «<math>\;ds = R\;d \theta\;</math>»<ref name="ds d'un cercle"> En effet «<math>\;\vert ds \vert = \Big\Vert \overrightarrow{dM} \Big\Vert = \Vert R\;d \theta\;\vec{u}_\theta \Vert = R\;\vert d \theta \vert\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> soit, en faisant correspondre le sens «<math>\;+\;</math>» sur <math>\;\left( \mathcal{C} \right)\;</math> et celui des angles du plan du cercle, «<math>\;ds = R\;d \theta\;</math>» qui sera <math>\;> 0\;</math> si <math>\;\theta\,\nearrow</math>.</ref> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un arc de cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>vue de son centre<math>\;\color{transparent}{C}\;</math>sous l'angle<math>\;\color{transparent}{\alpha\;rad}</math> : }}la longueur de l'arc de cercle <math>\;\overset{\frown}{AB}\;</math> se calcule par «<math>\;\displaystyle\int_{A\, \overset{(\mathcal{C})}{\rightarrow}\, B} ds = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} R\;d \theta = R\;\alpha\;</math>». {{Al|5}}<u>Établissement de la longueur d'un cercle</u><math>\;( \mathcal{C} )\;</math><u>de rayon</u><math>\;R</math> : on utilise le même repérage polaire de pôle <math>\;C</math> <math>\;\big(</math>le centre du cercle<math>\big)</math>, «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : on utilise le même repérage polaire de pôle <math>\;\color{transparent}{C}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>le centre du cercle<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\rho\;</math> restant égal à <math>\;R\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}la longueur élémentaire <math>\;ds\;</math> d'arc associé à la variation élémentaire <math>\;d \theta\;</math> d'angle au centre s'évalue par «<math>\;ds = R\;d \theta\;</math>»<ref name="ds d'un cercle" /> et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de la longueur d'un cercle<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{C} )}\;</math>de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}la longueur du cercle se calcule par «<math>\;\displaystyle\oint_{(\mathcal{C})} ds = \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} R\;d \theta = 2\;\pi\;R\;</math>»<ref name="intégrale curviligne sur une courbe fermée"> on note l'intégrale curviligne en ajoutant un <math>\;O\;</math> sur l'intégrale simple quand celle-ci se fait sur une courbe fermée selon «<math>\;\oint\;</math>».</ref>. {{Al|5}}<u>Autres exemples</u> : <math>\blacktriangleright\;</math><u>Longueur d'un arc de la parabole</u><math>\;( \mathcal{P} )\;</math><u>d'équation cartésienne</u><math>\;y = a\;x^2\;</math><math>\big(</math><u>avec</u><math>\;a > 0\big)\;</math><u>entre son sommet</u><math>\;O\;</math><u>et un point</u><math>\;M_0\;</math><u>d'abscisse</u><math>\;x_0 > 0\;</math><u>quelconque</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}le vecteur déplacement élémentaire en <math>\;M\;</math> quelconque le long de <math>\;( \mathcal{P} )\;</math> étant «<math>\;\overrightarrow{dM} = \left[ \vec{u}_x + 2\, a\, x\, \vec{u}_y \right] dx\;</math>»<ref> Le point générique <math>\;M\;</math> de la parabole <math>\;( \mathcal{P} )\;</math> ayant ses coordonnées <math>\;( x\,,\, y )\;</math> liées par l'équation cartésienne dans le plan <math>\;xOy\;</math> de la parabole <math>\;( \mathcal{P} )\;</math> soit <math>\;y = a\;x^2\;</math> et <br>{{Al|3}}le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> le long de <math>\;( \mathcal{P} )\;</math> à partir de <math>\;M\;</math> se définissant par <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y\;</math> se réécrit <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + y'(x)\;dx\;\vec{u}_y = \left[ \vec{u}_x + y'(x)\, \vec{u}_y \right] dx\;</math> dans lequel <math>\;y'(x)\;</math> est la dérivée par rapport à <math>\;x\;</math> de l'équation cartésienne de la parabole soit <math>\;y'(x) = 2\;a\;x</math>. <br>{{Al|3}}Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Application_au_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe|application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe]] (en représentation cartésienne) » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}la longueur élémentaire en ce même point <math>\;M\;</math> se calcule par «<math>\;\vert ds \vert = \Big\Vert \overrightarrow{dM} \Big\Vert = \sqrt{1 + 4\;a^2\;x^2}\;\vert dx \vert\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}en orientant <math>\;( \mathcal{P} )\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des <math>\;x</math>, par «<math>\;ds = \sqrt{1 + 4\;a^2\;x^2}\; dx\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}la longueur de l'arc de parabole <math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )}\;</math> égale à «<math>\;\displaystyle\int_{O\, \overset{(\mathcal{P})}{\rightarrow}\, M_0} ds = \displaystyle\int_{0}^{x_0} \sqrt{1 + 4\;a^2\;x^2}\; dx\;</math>» s'évalue en faisant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}un 1^er changement de variable <math>\;u = 2\;a\;x\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dx = \dfrac{du}{2\;a}\;</math> soit «<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{1}{2\;a}\;\displaystyle\int_{0}^{u_0} \sqrt{1 + u^2}\; du\;</math>» avec «<math>\;u_0 = 2\;a\;x_0\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}un 2^nd changement de variable <math>\;u = \sinh(\xi)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c l}\sqrt{1 + u^2} \!\!&=&\!\! \sqrt{1 + \sinh^2(\xi)} \!\!&=&\!\! \cosh(\xi)\\ du \!\!&=&\!\! \cosh(\xi)\;d \xi \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="fonctions hyperboliques directes"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Sinus_hyperbolique|sinus hyperbolique]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Cosinus_hyperbolique|cosinus hyperbolique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Liens_entre_cosinus_hyperbolique_et_sinus_hyperbolique|liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{1}{2\;a}\;\displaystyle\int_{0}^{\xi_0} \cosh^2(\xi)\;d \xi\;</math>» avec <math>\;\xi_0 = \mathrm{argsinh}(u_0)\;</math><ref name="fonctions hyperboliques inverses"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Fonction_argument_sinus_hyperbolique|fonction argument sinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et, avec la relation de duplication «<math>\;\cosh^2(\xi) = \dfrac{1 + \cosh(2\;\xi)}{2}\;</math>»<ref name="relation de duplication en trigonométrie hyperbolique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Relations_d'addition_et_de_duplication|relations d'addition et de duplication]] (en trigonométrie hyperbolique) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{1}{4\;a}\;\displaystyle\int_{0}^{\xi_0} d \xi + \dfrac{1}{8\;a}\;\displaystyle\int_{0}^{\xi_0} \cosh(2\;\xi)\; d (2\;\xi)\;</math>» ce qui s'intègre en «<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{\xi_0}{4\;a} + \dfrac{\sinh(2\;\xi_0) - 0}{8\;a}\;</math>»<ref name="fonctions hyperboliques directes" /> ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}avec «<math>\;\sinh(2\;\xi_0) = 2\;\sinh(\xi_0)\;\cos(\xi_0)\;</math>»<ref name="relation de duplication en trigonométrie hyperbolique" />, «<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{\xi_0 + \sinh(\xi_0)\;\cos(\xi_0)}{4\;a}\;</math>» soit enfin, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}avec <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c} \xi_0 \!\!&=&\!\! \mathrm{argsinh}(u_0) \!\!&=&\!\! \mathrm{argsinh}(2\;a\;x_0)\\ \sinh(\xi_0) \!\!&=&\!\! u_0 \!\!&=&\!\! 2\;a\;x_0\\ \cosh(\xi_0) \!\!&=&\!\! \sqrt{1 + \sinh^2(\xi_0)} \!\!&=&\!\! \sqrt{1 + 4\;a^2\;x_0^2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="lien entre cosinus et sinus hyperboliques"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Liens_entre_cosinus_hyperbolique_et_sinus_hyperbolique|liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{\mathrm{argsinh}(2\;a\;x_0) + 2\;a\;x_0\;\sqrt{1 + 4\;a^2\;x_0^2}}{4\;a}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «<math>\;\mathrm{argsinh}(2\;a\;x_0) = \ln\! \left[ 2\;a\;x_0 + \sqrt{1 + 4\;a^2\;x_0^2} \right]\;</math>»<ref name="forme logarithmique de argument sinus hyperbolique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Fonction_argument_sinus_hyperbolique|fonction argument sinus hyperbolique]] (forme logarithmique) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la parabole<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{P} )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{OM_0}_{( \mathcal{P} )} = \dfrac{\ln\! \left[ 2\;a\;x_0 + \sqrt{1 + 4\;a^2\;x_0^2} \right] + 2\;a\;x_0\;\sqrt{1 + 4\;a^2\;x_0^2}}{4\;a}\;</math>»<ref> On vérifie l'homogénéité du résultat, <math>\;2\;a\;x_0\;</math> étant sans dimension et <math>\;a\;</math> homogène à l'inverse d'une longueur.</ref>.</center> {{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Longueur d'un arc de la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]]</u><math>\;( \mathcal{S}p )\;</math><u>d'équation polaire</u><math>\;\rho = \rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\;</math><math>\big(</math><u>avec</u><math>\;k > 0\;</math><ref name="justification du nom spirale logarithmique"> « La fonction <math>\;f(\theta) = \exp\! \left( k\;\theta \right)\;</math> ayant pour logarithme <math>\;\ln\! \left[ f(\theta) \right] = k\;\theta\;</math>» peut se réécrire, on posant «<math>\;k = \ln(b)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ln\! \left[ f(\theta) \right] = \theta\;\ln(b) = \ln\! \left[ b^\theta \right]\;</math>», selon «<math>\;f(\theta) = b^\theta\;</math>».</ref><math>\big)\;</math><u>entre</u><math>\;A\, \left( \theta_A = 0 \right)\;</math><u>et</u><math>\;M_0\;</math><u>d'abscisse angulaire</u><math>\;\theta_0 > 0\;</math><u>quelconque</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}le vecteur déplacement élémentaire en <math>\;M\;</math> quelconque le long de <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> s'évaluant selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\, \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\,\vec{u}_\theta\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}après différenciation et factorisation «<math>\;\overrightarrow{dM} = \rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\, \left[ k\;\vec{u}_\rho + \vec{u}_\theta \right]\, d \theta\;</math>»<ref> De cette expression de vecteur déplacement élémentaire le long de la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> nous en déduisons l'inclinaison locale de ce dernier relativement au vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;\alpha =</math>}} <math>\widehat{\left\lbrace \overrightarrow{OM}\,,\, \overrightarrow{dM} \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_\rho \color{transparent}{\Big[}\color{black},\; \left[ k\;\vec{u}_\rho + \vec{u}_\theta \right]\, d \theta \right\rbrace}\;</math>» ou, <math>\;d \theta\;</math> étant <math>\;> 0</math>, «<math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{1}{k} \right) = cste\;</math>» <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangent : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ceci constituant une propriété de la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;\bigg\{</math>pour traduire cette propriété, l'équation polaire de la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] est parfois écrite en fonction de l'angle <math>\;\alpha\;</math> constant d'inclinaison de sa tangente relativement au rayon vecteur <math>\Rightarrow</math> «<math>\;k = \dfrac{1}{\tan(\alpha)} = \cot(\alpha)\;</math>» soit l'équation polaire sous la forme {{Nobr|«<math>\;\rho =</math>}} <math>\rho_0\;\exp\! \left[ \cot(\alpha)\;\theta \right]\;</math>»<math>\bigg\}</math>.</ref>, nous en déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}la longueur élémentaire en ce même point <math>\;M\;</math> «<math>\;\vert ds \vert = \Big\Vert \overrightarrow{dM} \Big\Vert = \rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\,\sqrt{k^2 + 1}\;\vert d \theta \vert\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}en orientant <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des <math>\;\theta</math>, «<math>\;ds = \sqrt{1 + k^2}\;\rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right) \,d \theta\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}la longueur de l'arc de [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;\overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )}\;</math> égale à «<math>\;\displaystyle\int_{A\, \overset{(\mathcal{S}p)}{\rightarrow}\, M_0} ds = \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \sqrt{1 + k^2}\;\rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\, d \theta\;</math>» valant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )} = \dfrac{\sqrt{1 + k^2}\;\rho_0}{k}\;\displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \exp\! \left( k\;\theta \right)\, d \left( k\;\theta \right) = \dfrac{\sqrt{1 + k^2}\;\rho_0}{k}\; \left[ \exp\! \left( k\;\theta \right) \right]_{0}^{\theta_0}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )} = \rho_0\;\dfrac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\; \left[ \exp\! \left( k\;\theta_0 \right) - 1 \right]\;</math>»<ref> Cette longueur d'arc de [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> « diverge quand <math>\;\theta_0 \rightarrow +\infty\;</math>».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}la longueur d'un arc de [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> d'équation polaire <math>\;\rho = \rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\;</math> <math>\big(</math>avec<math>\;k > 0\;</math><ref name="justification du nom spirale logarithmique" /><math>\big)\;</math> entre <math>\;A\, \left( \theta_A = 0 \right)\;</math> et <math>\;M_0\;</math> d'abscisse angulaire <math>\;\theta_0 < 0\;</math> quelconque <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que <math>\;d \theta\;</math> est <math>\;< 0\;</math> ce qui entraîne les modifications suivantes : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}«<math>\;\vert ds \vert = \rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\,\sqrt{k^2 + 1}\;\vert d \theta \vert = -\rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\,\sqrt{k^2 + 1}\; d \theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )} = \displaystyle\int_{A\, \overset{(\mathcal{S}p)}{\rightarrow}\, M_0} \vert ds \vert = \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} -\sqrt{1 + k^2}\;\rho_0\;\exp\! \left( k\;\theta \right)\, d \theta = -\dfrac{\sqrt{1 + k^2}\;\rho_0}{k}\; \left[ \exp\! \left( k\;\theta \right) \right]_{0}^{\theta_0}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'un arc de la spirale logarithmique<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{S}p )}\;</math>}}«<math>\;\overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )} = \rho_0\;\dfrac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\; \left[ 1 - \exp\! \left( k\;\theta_0 \right) \right]\; \rightarrow\; \rho_0\;\dfrac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\;</math> quand <math>\;\theta_0 \rightarrow -\infty\;</math>»<ref> Tenant compte de la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#cite_note-67|⁶⁷]] » exposée plus haut dans ce chapitre faisant intervenir l'angle <math>\;\alpha\;</math> d'inclinaison de la tangente à la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> relativement au rayon vecteur <math>\;\big[</math>la tangente restant orientée dans le sens <math>\;+\;</math> choisie sur <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> dans le sens des <math>\;\theta \nearrow\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;k = \cot(\alpha)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>l'équation polaire de <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> s'écrivant alors sous la forme «<math>\;\rho = \rho_0\;\exp\! \left[ \cot(\alpha)\;\theta \right]\;</math>»<math>\Big\}</math>, la limite de la longueur de l'arc de la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> quand <math>\;\theta_0 \rightarrow -\infty\;</math> peut se réécrire «<math>\;\lim\limits_{\theta_0\,\rightarrow\,-\infty} \overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )} = \rho_0\;\dfrac{\sqrt{1 + k^2}}{k} = \rho_0\;\dfrac{\sqrt{1 + \cot^2(\alpha)}}{\cot(\alpha)} = \rho_0\;\sqrt{\dfrac{1}{\cot^2(\alpha)} + 1} =</math> <math>\rho_0\;\sqrt{\tan^2(\alpha) + 1}\;</math>» ou, avec <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}</math>, «<math>\;\lim\limits_{\theta_0\,\rightarrow\,-\infty} \overset{\frown}{AM_0}_{( \mathcal{S}p )} = \dfrac{\rho_0}{\cos(\alpha)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la longueur de l'arc de la [[w:Spirale_logarithmique|spirale logarithmique]] <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> entre le point <math>\;A\, \left( \theta_A = 0 \right)\;</math> et le point asymptotique <math>\;O\;</math> vers lequel <math>\;( \mathcal{S}p )\;</math> spirale est finie, sa longueur étant égale à «<math>\;\dfrac{OA_0}{\cos(\alpha)}</math>».</ref>. {{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : }}<math>\blacktriangleright\;</math><u>Longueur d'une ellipse</u><math>\;( \mathcal{E} )\;</math><u>d'équations cartésiennes paramétriques de centre</u><math>\;O</math><u>, d'axe focal</u><math>\;x'x</math><u>, de demi-grand axe</u><math>\;a\;</math><u>et de demi-petit-axe</u><math>\;b\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta)\\ y = b\;\sin(\theta)\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Conséquence_:_équations_paramétriques_d'une_ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|conséquence : équations paramétrique d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\theta\;</math> étant l'abscisse angulaire du point générique <math>\;M_c\;</math> du cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> dont l'ellipse <math>\;( \mathcal{E} )\;</math> est l'image par « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Affinité_d'axe_x'x,_de_direction_y'y_et_de_rapport_k|affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k]]<math>\;= \dfrac{b}{a}\;</math>» <math>\;\big[</math>la définition de l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] étant exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Affinité_d'axe_x'x,_de_direction_y'y_et_de_rapport_k|affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}le vecteur déplacement élémentaire en <math>\;M\;</math> quelconque le long de <math>\;( \mathcal{E} )\;</math> s'évaluant selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dx\, \vec{u}_x + dy\,\vec{u}_y\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en cartésien"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cartésien|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}après différenciation et factorisation «<math>\;\overrightarrow{dM} = \left[ -a\;\sin(\theta)\;\vec{u}_x + b\;\cos(\theta)\; \vec{u}_y \right]\, d \theta\;</math>», nous en déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}la longueur élémentaire en ce même point <math>\;M\;</math> «<math>\;\vert ds \vert = \Big\Vert \overrightarrow{dM} \Big\Vert = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + b^2\;\cos^2(\theta)}\;\vert d \theta \vert\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}en orientant <math>\;( \mathcal{E} )\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des <math>\;\theta</math>, «<math>\;ds = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + b^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta\;</math>» soit, en faisant apparaître l'excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>en orientant <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math> dans le sens <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> des <math>\;\color{transparent}{\theta}</math>, «<math>\;\color{transparent}{ds = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + b^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta}\;</math>» soit, }}<math>\;c\;</math> la distance séparant le centre <math>\;O\;</math> de <math>\;( \mathcal{E} )\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>en orientant <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math> dans le sens <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> des <math>\;\color{transparent}{\theta}</math>, «<math>\;\color{transparent}{ds = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + b^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta}\;</math>» soit, <math>\;\color{transparent}{c}\;</math> la distance séparant }}de l'un ou l'autre de ses foyers<ref name="propriétés d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales prorpiétés d'une ellipse]] (à retenir) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>en orientant <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math> dans le sens <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> des <math>\;\color{transparent}{\theta}</math>, «<math>\;\color{transparent}{ds = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + b^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta}\;</math>» soit, }}en éliminant <math>\;b\;</math> au profit de <math>\;\left( a\,,\, e \right)</math> par <math>\;a^2 = b^2 + c^2\;</math><ref name="propriétés d'une ellipse" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>en orientant <math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math> dans le sens <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> des <math>\;\color{transparent}{\theta}</math>, «<math>\;\color{transparent}{ds = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + b^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta}\;</math>» soit, }}<math>\Rightarrow</math> <math>\;b^2 = a^2 - c^2\;</math> ou, avec <math>\;c = a\;e</math>, «<math>\;b^2 = a^2 \left( 1 - e^2 \right)\;</math>» <br>{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}et, en reportant l'expression de <math>\;b^2\;</math> dans celle de <math>\;ds</math>, «<math>\;ds = \sqrt{a^2\;\sin^2(\theta) + a^2\, \left( 1 - e^2 \right)\,\cos^2(\theta)}\;d \theta = a\;\sqrt{1 - \cos^2(\theta) + \left( 1 - e^2 \right)\,\cos^2(\theta)}\;d \theta\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}soit finalement «<math>\;ds = a\;\sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta\;</math>» d'où la longueur de l'ellipse <math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )}\;</math> se calculant par «<math>\;\displaystyle\oint_{( \mathcal{E} )} ds\;</math><ref name="intégrale curviligne sur une courbe fermée" /> <math>= \displaystyle\int_{0}^{2\,\pi} a\;\sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta =</math> [[File:Longueur d'une ellipse en fonction de e.png|thumb|400px|diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe <math>\;a\;</math> en fonction de son excentricité <math>\;e</math>, <math>\;\bigg[</math>c'est aussi, au facteur multiplicatif <math>\;4\;a\;</math> près, la représentation de la valeur pour <math>\;x = 1\;</math> de l'« [[w:Intégrale_elliptique#Deuxième espèce|intégrale elliptique incomplète de 2^ème espèce]] «<math>\;E(x\,;\,e) =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{\sqrt{1 - e^2\;t^2}}{\sqrt{1 - t^2}}\;dt\;</math>» en fonction de module elliptique <math>\;e\bigg]</math>]] {{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}<math>4\;a\;\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta\;</math>»<ref> En effet la fonction à intégrer est invariante par translation de <math>\;\pi\;</math> <math>\big[</math>correspondant à <math>\;\theta' = \theta + \pi\;</math> et <math>\;\cos(\theta') = -\cos(\theta)\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta = \displaystyle\int_{\pi}^{2\,\pi} \sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta')}\;d \theta'</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}de plus, la fonction à intégrer est invariante par symétrie relativement à <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> <math>\big[</math>correspondant à <math>\;\theta' = \pi - \theta</math>, <math>\;d \theta' = -d \theta\;</math> et <math>\;\cos(\theta') = \cos(\theta)\big]\;</math><math>\Rightarrow</math> <math>\;\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta)}\;d \theta =</math> <math>-\displaystyle\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta')}\;d \theta' = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sqrt{1 - e^2\;\cos^2(\theta')}\;d \theta'</math>.</ref>{{,}}<ref name="non évaluables avec les fonctions usuelles"> Cette intégrale ne peut pas être évaluée en utilisant les fonctions usuelles <math>\;\big(</math>algébriques, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref> ; la longueur de l'ellipse <math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )}\;</math> se réécrit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}en faisant le changement de variable «<math>\;u^2 = \cos^2(\theta)\;</math> avec <math>\;u \geqslant 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;u\;du =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}<math>-2\;\cos(\theta)\;\sin(\theta)\;d \theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;d \theta = -\dfrac{u\;du}{\cos(\theta)\;\sin(\theta)}\;</math>» ou, comme <math>\;\theta \in \left[ 0 \,,\, \dfrac{\pi}{2} \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}<math>\cos(\theta) = u\;</math> permet la simplification suivante «<math>\;d \theta = -\dfrac{du}{\sin(\theta)}\;</math>» et enfin, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}<math>\sin(\theta) \geqslant 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - u^2}</math>, «<math>\;d \theta = -\dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}d'où la longueur de l'ellipse se réécrit «<math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )} = -4\;a\;\displaystyle\int_{1}^{0} \sqrt{1 - e^2\;u^2}\;\dfrac{du}{\sqrt{1 - u^2}}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}<math>= 4\;a\;\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\sqrt{1 - e^2\;u^2}}{\sqrt{1 - u^2}}\;du\;</math>»<ref name="non évaluables avec les fonctions usuelles" /> <math>\;\Bigg[</math>la recherche de la longueur de l'ellipse a <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}l'« [[w:Intégrale_elliptique#Deuxième espèce|intégrale elliptique incomplète de 2^ème espèce]] notée <math>\;E(x\,;\,k)\;</math> et définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>l'«}}<math>\;E(x\,;\,k) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{\sqrt{1 - k^2\;t^2}}{\sqrt{1 - t^2}}\;dt\;</math>»<math>\bigg]\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )} = 4\;a\;\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\sqrt{1 - e^2\;u^2}}{\sqrt{1 - u^2}}\;du</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>l'«<math>\;\color{transparent}{E(x\,;\,k) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{\sqrt{1 - k^2\;t^2}}{\sqrt{1 - t^2}}\;dt}\;</math>»<math>\color{transparent}{\bigg]}\;</math> d'où «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )}}</math> }}<math>= 4\;a\;E(1\,;\, e)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}voir diagramme ci-contre donnant la longueur d'une ellipse de demi-grand axe <math>\;a\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>voir diagramme ci-contre donnant la longueur }}en fonction de son excentricité <math>\;e</math> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}on retrouve la longueur du cercle pour <math>\;e = 0</math>, «<math>\;E(1\,;\, 0)\;</math> valant <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math>» et au fur et à mesure que <math>\;e\;</math> <math>\nearrow</math>, «<math>\;E(1\,;\, e)\;\searrow\;</math><ref> En accord avec le fait que l'ellipse de centre <math>\;O</math>, de demi-grand axe <math>\;a\;</math> image du cercle de centre <math>\;O</math>, de rayon <math>\;a\;</math> par « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Affinité_d'axe_x'x,_de_direction_y'y_et_de_rapport_k|affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k]]<math>\;= \dfrac{b}{a}\;</math>» <math>\;\big[</math>la définition de l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] étant exposée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Affinité_d'axe_x'x,_de_direction_y'y_et_de_rapport_k|affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> est d'une part situé intégralement à l'intérieur du cercle et d'autre part d'autant plus proche de <math>\;x'x\;</math> que <math>\;e\;</math> est plus grand.</ref> c'est-à-dire que <math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )} \searrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>}}par exemple pour <math>\;e = 0,5\;</math> «<math>\;E(1\,;\, e) \simeq 1,4675\;</math> <math>\;\big(</math>le demi-petit axe vaut alors <math>\;b \simeq 0,8660\;a\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )}(e = 0,5) \simeq 0,9342 \times \left( 2\;\pi\;a \right)\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres exemples : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>Longueur d'une ellipse<math>\;\color{transparent}{( \mathcal{E} )}\;</math>par exemple }}pour <math>\;e = 0,8\;</math> «<math>\;E(1\,;\, e) \simeq 1,2763\;</math> <math>\;\big(</math>le demi-petit axe vaut alors <math>\;b \simeq 0,6000\;a\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{L}_{( \mathcal{E} )}(e = 0,8) \simeq 0,8125 \times \left( 2\;\pi\;a \right)\;</math>» <math>\ldots</math> == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs/|Th. de Taylor-Young et DL d'une fonct. d'une var. au voisin. d'une de ses valeurs]] | suivant = [[../Divers repérages d'un point dans l'espace/]] }} 9rab9ffzxl7kzcl3n7xgahkyxtpfq28 0 62112 982813 974050 2026-05-14T11:10:40Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982813 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne/]] | suivant = [[../Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique/]] }} <center>Nous supposerons, dans tout ce chapitre, l'espace « orienté à droite »<ref name="espace orienté à droite"> Voir l'introduction du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Repérage intrinsèque d'un point dans l'espace == {{Définition|titre = Vecteur position d'un point|contenu = {{Al|5}}Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref> Attention à ne pas confondre « référentiel » qui est un objet purement physique <math>\;\big(</math>comme la Terre, un train <math>\ldots\big)\;</math> et « repère » qui est un objet mathématique nécessitant le choix d'une base ; <br>{{Al|3}}dans un repérage intrinsèque nous ne choisissons pas de base et dès qu'une base intervient c'est que nous sommes sortis du repérage intrinsèque <math>\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pratiquement peu de choses sont traitées uniquement en repérage intrinsèque.</ref> par rapport auquel on peut positionner tout point, <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}on y choisit « un point fixe » <math>\;O\;</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}on repère « un point quelconque » <math>\;M\;</math> de l'espace <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> on repère }}dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> de façon intrinsèque <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> on repère }}par le vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> appelé <br>{{Al|9}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace définissant un « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> on repère par }}« vecteur position du point » <math>\;M</math>.}} == Repérage cartésien d'un point dans l'espace == === Choix d'un repère cartésien === {{Al|5}}Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\mathcal{R}</math>, on lui associe un « <u>'''repère cartésien'''</u> » c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, on lui associe }}une « <u>origine</u> » <math>\;O\;</math><u>fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, on lui associe }}une « <u>base orthonormée</u> » <math>\;\big(</math>usuellement directe<ref name="base directe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » ainsi que la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <math>\;\left( \vec{u}_x,\, \vec{u}_y,\, \vec{u}_z \right)\;</math><ref> Définissant la « base cartésienne » du repère <math>\;\big(</math>cartésien<math>\big)</math>.</ref> <u>également fixe</u> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, on lui associe une « }}chaque vecteur de base orientant un axe passant par <math>\;O\;</math> à savoir : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, on lui associe une « chaque vecteur de base }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_x\;</math>» <math>\;\big(</math>axe des abscisses<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, on lui associe une « chaque vecteur de base }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_y\;</math>» <math>\;\big(</math>axe des ordonnées<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un corps physique fixe dans l'espace ayant été défini comme « référentiel d'espace » <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, on lui associe une « chaque vecteur de base }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\;\big(</math>axe des cotes<math>\big)</math>. === Coordonnées cartésiennes d'un point === {{Al|5}}Le vecteur position de <math>\;M\;</math> se décomposant dans la base cartésienne selon <math>\;\overrightarrow{OM} = x\; \vec{u}_x + y\; \vec{u}_y + z\; \vec{u}_z</math>, «<math>\;\left( x,\, y,\, z \right)\;</math> définissent les '''coordonnées cartésiennes''' du point <math>\;M\;</math>»<ref> On constate que les coordonnées cartésiennes du point <math>\;M\;</math> sont <math>-</math> par définition <math>-</math> les composantes cartésiennes du vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}</math>, ceci n'est vrai qu'en repérage cartésien, cela devient faux en repérage local comme cylindro-polaire ou sphérique car les vecteurs de base n'y sont pas choisis fixes.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se décomposant dans la base cartésienne selon <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM} = x\; \vec{u}_x + y\; \vec{u}_y + z\; \vec{u}_z}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\left( x,\, y,\, z \right)}\;</math> définissent les }}<math>\big(x\;</math> abscisse, <math>\;y\;</math> ordonnée et <math>\;z\;</math> cote<math>\big)</math>. {{Propriété| contenu = {{Al|5}}Les coordonnées cartésiennes de <math>\;M\;</math> sont les mesures algébriques de la distance entre l'origine <math>\;O\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les coordonnées cartésiennes de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sont les mesures algébriques de la distance entre }}le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe adapté, <br>{{Al|5}}ainsi : <math>\bullet\;</math>appelant <math>\;M_x\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, l'abscisse de <math>\;M\;</math> est égale à «<math>\;x = \overline{OM_x}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi : }}<math>\bullet\;</math>appelant <math>\;M_y\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{Oy}</math>, l'ordonnée de <math>\;M\;</math> est égale à «<math>\;y = \overline{OM_y}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi : }}<math>\bullet\;</math>appelant <math>\;M_z\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>, la cote de <math>\;M\;</math> est égale à «<math>\;z = \overline{OM_z}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}de plus notant <math>\succ\;</math>«<math>\;M_{xy}\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;xOy\;</math>», on a «<math>\;\overrightarrow{OM_{xy}} = x\, \vec{u}_x + y\, \vec{u}_y\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|de plus notant }}<math>\succ\;</math>«<math>\;M_{yz}\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;yOz\;</math>», on a «<math>\;\overrightarrow{OM_{yz}} = y\, \vec{u}_y + z\, \vec{u}_z\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|de plus notant }}<math>\succ\;</math>«<math>\;M_{zx}\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;zOx\;</math>», on a «<math>\;\overrightarrow{OM_{zx}} = x\, \vec{u}_x + z\, \vec{u}_z\;</math>».}} == Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace == === Principe du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point === [[File:Repérage cylindrique - perspective.jpg|thumb|400px|Vue en perspective du repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> d'un point <math>\;M\;</math>]] {{Al|5}}Appelant <math>\;M_z\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant }}<math>\;M_{xy}\;</math> celui de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;xOy</math>, <br>{{Al|5}}on définit le repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> en conservant la localisation de <math>\;M_z\;</math> par sa cote <math>\;z\;</math> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|on définit le repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}en modifiant celle de <math>\;M_{xy}\;</math> relativement à son repérage cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on définit le repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en modifiant }}<math>M_{xy}\;</math> étant repéré par la distance <math>\;\rho\;</math> le séparant de <math>\;O\;</math> <br>{{Transparent|on définit le repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en modifiant <math>\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> étant repéré }}et par l'angle orienté <math>\;\theta\;</math><ref> Orienté par un vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;xOy\;</math> c.-à-d. par <math>\;\pm \vec{u}_z\;</math> et on choisit usuellement <math>\;\vec{u}_z\;</math> en orientant les angles du plan selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\big[</math>on pourrait <math>\;\big(</math>mais on ne le fera jamais<math>\big)\;</math> choisir <math>\;-\vec{u}_z\;</math> et utiliser la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe|règle de la main gauche]] concernant les bases indirectes » vue dans le même chapitre, cela donnerait la même orientation des angles du plan<math>\big]</math>.</ref> que fait <br>{{Transparent|on définit le repérage cylindro-polaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> en modifiant <math>\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> étant repéré et par l'angle }}<math>\;\overrightarrow{OM_{xy}}\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> ; <br>{{Al|5}}le nom complet du repérage est '''repérage cylindro-polaire''' <math>\;\big(</math>ou '''cylindrique'''<math>\big)\;</math> '''d'axe''' <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>. <br>{{Al|5}}Voir schéma en perspective ci-contre. === Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point === [[File:Repérage cylindrique - vues projetées.jpg|thumb|400px|Vues projetées du repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> d'un point <math>\;M</math> : demi-plan méridien et vue de dessus]] {{Al|5}}Les '''coordonnées cylindro-polaires''' <math>\;\big(</math>ou '''cylindriques'''<math>\big)\;</math> de <math>\;M\;</math> sont <math>\;(\rho,\, \theta,\, z)\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les '''coordonnées cylindro-polaires''' }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\rho = \left\Vert \overrightarrow{OM_{xy}} \right\Vert \geqslant 0\;</math>» sa « ''coordonnée radiale'' »<ref> Ou encore « rayon (polaire) » s'exprimant en <math>\;m</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les '''coordonnées cylindro-polaires''' }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\, \text{,}\, \overrightarrow{OM_{xy}} \right)} \in \left] -\pi\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» sa « ''coordonnée angulaire'' »<ref> Ou « abscisse angulaire » ou encore « angle polaire » s'exprimant en <math>\;rad</math>, sa détermination principale pouvant encore être choisie sur <math>\;\left[ 0\, \text{,}\, +2\, \pi \right[</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les '''coordonnées cylindro-polaires''' }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;z = \overline{OM_z}\;</math>» sa cote ; {{Al|5}}il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, l'un dans le demi-plan méridien <math>\;\theta = cste\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, }}l'autre en vue de dessus <math>\;z = 0\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection, }}voir ci-contre. {{Al|5}}On définit la '''base « cylindro-polaire »''' <math>\;\big(</math>ou '''cylindrique'''<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math> «<math>\;(\vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\theta,\, \vec{u}_z)\;</math> orthonormée directe<ref name="base directe" /> » avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la '''base « cylindro-polaire »''' }}<math>\bullet\;</math>le 1^er vecteur de la base <math>\;\vec{u}_\rho = \dfrac{\overrightarrow{OM_{xy}}}{\rho}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la '''base « cylindro-polaire »''' }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd vecteur de la base <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> « directement <math>\;\perp\;</math> au précédent »<ref> Ce qui signifie que <math>\;\widehat{(\vec{u}_\rho\, \text{,}\, \vec{u}_\theta)} = +\dfrac{\pi}{2}</math>, les angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant orientés par <math>\;\vec{u}_z</math>.</ref> <math>\big(</math>on peut encore le définir par <math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\rho\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la '''base « cylindro-polaire »''' }}<math>\bullet\;</math>le 3^ème vecteur de la base <math>\;\vec{u}_z\;</math> identique au 3^ème vecteur de la base cartésienne ; {{Al|5}}cette base est liée à <math>\;M\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\theta</math> : <math>\bullet\;</math>le 1^er <math>\;\vec{u}_\rho = \vec{u}_\rho(\theta)\;</math> est appelé « ''vecteur radial'' », <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette base est liée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\color{transparent}{\theta}</math> : }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd <math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta(\theta)\;</math> {{Transparent|est appelé}}« ''vecteur orthoradial'' » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette base est liée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\color{transparent}{\theta}</math> : }}<math>\bullet\;</math>le 3^ème constant <math>\;\vec{u}_z\;</math>{{Transparent|est appelé}}« ''vecteur axial'' »<ref> Comme la base orthonormée cartésienne <math>\;(\vec{u}_x,\, \vec{u}_y)</math>, la base orthonormée polaire <math>\;(\vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\theta)\;</math> permet d'exprimer tout vecteur du plan <math>\;xOy</math>, à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.</ref>. === Composantes cylindro-polaires du vecteur position d'un point === {{Al|5}}Le vecteur position du point <math>\;M\;</math> s'écrivant dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{OM} = \rho\, \vec{u}_\rho + z\, \vec{u}_z\;</math>»<ref> Le vecteur position dépend explicitement de <math>\;(\rho,\, z)\;</math> et implicitement de <math>\;\theta\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;\vec{u}_\rho</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}on en déduit que les <u>''composantes radiale et axiale du vecteur position''</u>, respectivement <math>\;\overline{OM_\rho} = \rho\;</math> et <math>\;\overline{OM_z} = z</math>, sont <u>''identiques aux coordonnées radiale et axiale du point''</u>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|on en }}alors que la <u>composante orthoradiale du vecteur position</u> <math>\;\overline{OM_\theta} = 0\;</math> <u>diffère de la coordonnée angulaire</u> <math>\;\theta\;</math> du point<ref> Les composantes cylindro-polaires de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> sont donc <math>\;(\rho,\, 0,\, z)</math>, à distinguer des coordonnées cylindro-polaires de <math>\;M\;</math> qui sont <math>\;(\rho,\, \theta,\, z)</math> <math>\;\big(</math>la 2^ème coordonnée cylindro-polaire étant angulaire ne peut être qualifiée d'« orthoradiale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduites de grandeurs linéaires<math>\big)</math>.</ref>. === Lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point === ==== Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage cartésien ==== {{Al|5}}<u>Vecteurs de base cylindro-polaire</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindrique</u><math>\big)\;</math><u>en fonction des vecteurs de base cartésienne</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_\rho = \quad\;\;\;\cos(\theta)\;\;\; \vec{u}_x +\quad\;\;\;\sin(\theta)\;\;\; \vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta = \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right) \vec{u}_x + \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right) \vec{u}_y \end{array}\right\rbrace</math>, le 3^ème vecteur étant le même ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vecteurs de base cylindro-polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>en fonction des vecteurs de base cartésienne : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_\rho = \;\;\cos(\theta)\; \vec{u}_x + \sin(\theta)\; \vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta = -\sin(\theta)\; \vec{u}_x + \cos(\theta)\; \vec{u}_y \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="Formules trigo"> On utilise les formules de trigonométrie suivantes <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin(\theta)\;</math> et <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos(\theta)\;</math> suivies éventuellement de l'utilisation de la parité de la fonction cosinus <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right) = \sin\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - (-\theta) \right] = \cos(-\theta) = \cos(\theta)\;</math> et de l'imparité de la fonction sinus <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - (-\theta) \right] = \sin(-\theta) = -\sin(\theta)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Coordonnées cylindro-polaires</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindriques</u><math>\big)\;</math><u>en fonction des coordonnées cartésiennes</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \cos(\theta) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\\ \sin(\theta) = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> <math>\;\theta\;</math> étant défini à <math>\;2\, \pi\;</math> près, il faut simultanément les expressions de <math>\;\cos(\theta)\;</math> et <math>\;\sin(\theta)\;</math> pour déterminer la valeur de <math>\;\theta</math>.</ref>, la 3^ème cordonnée étant la même. ==== Repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire ==== {{Al|5}}<u>Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindrique</u><math>\big)</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_x = \quad\;\;\;\cos(-\theta)\;\;\; \vec{u}_\rho +\quad\;\;\;\sin(-\theta)\;\;\; \vec{u}_\theta\\ \vec{u}_y = \cos\! \left( -\theta + \dfrac{\pi}{2} \right) \vec{u}_\rho + \sin\! \left( -\theta + \dfrac{\pi}{2} \right) \vec{u}_\theta \end{array}\right\rbrace</math>, le 3^ème vecteur étant le même ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_x = \cos(\theta)\; \vec{u}_\rho - \sin(\theta)\; \vec{u}_\theta\\ \vec{u}_y = \sin(\theta)\; \vec{u}_\rho + \cos(\theta)\; \vec{u}_\theta \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="Formules trigo" />. {{Al|5}}<u>Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindro-polaires</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindriques</u><math>\big)</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x = \rho\, \cos(\theta)\\ y = \rho\, \sin(\theta)\end{array}\right\rbrace</math>, la 3^ème cordonnée étant la même. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> se suffit à lui-même, il ne faut <u>jamais</u> <math>-</math> sauf dans de très rares cas <math>-</math> <u>transformer le repérage cylindro-polaire en repérage cartésien</u> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on utilise le repérage cylindro-polaire c'est que le traitement dans ce repérage est <u>plus simple</u> que dans le repérage cartésien, et il <u>peut être nettement plus simple</u> ! == Repérage sphérique d'un point dans l'espace == === Principe du repérage sphérique d'un point === [[File:Repérage sphérique - perspective.jpg|thumb|400px|Vue en perspective du repérage sphérique d'un point <math>\;M</math>]] {{Al|5}}Appelant <math>\;M_z\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;M\;</math> sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant }}<math>\;M_{xy}\;</math> celui de <math>\;M\;</math> sur le plan <math>\;xOy</math>, on définit le demi-plan méridien contenant <math>\;(Oz)\;</math> et <math>\;M_{xy}\;</math><ref> Ce demi-plan est parfaitement défini si <math>\;M_{xy} \neq O</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, }}on repère ce demi-plan méridien par l'angle orienté <math>\;\varphi\;</math><ref> Angle orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;xOy\;</math> selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\big[</math>c'est le même vecteur unitaire que celui orientant l'angle <math>\;\theta_{\text{cylindr}}\;</math> du repérage cylindro-polaire, ce n'est pas surprenant puisqu'il s'agit en fait du même angle<math>\big]</math>.</ref> qu'il fait avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère }}le demi-plan méridien de référence <math>\;xOz</math> <math>\;\big(</math>analogue géographique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère le demi-plan méridien de référence <math>\;\color{transparent}{xOz}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>}}de la longitude<math>\big)</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, }}on repère <math>\;M\;</math> dans ce demi-plan méridien <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>par la distance <math>\;r\;</math> séparant <math>\;M\;</math> de <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>analogue géographique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par la distance <math>\;\color{transparent}{r}\;</math> }}de l'altitude augmentée du rayon de la Terre<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}<math>\bullet\;</math>par l'angle orienté <math>\;\theta\;</math><ref> Le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au demi plan méridien et orientant la colatitude reste à préciser, son sens est régi par la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\;\ldots</math></ref> que fait <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> <math>\big(</math>le vecteur position de <math>\;M\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par l'angle }}avec l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math> <math>\;\big(</math>analogue géographique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appelant <math>\;\color{transparent}{M_{xy}}\;</math> celui de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, on repère <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>par l'angle avec l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}</math> <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>analogue }}de la colatitude<math>\big)</math> ; {{Al|5}}on obtient ainsi le '''repérage sphérique''' <math>\;\big(</math>de pôle <math>\;O\;</math> et<math>\big)\;</math><ref name="pôle O omis en repérage sphérique"> Le qualificatif de pôle <math>\;O\;</math> est mis entre parenthèses car le plus souvent omis.</ref> '''d'axe''' <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on obtient ainsi }}ce repérage utilisant une distance non algébrisée et deux angles orientés. {{Al|5}}Voir schéma en perspective ci-contre. === Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point === [[File:Repérage sphérique - vues projetées.jpg|thumb|400px|Vues projetées du repérage sphérique d'un point <math>\;M</math> : demi-plan méridien et vue de dessus]] {{Al|5}}Les '''coordonnées sphériques''' de <math>\;M\;</math> sont <math>\;(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math> avec <math>\bullet\;</math>«<math>\;r = \left\Vert \overrightarrow{OM} \right\Vert \geqslant 0\;</math>» son « ''rayon'' <math>\;\big(</math>''polaire''<math>\big)\;</math>»<ref> Ou encore « coordonnée radiale » s'exprimant en <math>\;m</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les '''coordonnées sphériques''' de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{(r,\, \theta,\, \varphi)}\;</math> avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta = \widehat{\left( \overrightarrow{Oz}\, \text{,}\, \overrightarrow{OM} \right)} \in \left[ 0\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» sa « colatitude »<ref> Domaine de définition large de <math>\;\pi\;</math> seulement car on décrit un demi-plan méridien.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les '''coordonnées sphériques''' de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sont <math>\;\color{transparent}{(r,\, \theta,\, \varphi)}\;</math> avec }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\varphi = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\, \text{,}\, \overrightarrow{OM_{xy}} \right)} \in \left] -\pi\, \text{,}\, +\pi \right]\;</math>» sa « longitude »<ref> Domaine de définition large de <math>\;2\, \pi</math>, on peut choisir encore une détermination comprise entre <math>\;0\;</math> et <math>\;2\, \pi</math>.</ref> ; {{Al|5}}il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection dans le demi-plan méridien <math>\;\varphi = cste\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection }}en vue de dessus <math>\;z = 0\;</math><ref> Le plan <math>\;z = 0\;</math> est encore appelé « plan équatorial ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection }}voir ci-contre <math>\;\big(</math>la base cylindro-polaire y est <br>{{Al|5}}{{Transparent|il faut savoir remplacer le schéma en perspective par deux schémas de projection voir ci-contre <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>la base }}rappelée en marron<math>\big)</math>. {{Al|5}}On définit la '''base « sphérique »''' liée à <math>\;M\;</math> <math>\;(\vec{u}_r,\, \vec{u}_\theta,\, \vec{u}_\varphi)\;</math> orthonormée directe<ref name="base directe" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la '''base « sphérique »''' }}<math>\bullet\;</math>le 1^er vecteur de la base <math>\;\vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{OM}}{r}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la '''base « sphérique »''' }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd vecteur de la base <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans le demi-plan méridien « directement <math>\;\perp\;</math> au précédent »<ref> Ce qui signifie que <math>\;\widehat{(\vec{u}_r\, \text{,}\, \vec{u}_\theta)} = +\dfrac{\pi}{2}</math>, les angles du demi-plan méridien étant orientés par <math>\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> <math>\;\big(</math>on peut encore le définir par <math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\varphi \wedge \vec{u}_r\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|On définit la '''base « sphérique »''' <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le 2^nd vecteur de la base <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> dans le demi-plan méridien « directement <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> au précédent » <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>on peut encore }}avec <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> le 3^ème vecteur de la base<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|On définit la '''base « sphérique »''' }}<math>\bullet\;</math>le 3^ème vecteur de la base <math>\;\vec{u}_\varphi</math> <math>\;\perp\;</math> au demi-plan méridien et orientant ce dernier<ref> Le sens de <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> permet d'obtenir l'orientation de la colatitude <math>\;\theta\;</math> du point considéré selon la « règle de la main droite » ou une autre équivalente vue au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit encore <math>\;\vec{u}_\varphi = \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta\;</math><ref name="3ème vecteur de base sphérique identique au 2ème de base cylincro-polaire"> Ce 3^ème vecteur de base sphérique est identique au 2^ème vecteur de base cylindro-polaire.</ref> ; {{Al|5}}cette base est liée à <math>\;M\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math>, <math>\bullet\;</math>le 1^er <math>\;\vec{u}_r = \vec{u}_r(\theta,\, \varphi)\;</math> est appelé « ''vecteur radial'' », <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette base est liée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> car les deux 1^ers vecteurs de la base dépendent de <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{\varphi}</math>, }}<math>\bullet\;</math>le 2^nd <math>\;\vec{u}_\theta = \vec{u}_\theta(\theta,\, \varphi)</math> {{Transparent|est appelé}} « ''vecteur orthoradial'' »<ref> On pourrait encore l'appeler « vecteur colatitudinal » mais cela n'est pas fait pour des raisons de sonorité de la langue.</ref>{{,}}<ref> Comme la base orthonormée cylindro-polaire <math>\;\left( \vec{u}_z,\, \vec{u}_\rho,\, \vec{u}_{\theta_{\text{cyl}}} = \vec{u}_\varphi \right)</math>, la base orthonormée sphérique <math>\;\left( \vec{u}_r,\, \vec{u}_\theta,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math> permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, en fonction de <math>\;(\vec{u}_z,\, \vec{u}_\rho)\;</math> pour la 1^ère et <math>\;(\vec{u}_r,\, \vec{u}_\theta)\;</math> pour la 2^nde, le demi-plan étant orienté par le même vecteur <math>\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette base est liée à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> car }}le 3^ème vecteur de la base sphérique dépend de <math>\;\varphi\;</math> seul, <math>\bullet\;</math>le 3^ème <math>\;\vec{u}_\varphi = \vec{u}_\varphi(\varphi)\;\,</math>{{Transparent|est appelé}} « ''vecteur longitudal'' »<ref> On aurait pu encore l'appeler « vecteur longitudinal » <math>\;\big(</math>plus harmonieux à l'oreille<math>\big)\;</math> mais cela n'est pas fait car on accorde usuellement un autre sens à « longitudinal » <math>\;\big(</math>celui complémentaire de « transversal »<math>\big)</math>.</ref>. === Composantes sphériques du vecteur position d'un point === {{Al|5}}Le vecteur position du point <math>\;M\;</math> s'écrivant dans la base sphérique liée à <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{OM} = r\, \vec{u}_r\;</math>»<ref> Le vecteur position dépend explicitement de <math>\;r\;</math> et implicitement de <math>\;(\theta,\, \varphi)\;</math> par l'intermédiaire de <math>\;\vec{u}_r</math>.</ref>, {{Al|5}}on en déduit que la <u>''composante radiale du vecteur position''</u> <math>\;\overline{OM_r} = r</math>, est <u>''identique à la coordonnée radiale du point''</u>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|on en }}alors que les <u>composantes orthoradiale et longitudale du vecteur position</u> <math>\;\overline{OM_\theta} = 0\;</math> et <math>\;\overline{OM_\varphi} = 0\;</math> <u>diffèrent des coordonnées angulaires</u> <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> du point<ref> Les composantes sphériques de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> sont donc <math>\;(r,\, 0,\, 0)</math>, à distinguer des coordonnées sphériques de <math>\;M\;</math> qui sont <math>\;(r,\, \theta,\, \varphi)</math> <math>\;\big(</math>les 2^ème et 3^ème coordonnées sphériques étant angulaires ne peuvent être qualifiées d'« orthoradiale » ni de « longitudale », qualificatif réservé aux grandeurs linéaires ou déduite de grandeurs linéaires en ce qui concerne « orthoradial » et que l'on étendra à « longitudal »<math>\big)</math>.</ref>. === Interprétation géographique du repérage sphérique d'un point === {{Al|5}}Pour un repérage sphérique <math>\;\big(</math>de pôle <math>\;O\;</math> et<math>\big)\;</math><ref name="pôle O omis en repérage sphérique" /> d'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>, l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, <math>\bullet\;</math>«<math>\;r\;</math> est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour un repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}</math>, l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow\;</math>», <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour un repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}</math>, l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\theta\;</math> la colatitude »<ref> En géographie on utilise préférentiellement la latitude notée <math>\;\lambda\;</math> pour repérer le point dans un demi-plan méridien à partir du point d'intersection <math>\;E\;</math> de ce demi-plan avec le plan de l'équateur ; la latitude est orientée en sens inverse de la colatitude c.-à-d. comptée positivement du pôle Sud vers le pôle Nord, elle est définie selon <math>\;\lambda = \widehat{(\overrightarrow{OE}\, {,}\, \overrightarrow{OM})}</math>, nulle quand <math>\;M\;</math> est sur l'équateur, valant <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> au pôle Nord et <math>\;-\dfrac{\pi}{2}\;</math> au pôle Sud ; son lien avec la colatitude est <math>\;\theta = \dfrac{\pi}{2} - \lambda\;</math> donnant effectivement une valeur nulle au pôle Nord, <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à l'équateur et <math>\;\pi\;</math> au pôle Sud.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour un repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}</math>, l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\vec{u}_\theta\;</math> le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud », <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour un repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}</math>, l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\varphi\;</math> la longitude » et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour un repérage sphérique <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> d'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}</math>, l'axe <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Oz}}\;</math> est identifié à l'axe « pôle Sud - pôle Nord » de la Terre, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ». === Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point === ==== Repérage sphérique en fonction du repérage cylindro-polaire ==== {{Al|5}}<u>Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindrique</u><math>\big)</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r l}\vec{u}_r \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_z \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_\rho\\ \vec{u}_\theta \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\; \vec{u}_z \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\; \vec{u}_\rho\\ \vec{u}_\varphi \!\!&=&\!\! & & & \vec{u}_{\theta_{\text{cyl}}}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="3ème vecteur de base sphérique identique au 2ème de base cylincro-polaire" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cylindro-polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r}\vec{u}_r \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_z \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_\rho\\ \vec{u}_\theta \!\!&=&\!\! -\sin(\theta)\; \vec{u}_z \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_\rho \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="Formules trigo" />{{,}}<ref name="3ème vecteur de base sphérique identique au 2ème de base cylincro-polaire" />. {{Al|5}}<u>Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cylindro-polaires</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindriques</u><math>\big)</math> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{r c l l}r \!\!&=&\!\! \sqrt{z^2 + \rho^2}\\ \cos(\theta) \!\!&=&\!\! \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + \rho^2}} \\ \varphi \!\!&=&\!\! & \theta_{\text{cylind}}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="3ème coordonnée sphérique identique à la 2ème cylindro-polaire"> La 3^ème cordonnée sphérique <math>\;\varphi\;</math> étant la même que la 2^nde coordonnée cylindro-polaire <math>\;\theta_{\text{cylind}}</math>.</ref> <math>\big\{</math><math>\theta \in \left[ 0\, {,}\, +\pi \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(\theta)\;</math> suffisant pour déterminer <math>\;\theta\big\}</math>. ==== Repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique ==== {{Al|5}}<u>Vecteurs de base cylindro-polaire</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindrique</u><math>\big)\;</math><u>en fonction des vecteurs de base sphérique</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r l}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos(-\theta)\; \vec{u}_r \!\!&+&\!\! \sin(-\theta)\; \vec{u}_\theta\\ \vec{u}_\rho \!\!&=&\!\! \cos\! \left( -\theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\; \vec{u}_r \!\!&+&\!\! \sin\! \left( -\theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\;\vec{u}_\theta \\ \vec{u}_{\theta_{\text{cyl}}} \!\!&=&\!\! & & & \vec{u}_\varphi\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="3ème vecteur de base sphérique identique au 2ème de base cylincro-polaire" /> ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vecteurs de base cylindro-polaire<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou cylindrique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>en fonction des vecteurs de base sphérique : }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_r \!\!&-&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_\theta\\ \vec{u}_\rho \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_r \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_\theta \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="Formules trigo" />{{,}}<ref name="3ème vecteur de base sphérique identique au 2ème de base cylincro-polaire" />. {{Al|5}}<u>Coordonnées cylindro-polaires</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindriques</u><math>\big)\;</math><u>en fonction des coordonnées sphériques</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r r}z \!\!&=&\!\! r\, \cos(\theta)\\ \rho \!\!&=&\!\! r\, \sin(\theta) \\ \theta_{\text{cylind}} \!\!&=&\!\! & \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="3ème coordonnée sphérique identique à la 2ème cylindro-polaire" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, a priori il est inutile de transformer le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math><ref> Ce n'est guère que dans le cadre de la cinématique quand on s'intéresse au vecteur accélération du point qu'on peut envisager de convertir le repérage sphérique en repérage cylindro-polaire car les expressions du vecteur accélération en repérage sphérique sont très compliquées alors qu'en repérage cylindro-polaire elles le sont nettement moins.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est <u>plus simple</u> que dans le repérage cylindro-polaire, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on utilise le repérage sphérique c'est que le traitement dans ce repérage est plus simple }}exemple d'un déplacement sur une sphère <math>\Rightarrow</math> seules <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> varient ! === Lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point === ==== Repérage sphérique en fonction du repérage cartésien ==== {{Al|5}}<u>Vecteurs de base sphérique en fonction des vecteurs de base cartésienne</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r c r}\vec{u}_r \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_z \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\, \cos(\varphi)\; \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\, \sin(\varphi)\; \vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta \!\!&=&\!\! -\sin(\theta)\; \vec{u}_z \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\, \cos(\varphi)\; \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\, \sin(\varphi)\; \vec{u}_y\\ \vec{u}_\varphi \!\!&=&\!\! & & -\sin(\varphi)\; \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \cos(\varphi)\; \vec{u}_y\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On décompose d'abord les vecteurs de base sphérique dans la base cylindro-polaire puis ces derniers dans la base cartésienne <math>\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Coordonnées sphériques en fonction des coordonnées cartésiennes</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r }r \!\!&=&\!\! \sqrt{z^2 + \rho^2} \!\!&=&\!\! \sqrt{z^2 + x^2 + y^2}\\ \cos(\theta) \!\!&=&\!\! \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + \rho^2}} \!\!&=&\!\! \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + x^2 + y^2}}\\ \cos(\varphi) \!\!&=&\!\! \dfrac{x}{\rho} \!\!&=&\!\! \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\\ \sin(\varphi) \!\!&=&\!\! \dfrac{y}{\rho} \!\!&=&\!\! \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On utilise d'abord le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes.</ref>{{,}}<ref> <math>\;\varphi \in \left] -\pi\, {,}\, +\pi \right]</math>, il faut simultanément les expressions de <math>\;\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;\sin(\varphi)\;</math> pour déterminer la valeur de <math>\;\varphi</math>.</ref>, <math>\big\{</math><math>\theta \in \left[ 0\, {,}\, +\pi \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\cos(\theta)\;</math> suffisant pour déterminer <math>\;\theta\big\}</math>. ==== Repérage cartésien en fonction du repérage sphérique ==== {{Al|5}}<u>Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique</u> : on décompose les vecteurs de base cartésienne dans la base cylindro-polaire <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\vec{u}_z = \vec{u}_z\\ \vec{u}_x = \cos(\varphi)\; \vec{u}_\rho - \sin(\varphi)\; \vec{u}_\varphi\\ \vec{u}_y = \sin(\varphi)\; \vec{u}_\rho + \cos(\varphi)\; \vec{u}_\varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Vecteurs de base cartésienne en fonction des vecteurs de base sphérique : }}la base cylindro-polaire dans la base sphérique <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r c r}\vec{u}_z \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_r \!\!&-&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_\theta & & \\ \vec{u}_x \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\, \cos(\varphi)\; \vec{u}_r \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\, \cos(\varphi)\; \vec{u}_\theta \!\!&-&\!\! \sin(\varphi)\; \vec{u}_\varphi\\ \vec{u}_y \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\, \sin(\varphi)\; \vec{u}_r \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\, \sin(\varphi)\; \vec{u}_\theta \!\!&+&\!\! \cos(\varphi)\; \vec{u}_\varphi\end{array}\right\rbrace</math>. {{Al|5}}<u>Coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques</u> : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r}z \!\!&=&\!\! r\, \cos(\theta) & & \\ x \!\!&=&\!\! \rho\, \cos(\varphi) \!\!&=&\!\! r\, \sin(\theta)\, \cos(\varphi)\\ y \!\!&=&\!\! \rho\, \sin(\varphi) \!\!&=&\!\! r\, \sin(\theta)\, \sin(\varphi)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On utilise d'abord le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindro-polaires avant de se servir du passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le repérage sphérique se suffit à lui-même, il n'est <u>jamais</u> utile de transformer le repérage sphérique en repérage cartésien ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si, dans certains cas, substituer le repérage cylindro-polaire au repérage sphérique s'impose, il ne sera <u>jamais</u> intéressant de remplacer le repérage sphérique par le repérage cartésien. == Vecteur déplacement élémentaire d'un point == === Définition intrinsèque === {{Al|5}}La notion de vecteur déplacement d'un point à partir d'une position quelconque <math>\;M\;</math> nécessite de préciser la position finale <math>\;M_f\;</math> du déplacement, <u>le vecteur déplacement obtenu s'écrivant</u><math>\;\overrightarrow{MM_f}</math> ; <br>{{Al|5}}si la position finale <math>\;M_f\;</math> reste proche de la position initiale <math>\;M</math>, on substitue la notation <math>\;M''\;</math> à celle de <math>\;M_f\;</math> et <u>le vecteur déplacement</u><math>\;\overrightarrow{MM''}\;</math><u>est qualifié de « petit »</u> ; <br>{{Al|5}}pour <math>\;M''\;</math> infiniment proche de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>suivant une direction d'approche fixée<math>\big)</math>, on substitue la notation <math>\;M'\;</math> à celle de <math>\;M''\;</math> et <u>le vecteur déplacement</u><math>\;\overrightarrow{MM'}\;</math><u>est qualifié d'élémentaire</u>. {{Al|5}}Le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{MM'}\;</math> à partir d'une position quelconque <math>\;M\;</math> en suivant une direction fixée peut être considéré aussi comme obtenu en suivant une courbe passant par <math>\;M\;</math><ref> Suivre une certaine direction c'est suivre une certaine droite, donc un cas particulier de suivre une courbe.</ref> ; {{Al|5}}en conclusion <u>la définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir d'une position</u><math>\;M\;</math><u>s'identifie à</u> <br>{{Al|15}}{{Transparent|en conclusion la définition }}<u>celle du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe</u> vue dans le chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<ref name="définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_intrinsèque_du_vecteur_de_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue|définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}{{transparent|en conclusion }}on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme la différentielle du vecteur position dont les valeurs successives décrivent la courbe soit <br>{{Al|5}}{{transparent|en conclusion on y a défini le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue comme }}<math>\;\overrightarrow{MM'} = d\! \left[ \overrightarrow{OM} \right]\;</math> ou simplement «<math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>»<ref> Il est rappelé que ce vecteur est unique à condition que <math>\;M\;</math> ne soit pas un point anguleux de la courbe.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|en conclusion on y a défini }}le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> est <u>tangent à la courbe</u> en <math>\;M</math>, dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{dM} \neq \vec{0}\;</math><ref> On rappelle que, dans le cas général, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue n'est pas nul, ceci n'arrivant que très rarement.</ref>. === Composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point === ==== Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien ==== {{Al|5}}Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit <math>\;\overrightarrow{OM} = x\, \vec{u}_x + y\, \vec{u}_y + z\, \vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z</math>, les vecteurs de la base cartésienne étant constants leur différentielle est nulle. {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> vecteur déplacement élémentaire en repérage cartésien :|contenu = <center> «<math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z\;</math>».</center>}} ==== Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point ==== {{Al|5}}Pour créer un déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> en repérage cartésien, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi : * suivant <math>\;\vec{u}_x</math>, on se déplace selon la droite passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_x\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;y = cste\;</math> et <math>\;z = cste\big)\;</math> du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique <math>\;dx\;</math> d'où <math>\;\overrightarrow{dM_x} = dx\; \vec{u}_x</math>, * suivant <math>\;\vec{u}_y</math>, on se déplace selon la droite passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_y\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;x = cste\;</math> et <math>\;z = cste\big)\;</math> du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique <math>\;dy\;</math> d'où <math>\;\overrightarrow{dM_y} = dy\; \vec{u}_y</math>, * suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, on se déplace selon la droite passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_z\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;x = cste\;</math> et <math>\;y = cste\big)\;</math> du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique <math>\;dz\;</math> d'où <math>\;\overrightarrow{dM_z} = dz\; \vec{u}_z</math>, {{Al|5}}le vecteur déplacement élémentaire étant finalement <math>\;\overrightarrow{dM} = \overrightarrow{dM_x} + \overrightarrow{dM_y} + \overrightarrow{dM_z}\;</math> se réécrit <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z</math>, ses composantes cartésiennes étant donc <math>\;(dx,\, dy,\, dz)</math>. ==== Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe ==== {{Al|5}}Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}y = a\, x^2\\z = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="parabole dans un espace à trois dimensions"> On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations cartésiennes, chaque équation cartésienne caractérisant une surface : <math>\;z = 0\;</math> étant l'équation du plan <math>\;xOy\;</math> et <math>\;y = a\, x^2\;</math> l'équation d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;z'z\;</math> <math>\big(</math>un [[w:Cylindre|cylindre]] étant généré par une droite « [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrice]] » <math>-</math> ici de direction <math>\;z'z\;</math> <math>-</math> se déplaçant le long d'une [[w:Cylindre#Courbes_directrices|courbe « directrice »]] <math>-</math> ici la parabole <math>-</math> le résultat étant encore appelé surface cylindrique<math>\big)</math>.</ref> et différencions ces équations : on obtient alors <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}dy = 2\, a\, x\, dx\\dz = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire le long de la parabole s'explicite en fonction de l'élément différentiel <math>\;dx\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> le vecteur déplacement élémentaire }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y\; \cancel{+\; dz\;\vec{u}_z} = \left[ \vec{u}_x + 2\, a\, x\; \vec{u}_y \right]\, dx\;</math>»<ref> Il suffit de remplacer, dans l'expression générale du vecteur déplacement élémentaire, <math>\;dy\;</math> et <math>\;dz\;</math> par leur expression en fonction de <math>\;dx</math>.</ref> ; <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> }}d'une part il n'existe aucun point de la parabole où le vecteur déplacement élémentaire est nul, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> }}d'autre part, pour <math>\;dx > 0</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> <math>\;\overrightarrow{dM_x}\;</math> est toujours dans le sens de <math>\;\vec{u}_x\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> d'autre part, pour <math>\;\color{transparent}{dx > 0}</math>, }}la composante vectorielle sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> <math>\;\overrightarrow{dM_y}\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{u}_y\;</math> pour <math>\;x < 0</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> d'autre part, pour <math>\;\color{transparent}{dx > 0}</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_y}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM_y}}\;</math> }}s'annule pour <math>\;x = 0\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> d'autre part, pour <math>\;\color{transparent}{dx > 0}</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_y}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM_y}}\;</math> }}est dans le sens de <math>\;\vec{u}_y\;</math> pour <math>\;x > 0</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Considérons la parabole d'équations cartésiennes <math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = a\, x^2 \right\rbrace}\;</math> d'autre part, pour <math>\;\color{transparent}{dx > 0}</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_y}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM_y}}\;</math> }}de norme d'autant plus grande que <math>\;\vert x \vert\;</math> l'est<ref> Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de la parabole, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à la parabole.</ref> <math>\ldots</math> === Composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point === ==== Calcul préliminaire ==== {{Al|5}}Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire <math>\;\big(</math>ou cylindrique<math>\big)\;</math> nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit <math>\;\overrightarrow{OM} = \rho\, \vec{u}_\rho + z\, \vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\; d\! \left[ \vec{u}_\rho \right] + dz\; \vec{u}_z\;</math><ref> Le 1^er vecteur de la base cylindro-polaire dépendant de <math>\;\theta\;</math> sa différentielle n'est pas nulle contrairement au 3^ème vecteur de cette base qui, étant constant, est de différentielle nulle.</ref>. ==== Différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire ==== {{Al|5}}Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne de façon à faire apparaître explicitement l'angle <math>\;\theta\;</math> dont ils dépendent soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour déterminer la différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire, il faut les décomposer dans la base cartésienne }}<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r l}\vec{u}_\rho \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_y\\ \vec{u}_\theta \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_y\\ \vec{u}_z \!\!&=&\!\! & & & \vec{u}_z \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> On écrit <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> sous cette forme car il est directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\rho</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}on utilise <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}d\! \left[ \vec{u}_\rho \right] = \dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \theta}\; d \theta\\d\! \left[ \vec{u}_\theta \right] = \dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\theta \right]}{d \theta}\; d \theta\\d\! \left[ \vec{u}_z \right] = \vec{0}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_intrinsèque_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_d'une_variable|définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec les dérivées par rapport à <math>\;\theta\;</math> des deux 1^ers vecteurs de base égales à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r c r}\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \theta} \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_y \!\!&=&\!\! \vec{u}_\theta\\ \dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\theta \right]}{d \theta} \!\!&=&\!\! \cos\! \left( \theta + \pi \right)\, \vec{u}_x \!\!&+&\!\! \sin\! \left( \theta + \pi \right)\, \vec{u}_y \!\!&=&\!\! -\vec{u}_\rho \end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Pour l'évaluation des dérivées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_de_la_dérivée_et_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_par_choix_d'une_base_dans_l'espace_physique_incluant_l'espace_image_de_la_fonction_vectorielle|définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> En utilisant le fait que les dérivées des fonctions sinus ou cosinus par rapport à leur argument s'obtiennent en augmentant l'argument de <math>\;\dfrac{\pi}{2}</math>.</ref> soit : {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> dérivées des vecteurs de base <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> et <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rapport à <math>\;\theta</math> : |contenu = <center><math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \theta} = \vec{u}_\theta\;</math>{{Al|10}}et{{Al|10}}<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\theta \right]}{d \theta} = -\vec{u}_\rho</math> ;</center> {{Al|5}}quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur initial, ainsi <br>{{Al|5}}dérivant <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rapport à l'angle qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_x</math>, on obtient <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}</math>, <br>{{Al|5}}dérivant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rapport à l'angle qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_y</math>, on obtient <math>\;-\vec{u}_\rho\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}</math> ; <center>on peut encore écrire{{Al|10}}<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \theta} = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\rho = \vec{u}_\theta\;</math>{{Al|10}}et{{Al|10}}<math>\;\dfrac{d\! \left[ \vec{u}_\theta \right]}{d \theta} = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_\theta = -\vec{u}_\rho</math>.</center>}} {{Al|5}}Le report dans les expressions des différentielles nous conduisent à <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}d\! \left[ \vec{u}_\rho \right] = \vec{u}_\theta\; d \theta\\d\! \left[ \vec{u}_\theta \right] = -\vec{u}_\rho\; d \theta\\d\! \left[ \vec{u}_z \right] = \vec{0}\end{array}\right\rbrace</math>. ==== Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire ==== {{Al|5}}On reporte l'expression de <math>\;d\! \left[ \vec{u}_\rho \right]\;</math> dans celle de <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> obtenue en calcul préliminaire et on trouve <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\; \vec{u}_\theta d \theta + dz\; \vec{u}_z</math>. {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire :|contenu = <center> «<math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta + dz\; \vec{u}_z\;</math>».</center>}} ==== Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point ==== {{Al|5}}Pour créer un déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> en repérage cynlidro-polaire, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi : * suivant <math>\;\vec{u}_\rho</math>, on se déplace selon la demi-droite passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_\rho\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;\theta = cste\;</math> et <math>\;z = cste\big)\;</math> du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique <math>\;d \rho\;</math> d'où <br>{{Transparent|suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\rho}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{dM_\rho} = d \rho\; \vec{u}_\rho\;</math>», * suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>, on se déplace selon le cercle passant par <math>\;M\;</math> et d'axe <math>\;Oz\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;\rho = cste\;</math> et <math>\;z = cste\big)\;</math> du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique <math>\;\rho\; d \theta\;</math><ref> La longueur d'un arc de cercle de rayon <math>\;R\;</math> correspondant à un angle au centre <math>\;\alpha\;</math> exprimé en <math>\;rad\;</math> étant <math>\;R\; \alpha</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Exemples_de_longueur_de_courbe_ou_d'arc_de_courbe|exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe]] (à retenir) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Transparent|suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{dM_\theta} = \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta\;</math>», * suivant <math>\;\vec{u}_z</math>, on se déplace selon la droite passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_z\;</math> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;\rho = cste\;</math> et <math>\;\theta = cste\big)\;</math> du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique <math>\;dz\;</math> d'où <br>{{Transparent|suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{dM_z} = dz\; \vec{u}_z\;</math>», {{Al|5}}le vecteur déplacement élémentaire étant finalement <math>\;\overrightarrow{dM} = \overrightarrow{dM_\rho} + \overrightarrow{dM_\theta} + \overrightarrow{dM_z}\;</math> se réécrit «<math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta + dz\; \vec{u}_z\;</math>», ses composantes cylindro-polaires étant donc <math>\;(d \rho,\, \rho\, d \theta,\, dz)</math>. ==== Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires ==== [[File:Hélice circulaire droite.jpg|left|400px]] {{Al|5}}Ci-contre à gauche le tracé d'une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] droite<ref name="hélice circulaire"> Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec <math>\;z \propto \theta\;</math> <math>\big[</math>si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'[[w:Hélice|hélice]] devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\big]</math>, <br>{{Al|3}}elle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ; <br>{{Al|3}}elle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde <math>\;\big(</math>ou encore dans le sens horaire<math>\big)</math>.</ref> d'axe <math>\;z'z</math> ; [[File:Rampe en colimaçon.jpg|right|500px]] {{Al|5}}ci-contre à droite le tracé de la surface d'équation cylindro-polaire « cote <math>\;\propto\;</math> à l'abscisse angulaire » qui est une des deux équations cylindro-polaires définissant l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] droite<ref name="hélice circulaire" /> d'axe <math>\;z'z</math>, l'autre surface étant un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;z'z</math>. {{Al|5}}<u>Vecteur déplacement élémentaire le long d'une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] droite<ref name="hélice circulaire" /> d'axe</u><math>\;z'z\;</math> : Soit l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] d'équations cylindro-polaires «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho = a\\z = h\; \theta \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="courbe dans l'espace à trois dimensions utilisant le repérage cylindro-polaire"> On rappelle qu'une courbe dans l'espace à trois dimensions est caractérisée par deux équations donc ici deux équations cylindro-polaires, chaque équation caractérisant une surface : <br>{{Al|3}}<math>\;\rho = a\;</math> étant l'équation d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;Oz\;</math> et de rayon <math>\;a</math>, <br>{{Al|3}}<math>\;z = h\; \theta\;</math> l'équation d'une surface hors nomenclature mais que l'on pourrait appelée « rampe en colimaçon » <math>\big(</math>elle est constituée de demi-droites <math>\;\perp\;</math> à <math>\;z'z</math>, dans la direction repérée par <math>\;\theta\;</math> et issues du point de l'axe <math>\;z'z\;</math> de côte <math>\;z = h\; \theta\;</math> c.-à-d. de valeur absolue d'autant plus grande que <math>\;\vert \theta \vert\;</math> l'est, voir tracé à droite de celui de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]]<math>\big)</math>.</ref>, nous cherchons à déterminer le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> du point générique <math>\;M\;</math> de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] et pour cela nous différencions les équations de cette dernière : on obtient alors «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}d \rho = 0\\dz = h\; d \theta \end{array}\right\rbrace\;</math>» et le vecteur déplacement élémentaire le long de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] peut s'écrire uniquement en fonction de l'élément différentiel <math>\;d \theta\;</math> selon <br>{{Al|125}}«<math>\;\overrightarrow{dM} = \left[ a\; \vec{u}_\theta + h\; \vec{u}_z \right] d \theta\;</math>»<ref> Ne pas oublier le déplacement <math>\;\overrightarrow{dM_\theta} = \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] droite<ref name="hélice circulaire" /> d'axe</u><math>\;z'z\;</math> : <math>\bullet\;</math>il n'existe aucun point de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] où le vecteur déplacement élémentaire est nul, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe<math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> : }}<math>\bullet\;</math>pour <math>\;d \theta > 0</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\vec{u}_\theta</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_\theta}\;</math> est toujours dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et {{Al|12}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe<math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour <math>\;\color{transparent}{d \theta > 0}</math>, la composante vect }}celle sur <math>\;\vec{u}_z</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_z}\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{u}_z\;</math> pour <math>\;h < 0\;</math><ref name="hélice circulaire gauche"> L'hélice circulaire est alors qualifiée de « gauche ».</ref>, et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe<math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour <math>\;\color{transparent}{d \theta > 0}</math>, la composante vect celle sur <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}</math>, <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM_z}}\;</math> est }}dans le sens de <math>\;\vec{u}_z\;</math> pour <math>\;h > 0\;</math><ref name="hélice circulaire droite"> L'hélice circulaire est alors qualifiée de « droite ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement le long d'une hélice circulaire droite d'axe<math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> : }}<math>\bullet\;</math>la norme du vecteur déplacement élémentaire est indépendante de <math>\;\theta\;</math><ref> Si on essaie d'imaginer l'évolution du vecteur déplacement élémentaire on obtient mentalement l'allure du graphe de l'hélice circulaire, le vecteur déplacement élémentaire étant tangent à l'hélice.</ref> <math>\ldots</math> {{Al|5}}<u>Quelques commentaires sur l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]]</u> : une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] est donc tracée sur un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] avec <math>\;z\; \propto\;</math> à <math>\;\theta</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : }}si on « développe » le [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : si on « développe » le tuyau cylindrique de révolution }}l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] se « développe » en une droite c'est-à-dire en une courbe de « pente constante »<ref> Pour l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] droite étudiée, la pente de la droite correspondant au « développement » de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] est de pente <math>\;\dfrac{\Delta z}{\Delta s}\;</math> où <math>\;\Delta s\;</math> est la longueur de l'arc de cercle de la base du [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] correspondant à la variation <math>\;\Delta z\;</math> ou encore de pente <math>\;\dfrac{h\; \theta}{a\; \theta} = \dfrac{h}{a}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : }}elle est qualifiée de « dextre ou droite » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;z\;</math> et <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\Rightarrow</math> elle « monte » dans le sens trigonométrique<ref> Ou le sens direct ou encore le sens antihoraire ou, mais très peu utilisé, le sens prograde.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « dextre ou droite » si }}un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de gauche à droite » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : }}elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre <math>\;z\;</math> et <math>\;\theta\;</math> est <math>\;< 0</math>, elle « monte » dans le sens anti-trigonométrique<ref> Ou le sens indirect ou encore le sens horaire ou, assez fréquemment utilisé, le sens rétrograde.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : elle est qualifiée de « senestre ou gauche » si }}un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant lui, « monter de droite à gauche » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : }}on définit le pas de l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] par la variation de cote correspondant à un tour complet soit <br>{{Al|4}}{{Transparent|Quelques commentaires sur l'hélice circulaire : on définit }}un pas de <math>\;2\, \pi\, \vert h \vert\;</math> pour une équation cylindro-polaire de rampe en colimaçon <math>\;z = h\; \theta</math>. === Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point === ==== Calcul préliminaire ==== {{Al|5}}Pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique nous différencions le vecteur position exprimé dans ce repérage, sans particulariser le déplacement suivant une courbe, soit <math>\;\overrightarrow{OM} = r\; \vec{u}_r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\; d\! \left[ \vec{u}_r \right]\;</math><ref> Le 1^er vecteur de la base sphérique dépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> sa différentielle n'est pas nulle <math>\;\big(</math>son évaluation étant moins aisée que celle des deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire, nous ne la verrons qu'en complément<math>\big)</math>.</ref>. ==== Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point ==== {{Al|5}}Pour créer un déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> en repérage sphérique, on envisage successivement un déplacement élémentaire le long de chaque vecteur de base, le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> étant la somme de ces trois déplacements élémentaires, ainsi : * suivant <math>\;\vec{u}_r</math>, on se déplace selon la demi-droite passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\parallel</math> à <math>\vec{u}_r\;</math><ref> En repérage géographique le déplacement serait suivant la verticale dans le sens ascendant.</ref> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;\theta = cste\;</math> et <math>\;\varphi = cste\big)\;</math> du « petit segment élémentaire » de longueur algébrique <math>\;dr\;</math> d'où <br>{{Transparent|suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_r}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{dM_r} = dr\; \vec{u}_r\;</math>», * suivant <math>\;\vec{u}_\theta</math>, on se déplace selon le demi-cercle méridien passant par <math>\;M\;</math><ref> En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers le Sud.</ref> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;r = cste\;</math> et <math>\;\varphi = cste\big)\;</math> du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique <math>\;r\, d \theta\;</math><ref> Le rayon du demi-cercle méridien étant <math>\;r\;</math> et la longueur d'un arc de cercle de rayon <math>\;R\;</math> d'angle au centre associé <math>\;\alpha\;</math> exprimé en <math>\;rad\;</math> étant <math>\;R\; \alpha</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Exemples_de_longueur_de_courbe_ou_d'arc_de_courbe|exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe]] (à retenir) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Transparent|suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{dM_\theta} = r\, d \theta\; \vec{u}_\theta\;</math>», * suivant <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, on se déplace selon le cercle « parallèle » passant par <math>\;M\;</math><ref> En repérage géographique le déplacement serait suivant l'horizontale dirigée vers l'Est.</ref> <math>\big(</math>c'est-à-dire d'équations <math>\;r = cste\;</math> et <math>\;\theta = cste\big)\;</math> du « petit arc élémentaire » de longueur algébrique <math>\;\left[ r\, \sin(\theta) \right] d \varphi\;</math><ref> Le rayon du cercle « parallèle » étant <math>\;r\, \sin(\theta)\;</math> <math>\big[</math>voir schéma de profil dans le demi-plan méridien <math>\;\varphi = cste</math>, le rayon y étant <math>\;M_zM \big]\;</math> et la longueur d'un arc de cercle de rayon <math>\;R\;</math> correspondant à un angle au centre <math>\;\alpha\;</math> exprimé en <math>\;rad\;</math> étant <math>\;R\; \alpha</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Exemples_de_longueur_de_courbe_ou_d'arc_de_courbe|exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe]] (à retenir) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où {{Transparent|suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\varphi}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{dM_\varphi} = r\, \sin(\theta)\; \vec{u}_\varphi\;</math>», {{Al|5}}le vecteur déplacement élémentaire étant finalement <math>\;\overrightarrow{dM} = \overrightarrow{dM_r} + \overrightarrow{dM_\theta} + \overrightarrow{dM_\varphi}\;</math> se réécrit «<math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le vecteur déplacement élémentaire étant finalement <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dM} = \overrightarrow{dM_r} + \overrightarrow{dM_\theta} + \overrightarrow{dM_\varphi}}\;</math> }}ses composantes sphériques étant <math>\;\left[ dr,\, r\, d \theta,\, r\, \sin(\theta)\, d \varphi \right]</math>. ==== Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique ==== {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique :|contenu = <center> <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math><ref> Cela est a priori facile de le retrouver par détermination géométrique en cas d'oubli.</ref>.</center>}} ==== Complément : différentielle des vecteurs de base sphérique ==== {{Al|5}}Nous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace utilisant la notion de dérivées partielles vue chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous utilisons la définition de la différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}d\! \left[ \vec{u}_r \right] = \left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi(\theta,\, \varphi)\; d \theta + \left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta(\theta,\, \varphi)\; d \varphi\\d\! \left[ \vec{u}_\theta \right] = \left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi(\theta,\, \varphi)\; d \theta + \left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta(\theta,\, \varphi)\; d \varphi\\ d\! \left[ \vec{u}_\varphi \right] = \dfrac{d\! \left( \vec{u}_\varphi \right)}{d \varphi}(\varphi)\; d \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction vectorielle de l'espace utilisant la notion de dérivées partielles"> Voir, pour les deux 1^ères différentielles, le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champs_(ou_fonctions)_scalaire_et_vectoriel(le)_de_l'espace,_différentielle_d'un_champ_de_deux_variables#Écriture_de_la_différentielle_du_champ_(ou_de_la_fonction)_vectoriel(le)_de_l'espace,_une_base_cartésienne_de_ce_dernier_ayant_été_choisie|écriture de la différentielle du champ (ou de la fonction) vectoriel(le) de l'espace, une base cartésienne de ce dernier ayant été choisie]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » mais ici, les dérivées partielles seront définies à l'aide des coordonnées sphériques et non cartésiennes ; <br>{{Al|3}}voir, pour la 3^ème différentielle, le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Définition_de_la_dérivée_et_de_la_différentielle_d'une_fonction_vectorielle_par_choix_d'une_base_dans_l'espace_physique_incluant_l'espace_image_de_la_fonction_vectorielle|définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. ===== Détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique ===== [[File:Repérage sphérique - vues projetées.jpg|thumb|450px|Vues projetées du repérage sphérique d'un point <math>\;M</math> : demi-plan méridien et vue de dessus]] {{Al|5}}Pour cela on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_r\;</math> dans la base cylindro-polaire <math>\;(\vec{u}_z,\, \vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\varphi)\;</math><ref name="réécriture de la base cylindro-polaire"> On fait une permutation circulaire pour que le 2^ème vecteur de la base cylindro-polaire <math>\;\vec{u}_{\theta_{\text{cyl}}} = \vec{u}_\varphi\;</math> devienne le 3^ème vecteur comme il l'est dans la base sphérique.</ref> soit : <br>{{Al|5}}«<math>\;\vec{u}_r = \cos(\theta)\; \vec{u}_z + \sin(\theta)\; \vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi = \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\; \vec{u}_z + \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\; \vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>»<ref name="varphi figé"> On rappelle que <math>\;\varphi\;</math> est figé pendant la durée de la dérivation c.-à-d. que <math>\;\vec{u}_\rho(\varphi)\;</math> ne varie pas.</ref> d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_r\;</math> c'est-à-dire <math>\;\vec{u}_\theta</math>, en conclusion on a «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi = \vec{u}_\theta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}«<math>\;\vec{u}_r = \cos(\theta)\; \vec{u}_z + \sin(\theta)\; \vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta = \sin(\theta)\; \dfrac{d \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \varphi}\;</math>»<ref name="theta figé"> On rappelle que <math>\;\theta\;</math> est figé pendant la durée de la dérivation.</ref> ou, <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> étant un vecteur unitaire du plan équatorial <math>\;xOy\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \varphi} = \vec{u}_\varphi\;</math><ref name="dériver un vecteur unitaire par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe d'un plan fixe"> On rappelle la propriété établie dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Différentielle_des_vecteurs_de_base_cylindro-polaire|différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire]] (à retenir) » plus haut dans ce chapitre et qui reste applicable ici : « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan fixe par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur initial », ainsi <br>{{Al|3}}dérivant <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rapport à l'angle qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_x</math>, le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> dans le plan équatorial ; <br>{{Al|3}}dérivant <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> par rapport à l'angle qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_y</math>, le plan équatorial les contenant tous deux étant fixe on obtient <math>\;-\vec{u}_\rho\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> dans le plan équatorial. <br>{{Al|3}}Dérivant <math>\;\vec{\tau}\;</math> par rapport à l'angle qu'il fait avec <math>\;\vec{u}_x</math>, le plan de la courbe les contenant tous deux étant fixe on obtient <math>\;\vec{n}\;</math> se déduisant de <math>\;\vec{\tau}\;</math> par rotation de <math>\;+\dfrac{\pi}{2}\;</math> dans le plan de la courbe.</ref>, en conclusion on a «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_r \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta = \sin(\theta)\; \vec{u}_\varphi\;</math>». ===== Détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique ===== {{Al|5}}Pour cela on utilise la décomposition de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> dans la base cylindro-polaire <math>\;(\vec{u}_z,\, \vec{u}_\rho,\, \vec{u}_\varphi)\;</math><ref name="réécriture de la base cylindro-polaire" /> soit : <br>{{Al|5}}«<math>\;\vec{u}_\theta = \cos\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_z + \sin\! \left( \theta + \dfrac{\pi}{2} \right)\, \vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi = \cos\! \left( \theta + \pi \right)\; \vec{u}_z + \sin\! \left( \theta + \pi \right)\; \vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>»<ref name="varphi figé" /> d'où finalement le vecteur unitaire du demi-plan méridien directement <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} <math>\;-\vec{u}_r</math>, en conclusion on a «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \theta} \right]_\varphi = -\vec{u}_r\;</math>» ; <br>{{Al|5}}«<math>\;\vec{u}_\theta = -\sin(\theta)\; \vec{u}_z + \cos(\theta)\; \vec{u}_\rho(\varphi)\;</math>»<ref name="Formules trigo" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta = \cos(\theta)\; \dfrac{d \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \varphi}\;</math>»<ref name="theta figé" /> ou, sachant que <math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\rho \right]}{d \varphi} = \vec{u}_\varphi\;</math><ref name="dériver un vecteur unitaire par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe d'un plan fixe" />, on en déduit en conclusion «<math>\;\left[ \dfrac{\partial \left( \vec{u}_\theta \right)}{\partial \varphi} \right]_\theta = \cos(\theta)\; \vec{u}_\varphi\;</math>». ===== Détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique ===== {{Al|5}}<math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> étant un vecteur unitaire du plan équatorial <math>\;xOy\;</math> et dérivant par rapport à l'angle <math>\;\varphi\;</math> qu'il fait avec la direction <math>\;Oy\;</math> fixe de ce plan <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi} = -\vec{u}_\rho\;</math>»<ref name="dériver un vecteur unitaire par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe d'un plan fixe" /> ; <br>{{Al|5}}il reste alors à décomposer <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> dans la base sphérique<ref> <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> étant un vecteur unitaire du demi-plan méridien, on n'utilise que la partie de base sphérique située dans ce demi-plan à savoir <math>\;(\vec{u}_r,\, \vec{u}_\theta)</math>.</ref>, ce qui donne <math>\;\vec{u}_\rho = \sin(\theta)\; \vec{u}_r + \cos(\theta)\; \vec{u}_\theta\;</math> d'où «<math>\;\dfrac{d \left[ \vec{u}_\varphi \right]}{d \varphi} = -\sin(\theta)\; \vec{u}_r - \cos(\theta)\; \vec{u}_\theta\;</math>». ===== Explicitation des différentielles des vecteurs de base sphérique ===== <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c r c r}d\! \left[ \vec{u}_r \right] \!\!&=&\!\! \vec{u}_\theta\; d \theta \!\!&+&\!\! \sin(\theta)\; \vec{u}_\varphi\; d \varphi\\d\! \left[ \vec{u}_\theta \right] \!\!&=&\!\! -\vec{u}_r\; d \theta \!\!&+&\!\! \cos(\theta)\; \vec{u}_\varphi\; d \varphi\\ d\! \left[ \vec{u}_\varphi \right] \!\!&=&\!\! &-& \left[ \sin(\theta)\; \vec{u}_r + \cos(\theta)\; \vec{u}_\theta \right]\, d \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math>».</center> ==== Complément : détermination du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique par utilisation de la différentielle du 1^er vecteur de base sphérique ==== {{Al|5}}Reprenant le résultat du calcul préliminaire <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\; d\! \left[ \vec{u}_r \right]\;</math> et y reportant <math>\;d\! \left[ \vec{u}_r \right] = \vec{u}_\theta\; d \theta + \sin(\theta)\; \vec{u}_\varphi\; d \varphi\;</math> nous trouvons effectivement <center> «<math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref> Il est rappelé que seule sa détermination géométrique est une exigence.</ref>.</center> ==== Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations sphériques ==== [[File:Loxodromie de la sphère et projetée sur le plan équatorial.jpg|thumb|350px|Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère de pente <math>\;30\;\text{°}\;</math> par rapport aux parallèles <math>\;\big(</math>en rouge<math>\big)\;</math> ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial « la [[w:Spirale_de_Poinsot#Spirale_de_Poinsot_de_type_bornée|spirale de Poinsot bornée]] »<ref name="Poinsot"> '''[[w:Louis_Poinsot|Louis Poinsot]] (1777 - 1859)''' mathématicien français surtout connu pour ses travaux en [[w:Mécanique rationnelle|mécanique rationnelle]] et aussi quelques travaux de géométrie.</ref> <math>\;\big(</math>en vert<math>\big)\;</math>]] {{Al|5}}Considérons la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère de pente <math>\;\dfrac{\pi}{6}\;</math> par rapport aux parallèles <math>\;\big(</math>tracée en rouge sur le schéma ci-contre<math>\big)\;</math> d'équations sphériques <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r = a\\\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="loxodromie dans un espace à trois dimensions en repérage sphérique"> Une [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère est une courbe tracée sur une sphère telle qu'elle coupe les parallèles de cette sphère à angle constant, l'angle valant ici <math>\;30\, \text{°}</math> ; comme toute courbe de l'espace elle est déterminée par deux équations, dans le cas présent deux équations sphériques dont la 1^ère est l'équation de la sphère de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> et la 2^ème l'équation d'une surface hors nomenclature constituée de demi-droites issues de <math>\;O\;</math> caractérisées par sa colatitude <math>\;\theta\;</math> et sa longitude associée <math>\;\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math> <math>\ldots</math> <br>{{Al|3}}Usuellement la 2^ème équation est donnée en fonction de la latitude <math>\;\lambda = \dfrac{\pi}{2} - \theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\lambda}{2}\;</math> soit <math>\;\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\lambda}{2} \right) \right] = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left\lbrace \tan\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\lambda}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math> ou, avec <math>\;\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cot(\alpha) = \dfrac{1}{\tan(\alpha)}</math>, la réécriture de l'équation selon <math>\;\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \dfrac{1}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\lambda}{2} \right)} \right] = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\lambda}{2} \right) \right]</math>.</ref>, pour établir l'expression du vecteur déplacement élémentaire le long de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère au point <math>\;M</math>, nous différencions ses équations et obtenons alors «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}dr = 0\\d \varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \dfrac{d \theta}{2\, \cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\, \tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)} \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="différentielle d'une fonction scalaire d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable|différenteille d'une fonction scalaire d'une variable]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Dérivation de fonctions composées : on dérive le logarithme népérien par rapport à son argument d'où <math>\;\dfrac{1}{\tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}</math>, on multiplie par la dérivée de l'argument <math>\;\tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\;</math> par rapport à l'argument de ce dernier <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> soit <math>\;\dfrac{1}{\cos^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math> et on termine en multipliant par la dérivée de <math>\;\dfrac{\theta}{2}\;</math> par rapport à <math>\;\theta\;</math> soit <math>\;\dfrac{1}{2}\;</math> <math>\ldots</math></ref> ou <math>\;d \varphi = -\dfrac{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, d \theta}{2\, \cos\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)\, \sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}\;</math> ou encore <math>\;d \varphi = -\dfrac{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, d \theta}{\sin(\theta)}\;</math><ref> On utilise la formule de trigonométrie <math>\;2\, \sin(x)\, \cos(x) = \sin(2\, x)</math>.</ref> soit finalement «<math>\;\varphi = \dfrac{-\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\sin(\theta)}\; d \theta\;</math>», d'où le vecteur déplacement élémentaire le long de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère en fonction de l'élément différentiel <math>\;d \theta\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dM} = \left[ a\; \vec{u}_\theta - a\; \sin(\theta)\; \dfrac{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}{\sin(\theta)}\; \vec{u}_\varphi \right] d \theta\;</math>»<ref> Le vecteur déplacement élémentaire suivant <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> étant <math>\;\overrightarrow{dM_\varphi} = r\, \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ne}} pas oublier <math>\;\overrightarrow{dM_\theta} = a\; \vec{u}_\theta\; d \theta\big]\;</math> soit finalement, après une transformation élémentaire, «<math>\;\overrightarrow{dM} = \left[ \vec{u}_\theta - \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \vec{u}_\varphi \right] a\; d \theta\;</math>»<ref> On pourrait s'étonner des signes obtenus mais il ne faut pas oublier que <math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;\dfrac{\pi}{2}\;</math> à <math>\;0</math>, <math>\;d \theta\;</math> est <math>\;< 0</math>, ainsi <br>{{Al|3}}le vecteur déplacement élémentaire selon un demi-cercle méridien <math>\;\overrightarrow{dM_\theta} = a\; \vec{u}_\theta\; d \theta\;</math> est bien en sens contraire de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}celui selon un parallèle <math>\;\overrightarrow{dM_\varphi} = -a\; \tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, d \theta\; \vec{u}_\varphi\;</math> dans le sens de <math>\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ; {{Al|5}}<u>Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire le long de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère de pente</u><math>\;30\;\text{°}\;</math><u>par rapport aux {{Nobr|parallèles</u> :}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire }}<math>\bullet\;</math>il n'existe aucun point de la [[w:Loxodromie|loxodromie]] sphérique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>il n'existe aucun point }}de vecteur déplacement élémentaire nul, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire }}<math>\bullet\;</math>pour <math>\;d \theta < 0</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\vec{u}_\theta</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_\theta}</math>, est toujours dans le sens contraire de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> c'est-à-dire vers le Nord et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour <math>\;\color{transparent}{d \theta < 0}</math>, la composante }}celle sur <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_\varphi}</math>, est dans le sens de <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> c'est-à-dire vers l'Est, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire }}<math>\bullet\;</math>pour <math>\;d \theta > 0</math>, la composante vectorielle sur <math>\;\vec{u}_\theta</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_\theta}</math>, est toujours dans le sens de <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> c'est-à-dire vers le Sud et <br>{{Al|14}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour <math>\;\color{transparent}{d \theta > 0}</math>, la composante }}celle sur <math>\;\vec{u}_\varphi</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_\varphi}</math>, est en sens contraire de <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> c'est-à-dire vers l'Ouest ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Commentaires sur le vecteur déplacement élémentaire }}<math>\bullet\;</math>la norme ainsi que la pente dans le plan tangent à la sphère du vecteur déplacement élémentaire sont indépendantes de <math>\;\theta\;</math><ref> La norme du vecteur déplacement élémentaire étant égale à <math>\;\Vert \overrightarrow{dM} \Vert = \sqrt{ 1^2 + \left[ -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) \right]^2 }\;a\, \vert d \theta \vert = \sqrt{1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\;a\, \vert d \theta \vert = \dfrac{a}{\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)}\,\vert d \theta \vert\;</math> d'après <math>\;1 + \tan^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}\;</math> soit finalement «<math>\;\Vert \overrightarrow{dM} \Vert = 2\;a\;\vert d \theta \vert\;</math>» en utilisant <math>\;\cos\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}\;</math> établissant que «<math>\;\Vert \overrightarrow{dM} \Vert\;</math> est effectivement indépendant de <math>\;\theta\;</math>» ;<br>{{Al|3}}le plan tangent à la sphère au point <math>\;M\;</math> étant de vecteurs de base <math>\;(\vec{u}_\theta,\, \vec{u}_\varphi)</math>, la pente calculée par rapport aux parallèles et comptée positivement vers le Nord est <math>\;\dfrac{-\overline{dM_\theta}}{\overline{dM_\varphi}} = \dfrac{1}{\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} =</math> <math>\mathrm{cotan}\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} \right) = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\;</math> c.-à-d. « une pente effectivement indépendante de <math>\;\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la direction de <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> faisant un angle constant de <math>\;30\, \text{°}\;</math> par rapport aux parallèles.</ref> <math>\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour mieux faire apparaître la [[w:Loxodromie|loxodromie]] de sphère, sa projetée sur le plan équatorial de la sphère a été tracée en vert, elle porte le nom de « [[w:Spirale_de_Poinsot#Spirale_de_Poinsot_de_type_bornée|spirale de Poinsot bornée]] »<ref name="Poinsot" />. == Repérages d'une courbe dans l'espace == === Repérages cartésien, cylindro-polaire ou sphérique d'une courbe === {{Al|5}}Dans un repérage cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut <u>deux équations pour caractériser une courbe</u>, pour mémoire revoir les trois exemples précédemment exposés : [[File:Parabole - perspective.jpg|thumb|left|350px|Parabole en cartésien caractérisée comme intersection d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique et d'un plan<ref name="Valeur de a"> Le tracé a été fait avec «<math>\;a = 1\;</math>» ; la courbe est en rouge.</ref>]] [[File:Hélice circulaire droite - perspective.jpg|thumb|400px|right|[[w:Hélice#Hélice_circulaire|Hélice circulaire]] droite<ref name="hélice circulaire"/> caractérisée comme intersection d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] et d'une « nappe en colimaçon »<ref name="Valeur de a" />]] [[File:Loxodromie sphérique - perspective.jpg|thumb|400px|right|[[w:Loxodromie|Loxodromie]] sphérique caractérisée comme intersection d'une sphère et d'une autre surface hors nomenclature <math>\;\big(</math>ensemble de demi-droites issues de <math>\;O\big)\;</math><ref name="Valeur de a" />]] * la parabole d'équations «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}y = a\, x^2\\z = 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="parabole dans un espace à trois dimensions" /> repérée en cartésien <math>\;\big(</math>ci-contre à gauche<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|la parabole }}la 1^ère équation «<math>\;y = a\, x^2\;</math>» caractérisant un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;z'z\;</math> et <br>{{Transparent|la parabole }}la 2^nde «<math>\;z = 0\;</math>» le plan <math>\;xOy</math> ; * l'[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]] d'équations «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho = a\\z = h\; \theta \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="courbe dans l'espace à trois dimensions utilisant le repérage cylindro-polaire" /> repérée en cylindro-polaire {{Nobr|<math>\;\big(</math>ci-contre}} à droite<math>\big)</math>, <br>{{Transparent|l'hélice circulaire }}la 1^ère équation «<math>\;\rho = a\;</math>» caractérisant un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;z'z\;</math> et de rayon <math>\;a</math>, <br>{{Transparent|l'hélice circulaire }}la 2^nde «<math>\;z = h\; \theta\;</math>» une surface sans nom mathématique mais que l'on pourrait appeler « rampe en colimaçon » constituée de demi-droites <math>\;\parallel\;</math> au plan <math>\;xOy\;</math> issues d'un point de l'axe <math>\;z'z\;</math> de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire <math>\;\big(z\;</math>fonction de <math>\;\theta\big)</math> ; * la [[w:Loxodromie|loxodromie]] sphérique de pente <math>\;\dfrac{\pi}{6}\;</math> par rapport aux parallèles, d'équations <br>{{Al|90}}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r = a\\\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right] \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="loxodromie dans un espace à trois dimensions en repérage sphérique" /> repérée en sphérique <br>{{Al|90}}<math>\;\big(</math>ci-contre à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|90}}{{Transparent|la loxodromie }}la 1^ère équation «<math>\;r = a\;</math>» caractérisant une sphère de centre <br>{{Al|90}}<math>\;O\;</math> dont le rayon est <math>\;a\;</math> et <br>{{Al|90}}{{Transparent|la loxodromie }}la 2^nde «<math>\;\varphi = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\, \ln\! \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right) \right]\;</math>» une surface <br>{{Al|90}}sans nom mathématique constituée de demi-droites issues de <math>\;O\;</math> <br>{{Al|90}}plus ou moins inclinées suivant la valeur de la colatitude <math>\;\theta</math> <br>{{Al|90}}<math>\big(</math>la longitude <math>\;\varphi\;</math> étant fonction de la colatitude <math>\;\theta\big)</math>. <br><br><br><br> === Repérage paramétrique d'une courbe === {{Al|5}}En repérage paramétrique, qu'il soit cartésien, cylindro-polaire ou sphérique, il faut <u>trois équations paramétriques pour caractériser une courbe</u><ref> Pour en déduire deux équations <math>\;\big(</math>non paramétriques<math>\big)\;</math> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques nécessaires à la caractérisation de la courbe, il suffit d'éliminer le paramètre entre ces trois équations paramétriques cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques ; <br>{{Al|3}}les deux équations non paramétriques obtenues ne sont pas uniques, en effet si on nomme <math>\;(1,\, 2,\, 3)\;</math> les équations paramétriques de la courbe, on peut éliminer le paramètre * entre <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(2)</math>, entre <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(3)\;</math> d'où un 1^er couple d'équations non paramétriques possibles ou * entre <math>\;(2)\;</math> et <math>\;(1)</math>, entre <math>\;(2)\;</math> et <math>\;(3)\;</math> d'où un 2^ème couple d'équations non paramétriques possibles ou encore * entre <math>\;(3)\;</math> et <math>\;(1)</math>, entre <math>\;(3)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> d'où un 3^ème couple d'équations non paramétriques possibles.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|En repérage paramétrique, }}ci-dessous un exemple de courbe en repérage paramétrique cartésien<ref> La façon de procéder serait la même en repérage paramétrique cylindro-polaire ou en repérage paramétrique sphérique.</ref> : [[File:Parabole - perspective bis.jpg|thumb|400px|Tracé des deux surfaces <math>\;\big(</math>un plan et un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] coupant le plan<math>\big)\;</math> dont la parabole est l'intersection]] {{Al|5}}Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe <math>\;(\mathcal{T})\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x = \dfrac{t}{2}\\y = t^2 - 1\\z = 2\, t + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>», nous nous proposons d'établir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{T})}\;</math> }}<math>\succ\;</math>le caractère plan de la courbe et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soient les trois équations paramétriques cartésiennes de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{T})}\;</math> }}<math>\succ\;</math>la nature de cette dernière ; * pour démontrer la nature plane de la courbe il faut trouver une relation affine entre <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> <br>{{Transparent|pour démontrer la nature plane de la courbe }}entre les équations paramétriques affines <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(3)\;</math> soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}t = 2\, x,\,\,(1')\\z = 2\; t + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> en <br>{{Transparent|pour démontrer la nature plane de la courbe }}reportant <math>\;(1')\;</math> dans <math>\;(3)</math>, <math>\;z = 2\;(2\,x) + 1\;</math> ou «<math>\;z = 4\;x + 1\;</math>» équation cartésienne <br>{{Transparent|pour démontrer la nature plane de la courbe reportant <math>\;\color{transparent}{(1')}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{(3)}</math>, <math>\;\color{transparent}{z = 2\;(2\,x) + 1}\;</math> ou «<math>\;\color{transparent}{z = 4\;x + 1}\;</math>» équation }}d'un plan, <br>{{Transparent|pour démontrer la nature plane de la courbe }}« plan <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;y'y\;</math> de trace dans le plan <math>\;zOx</math>, la droite d'équation <math>\;z = 4\;x + 1\;</math> <br>{{Transparent|pour démontrer la nature plane de la courbe « plan <math>\;\color{transparent}{\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{y'y}\;</math> }}passant par le point <math>\;(2,\; 0,\; 9)\;</math>»<ref> On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3^ème équation paramétrique selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}t = \dfrac{z - 1}{2}\\x = \dfrac{t}{2}\end{array}\right\rbrace\;</math>» donnant par report «<math>\;x = \dfrac{z - 1}{4}\;</math>» c.-à-d. l'équation cartésienne d'un plan <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;y'y</math> <math>\;\big[</math>il s'agit du même plan que celui trouvé en éliminant le paramètre à l'aide de la 1^ère équation paramétrique<math>\big]</math>.</ref> d'où la nature plane de <math>\;(\mathcal{T})</math> ; * pour déterminer la nature de la courbe il faut établir une 2^ème équation cartésienne de <math>\;(\mathcal{T})</math>, la 1^ère étant celle du plan précédent, <br>{{Transparent|pour déterminer la nature de la courbe }}pour cela, éliminer le paramètre <math>\;t\;</math> entre les équations paramétriques <math>\;(1)\;</math> et <math>\;(2)\;</math> soit <br>{{Transparent|pour déterminer la nature de la courbe }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}t = 2\, x,\,\,(1')\\y = t^2 - 1\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> en reportant <math>\;(1')\;</math> dans <math>\;(2)</math>, <math>\;y = (2\,x)^2 - 1\;</math> ou <br>{{Al|1}}{{Transparent|pour déterminer la nature de la courbe «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace t = 2\, x,\,\,(1') \right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> en reportant <math>\;\color{transparent}{(1')}\;</math> dans <math>\;\color{transparent}{(2)}</math>, }}«<math>\;y = 4\;x^2 - 1\;</math>»<ref> On aurait pu éliminer le paramètre à l'aide de la 3^ème équation paramétrique selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}t = \dfrac{z - 1}{2}\\y = t^2 - 1\end{array}\right\rbrace\;</math>» donnant par report «<math>\;y = \dfrac{(z - 1)^2}{4} - 1 = \dfrac{z^2}{4} - \dfrac{z}{2} - \dfrac{5}{4}\;</math>» c.-à-d. l'équation cartésienne d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;x'x</math>.</ref> équation cartésienne d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;z'z</math> ; <br>{{Transparent|pour déterminer la nature de la courbe }}les deux équations cartésiennes de la courbe <math>\;(\mathcal{T})\;</math> sont «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}z = 4\, x + 1\\ y = 4\, x^2 - 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;(\mathcal{T})\;</math> est l'intersection du [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;z'z\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour déterminer la nature de la courbe les deux équations cartésiennes de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{T})}\;</math> sont «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace y = 4\, x^2 - 1 \right\rbrace}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{T})}\;</math> est l'intersection }}du plan <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;y'y\;</math> passant par le point <math>\;(2,\; 0,\; 9)</math>, <br>{{Transparent|pour déterminer la nature de la courbe }}en conclusion <math>\;(\mathcal{T})\;</math> étant l'intersection d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;z'z\;</math> et d'un plan <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;z'z\;</math> est une <u>parabole</u><ref> En utilisant les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#cite_note-85|⁸⁵]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#cite_note-86|⁸⁶]] » exposées plus haut dans ce chapitre consistant à éliminer <math>\;t\;</math> à l'aide de l'équation paramétrique <math>\;(3)\;</math> on a trouvé pour les deux équations cartésiennes de <math>\;(\mathcal{T})\;</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x = \dfrac{z - 1}{4}\\ y = \dfrac{(z - 1)^2}{4} - 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;(\mathcal{T})\;</math> étant l'intersection d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;x'x\;</math> et d'un plan <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;x'x\;</math> est effectivement une <u>parabole</u> <math>\;\big(</math>bien qu'il s'agisse ici d'un [[w:Cylindre|cylindre]] parabolique distinct de celui intervenant dans le corps du paragraphe, la parabole est évidemment la même<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : utiliser la 2^ème équation paramétrique pour éliminer le paramètre était possible mais aurait été particulièrement maladroit en effet cela aurait conduit à «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}t = \pm \sqrt{y + 1} \\x = \dfrac{t}{2} \\z = 2\, t + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» soient, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par report, les deux équations cartésiennes «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{\sqrt{y + 1}}{2}\\z = \pm 2\, \sqrt{y + 1} + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» dont aucune n'est une relation affine <math>\;\big(</math>bien que la courbe soit plane, elle est déterminée ici <math>-</math> à l'aide de cette <br>{{Al|12}}{{Transparent|Remarque : par report, les deux équations cartésiennes «<math>\;\color{transparent}{\left\lbrace z = \pm 2\, \sqrt{y + 1} + 1 \right\rbrace}\;</math>» dont aucune n'est une relation affine }}élimination maladroite <math>-</math> par l'intersection de deux surfaces non planes<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}les deux équations cartésiennes obtenues en éliminant le paramètre <math>\;t\;</math> à l'aide de la 2^ème équation paramétrique se réécrivant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x^2 = \dfrac{y + 1}{4} \\ z^2 = 4\, (y + 1) + 1 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} x^2 = \dfrac{y + 1}{4} \\ z^2 = 4\, y + 5 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : les deux équations cartésiennes }}ne permettent pas de déterminer le caractère plan de la courbe ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer }}la nature de cette dernière <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer }}car elle est l'intersection de deux [[w:Cylindre|cylindres]] paraboliques de [[w:Génératrice_(mathématiques)|génératrices]] <math>\;\parallel\;</math> respectivement à <math>\;z'z\;</math> et à <math>\;x'x\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : les deux équations cartésiennes ne permettent pas de déterminer car elle est l'intersection de deux cylindres paraboliques }}dont l'intersection nécessiterait une étude plus poussée. == Choix du système de coordonnées adapté au problème == {{Al|5}}Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice <math>\;\big(</math>et a priori vous ne devez en aucun cas en changer<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le plus souvent le système de coordonnées est imposé par le texte de l'exercice }}mais si l'initiative du choix vous est laissée, vous adoptez le système adapté au problème à savoir : * le système de coordonnées <u>cylindro-polaires</u><math>\;\big(</math><u>ou cylindriques</u><math>\big)\;</math> d'axe <math>\;Oz\;</math> pour un problème ayant l'« <u>invariance par symétrie de révolution d'axe</u><math>\;Oz\;</math>» <math>\big(</math>c'est-à-dire un problème invariant par rotation autour de l'axe <math>\;Oz</math>, ne dépendant donc pas de l'abscisse angulaire <math>\;\theta</math>, par exemple l'écoulement de l'eau à l'intérieur d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;Oz\;</math> ou la marche d'une fourmi sur la surface latérale extérieure de ce [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<math>\big)\;</math> ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel <u>le rayon polaire</u><math>\;\rho\;</math><ref> Souvent encore noté <math>\;r</math>, ce qui ne pose aucun problème si le repérage sphérique n'est pas simultanément utilisé.</ref> <u>ne varie pas</u> <math>\big(</math>par exemple la montée d'une fourmi sur une [[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]], courbe tracée sur un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<math>\big)</math>, * le système de coordonnées <u>sphériques</u> de pôle <math>\;O\;</math> pour un problème possédant l'« <u>invariance par symétrie sphérique de centre</u><math>\;O\;</math>» <math>\big(</math>c'est-à-dire un problème invariant par rotation autour de n'importe quel axe passant par <math>\;O</math>, ne dépendant donc pas de la colatitude <math>\;\theta\;</math> et de la longitude <math>\;\varphi\;</math> relativement à un axe quelconque choisi comme axe <math>\;Oz</math>, par exemple <math>-</math> en restant dans le cadre de la « mécanique classique »<ref> C.-à-d. hors [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] <math>\;\big(</math>domaine dans lequel les particules sont considérées comme des ondes de probabilité de présence réparties dans l'espace et non comme des objets y étant parfaitement localisés, les endroits de maximum de probabilité de présence s'identifiant à ce que seraient les trajectoires des particules si elles étaient considérées comme des objets localisés dans l'espace<math>\big)</math>.</ref> <math>-</math> le « mouvement de l'électron dans un atome d'hydrogène autour de son noyau »<ref> Dans le cadre de la mécanique classique, l'électron est une particule quasi-ponctuelle et le noyau aussi, le mouvement ainsi étudié aboutit à certains résultats non observés expérimentalement, le physicien '''[[w:Niels_Bohr|Niels Bohr]]''' a ajouté une condition que le mouvement de l'électron devait suivre pour être en accord avec l'expérience, cette condition porte sur le « [[w:Moment_cinétique#Cas_d'un_point_matériel|moment cinétique]] » de l'électron {{Nobr|<math>\;\big[</math>grandeur}} caractérisant la rotation orbitale de l'électron, cette grandeur étant introduite dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Définition_du_vecteur_«_moment_cinétique_du_point_matériel_M_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_un_point_A_»|définition du vecteur moment cinétique du point matériel M dans le référentiel d'étude par rapport à un point A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qui, selon '''[[w:Niels_Bohr|Niels Bohr]]''', devait être un multiple d'une grandeur connue sous le nom de [[w:Constante_de_Planck#Constante_réduite|constante réduite de Planck]] <math>\;\hbar = \dfrac{h}{2\, \pi}</math>, <math>\;h\;</math> étant la [[w:Constante_de_Planck|constante de Planck]] ; le problème du mouvement de l'électron <math>\;\big(</math>particule ponctuelle<math>\big)\;</math> dans l'atome d'hydrogène avec cette condition de quantification est connu sous le nom de « [[w:Modèle_de_Bohr|modèle de Bohr]] de l'atome d'hydrogène » <math>\;\big(</math>ce qui est extraordinaire c'est que l'on trouve ainsi les bons résultats expérimentaux bien que la condition de quantification du [[w:Moment_cinétique#Cas_d'un_point_matériel|moment cinétique]] de l'électron se soit révélée par la suite fausse <math>\ldots</math> en effet dans le cadre de la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] on peut aussi définir un moment cinétique pour l'onde électronique mais le nombre quantique intervenant n'est pas celui considéré dans le [[w:Modèle_de_Bohr|modèle de Bohr]] de l'atome d'hydrogène, étonnant non !<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Niels_Bohr|Niels Henrik David Bohr]] (1885 - 1962)''', physicien danois, surtout connu pour son apport à la construction de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1922\;</math> « pour ses contributions à la recherche sur la structure des atomes et sur le rayonnement qu'ils émettent » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Max_Planck|Max Karl Ernst Ludwig Planck]] (1858 - 1947)''', physicien allemand, l'un des fondateurs de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], a obtenu le prix Nobel de physique en <math>\;1918\;</math> « pour ses travaux en [[w:Théorie_des_quanta|théorie des quanta]] » ; en son hommage, la période de l'histoire cosmologique suivant immédiatement l'apparition de l'Univers pendant laquelle les quatre interactions fondamentales <math>\;\big(</math>électromagnétisme, interaction faible, interaction forte et gravitation<math>\big)\;</math> n'en formait qu'une, fut baptisée « [[w:Ère_de_Planck|ère de Planck]] », sa durée « [[w:Ère_de_Planck#Durée|temps de Planck]] » étant estimée à <math>\;10^{-43}\;s</math>.</ref> ou le « mouvement d'un satellite autour de la Terre » ou la marche d'une fourmi sur un ballon de {{Nobr|handball<math>\big)\;</math>}} ou pour un problème ne possédant pas cette invariance mais pour lequel le <u>rayon</u><math>\;\big(</math><u>polaire</u><math>\big)</math><math>\;r\;</math><u>ne varie pas</u> <math>\big(</math>par exemple la marche d'une fourmi sur un ballon de handball en rotation autour d'un axe vertical, la rotation rendant la marche moins assurée au niveau équatorial du ballon que près d'un pôle c'est-à-dire que les conditions de maintien sur le ballon dépendent de la colatitude de la fourmi sur le ballon, maintien plus difficile au niveau équatorial qu'à un des pôles<ref> Toutefois le vecteur-accélération d'un point dans le système de coordonnées sphériques étant trop compliqué pour être retenu <math>\;\big(</math>ou trop long à établir pour être retrouvé<math>\big)</math>, on se ramènera au système de coordonnées le plus proche pour appliquer la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> à savoir le repérage cylindro-polaire <math>\ldots</math></ref><math>\big)</math>, * le système de coordonnées <u>cartésiennes</u> pour un problème <u>ne possédant aucune des invariances précédentes</u> et pour lequel on cherche la description du mouvement d'un objet relativement à des plans fixes <math>\big(</math>par exemple le drop d'un ballon de rugby pour savoir si ce mouvement va passer au-dessus de la barre transversale<math>\big)</math>. == En complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe == {{Al|5}}L'introduction du repérage de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentiel|géométrie différentielle]] associées au [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|trièdre (ou base) de Serret-Frenet]] <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces [[w:Repère_de_Frenet#Introduction_du_repère_de_Frenet|formules]]<math>\big]</math>.</ref> est présentée « en complément »<ref> Il n'est donc pas exigible pour un étudiant de classe préparatoire <math>\;\big(</math>option PCSI<math>\big)</math>.</ref>, toutefois il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions utilisées dans la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou la « vitesse lue sur un tachymètre » ou l'« accélération <math>\;\big(</math>tangentielle<math>\big)\;</math> le long d'une courbe »<ref> Traduisant le fait que la vitesse lue sur le tachymètre augmente ou diminue.</ref>. === Rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée === {{Al|5}}Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d'un_point_sur_une_courbe_continue|abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale deFrenet]] »<ref name="Frenet" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ces notions ayant déjà été introduites dans les paragraphes }}du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ces notions ayant déjà été introduites }}seules les grandes lignes sont rappelées ci-dessous : [[File:Vecteur déplacement élémentaire.jpg|thumb|400px|Abscisse curviligne d'un point le long d'une courbe et 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" /> associé <math>\;\big(</math>en marron<math>\big)\;</math>]] {{Al|5}}Sur une courbe continue <math>\;(\Gamma)\;</math> plane ou gauche, on choisit arbitrairement un sens «<math>\;+\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> plane ou gauche, on choisit arbitrairement }}une « origine <math>\;A\;</math>» de mesure des abscisses curvilignes ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue }}le « point générique <math>\;M\;</math>» de <math>\;(\Gamma)\;</math> est repéré par son « abscisse curviligne <math>\;s = \overset{\curvearrowright}{AM}\;</math>» <math>\big[</math>longueur <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue le « point générique <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}algébrique parcourue dans le sens «<math>\;+\;</math>» sur <math>\;(\Gamma)\;</math> à partir de <math>\;A\big]\;</math><ref> La distance non algébrisée séparant <math>\;A\;</math> de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math> étant <math>\;\vert s \vert = \left\vert \overset{\curvearrowright}{AM} \right\vert = \overset{\frown}{AM}</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue }}on définit, en tout point <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux"> En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.</ref> de <math>\;(\Gamma)</math>, un vecteur unitaire <math>\;\vec{\tau}\;</math> tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Sur une courbe continue on définit, en tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> non anguleux de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, un vecteur unitaire <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> }}orienté dans le sens «<math>\;+\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Sur une courbe continue on définit, en tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> non anguleux de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Sur une courbe continue on définit, en tout point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> non anguleux de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}le « 1^er vecteur de la base locale de Frenet »<ref name="Frenet" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue }}mathématiquement la relation <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)\;</math> caractérise la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue mathématiquement la relation <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)}\;</math> }}représente son « équation vectorielle paramétrique » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue }}la définition mathématique du 1^er vecteur de base de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\big(</math>équivalente à la définition précédente<math>\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Sur une courbe continue la définition mathématique du 1^er vecteur de base de Frenet }}est «<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{d \vec{r}}{ds}(s)\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Sur une courbe continue }}le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}(s)\;</math> peut être obtenu en dérivant par rapport <math>\;s\;</math> l'équation vectorielle paramétrique de la courbe <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)</math>. === Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, centre et rayon de courbure en ce point === {{Al|5}}Parmi tous les cercles du plan de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> lui étant tangents en <math>\;M</math>, le <u>[[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]]</u> à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> est celui qui est « <u>localement le plus proche de la courbe</u> »<ref name="cercle osculateur"> Une définition plus précise <math>\;\big(</math>également valable pour une courbe gauche<math>\big)\;</math> pourrait être : soient <math>\;M\;</math> un point de <math>\;(\Gamma)\;</math> et <math>\;M''\;</math> un point voisin de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)</math>, le [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>encore}} appelé cercle de courbure<math>\big)\;</math> de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> au point <math>\;M\;</math> est la limite du cercle passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;M''\;</math> en étant tangent à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> quand <math>\;M''\;</math> tend vers <math>\;M</math>, voir aussi le paragraphe « [[W:Cercle osculateur#Définitions et propriétés|Définitions et propriétés]] » de l'article de « wikipédia » intitulé « [[W:Cercle osculateur|cercle osculateur]] ».</ref>{{,}}<ref> Pour définir un [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] il faut qu'il existe une tangente unique au point <math>\;M</math>, on ne peut donc pas définir un [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] en un point anguleux où existe une tangente à gauche <math>\;\neq\;</math> de la tangente à droite <math>\;\big(</math>mais on peut définir un [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] à gauche et un [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] à droite<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Cas particuliers</u> : <math>\bullet\;</math>si le point <math>\;M\;</math> est un ''<u>[[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de la courbe''</u>, ''le [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] est <u>la tangente</u> elle-même'' c'est-à-dire un cercle de rayon infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particuliers : }}<math>\bullet\;</math>si la courbe est un ''<u>cercle</u>'', ''le [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] en chacun de ses points est <u>le cercle</u> lui-même'' et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particuliers : }}<math>\bullet\;</math>si la courbe est une ''<u>droite</u>'', ''le [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] en chacun de ses points est <u>la droite</u> elle-même'' c'est-à-dire un cercle de rayon infini. {{Al|5}}<u>Autres définitions</u> : <math>\bullet\;</math>le centre <math>\;C\;</math> du [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] à la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> définit le <u>''[[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]]''</u> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres définitions : }}<math>\bullet\;</math>son rayon <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>CM\big)</math>, définit le <u>''[[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]''</u><math>\;\mathcal{R}_M\;</math><ref> Comme <math>\;\mathcal{R}_M = CM \geqslant 0</math>, un [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] est une grandeur positive ou nulle.</ref> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M</math>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Il existe une seule courbe <u>plane</u> à ''[[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] constant'' c'est <u>le ''cercle''</u>. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : La comparaison des [[w:Rayon_de_courbure|rayons de courbure]] d'une courbe plane en ses différents points se fait visuellement de façon relativement aisée, par exemple, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan <math>\;xOy</math>, <math>\;y = a\, x^2</math>, de sommet <math>\;S\, (0,\, 0)\;</math> et de direction asymptotique <math>\;y'y</math>, la concavité étant tournée vers les <math>\;y > 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, <math>\;\color{transparent}{y = a\, x^2}</math>, }}on remarque aisément que le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] est minimale au sommet <math>\;S\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, <math>\;\color{transparent}{y = a\, x^2}</math>, on remarque aisément }}qu'il est d'autant plus grand que le point <math>\;M\;</math> s'éloigne du sommet <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : si on considère la parabole d'équation cartésienne dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, <math>\;\color{transparent}{y = a\, x^2}</math>, on remarque aisément }}<math>\big(</math>le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] tendant vers l'infini pour <math>\;M\;</math> s'éloignant à l'infini du sommet<math>\big)</math>. === Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point === {{Al|5}}Parmi tous les plans tangents en <math>\;M\;</math> à une courbe gauche <math>\;(\Gamma)</math>, le <u>[[w:Plan_osculateur|plan osculateur]]</u> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> est celui qui est « <u>localement le plus proche de la courbe</u> »<ref> Pour définir un [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] il faut bien sûr que les plans tangents existent <math>\big(</math>c.-à-d. qu'il existe une tangente unique au point <math>\;M</math>, tout plan contenant cette tangente <math>-</math> et il y en a une infinité <math>-</math> définissant alors un plan tangent particulier<math>\big)</math>, parmi tous ces plans il en existe un se rapprochant localement le plus de la courbe c'est le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]].</ref>{{,}}<ref> La notion de [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] a été introduite par '''[[w:Alexis_Claude_Clairaut|Alexis Claude Clairaut]] (1713 - 1765)''' <math>\;\big[</math>mathématicien français particulièrement précoce <math>\big(</math>à l'âge de douze ans il écrit un mémoire sur quatre courbes géométriques et entre à l'Académie des Sciences à dix-huit ans<math>\big)</math>, on lui doit des travaux en [[w:Analyse_(mathématiques)|analyse mathématique]], en [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] et en [[w:Géodésie|géodésie]] <math>\;\big(</math>science s'attachant à résoudre les dimensions et la forme de la Terre<math>\big)\big]</math>.</ref> ; cette détermination est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe. {{Al|5}}Parmi tous les cercles tangents à la courbe gauche <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> dans le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] de celle-ci en <math>\;M</math>, le <u>[[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]]</u> est celui qui est « <u>localement le plus proche de la courbe</u> »<ref name="cercle osculateur" /> ; <br>{{Al|5}}on définit alors <math>\;\big(</math>de même que pour une courbe plane<math>\big)</math> : <math>\bullet\;</math>le ''[[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]]'' de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> comme le centre <math>\;C\;</math> du [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|on définit alors <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>de même que pour une courbe plane<math>\color{transparent}{\big)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>le ''[[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]'' <math>\;\mathcal{R}_M\;</math> de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> comme le rayon du [[w:Cercle_osculateur|cercle osculateur]] c'est-à-dire <math>\;\mathcal{R}_M = CM \geqslant 0</math>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : Il existe une seule courbe <u>gauche</u> à ''[[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] constant'' c'est l'''<u>[[w:Hélice#Hélice_circulaire|hélice circulaire]]</u>''. === 2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée === ==== 2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal ==== {{Al|5}}Le 2^ème vecteur de base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> en un point <math>\;M\;</math> de la courbe <math>\;(\Gamma)</math>, noté <math>\;\vec{n}\;</math> et appelé « <u>vecteur</u><math>\;\big(</math><u>unitaire</u><math>\big)\;</math><u>normal principal</u> » <math>\;\big(</math>ou simplement « <u>vecteur normal</u> » pour une courbe plane<math>\big)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}est le « <u>vecteur unitaire porté par la normale principale</u> » à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>c'est-à-dire la direction <math>\;(MC)\;</math> où <math>\;C\;</math> est <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>c'est-à-dire la direction }}le [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] <ref> La normale principale à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> est encore la direction normale dans le [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] ou le plan de la courbe si cette dernière est plane.</ref><math>\big]</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 2^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » }}<u>de sens dirigé vers le [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]]</u> <math>\;C</math>. ==== 3^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire ==== {{Al|5}}Le 3^ème vecteur de base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> en un point <math>\;M\;</math> de la courbe <math>\;(\Gamma)</math>, noté <math>\;\vec{b}\;</math> et appelé « <u>vecteur</u><math>\;\big(</math><u>unitaire</u><math>\big)\;</math><u>normal secondaire</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}est le « <u>vecteur unitaire porté par la normale secondaire</u> » à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>c'est-à-dire la direction <math>\;\perp\;</math> au [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>c'est-à-dire la direction <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\big]\;</math><ref> Ou, si la courbe est plane, <math>\;\perp\;</math> au plan de la courbe ; ce plan étant usuellement noté <math>\;xOy\;</math> et le vecteur normal secondaire est noté <math>\;\vec{u}_z\;</math> ou <math>\;{\vec{u}'}_z = -\vec{u}_z\;</math> suivant le sens du vecteur normal secondaire défini ci-après.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » }}de sens tel que la <u>base</u><math>\;\left( \vec{\tau},\; \vec{n},\; \vec{b} \right)\;</math><u>est directe</u><ref name="base directe" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}les angles du [[w:Plan_osculateur|plan osculateur]] à <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> sont orientés par le vecteur normal secondaire<ref> Ainsi l'angle entre le vecteur unitaire tangentiel et le vecteur normal principal est <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau},\; \vec{n} \right)} = +\dfrac{\pi}{2}</math>. <br>{{Al|3}}Si la courbe est plane dans le plan <math>\;xOy</math>, le sens «<math>\;+\;</math>» des mesures d'angle de ce plan doit être tel que <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau},\; \vec{n} \right)} = +\dfrac{\pi}{2}</math> ; <br>{{transparent|Si la courbe est plane dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>}}or ce sens «<math>\;+\;</math>» est déterminé par le sens du vecteur normal secondaire, d'où <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si la courbe est plane dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, }}<math>\bullet\;</math>le vecteur normal secondaire est <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Big[</math>si <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau},\; \vec{n} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y \right)}\Big]</math> <math>\;\big\{</math>correspondant à <math>\;\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y,\; \vec{u}_z \right)\;</math> directe, le plan <math>\;xOy\;</math> étant orienté dans le sens <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si la courbe est plane dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le vecteur normal secondaire est <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}\;</math> <math>\color{transparent}{\Big[}</math>si <math>\;\color{transparent}{\widehat{\left( \vec{\tau},\; \vec{n} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y \right)}\Big]}</math> <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>correspondant à <math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y,\; \vec{u}_z \right)}\;</math> directe, }}trigonométrique <math>\;\big(</math>ou anti-horaire<math>\big)\big\}\;</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si la courbe est plane dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, }}<math>\bullet\;</math>le vecteur normal secondaire est <math>\;{\vec{u}'}_z = -\vec{u}_z\;</math> <math>\Big[</math>si <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau},\; \vec{n} \right)} = -\widehat{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y \right)}\Big]</math> <math>\;\big\{</math>correspondant à <math>\;\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y,\; \vec{u}_z \right)\;</math> indirecte, le plan <math>\;xOy\;</math> étant orienté <br>{{Al|3}}{{Transparent|Si la courbe est plane dans le plan <math>\;\color{transparent}{xOy}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>le vecteur normal secondaire est <math>\;\color{transparent}{{\vec{u}'}_z = -\vec{u}_z}\;</math> <math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>si <math>\;\color{transparent}{\widehat{\left( \vec{\tau},\; \vec{n} \right)} = -\widehat{\left( \vec{u}_x,\; \vec{u}_y \right)}\Big]}</math> <math>\;\color{transparent}{\big\{}</math>correspondant à }}dans le sens anti-trigonométrique <math>\;\big(</math>ou horaire<math>\big)\big\}</math>. <br>{{Al|3}}<u>Remarque</u> : voir les notes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#cite_note-58|⁵⁸]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#cite_note-59|⁵⁹]] » plus haut dans ce chapitre pour d'autres appellations synonymes de trigonométrique et anti-trigonométrique.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le 3^ème vecteur de base locale de Frenet en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la courbe <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}</math>, }}une définition équivalente du vecteur normal secondaire est «<math>\;\vec{b} = \vec{\tau} \wedge \vec{n}\;</math>». === Rappel, composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire d'un point de la courbe étudiée === {{Al|5}}<u>Établissement par interprétation géométrique du vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue </u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement par interprétation géométrique }}<math>M\;</math> étant repéré sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> par son abscisse curviligne <math>\;s</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement par interprétation géométrique }}nous envisageons un déplacement élémentaire le long du vecteur unitaire tangentiel de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire }}correspondant à un « arc de courbe » de longueur algébrique <math>\;ds\;</math> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement par interprétation géométrique nous envisageons un déplacement élémentaire }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\; \vec{\tau}\;</math>». {{Al|5}}<u>Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel</u> : <math>O\;</math> étant le point origine de la définition intrinsèque du vecteur position de <math>\;M\;</math><ref> Ce pourrait être un point fixe de <math>\;(\Gamma)\;</math> et en particulier le point <math>\;A</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : }}<math>M\;</math> étant repéré sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> par son abscisse curviligne <math>\;s</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : }}nous pouvons, a priori, connaître l'équation paramétrique vectorielle de <math>\;(\Gamma)</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : }}or la différentielle de <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> est le vecteur déplacement élémentaire du point <math>\;M\;</math> d'où, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : }}par définition de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable<ref name="différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable" /> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{dM} = \dfrac{d\! \left( \vec{r} \right)}{ds}(s)\; ds</math>, identifiable à <math>\;\overrightarrow{dM} = ds\; \vec{\tau}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Justification de la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel : }}ce qui justifie, a posteriori, la définition mathématique du vecteur unitaire tangentiel de la base de Frenet<ref name="Frenet" /> «<math>\;\vec{\tau}(s) = \dfrac{d\! \left( \vec{r} \right)}{ds}(s)\;</math>». === Définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane === [[File:Rayon de courbure - courbe plane.jpg|thumb|350px|Schéma introductif de la définition du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] en un point d'une courbe plane]] {{Al|5}}Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="vecteur unitaire tangentiel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Rappel,_notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_et_de_vecteur_unitaire_tangentiel,_1er_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_associée|rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> en <math>\;M</math>, point non anguleux<ref name="point anguleux" />, étant de direction repérée par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> }}l'angle <math>\;\alpha\;</math> qu'elle fait avec la direction fixe <math>\;\vec{u}_x\;</math> du plan de la courbe c'est-à-dire «<math>\;\alpha = \widehat{(\vec{u}_x\, {,}\, \vec{\tau})}\;</math>», on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> }}l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> deux points voisins de la courbe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels en <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}«<math>\;\delta \alpha = \alpha_2 - \alpha_1\;</math>» et <br>{{Al|5}}les vecteurs unitaires normaux <math>\;\big(</math>principaux<math>\big)\;</math><ref name="omis pour une courbe plane"> Omis pour une courbe plane d'où les parenthèses.</ref> de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="vecteur unitaire normal principal en un point d'une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#2ème_vecteur_de_la_base_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_:_vecteur_unitaire_normal_principal|2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal]] » plus haut dans ce chapitre. <br>{{Al|3}}Le vecteur unitaire normal <math>\;\big(</math>principal<math>\big)\;</math> de Frenet <math>\;\vec{n}\;</math> en un point <math>\;M\;</math> non anguleux d'une courbe plane <math>\;(\Gamma)\;</math> est directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> en <math>\;M\;</math> de <math>\;(\Gamma)</math> <math>\;\bigg[</math>« directement » car on choisit d'orienter le plan de la courbe tel que l'angle algébrisé <math>\;\widehat{\left( \vec{\tau}\,,\, \vec{n} \right)} = +\dfrac{\pi}{2}</math>, le vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b} = \vec{\tau} \wedge \vec{n}\;</math> <math>\perp\;</math> au plan de la courbe orientant ces angles étant, dans le cas de la figure, de sens opposé à <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\big\{</math>mais il serait dans le sens de <math>\;\vec{u}_z\;</math> si la courbure de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> était inversée, c.-à-d. si le [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] associé était de l'autre côté de <math>\;M\big\}\;</math> voir aussi la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#cite_note-104|¹⁰⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\bigg]</math>.</ref> en ces deux points formant le même angle algébrisé <math>\;\delta \alpha\;</math><ref name="égalité des angles entre normales et entre tangentes"> Par égalité d'angles à côtés respectivement <math>\;\perp</math>, cette propriété étant applicable à condition qu'il n'y ait pas de [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2</math>, en effet la présence d'un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> <math>\Rightarrow</math> une inversion de courbure de <math>\;(\Gamma)\;</math> entre ces deux points et comme le vecteur unitaire normal est toujours de sens vers le [[w:Cercle_osculateur|centre de courbure]] associé, un positionnement inverse de <math>\;\vec{n}\;</math> par rapport à <math>\;\vec{\tau}\;</math> entre les deux points ce qui nécessite que les sens <math>\;+\;</math> de mesure des angles soient inversés lors du passage d'un point à l'autre d'où l'inapplicabilité de la propriété énoncée.</ref>, <br>{{Al|5}}on définit le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] moyen sur l'arc de courbe <math>\;\overset{\frown}{M_1M_2}\;</math> par «<math>\;\mathcal{R}_{\text{moy sur }\overset{\frown}{M_1M_2}} = \dfrac{\delta s}{\delta \alpha}\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit la définition du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math><ref> <math>\;M\, \neq\;</math> d'un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)</math>.</ref> comme la limite du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] moyen <br>{{Al|11}}{{Transparent|on en déduit la définition du rayon de courbure de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> comme la limite }}quand on fait tendre l'écart angulaire vers zéro soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|on en déduit la définition du rayon de courbure de <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> en <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{R}_{M_1} = \lim\limits_{M_2 \rightarrow M_1} \left[ \mathcal{R}_{\text{moy sur }\overset{\frown}{M_1M_2}} \right] = \lim\limits_{\delta \alpha \rightarrow 0} \left[ \dfrac{\delta s}{\delta \alpha} \right]\;</math>»<ref> À chaque valeur d'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> on associe un point <math>\;M\;</math> que la courbe soit ouverte ou fermée et à chaque point <math>\;M</math>, non anguleux, on associe une valeur de <math>\;\alpha</math>, aussi peut-on définir de façon unique la fonction <math>\;\alpha = \alpha(s)</math> ; en restreignant éventuellement le domaine de définition de <math>\;s\;</math> on peut alors inverser la fonction pour obtenir la fonction inverse <math>\;s = s(\alpha)</math> ; dans «<math>\;\lim\limits_{\delta \alpha \rightarrow 0} \left[ \dfrac{\delta s}{\delta \alpha} \right]\;</math>» on reconnaît la définition de la dérivée par rapport à <math>\;\alpha\;</math> de <math>\;s = s(\alpha)</math>.</ref> soit finalement <br>{{Al|5}}la définition du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big\{</math>courbe plane<math>\big\}\;</math> en un point <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> «<math>\;\mathcal{R}_{M} = \dfrac{ds}{d \alpha}(\alpha)\;</math>»<ref> L'établissement de cette formule a nécessité que <math>\;M\;</math> ne soit pas un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)\;</math> mais <br>{{Al|3}}dans le cas où <math>\;M\;</math> serait un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)</math>, le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] y étant infini et <math>\;\dfrac{d \alpha}{ds}\;</math> y étant [[w:Point_stationnaire|stationnaire]] <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{ds}{d \alpha}\;</math> infini d'où l'applicabilité de la formule en un [[w:Point_d'inflexion|point d'inflexion]] de <math>\;(\Gamma)</math>.</ref> où <math>\;\alpha = \widehat{(\vec{u}_x\, {,}\, \vec{\tau})}\;</math><ref name="ne s'applique qu'à une courbe plane"> Cette définition <math>\;\big(</math>ou relation<math>\big)\;</math> ne s'applique qu'à une courbe plane.</ref>. {{Al|5}}<u>Propriété</u> : <math>\alpha\;</math> étant l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> de la base de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> avec <math>\;\vec{u}_x\;</math> de direction fixe dans le plan de la courbe, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : }}quand on dérive <math>\;\vec{\tau}\;</math> par rapport à <math>\;\alpha</math>, on obtient le vecteur unitaire du plan directement <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire initial<ref name="dériver un vecteur unitaire par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe d'un plan fixe" /> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Propriété : quand on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{\alpha}</math>, on obtient }}le vecteur unitaire normal <math>\;\big(</math>principal<math>\big)\;</math><ref name="omis pour une courbe plane" /> <math>\;\vec{n}\;</math> de la base locale de Frenet<ref name="Frenet" />{{,}}<ref name="vecteur unitaire normal principal en un point d'une courbe plane" /> soit encore «<math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{d \alpha}(\alpha) = \vec{n}\;</math>»<ref name="ne s'applique qu'à une courbe plane" />. === Définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane) === ==== Établissement de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane ==== {{Al|5}}Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel<ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> à la courbe plane <math>\;(\Gamma)\;</math> en <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> en fonction de l'abscisse curviligne <math>\;s\;</math> de ce dernier <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}«<math>\;\vec{\tau} = \dfrac{d\! \left( \vec{r} \right)}{ds}(s)\;</math>»<ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> où <math>\;\overrightarrow{OM} = \vec{r}(s)\;</math> est l'équation paramétrique vectorielle de <math>\;(\Gamma)</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}on dérive <math>\;\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)\;</math> par rapport à <math>\;s\;</math> en remarquant qu'à toute valeur de <math>\;s\;</math> on peut associer un point <math>\;M\;</math> unique <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> en remarquant qu'à toute valeur}}<math>\;\big(</math>que la courbe plane soit ouverte ou fermée<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> en remarquant }}qu'à tout <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> correspond une valeur <math>\;\alpha\;</math> unique <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> en remarquant qu'à toute valeur de <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> }}permettant de déduire, par transitivité, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> en remarquant }}qu'à toute valeur de <math>\;s\;</math> on peut associer une valeur <math>\;\alpha\;</math> unique <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> en remarquant }}ce qui définit la fonction <math>\;\alpha = \alpha(s)\;</math> sans avoir besoin de <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on dérive <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau} = \vec{\tau}(s)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{s}\;</math> en remarquant ce qui définit la fonction }}restreindre le domaine de définition de <math>\;s</math> ; {{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> }}on en déduit, par dérivée de fonction composée, «<math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} = \dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{d \alpha}\; \dfrac{d \alpha}{ds}\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{d \alpha} = \vec{n}\;</math>»<ref name="utilisation de alpha pour une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Définition_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on en déduit, par dérivée de fonction composée, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} = \dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{d \alpha}\; \dfrac{d \alpha}{ds}}\;</math>» avec }}«<math>\;\dfrac{d \alpha}{ds} = \dfrac{1}{\mathcal{R}_M}\;</math>»<ref name="utilisation de alpha pour une courbe plane" /> c'est-à-dire « courbure <br>{{Al|42}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on en déduit, par dérivée de fonction composée, «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} = \dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{d \alpha}\; \dfrac{d \alpha}{ds}}\;</math>» avec }}de <math>\;\big( \Gamma \big)\;</math> en <math>\;M\;</math>»<ref name="courbure d'une courbe"> La courbure étant l'inverse du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] et s'exprimant en <math>\;m^{-1}</math>.</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on en déduit, par dérivée de fonction composée, }}<math>\big(</math>ces deux relations n'étant définies que pour une courbe plane<math>\big)\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Ayant établi l'expression du vecteur unitaire tangentiel à la courbe plane <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> on en déduit, }}soit finalement «<math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} = \dfrac{\vec{n}}{\mathcal{R}_M}\;</math>»<ref> On vérifie l'homogénéité «<math>\;\left\Vert \dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} \right\Vert\;</math>» est en <math>\;m^{-1}\;</math> et «<math>\;\left\Vert \dfrac{\vec{n}}{\mathcal{R}_M} \right\Vert\;</math>» en <math>\;m^{-1}</math>, «<math>\;\left\Vert \vec{\tau} \right\Vert\;</math>» et «<math>\;\left\Vert \vec{n} \right\Vert\;</math>» étant sans dimension.</ref>. ==== Énoncé de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe gauche ==== {{Al|5}}L'expression donnant la dérivée du vecteur unitaire tangentiel<ref name="vecteur unitaire tangentiel" /> en fonction de l'abscisse curviligne établie pour une courbe plane <math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} = \dfrac{\vec{n}}{\mathcal{R}_M}\;</math><ref name="dérivée de tau par rapport à s pour une courbe plane"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Établissement_de_la_définition_simultanée_du_2ème_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_et_du_rayon_de_courbure_en_un_point_non_anguleux_d'une_courbe_plane|établissement de la définition simultanée du 2^ème vecteur de la base locale de frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est admise pour une courbe gauche et <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'expression }}sert de définition simultanée du vecteur unitaire normal principal<ref name="vecteur unitaire normal principal"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#2ème_vecteur_de_la_base_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_:_vecteur_unitaire_normal_principal|2^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal principal]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et du [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] à la courbe gauche <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="rayon de courbure d'une courbe plane ou gauche"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Notion_de_plan_et_de_cercle_osculateurs_en_un_point_d'une_courbe_gauche,_centre_et_rayon_de_courbure_en_ce_point|notion de plan et cercle osculateurs en un point d'une courbe gauche, centre et rayon de courbure en ce point]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> en <math>\;M\;</math> non anguleux<ref name="point anguleux" /> soit <center>«<math>\;\dfrac{d\! \left( \vec{\tau} \right)}{ds} = \dfrac{\vec{n}}{\mathcal{R}_M}\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{R}_M \geqslant 0\;</math>»<ref> Les définitions et expressions ayant permis d'établir cette relation pour une courbe plane n'ayant aucune signification pour une courbe gauche, seule cette relation est utilisable dans le cas d'une courbe gauche.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Mode opératoire pour déterminer le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]]<ref name="rayon de courbure d'une courbe plane ou gauche" /> et le vecteur unitaire normal principal<ref name="vecteur unitaire normal principal" /> en un point non anguleux<ref name="point anguleux" /> d'une courbe gauche</u> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mode opératoire }}<math>\bullet\;</math>« Connaissant l'expression de <math>\;\vec{\tau}\;</math> relativement à <math>\;s\;</math><ref> Obtenue en dérivant l'équation paramétrique vectorielle de la courbe par rapport à <math>\;s</math>.</ref>, on dérive cette expression et on obtient <math>\;\dfrac{\vec{n}}{\mathcal{R}_M}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mode opératoire }}<math>\bullet\;</math>« on en prend la norme et on obtient la courbure de la courbe<ref name="courbure d'une courbe" /> en <math>\;M</math>, <math>\;\dfrac{1}{\mathcal{R}_M}\;</math> ou, en inversant, le [[w:Rayon_de_courbure|rayon de courbure]] de la courbe<ref name="rayon de courbure d'une courbe plane ou gauche" /> en <math>\;M</math>, <math>\;\mathcal{R}_M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mode opératoire }}<math>\bullet\;</math>« on en déduit alors le vecteur unitaire normal principal<ref name="vecteur unitaire normal principal" /> par <math>\;\dfrac{\vec{n}}{\mathcal{R}_M} \times \mathcal{R}_M = \vec{n}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Mode opératoire }}enfin « on peut terminer avec la détermination du vecteur unitaire normal secondaire <math>\;\vec{b}\;</math> par <math>\;\vec{\tau} \wedge \vec{n} = \vec{b}\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#3ème_vecteur_de_la_base_de_Frenet_associée_à_un_point_de_la_courbe_:_vecteur_unitaire_normal_secondaire|3^ème vecteur de la base de Frenet associée à un point de la courbe : vecteur unitaire normal secondaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne/|Intég. sur un seg., vect. déplac. élém. le long d'une courbe, intég. curv.]] | suivant = [[../Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique/|Vect. surf. élém., intég. surf., volum. élém. et intég. vol.]] }} jv3ag0jrr7b9d7956y1uta6rp6hg63a 0 62206 982814 974051 2026-05-14T11:39:29Z Crochet.david.bot 1005 correction des références 982814 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 17 | niveau = 14 | précédent = [[../Divers repérages d'un point dans l'espace/]] | suivant = [[../Intégrales généralisées (ou impropres)/]] }} {{Al|5}}Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions « orienté à droite » <math>\;\big(</math>orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell<ref name="tire-bouchon de Maxwell"> Le tire-bouchon de Maxwell est un tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon ; <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour [[w:Équations_de_Maxwell|ses équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|sa distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.</ref> positionné en un point <math>\;M\;</math> de l'espace<math>\big)</math>, {{Al|5}}cette orientation à droite induisant la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] <math>\;\vec{u}\;</math> et <math>\;\vec{v}\;</math> de l'espace vectoriel [[w:Espace affine#Première définition|direction]] <ref name="direction d'un espace affine"> La direction d'un espace affine <math>\;\mathcal{E}\;</math> étant l'espace vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{E}}\;</math> à partir duquel l'espace affine <math>\;\mathcal{E}\;</math> est défini à l'aide de l'application <math>\;\varphi\;</math> qui, à chaque bipoint <math>\;\left( A\,,\; B \right) \in \mathcal{E}^2</math>, associe un élément de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{E}}\;</math> noté <math>\;\overrightarrow {AB}\;</math> vérifiant les deux propriétés suivantes : * «<math>\;\forall \; \left( A\,,\,B\,,\, C \right)\;\in\, \mathcal{E}^3,\;\;\overrightarrow {AB} \,+\,\overrightarrow {BC}\,=\,\overrightarrow {AC}\;</math>» <math>\;\big(</math>relation de Chasles<math>\big)</math>, * «<math>\;\forall \; A \,\in \, \mathcal{E}, \;\;\forall \; \vec{v}\,\in\, \overrightarrow{\mathcal{E}}\!,\;\;\exists !\; B\,\in \, \mathcal{E},\; \; \overrightarrow {AB}\,=\,\vec {v}\;</math>» <math>\;\big(</math>existence et unicité d'un translaté<math>\big)</math>. {{Al|3}}'''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> de l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions »<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> telle que le trièdre <math>\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{u} \wedge \vec{v} \right\rbrace\;</math> est direct c'est-à-dire obéissant à la règle de la main droite<ref name="règle de la main droite"> Cette règle pour déterminer le caractère « direct » d'un trièdre de vecteurs <math>\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{w} \right\rbrace\;</math> dans un espace orienté à droite mais aussi « direct <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>» dans un espace orienté à gauche est dite « règle de la main droite » <math>\;\big[</math>levant le pouce de la main droite dans le sens de 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^nd, le sens du 3^ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite<math>\big]</math> <math>\;\big(</math>ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient l'appeler « règle de l'apprenti cow-boy droitier »<math>\big)</math> ; il existe d'autres règles équivalentes : <br> {{Al|3}}« ''règle de l'auto-stoppeur (droitier)'' » : l'avant bras <math>\;\big(</math>droit<math>\big)\;</math> étant dans le sens de <math>\;\vec{u}</math>, la poigne de la main <math>\;\big(</math>droite<math>\big)\;</math> courbée dans le sens de <math>\;\vec{v}</math>, le pouce est alors levé dans le sens de <math>\;\vec{w}</math>, <br> {{Al|3}}« ''règle du tire-bouchon de Maxwell'' » : le tire-bouchon tournant de <math>\;\vec{u}\;</math> vers <math>\;\vec{v}</math>, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de <math>\;\vec{w}</math>, <br>{{Al|3}}« ''règle du bonhomme d'Ampère'' » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur <math>\;\vec{u}</math>, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens de <math>\;\vec{v}</math>, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens de <math>\;\vec{w}</math>, <br> {{Al|3}}et ''bien d'autres règles'' que vous pouvez vous-même inventer. <br>{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour [[w:Équations_de_Maxwell|ses équations]] unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour [[w:Loi_de_distribution_des_vitesses_de_Maxwell|sa distribution des vitesses]] utilisée dans une description statistique de la [[w:Théorie_cinétique_des_gaz|théorie cinétique des gaz]] ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur. <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette orientation à droite induisant }}le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires <math>\;\vec{u}</math>, <math>\;\vec{v}\;</math> et <math>\;\vec{w}\;</math> de l'espace vectoriel [[w:Espace affine#Première définition|direction]]<ref name="direction d'un espace affine" /> de l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions si le trièdre <math>\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{w} \right\rbrace\;</math> est direct c'est-à-dire obéissant à la règle de la main droite<ref name="règle de la main droite" /> »<ref name="signe d'un produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte, 3^ème propriété) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{</math>et <br>{{Al|5}}{{Transparent|cette orientation à droite induisant }}le « caractère négatif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires <math>\;\vec{u}</math>, <math>\;\vec{v}\;</math> et <math>\;\vec{w}\;</math> de l'espace vectoriel [[w:Espace affine#Première définition|direction]]<ref name="direction d'un espace affine" /> de l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions si le trièdre <math>\;\left\lbrace \vec{u},\, \vec{v},\, \vec{w} \right\rbrace\;</math> est indirect c'est-à-dire obéissant à la règle de la main gauche<ref name="règle de la main gauche"> Règle de la main gauche pour déterminer le caractère « indirect » d'un trièdre de vecteurs dans un espace orienté à droite mais aussi « indirect <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math>» dans un espace orienté à gauche : « levant le pouce de la main gauche dans le sens de 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^nd, le sens du 3^ème est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » {{Nobr|<math>\;\big(</math>pouvant}} encore être appelé « règle de l'apprenti cow-boy gaucher »<math>\big)</math> ; là encore il est possible de trouver des règles équivalentes <math>\;\ldots</math></ref> »<ref name="signe d'un produit mixte" /><math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : si l'orientation de l'espace physique [[w:Espace affine#Définitions_et_premières_propriétés|affine]] à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche » <math>\;\big(</math>orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes<ref name="tire-bouchon de farces et attrapes"> Le tire-bouchon de farces et attrapes serait en fait un tire-bouchon pour gaucher, plaçant un bouchon en un point <math>\;M\;</math> de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point <math>\;M</math>, elle est dite « à gauche » parce qu'il faudrait tourner vers la gauche pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon.</ref> positionné en un point <math>\;M\;</math> de l'espace<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs_à_l'aide_de_leurs_composantes_sur_une_base_de_l'espace|définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> de même que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le produit mixte de trois vecteurs {{Transparent|serait }}changé en son opposé<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] (remarque) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>. == Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface == === Définition === {{Al|5}}Le vecteur élément de surface en un point <math>\;M\;</math> de la surface <math>\;(S)</math>, noté <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math><ref> Ou simplement <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> s'il n'y a pas ambiguïté.</ref>, est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en <math>\;M\;</math> à la surface <math>\;(S)</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le vecteur élément de surface en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la surface <math>\;\color{transparent}{(S)}</math>, noté <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dS}_M}\;</math>, est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires }}<math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> selon <br>{{Al|4}}{{Transparent|Le vecteur élément de surface en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la surface <math>\;\color{transparent}{(S)}</math>, noté}}«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2}\;</math>»<ref> on rappelle que <math>\;\left\Vert \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \right\Vert\;</math> est représenté par l'aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> <math>\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Interprétation_géométrique|interprétation géométrique]] (du produit vectoriel) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="nécessité d'orienter l'espace"> Il faut préciser l'orientation de l'espace « à droite ou à gauche », pour tout le chapitre nous avons imposé l'orientation « à droite » ; en règle générale, si le choix n'est pas rappelé, c'est que l'espace est orienté à droite.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : une condition nécessaire <math>\;\big(</math>C.N.<math>\big)\;</math> pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point <math>\;M\;</math> de la surface <math>\;(S)\;</math> considérée <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : une condition nécessaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.N.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> }}est qu'il existe en ce point <math>\;M\;</math> un plan tangent à la surface <math>\;(S)</math>, ce qui nécessite <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : une condition nécessaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.N.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est }}que <math>\;M\;</math> soit un « [[w:Point_régulier|point régulier]] de la surface <math>\;(S)\;</math>» <math>\;\Big[</math>si la surface <math>\;(S)\;</math> est définie par une équation sous forme [[w:Fonction_implicite|implicite]] <math>\;f(M) = 0</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : une condition nécessaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.N.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est que <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> soit un « point régulier de la surface <math>\;\color{transparent}{(S)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>}}la fonction <math>\;f\;</math> doit être continûment dérivable en <math>\;M\;</math> pour que <math>\;M\;</math> soit un [[w:Point_régulier|point régulier]] de <math>\;(S)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : une condition nécessaire <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>C.N.<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> est que <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> soit un « point régulier de la surface <math>\;\color{transparent}{(S)}\;</math>» <math>\;\color{transparent}{\Big[}</math>}}c'est-à-dire que <math>\;f\;</math> y soit de classe <math>\;C^{\,1}\Big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}par la suite «<math>\;M\;</math> sera toujours un [[w:Point_régulier|point régulier]] de la surface <math>\;(S)\;</math>» <math>\;\ldots</math> === Propriété === {{Al|5}}De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et <br>{{Al|14}}{{Transparent|De par la définition }}celle du vecteur surface élémentaire, <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> est <u>normal à la surface</u> <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M\;</math><ref> C.-à-d. <math>\;\perp\;</math> au plan tangent de la surface <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_1}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> étant deux déplacements élémentaires du plan tangent.</ref> et on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, }}«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{n}_M\;</math>» avec <math>\;\vec{n}_M\;</math> un vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> à <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{n}_M}\;</math>» avec }}<math>\;dS_M\;</math> définissant l'aire élémentaire de <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M</math>. === Pratique courante === {{Al|5}}Le plus souvent, il existe un repérage de <math>\;M\;</math> tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe<ref name="base directe"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite|base directe d'un espace orienté à droite]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> sont dans le plan tangent à <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M</math> ; <br>{{Al|5}}dans ces conditions, appelant <math>\;\vec{u}_1\;</math> et <math>\;\vec{u}_2\;</math> ces deux vecteurs de la base orthonormée directe<ref name="base directe" /> <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans ces conditions, }}les déplacements élémentaires de <math>\;M\;</math> dans le plan tangent s'écrivant alors «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \overrightarrow{dM_1} = dM_1\, \vec{u}_1 \\ \overrightarrow{dM_2} = dM_2\, \vec{u}_2 \end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_3\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M\;</math> est donc <math>\;\vec{n}_M = \vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2 = \vec{u}_3</math>.</ref> avec «<math>\;dS_M = dM_1\; dM_2\;</math>»<ref> L'aire élémentaire de <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M\;</math> étant le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base <math>\;\vec{u}_1\;</math> et <math>\;\vec{u}_2</math> <math>\;\perp\;</math> au vecteur unitaire normal à <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M</math>, «<math>\;\vec{n}_M = \vec{u}_3\;</math>».</ref>. {{Al|5}}Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M\;</math> est de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si tel est le cas, }}rechercher quel vecteur de base est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;(S)\;</math> en <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si tel est le cas, }}l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base <br>{{Al|4}}{{Transparent|Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit }}<math>\big(</math>on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c'est-à-dire que le produit s'exprime bien en <math>\;m^2\big)\;</math> <math>\ldots</math> === Expressions en paramétrage cartésien === {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> aire élémentaire du plan <math>\;xOy\;</math> repéré en cartésien|contenu = {{Al|5}}Si la surface est <u>plane</u> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_z\;</math>», <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_z\;</math>» avec «<math>\; dS_M = dx\; dy\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à <math>\;xOy\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cartésien|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de <math>\;dM_x = dx\;</math> et de <math>\;dM_y = dy</math>.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Autres aires élémentaires</u> : <math>\succ\;</math>si la surface est <u>plane</u> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;yOz</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_x\;</math>», «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_x\;</math>» avec «<math>\; dS_M = dy\; dz\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à <math>\;yOz\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_x\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cartésien|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de <math>\;dM_y = dy\;</math> et de <math>\;dM_z = dz</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Autres aires élémentaires : }}<math>\succ\;</math>si la surface est <u>plane</u> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;zOx</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_y\;</math>», «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_y\;</math>» avec «<math>\; dS_M = dz\; dx\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à <math>\;zOx\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_y\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cartésien|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de <math>\;dM_z = dz\;</math> et de <math>\;dM_x = dx</math>.</ref>. === Expressions en paramétrage cylindro-polaire === {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> aire élémentaire du plan <math>\;xOy\;</math> repéré en cylindro-polaire|contenu = {{Al|5}}Si la surface est <u>plane</u> <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;xOy</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_z\;</math>», <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_z\;</math>» avec «<math>\; dS_M = \rho\; d \rho\; d \theta\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à <math>\;xOy\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_z\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant, pour un déplacement quelconque, <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta + dz\; \vec{u}_z</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de <math>\;dM_\rho = d \rho\;</math> et de <math>\;dM_\theta = \rho\, d \theta</math>.</ref>.</div>}} {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> aire élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe <math>\;Oz\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> repéré en cylindro-polaire|contenu = {{Al|5}}Si la surface est la <u>surface latérale d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]</u><ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution"> Le français a quelques lacunes, dans certains cas il utilise le même terme pour désigner une surface et son intérieur tridimensionnel comme c'est le cas pour un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]] ; pour éviter cette confusion nous appellerons la surface [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] et son intérieur tridimensionnel [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]].</ref> <math>\;Oz\;</math> et de rayon <math>\;a</math>, laquelle est « orientée par <math>\;\vec{u}_\rho\;</math>», <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_\rho\;</math>» avec «<math>\; dS_M = a\; d \theta\; dz\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à la surface latérale d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]] d'axe <math>\;Oz\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant, pour un déplacement quelconque, <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta + dz\; \vec{u}_z</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on en déduit l'aire élémentaire égale au produit de <math>\;dM_\theta = a\, d \theta\;</math> et de <math>\;dM_z = dz</math>.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Autre aire élémentaire</u> : si la surface est <u>plane</u> contenant l'axe <math>\;Oz</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>», «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_\theta\;</math>» avec «<math>\; dS_M = d \rho\; dz\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal en <math>\;M\;</math> à un plan contenant l'axe <math>\;Oz\;</math> étant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + dz\; \vec{u}_z</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'aire élémentaire s'obtient par le produit de <math>\;dM_\rho = d \rho\;</math> et de <math>\;dM_z = dz</math>.</ref>. === Expressions en paramétrage sphérique === {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> aire élémentaire d'une sphère de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> repérée en sphérique|contenu = {{Al|5}}Si la surface est une <u>[[w:Sphère|sphère]]</u><ref name="sphère et boule"> Le français a résolu ses lacunes dans ce cas en utilisant des termes différents pour désigner une surface et son intérieur tridimensionnel, <br>{{Al|3}}ici la surface est appelée [[w:Sphère|sphère]] et son intérieur tridimensionnel [[w:Boule_(solide)|boule]], même si, <br>{{Al|3}}dans la vie courante certains parlent encore de [[w:Sphère|sphère creuse]] <math>\;\big(</math>ce qui constitue un [[w:Pléonasme|pléonasme]]<math>\big)\;</math> et de [[w:Boule_(solide)|sphère pleine]] <math>\;\big(</math>ce qui constitue un [[w:Oxymore|oxymore]]<math>\big)</math>.</ref> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_r\;</math>», <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_r\;</math>» avec «<math>\; dS_M = a^2\, \sin(\theta)\; d \theta\; d \varphi\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à la [[w:Sphère|sphère]] de centre <math>\;O\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_r\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'aire élémentaire s'obtient par le produit de <math>\;dM_\theta = a\, d \theta\;</math> et de <math>\;dM_\varphi = a\, \sin(\theta)\, d \varphi</math>.</ref>.</div>}} {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> aire élémentaire de la surface latérale d'un cône de révolution de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\alpha\;</math> repéré en sphérique|contenu = {{Al|5}}Si la surface est la <u>surface latérale d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]]</u> de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\alpha</math>, laquelle est « orientée par <math>\;\vec{u}_\theta\;</math>», <div style="text-align: center;">«<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_\theta\;</math>» avec «<math>\; dS_M = r\, \sin(\alpha)\; d \varphi\; dr\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal à surface latérale d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\alpha\;</math> en <math>\;M\;</math> étant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant pour un déplacement quelconque <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'aire élémentaire s'obtient par le produit de <math>\;dM_r = dr\;</math> et de <math>\;dM_\varphi = r\, \sin(\alpha)\, d \varphi</math>.</ref>.</div>}} {{Al|5}}<u>Autre aire élémentaire</u> : si la surface est <u>plane</u> contenant l'axe <math>\;Oz</math>, « orientée par <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math>», «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = dS_M\; \vec{u}_\varphi\;</math>» avec «<math>\; dS_M = dr\; r\;d \theta\;</math>»<ref> Le vecteur unitaire normal en <math>\;M\;</math> à un plan contenant l'axe <math>\;Oz\;</math> étant <math>\;\vec{u}_\varphi\;</math> et le vecteur déplacement élémentaire pour un déplacement quelconque <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'aire élémentaire s'obtient par le produit de <math>\;dM_r = dr\;</math> et de <math>\;dM_\theta = r\, d \theta</math>.</ref>. == Notions d'intégrale surfacique == {{Al|5}}Ce paragraphe prolonge la « définition des [[w:Intégrale_curviligne|intégrales curvilignes]] »<ref name="définition d'une intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne#Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue|notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="rappel intégrale curviligne"> Une intégrale curviligne ajoute les contributions élémentaires d'une fonction d'un point générique <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> d'un point <math>\;M_1\;</math> à un point <math>\;M_2</math> ; <br>{{Al|20}}si on paramètre <math>\;(\Gamma)\;</math> à l'aide d'un paramètre scalaire <math>\;u</math> <math>\big[</math>il suffit que toute valeur de <math>\;u\;</math> d'un intervalle à préciser permette de décrire la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|si on paramètre <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à l'aide d'un paramètre scalaire <math>\;\color{transparent}{u}</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>il suffit que toute valeur de <math>\;\color{transparent}{u}\;</math> }}telle qu'il n'existe qu'une <u>seule position</u> de <math>\;M\;</math> correspondant à une valeur de <math>\;u\big]</math>, <br>{{Al|20}}{{Transparent|si on paramètre <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à l'aide d'un paramètre scalaire <math>\;\color{transparent}{u}</math> }}l'intégrale curviligne devient une intégrale sur un intervalle <br>{{Al|20}}{{Transparent|si on paramètre <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> à l'aide d'un paramètre scalaire <math>\;\color{transparent}{u}</math> }}<math>\big[</math>usuellement le paramètre est l'abscisse curviligne du point ou le temps dans le cas d'un mouvement sur la courbe<math>\big]</math>.</ref>, mais dans les [[w:Intégrale_de_surface|intégrales surfaciques]]<ref name="ou de surface"> Ou [[w:Intégrale_de_surface|intégrale(s) de surface]].</ref> le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe. === Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation === {{Al|5}}Dans une [[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction <math>-</math> scalaire ou vectorielle <math>-</math> d'un point <math>\;M\;</math> assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » <math>\;(S)\;</math> usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Dans une intégrale surfacique }}la contribution élémentaire d'une fonction scalaire <math>\;f(M)\;</math> est «<math>\;f(M)\; dS_M\;</math>»<ref name="autre contribution élémentaire théorique de f(M)"> Théoriquement la contribution élémentaire d'une fonction scalaire <math>\;f(M)\;</math> pourrait aussi être <math>\;f(M)\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> le vecteur élément de surface en <math>\;M\;\in\;(S)</math>, mais cette notion qui se prolongerait en définissant l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] vectorielle de <math>\;f(M)\;</math> sur la portion orientée de surface <math>\;(S)\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> selon <math>\;\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} f(M)\; \overrightarrow{dS}_M\;</math> n'étant introduite dans aucune grandeur physique nous ne la traiterons pas.</ref> où <math>\;dS_M\;</math> est l'aire élémentaire en <math>\;M\;</math> sur <math>\;(S)\;</math><ref name="contribution élémentaire d'une fonction vectorielle"> Pour une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\big(</math>mais dans de rares cas<math>\big)</math>, la contribution élémentaire de cette fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> sur la surface <math>\;(S)\;</math> peut être «<math>\;\delta \vec{\mathcal{A}} = \vec{A}_S(M)\; dS_M\;</math>» avec <math>\;dS_M\;</math> l'aire élémentaire en <math>\;M\;</math> sur <math>\;(S)\;</math> et «<math>\;\vec{A}_S(M)\;</math> densité surfacique du champ vectoriel <math>\;\vec{\mathcal{A}}\;</math> sur <math>\;(S)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>en effet <math>\;\vec{A}_S(M)\;</math> est telle que <math>\;\vec{A}_S(M) = \dfrac{\delta \vec{\mathcal{A}}}{dS_M}\bigg]</math>, la contribution élémentaire de la fonction vectorielle restant, <math>\;\big(</math>dans ces rares cas<math>\big)</math>, vectorielle ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour une fonction vectorielle <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>}}le plus souvent la contribution élémentaire de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> sur la surface <math>\;(S)\;</math> est définie comme le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]] de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> «<math>\;\delta \Phi\! \left[ \vec{A}(M) \right]</math> <math>= \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M\;</math>» avec <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> le vecteur élément de surface en <math>\;M\;\in\;(S)</math>, la contribution élémentaire de la fonction vectorielle devenant, <math>\;\big(</math>dans ces cas nettement plus fréquents<math>\big)</math>, scalaire.</ref> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Dans une intégrale surfacique la contribution}}usuellement celle d'une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est «<math>\;\delta \Phi\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M\;</math>»<ref name="autre contribution élémentaire théorique de A(M)"> Théoriquement la contribution élémentaire d'une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> pourrait aussi être <math>\;\vec{A}(M) \wedge \overrightarrow{dS}_M\;</math> avec <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> le vecteur élément de surface en <math>\;M\;\in\;(S)</math>, mais cette notion qui se prolongerait en définissant l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] vectorielle de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> sur la portion orientée de surface <math>\;(S)\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;(\Gamma)\;</math> selon <math>\;\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \vec{A}(M) \wedge \overrightarrow{dS}_M\;</math> n'apparaissant dans aucune grandeur physique nous ne la traiterons pas.</ref> avec <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math> vecteur élément de surface en <math>\;M\;</math> sur <math>\;(S)</math> {{Nobr|c'est-à-dire}} <br>{{Al|2}}{{Transparent|Dans une intégrale surfacique la contribution usuellement celle d'une fonction vectorielle <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> est}}le <u>[[w:Flux_(physique)#Définition|flux élémentaire]]</u> du champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers <math>\;\overrightarrow{dS}_M\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Introduction_à_la_notion_de_flux_d'un_champ_vectoriel_à_travers_une_portion_de_surface|introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface]] » plus loin dans ce chapitre ou, <br>{{Al|3}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel|définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}les [[w:Intégrale_de_surface|intégrales surfaciques]]<ref name="ou de surface" /> s'écrivent alors, en notant <math>\;(\Gamma)\;</math> la courbe fermée limitant la portion de surface <math>\;(S)</math>, <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} f(M)\; dS_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique d'une fonction vectorielle"> Pour une fonction vectorielle <math>\;\vec{A}(M)\;</math> <math>\big(</math>dans les rares cas correspondant à ceux introduits dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#cite_note-contribution_élémentaire_d'une_fonction_vectorielle-32|³²]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>, l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] s'écrit «<math>\;\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \vec{A}_S(M)\; dS_M =</math> <math>\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \delta \vec{\mathcal{A}}\;</math>» avec «<math>\;\vec{A}_S(M)\;</math> densité surfacique du champ vectoriel <math>\;\vec{\mathcal{A}}\;</math> sur <math>\;(S)\;</math>», <math>\;\bigg[</math>en effet <math>\;\vec{A}_S(M)\;</math> est définie par <math>\;\vec{A}_S(M) = \dfrac{\delta \vec{\mathcal{A}}}{dS_M}\bigg]</math>, l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] de la fonction vectorielle restant, <math>\;\big(</math>dans ces rares cas<math>\big)</math>, vectorielle ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Pour une fonction vectorielle <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\big(}</math>}}dans les cas nettement plus fréquents introduits dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#cite_note-contribution_élémentaire_d'une_fonction_vectorielle-32|³²]] » plus haut dans ce chapitre, l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] s'écrit «<math>\;\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M =</math> <math>\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \delta \Phi\! \left[ \vec{A}(M) \right] = \Phi_{(S)_{(\Gamma)}}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math>» définie comme le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux du champ vectoriel]] <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers cette portion de surface <math>\;(S)</math>, l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] de la fonction vectorielle devenant, <math>\;\big(</math>dans ces cas nettement plus fréquents<math>\big)</math>, scalaire.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> la courbe fermée limitant la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)}</math>, }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M = \Phi_{(S)_{(\Gamma)}}\! \left[ \vec{A}(M) \right]\;</math>» définissant <br>{{Al|11}}{{Transparent|les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant <math>\;\color{transparent}{(\Gamma)}\;</math> la courbe fermée limitant la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)}</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux du champ vectoriel]] <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers cette portion de surface <math>\;(S)\;</math><ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace,_notion_de_champ_vectoriel_à_flux_conservatif#Définition_du_flux_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_tridimensionnel_à_travers_une_surface_ouverte|définition du flux d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte]] » du chap.<math>29</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}après choix d'un <u>paramétrage</u> de <math>\;M\;</math> sur la portion de surface <math>\;(S)_{(\Gamma)}</math>, paramètres notés «<math>\;(p,\, q)\;</math>»<ref> En effet la portion de surface étant un espace à deux dimensions nécessite deux paramètres qui peuvent être «<math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> en repérage cartésien du plan <math>\;xOy\;</math>» ou «<math>\;\rho\;</math> et <math>\;\theta\;</math> en repérage polaire du même plan » ou bien d'autres choix possibles <math>\;\ldots</math> Nous les notons <math>\;p\;</math> et <math>\;q\;</math> quand nous ne souhaitons pas préciser le type de repérage.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}l'évaluation de l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle : <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>on fige un des paramètres par exemple <math>\;p\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on intègre sur l'autre <math>\;q\;</math> entre les bornes qui dépendent en général du 1^er paramètre figé <math>\;p</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}le résultat de cette 1^ère intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé <math>\;p</math>, puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}<math>\blacktriangleright\;</math>on libère ce paramètre <math>\;p\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales <math>\;(\Gamma)\;</math> de la portion de surface <math>\;(S)_{(\Gamma)}</math> ; <br>{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}<math>\succ\;</math>si les bornes de la 1^ère intégrale sur le paramètre <math>\;q\;</math> dépendent du paramètre figé <math>\;p</math>, les deux intégrales sont dites « <u>emboîtées</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}le calcul de la 2^ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1^ère<ref> En physique c'est très rarement le cas, les bornes d'intégration sur l'un des paramètres choisis au hasard étant indépendantes de l'autre paramètre figé, dans ce cas les intégrales sont indépendantes et l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] revient simplement à un produit d'intégrales sur un intervalle, l'ordre d'intégration étant alors quelconque.</ref> et <br>{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}<math>\succ\;</math>si l'ordre d'intervention des paramètres conduit à une 1^ère intégration n'aboutissant pas<ref name="N'aboutissant pas"> Par exemple parce que nécessitant des connaissances de primitives non encore acquises.</ref>, la 2^ème ne peut être faite mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}<math>\succ\;</math>il existe un « [[w:Théorème_de_Fubini|théorème de Fubini]] »<ref name="Fubini"> '''[[w:Guido_Fubini|Guido Fubini]] (1879 - 1943)''' mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.</ref> précisant qu'il est possible de permuter les intégrations<ref name="Permutations"> Sous conditions dans lesquelles nous ne rentrerons pas car toujours réalisées en physique.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, }}<math>\big[</math>on fige d'abord le paramètre <math>\;q\;</math> et on intègre sur l'autre paramètre <math>\;p\;</math> entre les bornes dépendant de <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}si cette 1^ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2^ème sur <math>\;q\;</math> entre des bornes qui dépendent des limites spatiales <math>\;(\Gamma)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> sur la portion de surface <math>\;\color{transparent}{(S)_{(\Gamma)}}</math>, <math>\color{transparent}{\big[}</math>si cette 1^ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2^ème sur <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> entre des bornes qui }}de la portion de surface <math>\;(S)_{(\Gamma)}\;</math><ref> En espérant qu'elle aboutisse !</ref><math>\big]</math>. === Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle === [[File:Aire entre corde et arc de cercle.jpg|thumb|Schéma précisant la portion de disque <math>\;\big(</math>entre corde et arc de cercle<math>\big)\;</math> dont on calcule l'aire]] {{Al|5}}On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon <math>\;R\;</math> et de centre <math>\;O</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre }}la corde étant à la distance <math>\;a\;</math> du centre <math>\;O\;</math><ref> Ce qui délimite deux portions de disque, celle dont on souhaite déterminer l'aire étant la plus petite.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|On souhaite }}calculer l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> «<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} dS_M\;</math>»<ref> Dans le cas d'un calcul d'aire, la fonction scalaire est «<math>\;f(M) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1\;\text{ si }\; M \in (S)_{(\Gamma)}\\0\; \text{ sinon}\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; de plus pour que l'aire soit <math>\;> 0\;</math> il faut intégrer sur les paramètres choisis dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> de leur variation pour que <math>\;dS_M\;</math> soit toujours <math>\;> 0</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé<math>\big)</math> : * <u>choix du « paramétrage de la surface »</u><ref> Souvent imposé par la forme de la courbe limitant la surface.</ref> : repérage polaire de pôle <math>\;O</math>, centre du cercle, l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant porté par la médiatrice de la corde, <br>{{Al|6}}{{Transparent|choix du « paramétrage de la surface » : repérage polaire de pôle <math>\;\color{transparent}{O}</math>, centre du cercle, l'axe polaire <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{Ox}}\;</math> étant }}orienté de la corde vers l'arc, d'où <br>{{Al|6}}{{Transparent|choix du « paramétrage de la surface » : }}«<math>\;dS_M = \rho\, d \rho\, d \theta\;</math>»<ref name="dS d'une portion de plan xoy en polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] du vecteur élément de surface (1^er encadré à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et «<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\iint_{(S)_{(\Gamma)}} \rho\, d \rho\, d \theta\;</math>», * <u>figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé</u> : <math>\blacktriangleright\;</math>on fige <math>\;\rho\;</math> et on intègre sur <math>\;\theta\;</math> de <math>\;-\theta_{\text{lim}}(\rho)\;</math> à <math>\;+\theta_{\text{lim}}(\rho)\;</math><ref> Non représenté sur le schéma car n'aboutit pas : on fige <math>\;\rho\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;M\;</math> décrit un arc de cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> avec <math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;-\theta_{\text{lim}}(\rho)\;</math> à <math>\;+\theta_{\text{lim}}(\rho)</math>.</ref>, <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\theta_{\text{lim}}(\rho)\;</math> étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math><math>\;\color{transparent}{\theta_{\text{lim}}(\rho)}\;</math> étant l'angle polaire du point d'intersection }}du cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> soit <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\theta_{\text{lim}}(\rho) = \arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right)\;</math><ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> En effet en appelant <math>\;M_\rho\;</math> le point d'intersection du cercle de rayon <math>\;\rho\;</math> et de la corde, <math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;O\;</math> sur la corde, dans le triangle rectangle <math>\;OHM_\rho</math>, <math>\;OM_\rho = \rho\;</math> est l'hypoténuse et <math>\;OH = a\;</math> le côté adjacent de l'angle <math>\;\theta_{\text{lim}}(\rho)\;</math> d'où <math>\;\cos\! \left[ \theta_{\text{lim}}(\rho) \right] = \dfrac{a}{\rho}</math>.</ref> puis <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on intègre sur <math>\;\rho\;</math> de <math>\;a\;</math> à <math>\;R\;</math> d'où la succession d'intégrales emboîtées «<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\int_a^R {\rho \left[ \displaystyle\int_{-\theta_{\text{lim}}(\rho)}^{+\theta_{\text{lim}}(\rho)} d \theta \right] d \rho}\;</math>» ; <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}la 1^ère intégration sur <math>\;\theta\;</math> ne présente aucune difficulté <math>\;\displaystyle\int_{-\theta_{\text{lim}}(\rho)}^{+\theta_{\text{lim}}(\rho)} d \theta = \left[ \theta \right]_{-\theta_{\text{lim}}(\rho)}^{+\theta_{\text{lim}}(\rho)} = 2\, \theta_{\text{lim}}(\rho) = 2\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /> <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}d'où la réécriture de l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> suivant «<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\int_a^R 2\, \rho\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right) d \rho\;</math>», <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé<ref> C'est la présence de <math>\;\arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right)\;</math> qui est gênante, aussi peut-on suggérer une « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|intégration par parties]] » <math>\;\big[</math>méthode rappelée dans l'avant dernier exemple du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Développement_de_quelques_méthodes_de_calcul|développement de quelques méthodes de calcul]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qui conduirait à l'utilisation de sa dérivée soit <math>\;-\dfrac{\dfrac{-a}{\rho^2}}{\sqrt{1 - \dfrac{a^2}{\rho^2}}} = \dfrac{a}{\rho\, \sqrt{\rho^2 - a^2}}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] (dérivée) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> <math>\ldots</math> <br>{{Al|3}}Cela donnerait <math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\int_a^R 2\, \rho\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right) d \rho = \left[ \rho^2\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right) \right]_a^R - \displaystyle\int_a^R \rho^2\, \dfrac{a}{\rho\, \sqrt{\rho^2 - a^2}} d \rho = \left[ \rho^2\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{\rho} \right) \right]_a^R - \displaystyle\int_a^R \dfrac{a}{\sqrt{\rho^2 - a^2}}\, \rho\, d \rho</math>, l'intégrale dans le 2^nd terme se calculant selon <math>\;\displaystyle\int_a^R \dfrac{a}{\sqrt{\rho^2 - a^2}}\, \rho\, d \rho = \displaystyle\int_a^R \dfrac{a}{2\, \sqrt{\rho^2 - a^2}}\, d\! \left( \rho^2 \right) = a\, \displaystyle\int_a^R \dfrac{d\! \left( \rho^2 - a^2 \right)}{2\, \sqrt{\rho^2 - a^2}} = \left[ a\, \sqrt{\rho^2 - a^2} \right]_a^R\;</math> car une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{u}} = u^{-\frac{1}{2}}\;</math> est <math>\;\dfrac{u^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\dfrac{1}{2} + 1} = 2\, \sqrt{u}</math>, soit finalement <center>«<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \left[ R^2\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{R} \right) - \cancel{a^2\, \arccos(1)} \right] - \left[ a\, \sqrt{R^2 - a^2} \right]\;</math>» <br>on aboutit à un résultat mais par une intégration qui n'est tout de même pas simple.</center></ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ; <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : }}<math>\blacktriangleright\;</math>on fige <math>\;\theta\;</math> et on intègre sur <math>\;\rho\;</math> de <math>\;\rho(\theta)\;</math> à <math>\;R</math>, <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\rho(\theta)\;</math> étant la distance séparant <math>\;O\;</math> du point de la corde d'angle polaire <math>\;\theta</math> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)\;</math> soit <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\rho(\theta) = \dfrac{a}{cos(\theta)}\;</math><ref> En effet en appelant <math>\;M_\theta\;</math> le point de la corde d'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> et <math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;O\;</math> sur la corde, dans le triangle rectangle <math>\;OHM_\theta</math>, <math>\;OM_\theta = \rho(\theta)\;</math> est l'hypoténuse et <math>\;OH = a\;</math> le côté adjacent de l'angle <math>\;\theta\;</math> d'où <math>\;\cos(\theta) = \dfrac{a}{\rho(\theta)}</math>.</ref> puis <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}on intègre sur <math>\;\theta\;</math> de <math>\;-\alpha\;</math> à <math>\;+\alpha\;</math> d'où la succession d'intégrales emboîtées «<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\int_{-\alpha}^{+\alpha} {\left[ \displaystyle\int_{\rho(\theta)}^R \rho\; d \rho \right] d \theta}\;</math>» ; <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}la 1^ère intégration sur <math>\;\rho\;</math> se résout aisément <math>\;\displaystyle\int_{\rho(\theta)}^R \rho\; d \rho = \left[ \dfrac{\rho^2}{2} \right]_{\rho(\theta)}^R = \dfrac{R^2 - \left[ \rho(\theta) \right]^2}{2} = \dfrac{R^2}{2} - \dfrac{a^2}{2\, \cos^2(\theta)}\;</math> d'où <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}la réécriture de l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> suivant «<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \displaystyle\int_{-\alpha}^{+\alpha} {\left[ \dfrac{R^2}{2} - \dfrac{a^2}{2\, \cos^2(\theta)} \right] d \theta}\;</math>» <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}le calcul ne posant ''a priori'' aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(\theta)}\;</math> est <math>\;\tan(\theta)\;</math> d'où <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = \left[ \dfrac{R^2}{2}\, \theta - \dfrac{a^2}{2}\, \tan(\theta) \right]_{-\alpha}^{+\alpha} = R^2\, \alpha - a^2\, \tan(\alpha)\;</math> avec <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\alpha\;</math> se déterminant dans le triangle rectangle <math>\;OHA\;</math> où <math>\;A\;</math> est l'extrémité supérieure de la corde et <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math><math>\;\color{transparent}{\alpha}\;</math> se déterminant dans le triangle rectangle <math>\;\color{transparent}{OHA}\;</math> où }}<math>\;H\;</math> le projeté orthogonal de <math>\;O\;</math> sur cette dernière soit <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\;\alpha = \arccos\! \left( \dfrac{a}{R} \right)\;</math><ref name="arccosinus" /> et <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{HA}{OH} = \dfrac{\sqrt{OA^2 - OH^2}}{OH} = \dfrac{\sqrt{R^2 - a^2}}{a}\;</math><ref> Ou encore <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{\sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}}{\cos(\alpha)} = \dfrac{\sqrt{1 - \dfrac{a^2}{R^2}}}{\dfrac{a}{R}} = \dfrac{\sqrt{R^2 - a^2}}{a}</math>.</ref> soit finalement <br>{{Transparent|figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1^er paramètre figé : <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{A}_{(S)_{(\Gamma)}} = R^2\, \arccos\! \left( \dfrac{a}{R} \right) - a\, \sqrt{R^2 - a^2}\;</math>» <ref> On vérifie l'homogénéité du résultat à une aire, <math>\;\arccos\! \left( \dfrac{a}{R} \right)\;</math> étant sans dimension physique.</ref>. === Exemples d'aire de surface classique === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un calcul d'aire de surface est une [[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> de la fonction scalaire <math>\;f(M) = 1\;</math> sur la portion de surface dont on cherche l'aire<ref> Une « aire de portion de surface » <math>\;\big(</math>sans autre qualificatif<math>\big)\;</math> est en général non algébrisée <math>\;\big(</math>dans le cas contraire on l'appellera « aire algébrisée de portion de surface »<math>\big)</math> ; la méthode de calcul d'une aire de portion de surface <math>\;\big(</math>donc non algébrisée<math>\big)\;</math> introduisant une aire de surface élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une aire positive, de faire varier les paramètres choisis dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> de leur variation.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation<ref> À l'exception de l'aire de la surface latérale d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de demi-angle au sommet <math>\;\alpha\;</math> et de hauteur <math>\;H\;</math> dont l'utilisation est trop rare pour nécessiter de retenir le résultat, par contre la méthode pour l'établir doit être connue.</ref>. {{Proposition|titre=À retenir <math>\rightsquigarrow</math> Aire de surfaces classiques| contenu = {{Al|5}}Aire d'un disque de rayon <math>\;R\;</math> : {{Al|54}}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi\, R^2\;</math>»,<br>{{Al|5}}Aire intérieure d'une ellipse de demi-axes <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> : {{Al|20}}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{int. d'une ellipse}} = \pi\, a\,b\;</math>», <br>{{Al|5}}Aire de la surface latérale d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> de rayon <math>\;R\;</math> et de hauteur <math>\;H\;</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution }}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}} = 2\, \pi\, R\, H\;</math>»<ref> Produit de la périphérie de la base par la hauteur.</ref>, <br>{{Al|5}}Aire d'une [[w:Sphère|sphère]]<ref name="sphère et boule" /> de rayon <math>\;R\;</math> : {{Al|45}}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{sphère}} = 4\, \pi\, R^2\;</math>»<ref> Quatre fois l'aire du disque équatorial.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Établissement de l'aire d'un disque de rayon</u><math>\;R</math> : on utilise le repérage polaire avec <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dS = \rho\, d\theta\, d \rho\;</math>»<ref name="dS d'une portion de plan xoy en polaire" />, «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et «<math>\;\rho\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;R\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de l'aire d'un disque de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : on utilise le repérage polaire avec <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dS}}\;</math> suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_z}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{dS = \rho\, d\theta\, d \rho}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> variant de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\, \pi}\;</math>» et }}les intégrales sont indépendantes, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire d'un disque de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}l'aire est donc le produit de deux intégrales sur un intervalle <math>\;\mathcal{A}_{\text{disque}} = \displaystyle\int_0^R \rho\, d \rho \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} d \theta = \left[ \dfrac{\rho^2}{2} \right]_0^R \times \left[ \theta \right]_0^{2\,\pi} = \dfrac{R^2}{2} \times 2\, \pi = \pi\;R^2\;</math> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. [[File:Ellipse obtenue par affinité d'un cercle de même centre.png|thumb|Présentation de l'[[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}\;</math><ref name="définition d'une affinité"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Affinité_d'axe_x'x,_de_direction_y'y_et_de_rapport_k|affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> transformant le cercle de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;a\;</math> en ellipse de même centre <math>\;O</math>, de grand axe <math>\;Ox\;</math> et de petit axe <math>\;Oy</math>]] {{Al|5}}<u>Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes</u><math>\;a\;</math><u>et</u><math>\;b</math> : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse<ref name="équations paramétriques d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Conséquence_:_équations_paramétriques_d'une_ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] (justification) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, de paramètre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}<math>\;\theta\; = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{OM_c} \right)}</math>, abscisse angulaire de <math>\;M_c</math>, point générique du cercle de centre <math>\;O</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}dont l'image par [[w:Affinité_(mathématiques)|affinité]] d'axe <math>\;Ox</math>, de direction <math>\;Oy\;</math> et de rapport <math>\;\dfrac{b}{a}\;</math><ref name="définition d'une affinité" /> est l'ellipse étudiée, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}cette abscisse angulaire «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}la coordonnée radiale «<math>\;\rho_d\;</math> du point générique <math>\;M_d\;</math> du disque de <math>\;0\;</math> à <math>\;a\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}les coordonnées de <math>\;M</math>, point générique de l'ellipse étant, quant à elles, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = a\;\cos(\theta)\\ y = b\;\sin(\theta) \end{array}\right\rbrace\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : les coordonnées de <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}avec «<math>\;\theta\; = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{OM_c} \right)}\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}le point générique de l'intérieur de l'ellipse à <math>\;x = a\;\cos(\theta)\;</math> figé <math>\;\big[\!\Rightarrow</math> <math>\;\theta\;</math> figé<math>\big]\;</math> étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}d'ordonnée <math>\;\lambda\;\sin(\theta)\;</math> avec «<math>\;\lambda\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;b\;</math>», l'aire élémentaire de la surface intérieure <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}à l'ellipse s'écrit alors «<math>\;d S = \left[ \sin(\theta)\;d \lambda \right] \times \left[ -dx \right] = \left[ \sin(\theta)\;d \lambda \right] \times \left\lbrace -d\! \left[ a\;\cos(\theta) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref> Souhaitant obtenir une aire <math>\;> 0</math>, il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(\theta)\;d \lambda > 0\;</math> car <math>\;\lambda\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une aire <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand <math>\;\color{transparent}{\theta \nearrow}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\pi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>dx = d\! \left[ a\;\cos(\theta) \right] < 0\;</math> car <math>\;\cos(\theta)\;</math> <math>\searrow\;</math> d'où <math>\;\left[ \sin(\theta)\;d \lambda \right] \times \left[ -dx \right] > 0\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une aire <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit }}quand <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;\pi\;</math> à <math>\;2\;\pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin(\theta)\;d \lambda < 0\;</math> car <math>\;\sin(\theta)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\lambda\;</math> est <math>\;\nearrow\;</math> ainsi que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Souhaitant obtenir une aire <math>\;\color{transparent}{> 0}</math>, il nous faut vérifier le signe de chaque facteur du produit quand <math>\;\color{transparent}{\theta \nearrow}\;</math> de <math>\;\color{transparent}{\pi}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\;\pi}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>dx = d\! \left[ a\;\cos(\theta) \right] > 0\;</math> car <math>\;\cos(\theta)\;</math> <math>\nearrow\;</math> d'où <math>\;\left[ \sin(\theta)\;d \lambda \right] \times \left[ -dx \right] > 0</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}} = \displaystyle\int_{\theta\, =\, 0}^{\theta\, =\, 2\,\pi} \left[ \displaystyle\int_{\lambda\, =\, 0}^{\lambda\, =\, b} \sin(\theta)\;d \lambda \right] d\! \left[ -a\;\cos(\theta) \right]</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}}}</math> }}<math>= \displaystyle\int_{\theta\, =\, 0}^{\theta\, =\, 2\,\pi} \left[ b\; \sin(\theta) \right] a\; d\! \left[ -\cos(\theta) \right] = a\;b\; \displaystyle\int_{\theta\, =\, 0}^{\theta\, =\, 2\,\pi} \sin^2(\theta)\; d \theta = a\;b\; \displaystyle\int_{\theta\, =\, 0}^{\theta\, =\, 2\,\pi} \dfrac{1 - \cos(2\;\theta)}{2}\; d \theta\;</math>»<ref> On utilise la formule de trigonométrie <math>\;\cos(2\;x) = 1 - 2\;\sin^2(x)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos(2\;x)}{2}</math>.</ref> ou {{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axes<math>\;\color{transparent}{a}\;</math>et<math>\;\color{transparent}{b}</math> : <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} «<math>\;\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}} = a\;b\, \left\lbrace \displaystyle\int_{\theta\, =\, 0}^{\theta\, =\, 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{2}\; \cancel{-\; \displaystyle\int_{\theta\, =\, 0}^{\theta\, =\, 2\,\pi} \dfrac{\cos(2\;\theta)\;d \theta}{2}} \right\rbrace\;</math>»<ref> La 2^ème intégrale étant nulle car la fonction à intégrer est <math>\;\pi</math>-périodique et l'intervalle d'intégration correspondant à deux périodes de la fonction à intégrer.</ref> soit «<math>\;\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}} = \pi\;a\;b\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Établissement de l'aire de la surface latérale d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> de rayon</u><math>\;R\;</math><u>et de hauteur</u><math>\;H</math> : on utilise le repérage cylindro-polaire avec <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\rho\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dS = R\, d\theta\, dz\;</math>»<ref name="dS d'une portion de tuyau cylindrique de révolution en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_cylindro-polaire|expressions en paramétrage cylindro-polaire]] du vecteur élément de surface (2^ème encadré à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : }}«<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et «<math>\;z\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;H\;</math>» <math>\Rightarrow</math> les intégrales sont indépendantes, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : }}l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : }}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}} = \displaystyle\int_0^H dz \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} R\, d \theta = \left[ z \right]_0^H \times \left[ R\,\theta \right]_0^{2\,\pi} = H \times 2\,\pi\,R</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un tuyau cyl.}}}</math> }}<math>= 2\, \pi\, R\, H\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Établissement de l'aire d'une [[w:Sphère|sphère]]<ref name="sphère et boule" /> de rayon</u><math>\;R</math> : on utilise le repérage sphérique avec <math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_r\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dS = R^2\, \sin(\theta)\,d\theta\, d\varphi\;</math>»<ref name="dS d'une portion de sphère en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_sphérique|expressions en paramétrage sphérique]] du vecteur élément de surface (1^er encadré à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi\;</math>» et «<math>\;\varphi\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Établissement de l'aire d'une sphère de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Établissement de l'aire d'une sphère de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{sphère}} = \displaystyle\int_0^\pi \sin(\theta)\, d\theta \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} R^2\, d\varphi = \left[ -\cos(\theta) \right]_0^\pi \times \left( 2\, \pi\, R^2 \right)</math> <math> = 2 \times \left( 2\, \pi\, R^2 \right) = 4\, \pi\, R^2\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Établissement de l'aire de la surface latérale d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de hauteur</u><math>\;H\;</math><u>et de demi-angle au sommet</u><math>\;\alpha</math> : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône <math>\;O\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : on utilise le repérage sphérique }}d'axe « l'axe de révolution du cône <math>\;Oz\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : on utilise le repérage sphérique d'axe « }}orienté du sommet vers la base »<ref> L'équation sphérique de la surface latérale d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\alpha\;</math> étant <math>\;\theta = \alpha</math>.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : }}<math>\;\overrightarrow{dS}\;</math> suivant <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;dS = r\, \sin(\alpha)\, dr\, d\varphi\;</math>»<ref name="dS d'une portion de cône en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expressions_en_paramétrage_sphérique|expressions en paramétrage sphérique]] du vecteur élément de surface (2^ème encadré à retenir) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\varphi\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{dS}}\;</math> suivant <math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\theta}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{dS = r\, \sin(\alpha)\, dr\, d\varphi}\;</math>», }}«<math>\;r\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\dfrac{H}{\cos(\alpha)}\;</math>»<ref> En effet la coupe par un demi-plan méridien <math>\;\varphi = cste\;</math> est un triangle rectangle <math>\;OKM_\varphi\;</math> où <math>\;K\;</math> est le projeté orthogonal du sommet <math>\;O\;</math> sur la base et <math>\;M_\varphi\;</math> l'extrémité de la [[w:Génératrice_(mathématiques)#Lignes_génératrices|génératrice]], <math>\;OK = H\;</math> est le côté adjacent de l'angle <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;OM_\varphi\;</math> l'hypoténuse d'où <math>\;\cos(\alpha) =</math> <math>\dfrac{H}{OM_\varphi}\;</math> <math>\ldots</math></ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : }}les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit }}sur un intervalle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : }}«<math>\;\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}} = \displaystyle\int_0^{\frac{H}{\cos(\alpha)}} r\, dr \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} \sin(\alpha)\, d\varphi</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{r^2}{2} \right]_0^{\frac{H}{\cos(\alpha)}} \times \left[ 2\, \pi\, \sin(\alpha) \right] = \dfrac{H^2}{\cos^2(\alpha)} \times \pi\, \sin(\alpha)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et de demi-angle au sommet<math>\;\color{transparent}{\alpha}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}}}</math> }}<math>= \pi\, H^2\, \dfrac{\tan(\alpha)}{\cos(\alpha)}\;</math>»<ref> L'aire peut s'exprimer en utilisant le « rayon <math>\;R\;</math> de la base » à la place du demi-angle au sommet <math>\;\alpha\;</math> sachant que <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{H}\;</math> et <math>\;\cos(\alpha) =</math> <math>\dfrac{H}{\sqrt{H^2 + R^2}}</math> d'où «<math>\;\mathcal{A}_{\text{surf. lat. d'un cône de révol.}} =</math> <math>\pi\, H^2\, \dfrac{\dfrac{R}{H}}{\dfrac{H}{\sqrt{H^2 + R^2}}} = \pi\, R\, \sqrt{H^2 + R^2}\;</math>», c.-à-d. «<math>\;\pi\;</math> fois le rayon de la base <math>\;R\;</math> fois la longueur de l'[[w:Apothème#Cône_de_révolution|apothème]] <math>\;\sqrt{H^2 + R^2}\;</math>» <math>\;\bigg(</math>l'[[w:Apothème#Cône_de_révolution|apothème du cône de révolution]] est le rayon du secteur de disque utilisé dans le [[w:Patron_(géométrie)#Cône_de_révolution|patron de la face latérale du cône de révolution]], le secteur de disque correspondant à un angle au centre <math>\;\alpha\;</math> tel que <math>\;\dfrac{\alpha_{\text{rad}}}{2\;\pi} = \dfrac{R}{\sqrt{H^2 + R^2}}\bigg)</math>.</ref>. === Exemple de calcul de flux de champ vectoriel === ==== Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface ==== {{Al|5}}Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « [[w:Vecteur_de_Pçynting|champ vectoriel de Poynting]] »<ref> Usuellement appelé « vecteur de Poynting ».</ref>{{,}}<ref name="Poynting"> '''[[w:John_Henry_Poynting|John Henry Poynting]] (1852 - 1914)''' physicien anglais connu principalement pour ses travaux sur les [[w:Onde_électromagnétique|ondes électromagnétiques]].</ref> associé au transport de la puissance lumineuse solaire ; <br>{{Al|5}}l'« onde lumineuse émise par le soleil »<ref> Lumineuse au sens large correspondant au [[w:Spectre_visible|visible]] ainsi qu'à son voisinage les « [[w:Infrarouge|IR]] et [[w:Ultraviolet|UV]] » mais ce qui est dit reste valable pour tout le [[w:Spectre_électromagnétique|spectre électromagnétique]].</ref> est de nature vectorielle <math>\;\big[</math>c'est une [[w:Onde_électromagnétique|onde électromagnétique]] «<math>\;(\vec{E}\,,\, \vec{B})\;</math>» définie en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace et à chaque instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>c'est une onde électromagnétique «<math>\;\color{transparent}{(\vec{E}\,,\, \vec{B})}\;</math>» }}constituée d'une multitude de [[w:Onde_monochromatique|composantes monochromatiques]]<math>\big]</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle }}elle se propage dans le vide à la célérité <math>\;c\;</math> de façon isotrope<ref> C.-à-d. que la célérité dans le vide est indépendante de la direction de propagation.</ref> ; <br>{{Al|5}}à une [[w:Onde_monochromatique|composante monochromatique]] de [[w:Longueur_d'onde|longueur d'onde]] dans le vide <math>\;\lambda_0\;</math> se propageant dans la direction <math>\;\vec{u}</math>, on associe un [[w:Vecteur_d'onde#Définition_physique|vecteur d'onde]] «<math>\;\vec{k} = \dfrac{2\, \pi}{\lambda_0}\, \vec{u}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide <math>\;\color{transparent}{\lambda_0}\;</math> se propageant dans la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}}</math>, }}la direction de <math>\;\vec{k}\;</math> correspondant à la définition du [[w:Rayon_lumineux#Définition|rayon lumineux en optique géométrique]] et <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide <math>\;\color{transparent}{\lambda_0}\;</math> se propageant dans la direction <math>\;\color{transparent}{\vec{u}}</math>, la direction de <math>\;\color{transparent}{\vec{k}}\;</math> }}étant <math>\;\perp\;</math> au [[w:Champ_électromagnétique|champ électromagnétique]] <math>\;(\vec{E},\, \vec{B})\;</math><ref name="onde dans le vide transversale"> L'onde étant transversale dans le vide.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique }}la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]] »<ref name="Poynting" /> défini à partir des composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde <br>{{Al|11}}{{Transparent|à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » défini }}selon «<math>\;\vec{\Pi} = \dfrac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}\;</math>»<ref> <math>\;\mu_0\;</math> étant la [[w:Perméabilité_du_vide|perméabilité magnétique du vide]]. </ref>, lequel est colinéaire à <math>\;\vec{k}\;</math><ref name="onde dans le vide transversale" />, c'est-à-dire <br>{{Al|11}}{{Transparent|à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » }}porté par le [[w:Rayon_lumineux#Définition|rayon lumineux de l'optique géométrique]] ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique }}la norme du [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]]<ref name="Poynting" /> d'une [[w:Onde_monochromatique|composante monochromatique]] solaire représente la puissance lumineuse transportée par unité d'aire de section droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique }}la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de la norme du [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]]<ref name="Poynting" /> de cette composante » mais aussi <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte }}« de l'orientation du [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]]<ref name="Poynting" /> relativement à la surface »<ref> Pour que la puissance solaire reçue par la surface soit maximale il faut que le [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]] soit <math>\;\perp</math> à cette surface, et si au contraire, les rayons solaires sont quasi-rasants relativement à cette surface, la puissance solaire reçue est quasi nulle.</ref>, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique }}la définition de la puissance <math>\;\big(</math>instantanée<math>\big)\;</math> reçue par la surface <math>\;(S)\;</math> comme le « [[w:Flux_(physique)#Définition|flux]] du [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]]<ref name="Poynting" /> à travers cette surface <math>\;(S)\;</math> orientée »<ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|à une composante monochromatique la définition de la puissance <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>instantanée<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> reçue par la surface <math>\;\color{transparent}{(S)}\;</math> comme le }}«<math>\;\Phi_{(S)}\! \left( \vec{\Pi},\, t \right) = \displaystyle\iint_{(S)} \left[ \vec{\Pi}(M,\, t)\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M \right]\;</math>»<ref> La puissance instantanée est sans intérêt à l'échelle de temps macroscopique <math>\big(\simeq 1\; s\big)\;</math> ou mésoscopique <math>\big(\simeq 1\; \mu s\big)\;</math> <math>\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_intensité,_tension,_puissance#Échelles_macroscopique,_mésoscopique_et_microscopique_de_temps|échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps]] » du chap.<math>21</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big\}\;</math> car elle varie à la fréquence <math>\;2\, \nu</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;\nu\;</math> fréquence de l'[[w:Onde_monochromatique|onde monochromatique]], la raison du facteur <math>\;2\;</math> étant que le produit <math>\;\big(</math>vectoriel<math>\big)\;</math> de <math>\;\vec{E}\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math> sinusoïdaux de fréquence <math>\;\nu\;</math> est sinusoïdal de fréquence <math>\;2\, \nu\;</math> comme sur l'exemple du produit de fonctions scalaires <math>\;2\, \sin(2\, \pi\, \nu\, t)\, \cos(2\, \pi\, \nu\, t) =</math> <math>\sin(4\, \pi\, \nu\, t)\;</math> <math>\ldots\big]\;</math> et <math>\;\nu\;</math> étant très grande, la puissance lumineuse perçue à cette échelle de temps est la [[w:Moyenne#Valeur_moyenne_d'une_fonction|moyenne temporelle de la puissance instantanée]] c.-à-d. le « flux du [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]] moyen à travers la surface <math>\;(S)\;</math> orientée » «<math>\;\Phi_{(S)}\! \left( \left\langle \vec{\Pi} \right\rangle \right) = \displaystyle\iint_{(S)} \left[ \left\langle \vec{\Pi}(M,\, t) \right\rangle\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M \right]\;</math>» <math>\;\big\{</math>le symbole <math>\;\left\langle \;?\; \right\rangle\;</math> signifiant moyenne temporelle de <math>\;?\;\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ayant défini au chap.<math>9</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » l'« [[Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus#Notion d'éclairement d'une onde lumineuse en un point|éclairement au point M]] <math>\;\mathcal{E}(M)\;</math> transporté par l'onde lumineuse en ce point <math>\;M\;</math>», nous constatons qu'il est aussi <math>\;\propto\;</math> à la norme du [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]] moyen soit «<math>\;\mathcal{E}(M) \propto \left\Vert \left\langle \vec{\Pi}(M,\, t) \right\rangle \right\Vert\;</math>» car, si on appelle <math>\;\alpha\;</math> l'angle que fait le [[w:Vecteur_de_Pçynting|vecteur de Poynting]] avec la normale à l'élément de surface <math>\;(dS)</math>, la puissance lumineuse moyenne reçue par <math>\;(dS)\;</math> s'obtient par l'une ou l'autre des méthodes <math>\;\mathcal{P}_{\text{moy reçue par }dS} \left\lbrace \begin{array}{l}\propto\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \mathcal{E}(M)\; \cos(\alpha)\; dS\\= \Phi_{(dS)}\! \left( \left\langle \vec{\Pi} \right\rangle \right) = \left\langle \vec{\Pi}(M,\, t) \right\rangle\! \cdot\! \overrightarrow{dS}_M = \left\Vert \left\langle \vec{\Pi}(M,\, t) \right\rangle \right\Vert\, \cos(\alpha)\, dS\end{array} \right.</math>.</ref>. ==== Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés ==== {{Al|5}}On souhaite calculer le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux du champ vectoriel]] <math>\;\vec{A}(M) = A_0\, \vec{u}_z\;</math> à travers « une [[w:Calotte_sphérique|calotte sphérique]] » <math>\;(S)_{\text{calotte}}\;</math><ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> de demi-angle d'ouverture <math>\;\alpha\;</math> d'une [[w:Sphère|sphère]]<ref name="sphère et boule" /> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math><ref> C.-à-d. la portion de [[w:Sphère|sphère]] résultant de l'intersection de la [[w:Sphère|sphère]] de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;R\;</math> avec l'expansion volumique limitée par le [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\alpha</math>, le centre de la [[w:Calotte_sphérique|calotte sphérique]] étant le « pôle Nord de la [[w:Sphère|sphère]] ».</ref> ; {{Al|5}}compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle <math>\;O\;</math> et d'axe <math>\;Oz\;</math>» s'impose, le point <math>\;M\;</math> de la [[w:Calotte_sphérique|calotte sphérique]] étant de coordonnées sphériques <math>\;(R,\, \theta,\, \varphi)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}\;</math>» s'impose, le point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de la calotte sphérique étant de }}avec «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;\alpha\;</math>» et «<math>\;\varphi\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}\;</math>» s'impose, }}le vecteur élément de surface au point <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\overrightarrow{dS}_M = R^2\, \sin(\theta)\, d \theta\, d \varphi\, \vec{u}_r\;</math>»<ref name="dS d'une portion de sphère en sphérique" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}\;</math>» s'impose, }}le champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> ayant pour composantes sphériques dans la base locale de <math>\;M</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> et d'axe <math>\;\color{transparent}{Oz}\;</math>» s'impose, le champ vectoriel }}«<math>\;\vec{A}(M) = A_0\, \vec{u}_z = A_0\, \cos(\theta)\, \vec{u}_r - A_0\, \sin(\theta)\, \vec{u}_\theta\;</math>» ; {{Al|5}}le [[w:Flux_(physique)#Définition|flux du champ vectoriel]] <math>\;\vec{A}(M)\;</math> à travers <math>\;(S)_{\text{calotte}}\;</math><ref name="flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte" /> étant défini par «<math>\;\Phi_{(S)_{\text{calotte}}}(\vec{A}) = \displaystyle\iint\limits_{(S)_{\text{calotte}}} A_0\, \vec{u}_z\! \cdot \overrightarrow{dS}_M = \displaystyle\iint\limits_{(S)_{\text{calotte}}} A_0\, \vec{u}_z\! \cdot \left[ R^2 \sin(\theta)\, d \theta\, d \varphi\, \vec{u}_r \right]\;</math>» se réécrit <br>{{Al|10}}{{Transparent|le flux du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> à travers <math>\;\color{transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;</math> étant défini par }}«<math>\;\Phi_{(S)_{\text{calotte}}}(\vec{A}) = \displaystyle\iint\limits_{(S)_{\text{calotte}}} A_0\, \cos(\theta)\, R^2 \sin(\theta)\, d \theta\, d \varphi = \displaystyle\int_0^\alpha \left\lbrace A_0\, R^2\, \cos(\theta)\, \sin(\theta) \left[ \displaystyle\int_0^{2\, \pi} d \varphi \right] d \theta\right\rbrace\;</math>»<ref> Les intégrales étant d'ailleurs indépendantes.</ref> soit encore, <br>{{Al|10}}{{Transparent|le flux du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> à travers <math>\;\color{transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;</math> étant défini par }}«<math>\;\Phi_{(S)_{\text{calotte}}}(\vec{A}) = A_0\, \pi\, R^2\, \displaystyle\int_0^\alpha 2\, \cos(\theta)\, \sin(\theta)\, d \theta\;</math>»<ref> En effet, l'intégrale sur <math>\;\varphi</math>, «<math>\;\displaystyle\int_0^{2\, \pi} d \varphi\;</math> valant <math>\;2\;\pi\;</math>».</ref>, cette intégrale se calculant, entre autres, par linéarisation<ref> On peut aussi utiliser <math>\;\cos(\theta)\;</math> dérivée de <math>\;\sin(\theta)\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int_0^\alpha 2\, \cos(\theta)\, \sin(\theta)\, d \theta = \displaystyle\int_0^\alpha 2\, \sin(\theta)\, d\! \left[ \sin(\theta) \right] = \left[ \sin^2(\theta) \right]_0^\alpha = \sin^2(\alpha)</math>.</ref> selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|le flux du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> à travers <math>\;\color{transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;</math> étant défini par }}«<math>\;\displaystyle\int_0^\alpha 2\, \cos(\theta)\, \sin(\theta)\, d \theta = \displaystyle\int_0^\alpha \sin(2\, \theta)\, d \theta = \left[ \dfrac{-\cos(2\, \theta)}{2} \right]_0^\alpha = \dfrac{1 - \cos(2\, \alpha)}{2}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|le flux du champ vectoriel <math>\;\color{transparent}{\vec{A}(M)}\;</math> à travers <math>\;\color{transparent}{(S)_{\text{calotte}}}\;</math> étant défini par }}«<math>\;\Phi_{(S)_{\text{calotte}}}(\vec{A}) = A_0\, \pi\, R^2\, \dfrac{1 - \cos(2\, \alpha)}{2} = A_0\, \pi\, R^2\, \sin^2(\alpha)\;</math>» à l'aide de formule trigonométrique de duplication. === Notion de surface élémentaire semi-intégrée === {{Al|5}}Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée »<ref> C'est une appellation personnelle pour traduire que la surface élémentaire qui est, ''a priori'', un produit de deux infiniment petits d'ordre un, a été partiellement intégrée pour devenir un infiniment petit d'ordre un.</ref> peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples : * quand la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> sur une [[w:Sphère|sphère]]<ref name="sphère et boule" /> <math>\;(S)\;</math> de rayon <math>R\;</math><u>ne dépend pas de la longitude</u><math>\;\varphi</math> <math>\;\big(</math><u>mais dépend de la colatitude</u> <math>\;\theta\big)</math>, on peut envisager une « <u>couronne élémentaire de sphère comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches</u><math>\;\theta\;</math><u>et</u><math>\;\theta + d \theta\;</math><u>comme surface élémentaire semi intégrée</u> », d'aire «<math>\;dS_{\text{couronne de sphère sur }\left[ \theta,\, \theta + d \theta \right]} = 2\, \pi\, R\, \sin(\theta)\, R\, d \theta\;</math>»<ref> Longueur du parallèle de colatitude <math>\;\theta</math>, <math>\;2\, \pi\, R\, \sin(\theta)</math> <math>\;\big[</math>le rayon du parallèle étant <math>\;R\, \sin(\theta)\big]\;</math> multipliée par la largeur de la couronne <math>\;R\, d \theta</math>.</ref> résultant de l'intégration sur <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math> de l'aire élémentaire <math>\;dS = R\, \sin(\theta)\, d \varphi\, R\, d \theta\;</math><ref name="f(M) indépendant de la longitude"> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant pas de <math>\;\varphi\;</math> peut être sorti de l'intégrale sur <math>\;\varphi\;</math> d'où la justification de l'intégration de l'aire élémentaire sur <math>\;\varphi</math>, ce qui revient au remplacement de <math>\;d \varphi\;</math> par <math>\;2\, \pi\;</math> pour passer de l'aire élémentaire à l'aire élémentaire semi intégrée.</ref> ; <br>l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] «<math>\left.\begin{array}{c}\\ \displaystyle\oiint_{(S)} f(\theta)\, dS\\ \\ \end{array}\right.\;</math>»<ref name="intégrale surfacique sur une surface fermée"> La surface d'intégration étant fermée <math>\;\big(</math>on intègre sur la [[w:Sphère|sphère]] complète<math>\big)\;</math> on note l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] en ajoutant un <math>\;O\;</math> sur l'intégrale double «<math>\left.\begin{array}{c}\\ \displaystyle\oiint \\ \\ \end{array}\right.</math>» <math>\Bigg(</math>la notation est identique pour une intégrale curviligne sur une courbe fermée «<math>\;\oint\;</math>»<math>\Bigg)</math>.</ref>{{,}}<ref> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant pas de <math>\;\varphi\;</math> ne dépend que de <math>\;\theta\;</math> <math>\big[f(M)\;</math> est constante sur un parallèle<math>\big]\;</math> d'où l'expression de l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]].</ref> peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «<math>\;\displaystyle\int_0^\pi f(\theta)\, dS_{\text{couronne de sphère sur }\left[ \theta,\, \theta + d \theta \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|14}}{{Transparent|l'intégrale surfacique «<math>\color{transparent}{\left. \displaystyle\oiint_{(S)} f(\theta)\, dS \right.}\;</math>» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée }}«<math>\;\displaystyle\int_0^\pi f(\theta)\, 2\, \pi\, R\, \sin(\theta)\, R\, d \theta\;</math>»<ref name="assez fréquemment utilisé"> Assez fréquemment utilisé <math>\;\big(</math>mais si on n'y pense pas, on ne perd que peu de temps<math>\big)</math>.</ref> ; * quand la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> sur la surface latérale d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\;(K)\;</math> de sommet <math>\;O</math>, d'axe <math>\;Oz\;</math> et de demi-angle au sommet <math>\;\alpha\;</math><u>ne dépend pas de la longitude</u><math>\;\varphi</math><math>\;\big(</math><u>mais dépend du rayon polaire</u><math>\;r\big)</math>, on peut envisager une « <u>couronne élémentaire de cône comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches</u><math>\;r\;</math><u>et</u><math>\;r + dr\;</math><u>comme surface élémentaire semi intégrée</u> », d'aire {{Nobr|«<math>\;dS_{\text{couronne de cône sur }\left[ r,\, r + dr \right]} =</math>}} <math>2\, \pi\, r\, \sin(\alpha)\, dr\;</math>»<ref> Longueur du parallèle de colatitude <math>\;\alpha</math>, <math>\;2\, \pi\, r\, \sin(\alpha)</math> <math>\;\big[</math>le rayon du parallèle étant <math>\;r\, \sin(\alpha)\big]\;</math> multipliée par <math>\;dr</math>, la largeur de la couronne de cône.</ref> résultant de l'intégration sur <math>\;\varphi\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math> de l'aire élémentaire <math>\;dS = r\, \sin(\alpha)\, d \varphi\, dr\;</math><ref name="f(M) indépendant de la longitude" /> ; <br>l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] «<math>\;\displaystyle\iint_{(K)} f(r)\, dS\;</math>»<ref> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant pas de <math>\;\varphi\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> <math>\big[f(M)</math> est constante sur un parallèle<math>\big]\;</math> d'où l'expression de l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]].</ref> peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «<math>\;\displaystyle\int_0^{r_{\text{max}}} f(r)\, dS_{\text{couronne de cône sur }\left[ r,\, r + dr \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|6}}{{Transparent|l'intégrale surfacique «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint_{(K)} f(r)\, dS}\;</math>» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée }}«<math>\;\displaystyle\int_0^{r_{\text{max}}} f(r)\, 2\, \pi\, r\, \sin(\alpha)\, dr\;</math>»<ref> Nettement moins fréquemment utilisé que dans le cas précédent d'une [[w:Sphère|sphère]] ou le cas suivant d'un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]].</ref> ; * quand la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> sur un [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> <math>\;(T)\;</math> d'axe <math>\;Oz</math>, de rayon <math>R\;</math> et de hauteur <math>H\;</math><u>ne dépend pas de l'abscisse angulaire</u><math>\;\theta</math><math>\;\big(</math><u>mais dépend de la cote</u><math>\;z\big)</math>, on peut envisager un « <u>[[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> élémentaire compris entre les deux cotes infiniment proches</u><math>\;z\;</math><u>et</u><math>\;z + dz\;</math><u>comme surface élémentaire semi intégrée</u> », d'aire {{Nobr|«<math>\;dS_{\text{tuyau cylind. sur }\left[ z,\, z + dz \right]}</math>}} <math>= 2\, \pi\, R\, dz\;</math>»<ref> Longueur du contour de la section du tuyau de cote <math>\;z</math>, <math>\;2\, \pi\, R\;</math> multipliée par la hauteur du [[w:Cylindre_de_révolution|tuyau cylindrique de révolution]]<math>\;dz</math>.</ref> résultant de l'intégration sur <math>\;\theta\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math> de l'aire élémentaire <math>\;dS = R\, d \theta\, dz\;</math><ref> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant pas de <math>\;\theta\;</math> peut être sorti de l'intégrale sur <math>\;\theta\;</math> d'où la justification de l'intégration de l'aire élémentaire sur <math>\;\theta</math>, ce qui revient au remplacement de <math>\;d \theta\;</math> par <math>\;2\, \pi\;</math> pour passer de l'aire élémentaire à l'aire élémentaire semi intégrée.</ref> ; <br>l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]] «<math>\;\displaystyle\iint_{(T)} f(z)\, dS\;</math>»<ref> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant pas de <math>\;\theta\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> <math>\big[f(M)\;</math> est constante sur un contour de tuyau<math>\big]\;</math> d'où l'expression de l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]].</ref> peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «<math>\;\displaystyle\int_0^H f(z)\, dS_{\text{tuyau cylind. sur }\left[ z,\, z + dz \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|6}}{{Transparent|l'intégrale surfacique «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iint_{(T)} f(z)\, dS}\;</math>» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée }}«<math>\;\displaystyle\int_0^H f(z)\, 2\, \pi\, R\, dz\;</math>»<ref> Encore plus fréquemment utilisé que dans le cas d'une [[w:Sphère|sphère]] donc à utiliser sans hésitation.</ref>. == Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume) == === Définition === {{Al|5}}L'élément de volume en un point <math>\;M\;</math> de l'« expansion tridimensionnelle »<ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle"> Alors qu'il existe deux termes en français pour distinguer l'expansion spatiale à deux dimensions que l'on nomme « surface », de la mesure de cette expansion que l'on nomme « aire », pour l'expansion spatiale à trois dimensions et sa mesure il n'y a qu'un seul terme le « volume », c'est là l'une des rares insuffisances de la langue française ! Pour éviter cela, on peut réserver le terme « volume » à la mesure et parler d'« expansion tridimensionnelle <math>\;\big(</math>ou volumique<math>\big)\;</math>» pour l'ensemble de points et c'est ce qui sera fait autant que possible.</ref> <math>\;(\mathcal{V})</math>, noté <math>\;d\mathcal{V}_M\;</math><ref> Ou simplement <math>\;d\mathcal{V}\;</math> s'il n'y a pas ambigüité </ref>, est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en <math>\;M\;\in\;(\mathcal{V})</math>, <br>{{Al|15}}{{Transparent|L'élément de volume en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de l'« expansion tridimensionnelle » <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}</math>, noté <math>\;\color{transparent}{d\mathcal{V}_M}\;</math>, est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires }}<math>\;\overrightarrow{dM_1}</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_3}\;</math> selon <br>{{Al|9}}{{Transparent|L'élément de volume en un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de l'« expansion tridimensionnelle » <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}</math>, noté }}«<math>\;d\mathcal{V}_M = \left( \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \right)\! \cdot \overrightarrow{dM_3}\;</math>»<ref name="produit mixte de trois vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="valeur absolue de produit mixte de trois vecteurs non coplanaires"> On rappelle que la valeur absolue du produit mixte <math>\;\left\vert \left( \overrightarrow{dM_1} \wedge \overrightarrow{dM_2} \right)\! \cdot \overrightarrow{dM_3} \right\vert\;</math> représente le volume du parallélépipède construit à partir des vecteurs <math>\;\overrightarrow{dM_1}</math>, <math>\;\overrightarrow{dM_2}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{dM_3}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Interprétation_géométrique_de_la_valeur_absolue_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs_non_coplanaires|interprétation géométrique du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="nécessité d'orienter l'espace" />. === Propriété === {{Al|5}}Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}d\mathcal{V}_M = \left( \overrightarrow{dM_2} \wedge \overrightarrow{dM_3} \right)\! \cdot \overrightarrow{dM_1}\\ \text{ou encore}\\d\mathcal{V}_M = \left( \overrightarrow{dM_3} \wedge \overrightarrow{dM_1} \right)\! \cdot \overrightarrow{dM_2} \end{array}\right.</math>. === Pratique courante === {{Al|5}}Soient <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)\;</math> une base orthonormée « directe »<ref name="base directe" /> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> et les déplacements élémentaires de <math>\;M\;\in\;(\mathcal{V})\;</math> construits le long de chaque <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)}\;</math> une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math> et les déplacements élémentaires de <math>\;\color{transparent}{M\;\in\;(\mathcal{V})}\;</math> }}«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\overrightarrow{dM}_1 = dM_1\; \vec{u}_1 \\ \overrightarrow{dM}_2 = dM_2\; \vec{u}_2 \\ \overrightarrow{dM}_3 = dM_3\; \vec{u}_3 \end{array} \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)}\;</math> une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math> }}on en déduit l'élément de volume en <math>\;M\;</math> «<math>\;d\mathcal{V}_M = dM_1\; dM_2\; dM_3\, \left( \vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2 \right)\! \cdot \vec{u}_3\;</math>» soit, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Soient <math>\;\color{transparent}{(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)}\;</math> une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math> }}avec «<math>\;\left( \vec{u}_1 \wedge \vec{u}_2 \right)\! \cdot \vec{u}_3 = 1\;</math>»<ref> Résultant du caractère orthonormé direct de la base <math>\;(\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, \vec{u}_3)</math>.</ref>, {{Al|11}}«<math>\;d\mathcal{V}_M = dM_1\; dM_2\; dM_3\;</math>». === Expression en paramétrage cartésien === {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> volume élémentaire en cartésien|contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;d\mathcal{V}_M = dx\; dy\; dz\;</math>»<ref> Le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = dx\; \vec{u}_x + dy\; \vec{u}_y + dz\; \vec{u}_z\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cartésien|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</div>}} === Expression en paramétrage cylindro-polaire === {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> volume élémentaire en cylindro-polaire|contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;d\mathcal{V}_M = \rho\; d \rho\; d \theta\; dz\;</math>»<ref> Le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = d \rho\; \vec{u}_\rho + \rho\, d \theta\; \vec{u}_\theta + dz\; \vec{u}_z\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</div>}} === Expression en paramétrage sphérique === {{Proposition|titre = À retenir <math>\rightsquigarrow</math> volume élémentaire en sphérique|contenu = <div style="text-align: center;">«<math>\;d\mathcal{V}_M = r^2\; \sin(\theta)\; dr\; d \theta\; d \varphi\;</math>»<ref> Le vecteur déplacement élémentaire s'écrivant <math>\;\overrightarrow{dM} = dr\; \vec{u}_r + r\, d \theta\; \vec{u}_\theta + r\, \sin(\theta)\, d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math> pour un déplacement quelconque <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</div>}} == Notions d'intégrale volumique == {{Al|5}}Ce paragraphe prolonge la « définition des [[w:Intégrale_curviligne|intégrales curvilignes]] »<ref name="définition d'une intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="rappel intégrale curviligne" /> et « celle des [[w:Intégrale_de_surface|intégrales surfaciques]] »<ref name="ou de surface" />{{,}}<ref name="définition d'une intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle<ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> au lieu de se déplacer sur une surface ou une courbe. === Les deux types d'intégrales volumiques === {{Al|5}}Dans une intégrale volumique on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction <math>-</math> scalaire ou vectorielle <math>-</math> d'un point <math>\;M\;</math> assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » <math>\;(\mathcal{V})\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> usuellement limitée par « une surface continue fermée » ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans une intégrale volumique }}la contribution élémentaire d'une fonction scalaire <math>\;f(M)</math> est «<math>\;f(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>» où <math>\;d\mathcal{V}_M\;</math> est le volume élémentaire en <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{V})\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Dans une intégrale volumique la contribution élément }}celle d'une fonction vectorielle de densité volumique <math>\;\vec{A}_V(M)\;</math> est «<math>\;\delta \vec{\mathcal{A}} = \vec{A}_V(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;d\mathcal{V}_M\;</math> le volume élémentaire en <math>\;M\;</math> de <math>\;(\mathcal{V})\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique }}<math>\;\vec{A}_V(M)\;</math> effectivement la densité volumique du champ vectoriel <math>\;\vec{\mathcal{A}}\;</math> car <math>\;\vec{A}_V(M) = \dfrac{\delta \vec{\mathcal{A}}}{d\mathcal{V}_M}</math> ; {{Al|5}}les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant <math>\;(\Sigma)\;</math> la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" />, <math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}} f(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>» ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math>, }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}} \delta \vec{\mathcal{A}} = \vec{\mathcal{A}}\! \left[ (\mathcal{V})_{(\Sigma)} \right]\;</math>» champ vectoriel <math>\;\vec{\mathcal{A}}\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}cette portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}} \vec{A}_V(M)\; d\mathcal{V}_M = \vec{\mathcal{A}}\! \left[ (\mathcal{V})_{(\Sigma)} \right]\;</math>» avec <math>\;\vec{A}_V(M)\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant <math>\;\color{transparent}{(\Sigma)}\;</math> la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})}\;</math>, <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>« }}la densité volumique du champ vectoriel <math>\;\vec{\mathcal{A}}</math> ; {{Al|5}}après choix d'un paramétrage de <math>\;M\;</math> dans la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})_{(\Sigma)}\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" />, paramètres notés <math>\;(p_1,\, p_2,\, p_3)\;</math><ref> En effet la portion d'expansion tridimensionnelle étant un espace à trois dimensions nécessite trois paramètres qui peuvent être <math>\;x</math>, <math>\;y\;</math> et <math>\;z\;</math> en repérage cartésien ou <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> et <math>\;z\;</math> en repérage cylindro-polaire ou <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> en repérage sphérique <math>\;\ldots</math> Nous les notons <math>\;p_1</math>, <math>\;p_2\;</math> et <math>\;p_3\;</math> quand nous ne souhaitons pas préciser le type de repérage.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> }}l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle, <br>{{Al|11}}{{Transparent|après choix d'un paramétrage de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans la portion d'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> }}méthode identique à celle de calcul d'une [[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> rappelée au paragraphe suivant. === Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique === ==== Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle ==== {{Al|5}}Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})_{(\Sigma)}\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> par <math>\;p_1</math>, <math>\;p_2\;</math> et <math>\;p_3</math>, on procède comme suit <math>\bullet\;</math>on fige deux des paramètres par exemple <math>\;p_1\;</math> et <math>\;p_2\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}on intègre sur le dernier <math>\;p_3\;</math> entre les bornes dépendant, a priori, de <math>\;p_1\;</math> et <math>\;p_2</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le résultat de cette 1^ère intégration dépendant, dans ce cas, de ces deux derniers <math>\;p_1\;</math> et <math>\;p_2</math>, puis <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit }}<math>\bullet\;</math>on libère un seul des deux paramètres par exemple <math>\;p_2\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}on intègre sur <math>\;p_2\;</math> entre les bornes dépendant, a priori, du dernier paramètre figé <math>\;p_1</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}le résultat de cette 2^ème intégration dépendant, dans ce cas, du dernier paramètre figé <math>\;p_1</math>, enfin <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit }}<math>\bullet\;</math>on libère le dernier paramètre <math>\;p_1\;</math> et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}on intègre sur <math>\;p_1\;</math> entre les bornes dépendant des limites spatiales de <math>\;p_1\;</math> sur <math>\;(\Sigma)\;</math> de la portion <br>{{Al|10}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>on intègre sur <math>\;\color{transparent}{p_1}\;</math> entre les bornes dépendant des }}d'expansion tridimensionnelle <math>\;(\mathcal{V})_{(\Sigma)}\;</math><ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit }}<math>\succ\;</math>si les bornes de la 1^ère intégration sur le paramètre <math>\;p_3\;</math> dépendent au moins d'un des paramètres <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}figés <math>\;p_1\;</math> et <math>\;p_2</math>, les trois intégrales sont dites « <u>emboîtées</u> », le calcul des deux autres intégrales <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big\{</math>revenant à un calcul d'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<math>\big\}\;</math> nécessitant de connaître le résultat de la 1^ère<ref> En physique c'est très rarement le cas, les bornes d'intégration sur l'un des paramètres choisis au hasard étant indépendantes des deux autres paramètres figés, dans ce cas les intégrales sont indépendantes et l'intégrale volumique revient simplement à un produit d'intégrales sur un intervalle, l'ordre d'intégration étant alors quelconque.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit }}<math>\succ\;</math>si l'ordre d'intervention des paramètres choisi conduit à une 1^ère intégration n'aboutissant pas<ref name="N'aboutissant pas" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}les deux autres ne peuvent être faites mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit }}<math>\succ\;</math>il existe un « [[w:Théorème_de_Fubini|théorème de Fubini]] »<ref name="Fubini" /> précisant qu'il est possible de permuter les intégrations<ref name="Permutations" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation réussie, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit }}<math>\succ\;</math>ce qui a été exposé pour la 1^ère intégration peut être répété pour la 2^nde en adaptant le paragraphe <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}« [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] (<math>\succ</math>) » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle <math>\;\color{transparent}{(\mathcal{V})_{(\Sigma)}}\;</math> par <math>\;\color{transparent}{p_1}</math>, <math>\;\color{transparent}{p_2}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, on procède comme suit <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>« les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes }}plus haut dans ce chapitre <math>\;\ldots</math> ==== Méthode se ramenant à une intégrale surfacique et une intégrale sur un intervalle ==== {{Al|5}}On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », mais en une [[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> suivie d'une intégrale sur un intervalle, en effet <br>{{Al|4}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », }}figer un paramètre, par exemple <math>\;p_3</math>, parmi les trois aboutit à une intégrale sur les deux autres, sur l'exemple <math>\;(p_1\,,\, p_2)</math>, c'est-à-dire <br>{{Al|4}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, parmi les trois aboutit }}à une [[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" />, cela peut donc être plus rapide si, <br>{{Al|4}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, parmi les trois aboutit }}pour l'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" />, on connaît déjà le résultat connu, <br>{{Al|4}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer un paramètre, par exemple <math>\;\color{transparent}{p_3}</math>, parmi les trois aboutit }}dans ce cas la méthode à utiliser est la suivante : <br>{{Al|4}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », }}figer le paramètre aboutissant à un calcul d'[[w:Intégrale_de_surface|intégrale surfacique]]<ref name="ou de surface" /> de résultat connu <math>\;\big(</math>correspondant donc à une intégration sur <br>{{Al|10}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », figer le paramètre aboutissant à un calcul d'intégrale surfacique de résultat }}les deux autres paramètres laissés libres<math>\big)</math>, puis <br>{{Al|4}}{{Transparent|On peut décomposer le calcul, non pas en trois intégrales « emboîtées », }}libérer ce paramètre et terminer en intégrant sur lui entre ses bornes de variation. === Exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un calcul de volume d'expansion tridimensionnelle<ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> est une intégrale volumique de la fonction scalaire <math>\;f(M) = 1\;</math> sur l'expansion tridimensionnelle<ref name="distinction volume et expansion tridimensionnelle" /> dont on cherche le volume<ref> Un « volume d'expansion tridimensionnelle » est toujours non algébrisé ; la méthode de calcul d'un volume d'expansion tridimensionnelle <math>\;\big(</math>donc non algébrisé<math>\big)\;</math> introduisant un volume élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir un volume positif, de faire varier les paramètres choisis dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> de leur variation.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation. {{Proposition|titre=À retenir <math>\rightsquigarrow</math> Volume d'expansions tridimensionnelles classiques| contenu = {{Al|5}}Volume d'un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> de rayon <math>\;R\;</math> et de hauteur <math>\;H</math> : {{Al|12}}«<math>\;\mathcal{V}_{\text{cylindre de révol.}} = \pi\, R^2\, H\;</math>»<ref> Produit de l'aire de la base par la hauteur.</ref>, {{Al|5}}Volume d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de hauteur <math>\;H\;</math> dont la base est de rayon <math>\;R</math> : «<math>\;\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}} = \dfrac{\pi\, R^2\, H}{3}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Volume d'un cône de révolution de hauteur <math>\;\color{transparent}{H}\;</math> dont la base est de rayon <math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}«<math>\;\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}} = \dfrac{\mathcal{V}_{\text{cylindre de révol. de }\hat{\text{m}} \text{ param.}}}{3}\;</math>»<ref> Un tiers du volume du [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]] de même base et de même hauteur.</ref>, {{Al|5}}Volume d'une [[w:Boule_(solide)|boule]]<ref name="sphère et boule" /> de rayon <math>\;R</math> :{{Al|65}}«<math>\;\mathcal{V}_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\, \pi\, R^3\;</math>»<ref> Attention mathématiquement une « [[w:Sphère|sphère]] » est une surface <math>\;\big(</math>fermée<math>\big)</math>, l'intérieur de cette surface définit une « [[w:Boule_(solide)|boule]] » ; parler du volume d'une [[w:Sphère|sphère]] n'a donc aucun sens <math>\;\ldots</math></ref>.}} {{Al|5}}<u>Établissement du volume d'un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> de rayon</u><math>\;R\;</math><u>et de hauteur</u><math>\;H</math> : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant pour axe <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> l'axe de révolution du cylindre et <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : on utilise le repérage cylindro-polaire ayant }}pour pôle <math>\;O\;</math> le centre de la base inférieure, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : }}le volume élémentaire étant «<math>\;d\mathcal{V}_M = \rho\, d \rho\, d \theta\, dz\;</math>»<ref name="dV en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expression_en_paramétrage_cylindro-polaire|expression en paramétrage cylindro-polaire]] du volume élémentaire » plus haut dans ce chapitre.</ref>, «<math>\;\theta\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>», «<math>\;\rho\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;R\;</math>» et <br>{{Al|18}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : le volume élémentaire étant «<math>\;\color{transparent}{d\mathcal{V}_M = \rho\, d \rho\, d \theta\, dz}\;</math>» }}«<math>\;z\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;H\;</math>» <math>\Rightarrow</math> les intégrales sont indépendantes, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : }}le volume est donc le produit de trois intégrales sur un intervalle <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : }}«<math>\;\mathcal{V}_{\text{cylindre de révol.}} = \displaystyle\int_0^R \rho\, d \rho \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} d \theta \times \displaystyle\int_0^{H} dz = \left[ \dfrac{\rho^2}{2} \right]_0^R \times \left[ \theta \right]_0^{2\, \pi} \times \left[ z \right]_0^H = \dfrac{R^2}{2} \times 2\,\pi \times H\;</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon<math>\;\color{transparent}{R}\;</math>et de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{cylindre de révol.}}}</math> }}<math>= \pi\, R^2\, H\;</math>»<ref> Voir aussi l'utilisation d'un volume élémentaire semi-intégré dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Présentation|présentation]] (de la notion de volume élémentaire semi-intégré quand la fonction à intégrer sur le [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]] ne dépend ni du rayon polaire ni de l'abscisse angulaire) » plus bas dans ce chapitre.</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Établissement du volume d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de hauteur</u><math>\;H\;</math><u>et dont la base est de rayon</u><math>\;R</math> : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône <math>\;O\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : on utilise le repérage sphérique }}d'axe « l'axe de révolution <math>\;Oz\;</math> orienté vers la base du [[w:Cône_de_révolution|cône]] »<ref> Car c'était le meilleur repérage pour calculer l'aire de la surface latérale du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\Rightarrow</math> dans le cas du calcul du volume ce repérage est toujours possible mais l'utilisation simultanée du repérage cylindro-polaire et de la notion de volume élémentaire semi-intégré est de calcul plus simple <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « application d'une des formes de volume élémentaire semi-intégré au [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Application_au_calcul_du_volume_d'un_cône_de_révolution|calcul du volume d'un cône de révolution]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math> ; nous commençons néanmoins par le repérage sphérique.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}le volume élémentaire étant «<math>\;d\mathcal{V}_M = r^2\, dr\, \sin(\theta)\, d \theta\, d \varphi\;</math>»<ref name="dV en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Expression_en_paramétrage_sphérique|expression en paramétrage sphérique]] du volume élémentaire » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec les trois intégrales sur un intervalle <br>{{Al|12}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : le volume élémentaire étant «<math>\;\color{transparent}{d\mathcal{V}_M = r^2\, dr\, \sin(\theta)\, d \theta\, d \varphi}\;</math>» avec les trois }}partiellement emboîtées ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}on fige <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta</math>, on intègre sur «<math>\;\varphi\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>»<ref> Cette 1^ère intégrale ne dépend pas des paramètres figés.</ref> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}on libère <math>\;r\;</math> en laissant <math>\;\theta\;</math> figé et on intègre sur «<math>\;r\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;r_{\text{max}}(\theta) = \dfrac{H}{\cos(\theta)}\;</math>»<ref> En effet <math>\;r_{\text{max}}(\theta) = OM_\theta\;</math> où <math>\;M_\theta\;</math> est le point d'intersection avec la base du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] de la sécante issue du sommet et inclinée d'un angle <math>\;\theta\;</math> par rapport à l'axe de révolution <math>\;\cos(\theta) = \dfrac{H}{OM_\theta}\;</math> d'où <math>\;r_{\text{max}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{H}{\cos(\theta)}\;</math> <math>\ldots</math></ref> et enfin <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}on intègre sur «<math>\;\theta\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{R}{H} \right)\;</math>»<ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> En effet <math>\;\alpha\;</math> étant le demi-angle au sommet du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] soit <math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{H}\;</math> d'où <math>\;\alpha = \arctan\! \left( \dfrac{R}{H} \right)\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}le volume est donc le produit de deux intégrales emboîtées et d'une intégrale sur un intervalle <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}«<math>\;\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}} = \left\lbrace \displaystyle\int_0^\alpha \sin(\theta) \left[ \displaystyle\int_0^{r_{\text{max}}(\theta)} r^2\, dr \right] d\theta \right\rbrace \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} d \varphi</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}}}</math> }}<math>= \left\lbrace \displaystyle\int_0^\alpha \sin(\theta) \left[ \dfrac{r^3}{3} \right]_0^{r_{\text{max}}(\theta)} d\theta \right\rbrace \times \left[ \varphi \right]_0^{2\, \pi} = \left\lbrace \displaystyle\int_0^\alpha \sin(\theta)\, \dfrac{\left[ r_{\text{max}}(\theta) \right]^3}{3}\, d\theta \right\rbrace \times 2\,\pi</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}}}</math> }}<math>= \dfrac{2\,\pi}{3}\, \displaystyle\int_0^\alpha \sin(\theta)\, \dfrac{H^3}{\cos^3(\theta)}\, d\theta = \dfrac{2\,\pi\, H^3}{3}\, \displaystyle\int_0^\alpha \dfrac{d \left[- \cos(\theta) \right]}{\cos^3(\theta)}</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}}}</math> }}<math>= \left. \dfrac{2\,\pi\, H^3}{3} \left[ \dfrac{1}{2\, \cos^2(\theta)} \right]_0^\alpha \right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{u^3} = u^{-3}\;</math> admet pour primitive <math>\;\dfrac{u^{(-3 + 1)}}{-3 + 1} = -\dfrac{1}{2\, u^2}</math>.</ref> <math>= \dfrac{\pi\, H^3}{3} \left[ \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1 \right] = \dfrac{\pi\, H^3}{3}\, \tan^2(\alpha)\;</math><ref> On utilise la formule de trigonométrie <math>\;\dfrac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Établissement du volume d'un cône de révolution de hauteur<math>\;\color{transparent}{H}\;</math>et dont la base est de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{cône de révol.}}}</math> }}<math>= \dfrac{\pi\, R^2\, H}{3}\;</math>» en utilisant «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{H}\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. {{Al|5}}<u>Établissement du volume d'une [[w:Boule_(solide)|boule]]<ref name="sphère et boule" /> de rayon</u><math>\;R</math> : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la [[w:Boule_(solide)|boule]]<ref name="sphère et boule" /> <math>\;O\;</math>», le volume élémentaire étant «<math>\;d\mathcal{V}_M = r^2\, dr\, \sin(\theta)\, d \theta\, d \varphi\;</math>»<ref name="dV en sphérique" />, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Établissement du volume d'une boule de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule <math>\;\color{transparent}{O}\;</math>», }}«<math>\;\varphi\;</math> variant de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>», «<math>\;\theta\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi\;</math>» et «<math>\;r\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;R\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Établissement du volume d'une boule de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : on utilise le repérage sphérique de pôle « le centre de la boule <math>\;\color{transparent}{O}\;</math>», «<math>\;\color{transparent}{\varphi}\;</math> variant de <math>\;\color{transparent}{0}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{2\, \pi}\;</math>», }}les intégrales sont indépendantes, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Établissement du volume d'une boule de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : }}le volume est le produit de trois intégrales sur un intervalle «<math>\;\mathcal{V}_{\text{boule}} = \displaystyle\int_0^{R} r^2\, dr \times \displaystyle\int_0^{\pi} \sin(\theta)\, d\theta \times \displaystyle\int_0^{2\, \pi} d\varphi = \left[ \dfrac{r^3}{3} \right]_0^{R} \times \left[ -\cos(\theta) \right]_0^{\pi} \times \left[ \varphi \right]_0^{2\,\pi} </math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Établissement du volume d'une boule de rayon<math>\;\color{transparent}{R}</math> : le volume est le produit de trois intégrales sur un intervalle «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{V}_{\text{boule}}}</math> }}<math>= \dfrac{R^3}{3} \times 2 \times 2\, \pi = \dfrac{4\,\pi}{3}\;R^3\;</math>»<ref> Remarque : l'aire de la [[w:Sphère|sphère]] limitant la [[w:Boule_(solide)|boule]] «<math>\;\mathcal{A}_{\text{sphère}} = 4\, \pi\, R^2\;</math>» <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (4^ème aire à retenir) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\;</math> est la dérivée par rapport à <math>\;R\;</math> du volume de la [[w:Boule_(solide)|boule]] «<math>\;\mathcal{V}_{\text{boule}} = \dfrac{4\, \pi}{3}\, R^3</math>».</ref> C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D." />. === Autres exemples d'intégrale volumique === <center>La liste des exemples est évidemment non exhaustive.</center> {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;f(M)\;</math> peut être une grandeur scalaire volumique » comme la masse volumique «<math>\;\mu(M) = \dfrac{dm}{d\mathcal{V}}(M)\;</math> en <math>\;kg\! \cdot\! m^{-3}\;</math>» ou la charge volumique «<math>\;\rho(M) = \dfrac{dq}{d\mathcal{V}}(M)\;</math> en <math>\;C\! \cdot\! m^{-3}\;</math>», <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f(M)}\;</math> peut être une grandeur scalaire volumique » }}permettant de calculer la masse de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «<math>\;m_{(\mathcal{V})} = \displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})} \mu(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>» ou <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{f(M)}\;</math> peut être une grandeur scalaire volumique » permettant de calculer }}la charge de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «<math>\;q_{(\mathcal{V})} = \displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})} \rho(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\vec{A}_V(M)\;</math> peut être une grandeur vectorielle volumique » comme le poids volumique «<math>\;\overrightarrow{P_\text{oids}}_V = \dfrac{dm\; \vec{g}}{d\mathcal{V}}(M) = \mu(M)\, \vec{g}\;</math> en <math>\;N\! \cdot\! m^{-3}\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\vec{A}_V(M)}\;</math> peut être une grandeur vectorielle volumique » comme }}la force électrique volumique «<math>\;\overrightarrow{F_\text{élec}}_V = \dfrac{dq\; \vec{E}}{d\mathcal{V}}(M) = \rho(M)\, \vec{E}\;</math> en <math>\;N\! \cdot\! m^{-3}\;</math>», <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\vec{A}_V(M)}\;</math> peut être une grandeur vectorielle volumique » }}permettant de calculer le poids de l'expansion volumique par l'intégrale volumique «<math>\;\overrightarrow{P_\text{oids}}_{(\mathcal{V})} = \displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})} \mu(M)\, \vec{g}\; d\mathcal{V}_M = m_{(\mathcal{V})}\, \vec{g}\;</math>»<ref> Il s'agit ici d'une répartition volumique de force de champ de pesanteur où le champ de pesanteur étant uniforme peut être sorti de l'intégrale volumique ce qui fait que la résultante des forces de pesanteur peut s'écrire « masse totale du système <math>\times</math> champ de pesanteur ».</ref> ou <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\vec{A}_V(M)}\;</math> peut être une grandeur vectorielle volumique » permettant de calculer }}la force électrique s'exerçant sur l'expansion volumique «<math>\;\vec{F}_{\text{élec sur }(\mathcal{V})} = \displaystyle\iiint_{(\mathcal{V})} \rho(M)\, \vec{E}(M)\; d\mathcal{V}_M\;</math>»<ref> Il s'agit ici d'une répartition volumique de force de champ électrique où le champ électrique dépendant ''a priori'' du point d'application ne peut être sorti de l'intégrale volumique ce qui fait que la résultante des forces électriques ne fait pas apparaître explicitement la charge totale du système.</ref>. === Notion de volume élémentaire semi-intégré === ==== Présentation ==== {{Al|5}}Cette notion de volume élémentaire « semi-intégré »<ref> C'est une appellation personnelle pour traduire que le volume élémentaire qui est, ''a priori'', un produit de trois infiniment petits d'ordre un, a été partiellement intégré pour devenir un infiniment petit d'ordre un.</ref> peut être utilisée quand la fonction à intégrer ne dépend pas de deux des trois paramètres, exemples : * quand la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> sur une [[w:Boule_(solide)|boule]]<ref name="sphère et boule" /> <math>\;(B)\;</math> de rayon <math>\;R\;</math><u>ne dépend ni de la longitude</u><math>\;\varphi</math>,<u>ni de la colatitude</u><math>\;\theta</math><math>\;\big(</math><u>mais dépend de la rayon polaire</u><math>\;r\big)</math>, on peut envisager le « <u>volume de la [[w:Couronne_(géométrie)Couronne_sphérique|couronne sphérique]] élémentaire comprise entre les deux rayons infiniment proches</u><math>\;r\;</math><u>et</u><math>\;r + dr\;</math><u>comme volume élémentaire semi intégré</u> » soit «<math>\;d\mathcal{V}_{\text{couronne sphérique sur }\left[r,\, r + dr \right]} = 4\, \pi\, r^2\, dr\;</math>»<ref> « Aire de la couche sphérique de rayon <math>\;r</math>, <math>\;4\, \pi\, r^2\;</math>» multipliée par l'« épaisseur de la [[w:Couronne_(géométrie)Couronne_sphérique|couronne sphérique]] élémentaire <math>\;dr\;</math>».</ref> résultant des intégrations sur «<math>\;\varphi\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et sur «<math>\;\theta\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\pi\;</math>» du volume élémentaire <math>\;d\mathcal{V} = r\, \sin(\theta)\, d \varphi\, r\, d \theta\;dr\;</math><ref name="dV en sphérique" />{{,}}<ref name="f(M) indépendant de la longitude et de la colatitude"> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant ni de <math>\;\varphi\;</math> ni de <math>\;\theta\;</math> peut être sorti des intégrales emboîtées sur <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\theta\;</math> d'où la justification de l'intégration du volume élémentaire sur <math>\;\varphi\;</math> et <math>\;\theta</math>, ce qui revient au remplacement de <math>\;\sin(\theta)\, d \theta\;</math> par <math>\;\left[ -\cos(\theta) \right]_0^\pi = 2\;</math> et de <math>\;d \varphi\;</math> par <math>\;2\, \pi\;</math> pour passer du volume élémentaire au volume élémentaire semi intégré.</ref> ; <br>l'intégrale volumique «<math>\;\displaystyle\iiint_{(B)} f(r)\, d\mathcal{V}\;</math>»<ref> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant pas de <math>\;\varphi\;</math> ni de <math>\;\theta\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>, sauf cas particulier, <math>\;\big[f(M)\;</math> est constante sur toute [[w:Couronne_(géométrie)Couronne_sphérique|couronne sphérique]] élémentaire<math>\big]\;</math> d'où l'expression de l'intégrale volumique.</ref> peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «<math>\;\displaystyle\int_0^R f(r)\, d\mathcal{V}_{\text{couronne sphérique sur }\left[r,\, r + dr \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'intégrale volumique «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint_{(B)} f(r)\, d\mathcal{V}}\;</math>» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré }}«<math>\;\displaystyle\int_0^R f(r)\, 4\, \pi\, r^2\, dr\;</math>»<ref name="assez fréquemment utilisé" /> ; * quand la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> sur un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> <math>\;(C)\;</math> d'axe <math>\;Oz</math>, de rayon <math>\;R\;</math> et de hauteur <math>\;H\;</math><u>ne dépend ni du rayon polaire</u><math>\;\rho\;</math><u>ni de l'abscisse angulaire</u><math>\;\theta\;</math><math>\big(</math><u>mais est dépendant de la cote</u><math>\;z\big)</math>, on peut envisager le « <u>volume de la tranche cylindrique élémentaire comprise entre les deux cotes infiniment proches</u><math>\;z\;</math><u>et</u><math>\;z + dz\;</math><u>comme volume élémentaire semi intégré</u> » soit l'expression {{Nobr|«<math>\;d\mathcal{V}_{\text{tranche cylindrique sur }\left[ z,\, z + dz \right]}</math>}} <math>= \pi\, R^2\, dz\;</math>»<ref> « Aire de la base de la tranche cylindrique <math>\;\pi\, R^2\;</math>» multipliée par l'«épaisseur de la tranche cylindrique <math>\;dz\;</math>».</ref> résultant de l'intégration sur «<math>\;\theta\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et sur «<math>\;\rho\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;R\;</math>» du volume élémentaire <math>\;d\mathcal{V} = \rho\, d \theta\, d\rho\, dz\;</math><ref name="dV en sphérique" />{{,}}<ref name="f(M) indépendant de theta et de rho"> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant ni de <math>\;\theta\;</math> ni de <math>\;\rho\;</math> peut être sorti des intégrales sur <math>\;\theta\;</math> et sur <math>\;\rho\;</math> d'où la justification de l'intégration du volume élémentaire sur <math>\;\theta\;</math> et sur <math>\;\rho</math>, ce qui revient au remplacement de <math>\;d \theta\;</math> par <math>\;2\, \pi\;</math> et de <math>\;\rho\, d \rho\;</math> par <math>\;\dfrac{R^2}{2}\;</math> pour passer du volume élémentaire au volume élémentaire semi intégré.</ref> ; <br>l'intégrale volumique «<math>\;\displaystyle\iiint_{(C)} f(z)\, d\mathcal{V}\;</math>»<ref> <math>\;f(M\;)</math> ne dépendant ni de <math>\;\theta\;</math> ni de <math>\;\rho\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>, sauf cas particulier, <math>\;\big[f(M)</math> est constante sur une tranche cylindrique de cote <math>\;z\big]\;</math> d'où l'expression de l'intégrale volumique.</ref> peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «<math>\;\displaystyle\int_0^H f(z)\, d\mathcal{V}_{\text{tranche cylind. sur }\left[ z,\, z + dz \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'intégrale volumique «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint_{(C)} f(z)\, d\mathcal{V}}\;</math>» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré }}«<math>\;\displaystyle\int_0^H f(z)\, \pi\, R^2\, dz\;</math>»<ref> Aussi fréquemment utilisé que dans le cas précédent d'une [[w:Boule_(solide)|boule]].</ref> ; * quand la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> sur un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]]<ref name="tuyau cylindrique ou cylindre de révolution" /> <math>\;(C)\;</math> d'axe <math>\;Oz</math>, de rayon <math>\;R\;</math> et de hauteur <math>\;H\;</math><u>ne dépend ni de la cote</u><math>\;z\;</math><u>ni de l'angle polaire</u><math>\;\theta\;</math><math>\big(</math><u>mais dépend du rayon polaire</u><math>\;\rho\big)</math>, on peut envisager le « <u>volume de la couche cylindrique élémentaire de hauteur</u><math>\;H\;</math><u>comprise entre les deux rayons polaires infiniment proches</u><math>\;\rho\;</math><u>et</u><math>\;\rho + d \rho\;</math><u>comme volume élémentaire semi intégré</u> » soit {{Nobr|«<math>\;d\mathcal{V}_{\text{couche cylindrique sur }\left[ \rho,\, \rho + d \rho \right]}</math>}} <math>= 2\, \pi\, \rho\, H\, d \rho\;</math>»<ref> « Aire de la surface latérale de la couche cylindrique <math>\;2\, \pi\, \rho\, H\;</math>» multipliée par l'« épaisseur de la couche cylindrique <math>\;d \rho\;</math>».</ref> résultant de l'intégration sur «<math>\;\theta\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;2\, \pi\;</math>» et sur «<math>\;z\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;H\;</math>» du volume élémentaire <math>\;d\mathcal{V} = \rho\, d \theta\, d\rho\, dz\;</math><ref name="dV en sphérique" />{{,}}<ref name="f(M) indépendant de theta et de z"> <math>\;f(M\;)</math> ne dépendant pas de <math>\;\theta\;</math> ni de <math>\;z\;</math> peut être sorti des intégrales sur <math>\;\theta\;</math> et sur <math>\;z\;</math> d'où la justification de l'intégration du volume élémentaire sur <math>\;\theta\;</math> et sur <math>\;z</math>, ce qui revient au remplacement de <math>\;d \theta\;</math> par <math>\;2\, \pi\;</math> et de <math>\;dz\;</math> par <math>\;H\;</math> pour passer du volume élémentaire au volume élémentaire semi intégré.</ref> ; <br>l'intégrale volumique «<math>\;\displaystyle\iiint_{(C)} f(\rho)\, d\mathcal{V}\;</math>»<ref> <math>\;f(M)\;</math> ne dépendant ni de <math>\;\theta\;</math> ni de <math>\;z\;</math> ne dépend que de <math>\;\rho</math>, sauf cas particulier, <math>\;\big[f(M)\;</math> est constante sur une couche cylindrique de rayon <math>\;\rho\big]\;</math> d'où l'expression de l'intégrale volumique.</ref> peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré «<math>\;\displaystyle\int_0^R f(\rho)\, d\mathcal{V}_{\text{couche cylind. sur }\left[ \rho,\, \rho + d \rho \right]}\;</math>» ou encore <br>{{Al|7}}{{Transparent|l'intégrale volumique «<math>\;\color{transparent}{\displaystyle\iiint_{(C)} f(\rho)\, d\mathcal{V}}\;</math>» peut alors s'écrire directement en utilisant le volume élémentaire semi-intégré }}«<math>\;\displaystyle\int_0^R f(\rho)\, 2\, \pi\, \rho\, H\, d \rho\;</math>»<ref> Aussi fréquemment utilisé que dans les cas précédents d'une [[w:Boule_(solide)|boule]] ou d'un [[w:Cylindre_de_révolution|cylindre de révolution]] en considérant des tranches d'épaisseur <math>\;dz</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : tout ce qui vient d'être exposé avec une fonction scalaire <math>\;f(M)\;</math> peut être répété sans restriction avec une fonction vectorielle de densité volumique <math>\;\vec{A}_V(M)</math>. ==== Application au calcul du volume d'un cône de révolution ==== [[File:Cône de révolution - coupe.jpg|thumb|Demi-coupe d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] avec utilisation du repérage cylindro-polaire pour évaluer son volume]] {{Al|5}}Soit à calculer le volume d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\;(K)\;</math> de hauteur <math>\;H\;</math> et dont la base est de rayon <math>\;R\;</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Soit à calculer le volume d'un cône de révolution }}en utilisant le « repérage cylindro-polaire »<ref> Compte-tenu de la plus grande rapidité d'obtention par ce repérage que celle obtenue par repérage sphérique utilisé précédemment, il s'agit de <u>la méthode efficace</u> à utiliser pour obtenir le volume d'un [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]].</ref> de pôle <math>\;O</math>, le sommet du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] et <br>{{Al|13}}{{Transparent|Soit à calculer le volume d'un cône de révolution en utilisant le « repérage cylindro-polaire » }}d'axe <math>\;Oz\;</math> orienté du sommet vers la base ; <br>{{Al|5}}l'équation de la [[w:Génératrice_(mathématiques)#Lignes_génératrices|génératrice]] de la surface latérale du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] située dans le demi-plan méridien repéré par <math>\;\theta\;</math> étant « indépendante de <math>\;\theta\;</math>»<ref> Ce qui est une condition nécessaire <math>\;\big(</math>C.N.<math>\big)\;</math> pour une expansion tridimensionnelle de révolution.</ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> étant }}«<math>\;\rho(z) = z\; \tan(\alpha)\;</math>» avec <math>\;\alpha\;</math> le <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'équation de la génératrice de la surface latérale du cône de révolution située dans le demi-plan méridien repéré par <math>\;\color{transparent}{\theta}\;</math> étant }}demi-angle au sommet du [[w:Cône_de_révolution|cône]] et <br>{{Al|5}}la fonction à intégrer <math>\;f(M)\;</math> étant de valeur <math>\;1\;</math> pour tout point <math>\;M\;</math> d'angle polaire <math>\;\theta_M\;</math> respectant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}\rho_M \leqslant \rho(z)\\z_M = z\end{array}\right\rbrace\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|la fonction à intégrer <math>\;\color{transparent}{f(M)}\;</math> }}étant constante sur une « tranche cylindrique élémentaire de côte <math>\;z</math>, de rayon <math>\;\rho(z)\;</math> et d'épaisseur <math>\;dz\;</math>»<ref> Plus précisément constante sur une tranche tronconique mais le volume de celle-ci peut être assimilé, à l'ordre un en <math>\;dz</math>, au volume d'une tranche cylindrique de même épaisseur et dont la base est de rayon <math>\;\rho(z)\;</math> car l'« écart entre les deux volumes est un infiniment petit d'ordre deux » <math>\;\bigg\{</math>en effet cet écart est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;dz\;</math> mais aussi à la « différence des rayons des bases situées aux cotes <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz\;</math>» soit «<math>\;d \rho(z) = \dfrac{d \rho(z)}{dz}\, dz = \tan(\alpha)\, dz\;</math>» d'où un écart <math>\;\propto\;</math> à <math>\;(dz)^2\;</math> et par suite négligé à l'ordre un en <math>\;dz\bigg\}</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> il est donc possible de <br>{{Al|5}}{{Transparent|la fonction à intégrer <math>\;\color{transparent}{f(M)}\;</math> étant constante sur une « tranche cylindrique }}considérer le « volume de la tranche cylindrique élémentaire de côte <math>\;z</math>, de rayon <math>\;\rho(z)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|la fonction à intégrer <math>\;\color{transparent}{f(M)}\;</math> étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le « volume de la tranche cylindrique élémentaire }}d'épaisseur <math>\;dz\;</math>» comme <br>{{Al|5}}{{Transparent|la fonction à intégrer <math>\;\color{transparent}{f(M)}\;</math> étant constante sur une « tranche cylindrique considérer le }}« volume semi-intégré <math>\;d\mathcal{V}_{\text{tranche cylind. sur }\left[ z,\, z + dz \right]} = \pi\, \left[ \rho(z) \right]^2\, dz\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Présentation|présentation]] (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 2^ème cas) » plus haut dans ce chapitre.</ref> d'où <br>{{Al|5}}l'intégrale volumique exprimant le volume du [[w:Cône_de_révolution|cône de révolution]] <math>\;(K)\;</math> de hauteur <math>\;H\;</math> et dont la base est de rayon <math>\;R\;</math> «<math>\;\mathcal{V}_{(K)} = \displaystyle\iiint_{(K)} d\mathcal{V}\;</math>» se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'intégrale volumique }}«<math>\;\mathcal{V}_{(K)} = \displaystyle\int_0^H d\mathcal{V}_{\text{tranche cylind. sur }\left[ z,\, z + dz \right]} = \displaystyle\int_0^H \pi\, \left[ \rho(z) \right]^2\, dz\; = \pi\, \tan^2(\alpha)\, \displaystyle\int_0^H z^2\, dz = \pi\, \tan^2(\alpha)\, \dfrac{H^3}{3}\;</math>» ou, avec «<math>\;\tan(\alpha) = \dfrac{R}{H}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'intégrale volumique }}«<math>\;\mathcal{V}_{(K)} = \dfrac{1}{3}\, \pi\, R^2\, H\;</math>» C.Q.F.V<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Divers repérages d'un point dans l'espace/|Divers repérages d'un pt dans l'espace]] | suivant = [[../Intégrales généralisées (ou impropres)/]] }} g3pbesewghfdjojla5npvttisbrf4ae 0 78102 982805 837506 2026-05-14T04:01:38Z JackBot 8020 Robot : correction d’une double redirection vers [[Chimie en terminale S/Fiche/Formulaire]] 982805 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Chimie en terminale S/Fiche/Formulaire]] mo671zogzsa7egi6lmv5ei44yhn0i0g 0 83359 982799 982767 2026-05-14T01:00:43Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] 982799 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Les leçons qui composent ce cours d'anthropologie numérique abordent les domaines spécifiques suivants : # [[Anthropologie de l'espace numérique|L'espace numérique]] (Finalisé) # [[Anthropologie de la technologie numérique|Les technologies numériques]] # [[Anthropologie des jeux vidéo|Les jeux vidéo]] # [[Anthropologie des réseaux sociaux|Les réseaux sociaux]] # [[Anthropologie des sites de rencontres|Les sites de rencontre]] # 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PlusLoin = oui }} 6bbh225edk5mgchjmhgekovfkwib1ii 0 87013 982800 982678 2026-05-14T01:00:46Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] 982800 wikitext text/x-wiki * [[Germinal/I. Place et statut du roman/Fiche/Révision|Révision I]] {{AutoCat}} fhxnya70ri2mocl3iziverda0o2hm9g 0 87014 982801 982673 2026-05-14T01:00:46Z JackBot 8020 Formatage, [[Spécial:Pages non catégorisées]] 982801 wikitext text/x-wiki ▶ [[Germinal/II. Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola|Leçon II : Genèse et méthode : le « laboratoire » de Zola ]] {{AutoCat}} 50jrjpilbkr0yzmhn0tqhagumtczxsa 0 87025 982794 982742 2026-05-13T16:16:22Z Lionel Scheepmans 11392 982794 wikitext text/x-wiki {{Chapitre |idfaculté=Socio-anthropologie |département=Anthropologie sociale et culturelle |titre=Code informatique et code génétique, similitude et enjeux communs |numéro=1 |précédent=[[../|Page de présentation]] |suivant=[[../?/]] |niveau==16}} {{Pas fini|Lionel Scheepmans}} <!--{{En cours|Lionel Scheepmans}} --> Page dédié à la création d'un article dont la première version finalisée est prévue pour le 10 septembre. 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